9789144096490 by Smakprov Media AB

Elektromagnetism Elektromagnetismen är en av fysikens hörnstenar som har haft enorm betydelse för att öka förståelsen av vår värld och utvecklingen av ett högteknologiskt samhälle. Maxwells formulering av de elektromagnetiska ekvationerna i mitten på 1800-talet innebar ett gigantiskt språng för fysiken. Med de ekvationer som idag benämns Maxwells ekvationer lyckades Maxwell visa att elektricitet, magnetism och ljus styrs av en gemensam uppsättning av ekvationer som har en mycket vid applicerbarhet. Dessa eleganta ekvationer visar hur elektriska laddningar och elektriska och magnetiska fält kopplar till varandra. De elektromagnetiska fälten transporterar också energi och rörelsemängd. Med en koncis presentation ges en rimligt heltäckande bild av klassisk elektromagnetism. Boken behandlar såväl elektrostatik, magnetostatik, induktion som vågutbredning.

Olov Ågren | Elektromagnetism

Olov Ågren, professor i teknisk fysik vid Uppsala universitet, har som programansvarig för civilingenjörsprogrammet i teknisk fysik en allsidig erfarenhet av vilka krav och problem som möter studenter. Olov har också en bred bakgrund inom energiforskning, och då särskilt forskning inom fusion och förnybar elkraftsgenerering från vågor, vind och strömmande vattendrag. Leder utvecklingen av ett koncept för att ta tillvara energin från använt kärnbränsle med hjälp av en fusionsneutronkälla.

Elektromagnetism

Boken ger en bred exposé över viktigare tillämpningsområden. Huvudsyftet med boken är dock att studierna ska leda till en fysikalisk förståelse av elektromagnetismen. Boken vänder sig mot civilingenjörsstudenter i teknsik fysik, elektroteknik, materialfysik och naturvetarfysiker och andra grupper som har behov av gedigna kunskaper i fältteori. Förkunskapskrav är ett års studier på program med fysik och matematik. Art.nr 38288

www.studentlitteratur.se

978-91-44-09649-0_Cover.indd 1

Olov Ågren 2014-08-19 21:34

26 augusti 2014 – sida 2 – # 2

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Presskopias skolkopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Denna trycksak är miljöanpassad, både när det gäller papper och tryckprocess. Art.nr 38288 isbn 978-91-44-09649-0 Upplaga 1:1 © Författaren och Studentlitteratur 2014 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Jens Martin/Signalera Printed by Holmbergs i Malmö AB, Sweden 2014

26 augusti 2014 – sida 3 – # 3

INNEHÅLL

Förord 7

Beteckningar 13

KAPITEL 1

1.1 1.2 1.3

Direktväxelverkan och fältbeskrivning 15 Maxwells ekvationer och Lorentzkraften som ett fullständigt system 17 Coulombintegralerna för elektriska potentialen och elektrostatiska fältet 19

KAPITEL 2

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

3.2

Grundläggande potentialteori 27

Poissons ekvation i elektro- och magnetostatiken 27 Randvärdesproblem 30 Tvådimensionella problem 32 Dirac-funktionen och fundamentallösningar 34 Helmholtz teorem och Poissons ekvation 36 Följdsatser till Helmholtz teorem för rotationsfria och divergensfria fält 37 Illustration av rotationskällor 37

KAPITEL 3

3.1

Introduktion 15

Divergenssatsen och Stokes sats 45

Gauss lag och Ampères lag på integralform för de statiska fälten 45 Rand- och hoppvillkor vid gränsytor mellan material 50

26 augusti 2014 – sida 4 – # 4

innehåll

KAPITEL 4

4.1 4.2 4.3

Strömtäthet 61 Ohms lag samt konduktiv och konvektiv ström 62 Kontinuitetsekvationen för elektrisk laddning 64

KAPITEL 5

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

7.4

Metoder och teori för potentialproblem 83

Poissons ekvation med randvillkor 83 Matematiska egenskaper hos potentialproblem 84 Variabelseparation 86 Spegling i plan 86 Kondensatorapproximationen 90 Approximationer av Coulombintegralen; multipolutveckling och långsmala rör 90

KAPITEL 7

7.1 7.2 7.3

Ampères lag, Biot-Savarts lag samt Lorentzkraften 69

Ampères experimentella kraftlag mellan strömförande ledare; Biot-Savarts lag 69 Generalisering av Ampères kraftlag till volymsfördelade strömmar 71 Lorentzkraften för en punktladdning i elektromagnetiskt fält 71 Kraft och vridmoment på liten laddnings- och strömfördelning; kompassekvationen 71 Galilei-transformationer av fälten E och B 72 Helixbanor för gyrerande partiklar 73 Gyrocentrums rörelse i mer allmänna fält (överkurs) 74

KAPITEL 6

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

Elektriska strömmar 61

Faradays induktionslag 95

Faradays induktionslag på integral- och differentialform 95 Cirkulationsfri del hos inducerat fält i slingor 98 Induktion i roterande slingor och effektutveckling i symmetrisk trefaslast 99 Skärmning av elektriska fält och diffusion av magnetiska fält in i metaller 101 © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

