9789140668134 by Smakprov Media AB

Y Grundbok band 1 & 2 Y (Ypsilon) är en grundbok i två band för lärarstuderande och verksamma lärare. Den behandlar såväl det matematiska innehållet i grundskolan som de didaktiska aspekterna av matematiken. Innehållet är baserat på aktuell matematikdidaktisk forskning. Y fokuserar på matematiken i grundskolan men innehållet är av intresse för alla matematiklärare, oavsett nivå. I direkt anknytning till ämnesinnehållet behandlas de matematikdidaktiska frågeställningar som är relevanta. Y ger också ett kulturhistoriskt perspektiv på skolmatematiken, t.ex. med ett ut förligt avsnitt om talens historia. Y ger en god grund för alla som ska undervisa grundskoleelever i matematik. Den är även tänkt för verksamma lärare som vill fördjupa sina kunskaper i matematik och matematikdidaktik.

Y har följande indelning:   Band 1

Band 2

I Experimentell geometri och mätning II Matematisk argumentation III Geometriska resonemang och representationer IV Tal och räknemetoder i historien

V De naturliga talen VI De rationella talen VII Algebra och funktioner VIII Statistik och sannolikhetslära

Författare: Jeppe Skott, Hans Christian Hansen, Kristine Jess och John Schou – alla verk samma inom den danska lärarutbildningen. Jeppe Skott är även professor i matematikdi daktik vid Växjö universitet. Översättning: Joachim Retzlaff Fackgranskare för den svenska utgåvan: Mikael Holmquist, universitetslektor vid Enheten för ämnesdidaktik, Göteborgs universitet samt Johan Häggström, universitetslektor vid En heten för ämnesdidaktik, Göteborgs universitet och vid Nationellt Centrum för Matematik utbildning.

ISBN 978-91-40-66813-4

J. Skott, H. C. Hansen, K. Jess & J. Schou

I serien Matematik för lärare finns också en allmän matematikdidaktik, som heter d (delta).

Matematik för lärare

Matematik för lärare Y Grundbok band 2

Jeppe Skott Hans Christian Hansen Kristine Jess & John Schou

Band 2 DEL V De naturliga talen 403 12. Barns talbegrepp och räkneoperationer – de första skolåren 405 Tal och räkning 406 Det inledande arbetet med tal – en tradition och kritiken av den 409

Inledande addition och subtraktion 419 Additiva situationer – när addition och subtraktion kan uppträda 423 Utvecklingen i barns arbete med additiva situationer 426

Summering av kapitel 12 431 13. Matematiska teorier om naturliga tal 433 Ordinaltal (Ordningstal) 433 Peanos axiom 434 Definition av talbeteckningar i tiotalssystemet 435 Definition av räknesätten ”+” och ”·” 437

Kardinaltal (Antal/Mängdtal) 442 Addition och multiplikation av kardinaltal 446 Fusionen mellan talrad och kardinaltal 449

Motsatta räknesätt 451 De naturliga talens ordning 454 Hur får vi ordning på oändligheten? 456 Kardinaltalen bryter oändlighetsvallen 456 Ordningstalen når aldrig oändligheten 459 Induktionsbeviset 461 Ett induktionsbevis i grafteori 461 Uppräkning bortanför oändligheten 463

Summering av kapitel 13 465 14. Positionssystem och räknealgoritmer 467 Alfabetaland 467 Fördelarna med positionssystem 469 Positionssystem med godtycklig bas 470 Räknealgoritmer i andra talsystem 473 Summering av kapitel 14 477 15. Elevers uppfattning av och räkning med flersiffriga tal 479 Tiotalssystemet – ett positionssystem 479 Addition och subtraktion av flersiffriga tal 482 Annan materiel: den öppna tallinjen och hundrarutan 486 På väg mot relativt standardiserade metoder 490

Inledande multiplikation och division 500 Multiplikativa situationer 502 Utvecklingen i barns arbete med multiplikativa situationer 506

399

Ypsilon 2 - s 393-402.indd 399

09-12-17 15.31.18

Förståelse kontra färdighet? 512 Summering av kapitel 15 515 16. Talteori 519 Hur finner man primtal? 520 Euklides algoritm 523 Diofantiska ekvationer 526 Aritmetikens fundamentalsats 529 Praktiska tillämpningar av primtalsfaktoruppdelning 530 Största gemensamma faktor och minsta gemensamma multipel 532

Summering av kapitel 16 533 DEL VI De rationella talen 535 17. De positiva rationella talen 537 Svårigheter med bråk 538

En matematisk väg genom bråkräkningen 540 Bråk uppfattade som division 543 Inledande bråkräkning 544 Ytterligare räkning med bråk 548 Tolkningar av multiplikation och division med bråk 549 Bråk av bråk 556 Tal i decimalform och procent 558 Räkning med tal i decimalform 560 Procentnotationen för tal i decimalform 562

Periodiska decimalutvecklingar 565 Omvandling från decimalform till bråk 570

Summering av kapitel 17 573 18. De negativa talen 575 Utvidgningen med negativa tal 575 Negativa tal i utvalda representationer 576 Representationer i matematikundervisningen 576 Representationer och kognitiva hinder 578 På jakt efter bra representationer av de hela talen 580 Förklaring av räknereglerna med hjälp av utvalda representationer 581 Forskning om barns representationer 587

Matematiskt införande av de hela talen 590 De rationella talen 596 Summering av kapitel 18 597

400

Ypsilon 2 - s 393-402.indd 400

09-12-17 15.31.19

DEL VII Algebra och funktioner 599 19. Algebraiska strukturer i skolan 601 Vad är algebra? 602 Bokstävernas roll i algebran 605 Problem i algebraundervisningen 607 Symbolhanteringskompetens 610 Undvik formelfiske 611 CAS: Computer Algebra Systems 612

Förståelse av de mer avancerade räknereglerna 613 Kroppar 613 Kropparna (, +, ·) och (, +, ·) 616 Fler räkneregler i kroppar 620 Tankegångskompetens 627 Potenslagarna i en kropp 629 Irriterande frågor om potensräkning 631 Rötter i en kropp som de reella talen 636

Isomorfin mellan (, +) och (+, ·) 641

Addition och multiplikation som isomorfa räknesätt 641

Summering av kapitel 19 644 20. Ekvationer och olikheter 647 Lösning av förstagradsekvationer i en kropp 647 Förstagradsekvationer med flera obekanta 650 Tekniska hjälpmedel för ekvationslösning 660

Elementära olikheter 661 Elementära fel i räkning med olikheter 662 Regler för lösning av olikheter 663

