MATE MATI K
TAL & RUM KI M MO E R I KSSON • LASSE B E RG LU N D • M I KAE L JONSSON • H I LLEVI GAVE L
LI B E R
NT A+B C+D E
ISBN 978-91-47-01921-2 © 2007 Kimmo Eriksson, Lasse Berglund, Mikael Jonsson, Hillevi Gavel och Liber AB Redaktion Anders Sörensen Formgivare Eva Jerkeman Bildredaktion Marie Olsson Illustrationer Staffan Schulz (frihandsillustrationer), Piroska von Gegerfelt, Björn Magnusson Första upplagan 1 Sättning och ombrytning Monica Schmidt/ Printing Malmö AB Repro Printing Malmö AB Tryck Nørhaven Book AS, Viborg, Danmark 2007
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t.ex. kommuner/universitet. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.
Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundtjanst.liber@liber.se
INNEHÅLL KURS A 1 VAD ÄR MATEMATIK?
Matematik är mer än att räkna 8 Hur beskriver man tal? 9 Hur beskriver man rum? 14 Vad är en metod? 18 Vad är ett begrepp? 22 Vad är ett resonemang? 25 Vad är problemlösning och modellering?
2 TAL OCH RÄKNESÄTT
35
Taluppfattning 36 Plus och gånger med positiva heltal 39 Potenser av positiva heltal 42 Subtraktion och negativa tal 45 Division och rationella tal 49 Potenser med allmänna exponenter 57 Ekvationer60 Från ”ett, två, många” till reella tal 64 Repetition av kapitlets begrepp 67 Repetitionsövningar 68 Blandade problem 71
3 NUMERISK RÄKNING
73
Exakta tal och approximationer 74 Överslagsräkning 78 Översikt av olika sätt att skriva tal 81 Tiopotensform 83 Procent 88 Förändringsfaktor 92 Repetition av kapitlets begrepp 95 Repetitionsövningar 96 Blandade problem 98
4
4 GEOMETRI
7
29
101
Vinklar 102 Area 106 Volym 115 Skala 124 Likformighet 126 Pythagoras sats 129 Trigonometri 132 Repetition av kapitlets begrepp Repetitionsövningar 137 Blandade problem 140
136
5 SAMBAND I MATEMATIKEN Samband 144 Formler 145 Koordinatsystem 154 Funktioner 160 Några viktiga typer av funktionssamband 166 Använda Grafhuset 176 Repetition av kapitlets begrepp Repetitionsövningar 182 Blandade problem 185
6 STATISTIK
143
181
187
Antal och andelar, tabeller och diagram Insamling och sammanställning av statistik 194 Medelvärde och median 200 Spridning 209 Repetition av kapitlets begrepp 213 Repetitionsövningar 214 Blandade problem 218
188
INNEHÅLL KURS B 7 ALGEBRA
10 SANNOLIKHET
221
Vad är algebra? 222 Två viktiga algebraiska omskrivningar 227 Faktorisering 232 Polynom 237 Andragradsuttryck 240 Andragradsekvationer 243 Olikheter 251 Repetition av kapitlets begrepp 256 Repetitionsövningar 257 Blandade problem 259
8 FUNKTIONER
261
Mer om funktionsbegreppet 262 Linjära funktioner 266 Linjära ekvationssystem 276 Andragradsfunktioner 280 Tillämpningar 292 Använda Grafhuset 297 Repetition av kapitlets begrepp 299 Repetitionsövningar 300 Blandade problem 303
327
Vad är sannolikhet? 328 Likformig och icke likformig sannolikhet 331 Sannolikhet för händelser i flera steg 336 Odds, förväntad vinst och säker vinst 342 Grundläggande kombinatorik 346 Repetition av kapitlets begrepp 352 Repetitionsövningar 353 Blandade problem 355
11 STATISTISKA SAMBAND
••
Korrelationer och orsakssamband 358 Gör en egen undersökning av ett samband 362 Grafer och regressionslinjer 364 Jämföra grupper 367 Effekter av slumpen 372 Kritiskt tänkande på statistik 377 Repetition av kapitlets begrepp 381 Repetitionsövningar 382 Blandade problem 383
För båda kurserna
9 KLASSISK GEOMETRI
305
Från Euklides till GPS 306 Vinklar och vinkelsatser 307 Mera om trianglarer 314 Koordinatgeometri 321 Repetition av kapitlets begrepp Repetitionsövningar 325 Blandade problem 327
12 TILLÄMPAD MATEMATIK
324
Lån 386 Investeringar 394 Fonder och index 397 Hasardspel 402 Hastighet och acceleration Repetitionsövningar 417
385
406
SVAR MED KOMMENTARER 419
5
VAD ÄR MATEMATIK?
