9789147114832

MASKINELEMENT KARL-OLOF OLSSON

ISBN 978-91-47-11483-2 © 2015 Karl-Olof Olsson och Liber AB Förläggare: Peter Rajan Omslag: Nette Lövgren Omslagsbild: Monkey Business Images/Thinkstock/Getty Images Grafisk formgivning: Nette Lövgren Sättning: Catharina Grahn och Integra Software Services Teckningar: Karl-Olof Olsson, om ej annat anges Produktion: Jürgen Borchert Andra upplagan 1 Repro: Integra Software Services Tryck: Graphycems, Spanien, 2015

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se Kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

Förord

Vad är maskinelement? Ordet är ganska självförklarande, man skulle också kunna kalla det maskindelar eller maskinkomponenter. Skruvar, kugghjul, kullager är ting som ofta, och alldeles korrekt, uppfattas som maskinelement. Bengt Jakobsson (se mera nedan) brukade säga: ”Allt som kan skruvas loss på en bil är maskinelement – och sedan är det som blir kvar också maskinelement.” Det sista kan vara en viss överdrift, men annars fungerar den definitionen ganska bra. Man kan möjligen tillägga att i dagens bilar finns det också en mängd elektronik och datorer. En del författare har velat innefatta även sådana komponenter i begreppet maskinelement, så dock inte i denna bok. Vidare har jag i denna bok avstått från hydraulik- och pneumatikkomponenter. Inte heller finns det något om de speciella element som finns i strömningsmaskiner, såsom vevstakar och turbinskovlar. Ämnet maskinelement är till sin natur ett analysämne – i motsats till syntesämnen.

I verkligheten är det inte en skarp gräns mellan dessa. En konstruktör arbetar inom båda, även om konstruerande i grunden är en synteskonst. Skillnaden mellan analys och syntes har av någon beskrivits som: Analys: Så här ser maskinen ut – Hur fungerar den?

Syntes: Så här vill jag att maskinen ska fungera – Hur ska den se ut? Ämnet maskinelement har ibland beskrivits som ett ”moget” ämne varmed man, kanske smått föraktfullt, menat att det är färdigt och inte mer behöver beaktas. Detta är gravt felaktigt. Maskinelement är betydelsefulla av bl.a. följande anledningar: • De förekommer i mycket stort antal, vilket gör att även mycket små förändringar får stor (ekonomisk) betydelse.

• Maskinelement är ofta kritiska för en maskins funktion. Ett drastiskt exempel är rymdfärjan Challengers haveri 1986. Det berodde på att en O-ring, ett mycket vanligt maskinelement, inte höll tätt vid den temperatur som rådde.

• Maskinelement är under ständig utveckling. Utvecklingen är kanske oftast evolutionär snarare än revolutionär men inte desto mindre mycket viktig.

III

FÖRORD

En bok i maskinelement kan ha många typer av inslag såsom att ge en bred information om alla tänkbara maskinkomponenter som finns, vilket i själva verket är en omöjlig uppgift, att fungera som formelsamling och att ge handboksartade data. I denna bok finns ganska lite av handboksinformation. Det finns utmärkta böcker för detta ändamål och mer kan hämtas på Internet. Företagens kataloger och nätsidor fyller ut informationen om tillgängliga komponenter. Standardtabeller kompletterar i många fall. I denna bok har jag försökt följa temat: beskrivning – analys – användning.

Bengt Jakobsson omnämndes ovan. Han var professor i maskinelement på Chalmers tekniska högskola i cirka 30 år. Han är en av förgrundsfigurerna i maskinelement i Sverige. För alla oss som haft honom som lärare har han gett outplånliga minnen. Det gäller också som forskningsledare och doktorandhandledare. Jag har haft förmånen att ha honom i alla betydelserna och har njutit hans bekantskap i många sammanhang, även sedan jag lämnat Chalmers. Inspiration från honom har betytt mycket för denna bok.

Till sist vill jag tacka en del personer som på olika sätt hjälpt till vid bokens tillkomst: Göran Gustafsson (universitetslektor på Chalmers), Hans Karlsson (mångårig och uppskattad medarbetare som universitetsadjunkt på Linköpings universitet), Jenny Janhager (min sista doktor, numera på KTH), Lasse Winterfeldt (Volvo Aero, med vilken jag odlat nära förbindelser i 43 år) och Stefan Björklund (universitetslektor på KTH). Er granskning och era tips om förbättringar har varit ovärderliga. Utöver dessa har jag fått god hjälp av ett stort antal personer på olika företag som bidragit med bilder och information. Jag riktar ett kollektivt tack till er alla.

Karl-Olof Olsson Förord till andra upplagan Den första upplagan av MASKINELEMENT har nu varit ute i över sex år. Utöver småfel såsom felstavningar, har inga allvarliga invändningar kommit. Däremot har det varit ett ofta upprepat önskemål att boken skulle innehålla fler övningsuppgifter, både sådana med lösning och sådana som kräver arbete av studenten/läsaren själv. Dessa önskemål har besvarats i denna nya upplaga. Dessutom har figurkvaliteten förbättrats på många ställen.

MASKINELEMENT är av grundläggande betydelse för de ingenjörer som skall utveckla/konstruera framtidens maskiner eller kunna tillverka dem. Självfallet har ämnet genomgått en betydande utveckling under de sex år som gått, men de allmänna grunderna är desamma och kommer att vara så. Baserat på detta har boken till största delen varit oförändrad sedan början.

Det är min förhoppning att denna nya upplaga skall mötas av uppskattning, Karl-Olof Olsson.

IV

Råd till studenten

Du ska nu börja med ämnet maskinelement. Det kanske är det första ”tillämpade” ämnet du stöter på. Det betyder att det skiljer sig ganska mycket från dina tidigare studieerfarenheter i matematik, mekanik, hållfasthetslära m.m.

Man kan säga att ämnet är mera ”praktiskt” än vad du förut läst. Det är också viktigt att konstatera att maskinelement bara delvis har en teoretisk grund. Mycket av den kunskap som finns är erfarenhetsbaserad – empirisk. Men även om så är fallet är det viktigt att använda de teorier som finns. ”Det finns inget så praktiskt som en bra teori” har någon sagt.

Du tycker kanske också att det hänvisas till teknik som du inte är bekant med. Men även om du inte sysslat särskilt mycket med tekniska saker i handgriplig mening, så har du faktiskt en massa erfarenhet som du kan bygga på. Ta vara på den! Vår vardag är full av tekniska ting och ofta kan erfarenheterna därifrån utnyttjas. Dessutom är det så att vardagstekniken ofta är mycket avancerad fast vi inte tänker på det därför att den är så vanlig.

När du ska lära dig om något nytt maskinelement eller lösa ett nytt problem så vill jag ge några goda råd: • Börja med att försöka förstå hur det egentligen ser ut.

• Försök därifrån begripa hur det egentligen fungerar. Använd din fantasi och dina erfarenheter. Försök känna efter vad det blir för krafter och rörelser.

• Sedan kan du börja analysen och använda ekvationer och beräkningstekniker av olika slag. Men ämnet maskinelement kan aldrig bli en samling formler.

Nästan all teknisk analys använder matematik, så även denna bok. Oftast är det inte någon svår matematik. Grundläggande kännedom om elementär algebra och trigonometri behövs. Ibland behöver man integrera för att komma fram. Tag gärna tillfället i akt att träna på detta. I enstaka fall används vektoralgebra. Enkla differentialekvationer förekommer.

V

RÅD TILL STUDENTEN

Då och då förekommer ord och begrepp som kanske är obekanta för dig. Jag har försökt att förklara sådana när de dyker upp. I slutet av boken finns en sammanställning av sådana förklaringar.

Bengt Jakobsson (se förordet) brukade säga: ”Här tränar vi på att lösa en del problem för att sedan kunna lösa andra problem”. Det är en bra inställning. Problemlösarförmågan kan lite schematiskt delas in i tre kategorier: 1. Att lösa kända problem med kända metoder.

2. Att lösa nya problem med kända metoder.

3. Att ta fram nya metoder.

För ett antal år sedan, kanske på 1970-talet, kunde man säga att gymnasieingenjören skulle klara av kategori 1, civilingenjören skulle behärska kategori 2 och forskaren arbetade med kategori 3. I dag fungerar inte den uppdelningen, men som blivande högskole- eller civilingenjör förväntas du arbeta med kategori 2. Det är din problemlösarförmåga som kommer att efterfrågas. För kategori 1 finns ingen definierad utbildning i dag, men ett enkelt faktum är att den sortens uppgifter mer och mer överlåts till datorer.

Du måste alltså sikta på att klara nya problem. Det är det du kommer att anställas för.

Träna för det!

Till sist: Jag hoppas att du ska känna glädjen av att lära dig hur saker fungerar och varför de beter sig på vissa sätt. Att förstå hur kopplingar, bromsar, fjädrar, kullager, växellådor m.m. egentligen ser ut och hur de fungerar är en av avsikterna med denna bok.

VI

Råd till läraren

Denna bok är i första hand tänkt för undervisningen i maskinelement för högskole- och civilingenjörer. Svårighetsgraden varierar mellan de olika delarna. Det är som alltid en uppgift för läraren att välja de avsnitt som förefaller lämpade. Likaså kan omfattningen av boken vara för stor för den undervisningstid som finns tillgänglig. Den är med avsikt mera omfångsrik än vad som kan passa för en enskild kurs. Därmed ges möjlighet att välja.

Det är inte heller nödvändigt att ta kapitlen i den ordning de kommer utan ordningsföljden kan ändras även om det delvis finns en struktur som är logisk. I början finns en del allmänna grunder. Det kan vara lika naturligt att börja i de tillämpade delarna och gå tillbaka till grunderna när det passar. Även om ämnet maskinelement handlar om olika maskinkomponenter så har det som undervisningsämne också en annan betydelse. Det är det ämne där man tar med sig teorin i form av mekanik, hållfasthetslära m.m. ut i verkligheten. Att behärska detta är kanske den viktigaste målsättningen med maskinelementundervisning. Man kan säga att maskinelementämnet syftar till tre sorters kunskap: • Teknisk allmänbildning, dvs. kunskap om vilka element man bygger maskiner av och vilka egenskaper och användningsmöjligheter dessa element har.

• Beräkningskunskap, dvs. beräkningsmetoder och formler för att bedöma hur elementen fungerar.

• Analysförmåga, dvs. konsten att använda kunskaper från grundläggande discipliner för att göra bedömningar av verkliga maskiner.

Bengt Jakobsson brukade säga till studenerna: ”Här tränar vi på att lösa en del problem för att sedan kunna lösa andra problem.” Det är en bra inställning. Det betyder också att det viktiga inte är att välja de delar som i någon tillämpad mening är de viktigaste utan att välja sådant som ger bra hjärngymnastik.

En viktig del av ingenjörsförmågan är konsten att göra överslagsberäkningar. Den är tyvärr i nedåtgående, kanske under trycket av alla datametoder. Men att denna konst är viktig vidimeras av alla erfarna ingenjörer. I boken ges här och där exempel.

VII

RÅD TILL LÄRAREN

Dagens studenter saknar ofta egen teknikerfarenhet. Det är viktigt att ändå försöka anknyta till det de faktiskt kan. Och det är ganska mycket, men de är ofta inte medvetna om det själva. Till denna bristande erfarenhet hör också det faktum att de ibland har svårt att förstå vad bilder föreställer – hur det egentligen ser ut. Att visa upp konkreta delar är en god hjälp för att komma över denna svårighet. En ingenjör ska använda alla sina sinnen.

I slutet av de flesta kapitlen finns ett antal övningsexempel. En del av dessa kan kanske betraktas som svåra. Det gäller att välja. Jag tror också att det är klokt att börja övningsräknandet med enklare uppgifter för att göra studenterna förtrogna med de begrepp som finns och med de formler som gäller.

I slutet av boken finns två kapitel med titlarna ”Klurigheter” och ”Konstruktionsbedömningar”. Till dessa finns inga givna ”svar”. Det handlar om att diskutera och bedöma. Svårigheten på dessa varierar ganska mycket. De kan kanske bedrivas som grupparbeten eller som lärarledda övningar.

