Grundläggande algebra
Axiom, förenklingar, ekvationslösning, komplexa tal - och lite till.
Grundläggande algebra Axiom, förenklingar, ekvationslösning, komplexa tal - och lite till.
‘ Bengt Månsson 2018 Förlag: BoD – Books on Demand, Stockholm, Sverige Tryck: BoD – Books on Demand, Norderstedt, Tyskland ISBN: 9789176999554
Innehållsförteckning Förord Del I
6 Polynom och ekvationslösning Grundbegrepp och metoder Substitution i formler och uttryck Förenkling av uttryck Polynom Motsatt tal och subtraktion Faktorisering Ekvationsteori Appendix A-D
9 11 12 14 28 60 66 79
Del II Rationella uttryck Inverterat tal och division Appendix
86 95
Del III Potenser och logaritmer Potenser Logaritmer Ekvationer Appendix A, B
104 110 114 118
Del IV Trigonometriska uttryck Trigonometriska funktioner Trigonometriska ekvationer Appendix A, B
130 144 148
Del V Komplexa tal Detaljerad innehållsförteckning Inledning Potenser Ekvationslösning Räkneoperationer i komplexa talplanet Appendices – Överkurs Formelsamling
154 155 165 181 206 213 229
Översikt Grundläggande algebra
231
Abstrakt algebra
237
Litteratur och historiska notiser
259
Rättelser
261
5
! A?A4 =5BC 6 A < A1A5> + RELIGGAODE SKRIFT FRANST LLDES UODER L S REO SPN ATT ett HJ LQNEDEL ATT gymnasisternasKUOSKAQER kunskaper PCH och F RDIGHETER I ALGEBRA att eleverna ofta har F RS KA F RB TTRA GYNOASISTEROA
Som många 8PN ALLA GYNOASIEL RARE I NATENATIK F RNPDAR JAG KAO VITTOA PN S ELEVEROA attHAR eleverna oftaPFTA har Många SV RIGHETER NED DEO VAOLIGA ALGEBRAO 9RPTS DETTA KLARAR DE TILL SYOES NERA AVAOCERADE 2 FR O TILL (EO QRINITIVA FUOKTIPOEO PNR DEO RIKTIGT BRA *TT EXENQEL .OTEGRALEO AV X? HITTAR DE NEO TECKOEO BLIR FEL VID IOS TTOIOG AV GR OSEROA ;ADAO DEOOA DISKREQAOS I F RN GPROA PCH VAD G RA T DET$
(EO ELENEOT RA ALGEBRAO UTG R TRPTS ALLT ETT GAOSKA KPNQLEXT SYSTEN QRIPRITERIOGSREGLER
QAREOTESREGLER LAGAR
8ANTIDIGT R DETTA JU SV RIGHETER SPN F R EO NATENATIKER R TRIVIALA
(ET HAODLAR JU BARA PN BEHAODLIOG AV EO AV DE EOKLARE ALGEBRAISKA STRUKTUREROA !7 X# , ELLER N JLIGEO !' X# PCH ELEVEROAS SV RIGHETER LIGGER I ATT HAOTERA SYNBPLEROA I QRIOCIQ BARA EO FR GA PN ATT VARA OPGGRAOO NED BPKF RIOGEO 2EO DET R KAOSKE H R QRPBLENET HAR SIO UQQRIOOELSE %LGEBRAO Q DEOOA OIV R TRIVIAL PCH KAOSKE L RAREO IOTE ALLTID IOSER ATT QRPBLENET HAODLAR JUST PN BPKF RIOG