1
I gymnasiet blir matematikämnet mer omväxlande och roligt. Det gäller inte längre bara att räkna, du måste tänka också! Matematik är en mäktig medhjälpare när man ska lösa problem i verkliga livet, och gymnasiekursen ska hjälpa dig att ta makten över matematiken. Men vad är matematik? Det ska vi försöka besvara här i kapitel 1. Läs noga! Här läggs grunden till gymnasiekursen.
KAPITEL 1 VAD ÄR MATEMATIK?
MATEMATIK ÄR MER ÄN ATT RÄKNA Matematik handlar om alla tänkbara aspekter på talen, bland annat: • hur man kan skriva tal, t.ex. –17, 106, P • egenskaper hos tal, t.ex. att 17 är ett udda heltal • hur man räknar med tal och bokstäver, t.ex. att 17x · 2 = 34x Men matematik innefattar också geometri, dvs. läran om rummet: • hur man beskriver lägen, t.ex. punkten (3, −2) • hur man beskriver figurer, t.ex. cirklar och rektanglar • storheter som avstånd, ytor och volymer, t.ex. cirkelns area
y 3
Utgående från talen och rummet har matematiken byggts på under årtusenden av mänsklig aktivitet. Det finns nu mycket mer matematik än vad någon enskild människa behärskar! Den kan delas upp i olika områden som talteori, geometri, algebra, sannolikhetslära, etc. Men inom varje område kan man urskilja samma fyra aspekter på matematik:
2 1 0 1
2
3
4
5
x
–1 (3, –2) –2
Metoder – hur man gör för att lösa uppgifter. Lägen beskrivs enkelt i koordinatsystem sid 15.
Begrepp – termer som man är överens om precis vad de betyder. Resonemang – logiska förklaringar. Problem och modellering – svåra frågor om verkligheten.
EXEMPEL
1.1 OM ÖVNINGAR
För att du ska se att du arbetar med alla fyra aspekter av matematik är uppgifterna i denna bokserie uppdelade under fyra rubriker: • Övningar (vanliga metoduppgifter) • Begrepp • Resonemang samt • Problemlösning & modellering.
8
Olika aspekter
Para ihop följande frågor med rätt aspekt på matematik. a) b) c) d)
Vad menas med att ett tal är jämnt? Hur kan man veta att summan av två udda tal alltid blir jämn? Räcker en kronas skattehöjning till en fördubbling av lärarlönerna? Hur gör man för att dra 18 från 94?
Lösning: a) b) c) d)
jämna tal är ett begrepp förklaring kräver ett resonemang frågan är ett problem (som kräver modellering) att dra 18 från 94 kräver en metod
HUR BESKRIVER MAN TAL?
HUR BESKRIVER MAN TAL? För att man ska kunna arbeta med tal måste man ha namn på dem. Det tog lång tid av utveckling innan man fann det smarta sättet att beteckna tal som vi använder nu. Länge skrev man tal bara med ett antal streck: I = 1, II = 2, III = 3, etc. Detta är praktiskt för små tal, men opraktiskt för större tal. Vad gör man? Jo, man inför nya symboler! Samma idé dök upp i olika kulturer. Till exempel ansåg romarna att tiopotenser (10, 100, 1000) och hälften av tiopotenser (5, 50, 500) var särskilt viktiga tal och utvecklade därför de romerska siffrorna som du säkert känner till: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000 Också i det gamla Egypten använde man symboler för tiopotenser. Där såg symbolerna ut så här:
=1
= 10 000
= 10
= 100
= 100 000
Egyptiska talsymboler. Värdet beror inte på positionen.
Att just tio och fem är viktiga tal i flera kulturer beror på att människan har fem fingrar på varje hand.
= 1 000
= 1 000 000
betyder 230 000.
Med dessa symboler kunde romare och egyptier enkelt skriva stora tal. Fortfarande återstod dock vissa problem, till exempel att man för varje ny tiopotens måste komma överens om en ny symbol. Dessutom var det mödosamt att utföra multiplikation och division i dessa system. Försök tänka efter hur det skulle vara att multiplicera XXXVI · LIIII För att lösa dessa problem har flera kulturer kommit på den snillrika idé som kallas positionssystem. I ett positionssystem kan samma symbol ha många olika värden beroende på dess position i talet.
9
KAPITEL 1 VAD ÄR MATEMATIK?
Troligen var det mayafolket i Centralamerika som utvecklade det första positionssystemet. Mayafolket använde basen tjugo, dvs. det fanns symboler för talen 0 till 19 och värdet av en symbol blev tjugo gånger större om den stod ovanpå ett annat tal.
decem är tio på latin
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Mayafolkets positionssystem. En position upp betyder tjugo gånger större tal.
Det system som numera används över nästan hela världen har basen tio, och kallas därför det decimala systemet. Ursprungligen utvecklades det av indiska matematiker på 500-talet. Symbolerna för talen noll till nio vidareutvecklades av arabiska matematiker och kallas nu för arabiska siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Arabiska siffror från 1000-talet. Som du ser har de fortsatt att utvecklas sedan dess.