Ekvationer och variabler – en didaktisk infallsvinkel 667 Variabelbegreppets didaktik 669 Att utveckla förståelse av likhetstecknet 680 Representationer och översättningar av ekvationer 684

Summering av kapitel 20 691 21. Funktioner och funktionsbegreppet 693 Att utveckla personlig kunskap om funktioner 693 Begreppsbild och begreppsdefinition 700 Något om funktionsbegreppets historia 701 Proportionaliteter och linjära funktioner 707 Exponentiella funktioner 712 Logaritmfunktioner 717 Potensfunktioner 723 Begrepp förbundna med alla funktioner 726 Summering av kapitel 21 735 401

Ypsilon 2 - s 393-402.indd 401

09-12-17 15.31.19

DEL VIII Statistik och sannolikhetslära 737 22. Statistik 739 Att samla in och bearbeta data 741 Kategorivariabler 743 Att beskriva kategorivariabler 743 Att jämföra kategorivariabler 746 Att finna samband mellan kategorivariabler 751

Diskreta numeriska variabler 755 Deskriptorer och illustrationer 755 Att finna samband 762 Att skapa mening 768

Summering av kapitel 22 768 23. Sannolikheter och sannolikhetskalkyl 769 Kvalitativa sannolikheter 770 Kvantitativa sannolikhetsbegrepp 772 Subjektiv sannolikhet 772 Det statistiska sannolikhetsbegreppet 773 Det kombinatoriska sannolikhetsbegreppet 777 Det gemensamma för det subjektiva, det statistiska och det kombinatoriska sannolikhetsbegreppet 781 En matematisk inpaketering: sannolikhetsrummet 784 Den multiplikativa lagen inom sannolikhetskalkyl 789

Binomialfördelningen 795 Summering av kapitel 23 804 24. Stickprovsundersökningar och statistisk skattning 805 Estimation – eller konsten att gissa ett tal 806

Hur säker kan man vara på en skattning? 808 Simulering 809 Beräkning av osäkerheten 811

En regel för beräkning av osäkerheten i en skattning 815 Summering av kapitel 24 818 Litteratur 819 Register 829

402

Ypsilon 2 - s 393-402.indd 402

09-12-17 15.31.19

12 Barns talbegrepp och räkne operationer – de första skolåren När eleverna börjar skolan kan de redan räkna. Närmare bestämt i den meningen att de kan början av raden av naturliga tal. De kan bestämma mindre antal (t.ex. hur många enheter det finns i en trave med 9 centiku ber); och genom att räkna efter kan de finna resultatet i enkla additions situationer, förutsatt att de har konkret materiel till förfogande (om Albert har hittat 6 kastanjer, och Osman har 7, hur många har de då tillsammans?). Och det finns några elever som kan mycket mer än så. De första skolåren handlar de flesta matematikaktiviteter om tal och om inledande räkneoperationer. Allt för att eleverna under denna period ska utvidga sin förståelse av de naturliga talen och hur man kan använda tal till att beskriva och beräkna storheter. De ska alltså utveckla en förståelse av tal och färdigheter i behandling av tal som skiljer sig kvalitativt från dem de hade med sig när de kom till skolan. Detta kapitel handlar om arbetet med att underlätta elevernas lärande på detta område. Många undersökningar av yngre barns talförståelse och talfärdigheter har gjorts under de senaste årtiondena. De handlar t.ex. om hur barn upp fattar tal, och hur de förstår de olika typer av situationer där addition och subtraktion kan uppträda. Dessutom handlar de om hur man kan stödja barnen när de utvecklar både sin talförståelse och sina färdigheter i talbe handling. En viktig poäng i flera av dessa undersökningar är att två sidor av arbe tet med tal, färdigheter och förståelse, måste utvecklas i nära samband med varandra. Det överordnade syftet med detta kapitel är att utveckla förstå else av hur man som lärare kan bidra till detta. Genom att forskningsrönen behandlas i direkt anslutning till elevers tänkande om och arbete med tal är syftet mer specifikt att du efter avslutad läsning ska • ha bildat dig en uppfattning om vilken förståelse av tal och räkning som barn vanligen bär med sig när de kommer till skolan 405

Ypsilon 2 - kap 12-16.indd 405

09-12-21 10.50.17

12. Barns talbegrepp och räkneoperationer – de första skolåren • ha utvecklat en förståelse av och idéer om hur undervisningen i mate matik kan bygga på elevernas räknestrategier i arbetet med tal under de första skolåren, så att du bl.a. kan förhålla dig till den kritik som har riktats mot en dominerande tradition i denna undervisning • kunna beskriva olika situationer där additivt tänkande kan komma till användning och känna till hur elever vanligen tacklar sådana situatio ner.

Tal och räkning Tal används på många olika sätt, och det gör räkning också. Vi ska i det följande se på de sätt att använda tal på som barn bör lära sig bemästra, och vi ska studera hur deras räknestrategier utvecklas. Vi börjar med ett exem pel med ett undervisningsupplägg.

Exempel 1

Figur 1.

Eritrea, ett litet land på Afrikas horn, hade i Aten 2004 för andra gången med deltagare på en Olympiad. 15 eritreaner deltog, bland dem den 22‑årige medel- och långdistanslöparen Zersenay Tadesse. Med nummer 1553 på bröstet genomförde han finalen på 10 000 meter med tiden 27.22.57 och kom på tredje plats bland de 24 löparna. Tadesse tog därmed Eritreas första olympiska medalj någonsin.

406

Ypsilon 2 - kap 12-16.indd 406

09-12-21 10.50.18

Tal och räkning Uppgift 1 Läs om Zersenay Tedesse i exemplet ovan. Undersök på vilka olika sätt tal och räkneord används och beskriv skillnaderna och sambanden mellan dessa.