3 V L VAD G RA$ .OLEDOIOGSVIS F RS KTE JAG NED FLERA VOIOGAR och PN NERA mera GEOPNG OG AV PLIKA VARIERADE EXENQEL (ET HJ LQTE V L TILL EO DEL 2EO JAG FICK F R NIG ATT NAO HELT EOKELT EXQLICIT BPRDE G IGEOPN ALLA REGLER PCH KPOVEOTIPOER OER TILL NIOSTA DETALJ ALLTS IOTETA inte taO GPT något F R för GIVET *TT OATURLIGT S TT ATT G RA DETTA BPRDE VARA ATT QRESEOTERA HELA AXIPNSYSTENET F R I F RSTA HAOD DE REELLA TALEO NEO VEO SQECIFICERA QAREOTESREGLER NN I DETALJ 8ANTIDIGT KUODE DETTA GE EO NATENATISK ALLN OBILDOIOG %XIPNSYSTEN BEHAODLAS JU KOAQQAST I SKPLNATENATIKEO UTPN I O GPO N O I GEPNETRIO F RNPDLIGEO HAR DETTA HISTPRISKA SK L (ET KAO VEO FIOOAS som SIFFERR KOIOG HAODLAR PN REELLA TAL ELLER UTRYNNE ATT Q QEKA ATT ALGEBRAO precis QRCIS SPN N JLIGEO KPNQLEXA BARA I EO ALLN OOARE FPRN GEOPN AOV ODOIOGEO AV VARIABLER ALLTS VAD SPN IBLAOD PEGEOTLIGT KALLAS BPKSTAVSR KOIOG ( RUT VER FPRDRAS OATURLIGTVIS FPRTFARAODE också en mängd övningar. NaturligtvisB R bör ETT STPRT AOTAL VOIOGAR PCH DEO H R BPKEO IOOEH LLER PCKS N OGD VOIOGAR
3ATURLIGTVIS VEO VOIOGAR I DE VAOLIGA L RPB CKEROA AOV ODAS
också en mängd övningar. Naturligtvis bör 2EO SKULLE DET IOTE BLI F R KPNQLICERAT$ ]VEO PN ALLT FIOOS NED KAO ELEVEROA H LLA DET I HUVUDET$ *ODAST ETT QRAKTISKT F RS K KUODE AVG RA DET 8 NED HJ LQ AV ETT O GPT UT KAT TINTAL GEOPNF RDES QRPJEKTET I O GRA KLASSER Q 3; QRPGRANNET
N-programmet. 3ATURLIGTVIS FIOOS QRPBLENET VEO Q AODRA QRPGRAN NEO D R KAOSKE DET R SV RARE ATT F TID PCH KAOSKE DET IOTE R LIKA AKUT *LEVEROA Q 3; QRPGRANNET N-programmet SKA JU STUDERA NERA AVAOCERADE PNR DEO PCH D N STE ALGEBRAO SITTA AOOARS SOUBBLAR DE Q FEL ST LLEO
5CH DET GICK RIKTIGT BRA *LEVEROAS QRAKTISKA F RN GA KADE SANTIDIGT SPN DE FICK EO EOLIGT DERAS EGEO UTSAGP F RST ELSE HUR DET HELA H OGER IHPQ VAR REGLEROA KPN IFR O PSV
8J LVKLART R UTFALLET BERPEODE AV IOTRESSERADE ELEVER PCH L RARE (E KLASSER D R QRPJEKTET GEOPNF RDES VAR OPG O GPT VER GEOPNSOITTET
2EO QRPJEKTET KAO GEOPNF RAS NED PLIKA ANBITIPOSOIV BERPEODE Q UODERVISOIOGSGRUQQ %LLT FR O EO TPTAL AXIPNATISK STUDIE TILL BARA NER VOIOG 2ATERIALET I DEOOA BPK KAO AOV ODAS Q olikasätt sättmed medlämpligt lämpligturval. urval.Det Detkan kankanske kanskenämnas nämnasatt attjag jaginte intetror trorpå påkursanpassade kursanpassade olika PLIKA S TT NED L NQLIGT URVAL
(ET KAO KAOSKE O NOAS ATT JAG IOTE TRPR Q KURSAOQASSADE läroböcker. Hellre en mera omfattande text där man kan göra ett urval. L RPB CKER -ELLRE EO PNFATTAODE TEXT D R L RAREO G R ETT URVAL
läroböcker. Hellre en omfattande text där man kan göra ett urval.
6
olika sätt med lämpligt urval. Det kan kanske nämnas att jag inte tror på kursanpassade läroböcker. Hellre en mera omfattande text där man kan göra ett urval.
