9789152309247 by Smakprov Media AB

matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Daniel Duf책ker Mikael Marklund

Smak prov ! BONNIERS

Matematik Origo

– ett komplett läromedel Nya Matematik Origo är mer än bara en lärobok. Nya Matematik Origo är också allt det extramaterial och de hjälpmedel som förenklar ditt och elevens arbete och gör det lustfyllt och varierat. Till Matematik Origo läroböcker hör en Lärarguide med tips till din undervisning och kommentarer till läroboken. Dit hör också material för den interaktiva whiteboarden (IWB) och extramaterial tillgängligt online. Vill du hellre arbeta med nya Matematik Origo direkt i datorn, kan du välja den som interaktiv elevbok.

Interaktiv elevbok Den interaktiva elevboken ger eleven möjlighet att arbeta med Matematik Origo i datorn. Här kan eleverna läsa teori och arbeta direkt i datorn. Den interaktiva elevboken kan också användas som plattform för kommunikation mellan lärare och elev. Utkommer ht 2011.

IWB Till Matematik Origo finns ett skräddarsytt material för IWB (interaktiv whiteboard), som hjälper dig att enkelt och snabbt rita grafer, presentera statistik och rita geometriska figurer. Här kommer du också att hitta material till dina genomgångar och mängder med exempel som du kan lösa tillsammans med eleverna. Finns tillgängligt ht 2011.

Aktivitet sveriges användning av olja Oljekonsumtionen i Sverige 1946–2001 miljoner m3 35 30 25

Extrauppgifter

B C x

Lösning:

Här ska man beräkna det hela när man känner till delen och andelen. Det ursprungliga priset kan beräknas på två sätt: 1. 15 % av priset är 57 kr.

För att besvara frågan måste vi ta reda på andelen vegetarianer på respektive skola. Andelen vegetarianer ges av kvoten av antalet vegetarianer och det totala antalet elever. Skola A har totalt 346 elever, medan skola B har 598 elever. 27 Andelen vegetarianer på skola A = ____ ≈ 0,078 = 7,8 % 346 45 Andelen vegetarianer på skola B = ____ ≈ 0,075 = 7,5 % 598

2. Kalla priset för x kr.

57 1 % av priset är ___ kr = 3,80 kr 15 100 % av priset är 100 ∙ 3,80 kr = 380 kr Svar: Priset var 380 kr.

0,15 ∙ x = 57 Delen = Andelen · Det hela

57 x = ____ 0,15 x = 380 Hela priset

Delen och det hela

7 Exempel:

Lösning:

NIVÅ 1 Delen = Andelen · Det hela

a) 14 % av 50

Här ska man beräkna delen, när man känner andelen och det hela. Delen kan beräknas på två sätt: 569 1. 1 % av 569 kr = ____ kr = 5,69 kr 2. 0,23 ∙ 569 kr = 130,87 kr ≈ 131 kr 100 Skriv 23 % i decimalform Delen = Andelen · Det hela

23 % av 569 kr = 23 ∙ 5,69 kr = = 130,87 kr ≈ 131 kr

7 Exempel:

Lösning:

Vid en realisation sänktes priset på en cykel till 3 350 kr. Cykeln hade tidigare kostat 3 600 kr. Med hur många procent sänktes priset? Här ska man beräkna andelen, när man känner delen och det hela. Prissänkningen = 3 600 kr – 3 350 kr = 250 kr Priset före sänkningen = 3 600 kr

c) 150 % av 86

4113 a) Hur många procent är 3 av 4? b) Hur många procent är 14 av 50? c) Hur många procent är 11 av 12? Avrunda till hela procent.

4114 a) 8 % av ett tal är 24. Vilket är talet?

Svar: 23 % av 569 kr är 131 kr.

4112 Beräkna b) 8,5 % av 300

Hur mycket är 23 % av 569 kr?

250 Sänkningen i procent = _____ ≈ 0,07 = 7 % 3 600 Det hela

b) 14 % av ett tal är 50. Vilket är talet? Avrunda till heltal. c) 0,5 % av ett tal är 0,28. Vilket är talet?

b) Elin betalar 9 750 kr för flygbiljetter Stockholm–New York. Hur många kan det vara som reser?

4116 I ett land med 10,5 miljoner invånare ökade folkmängden med 126 000 invånare under första halvåret. Hur stor var ökningen uttryckt i procent?

lad

med det hela. Uttrycks ofta i procent men kan även anges i bråkform eller decimalform.

Män

Här måste eleverna först inse att det nya priset är 85 % av det gamla.

Låt eleverna föreslå olika sätt att lösa problemet.

Totalt

157

192

Gör en jämförelse mellan de olika partierna vad gäller fördelningen av kvinnor och män. Vilket parti har störst andel kvinnor? Hur är fördelningen totalt i riksdagen?

120

lärarguide matematik origo 1b • procent

b-uppgifter 8x ___ 3 12 = 3

fritaren. med hjälp av gra 2 b) 10x – x – 9 = 0

rita grafen till x __ b) y = – 2

6 Gör en tabell och a) y = 4x – 5

1995

2000

• Med hur många procent har användningen av bensin ökat mellan åren 1980 och 2005? • Du kan anta att all olja som vi använder i Sverige importeras. Hur kan du då utifrån data i uppgiften uppskatta hur stor del av världens oljekomsumtion som vi i Sverige använder? • Uppskatta ett genomsnittspris på råolja i USD/fat år 2005 och beräkna utifrån det vad Sveriges import av råolja kostade. År 2005 var 1 USD = 7,16 kr. • Uppskatta hur Sveriges utgifter för oljeimport har förändrats mellan åren 1997 och 2005. Du behöver inte ta hänsyn till valutaförändringarna.