Vi kan använda tal för att beskriva storleken av en mängd. Det gör vi när vi t.ex. säger att ”det är 26 elever i 1A” eller ”det är 7 böcker i serien om Harry Potter”. Här används 26 respektive 7 för att ange storleken av en mängd av diskreta1 element, så som den anges av antalet element i mäng den. Talen används då som antal eller kardinaltal. Tal kan också användas på ett annat sätt: ettan i 1A eller ”sjunde” i for muleringen ”Den sjunde och sista boken i serien om den berömde trollkar len heter Harry Potter och dödsrelikerna”. Här handlar det alltjämt om en diskret mängd objekt – klasser respektive böcker – men talet används inte till att ange hela mängdens storlek utan till att ange ett elements relativa placering i den. Här åberopas en viss ordning av mängden, och man talar om ett ordinalt bruk av räkneord eller om ordinaltal. Ett tredje bruk av räkneord är när man säger ”Eleverna i 1A springer i genomsnitt 60 meter på 12,9 sekunder” eller ”Harry Potter och dödsrelikerna kostar 329,00 kr”. Här anger talen 60, 12,9 och 329,00 inte ett antal dis kreta element i en mängd. De är i stället förbundna med kontinuerliga storheter, nämligen längd, tid och pris. Det som räknas är således inte från första början iakttagbara ”element” som elever eller böcker – även om man naturligtvis kan föreställa sig en mängd av 329 enkronor som betalning för boken. Det handlar i stället om enheter, och talet är ett mätetal som anger det antal gånger en given enhet måste användas för att fylla ut den konti nuerliga mängden. Dessa enheter är meter, sekunder och kronor. Till skillnad från det kardinala och det ordinala fallet behöver det här inte vara fråga om hela tal. Det finns alltså tre olika numeriska sätt att använda tal, nämligen som antal (kardinaltal), som ordningstal och som mätetal. Dessa sätt är emel lertid inte helt skilda från varandra. Formuleringen ”Carlo är det tredje barnet i familjen” ger t.ex. en ordning genom att placera in Carlo i raden 1. ”Diskreta” betyder i detta sammanhang ”åtskilda”. De naturliga talen är en mängd av diskreta tal där ett tal är åtskilt från föregående och efterföljande tal. Helt annorlunda är de reella talen, som är en sammanhängande talmängd där det inte går att tala om ”efterföljande tal”.

407

Ypsilon 2 - kap 12-16.indd 407

09-12-21 10.50.18

12. Barns talbegrepp och räkneoperationer – de första skolåren av barn. Men samtidigt innebär den att Carlo och hans två äldre syskon bildar en grupp på tre. Här var avsikten (kanske) ordinal, men formule ringen kan tolkas kardinalt. Omvänt kan en ordinal aspekt finnas med när intentionen är kardinal. Om man räknar efter för att finna ett svar på frågan ”Hur många är det?” inför man på sätt och vis en ordning i mängden eftersom räkningen intro ducerar en viss ordningsföljd. Om man t.ex. räknar 8 barn medan man pekar på dem ett efter ett, så betyder ”åtta” att barnet ifråga är det åttonde i den ordningsföljd man har skapat genom att räkna. Men här var vi inte intresserade av ordningsföljden, d.v.s. av att t.ex. Camilla blev nr 8. Vi var i stället intresserade av hur många barn det var, d.v.s. av att använda ”åtta” kardinalt. Det kräver att man genomför vad Fuson kallar en kardinal integration, d.v.s. att man förbinder ”åtta” inte bara med Camilla utan också med mängdens ”mångenhet” (manyness). På motsvarande sätt är det fråga om en mätetalsintegration när man vid en mätning förbinder den sist räk nade måttenheten med det totala antalet enheter som används (Fuson 1988). Tal används emellertid också icke-numeriskt, d.v.s. på sätt där det inte – eller i varje fall inte primärt – handlar om kvantifiering. För det första rabblar små barn talramsan utan att förbinda orden med innehåll. Talram san är då bara en ramsa och orden betyder varken mer eller mindre än ”essike dessike luntan tuntan”. Ja, faktiskt kan barn ofta redan från tvåårs åldern säga delar av talramsan korrekt, utan att de för den skull kan till skriva ramsan en mening (ibid., kapitel 2). För det andra använder också vuxna räkneord i situationer där det vä sentligaste inte är talens kvantitativa aspekt. Det är fallet när man använder tal som identifikation snarare än som en storleksangivelse. Registrerings skyltar och telefonnummer är relevanta exempel. I några länder har t.ex. skolor inte namn utan nummer, så att en elev kan gå på skola nr 7. Det kan mycket väl finnas ett element av ordinalitet i denna namngivning. Det gäl ler självklart i den meningen att man ofta börjar med de minsta av de tal som kan användas för ett givet syfte. Skola nr 1 är vanligen den första som grundades. Men inte ens i sådana fall är ordinaliteten alltid fullständig, och den är sällan intressant. Det är således varken givet eller intressant om busslinje 112 inrättades före linje 83, eller om Zersenay Tadesse med num mer 1553 anmäldes till Olympiaden före eller efter deltagaren med nummer 1552 (jfr exempel 1). Och under alla omständigheter är det knappast me ningsfullt att räkna med tal som används för identifikation. I alla våra exempel ovan har vi använt tal i konkreta sammanhang. Det 408

Ypsilon 2 - kap 12-16.indd 408

09-12-21 10.50.19

Tal och räkning är också avgörande att man gör det i undervisningen, inte minst under de första skolåren. Målet är emellertid att barn efter hand ska kunna operera med tal som matematiska storheter, d.v.s. så att talen också får sin mening ur sina relationer till andra tal utan hänvisning till konkreta situationer. T.ex. förbinds 6 inte bara med 6 pärlor som ska räknas, med att August är sjätte äldst i klassen eller med att en elev går i årskurs 6. I stället får 6 (också) sin mening från sina relationer till andra tal, t.ex. att 6 = 4 + 2 att 6 + 6 = 12, att 6 + 4 = 10, att 6 är en dubblering av 3 och att 6 = 2 + 2 + 2, och senare att 6 är produkten av de två minsta primtalen, att det är kva dratroten ur 36 och att om man multiplicerar 6 med radien i en cirkel får man ungefär cirkelns omkrets. I ett sådant nätverk av relationer blir 6 inte bara något man kan använda till att beskriva sin omvärld med. Det ab strakta talet får en närmast konkret karaktär; det blir något man kan göra saker med. I detta kapitel argumenterar vi genomgående för att man bäst utvecklar en sådan talförståelse genom att eleverna under de första skolåren i hög grad använder konkreta föremål i sitt arbete med talen, så att de tolkar symboliska talangivelser utifrån konkret materiel eller teckningar, och att de omvänt använder symboler som beskrivningar av konkreta situationer. Det finns fog för att säga att det är i en sådan dubbel rörelse från relativt konkreta storheter till symboler och från symboler till konkreta storheter som talförståelse och talfärdigheter kan utvecklas. För en vuxen, som har använt tal otaliga (!) gånger, förefaller skillna derna i användningen av tal vara obetydliga, ja, kanske svåra att få ögonen på. Det beror just på att talen har fått ett eget liv, så att det är talen man opererar med när man räknar, snarare än de konkreta sammanhangen. Men för barn, som just har börjat utveckla en talförståelse, är det inte självklart att tal kan användas på så olika sätt. Uppgift 2 Undersök hur talens universum introduceras i några aktuella matema tikläromedel för årskurs 1 och hur de olika sätten att använda tal presen teras.