6
8T RRE DELEO AV BPKEO UTG RS AV EO AXIPNATISK UQQBYGGOAD AV ALGEBRAO F R QPLYOPN PCH BR KUTTRYCK 7ESTEO R EO NERA KPOVEOTIPOELL FRANST LLOIOG PN O O GPT F RDJUQAD J NF RT NED DE PFTAST AOV ODA L RPB CKEROA AV TEPRIO F R EKVATIPOSL SOIOG QPTEOSER PCH LPGARITNER SANT trigonometri TRIGPOPNETRISKA UTTRYCKför PSCH KPNQLEXA
samt och teorin komplexa tal. 2AO KAO KAOSKE UODRA PN TRIGPOPNETRIO H R HIT
hit. 2EO GR OSEROA NELLAO NATENATIKEO matematikens PLIKA olika PNR DEO R IOTE SKARQA TV RTPN 5CH TRIGPOPNETRIO IOOEH LLER JU EO HEL DEL FPRNELNAOIQULATIPO NED EO OY UQQS TTOIOG REGLER SANTIDIGT SPN DEO VAOLIGA ALGEBRAO PCKS BEH VS
+ R ALLN OBILDOIOGEOS SKULL FIUOOS VEO O GRA AQQEODIX SPN KAO AOV ODAS Q PLIKA olika S T
sätt KAOSKE SPN UODERLAG F R GYNOASIEARBETET TIDIGARE KALLAT SQECIALARBETE NN
2YCKET AV IOOEH LLET I DEOOA BPK BYGGER Q - 2EYER 6RECALCULUS Precalculus 2ATHENATICS Mathematics VAO 3PSTRAOD
6ARTILLE 25 april 8EQTENBER Partille 2018.
! A?A4 =5BC 6 A 5<5E5A>1 .OPN ALGEBRAO STUDERAS = 690=0270=9, F R REELLA PCH KPNQLEXA TAL ,778 9? 2AO N STE D RF R AOV ODA A,=4,-70= BPKST VER SPN BETECKOAR TAL D RAV DEO QPQUL RA BEO NOIOGEO BPKSTAVSR KOIOG Q ALGEBRAO
. ALGEBRAO BEHAODLAS HUR NAO F REOKLAR QPLYOPNUTTRYCK PCH BR KUTTRYCK Q PLIKA S TT + R I algebran behandlas hur man förenklar polynomuttryck och bråkuttryck på olika sätt. För GYNOASIESKPLAOS DEL R DETTA DEO ST RSTA DELEO AV ALGEBRAO 7 KOEREGLEROA F R OEGATIVA TAL tal PCH RATIPOELLA TAL SPN DU AOTAGLIGEO K OOER TILL TIDIGARE KPNNER ATT KPNNA FRAN SPN SQECIALFALL
specialfall. ]VEO EKVATIPOSL SOIOG H R TILL ALGEBRAO EFTERSPN DEO BYGGER Q R KOEREGLEROA F R REELLA PCH KPNQLEXA TAL
8LUTLIGEO BEHAODLAS ALLN OOA QPTEOSER PCH LPGARITNER (ETTA R EO OATURLIG FPRTS TTOIOG Q DELS VAOLIGA QPTEOSER DELS KVADRATR TTER
(U KPNNER ATT K OOA IGEO EO HEL DEL NEO VI SKA B RJA FR O GRUODEO PCH BYGGA UQQ ALLTIOG Därför KPNNER DET HELA ATT VERKA LITE KR OGLIGARE O DU R VAO VID SQECIELLT I SYSTENATISKT ( EF R B RJAO 2EOIOGEO R ATT DU SKA L RA DIG ;=0.4> A476, =0270= >:8 2 770= PCH KUOOA G TILLBAKA TILL GRUODEO PCH KPOTRPLLERA ALLTIOG
allting och inte behöva gissa och inte fel! intetro troatt attdet detärärrätt rättnär närdet detärär fel!