26 augusti 2014 – sida 5 – # 5

innehåll

7.5

Hall-effekten (överkurs) 102

KAPITEL 8

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Statiska fält på stora avstånd från källfördelningen (multipolutvecklingen) 107 Ideala elektriska och magnetiska dipoler samt kraft och vridmoment på dessa 109 Dipolmoment, bundna laddningar och magnetiserande strömmar i material 112 D- och H-fälten 114 Något om materials elektromagnetiska egenskaper 115

KAPITEL 9

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7

10.3 10.4

Maxwells ekvationer och vågutbredning 121

Maxwells generalisering av Ampères lag och slutlig form av Maxwells ekvationer 121 Vågekvationerna för E och B utanför källfördelningar 123 Lösningen till endimensionella vågekvationen och planvågsuppdelning 125 Retarderade potentialer som lösning till de inhomogena vågekvationerna 129 Strålningsfält på stort avstånd från källor; elektrisk dipolstrålning 132 Kvantmekaniska effekter 139 Energi och rörelsemängd i det elektromagnetiska fältet (Poyntings teorem) 141

KAPITEL 10

10.1 10.2

Dipolapproximation för fält i material 107

Vågutbredning i material 147

Vågekvationen i ledande och dielektriska material 147 Transversella vågor i dielektriska material; reflektions- och brytningslagen 151 Transmission och reflektion med elektriskt fält polariserat vinkelrätt mot infallplanet 153 Transmission och reflektion med elektriskt fält polariserat i infallplanet 155

26 augusti 2014 – sida 6 – # 6

innehåll

10.5 10.6 10.7

Optiska egenskaper hos dielektriska tunnfilmer 156 Vågutbredning kring strömförande cylindrisk ledare 158 Samplingsteoremet 163

Appendix A 167

Sakregister 171

26 augusti 2014 – sida 7 – # 7

FÖRORD

Maxwells formulering av de elektromagnetiska ekvationerna i mitten på 1800-talet innebar ett gigantiskt språng för fysiken. Med de ekvationer som i dag benämns Maxwells ekvationer lyckades Maxwell visa att elektricitet, magnetism och ljus styrs av en gemensam uppsättning av ekvationer som har en mycket vid applicerbarhet. Precisionen i teorin är extremt hög, exempelvis när det gäller ljusets utbredning i fri rymd över astronomiska avstånd, och ofta kan teorin betraktas som ”exakt”. Elektromagnetismen har haft enorm betydelse för såväl tillämpade områden som utvecklingen av ett modernt högteknologiskt samhälle, och det kan tyckas överraskande att alla dessa applikationer styrs av några få ekvationer. Likväl är vår värld befruktad med en i sanning en både vacker och praktisk teori som gör fysiken mer njutningsfylld och mer lättbegriplig. En erfaren person kan inse att Maxwells ekvationer har en förvånansvärt klar struktur och betydelse, men då får man inte glömma att den personen har en mångårig verksamhet inom området. Det är en utmaning att skapa en liten kurs där studenter efter kursen har en rimlig helhetsbild av det krävande området, och att dessa studenter får en insikt i att teorin, trots sin vida applicerbarhet, i viss mening faktiskt är ganska ”enkel”. Elektromagnetismens betydelse för det moderna samhället kan knappast överskattas, och det är nödvändigt att en kader av studenter på civilingenjörsutbildningar eller naturvetenskapliga utbildningar behärskar området. Elektromagnetismen är som bekant viktig för många tekniska områden som exempelvis elkraftsgenerering, trådlösa kommunikationer och utvecklande av vetenskaplig utrustning, men elektromagnetismen är kanske främst en av hörnstenarna i den fysikaliska teoribildningen. Då de möjliga infallsvinklarna för att behandla elektromagnetism är närmast oöverblickbara måste vissa val göras i framställningen, inte minst när det gäller applikationer. För mig som programansvarig för civilingenjörsprogrammet i teknisk fysik vid Uppsala universitet har det varit viktigt att visa att det är möjligt att med en mindre © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