Det inledande arbetet med tal – en tradition och kritiken av den Vid skolstarten riktades under en del år stor uppmärksamhet på talförbe redande aktiviteter. Det handlade om aktiviteter som att 409

Ypsilon 2 - kap 12-16.indd 409

09-12-21 10.50.19

12. Barns talbegrepp och räkneoperationer – de första skolåren • sortera geometriska figurer eller annat i grupper (mängder), t.ex. efter form, färg, storlek eller annat • försöka förbinda två mängder så att varje element i den ena mängden knyts till exakt ett element i den andra mängden, d.v.s. att skapa en 1-1-korrespondens mellan elementen, och – om det lyckas – dra slutsat sen att de två mängderna är lika mäktiga, d.v.s. lika stora • ordna mängder efter storlek, utan att nödvändigtvis räkna element, bl.a. i kontinuerliga fall. Dessa aktiviteter har två inspirationskällor som är nära förbundna med varandra. För det första kan de sägas bygga på traditionen i den nya matematiken2. Den nya matematiken var en reform av skolmatematiken som från början av 1960-talet och åtminstone ett årtionde framåt utövade stort in flytande över undervisningen. Den byggde på en syn på matematik som ställde mängdbegreppet i centrum. Det var därför viktigt att eleverna ar betade med mängder, t.ex. att dela upp dem genom att sortera element. Dessutom var ordning (t.ex. efter storlek) ett centralt begrepp i den nya matematiken. Och med formuleringar från mängdläran är två mängder lika stora om det kan etableras 1-1-korrespondens mellan deras element, d.v.s. att det med funktionslärans språkbruk finns en bijektion mellan dem; där för blev 1-1-korrespondens ett centralt begrepp. För det andra genomförde den schweiziske biologen och psykologen Jean Piaget en rad undersökningar av hur barns talbegrepp utvecklas. De blev en väsentlig del av den psykologiska bakgrunden för den nya matematiken. Piaget skilde skarpt mellan tal och uppräkning. Han baserade i stället tal begreppet på formella egenskaper hos mängder, t.ex. 1-1-korrespondens och det han kallade konservering (t.ex. konservering av antal). Piaget doku menterade i en rad undersökningar att barn mellan fem och sex år har svårt att se att en mängd bevarar (konserverar) sin storlek när elementen i den flyttas runt. De låter sig således vilseledas av omedelbara sinnesintryck. I ett experiment med fem‑ och sexåriga barn ligger en rad röda brickor på bordet framför dem. Man ber barnen att ta upp lika många blå brickor ur en påse som det finns röda på bordet. Den typiska femåringen lägger en rad som är lika lång som raden röda brickor utan att tänka på antal. Den typiska sexåringen löser uppgiften med 1-1-korrespondens och lägger en blå bricka mittemot var och en av de röda. Men om de röda brickorna nu 2. Se t.ex. Unenge, Jan (1999). Skolmatematiken i går, i dag och i morgon: med mina ögon sett. Stockholm: Natur & Kultur.

410

Ypsilon 2 - kap 12-16.indd 410

09-12-21 10.50.19

Tal och räkning flyttas längre från varandra, kommer också sexåringen vanligen att tro att det finns flest brickor i den långa raden (Piaget 1953). Resultat som dessa fick Piaget att dra slutsatsen att talbegreppet har en logisk och mängdteoretisk grund som måste komma före arbetet med tal och räkning. Dels kan de flesta barn på fem sex år räkna (upp) tal utan att de nödvändigtvis har förståelse av 1-1-korrespondens och konservering. Dels, säger Piaget, finns det sjuåriga barn som inte är bra på tal i gängse mening eller på räkning, men som ändå har utvecklat fundamentala insik ter om tal. Detta visar sig t.ex. genom att de kan avgöra om det finns lika många blå och röda pärlor på bordet framför dem genom att para pärlorna i de båda grupperna med varandra, och genom att de inte svävar i tvivelsmål om att antalet pärlor är oförändrat om man flyttar runt dem. Dessa barn använder sig alltså av 1-1-korrespondens och av konservering. Enligt Piaget har de alltså trots sina svaga färdigheter utvecklat ett talbegrepp (Piaget 1953). Det ligger nära till hands att dra slutsatsen att en sexårig pojke inte har ett välutvecklat talbegrepp om han korrekt kan räkna 8 småkakor i en kak burk men inte vet • om det också är 8 kakor när han därefter lägger ut alla kakorna på bordet, eller • om det finns kakor så att det räcker till de 8 personer som sitter vid bor det och som han också har räknat. De aktiviteter vi nämnde i inledningen till detta avsnitt (se s. 410) har till syfte att utveckla sådana insikter, och de ska tjäna som grund för elevernas senare arbete med tal. Undervisning som lägger huvudvikten vid talens logiska grundval har emellertid utsatts för kritik sedan Piaget gjorde sina undersökningar. Det beror på att den uteslutande utgår från formella insikter om tal som barn till synes saknar, och inte tar avstamp i de insikter barn har. Och detta beror i sin tur på att själva undersökningarna försätter barn i ganska artifi ciella, kliniska situationer i stället för att utgå från hur de tacklar utma ningar med tal och räkning i vardagssituationer. Därför har man utvecklat tillvägagångssätt i det inledande arbetet med tal som i högre grad utgår från det som barn kan när de kommer till skolan.

411

Ypsilon 2 - kap 12-16.indd 411

09-12-21 10.50.19

17 De positiva rationella talen ”De rationella talen” är matematikernas beteckning på det som vanligen kallas bråk och hela tal. Med beteckningen ”de rationella talen” höjer man sig en aning över de olika kulturhistoriska uttrycken för talen för att rikta 5 1 intresset mot en bakomliggande talstruktur. T.ex. är 0,05, 0.05, , , 100 20 1/20, en tjugondel, 5 % och 50 promille olika uttryck för eller olika sätt att representera samma rationella tal. Vilken representationsform som är mest ändamålsenlig beror på både det kulturhistoriska sammanhang och den konkreta situation som uttrycken ingår i1. I följande avsnitt om rationella tal visar vi – efter en kort behandling av bråk och svårigheterna med detta område – en väg genom uppbyggnaden av räkning med rationella tal i bråk- och decimalform och som procent. Syftet är att erbjuda en grund på vilken förståelsen av dessa viktiga områden kan byggas upp och/eller konsolideras. I detta kapitel begränsar vi oss till de positiva rationella talen eftersom motsvarande negativa tal dels är en mycket sen insikt i mänsklighetens historia, dels innehåller svårigheter som inte har något att göra med svårigheterna med bråkräkning. Därför introduceras de negativa talen senare i ett självständigt kapitel, och först då har vi gett en samlad beskrivning av de rationella talen. Målsättningarna med detta kapitel är att du efter att ha arbetat dig igenom det har • fått en känsla av varför bråkräkning kan uppfattas som svårt och en aning om hur långt din egen förståelse räcker • uppnått insikt om bråkbegreppet, förståelse av räkning med tal i bråkoch decimalform och procenträkning 1. Jämför med Matematiktermer för skolan (Kiselman & Mouwitz 2008) där man på liknande sätt skiljer på de matematiska objekten (rationella tal) och dess representation (bråk).