Råoljeprisutveckling 1997–2005 USD/fat 40 35 USD/fat 30 40 25 35 20 30 15 25 10 20 5 15 0 10 5 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 0 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

15 20

y Eldningsolja x 1 Diesel Eldningsolja 1 Bensin Diesel 5 1945 1950 1955 1960 1965 1970 Bensin 1975 1980 1985 1990 1995 2000 0 1945 1950 1955 1960 1965 er 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

5 10 0

har und t i ett fjällområde iell tillväxt. 7 Antalet lämlar y s ckor en exponent entialnågra sommarve rna C och a i expon visar Bestäm konstante t så att funktionen funktionen y = C ∙ a t fanns 540 r t veckor, om de antalet lämlar efte lar vid t = 6. 1310 läm lämlar vid t = 0 och

Procenttävling

3) = –7

+ (2x –

= 5 – (8x

– 1) 9 4(3x

Lärarguide

2) 10 (x –

+ 4)

121

ing och

arna författ

Extramaterial o. bonnier

Lärarguiden förenklar din vardag. Här hittar du bland annat kommentarer till läroboken, förslag på arbetsuppgifter och tips till din undervisning. Lärarguiden innehåller också fullständiga lösningar till alla uppgifter i läroboken. Utkommer ht 2011. Se nästa uppslag här i smakprovet.

författarna

– 4) 8 (5x

Lösning

utbildning och

10 = 12 14x +____ ____

– 8) 7 3(6x

Priset på en jacka sänks med 15 %. Det nya priset är 2 700 kr. Vad kostade jackan före prissänkningen?

lärarguide matematik origo 1b • procent

1990

74 funktioner

2 – 10 = 0 5 0,1x

Exempel

Förutom de två metoderna på s. 117 kanske 2 700 någon även direkt ställer upp uttrycket _____ 0,85 Diskutera skillnaden/likheterna mellan de olika metoderna.

5 Lös ekvationerna 2 a) x + 4 = 4x

2 324 4 x =

Aktiviteter

Kvinnor

Sveriges riksdag består av 349 ledamöter. Tabellen visar hur många kvinnor och män som valdes in i riksdagen vid valet 2010. S

0 s? hade båten efter 3 a) Vilken hastighet t under den s högsta hastighe b) Vilken var båten visas av grafen? del av loppet som

Procenträkning

procent • 4.1 procent och procentberäkningar 121

Tid

10 10

5x = 2 9–

c) 4x – 8 = x

Övningsblad

Det hela

Parti

= 28

b) När Markus gör beräkningen får han svaret 32 %. Vad kan Markus ha gjort för fel?

Delen Andelen = ________ Det hela

120 procent • 4.1 procent och procentberäkningar

tionerna

Lös ekva

14 1 6x –

I uppgift 4115 b) vill vi göra eleverna uppmärksamma på att det inte alltid bara finns ett svar. Uppgift 4117 tvingar eleverna att läsa uppgiften noga, reagera på svaret och inte bara dividera rutinmässigt.

ner 1 ekvatio

a) Med hur många procent sänktes priset?

Hastighet

knop 50

4117 Ett par löparskor som tidigare hade kostat 790 kr såldes för 250 kr under helgen.

Svar: Cykelns pris sänktes med 7 %.

Exempel

torbåt un igheten för en mo 4 Grafen visar hast tävling. inledningen av en

Övningsb

allt, 100 %, det man jämför med osv. Andelen anger hur stor delen är i jämförelse

4115 En flygbiljett mellan Stockholm och New ö York kostar 3 900 kronor. Barn under 3 år åker för 50 % av priset. a) Hur mycket kostar resan sammanlagt för Lasse och hans tvååriga dotter Emma?

1985

ll Mora. il från Karlstad ti 5 Håkan ska köra b vänt proportionell mot Restiden t h är om ionalitetskon v km/h. Proport medelhastigheten 235. stanten har värdet r restiden miljoner m3 era en formel som beräkna 86 statistik © origo. bonnier utbildning och författarna a) Konstru eten. 35 e på medelhastigh beroend miljoner m3 konstanten för? onalitets 30 35 b) Vad står proporti el 25 30 tion. Ange en formTjockolja njär funk Flygbränsle isar en li 6 Grafen v tion. 20 25 river samma funk som besk Tjockolja Flygbränsle

der

Andelen, delen och det hela Det hela är den totala mängden, hela beloppet,

Vid all procenträkning använder man begreppen andelen, delen och det hela. Sambandet mellan dessa skrivs Delen Andelen = _________ eller Det hela

1980

b-uppgifter

Viktiga begrepp

Eftersom 7,8 % > 7,5 % så är det vanligare med vegetarianer på skola A.

1975

x –x 1 y = 2 m 3 1 miljoner Råoljeimport 2003–2005 1 8 –x 3 2 y = 3 7 miljoner m År 2003 8 –x – 4 3 6 y = 3 7 x År 2003 År 2004 4 5 y = 4 6 n. m längre än höjde År 2005 4 År 2004 asen 19 c ngel är b 5 en är 122 cm. 3 I en rekta s area, om omkrets 3 Bestäm r År 2005 4 ektangeln en 2 ne två olika märk 3 en hittar Madelei kr för 1 4 I frysdisk ings kostar 13,60 2 ta ärter. Greenth kg. med frys 0 r 26,40 kr för 1,5 1 k h Fryspunkt kosta n a a 800 g oc is? ge en nd el ar rig Ira st kilopr or ni la zu Na har läg Öv nm ss ita ne Vilket av Da 0 Ry märken Ve orbr a ge St Iran ela ark rig nien land zu Nor Öv nm ss ita ne Da Ry Ve orbr St

Andelen

1970

*1 fat = 159 liter

av 3 Vilken eller vilka graferna visar en funktion y = f(x)?

1965

rna. visar bland annat da finns en linjära f mängdunktione statistik som ch m i de 1 Ange k oanvändning, priserb) ochy = 7,2x import av olja. En del av den + 10 visas här. a) y = 5x statistiken 1 7x __ ___ d) y = – 4 + 4 diagrammet och 2beskriv • Studera hur oljekonsumc) y = –x tionen i Sverige har ändrats från år 1970. yD ABC raf hör • Hur har råoljeimporten från Ryssland förändrats 2 Vilken g d vilken ihop mefrån år 2003 till år 2005? funktion?

r har punkterna? 1 Vilka koordinate

Lars köper en mp3-spelare på rea. Priset är sänkt med 15 % och han tjänar 57 kr på att köpa den på rea. Vad var det ursprungliga priset?

1960

energikällor. På Svenska Petroleuminstitutets hemsia-uppgifter

a-uppgifter

2 – 3x + 1. Beräkna 2 Låt f(x) = 7x c) f(–1) b) f(2) a) f(0)

7 Exempel:

1955

I Sverige ionervi minska vårt oljeberoende funktförsöker Speciellagenom att använda mer energi från förnyelsebara

ioner

Allmänt om funkt

1950

Efterfrågan på energi i världen ökar hela tiden och olja utgör fortfarande en viktig energikälla. Enligt statistik från år 2005 är världens konsumtion av olja ungefär 82 miljoner fat* per dag (mbpd).

