SynnĂśve Carlsson Karl-Bertil Hake
Lärarguide
7
2
Geometri Geometri är ett område som brukar uppskattas av eleverna, och på den här nivån inte upplevas så svårt. En hel del av det som tas upp i kapitlet har eleverna mött tidigare. Huvudsyftet med kapitlet är att eleverna ska få en känsla för olika dimensioner. Kapitlet inleds med ett uppslag som lämpar sig väl för gemensamma diskussioner om endimensionella, tvådimensionella och tredimensionella figurer och kroppar samt enheter för de olika dimensionerna. Sedan behandlas begreppen kring olika tredimensionella kroppar liksom begrepp kopplade till månghörningar. En kort genomgång av hur man mäter vinklar och beräknar vinkelssummor leder vidare till hur man definierar olika trianglar och fyrhörningar. Begreppen omkrets och area tas upp och metoder för att beräkna omkrets och area för månghörningar och sammansatta figurer. Enkel volymberäkning av rätblock och enkel beräkning av begränsningsarea avslutar kapitlet. Vi har valt att ta upp cirkelns omkrets och area, volymen av cylindern och spetsiga kroppar samt enhetsomvandlingar i årskurs 8. Här i årskurs 7 fokuserar vi på de tre dimensionerna så att eleverna kan se likheter och skillnader mellan dessa och inser att det krävs olika enheter för att beskriva dem. Blå kurs är parallell med grön kurs. Avsnitten hur man beräknar area av en parallellogram och hur man ritar ett rätblock tas inte upp på blå kurs. Eftersom kurserna är parallella så kan man i Lärarguiden hitta tips och kommentarer som rör den blå kursen under motsvarande avsnitt i den gröna kursen. Röd kurs är parallell med grön kurs. Flera av de moment som tas upp på grön kurs fördjupas i röd kurs. Till exempel får eleverna här möjlighet att arbeta med olika månghörningars vinkelsumma, dra höjder i en trubbvinklig triangel, undersöka platonska kroppar och beräkna volym av prismor och parallellepipeder.
1 2
Geometri
Innehåll Mål När du arbetar med det här kapitlet får du lära dig
●● att beskriva olika slags vinklar,
månghörningar och kroppar
●● att beräkna omkrets och area av
månghörningar
●● att beräkna volym av prismor ●● några enheter för längd, area och volym ●● att beräkna arean av begränsningsytor
Begrepp endimensionell Begrepp längd
sträcka meter tvådimensionell area yta kvadratmeter tredimensionell
hörn prisma rätblock kub
trubbvinklig triangel
månghörning
parallell
sida
parallelltrapets
diagonal rät vinkel spetsig vinkel trubbig vinkel rak vinkel
kropp
vinkelsumma
kubikmeter
likbent triangel
sidoyta basyta
spetsvinklig triangel
pyramid
volym
kant
rätvinklig triangel
liksidig triangel
parallellogram romb kvadrat rektangel bas höjd begränsningsyta
54
Centralt innehåll I det här kapitlet behandlas det centrala innehållet: Geometri ●● Geometriska objekt och deras inbördes relationer. Geometriska egenskaper hos dessa objekt. ●● Avbildning och konstruktion av geometriska objekt. ●● Metoder för beräkning av area, omkrets och volym hos geometriska objekt.
54
MD7_2015_LG_kap2.indd 54
2016-11-08 11:28
2
Duktiga snowboard- och skidåkare kan göra hopp, där de snurrar i luften. När de gör en ”tre-sextio”, gör de ett hopp och snurrar 360°. Då har de snurrat ett helt varv.
Kommentarer och svar
●● Hur många varv har snowboardåkaren
snurrat om hon gör en ”sju-tjugo”?
●● En Big Jump-åkare har just satt rekord
med sina två skidor och gjort en ”sextontjugo”. Hur många varv är det?
●● När en snowboardåkare har gjort en ”sju tjugo” så har hon snurrat 720°. 720° = 2 · 360° Snowboardåkaren har alltså snurrat 2 varv. ●● När en Big air-åkare har gjort en ”sexton tjugo” har 1 620° = 4,5 varv. han snurrat 1 620°. Det motsvarar ______ 360°
●● En linje har en dimension –
längd.
●● En yta har två dimensioner –
längd och bredd.
●● En kropp har tre dimensioner –
längd, bredd och höjd.
55
Motsvarande centrala innehåll för årskurs 4–6 är: Geometri ●● Grundläggande geometriska objekt däribland polygoner, cirklar, klot, koner, cylindrar, pyramider och rätblock samt deras inbördes relationer. Grundläggande geometriska egenskaper hos dessa objekt. ●● Konstruktion av geometriska objekt. Skala och dess användning i vardagliga situationer. ●● Metoder för hur omkrets och area hos olika tvådimensionella geometriska figurer kan bestämmas och uppskattas. ●● Jämförelse, uppskattning och mätning av längd, area, volym, massa, tid och vinkel med vanliga måttenheter. Mätningar med användning av nutida och äldre metoder.
55
MD7_2015_LG_kap2.indd 55
2016-11-08 11:28
G
Kroppar och Månghörningar Syftet med dessa avsnitt är att eleverna ska lära sig några olika geometriska kroppars och månghörningars namn och egenskaper samt beskriva dem med hjälp av geometriska begrepp. Eleverna ska även inse att flera olika typer av månghörningar kan bilda kroppar. I det centrala innehållet står det att eleverna ska möta ”Geometriska objekt och dess inbördes relationer. Geometriska egenskaper hos dessa objekt”.
Kroppar – föremål som är tredimensionella
G
Prisma, rätblock, kub och pyramid är exempel på rymdgeometriska kroppar.
En sidoyta kallas ibland för basyta.
Prisma Basytan är en månghörning och sidoytorna är rektanglar.
Här ska eleverna lära sig: ●● vad olika kroppar och månghörningar heter och vad som utmärker dem ●● att beskriva likheter och skillnader hos tredimensionella kroppar och tvådimensionella objekt
I båda dessa avsnitt presenteras ett stort antal geometriska begrepp. Flera av begreppen har eleverna mött tidigare, men för en del elever kan många av begreppen te sig ganska abstrakta. Ett sätt att göra geometrin mer begriplig är att använda konkret material och på det sättet synliggöra matematiska begrepp och samband. Om eleverna får se och ta på de geometriska kropparna så kan de lättare förstå vad som är hörn, kant, sidoyta och vilken form de olika sidoytorna har. Använd gärna de geometriska kropparna i hårdplast som finns på de flesta skolor eller använd olika livsmedelsförpackningar. Ett hörn är den punkt där flera kanter möts, en kant är skärningslinje mellan två sidoytor och sidoyta är en plan yta som är en del av en kropp. Observera att hörn har två betydelser beroende på om man pratar om två eller tre dimensioner.
Start
basyta
Rätblock Ett prisma med en rektangel som basyta.
Kub Ett rätblock där alla sidoytor är kvadratiska
Pyramid Spetsig kropp med en månghörning som basyta.
Ett rätblock har 8 hörn, 12 kanter och 6 sidoytor.
9
Vilket matematiskt namn har formen på förpackningarna?
A
●● begreppen prisma, rätblock, kub, pyramid, hörn, sidoyta, basyta, kant, sida, hörn, månghörning, diagonal
Tänk på
hörn
I ett hörn möts flera kanter.
Lärandemål
kant
sidoyta
Längs en kant möts två sidoytor.
C
B
10
G
E
F
Hur många hörn, kanter och sidoytor har kropparna?
a)
58
D
b)
c)
d)
2 geometri
Kommentarer till uppgifter 10
En uppgift som lyfter fram begreppen hörn, kant och sidoyta.
12
En undersökande uppgift där eleverna ska dra slutsatser utifrån egna figurer.
13
Resonemangsuppgift som berör begreppen diagonal, sida och hörn. Uppgiften lämpar sig väl till att diskutera i mindre grupper följt av gemensam diskussion i hela gruppen.
15, 16
Båda uppgifterna är av problemlösningskaraktär och tränar elevens förmåga att tänka tredimensionellt.
