S m e d h a m r e
Matematik inför Gy är en repetitionsbok inför gymnasieskolans kurs 1. Boken riktar sig i första hand till de ungdomar som just har avslutat årskurs 9 men behöver repetera delar av grundskolans matematikkurs.
Matematik inför Gy
Matematik inför Gy
H o l m s t r ö m / S m e d h a m r e
H o l m s t r ö m
H o l m s t r ö m / S m e d h a m r e
Matematik inför Gy
Matematik inför Gy kan även användas som bredvidläsningsbok för de elever som läser kurs 1 men önskar fler grundläggande förklaringar och enkla övningar. Boken innehåller 9 kapitel och avslutas med ett test. 1. De fyra räknesätten 2. Negativa tal 3. Vikt och volym 4. Bråk 5. Procent
6. Grafer 7. Potenser 8. Geometri 9. Ekvationer Test
Best.nr 47-11553-2 Tryck.nr 47-11553-2
Repetition inför gymnasieskolans kurs 1 L i b e r
Matematik_omslag.indd 1
2014-05-06 14.44
ISBN 91-47-11553-2 © 1996 Martin Holmström, Eva Smedhamre och Liber AB Produktion: Fridha Frid, Johnny Frid/Didacta Illustrationer: Ulf Frödin, Fridha Frid Omslag: Anders Wikberg Andra upplagan 1 Tryck: Kina 2014
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se.
Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se
Matematik_inl_1-4.indd 2
2014-05-06 14.38
Förord
Matematik inför Gy är en repetitionsbok inför gymnasieskolans kurs 1. Boken riktar sig i första hand till de ungdomar som just har avslutat årskurs 9 men behöver repetera delar av grundskolans matematikkurs. Matematik inför Gy kan även användas som bredvidläsningsbok för de elever som läser kurs 1 men önskar fler grundläggande förklaringar och enkla övningar. Boken innehåller 9 kapitel och avslutas med ett test. I samtliga kapitel finns förklaringar av grundläggande begrepp, många lösta typexempel samt övningar. 1. De fyra räknesätten 2. Negativa tal 3. Vikt och volym 4. Bråk 5. Procent
6. Grafer 7. Potenser 8. Geometri 9. Ekvationer Test
Testet innehåller uppgifter från bokens samtliga kapitel. Uppgifterna i testet har sidhänvisning till lösta typexempel, vilket underlättar inlärning och förståelse. Testet kan även användas diagnostiskt för att kartlägga enskilda elevers behov av repetition. Efter testet följer ett litet avsnitt Matematik till vardags. Dessa övningar i vardagsmatematik är fristående från övriga kapitel och tänkta att ge ett avbrott i den vanliga undervisningen.
Uppsala i maj 2014 Martin Holmström Eva Smedhamre
Matematik_inl_1-4.indd 3
2014-05-06 14.38
Innehåll 1 De fyra räknesätten Addera med mera 1 Flera räknesätt i samma uppgift 4 Parenteser 5 Decimaltal 7 Tallinjen 8 Miniräknaren 10
2 Negativa tal Tallinjen Räkna med temperaturer Addition av negativa tal Subtraktion av negativa tal Multiplikation och division
12 14 17 19 21
3 Vikt och volym Vikt Liter och deciliter Avrundning
23 26 28
4 Bråkräkning Räkna med bråk Blandad form och bråkform Enklaste form Förkortning och förlängning Bråk med samma nämnare Mer om subtraktion Bråk med olika nämnare Multiplikation av bråk Division av bråk
31 33 36 37 40 42 43 45 46
5 Procent Vad är procent? Vi söker procentsatsen Höjning och sänkning Vi vet procentsatsen
49 51 54 55
6 Grafer Avläsning från grafer
58
Koordinatsystem Värdetabeller Rita grafer och avläs
61 64 67
7 Potenser Potenser Stora tal Stora tal i grundpotensform Små tal i grundpotensform
70 71 72 74
8 Geometri Längdenheter Area och omkrets Cirkelns omkrets Cirkelns area Volymen av ett rätblock Cylinderns volym
77 79 83 86 88 90
9 Ekvationer Förenkling av uttryck 92 Ekvationer 95 Mer om ekvationer 98 Ekvationer med flera termer 99 Ekvationer med x i båda leden 101 Skriv ett uttryck 103 Problemlösning med ekvationer 104
Test
106
Matematik till vardags Baka bröd Tågtidtabell Temperaturkurva Valuta Räkna med tid Tabell och diagram
110 111 112 113 114 115
Svar
116
Sakregister
124
1
De fyra räknesätten Addera med mera EXEMPEL 1 Maria köper en tvål och en tub tandkräm. Hur mycket får hon betala för detta? Vi ska beräkna 15 kr + 23 kr. Att "lägga ihop" kallas även att addera .