Diesel Bensin 1945

Andelen, delen och det hela

Eldningsolja

5 0

Flygbränsle

15 10

Eleverna kan förväntas klara av enkla procentberäkningar, men det kan ändå vara på sin plats att med ett exempel visa hur andelen kan användas för att kunna göra jämförelser. Man kan då komma in på sambandet mellan andelen, delen och det hela. Att förstå sambanden mellan dessa begrepp är av stor betydelse vid procentberäkningar. I avsnittet visas tre typexempel där detta samband blir tydligt. Det tredje exemplet på sidan 117, där man söker ursprungspriset, det hela, är den typ av uppgift som eleverna brukar ha svårast med. Det kan därför vara lämpligt att ta upp ett liknande exempel för att öka elevernas förståelse och även ge dem möjlighet att kommunicera matematiska tankegångar.

Tjockolja

utbildn

34 algeb

Extramaterial till lärare och elever kommer att finnas tillgängligt online. Där kommer du att finna mer träning och mer utmanande uppgifter till dina elever. Där kommer du också att hitta prov till varje kapitel och till varje kurs. Utkommer ht 2011.

Innehåll Tabeller och diagram

Avläsa tabeller och diagram . . . . . . . . . . . . . . . . 8 ¤ -uppgift, Historia, Tankekarta, Blandade uppgifter, Problem och undersökningar, Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Tal

Statistik

148

Tolka statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Granska statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 ¤ -uppgift, Historia, Tankekarta, Blandade uppgifter, Problem och undersökningar, Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Tal på olika former . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Sannolikhetslära

210

Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Slumpförsök

212

Decimalsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ¤ -uppgift, Historia, Tankekarta, Blandade uppgifter, Problem och undersökningar, Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Slumpförsök i flera steg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 ¤ -uppgift, Historia, Tankekarta, Blandade uppgifter, Problem och undersökningar, Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

Ekvationer och formler

Funktioner

............................

234

Algebraiska uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Ekvationer, tabeller och grafer . . . . . . . . . . . . 238

Ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Räta linjens ekvation

Formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 ¤ -uppgift, Historia, Tankekarta, Blandade uppgifter, Problem och undersökningar, Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Vad är en funktion? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 ¤ -uppgift, Historia, Tankekarta, Blandade uppgifter, Problem och undersökningar, Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

Procent

116

Geometri

118

Symmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

Procentuella förändringar . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Matematisk argumentation och bevis . . . . . 299 ¤ -uppgift, Historia, Tankekarta, Blandade uppgifter, Problem och undersökningar, Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

Procent och procentberäkningar

..........

Procentberäkningar i samhället . . . . . . . . . . . 132 ¤ -uppgift, Historia, Tankekarta, Blandade uppgifter, Problem och undersökningar, Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Facit Register

....................

258

290

Matematik Origo 1b320 Exempel och uppgifter har fokus på samhällsvetenskap334 liga och ekonomiska frågeställningar.

Andelen, delen och det hela En journalist frågar eleverna vid två gymnasieskolor om de är vegetarianer. Vi kallar skolorna A och B. Vid skola A är 27 elever vegetarianer, medan det finns 45 vegetarianer i skola B. Är det vanligare med vegetarianer på B-skolan än på A-skolan?

Andelen

Delen och det hela

Vid all procenträkning använder man begreppen andelen, delen och det hela. Sambandet mellan dessa skrivs Delen Andelen = _________ eller Det hela

7 Exempel:

Lösning:

Delen = Andelen · Det hela

Hur mycket är 23 % av 569 kr? Här ska man beräkna delen, när man känner andelen och det hela. Delen kan beräknas på två sätt: 569 1. 1 % av 569 kr = ____ kr = 5,69 kr 2. 0,23 ∙ 569 kr = 130,87 kr ≈ 131 kr 100 Skriv 23 % i decimalform Delen = Andelen · Det hela

23 % av 569 kr = 23 ∙ 5,69 kr = = 130,87 kr ≈ 131 kr Svar: 23 % av 569 kr är 131 kr.

7 Exempel:

Lösning:

Priset före sänkningen = 3 600 kr

Det hela

250 Sänkningen i procent = _____ ≈ 0,07 = 7 % 3 600 Det hela

Delen Andelen = ________ Det hela

Svar: Cykelns pris sänktes med 7 %.

120 procent • 4.1 procent och procentberäkningar

Exempel Sveriges riksdag består av 349 ledamöter. Tabellen visar hur många kvinnor och män som valdes in i riksdagen vid valet 2010. Parti

Kvinnor

Män

Här måste eleverna först inse att det nya priset är 85 % av det gamla.

Låt eleverna föreslå olika sätt att lösa problemet.

Totalt

157

192

Gör en jämförelse mellan de olika partierna vad gäller fördelningen av kvinnor och män. Vilket parti har störst andel kvinnor? Hur är fördelningen totalt i riksdagen?

120 lärarguide matematik origo 1b • procent

Exempel Priset på en jacka sänks med 15 %. Det nya priset är 2 700 kr. Vad kostade jackan före prissänkningen?

Lösning

Förutom de två metoderna på s. 117 kanske 2 700 någon även direkt ställer upp uttrycket  _____   0,85 Diskutera skillnaden/likheterna mellan de olika metoderna.

7 Exempel:

Lösning:

Lars köper en mp3-spelare på rea. Priset är sänkt med 15 % och han tjänar 57 kr på att köpa den på rea. Vad var det ursprungliga priset? Här ska man beräkna det hela när man känner till delen och andelen. Det ursprungliga priset kan beräknas på två sätt: 1. 15 % av priset är 57 kr.

2. Kalla priset för x kr.

57 1 % av priset är ___ kr = 3,80 kr 15 100 % av priset är 100 ∙ 3,80 kr = 380 kr Svar: Priset var 380 kr.

NIVÅ 1 4112 Beräkna a) 14 % av 50 b) 8,5 % av 300 c) 150 % av 86

4113 a) Hur många procent är 3 av 4? b) Hur många procent är 14 av 50? c) Hur många procent är 11 av 12? Avrunda till hela procent.