Tiopotenser 100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000 etc.
10
Mayafolket ställde sina symboler ovanpå varandra, men i det decimala systemet skriver vi siffrorna bredvid varandra. Varje steg till vänster innebär multiplikation med tio, och därför står varje siffra för en viss tiopotens. Som tur är har svenskans sätt att benämna tal blivit nästan helt anpassat till det decimala systemet. Vi har ord för siffrorna och för vissa tiopotenser (tio, hundra, tusen, miljon, etc.). Namn på andra tal bildas med hjälp av dessa grundläggande ord.
HUR BESKRIVER MAN TAL?
Danska språket har ibland basen tjugo istället: 60 = ”tres” 80 = ”firs”. ofta förvillande för svenskar
EXEMPEL
1.2
Decimala systemet
Hur skriver man talet åttahundrasextiotre i det decimala systemet? Lösning: Som tur är har svenskans sätt att benämna tal blivit nästan helt anpassat till det decimala systemet.
863 = 8 · 100 + 6 · 10 + 3 åtta
hundra
sex
tio
tre
Övningar på talsystem 1.3
Skriv med romerska siffror: a) etthundraelva b) tvåtusentrehundrasjuttiosju
1.6
Vissa franska räkneord har istället basen tjugo. Om vingt quatre betyder tjugofyra, vad tror du att quatre vingt är för tal?
1.4
Skriv med Mayafolkets siffror: a) tjugofem b) etthundraelva
1.7
Vad är XX gånger L? Svara med romersk siffra.
1.8
1.5
Skriv med siffror: a) tvåtusentrehundrasjuttiosju b) hundratusenelva
Vad är i mayafolkets talsystem 20 gånger 50 (50 skrivs som två prickar en bit ovanför två streck)?
11
KAPITEL 1 VAD ÄR MATEMATIK?
1.12 Även med romerska siffror spelar positionen
BEGREPP
1.9
För vilka heltal är de svenska namnen inte särskilt väl anpassade till decimalsystemet?
1.10 Till Europa kom siffrorna från araberna, och
en viss roll, nämligen att om en liten siffra kommer före en stor siffra ska den subtraheras och inte adderas. T.ex är IV = 5 – 1 = 4. Vad betyder MCMXCIX?
därför kallas de arabiska siffror. Men var utvecklades siffersystemet ursprungligen? 1.11 I mayafolkets talsystem är det viktigt att
skilja på två prickar direkt ovanpå två streck och två prickar en bit ovanför två streck. Varför?
Egenskaper hos det decimala systemet I text skrivs små tal ofta med bokstäver, t.ex. ”tio” i stället för 10.
Det decimala systemet bygger på att varje steg åt vänster innebär multiplikation med tio. Därför är det alltid extra enkelt att multiplicera med tio. EXEMPEL
Multiplikation med tio
1.13 Multiplicera 863 med tio.
Lösning: Vi ska flytta alla siffrorna i talet ett steg till vänster, och det gör vi genom att stoppa in en nolla sist: 863 · 10 = 8630
Ett steg åt vänster betyder multiplikation med 10. Ett steg åt höger betyder då division med 10.
Om man vill dividera med tio måste man kunna fortsätta till höger om entalssiffran! Därför har man infört decimalkomma. Genom att sätta ett komma efter entalssiffran markerar man att efterföljande siffror står för tiondelar, hundradelar, etc.
0, 25
2 5 10 100
Ett annat sätt att tolka 0,25 är som tjugofem hundradelar, alltså
0, 25
25 100
Båda har rätt!
12
HUR BESKRIVER MAN TAL?
EXEMPEL
Decimaler
1.14 Förklara varför 0,25 är en fjärdedel.
Lösning: Fyra fjärdedelar är ett. Vi ska alltså visa att fyra gånger 0,25 blir 25 100 ett: 4 0, 25 4 1 100 100 Varje steg åt höger från decimalkommat innebär division med tio. Därför är det alltid enkelt att dividera med tio. EXEMPEL
Division med tio
1.15 Dividera 863 med tio.
Lösning: Vi ska flytta alla siffror i talet ett steg till höger, och det gör vi genom att stoppa in ett decimalkomma före sista siffran:
863 86, 3 10 Övningar på decimalsystemet 1.16 Skriv följande tal på decimalform:
a) åtta tusendelar b) en femtedel c) fyrtiofem hundradelar d) fem fjärdedelar 1.17 Utför följande multiplikationer i huvudet.
a) 10 · 20 b) 10 · 91,5 c) 100 · 41 d) 1 000 · 2,12 1.18 Utför följande divisioner i huvudet.