VIII

INNEHÅLL

Innehåll

Förord Råd till studenten Råd till läraren

III V VII

I

INLEDNING, ALLMÄNT

1

1

Beteckningar

3

2

3

Allmänna konstruktions- och dimensioneringsprinciper 7

2.1 Skademekanismer 2.2 Funktionsstörningar 2.3 Dimensioneringskriterier 2.4 Instabilitet 2.4.1 Statisk instabilitet 2.4.2 Dynamisk instabilitet 2.4.3 Temperaturinstabilitet 2.4.4 Självlåsning 2.5 Form- och kraftbetingad funktion 2.6 Verkningsgrad 2.7 Analysmetoder 2.7.1 Modellbygge 2.7.2 Överslagsberäkningar 2.7.3 Indata 2.7.4 Avancerade beräkningar 2.7.5 Simulering 2.7.6 Dimensioner och dimensionslösa tal 2.8 Litteratur

7 8 9 11 11 12 13 14 15 16 17 17 18 19 19 19 20 24

Tribologi

25

3.1 Friktion 3.1.1 Allmänt 3.1.2 Mikroglidning 3.1.3 Glid- och vilofriktion 3.1.4 Eytelweins ekvation

25 25 27 27 29 IX

INNEHÅLL

4

3.2 Nötning 3.2.1 Olika typer av nötning 3.2.2 Archards lag 3.3 Oljefilmsteori 3.3.1 Bakgrund. Tower och Reynolds 3.3.2 Strömningsteori 3.3.3 Smörjmedel och viskositet 3.3.4 Enkla formler för spalt- och rörströmning 3.3.5 Reynolds ekvation i enklaste form 3.3.6 Rigorös härledning av Reynolds ekvation 3.4 Elastohydrodynamisk smörjning (EHD) 3.5 Litteratur

31 31 31 32 32 33 35 36 37 38 40 42

Material och hållfasthet

43

4.1 Material 4.1.1 Olika klasser av material 4.1.2 Egenskaper av betydelse 4.2 Hållfasthet 4.2.1 Kontakthållfasthet – Hertzteori 4.2.2 Rotationssymmetriska fall 4.2.3 Utmattning 4.3 Litteratur

43 43 44 46 46 49 52 56

II FÖRBAND

57

5

6

X

Lösbara förband

59

5.1 Skruvförband 5.1.1 Gänggeometri, skruvstandard och hållfasthet 5.1.2 Gängmekanik 5.1.3 Förspända skruvförband 5.1.4 Matningsskruvar 5.1.5 Diverse fenomen 5.2 Snäppförband 5.3 Litteratur 5.4 Övningsexempel

59 60 64 70 76 77 79 80 81

Permanenta förband

89

6.1 Nitförband 6.1.1 Typer av nitar 6.1.2 Dimensionering av nitförband 6.2 ”Materiella” förband 6.3 Litteratur

89 89 91 93 94

INNEHÅLL

7

Fjädrar

7.1 Allmänna grunder 7.1.1 Översikt av fjädertyper 7.1.2 Allmänna egenskaper 7.2 Fjädertyper 7.2.1 Enkla fjädrar 7.2.2 Skruvfjädrar 7.2.3 Ringfjäder 7.2.4 Tallriksfjäder (Bellvillefjäder) 7.2.5 Rullbandsfjäder (Negator-fjäder) 7.2.6 Gummifjädrar 7.2.7 Gasfjädrar 7.3 Litteratur 7.4 Övningsexempel

95

96 96 98 101 101 105 109 112 114 115 119 124 125

III ROTORERS ELEMENT

129

8

Axelförband

131

8.1 Formbetingade axelförband 8.1.1 Enkla kilförband 8.1.2 Bomförband 8.1.3 Andra formbetingade axelförband 8.2 Kraftbetingade axelkopplingar 8.2.1 Krymp- och pressförband 8.2.2 Andra kraftbetingade axelförband 8.3 Litteratur 8.4 Övningsexempel

131 131 132 133 135 135 140 144 145

Tätningar

151

9.1 Spalttätningar 9.1.1 Radialtätningar 9.1.2 Axialtätning 9.2 Berörande tätningar 9.2.1 Elastomertätningar 9.2.2 Packboxar 9.2.3 Statiska tätningar 9.3 Litteratur 9.4 Övningsexempel

152 152 155 157 157 160 161 162 162

9

10 Lager

10.1 Rullningslager 10.1.1 Lagertyper

167

168 168 XI

INNEHÅLL

10.1.2 Belastningsfördelning 10.1.3 Livslängd 10.1.4 Friktion och hastigheter 10.1.5 Andra typer av rullningslager 10.1.6 Beräkningsexempel 10.2 Glidlager 10.2.1 Lagertyper 10.2.2 Enkla osmorda glidlager 10.2.3 Enkla smorda glidlager 10.2.4 Ledlager 10.2.5 Fullfilmssmorda lager 10.2.6 Hydrostatiska lager 10.2.7 Räkneexempel 10.3 Jämförelse mellan lagertyper 10.4 Litteratur 10.5 Övningsexempel 11 Svänghjul

11.1 11.2 11.3 11.4

Inledande teori Tillämpning som svängningsdämpare Tillämpning för energilagring Litteratur

172 176 178 179 181 184 184 184 185 187 188 198 202 204 205 206 211

212 214 215 216

IV TRANSMISSIONER

217

12 Transmissioner, allmänt

219

12.1 Klassificering, typindelning 12.2 Allmänna egenskaper 12.3 Andra egenskaper av betydelse 13 Axelkopplingar

13.1 Fasta kopplingar 13.1.1 Stela kopplingar 13.1.2 Kopplingar för små vinkelfel 13.1.3 Kopplingar för stora vinkelavvikelser 13.1.4 Kopplingar för stora excentriciteter 13.1.5 Elastiska kopplingar 13.2 Lösbara kopplingar 13.2.1 Manövrerbara kopplingar 13.2.2 Frigångskopplingar 13.2.3 Momentbegränsande kopplingar 13.2.4 Centrifugalkopplingar 13.2.5 Andra kopplingar XII

219 220 221 223

224 224 226 229 235 237 239 239 243 247 247 249

INNEHÅLL

13.3 Litteratur 13.4 Övningsexempel 14 Bromsar

14.1 Bandbromsar 14.2 Backbromsar 14.2.1 Inledning 14.2.2 Analys 14.2.3 Invändig back med känt momentancentrum 14.2.4 Utvändig backbroms utan känt momentancentrum 14.3 Skivbromsar 14.4 Koniska bromsar 14.5 Temperaturutveckling i bromsar 14.6 Jämförelse mellan bromstyper 14.7 Andra sätt att bromsa 14.8 Litteratur 14.9 Övningsexempel 15 Remväxlar

15.1 Grundläggande teori 15.1.1 Remväxelns geometri 15.1.2 Krafter, moment, effekter 15.1.3 Slirning och verkningsgrad 15.2 Remspänningsmetoder 15.2.1 Konstant axelavstånd 15.2.2 Konstant axelbelastning 15.2.3 Spännrulle 15.2.4 Självspännande 15.3 Remtyper 15.3.1 Planremmar 15.3.2 Kilremmar 15.3.3 Andra remtyper 15.4 Litteratur 15.5 Övningsexempel 16 Kuggväxlar. Grunder

16.1 16.2 16.3 16.4 16.5

Allmän kontaktgeometri Evolventen Olika typer av kuggväxlar Val av kuggtal Smörjning och förluster

251 252 257

258 259 259 261 262 266 268 271 272 274 275 276 276 283

284 284 285 287 289 289 291 292 294 295 295 296 298 301 301 309

309 312 314 316 316

XIII

INNEHÅLL

17 Kuggväxlar med parallella axlar

17.1 Utvändig rakkugg 17.1.1 Grundläggande begrepp 17.1.2 Referensprofil och kugghjulsgenerering 17.1.3 Kugghjul med profilförskjutning 17.1.4 Evolventfotpunkt och underskärning 17.1.5 Samarbete mellan två kugghjul 17.1.6 Kuggväxel med profilförskjutning 17.1.7 Ingreppssträcka och singelingreppspunkter 17.1.8 Kuggtillverkning 17.1.9 Kuggkrafter 17.1.10 Kugghållfasthet 17.2 Invändig rakkugg 17.2.1 Geometri 17.2.2 Tillverkning och hållfasthet 17.2.3 Speciella problem 17.3 Utvändig snedkugg 17.3.1 Geometri 17.3.2 Ingreppsplan 17.3.3 Krafter 17.4 Litteratur 17.5 Övningsexempel 18 Kuggväxlar med skärande och korsande axlar

18.1 Koniska växlar 18.1.1 Geometri 18.1.2 Kuggkrafter och hållfasthet 18.2 Snäckväxlar 18.2.1 Geometri 18.2.2 Krafter och verkningsgrad 18.3 Hypoidväxlar 18.4 Skruvhjulsväxlar 18.5 Litteratur 18.6 Övningsexempel 19 Planetväxlar

19.1 Allmänt 19.1.1 Trehjuls planetväxel 19.1.2 Olika typer av planetväxlar 19.1.3 Hastighetssamband 19.1.4 Moment och effekter

XIV

319

319 319 321 323 325 328 329 333 334 336 337 341 341 343 343 344 344 346 348 349 350 357

357 357 360 361 361 364 367 367 368 369 371

372 372 373 377 379

INNEHÅLL

19.2 Exempel på planetväxlar 19.2.1 Överväxel på personbil 19.2.2 Differential 19.2.3 Navväxel på cykel 19.2.4 Planetväxel med stor utväxling 19.3 Litteratur 19.4 Övningsexempel 20 Växellådor

20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6

Traditionell bilväxellåda Automatisk växellåda Moderna manuella växellådor Modern automatlåda Manuell lastbilsväxellåda Drivaxlar

21 Variatorer

21.1 Rullningsvariatorer 21.2 Remvariatorer 22 Kedjor och kuggremmar

22.1 Kedjor 22.2 Kuggremmar

V ÖVNINGAR 23 Klurigheter

1 Stor utväxling 2 Glapp i kuggväxel 3 Glappfri bandväxel 4 Bakvänd bandbroms 5 Självhämmande gångjärn 6 Bilkörning 7 Differential 8 Rakkugg på backväxel 9 Kamaxeldrift 10 Styrväxel 11 Transmissioner med korsande axlar 12 Manuell växellåda 13 Planetväxel 14 Energilagring 15 Skotvinsch 16 Cykelväxel baklänges

381 381 382 383 385 387 388 393

394 396 397 401 405 409 411

412 414 417

418 420

423 425

425 425 425 426 427 427 428 428 428 428 428 428 429 429 429 431 XV

INNEHÅLL

17 18 19 20 21 22 23 24

Spännrulle Länkarmskoppling 1 Länkarmskoppling 2 Järnvägslagring Cykelpedaler Värmekapacitet Hästbindning Fjädrande hjul

24 Konstruktionsbedömningar

24.1 24.2 24.3 24.4 24.5

Ugnståg Avstängningsklaffar Lyftmaskineri i travers Kulkvarn Verktyg

25 Lösningar och svar

25.1 Lösningar 25.1.1 Kapitel 5 Lösbara förband 25.1.2 Kapitel 7 Fjädrar 25.1.3 Kapitel 8 Axelförband 25.1.4 Kapitel 9 Tätningar 25.1.5 Kapitel 10 Lager 25.1.6 Kapitel 13 Axelkopplingar 25.1.7 Kapitel 14 Bromsar 25.1.8 Kapitel 15 Remväxlar 25.1.9 Kapitel 17 Kuggväxlar med parallella axlar 25.1.10 Kapitel 18 Kuggväxlar med skärande eller korsande axlar 25.1.11 Kapitel 19 Planetväxlar 25.2 Svar på ej lösta exempel

431 431 431 431 432 432 432 432 433

434 436 439 444 448 453

453 453 465 471 479 486 499 503 511 521 532 537 543

26 Ordförklaringar

545

Sakregister

549

Personregister

552

XVI

1.

I

INLEDNING, ALLMÄNT 1 Beteckningar 2 Allmänna konstruktions- och dimensioneringsprinciper 3 Tribologi 4 Material och hållfasthet

1

1.

Ämnet maskinelement är inte något eget eller entydigt vetenskapsområde. Det bygger på flera andra såsom: mekanik, hållfasthetslära, termodynamik, värmeöverföring, materialteknik, tribologi, tillverkningsteknik, kemi (t.ex. korrosionslära) och fysik (t.ex. elektromagnetism). Till maskinelement räknar man ibland också sådant som ritteknik, toleranser och passningar. Vidare kan man betrakta maskinelement som en underavdelning till ämnet konstruktionsteknik.

I denna bok ska vi huvudsakligen utgå från att de allmänna grunderna inhämtas i sina respektive ämnen. Det som återstår är då att på bästa sätt använda kunskaper från de olika disciplinerna för att nå resultat. Detta kan vara krävande nog.

Det är också på sin plats att erinra om att i sin tillämpade form är maskinelement bara delvis en vetenskap. Erfarenheter från verkligheten spelar i själva verket en dominerande roll. Inom läkekonsten gäller att behandlingen av patienter ska grundas på vetenskap och beprövad erfarenhet. Denna inställning är lika befogad här.

I denna inledande del ges först en översikt över de beteckningar som används, kapitel 1. Därefter behandlas i kapitel 2 allmänna konstruktions- och dimensioneringsprinciper med synpunkter på vilka överväganden som behövs för att konstruera och analysera maskiner. Dessa sprider sig över ett brett fält av vetenskaper och empiriska rön. Därefter tas ämnet tribologi upp i kapitel 3. Det kan sägas vara en av maskinelementens grundvetenskaper och som sällan behandlas på andra ställen. Sedan följer kapitel 4 om material och hållfasthetslära. Detta är självfallet utomordentligt viktigt för maskinbyggaren. Men tanken är att grundläggande kunskaper finns förut och att vad som behövs är en översikt av vad som är viktigt. Dessutom ges ett par avsnitt som är speciellt viktiga i maskinelement och som ofta saknas i den vanliga undervisningen.

2

KAPITEL 1

1. BETECKNINGAR

Beteckningar

Här anges de beteckningar som är genomgående i hela boken. Avvikelser kan förekomma i de olika kapitlen. En del beteckningar har olika betydelser i olika kapitel.

För dem som då avviker från det normala har kapiteltillhörighet angetts. Beteckningar som endast förekommer lokalt är normalt inte medtagna här.

Inom en del områden finns väl överenskomna beteckningar, som ibland nästan har fått karaktären av standard. Det gäller t.ex. för kugghjul och rullningslager. Detta har i så fall nästan alltid följts. I den mån officiell standard finns har beteckningarna följt denna.

TABELL 1.1

Beteckningar

Beteckning

Betydelse

Enhet

b

bredd

m

c

värmekapacitet

J/(kgK)

d

diameter

m

e

excentricitet

m

g

ingreppssträcka

m

h

höjd

m

filmtjocklek

m

j

kugg-glapp

m

k

fjäderkonstant

N/m

l

längd

m

m

massa

kg

modul

m

Kapitel

10

17

3, 9, 10

17, 18

3

1. BETECKNINGAR

Beteckning

Betydelse

Enhet

n

antal

-

varvtal1

r/min ( rpm)2

tryck

Pa

kuggdelning

m

q

volymflöde per breddenhet

m2/s

r

radie

m

t

tid

s

u

hastighet (i x-led)

m/s

förskjutning

m

utväxling

-

v

hastighet (i y-led)

m/s

w

hastighet (i z-led)

m/s

x, y, z

koordinater

m

z

antal kuggar

-

A

area

m2

D

diameter

m

E

elasticitetsmodul

Pa

F

(friktions)kraft

N

G

skjuvmodul

Pa

I

yttröghetsmoment

m4

J

masströghetsmoment

kgm2

K

vridstyvhet

m4

L

längd

m

livslängd

milj. varv

moment

Nm

p

M

1 2

4

Kapitel

17, 18

3, 9, 10

16, 17, 18

16, 17, 18 ,19

10

I stället för varvtal bör man egentligen kalla det varvfrekvens, men här har den normala ingenjörsnomenklaturen följts. rpm är engelska och betyder ”revolutions per minute”. Denna sort är mycket vanlig även i svenska texter.