7
7
Del I : 1/3 P Polynom och ekvationslรถsning
"
8
8
'*$ " $ ' && % # )% ' <752A19B;1 DCCAG3; 2ATENATISKA UTTYCK R UQQBYGGDA AV ?0.609 . ST RRE DELEO AV ALGEBRAO KPNNER TECKOEO ATT VARA F LJAODE ' " '
;AOLIGA LATIOSKA BPKST VER GREKISKA BPKST VER IODEXERADE VARIABLER T EX , C 0 E 9 8TPRA PCH SN BPKST VER BEHAODLAS SPN :746, VARIABLER
&PKST VER SPN BETECKOAR ETT BEST NT TAL KALLAS 6:9>?,9?0= T EX 8
'%'
' $) ( '
. / < = ]VEO PLIKA STPRA QAREOTESER AOV ODS (E PLIKA QAREOTESTYQEROA
HAR EXAKT >,88, 1@96?4:9 PCH ;,= AV QAREOTESER AV PLIKA TYQER KAO FRITT BYTAS UT NPT VARAODRA
! $ ' ' !$ %& ' ) %$ ' ? SKRIVS PFTAST SPN -= 6>?=0.6 ? BETYDER 0C;:909?40=492 BER KOIOG AV ETT UTTRYCK SKRIVET SPN EO ;:?09> T EX , 9 + , 9 NEO AOV ODS NERA S LLAO UTPN I DATPRSANNAOHAOG ;ARJE UTTRYCK KAO SKRIVAS Q EO RAD PN PCH ? AOV ODS NEO PN BR KSTRECK PCH QPTEOS , 9 AOV ODS BEH VS IOTE S N OGA QAREOTESER PCH DESSUTPN BLIR DET NERA L TTL ST
! $ ' #%)( )) ) " 9ECKOET SPN KALLAS @9 =? 849@> SKRIVS LIKADAOT SPN SUBTRAKTIPOSTECKOET NEO HAR EO AOOAO FUOKTIPO 9 OK Q HUR OEGATIVA TAL NATAS IO Q R KOAREO D R NAO PFTA N STE NATA IO UO RT NIOUS PCH SUBTRAKTIPOSTECKEO NED PLIKA TAOGEOTER
8 SN OIOGPN TILLKPNNER TECKEO F R R TTER LPGARITNER NN DPCK EJ I DEL .
9ECKOEO SANNAOFPGAS TILL UTTRYCK EOLIGT VISSA REGLER S K >D9?,C=0270= (ESSA AOTAR VI ATT DU I QRAKTIKEO K OOER TILL DVS ATT DU VET VILKA TECKEOKPNBIOATIPOER SPN R TILL TOA PCH FRANF RALLT ATT DU K OOER IGEO FELAKTIGA KPNBIOATIPOER
F
,
R IOTE TILL TET DET N STE ST O GPT I QAREOTESEO
, - SKA SKRIVAS , - 9 74?09 /0?,75 2AO BRUKAR IOTE HA O GPT EFTER @9 =? NIOUS
,- . /
NELLAORUN
PCH . ,- ./ / R TILL TOA NEO 49?0 . ,-/. /
2ULTIQLIKATIPOSTECKOET 8 >?0 S TTAS UT NELLAO SIFFRPR T EX
- = S TTAS UT F RE SIFFRA T EX HELLRE , O ,
6,9 ALLTID S TTAS UT ALLTID S TTA UT NEO UTEL NOAS PFTA SQECIELLT I SLUTUTTRYCK
9
9
!?A=<5A *O FPRNEL R EO 4/09?4?0? DVS EO EKVATIPO SPN G LLER F R ALLA V RDEO Q VARIABLEROA
F
, , + , R EO IDEOTITET
F
, , + , R IOGEO IDEOTITET ( RENPT R DET EO EKVATIPO SPN G LLER F R , V RDET PCH EODAST F R DETTA , V RDE
;I KPNNER ATT AOV ODA PLIKA TYQER AV FPRNLER
)(
+PRNEL SPN KAO BEVISAS
, %#
,RUODL GGAODE FPRNEL SPN IOTE KAO BEVISAS
$ ) %$ +PRNEL SPN AOGER VAD ETT VISST UTTRYCK SKA BETYDA
;I KPNNER VEO ATT ST TA Q >,?>0= SPN IOTE R FPRNLER NEO SPN 3,9/7,= :8 T EX I SANBAOD NED EKVATIPOSL SOIOG DEL ...
, %# $ % % % %
, - + - , , - . + , - . , + , , , +
:88@?,?4A, 7,209 1 = ,//4?4:9 >>:.4,?4A, 7,209 1 = ,//4?4:9
% % %
, - + - , , - . + , - . , + , , + PN , , , - . + , - , .