26 augusti 2014 – sida 8 – # 8

förord

kurs höja studenternas förtrogenhet med varför en fältteori är nödvändig och i en strikt framställning visa hur fälten påverkas av källor som laddningar och elektriska strömmar. Att åskådliggöra hur elektromagnetismen används i applikationer är också väsentligt. Fysikalisk begreppsbildning är en central del, och jag har därför valt att utforma kurslitteraturen på svenska, för att inte i onödan skapa svårigheter för studenterna. Centrala begrepp får dock alltid en engelsk översättning för att studenter ska kunna läsa engelskspråkig litteratur inom området. Samtliga studenter som genomför kursen höjer sina kunskaper och färdigheter i elektromagnetism, även om variationerna kan vara tämligen stora. En målsättning är att de bästa studenterna ska förstå den klassiska elektromagnetismen som en helhet, där teoriuppbyggnad, förmåga att formulera och lösa fältteoretiska problem samt utpekande av tekniska applikationer och insikter om varför teorin för mikroskopiska system måste kompletteras med kvantmekanik är några hörnstenar. I vissa delmoment går det att nöja sig med en nivå där studenter övergripande kan redogöra för och diskutera problemställningar. I huvudsak har jag dock eftersträvat en avsevärt djupare nivå, där de mest avancerade studenterna ska vara förberedda för kvalificerad forskning och utveckling i företag eller akademi. Samtliga studenter ska inom denna kurs förkovras inom såväl elektrostatik, magnetostatik, induktion som vågor. Det är ett ambitiöst upplägg att redan under andra läsåret täcka detta. Såvitt jag kan bedöma görs inte detta vid andra svenska lärosäten, och det är vanligt att man mer betonar kretsteori än fält i ellärakurser, åtminstone i examinationsuppgifterna. Vi har medvetet valt att ha separata kurser i elektronik respektive fältteori för att säkerställa att båda dessa viktiga områden får en gedigen behandling. Erfarenheter de gångna åren visar att upplägget på det hela taget fungerar. Avgränsningar har gjorts med beaktande av olika kursmoments relevans samt behov av kompetenser inom näringsliv och forskning. Även efterföljande kursers behov (särskilt för teknisk fysik) har beaktats. Till detta bör läggas att kursupplägget bör uppfattas som attraktiv av studenter, så att de inspireras att förkovra sig i det krävande materialet. De matematiska och begreppsmässiga sambanden är konsekvent genomförda. Matematik betonas mer än ”räkning”, och jag har exempelvis lagt större vikt vid t.ex. hur lösningars existens och entydighet kan motiveras från energiminimering än att detaljerat gå igenom vissa räknetekniska metoder för t.ex. 8

26 augusti 2014 – sida 9 – # 9

förord

variabelseparation. Det har fördelen att upplägget blir mer generellt och att man hinner behandla den konceptuella teorin mer strikt. Jag har undvikit att falla för frestelsen att ta genvägar, med enkla men felaktiga förklaringar som underlättar framställningen. Det är min avsikt att kursmaterialet i alla avseenden ska vara vederhäftigt.

Målgrupp Kursen är avsedd för studenter som har behov av gedigna kunskaper i fältteori. Kapitel 1–9 har under flera år använts för studenter i årskurs 2 på teknisk fysik. Efterföljande kapitel har tagits med för att naturligt avrunda boken med vissa väsentliga aspekter hos vågor (även om dessa avsnitt inte har hunnits med i kursen finns där dock viktiga delar som bör täckas av andra kurser på ett program som teknisk fysik). Kursen förutsätter att studenter genomfört universitetsstudier i flerdimensionell analys, någon kurs i mekanik samt en första kurs i elektromagnetism. Kursen passar också in på andra studentgrupper som profileras mot fysik, exempelvis civilingenjörsstudenter i elektroteknik, materialfysik och naturvetarfysiker. Vid Uppsala universitet deltar årligen runt 130 studenter i kursen. Kursen har omfattat 5 högskolepoäng för dessa studenter som har en förkunskapskedja som anpassats till kursen. Kursmaterialet (med smärre kompletteringar) kan också användas för studenter med en mindre anpassad studiebakgrund, om kurspoängen ökas till mellan 10 och 15 högskolepoäng, beroende på studentgruppens förkunskaper. För sådana studentgrupper bör kompletterande undervisning (i t.ex. flerdimensionell analys, mekanik eller ellära) ges på de moment som saknas före kursen.

Undervisning och examination Teroin bör kompletterats med laborationer, förslagsvis två halvdagars laborationer (vi har använt linjär generator respektive asynkronmotor). Ett studiebesök ordnas också för att studenter ska få tillfälle att se elektrisk utrustning och få insikter om aktuell forskning och utveckling vid vår avdelning. Inlärning stimuleras om studenterna får möjligheter att redovisa problemlösningsförmåga under kursens gång. I appendix A ges exempel på två redovisningsuppgifter som använts i kursen. Studenterna utarbetar i förväg lösningar till problemen, där samarbete med andra studenter uppmuntras, © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

26 augusti 2014 – sida 10 – # 10

förord

något som stimulerar samarbete och lagarbete eller ”teamwork”. Däremot är det viktigt att undvika gruppredovisning för att säkerställa att studenter får den kunskap och färdighet som eftersträvas. Varje student presenterar och förklarar sina lösningar individuellt, och detta har tagit 5–10 min i anspråk för varje redovisningsuppgift. Såväl studenters som undervisande personals erfarenheter av detta är mycket goda! Redovisningsuppgifterna är noggrant utvalda för att studenten ska få förtrogenhet med både Coulombintegralen (som används då samtliga källor är kända) och randvärdesproblem (som motsvarar problem där ytkällor är obekanta på förhand, men där randvillkor på potentialen i stället kan finns givna). I appendixet ges också exempel på en tentamen som innefattar områdena elektrostatik, magnetostatik, induktion och vågor, något som varje tentamen bör innehålla enligt min mening. Därtill kan det vara bra att ha examinationsproblem som anknyter till fältlinjer, multipolutveckling, diffusion av fält och tvådimensionella idealiseringar.