537

Ypsilon 2 - kap 17-18.indd 537

09-12-17 16.02.54

17. De positiva rationella talen • dessutom via arbetet med detta kapitel fått en möjlighet att utveckla din representationskompetens och kompetens att hantera symboler och formalism.

Svårigheter med bråk De rationella talen är ett oerhört starkt redskap för att bl.a. beräkna saker och ting inom och utom matematiken. Just därför bör det behandlas med omtanke, men det brister ibland i denna omtanke. Många ting ska på plats, vilket följande exempel från Lampert (2001, s. 333 f.) vittnar om. 1 1 Uppgiften att beräkna + gavs till en klass med elever i elvaårsål2 6 dern. 2 Många elever menade att svaret var . 8 Eleverna fick därefter till uppgift att ta ställning till om de höll med om svaret eller inte och motivera varför. Här följer fyra exempel på svar: 1 2 1. Jag håller inte med om svaret eftersom är större än , och det kan 2 8 inte bli mindre när man plussar. 1 1 2 2 2. Jag tror att + = . Jag tror att det är därför att (eleven förklarar 2 6 3 3 med hjälp av en teckning):

Figur 1.

2 . 8 1 1 4 2 4 4. + = , och om man förenklar det, får man . Så svaret blir , men 2 6 6 3 6 2 man kan förenkla det till . 3

3. Det är korrekt därför att 1 + 1 = 2 och 2 + 6 = 8, och då blir det

538

Ypsilon 2 - kap 17-18.indd 538

09-12-17 16.02.58

DEL VI 3 1

3 1

4 6

2 3

3 6 Figur 2.

Här står vi inför problemet med att finna en gemensam nämnare, vilket en del elever i denna klass har problem med och som erfarenheten visar är svårt för många elever. Det finns också problem med detta senare i skolan, då elever till synes utan större eftertanke tar en formel och använder den. Vi har varit med om att äldre elever har haft svårt att avgöra vilken av två uppsättningar inköps- och försäljningspriser som ger den största procentuella avansen. Deras problem var formelfiske, alltså att man använder första bästa formel för att få ett svar utan att tänka så mycket på om den verkligen är en vettig formel i sammanhanget. Det är emellertid USA som har den bästa dokumentationen i den olyckliga grenen ”formelfiske”. Man gav t.ex. år 1996 följande uppgift i National Assessment of Educational Progress: In 1980 the populations of Towns A and B were 5 000 and 6 000 respectively. In 1990 the populations of Towns A and B were 8 000 and 9 000 respectively. – Brian claims that from 1980 to 1990 the two towns’ populations grew by the same amount. Use mathematics to explain how Brian might have justified his answer. – Darlene claims that from 1980 to 1990 the population of Town A had grown more. Use mathematics to explain how Darlene might have justified her answer.

Uppgiften illustrerades med små gubbar som visade hur många tusen invånare som fanns i de två småstäderna vid de olika tidpunkterna. En sådan uppgift, där man ska förklara varför två personer båda kan sägas ha rätt trots att de påstår olika saker, är en nyanserad matematisk 539

Ypsilon 2 - kap 17-18.indd 539

09-12-17 16.02.58

17. De positiva rationella talen uppgift. Eftersom de båda städerna har haft en folkökning på 3 000 personer under årtiondet ifråga var det säkert inte Brians svar som eleverna hade svårast att försvara. För att underbygga Darlenes svar måste man däremot 3 000 3 000 jämföra bråken och – alltså överväga storleksförhållandet 5 000 6 000 3 3 mellan och . 5 6 I klass 12 på amerikanska high school – motsvarande ungefär årskurs 3 på ett svenskt gymnasium – kunde 4 % klara denna uppgift helt korrekt, medan 24 % kunde ge ett delvis korrekt svar. Däremot gavs 56 % felaktiga svar, och 16 % försökte inte ens ge ett svar (Thompson 2003, s. 97). Vi hoppas att dessa exempel har gett dig en aning om att du som matematiklärare har en stor uppgift framför dig i strävan att göra de rationella talen till ett bra och säkert verktyg för eleverna i skolorna och senare i deras liv som samhällsmedborgare och som yrkesutövare.

Fundera över – diskutera 1 Som en upptakt till den matematiska genomgången av en möjlig väg genom bråkräkningen bör man kartlägga sina förkunskaper om bråkbegreppet, räknesätten och bråkens användningsområde. Fundera över hur du kan undervisa om de centrala elementen i bråk räkning så att eleverna får de bästa möjligheterna att tillägna sig dem. Du kan t.ex. studera, gärna tillsammans med kollegor/studiekamrater, delområden som: • • • •

det grundläggande bråkbegreppet förkortning/förlängning av bråk ett av de fyra räknesätten en viktig användning av bråk.

Därefter ska ni försöka hitta på ett bra sätt att undervisa i delområdet, som ni presenterar för varandra. Diskutera både framställningarnas innehåll och den valda formen.

En matematisk väg genom bråkräkningen Bråk har uppkommit historiskt när man naturligt har haft en stor enhet, t.ex. en tunna spannmål, ett fat vin, en mil, en timme, en helnot eller en tårta som man gärna ville ta en mindre del av. I dagligt tal blev det t.ex. till en halvmil (1/2 mil), en kvart (1/4 timme) och en åttondelsnot. 540

Ypsilon 2 - kap 17-18.indd 540

09-12-17 16.03.00

En matematisk väg genom bråkräkningen Ordet bråk är besläktat med verben ”bryta” och ”bräcka” och betydde förr detsamma som ett ”brottstycke”. Språkhistoriskt sett betecknar alltså ”bråk” något som är mindre än en given enhet. Det är emellertid opraktiskt att kräva att bråk alltid ska vara mindre än en enhet, eftersom man då skulle 3 1 få problemet att två adderade bråk inte alltid blir ett bråk, t.ex. + . Med 4 3 tiden kom man därför överens om följande matematiska definition, där bråk kommer att motsvara mängden av de rationella talen. Lägg märke till att negativa bråk också är tillåtna: Definition av bråk a Bråk är uttryck av formen . Om a och b är heltal (b ≠ 0) repreb senterar bråken rationella tal.2 Bråken fungerar först som tal när de behandlas enligt särskilda regler för när bråk är lika och för hur de adderas och multipliceras.