1. BETECKNINGAR

Beteckning

Betydelse

Enhet

N

(normal)kraft

N

O

origo

P

effekt

W

last, ekvivalent last

N

Q

volymflöde

m3/s

R

radie

m

T

temperatur

K

kinetisk energi

J, Nm

energi

J, Nm

hastighet

m/s

V

volym

m3

W

energi

J

U

Kapitel

3, 10

11

3,10

De grekiska bokstäverna ser något olika ut i text och på figurer. Detta kan möjligen leda till någon förlägenhet och därför ges här båda varianterna.

Beteckning

Text

Bild

α

α

β

β

Betydelse

Enhet

Kapitel

vinkel

rad eller °

ingreppsvinkel

rad eller °

längdutvidgningkoefficient

-

vinkel

rad eller °

spec. snedvinkel

rad eller °

17,18 5, 18

17, 18

γ

γ

stigningsvinkel

rad eller °

δ

δ

deformation

m

ε

ε

töjning

-

relativ excentricitet

-

10

viskositet

Pas, Ns/m2

3,9, 10

”halva kilvinkeln”

rad eller °

15

η θ

η

θ

verkningsgrad

5

1. BETECKNINGAR

Beteckning

Betydelse

Enhet

λ

λ

värmeledningsförmåga

W/(mK)

μ

μ

friktionstal

-

ν

ν

Poissons konstant

-

ξ, η, ζ

ξ, η, ζ

lokalt koordinatsystem

m

π

π

pi

ρ

ρ

densitet

kg/m3

σ

σ

(drag)spänning

Pa

τ

τ

(skjuv)spänning

Pa

φ

φ

vinkel

ω

ω

vibrationsfrekvens

rad/s

Ω

Ω

rotationsfrekvens

rad/s

Kapitel

Litteraturanvisningar finns i slutet på varje kapitel. De betecknas [x,y] med x som kapitelnummer och y som nummer inom kapitlet.

Den litteratur som hänför sig till hela boken, dvs. handböcker och läroböcker i ämnet, är samlade i slutet av kapitel 2.

I bilderna används normalt förekommande linjekaraktärer. För pilar av olika slag tillämpas:

-ÍTT OCH HËNVISNINGSPILAR

+RAFTER OCH HASTIGHETER

6OLYMFLÚDEN

-OMENT OCH ROTATIONSHASTIGHETER

6

KAPITEL 2

Allmänna konstruktions- och dimensioneringsprinciper

2.1 Skademekanismer Med skador menar vi här sådana som är så stora att fortsatt drift inte är möjlig. Maskinen får skrotas eller genomgå en stor reparation. Det kan naturligtvis finnas många olika anledningar till detta, men de tre vanligaste är: • Brott, dvs. maskinen har ”gått sönder”. Brottet kan bero på att maskinen blivit utsatt för en belastning som är större än den tål så att brott uppstår, eller att deformationerna blir så stora att den inte längre fungerar. Men det vanligaste brottet är utmattningsbrott som är resultatet av många upprepade belastningsväxlingar.

I vetenskaplig mening handlar detta om hållfasthetslära. Ett brott i en maskin är naturligtvis ofta förenat med risker för personskada. Vad som gör problemet ytterligare svårt är att brottet ofta sker helt utan föregående (tydlig) varning.

• Nötning. Praktiskt taget alla maskiner utsätts för nötning, som gradvis försämrar funktionen och som ofta leder till att fortsatt drift är omöjlig eller oekonomisk.

Vetenskapen tribologi (kapitel 3) handlar om bl.a. nötning.

• Korrosion. Den vanligaste formen av detta är rost, som alla konstruktioner av järn/ stål utsätts för. Även andra metaller korroderar. Resultatet är försämrad funktion och kanske brott när alltför mycket rostat bort. Att bilars livstid ofta begränsas av rost har de flesta människor upplevt. Vi behandlar inte detta ämne vidare i denna bok utan hänvisar till vetenskapen kemi. Utöver korrosion sker ofta en kemisk nedbrytning av material, speciellt gäller detta plaster.

Om dessa skademekanismer kunde behärskas fullständigt skulle våra maskiners livslängd och ekonomi förbättras oerhört mycket.

7

2. ALLMÄNNA KONSTRUKTIONS- OCH DIMENSIONERINGSPRINCIPER

2.2 Funktionsstörningar Bortsett från de ultimata skadorna enligt sektion 2.1 så sker oftast innan dess förändringar som ger en gradvis försämring av maskinens funktion. För att kunna bedöma detta behöver man ha ett referenstillstånd att jämföra med. Det kan vara en teoretiskt perfekt maskin, men kanske oftare och mera realistiskt, en maskin som ligger helt inom föreskrivna värden när det gäller mått och material. Det finns många typer av störningar: • Nedsatta prestanda. En motor som blivit sliten får en lägre effekt. En sliten broms ger inte tillräcklig bromskraft.

• Försämrad precision. En slipmaskin som har nötts har en sämre löpnoggrannhet och därmed kan den inte längre åstadkomma den precision som behövs.

• Ökade vibrationer och oljud. En kuggväxel ökar med tiden sin ljudnivå när kuggarna inte längre har den rätta formen. Samma sak gäller ett kullager.

• Försämrad verkningsgrad. Framför allt i turbomaskiner ökar med tiden spelen i diverse tätningar vilket leder till större oönskat läckage. Förslitna skovlar har liknande effekt.

• Oönskat läckage. När tätningarna på en maskinaxel har försämrats kommer smörjoljeläckaget att öka. Det ger behov av mera underhåll (rengöring) eller kan orsaka hygieniska problem.

• Försämrad/förstörd isolering av elektriska kablar. Det sker genom vibrationer och nötning och kan t.ex. göra att en generator eller motor inte längre fungerar eller att signaler inte går fram.

Det finns naturligtvis fler typer av funktionsnedsättningar. Ett gemensamt drag för nästan alla är att de inte kommer plötsligt utan utvecklas gradvis. Detta gör det möjligt hålla dem under uppsikt för att vidta justerande åtgärder i tid, eller kanske för att undvika ett större, farligt haveri.

Begreppet tillståndsövervakning handlar om hur man genom att göra kontinuerliga mätningar kan följa en maskins förändringar. Det vanligaste är att mäta vibrationer eller oljud, som ofta signalerar en begynnande skada. Erfarna serviceingenjörer är väl medvetna om detta och kan ofta enbart med sin hörsel konstatera att allt inte står rätt till. En primitiv men fortfarande mycket använd metod är att med en ”ljudpinne” (av trä) lyssna på ett kullager för att få en uppfattning om dess kondition1. Andra vanliga övervakningsvariabler är temperatur, tryck, läckage och slitagepartiklar.

1

8

Förr i tiden hände det att en ångturbins vibrationer kontrollerades genom att den ansvarige montören tog av sig strumporna och gick barfota ovanpå turbinen. De kittlingar han kände upplyste om turbinens tillstånd.

2. ALLMÄNNA KONSTRUKTIONS- OCH DIMENSIONERINGSPRINCIPER

2.3 Dimensioneringskriterier När man ska dimensionera en maskin eller en del av den, dvs. bestämma dess former, mått och material, ska det naturligtvis göras för att undvika de konsekvenser som beskrivits i sektionerna 2.1 och 2.2 och för att få en god funktion i referenstillståndet. Att dimensionera har ofta likställts med hållfasthetsdimensionering och det är ju självklart ett primärt krav att maskinen ska hålla. Men dimensionering innefattar mycket mer och ofta är det andra krav som blir utslagsgivande.

De vanligaste bedömningarna gäller: • Hållfasthet. Först måste den statiska hållfastheten vara fullgod, t.ex. sådan att utvecklade spänningar ligger väl under sträck- eller brottgräns. Men det är vanligen utmattningshållfastheten2 som är avgörande. Den kan indelas i HCF (High Cycle Fatigue, ”vanlig utmattning”), och LCF (Low Cycle Fatigue, töjningsutmattning).

HCF handlar om många cykler, oftast många miljoner. Den vanliga definitionen är att man har HCF om antalet cykler överskrider 106. Ofta refererar cyklerna till en axels rotation. Typiska exempel finns t.ex. i en jetmotor: skovlarnas vibrationer räknas upp till 109 cykler, dvs. HCF, medan varje start ger en belastningsväxling från kall till varm motor. Antalet starter håller sig till området 1 000 – 10 000 starter och faller under LCF3.

• Deformationer. Även om spänningarna är ofarliga ur hållfasthetssynpunkt är ofta deformationer, elastiska eller kvarvarande, ett dominerande problem.

• Vibrationer. I alla maskiner förekommer vibrationer, ofta orsakade av roterande delar. Vibrationerna åstadkommer problem på flera olika sätt: Maskinen själv kan skadas, kanske t.o.m. haverera.

Kringliggande delar påverkas, kanske skadas, av vibrationerna.

Nedsatta prestanda, t.ex. försämrad precision.

Oljud är en ofrånkomlig följd av vibrationer.

Människan skadas av vibrationer. (”Vita händer” orsakade av motorsågsvibrationer är ett välkänt fall.)

• Temperatur. Många maskiner blir varma antingen därför att de själva alstrar värme (t.ex. bromsar) eller därför att de utsätts för värme (t.ex. gasturbiner). I en del fall, ehuru betydligt ovanligare, är låga temperaturer besvärande. Temperaturerna i sin tur orsakar: 2

Fenomenet utmattning upptäcktes först för järnvägsaxlar. Ett antal axlar brast efter en tillräckligt lång tids drift trots att påkänningarna på dem hade bedömts som acceptabla. Den analys som gjordes i samband med detta bildade grunden för det begrepp som idag går under namnet utmattning.

3

Man kan demonstrera LCF genom att böja ett vanligt (metall-)gem fram och tillbaka. Efter cirka 10 sådana manövrer brukar gemet brista.

9

2. ALLMÄNNA KONSTRUKTIONS- OCH DIMENSIONERINGSPRINCIPER

• •

•

• •

•

Påkänningar, ofta kallade termospänningar Deformationer, som kanske äventyrar precisionen Förändrade materialegenskaper. Alla material får försämrade hållfasthetsegenskaper vid högre temperaturer. För stål blir detta ett problem först efter några hundra grader, för andra metaller såsom aluminium sker det betydligt tidigare. Plaster påverkas ännu tidigare. Vid låga temperaturer blir många material spröda. För smörjoljor ger högre temperatur alltid lägre viskositet och därav följande sämre smörjning. Vid låga temperaturer kan i stället oljan bli så trögflytande att det blir svårt att pumpa den genom rör.

Precisionskrav, mycket påtagligt i verktygsmaskiner och mätapparater. Friktion och glapp är precisionens vanligaste fiender.

Strömningsförhållanden och verkningsgrad. För en turbomaskin är verkningsgraden en mycket viktig egenskap. Den kräver väl avvägda former och små läckage.

Korrosion, nötning, erosion. En oskyddad bilplåt kan rosta ganska fort så att hål uppstår. Nötning och erosion kan öka glapp i maskiner. Alla kan också samverka till att sänka elementets hållfasthet.

Tillverkningsegenskaper. Det är meningslöst att utforma en maskin till något slags idealform om det inte går eller blir för dyrt att tillverka den. Ibland är dessa problem dominerande, nästan alltid måste de beaktas. Ibland går det inte alls att diskutera formerna för en maskindel utan att beakta hur den tillverkas. Detta gäller t.ex. kugghjul, kapitel 17 och 18.

Ergonomi. Det blir idag allt viktigare att en maskin ska passa sin användare för att inte ge olämpliga belastningar eller tvinga till olämpliga rörelser.

Miljö och återvinning. I dag är det självklart att detta måste beaktas. Det är också viktigt att tänka på att huvuddelen av de miljöproblem som våra maskiner åstadkommer inte härstammar från tillvekningen av dem utan från deras användning. Då är det konstruktionen som avgör t.ex. hur mycket energi som förbrukas eller vilka utsläpp den ger.

Utseende. Detta gäller inte bara konstföremål. Ett tilltalande utseende är i själva verket viktigt även för rent tekniska komponenter. Ämnet industriell design handlar om detta, jämte många andra aspekter på en produkt. Dessutom vet varje konstruktör att ett tilltalande utseende ofta också innebär en funktionellt bra produkt.

För de flesta element är det en kombination av kriterier som till sist blir avgörande för vilka dimensioner som ska väljas. Självfallet är det också så att de olika kraven ofta är motstridiga. Dessutom tillkommer naturligtvis synpunkter på elementets kostnad.

Bedömningen av dessa faktorer kan ibland uppskattas med god precision genom teoretiska resonemang men för det mesta måste också erfarenheter vägas in. Inte sällan är det enbart erfarenheter som gäller.

10

2. ALLMÄNNA KONSTRUKTIONS- OCH DIMENSIONERINGSPRINCIPER

Under tidens gång skiftar naturligtvis också betydelsen av de olika aspekterna på dimensionering. En allmän teknisk utveckling går mot större maskiner, högre hastigheter, större precisionskrav och effektivare energianvändning. I dag är kraven på anpassning till människan och miljön betydligt viktigare än de varit förut. Det gör att oljud, vibrationer, ergonomi, effektförbrukning och utseende får ökad betydelse.

För att öka säkerheten i ett system eller en maskin tillgriper man redundans4. Det betyder att man har flera element eller flera olika funktioner för att klara en viss uppgift, t.ex. att bära en last. ”Både hängslen och livrem” är en modern metafor för redundans.