Tvål 15 kr
Tandkräm 23 kr
Då vi adderar 15 och 23 får vi svaret 38. Vi kan säga att "15 plus 23 är 38", men vi kan också säga att "summan av 15 och 23 är 38". Maria får alltså betala 38 kr för tvålen och tandkrämen. Svar: Maria får betala 38 kr
EXEMPEL 2 Erik är 38 år och Eva är 21 år. Hur stor är skillnaden i ålder? 38 år – 21 år = 17 år Vi säger att skillnaden mellan 38 och 21 är 17. Åldersskillnaden är alltså 17 år. Ett annat ord för skillnad är differens och det matematiska ordet för räknesättet "minus" är subtraktion.
EXEMPEL 3 Oskar köper 6 pärmar som kostar 30 kr/st. Hur mycket ska han betala? Vi ska multiplicera 30 kr med 6. 6 · 30 kr = 180 kr Svar: Han ska betala 180 kr
1
EXEMPEL 4 Stina köpte 5 rosor för 45 kr. Vad kostade rosorna per styck? Vi ska dela 45 kr med 5. Om du kan 9:ans tabell så vet du att 5 · 9 = 45 45 =9 vilket betyder att 5 45 kr delat med 5 blir alltså 9 kr. Svar: Rosorna kostade 9 kr per styck Vi sammanfattar: term Addition
15 + 4 = 19
summa
term Subtraktion
40 – 10 = 30
differens
faktor Multiplikation
6 · 7 = 42
produkt
täljare Division
8 =4 2
kvot
nämnare
101
Bestäm summan av termerna 40 och 2.
102
Bestäm kvoten då nämnaren är 5 och täljaren är 20.
103
Bestäm differensen om termerna är 30 och 6.
104
Bestäm produkten av faktorerna 9 och 2.
105
Bestäm summan av termerna 100 och 5.
106
Bestäm produkten av faktorerna 8 och 2.
2
De fyra räknesätten
45 Kr
107
Beräkna kvoten om a) täljaren är 12 och nämnaren är 4 b) täljaren är 32 och nämnaren är 8 c) täljaren är 3 och nämnaren är 3
108
Fyra personer ska dela lika på en taxiresa. Hur mycket ska var och en betala om resan kostar a) 180 kr
109
b) 616 kr?
Bestäm produkten om faktorerna är a) 6 och 7 b) 8 och 4
110
a) Är multiplikationen 3 · 6 = 18 korrekt? b) Vad kallas talen 3 och 6? c) Vad kallas talet 18?
111
a) Är additionen 2 + 4 + 5 = 11 rätt? b) Hur många termer har additionen?
112
På en språkkurs deltar 87 kvinnor och 39 män. Hur många kursdeltagare är det på kursen?
113
a) Är subtraktionen 8 – 2 = 6 korrekt? b) Vad kallas talen 8 och 2? c) Vad kallas talet 6?
De fyra räknesätten
3
Flera räknesätt i samma uppgift Vad kostar en linjal och 4 pennor?
