LENA ALFREDSSON KAJSA BRÅTING PATRIK ERIXON HANS HEIKNE
är ett helt nytt läromedel, anpassat till ämnesplanen Gy2011. Det täcker alla program på gymnasieskolan och finns nu även för introduktionsprogrammen och vuxenutbildningen.
Matematik 5000 ger, liksom sin föregångare Matematik 4000, eleverna mycket goda förutsättningar att utveckla sina förmågor genom en stor variation av arbetssätt, frågeställningar och uppgiftstyper. Läromedlet aktiverar och engagerar eleverna samtidigt som det befäster viktiga kunskaper. Sist men inte minst: det har en tydlig struktur och är lätt att arbeta med.
Matematik 5000
Matematik 5000
2a
2a
Matematik
5000
Välj mellan RÖD SERIE
för serviceinriktade yrkesprogram
GUL SERIE
för tekniskt inriktade yrkesprogram
GRÖN SERIE för SA, EK, ES, HU samt vuxenutbildningen BLÅ SERIE
för NA och TE
BASBÖCKER för elever som behöver en enklare framställning
För aktuell information om serien och digitalt material, besök www.nok.se/matematik5000
ISBN 978-91-27-42363-3
9 789127 423633
M5000_Red_Gul_2a.indd 1
2012-10-09 11:23
M5000 Rod o Gul 2a.indb 2
2012-10-08 15.57
Välkommen till Matematik 5000 Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasieskolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning och erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning.
Varje kapitel avslutas med:
Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättningar att utveckla de förmågor och nå de kunskapsmål som beskrivs i den nya ämnesplanen.
• K an du det här? och Diagnos som tillsammans
Denna bok, Kurs 2a Röd & Gul lärobok, riktar sig till elever som studerar på yrkesprogrammen.
Hur är boken upplagd? • T eoriavsnitten utgår ofta från konkreta exempel
som framställs och förklaras på ett sätt som ger eleverna möjlighet att förstå och upptäcka matematiken. Teorin avslutas med flera lösta exempel som belyser det viktigaste. Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer, a, b och c, i stigande svårighetsgrad.
• Aktiviteterna ger stora möjligheter att variera
undervisningen. De finns i fyra olika kategorier: Upptäck, Undersök, Diskutera och Laborera. De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivitet som introducerar delar av kapitlets innehåll.
• I Teman finns teori och uppgifter anpassade till
de olika yrkesprogrammen och i Historik, med tillhörande uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang.
• På många sidor blandas uppgifter av standard-
karaktär med uppgifter som kräver matematisk problemlösning.
• E n Aktivitet som uppmuntrar till kommunika-
tion: Sant eller falskt?
• E n kort Sammanfattning av kapitlet.
ger eleverna en god möjlighet till egen kunskapskontroll. I Kan du det här? kan eleverna i par eller smågrupper värdera sina kunskaper om matematiska begrepp och strategier och i Diagnosen kan de enskilt testa sina grundläggande kunskaper.
• O m en elev behöver repetera delar av kapitlet
finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken. Repetitionsuppgifterna är texten till de lösta exemplen i bokens teoriavsnitt.
• T vå olika varianter av Blandade övningar av-
slutar varje kapitel. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel. Blandade övningar består av tre delar: Utan räknare, Med räknare och Utredande uppgifter.
I Svarsdelen finns ledtrådar till många uppgifter. Till läroboken finns en lärarhandledning med kommentarer, ytterligare aktiviteter och övningsuppgifter samt en provbank. Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elever till en variation av arbetssätt och arbetsformer och erbjuder många olika möjligheter för eleverna att utveckla sina matematiska förmågor. Mer information om läromedlet och digitalt material finns på www.nok.se/matematik5000
Lycka till med matematiken! önskar Hans, Lena, Kajsa och Patrik
förord
M5000 Rod o Gul 2a.indb 3
3
2012-10-08 15.57
Innehåll 1. Algebra och linjära modeller
6
2. Algebra och ickelinjära modeller
Inledande aktivitet: Positiva och negativa tal 7
1.1 Algebra 8
1.2 Funktioner
14
26
Koordinatsystem 26 Funktion, formel, värdetabell och graf 28 Aktivitet: Diskutera – Graf, formel, tabell och beskrivning 32 Mer om funktioner 34 Grafritande räknare 39 Skillnader mellan begreppen uttryck, ekvation och funktion 42
1.3 Räta linjens ekvation
44
Inledning 44 Aktivitet: Upptäck – Torghandel 46 k-värde och m-värde 47 En formel för linjens lutning 50 Räta linjens ekvation 54 Aktivitet: Laborera – Trästavar med skruv 57 Linjära modeller 58 Mera om räta linjer 61
1.4 Linjära ekvationssystem
63
*Några speciella ekvationssystem
Tema: Vinst eller förlust 72 Tillämpningar och problemlösning Tema: Nu är det NOG 77
70 74
