9789127446847 by Smakprov Media AB

lärande i matematik –Vad, hur, varför?

Lena Karlsson Maria Johansson Hanna Palmér (red)

Kan man stärka elevers möjlighet att lära matematik med entreprenöriell matematikundervisning? Och kan entreprenöriell matematikundervisning stärka elevers möjlighet att utveckla ett förhållningssätt som utvecklar entreprenörskap? För att svara på dessa frågor har en grupp forskare tillsammans med verksamma lärare planerat, genomfört och utvärderat entreprenöriell matematikundervisning i ett projekt som kallas ELMA. En av förmågorna i matematik är att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt att värdera valda strategier och metoder. Eftersom det verkar finnas många paralleller mellan idéerna bakom problemlösning och entreprenöriellt lärande, blev problemlösning en av utgångspunkterna när projektet initierades. Och flera av de aktiviteter som genomfördes var av problemlösande karaktär. Boken beskriver vad entreprenöriellt lärande är, olika perspektiv på entreprenörskap och hur det kan appliceras på matematikundervisningen. Du får också läsa om inspirerande autentiska exempel på entreprenöriell matematikundervisning. Detta för att du ska få motivation till att själv komma igång.

Input-serien inspirerar till nya arbetssätt och metoder i det dagliga skolarbetet. Böckerna är avsedda att fungera som handböcker i den konkreta klassrumssituationen. Fler Input-titlar hittar du på nok.se/input.

Entreprenöriellt lärande i matematik

Entreprenöriellt

ISBN 978-91-27-44684-7

Entreprenöriellt

lärande i matematik –Vad, hur, varför?

90°

= 50

Lena Karlsson Maria Johansson Hanna Palmér (red)

9 789127 446847

27446847_input.E.L.cover.indd Alla sidor

2017-07-06 15:48

Kapitel 1

MATEMATIK OCH PROBLEMLÖSNING Maria Johansson, Hanna Palmér

Vad är matematik? Att beskriva vad matematik är, kan verka svårt men att beskriva hur man ser på matematik är lättare. Matematik har en särställning både i skolan och i samhället. De som är duktiga i matematik anses ofta som smarta. Men vad är det då som gör att matematiken har fått denna särställning? Vad är det som är så speciellt med matematiken? Matematik betraktas ofta som ett prestationsämne (Boaler, 2016), ett ämne där eleverna förväntas prestera på lektionerna. De förväntas komma fram till svar på frågor, som varken läraren eller eleverna egentligen är intresserade av. Om man frågar eleverna vad som är matematik, svarar de ofta att det handlar om att räkna, göra uppställningar eller att lära sig olika regler. Mycket sällan hör man elever svara att det handlar om att utforska och ställa frågor. Om vi å andra sidan ställer samma fråga till matematiker, så får vi andra svar. Enligt en känd matematiker Keith Devlin (1997) så är matematik något estetiskt, kreativt och vackert. Andra matematiker beskriver matematik som utforskande, att se mön ster och tolka dem. Så elevers syn på matematik och matematikers syn på matematik skiljer sig åt. Vad får elevernas syn på matematik för konsekvenser? Enligt Jo Boaler (2016), som är professorn i matematikdidaktik, kommer denna syn på matematik och matematiklärande att skada elevers möjlighet att faktiskt lära sig matematik. Hon utgår från idén om att alla kan lära sig matematik och stödjer sig på Carol Dwecks forskning (2006) om mindset. Dweck visar att alla har en uppfattning om hur mycket man kan lära sig. Om man tror att man kan lära sig hur mycket som helst, så har man ett growth mindset. Men den som tror att

KAPITEL 1

27446847_input.E.L.inlay.indd 12

2017-07-06 16:00

möjligheterna till lärande är begränsade och beror på medfödda förmågor, så har man ett fixed mindset. När det kommer till matematik, så är det många som har ett fixed mindset även om man har ett growth mindset när det gäller andra kunskapsområden. Hur kan vi då betrakta matematiken utifrån ett growth mindset?