Man har fler skruvar än som egentligen behövs, fler hjul på lastbilen än de fyra som egentligen skulle räcka, dubbla skrov på en båt, flera lager rostskydd o.s.v. Vi har två njurar fast en av dem är fullt tillräckligt för att ge den reningsfunktion som behövs. En tusenfoting är uppenbarligen en krabat med riklig redundans.

Ibland kombineras redundansen med att man får en varning om den ena komponenten fallerar. Bromssystemet på en bil har två (eller flera) kretsar. Om en av dem skadas är bromsfunktionen fortfarande fullgod, men man får en signal som påminner om att service behövs.

2.4 Instabilitet Instabilitet innebär, ungefärligt uttryckt, att en maskin, då någon parameterkombination överskrider ett visst värde, uppträder på ett helt nytt sätt. I olyckliga fall kan detta få katastrofala följder. Ibland kan instabilitet hänföras till ett enskilt element, men ofta måste man studera ett större system, t.ex. både rotorn och dess lager.

Vid en instabilitetsanalys gör man ofta antaganden om linearitet och bygger också på andra förenklande förutsättningar. Det resulterar ofta i att det blir en skarp gräns för instabiliteten så att inget händer förrän en instabilitetsgräns överskrids. Då händer något abrupt som helt ändrar maskinens beteende. Verkligheten är som alltid mera nyanserad.

2.4.1 Statisk instabilitet Den vanligaste statiska instabiliteten är knäckning, vilket innebär att en balk böjer ut till ett obestämt värde, då den axiella belastningen på den överskrider en viss knäcklast5.

4

Redundans betyder överflödighet, mer än som behövs. Begreppet är mycket vanligt inom informationstekniken där det tjänar till att säkerställa full information även om en del gått förlorad. Kontrollsiffran sist i kontonummer eller personnummer är ett enkelt exempel. På en cd har man redundans så att musiken blir riktig även om cd:n blivit skadad.

Vanligt språk har mycket redundans.

5

En intressant idé för tillämpning av knäckbeteendet har varit att på det sättet styra en säkerhetsventil till att öppna vid ett visst tryck.

11

2. ALLMÄNNA KONSTRUKTIONS- OCH DIMENSIONERINGSPRINCIPER

Vid ökad belastning kollapsar balken. Eulers6 fyra knäckfall är välkända. Ett utmärkande drag (i teorin) är att vid belastning lägre än knäcklasten händer ingenting av denna sort. I verkligheten är det något annorlunda. Eftersom en balk aldrig är exakt rak och eftersom lasten aldrig är placerad exakt centralt på balken, vilket är förutsättningen för den Eulerska knäckteorin, så kommer utböjningarna att öka även innan knäcklasten uppnåtts och ökar mycket snabbt när knäcklasten närmas. I det ideala fallet får man alltså ingen förvarning om vad som kan hända, men i verkligheten så märks den hotande knäcksituationen i förväg.

Andra likartade instabiliteter finns. För skalkonstruktioner talar man om buckling.

Exempelvis kommer ett sfäriskt skal under yttre övertryck att vid ett visst tryck skrynkla ihop sig enligt en viss form. Ett cylindriskt skal, t.ex. en ölburk, under axiell belastning kan likaledes deformeras enligt ett visst mönster.

Det finns många andra fall av statisk instabilitet. Ett sådant är vridknäckning, även kallat vippning, som är en kombination av böjning och vridning. Sandöbrons kollaps den 31 augusti 1939 med 18 omkomna som följd var ett exempel på detta.

Statisk instabilitet är ett relativt sällan förekommande problem för maskiner. Det är betydligt vanligare i byggnadskonstruktioner.

2.4.2 Dynamisk instabilitet Detta är ett vanligare problem i maskiner. Många sådana problem finns för rotorer. Det mest välkända är instabilitet orsakad av glidlager. Det kallas ibland ”oil whip” och yttrar sig så att rotorn vibrerar med en frekvens som är lägre än halva rotationsfrekvensen7.

Det är ett viktigt problem t.ex. för ångturbiner.

Många typer av dynamisk instabilitet har strömningstekniska grunder. De finns ibland som vardagliga upplevelse, utan att vara katastrofala. De flesta har hört hur det sjunger från riggen på en segelbåt. Grunden till detta är s.k. Karmanvirvlar8. Alla blåsinstrument fungerar på grund av instabilitet i luften som passerar flöjten, klarinetten… Även mänsklig sång är ett instabilitetsfenomen. All dynamisk instabilitet är alltså inte av ondo.

Ett dramatiskt fenomen är vingfladder hos flygplan, som kombinerar aerodynamiska krafter på vingarna med vingens elastiska egenskaper. Innan beräkningstekniken blev tillräckligt bra var det ett av de mest fruktade fenomenen vid provflygning av ett

6

Leonard Euler, 1707–83, föddes i Schweiz men var verksam på flera olika platser. Han var en av 1700-talets mest framstående matematiker men gjorde också stora insatser inom olika grenar av fysiken, främst inom hydromekaniken.

7

De vanligaste vibrationerna hos rotorer orsakas av obalanser och uppträder med samma frekvens som rotationen.

8 Theodore von Kármán 1881–1963 föddes i Budapest och var under större delen av sitt liv verksam i Aachen. Han är en av de stora inom ämnet aerodynamik.

12

2. ALLMÄNNA KONSTRUKTIONS- OCH DIMENSIONERINGSPRINCIPER

nytt flygplan. Det hände ibland att testpiloten fick en brutal landning med ett vinglöst flygplan. Ett besläktat och välkänt fall är Tacomabrons9 kollaps 1940, där bron efter våldsamma svängningar brast och störtade ner. När man spänner ett grässtrå i händerna och får det att ljuda genom att blåsa på det är det en Tacomabro i miniatyr.

Ett annat dramatiskt fall är en koppling mellan torsionssvängningar10 i en turbogenerator och svängningar i tillhörande elektriska kraftnät. Vid ett par tillfällen har det hänt att en generatoraxel, med en diameter av storleksordningen 500 mm, har vridits av.

Dynamiska instabilitetsfenomen är oftast tämligen krävande övningar i teoretisk/ matematisk mening.

2.4.3 Temperaturinstabilitet Många maskiner blir varma under drift och ofta är det temperaturer som sätter gränsen för maskinens prestanda. Ett fenomen som då kan uppträda är termisk instabilitet, som innebär att temperaturen stiger på ett okontrollerat sätt, kanske med haveri som följd.

Ett enkelt fall är då en axel roterar i en bussning med smörjmedel närvarande, se figur 2.4-1. Bussningen sitter i ett lagerhus eller liknande.

Smörjmedel Axel A

Bussning FIGUR 2.4-1

Axel i lager.

Under rotationen utvecklas värme som måste transporteras bort. Om vi bortser från den del som förs bort genom ett cirkulerande smörjmedel så måste värmet tas bort genom värmeledning. Det är då nästan alltid så att axeln har sämre bortledningsförmåga än det stillastående lagret. Det gör att axeln blir varmare. Då kommer den att utvidgas mer och spelet mellan axel och bussning minskar. Detta ökar i sin tur förlustenergin och temperaturen stiger än mer. I ett olyckligt fall kan det då hända att detta leder till ett fall med ständigt varmare axel ända tills spelet är helt uppätet. Då skär axel och bussning ihop och haveriet är ett faktum.

9 Tacoma Narrows ligger strax söder om Seattle i nordvästra USA. Händelsen filmades av en påpasslig fotograf och har ofta visats på TV. 10 Torsionssvängningar kan också kallas vridsvängningar. Oron i ett mekaniskt urverk är en bra illustration till torsionssvängningar.

13

2. ALLMÄNNA KONSTRUKTIONS- OCH DIMENSIONERINGSPRINCIPER

2.4.4 Självlåsning Självlåsning, ofta kallad självhämning, kanske oftast inte betraktas som ett instabilitetsfenomen, men det har liknande karaktär. Det innebär att krafter utvecklas på ett sätt som gör att maskinen fastnar eller låser sig. Ett vardagligt problem i denna kategori är byrålådseffekten, som alla säkert har upplevt. En analys av detta görs här, se fig. 2.4-2.

.

& &

-

B

.

L L &

FIGUR 2.4-2

Byrålådseffekt.

Lådan påverkas av en utdragskraft, F, som verkar på avståndet l1. Vid hörnen får man normalkrafter N1 och N2 vilka åtföljs av friktionskrafterna F1 och F2. Vi antar samma friktionstal på båda ställena. Dessutom antar vi att ett moment, M, påverkar.

Jämviktsekvationerna blir (den tredje en momentekvation): N 2 N1 = 0 F1 F2 − F = 0 Fl1 + N1b − F1l − M = 0 Friktionskrafterna ges av F1 F2

N1 N2

Ur dessa ekvationer får vi F=

b

2μ M μ (l − l

)

Av detta ser vi att så länge μ < b / ( − ) är resultatet inget anmärkningsvärt. Men om motsatsen gäller så blir F < 0 , vilket verkar märkligt. En riktigare tolkning av resultatet är att vi måste byta tecken på momentet, m, för att det ska bli möjligt att dra ut lådan. Om vi bara drar med kraften F så fastnar lådan. Vi har här funnit en gräns för självlåsning.

14

2. ALLMÄNNA KONSTRUKTIONS- OCH DIMENSIONERINGSPRINCIPER

Självlåsning är oftast, som i byrålådefallet, en balans mellan normalkrafter och friktionskrafter. Det mest typiska exemplet på möjlig självlåsning finner vi hos bromsar, se kapitel 14. Om bromsarna på en bil vore självhämmande skulle det betyda att hjulen låste sig så fort man trampade på bromsen. Det vore naturligtvis oacceptabelt.

2.5 Form- och kraftbetingad funktion I många tillämpningar kommer vi att beskriva en funktion som kraftbetingad eller formbetingad. Betydelsen av dessa benämningar är ganska enkel. I en formbetingad mekanism är det formen på de ingående elementen som bestämmer funktionen. Det betyder att så länge formen är intakt, så kommer funktionen att upprätthållas. Ett typiskt exempel är kuggväxlar, kapitel 16, 17 och 18: så länge kuggarna är hela måste överföringen från en axel till en annan bli sådan som kuggeometrin föreskriver. Begränsningen sätts av att vid för stora krafter kommer kuggarna att brista, och sedan kan vi inte längre avgöra vad som händer.

I en kraftbetingad situation är det andra krafter, t.ex. friktions eller strömningskrafter som överför rörelsen. Det betyder att överföringen inte är geometrisk bestämd utan man kan ha avvikelser från den ideala. Ett typiskt exempel är remväxlar, där överföringen i stort sett är bestämd av radierna på remskivorna, men där det också förkommer ett visst belopp av glidning som gör att utväxlingen inte blir alldeles exakt. Dessutom finns det en övre gräns för överförbart moment som bestäms av friktionskrafternas storlek. Det betyder att friktionstalet är av avgörande betydelse. I en hydraulisk koppling, se figur 13.2-14, har vi alltid ett visst mått av eftersläpning (slip) och hastigheterna på in- och utgående axlar avgör vilket moment som överförs.

En broms är en annan maskin som arbetar kraftbetingat. Man kan ju emellertid också bromsa på annat sätt: man kan ”sätta en käpp i hjulet”. Att detta oftast är olämpligt behöver väl knappast betonas. Däremot kan man ju tänka sig att parkeringsbromsen på en bil skulle kunna vara formbetingad. Spärrhakar, se figur 13.2-7, som är vanliga i enklare hiss- och dragmekanismer, kan betraktas som formbetingade bromsar.

Vi kan tillämpa resonemanget på ett skruv- eller nitförband. Om man ska överföra sidokrafter i ett sådant så kan det ske antingen genom att de friktionskrafter som bildas i förbindelsen mellan ytorna tar upp pålagda krafter, eller genom att skruvens (nitens) skjuvning tar upp kraften. Fig. 2.5-1 visar. I den vänstra delen är det friktionskrafterna, åstadkomna genom dragkraften i skruven (niten), som tar upp krafterna.

I den högra delen har vi direktkontakt med skruven (niten) och dess skjuvhållfasthet avgör kraftupptagningsförmågan.

15

2. ALLMÄNNA KONSTRUKTIONS- OCH DIMENSIONERINGSPRINCIPER

Friktionskrafter mellan plåtar

FIGUR 2.5-1

Skjuvkrafter i skruvskaft

Kraftöverföring i skruvförband. Till vänster kraftbetingad, till höger formbetingad.

Man kan naturligtvis tänka sig att ett sådant förband startar som den vänstra delen (kraftbetingad) men sedan till följd av små rörelser övergår till den högra (formbetingad).

Detta kan också ses som ett exempel på redundans, se sektion 2.3.

I kraftbetingade situationer är det ofta så att det bara går att överföra krafter upp till en bestämd nivå, given t.ex. av tillgänglig friktion. Så är fallet med lamellkopplingar, figur 13.2-3, och oftast med remväxlar, kapitel 15, och bromsar, kapitel 14. I andra fall händer det att den normalkraft, som ger friktionskraften, ökar i takt med pålagd last. Det betyder att även friktionskraften ökar i samma mån och man får ingen gräns för överförbar kraft.

2.6 Verkningsgrad Verkningsgrad är ett vanligt ord i maskinsammanhang. I stort sett talar det om hur stor effekt man får ut ur en maskin dividerat med den effekt man skickat in. I maskinelement är detta relevant framför allt för transmissioner11, kapitel 12 – 22. I verkligheten får man alltid förluster. Men det kan också gälla strömningsmaskiner eller elektriska maskiner där in- och utgående effekter är av olika karaktär: termisk energi in – mekanisk energi ut eller mekanisk energi in - elektrisk energi ut.

Allmänt kan man skriva Put

ηPin

där η kallas verkningsgrad.