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 80 Sammanfattning 1 81 Kan du det här? 1 82 Diagnos 1 83 Blandade övningar kapitel 1A 84 Blandade övningar kapitel 1B 88
* Fördjupningsavsnitt
M5000 Rod o Gul 2a.indb 4
Kvadrater och kvadratrötter Potenser 96 Potenslagar 98 Potensekvationer 101
2.2 Mer algebra
94
94
104
Förenkla uttryck 104 Aktivitet: Upptäck – Kvadreringsreglerna 107 Konjugatregeln och kvadreringsreglerna 108 Faktorisera 110
2.3 Andragradsekvationer
111
Enkla andragradsekvationer 111 En lösningsformel 114 Aktivitet: Upptäck – Samband mellan rötter och koefficienter 119 Tillämpningar och problemlösning 120 Historik: Ekvationer och lösningsformler 123 Aktivitet: Undersök – Andragradsfunktioner 125
2.4 Andragradsfunktioner
126
Andragradsfunktionens graf 126 Andragradsfunktionens största /minsta värde 129 Aktivitet: Undersök – Rektanglar med given omkrets 133 Tillämpningar 134 Exponentialfunktionen y = C · ax 138
2.5 Exponential- och potensfunktioner
Grafisk lösning 63 Substitutionsmetoden 66 Additionsmetoden 68
4
Inledande aktivitet: Olika beräkningar – samma resultat 71
2.1 Potenser och potensekvationer
Negativa tal och prioriteringsregler 8 Tal i bråkform 12 Aktivitet: Diskutera – Vilka uttryck är lika? Algebraiska uttryck 15 Formler 18 Ekvationer 20 Lösa ut ur formler 24
92
139
Exponentialfunktioner 139 Potensfunktioner 142 Grafisk och algebraisk lösning av ekvationer Tillämpningar och problemlösning 146 Historik: Världens befolkning 149 Tema: Budgetering och kostnadsanalys 150 Mer om grafer 154 Aktivitet: Laborera – Termosen 156 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? Sammanfattning 2 158 Kan du det här? 2 160 Diagnos 2 161 Blandade övningar kapitel 2 162 Blandade övningar kapitel 1–2 165
144
157
innehåll
2012-10-08 15.57
3. Geometri
168
Inledande aktivitet: Trianglar och månghörningar
3.1 Geometri och algebra
169
170
Vinklar och vinkelsumma 170 Geometri och bevis 173 Yttervinkelsatsen 176 Implikation och ekvivalens 178 Likformiga månghörningar 180 Pythagoras sats 183 Avståndsformeln 188
**Likformighet och symmetrier
3.2
190
Likformighet och skala 191 Area- och volymskala 190 Historik: Fraktaler 194 Mönster och symmetrier 195 Tema: Det gyllene snittet 200
**Trigonometri och vektorer
3.3
Inledning 202 Räkna med tangens 203 Sinus och cosinus 207 Blandade uppgifter 210 Vektorer 212 Tema: Krafter och hastigheter
202
215
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 218 Sammanfattning 3.1 219 Kan du det här? 3.1 220 Diagnos 3.1 221 Blandade övningar kapitel 3.1 222 Blandade övningar kapitel 1–3.1 224
Repetition Svar
230
236
Register
275
** Fördjupningsmoment
Välj avsnitt utifrån karaktärsämnenas behov.
innehåll
M5000 Rod o Gul 2a.indb 5
5
2012-10-08 15.57
1
ALGEBRA OCH LINJÄRA MODELLER
Centralt innehåll ✱ Algebraiska uttryck, formler och ekvationer. ✱ Funktionsbegreppet. ✱ linjära funktioner och räta linjens ekvation. ✱ linjära ekvationssystem. ✱ Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen.
M5000 Rod o Gul 2a.indb 6
2012-10-08 15.57
894789475849
89478947584
112 777
482398678567
7547 55
238876744
15343274
Inledande aktivitet POSITIVA OCH NEGATIVA TAL Arbeta tillsammans två och två. Skaffa fyra papperslappar och skriv talen 2, –3, –5 och 4 på lapparna.
1 Placera talen i storleksordning. 2 Beräkna summan av talen. 3 a) Välj två av lapparna och lägg dem så att summan blir så stor som möjligt. + = b) Välj på nytt och lägg två lappar så att differensen blir så stor som möjligt. – = c) Välj på nytt och lägg två lappar så att produkten blir så stor som möjligt. · =
M5000 Rod o Gul 2a.indb 7
2
–3
–5
4
4 a) Välj två av lapparna och lägg dem så att summan blir så liten som möjligt. + = b) Välj två av lapparna och lägg dem så att produkten blir så liten som möjligt. · = 5 Placera ut alla fyra talen så att resultatet av beräkningen · + · = blir så a) stor som möjligt b) liten som möjligt.
2012-10-08 15.57
1.1 Algebra Negativa tal och prioriteringsregler
När temperaturen är under noll grader använder vi negativa tal för att tala om hur många grader det är. Negativa tal används även för att ange t ex behållningen på ett konto, utgifter, ekonomiska resultat och tidsskillnad mellan olika länder. tallinje
Här nedan ser du några tal markerade på en tallinje. –5
–4
–3
–2
–1
1
0
3
2
5
4
Positiva tal
Negativa tal
Vi jämför de markerade talens storlek på följande sätt: På tallinjen
Med ord
Med symboler
2 ligger till höger om –3
2 är större än –3
2 > –3
–5 ligger till vänster om –3
–5 är mindre än –3
–5 < –3
Exempel 1 Temperaturen är –3 °C och ökar 7 °C°.
Temperaturen är –3 °C° och minskar 5 °C°.
–3 + 7 = 4
–3 – 5 = –8
Temperaturen ökar till 4 °C.