a) 400/10 b) 873/10 c) 7,1/100 d) 33/1 000
RESONEMANG
1.22 Förklara varför ett heltal blir exakt tio
gånger större om man lägger till en extra nolla sist i talet. 1.23 Motivera hur man ska göra för att ett tal
med decimalkomma (t.ex. 43,75) ska bli exakt tio gånger större. 1.24 Motivera hur man ska göra för snabbt divi-
dera ett tal med tio. (Observera att det finns två olika fall.) 1.25 Förklara varför 0,2 är en femtedel. 1.26 Förklara varför 0,04 är en tjugofemtedel. 1.27 Förklara varför 0,375 är tre åttondelar. PROBLEM
BEGREPP
1.19 Beskriv hur decimalsystemet fungerar för att
beskriva heltal. 1.20 Vilken funktion har decimalkommat? 1.21 Hur många gånger större blir ett tal, som
inte är ett heltal, om man lägger till en nolla sist i talet?
1.28 När man byter plats på siffrorna i ett tvåsiff-
rigt tal är förändringen alltid delbar med nio. Om vi t.ex. utgår från 64 och byter plats får vi 46. Förändringen är 64 – 46 = 18 som ju är 9 · 2. a) Testa att det stämmer även på talen 21, 35 och 82. b) Visa att det stämmer för ett godtyckligt tvåsiffrigt tal med siffrorna a och b.
13
KAPITEL 1 VAD ÄR MATEMATIK?
HUR BESKRIVER MAN RUM? Vi lever ju i en tredimensionell värld med längd, bredd och höjd. Den matematiska motsvarigheten kallas för det tredimensionella rummet. Ett plan är ett tvådimensionellt rum, och en linje är ett endimensionellt rum. Ett endimensionellt rum har bara utsträckning i en ledd, som en gata.
För att ange läget på en gata räcker det med ett tal, gatunumret, som talar om hur långt man ska gå längs gatan. Ett tvådimensionellt rum har utsträckning i två ledder, som en stad med flera gator. För att ange ett läge i en stad måste man tala om två saker: gatunamn och gatunummer.
Ett tredimensionellt rum har utsträckning i tre ledder, som ett stort sjukhus. För att ange läge för ett visst rum måste man tala om tre saker: våningsplan, korridor och salsnummer.
1 C2
2
En lägesbeteckning kallas för en koordinat. För att ange ett läge i ett plan, t.ex. på en karta, behövs alltså två koordinater. I kartböcker ser man ofta att kartan är indelad i rutor, där raderna är numrerade och kolumnerna angivna med bokstäver. Eftersom C är den tredje bokstaven anger koordinaterna C2 den tredje rutan i andra raden.
3
4 A
14
B
C
HUR BESKRIVER MAN RUM?
Avstånd och koordinatsystem På kartor och schackbräden använder man bokstäver som koordinater, men i matematik använder man i allmänhet bara tal. På en linje kallas punkten med koordinat noll för origo. Koordinat 1 finns på avståndet 1 från origo på linjens positiva sida, medan koordinat −1 är lika långt från origo på andra sidan. DEFINITION
Avståndet mellan två punkter på en linje är differensen mellan höga och låga koordinaten.
EXEMPEL
Avstånd på linje
1.29 Två punkter på en linje har koordinater –1 respektive 2. Vad är avståndet
mellan punkterna? Lösning: Avståndet är 2 – (–1) = 3 som figuren visar. avstånd = 3 –2
–1
0
1
2
3
När man har två koordinater brukar man skriva (x, y) där x är läget i sidled och y är läget i höjdled, mätt från origo. Koordinaterna (5, 4) anger då läget för den punkt som ligger fem steg åt höger och fyra steg uppåt från origo. y-axel
(5, 4)
4
Fem steg åt höger, fyra uppåt
3 2
Den smarta idén att använda tal för att beskriva rum kommer från René Descartes (1596–1650), fransk filosof som dog i Stockholm!
1
origo
1
2
3
4
5
x-axel
Detta brukar kallas för ett koordinatsystem för planet. Genom att lägga till en z-axel riktad ut ur papperet kan man på samma sätt beskriva lägen i ett tredimensionellt rum.
15
KAPITEL 1 VAD ÄR MATEMATIK?
EXEMPEL
Avstånd mellan punkter
1.30 Vad är avståndet mellan punkterna (1, 1) och (5, 4)?
Lösning: Om koordinatsystemet ritas upp på papper med centimeterstora rutor kan vi helt enkelt mäta avståndet till fem centimeter med en linjal. (5, 4) 6
4
(5, 4)
4
5
3
3
4 3
2 (1, 1) 1
3
2
2
(1, 1) 1
1
4
0
1
2
3
4
1
5
2
3
4
5
Alternativt kan man beräkna avståndet som längden av hypotenusan på en rätvinklig triangel med sidorna 4 och 3. Pythagoras sats (se kapitel 4) ger hypotenusans längd till EXEMPEL
42 32 5 .