:88@?,?4A, 7,209 1 = 8@7?4;746,?4:9 >>:.4,?4A, 7,209 1 = 8@7?4;746,?4:9
% %
4>?=4-@?4A, 7,209
(ESSA OIP AXIPN BESKRIVER GRUODL GGAODE R KOEREGLER F R DE VAOLIGA REELLA TALEO PCH I DET F LJAODE SKA VI SE HUR NAO KAO AOV ODA DEN F R ATT H RLEDA AODRA REGLER AV VILKA DU REDAO K OOER TILLL EO DEL %XIPNEO G LLER IOTE BARA F R REELLA TAL UTAO VEO F R S K KPNQLEXA TAL DEL ;. PCH NERA ALLN OOA TALSYSTEN S K ALGEBRAISKA KRPQQAR + R ATT QRECIS TALA PN VAD SPN UTN RKER DE REELLA TALEO TILL SKILLOAD FR O DE KPNQLEXA T EX KR VS ALLTS NER O DE OIP AXIPNEO (ETTA BEH VER VI IOTE BRY PSS PN JUST OU NEO DET F R BETYDELSE L OGRE FRAN I SANBAOD NED R TTER QPTEOSER PCH LPGARITNER DEL .;
3UNRERIOGEO AV FPRNLER R L QAODE GEOPN HELA KPNQEODIET % AOGER ATT FPRNELO R ETT AXIPN ( ATT DEO R EO DEFIOITIPO PCH 8 ATT DEO R EO SATS ;ID REFEREOSER NELLAO DE PLIKA DELAROA I ALGEBRAKURSEO AOV ODS RPNERSKA SIFFRPR T EX . F R DET O ST SISTA AV AXIPNEO PVAO
10
9ALEO PCH DEFIOIERAS DELVIS GEOPN AXIPNEO PCH R GIVETVIS PLIKA TAL (ETTA KAO ENELLERTID IOTE BEVISAS NED HJ LQ AV DE OIP AXIPNEO . NER AVAOCERADE SANNAOHAOG BRUKAR NAO D RF R TILLFPGA SPN ETT TIPODE AXIPN
10
Substitution i formler och uttryck Att göra en substitution betyder att byta ut en del av ett uttryck eller hela uttrycket mot ett annat uttryck. Vi använder skrivsättet u1 a u2 för att ange att u1 byts ut mot u2.
Substitutionstyper 1.
variabel a s
där s är en variabel eller siffra eller decimalform för ett icke negativt tal
2.
variabel a (uttryck)
Om någon av dessa substitutioner utförs i en formel så erhålles en ny formel förutsatt att alla förekomster av samma variabel byts mot samma uttryck. Ex:
3.
Formel a + b = b + a a a c ger formeln c + b = b + c b a ( pq + z) ger därefter formeln c + ( pq + z ) = ( pq + z ) + c
(u1 ) a (u2 )
där u1 = u2 är en formel
Om denna substitution utförs i ett uttryck u så erhålles ett uttryck v sådant att u = v är en formel. Detta är grundläggande vid förenkling av uttryck. Ex:
Uttryck a + (b + c)
(b + c) a (c + b) ger uttrycket a + (c + b)
formel. 4.
(u) a variabel Ex:
och a + (b + c) = a + ( c + b) är en
där u är en del av ett uttryck
Uttryck a + (b + c)
(b + c ) a α
ger uttrycket a + α b a α i formeln a + b = b + a ger formeln a + α = α + a Dessa två substitutioner ger tillsammans formeln a + (b + c) = (b + c) + a då substitutionen α a (b + c) utförs. 5.
s a ( s) ,
( s) a s
där s har samma betydelse som i punkt 1
Denna substitution ger ett identiskt uttryck. Ex:
6.
u a ( u) ,
2 + ( 3)a = 2 + 3a är en identitet
( u) a u
Om u är hela vänster- eller högerledet i en formel så ger denna substitution en ny formel. Ex: (a + b) = a + b och (a + b) = b + a är formler.
11
11
' $!" $ + *))'- ! > ?=B;A9E>9>7 1E 5CC DCCAG3; C 5F 5> 6 A5>;<9>7 DC6 AB 75>?= 1CC =1> B CC5A D@@ 5> A14 $) ) ) ' =54 8: <@ 1E BD2BC9CDC9?>5A ?38 C94971A5 ; >41 6?A=<5A 1F9?= 4569>9C9?>5A 5<<5A B1CB5A
F
;ISA FPRNELO - . , + - , . DVS VISA ATT DEOOA LIKHET R EO IDEOTITET
& B>9>7
- . , + - . , + - , . D R F RST ASSPCIATIVA PCH SEDAO KPNNUTATIVA LAGEO F R ADDITIPO HAR AOV OTS
>= 1 SOIOGEO BEST R AV ?A IDEOTITETER - . , + - . , PCH - . , +
+ - , .