Referenser Inspiration till innehållet har hämtats från en mängd etablerade böcker och annat material, men upplägget är medvetet mer kompakt än vad som är typiskt, utan att för den skull ge avkall på stringens. En motivation har varit att skriva en text som rimligt balanserar mellan gedigen teori för tillämpningar och samtidigt förbereder för mer avancerad forskning och utveckling. Även om det kompakta upplägget inte är typiskt är urvalet av material klassiskt. Urvalet har färgats av min egen erfarenhet från undervisning och forskning och blandats med material som motiverats av de önskemål som jag kunnat identifiera för tekniska fysiker. Jag har undvikit att smala av behandlingen mot alltför snäva forskningsfält, och istället eftersträvat att ta med material som har ett mer generellt intresse. Omsorg har lagts ned för att hitta vägar som stimulerar inlärningen utan att bli i onödan räknetungt och få fram ett kursmaterial som saknar ”hål” i framställningen. Bland de viktigare källorna till texten kan följande referenslitteratur nämnas:

26 augusti 2014 – sida 11 – # 11

förord

M. Abraham and R. Becker, The classical theory of Electricity, Blackie and Son, 1932. Hannes Alfvén, Cosmical Electrodynamics, Oxford University Press, 1950. R. Becker, Theorie der Elektrizität, Band II, Teubner, 1933. E.R. Dobbs, Basic Electromagnetism, Chapman & Hall, 1993. L.D. Landau and E.M. Lifshitz, The classical theory of fields (transl. from the Russian), Addison-Wesley, 1960. J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, 2nd ed., Wiley, New York, 1975. L.D. Landau and E.M. Lifshitz, The classical theory of fields (transl. from the Russian), Addison-Wesley, 1960. J. C. Maxwell, A treatise on Electricity and Magnetism, 3rd ed., Oxford University Press, 1904. W.K. H., Panofsky and M. Phillips, Classical electricity, 2nd ed., Addison-Wesley 1962. John R. Reitz and Frederick J. Milford, Foundations of Electromagnetic theory, Addison-Wesley (1960). Roald K. Wangsness, Electromagnetic fields, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-81186-6, 1986.

Acknowledgement Givande diskussioner med Bo Högström, en av grundarna av det medicintekniska företaget Helax, har alltsedan studentåren varit en pålitlig inspirationskälla till att söka förståelse för hur fysiken är uppbyggd och påverkar vår värld. Kolleger vid avdelningen för teoretisk elektroteknik, där jag genomförde mina doktorandstudier, har varit betydelsefulla för min förkovran i elektromagnetism, liksom de eminenta forskare som jag träffade under Postdoc-vistelsen vid Institute for Fusion Studies i Austin Texas. Under senare år har har jag varit verksam vid avdelningen för elektricitetslära. Där har Professor Mats Leijon byggt upp en framgångsrik verksamhet kring energiforskning, inriktad på att ge fysikalisk grund för energiutvinning som paras med innovativa konstruktioner för elektriska maskiner av allehanda slag. Jag är tacksam för alla råd från mina nya kolleger och för den engagerade assistansen som undervisande kolleger bistått med, naturligtvis inte minst från de som varit delaktiga i undervisningen av kursen vars innehåll är basen © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

26 augusti 2014 – sida 12 – # 12

förord

för materialet i denna bok. Slutligen måste Vladimir Moiseenko nämnas som jag under många år haft ett intensivt forskningsamarbete med. Hans osedvanligt breda såväl teoretiska som experimentella kompetens är en outsinlig källa till inspiration.

26 augusti 2014 – sida 45 – # 45

KAPITEL 3

Divergenssatsen och Stokes sats

Divergenssatsen och Stokes sats är tämligen direkta konsekvenser av partiell integrering med vektorvärda kvantiteter. Inom elektromagnetismen får dessa satser en speciellt tydlig fysikalisk innebörd p.g.a. att divergensen av det elektriska fältet kan associeras med elektriska laddningar, medan rotationen av B-fältet kan associeras med elektriska strömmar. Om det elektriska fältet är konstant på begränsningsytan kan man med hjälp av Gauss lag på integralform direkt bestämma det elektriska fältet. Under liknande förutsättningar kan man med hjälp av Stokes sats och Ampères lag bestämma B-fältet i vissa situationer med hög grad av symmetri. Från Gauss och Stokes integralsatser kan man också härleda generella s.k. hoppvillkor för hur fält ändras diskontinuerligt vid begränsningsytor mellan olika material. Detta har allmänt matematiskt intresse. Ändliga hopp i fälten fås om ytkällor samlats på begränsningytan, och ytkällor uppstår naturligt inom elektromagnetismen. För exempelvis en ledande kropp som laddas upp med nettoladdning och som omges av ett elektriskt isolerande material (t.ex. luft eller vakuum) relaxerar laddningsfördelningen till en ytladdning, och i det relaxerade sluttillståndet avskärmas det elektriska fältet inuti den ledande kroppen (Faradays bur).