Penna 5 kr
0
1
2
3
4
12 kr + 4 · 5 kr = 12 kr + 20 kr = 32 kr
5
6
Lägg märke till att vi utför multiplikationen 4 · 5 innan vi adderar. När det förekommer flera räknesätt i samma uppgift, gör man beräkningarna i följande ordning: 1) Först multiplikation och division 2) Sedan addition och subtraktion
EXEMPEL 1 Anneli går på bio med två kompisar. Efter biobesöket åker de hem i taxi. Vad blir Annelis utgifter om hennes biobiljett kostar 75 kr och taxiresan, som ska delas på tre, kostar 120 kr? 75 kr + 120 kr = 75 kr + 40 kr = 115 kr 3 Svar: 115 kr
EXEMPEL 2 Beräkna 3 + 7 · 2 – 1 3 + 7 · 2 – 1 = 3 + 14 – 1 = 17 – 1 = 16
Svar: 16
EXEMPEL 3 Daniel köper en ask choklad för 110 kr och frukt för 35 kr. Hur mycket får han tillbaka på 200 kr? Vi visar två alternativ att beräkna 200 kr – 110 kr – 35 kr Alternativ 1 Vi börjar med att dra bort den första utgiften: 200 kr – 110 kr = 90 kr Sedan drar vi bort den andra utgiften: 90 kr – 35 kr = 55 kr Svar: 55 kr Alternativ 2 Vi adderar utgifterna: 110 kr + 35 kr = 145 kr Vi drar bort de totala utgifterna: 200 kr – 145 kr = 55 kr
4
De fyra räknesätten
7
8
1 9
10
11
12
13
Linjal 12 kr
14
15
16
17
18
19
20
Beräkna 114
a) 2 + 4 · 3
b) 4 + 6 · 2
115
a) 12 – 2 · 5
b) 8 – 3 · 2
116
a) 20 – 2 – 8
b) 100 – 10 – 20
117
a) 2 · 5 + 3 · 5
b) 3 · 8 – 4
118
a) 20 – 10 + 10 2
b) 6 + 8 + 2 4
119
a) Vad kostar 5 pizzor och 2 paket glass enligt annonsen? b) Hur mycket får man tillbaka på 100 kr om man köper 3 paket bacon och 1 pizza? c) Vad har man köpt om man ska betala 2 · 13 kr + 15 kr? d) Vad har man köpt om man ska betala 18 kr + 3 · 15 kr?
EXTRAPRIS! PIZZA 15 KR BACON 18 KR GLASS 13 KR
Beräkna 120
a) 13 – 3 · 2 + 6
b) 10 + 10 · 8
121
a) 100 – 10 – 20 · 2
b) 50 – 1 – 4 – 5
122
a) 100 + 100 · 3
b) 200 – 100 · 4 + 500
Parenteser När man vill visa att något ”hör ihop” kan man använda parenteser. Gunnel köper 8 godispåsar till ett barnkalas. Varje påse innehåller choklad för 4,50 kr, smågodis för 5 kr och en klubba för 1,50 kr. Vad kostar påsarna tillsammans? Varje påse kostar 4,50 kr + 5 kr + 1,50 kr 8 st påsar kostar 8 · (4,50 kr + 5 kr + 1,50 kr) Lägg märke till att vi använder parentesen för att visa att de tre talen ”hör ihop”. Här visar parentesen hur mycket varje godispåse kostar. Vi beräknar parentesen först och får då 11 kr. Tillsammans kostar påsarna 8 · 11 kr = 88 kr
De fyra räknesätten
5
Om en uppgift innehåller en eller flera parenteser, ska dessa alltid beräknas först.
EXEMPEL a) (6 + 4) · 5 = 10 · 5 = 50 b) 100 – (28 – 8) = 100 – 20 = 80 c) 7 + 3 · (8 – 2) = 7 + 3 · 6 = 7 + 18 = 25 d)
4 + 8 12 = =6 2 2
Bråkstrecket fungerar som en parentes. Här brukar man inte skriva ut parentesen (4 + 8).
e) 3(5 + 1) = 3 · (5 + 1) = 3 · 6 = 18
Det är vanligt att multiplikationstecknet framför parentesen utelämnas.
Beräkna 123
a) 4 + (9 – 2)
b) 7 + (8 – 2 – 1)
124
a) 8 – (2 + 5)
b) 12 – (5 – 3)
125
a) (20 – 7) – 10
b) 11 – (22 – 18) + (7 + 5)
126
a)
127
a) 78 – (12 – 9)
b) 9 – (2 + 5 – 7)
128
a) 2 · (3 + 9)
b) (1 + 8) · 3
129
a)
130
a) 7(4 + 5)
131
Malin har handlat några av de varor som bilden visar. Vad har Malin köpt om hon ska betala
3 + 12 2
3 ⋅ 2 + 11 2
a) 12 + 2 · 15 b) 2(12 + 15) c) 15 + 2(12 + 8)
b)
b)
4 +2⋅5 2
8 + 3⋅4 4
b) 12(6,5 – 2,5)
12 kr L Ä S K
d
chokla 8 kr
6
De fyra räknesätten
15 kr
CH IP S
Decimaltal Är talen 9,50 och 9,05 lika stora? Om vi tänker i pengar så gäller följande: 9,05 kr = 9 kr och 5 öre 9,50 kr = 9 kr och 50 öre
9,50 är alltså större!
Både 9,50 och 9,05 är exempel på decimaltal, eftersom de har decimaltecken (kommatecken). Siffrorna efter decimaltecknet kallas decimaler.
