Gunilla Viklund · Birgit Gustafsson · Anna Norberg
Trianglar Triangelns vinkelsumma
C
Vinkelsumman i en triangel är 180°. ^A + ^B + ^C = 180° A
CC
Likformiga trianglar 5,0 5,0
B DD
4,0 4,0
FF
2,0 2,0
Matematik 1a Orange för Handels- och administrationsprogrammet, Hantverksprogrammet, Hotell- och turismprogrammet och Restaurang- och livsmedelsprogrammet.
CC
Matematik 1a – program, uppdrag, modeller har
EE AA
BB
DD
• en Modell för varje viktigt delmoment
• typexempel och övningsuppgifter till varje modell
• Uppdrag med problemlösning, resonemang och kommunikation
Pythagoras sats a2 + b2 = c2
FF
PROGRAM • UPPDRAG • MODELLER
katet a
• två kontrollstationer Välj rätt svar och Test.
b katet
I samma serie fi nns
Skala
Matematik 1a Gul (Bygg- och anläggningsprogrammet, El- och energiprogrammet, Fordons- och transportprogrammet, VVS- och fastighetsprogrammet)
Längd i bild:Längd i verklighet 30:1 är en förstoring. 1:1 000 är en förminskning. Symmetri a Om en fi gur har spegelsymmetri delar en symmetrilinje fi guren i två lika delar. a Om en fi gur har rotationssymmetri kan den rotera θ° utan att ändras. 360 där n är rotationsordningen n = θ Stjärnan har n = 5 eftersom θ = 72°.
Matematik 1a Grön (Barn- och fritidsprogrammet, Naturbruksprogrammet, Vård- och omsorgsprogrammet)
❤
«
ISBN 91-523-0810-3
www.bonnierutbildning.se
MatematikA_omslag1orange.indd 1
(523-0810-3)
Matematik 1a PROGRAM
UPPDRAG MODELLER
PROGRAM UPPDRAG MODELLER
Skala och symmetri
• Blandade övningar på tre nivåer
hypotenusa c
Matematik 1a
I likformiga trianglar är a Amotsvarande vinklar lika A EE BB a förhållandet mellan motsvarande sidor lika. AC BC AB = = FE DE DF
Matematik 1a
Gunilla Viklund Birgit Gustafsson Anna Norberg
ORANGE
2011-07-05 10.06
Bonnier Utbildning Postadress: Box 3159, 103 63 Stockholm Besöksadress: Sveavägen 56, Stockholm Hemsida: www.bonnierutbildning.se E-post: info@bonnierutbildning.se Order/Läromedelsinformation Telefon 08–696 86 00 Telefax 08–696 86 10
Redaktör: Lena Bjessmo, Karolina Danström Grafisk form, layout och omslag: Kolofon, Lena Eklund Illustrationer: Ingrid Flygare Bildredaktör: Lena Eklund, Lena Nistell
Matematik 1a Orange program, uppdrag, modeller (för HA, HV, HT, RL) isbn 523-0810-3 © 2011 Gunilla Viklund, Birgit Gustafsson, Anna Norberg och Bonnier Utbildning ab, Stockholm Tredje upplagan Första tryckningen
Kopieringsförbud!
Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Printed in Lettland by Livonia Print, 2011
Matematik1a_Inledning_orange.indd 2
2011-07-05 08.44
Till läsaren Denna bok är skriven för dig som ska läsa kursen Matematik 1a i gymnasieskolan och som går på ett serviceinriktat yrkesprogram. Boken innehåller 8 kapitel med samma struktur. Varje kapitel inleds med en beskrivning av det centrala innehåll som behand las i kapitlet. Där hittar du också viktiga begrepp som du bör känna till mer om efter att ha studerat kapitlet. Varje kapitel introduceras med ett Uppdrag. Uppdragen är mer omfattande uppgifter som du kan välja att göra. Dessa finns på flera ställen i kapitlet. Uppdragen kan med fördel lösas i grupp och ger dig möjlighet att utveckla olika matematiska förmågor som att lösa matematiska problem, både teoretiskt och praktiskt och att kommunicera matematik. Det matematiska innehållet i kapitlet presenteras i Modeller. Varje modell består av en kortfattad teorigenomgång med lösta exempel samt uppgifter på olika nivåer. Många uppgifter anknyter till dina karaktärsämnen. Efter kapitlets Modeller kommer en första kontrollstation i form av en tipsrad: Välj rätt svar. Där kan du testa dina kunskaper innan du går vidare till Blandade övningar. Blandade övningar finns på tre nivåer, grundnivå, + och ++. Här finns mer krävande uppgifter som ibland är riktiga utmaningar. I slutet av varje kapitel finns en sammanställning av de begrepp som behandlats i kapitlet. Kapitlet avslutas med ett test där du ska visa dina kunskaper med fullständiga lösningar. Lycka till med dina matematikstudier! Författarna
3
Matematik1a_Inledning_orange.indd 3
2011-07-05 08.44
Innehåll 1 • ta l o c h rä k n i n g
Modell 1 Prioriteringsreglerna...................................................................8 Modell 2 Teckna sammansatta uttryck................................................. 10 Modell 3 Avrundning och överslagsräkning........................................12 Modell 4 Negativa tal..................................................................................15 Modell 5 Bråkräkning.................................................................................. 18 Modell 6 Potenser och kvadratrot...........................................................21 Modell 7 Tid och tidsenheter....................................................................23 Modell 8 Problemlösning.......................................................................... 25 Blandade övningar........................................................................................28 Begrepp och test.....................................................................................36–37
2 • pro c e nt o c h l å n
Modell 1 Procenträkning med stödanteckningar............................. 40 Modell 2 Procentberäkningar................................................................... 41 Modell 3 Promille och ppm.......................................................................44 Modell 4 Förändringsfaktor..................................................................... 46 Modell 5 Beräkna ränta............................................................................. 49 Modell 6 Procentenheter............................................................................51 Modell 7 Rak amortering av lån.............................................................. 53 Modell 8 Kreditköp......................................................................................56 Modell 9 Indexserie.....................................................................................59 Blandade övningar....................................................................................... 64 Begrepp och test...................................................................................... 71–73
3 • stati sti k o c h u n d e rs ö k n i n ga r
Modell 1 Tolka och granska diagram......................................................76 Modell 2 Rita diagram med kalkylprogram.........................................82 Modell 3 Lägesmått.....................................................................................87 Modell 4 Granska en statistisk undersökning.................................... 91 Modell 5 Bortfall.......................................................................................... 94 Modell 6 Felmarginal................................................................................. 96 Blandade övningar......................................................................................100 Begrepp och test....................................................................................111–113
4 • san n o l i k h e ts l ä ra
Modell 1 Utfall och sannolikhet..............................................................116 Modell 2 Odds..............................................................................................120 Modell 3 Sannolikhet och riskbedömning......................................... 123 Modell 4 Sannolikheter med diagram................................................ 128 Modell 5 Sannolikheter för slumpförsök i flera steg...................... 132 Modell 6 Beroende händelser................................................................ 137 Blandade övningar...................................................................................... 142 Begrepp och test...................................................................................151–153
4
Matematik1a_Inledning_orange.indd 4
2011-07-05 08.44
5 • e kvati o n e r och formler
Modell 1 Hitta talet x med hjälp av övertäckning........................... 156 Modell 2 Att lösa ekvationer................................................................... 158 Modell 3 Andra typer av ekvationer.....................................................160 Modell 4 Teckna och tolka uttryck........................................................162 Modell 5 Räkna med parenteser............................................................164 Modell 6 Räkna med formler..................................................................166 Modell 7 Problemlösning med ekvationer.........................................168 Blandade övningar.......................................................................................172 Begrepp och test..................................................................................180–181