Det finns inga ideala maskiner som har verkningsgraden η = 1, utan alla har någon form av förluster12. Det kan röra sig om friktionsförluster (vanligt bland maskinelement),

11 Transmission betyder överföring och i mekaniska sammanhang betyder det att överföra energi eller effekt från ett ställe till ett annat.

12

16

Detta kan ses som ett utslag av termodynamikens andra huvudsats.

2. ALLMÄNNA KONSTRUKTIONS- OCH DIMENSIONERINGSPRINCIPER

strömningsförluster och läckage eller energi överfört till värme genom ohmska förluster i elektriska maskiner.

I mekaniska sammanhang finns det ibland anledning att dela upp förlusten i två delar: som en hastighetsförlust, ηhast, och som en kraftförlust, ηkraft. Den resulterande verkningsgraden är då produkten av dessa båda

ηtot

hast

ηkraft a

Hastighetsförlusten innebär att den utgående axeln inte snurrar så fort som den enligt ett idealt resonemang skulle göra. Kraft- (eller oftast moment-) förlusten betyder att vi inte får ut det moment som idealt borde finnas. Här kommer form- eller kraftbetingandet in: i en formbetingad transmission har vi inga hastighetsförluster utan bara momentförluster. I en kraftbetingad transmission har vi båda. Det kan även hända att momentverkningsgraden är ηkraft > 1 (mycket sällan, men det förekommer), men totalverkningsgraden är alltid ηtot < 1 Även om verkningsgraden i sig själv ibland är av underordnat intresse så innebär de förluster som hör till att det blir varmt. Att ta hand om förluster på ett sätt som inte innebär för höga temperaturer är ofta det viktigaste problemet. För bilars växellådor är detta en väsentlig fråga.

I och med det ökande fokuset på energifrågor bli verkningsgraden allt viktigare.

Motorer med hög verkningsgrad, effektiva transmissioner och metoder att återvinna energi blir mer betydelsefulla. För det enskilda fallet tycks det handla om små värden, men summerat över alla de maskiner som finns så blir det betydelsefullt.

2.7 Analysmetoder 2.7.1 Modellbygge Alla analysmetoder, enkla eller komplexa, betyder att man följer en kedja enligt: verklighet – analysmodell – beräkning – resultat – tolkning – bedömning för verkligheten.

Den mest kritiska och svåraste delen av detta är alltid modellbyggandet. Det innebär att formulera det tekniska systemets fysikaliska skeenden, som kan kläs i matematisk form, och att bedöma vilka effekter som är viktigast att ta med. De moderna analysverktyg som finns i överflöd har inte ändrat detta. Det är snarare så att ju mer avancerade verktyg man har tillgång till desto viktigare är det att göra en vettig modell. Att bedöma resultatet och förstå vad det egentligen innebär är en del av samma tankeprocess. Har man gjort en bra modell och verkligen förstått den, så har man också goda förutsättningar att bedöma resultatet.

17

2. ALLMÄNNA KONSTRUKTIONS- OCH DIMENSIONERINGSPRINCIPER

Modellbygget innebär alltid förenklingar, approximationer. Det innefattar ofta att man lineariserar. Detta är ofta gott nog. Ett av de vanligaste i denna genre är att sätta relationen kraft – deformation som linjär. För vanliga elastiska strukturer av metall är detta oftast alldeles tillräckligt bra. Om det handlar om plast är det kanske något sämre. Ofta sätter man friktionskraft proportionell mot normalkraft (= konstant friktionstal).

Värmeflöden anses proportionella mot temperaturskillnader.

Lineariserandet betyder dels enklare beräkningar och dels att det är möjligt att skala mellan olika storlekar på ett enkelt sätt.

2.7.2 Överslagsberäkningar Att kunna göra enkla överslag är en av de mest genuina ingenjörskonsterna, tyvärr tycks den vara på retur. Den gamla bilden av en ingenjör som någon med en räknesticka i bröstfickan gäller inte längre. Att räknestickan ersätts av en miniräknare gör egentligen ingen skillnad. Att så långt man kan försöka kvantifiera saker borde vara lika viktigt i dag. Trots alla avancerade analysmetoder är det fortfarande ofta viktigt att på ett tidigt stadium kunna bedöma storlekar av olika saker. Dessutom måste man kunna göra rimlighetsbedömningar av resultaten från en avancerad beräkning. Det är lätt att få en övertro på t.ex. en FEM-analys eftersom den ibland ger ett intryck av exakthet. Inte minst i de tidiga stadierna av ett konstruktionsarbete är överslagsberäkningarna viktiga, då man behöver kunna jämföra många olika alternativ och sortera möjliga från omöjliga.

Resultatet av en överslagsberäkning kan ofta sorteras i tre fack: Detta blir inga problem – detta är omöjligt – detta kanske går. I första fallet kan man gå vidare till andra frågeställningar, i andra fallet får man säga stopp och försöka med andra lösningar, i tredje fallet kan man fortsätta med alternativet i fråga, men det kan behövas noggrannare analys.

Konsten att göra överslagsberäkningar är svår att lära ut. Den kan nästan bara förvärvas genom eget arbete och egen erfarenhet. Om man har analyserat många fall får man så småningom en känsla för vad som är viktigt och vad man behöver ta med för att få realistiska resultat. I denna bok kommer vi att demonstrera vad överslagen kan ge. Så småningom förädlas erfarenheterna till intuition, också detta en äkta men svårdefinierad ingenjörsegenskap.

Det är också viktigt att komma ihåg att det är meningslöst att driva beräkningarna till en mycket större precision än vad noggrannheten i ingående storheter orkar med.

Vi använder ofta friktionstal för att analysera maskiner. Men friktionstalet är sällan känt annat än mycket ungefärligt, t.ex. att det ligger mellan 0,2 och 0,4. Att då göra beräkningar, med tresiffrig noggrannhet är tämligen meningslöst.

18

2. ALLMÄNNA KONSTRUKTIONS- OCH DIMENSIONERINGSPRINCIPER

För att över huvud taget kunna göra några beräkningar är det oftast nödvändigt att ha åtminstone en skissartad kunskap om hur maskinen eller maskinelementet ser ut.

Ibland kan man dock basera det hela på ett mer abstrakt resonemang. Energiförhållanden kan t.ex. ofta analyseras utan kunskap om hur ingående systemdelar ser ut.

2.7.3 Indata För att lyckas med en beräkning räcker det inte med en beräkningsmetod – enkel eller avancerad. Man måste också ha indata med tillräcklig noggrannhet. Det gäller parametrar såsom krafter, hastigheter och temperaturer. I en del fall kanske detta är enkelt, man är ganska säker på vad som gäller. Men ofta finns det problem. Det är ofta svårt att uppskatta vilka krafter som finns. Krafterna som verkar på en propeller eller på en bergborr kan vara osäkra inom ett stort område. Ofta är det bara omfattande prov som kan ge svar, och även efter detta finns det ofta osäkerheter t.ex. därför att omgivande förhållanden kan variera mycket. Detta gör naturligtvis att man måste betrakta slutsatserna med viss skepsis. En vanlig attityd är att vara försiktig men inte så försiktig att man fastnar.

2.7.4 Avancerade beräkningar I dag utförs många hållfasthetsanalyser med FEM-teknik (FEM = Finite Element Method). Den började komma fram på 1960-talet och tillhör nu standardverktygen.

Sedan starten har den utvecklats väsentligt, både när det gäller beräkningsförmåga och när det gäller användbarhet. I dag finns effektiva metoder för att direkt från ett CAD-system göra den elementindelning som erfordras. Man kan också hantera olinjära problem som kan komma från materialegenskaper (t.ex. plastiska analyser) eller där systemet har geometriska olinjäriteter (t.ex. kontaktproblem). Själva hållfasthetsanalysen har ofta en alldeles tillräcklig skärpa, men det är ofta svårare att bestämma vilka randvillkor för krafter och deformationer som gäller.

FEM-tekniken är tillämpbar också på många andra grenar. Värmeledningsproblem har länge hört hit. Reynolds ekvation, se sektion 3.3, löses numera ofta på detta sätt.

Inom strömningstekniken använder man CFD (Computational Fluid Dynamics).

2.7.5 Simulering Simulering är en ytterligare mer avancerad form av analys. Vad begreppet innefattar är inte alldeles väldefinierat. Man kan t.ex. mycket väl betrakta FEM som simulering.

Men när man talar om simulering brukar man oftast mena att man med datorteknik

19

2. ALLMÄNNA KONSTRUKTIONS- OCH DIMENSIONERINGSPRINCIPER

försöker efterlikna ett komplicerat fenomen. Ofta rör det sig om problem av blandad art som t.ex. innefattar både mekanik, hydraulik och elektronik (reglerteknik). Med det ökade inslaget av styrteknik i våra maskiner behöver man uppenbart denna typ av verktyg. Man simulerar fordons dynamiska uppträdande, bilkrockar, flygplans uppträdande, tillverkningsprocesser, robotanvändning och avancerade elektro-hydrauliska system.

Simuleringstekniken är idag ett omhuldat ämne. Vad man bl.a. eftersträvar, är att korta ner utvecklingstider genom att slippa dyra och tidsödande prov.

Utan att ifrågasätta simuleringsteknikens betydelse finns det ändå skäl att vara något skeptisk av bl.a. följande skäl: • Det är fortfarande helt avgörande att modelleringsarbetet är tillräckligt bra. Det är snarare ännu viktigare än vid enkla beräkningar.

• Mänskligt beteende, t.ex. föraren i en bil, låter sig inte datasimuleras mer än i mycket primitiv form. För en del fall, t.ex. piloten i ett jaktflygplan, finns det avancerade modeller. Men det mänskliga beteende innefattar mycket mer än reaktioner på vissa stimuli. Det handlar om trötthet, sinnesstämning, glömska, irritation…

• Det finns många problem som är för stora för att kunna simuleras fullständigt. Ett exempel: Det svenska elkraftnätet, som ju vid några tillfällen brutit samman. Det består av tusentals brytare, motorer, transformatorer m.m. samt kraftstationerna.

Tillsammans blir det ett system med så många frihetsgrader att det är tveksamt om datatekniken någonsin kommer att mäkta med det. Men även om så skulle vara fallet kan man aldrig simulera alla de märkliga situationer som kan tänkas uppträda.

Låt oss säga att vi har 1000 brytare. (I verkligheten finns det många fler.) Var och en av dem kan vara till eller från. Kombinationen av alla dessa tillstånd blir 21000, ett tal av storleken 1030. Det kommer aldrig att gå att leta igenom alla dessa för att finna vilka som kan vara farliga. Vi måste alltså hantera dylika problem från andra utgångspunkter. Liknande problem finns i många fler fall. Hur många olika situationer kan en bil utsättas för? Det svenska flygplanet Gripen (JAS), som provflögs första gången i början på 1990-talet, råkade i början av sin tillvaro ut för två krascher som berodde på att det fanns situationer som inte förutsetts.

2.7.6 Dimensioner och dimensionslösa tal Ordet dimension används egentligen i två helt olika betydelser: dels som dimension = mått, vilket vi gjort i föregående delar av detta kapitel, dels som en kombination av grundstorheter för att beskriva en egenskap, t.ex. att tryck har dimensionen Kraft/Längd2. Det är denna senare betydelse som avses i detta avsnitt.

20

2. ALLMÄNNA KONSTRUKTIONS- OCH DIMENSIONERINGSPRINCIPER

När man gör en teoretisk härledning ska man alltid komma till ett resultat som är dimensionsriktigt13. Det är tillrådligt att kontrollera detta, inte bara i slutsvaret utan också under härledningens gång. Det är ett bra sätt att finna fel, även om rätt dimension naturligtvis inte garanterar att det är felfritt.

Ibland kan man komma fram till hur ingående storheter ska kombineras utan att göra en full analys. Låt oss betrakta balkböjning. Det är självklart att den beror på pålagd kraft (F, dim Kr(aft)), balkens längd (l, dim L(ängd)), elasticitetsmodul (E, dim Kr/L2), och tvärsnittsegenskaper. Om vi börjar med det senare så vet vi att böjmotståndet ökar med yttröghetsmomentet, I, (dim L4). Det är självklart att utböjningen ökar med kraften och avtar med elasticitetsmodul och yttröghetsmoment. Att det ökar med längden är ju också självklart, men med vilken potens? Vi skriver alltså

δ = konst . ⋅

Fl p EI

där p är en tills vidare okänd potens. Som dimensioner finner vi L=

Kr ⋅ Lp 2

Kr / L L4

För att detta ska gå ihop måste p = 3 . Det betyder att formeln ovan måste lyda

δ = konst . ⋅

Fl 3 EI

Detta stämmer självklart också med det resultat man får om man härleder deformationen utgående från elastiska linjens ekvation.

Dimensionsanalyser av denna typ kan användas bl.a. då man gör skalförsök och vill översätta resultaten till verkliga förhållanden.

Ofta använder vi dimensionslösa tal. Det är värden som efter multiplikation med någon kombination av dimensionsbehäftade parametrar ger ett resultat. I många fall är detta mycket praktiskt.

I enklaste fall handlar det om att ange geometriska mått baserat på någon viss längd, som skulle kunna kallas referenslängd. Om vi gör en likformig storleksförändring kommer de dimensionslösa längderna att vara oförändrade, men referenslängden gör att alla ökar enligt förstoringsgraden. Det finns många exempel på detta. Alla mått på 13

En avancerad metod för dimensionsanalys ges av Buckinghams π-teorem. Det utsäger: “that the functional dependence between a certain number (e.g.: n) of variables can be reduced by the number (e.g. k) of independent dimensions occurring in those variables to give a set of p = n− k independent, dimensionless numbers. For the purposes of the experimenter, different systems which share the same description by dimensionless numbers are equivalent.”

21

2. ALLMÄNNA KONSTRUKTIONS- OCH DIMENSIONERINGSPRINCIPER

ett kugghjul relateras till kugghjulets modul (se kapitel 17). För ett axelkrympförband (avsnitt 8.2.1) är kvoten mellan inner- och ytterdiameter tjänlig för att ange tryck och deformationer.