Avstånd längs gator
1.31 På Manhattan i New York går avenyer i nord-sydlig riktning och gator i
öst-västlig riktning. Du befinner dig i korsningen mellan första avenyn och första gatan. Du ska gå till korsningen mellan andra avenyn och fjärde gatan. Hur många kvarterslängder måste du gå? Lösning: y
(2, 4)
4 3 2 (1, 1) 1 x 1
2
3
4
5
Problemet är detsamma som att finna längden av en vandring i ett koordinatsystem från punkten (1, 1) till (2, 4) när man bara får gå parallellt med koordinataxlarna. I x-led blir vandringen 2 – 1 = 1 steg lång, och i y-led 4 – 1 = 3 steg. Totalt 1 + 3 = 4 kvarter.
16
HUR BESKRIVER MAN RUM?
Övningar på koordinater och rum 1.32 På en tåglinje kliver Ramon på tåget på
tredje stationen och åker med till den åttonde stationen. Hur långt åkte han? 1.33 Mona ska till gatunummer 21 men numren
syns dåligt. Hon frågar dig hur långt hon ska gå. Du vet att ni nu står utanför nummer 5, och att gatan på denna sida har udda nummer. Vad svarar du? 1.34 I ett stort sjukhus letar doktor Disträ efter
sin operationssal. ”Var är jag och vart ska jag?”, frågar hon en sköterska. ”Du är på andra våningen, korridor B, tredje trapphuset, och du ska till tredje våningen, korridor D, tredje trapphuset.” Hur ska doktorn gå?
BEGREPP
1.38 Vad är skillnaden mellan en linje och ett
plan? 1.39 Vad är en koordinat? 1.40 Hur många koordinater går det åt för att
ange ett läge i planet respektive rymden? 1.41 Vilken dimension har
a) ett streck (ett linjestycke) b) en rektangelyta c) ett rätblock d) ett klot e) en triangelyta PROBLEM
1.35 Förbind i tur och ordning följande punkter
i ett koordinatsystem. Sista punkten ska förbindas med första punkten. Vilken form bildas? a) (1, 1), (1, 4), (3, 4), (3, 1) b) (2, 2), (0, 0), (2, 0) c) (3, 0), (0, 3), (3, 6), (6, 3)
1.42 Om man befinner sig i en gatukorsning i ett
stort kvadratiskt gatunät, hur många andra punkter (gatukorsningar) kan man nå genom att gå
1.36 Du befinner dig på Manhattan i korsningen
mellan femte avenyn och 34:e gatan (Empire State Building). Hur många kvarterslängder måste du gå om du ska till a) åttonde avenyn, 77:e gatan (Naturhistoriska museet) b) tredje avenyn, 59:e gatan (Bloomingdale’s) 1.37 I ett koordinatsystem, vad är avståndet
mellan punkterna a) (5, 2) och (2, 2) b) (5, 2) och (2, 6) c) (5, 2) och (–3, –4)
a) ett kvarter bortåt b) två kvarter bortåt (se figur) c) tre kvarter bortåt d) n kvarter bortåt 1.43 Markera i ett koordinatsystem alla punkter
som ligger exakt på avstånd 1 från punkten (2, 2). Vad blir det för form?
17
KAPITEL 1 VAD ÄR MATEMATIK?
VAD ÄR EN METOD? Många räknemoment behöver man utföra ofta, såsom att multiplicera tal. Då vill man ha en effektiv metod, dvs. ett beprövat recept att följa för att enkelt och korrekt få fram svaret. Metoder (och även begrepp, se nästa avsnitt) kan man se som matematiska verktyg som underlättar tankearbetet. Under tusentals år har människor fyllt på en matematisk verktygslåda med bra metoder och begrepp. Med de rätta verktygen blir det matematiska arbetet lättare och tankekraft frigörs för svårare frågor på en högre nivå.
Metoder och begrepp är matematiska verktyg. Lär dig att använda dem! DU VET VÄL ATT
Att själv komma på en bra metod är inte lätt. Man måste därför lära sig färdiga metoder för olika sorters uppgifter. En del metoder har du lärt dig i grundskolan. Som exempel ska vi repetera algoritmen för multiplikation. För de gamla romarna var det ju en rejäl utmaning att multiplicera stora tal, men i decimalsystemet går det ganska enkelt om man vet hur man ska göra.
en matematisk metod också kallas för en algoritm? Ordet kommer från namnet på den arabiska matematikern al-Khwarizmi som levde på 800-talet.
Förkunskapskrav: multiplikationstabellen
·
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2
4 6 8 10 12 14 16 18
3
9 12 15 18 21 24 27
4
16 20 24 28 32 36
5
25 30 35 40 45
6
36 42 48 54
7
49 56 63
8
64 72
9
81
Det räcker att lära sig halva multiplikationstabellen.