6 • g e om e tr i o c h e n h e te r
Modell 1 Tiopotenser och prefix............................................................ 185 Modell 2 Omvandla enheter med olika prefix.................................. 187 Modell 3 Beräkna omkrets och area.....................................................189 Modell 4 Beräkna volym..........................................................................192 Modell 5 Omvandla area- och volymenheter...................................194 Modell 6 Omvandla mellan olika volymmått................................... 195 Modell 7 Problemlösning.........................................................................196 Blandade övningar.....................................................................................200 Begrepp och test............................................................................... 206–207
7 • mate mati s ka sam ba n d
Modell 1 Koordinatsystem.......................................................................210 Modell 2 Proportionalitet........................................................................ 214 Modell 3 Linjära samband....................................................................... 218 Modell 4 Exponentiella samband.........................................................222 Modell 5 Problemlösning.........................................................................225 Blandade övningar..................................................................................... 230 Begrepp och test................................................................................ 239–241
8 • vi n k l a r o c h sym m e tr i e r
Modell 1 Beräkna vinklar i trianglar och fyrhörningar...................245 Modell 2 Skala.............................................................................................247 Modell 3 Likformighet och kongruens............................................... 249 Modell 4 Symmetri....................................................................................253 Modell 5 Pythagoras sats och andragradsekvationer................... 256 Blandade övningar.....................................................................................260 Begrepp och test................................................................................267–269 Facit ................................................................................................................ 270 Register..........................................................................................................296
5
Matematik1a_Inledning_orange.indd 5
2011-07-05 08.44
2
procent
och lån
C e n t r a lt i n n e h å l l a Fördjupning av procentbegreppet: promille, ppm och procentenheter. a Begreppen förändringsfaktor och index samt metoder för beräkning av räntor och amorteringar för olika typer av lån. a Strategier för problemlösning inklusive digitala medier och verktyg. a Problem av betydelse för privatekonomi, samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen. Då m å st e d u k u n n a a genomföra procentberäkningar a använda promille och ppm a beräkna procentuella förändringar a använda förändringsfaktorn a beräkna ränta och amortering för olika typer av lån a skillnaden mellan procent och procentenheter a använda index. B EGR EPP Procent Procentform Det hela Andelen Promille Ppm Moms
Förändringsfaktor Ränta Procentenhet Amortering Index KPI
38
2_Matte1a_Procent_orange.indd 38
2011-07-05 08.46
Kl äd buti ken u ppdrag
Martina sköter om inköpen av kläder i en butik. Hon beställer tröjor av ett dyrare märke, 5 st i storlek S, 15 st i M och 10 st i L. a Hur stor andel av tröjorna har storleken M?
a Efterfrågan är stor och hon bestämmer sig för att beställa 20 % fler tröjor vid nästa beställningstillfälle. Hur många tröjor ska hon beställa av varje storlek om andelen av de olika storlekarna ska vara densamma? a Vid tredje beställningstillfället har efterfrågan på tröjorna minskat. Hon bestämmer sig för att minska nästa order med 20 %. Vad är sant om antalet tröjor som hon beställer? A De är lika många som vid första beställningen. B De är färre än vid första beställningen. C De är fler än vid första beställningen.
Ordet procent betyder hundradel eller per hundra och skrivs med specialtecknet %. Uttrycket ”35 % av invånarna är under 30 år” betyder alltså samma sak som att 35 av 100 invånare är under 30 år. Procent används ofta vid jämförelser, men säger inte något om antalet. Även om man vet att 35 % är under 30 år, så vet man alltså inte hur många personer det gäller. I procenträkning finns tre viktiga begrepp, andelen i procentform (procenttalet), delen och det hela: a I Ninas klass är 75 % av eleverna tjejer. Det går 24 elever i klassen. Alltså är det 18 tjejer i klassen. 75 %
andelen
av 24 elever
är 18 elever
det hela
delen
a I Gustafs klass går det 20 elever. Av dessa jobbar 5 elever extra på helgerna. Det är 25 % av eleverna som jobbar extra. 5 elever
delen
av 20 elever
är 25 %
det hela
andelen
Motsvarande uttryck finns för tusendelar, som kallas promille och skrivs med tecknet ‰. Att 12 ‰ av befolkningen lider av en viss allergi betyder att det gäller 12 personer av 1 000. När man ska mäta riktigt små mängder som t.ex. halter av giftiga ämnen använder man uttrycket parts per million, miljondelar som skrivs ppm. 2 • procent och lån
2_Matte1a_Procent_orange.indd 39
39
2011-07-05 08.46
modell 1
Procenträkning med stödanteckningar Du kan räkna procent med stödanteckningar. Några viktiga samband hittar du i tabellen till höger.
exempel a lösn i ng
Ett par jeans för 820 kr säljs med 20 % rabatt. Hur stor blir rabatten?
Beräkna 20 % av 820 kr. 1 00 % är 820 kr 10 % är 82 kr 20 % är 2 · 82 kr = 164 kr
10 % är en tiondel. 20 % = 2 · 10 %
Svar: 164 kr exempel b lösn i ng
exempel C lösn i ng
100 % = 1 50 % =
1 2
25 % =
1 4
20 % =
1 5
Svar: 20,40 kr
10 % =
1 10
Beräkna 75 % av 480 kr.