Matematik i naturen

Om vi använder naturen som en grund för att förstå matematiken, så kommer det att handla om att beskriva de mönster vi ser. Dessa mönster och fenomen har satts in i ett sammanhang av människor och den matematik som vi använder oss av. Matematikens symboler och verktyg är skapade i kulturella sammanhang och är kulturella fenomen. Grunden blir då att se mönster i världen och förstå hur de hänger ihop. Denna vetenskap handlar om abstrakta mönster och då finns det nästan ingen aspekt av våra liv som inte mer eller mindre påverkas av matematik; för abstrakta mönster är själva essensen av tanke, kommu nikation, räknande, samhället och livet (Devlin 1997, vår översättning).

MATEMATIK OCH PROBLEMLÖSNING

27446847_input.E.L.inlay.indd 13

2017-07-06 16:00

Matematik som kunskapsområde Matematik är ett kunskapsområde som har utvecklats under en lång tid i olika sociala, kulturella och historiska sammanhang och som fortfarande utvecklas. Matematiken kan också ha olika roller i skilda situationer, till exempel i ett verktyg, ett hjälpmedel, ett språk eller som logik.

Är skolmatematiken verkligen matematik?

Det är många som har ställt sig den frågan, till exempel matematikern Reuben Hersh (1998). Han argumenterar för att skolmatematiken handlar om att få svar medan matematik för matematiker är att ställa frågor eller att utforska öppna frågor tillsammans i samarbete med andra. Flera studier har visat (Silver, 1994; Boaler, 2002) att när elever får möjlighet att ställa matematiska frågor eller betrakta en situation matematiskt, så blir eleverna mer engagerade och presterar bättre. Om vi använder oss av Jo Boalers sätt att betrakta detta så skulle hon säga att det är genom misstag som vi lär, och att hjärnan utvecklas mer när vi ställs inför utmaningar som är svåra. Detta blir grunden i våra tankar om problemlösningens plats i matematiklärandet.

Matematikundervisning i Sverige Svenska elever har nog ungefär samma bild av matematik, som eleverna ovan. Kanske skulle också vissa elever nämna att det gäller att räkna fort. Läroboken har varit det dominanta verktyget i klassrummet och mycket av undervisningen har handlat om att räkna uppgifter i boken (Myndigheten för skolutveckling, 2009). Införandet av läroplanen Lgr 11 var ett steg att försöka förändra detta.

KAPITEL 1

27446847_input.E.L.inlay.indd 14

2017-07-06 16:00

Matematisk fakta Om vi tittar på skolmatematik i Sverige så handlar mycket om mate matisk fakta. Detta är en viktig men liten del av matematiken som i svenska klassrum fortfarande är dominant. En stor del av klassrummets undervisning i matematik handlar också om ensamarbete istället för samarbete.

Räkna fort Läroboken Uppgifter Fakta Ensamarbete

Matematiska förmågor I Lgr 11 uttrycks målen med matematikundervisningen som förmågor. Dessa förmågor är generella på så vis att de inte är kopplade till ett specifikt matematiskt innehåll.

Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna samman fattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att • formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värde

ra valda strategier och metoder • använda och analysera matematiska begrepp och samband mel

lan begrepp • välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra

beräkningar och lösa rutinuppgifter • föra och följa matematiska resonemang • använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argu

mentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slut satser Lgr 11 s.48

Undervisningen där eleverna ska ges möjlighet att utveckla dessa förmågor involverar dock bearbetning av specifika matematiska innehåll, i Lgr11 benämnt som centralt innehåll. Till exempel framgår det inte i förmågorna vilket matematiskt innehåll som eleverna ska föra matematiska resonemang utifrån. Det hittar man i det centrala innehållet.