Temperaturen minskar till –8 °C. ökar 7 °C
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4
8
M5000 Rod o Gul 2a.indb 8
minskar 5 °C 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4
1.1 AlgebrA
2012-10-08 15.57
Exempel 2
Exempel 3
Addition och subtraktion 500 + (–200) = 500 – 200 = 300
Två olika tecken intill varandra kan ersättas med ett minustecken.
500 – (–200) = 500 + 200 = 700
Två lika tecken intill varandra kan ersättas med ett plustecken.
Multiplikation och division 6 · (–3) = –18 6 = –2 –3
Olika tecken ger ett negativt resultat.
– 6 · (–3) = 18 –6 =2 –3
Lika tecken ger ett positivt resultat.
Vid beräkningar med flera räknesätt: 1. Först parenteser Prioriteringssregler
2. Därefter upphöjt till (potenser) 3. Sedan multiplikation och division 4. Sist addition och subtraktion
1101
Beräkna utan räknare a) 5 – 9
c) –25 – (–50)
b) 9 – 4 + 2
d) 16 + (– 9)
a) 5 – 9 = –4
c) – 25 – (–50) = = –25 + 50 = 25
b) 9 – 4 + 2 = =5+2=7
1.1 AlgebrA
M5000 Rod o Gul 2a.indb 9
d) 16 + (–9) = = 16 – 9 = 7
Tecknen – (–) ersätts med +
Tecknen + (–) ersätts med –
9
2012-10-08 15.57
1102
Beräkna utan räknare
–2 – 8 2 – (–3)
a) –5 · (– 4)
c)
b) 13 – 2 · 5
d) 10 – (1 – 3)2
a) –5 · (– 4) = 20
c) –2 – 8 = –10 = –10 = –2 2 – (–3) 2+3 5
b) 13 – 2 · 5 =
d) 10 – (1 – 3)2 = 10 – (–2)2 = = 10 – (–2) · (–2) = 10 – 4 = 6
= 13 – 10 = 3
Det är vanligt att det på räknare finns två olika knappar för minustecken. — används för subtraktion och (–) används för negativa tal.
–5 – 8 = (–)
5
—
8
Beräkna med räknare 24 + (– 6) –2 – 4
1103
På räknaren skriver vi en parentes runt uttrycket i täljaren och uttrycket i nämnaren. 24 + (– 6) = (24 + (– 6))/(–2 – 4) = –3 –2 – 4 Beräkna utan räknare. 1104 Temperaturen är –2 ºC. Vad blir den om den a) ökar med 5 ºC
b) minskar med 4 ºC?
1105 9 – 5 = 4 Vad blir 5 – 9? 1106 Beräkna a) 3 – 5
d) –8 + 2
b) –3 – 5
e) 2 – 8
c) –3 + 5
f) –8 – 2
1107 Agnes saldo på bankkontot är –450 kr.
1108 Sätt ut rätt olikhetstecken, > eller <, mellan talen. a) 5
–2
c) –2
–1
b) –2
5
d) 0
–7
1109 Beräkna a) 5 − 8
c) −3 − 12
b) −7 + 2
d) −5 + 9
1110 Beräkna
Hur mycket pengar har hon på sitt konto om hon
a) 7 – 5 + 1
a) sätter in 500 kr
c) tar ut 200 kr
c) –1 – 3 + 1
b) sätter in 200 kr
d) sätter in 350 kr?
d) 1 – 7 + 2
10
M5000 Rod o Gul 2a.indb 10
b) –2 + 5 – 1
1.1 AlgebrA
2012-10-08 15.57
1111 a) 7 + (−3)
c) −8 + (−2)
b) 5 − (−4)
d) −3 − (−9)
1112 a) 4 ∙ (−3) b) (−10) ∙ (−5) –15 3 –45 b) –5
1113 a)
1114 a) 8 + 4 · 6 b) 16 – 6 + 4 1115 a) b)
c) (−7) ∙ 6 d) −6 ∙ (−2) c) 36/(–6) d) (–32)/(–8) Beräkna utan räknare
c) 2 · (3 – 8)
1120 I Målilla i Småland är det ofta varmt på sommaren. Värmerekordet i Målilla är +38,0 °C och köldrekordet är –33,8 °C .
d) 2 · 3 – 8
7–2 9 – (– 6)
c)
8 – (– 4) –7 – (–1)
–5 – (–7) 1 – (–1)
d)
–10 – 6 –5 – (–3)
Hur stor är temperaturdifferensen? 1121 Skriv 3 · (–20) som en addition och beräkna summan.
1116 Beräkna med räknare a) 2,97 – (–1,68) b) –3,7 – 9,6
1122 Beräkna utan räknare
c) 3,5 · (–26) – 608 d) 8
a) 4 ∙ (–5) + 15 b) 16 + (–6) ∙ 6 c) 12 – (2 – 5)2
1117 Beräkna med räknare 252 a) 25 · 3
5,7 – 1,2 c) –2,2 – 3,8
117 + 265 b) 4
82 – 98 d) 13 – (–3)
d) (–14 + 3) ∙ (–9) 1123 Vilket tal ska stå i den tomma rutan? a) 18 –
1118 Vilka belopp ska stå i de tomma vita rutorna? Insättning
Uttag
= 30
b) 16 –
Behållning 2 500 –1 300 100
a) –2 och 6
c) –5 och 0
b) –8 och –2
d) –25 och –3?