1 % =
1 100
Beräkna 4 % av 510 kr. 1 00 % är 510 kr 1 % är 5,10 kr 4 % är 4 · 5,10 kr = 20,40 kr
1 % är en hundradel. 4%=4·1%
1 00 % är 480 kr 50 % är 240 kr 25 % är ”hälften av hälften”. 25 % är 120 kr 75 % är 240 kr + 120 kr = 360 kr Svar: 360 kr
75 % = 50 % + 25 %. Du kan också tänka 3 · 25 % eller 100 % – 25 %.
Lös uppgifterna med hjälp av stödanteckningar.
40
2 01 Utgå från 750 kr och beräkna
a) 10 %
b) 20 %
c) 40 %
2 02 Utgå från 800 kr och beräkna
a) 1 %
b) 2 %
c) 3 %
2 03 Utgå från 400 kr och beräkna
a) 50 %
b) 60 %
c) 90 %
2 04 Utgå från 600 kr och beräkna
a) 50 %
b) 25 %
c) 75 %
2 05 Utgå från 310 kr och beräkna
a) 10 %
b) 5 %
c) 95 %
2 • procent och lån
2_Matte1a_Procent_orange.indd 40
2011-07-05 08.46
modell 2
Procentberäkningar a Om du vet delen och det hela kan du beräkna andelen. Delen Andelen = Det hela a När du vet andelen och det hela kan du beräkna delen. Delen = Andelen ∙ Det hela a Om du vet delen och andelen kan du beräkna det hela. Delen Det hela = Andelen
exempel a
lösn i ng
Johan är frisör och bor i Älvkarleby. Hans bruttolön är 28 600 kr/ mån. Han betalar 9 116 kr i kommunalskatt. Hur många procent är kommunalskatten i Älvkarleby? Bruttolönen betyder att skatten inte är avdragen. 9 116 Delen Andelen = = ≈ 0,32 = 32 % 28 600 Det hela
Omvandla från decimal form till procentform.
Svar: Kommunalskatten i Älvkarleby är 32 %. exempel b
Blomsterhandeln Blomman ökar sin försäljning från 189 100 kr i november till 258 350 kr i december.
a) Hur mycket ökade försäljningen i kronor?
b) Hur mycket ökade försäljningen i procent? lösn i ng
a) Ökningen: 258 350 kr – 189 100 kr = 69 250 kr Svar: Ökningen är 69 250 kr.
b) För att beräkna förändringen i procent behöver man veta förändringen och ursprungsvärdet.
Förändringen Procentuella förändringen = Ursprungsvärdet Ursprungliga försäljningen var 189 100 kr.
69 250 ≈ 0,37 = 37 % 189 100 Svar: Ökningen är ungefär 37 %.
Procentuella förändringen =
69 250 kr var förändringen.
2 • procent och lån
2_Matte1a_Procent_orange.indd 41
41
2011-07-05 08.46
+ 3 18 Nedanstående stolpdiagram visar åldern på de antagna till en butikschefsutbildning. Antal 6 5 4 3 2 1 0
19 20
21
22 23 24 25 26
Ålder
a) Ange typvärdet. b) Bestäm medianåldern. c) Beräkna medelåldern. + 3 19 a) Du har 12 kulor. Medelvikten är 130 g. Vad händer med medelvikten om du byter en kula som väger 120 g mot en kula som väger 150 g? b) Du har 12 kulor. Kulorna är blåa, röda och gula. Typvärdet är blå. Hur många av varje färg kan det finnas? Ge minst 5 alternativ. c) Du har 12 kulor. 11 väger lika mycket, den 12:e väger lite mindre. Visa hur du kan ta reda på vilken det är med tre vägningar på en balansvåg.
90
3 • s tat i s t i k o c h u n d e r s ö k n i n g a r
3_Matte1a_Statistik_orange.indd 90
2011-07-05 08.58
modell 4
Granska en statistisk undersökning Om du ska kunna granska en statistisk undersökning måste du känna till något om hur den är genomförd. Du bör också veta syftet med undersökningen och om det är en totalundersökning eller en stickprovsundersökning. Totalundersökning Då undersöks hela populationen, t.ex. alla elever vid en skola.
Stickprovs- eller urvalsundersökning Vid en stickprovsundersökning gör man ett urval ur populationen. Det kan göras på flera sätt.
Systematiskt urval Välj t.ex. var tredje elev från en klasslista.
Obundet slumpmässigt urval Eleverna väljs ut med slumptal.
Felkällor Vanliga felkällor vid statistiska undersökningar är att man inte gjort ett korrekt urval eller ett till räckligt stort urval. Det kan även bero på att man ställt svårtolkade frågor, att många tillfrågade låtit bli att svara eller har svarat ofullständigt på en enkät.