MATEMATIK OCH PROBLEMLÖSNING

27446847_input.E.L.inlay.indd 15

2017-07-06 16:00

Hur ska ett matematikklassrum se ut som utmanar eleverna till att utveckla förmågorna i läroplanen? När inte bara ämnets faktakunskaper är i fokus öppnas möjligheter att förändra klassrummen och undervisningen. Enligt Boesen m.fl. (2014), som undersökt hur denna reform av läroplanen har fått genomslag i Sverige, så vet vi att det är stor skillnad bland lärarna hur mycket man har tagit till sig av denna reform och hur mycket man ändrat sin undervisning och planering. Boesen och hans kollegor menar också att det är svårt att förändra sin undervisning eftersom den egna tron på vad matematik är, står i vägen för förändring. Vidare visar de hur denna reform är ett sätt att berika och utveckla synen på vad det innebär att kunna matematik. Traditionellt har läroplaner beskrivit fakta som elever ska kunna. Men nu beskrivs även vad det innebär att kunna göra matematik. Faktakunskaper och praktiken har alltså närmat sig varandra.

Problemlösning i matematik En av förmågorna är att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt att värdera valda strategier och metoder. Problemlösning var en av utgångspunkterna när vi initierade ELMA eftersom det verkade finnas många paralleller mellan idéerna bakom problemlösning och entreprenöriellt lärande. Problemlösning blev därför en utgångspunkt i planeringen av projektet och flera av de aktiviteter som genomförts har varit av problemlösande karaktär.

Vad är problemlösning? Problemlösning innebär att de tidigare kunskaper eleven har inte är direkt applicerbara i den nya situationen. Eleven måste därför transformera situationen eller hitta nya vägar och perspektiv så att den tidigare kunskapen kan användas för att lösa problemet. Ett matematiskt problem är alltså en matematikuppgift där metoden för lösning inte på förhand är känd för den eller de som arbetar med uppgiften. I arbetet med matematiska problem måste eleverna istället undersöka och pröva sig fram för att finna en lösning. Vad som är ett matematiskt problem avgörs därför av relationen mellan eleven och problemsituationen (Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz, 2000).

KAPITEL 1

27446847_input.E.L.inlay.indd 16

2017-07-06 16:00

Precis som i Sverige är problemlösning i matematik inskrivet i andra länders läroplaner, men då som ett separat mål utan att var kopplad till ett specifikt matematiskt innehåll (Lesh & Zawojewski, 2007). Detta har fått till följd att problemlösningslektionerna ofta är en egen del och man undervisar i problemlösning separerat från de andra matematiklektionerna (English & Sriraman, 2010). I Lgr11 är problemlösning skrivet både som mål och medel. Därför är en sådan uppdelning i undervisning egentligen inte möjlig.

Matematikundervisning genom problemlösning Intresset för problemlösning i matematik är stort, både hos lärare och forskare, men det finns fortfarande ingen gemensam åsikt om hur matematikundervisning genom problemlösning ska se ut (Cai, 2010). Å andra sidan verkar det ändå finnas vissa specifika drag eller funktioner som måste finnas med.

Enligt Cai (2010) ser en problemlösningssituation eller lektion ut så här: 1. Det börjar med ett problem. Vanligtvis är problemet öppet vilket innebär att det inte har en specifik lösning eller ett specifikt svar. 2. Problemet utforskas av eleverna. Under utforskningsfasen lär sig eleverna viktiga matematiska idéer och begrepp under ledning av läraren. 3. Eleverna tar fram en strategi för lösning eller en idé till strategi. Sedan delar de med sig av sin strategi till sina kompisar. Det är under dessa samtal som strategierna och idéerna tydliggörs. 4. Som avslutning sammanfattar läraren strategierna och förklarar begreppen.

För många känns det sättet att beskriva problemlösning naturligt, men det finns de som ser problemlösning som ett lästal. Men, syftet med ett lästal är oftast att eleverna ska använda tidigare kunskaper i en situation där dessa är direkt överförbara. Till exempel är det vanligt att

MATEMATIK OCH PROBLEMLÖSNING

27446847_input.E.L.inlay.indd 17

2017-07-06 16:00

elever först får färdighetsträna en viss procedur för att sedan använda denna procedur på ett lästal där procedurens användbarhet sätts in i ett sammanhang.