1124 I en frågesport får du +2 poäng om du svarar rätt men –3 poäng om du svarar fel. Undersök om det är möjligt att du kan ha a) 0 poäng efter att ha svarat på 10 st frågor
900
1119 Vilket tal ligger mitt emellan
· 5 = –4 c) – 8 – 35 = – 3
b) 0 poäng efter att ha svarat på 8 st frågor? 1125 Talen …, – 4, –2, 0, 2, 4, ... är jämna. Talen …, –3, –1, 1, 3, … är udda. En kompis hävdar att differensen mellan två udda tal alltid är ett jämnt tal. Har din kompis rätt? Motivera!
1.1 AlgebrA
M5000 Rod o Gul 2a.indb 11
11
2012-10-08 15.57
Tal i bråkform På British Museum finns ett för matematiken viktigt dokument, Rhindpapyrusen. Den skrevs för nästan 4 000 år sedan och visar bl a hur de gamla egyptierna räknade med bråk. Metoderna har sedan dess utvecklats. Vi repeterar här några metoder /regler som du mött tidigare.
Exempel 1
Addition eller subtraktion av bråk med samma nämnare Addera /subtrahera täljarna. Nämnaren ändras inte. 1 2 1+2 3 + = = 5 5 5 5
Exempel 2 förlänga
Addition eller subtraktion av bråk med olika nämnare Börja med att förlänga bråken till samma nämnare. 6·5 1 6 1 · 12 12 30 42 = + = + + = 5 12 5 · 12 12 · 5 60 60 60
förkorta enklaste form
Avsluta med att förkorta så långt som möjligt, dvs skriv bråket i enklaste form. 42 42/2 21 21/3 7 = = = = 60 60/2 30 30/3 10
Exempel 3
Multiplikation av bråk Multiplicera täljarna för sig och nämnarna för sig. 1 2 1·2 2 · = = 5 3 5 · 3 15
Exempel 4
Multiplikation av ett heltal och ett bråk Multiplicera endast täljaren med heltalet. 2 3·2 6 3· = = 5 5 5 2 2 2 2 6 3 · kan även beräknas med addition: + + = 5 5 5 5 5
blandad form
När täljaren är större än nämnaren kan du svara i blandad form: 6 5 1 1 = + =1 5 5 5 5
12
M5000 Rod o Gul 2a.indb 12
1.1 AlgebrA
2012-10-08 15.57
1126
Beräkna utan räknare och svara i enklaste form. 3 2 · 5 9
a) 1 + 3 6 6
c)
b) 4 – 3 5 10
d) 2 ·
3 8
a)
1 3 1+3 4 4/2 2 + = = = = 6 6 6 6 6/2 3
b)
4 3 4·2 3 8 3 5 5/5 – = – = – = = =1 5 10 5·2 10 10 10 10 10/5 2
c)
3 2 3·2 1·2 2 = · = = 5 9 5 · 93 5 · 3 15
1
d) 2 ·
3 2·3 6 6/2 3 = = = = 8 8 8 8/2 4
Beräkna utan räknare och svara i enklaste form. 4 2 + 7 7
c)
11 5 – 18 18
b) 5 – 2 8 8
d)
1 7 + 10 10
1 1 + 3 6
c)
2 1 + 3 4
d)
2 2 – 3 8
1127 a)
1128 a)
b) 2 – 1 3 15 1129 a)
4 2 · 5 5
c) 5 ·
b)
1 6 · 2 7
d)
1 6
4 ·2 9
1130 Skriv i blandad form. a)
4 3
b)
8 3
c)
7 4
1131 Beräkna utan räknare. 3 2 a) 1 + + 5 3 3 1 b) 2 · · 5 3 c) 2 · 1.1 AlgebrA
M5000 Rod o Gul 2a.indb 13
3 1 + 5 3
1132 Visa att
3 1 är större än 8 3
1133 Hur förändras värdet på bråket 4 /5 om du a) multiplicerar täljaren med 2 b) multiplicerar nämnaren med 2? 1134 Vilket tal i bråkform ska man a) subtrahera från 18 /11 för att differensen ska bli 1 b) multiplicera 5/9 med för att produkten ska bli 1? 1135 För flera tusen år sedan räknade man i Egypten nästan bara med bråk där täljaren är 1. Sådana bråk kallas stambråk. a) 15 /180 kan skrivas som ett stambråk. Vilket? b) 2 /7 kan skrivas som summan av två olika stambråk. Det ena är 1 /4. Vilket är det andra? c) ”Sju tolftedelar” kan skrivas som summan av två olika stambråk. Det ena är 1 /3. Vilket är det andra? 13
2012-10-08 15.57
Aktivitet
DISKUTERA
Vilka uttryck är lika? Arbeta i par. Dela ett A4-papper så att ni får 16 papperslappar. På lapparna skriver ni nedanstående matematiska uttryck (ett uttryck per lapp). Gruppera lapparna så att de uttryck som är lika hamnar i samma grupp.
14
M5000 Rod o Gul 2a.indb 14
X+X
X2
2·X–2
–2
X·X
2·X–X
2X – 2
2·X
4–6
3X – X – X
2
X+2–X
+X
X–2–X
2X
X–2+X
1.1 AlgebrA
2012-10-08 15.57
Algebraiska uttryck algebraiskt uttryck
Ett algebraiskt uttryck är ett uttryck som innehåller tal och variabler samt tecken för räkneoperationer. Med räkneoperationer menas här de fyra räknesätten, rotutdragning och upphöjande till en potens. 3x – 5 är ett algebraiskt uttryck med en variabelterm och en konstantterm. 4x – 5y + 2 är ett algebraiskt uttryck med två variabler.