Använd klipparken som finns på aktivitet 2:1. Klipp ut en av figurerna och vik längs de streckade linjerna. Forma en kropp och limma eller tejpa ihop den. Hur många kanter, hörn och sidoytor har kroppen? Vad kallas kroppen?
58
2 geometri
MD7_2015_LG_kap2.indd 58
2016-11-08 11:28
Slut Månghörningar – figurer som är tvådimensionella
G
Trianglar, fyrhörningar och femhörningar är exempel på månghörningar.
11
G
Vilka kroppar passar ihop? Motivera varför.
sida hörn
diagonal
I femhörningen här bredvid är en diagonal inritad. En diagonal är en sträcka mellan två hörn som inte ligger intill varandra. Diagonalen kan alltså inte vara en sida.
Visa bilder eller kroppar av en pyramid med en basyta som är en rektangel, ett rätblock och en prisma med en triangel som basyta (”tobleroneprisma”).
a) Vad kallas figurerna? b) Hur många sidor och hur många hörn har de olika figurerna?
12
a) fyrhörning
13 14
A
B
C
D
E
F
Rita och undersök hur många diagonaler du kan rita i en
Uppgiften gör det tydligt för dig som lärare vad eleverna uppfattat om kropparnas egenskaper.
b) femhörning
Varför kan det inte finnas en diagonal i en trehörning?
Pyramiden och ett rätblocket har båda en basyta som är en fyrhörning.
Vad heter kroppen och vad heter formen på de olika sidoytorna?
a)
b)
c)
d)
Pyramiden och prismat har båda sidoytor som har formen av en triangel. 15
A
16
Rätblock och prisma är båda ”raka” kroppar till skillnad från pyramiden som är en spetsig kropp.
Vilken av figurerna kan vikas till en kub?
B
C
D
E
Bilden visar en utvikt tärning. På en tärning är summan av prickarna på två motstående sidor alltid sju. Rita av bilden och rita prickar så att det blir rätt. ArbetsblAd 2:1 2 geometri
59
Starta gärna nästa lektion med att visa några olika prismor med olika bottenytor och låt eleverna ange antalet hörn, kanter och sidoytor.
Gå vidare Blå kurs Mer grundläggande genomgång och uppgifter om Kroppar finns på sidan 81.
Facit 9 A – Kub, B – Rätblock, C – Prisma, D – Pyramid, E – Prisma, F – Kub, G – Rätblock 10 a) 8 hörn, 12 kanter och 6 sidoytor b) 6 hörn, 9 kanter och 5 sidoytor c) 10 hörn, 15 kanter och 7 sidoytor d) 5 hörn, 8 kanter och 5 sidoytor 11 a) A – Fyrhörning (kvadrat) B – Trehörning (triangel) C – Sexhörning D – Fyrhörning E – Fyrhörning (romb) F – Femhörning b) A – 4 hörn och 4 sidor B – 3 hörn och 3 sidor C – 6 hörn och 6 sidor D – 4 hörn och 4 sidor E – 4 hörn och 4 sidor F – 5 hörn och 5 sidor
12 a) 2 diagonaler T.ex.
b) 5 diagonaler T.ex.
Röd kurs Mer om månghörningar finns på sidorna 94 och 95. Platonska kroppar tas upp på sidan 96. Repetition Repetition 6 finns på sidan 279.
Extramaterial 13 Alla hörn i en triangel ligger intill varandra. 14 a) Prisma, fyrhörning (rektangel) och triangel b) Prisma, fyrhörning (rektangel) och sexhörning c) Pyramid, triangel och femhörning d) Pyramid, triangel och fyrhörning (kvadrat)
Arbetsblad 2:1
●●
Vika kuber
Aktiviteter 2:1
●●
Vika kroppar
15 C 16
2 geometri
MD7_2015_LG_kap2.indd 59
59
2016-11-08 11:28
G
Uppslaget Begrepp och resonemang
Uppslaget
Vem eller vilka har rätt?
Begrepp och resonemang
Uppgiften fördjupar förståelsen av begreppen omkrets och area och tränar eleven på att föra ett matematiskt resonemang. Gör övningen parvis eller i helklass.
G
Vem eller vilka har rätt? Finns det något samband mellan omkretsen och arean av en rektangel?
När omkretsen ökar i en rektangel, så ökar alltid arean.
Både Clara och Dilan har rätt. Utveckla gärna uppgiften med att be eleverna ge exempel på när Clara har rätt och när Dilan har rätt.
Anna
Att Anna och Benjamin har fel kan visas med ett exempel. 4
3
7
1
4
Omkrets: 14 m Area: 12 m2
7
4 1
Omkrets: 16 m Area: 7 m2
Bemjamin
När omkretsen ökar i en rektangel, så kan arean öka.
(m)
4 3
När omkretsen ökar i en rektangel, så minskar alltid arean.
När omkretsen ökar i en rektangel, så kan arean minska.
Clara
4
Dilan
Begrepp 4
Beskriv figurerna med hjälp av några av begreppen i rutan.
Omkrets:16 m Area: 16 m2
Begrepp Den här övningen lämpar sig bra att göra parvis eller i grupp. Låt eleverna tillsammans använda begreppen i rutan för att beskriva figurerna. Man kan också låta en elev beskriva för någon annan så kan den gissa vilken figur som beskrivs. Uppgiften kan utvecklas genom att eleverna ritar egna figurer som de beskriver för en kompis som i sin tur ska rita den utifrån beskrivningen. Se Aktivitet 2:4. Uppgiften utvecklar både elevernas begrepps- och resonemangsförmåga.
Rät vinkel höjd basyta kant hörn sida sidoyta bas area volym omkrets endimensionell tvådimensionell tredimensionell
Begreppskarta
A
B
Triangel
Rita av begreppskartan och fyll i det som saknas. som har lika långa sidor kallas
?
?
?
likbent triangel
rätvinklig triangel
och i den är alla vinklar
?
2 geometri
76
Begreppskarta
Sant eller falskt?
Triangel
som har lika långa sidor kallas
som har två lika långa sidor och två lika stora vinklar kallas
liksidig triangel
likbent triangel
som har en vinkel som är 90° kallas
rätvinklig triangel
och i den är alla vinklar lika stora (60°)
I materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter finns fler begreppskartor som passar till kapitlet.
76
Påståendena handlar mycket om begrepp och metoder. Om övningen används gemensamt där eleverna får diskutera tillsammans så tränas både resonemang och kommunikation. Bra frågor att ställa ●● om svaret är sant. Hur visar du att påståendet är sant? Hur visar du att påståendet alltid gäller? ●● om svaret är falskt. Hur visar du att påståendet är falskt? Hur kan du ändra påståendet så att det blir sant? Facit 1 sant
7 sant
2 falskt
8 falskt
3 sant
9 sant
4 falskt
10 sant
5 falskt
11 falskt
6 falskt
12 sant
2 geometri
MD7_2015_LG_kap2.indd 76
2016-11-08 11:28
Problemlösning
Uppslaget Arbeta tillsammans
G
Rita ett rutnät som är 15 cm × 15 cm i ditt räknehäfte. Rutorna ska ha arean 1 cm2. Klipp av en bit snöre eller metalltråd som är 30 cm lång.
30
Gör området så litet som möjligt. Hur ser området ut? Hur stor area har området?
(cm) … osv.
30
40
Gör området så stort som möjligt. Hur ser området ut nu? Hur stor area har området?
40
40
En slutsats är att det alltid ska vara en platta mer än antalet mellanrum.
Problemlösning
B
G
A Här är det lämpligt att börja rita en bild.
Lägg snöret på rutnätet så att snöret stänger in ett område. Hur stor area har området?
A
Lösningar och kommentarer Både A och B uppgiften kan lösas genom att rita en bild och göra en tabell.
Sedan kan man pröva i tabell
Sant eller falskt?
Basim lägger en gång med plattor som har formen av en kvadrat med sidan 40 cm. Det är 30 cm mellan varje platta. Gången är 6 meter och ska börja och sluta med en platta. Hur många plattor behöver han?
1 2 3
Golvet i ett rum kan ha arean 15 m2.
4
När man beräknar arean tar man reda på hur långt det är runt om en figur.