4114 a) 8 % av ett tal är 24. Vilket är talet? b) 14 % av ett tal är 50. Vilket är talet? Avrunda till heltal. c) 0,5 % av ett tal är 0,28. Vilket är talet?

0,15 ∙ x = 57 Delen = Andelen · Det hela

57 x = ____ 0,15 x = 380 Hela priset

Viktiga begrepp Andelen, delen och det hela Det hela är den totala mängden, hela beloppet,

allt, 100 %, det man jämför med osv. Andelen anger hur stor delen är i jämförelse med det hela. Uttrycks ofta i procent men kan även anges i bråkform eller decimalform.

4115 En flygbiljett mellan Stockholm och New ö York kostar 3 900 kronor. Barn under 3 år åker för 50 % av priset. a) Hur mycket kostar resan sammanlagt för Lasse och hans tvååriga dotter Emma? b) Elin betalar 9 750 kr för flygbiljetter Stockholm–New York. Hur många kan det vara som reser?

4116 I ett land med 10,5 miljoner invånare ökade folkmängden med 126 000 invånare under första halvåret. Hur stor var ökningen uttryckt i procent?

4117 Ett par löparskor som tidigare hade kostat 790 kr såldes för 250 kr under helgen. a) Med hur många procent sänktes priset? b) När Markus gör beräkningen får han svaret 32 %. Vad kan Markus ha gjort för fel?

Övningsblad Procenträkning

Aktiviteter procent • 4.1 procent och procentberäkningar 121

Procenttävling

Lärarguide Till varje kursbok kommer en Lärarguide. Den ger dig som lärare tips och idéer för din undervisning, uppslag för uppslag. Här hittar du bland annat kommentarer till läroboken, förslag på arbetsuppgifter och tips till din undervisning. Lärarguiden innehåller också fullständiga lösningar till alla uppgifter i läroboken. Utkommer ht 2011.

lärarguide matematik origo 1b • procent 121

4 Procent Delkapitel 4.1 Procent och procentberäkningar 4.2 Procentuella förändringar 4.3 Procentberäkningar i samhället

Förkunskaper, innehåll och mål

Förkunskaper ˭˭ Tal i bråk- och decimalform ˭˭ Ekvationslösning ˭˭ Potenser med heltalsexponenter ˭˭ Avrundning

Centralt innehåll ˭˭ Fördjupning av procentbegreppet: promille, ppm och procentenheter ˭˭ Begreppen förändringsfaktor och index samt metoder för beräkning av räntor och amorteringar för olika typer av lån.

116

Varje kapitel inleds med att berätta vilka förkunskaper som behövs och vad eleven förväntas lära sig av kapitlet. Det hjälper eleven att själv ta ansvar för sina studier.

rocenträkning förekommer överallt i samhället. I tidningar, reklamblad, tv- och radiokanaler presenteras jämförelser och undersökningar där man visar resultaten med hjälp av procent. Till exempel uttrycker man valresultat, löneökningar, rabatter, moms och inte minst räntekostnader i procent. Förr i världen kallade man en person som lånade ut pengar mot orimligt hög ränta för procentare. I dag möter vi ständigt erbjudanden om snabba lån eller avbetalningsköp där räntan blir orimligt hög, även om ordet procentare inte längre används. När du är klar med det här kapitlet ska du kunna ˭˭ skriva bråk och decimaltal i procentform ˭˭ använda promille och ppm ˭˭ utföra procentberäkningar med förändringsfaktor ˭˭ beräkna upprepade procentuella förändringar ˭˭ ange skillnaden mellan procent och procentenheter ˭˭ tolka och använda begreppet index ˭˭ beräkna ränta ˭˭ beskriva olika sätt att amortera lån

Procentfunderingar Man ökar talet 40 till 50 och sedan minskar man det från 50 till 40. • Hur stor är ökningen i procent? • Är den procentuella ökningen större än, mindre än eller lika stor som minskningen? Motivera ditt svar. • Undersök andra tal på liknande sätt. Vad kan du dra för slutsats?

Ungdomsprocent I Umeå är ca 50 % av invånarna under 30 år, i Stockholm är det bara 35 %. • Trots påståendet ovanför bor det fler ungdomar i Stockholm. Hur kan det komma sig? • Det bodde 2 025 750 personer i Stockholm i slutet av år 2009. Hur många av dessa är under 30 år? • Befolkningen i Stockholm har ökat med ca 2 % under år 2010 och man antar att den kommer att öka med ytterligare 3 % under år 2011. Med hur många procent har då befolkningen ökat från slutet av år 2009 till slutet av år 2011? • Behöver man veta hur stor befolkningen var i slutet av år 2009 för att kunna svara på föregående fråga? Motivera ditt svar.

Inledande problem Med ord, bild och ett inledande problem, placeras kapitlets innehåll i ett matematiskt sammanhang.

117

Andelen, delen och det hela Teori och exempel Förståelse skapar motivation. Teorigenomgångarna är skrivna för att vara lättaAndelen att följa utan att för den skull väja för det som är svårt. Exemplen är rikligt kommenterade och har utförliga förklaringar.

Delen och det hela

En journalist frågar eleverna vid två gymnasieskolor om de är vegetarianer. Vi kallar skolorna A och B. Vid skola A är 27 elever vegetarianer, medan det finns 45 vegetarianer i skola B. Är det vanligare med vegetarianer på B-skolan än på A-skolan? För att besvara frågan måste vi ta reda på andelen vegetarianer på respektive skola. Andelen vegetarianer ges av kvoten av antalet vegetarianer och det totala antalet elever. Skola A har totalt 346 elever, medan skola B har 598 elever. 27 Andelen vegetarianer på skola A = ____      ≈ 0,078 = 7,8 % 346 45 Andelen vegetarianer på skola B = ____      ≈ 0,075 = 7,5 % 598 Eftersom 7,8 % > 7,5 % så är det vanligare med vegetarianer på skola A. Vid all procenträkning använder man begreppen andelen, delen och det hela. Sambandet mellan dessa skrivs Delen Andelen = _________       eller Det hela

7 Exempel:

Lösning:

Delen = Andelen · Det hela

Hur mycket är 23 % av 569 kr? Här ska man beräkna delen, när man känner andelen och det hela. Delen kan beräknas på två sätt: 569 1. 1 % av 569 kr = ____     kr = 5,69 kr 2. 0,23 ∙ 569 kr = 130,87 kr ≈ 131 kr 100 Skriv 23 % i decimalform Delen = Andelen · Det hela

23 % av 569 kr = 23 ∙ 5,69 kr = = 130,87 kr ≈ 131 kr Svar: 23 % av 569 kr är 131 kr.