Exempel 1
En kopp kaffe kostar x kr och en bulle kostar 5 kr mer. Ett äpple kostar 2 kr mindre än kaffet.
x
x+5
x – 2 kr
Anton köper en kopp kaffe, en bulle och ett äpple. Vi skriver ett uttryck för kostnaden: x + x + 5 + x − 2 Variabelterm
Konstantterm
Vi förenklar uttrycket: x + x + 5 + x − 2 = x + x + x + 5 − 2 = 3x + 3 I uttryck med olika slags termer förenklas variabeltermerna för sig och konstanttermerna för sig.
Exempel 2
Bea köper två bullar och tre äpplen. Vi skriver ett uttryck för kostnaden: 2 ∙ ( x + 5) + 3 ∙ ( x – 2)
multiplicera in
Vi multiplicerar in faktorn 2 och faktorn 3 i respektive parentes och förenklar uttrycket: 2 ∙ ( x + 5) + 3 ∙ ( x – 2) = 2 ∙ x + 2 ∙ 5 + 3 ∙ x – 3 ∙ 2 = = 2 x + 10 + 3 x – 6 = 5 x + 4 En faktor multipliceras med en parentes genom att faktorn multipliceras med varje term i parentesen. a (b + c) = ab + ac
1.1 AlgebrA
M5000 Rod o Gul 2a.indb 15
15
2012-10-08 15.57
Exempel 3
Hur förenklar vi uttryck med parenteser? 5 + (x – 8) = 5 + x – 8 = x – 3
+ före parentes: Ta bort parentesen utan att ändra något.
5 – (x – 8) = 5 – x + 8 = – x + 13
– före parentes: Ta bort parentesen och ändra tecken för alla termer i parentesen.
x – (–5 + x) = x + 5 – x = 5 1136
Förenkla a) 6 – 4x – 2 + 2x b) (3x – y + 5) + (2x + y – 2) c) (x + 4y) – (2x + y – 2) a) 6 – 4x – 2 + 2x = 6 – 2 – 4x + 2x = 4 – 2x b) (3x – y + 5) + (2x + y – 2) = 3x – y + 5 + 2x + y – 2 = 5x + 3 c) (x + 4y) – (2x + y – 2) = x + 4y – 2x – y + 2 = – x + 3y + 2
1137
Förenkla a) 18 – 2(3x + 5)
b) 4(a + b) – 3(b – a)
a) 18 – 2(3x + 5) = 18 – 6x – 10 = 8 – 6x b) 4(a + b) – 3(b – a) = 4a + 4b – 3b + 3a = 7a + b
1138
Förenkla x(x + 5) + 3x2 – 4x x(x + 5) + 3x2 – 4x =
x · x = x2 x·5=5·x
= x · x + x · 5 + 3x2 – 4x = = x2 + 5x + 3x2 – 4x = = 4x + x 2
1139 Förenkla
x 2-termer förenklas för sig och x-termer för sig.
1140 Förenkla
a) 4 x + 3x + 6 – 2
a) (5 x + 2 y) + (2 x + y)
b) 5 a + 3 – a + 4
b) (3 x – 2 y) + (4 x – 2 y)
c) 6 – 10x – 4 + 2x
c) 9 y – (5 y + 3)
d) 7 – 3y – 7 – 3y
d) 13 x – (6 x – 4)
16
M5000 Rod o Gul 2a.indb 16
1.1 AlgebrA
2012-10-08 15.57
1145 Förenkla
1141 Vilka uttryck är lika? A 2x – x
a) 3x + 5y – 2x – y
B 2x – 2
b) 4a – 5b + a + 6b
C 2+x–2
c) 2a – (3b – a)
D 3x + 2 – x – 4
d) 5x – 2(7 – y) + 7y
E x+2–x
1146 Förenkla
F –2 + 2 · x
a) x(x + 3) – 2x
1142 Multiplicera in och förenkla
b) 5x – 5 + 3x2 – 3x
a) 4(x + 2) + 2
c) 2 + 2(5 – x)
c) x · x – x2 + 2x2
b) 3(2 x – 5)
d) 3 + 4(3x – 5) – x
d) 7 + x(x – 5) + x
1143 Förenkla
1147 Förenkla
a) x + x + x + x – 3x
a) (x2 + 3 x – 5) + (–3 x2 – 8 x + 9)
b) 3x – 2(5 + x) +12
b) (x2 – 4 x + 8) – (– x2 – 4 x + 7)
c) 5 – (– 2a + 3) + 4(1 – a)
c) (a + 2) + (3 a – 3) – (2 a + 1)
d) (2y – 8) – 3(4 – 3y)
d) (b – 2) – (2 – b) – (– b – 2)
1144 En rektangulär äng ska inhägnas. Långsidan är 130 m längre än kortsidan. Sidornas längder kan skrivas x och x + 130. Skriv ett förenklat uttryck för a) omkretsen b) arean.