Stratifierat urval När man har olika delgrup per och vill att alla ska vara representerade i urvalet.
3 • s tat i s t i k o c h u n d e r s ö k n i n g a r
3_Matte1a_Statistik_orange.indd 91
91
2011-07-05 08.58
+ 733 Familjen Berglund ska installera bergvärme och begär in offerter på borrningen. Firma A ger priset 110 000 kr för att borra 100 m och sedan ökar priset med 5 % var 10:e meter till 200 m. Firma B ger priset 90 000 kr för att borra 100 m och sedan ökar priset med 10 000 kr var 10:e meter. a) Vilken firma bör de välja om de bestämmer sig för att borra 180 m?
b) Vid vilka borrdjup, beräknat på hela tiotal meter, lönar det sig att använda firma B? + 734 Mona vinner 100 000 kr på Lotto. Hon kan sätta in summan på banken och få 4,3 % i ränta på ränta, men hon väljer att låna ut summan till sin skumma kusin som betalar henne 5 000 kr per år. Mona tycker att det verkar mycket bättre än bankens ränta. När bör Mona kräva tillbaks lånet om hon ska tjäna på affären? + 735 Antal invånare i en kommun ändras enligt följande tabell. År
Antal invånare
2007
85 300
2008
81 846
2009
78 582
2010
75 434
a) Beskriv med ord hur befolkningen förändras från år till år. b) Ungefär hur många invånare kommer kommunen att ha år 2018 om minskningen fortsätter i samma takt? K AFFE TERMOSEN u ppdrag
Johanna häller kaffe med temperaturen 92 °C i en termos. Hon ställer sedan termosen utomhus där temperaturen är 15 °C. För att beskriva hur temperaturen y °C hos kaffet förändras med tiden x timmar undersöker hon två olika modeller. Formel för modell A: y = 92 – 7x
Formel för modell B: y = 92 ∙ 0,93x a Beräkna kaffets temperatur efter tre timmar enligt formel A och enligt formel B.
a Beskriv med vardagligt språk vad formel A respektive formel B säger om hur temperaturen sjunker.
a Undersök hur många timmar modell A respektive B kan gälla.
Np Ma A vt 02
228
7 • m at e m at i s k a s a m b a n d
7_Matte1a_Samband_orange.indd 228
2011-07-05 09.09
4 3 2 1
Välj rätt svar
1 Vilken punkt är inritad i koordinatsystemet
1. (2, 3) 2
X. (3, 2)
2. (3, –2)–4 – 3 – 2 – 1
K 7 14 21
X.
y
x
1 2 3 4 –1 –2 –3 Vilket av följande samband beskriver en proportionalitet –4
1.
x 2 4 6
x 3 4 5
K 5 10 15
2.
x 3 5 6
K 7 12,5 14,4
3 Vilket alternativ beskriver en proportionalitet 1. En linje genom punkten (0,2) X. En linje genom origo 2. En kurva som böjer uppåt
4 Vad är proportionalitetskonstant i sambandet K = 13 ∙ x
1. K
X. 13
2. x
5 Vilket matematiskt samband beskriver formeln K = 40x + 10
1. Linjärt
X. Exponentiellt
2. Proportionalitet
6 Ida köper en bil för 97 000 kr. Bilens värde minskar med 30 % per år. Vilken formel beskriver bilens värde efter t år? 1. K = 97 000 ∙ 0,30t