Andra fall är lite mer komplexa. Vi återvänder till balkböjningen och betraktar ett enkelt elementarfall, fig. 2.7-1. l a

F b δ

Balkböjning

FIGUR 2.7-1

Enligt formelsamling kan vi skriva

δ=

Fab

(

−

)

−

6lEI E

Här kan vi nu skriva a och b med motsvarande dimensionslösa längder a b

α l β l

och därefter skriva

δ=

Fl 3 αβ ⋅ EI

(

−α

Här är (jämför ovan)

δ =

αβ

(

−α

β

6

) = δ Fl

3

EI

Fl 3 den parameterkombination som ger rätt dimension och EI

β

)

6

är den dimensionslösa nedböjningen.

Detta kan vi nu använda för alla balkar som i princip belastas så som figur 2.7-1 visar.

Lite mer komplicerat blir det när det gäller glidlager, sektion 10.2. Ett enkelt plant glidlagerblock, figur 2.7-2, beskrivs av blockets längd och bredd, l och b, hastigheten U, viskositeten η och filmtjockleken h. Det ger en last P.

22

2. ALLMÄNNA KONSTRUKTIONS- OCH DIMENSIONERINGSPRINCIPER

l

P

H

h U

FIGUR 2.7-2

Glidlager

Vi vill kunna beskriva lasten som funktion av dessa parametrar. Med en viss kännedom om viskös strömning kan vi utgå från att lasten ökar med U och η, rimligtvis också med l och b. Vidare kan vi gissa att vi bygger upp större tryck med lägre filmtjocklek.

Då kan vi skriva P

P

ηU Ul pl b pb h ph

Här är P en dimensionslös last. Vi har tre potenser, pl, pb och ph och det är inte möjligt att avgöra värdena på dessa utan en närmare analys. Det enda vi kan säga är att pl + pb − ph = 1 för att få rätt slutresultat. Vid en närmars analys finner vi att pl 2 pb = 1, ph = 2 (se avsnitt 10.2.5), vilket stämmer med formeln ovan. Det visar sig också att P kommer att vara beroende av den dimensionslösa kvantiteten ν = b / l och en storhet, k , som beskriver filmtjocklekens förlopp.

Den mest utbredda användningen av dimensionslösa tal finner vi i strömningsläran där Reynoldstal, Nusselttal, Prandtltal m.fl. är mycket flitigt använda.

Att arbeta med dimensionslösa tal är mycket praktiskt, även om det i början kan kännas ovant.

Om man arbetar med empiriska formler kan dimensionsriktigheten normalt inte upprätthållas. Det går oftast att modifiera formlerna så att de blir dimensionsriktiga, men oftare klarar man sig genom att vara noga med att sätta in rätt enheter, t.ex.

N och mm.

23

2. ALLMÄNNA KONSTRUKTIONS- OCH DIMENSIONERINGSPRINCIPER

2.8 Litteratur [2.1] Andersson S. Systemutveckling. KTH Institutionen för Maskinkonstruktion.

Stockholm, 2004.

[2.2] Brohammar G. Produktekologi. Industrilitteratur AB, ISBN 91-7548-544-3.

Stockholm, 1998.

[2.3] Childs R. N. C. Mechanical Design. Arnold, ISBN 0-340-69236-7.

London, 1998.

[2.4] Decker K.-H. Maschinenelemente. Carl Hanser Verlag, ISBN 3-446-15512-0.

New York, 1994.

[2.5] Deutschman A.D., Michels W.J. & Wilson C.E. Machine Design [2.6] Dubbel. Taschenbuch für den Maschinenbau. Springer-Verlag, ISBN 3-540-18009-5. Berlin, 1987.

[2.7] Erlandsson O., Lagerkrans S. Näslund R. & Vuorinen E. Maskinhandboken.

Studentlitteratur, ISBN 91-44-60071-2. Lund, 1990.

[2.8] Gerbert G. & Mägi M. Kompendium i maskinelement. Kompendiet. Göteborg, 1993.

[2.9] Hamrock B. J., Jacobson B. & Schmid S. R. Fundamentals of Machine Elements.

McGraw-Hill, ISBN 0-256-19069-0. New York.

[2.10] Härkegård G. Dimensionering av maskindeler. Tapir akademisk forlag, ISBN 82-519-1970-3. Trondheim, 2004.

[2.11] Olsson K.-O. & Wettergren H. Maskindynamik. Studentlitteratur, ISBN 91-44-01349-3. Lund, 2000.

[2.12] Ryding S.O. Miljöanpassad produktutveckling, Förlags AB Industrilitteratur, ISBN 91-7548-410-2. Stockholm, 1995.

[2.13] Wallmark T. 100 viktiga svenska innovationer under tiden 1945 – 1980.

[2.14] Karlebo Handbok, 15:e upplagan. Liber, Stockholm.

[2.15] Maskinelement, Handbok, Institutionen för Maskinkonstruktion, KTH. Stockholm, 2002.

[2.16] Storheter och enheter – SI måttenheter, SIS-STH Handbok 103, utgåva 5, Standardiseringskommissionen. Stockholm, 1998.

[2.17] Uppfinningarnas historia. Reader’s Digest AB, ISBN 91-7030-109-3. Stockholm, 1985.

24

KAPITEL 3

Tribologi

Ordet tribologi kan definieras som friktion, nötning och smörjning. Ordet kommer från grekiskans tribos som ungefär betyder gnida, nöta. Ordet skapades av den s.k.

Jost-kommittén (med namn efter dess ordförande Peter Jost) som arbetade i Storbritannien under 1960-talet för den brittiska regeringen med uppdrag att utreda den ekonomiska betydelsen av här ingående företeelser. Ordet tribologi har snabbt blivit accepterat i de flesta språk.

De gjorde en uppskattning av vad tribologiska problem kostar. Det handlar om energiförbrukning, slitage, med ökad service eller förkortad livslängd som följd, smörjmedelsförbrukning, försämrade produktionsresultat m.m. De kom fram till att den totala kostnaden för detta rörde sig om ca 5 % av bruttonationalprodukten. Liknande undersökningar har senare gjorts i andra länder och alla har kommit fram till liknande resultat. Man har också uppskattat att cirka en tredjedel av kostnaden skulle kunna undvikas om man tillämpade känd kunskap på ett bättre sätt.

3.1 Friktion 3.1.1 Allmänt Friktion är ett välkänt och allestädes närvarande fenomen. Det har nackdelar såsom att det kräver mer kraft än som annars skulle vara nödvändig och att det alltså svarar för ”onödig” energiförbrukning och att det oftast åtföljs av nötning. Å andra sidan skulle vår tillvaro inte alls fungera utan friktion. Vi skulle inte kunna stå upp utan falla omkull. Tåg, cyklar och bilar skulle inte fungera, skruvar skulle lossna, vi skulle inte kunna fästa något med knutar m.m. Även om friktionen alltså är ett välkänt fenomen så finns det ingen grundläggande vetenskaplig bas för att analysera den. I själva verket är det ett mycket komplicerat fenomen. Grovt sett kan friktionen förklaras antingen som att de ingående ytorna

25

3. TRIBOLOGI

”hakar i” varandra genom de oregelbundenheter som alla ytor har, eller att det är molekylära eller atomära krafter (adhesion och kohesion) som svarar för fenomenet.

För att kunna hantera friktion brukar man då ofta tillgripa den enklast möjliga modellen, som ofta kallas Coulombsk1 friktion. Den säger att friktionskraften, F, är proportionell mot verkande normalkraft, N, och karakteriseras av ett friktionstal, ofta betecknat μ, se fig. 3.1-1.

N F FIGUR 3.1-1

Enkel friktionsmodell.

Så länge den drivande kraften, F, är mindre än ett visst värde händer ingenting. Om detta överskrids börjar kroppen glida. Friktionskraften är sedan oberoende av glidhastigheten.

Detta kan skrivas F

μN

(3.1-1)

Denna formel ska tolkas så att olikhetstecknet gäller så länge kroppen är i vila, vilofriktion, och likhetstecknet tar över då kroppen glider, glidfriktion.

Denna beskrivning är naturligtvis en grov approximation, men räcker ofta för de ändamål vi har här. Den stora svårigheten är att bestämma vilket värde μ har. Ofta ligger det inom intervallet 0,1 – 0,6. Det är beroende på vilka material som samverkar men även annat såsom temperatur, närvaron av fuktighet, ytornas struktur m.m. inverkar.

Ibland önskar man ett högt värde på μ. Exempel på detta är i bromsar och förband, i kontakten mellan däck och vägbana eller i pappersmatningsmekanismer i skrivare och sedelautomater. I exceptionella fall kan man komma upp till värden strax över 1.

I andra fall vill man ha så lågt värde som möjligt, främst för att man vill att något ska glida lätt. Värden strax under 0,1 kan då förekomma. Skidan på det väl preparerade skidspåret har betydligt lägre friktionstal. För smorda kontakter (se nedan) kan värdet sjunka ytterligare.

Till denna beskrivning av friktionen hör också att friktionskraften vid glidning är riktad mot glidhastigheten.

1

26

Charles Augustin Coulomb (1736–1806) var en vetenskapsman som framför allt studerade magnetism och elektricitet och även gjorde insatser inom vad vi idag skulle kalla hållfasthetslära. Mera som en biprodukt av detta studerade han även friktion och kom fram till den beskrivning av friktion som vi idag kallar Coulombsk.

3. TRIBOLOGI

Som ett komplement till glidfriktion talar man ibland om rullfriktion och konstaterar att den är mycket lägre än glidfriktionen. Rullfriktion bör emellertid snarare kallas rullmotstånd och är en helt annan typ av fenomen.

3.1.2 Mikroglidning Om man lägger ett elastiskt band, t.ex. ett resårband, mellan två ytor, applicerar ett tryck på detta och drar i ena änden av bandet, finner man att det nästan omedelbart börjar röra sig i den ände där kraften anbringats. Ju mer man ökar kraften desto längre sträcka glider det. När kraften blivit tillräckligt stor ser man att bandet också börjar röra sig i andra änden.2 Vi har här sett exempel på vad som brukar kalls mikroglidning. För att förstå detta måste man tillämpa både en friktionsmodell och en elastisk modell för ingående komponenter. I det föreslagna fallet räcker det att tänka bara på bandet. I själva verket förekommer mikroglidning i nästan alla kontakter. Den modell som visades i föregående avsnitt och uttrycktes med ekvation 3.1-1 gäller bara inom stelkroppsmekaniken. Den är ofta tillräckligt bra, men ibland måste mikroglidningen tas med för att man ska få en korrekt förståelse för vad som händer. Detta är av stor betydelse i kontakten mellan däck och vägbana, för remväxlar (kap 15) och om man vill studera den dämpning som man har i mekaniska strukturer. För närmare studium av mikroglidning hänvisas till litteratur t.ex. [3.5].

3.1.3 Glid- och vilofriktion I den Coloumbska friktionsmodellen antogs att när kropparna glider så sker detta med konstant friktionskraft. I verkligheten är friktionskraften i någon mån beroende av glidhastigheten. Som en första utökning av modellen antar man ofta att man har en vilofriktion som anger under vilket värde ingen glidning sker. Så snart glidningen börjar sjunker friktionskraften till ett något lägre värde. Man kan uttrycka detta genom F F

μv N μg N

– ingen glidning – under glidning

(3.1-2)

där μv är vilofriktionstal och μg är glidfriktionstal. Det gäller att μv > μg. I ett diagram över friktionskraft som funktion av hastighet kan detta beskrivas som i figur 3.1-2.

2 Gör gärna ett experiment genom att lägga ett resårband mellan två sidor i en bok och notera hur det uppför sig när du drar i ena änden.

27

3. TRIBOLOGI

F Mv·N

Mg·N

v M Mg·N

Mv·N

Vilo- och glidfriktion.

FIGUR 3.1-2

En konsekvens av detta är det fenomen som brukar kallas stick-slip (bra svensk term tycks saknas). Vi tänker oss att vi sakta drar i klossen (figur 3.1-3) genom en fjäder.

N F

Friktion med fjädring.

FIGUR 3.1-3

När fjädern har förlängts tillräckligt mycket har vi fått en kraft som är F

μv N

vilket betyder att kroppen börjar glida. Men då sjunker friktionskraften till F

μg N

vilket betyder att kraften i fjädern är större än friktionskraften. Kroppen kommer då att accelerera med hjälp av kraftöverskottet F

(

v

g

)N

Allt eftersom hastigheten ökar minskar fjäderns förlängning och vid något värde når den ner till den nivå då kroppen åter stannar. Sedan hålls den kvar tills kraften åter ökat så att glidning börjar. För närmare studium av detta fenomen hänvisas till litteratur såsom [2.11] Stick-slip är ett vanligt fenomen som alla har erfarit i dagligt liv. Det ger upphov till vibrationer och oljud och är alltså inte önskvärt. Ljudet av en vit krita som ”studsar” på svarta tavlan har de flesta hört och aldrig glömt. Om man drar ett bord över golvet 28

3. TRIBOLOGI

märker man ofta att benen skakar. För precisionsmaskiner, t.ex. verktygsmaskiner och mätapparater kan det vara mycket ovälkommet och man försöker minska inverkan på olika sätt. Men det kan också vara önskvärt: det går inte att spela fiol utan stick-slip.

3.1.4 Eytelweins3 ekvation En ofta förekommande situation där friktionen har betydelse är när ett böjligt band eller böjlig lina läggs an mot en krökt yta och belastas i sina ändar med olika krafter.

Detta förekommer i remväxlar och bandbromsar (kapitel 15 och 16) men också i många andra sammanhang såsom knutar eller ombord på båtar (många vinschar skulle t.ex. inte fungera utan). I kapitel 23 Klurigheter behandlas skotvinschen lite närmare.

Vi ska härleda för ändamålet nödvändiga ekvationer, se fig. 3.1-4.