1148 När Levi ska förenkla uttrycket 30 – (x – 6) – 3(6 – x) har han bråttom och skriver 30 – x – 6 – 18 + x Han gör två fel. Vilka? 1149 Figuren visar två identiska rektanglar. a
A
a
A1
A2
a
2
a+2
Skriv likheten A = A1 + A2 med algebraiska uttryck som motsvarar respektive area. 1150 I en triangel är basen x cm. Höjden är 8 cm längre än dubbla basen. a) Skriv ett uttryck för höjden. b) Skriv ett förenklat uttryck för triangelns area. c) Beräkna arean då höjden är 30 cm.
1.1 AlgebrA
M5000 Rod o Gul 2a.indb 17
17
2012-10-08 15.57
Formler Exempel
Många företag tar betalt för ett arbete med en fast kostnad och en rörlig kostnad, t ex: A-konsult
B-konsult
Fast kostnad: 500 kr Rörlig kostnad: 250 kr/h
Fast kostnad: 200 kr Rörlig kostnad: 350 kr/h
Vi beräknar kostnaden för att anlita konsulterna. Antal timmar
Kostnad (kr) A-konsult
B-konsult
1
500 + 250 · 1
200 + 350 · 1
3
500 + 250 · 3
200 + 350 · 3
5
500 + 250 · 5
200 + 350 · 5
500 + 250 · x
200 + 350 · x
... x
Kostnaden K kronor att anlita konsulterna i x timmar kan beskrivas med en formel: A-konsult: B-konsult: formel
1151
K = 500 + 250x K = 200 + 350x
En formel beskriver ett samband. Ofta skrivs en formel med en variabel i det vänstra ledet och ett algebraiskt uttryck i det högra ledet. Kostnaden för att hyra en flyttbil består av en fast kostnad på 700 kr per dygn och en rörlig kostnad på 40 kr per mil som bilen körs. a) Beräkna kostnaden att hyra bilen ett dygn och köra 16 mil. b) Skriv en formel för kostnaden K kronor om bilen hyrs i ett dygn och körs x mil. a) Kostnaden i kr är 700 + 40 ∙ 16 = = 700 + 640 = 1 340. b) Kostnaden i kr beskrivs av uttrycket 700 + 40 ∙ x En formel kan skrivas K = 700 + 40x
18
M5000 Rod o Gul 2a.indb 18
1.1 AlgebrA
2012-10-08 15.57
1152
C -konsult Fast kostnad: 400 kr Rörlig kostnad: 200 kr/h a) Beräkna kostnaden att anlita konsulten i 3 timmar. b) Skriv en formel för kostnaden K kronor om konsulten anlitas i x timmar.
1153
1157 Per väger P kg och Kajsa väger K kg. Skriv en formel som visar att Per väger a) 5 kg mer än Kajsa b) 5 gånger så mycket som Kajsa c) 80 % av Kajsas vikt d) 20 % mer än Kajsa. 1158 a) Beräkna omkretsen av en rektangelformad matta med längden 4,0 m och bredden 2,5 m. b) Skriv en formel för omkretsen y meter av en rektangelformad matta med längden x meter och bredden 2,5 m. c) Beräkna arean av en rektangelformad matta med längden 4,0 m och bredden 2,5 m. d) Skriv en formel för arean A m2 av en rektangelformad matta med längden x m och bredden 2,5 m.
I en kommun är avgiften för vatten 1 500 kr per år i fast kostnad plus 18 kr för varje förbrukad kubikmeter. a) Beräkna årskostnaden om förbrukningen är 85 kubikmeter. b) Skriv en formel för årskostnaden y kr om förbrukningen är x kubikmeter.
e) Skriv en formel för omkretsen y m av en rektangelformad matta med bredden x m och längden (x + 3) m. f) Skriv en formel för arean A m2 av en rektangelformad matta med längden x m och bredden (x + 3) m. 1159 Skriv en formel för hur många punkter y som finns i figur nr x.
1154 Enligt en prognos kommer vinsten per år i ett företag att öka med 5 miljoner kr varje år. Idag är vinsten 24 miljoner. Skriv en formel för vinsten V efter t år. 1155 Enligt en matematisk modell kommer antalet invånare i en stad att minska med 400 personer per år. Idag är antalet 38 300. Skriv en formel för antalet invånare N efter x år. 1156 Skriv en formel för S när S är a) lika med summan av a och b b) dubbelt så stor som x c) hälften så stor som h
Fig nr
1
2
3
1160 En chokladkaka väger 100 gram och består av 8 lika stora rutor. Kakaohalten är 70 %. Skriv en formel som ger den mängd kakao y gram som du får om du äter x rutor av kakan. 1161 I formeln A = a + 3b är både a och b positiva tal. Med hur många procent ökar värdet på A om värdet på både a och b ökar med 10 %?
d) lika med differensen av x och 10. 1.1 AlgebrA
M5000 Rod o Gul 2a.indb 19
19
2012-10-08 15.57
Ekvationer ekvation
En ekvation är ett matematiskt påstående som innehåller en likhet. En ekvation innehåller en eller flera obekanta (variabler). Lösningen är de variabelvärden som gör att vänstra ledet (VL) är lika med det högra ledet (HL). 2 x – 5 = 9 är en ekvation med en obekant, x. Ekvationens lösning är x = 7. x + y = 10 är en ekvation som innehåller två obekanta, x och y. Ekvationen har oändligt många lösningar, t ex x = 2 och y = 8.