9,05
Talet 9,05 har två decimaler
decimaltecken Vad menar vi då med talet 9,5? Talet kan utläsas ”nio komma fem” eller ”nio och en halv”. Om vi tänker i kronor så blir det ”9 kr och en halv krona”, dvs 9 kr och 50 öre. Slutsats: 9,5 = 9,50 100 öre = l kr
3 kr = 3,00 kr
65 öre = 0,65 kr
0,5 kr = 0,50 kr = 50 öre
5 öre = 0,05 kr 132
Skriv i kr som decimaltal a) 16 kr och 50 öre
b) 3 kr och 5 öre
133
Bestäm summan av 15,7 och 9,4
134
Kalle väger 90,2 kg och Ebba väger 57,6 kg. Hur mycket mer än Ebba väger Kalle?
135
Vilka av alternativen A-D betyder 70 öre? A) 0,70 kr C) 0,07 kr
136
B) 0,7 kr D) 0,5 kr + 0,20 kr
Titta på termometern. a) Hur många grader visar termometern? b) Hur många grader blir det om temperaturen sjunker 0,4 grader?
37 36
De fyra räknesätten
7
Tallinjen Bilden visar en tallinje. Varje punkt på tallinjen motsvaras av ett tal. Dessa kan vara heltal som t ex 4 eller decimaltal som t ex 0,5. Se pilarna. Ju längre till höger på tallinjen som ett tal ligger, desto större är talet! Praktiska exempel på tallinjen är en linjal eller en termometer.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
När man jämför tal använder man de symboler (tecken) som tabellen visar: Symbol
Exempel
Utläses
=
4 = 4,0
4 är lika med 4,0
>
9>5
9 är större än 5
<
5<9
5 är mindre än 9
Minnesregel: Tecknen < och > ”gapar” alltid mot det större talet.
EXEMPEL 1 Ange de tal som pilarna pekar på. a b
0
1
Svar: a) 0,6
2
b) 3,9
3
4
c) 6
EXEMPEL 2 Skriv med olikhetstecken. a) 12 är större än 9
Svar: 12 > 9
b) 0 är mindre än 3
Svar: 0 < 3
c) 2 är lika med 2,0
Svar: 2 = 2,0
8
De fyra räknesätten
d
c
5
6
d) 8,1
7
8
9
10
EXEMPEL 3 Skriv rätt tecken mellan talen. Välj mellan >, = och <. a) 3
8
Svar: 3 < 8
b) 2,00
2
Svar: 2,00 = 2
c) 0,05
0,40
Svar: 0,05 < 0,40
137
(5 öre är ju mindre än 40 öre)
Skriv med symbol a) 1 är mindre än 5 c) 0 är mindre än 4
b) 8 är större än 3 d) 230 är större än 2
Vilka tal pekar pilarna på? 138
b
a 0
1
139
2
3
140
2
2
3
1
4
10
b
a
0
5
b
a 0
4
1
3
2
5
c
6
7
c
d
6
8
9
10
8
9
10
8
9
10
7
c
d
6
7
d
Skriv rätt tecken mellan talen. Välj mellan >, = och <. 141
a) 8
19
b) 6,5
5,6
142
a) 7
7,00
b) 8
0,8
143
a) 11
10,9
b) 119
191
144
Skriv med symbol a) 34 är mindre än 43
145
b) 1,0 är större än 0,9
Vilka tal pekar pilarna på? a
0
0,1
2
b
3
4
0,5
d
c
0,5
7
8
1
De fyra räknesätten
9
S m e d h a m r e
Matematik inför Gy är en repetitionsbok inför gymnasieskolans kurs 1. Boken riktar sig i första hand till de ungdomar som just har avslutat årskurs 9 men behöver repetera delar av grundskolans matematikkurs.
Matematik inför Gy
Matematik inför Gy
H o l m s t r ö m / S m e d h a m r e
H o l m s t r ö m
H o l m s t r ö m / S m e d h a m r e
Matematik inför Gy
Matematik inför Gy kan även användas som bredvidläsningsbok för de elever som läser kurs 1 men önskar fler grundläggande förklaringar och enkla övningar. Boken innehåller 9 kapitel och avslutas med ett test. 1. De fyra räknesätten 2. Negativa tal 3. Vikt och volym 4. Bråk 5. Procent
6. Grafer 7. Potenser 8. Geometri 9. Ekvationer Test
Best.nr 47-11553-2 Tryck.nr 47-11553-2
Repetition inför gymnasieskolans kurs 1 L i b e r
Matematik_omslag.indd 1
2014-05-06 14.44