Exempel Först får eleverna addera tvåsiffriga tal, därefter får de en uppgift som liknar denna: På en parkering står det 64 bilar, sedan kommer det 13 bilar till. Hur många bilar står det nu på parkeringen?

Problemlösning innebär dock det motsatta där de kunskaper eleven har, inte är direkt överförbara i den nya situationen. Istället måste eleven omvandla de tidigare kunskaperna för att hitta nya vägar och perspektiv så att den tidigare kunskapen kan användas för att lösa problemet. En annan skillnad är att problemlösningsuppgifter kan lösas med hjälp av olika strategier, medan lästal vanligen efterfrågar en specifik lösningsstrategi. Ytterligare en skillnad, som inte har med uppgiften att göra utan med sammanhanget där dessa uppgifter inkluderas, är att problemlösning ofta genomförs av elever i par eller grupp, medan lästal ofta är något som elever arbetar med enskilt. En sak som är speciell med lästal och som gör att dessa inte passar så bra till problemlösning är att de ofta är orealistiska. Detta beror på att de används för att visa på en specifik strategi, ett begrepp eller en metod. Då lämnas inget utrymme till den utforskande delen, som är grunden i problemlösning.

Olika syften med problemlösning En anledning till att forskare inte har enats om hur matematikundervisning genom problemlösning ska se ut beror på att problemlösning kan ha olika syften. Beroende på vilket av dessa som sätts i förgrunden poängteras olika delar av den problemlösande processen i klassrumssituationen. Nunokawa (2005) visar på fyra olika syften som

KAPITEL 1

27446847_input.E.L.inlay.indd 18

2017-07-06 16:00

problemlösning kan ha i matematikundervisning. Dessa utesluter inte varandra, men i olika situationer kan vi betona olika syften vilket medför att vi förväntar oss olika saker av elevernas lärande.

1. Problemlösning som mål Ett syfte med problemlösning i klassrummet kan vara att lära eleverna hur de kan gå tillväga när de möter problemuppgifter och att de lär sig hur och när de på nya sätt kan använda matematikkunskaper de redan har. Då blir strategier för problemlösning ett mål i sig, precis som i exemplet Fermiproblem (s. 43).

2. Problemlösning som verktyg Ett annat syfte med att undervisa problemlösning är att elevernas kunskap om den situation de utforskar ska fördjupas. Detta kallas för matematisk modellering, där problemlösning blir ett medel för att utveckla kunskap om en situation. Matematik blir här ett verktyg för eleverna. Syftet med problemlösningen är dock att eleverna utvecklar kunskap om situationen de utforskar. Här är det viktigt att välja situationer som eleven vill få mer kunskaper om. Uppgifter där eleverna upplever motsägelser, osäkerhet och överraskning styrker denna kunskapsutveckling. Skolgårdsprojektet längre fram i boken är exempel på problemlösning som verktyg (s. 100).

3. Problemlösning som medel Syftet med problemlösning kan också vara att eleverna lär sig nya matematiska metoder eller idéer genom problemlösningen. Då blir problemlösning ett medel för att uppnå annan matematisk kunskap där eleverna behöver utveckla kunskaper och nya metoder för att kunna lösa problemuppgifterna. Syftet med problemlösningen blir att eleverna utvecklar kunskaper om det matematiska innehållet och hur detta innehåll är relaterat till kunskaper de redan har. Problemuppgifterna behöver väljas så att eleverna förstår vitsen med den nya kunskapen. Varför behöver de kunna detta och i vilka situationer kan den nya kunskapen vara användbar? Elevernas väg till skolan (s. 114) och Mattehuset (s. 76) är exempel på problemlösning som medel men också problemlösning som verktyg.