Hans ska sätta staket runt en kaninhage som ligger mot en vägg. Hagen behöver alltså bara ha staket på tre sidor. Sidorna skall vara i hela meter. Staketet är 20 meter långt. Hur långa ska sidorna vara för att arean ska bli så stor som möjligt?
5
En kropp som har volymen en kubikmeter är alltid en kub.
6
Du räknar ut triangelns area genom att multiplicera basen med höjden.
7 8
I en triangel kan man dra tre höjder.
9
Det är alltid rät vinkel mellan sidoytorna i ett rätblock.
Volym mäts i meter. Det finns fyra räta vinklar i en rektangel.
Platta
Mellanrum
Totalt
7 · 40 cm = = 280 cm
6 ·30 cm = = 180 cm
280 cm + 180 cm = = 460 cm
11 · 40 cm = = 440 cm
10 · 30 cm = = 300 cm
440 cm + 300 cm = = 740 cm
9 · 40 cm = = 360 cm
8 · 30 cm = = 240 cm
360 cm + 240 cm = = 600 cm
Svar: Basim behöver 9 plattor.
Det spelar ingen roll vilken vinkel som höjden har mot basen.
B Börja med att rita en bild. Vägg
10 Kvadratcentimeter är en enhet för area.
11 En kvadratdecimeter är ungefär lika
Kaninhage
stor som en fingernagel.
12 Ett rätblock har 8 kanter.
2 geometri
77
Arbeta tillsammans Syftet med övningen är att eleverna ska upptäcka att arean kan vara olika hos två figurer trots att omkretsen är densamma. Den figur som ger störst area är cirkeln och cirkelns area tar vi upp först i åk 8. Om eleverna vill ha en räknemetod för att beräkna cirkelns area kan du förstås visa dem den, men här är det annars tänkt att eleverna ska uppskatta arean genom att räkna rutor, vilket ger en bra förståelse för areabegreppet.
Gör sedan en tabell. Vi förutsätter att hagen ska ha formen av en rektangel. Om bredden till exempel är 3 meter så kommer längden att vara 14 meter eftersom 20 meter – 2 · 3 meter = 14 meter. Bredd
Längd
Area
2m
16 m
32 m2
3m
14 m
42 m2
4m
12m
48 m2
5m
10 m
50 m2
6m
8m
48 m2
7m
6m
42 m2
Svar: Hagens sidor ska vara 5 meter och 10 meter om man vill att arean ska vara så stor som möjligt. Fler problem som kan lösas med strategierna Rita en bild och Rita en tabell finns på sidorna 266 och 269.
2 geometri
MD7_2015_LG_kap2.indd 77
77
2016-11-08 11:28
D
Diagnos
I tabellen här nedanför hittar du facit och förslag på var eleven kan träna mer. Arbetsbladen hittar du i materialet Matte Direkt 7 Arbetsblad, prov och aktiviteter. Där finns även en alternativ diagnos, som du som lärare kan använda om eleven behöver genomföra ytterligare en diagnos.
Begrepp och metod Arbets blad
Sida kurs
Avsnitt
1
a) A och D b) B och C
Olika dimensioner
56
80
2:1
2
a) kubikmeter, m3 b) kvadratmeter, m2 c) meter, m
Enheter för olika dimensioner
57
80
2:1
3
a) Omkrets: 12 cm, area: 9 cm2 b) Omkrets: 13,4 cm, area: 10 cm2 c) Omkrets: 13 cm, area: 7,5 cm2
Omkrets och Area
64 66 68
85 87
2:5 2:6
a) T.ex.
Omkrets och Area
4
(cm)
Begrepp och metod
D
1
64 66
85 87
Vilka av figurerna har
a) längd, bredd och höjd A
2
Sida kurs
Facit
Diagnos b) endast längd och bredd
B
C
D
Vilken enhet använder man när man ska ange hur
a) mycket vatten det finns i en simbassäng b) stort klassrummet är c) långt det är runt fotbollsplanen
3
Mät och beräkna figurens omkrets och area.
a)
4
b)
c)
a) Rita två olika rektanglar som har omkretsen 16 cm. b) Räkna ut rektanglarnas area.
5
Rita en triangel som har arean 12 cm2.
6
Hur stor area har klubbmärket i Jack Russel-klubben?
7
Räkna ut ramens area.
5 dm
2 dm
2:5 2:6
50 cm
3
70 cm
60 cm
3 dm
80 cm
5
8
(cm)
Vad är det för skillnad på begreppen ”sida” och ”sidoyta”? Vad är det för skillnad på sida och kant?
2 6 b) T.ex. 5 cm · 3 cm = 15 cm2 6 cm · 2 cm = 12 cm2
5
T.ex.
(cm) 4
78
Triangelns area
68
89
2:7
2 geometri
6
6
10,5 dm2
Sammansatta figurer
70
90
2:8
7
13 dm2 (1 300 cm2)
Sammansatta figurer
70
90
2:8
8
En sida är avståndet mellan två närliggande hörn i en månghörning och en sidoyta är ytan mellan kanterna i en kropp. I en kant möts två sidoytor.
Kroppar – föremål som är tredimensionella
58
81
9
a) 24 cm3 b) 12 cm3 c) 40 cm3
Rätblockets volym
74
91
2:10
10
a) 24 cm3 b) 52 cm2
Rätblockets volym och begränsningsyta
74 75
91 92
2:10 2:11
78
2 geometri
MD7_2015_LG_kap2.indd 78
2016-11-08 11:28
D
Problemlösning 9
Hur stor volym har figurerna?
a)
b)
10
2 cm
2 cm
4 cm
4 cm
3 cm
2 cm
c)
2 cm
2 cm
D
4 cm
2 cm
4 cm
Beräkna rätblockets
a) volym
3 cm
b) begränsningsarea 2 cm 4 cm
Resonemang och kommunikation
11 12
Andrea säger: Om en rektangel har större omkrets än en annan rektangel så har den också alltid större area. Har Andrea rätt eller fel? Skriv ned hur du resonerar.
Bredd
Längd
Area
10 m
45 m
450 m2
20 m
35 m
700 m2
30 m
25 m
750 m2
40 m
15 m
600 m2
31 m
24 m
744 m2
28 m
27 m
756 m2
29 m
26 m
754 m2
27,5 m
27,5 m
756,25 m2
Svar: En kvadratisk hage med sidorna 27,5 m ger den största arean.
Visa hur du räknar ut volymen av ett rätblock.
Problemlösning
13
13 Gör en tabell och pröva dig fram.
Kommentar: Eleverna behöver en räknare när de löser problemlösningsuppgiften. Ett godtagbart svar är 756 m2 om eleverna kan motivera sin undersökning.
Petter har 110 meter stängsel att sätta upp för att skydda sina får. Han vill att fåren ska få så mycket yta att beta på som möjligt och att fårhagen ska vara en fyrhörning. Vilka mått har den fyrhörning som ger mest yta till Petters får?
Fler problem som kan lösas med strategin Gör en tabell och pröva dig fram finns på sidan 269.
Bedömningsuppgift Du har 5 spagettibitar i längderna 3 cm, 6 cm, 8 cm, 11 cm och 18 cm.
a) På vilka sätt kan du välja tre bitar och lägga dem i form av en triangel? b) Beskriv vad som måste gälla för de kortare sidorna jämfört med den långa sidan om det ska vara möjligt att bilda en triangel.
2 geometri
79
Resonemang och kommunikation
Facit
Avsnitt
Sida kurs
Sida kurs
Arbets blad
För de elever som behöver träna mer på resonemang och kommunikation kan man förslagsvis arbeta vidare på uppslagssidorna på grön- och blå kurs. Låt även eleverna arbeta med aktiviteter till respektive avsnitt.
11
Andrea har fel. En rektangel med större omkrets kan ha större area, men det behöver inte alltid vara så. Till exempel om jag har en rektangel med sidorna 4 cm och 5 cm. Då är omkretsen 18 cm och arean 20 cm2. En annan rektangel har sidorna 2 cm och 9 cm. Då är omkretsen 22 cm och arean är 18 cm2. Omkretsen är längre men arean är mindre.