Ur en rent matematisk synvinkel är det inget som hindrar en uppbyggnad av bråkräkningen enbart på grund av ovanstående definition jämte en definition av när två bråk är lika och av hur bråk adderas, subtraheras, multipliceras och divideras (se t.ex. Kyed 1969, s. 123–170). En sådan abstrakt matematisk uppbyggnad av bråkräkning har sin skönhet och perfektion, men vi menar att priset är för högt. För dels är teorin svår att tillägna sig, dels bortser en sådan systematisk matematisk framställning från de historiska rötterna och de praktiska problem som ledde till att bråkräkning över huvud taget uppfanns. Eftersom vårt syfte är en fördjupad förståelse av ämnet som grund för att kunna stödja barns lärande har vi valt en mer verklighetsnära framställning. Därför inleder vi med att tolka ovanstående definition av bråk på ett sätt som gör det lättare att dra in vardagliga erfarenheter. Och vi begränsar oss, som sagt, inledningsvis till de positiva bråken för att sedan hantera de negativa. 2. På bl.a. engelska omfattar fractions också sådana uttryck

a där a och b är reella b

2 ett bråk (jfr Kiselman 2 & Mouwitz 2008). I denna framställning behandlar vi endast bråk som representerar rationella tal.

tal, men självfallet fortfarande b ≠ 0. Här är alltså även

541

Ypsilon 2 - kap 17-18.indd 541

09-12-17 16.03.01

17. De positiva rationella talen Det finns flera (konkurrerande) sätt att framställa bråkräkning och ännu fler sätt att lägga upp motsvarande läroprocesser för barn. Den här valda framställningsformen har genom tiderna haft flera anhängare som argumenterat väl för sin sak (t.ex. professor J. Hjelmslev, som använde metoden i Elementær aritmetik. Første bog, 1925, Hansen 2002, s. 130). Det är dock viktigt att notera att den inte är ett förslag till hur undervisningen i skolan kan läggas upp, utan till hur läraren själv blir klok över sambanden mellan de många reglerna i bråkräkning. Man får en möjlig tolkning av vår bråkdefinition om man tänker på en helhet som delas lika. Mer precist kan vi förstå definitionen som att vi delar en given helhet i b lika stora delar. Var och en av dessa delar kallar vi ”en 1 a som b:tedel” och noterar den symboliskt som . Vi kan därför tolka b b storleken av en bit som består av a stycken av denna ”del av helheten”, alltså a stycken ”b:tedelar”. Ett annat sätt att uttrycka det på är att vi ”har a a tagit av” en given helhet. Som redan nämnts kallas för ett bråk, där b b a kallas täljare och b kallas nämnare. Ett sätt att genom denna tolkning av bråk ge dessa beteckningar mening är att b benämner den ”enhet” som täljaren a räknar upp. Skälet till att tolkningen är lättare att förstå än själva den formella definitionen är att definitionens abstrakta tecken och symboler genom tolkningen tillskrivs en mening i förhållande till något mer konkret – nämligen betraktelser av storheter. Problem i samband med bråkräkning motsvaras då av hantering av dessa konkreta storheter, vilket innebär att området blir tillgängligt för utforskning och återupptäckter på egen hand. Denna tanke löper som en röd tråd genom det följande. Om man vill undgå att bli styrd av andras tolkningar och vägledningar (t.ex. i en lärobok) i detta utforskande kan man alltid försöka argumentera så långt som möjligt i den givna situationen. Med vår tolkning av bråkdefinitionen och uppfattningen att ”+” står för att rent fysiskt ”sätta samman med” och ”–” för att rent fysiskt ”dra ifrån” eller ”ta bort”, kan man redan nu förklara en del av den elementära räkningen med bråk.

542

Ypsilon 2 - kap 17-18.indd 542

09-12-17 16.03.03

20 Ekvationer och olikheter Ekvationer har i generationer varit det mest karateristiska temat i skolans algebraundervisning. Å ena sidan har det ansetts vara svårt och abstrakt, å andra sidan vara ett nyttigt och kraftfullt verktyg för att hantera komplexa och ”bakvända” räkneuppgifter. I denna bok begränsar vi oss till förstagradsekvationer. Efter att ha arbetat med detta kapitel bör du • kunna lösa och tolka förstagradsekvationer, närmare bestämt upp till tre ekvationer med tre obekanta, samt olikheter med en obekant • känna till verktygen för att lösa n ekvationer med n obekanta för större n • känna till och kunna tillämpa didaktiken förbunden med variabler, likhetstecken och ekvationer • kunna översätta ekvationer mellan en rad olika representationsformer.

Lösning av förstagradsekvationer i en kropp Några av de viktigaste räknereglerna för rationella tal och reella tal finns samlade på s. 614 f. inom vad vi kallade en kropp. I detta avsnitt ska vi bevisa att den sista egenskapen 5 hos kroppar gör det möjligt att lösa varje förstagradsekvation i en sådan. Så låt oss först repetera vad det innebär att det finns inversa tal i en kropp. Det handlade om två slags inverser: • Till varje a i K finns ett tal som vi kallar –a i K med egenskapen att a + (–a) = 0. –a kallas för det motsatta talet till a för att skilja det från det följande, multiplikativ invers. • Till varje tal a ≠ 0 i K finns ett tal som vi kallar a–1 i K, och som har egenskapen att a · a–1 = 1. 647