MATEMATIK OCH PROBLEMLÖSNING

27446847_input.E.L.inlay.indd 19

2017-07-06 16:00

Elevernas utvärdering Eleverna upplevde arbetet med Fermiproblem på olika sätt vilket kommit fram genom kontinuerliga utvärderingar. Vissa elever var frustrerade i början eftersom de inte tyckte att uppgifterna var ”riktig matte”. En del elever irriterade sig på uppgifterna eftersom de inte hade ett givet svar. Andra elever tyckte det var jobbigt att det tog lång tid att komma fram till en lösning eftersom den behövdes göras i flera steg. Vi fick prata mycket om vad matematik är, när vi använder matematik och hur vi använder matematik i vardagslivet. Diskussionerna rörde sig om frågor som; ”Hur vet Ikea hur många Billy bokhylla de ska tillverka nästa år? Hur vet Volvo hur många blå XC90 de ska bygga nästa år? Hur kommer en matematiker fram till en ny formel?”. Överlag var eleverna både engagerande, intresserade och positiva.

Lärarnas utvärdering Vi lärare var överraskade av all matematik som diskuterades. Några elever, som har goda kunskaper i matematik tog ett steg tillbaka medan andra elever tog ett steg framåt och argumenterade för kreativa lösningar. När eleverna släppte fixering vid att det inte finns ett korrekt svar så lossnade tänkandet. Eleverna var kreativa och hittade olika strategier. När de hade fått fram ett svar följde diskussioner om svaret var rimligt. Även om osäkerhetstolerans var utgångspunkten för projektet, tränade eleverna alla MOSAIK-förmågorna. Med hjälp av Fermiproblem tränas mod, osäkerhetstolerans och kreativitet i hög grad. Vi lärare behövde också träna på vår osäkerhetstolerans. Ibland var det svårt att låta bli att lotsa eleverna för mycket. Det behövdes sammanhängande tid för att det skulle bli ett givande arbete. Eleverna behövde få arbeta utan att avbrytas i sina tankebanor. I projektet kom arbetssättet EPA till stor användning. Vi tyckte också att det var bra att ha samma uppgifter från årskurs FK- 6. ELMA har gett oss möjligheter till kollegialt lärande över årskurs-gränserna. Projektet har bidragit till en röd tråd och en progression i lärandet, både elevernas och lärarnas.

KAPITEL 4

27446847_input.E.L.inlay.indd 58

2017-07-06 16:00

Exempel: Elever gör egna matematiska problem I exemplet beskrivs hur 18 elever i årskurs 3, tillsammans med sin klass lärare, gjorde egna, avancerade matematikproblem som klasskamrater na fick lösa.

Skola: Moröskolan, Skellefteå Årskurs: 3

Vi hade tidigare arbetat med problemlösning en gång i veckan eftersom det har en tydlig koppling till det centrala innehållet och förmågorna. När vi fick möjlighet att delta i ELMA-projektet såg vi vår chans att också väva in det entreprenöriella i den pågående problemlösningsaktiviteten. Problemen som vi arbetade med tog vi ur matematiklyftets modul för problemlösning. MOSAIK-orden introducerades för eleverna genom att vi pratade om ett MOSAIK-ord vid varje problemlösningslektion. Vi diskuterade ordens betydelse och vad det kunde innebära att till exempel vara modig när man jobbar med problemlösning. Vi skrev en gemensam definition av ordet och ett problem, där vi tränade på just det ordet. Vi pratade också om vad ett problem egentligen är. Eleverna förstod att ett matematiskt problem är något som man inte kan se svaret på direkt, man måste fundera och räkna för att komma fram till rätt svar. Lektionerna om MOSAIK-orden fortsatte och eleverna jobbade bra. När vi utvärderade lektionerna, så upplevde eleverna att de hade tränat på MOSAIK-orden och problemlösning. Som lärare höll jag med, men jag såg inte den kreativiteten och det engagemang som jag önskade. De problem vi använde hade ofta som extrauppgift att göra ett liknande problem, men det var sällan någon elev blev inspirerad till några storverk. Det kändes som att vi hade fastnat och att det vi gjorde inte gav eleverna möjlighet att utnyttja sin fulla potential.