3.1 Gauss lag och Ampères lag på integralform för de statiska fälten Divergenssatsen och Stokes sats lyder för ett tredimensionellt vektorfält F(x, t) = xˆ Fx (x, t) + yˆ F y (x, t) + zˆ Fz (x, t),

∫ ∮∫

∫

∮ F ⋅ nˆ dS = S

∇ ⋅ F dV

(3.1.1)

∫ (∇ × F) ⋅ nˆ dS

(3.1.2)

F ⋅ dl =

26 augusti 2014 – sida 46 – # 46

3 divergenssatsen och stokes sats n̂ V

n̂

C FIGUR 3.1

Geometriska kvantiteter i divergenssatsen och Stokes sats.

I divergenssatsen (som också kallas Gauss sats) är volymen V begränsad av den slutna ytan S med den utåtriktade normalen nˆ . I Stokes sats begränsas ”tvärsnittsytan” S av den slutna kurvan C som ska genomlöpas moturs i Stokes sats, vilket illustreras i figur 3.1. Båda satserna är tämligen direkta konsekvenser av partiell integrering. I elektromagnetismen har dessa satser en speciell innebörd och tolkning eftersom divergenskällor motsvaras av laddningar, medan rotationskällor motsvaras av elektriska strömmar. Detta utnyttjas i Gauss lag och Ampères lag på integralform, som i situationer med hög grad av symmetri kan användas för att bestämma fälten.

ELEKTROSTATIK

För de elektrostatiska grundekvationerna ∇ ⋅ E = ρ/ε 0 och ∇ × E = 0 ger Gauss och Stokes satser:

∫ ∮∫

∮ E ⋅ nˆ dS = S

Q in , Q in = ε0

∫

E ⋅ dl = 0,

ρdV ,

(3.1.3) (3.1.4)

där Q in är laddningen inuti volymen V . Att cirkulationen av ett elektrostatiskt fält är noll kan också visas genom att använda E(x) = −∇ϕ(x), och att potentialens ändring längs ett linjeelement därmed blir dϕ(x) = ∇ϕ ⋅ dl = −E ⋅ dl, varav följer: ϕ(x2 ) − ϕ(x1 ) = − 46

∫

E ⋅ dl. © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

26 augusti 2014 – sida 47 – # 47

3 divergenssatsen och stokes sats

För en sluten kurva (där ändpunkterna sammanfaller) leder detta till ∮ ∫C E ⋅ dl = 0. För tredimensionella fall, där vi kan välja ϕ(∞) = 0, fås från formeln ∞ ovan också att ϕ(x) = ∫x E ⋅ dl. I enstaka (men viktiga) fall då laddningsfördelningen har en enkel symmetri kan man bestämma det elektriska fältet direkt från integralformen 3.1.3 av Gauss lag fall. För en sfäriskt symmetrisk laddningsfördelning ρ(R) fås: E=

ˆ Q in (R) R , 4πε 0 R 2

(3.1.5)

där laddningarna innanför en sfärisk volym med radie R bestämmer fältet. För en metallsfär med radien a som laddats upp med laddningen Q samlas laddningarna på ytan och detta ger: ⎧ ⎪ ⎪0, E=⎨ Q ⎪ ⎪ ⎩ 4πε 0

ˆ R , R2

R<a R>a

(3.1.6)

Exemplet visar att ytladdningarna på metallytan fördelas så att fältet inuti sfären blir exakt noll, vilket illustrerar skärmning med Faradays bur. Utanför en sfärisk laddningsfördelning fås samma elektriska fält som från en punktladdning med nettoladdningen Q placerad i origo, vilket illustrerar att olika laddningsfördelningar kan ge upphov till identiska fält i delar av rummet (fälten kan dock inte vara identiska i hela rummet om laddningsfördelningarna är olika). På motsvarande sätt, se figur 3.2, ger integralformen av Gauss lag det elektriska fältet från en oändligt lång linjeladdning med den konstanta laddningen Q l per längdenhet i z-led, E=

ˆ Q l /ε 0 R , R = x − x′ = (x − x ′ , y − y ′ ), 2π R

(3.1.7)

vilket motsvaras av en elektrisk potential: ϕ(x, y) = −

Q l /ε 0 √ ln (x − x ′ )2 + (y − y ′ )2 + konst. 2π

(3.1.8)

Ett ytterligare exempel där fältet kan bestämmas från 3.1.3 motsvaras av att planet z = z ′ är uppladdat med en konstant laddning ρ S per ytenhet. Om © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

26 augusti 2014 – sida 48 – # 48

3 divergenssatsen och stokes sats

Ql Δh R

FIGUR 3.2

Lämplig Gaussyta för att bestämma fältet från linjeladdning.

området nedanför det uppladdade planet är ett elektriskt ledande material, se figur 3.3, fås: ⎧ ⎪ ⎪0, E = ⎨ ρS ⎪ ⎪ ⎩ ε 0 zˆ ,

z < z′

(3.1.9)

z > z′ .

z ρs

z = zʹ E = 0 (conductor) x FIGUR 3.3

Elektriskt fält från konstant ytladdningstäthet ovanför ledande material.