Ypsilon 2 - kap 19-21.indd 647

09-12-17 16.19.24

20. ekvationer och olikheter Med utgångspunkt i denna egenskap hos kroppar ska vi nu i detalj visa hur man löser en förstagradsekvation i en kropp. Anta att vi vill lösa förstagradsekvationen ax + b = c. Först påminner vi om att a ≠ 0 är en förutsättning för att det ska vara tal om en förstagradsekvation. Det finns flera sätt att lösa en ekvation som ax + b = c, men om vi ser på den nämnda egenskapen hos kroppar, kan det vara frestande att börja med att lägga till –b, alltså det motsatta talet till b, på varje sida om likhetstecknet. Det ger: ax + b + (–b) = c + (–b), som genom egenskapen b + (–b) = 0 reduceras till ax = c + (–b), vilket enligt vår definition på räknesättet subtraktion också kan skrivas som ax = c – b. När man ska lösa en ekvation där x är den obekanta, gäller det att isolera x på den ena sidan om likhetstecknet och reducera det som står på den andra sidan. För att få x till att stå ensamt i ax = c – b väljer vi den andra ovan nämnda egenskapen hos kroppar, nämligen existensen av en multi plikativ invers till a, nämligen a–1. Om vi multiplicerar med a–1 på varje sida om likhetstecknet i ekvationen ax = c – b, får vi a–1 · ax = a–1 · (c – b) eller x = a–1 · (c – b), och därmed är ekvationen löst. Vi har i en kropp definierat division med a som multiplikation med a–1, så slutresultatet kan skrivas: x = (b – c) / a, eller med bråknotation: (c − b) x = . a Eftersom man också kan gå baklänges i uträkningen ovan, har vi visat att det funna värdet på x faktiskt är en lösning till ekvationen.

Sats 1 Lösningen till förstagradsekvationen ax + b = c i en kropp är (c − b) x = a

648

Ypsilon 2 - kap 19-21.indd 648

09-12-17 16.19.26

Lösning av förstagradsekvationer i en kropp Uppgift 1 Gör en prövning på denna allmänna nivå. Prova alltså att sätta in värdet på x i uttrycket ax + b = c och se efter att vänster sida om likhetstecknet faktiskt ger samma resultat som höger sida. Vi kom fram till sats 1 genom att noga redogöra för vilka egenskaper från en kropp vi åberopade. I grundskolan hänvisar lärare oftast till det ekvivalenta påståendet att det finns följande tillåtna räkneregler för lösning av ekvationer (se senare om didaktiska överväganden i detta sammanhang).

Regler Regler för ekvationslösning Under lösningen av en ekvation är det tillåtet att: 1. Addera detsamma på vardera sidan om likhetstecknet. 2. Subtrahera detsamma från vardera sidan om likhetstecknet. 3. Multiplicera med detsamma på vardera sidan om likhetstecknet. 4. Dividera med detsamma på vardera sidan om likhetstecknet, men självfallet inte med 0. Genom att använda reglerna 1–4 ovan är det möjligt att isolera x på den ena sidan om likhetstecknet och komma fram till ett enkelt tal eller uttryck på den andra sidan. Därmed anses ekvationen vara löst.

Övning 1 Lös följande förstagradsekvationer exakt, alltså inte bara med det antal decimaler miniräknaren ger. 1. 17x + 15 = 100 2. 17x + 36 = –100 3. 2 ⋅ x − 3 = −1 4. 2πx + 17π = 39π

649

Ypsilon 2 - kap 19-21.indd 649

09-12-21 10.53.37

20. ekvationer och olikheter

5. ( 3 − 1) x + 4 = 4 3 6. ( 3 − 1) x + 4 = 6 Då exakt ekvationsräkning var viktigt i skolan, skulle man gärna i ekvation 6 kunna ange lösningen utan att det var rötter i en nämnare. Visa att lösningen faktiskt kan skrivas som x = 3 + 1. Detta var alls inte oviktigt eftersom kvadratrötter var något man slog upp i tabeller. I dag, när vi har miniräknare, är det knappast besvärligt att ha med en kvadratrot i nämnaren.

Uppgift 2 Ställ upp två förstagradsekvationer som du tror kan lösas av elever i årskurs 3, två till årskurs 6 och två till årskurs 9. Finns det förstagradsekvationer som inte kan lösas av elever i skolan? Hur skulle du förklara de fyra ovan nämnda reglerna för ekvationslösning i en klass i årskurs 6?

Förstagradsekvationer med flera obekanta I kapitlet om talens historia nämnde vi den viktiga kinesiska boken Jiu Zhang Suanchu (”Nio böcker om räkneteknik”) från ca 400 f.Kr., med bl.a. följande räkneuppgift: Nu har man sålt 2 kor och 5 får och därför köpt 13 grisar, varvid det blev 1 000 mynt över. Man har sålt 3 kor och 3 grisar och därför köpt 9 får, pengarna gick jämnt upp. Man har sålt 6 får och 8 grisar och därför köpt 5 kor, men det saknades 600 mynt.

Om vi sätter x lika med priset på en ko, y lika med priset på ett får och z lika med priset på en gris, kan vi översätta denna gamla uppgift till tre ekvationer med tre obekanta:

650

Ypsilon 2 - kap 19-21.indd 650

09-12-17 16.19.28

Lösning av förstagradsekvationer i en kropp (1) 2x + 5y – 13z = 1 000 (2) 3x – 9y + 3z = 0 (3) –5x + 6y + 8z = –600 Den enklaste allmänna metoden för att lösa flera förstagradsekvationer med flera obekanta består i att reducera antalet obekanta med en genom den så kallade additionsmetoden. I det konkreta fallet kan vi försöka få lika stora koefficienter framför x i alla tre ekvationerna genom att multiplicera varje ekvation med ett lämpligt tal. Om vi inte kan finna en lämplig lika stor koefficient, behöver vi bara multiplicera de existerande koefficienterna med varandra 2 · 3 · 5 = 30. Men ofta finns det en mindre gemensam multiplikator för de tre talen. Om vi vill att den gemensamma koefficienten ska vara 30, ska vi multiplicera alla leden i ekvation (1) med 15, i ekvation (2) med 10 och i ekvation (3) med –6, vilket ger: Steg 1: Lika stora koefficienter framför en obekant: (1) 30x + 75y – 195z = 15 000 (2) 30x – 90y + 30z = 0 (3) 30x – 36y – 48z = 3 600 Genom att dra den översta ekvationen från de båda nedanför får vi att koefficienten framför x blir 0 i båda dessa ekvationer. Om en eller flera av ekvationerna redan skulle ha 0 som koefficient framför x, hade vi kunnat bespara oss steg 1. I det konkreta fallet får vi emellertid 30x – 30x i ekvation (2) och (3), så att x kan elimineras helt från dessa ekvationer. Steg 2: Den översta ekvationen bevaras, men antalet obekanta reduceras med en i de övriga: (1) 30x + 75y – 195z = 15 000 (2) –165y + 225z = –15 000 (3) –111y + 147z = –11 400 Om vi betraktar (2) och (3) som ett ekvationssystem, framgår det att vi har reducerat våra tre ekvationer med tre obekanta till två ekvationer med två obekanta. En möjlighet är att vi multiplicerar ekvationerna med –1 för att få fler positiva tal: 651

