5
Matematik
5000
Lärarhandledning till Kurs 5 Blå lärobok
Innehåll Inledning Lärarhandledningens uppläggning Matematik 5000 och ämnesplanen Aktiviteter i Matematik 5000 Tidsplan 1 Diskret matematik I 10 Kommentarer och svar till lärobokens aktiviteter Kopieringsunderlag: Aktivitet (1)/Träna mera (2) Uppgiftsbank 2 Diskret matematik II 34 Kommentarer och svar till lärobokens aktiviteter Kopieringsunderlag: Träna mera (1) Uppgiftsbank 3 Derivator och integraler 59 Kommentarer och svar till lärobokens aktiviteter Kopieringsunderlag: Aktivitet (1)/Träna mera (1) Uppgiftsbank 4 Differentialekvationer 75 Kommentarer och svar till lärobokens aktiviteter Kopieringsunderlag: Träna mera (1) Uppgiftsbank 5 Utrustningslista 93 Materiel som används i lärobokens och lärarhandledningens aktiviteter
Innehåll
4
Lärarhandledningens uppläggning Lärarhandledningens kapitel består av två delar: Kommentarer och svar till lärobokens Aktiviteter samt Kopieringsunderlag.
Kommentarer och svar till lärobokens Aktiviteter Till samtliga Aktiviteter i läroboken finns en didaktisk kommentar. Där finns t ex svar och lösningar samt information om materiel och genomförande.
Kopieringsunderlag Kopieringsunderlaget består av Aktiviter, Träna mera och en Uppgiftsbank. Aktiviteter I läroboken finns många Aktiviteter. I lärarhandledningen finns ytterligare några. Aktiviteterna presenteras dels som elevinstruktioner, dels som ett lärarmaterial med en beskrivning av aktiviteten. Varje aktivitet beskrivs med materiel, genomförande, kommentar och svar. Tanken med aktiviteterna är bland annat att eleverna under vissa matematik lektioner ska få arbeta mer undersökande och kreativt. Vid arbete med aktiviteterna får eleverna även möjlighet att bearbeta matematiska begrepp. Arbete parvis eller i grupp är lämpligt. Träna mera I Träna mera finns uppgifter till några avsnitt där många elever behöver mer träning. Uppgifterna är av sådan karaktär att eleverna främst får utveckla sin begrepps- och procedurförmåga. Uppgiftsbank Till varje kapitel finns förslag till uppgifter som kan användas som underlag vid konstruktion av prov. Uppgiftsbanken innehåller både uppgifter som ska lösas utan räknare och uppgifter som ska lösas med räknare. Uppgifterna är kategoriserade efter de förmågor som eleverna kan redovisa i sina lösningar. Till samtliga uppgifter finns svar och till vissa uppgifter finns även en kommentar och/eller en lösning.
Lärarhandledningens uppläggning
5
Matematik 5000 och ämnesplanen I ämnesplanen för matematik står bland annat: ”Undervisningen i ämnet matematik ska syfta till att eleverna utvecklar förmåga att arbeta matematiskt. Det innefattar att utveckla förståelse av begrepp och metoder samt att utveckla olika strategier för att kunna lösa matematiska problem och använda matematik i samhälls- och yrkesrelaterade situationer.” ”Undervisningen i ämnet matematik ska ge eleverna förutsättningar att utveckla förmåga att 1 använda och beskriva innebörden av matematiska begrepp samt samband mellan begreppen. 2 hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg. 3 formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat. 4 tolka en realistisk situation och utforma en matematisk modell samt använda och utvärdera en modells egenskaper och begränsningar. 5 följa, föra och bedöma matematiska resonemang. 6 kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling. 7 relatera matematiken till dess betydelse och användning inom andra ämnen, i ett yrkesmässigt, samhälleligt och historiskt sammanhang.” MATEMATIK 5000 ger eleverna mycket goda förutsättningar att utveckla förmågorna ovan. I lärobokens finns pedagogiskt genomtänkta Teoriavsnitt, Övningsuppgifter (i tre nivåer), Aktiviteter (i fem kategorier), Teman, Historik och Problemlösning. Varje kapitel avslutas med Sammanfattning, Kan du det här?, Diagnos och Blandade övningar (i två varianter). Boken avslutas med Repetitionsuppgifter samt ett Facit med svar, ledtrådar och lösningar. I lärarhandledningen finns Träna mera, ytterligare Aktiviteter och en Uppgiftsbank. Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elever till en variation av arbetssätt och arbetsformer och erbjuder eleverna många olika möjligheter att nå de kunskapsmål som beskrivs i ämnesplanen. På nästa sida har vi i en matris sammanställt förmågorna och kunskapskraven för kurs 5.