Detta ger ett hoppvillkor vid ytladdningen, ρ S /ε 0 = {ˆn ⋅ E}, för elektriska fältets komponent längs ytans normalvektor. I 3.1.9 har vi också använt att det elektriska fältet är noll i det ledande materialet.

MAGNETOSTATIK

För de magnetostatiska grundekvationerna, ∇ ⋅ B = 0 och ∇ × B = µ 0 j, ger Gauss sats att magnetiska flödet genom en sluten ytan är noll (∮ ∫ S B ⋅ nˆ dS = 0), medan Stokes sats och Ampères lag ger:

∫

∮ B ⋅ dl = µ 0 I in , I in = C

∫ j ⋅ nˆ dS, S

26 augusti 2014 – sida 49 – # 49

3 divergenssatsen och stokes sats

där I in är strömmen som passerar tvärsnittsytan S. Ovanstående samband är Ampères lag på integralform för det magnetostatiska fältet. En direkt tillämpning av detta för en oändlig lång rak tunn ledare med strömmen I längs z-axeln som skär x y-planet i origo ger fältet: B=

ˆ µ0 I φ . 2π r

(3.1.10)

Beloppet av detta fält har samma rumsliga variation som beloppet av det elektriska fältet från en linjeladdning, men fältens riktningar är markant olika för det radiella E-fältet (som skapas av divergenskällor) och det ”roterande” Bfältet (som skapas av rotationskällor). Fältet motsvaras av en vektorpotential som endast har en komponent i z-led [B = ∇ × (A z zˆ) = ∇A z × zˆ, dvs. B(r) = −∂A z /∂r], och integrering ger: A z (x, y) = −

µ0 I √ 2 ln x + y 2 + konst. 2π

Om vi parallellförflyttar linjeströmmen så att den skär x y-planet i punkten (x ′ ,y ′ ), fås: A z (x, y) = −

µ0 I √ ln (x − x ′ )2 + (y − y ′ )2 + konst. 2π

(3.1.11)

Relationen B = ∇A z × zˆ innebär att A z (x,y) är konstant längs B (magnetfältslinjerna råkar bli slutna i detta tvådimensionella fall). På liknande sätt innebär relationen: E(x) = −∇ϕ(x), att det elektrostatiska fältet är vinkelrätt mot ekvipotentialytorna ϕ(x) = konst. Det är enklast att utgå från potentialerna om bidrag från flera källor ska summeras. Exempelvis motsvarar en uppsättning linjeströmmar I k längs z som skär x y-planet i punkter (x k′ , y ′k ), se figur 3.4, av vektorpotentialen: A z (x,y) = − ∑ k

µ0 I k √ ln (x − x k′ )2 + (y − y′k )2 , 2π

och magnetfältet fås ur B x = ∂A z /∂y samt B y = −∂A z /∂x, där A z (x,y) är konstant längs B. © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

26 augusti 2014 – sida 50 – # 50

3 divergenssatsen och stokes sats y (xʹ1, yʹ1) · I1 x (xʹ2, yʹ2) · I2 FIGUR 3.4

Källpunkter för två parallella linjeströmmar.

3.2 Rand- och hoppvillkor vid gränsytor mellan material På en begränsningsyta mellan två material kan det finnas ytkällor. En vanlig situation är en uppladdad metallkropp som omges av luft. Inuti metallen omfördelas laddningar, så att elektriska fältet inuti ledaren blir noll i ett slutligt stationärt tillstånd (detta innebär att det inte finns laddning i den öppna volym som definieras av metallkroppen), och ledningsförmågan i luft kan sättas till noll, vilket innebär att laddningar inte kan lämna metallkroppen. Sammantaget innebär detta att laddningar samlas i ett mycket tunt ytskikt (som är mycket mindre än en mikrometer tjockt), se figur 3.5. Oftast är vi inte intresserade av att lösa upp fältvariationer över sådana små ytskikt, och i sådana fall kan tjockleken ∆x hos ytskiktet sättas till noll. Däremot är det viktigt att inkludera laddningarna i ytskiktet för att bestämma hur elektriska fältet ser ut strax innanför och strax utanför skiktet med ytladdningar. I en idealiserad modell försummas ytskiktets tjocklek ∆x, men en ideal ytladdning införs som motsvarar samtliga laddningar i det tunna ytskiktet: Idealiserad ytladdning: ρ S (xS ) ≡

∫

∆x

ρ(xS + x ′ )dx ′ ,

(3.2.1)

där xS ∈ S motsvarar punkter på begränsningsytan mellan materialen och ρ(xS +x ′ ) motsvarar en volymsfördelad laddningstäthet som kan vara mycket stor i det tunna ytskiktet. På motsvarande sätt kan vi införa en idealiserad ytström på en begränsningsyta mellan två material enligt: Idealiserad ytströmstäthet: jS (xS ) ≡

∫

∆x

j(xS + x ′ ) dx ′ .