D# P A J R

FIG. 3.1-4

&

& D&

Mp D DJ

7

&

Friktion mellan band och cylinder.

Till vänster ser vi ett band som ligger över en cylinder med radien r. Det omfattar totalt en vinkel α. I tangeringspunkterna verkar krafterna F1 och F2. Vi antar att cylindern och därmed bandet roterar med vinkelhastigheten Ω. Till höger har vi tagit ut ett litet element som påverkas av bandkrafterna F och F+dF, av trycket p från cylindern, av friktionskrafterna μp och av en centrifugalkraft dC. Bandet har bredden b och massa per längdenhet m ′. För centrifugalkraften gäller m rrddϕ rΩ2 = m′ Jämviktsekvationer i radiell och tangentiell led blir nu dϕ dϕ − ( F + dF d ) =0 2 2 dϕ dϕ − F cos −μ ppbr ⋅ dϕ = 0 2 2

pbr ⋅ dϕ + dC ( F + dF d )

3

F sin

Johann Albert Eytelwein (1764–1848) var under en stor del av sitt liv verksam som Dozent vid Humboldt-universitetet i Berlin. Ekvation 3.1-4 kallas ibland Euler – Eytelweins ekvation.

29

3. TRIBOLOGI

Eftersom dφ är en liten vinkel förenklas detta till pbr = F m ′ r 2

2

dF = ( F Fc ) μ ⋅ dϕ

F − m ′ v 2 = F Fc

med Fc = m ′ v 2

(3.1-3)

där v = rΩ är hastigheten.

Vi integrerar till ln ( F

Fc ) − ln ( F

Fc ) = μϕ

eller F

Fc = ( F

Fc ) eμϕ

Om vi tillämpar detta över hela omslutningsvinkeln får vi F2

Fc = ( F

Fc ) eμα

(3.1-4)

Detta är Eytelweins ekvation. För en icke-roterande tillämpning försvinner naturligtvis Fc. Man noterar att Fc = m ′ v 2 Den är alltså oberoende av radien. Detta kan möjligen tyckas lite egendomligt. Centrifugalkraften måste ju påverkas av radien. Det är väsentligt att inse att Fc inte är en centrifugalkraft, utan bara uttrycker hur kraften i remmen påverkas av den.

Det är också viktigt att tolka ekvationen 3.1-4 rätt. I ett normalt fall är ju krafterna F1 och F2 givna. Om då också omslutningsvinkel, α, och friktionstal μ är givna, så blir ekvationen överbestämd. Man noterar att härledningen gjorts som om friktionen verkade längs hela bandet, vilket inte nödvändigtvis är rätt. Man bör snarare skriva F2

Fc ≤ ( F

Fc ) ⋅ eμα

(3.1-5)

Den uttrycker då största möjliga kraftkapacitet hos bandet. Detta kan vi nu jämföra med diskussionen ovan. Så länge vi inte belastar remmen med för stor kraftskillnad händer ingenting. Om vi kommer upp till den gräns som ekvation 3.1-5 anger kommer bandet att glida. I själva verket är det så att om vi från ett läge med F1 = F2 ökar F2, så kommer en allt större del av bandet att glida och då vi når gränsen enligt 3.1-5 så får vi full glidning. Detta är i själva verket ett tydligt exempel på mikroglidning, avsnitt 3.1.2.

30

3. TRIBOLOGI

3.2 Nötning 3.2.1 Olika typer av nötning Friktion och nötning är intimt förknippade med varandra, och båda är lika svåra eller omöjliga att innehålla i en fungerande teori, som kan ge kvantitativa besked. Det som gäller i verkligheten är alltså huvudsakligen praktisk erfarenhet och laboratorieresultat.

Däremot finns det mycket kunskap om nötning som fysikaliskt fenomen. Man kan då särskilja två huvudtyper av nötning: Abrasiv4 nötning, som betyder att asperiteter (upphöjningar) i den ena ytan gräver ner sig i den andra och drar loss delar därifrån. Det kan alltså närmast jämföras med en bearbetningsprocess, t.ex. slipning.

Adhesiv5 nötning, som betyder att det huvudsakligen är atomära eller molekylära krafter som verkar. De båda ytorna ”kletar” fast vid varandra och rycker på så sätt loss partiklar, eller överför dem från den ena ytan till den andra. Även om det alltså inte går att formulera en enhetlig teori som är praktiskt användbar, så finns det ändå mycket kunskap att hämta. Här hänvisas till några litteraturreferenser att starta från, t.ex. [3.2], [3.4], [3.10] och [3.14].

Det finns också många andra nötningstyper som fått särskilda namn. De är varianter på abrasiv eller adhesiv nötning men uppträder under speciella förhållanden.

Ett annat fenomen är fretting. Det uppträder i kontakter med höga yttryck där man samtidigt har mikroskopiskt små fram och återgående rörelser. Det yttrar sig i förstörda ytor och kan inverka menligt på hållfastheten genom att sprickor kan initieras härifrån. Kemiska effekter är ofta närvarande. Innerringar på rullningslager6 i kontakt med tillhörande axel (sektion 10.1) och turbinskovelinfästningar är exempel på problemområden.

3.2.2 Archards lag En ofta använd delteori är den s.k. Archards lag7, som inte är en lag i naturvetenskaplig mening, men som visat sig nyttig i många sammanhang. Den säger att nötningshastigheten är proportionell mot yttryck och glidhastighet, och omvänt proportionell mot det mjukare materialets ythårdhet. Det är samma sak som att den är proportionell mot den effekt som utvecklas i kontakten. Man kan skriva den som

4 Av latinska abrado,”skrapa av”.

5 Av latinska adhaesio ’vidhäftande’, ’fasthängande’.

6

Kallas då ibland passningsrost.

7

J P Archard var verksam under 1950–60-talet. Han lade fram sina teorier 1953 och 1961.

31

3. TRIBOLOGI

V

k

pv 3σ s

(3.2-1)

Problemet är att konstanten k på ett mycket komplicerat sätt beror på både material och omgivningsparametrar. Den kan också ändras kraftigt vid ändrad hastighet.

En av tillämpningarna är om man vill veta hur nötningsfördelningen ser ut inom en friktionskontakt. I ett sådant fall är de flesta parametrarna hyfsat konstanta, och Archards lag kan ge nyttig information. Det är t.ex. normalt att bedöma tryckfördelningen i en broms (sektion 14.2 och 14.3) baserat på denna teori.

3.3 Oljefilmsteori 3.3.1 Bakgrund. Tower och Reynolds Om man drar en kropp över en yta med smörjmedel närvarande och mäter kraften som funktion av glidhastigheten får man ofta en s.k. Stribeck-kurva8 av ett utseende som i fig. 3.3-1. &RIKTIONSKRAFT

FIGUR. 3.3-1

Stribeck-kurva.

"LANDSM RJNING

&ULLFILMSSM RJNING (ASTIGHET

Längst till vänster i diagrammet är hastigheten = 0 och det krävs en stor kraft för att ge rörelse. Detta tillstånd med nollhastighet är närmast jämförbart med vad som diskuterades under sektion 3.1 Friktion. Allt efter som hastigheten ökar minskar kraften och når så småningom ett lägsta värde. Därifrån stiger kraften långsamt. Man kan urskilja (förutom utgångspunkten utan hastighet) två områden: blandsmörjning och fullfilmssmörjning. Vid fullfilmssmörjning, som behandlas mer utförligt nedan, utvecklas ett tryck i filmen som gör att man får en fullständig separering av ytorna och friktionskraften härrör enbart från de viskösa krafterna i smörjfilmen. Vid blandsmörjning är kraften en kombination av viskösa krafter och friktion i direktkontakterna mellan ytorna. Vad som händer är att när hastigheten ökar, så orkar smörjmedlet med att bära en allt större del av normalkraften.

8

32

Richard Stribeck (1861–1950) arbetade med många olika fenomen inom tribologin. Det som i efterhand är mest känt är hans arbeten om relationerna mellan hastighet och friktion som publicerades 1902, men han var verksam också inom många andra delar av tribologin t.ex. om rullningslagers funktion.

3. TRIBOLOGI

Fullfilmssmörjning är vanligtvis den ideala situationen. Utöver låg friktion slipper man nötning helt och hållet. Det finns ingen bestämd hastighet då övergången till fullfilmssmörjning sker, utan detta beror på en stor mängd olika parametrar. Generellt sett kan man säga att blandsmörjning är betydligt vanligare än fullfilmssmörjning i praktiken.

För fullfilmssmörjningen finns en väl utvecklad teori, se avsnitt 3.3.6 nedan. Den kan sägas ha sitt ursprung år 1883 då B. Tower9 på uppdrag av brittiska järnvägsstyrelsen skulle göra ett antal mätningar på de lager som användes på tågen. Han fann då att trycket inte alls var konstant, som man tidigare trott, utan varierade på ett till synes märkvärdigt sätt. Denna upptäckt inspirerade Osborne Reynolds10 att utveckla en teori för en tunn oljefilm, vilken han publicerad 1886, [3.13]. Därmed var den hydrodynamiska glidlagerteorin född. I avsnitt 3.3.2 – 3.3.6 utvecklas detta mer.

3.3.2 Strömningsteori Om man mellan två plana, parallella ytor har en vätska (fig. 3.3-2) och drar den ena ytan parallellt med den andra krävs en kraft för detta. I enklaste fall är denna kraft proportionell mot hastigheten och storleken på ytorna och omvänt proportionell mot vätskans tjocklek. A är den yta som täcks av vätskan.

5 H !

FIGUR. 3.3-2

Enkel viskositetsmodell.

Man kan skriva detta F =η

UA h

(3.3-1)

Här är η en proportionalitetskonstant som kallas viskositet. Det är en egenskap som karaktäriserar vätskan ifråga. Man kan säga att viskositeten är ett mått på vätskans

9

Beauchamp Tower (1845–1904) hade arbetat med lagerproblem under lång tid och gjort viktiga observationer när han fick i uppdrag att undersöka lagren till järnvägsaxlar. Han gjorde mätningar av det tryck som utvecklas i lagren och fann att det var betydligt mer komplicerat än man förut trott.

10

Osborne Reynolds (1842–1904) är en av portalfigurerna inom hydrodynamiken. Han är mest känd för ”reynoldstalet”, som beskriver relationen mellan tröghets- och viskösa krafter vid strömning.

33

3. TRIBOLOGI

trögflutenhet. Om den beter sig på det enkla sätt som ekvation 3.3-1 anger kallas vätskan för Newtonsk11. Detta är ett exempel på linjärt beteende, vilket betyder att kraften är proportionell mot hastigheten. Det kan betraktas som en analogi till hållfasthetslärans Hookes lag där spänningen är proportionell mot deformationen.

T DT D P

P DP

DY

Y

DX X T FIGUR 3.3-3

Infinitesimal friktionsmodell.

Vi kan generalisera ekvation 3.3-1 genom att betrakta ett litet element i en vätska, fig.

3.3-3. Vi får nu en allmännare form ∂u ∂y ∂τ ∂p = ∂y ∂x

τ

η

(3.3-2)

vilket leder till ∂2 u 1 ∂p = ∂y 2 η ∂x

(3.3-3)

Här är, utöver vad som framgår i figuren, p trycket, τ skjuvspänningen och u hastigheten i x-led. Vi kommer att använda detta senare.

De formler vi använt här förutsätter laminär12 strömning, som betyder att strömningen är skiktad – det förekommer ingen vätskerörelse mellan olika lager i vätskefilmen. Detta gäller om hastigheterna är måttliga och filmtjockleken liten.

11

Isaac Newton (1642 – 1722) är förmodligen tidernas främste vetenskapsman, möjligen i konkurrens med Archimedes och Einstein. När han 1686 lade fram sin ”Philosophie Naturalis Principia Mathematica” var det en oförliknelig milstolpe i naturvetenskapen historia. Den innehöll inte bara det som vi brukar kalla Newtons tre lagar utan också grunderna för hydrodynamiken och mycket annat.

12

Motsatsen till laminär är turbulent. Då har man virvelrörelser i vätskan och de olika vätskeskikten blandas mer eller mindre våldsamt med varandra. Turbulensgraden kan anges med det så kallade reynoldstalet.

34

3. TRIBOLOGI

3.3.3 Smörjmedel och viskositet Historiskt sett har man använt många typer av smörjmedel: såpa, ister, sniglar13 m.m.

I dag är det framför allt oljor (mineral eller syntetiska) och fetter. Ett fett är oftast en dispersion14 av förtjockningsmedel i ett flytande smörjmedel, vanligen en metallsåpa i mineralolja. Mineraloljor är med god approximation newtonska. Fetter är betydligt mer komplexa. I beräkningssammanhang brukar man arbeta med mineraloljans viskositet.

Viskositeten, η, anges i SI-enheter med Ns/m2 vilket också kan skrivas som Pas (Pascalsekunder). Vanliga mineraloljor har ofta värden i området η = 0,01 – 0,1 Pas. Som jämförelse kan nämnas att vatten har η ≈ 0,001 Pas. Vidare ska noteras att viskositeten är starkt temperaturberoende. Som ett riktvärde kan man ange att viskositeten halveras vid en temperaturstegring på 15 °C. En äldre viskositetsenhet är P (Pois) eller oftare cP (centiPois). Enheten Pois hör egentligen hemma i det numera utdöda enhetssystemet cgs (centimeter – gram – sekund). Konvertering däremellan är 1 Pois = 0,1 Pas eller 1 cP = 0,001 Pas Vid sidan om viskositeten enligt ovan, som preciseras som dynamisk viskositet, förekommer också kinematisk viskositet15. Den definieras som

ν=

η ρ

Den har enheten m2/s eller oftare mm2/s. I handelssammanhang anges den oftast med St (Stoke) eller oftare cSt (centiStoke), som också är en cgs-enhet. För praktiskt bruk kan man ofta räkna med att

η = 0,01 Pas motsvarar ν = 10 cSt Vid sidan av de konventionella smörjmedlen oljor och fetter finns det också andra.