Antal elever: 18 Lärare: Margareta Löfstedt

HUR Entreprenöriella utgångspunkter Den tidigare undervisningen hade ingen annan mottagare än läraren. Nu bestämde vi att de egna problemen skulle redovisas för klasskamraterna. En tydlig mottagare för arbetet hade skapats. Vi såg också

PRAKTISKA EXEMPEL

27446847_input.E.L.inlay.indd 59

2017-07-06 16:00

framför oss att eleverna skulle bli mer engagerade när de gjorde egna problem och fick använda sin egen livsvärld som utgångspunkt. För att komma åt den entreprenöriella delen av planeringsdokumentet insåg vi att det var viktigt att vi som lärare släppte kontrollen, att vi vågade lita på våra elever. Annars skulle vi sätta käppar i hjulet för deras möjlighet att utveckla sina entreprenöriella förmågor.

Matematiska utgångspunkter När det gäller det matematiska innehållet, bredden och djupet, be stämde vi oss för att eleverna individuellt skulle få välja både matematiskt innehåll och djupet av detta. Utmaningar för dem som ville och trygghet för dem som behövde. Eleverna fick också välja problemlösningsstrategi helt fritt.

VAD

MOSAIK-förmåga

Beskrivning

Mod

Att våga redovisa framför sina klasskompisar.

Osäkerhetstolerans

Att klara av att lösa öppna uppgifter. Ramarna var givna, men mycket var upp till eleverna själva.

Samarbete

Att samarbetet skulle bli viktigare och tydligare när eleverna hamnade i en mer osäker kontext, än de ”toppstyrda” lektionerna som vi hittills ägnat oss åt.

Ansvar

Att ansvara för att lösa uppgifterna inom en viss tidsperiod.

Initiativförmåga

Att komma igång med uppgiften.

Kreativitet

Att formulera uppgiften.

KAPITEL 4

27446847_input.E.L.inlay.indd 60

2017-07-06 16:00

VARFÖR Eleverna arbetade mot flera av läroplanens mål under projektet. Det ger svar på frågan om varför vi skulle arbeta med det vi gjorde.

Läroplansmål Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna samman fattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att: • Formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värde

ra valda strategier och metoder. • Föra och följa matematiska resonemang och använda matemati

kens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redo göra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. • Eleven ska få möjlighet att ta initiativ och ansvar. • Eleven kan lösa problem och omsätta idéer i handling på ett kre

ativt sätt … samt utveckla sin förmåga att arbeta såväl självstän digt som tillsammans med andra. Lgr 11

Vi arbetade med: • Strategier för matematisk problemlösning i enkla situationer. • Matematisk formulering av frågeställningar utifrån enkla vardagli-

ga situationer.

Så här gjorde vi Uppgiften bestod av att välja ett matematiskt innehåll, en problemlösningsstrategi och ett MOSAIK-ord. Av detta skulle eleverna skapa ett problem som de skulle redovisa för sina klasskamrater. Vid redovisningen skulle klasskamraterna lösa problemet och skaparna av problemet skulle agera lärare, det vill säga stötta sina klasskamrater i jakten på den rätta lösningen.

PRAKTISKA EXEMPEL

27446847_input.E.L.inlay.indd 61

2017-07-06 16:00

Så här arbetade vi: • Pararbete där eleverna gjorde egna matematiskt problem. • Redovisning för hela klassen. • Eleverna löste kompisarnas problem.

Eleverna bedömdes efter dessa kriterier: • Att kunna lösa enkla problem i elevnära situationer genom att välja

och använda någon strategi med viss anpassning till problemets karaktär. • Att kunna beskriva tillvägagångssätt och ge enkla omdömen om resultatens rimlighet.

Steg 1: Göra egna problem När jag hade introducerat uppgiften fick eleverna hjälpa till att hitta ord till de tre kolumnerna nedan.