1162
Lös ekvationen a) 3x + 7 = 19 a) 3x + 7 = 19 3x + 7 – 7 = 19 – 7 3x = 12 3x = 12 3 3 x=4
b) x − 1 = 9 2 b) x − 1 = 9 2 x−1+1=9+1 2 x = 10 2 x∙2 2 = 10 ∙ 2 x = 20
1163
Lös ekvationen a) 9x – 4 = 5x + 12 5x är den minsta x- termen. Subtrahera 5x från båda leden.
a) 9x – 4 = 5x + 12
b) 60 – 4x = 2 x − 4x är den minsta x- termen. Addera 4x till båda leden.
b) 60 – 4x = 2 x
9x – 5x – 4 = 5x – 5x + 12
60 – 4x + 4x = 2 x + 4x
4x – 4 = 12
60 = 6x
4x – 4 + 4 = 12 + 4
60 6x = 6 6 10 = x
4x = 16 4x 16 = 4 4
x = 10
x=4
20
M5000 Rod o Gul 2a.indb 20
1.1 AlgebrA
2012-10-08 15.57
Lös ekvationerna. 1164 a) x + 18 = 45
1170 Värdet på en aktie sjönk med 15 % till 200 kr under ett år. Hur mycket var aktien värd innan nedgången?
b) x – 29 = 17 c) 7x =119 d) x = 6 0,2
1171
1165 a) 2x + 8 = 20 b) 5x – 12 = 23 c) 9 + 3x = 30
x kr
2x kr
x + 5 kr
x + 7 kr
d) 100 + 4x = 400 1166 a) 106 = 15 + 7x b) 51 = 6x – 21 c) 5x = 125 4 –9,5x d) 19 = 3 1167 a) 7x = 3x + 36 b) x – 75 = 6x c) 2x – 6= 2,5 4 d) 17 – 3x = 5 1168 I en kommun var 20 % av alla ungdomar i åldern 18 – 25 år arbetslösa, vilket motsvarade 360 ungdomar. a) Beskriv detta med en ekvation där x är antalet ungdomar i åldern 18 – 25 år i kommunen. b) Lös ekvationen och besvara frågan ”Hur många ungdomar i åldern 18 – 25 år fanns i kommunen?” 1169 Sonjas hund ökade i vikt med 80 % under första levnadsveckan. Den vägde då 810 g.
Bestäm priserna om a) en kaffe och en havrekaka kostar 20 kr. b) en ostfralla och ett glas juice kostar 34 kr. c) en kaffe och en ostfralla kostar lika mycket som ett glas juice och en havrekaka. d) en kaffe och en havrekaka är 8 kr billigare än en ostfralla och ett glas juice. e) två ostfrallor är 14 kr dyrare än ett glas juice. 1172 På ett företag med 300 anställda var antalet män 40 % fler än antalet kvinnor. a) Beskriv detta med en ekvation där x är antalet kvinnor på företaget. b) Bestäm antalet kvinnor och antalet män på företaget med hjälp av ekvationens lösning.
a) Beskriv detta med en ekvation där x gram är hundens vikt som nyfödd. b) Lös ekvationen och besvara frågan ”Hur mycket vägde hunden som nyfödd?”
1.1 AlgebrA
M5000 Rod o Gul 2a.indb 21
21
2012-10-08 15.57
1173
1174
Lös ekvationen a) 5y = 2( y – 3)
b) x – 2(3 – 2 x) = 9
a) 5y = 2( y – 3)
b) x – 2(3 – 2 x) = 9
5y = 2 y – 6
x – 6 + 4x = 9
5y – 2 y = 2 y – 2 y – 6
5x – 6 = 9
3y = – 6
5x = 15
y = –2
x=3
Summan av tre på varandra följande hela tal är 36. Vilka är talen? Om vi kallar det minsta talet för x, så är de andra talen x + 1 och x + 2. Vi skriver och löser en ekvation. x + (x + 1) + (x + 2) = 36 3 x + 3 = 36 3 x = 33 x = 11 x + 1 = 12 och x + 2 = 13 Svar: Talen är 11, 12 och 13.
1175
Lös ekvationen a) 78 = 6,5 x a) 78 = 6,5 x
Multiplicera båda leden med x.
b)
x−5 2 = 12 3
b)
x−5 2 = 12 3
Multiplicera båda leden med 12.
78 · x = 6,5 · x x
12 · (x −5) = 12 · 2 3 12
78 = 6,5x
x−5=8
6,5x = 78 6,5 6,5
x = 13
x = 12
22
M5000 Rod o Gul 2a.indb 22
1.1 AlgebrA
2012-10-08 15.57
1176 Lös ekvationen a)
72 = 24 x
b) 0,30 =
c)
18 x
5,8 – 62 = – 4 x
d) 12 +
44 = 100 x
1177 Lös ekvationen
1180 En konsertbiljett kostar 280 kr mer än en biobiljett. Tre konsertbiljetter kostar lika mycket som elva biobiljetter. Hur mycket kostar en biobiljett? 1181 Visa att k = –3 är lösningen till ekvationen 8,8 = k · (–2,4) + 1,6
a) 8 x – (3 x + 10) = 15 b) 10 – (2 x – 4) + 3 x = 16 c) 9(z – 1) – 2(3 z + 4) = 7 d) 2(x + 1) – 5(x – 3) = 5 1178 Lös ekvationen a)
2x 12 = 5 10
c)
3x 6 = 7 5
b)
5 1 = x 6
d)
7 35 = 2,5 y
1182 Lös ekvationen x + 2 30 = 8 12
c)
4 2 = x +3 5
b) 2 x = x + 4 5 3
d)
y +7 y +5 = 2 1, 6
a)
1183 Lös ekvationen a) 14 – 2x = 68 – x b) 2(4 – 3x) = 8x – 13 c) 8 – (x + 13) = –25
1179
d) 2(7 – x) = 10 – 4(x – 5)
x
1184 Summan av tre tal är 405. Det andra talet är dubbelt så stort som det första talet och det tredje talet är tre gånger så stort som det andra.