(EO F RSTA F S GEOPN SUBSTITUTIPOEROA , __ 0 >- - __ 0> . PCH . __ 0> , I ASSPCIATIVA LAGEO
(EO AODRA IDEOTITETEO F S Q F LJAODE S TT 8UBSTITUTIPOEROA , __ 0> . - __ 0> , I KPNNUTATIVA LAGEO GER FPRNELO . , + , . %LLTS KAO . , BYTAS NPT , .
DVS DETTA GER EO FPRNEL
1 GG N RKE TILL ATT DET SISTA STEGET I EX IOOEB R ATT =1> 1A25C1A =54 5CC 45<DCCAG3; 9>?= @1A5>C5B ?25A?5>45 1E A5BC5> 1E DCCAG3;5C 8PN O NODES I SANBAOD NED SUBSTITUTIPOSTYQEROA QUOKT R DETTA R ALLTID TILL TET PCH AOV ODS V LDIGT NYCKET)
F
;ISA ATT , - . + . - ,
& B>9>7
, - . + , - . + , 0 + 0 , + - . , + . - , >= 8E QUOKT I BESKRIVOIOGEO AV SUBSTITUTIPOSTYQER
+ R ATT 6:88, ; HUR NAO SKA G RA T OKER NAO Q HUR NAO VILL HA SLUTUTTRYCKET . EX SKA BL A - PCH . BYTA QLATS (E 8 >?0 D ST I SANNA QAREOTES S ATT NAO KAO ARBETA NED ETT /07@??=D.6 49:8 ;,=09?0> VILKET NPTIVERAR F RSTA STEGET
8UBSTITUTIPOER AV TYQEO - . __ 0> 0 KAO NAO AOTIOGEO BARA T OKA SIG ELLER PCKS KAO NAO VERKLIGEO SKRIVA DEN (ETTA KAO G RA DET L TTARE S RSKILT I B RJAO ATT SE VILKEO FPRNEL SPN SKA AOV ODAS
2AO KAO VAOLIGTVIS G RA EO PNSKRIVOIOG Q FLERA PLIKA S TT 5N NAO I EX F RST L GGER N RKE TILL ATT . SKA ST F RST I SLUTUTTRYCKET S B RJAR NAO KAOSKE NED ATT AOV ODA KPNNUTATIVA LAGEO
E> ,EOPNF R DETTA) 0AO FPRNELO VISAS Q OOU FLER S TT$
12 1
F
;ISA ATT ,- . + ,. -
& B>9>7
,- . + . ,- + ., - + ,. F
;ISA ATT
. ,- .// + . /. , /-
& B>9>7
. ,- .// + 0. / + 0 ./ + 01 + 10 + ./ ,- + /. -, + 3 -, + 3- , + . /. -/, >= ,L N IOTE ATT QAREOTESEROA IOG R I DE DELUTTRYCK SPN ERS TTS NED EO VARIABEL T EX 0> 0
,- __
,9665ADCCAG3; :TTRYCK SPN 49?0 IOOEH LLER VARIABLER F REKPNNER PFTA T EX SPN EO DEL AV ETT ST RRE UTTRYCK
;I AOTAR ATT DU KAO BER KOA F REOKLA S DAOA UTTRYCK (ETTA IOEB R BL A ATT DU N STE KUOOA R KOEREGLEROA F R OEGATIVA TAL PCH F R RATIPOELLA TAL BR KR KOIOG (ESSA REGLER KPNNER ATT BEVISAS L OGRE FRAN 8IFFERUTTRYCK F R VEO DELAS UQQ
F
+
F
+ +
+$ $ ' ;ISA F LJAODE FPRNLER NED HJ LQ AV DE KPNNUTATIVA PCH ASSPCIATIVA LAGAROA
, - . + , . - , -. + - ., ,. - + . ,- , . - + - , . . , - ./ / + , . - . / / -, ./ + -. ,/ -. /, ./ + .. ,- // . . - / / , + / , - . . , - / / . + ., . - / / /- ., + . -/ ./,
131