7 Exempel:

Lösning:

Vid en realisation sänktes priset på en cykel till 3 350 kr. Cykeln hade tidigare kostat 3 600 kr. Med hur många procent sänktes priset? Här ska man beräkna andelen, när man känner delen och det hela. Prissänkningen = 3 600 kr – 3 350 kr = 250 kr

Priset före sänkningen = 3 600 kr

Det hela

250 Sänkningen i procent =  _____   ≈ 0,07 = 7 % 3 600 Det hela

Svar: Cykelns pris sänktes med 7 %.

120 procent • 4.1 procent och procentberäkningar

Delen Andelen = ________       Det hela

7 Exempel:

Lösning:

2. Kalla priset för x kr.

57 1 % av priset är ___     kr = 3,80 kr 15 100 % av priset är

100 · 3,80 kr = 380 kr

Svar: Priset var 380 kr.

Nivå 1 4112 Beräkna a) 14 % av 50 b) 8,5 % av 300 c) 150 % av 86

4113 a) Hur många procent är 3 av 4? b) Hur många procent är 14 av 50? c) Hur många procent är 11 av 12? Avrunda till hela procent.

4114 a) 8 % av ett tal är 24. Vilket är talet? b) 14 % av ett tal är 50. Vilket är talet? Avrunda till heltal. c) 0,5 % av ett tal är 0,28. Vilket är talet?

0,15 · x = 57 Delen = Andelen · Det hela

57 x = ____       0,15 x = 380 Hela priset

4116 I ett land med 10,5 miljoner invånare ökade folkmängden med 126 000 invånare under första halvåret. Hur stor var ökningen uttryckt i procent? 4117 Ett par löparskor som tidigare hade kostat 790 kr såldes för 250 kr under helgen. a) Med hur många procent sänktes priset? b) När Markus gör beräkningen får han svaret 32 %. Vad kan Markus ha gjort för fel?

procent • 4.1 procent och procentberäkningar 121

4118 När The Rolling Stones spelade på Ullevi i Göteborg i augusti år 2007 kostade en ståplats (innerplan) 1 295 kr. När biljetterna tagit slut såldes samma biljett för 4 000 kr på ”svarta börsen”. Hur många procent dyrare blev den då? 4119 Tornet till vänster på bilden är byggt av tre lika stora klossar.

a) Hur många procent lägre blir tornet om vi tar bort den översta byggklossen? b) Hur många procent högre blir tornet i mitten om vi lägger tillbaka den tredje klossen? c) Undersök hur många procent lägre tornet blir om det från början består av 4, 5, 6 eller n klossar och man sedan tar bort en kloss.

Nivå 2 4120 Ett år minskade laxuppgången i Byskeälven med 320 laxar i förhållande till året innan. Minskningen motsvarade 16 %. Hur många laxar vandrade upp det året? 4121 Den dyraste nya bilen på bilfirman kostar 535 000 kr och den billigaste 97 500 kr. Hur många procent dyrare är den dyraste bilen i jämförelse med den billigaste? 4122 En mp3-spelare kostade lika mycket i två ö olika varuhus. Under rean gav det ena varuhuset 50 % rabatt på mp3-spelaren, medan det andra varuhuset gav 30 % rabatt. Prisskillnaden blev under rean 290 kronor. a) Vad kostade mp3-spelaren innan rean? b) Ge förslag på hur mycket mp3-spelarna kan ha kostat i de två varuhusen om de kostar lika mycket på rean.

122 procent • 4.1 procent och procentberäkningar

4123 Från år 2005 till år 2010Problemlösning ökade en kommunför alla sin befolkning med 5,2 Färdighetsträning % vilket motsvarar behövs, men 16 200 personer. Hur många i räcker bodde inte. Matematik Origo har kommunen år 2010? problemlösning för alla elever på alla nivåer. Behövs mer träning

eller 4124 Ett träd ökar i längd med 8,0mer dmutmanande på ett år. uppgifter, så finner duträdet det i Matematik Det motsvarar 25 %. Hur högt är när Origo Extramaterial. året har gått?

4125 Sabine och hennes sambo Lars jobbar båda inom vården. Sabine tjänar 21 500 kr i månaden och Lars tjänar 19 700 kr i månaden. Sabine får vid den årliga löneöversynen en lönehöjning på 3,7 % och Lars en höjning på 2,9 %. a) Hur många procent högre blir Sabines lön än Lars? b) Hur många procent lägre blir Lars lön än Sabines?

4126 Hos en husvagnsförsäljare ger man 15 % rabatt på husvagnar. Det gör att en viss husvagn säljs 36 000 kr billigare. Hur mycket kostar den? 4127 Formulera en egen uppgift med procenträkö ning Den ska innehålla 32 elever och svaret ska bli 5 %. Jämför din uppgift med en kamrats.

Nivå 3 4128 Av stans invånare hade 34 % varken villa eller sommarstuga. 48 % av invånarna hade sommarstuga och 41 % hade villa. Hur många procent hade både villa och sommarstuga? 4129 Man vet att andelen ljushåriga bland dem som har blå ögon är större än andelen ljushåriga av hela befolkningen. Måste då andelen med blå ögon av de ljushåriga vara större än andelen med blå ögon av hela befolkningen? (Uppgift nr.1 i kvalificeringsomgången den 6 oktober 1999 av Skolornas Matematiktävling arrangerad av Svenska Dagbladet)

Promille och ppm

Bilföraren som körde av vägen var kraftigt onykter. Hon hade över 1 promille alkohol i blodet och brottet betecknas som grovt rattfylleri. Påföljden kan bli upp till två års fängelse.

Andelar som är mindre än en procent uttrycks ibland i promille. Promille betyder tusendel. Tecknet för promille är ‰. Vid riktigt små andelar används ppm, som kommer från engelskans ”parts per million” och betyder miljondel. När man räknar med promille och ppm gör man i grunden som vid procenträkning.