Eftersom tal byggs upp av siffror från 0 till 9 krävs det till att börja med att man kan multiplicera dessa byggstenar. Därför får barn i alla världsdelar lära sig multiplikationstabellen. Har du tänkt på att det räcker att lära sig halva tabellen? Multiplikationstabellen är symmetrisk kring diagonalen, så den undre triangeln är bara en spegling av den övre. EXEMPEL
Multiplikationstabellen
1.44 Vad är 7 gånger 6?
I tabellen ser vi att 6 · 7 = 42. Då är även 7 · 6 = 42.
Kan du ge en förklaring? Se övning 1.53.
18
VAD ÄR EN METOD?
Multiplikationsalgoritmen för flersiffriga tal Hur räknar man ut 36 gånger 4? Man kan tänka så här:
Dela upp 36 som 6 + 30. Då kan 36 · 4 skrivas 6 · 4 + 30 · 4. Vi vet att 6 · 4 = 24. Vi vet också att 3 · 4 = 12, och därför är 30 · 4 = 120. Alltså är 36 · 4 = 24 + 120 = 144. Den här idén för att multiplicera två tal kan sammanfattas i en metod med ett särskilt sätt att ställa upp beräkningen: 1. Varje siffra i första talet multipliceras med varje siffra i andra talet. 2. Varje produkt följs av lika många nollor som summan av siffrornas positioner anger. 3. Alla resultat adderas.
3 · 2 + 1 2 1 4
EXEMPEL
6 4 4
Ofta skriver man inte ut de tillagda nollorna eftersom de ändå inte påverkar additionen.
4
2 3 6 · 4 1 4 4
3 · 2 + 1 2 1 4
6 4 4 0 4
Om man håller tungan rätt i mun kan man utföra additionen direkt i huvudet med hjälp av minnessiffra.
Multiplikationsalgoritmen
1.45 Vad är 36 gånger 54?
Fler siffror i talen ger fler rader i uppställningen, annars ingen skillnad.
3 · 5 2 1 2 3 0 + 1 5 1 9 4
6 4 4
4
eller, med minnessiffror:
3 2 3 · 5 1 4 + 1 8 0 1 9 4
6 4 4 4
19
KAPITEL 1 VAD ÄR MATEMATIK?
Multiplikation av tal med decimaler Om talen innehåller decimalkomma är det inget problem. Man kan börja med att multiplicera talen utan att tänka på decimalkommat. Sedan placerar man decimalkommat i svaret så att det blir lika många decimaler som i faktorerna tillsammans. Till exempel blir 3,6 · 5,4 = 19,44.
3 2 3, · 5, 1 4 + 1 8 0 1 9, 4
Faktorerna har tillsammans två decimaler
6 4 4 4
Då blir det två decimaler i produkten
Övningar på metod för multiplikation 1.47 Repetera multiplikationstabellen:
a) 7 b) 9 c) 8 d) 8 e) 7 f) 9
· · · · · ·
7 6 7 9 9 7
RESONEMANG
1.53 Försök förklara varför m · n = n · m.
(Vi tar upp detta i kapitel 2.) 1.54 I följande uppställning,
förklara varför 120 står ett steg åt vänster.
1.48 Räkna ut med multiplikationsalgoritmen:
a) 21 · 8 b) 3 · 45 c) 63 · 45 d) 28 · 21 1.49 Räkna ut med multiplikationsalgoritmen:
a) 6,3 · 4,5 b) 0,28 · 2,1 c) 0,1 · 72 d) 0,11 · 72 e) 0,11 · 7,2 BEGREPP
1.50 Vad menas med att multiplikationstabellen
är symmetrisk? 1.51 Vad menas med en algoritm? 1.52 Hur kan man räkna ut ett tal i multiplika-
tionstabellen, t.ex. 7 gånger 8, om man inte minns vad det blir?
20
· 1 + 1 2 1 3
4 3 6 0 6
0 4 0 0
1.55 Förklara varför decimalkommat efter multi-
plikation ska placeras så att det blir lika många decimaler som i faktorerna tillsammans. 1.56 I följande korrekta beräkning
A A A B
står A och B för två olika siffror. . a) Varför kan A inte stå för 1? B b) Varför kan A inte stå för 4 eller större? c) Alltså måste A stå för 2 eller 3. I dessa fall, beräkna vad B står för. PROBLEM
1.57 I följande korrekta beräkning
står E, N och T för tre olika siffror, nämligen vilka?
E N . E N E T T
VAD ÄR EN METOD?