Matematik 5000 och ämnesplanen
6
Aktiviteter i Matematik 5000 Varför? I ämnesplanen för matematik står bland annat: ”Undervisningen ska innehålla varierade arbetsformer och arbetssätt, där undersökande aktiviteter utgör en del. Undervisningen ska ge eleverna möjlighet att kommunicera med olika uttrycksformer.” Vi ser elevernas arbete med lärobokens och lärarhandledningens Aktiviteter som ett sätt att utveckla främst begrepps-, problemlösnings- och kommunikationsförmågan. Aktiviteterna finns i fem olika kategorier: Undersök, Upptäck, Diskutera, Laborera och Modellera. I de flesta av lärobokens kapitel finns också en Inledande aktivitet med syfte att introducera kapitlets innehåll. De flesta av Aktiviteterna är skrivna med tanke på ”pararbete” eller ”arbete i grupp”. I de arbetsformer som vi kallar ”pararbete” och ”arbete i grupp” ligger tonvikten på själva processen, att vara delaktig, att kommunicera och att tillsammans med andra bearbeta problemställningar som sedan redovisas skriftligt av varje elev individuellt eller muntligt av gruppen inför övriga kurskamrater. Genom den kommunikation som sker inom gruppen vid arbete med Aktiviteterna så bearbetas begrepp och frågeställningar utifrån elevernas egna förutsättningar och erfarenheter. Vi rekommenderar att varje elev samlar sina skriftliga redovisningar av Aktiviteterna i en mapp. Mappen ger en bra bild av vad eleven presterat under kursen och utgör en del av underlaget vid betygssättning. Vi ser arbete med Aktiviteterna som en möjlighet att variera lektionernas innehåll och som en integrerad del till ett mera ”traditionellt” arbetssätt utifrån lärobokens teoriavsnitt och övningsuppgifter. Vår uppfattning är att en balans mellan dessa arbetssätt stimulerar elevens intresse för matematikämnet och ökar elevens möjligheter att utveckla de sju förmågor som beskrivs i ämnesplanen.
Hur? Gruppsammansättningen har stor betydelse. Vi rekommenderar därför att gruppindelningen sker på ett strukturerat sätt. Man kan t ex göra en gruppindelning genom lottning. Under kursens gång kommer då eleverna att ha arbetat tillsammans med de flesta av sina kurskamrater någon gång. Förutom att få många tillfällen att öva sig att kommunicera om frågor med matematiskt innehåll, har eleverna även tränat sig att samarbeta.
När? Lärobokens kapitel börjar med en Inledande Aktivitet. En sådan (ofta ganska kort och enkel) Aktivitet introducerar en del av teorin i det kommande kapitlet. Även många av de andra Aktiviteterna i läroboken leder in mot kommande teoriavsnitt och är tänkta att genomföras när man kommer till den aktuella sidan. Lärahandledningens Aktiviteter genomförs vid lämplig tidpunkt och i mån av tid. Aktiviteter i Matematik 5000
8
Tidsplan till Matematik 5000 kurs 5 Blå Lärobok Ämnesplanen för Matematik ger ett poängtal för varje kurs. Kursen Matematik 5 ger 100 poäng. Någon direkt koppling till timtal finns inte. Vi ger här ett förslag till en tidsplan där 90 klocktimmar fördelas på de olika momenten. Det är inte möjligt att inom ramen för en kurs på 90 timmar, hinna med att göra allt som läromedlet erbjuder. I det enskilda fallet får man, med utgångspunkt i kursens centrala innehåll och kunskapskrav, anpassa innehåll och tidsplan till det faktiska timtalet och till elevgruppens nivå. Kap 1 Diskret matematik I 1.1 Kombinatorik 1.2 Mängdlära 1.3 Grafteori
22 10 8 4
Kap 2 Diskret matematik II 2.1 Talteori 2.2 Talföljder 2.3 Induktionsbevis
14 5 7 2
Kap 3 Derivator och integraler 17 3.1 Derivator och 6 3.2 Extremvärden 3 3.3 Integraler 8
Kap 4 Differentialekvationer 4.1 Inledning 4.2 Differentialekvationer av första ordningen 4.3 Matematiska modeller med differentialekvationer
15 3 5 7
Kap 5 Omfångsrika problemsituationer 6 Övrigt Diagnos/Repetition/Prov
16
Summa 90
Tidsplan till Matematik 5000 kurs 5 Blå Lärobok Tidsplan till Matematik 5000 kurs 5 Blå Lärobok
9
1
DISKRET MATEMATIK I
Innehåll Kommentarer och svar till lärobokens aktiviteter Inledande aktivitet Aktivitet – Undersök Aktivitet – Diskutera
Hur många? 11 Kan du rita utan att lyfta pennan? 12 Sant eller falskt? 14
Kopieringsunderlag Aktivitet – Laborera Olika pokerhänder 15 Träna mera Kombinatorik 17 Träna mera Mängdlära och grafteori 20
Uppgiftsbank Kapitel 1, Diskret matematik I 22
1 Diskret matematik I
10
Aktivitet Hur många?