Omkrets och Area
64 66
85 87
2:5 2:6
–
Rätblockets volym
12
74
91
2:10
Bedömningsuppgift Lösningar och kommentarer:
a) Det finns tre möjliga varianter: 3 cm, 6 cm och 8 cm 6 cm, 8 cm och 11 cm 8 cm, 11 cm och 18 cm
b) Man kan skriva villkoret med ord. Till exempel: ”De två kortare sidorna måste tillsammans vara längre än den längsta sidan”. Man kan även använda matematiska symboler eller variabler. Till exempel: ”Kalla de korta sidorna för a och b och den längsta sidan för c. Summan av a och b skrivs som a + b. Villkoret att a + b måste vara större än c kan beskrivas matematiskt som a + b > c. Kommentar: Om man ska beskriva något matematiskt villkor är det bra att kunna använda ord men man visar en högre matematisk nivå genom att uttrycka sig med hjälp av symboler och algebraiska uttryck. På sidan 327 finns en bedömningsmatris kopplad till denna uppgift.
2 geometri
MD7_2015_LG_kap2.indd 79
79
2016-11-08 11:28
B
Blå kurs Olika dimensioner
Kroppar – föremål som har längd, bredd och höjd
Vi lever i en tredimensionell värld. Om något har tre dimensioner så har det längd, bredd och höjd.
B
B
Ett föremål som har längd, bredd och höjd kallas för kropp.
Tredimensionell Rummet har längd, bredd och höjd. Tvådimensionell Golvet har längd och bredd. 2,4 m
2,5 m
2,5 m
Endimensionell Golvlisten under fönstret brukar man endast mäta längden av.
1
kant
3m
hörn
Basytan till de här kropparna har formen av en månghörning.
sidoyta
Vilka bilder visar något som har
A
B
C
D
basyta
3
a) Vad kallas formen på kropparna?
a) längd, bredd och höjd
b) Hur många hörn har de?
b) endast bredd och längd
c) Hur många sidoytor har de?
Pyramid Spetsig kropp. Basytan är en månghörning.
Kub Basytan är en kvadrat.
Rätblock Basytan är en rektangel.
Prisma Basytan är en månghörning.
3m
3m
A
B
C
D
c) endast längd
2
Välj i rutan vilken enhet man använder när man ska ange
4
kubikmeter kvadratmeter meter
a) hur stort ett golv är
a) kuben
b) hur mycket en tunna rymmer c) längden på en flaggstång d) hur mycket vatten som ryms i en bassäng
Bilderna visar hur det ser ut när vi har vikt ut sidoytorna på föremålen i rutan. Vilken av bilderna hör till
1 m3
1 m2
B
C
c) rätblocket
1m
5
Du viker ihop den utvikta figuren till en kub. Vilken av kuberna A–D visar resultatet?
A 80
A
b) pyramiden
B
C
D
ArbetsblAd 2:1
2 geometri
Kommentarer till uppgifter 1
2
3
4, 5
Uppgiften behandlar olika dimensioner och vad som utmärker dem. Här kan man lyfta fram att alla kroppar är tredimensionella medan en kropps yta är tvådimensionell. Till exempel är ett mjölkpakets yta tvådimensionell men själva mjölkpaketet är tredimensionellt. Sträckan mellan två hörn på mjölkpaketet är endimensionell. När det gäller tecknade föremål är det här inte lika lätt att se. Det underlättar för eleven om man konkretiserar t.ex. genom att ta med ett mjölkpaket. Man kan även låta eleverna se sig runt i klassrummet och ge exempel på något som är endimensionellt, tvådimensionellt respektive tredimensionellt. Elever kan ha svårt att hålla isär vilken enhet som hör till vilken dimension. Utmana gärna eleven att ge egna förslag på sammanhang där enheterna m, m2 och m3 passar in. Om eleverna får se och ta på de geometriska kropparna så kan de lättare förstå vad som är hörn, och sidoytor. Använd gärna de geometriska kropparna i hårdplast som finns på de flesta skolor eller använd olika livsmedelsförpackningar. Båda uppgifterna är av problemlösningskaraktär och tränar elevens förmåga att tänka tredimensionellt.
2 geometri
81
Extramaterial Arbetsblad 2:1
●●
Vika kuber
Aktiviteter 2:1
●●
Vika kroppar
Repetition Repetition 6 finns på sidan 279.
Facit 1 a) B och D b) A c) C 2 a) m2 c) m
b) m3 d) m3
3 a) A – rätblock, B – Kub, C – Pyramid, D – Prisma b) A – 8, B – 8, C – 5, D – 12 c) A – 6, B – 6, C – 5, D–8 4 a) A
b) C
c) B
5 A
80–81
2 geometri
MD7_2015_LG_kap2.indd 80
2016-11-08 11:28
Vinklar
1 varv = 360° 1 __ varv = 180° 2 1 __ varv = 90° 4
En rät vinkel markeras med en hake.
B
Rät vinkel 90°
6
Spetsig vinkel mindre än 90°
Trubbig vinkel större än 90°
Rak vinkel 180°, ett halvt varv
B
Trianglar En triangel har tre sidor och tre vinklar. Om man adderar en triangels vinklar blir summan alltid 180°. Man säger att vinkelsumman är 180°.
90 grader skrivs 90°
I en rätvinklig triangel är en vinkel rät.
Vilken eller vilka av figurerna visar en vinkel som är
a) rät
b) spetsig
A
I en liksidig triangel är alla vinklar 60° och alla sidor är lika långa.
En likbent triangel är två vinklar lika stora och två sidor lika långa.
c) trubbig B
C
Exempel
D
Beräkna vinkeln som är markerad med x. Om man vet två av triangelns vinklar kan man räkna ut den tredje.
7
180° – 100° = 80°
B
A
D
C
10
9
Beräkna den vinkel som är markerad med x.
a)
Rita en vinkel som är
a) 90°
b) större än 90°
c) mindre än 90°
x
B
11 12
Vinkel A är större än vinkel B.
Vinklarna är lika stora.
Anna
82
Vinkel B är större än vinkel A.
Benjamin
Dilan
c)
60°
d) 45°
60° x
70°
x
60°
x
Vad kallas trianglarna i uppgift 10? På flaggorna syns olika trianglar. Vilka olika trianglar hittar du och vilka färger har de i
a) Guyanas flagga
b) Eritreas flagga
c) Jamaicas flagga
ArbetsblAd 2:2–2:3
ArbetsblAd 2:4
2 geometri
2 geometri
Kommentarer till uppgifter
83
Facit
7
Här kan man uppmana eleverna att även motivera varför de namngett vinklarna på det sätt de gjort, dvs. vad som utmärker en spetsig, rät respektive trubbig vinkel.
9
Om eleven tror att vinkel B är störst så kan eleven ha missuppfattningen att det är längden på vinkelbenen som avgör storleken.
10
b) 40°
d) 180°
Vem har rätt? Motivera ditt svar.
A
x
40°
Vinklarna i triangeln är tillsammans 180°.
Svar: Vinkeln x är 80°.
c) räta
8
60°
60° + 40° = 100°
Vilka av vinklarna är
a) spetsiga b) trubbiga
B
En del elever kan uppfatta den här uppgiften som svårare än vad den är eftersom uppgiften innehåller det okända talet x. Här kan man förklara att det lika gärna kunde ha stått att man ska beräkna den tredje vinkeln men att det är vanligt inom matematiken att använda x för något man ännu inte känner till storleken av.
6 a) A och D b) B c) C
9 Benjamin har rätt. Vinklarna är lika stora.
7 a) A och D b) C c) B
10 a) x = 70° c) x = 60°
8 a)
11 a) likbent b) rätvinklig c) liksidig d) rätvinklig och likbent
b) b) c)
Extramaterial Arbetsblad 2:2
Hur stor är vinkeln?