(3.2.2)

Mer generellt bestäms ett tredimensionellt vektorfält F av dess divergens50

26 augusti 2014 – sida 51 – # 51

3 divergenssatsen och stokes sats

ρ(XS + xʹ) xʹ XS FIGUR 3.5

Ytladdning modellerar ansamlingen av laddning nära begränsningsyta mellan olika

material.

och rotationskällor i hela R 3 : ∇ ⋅ F(x) = b(x),

(3.2.3)

∇ × F(x) = c(x),

(3.2.4)

där vi kan införa idealiserade ytkällor genom att summera källorna över det tunna skiktet:

∫ c (x ) ≡ ∫ b S (xS ) ≡ S

∆x

0 ∆x

b(xS + x ′ ) dx ′ ,

(3.2.5)

c(xS + x ′ ) dx ′ .

(3.2.6)

Approximationen att skikttjockleken ∆x → 0, där möjligheten för ändliga ytkällor beaktas, leder till att fälten kan ändras diskontinuerligt. Från Gauss och Stokes sats följer, se figur 3.6, b S = {ˆn ⋅ F} ≡ nˆ ⋅ F2 − nˆ ⋅ F1 ,

(3.2.7)

cS = {ˆn × F} ≡ nˆ × F2 − nˆ × F1 ,

(3.2.8)

2 n̂

FIGUR 3.6

Figuren visar normalvekorns riktning i hoppvillkoren.

där ytans normalvektor nˆ pekar från ämnet 1 till ämnet 2 och F2 och F1 är fältet i ämne 2 respektive ämne 1 omedelbart intill begränsningsytan. Närvaro © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

26 augusti 2014 – sida 52 – # 52

3 divergenssatsen och stokes sats

av ytdivergenser innebär alltså att fältets normalkomponent ändras diskontinuerligt, medan rotationsytkällor leder till att fältets tangentialkomponenter ändras diskontinuerligt. Maxwells ekvationer motsvaras av följande hoppvillkor, då ytskiktets tjocklek ∆x → 0: ∇ ⋅ B = 0 ⇒ nˆ ⋅ B kontinuerlig ∂B ⇒ nˆ × E kontinuerlig ∂t ∇ ⋅ E = ρ/ε 0 ⇒ {ˆn ⋅ E} = ρ S /ε 0

∇×E=−

∇ × B = µ0 j + ε0 µ0

(3.2.9)

∂E ⇒ {ˆn × B} = µ 0 jS . ∂t

Att nˆ ⋅ B är kontinuerlig följer av första ekvationen i (3.2.9). Att nˆ × E är kontinuerlig följer på motsvarande sätt om man antar att fälten i ytskiktet är ändliga, varför termen ∂B/∂t i Faradays induktionslag inte ger ett ändligt bidrag för hoppvillkoret i gränsen ∆x → 0. På motsvarande sätt fås inte heller något bidrag till hoppvillkoret från fältet ε 0 µ 0 ∂E/∂t i 3.2.9 om fälten är ändliga i ytskiktet. Av samma anledning (att fälten E och B är ändliga i gränsskikt) är de elektro-magnetiska potentialerna ϕ och A kontinuerliga vid gränsytor mellan material. Med hjälp av hoppvillkoret för nˆ × B kan man visa att en rak solenoidspole med oändlig utsträckning i z-led får fältet: ⎧ ⎪ ⎪0, B=⎨ ⎪ ⎪ ⎩B 0 zˆ = konstant,

utanför innanför,

(3.2.10)

där en ytström µ 0 jS = −B 0 nˆ × zˆ är källan till solenoidfältet. Ett sådant fält kan realiseras (bortsett från rippelfält och kanteffekter) med en tät lindning med N varv per längdenhet i z-led och som för strömmen I på ytan av en lång solenoidspole, där N I = j S = −B 0 /µ 0 . Notera att spolens tvärsnittsyta är godtycklig (inte nödvändigtvis en cirkelyta). På liknande sätt kan man visa att en toroidal solenoidspole, se figur 3.7, i cylinderkoordinater får fältet: ⎧ ⎪ ⎪0, B=⎨ a ⎪ ˆ ⎪ ⎩B 0 r φ, 52

utanför innanför,

(3.2.11)

26 augusti 2014 – sida 53 – # 53

3 divergenssatsen och stokes sats

där B 0 är magnetfältsstyrkan för r = a. Ytströmmen på solenoidytan som ger detta fält blir: a ˆ µ 0 jS = −B 0 nˆ × φ. r Tvärsnittsytan för såväl en rak som toroidal solenoidspole är godtycklig. z B=0 y

jS B

B x

FIGUR 3.7

Ytström och magnetfält för toroidal solenoidspole

Om solenoidens tvärsnittsyta S är tillräckligt liten (S ≪ a 2 ) fås a/r → 1 och fältet inuti den toroidala spolen blir konstant, som är fältet för en rak solenoidspole. En rak solenoidspole motsvarar alltså gränsen a/r → 1 för en toroidal solenoidspole.