INLEDANDE UNDERSÖK
(Lärobok s. 7)
Svar och lösningar 1 a) Det kan bildas 6 tal (3 ∙ 2 ∙ 1 = 6).
Talen är: 123 132
213
231
312
321
b) Det kan bildas 4 tal (2 ∙ 2 = 4).
Talen är: 44 47 74
77
c) Det kan bildas 24 summor (6 ∙ 4 = 24).
Summorna är: 167 170 176 257 260 275 356 359 365
179 278 368
197 287 386
200 290 389
206 305 395
209 308 398
131 231 331
132 232 332
2 a) Det kan bildas 27 tal (3 ∙ 3 ∙ 3 = 27).
Talen är: 111 112 211 212 311 312
113 213 313
121 221 321
122 222 322
123 223 323
133 233 333
b) Det kan bildas 18 tal. (2 ∙ 3 ∙ 3 = 18 Talet får inte börja med 0)
Talen är: 800 808 900 908
809 909
880 980
888 988
889 989
890 990
898 998
899 999
3 a) Det finns 9 000 fyrsiffriga tal eftersom 9 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 9 000. (Talet får inte börja med 0)
Det minsta talet är 1 000 och det största är 9 999. (Antalet tal = 9 999 – 999 = 9 000)
b) Det finns 819 fyrsiffriga tal som är delbara med 11.
Det minst talet är 1 001 = 91 ∙ 11 och det största är 9 999 = 909 ∙ 11. (Antalet tal = 909 – 90 = 819)
eller
Det största tresiffriga talet som är delbart med 11 är 990 = 90 ∙ 11. Ekvationen 990 + n ∙ 11 = 9 999 ger antalet tal n = 819.
1 Diskret matematik I
11
Kapitel 1 Kombinatorik
TRÄNA MERA
Svar och lösningar 1 a) A ∪ B = {2,3,4,5,6} b) A ∩ B = {3,4} c) |A|+|B| = 7 Ledtråd: Summan av antalet element i A och antalet element i B. d) |A ∪ B|+|A ∩ B| = 5 + 2 = 7
2 240 patienter Ledtråd: Rita ett Venndiagram. |A ∪ B|= |A|+|B| – |A ∩ B| Svaret ges av |B| – | A ∩ B |
3 a) A B
C
b) T ex (A ∪ C)\ B
4 a) Grafen har 5 hörn och 7 kanter. b) En Eulerkrets är sluten och passerar varje kant exakt en gång. c) Ja det är möjligt, t ex A B C D B E D A
Kopieringsunderlag © 2014 Författarna och Natur och Kultur · MATEMATIK 5000 Kurs 5 Lärarhandledning · 978-91-27-43009-9
21
2
DISKRET MATEMATIK II
Innehåll Kommentarer och svar till lärobokens aktiviteter Inledande aktivitet Aktivitet – Upptäck Aktivitet – Undersök Aktivitet – Undersök Aktivitet – Laborera Aktivitet – Diskutera
Hittar du mönstret? 35 Räkna med rester 36 Sierpińskis triangel 39 Hur högt blir trädet? 41 Hur högt studsar bollen? 43 Sant eller falskt? 44
Kopieringsunderlag Träna mera
Talteori och talföljder 45
Uppgiftsbank Kapitel 2, Diskret matematik II 50
2 Diskret matematik II
34
Uppgiftsbank kapitel 2, Diskret matematik II Tanken med uppgiftsbanken är att den kan användas som underlag vid konstruktion av prov. Lärarna väljer ett antal uppgifter ur banken och kompletterar med egna uppgifter så att provet får en lämplig omfattning och svårighetsgrad. I uppgiftsbanken finns endast ett fåtal proceduruppgifter utan kontext. Vi har här gjort ett försök att kategorisera uppgifterna utifrån de förmågor som beskrivs i ämnesplanen. En gränsdragning mellan de olika förmågorna kan ibland vara svår att göra och för att underlätta kategoriseringen har vi slagit samman förmågorna två och två. B/P (Begrepp/Procedur) PL /M (Problemlösning/Modellering) R /K (Resonemang/Kommunikation)
2.1 Talteori Delbarhet och primtal /Gemensamma och icke gemensamma faktorer / Kongruens och moduloräkning /Talsystem med olika baser
2.2 Talföljder Inledning /Rekursionsformler /Aritmetiska talföljder /Geometriska talföljder / Ekonomiska, natur- och samhällsvetenskapliga tillämpningar
2.3 Induktionsbevis
Del I Utan räknare Uppgift 2001 (PL /M) Låt c ∈ Z+ Bestäm två olika värden på c så att b4|(bc).