Ypsilon 2 - kap 19-21.indd 651

09-12-17 16.19.28

20. ekvationer och olikheter Steg 3: Bortse en stund från ekvation (1) och fortsätt med att tillämpa steg 1 på det reducerade ekvationssystemet: (2) 165y – 225z = 15 000 (3) 111y – 147z = 11 400 Vi har nu fått en obekant mindre, och vi kan fortsätta med steg 1 och steg 2 o.s.v. Till sist får vi en ekvation med en obekant, och den kan lösas med hjälp av sats 1. När sedan denna obekanta har bestämts, arbetar vi oss tillbaka den motsatta vägen genom reduktionerna. Först sätter vi in detta nu kända värde i den ena av de båda ekvationerna med två obekanta, som sedan kan lösas med hjälp av sats 1 som en ekvation med en obekant. Därefter sätter vi in de två obekanta som nu har bestämts i en av ekvationerna med tre obekanta o.s.v., och vi löser ekvationssystemet. Om vi vill avsluta lösningen i det konkreta exemplet, ska vi nu tillbaka till steg 1 och skapa en gemensam koefficient framför y, vilket kan ske genom att vi multiplicerar ekvation (2) med 111 och ekvation (3) med 165: (2) 111 · 165y – 111 · 225z = 111 · 15 000 (3) 165 · 111y – 165 · 147z = 165 · 11 400 Vilket beräknas till: (2) 18 315y – 24 975z = 1 665 000 (3) 18 315y – 24 255z = 1 881 000 I steg 2 drar vi den översta ekvationen från den nedersta och får 720z = = 216 000, vilket ger z = 300. Detta värde sätter vi in i endera av de båda ekvationerna med två obekanta, t.ex. 165y – 225z = 15 000, vilket ger 165y = 82 500 eller y = 500. Till sist sätter vi in z = 300 och y = 500 i en av de ursprungliga ekvationerna med tre obekanta, t.ex. i 2x + 5y – 13z = 1 000, vilket ger 2x = 2 400 eller x = 1 200. Den totala lösningen är alltså: x = 1 200, y = 500 och z = 300. Eller, om vi påminner oss om att vi faktiskt ställde upp en modell för en verklig situation: priset på en ko är 1 200, på ett får 500 och på en gris 300 av myntenheten ifråga. De kinesiska räknemästarna kunde 400 f.Kr. lösa denna ekvation lättare genom att se till att två av ekvationerna åt gången fick lika stora koefficienter. Syftet med vår lösning ovan var emellertid att ange en 652

Ypsilon 2 - kap 19-21.indd 652

09-12-17 16.19.28

Lösning av förstagradsekvationer i en kropp allmän lösningsmetod, och den framträder tydligare i denna räknetekniskt något mer besvärliga version.

Uppgift 3 Vi började den kinesiska ekvationslösningen med ”att subtrahera den översta ekvationen från de båda nedanför”. Förklara varför man får lov att subtrahera en ekvation från en annan och förvänta sig att resultatet också blir en korrekt och sann ekvation? Undersök om det går snabbare att lösa de kinesiska ekvationerna om man hoppar över steg 1 och direkt ser till att få koefficienten 0 framför x i ekvation (2) och (3) var för sig. Man kan t.ex. multiplicera ekvation (1) med 3 och subtrahera den från ekvation (2) multiplicerad med 2 och hitta på ett liknande tillvägagångssätt med ekvation (3). Därefter blir talen i nästa omgång säkert mindre och därmed lättare att överblicka och räkna med.

Uppgift 4 Lös följande tre ekvationer med tre obekanta: 2x + 5y + 10z = 65 x + y + z = 17 3x + 7y + 2z = 69 Det korrekta svaret uppfyller ekvationen x = y · z.

Uppgift 5 Lös följande fyra ekvationer med fyra obekanta: 2x + 3y + 4z + 5v = 33 5x + 4y + 3z + 2v = 30 1x + 2y + 0z + 7v = 45 7x + 0y + 2z + 1v = 15 Det korrekta svaret uppfyller ekvationen xy – zv = 18.

653

Ypsilon 2 - kap 19-21.indd 653

09-12-17 16.19.28

20. ekvationer och olikheter Två ekvationer med två obekanta Vad gäller förstagradsekvationer kommer man i gymnasieskolans tidigare kurser ofta bara till ekvationer med två obekanta. Till dem har det i gengäld utvecklats åtskilliga matematiska angreppssätt. Vi behandlar nedan tre metoder. De två första ska vi betrakta med utgångspunkt i ett exempel som också kan användas i skolan.

Exempel 1 På den lokala hamburgerbaren har Camilla och hennes familj köpt 3 hamburgare och 4 läsk. Hon träffade Christopher från sin klass, som var där med några vänner. Christopher och hans vänner köpte 6 hamburgare och 9 läsk. Dagen efter möts Camilla och Christopher i skolan. De blir oense om, vad hamburgarna och läskedryckerna kostade. Camilla kommer ihåg att hennes far betalade 117 kr för deras mat och dryck, och Christopher vet att han och hans vänner betalade 246 kr. Camilla satt och tittade lite på siffrorna och räknade fram och tillbaka. Sedan sade hon: ”3 hamburgare och 4 läsk kostar 117 kr. Men då kostar 6 hamburgare och 8 läsk 234 kr. 6 hamburgare och 9 läsk, det är en läsk mer, så den sista läsken måste kosta 12 kr. Och om en läsk kostar 12 kr, så kostar 4 läsk 48 kr. Det betyder att de 3 hamburgarna kostar 117 kr – 48 kr; och det är … 69 kr. Alltså kostar 1 hamburgare 23 kr.” Förstår du Camillas resonemang?

Övning 2 Formulera tre, fyra uppgifter som påminner om ovanstående, och fundera över hur tillämpbar Camillas metod är mer generellt.

654

Ypsilon 2 - kap 19-21.indd 654

09-12-17 16.19.29

Y har följande indelning:   Band 1

Band 2

I Experimentell geometri och mätning II Matematisk argumentation III Geometriska resonemang och representationer IV Tal och räknemetoder i historien

V De naturliga talen VI De rationella talen VII Algebra och funktioner VIII Statistik och sannolikhetslära

ISBN 978-91-40-66813-4

J. Skott, H. C. Hansen, K. Jess & J. Schou

I serien Matematik för lärare finns också en allmän matematikdidaktik, som heter d (delta).

Matematik för lärare

Matematik för lärare Y Grundbok band 2

Jeppe Skott Hans Christian Hansen Kristine Jess & John Schou