7 Exempel:

Skriv i decimalform a) 15 ‰

Lösning:

b) 12 ppm

a) 15 ‰ = 0,015

‰ är tusendelar och därför flyttas decimalkommat 3 steg

b) 12 ppm = 0,000 012 ppm är miljondelar och därför flyttas decimalkommat 6 steg

7 Exempel:

a) Hur mycket är 36 ‰ av 4,5 ton? b) Hur många ppm är 2,1 mm av 140 m?

Lösning:

a) 36 ‰ = 0,036

‰ är tusendelar och därför flyttas decimalkommat 3 steg

0,036 · 4,5 ton = 0,162 ton = 162 kg

Svar: 162 kg

b) 140 m = 140 000 mm

Gör om till samma enhet

2,1 = 0,000 015 = 15 ppm ppm är miljondelar och därför flyttas  _______      140 000

decimalkommat 6 steg

Svar: 15 ppm

Nivå 1

4132 Hur mycket är a) 14 ‰ av 3 500 kr?

4130 Skriv i decimalform a) 5 ‰

b) 120 ‰

c) 12 500 ppm

d) 82 ppm

b) 8 ‰ av 1 kg? c) 3,5 ppm av 3,5 miljoner kr?

4133 Hur många promille är

4131 Skriv som promille a) 0,0048

b) 0,61 %

c) 120 ppm

d) 7,1 ∙ 10–4

a) 6 kg av 3 ton? b) 5 m av 2 mil?

procent • 4.1 procent och procentberäkningar 123

4136 Nina häller 5 g salt i 3,5 m3 vatten. Bestäm salthalten i ppm.

4137 Järn förekommer i marken där det kan lösas upp av genomströmmande vatten och hamna i grundvattnet. Dricksvatten som innehåller mer än 0,5 mg järn per liter bör renas. Hur många ppm motsvarar det?

4134 Menieres sjukdom är en öronsjukdom som påverkar både hörsel och balans. Det är en ganska ovanlig sjukdom, endast omkring en halv promille av befolkningen insjuknar årligen. Hur många personer kan förväntas drabbas av Menieres sjukdom under ett år i en stad med 42 000 invånare?

4138 När man dricker alkohol tas den upp av kroppen. Alkoholhalten i kroppen kan uppskattas med formeln: vikt ren alkohol alkoholhalt (kvinnor) =  ______________         kroppsvikt · 0,55

Nivå 2 4135 Skriv a) 0,42 ‰ som ppm b) 52 000 ppm som promille

vikt ren alkohol alkoholhalt (män) =  ______________         kroppsvikt · 0,65 1 ml alkohol väger 0,78 g. Uppskatta alkoholhalten i promille a) för en kvinna som väger 70 kg och dricker 0,5 l vin med 12 % alkoholhalt. b) för en man som väger 70 kg och dricker 0,5 l vin med 12 % alkoholhalt. c) för en man/kvinna som väger lika mycket som du och dricker tre folköl à 0,5 l med alkoholhalten 2,8 %.

c) 3,5 ∙ 10–5 som ppm

Kommunikationsuppgifter

Rätt eller fel? • Procenttalet kan kallas andel. • Om man vill beräkna delen så kan man multipliceandelen med det hela. • Delen är alltid större än andelen. • En andel kan uttryckas med ett bråk, ett tal i decimalform eller ett procenttal. • Att betala halva priset betyder att man får 50 % rabatt. • ppm betyder tusendelar. • En andel måste vara mindre än 100 %.

124 procent • 4.1 procent och procentberäkningar

Varje delkapitel avslutas med Rätt eller fel? påståenden som prövar elevernas begreppsförståelse och inbjuder eleverna till att samtala matematik.

¤-uppgift

En korg full… Konsumentprisindex, KPI, ska visa den allmänna prisutvecklingen. Man kan tänka sig en stor korg med allt som vi köper. Korgen innehåller varor och tjänster i den proportion som hushållen brukar köpa dem. KPI följer hur priset på den här korgen utvecklas över tiden. Under året är det samma varor i korgen och man uppdaterar priserna från månad till månad. Inför varje nytt år ser man över KPI-korgens innehåll för att spegla det aktuella köpmönstret.

• Vad lägger de flesta hushåll mest respektive minst pengar på?

KPI-korgen år 2010

• Familjen Sibaharti använder ungefär 700 kr till hälsovård per månad. Gör en uppskattning av familjens boendekostnad.

Restauranger 6,5 %

Diverse 5,4 %

Rekreation 11,6 %

Livsmedel 13,6 %

Post, tele 3,4 %

Alkohol, tobak 3,7 % Kläder 5,4 %

Transport 13,4 % Hälsovård 3,2 % Inventarier 5,5 % Utbildning 0,4 %

Boende 27,9 %

Procentangivelserna anger hur stor andel av hushållens utgifter som går till respektive huvudgrupp.

¤-uppgift I alla kapitel möter eleverna en större uppgift, som vi har valt att kalla ¤-uppgift. Här finns möjlighet för eleverna att använda flera olika matematiska förmågor och visa de kvaliteter som behövs för ett högre betyg.

• Familjen Palmstiernas totala utgifter per månad är 32 000 kr. Hur mycket lägger de på alkohol och tobak per månad om de följer det allmänna köpmönstret? • Familjen Torstensson använder runt 3 000 kr per månad till transporter. Uppskatta familjens samlade utgifter per månad.

• Anta att utgifter för kläder och skor i KPI-korgen minskar till 4 %. Hur stor är den procentuella minskningen? • I tabellen nedanför ser man hur hushållens utgifter har förändrats under år 2010. Skriv av och fyll i det nya värdet med 2 decimaler. Hur många procent kommer hushållens utgifter att öka under året? KPI-korgen Boende Kläder, skor Alkohol, tobak Livsmedel Diverse Restaurang och logi Rekreation Post, tele Transporter Hälsovård Inventarier Utbildning

Förändring (%) Nytt värde under 2010 (%) 5,2 2,0 0,1 2,7 2,4 2,6 –1,4 –1,6 3,3 2,0 –1,5 1,8 Summa

• Vad blir KPI för år 2011 om KPI för år 2010 är 303 och innehållet i korgen antas vara detsamma? • Utgå från KPI-korgen 2010. Hur stor andel skulle boendet uppta om utgiften för boendet ökar med 10 % och alla andra utgifter är oförändrade? procent • ¤-uppgift 139

historia

Procenttecknet och Big Mac-index Procenttecknet

Ser du procenttecknet i den italienska texten från 1684?