X. K = 97 000 ∙ 0,03t 2. K = 97 000 ∙ 0,70t
7 Befolkningen i en stad ökar enligt ett linjärt förlopp. Befolkningsförändringen per år kommer då att 1. vara konstant
X. öka
2. minska
8 Befolkningen i en annan stad tillväxer exponentiellt. Befolkningsförändringen per år kommer då att
1. vara konstant
X. öka
2. minska
9 Priset på smågodis är 4,90 kr/hg. Hur kan man beskriva vad man får betala? 1. P = 4,90 + x
X. P = 4,90x
1 0 Vad betyder x i förra uppgiften? 1. Priset i kronor
X. Vikten i hg
2. P = 4,90x
2. Vikten i kg
7 • m at e m at i s k a s a m b a n d
7_Matte1a_Samband_orange.indd 229
229
2011-07-05 09.09
Blandade övningar 5
1 58 Du har fem minuter på dig att lösa följande uppgifter
1 Vilka tal saknas i parentesen?
2 Temperaturen sjunker från 7 °C till –9 °C. Beräkna temperaturskillnaden.
a) 5 – (?) = –20
b) – 3 ∙ (?) = 6
3 Beräkna 3 ∙ (4 + 6) – 18/6
4 Sätt ut en parentes så att likheten gäller 4 + 5 – 6 ∙ 7 = –3 2 1 2 1 5 Beräkna a) + b) ∙ 9 3 7 3 6 Beräkna 82 − 49
1 59 Ordna talen i storleksordning, det minsta först. 8, –2,25, 4, 2,5, 0,7, –1,1, 0,10
160 Skriv av uttrycken nedan och sätt ut rätt olikhetstecken. a) 9,4 + 5,6
2 · (3 + 4) b) 6,7 – 4,1
3,9 – 1,1
Beräkna utan räknare och skriv ut varje steg i din uträkning. 1 61 a) 105 + (13 + 27) 1 62 a)
75 5⋅5
1 63 a)
99 22 + 33 + 11 2+3
b) 6 · 8 –
b) 50 – 22 64 8
b)
c) 12 · 2 – 3 · 4 + 2 · 6
c) 200 – 6 · 5 –
80 4
48 3⋅ 7 ⋅ 2 – (13 – 5) c) 4 6⋅7
1 64 Beräkna differensen av 40 och 3, produkten av 30 och 2, kvoten av 40 och 2, summan av 30 och 3. Ordna svaren i storleksordning. 1 65 En volymmängd avrundas till 118 ml. Mellan vilka värden kan den uppmätta volymen ligga? 166 I ett bageri köper du 28 kakor som kostar 8,00 kr styck och 28 bullar som kostar 9,90 kr styck samt 1 kg kaffe för 46,50 kr. a) Teckna ett uttryck för hur mycket du ska betala. b) Hur mycket får du tillbaka om du betalar med 600 kr?
28
1_Matte1a_Tal_orange.indd 28
2011-07-05 08.43
Använd räknaren till följande uppgifter. 1 67 a) 19,8 + (– 14,5) + (– 3,4) 72 – (–48) –5 989 – 98 1 69 a) + 19 4+7 1 68 a)
b) 100 – (14 – (– 80)) b) 132 – (11 + 15) –
1 024 256
b) 121 + 13 · 6 – (18 – 525)
1 70 Den ena faktorn är fem. Vilken är den andra faktorn om produkten blir 105? 1 71 Den ena termen är ett bråk med täljaren 3 och nämnaren 2, den andra termen är en tiondel. Beräkna termernas summa. Svara i bråkform.
324 med räknaren och får svaret 60. 6+6 I facit står det 27. Förklara vad hon har gjort för fel.
1 72 Ida beräknar uttrycket
173
Hur mycket mörk choklad behövs enligt receptet om man ska baka en chokladtårta till 15 personer?
Np Ma A vt 2010
Chokladtårta (6 personer) 100 g mörk choklad 2 dl vetemjöl 100 g smör 1 tsk bakpulver 2 ägg 50 g finhackade nötter 2 dl socker
1 • ta l o c h r ä k n i n g
1_Matte1a_Tal_orange.indd 29
29
2011-07-05 08.43
4 56 Petter har tappat två skruvar till sin rullstol. Han har en låda med fyra stjärnskruvar och sju spårskruvar. Han tar först en skruv och sedan en till, utan att titta.
a) Han behöver två stjärnskruvar. Hur stor är sannolikheten att han får det? b) Hur stor är sannolikheten att han får en av varje? 457 Vad är oddset att få klave när du kastar ett mynt? 4 58 Det är 1 000 personer som åker med färjan till Djurgården under en viss dag. Av dessa går 400 på Gröna Lund och resten på Skansen. Av dem som går på Gröna Lund kommer hälften att äta där. Av dem som går på Skansen kommer 75 % att äta där. a) Hur stor är sannolikheten att en slumpmässigt utvald person på färjan går på Skansen och äter där?
b) Hur stor är sannolikheten att en person äter på något av ställena?
c) På Gröna Lund kostar en måltid i genomsnitt 85 kr, på Skansen kostar en måltid i genomsnitt 125 kr. Hur mycket äts det för den dagen på Gröna Lund respektive Skansen? kryddor i kru k a u ppdrag
En grossistfirma har fått en leverans av 5 000 kryddor i kruka. 87 % av dessa är klassade som prima, 6 % är för små, 4 % är för stora och 3 % av kryddorna har redan börjat vissna. Man har inte tid att sortera kryddorna innan handlarna kommer och hämtar dem. a Hur många av kryddorna har redan börjat vissna? a Handlaren Petter kommer först och hämtar sina kryddor. Han ska ha 250 st. Hur många ska han ta för att sannolikt få 250 prima kryddor? a Hur många måste han minst ta för att vara helt säker på att få 250 prima kryddor?