●●
2:3
Beräkna vinklar
●●
2:4
Vinkelsumman i en triangel
●●
b) x = 30° d) x = 45°
12 a) 1 röd likbent, 2 gröna rätvinkliga b) 1 röd likbent, 1 blå rätvinklig, 1 grön rätvinklig c) 2 svarta likbenta, 2 gröna likbenta
Aktiviteter och begreppskartor 2:1
Begreppskarta trianglar
●●
2:2
Uppskatta vinkeln
●●
2:3
Konstruera trianglar
●●
Repetition Repetition 7 finns på sidan 280. 2 geometri
MD7_2015_LG_kap2.indd 81
82–83
2016-11-08 11:28
R
Platonska kroppar
Mer om area Ordet eder kommer från det grekiska ordet heder och som betyder sidoyta. En tetraeder har alltså fyra sidoytor.
Det här är de fem platonska kropparna. I en platonsk kropp är sidoytorna likadana regelbundna månghörningar. De platonska kropparna har namn efter hur många sidoytor de har.
R
I alla trianglar kan man rita tre höjder, en från varje hörn. I spetsvinkliga trianglar är alla höjder innanför triangeln. I en trubbvinklig triangel är två höjder utanför triangeln.
A
höjd B
bas
R
C
För att kunna rita en höjd i den trubbvinkliga triangeln ABC mot sidan BC, måste basen förlängas så som figuren visar. tetraeder tetra = 4
8
hexaeder hexa = 6
oktaeder okta = 8
dodekaeder dodeka = 12
ikosaeder ikosa = 20
11
Rita av tabellen och gör den klar. Namn
Form på sidoytan
Tetraeder
Triangel
Mät först höjden mot den markerade basen. Beräkna sedan arean.
a)
Storlek på vinklarna hos sidoytan
Antal sidoytor som bildar ett hörn
60°
3
Summan av vinklarna i hörnet
b)
3 sidoytor bildar ett hörn. Summan av vinklarna i hörnet är 3 · 60°.
bas
3 · 60° = 180°
Oktaeder
12
108°
Ikosaeder
9
a) Rita triangeln i ditt räknehäfte. Triangeln ska ha ungefär samma form som triangeln till höger, men rita den gärna större.
Förklara varför det inte går att göra en platonsk kropp
b) Rita höjder från alla tre hörnen.
a) där fyra kvadrater möts i ett hörn
c) Beräkna arean.
b) där sex liksidiga trianglar möts i ett hörn
13
c) av regelbundna sexhörningar
10
bas
bas
Hexaeder Dodekaeder
Ta hjälp av det du kommit fram till på den här sidan och förklara varför det endast kan finnas 5 platonska kroppar.
c)
Bilden visar flagga. Beräkna arean av det
0,43 m
0,34 m
0,43 m
a) blå fältet
ArbetsblAd 2:13A och 2:13b
0,2 m
b) gula fältet
0,2 m
c) vita fältet
0,2 m
d) röda fältet
Historik Pythagoreerna var ett sällskap som bildades av den grekiska matematikern Pythagoras. De platonska kropparna har fått sitt namn från den grekiska matematikern Platon. För Pythagoreerna symboliserade de platonska kropparna de fyra elementen jord, luft, eld, och vatten samt universum.
Svara i kvadratmeter med två decimaler.
14
A
Förklara varför de båda trianglarna ABC och BCD har samma area.
D h1 = h2
h1
h2 B
2 geometri
2 geometri
Extramaterial Arbetsblad 2:13
Platonska kroppar
●
2:14
Trubbvinkliga trianglar
●
96–97
3 · 60° = 180°
3 · 90° = 270°
4 · 60° = 240°
3 · 108° = 324°
5 · 60° = 300°
3
3
4
3
5
Vinkelsumma av sidoytorna som bildar hörn
60°
108°
60°
Triangel
Pentagon
Triangel
Oktaeder
Dodekaeder
Ikosaeder
90° Kvadrat Hexaeder
60°
Antal sidoytor som bildar hörn
Triangel
En del elever har svårt att se hur de ska markera höjden utanför triangeln. Betona vikten av att höjden måste vara vinkelrät mot den förlängda basen.
b) Summan av vinklarna blir 6 ∙ 60° = 360° c) Summan av vinklarna blir 3 ∙ 120° = 360° 10 Summan av vinklarna i ett hörn måste vara mindre än 360°. De fem platonska kropparna är de enda som uppfyller det kravet. 11 a) 2,5 cm2 b) 5,6 cm2 c) 4,2 cm2
Tetraeder
11
8
Storlek på vinklar hos sidoytan
Kommentarer till uppgifter
97
Facit
Form på sidoyta
Här får eleverna möta och bekanta sig med de platonska kropparna. De är alla regelbundna polyedrar dvs. kroppar där alla sidoytor är likadana regelbundna månghörningar. Platon (430–249 f.Kr.) var en grekisk filosof och lärjunge till Aristoteles. Han ansåg att de styrande skulle ägna sig åt matematikstudier. Genom att tänka logiskt skulle de bli bättre ledare. Platon grundade en akademi som blev ett grekiskt matematikcentrum. Ovanför Platons Akademia stod skrivet: ”ATEΩMETRPHTOΣ MHΔEIΣ EIZITΩ”, ”Må ingen okunnig i geometri här inträda (Olsson, Matematiska nedslag i historien 1999). Tidigare har eleverna bara mött trianglar där höjden faller innanför triangeln. I avsnittet Mer om area får eleverna lära sig att markera höjden i en trubbvinklig triangel och sedan beräkna triangelns area.
Namn
96
ArbetsblAd 2:14
C
9 a) Summan av vinklarna blir 4 ∙ 90° = 360°. Det betyder att man får en plan eller platt figur, som inte kan bli någon tredimensionell kropp.
12 a) och b)
c) – 13 a) ≈ 0,13 m2 b) ≈ 0,10 m2 c) 0,12 m2 d) ≈ 0,25 m2 14 Trianglarna har gemensam bas (sträckan BC) och höjderna är lika långa.
2 geometri
MD7_2015_LG_kap2.indd 88
2016-11-08 11:28
Mer om volym
R
Parallellepipedens volym En parallellepiped är en prisma där sidoytor som står mot varandra är parallella.
Prismats volym En kropp som har sidoytor som är rektanglar och en basyta som är en månghörning kallas prisma. De här förpackningarna är exempel på prismor.
R
R Kropparna har samma volym. De har samma bottenyta och samma höjd.
Basytan är en rektangel
Basytan är en triangel
Basytan är en sexhörning.
När man beräknar volymen av ett prisma så räknar man på samma sätt som när man räknar ut volymen av ett rätblock. Man räknar först ut basytans area och multiplicerar sedan med höjden.
Vi beräknar alltså volymen av en parallellepiped på samma sätt som ett rätblock.
Exempel
Volymen = Basytans area ∙ höjden V=B∙h
Beräkna volymen av parallellepipederna. V = 5 cm · 2 cm · 4 cm = 40 cm3
15
b) Uppskatta arean av bottenytan med hjälp av din figur.
16,5 cm 5 cm
2,6 cm
23 cm
3
98
b)
(cm)
5
3
(dm)
3
3,2 6,5
4,1
4
6,0
(cm)
a) hörn har den b) kanter har den
6,5
6
c) sidoytor har den a) Vilken form har sidoytorna?
2,5
2,5
b) Beräkna begränsningsytans area. c) Beräkna volymen.
4
2 geometri
Kommentarer till uppgifter
16
Bottenytan kan beräknas med hjälp av Pythagoras sats, men eftersom eleverna ännu inte lärt sig den metoden så får eleverna istället rita, mäta och göra en uppskattning. Här kan en del elever missta sig på vilken av sido ytorna som är Tobleroneaskens basyta eftersom asken ligger ner.