40 per cento → o 40 per c → 40 poo → 40 % Procenttecknets utveckling.

”Vid den tiden utfärdade kejsar Augustus en förordning om att hela världen skulle skattskrivas”. Så beskrivs Jesus födelse i Lukas-evangeliet och det är kanske den mest lästa av alla texter i världslitteraturen när det gäller skatter. Kejsar Augustus (63 f.Kr.–14 e.Kr.) genomförde skattereformer som omvandlade naturaskatter till penningskatter och la därmed grunden till Roms blomstringstid som varade i 200 år. Skatten för varje såld slav var 4/100 och för varje frigiven slav 5/100. Det infördes även en arvsskatt på 5/100 av alla större arv. Samtidigt infördes en skatt med 1/100 på allt som såldes på auktion. Räkning med hundradelar kan man alltså se långt tillbaka i vår historia. Vårt procenttecken härstammar från 1400-talets Italien där handeln blomstrade. Man skrev 40 hundradelar som 40 per cento. Från detta skrivsätt utvecklades sedan procenttecknet.

Big Mac-index Land

Big Mac-index

USA

100

Ryssland

Kanada

113

Mexiko

Kina

Danmark

147

Schweiz

142

Norge

194

Sydafrika

Sverige

166

Thailand

Big Mac-index 2010.

? Vad kostar en Big Mac i Kina om den kostar 40 kr i Sverige?

140 procent • historia

Big Mac-index uppfanns 1986 av tidskriften The Economist för att mäta hur olika valutor är värderade mot varandra. Det används också för att jämföra prisnivåerna i olika länder, men det ger absolut inte hela bilden. I Sverige och västvärlden är en Big Mac relativt billig snabbmat. Den går lika snabbt att tillverka över hela världen men är förhållandevis dyr i jämförelse med en måltid på ett lokalt matställe i stora delar av Asien, Afrika och Sydamerika. Big Mac-index anses ändå ge resenärer en viss vägledning när man ska räkna ut hur stor reskassa man bör ha i olika länder. Anledningen till att tidskriften valde just Big Mac sägs vara att den kan tillverkas helt inom det egna landets gränser. Om en Big Mac i Sverige är dyrare än i Danmark så innebär det att ingredienserna eller arbetsHistoria kraften måste vara dyrare i kapitel finns en eller två I alla Sverige än i Danmark. sidor med historiska avsnitt som belyser matematiken ur ett idéhistoriskt perspektiv. Här ges bakgrunden till den matematik som kapitlet tar upp.

tankekarta

Procent Tankekarta I slutet av varje kapitel finns en tankekarta som sammanfattar kapitlet. Det hjälper eleverna att sortera och analysera hur de matematiska begreppen hänger ihop.

Andel • procent – hundradel • promille – tusendel • ppm – miljondel

Procentberäkningar • bråkform, decimalform, procentform delen • andelen = ________       det hela • nya värdet = förändringsfaktor · gamla värdet

Procent i samhället

Procentuella förändringar

• index

nya värdet • förändringsfaktor = _____________        gamla värdet

• lån

• ökning: förändringsfaktor > 1

• ränta

• minskning: förändringsfaktor < 1

• amortering

• procentenheter

Index

Ränta

• indexserie

• rörlig ränta

• basår

• bunden ränta

• KPI

• ränta på ränta

• inflation

procent • tankekarta 141

blandande uppgifter

Blandade uppgifter Till varje kapitel hör flera sidor med blandade uppgifter. Det är en blandning av uppgifter från hela kapitlet indelade i tre olika nivåer.

nivå 1 1 Skriv i procentform a) 0,035

4 b)  ___     25

c) 2–4

2 Maria har ett lån på 40 000 kr. Hur mycket får hon betala i årsränta om räntesatsen är 9,8 %? 3 Niclas arbetar på en skola. Där kan han spara datafiler på en gemensam server. Vid ett tillfälle stod följande information på skärmen: Kapacitet 558 GB, använt 481 GB, ledigt 77,4 GB. Hur många procent av kapaciteten var ledig? 4 Ett västerbottniskt uttryck lyder ”harta borti harta och harta borti he”. Det betyder ”hälften av hälften och hälften av det”. Förklara uttrycket med en bild och tala om hur många procent det motsvarar. 5 Amir ska köpa en tv och försäljaren lockar med en rabatt på 8 %. Amir vill hellre ha en prisreduktion på 500 kr. Vid vilket pris är båda alternativen lika fördelaktiga? 6 I en klass är förhållandet mellan antalet pojkar och antalet flickor 3:4. Hur många procent pojkar finns i klassen? 7 Amanda betalar 4 200 kr i årsränta på ett lån. Räntesatsen är 7 %. Hur stort är lånet? 8 En bil kostar 120 000 kr. Värdet av bilen minskar med 5,0 % per år under en treårsperiod. Beräkna vilket värde bilen har efter tre år. 9 En stryktipsrad består av 13 matcher. I en omgång slutade 7 matcher med hemmaseger och 4 matcher med bortaseger. Hur många procent av matcherna slutade oavgjort?

10 I ishockey har man fem utespelare på planen och i bandy har man tio. Hur många procent fler utespelare har motståndarlaget, om man får en spelare utvisad i a) ishockey

b) bandy

11 En liter mjölk kostade 2,41 kr år 1980. Vad borde den ha kostat år 2010 om mjölkpriset följt KPI? 12 Susanne köper en hemmabio på avbetalning. Den kostar 24 900 kr vid kontantköp, men hon ska betala 2 315 kr/mån i 12 månader. Hur många procent dyrare blir det att köpa den på avbetalning? 13 Bensinpriset steg under en vecka, först med 2,2 %, sedan med 3,1 % och slutligen med 2,8 %. Med hur många procent steg priset sammanlagt under den veckan? 14 Tabellen visar medelpriset på lösnummer av dagstidningar från år 1998 till år 2002. a) Har priset på dagstidningar ökat mer eller mindre än KPI under perioden?

År

Pris (kr)

1998

9,60

1999

9,80

2000

10,50

2001

10,90

2002

11,00

b) En tidning kostade 10,50 kr år 2000. Vad skulle den ha kostat år 2005 om prisutvecklingen följt KPI?