Då och då används vatten. För lätta belastningar och höga hastigheter fungerar ibland luft. Se mera i kapitel 10. Lager. När man inte vill ha ett kladdigt smörjmedel eller om temperaturerna är höga finns det fasta smörjmedel, tidigare ofta grafit, i dag oftare

13

Egyptierna använde sniglar för att underlätta släpandet av stora stenblock. I äldre tider i Sverige var det vanligt att man samlade sniglar för att smörja hjulen på hästdragna vagnar.

14

Dispersion är en blandning av två (eller flera) faser som är olösliga eller begränsat lösliga i varandra. Den ena bildar fasta partiklar, vätskedroppar eller gasbubblor i den andra. Mjölk är en dispersion av fett i vatten. Smör är en dispersion av vatten i fett.

15

I en allmän beskrivning av strömning har man två typer av krafter: viskösa krafter som är proportionella mot viskositeten, η, och tröghetskrafter som är proportionella mot densiteten, ρ. Det är då naturligt att bilda kvoten η/ρ och ge den en benämning – kinematisk viskositet.

35

3. TRIBOLOGI

molybdendisulfid (MoS2). Båda fungerar på det sättet att de är uppbyggda av små lameller som lätt glider på varandra16.

3.3.4 Enkla formler för spalt- och rörströmning Vi utgår från ekvation 3.3-3 och tillämpar den för en smal spalt enlig figur 3.3-4.

Y

5 UU

H

5 FIGUR. 3.3-4

UP X

Spaltströmning.

I en smal spalt kan man betrakta trycket som konstant i y-led vilket gör att vi kan integrera 3.3-3 till u=

dpp y 2 + C1 y + C2 dx 2η

Den vätska som är närmast ytorna upptill och nertill måste ha samma hastighet som dessa dvs. U1 och U2. Om vi sätter in dessa randvärden får vi u

y⎞ y dp hy − y 2 ⎛ U1 1 − + U2 − ⎝ h⎠ h dx 2η

(3.3-4)

De två första termerna ger den hastighet som ythastigheterna orsakar. De ger en rätlinjig hastighetsfördelning betecknad uu i figur 3.3-4. Den sista termen ger flödet till följd av tryckgradienten17. Det ger en parabelformad hastighet betecknad up i figur 3.3-4.

Om vi integrerar detta i y-led får vi flödet per breddenhet såsom q=

U1 U 2 h 3 ddp h− 2 12η dx

(3.3-5)

Detta är en mycket användbar formel. Den gäller för strömningen i smala spalter, vilket förekommer i många sammanhang såsom glidlager, tätningar och i diverse hydraulik.

I de flesta fall rör sig enbart den ena ytan varvid U1 eller U2 bortfaller.

16 Ett tips från dagis är att om en kökslåda går trögt så kan man gnida den med stearin – det fungerar där som ett förträffligt smörjmedel.

17 Gradient betyder förändring i en viss riktning, i matematisk mening uttryckt som derivatan med avseende på tillhörande koordinat.

36

3. TRIBOLOGI

En annan nyttig formel är den som gäller för ett cirkulärt rör. Utan härledning ger vi den här Q=π

r 4 ddp 8η dx

(3.3-6)

där Q är totala flödet och r är rörets radie. Det bör påpekas att denna formel gäller för laminär strömning. I de flesta fall är strömningen i ett rör turbulent. Se t.ex. [3.1]. dp Om spalten respektive röret har konstant tvärsnitt kommer att vara konstant dx och kan ersättas med dp p2 p1 = dx l där p2 – p1 är tryckskillnaden över längden l.

3.3.5 Reynolds ekvation i enklaste form Vi fortsätter från ekvation 3.3-5 och tillämpar den på en sammanhängande film enligt fig. 3.3-5.

h

FIGUR. 3.3-5

Oljefilm.

q

U

Vi antar att filmen har stor utsträckning vinkelrätt mot papperets plan så att inga förändringar sker i den leden och inte heller någon strömning sker åt det hållet. För att tillfredsställa kontinuiteten måste flödet genom hela filmen vara konstant. Vi kan då skriva q=

Uh h 3 ddp − = konst .

2 12η dx

(3.3-7)

Vi kan gärna fortsätta direkt från denna ekvation för att härleda flöden och tryck m.m.

Det är dock vanligare att formulera den på ett sätt som vi får genom att derivera ekvationen. Det leder till d ⎛ h 3 ddp ⎞ dh = 6U dx ⎜⎝ η dx ⎟⎠ dx

(3.3-8)

Vi kommer att använda denna ekvation mera i kapitel 10. Lager.

37

3. TRIBOLOGI

3.3.6 Rigorös härledning av Reynolds ekvation Vi ska nu härleda en allmännare form på Reynolds ekvation. Vi har fortfarande en tunn spalt, men tillåter nu att det också finns flöden och derivator i andra riktningen, figur 3.3-6.

Rqz)

Rqx)

Rqx) h Rqz)

dz

y

dx

x z

FIGUR 3.3-6

Flöden i ett volymselement.

Vi tar ut ett litet element av storleken dx ⋅ dz ⋅ h och undersöker flöden m.m. till och från detta. För att göra det mera generellt antar vi också att tätheten kan variera och vi måste därför arbeta med massflöden i stället för volymflöden, vilket vi gör genom att multiplicera med densiteten ρ. Vi antar som ovan att det inte är några tryckskillnader i y-led. Ytorna har hastigheterna U1 och U2 i x-led (som i figur 3.3-4) men nu har vi även hastigheter i z-led, W1 och W2. För detta tillämpar vi ekvation 3.3-5 med byte av x → z och U → W. Vi har alltså

ρ ρ

x

(U

+U )ρ

h h 3 ∂pp −ρ 2 12η ∂xx

z

(W

+W )ρ

h h 3 ∂p −ρ 2 1 η ∂z 12

Vi ser då att vi har ett totalt massutflöde i x-led som är ⎡⎣( ρ

∂ ⎡

) ( ρqx )1 ⎤⎦ ⋅ dz = ∂xx ⎢(U

x 2

⎡U + =⎢ 1 ⎣ 2

⎣

2

∂ ( ∂x

)−

U )ρ

h 2

ρ

h 3 ∂pp ⎤ ⋅ dz ⋅ dx = 12η ∂x ⎥⎦

∂ ⎛ ρh 3 ∂p ⎞ ⎤ ⎥ ⋅ dz ⋅ dx ∂x ⎜⎝ 12η ∂x ⎟⎠ ⎦

På samma sätt har vi ett utflöde i z-led som är ⎡⎣( ρ 38

⎡

⎛

⎞⎤

) ( ρqz )1 ⎤⎦ ⋅ dx = ⎢ W1 +2 W2 ∂∂z ( ρh ) − ∂∂z ⎜⎝ 1ρ2hη ∂∂pz ⎟⎠ ⎥ ⋅ dx ⋅ dz

z 2

⎣

3

⎦

3. TRIBOLOGI

Samtidigt har vi en ökningshastighet av massan i elementet som är ∂ ( ∂t

) dx ⋅ dz

Det totala massutflödet tillsamman med massökningen måste vara = 0. Det ger ⎡U1 U 2 ∂ ∂ ⎛ ρ h3 ∂pp ⎞ ⎤ ( h) − ⎜ ⎢ ⎟⎥ + ∂xx ∂xx ⎝ 12η ∂xx ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎡W W2 ∂ ∂ ⎛ ρ h3 ∂p ⎞ ⎤ ∂ +⎢ 1 ( h) − ⎜ ⎟⎥ + ( ∂zz ∂z ⎝ 12η ∂z ⎠ ⎥⎦ ∂t ⎢⎣ 2

)=0

(3.3-9)

som brukar omformas till ∂ ⎛ ρ h3 ∂p ⎞ ∂ ⎛ ρ h3 ∂p ⎞ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟= ∂x ⎝ η ∂x ⎠ ∂z ⎝ η ∂z ⎠ ∂ = 6 ( + ) ( ) + 6( 1 ∂x

2)

∂ ∂ ( h ) + 12 ( h) ∂zz ∂t

(3.3-10)

Detta är Reynolds ekvation i en ganska allmän form – det finns sådana där ännu fler effekter finns med.

Vanligtvis kan ekvationen förenklas. Oftast har man inga hastigheter i z-led och då försvinner W-termerna. I x-led är det i regel bara ena ytan som rör sig, oftast är U2 = 0.

Vidare är nästan alltid tätheten konstant (undantag luft- eller gaslager) och ρ kan strykas ur ekvationerna. Då återstår ∂ ⎛ h 3 ∂p ⎞ ∂ ⎛ h 3 ∂p ⎞ ∂h ∂h + = 6U + 12 ∂x ⎜⎝ η ∂x ⎟⎠ ∂z ⎜⎝ η ∂z ⎟⎠ ∂x ∂t

(3.3-11)

I denna form finns viskositeten med som en storhet med möjlighet att variera. Ofta kan man betrakta den som konstant. För stationära förhållanden har vi inga tidsderivator vilket ytterligare förenklar. Nu har vi kommit fram till ∂ ⎛ 3 ∂∂pp ⎞ ∂ ⎛ 3 ∂p ⎞ ∂h h + h = 6ηU ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂x

(3.3-12)

Detta är den vanligaste formen på Reynolds ekvation.

Det noteras att vi kan ha derivator i z-led även om det inte finns några ythastigheter, W1 och W2, i den riktningen. Oftast är det t.ex. så att man i ytterkanterna av det område där ekvationen gäller har ett tryck som är = 0. Eftersom trycket i de inre delarna av filmen är > 0 så måste det vara tryckskillnader i z-led.

Reynolds ekvation används framför allt för att beräkna tryckuppbyggnaden i glidlager, kapitel 10, men det finns också andra tillämpningar.

39

3. TRIBOLOGI

3.4 Elastohydrodynamisk smörjning (EHD) I föregående avsnitt har vi utgått från att vi haft en känd geometri och därmed kunnat hantera filmtjockleken. Emellertid är det nästan alltid så att man också har elastiska deformationer som inverkar på filmen. I de flesta fall är denna inverkan måttlig och kan hanteras med relativt enkla medel.

Ibland är emellertid deformationerna av samma storlek som filmtjockleken. Då måste man inkludera detta på ett helt annat sätt. Det är sådana situationer som man behandlar under ämnet EHD. Det finns två olika klasser av EHD: • Sådana med måttliga tryck men med mjuka lagerytor så att deformationerna ändå blir stora. Tätningar, kapitel 9, är ett typiskt exempel på detta.

• Sådana där trycken är mycket höga. Det är koncentrerade kontakter, här kallade Hertz-kontakter, se avsnitt 4.2.1, med rullningslager och kuggingrepp som typiska exempel. I dessa fall måste man dessutom ta hänsyn till att viskositeten påverkas av trycket. Detta är beräkningsmässigt mycket svåra fall och de har inte varit möjliga att behandla teoretiskt förrän med avancerad datateknik. I dag är de väl hanterliga.

Både för tätningar och Hertz-kontakter är i själva verket deformationerna mycket större än filmtjockleken. Det leder till ett omvänt problem: trycket bestäms av deformationerna och sedan får filmtjockleken anpassa sig till detta tryck. Detta kallas ibland det inversa hydrodynamiska problemet.

För Hertz-kontakter, se figur 3.4-1, finns en väl utvecklad teori med beräkningsresultat.

2 5

5 2

FIGUR 3.4-1

EHD-kontakt.

Man kan sammanfatta resultatet i en empirisk formel enligt ekvation 3.4-1 nedan. Det finns några olika sådana formler i litteraturen. De har alla samma karaktär. De är resultat

40

3. TRIBOLOGI

av en stor mängd numeriska beräkningar som man sedan gjort en bästa anpassning till och kunnat uttrycka på detta enkla sätt. En formel av sent datum lyder R ⋅ 1, 714 ⋅ W

hmin

0 128

U 0,694 G 0,568

(3.4-1)

Här är R = kombinerad radie enligt 1 1 1 = + R R1 R2 Storheterna W, U och G är dimensionslösa med betydelserna N aE ′R R η0 u m U= E ′R R G ξE′ W =

Här är N = lasten på kontakten och a = kontaktens bredd, (vinkelrätt mot papperets plan i figur 3.4-1).

E ′ är en reducerad elasticitetsmodul E′ =

E 1−ν2

Ytornas medelhastighet är um enligt um =

U1 U 2 2

Viskositetens tryckberoende ges av ξ enligt

η η0 eξ p För vanliga smörjmedel brukar ξ ligga i intervallet (1 ÷ 2)· 10–8 m2/N. Man ser av ekvation 3.4-1 att lasten på kontakten har mycket liten inverkan på filmtjockleken. Det beror på att vid en ökad last så kommer kontaktytan att öka.

41

BESKRIVNING ANALYS ANVÄNDNING Boken är avsedd som lärobok i ämnet maskinelement för blivande civil- och högskoleingenjörer. Den behandlar de vanligaste elementen, hur de fungerar, vad de används till och, framför allt, hur de kan analyseras. Den bygger både på forskningsrön och på praktisk erfarenhet.

Boken består av huvuddelarna: • Inledning och allmänt • Förband • Rotorers element • Transmissioner • Övningar I denna andra upplaga har övningsmaterialet med tillhörande lösningar och svar utökats väsentligt. Därtill är bildmaterialet förbättrat och formgivningen moderniserad.

KARL-OLOF OLSSON är tekn. dr från Chalmers. Han har varit professor i maskinkonstruktion vid Linköpings universitet 1987–2001 och där gjort sig känd som en skicklig lärare. Innan dess var han 10 år på STAL-LAVAL (numera Siemens) och 10 år på SKF med olika uppgifter inom forskning och produktutveckling. Han är också en internationellt erkänd forskare inom områdena tribologi och rotordynamik.

Best.nr 47-11483-2 Tryck.nr 47-11483-2