2 geometri
99
Facit 15 a) –
(
)
2,5 ∙ 2,2 b) 16,5 cm2 6 ∙ _______ 2 Mät i figur. c) 297 cm3 16,5 ∙ 18 = 297
16 a) 3,9 cm2 3 ∙ 2,6 ______ = 3,9 2 2 b) 64 cm 3,9 ∙ 16,5 = 64,35 17 a) 1 266 cm2 2(23 ∙ 5) + 2(18,5 ∙ 5) + + 2(23 ∙ 18,5) = 1 266 b) 156 cm2 (156,3) 3(16,5 ∙ 3) + 2∙ 3,9 = = 156,3 c) 303 cm2 6(2,5 ∙ 18) + 2∙ 16,5 = = 303
18 a) 27 cm3 4,5 ∙ 3 ______ ∙ 4 = 27 2 3 b) 55 cm 5∙3 4 ∙ 2 ∙ 5 + 2 ∙ ____ ∙ 2 = 2 = 55 19 a) 24 cm3 4 ∙ 3 ∙ 2 = 24 b) 78 m3 4 ∙ 3 ∙ 6,5 = 78 c) 78,72 dm3 ≈ 79 dm3 6 ∙ 4,1 ∙ 3,2 = 78,72 20 a) 8
b) 12
c) 6
21 a) parallellogrammer, rektanglar och kvadrater b) 75 cm2 2(2,5 ∙ 2,5) + + 2(2,5 ∙ 6) + + 2(2,5 ∙ 6,5) = 75 c) 37,5 cm3 2,5 ∙ 2,5 ∙ 6 = 37,5
2 geometri
MD7_2015_LG_kap2.indd 89
2 cm
2
Detta uppslag är en utvidgning av området volym. Här får eleverna möta prismats och parallellepipedens volym. I egentlig mening är det många kroppar som är prismor eftersom definitionen av en prisma är en kropp som har sidoytor som är parallellogrammer och en basyta som har formen av en polygon. Parallellepipeden är en prisma där sidorna som står mot varandra är parallella. Sidoytorna är parallellogrammer.
15
20
21
Beräkna volymen på kropparna.
4,5
c)
(m)
Bilden visar en parallellepiped. Hur många 3 cm
18,5 cm
c) Drosteasken
4
5 cm
3 cm
b) Tobleroneasken
(cm)
b)
3
4
Hur stor area har alla sidoytorna tillsammans på
a)
(cm)
3 cm 2,5 cm
a) Alladinasken
18
5 cm
2
a) Beräkna arean av bottenytan på Tobleroneasken.
4 cm
2 cm
Beräkna volymen av parallellepipederna.
a)
b) Beräkna askens volym.
17
19
2,5 cm
18 cm
c) Uppskatta Drosteaskens volym.
16
4 cm
Svar: Båda parallellepipederna har volymen 40 cm3 eftersom de har samma basyta och höjd.
a) Rita av Drosteaskens bottenyta i rätt mått.
98–99
2016-11-08 11:28
S
Svarta sidorna
Svarta sidorna
De svarta sidorna är avsedda för de elever som är klara med röd kurs och som behöver mer utmaningar. Här möter eleverna uppgifter som kan ligga utanför kapitlets egentliga innehåll. För att underlätta för dig som lärare finns här facit med lösningsförslag till alla uppgifter.
1
2
En kvadrat med sidan 10 centimeter är sönderklippt som bilden visar. Alla vinklar är räta. Beräkna figurens omkrets.
(cm) 10
10
Hur många kvadrater går det att hitta i figuren?
S 3 4
5
Figuren är byggd av 7 st kuber med kantlängden 1 cm. Hur många kuber behövs ytterligare för att bygga en kub med kantlängden 3 cm? Tre identiska tärningar har limmats ihop som på bilden. Summan av prickarna på tärningens motstående sidor är alltid 7. Vilken är summan av prickarna på de sidor som limmats ihop? En kub har kantlängden 1 meter. Kubens volym är 1 m3 och arean av begränsningsytan är 6 m2.
a) Kuben delas i 8 mindre kuber. Beräkna volymen och arean av begränsningsytan av en liten kub.
b) Beräkna volymen och arean av begränsningsytan av alla småkuber tillsammans.
c) Kuben delas i 64 mindre kuber. Beräkna
volymen och arean av begränsningsytan av en liten kub.
d) Beräkna volymen och arean av begränsningsytan av alla småkuber tillsammans.
e) Vad blir resultatet om du upprepar
Kommentarer och lösningar till uppgifter 1 40 centimeter Summan av de vågräta sidorna är 20 centimeter. Det gäller även summan av de lodräta sidorna. 2 30 kvadrater 16 st med sidan 1 längdenhet (l.e.). 9 st med sidan 2 l.e. 4 st med sidan 3 l.e. 1 st med sidan 4 l.e. (Rita på motsvarande sätt en kvadrat med 10 l.e. Hur många kvadrater finns i en sådan? 385) 3 20 kuber En kub med kantängden 3 cm innehåller 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27 kuber. Eller: I översta och understa lagret saknas 8 kuber och i det mellersta saknas 4 kuber. 4 Summan är 14 Vi vet att summan av prickarna på sidorna på den mittersta tärningen är 7. De två yttersta tärningarna ligger identiskt så vi kan dra slutsatsen att de hoplimmade sidorna har 2 respektive 5 prickar. 1 5 a) Volymen är __ m3 = 0,125 m3. 8 Arean av begränsningsytan är 1,5 m2 (6 ∙ 0,5 ∙ 0,5) b) Totala volymen är 1 m3. Totala arean av begränsningsytan är 12 m2 (8 ∙ 1,5) 1 c) Volymen är ___ m3 ≈ 0,016 m3. 64 Arean av begränsningsytan är 0,375 m2 (6 ∙ 0,25 ∙ 0,25) d) Totala volymen är 1 m3. Totala arean av begränsningsytan är 24 m2 (64 ∙ 0,375) e) Volymen av en liten kub är 1 1 __ 1 1 m3 ≈ 0,00195 m3 ≈ 1,95 dm3 __ ∙ __ ∙ ____ 512 8 8 8 Arean av begränsningsytan är 0,09375 m2 ≈ 9,4 dm2 (6 ∙ 0, 125 ∙ 0,125) Totala volymen är 1 m3. Totala arean av begränsningsytan är 48 m2 (512 ∙ 0,09375)
(
102
delningen en gång till?
6
En trädgård har formen av en rektangel. På tomten finns en gräsmatta med en gång runt. Gången har lika stor area som gräsmattan. Hur bred är gången?
18
24 102
2 geometri
6 3 meter 24 ∙ 18 . Gräsmattans area är 216 m2 ______ 2 Kortsidan av gräsmattan måste vara mindre än 18 m och långsidan måste vara mindre än 24 m. Prövning ger enda alternativet 18 m × 12 m. Det ger bredden 3 m för gången.
(
)
7 Ett tips till de elever som behöver kan vara att göra enhetsbyten innan de börjar med sina beräkningar. Volymen av asfalten i m3 = 2 000 ∙ 7 ∙ 0,05 = 700 m3. 700 Antal lass ____ = 87,5 ≈ 88. 8 8 21 längdenheter Omkretsen av den stora rektangeln är hälften av de fyra färgade små rektanglarna och har längden 6 + 11 + 12 +13 ______________ = 21 2 9 36 rätblock Volymen av ett byggblock är 6 dm3. Av sex rätblock kan man bygga en kvadratisk ”bottenplatta” och sedan lägga sex sådana ”våningar ovanpå varandra.
)
2 geometri
MD7_2015_LG_kap2.indd 102
2016-11-08 11:28
7 8
9
S
En 2 km lång väg ska beläggas med asfalt. Vägbanan, som är 7 meter bred ska täckas med ett 5 cm tjockt asfaltlager. Ungefär hur många lastbilslass asfalt behövs det till vägbeläggningen om varje lastbil lastar 8 m3 asfalt? En rektangel är uppdelad i fem mindre rektanglar som på bilden. Omkretsen av var och en av de fyra bruna rektanglarna är 6, 11, 12 och 13 längdenheter. Beräkna omkretsen av den stora rektangeln.
S
Du ska bygga en kub. Till din hjälp har du ett antal rätblock som har längden 3 dm, bredden 2 dm och höjden 1 dm. Hur många rätblock går det minst åt för att bygga kuben. Motivera ditt svar. 1 dm 2 dm 3 dm
10
a) I figuren är arean av rektangeln ABCD 72 cm2 och området DFG 15 cm2. A
B (cm)
E F
D
5
G
H
4
C
Hur stor är arean av det vita området? Motivera.
b) Till vilka av figurens områden finns det inte tillräckligt med
information om för att man ska kunna beräkna deras area? Motivera.