2x
Vilka är talen? 4x
Bestäm x om omkretsen är 196 cm. 1.1 AlgebrA
M5000 Rod o Gul 2a.indb 23
23
2012-10-08 15.57
Vattentemperatur 68 ° F 20 ° C
Lösa ut ur fomler Exempel
Med formeln C =
F – 32 kan vi omvandla temperaturer 1,8
från Fahrenheitgrader till Celsiusgrader. En amerikansk turist i Sverige har behov av att göra tvärtom, dvs omvandla Celsiusgrader till Fahrenheitgrader. Vi löser ut F ur formeln: F – 32 C= 1,8 F – 32 C ∙ 1,8 = ∙ 1,8 1,8 1,8C = F – 32 1,8C + 32 = F – 32 + 32 1,8C + 32 = F Formeln kan skrivas F = 1,8C + 32. Kontrollera att formlerna stämmer! Vi sätter in badtemperaturen 68 ºF i formeln F – 32 68 – 32 = = 20 1,8 1,8 och vi sätter in 20 ºC i den omskrivna formeln F = 1,8C + 32 = 1,8 · 20 + 32 = 68
C=
24
M5000 Rod o Gul 2a.indb 24
1.1 AlgebrA
2012-10-08 15.57
1185
Lös ut a ur formlerna a) a + 2 = b
b)
a)
b)
a = 5b 3 a·3 = 5b · 3 3 a = 15b
a+2=b a+2−2=b–2 a=b–2
1186
a = 5b 3
Lös ut y a) 2 y − 6 x = 0
b) 12 x − 4y + 8 = 0 Addera 6x till båda leden.
a) 2 y − 6 x = 0 2y = 6x
Dividera båda leden med 2.
y = 3x b) 12 x − 4y + 8 = 0
Addera 4y till båda leden.
12 x + 8 = 4y 4y = 12 x + 8
Dividera båda leden med 4.
y = 3x + 2
1187 Skriv om formeln så att a står ensam kvar i vänstra ledet. a) a + 3 = b b) a – 3 = b
c) 2a = b a d) = 2b 4
1188 Lös ut x. a) x + b = 5
c) 3 x = 6a
b) x – b = 4
d) x – 2 k = 0
1189 Lös ut p. a) 10 = p – x
b) x = p + 2a
1190 Formeln s = v ∙ t beskriver sambandet mellan sträcka, hastighet och tid. a) Lös ut t. b) Beräkna tiden t om s = 630 km och v = 180 km /h.
1.1 AlgebrA
M5000 Rod o Gul 2a.indb 25
1191 Lös ut x. a) x + y = 10
c) x – y – 7 = 0
b) x – y = 2
d) x + 2 y – 6 = 0
1192 Lös ut y ur formlerna. a) y + x – 3 = 0
c) 2 x – 2 y – 12 = 0
b) x = 3 y – 9
d) –6 = 9 x – 3 y
1193 Kostnaden, K kr, för att hyra en musikanläggning i x timmar ges av formeln K = 1 200 + 150 x. a) Lös ut x ur formeln. b) Hur många timmar kan Martin hyra anläggningen för 2 775 kr? 1194 Multiplicera in och lös sedan ut y. a) y – 3 = 2(2x – 4)
c) y – (–5) = 7(x – 3)
b) y – 7 = –3(x – 2)
d) y – (–1) = –6(x – 1) 25
2012-10-08 15.57
LENA ALFREDSSON KAJSA BRÅTING PATRIK ERIXON HANS HEIKNE
är ett helt nytt läromedel, anpassat till ämnesplanen Gy2011. Det täcker alla program på gymnasieskolan och finns nu även för introduktionsprogrammen och vuxenutbildningen.
Matematik 5000 ger, liksom sin föregångare Matematik 4000, eleverna mycket goda förutsättningar att utveckla sina förmågor genom en stor variation av arbetssätt, frågeställningar och uppgiftstyper. Läromedlet aktiverar och engagerar eleverna samtidigt som det befäster viktiga kunskaper. Sist men inte minst: det har en tydlig struktur och är lätt att arbeta med.
Matematik 5000
Matematik 5000
2a
2a
Matematik
5000
Välj mellan RÖD SERIE
för serviceinriktade yrkesprogram
GUL SERIE
för tekniskt inriktade yrkesprogram
GRÖN SERIE för SA, EK, ES, HU samt vuxenutbildningen BLÅ SERIE
för NA och TE
BASBÖCKER för elever som behöver en enklare framställning
För aktuell information om serien och digitalt material, besök www.nok.se/matematik5000
ISBN 978-91-27-42363-3
9 789127 423633
M5000_Red_Gul_2a.indd 1
2012-10-09 11:23