146
4 • san noli kh etslära
4_Matte1a_Sannolikhet_orange.indd 146
2011-07-05 09.01
+ 4 59 – Jag spelade fem gånger på olika nummer på chokladhjulet utan att vinna en enda gång. Det skulle ha varit bättre om jag spelat på samma nummer.
nit
vinst
nit
nit
nit
nit
nit
nit vinst
nit
– Det spelar väl ingen roll om man spelar på samma eller olika nummer. Det är ändå bara 20 % chans att vinna. – Det gör det väl. Om man spelar på samma nummer varje gång måste det ju dyka upp någon gång.
Vem har rätt? Hur många procents chans är det att vinna minst en gång när man spelar fem gånger på olika nummer och vinstchansen för varje spel är 20 %? Blir det någon skillnad om man spelar på samma nummer?
+ 4 60 Du är med i ett lekprogram på tv och kan vinna 1 000 kronor på ett tärningsspel. Spelet går till så här, programledaren kastar två tärningar som du inte ser. Du ska sedan gissa hur många prickar som tärningarna visar tillsammans. Om du gissar rätt vinner du 1 000 kronor.
Hur många prickar ska du gissa på för att ha så stor sannolikhet som möjligt att vinna? Motivera varför.
Np Ma B vt 05
+ 4 61 På en fröpåse står det att det är 85 % sannolikhet att fröerna gror. Hur stor är sannolikheten att minst ett av tre frön gror? + 4 62 Ett chokladhjul med 100 fält har 5 fält som ger vinst. Linda spelar tre gånger på hjulet.
a) Hur stor är sannolikheten att hon får nit alla tre gånger? b) Hur stor är sannolikheten att hon får exakt en vinst? c) Hur stor är sannolikheten att hon får minst en vinst?
4 • san noli kh etslära
4_Matte1a_Sannolikhet_orange.indd 147
147
2011-07-05 09.01
Begrepp
Betydelse
Sida
Sammansatta Uttryck som innehåller flera tal och tecken för uttryck räknesätt.
8
Prioriterings regler
När man har flera räknesätt i ett sammansatt uttryck räknar man dem i den här ordningen: 1. Parenteser 2. Multiplikation och division 3. Addition och subtraktion
8
Avrundning
Om siffran efter avrundningssiffran är 0, 1, 2, 3 eller 4 avrundas talet neråt. 5, 6, 7, 8 eller 9 avrundas talet uppåt.
12
Överslags räkning
En beräkning där man söker ett ungefärligt svar. Då avrundar man talen så att beräkningen blir enkel att göra.
13
Bråk
a Ett uttryck av formen b 3 Bråket består av täljaren 3 och nämnaren 4. 4
18
Förlänga
Både täljare och nämnare multipliceras med samma tal. Värdet av bråket förändras inte.
18
Förkorta
Både täljare och nämnare divideras med samma tal. Värdet av bråket förändras inte.
18
Potens
Ett uttryck av typen 45 kallas för en potens. Denna potens utläses ”fyra upphöjt till fem”.
21
Bas
4 i potensen 45
21
45
21
Exponent
5 i potensen
Kvadraten på ett tal
Ett tal multiplicerat med sig själv. T.ex. 32 = 3 ∙ 3 = 9
21
Kvadratroten ur ett tal
Ett tal som multiplicerat med sig själv blir det tal som står under ett rottecken.
21
Exempel: 64 = 8
B egr eppsk arta a Gör en begreppskarta utifrån dessa begrepp. Försök att binda samman så många begrepp som möjligt med varandra. Hur hänger begreppen ihop?
a Jämför din begreppskarta med några klasskompisars. Finns det några skillnader eller likheter? Diskutera och försök enas om en gemensam begreppskarta.