%"-$%# ;I SKA TILL ATT B RJA NED STUDERA UTTRYCK SPN IOTE IOOEH LLER TECKEO F R DIVISIPO 8 DAOA UTTRYCK KALLAS ;:7D9:8 9ILL ATT B RJA NED KPNNER UTTRYCKEO EODAST ATT IOOEH LLA TECKEO F R ADDITIPO PCH NULTIQLIKATIPO ELLER IOGEOTIOG EFTERSPN VI SKA DEFIOIERA QPTEOSER PCH SUBTRAKTIPO PCH STUDERA VAD SPN F LJER UR AXIPN % PCH % IOOAO VI AOV ODER DEN (E FPRNLER BEHAODLAS G LLER DPCK LIKSPN AXIPNEO ALLN OT EFTERSPN EO VARIABEL KAO BYTAS NPT VILKET UTTRYCK SPN HELST IOPN QAREOTES SE SUBSTITUTIPOSTYQ PCH KPNNER ATT AOV ODAS SEOARE PCKS
*A9?A9C5A9>7 569>9C9?> ( ( ( (
, - . + , - . ,-. + ,- . , -. + , -. ,- . + ,- . @@@@@@@@@@@@@@@@@@
( (
,- ./ + ,- ./ , -. /01 + . , -. / . /0 1 / ?BE
(ESSA FPRNLER UTTRYCKER ;=4:=4?0=492>=0270=9, F R ADDITIPO PCH NULTIQLIKATIPO 2ULTIQLIKATIPO G R F RE ADDITIPO ;ID LIKA QRIPRITET UTF RS R KOEPQERATIPOEROA FR O V OSTER
+PRNLEROA R /01494?4:90= EFTERSPN DE TALAR PN VAD SPN SKA NEOAS NED NER O EO R KOEPQERATIPO (ET FIOOS : 9/742? 8 92, FPRNLER AV DEOOA TYQ +PRNLEROA ( PCH ( R ALLTS BARA 0C08;07 ( RENPT R FPRNLEROA ( ( ALLA N JLIGHETEROA F R ?A R KOEPQERATIPOER PN VARIABLEROA , - . AOV ODS I ALFABETISK PRDOIOG
E> (ET FIOOS QRECIS QRIPRITERIOGSFPRNLER NED TRE R KOEPQERATIPOERSTECKEO ELLER PCH NED FYRA PQERATIPOER PN VARIABLEROA , - .
AOV ODS I ALFABETISK PRDOIOG
8KRIV UQQ DESSA FPRNLER)
9BCA92DC9E1 <175> 4>?=4-@?4A, 7,209 , - . + , - , . AXIPN % 6:;;7,= >,88,9 ADDITIPO PCH NULTIQLIKATIPO (ETTA G R ATT AXIPNET R NYCKET VIKTIGT (ET LIGGER BL A DE VAOLIGA REGLEROA F R QAREOTESNULTIQLIKATIPO ;I B RJAR NED ETT EOKELT EXENQEL Q HUR AXIPNET KAO AOV ODAS F R ATT F REOKLA UTTRYCK
F , , + , , + , , + , , + , + , + , + ,
14
1
,1CB 8 5E9B
, - . + ,. -. , - . + . , - + ., .- + ., .- + ,. -. + ,. -.
F , , + , + , + ,
&ETYDLIGT EOKLARE O IOOAO TACK VARE SATSEO) *O STPR DEL AV ARBETET R GJPRT I BEVISET ;I TITTAR OU Q TV KR OGLIGARE EXENQEL SPN DPCK SKULLE VARIT OOU V RRE UTAO SATSEO 8 (U KAO S KERT DIREKT S GA VAD SVARET SKA BLI SQECIELLT I DET F RSTA EXENQLET NEO NEOIOGEO R OU ATT VISA ATT DET F LJER UR V RA AXIPN DEFIOITIPOER PCH SATSER *O ELLER TV FPRNLER ELLER REGLER AOV ODS I VARJE STEG 9 OK EFTER VILKA)
, , + . , / . , / + . , / . , / + + <. , / , = + < . , , /= + < . , ,/= +
F
+ < . ,/= + < . ,/= + < . ,/= + . , / + + , + , + ,
, - . / + , - . , - / + . , - . / . , - / / + + . ,. -./ . ,/ -/ / + . ,. -. / . ,/ -/ / +
F
.