Matematik

Strategier

MOSAIK-ord

Division

Rita en bild

Mod

Addition

Gör en tabell

Osäkerhet

Multiplikation

Laborativt material

Samarbete

Subtraktion

Hitta mönster

Ansvar

Geometri

Göra det på riktigt

Initiativ

Statistik

Kreativitet

Omkrets Mäta, väga Sannolikhet Klockan Bråk Procent

KAPITEL 4

27446847_input.E.L.inlay.indd 62

2017-07-06 16:00

Arbetsgång

1. Välj matematik, problemlösningsstrategi och MOSAIK-ord. 2. Gör ett eget problem (lämpligt för en elev i åk 3) i problemlösningsboken. Titta på de problem vi har löst tidigare. Kom ihåg lösning och svar. 3. Visa en lärare. 4. Renskriv ditt problem på datorn eller för hand. 5. Träna på att redovisa. När eleverna fick uppgiften blev det fart i klassrummet! Det nästan sprakade av entusiasm och kreativitet! Alla par arbetade på högtryck. Samarbetet fungerade bra och eleverna tog uppgiften på stort allvar. Det blev avancerade uppgifter, som krävde mycket tänkande och räknande. Många av grupperna hann också med att göra en Power Point-presentation av sitt problem. Som lärare kunde jag verkligen se att vår planering fungerade. Vi släppte på kontrollen och det gjorde att det tog fart. Tydligt var att både den matematiska delen och den entreprenöriella delen av planeringsmatrisen höjde sig flera nivåer. Här kommer några exempel på elevernas egna matematiska problemformuleringar.

Problemuppgift 1: Klubborna På måndagen såldes 35 klubbor och nu finns det bara 25 klubbor kvar. På tisdagen fyllde de på med 200 klubbor, men sålde bara 16 klubbor. På onsdagen fyllde de inte på med några klubbor. På torsdagsmorgon fanns det 168 klubbor. a) Hur många klubbor fanns på måndagsmorgon? b) Hur många klubbor fanns när de hade fyllt på med 200 klubbor? c) Hur många klubbor såldes under onsdagen?

PRAKTISKA EXEMPEL

27446847_input.E.L.inlay.indd 63

2017-07-06 16:00

Denna grupp hade valt addition och subtraktion som matematikord, gör en tabell som strategiord och samarbete som MOSAIK-ord. Tabel len som skulle användas för att lösa problemet såg ut så här: Frågor

Måndag

Tisdag

Onsdag

Fanns på morgonen

Såldes

Finns på kvällen

Problemuppgift 2: Simson Här ser du ett ”Simson-hjul”. Olika färger betyder Homer, Maggie, Bart, Lisa och Marge.

Homer Maggie Bart Lisa Marge

Hur stor är sannolikheten att den stannar på Homer av 100 %?

KAPITEL 4

27446847_input.E.L.inlay.indd 64

2017-07-06 16:00

Denna grupp hade valt procent och sannolikhet som matematikord, rita en bil som strategiord och samarbete som MOSAIK-ord. Exemplen visar att eleverna har gjort verkliga problem. Flera av eleverna sökte också matematiska utmaningar och valde en matematik som vi inte arbetat med i skolan, men som de kan. Eftersom klassen var mottagare av problemen så gjorde eleverna verkligen sitt bästa i arbetet. Det var också tydligt att de hämtade inspiration från sin egen livsvärld.

Steg 2: Redovisning Efter några timmars arbete med de egna problemen och bildspelen var det dags för redovisning. Instruktionerna inför denna såg ut så här: 1. Träna på att redovisa. Tänk på MOSAIK-orden! 2. Inled redovisningen med att berätta vilka ord ni valt. 3. Presentera problemet. OBS! Avslöja inte svaret! 4. Svara på eventuella frågor. 5. Ge dina kompisar tid att lösa problemet. 6. Gå runt och se hur det går. 7. Låt dina kompisar berätta hur de löst problemet. 8. Presentera svaret. 9. Hade man kunnat lösa problemet med en annan strategi? Hur hade det sett ut med en annan matematik? Redovisningstillfällena blev fantastiska lektioner. Visst var eleverna nervösa, men också stolta och de hade höga förväntningar. De redovisande eleverna var verkligen nöjda med sina problem och Powerpoint-presentationer. De tyckte det var roligt att agera lärare inför sina klasskamrater. Det tog tid att redovisa alla problem och vi var lite oroliga för om orken verkligen skulle räcka för de elever som lyssnade på alla kompisars problem. Men den oron var obefogad. De elever som lyssnade gjorde det med stor uppmärksamhet, och som de räknade!