Hjälpmedel för räkning Algoritmer kan ses som mentala verktyg för räkning. Andra hjälpmedel är fingrar, papper och penna, kulram etc. Numera finns fantastiska elektroniska hjälpmedel: dator och räknare. Med dem kan man arbeta snabbare och utföra mer omfattande beräkningar än vad som annars vore möjligt. EXEMPEL
Räkna med räknare
1.58 Vad är 3,6 gånger 5,4?
På räknaren slår man in: 7 <2 . 1 < 0 Sedan trycker man på > och svaret ges blixtsnabbt i sifferfönstret:
Räknare och datorer är bra, men det finns två viktiga skäl till att man också ska behärska hur man räknar utan tekniska hjälpmedel: • Bedömning. Man måste kunna bedöma om räknaren gav rätt resultat, eller om man kanske tryckte på fel knappar. • Förståelse. När man räknar med bokstäver duger inte räknaren särskilt långt. Har man då inte förstått hur räkning fungerar blir det svårt. I den här boken är det meningen att du ska öva dig på att arbeta både med och utan räknare. Ibland markerar vi övningar där du inte ska använda räknare med symbolen:
Övningar på räknare 1.59 Bekanta dig med din räknare. Utför följande
beräkningar: a) 3,7 – 4,7 c)
b) (3,7 – 4,7)4
(3, 7 4, 7)4
1.60 Beräkna med räknare 1/(4 · 6 + 1) på två
olika sätt. a) Utför divisionen som den står. b) Beräkna först 4 · 6 + 1 och tryck sedan på knappen (Den står för invertering, dvs ”ett delat med talet”, och är ofta praktisk.)
1.61 Tävla med dig själv! Utför följande beräk-
ningar på tre olika sätt: först med huvudräkning, sedan med hjälp av papper och penna, sist med räknare. Vad går snabbast? a) 15 gånger 10 b) 8 gånger 12 c) 100 minus 75 d) 101 minus 73 e) 5 upphöjt till 3 f) 699 plus 111 g) kvadratroten ur 400 h) 369 delat med 3 i) 12 delat med 30
21
KAPITEL 1 VAD ÄR MATEMATIK?
VAD ÄR ETT BEGREPP? Matematiska begrepp är ord som heltal, rektangel eller udda. Bra begrepp är oumbärliga verktyg när man ska angripa verkliga problem (se avsnitt 1.7). Det är viktigt att alla som använder ett begrepp är överens om vad det betyder, annars blir det förvirring. Att specificera betydelsen kallas att definiera begreppet. Även om man har en tydlig uppfattning av vad ett begrepp innebär så kan det vara svårt att formulera en användbar definition. Vad är till exempel ett heltal? Här är ett försök till svar: ”Heltal är tal som är hela.”
Det är ett dåligt svar, eftersom den definitionen inte är användbar om man inte redan vet vad som menas. En bra definition utgår från enklare begrepp. Om man antar att personen åtminstone vet vad ett antal är så kan man definiera heltal så här: En bra definition utgår från enklare begrepp.
DEFINITION
av heltal
Heltalen består av noll samt alla tal som är ett antal (1, 2, 3, …) eller minus ett antal ( −1, −2, −3, …).
Varje begrepp definieras med andra enklare begrepp. Till slut kommer man ner till vissa grundbegrepp som man tycker får klara sig utan närmare definition. Antal och punkt är sådana grundbegrepp.
22
VAD ÄR ETT BEGREPP?
EXEMPEL
1.62 Varför är den vänstra definitionen av begreppet rektangel bättre än den
högra? DEFINITION
av rektangel
En rektangel är en fyrhörning där alla vinklar är räta.
DEFINITION
av rektangel
En rektangel är en fyrhörning där motstående sidor är lika långa. b a
a
b
Lösning: Det är visserligen sant att motstående sidor i en rektangel är lika långa. Men det räcker a inte för att specificera just rektanglar. Den dåliga definitionen passar in på alla parallellogrammer, inte bara på rektanglar. En bra definition stämmer endast för det begrepp man vill definiera!
b a
b
En bra definition stämmer endast för det begrepp man vill definiera.
Det finns ofta alternativa sätt att definiera samma begrepp, t.ex. jämna tal. DEFINITION
av jämna och udda tal
Ett heltal är jämnt om det är delbart med två.
14 är jämnt, ty det är delbart med 2 eftersom kvoten blir heltalet 7.
De heltal som inte är jämna kallas udda.
15 är udda, ty om man delar det med 2 får man 7,5 som inte är heltal.
Samma definition kan också uttryckas mer algebraiskt så här: DEFINITION
av jämna och udda tal
Jämna tal kan skrivas på formen 2 · n där n betecknar något heltal. Udda tal kan skrivas som 2 · n + 1.
14 är jämnt, ty 14 = 2 · 7. 15 är udda, ty 15 = 2 · 7 + 1.
Om man nöjer sig med att definiera udda och jämnt för antal (dvs. bara för positiva heltal) kan definitionen formuleras väldigt konkret: DEFINITION
av jämna och udda antal
Ett jämnt antal rutor kan delas upp i två lika långa rader, men för ett udda antal rutor blir det en ruta över.
14 är jämnt 15 är udda
23
KAPITEL 1 VAD ÄR MATEMATIK?