Svar (Kommentar) T ex: c = b3 eller c = b4
2002 (R /K) Visa att 7|(k + 2 100) om 7|k.
Visa att 7 är en delare i (k + 2 100) om k = n ∙ 7
2003 (R /K) Bevisa följande påstående.
Använd definitionen på ”Ett primtal p är relativt prima med varje heltal n<p.” primtal och definitionen på relativt prima.
2 Diskret matematik II
50
3
DERIVATOR OCH INTEGRALER
Innehåll Kommentarer och svar till lärobokens aktiviteter Inledande aktivitet Aktivitet – Laborera Aktivitet – Diskutera
Finn grafen 60 Ballongen 61 Sant eller falskt? 62
Kopieringsunderlag Aktivitet – Laborera Träna mera
Tratten 63 Uppgifter som fördjupar kunskaper om derivata och integraler 65
Uppgiftsbank Kapitel 3, Derivator och integraler 68
3 Derivator och integraler
59
Kapitel 3 Tratten
LABORERA
Materiel: Konformad plasttratt och linjal. Antag • att tratten har formen av en rät cirkulär kon. • att vatten rinner ur tratten genom pipen med en utströmningshastighet som kan regleras. • att tratten fylls helt med vatten och töms med en konstant utströmningshastighet på tiden 15 sekunder.
1 Formeln V = ah3 anger sambandet mellan vattnets volym i cm3 och vattennivåns höjd h i cm. Bestäm konstanten a. 2 Med vilken hastighet sjunker vattennivåns höjd då den är 6,0 cm? 3 För vilken höjd minskar vattennivåns höjd med hastigheten 0,75 cm/s?
Kopieringsunderlag © 2014 Författarna och Natur och Kultur · MATEMATIK 5000 Kurs 5 Lärarhandledning · 978-91-27-43009-9
63
Uppgiftsbank kapitel 4, Differentialekvationer Tanken med uppgiftsbanken är att den kan användas som underlag vid konstruktion av prov. Lärarna väljer ett antal uppgifter ur banken och kompletterar med egna uppgifter så att provet får en lämplig omfattning och svårighetsgrad. I uppgiftsbanken finns endast ett fåtal proceduruppgifter utan kontext. Vi har här gjort ett försök att kategorisera uppgifterna utifrån de förmågor som beskrivs i ämnesplanen. En gränsdragning mellan de olika förmågorna kan ibland vara svår att göra och för att underlätta kategoriseringen har vi slagit samman förmågorna två och två. B/P (Begrepp/Procedur) PL /M (Problemlösning /Modellering) R /K (Resonemang /Kommunikation)
4.1 Inledning Grundläggande begrepp /Differentialekvationer och primitiva funktioner / Verifiering av en lösning
4.2 Differentialekvationer av första ordningen Differentialekvationen y ¢ + ay = 0 /Den inhomogena ekvationen y ¢ + ay = f ( x) / Riktningsfält
4.3 Matematiska modeller med differentialekvationer Enkla förändringsmodeller /Blandningsproblem /Avsvalning /Fritt fall med luftmotstånd /Tillväxt med begränsningar /Lösning med digitala verktyg
4 Differentialekvationer
84
HANS HEIKNE
GABRIEL LINDGREN
Matematik 5000
är ett helt nytt läromedel, anpassat till läroplanen Gy2011. Det täcker alla program på gymnasieskolan och finns nu även för introduktionsprogrammen och vuxenutbildningen.
Den här lärarhandledningen är avsedd för Kurs 5 Blå lärobok. Varje kapitel omfattar kommentarer och svar till lärobokens Aktiviteter. Här finns också kopieringsunderlag till ytterligare Aktiviteter samt Träna Mera. Dessutom ingår för varje kapitel en Uppgiftsbank med upp gifter kategoriserade efter de förmågor som kan redovisas i lösningarna, ett utmärkt hjälpmedel vid t ex provkonstruktion. För aktuell information om serien och digitalt material, besök www.nok.se/matematik5000
ISBN 978-91-27-43009-9
9 789127 430099