36
1 • ta l o c h r ä k n i n g
1_Matte1a_Tal_orange.indd 36
2011-07-05 08.43
Test Utan räknare Beräkna
12 + 33 c) (2 + 11) · 2 – 11 4 + 11 42 2 a) 12 – (–3) b) c) (–5)2 –6 3 Avrunda till tiondelar a) 3,18 b) 24,552 c) 88,99 1 a)
45 + 5 · 2 5
b)
4 Temperaturskillnaden längs ett skidspår är en tävlingsdag 7 °C. Den högsta temperaturen är –9 °C. Vilken är den lägsta? 5 a) Vilka regler gäller vid addition och subtraktion av negativa tal? b) Vad innebär det att förkorta eller förlänga ett bråk? Med räknare Beräkna
3 ⋅ 11,4 8 ⋅ 12,5 1 4 7 a) 34 – (– 6) · (– 8) b) 3 · 2 5 8 Maria köper cashewnötter för 14,90 kr/hg. Hon köper 10 hg nötter som hon fördelar lika i fyra påsar. Vad kostar en påse?
6 a) 5 ·
9 – (4 + 2)2 b) 433 –
9 Hoda ska köpa 2 dvd-filmer. Den ena kostar 98 kr och den andra 139 kr. Han har bara 200 kr på sig och måste låna pengar av Hugo. Hur mycket behöver han låna? 10 Alicia, Emma och Fernando har ätit pizza. De beställde en Cal zone för 69 kr, en Quattro Stagioni för 65 kr och en Ibiza Special för 67 kr. De drack var sin Cola för 17 kr, kaffe för 10 kr och åt var sin portion glass för 23 kr. De delar notan lika. Teckna ett uttryck och beräkna hur mycket var och en ska betala? 11 Pirjo vill köpa en tröja som kostar 149 kr och ett par byxor som kostar 229 kr. Hon vill dessutom gå på sushirestaurang och det kostar minst 95 kr. Hur mycket bör hon ta ut på bankomaten för att säkert ha pengar så det räcker? 12 – Oj, ringer det redan in? Är klockan verkligen 8.15? Men min klocka är bara 7.53. a) Hur många minuter fel går min klocka? b) Vad kommer min klocka att visa när lunchrasten börjar kl 11.05?
1 • ta l o c h r ä k n i n g
1_Matte1a_Tal_orange.indd 37
37
2011-07-05 08.43
Gunilla Viklund · Birgit Gustafsson · Anna Norberg
Trianglar Triangelns vinkelsumma
C
Vinkelsumman i en triangel är 180°. ^A + ^B + ^C = 180° A
CC
Likformiga trianglar 5,0 5,0
B DD
4,0 4,0
FF
2,0 2,0
Matematik 1a Orange för Handels- och administrationsprogrammet, Hantverksprogrammet, Hotell- och turismprogrammet och Restaurang- och livsmedelsprogrammet.
CC
Matematik 1a – program, uppdrag, modeller har
EE AA
BB
DD
• en Modell för varje viktigt delmoment
• typexempel och övningsuppgifter till varje modell
• Uppdrag med problemlösning, resonemang och kommunikation
Pythagoras sats a2 + b2 = c2
FF
PROGRAM • UPPDRAG • MODELLER
katet a
• två kontrollstationer Välj rätt svar och Test.
b katet
I samma serie fi nns
Skala
Matematik 1a Gul (Bygg- och anläggningsprogrammet, El- och energiprogrammet, Fordons- och transportprogrammet, VVS- och fastighetsprogrammet)
Längd i bild:Längd i verklighet 30:1 är en förstoring. 1:1 000 är en förminskning. Symmetri a Om en fi gur har spegelsymmetri delar en symmetrilinje fi guren i två lika delar. a Om en fi gur har rotationssymmetri kan den rotera θ° utan att ändras. 360 där n är rotationsordningen n = θ Stjärnan har n = 5 eftersom θ = 72°.
Matematik 1a Grön (Barn- och fritidsprogrammet, Naturbruksprogrammet, Vård- och omsorgsprogrammet)
❤
«
ISBN 91-523-0810-3
www.bonnierutbildning.se
MatematikA_omslag1orange.indd 1
(523-0810-3)
Matematik 1a PROGRAM
UPPDRAG MODELLER
PROGRAM UPPDRAG MODELLER
Skala och symmetri
• Blandade övningar på tre nivåer
hypotenusa c
Matematik 1a
I likformiga trianglar är a Amotsvarande vinklar lika A EE BB a förhållandet mellan motsvarande sidor lika. AC BC AB = = FE DE DF
Matematik 1a
Gunilla Viklund Birgit Gustafsson Anna Norberg
ORANGE
2011-07-05 10.06