11
12
I triangeln har vi markerat tre yttervinklar. Summan av yttervinklarna är 360 grader. Varför är det alltid så? Motivera ditt svar.
Hur många diagonaler kan du som mest dra i en
a) triangel
b) fyrhörning
c) femhörning
d) sexhörning
e) åttahörning
f) hundrahörning
2 geometri
103
10 a) 9 cm2 Arean av ABCD är 72 cm2 och sträckan DC är 9 cm. Då är både BC och AD 8 cm. Triangeln DFG har arean 15 cm2. Då är höjden FG 6 cm. Sträckan EF är 8 – 6 = 2 cm. Det vita området kan delas upp i två trianglar med basen 2 cm höjden 5 cm respektive 4 cm. 2 ∙ 5 ____ 2∙4 Arean = ____ + = 9 cm2 2 2 b) Områdena FHCG och EBH. Vi vet inte var punkten H är belägen mellan hörnen B och C. 11 Varje yttervinkel bildar tillsammans med vinkeln i triangeln en rak vinkel som är 180°. Det betyder att det i de tre hörnen totalt finns 3 raka vinklar, 180° ∙ 3 = 540°. Eftersom triangelns vinkelsumma är 180° blir summan av yttervinklarna 540° – 180° = 360°. 12 a) 0 b) 2 c)5 5 d) 9 e) 20 f) 4 850 diagonaler Från varje hörn kan man dra lika många diagonaler som antalet hörn minus 3. Man kan inte dra en diagonal till det egna hörnet och till de två närliggande hörnen. Man delar sedan med 2 eftersom varje diagonal annars räknas 2 gånger. Om antalet sidor är n kan man skriva n(n – 3) antalet diagonaler som _______ 2.
2 geometri
MD7_2015_LG_kap2.indd 103
103
2016-11-08 11:28
S
Sammanfattning Sammanfattningen tar upp viktiga begrepp och metoder som behandlas i kapitlet. Den ger en bra överblick av kapitlet och är därför en god hjälp för eleverna när de ska repetera.
Sammanfattning
S
●●Olika dimensioner Höjd Bredd Längd
Längd
En sträcka är endimensionell. Enheten kan vara meter, m.
Begreppskartor Ett bra sätt att repetera de begrepp och metoder som presenterats i kapitlet och samtidigt utveckla elevernas resonemangsförmåga, är att låta eleverna arbeta med begreppskartor. Att arbeta med begreppskartor gör att eleverna blir uppmärksammade på sina egna kunskaper. I materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter finns ett arbetsmaterial som underlättar elevernas arbete med begreppskartor.
●●Kroppar
Begreppskarta 2:1
Trianglar
Figurer med tre eller flera hörn.
Begreppskarta 2:2
Fyrhörningar
Det här är en femhörning.
Begreppskarta 2:3
Area
Begreppskarta 2:4
Månghörningar
Bredd
Längd
En yta är tvådimensionell. Enheten kan vara kvadratmeter, m2.
En kropp är tredimensionell. Enheten kan vara kubikmeter, m3.
kant hörn sidoyta basyta
Prisma Basytan är en mång hörning och sido ytorna är rektanglar.
●●Månghörning
Rätblock Ett prisma med en rektangel som basyta.
●●Fyrhörningar
sida
diagonal
Pyramid Spetsig kropp med en månghörning som basyta.
Kub Ett rätblock där alla sidoytor är kvadratiska.
hörn
Parallelltrapets
Romb
Parallellogram
Rektangel
Kvadrat
●●Trianglar höjd bas
Oliksidig triangel Alla sidor är olika långa och alla vinklar är olika stora.
104
104
Likbent triangel Två sidor är lika långa och två vinklar är lika stora.
Liksidig triangel Alla sidor är lika långa och alla vinklar är lika stora.
Rätvinklig triangel En vinkel är rät.
2 geometri
2 geometri
MD7_2015_LG_kap2.indd 104
2016-11-08 11:28
Bedömning ●●Vinklar
S
En rät vinkel markeras med en hake.
Rät vinkel 90°
Rak vinkel 180°, ett halvt varv
Spetsig vinkel mindre än 90°
Trubbig vinkel större än 90°
●●Area
●●Triangelns vinkelsumma
Storleken av en yta Rektangelns area
En triangels vinkelsumma är alltid 180° v
2 cm 40°
4 cm
A = basen · höjden = 4 cm · 2 cm = 8 cm2 Arean är 8 kvadratcentimeter Parallellogrammens area 2 cm
35°
Exempel 180° – 40° – 35° = 180° – 75° = 105° Vinkeln v = 105°
4 cm
A = basen · höjden = 4 cm · 2 cm = 8 cm2 Arean är 8 kvadratcentimeter Triangelns area
●●Volym Storleken av en kropp
Efter ett kapitel kan det vara lämpligt att utvärdera hur väl eleverna har tillgodogjort sig undervisningen. Det är önskvart att eleverna får visa sina kunskaper på olika satt. I materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter finns förslag till kapitelprov på E- till A-nivå, kapitelprov på E-nivå och även förslag till muntligt prov. Till proven finns dessutom bedömningsmallar och bedömningsmatriser. Att låta eleverna arbeta med begreppskartor kan, förutom att ge eleverna insikt om sitt eget lärande, aven fungera som ett sätt för eleverna att visa sina kunskaper. Mer om bedömning, prov och hur de kan användas finns att läsa om i materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter.
S
4 cm
2 cm 4 cm
3 cm
basen · höjden 4 cm · 2 cm 8 cm2 A = _____________ = __________ = _____ = 2 2 2 = 4 cm2
Volym = Basytan · höjden
Arean är 4 kvadratcentimeter
Volymen är 24 kubikcentimeter.
2 cm
V = B · h = 3 cm · 2 cm · 4 cm = = 6 cm2 · 4 cm = 24 cm3
●●Begränsningsyta Arean av rektangelns begränsningsyta är 2 · 4 cm · 2 cm + 2 · 4 cm · 3 cm + 2 · 3 cm · 2 cm = = 2 · 8 cm2 + 2 · 12 cm2 + 2 · 6 cm2 = = 16 cm2 + 24 cm2 + 12 cm2 = 52 cm2
4 cm 3 cm
2 cm
2 cm 4 cm
4 cm 3 cm 4 cm 3 cm
2 geometri
105
2 geometri
MD7_2015_LG_kap2.indd 105
105
2016-11-08 11:28
37
38
Facit med lösningsförslag
39
37 Hälften så långt som det fjärde ljuset. Efter 2 veckor och 2 dagar: Första ljuset har brunnit i 16 · 15 min = 240 minuter Andra ljuset har brunnit i 9 · 15 min = 135 minuter Tredje ljuset har brunnit i 2 · 15 min = 30 minuter Det fjärde ljuset är ett helt ljus och har inte brunnit alls. Det första ljuset och det tredje ljuset är lika långt som det hela ljuset. Det betyder att hela ljuset brinner ned på 270 minuter. Det andra ljuset har brunnit ned till hälften, alltså är halva ljuset kvar. (2 · 135 min = 270 minuter)
40
41
42
38 11 m/s Per cyklar 200 meter längre än Pål på 50 sekunder. Per cyklar med hastigheten 15 m/s. s = 15 m/s · 50 s = 750 m Pål har cyklar 750 m – 200 m = 550 m på 50 sekunder. 550 m = 11 m/s Hastigheten = ______ 50 s 39 Bonden börjar med att ta över fåret och åker tillbaka. Därefter tar han över vargen och tar med sig fåret tillbaka. Han tar över kålhuvudena. Slutligen åker han tillbaka och hämtar fåret. Det här är en klassisk problemlösningsuppgift som löses enklast med konkreta föremål som får symbolisera bonden, vargen, fåret och kålhuvudet. Skriv ned hur du flyttar föremålen. Till exempel gör bonden så här: 1. Bonde ror över med fåret och lämnar det. 2. Bonde ror tillbaka och hämtar kålhuvudet 3. Lämnar kålhuvudet och ror tillbaka med fåret. 4. Tar med sig vargen och lämnar fåret. 5. Lämnar vargen med kålhuvudet och ror tillbaka för att hämta fåret. 6. Nu är alla på andra sidan av floden.