/
+ . ,. -. / ,/ -/ + ,. -. ,/ -/ 1 GG I DESSA TV EXENQEL S RSKILT N RKE TILL ATT ;=4:=4?0=492>1:=870= HAR TILL NQATS Q /07UTTRYCK IOPN QAREOTES *TT DELUTTRYCK 49:8 ;,=09?0> F R BEHAODLAS :-0=:09/0 AV VAD SPN FIOOS UTAOF R QAREOTESEO PCH ETT S DAOT UTTRYCK F R >:8 30730? BEHAODLAS SPN EO A,=4,-07 (E QAREOTESER SPN BEH VS FIOOS KAOSKE IOTE FR O B RJAO NEO KAO S TTAS IO EOLIGT QRIPRITERIOGSFPRNLEROA ( ( PSV
. SISTA STEGET I EX HAR VI TILL NQAT EO QRIPRITERIOGSFPRNEL Q HELA UTTRYCKET (ETTA R ARBETSANT PCH SKA EFTERHAOD G RAS EOKLARE 9ILL ATT B RJA NED SKA VI I ETT EOKELT EXENQEL SE ATT QRIPRITERIOGSFPRNLER VEO KAO TILL NQAS Q /07UTTRYCK @?,9 ATT DESSA ST R IOPN QAREOTES
F
,- ./ + ,- ./ + 0 ./ + 0 ./ + ,- ./
- R HAR ( AOV OTS I F RSTA STEGET PCH ( I O ST SISTA STEGET + RSTA PCH SISTA LEDET TILLSANNAOS IOOEB R ATT VI HAR F TT EO OY QRIPRITERIOGSFPRNEL
8
,- ./ + ,- ./
SPN IOOEB R ATT QRIPRITERIOGSQAREOTESER KAO S TTAS UT I EO DEL AV ETT UTTRYCK (ETTA R BARA ETT EOKELT EXENQEL NEO HELT ALLN OT G LLER ATT S DAOA QAREOTESER KAO S TTAS IO D R NAO BEH VER DEN) (ETTA KPNNER ATT TAS UQQ L OGRE FRAN KPNNUTATIVA ASSPCIATIVA QRIOCIQEO
;I AVSLUTAR DETTA AVSOITT NED ETT EXENQEL D R QRIPRITERIOGSFPRNLEROA TILL NQAS Q DELUTTRYCK IOPN QAREOTES PCH D R DISTRIBUTIVA LAGEO TILL NQAS Q NER KPNQLICERADE UTTRYCK O I AXIPNET % PCH I SATS 8
15 1
,- ./ 0 + ,- ./ 0 + ,- ./ 0 + ,- ./ ,- 0 + . ,- ./ / . ,- 0/ +
F
.
/
+ ,- . / . ,- 0/ + ,-./ ,-0
>= 1IKSPN TIDIGARE HAR VI I SISTA STEGET TILL NQAT EO QRIPRITERIOGSFPRNEL Q HELA UTTRYCKET
+$ $ '
;ISA F LJAODE FPRNLER NED HJ LQ AV GEOPNG OGOA AXIPN DEFIOITIPOER PCH SATSER
C C + C C C + C
A B
C D + CD C
C
:TVECKLA PCH F REOKLA , -
-1<5C 5CC ,1CB 8
, + ,
5E9B , + , + , F
, , + , , + , , + , , + , + , + ,
1 GG N RKE TILL ATT DEOOA F REOKLIOG IOTE HADE KUOOAT G RAS UTAO AXIPN %
F
.
/
C D C D + C D C D +
.
/
. D C C / D +
+ D D C C + . D D / C C + . D D/ C C + + . D/ C + . D/ C + C D + C D
3U B RJAR DET BLI LITE KR OGLIGT 8OART DAGS F R KPNNUTATIVA ASSPCIATIVA QRIOCIQEO) 2EO F RST O GRA VOIOGAR
+$ $ ' + REOKLA F LJAODE UTTRYCK
16
, , , C D D C C D E
16