PRAKTISKA EXEMPEL

27446847_input.E.L.inlay.indd 65

2017-07-06 16:00

Vid redovisningarna kunde vi konstatera att det fanns fler strategier för att lösa problemen än just den strategi som problemkonstruktörerna tänkt sig. Detta gav i sin tur upphov till många intressanta matematiska diskussioner.

Elevernas utvärdering När eleverna hade gjort egna problem, intervjuades de en och en. Och det märktes tydligt att eleverna tyckte att problemlösningslektionerna hade blivit mycket roligare när de fick göra egna problem och lösa sina kompisars problem.

”Roligt att lösa kompisarnas problem.”

”Det har varit bäst och roligast att göra egna problem för då fick man liksom bestämma själv och göra en Power-Point.”

Tydligt var också när eleverna fick frågan om vilka problem som var roligast att lösa, de egna eller de som lärarna tagit fram.

”Det är inte lika kul för då får man ju inte bestämma vad det ska handla om.”

”Att lösa kompisarnas proble”Det är inte lika kul för då får man ju inte bestämma vad det ska handla om.”mycket roligare” ...”Det handlar ju om sådant som man gillar, som den där om Simpsons. Jag tror inte fröken hade gjort en sån direkt.”

KAPITEL 4

27446847_input.E.L.inlay.indd 66

2017-07-06 16:00

På frågan om när de lärde sig mest, rådde det heller ingen tvekan.

”Kompisarnas problem. För de är utmanande och då lär man sig mer.”

”När de andra löser problemet får man ju se hur de kan tänka. Men man har ju räknat på ett sätt och kommit på svaret, men då kan de andra haft ett annat sätt att komma på det.”

Lärarnas utvärdering Det råder det ingen tvekan om att eleverna fick möjlighet att träna problemlösning. Bästa beviset för detta är väl att alla nådde kravnivån på den del av nationella proven som handlade om problemlösning. Resonemang och kommunikation blev en naturlig del när grupperna redovisade inför klassen. Och så mycket olika matematik det blev i alla uppgifter! Eleverna fick också möjlighet att träna på de entreprenöriella förmågorna: mod, osäkerhetstolerans, samarbete, ansvar, initiativförmåga och kreativitet. Det gjorde de genom att göra egna problem som redovisades inför klassen. Och när det finns en mottagare för elever, så blir resultatet så mycket bättre. Den egna livsvärlden visade sig också vara otroligt viktig. Engagemanget ökade markant både för de som gjorde uppgifterna och för de som skulle lösa dem. Visst fanns det saker som man hade kunnat göra annorlunda. Inte minst att hitta fler mottagare. Vi hade planer på att redovisa våra problem för andra klasser på skolan, men det kom annat emellan. Att bjuda in föräldrar och redovisa för dem hade också varit spännande, men tiden räckte inte till. Och tänk så viktigt det var att vi vågade släppa på kontrollen. Om igen konstaterade vi att just detta var så betydelsefullt för att eleverna verkligen skulle få möjlighet att träna på de entreprenöriella förmågorna.

PRAKTISKA EXEMPEL

27446847_input.E.L.inlay.indd 67

2017-07-06 16:00

lärande i matematik –Vad, hur, varför?

Lena Karlsson Maria Johansson Hanna Palmér (red)

Entreprenöriellt lärande i matematik

Entreprenöriellt

ISBN 978-91-27-44684-7

Entreprenöriellt

lärande i matematik –Vad, hur, varför?

90°

= 50

Lena Karlsson Maria Johansson Hanna Palmér (red)

9 789127 446847

27446847_input.E.L.cover.indd Alla sidor

2017-07-06 15:48