I en adventsljusstake finns det fyra ljus. Första veckan tände man det första ljuset. Andra veckan både det första och det andra ljuset. Tredje veckan tände man det första, det andra och det tredje ljuset. Varje dag brinner ljusen 15 minuter, Efter 2 veckor och 2 dagar är första ljuset och det tredje ljuset tillsammans lika långt som det fjärde ljuset. Hur stor del är det kvar av det andra ljuset? Per och Pål tävlar i cykling. Per startar 100 m bakom Pål och efter 50 sekunder är han 100 m före Pål. Per cyklar med hastigheten 15 m/s. Hur fort cyklar Pål? En bonde skulle ro en varg, ett får och en låda med kålhuvuden över en flod. Han kan bara ta ett av dem varje gång i båten. Han kan inte lämna vargen ensamt med fåret då skulle fåret bli uppätet. Han kan inte heller lämna fåret med kålhuvudena. Hur gör han för att få över allt och alla till andra sidan floden? I en grotta finns det svarta monster och vita monster. De svarta monstren har 8 huvuden 6 ben och 2 svansar. De vita monstren har 6 huvuden, 8 ben och 4 svansar. Tillsammans har alla monstren 46 svansar. De vita monstren har tillsammans 6 huvuden fler än vad de svarta monstren tillsammans har ben. Hur många svarta och vita monster finns det i grottan? Lykke och Julian tävlar på 100 meter. När Lykke springer över mållinjen så har Julian hunnit 95 meter. Nästa gång de ska tävla så startar Lykke fem meter bakom startlinjen. De springer med samma hastighet som vid förra loppet. Vem vinner det andra loppet? Kenneth bygger en bokhylla. Den ska vara 230 cm hög. Varje hyllplan är 2,5 cm tjockt. Det understa hyllplanet ska vara 20 cm från golvet. Avståndet mellan varje hyllplan ska vara mellan 21 cm och 24 cm. Det ska vara lika långt mellan varje hyllplan.
a) Hur många hyllplan har hyllan? b) Hur långt är det mellan hyllplanen? Avrunda till hela millimeter.
43
?!
272
I tre skålar finns det äpplen. I den första skålen finns det 5 äpplen, i den andra finns det 8 äpplen och i den tredje finns det 11 äpplen. Du får ta två äpplen åt gången så många gånger du vill, men aldrig mer än ett äpple från varje skål åt gången. Kan du göra detta så att det så småningom blir lika många äpplen kvar i varje skål. Hur gör du?
problemlösning
41 Lykke Lykke springer 100 meter när Julian har sprungit 95 meter. Hon springer alltså 5 meter längre än honom när han springer 95 meter. Det betyder att hon springer mer än 5 meter längre än honom när han springer 100 meter. Alltså kommer hon att vinna även det andra loppet. 42 a) 9 hyllplan (om man räknar med överstycket) b) 234 mm mellan hyllplanen
40 7 svarta monster och 8 vita monster. Huvud
Ben
Svansar
Svart
8
6
2
Vit
6
8
4
Tillsammans
46
De vita monstren är ett mer än de svarta monstren eftersom antalet vita huvuden är 6 fler än antalet svarta ben. Pröva dig fram Svarta svansar
Vita svansar
Totalt
4·2=8
5 · 4 = 20
20 + 8 = 28 för lite
7 · 2 = 14
8 · 4 = 32
32 + 14 = 46 stämmer
Kontrollera: Antalet vita huvuden är 8 · 6 = 48, antalet svarta ben är 7 · 6 = 42 48 – 42 = 6 Svar: Det är 8 vita monster och 7 svarta monster.
?!
276 272
230 cm
8 steg 9 hyllplan
20 cm
230 – (20 + 2,5) = 207,5 Största avståndet mellan hyllplanen 24 cm+ 2,5 cm= 26,5 cm 207,5 ≈ 7,8 ≈ 8 steg ______ 26,5 8 steg innebär 9 hyllplan om man räknar med överstycket. Exakt avstånd mellan hyllplan. 207,5 = 8(2,5 + x) 207,5 = 20 + 8x x ≈ 23,4 cm = 234 mm
problemlösning
MD7_2015_LG_kap7.indd 276
2016-11-08 11:45
44
45 46
47 48
Rut har tre högar med spelkulor. I den första högen är det 12 kulor, i den andra högen är det 14 kulor och i den tredje är det 22 kulor. Kan hon i tre drag flytta kulorna så att det blir lika många kulor i varje hög? Regeln är att när man flyttar kulor från en hög till en annan så måste man flytta lika många kulor som finns i den andra högen. Liam har 4 bullar och Elsa har 5 bullar. Oscar har inga bullar. De delar alla lika på bullarna och som tack ger Oscar 15 godisbitar till Liam och Elsa. Hur bör de fördela godisbitarna mellan sig? Lily lånar sin systers kamera. I den finns ett minne som rymmer 16 GB. 1 Hon tar bilder som tar upp __ av det lediga utrymmet. Sedan filmar 3 hon och tar upp 40 % av det minne som är kvar. Då finns det 3 GB kvar av minnet. Hur mycket av minnet var använt när hon lånade kameran?
46 8,5 GB Det finns 3 GB kvar och det är 60 % av det som är kvar efter hon filmat. 60 % = 3 GB 20 % = 1 GB 100 % = 5 GB 2 5 GB är __ av det som fanns när hon lånade kameran. 3 2 __ = 5 GB 3 1 __ = 2,5 GB 3 3 __ = 7,5 GB 3 Då var 16 GB – 7,5 GB = 8,5 GB använt. Svar: 8,5 GB var använt.
Calle lägger 12 mynt med tre rader med fyra mynt i varje rad. Visa hur han kan lägga mynten i sex rader med fyra mynt i varje rad. En säl bodde på en ö 350 meter ute i havet. Han hade varit på fastlandet hela dagen och skulle nu simma hem. Han simmade en minut och kom 100 m. Sedan sköljde en kraftig våg över honom och han åkte 50 meter tillbaka. Det tog 30 sekunder och sedan vilade han en halv minut. Det här upprepades ända tills han kom över till sin ö. Hur lång tid tog det för sälen att komma hem?
47
problemlösning
273
43 Ja, det blir två äpplen kvar i varje skål. Skål 1 Skål 2 Skål 3 5 8 11 5 7 10 5 6 9 5 5 8 5 4 7 4 4 6 3 4 5 3 3 4 2 3 3 2 2 2
?!
48 11 minuter Tid ( minuter)
Sträcka
1
100 m
2
50 m
3
150 m
4
100 m
5
200 m
6
150 m
7
250 m
8
200 m
9
300 m
10
250 m
11
350 m
44 Ja, efter tre försök är det 16 i varje hög. Hög 1 Hög 2 Hög 3 12 14 22 1. 12 28 8 2. 24 16 8 3. 16 16 16 45 Liam bör få 5 godisbitar och Elsa bör få 10 godisbitar. De får 3 bullar var. Det betyder att Liam ger en bulle till Oscar och Elsa ger två bullar till Oscar. Då bör Elsa få 2/3 av godisbitarna och Liam 1/3 av godisbitarna. Det betyder att Elsa får 10 bitar och att Liam får 5 bitar.
problemlösning
MD7_2015_LG_kap7.indd 277
277 273
?!
2016-11-08 11:45
7
Lärarguide
●● Tydlig struktur – koppling till centralt innehåll åk 7–9 i Lgr11 ●● Eleven i fokus – vardagsnära uppgifter ●● Uppslaget – koppling till förmågorna ●● Svarta sidorna – rejäla utmaningar till varje kapitel ●● Problemlösning – helt kapitel med strategier och uppgifter ●● Repetition – blandade uppgifter på flera nivåer ●● Verktygslådan – en uppslagsdel Matte Direkt 7 består av Lärobok, Lärarguide, Arbetsblad, prov och aktiviteter samt Träningshäften. Matte Direkt 7 finns också som digital bok.
ISBN 978-91-523-3749-3
(523-3749-3)