Övningar 1.63 Är följande tal udda eller jämna? Om jämnt,
skriv på formen 2 · n. Om udda, skriv på formen 2 · n + 1. a) 5 b) –1 000 c) 4999 + 4999 d) 4999/2
BEGREPP
1.65 Dålig definition: ”En kvadrat är en fyrhör-
ning där alla sidor är lika långa” Vad är bristen? 1.66 Varför är följande definition av jämna tal
inte bra, och hur borde den kompletteras? ”Vartannat tal är jämnt.”
1.64 Är följande figurer parallellogram?
a)
1.67 Begreppen rektangel och parallellogram hör
9 5
5
9
b)
ihop på det sättet att en rektangel är ett specialfall av parallellogram. Para ihop följande begrepp på samma sätt: heltal, kvadrat, likbent triangel, rektangel, udda tal, liksidig triangel.
9,1
1.68 Försök definiera följande begrepp ur grund5
5,1
9
c)
9 5
5
skolans matematik: a) triangel b) bråk c) ekvation d) rät vinkel e) klot 1.69 Vad menas med ett grundbegrepp?
9
24
Bildförteckning s. 7 Joseph Paduano/Nonstock/Scanpix s. 9 Mark Duncan/AP/Scanpix s. 11 Jörgen Schytte/Scanpix s. 15 Musee des Augustins, Frankrike/Bridgeman Art Library/IBL s. 16 Liber AB, Stockholm s. 31 Tim Boyle/Getty Images/All Over Press s. 32 IBL s. 33 Stig Hammarstedt/Scanpix s. 35 Photodisc SS 21 s. 47 Photodisc OS 28 s. 51 Ulf Huett Nilsson/Bildhuset/Scanpix s. 64 Åke Håkansson/Scanpix s. 66 Scott Smith/Scanpix s. 71 Fredrik Funck/Scanpix s. 73 Ed Bailey/AP/Scanpix s. 77 Hulton Archive/Getty Images s. 79 Scanpix s. 83 Photodisc V 34 s. 86 John D McHugh/Scanpix s. 100 Doug Scott/AGE/Scanpix s. 101 Nonstock/Scanpix s. 102 Gamma/IBL s. 113 Bridgeman Art Library /IBL s. 123 Henryk T. Kaiser/Age Fotostock/Scanpix s. 129 Detlev van Ravenswaay/Science Photo Library/IBL s. 143 Kunst & Scheidulin/Scanpix s. 149 Lessing/IBL s. 153 Ulf Palm/Scanpix s. 159 Torbjörn Gustafsson/Scanpix s. 166 OPV-Online s. 179 Kaj Jensen/Scanpix s. 188 Denny Lorentzen/Scanpix
496
s. 190 Ulf Palm/Scanpix s. 192 Photodisc V 34 s. 195 Rosemary & Peter Grant s. 197 Håkan Liljenberg/Scanpix s. 198 Peter Hoelstad/Scanpix s. 204 Roland Weihrauch/Scanpix s. 211 Patrick Sörquist/Scanpix s. 221 Anthony Howarth/Science Photo Library/IBL s. 231 Lars Epstein/Scanpix s. 249 © Victorinox s. 261 Jerry Mason/Science Photo Library/IBL s. 296 Peter Adams/Index Stock/Scanpix s. 305 Mikael Sjöberg/Scanpix s. 306 ö Vatikanbiblioteket s. 306 n Cordelia Molloy/Science Photo Library/IBL s. 315 Photodisc V 39 s. 320 Hasse Holmberg/Scanpix s. 327 Les Cunliffe/Age Fotostock/Scanpix s. 338 Photodisc OS 38 s. 334 Neal Preston/Corbis/Scanpix s. 342 Micke Gustafsson/Scanpix s. 344 Christian Örnberg/Scanpix s. 354 Anders Wiklund/Scanpix s. 357 Doug Scott/Age Fotostock//Scanpix s. 367 Sven Halling/Scanpix s. 367 Fredrik Persson/Scanpix s. 372 Jonas Ekströmer/Scanpix s. 385 Robyn Beck/Scanpix s. 394 Anette Nantell/Scanpix s. 399 Claudio Bresciani/Scanpix s. 402 Marcus Engström/Scanpix s. 406 Tomeu Ozonas/Age Fotostock/Scanpix
TAL & RUM Matematik är mer än bara räkning! Det är även begrepp, resonemang, problemlösning och modellering – och inte minst ett utlopp för kreativitet i allmänhet. TAL & R U M är en serie läroböcker i matematik som tar fasta på ämnets olika aspekter i syfte att ge eleverna en rikare upplevelse av matematiken och förbereda dem bättre inför vidare studier. Författargruppen består av gymnasielärare, lärarutbildare och en matematikprofessor.
www.liber.se
Best nr 47-01921-2 Tryck nr 47-01921-2