Övningsexempel Exempel 3.1 Bestäm, utgående från Gauss lag, det elektriska fältet från en uppladdad metallsfär. Exempel 3.2 Bestäm potential och elektriska fält från en lång och tunn stav med längd h som laddas upp med laddningen Q. Begränsa räkningen till området ∣x∣ ≪ h. Exempel 3.3 Ange fältet E från en konstant ytladdningstäthet ρ S i det ledande planet z = z ′ , om området ovanför är ledande medan området nedanför är oledande. © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

26 augusti 2014 – sida 54 – # 54

3 divergenssatsen och stokes sats

Exempel 3.4 Bestäm, utgående från Ampères lag, magnetfält och vektorpotential från en linjeström. Exempel 3.5 Ange en formel som visar hur bidragen från parallella linjeströmmar adderas till vektorpotentialen. Exempel 3.6 I tvådimensionella problem där samtliga strömmar är riktade längs z-axeln gäller B = ∇A z (x, y) × zˆ. a) Identifiera vad detta ger för geometrisk relation mellan linjer A z (x, y) = konstant och B. b) En tunn ledare med strömmen I längs z–axeln skär x y-planet i punkten (a, 0), medan en motsatt riktad trådström sker skär planet i (−a, 0). Bestäm magnetfältslinjerna. Lösning: a) Relationen B = ∇A z (x, y) × zˆ innebär att A z (x, y) är konstant längs magnetiska fältlinjer. Detta kan inses geometriskt genom att vi får ∇A z = zˆ × B och noterar att ∇A z är vinkelrät mot ytor A z (x, y) = konstant. Eftersom B ⋅ ∇A z = 0 följer att A z (x, y) är konstant längs B. Ett alternativt, och tydligare, sätt att visa att A z (x, y) är konstant längs magnetiska fältlinjer fås genom att bestämma hur vektorpotentialen ändras vid en infinitesimal förflyttning dx = xˆ dx + yˆ d y + zˆ dz. Kedjeregeln ger för dA z (x, y): dA z (x, y) = ∇A z ⋅ dx = (ˆz × B) ⋅ dx. ˆ ⋅ dτ, där För förflyttningar längs magnetfältlinje kan vi skriva dx = B ˆ = 0, fås dτ är en ändring av en kurvparameter. Eftersom (ˆz × B) ⋅ B ˆ = 0 om förflyttningen dx är parallell med B. Resultatet dA z = (ˆz ×B)⋅ Bdτ dA z (x, y) = 0 för sådana förflyttningar visar att A z (x, y) är konstant längs magnetiska fältlinjer. b) Superpostion av de två linjeströmmarna ger: A z (x, y) = − 54

26 augusti 2014 – sida 55 – # 55

3 divergenssatsen och stokes sats

som kan förenklas till: A z (x, y) = −

µ 0 I (x − a)2 + y 2 . ln 4π (x + a)2 + y 2

Vi substituerar K = exp[−4πA z (x, y)/(µ 0 I)] och utnyttjar att A z (x, y) (och därmed också K) är konstant längs fältlinjer. För varje konstant värde på K fås därför en magnetisk fältlinje från: K=

(x − a)2 + y 2 , (x + a)2 + y 2

som kan identifieras som cirklar, eftersom substitutionerna x 0 (K) = a(1 − K)/(1 + K) och r 02 (K) = x02 (K) − a 2 , om K ≠ 1, ger: [x − x 0 (K)]2 + y 2 = r 02 (K). Magnetfältslinjerna illusteras i figur 3.8. Fallet K → 1 motsvarar en cirkel som urartar till en rak linje längs negativa y-axeln. y

–I

FIGUR 3.8

Magnetfältslinjer för två motriktade linjeströmmar.

Exempel 3.7 Två parallella mycket långa stavar på avståndet 2a från varandra är uppladdade med motsatt laddning. Bestäm ekvipotentialytor från laddningsfördelningen. Ange också vilka områden som är energetiskt omöjliga att nå för en elektron som på långt håll närmar sig laddningsfördelningen med farten v0 . Lösning: Vi gör en tvådimensionell idealisering och förenklar laddningsfördelningen med två oändligt långa linjeladdningar med konstant laddning © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R

Olov Ågren | Elektromagnetism

Elektromagnetism

www.studentlitteratur.se

978-91-44-09649-0_Cover.indd 1

Olov Ågren 2014-08-19 21:34