15 Oljehalten i en bensinblandning ökade från 2,5 % till 3 %. a) Med hur många procentenheter ökade oljehalten? b) Med hur många procent ökade oljehalten?

16 Evert har vuxit med 8 % sedan förra året och Lisa ö med 6 %. I år är de lika långa. a) Vem var längst förra året? b) Ge ett förslag på hur långa de skulle kunna vara i år. c) Hur långa var de i så fall föregående år?

142 procent • blandade uppgifter

Ett bussbolags intäkter för månadskort är 5 931 800 kr under en månad. Månadskortet kostar 1 900 kr. När priset på månadskortet höjs med 6 % minskar antalet sålda månadskort med 6 %. • Vad kommer månadskortet att kosta efter höjningen? • Vilket av följande alternativ stämmer? Motivera ditt val. a) Bussbolagets intäkter för månadskorten är desamma som tidigare. b) Bussbolagets intäkter för månadskorten kommer att öka. c) Bussbolagets intäkter för månadskorten kommer att minska. • Vilken information behöver man minst känna till för att kunna besvara föregående fråga? Motivera ditt svar.

löneförhöjning Andreas och Lisa fick båda löneförhöjning med lika många kronor vardera. Andreas höjning var 5 % och Lisas var 2,5 %. Undersök med beräkningar och resonemang för vilka löner detta kan vara möjligt. (Np MaA vt 2002)

undersöka tal Du har formeln P = x ∙ y. Både x och y är positiva tal. • Undersök hur många procent P ökar om x ökar med 10 % och y ökar med 20 %. Motivera ditt svar. • Du har formeln Q = x + y. Både x och y är positiva tal. Undersök hur många procent Q kan öka om x ökar med 10 % och y ökar med 20 %. Motivera ditt svar. (Np Ma A ht 1999)

räkna ränta med excel Om du skulle sätta in 10 000 kr på ett bankkonto och sedan inte röra pengarna på kontot på flera år, så skulle pengarna öka med ränta på ränta. • Gör ett kalkylblad i Excel, där du anger insatt startkapital och aktuell räntesats. Använd dig av formeln K = Cax, där K är det totala kapitalet, C är startvärdet (10 000), a är räntan som förändringsfaktor och x är antal år. Matematiska förmågor Beräkna det innestående kapitalet efter 1 år, 2 år, 3 år osv. • Efter hur många år har kapitalet fördubblats, under förutsättning att inga Matematik Origo låter eleverna utveckla olika matematiska föruttag eller ytterligare insättningar sker, om räntesatsen är 1,5 %? Om rän-mågor. I alla kapitel tränas komtesatsen är 5 %? Om räntesatsen är 0,25 %? munikations-, resonemangs- och problemlösningsförmågorna.

procent • problem och undersökningar 145

problem och undersökningar

månadskort

kapiteltest

Del 1 Utan räknare

1 Vad är 5 % av 500 kr?

2 Skriv i procentform 5 b)  ___     10

a) 1,2

c) 32 ‰

3 Maria har a kr i sin plånbok och Stina har 0,85a kr. Hur många procent mindre har Stina?

4 Anders har pengar på ett konto med räntesatsen 2 %. Han får 100 kr i årsränta. Hur mycket pengar har han på kontot?

5 Tabellen visar hur Markus månadslön har ökat de senaste 5 åren. För att lättare kunna följa löneutvecklingen, så har han gjort en indexserie. År Lön (kr) Index

26 400 26 900 27 300 27 800 28 200 98

100

101

103

105

a) Vilket år har han valt som basår? b) Med hur många procentenheter har lönen förändrats från år 3 till år 5? c) Ställ upp ett uttryck för att beräkna hur många procent lönen har höjts från år 1 till 3.

6 Peter har satt in 1 000 kr på ett bankkonto där räntesatsen är 1,75 %. Kapitalet får växa med ränta på ränta under 3 år. Vilket av följande uttryck visar hur mycket som finns på kontot efter 3 år? 1 000 ∙ 0,01753

1 000 ∙ 1,01753

1 000 ∙ 3 ∙ 1,0175

1 000 + 3 ∙ 0,0175 ∙ 1 000

7 En iPhone kostade då den först kom ut 10 000 kr. Efter ett halvt år sänktes priset med 10 % och sedan med ytterligare 10 %. Hur många procent lägre var priset efter andra prissänkningen jämfört med det ursprungliga?

8 Emil hade ett gammalt slitet måttband som var 25 meter. Han kapade bort 20 % av det. a) Hur många meter kapade han bort? b) Hur många procent måste han lägga till det kapade måttbandet för att det ska bli 25 meter igen?

146 procent • kapiteltest

Del 2 Med räknare

9 Ordna i storleksordning. Börja med det minsta 45 ‰ av 300 kr

3,5 % av 450 kr

4 000 ppm av 3 000 kr

10 Gränsen för rattfylleri går vid 0,2 ‰ alkohol i blodet. En kvinna som har 4,5 liter blod har 1 ml ren alkohol i blodet. Kommer hon att kunna dömas för rattfylleri?

11 Petra och Eva har båda haft matteprov. Petra hade 20 poäng av 35 möjliga och Eva 12 poäng av 20 möjliga. Både Petra och Eva tyckte att de lyckats bäst. Förklara hur Petra och Eva kan ha tänkt.

12 Värdet på en aktiefond ändrades tre gånger under en kort period. Först ökade värdet med 1,2 %, därefter med 2,8 % och slutligen minskade det med 2,1 %. Med hur många procent har fondens värde förändrats under perioden?

13 Elsa lånade 60 000 kr för att starta ett företag. Räntesatsen på lånet är 4 %. Hon ska inte betala tillbaka något förrän efter 10 år, då företaget beräknas ge vinst. Under tiden växer skulden med ränta på ränta. a) Med hur många procent har skulden ökat på fem år? b) Vad är hon skyldig när lånet ska börja betalas tillbaka?

14 Philip betalade 30 % av lönen i skatt. Av det som var kvar använde han 1/3 till hyra och 1/4 till mat. Hur många procent av lönen har han kvar när han har betalat skatt, hyra och mat?

15 Marita har sommarjobbat och tjänat 5 280 kr. Hon sätter in pengarna på ett sparkonto med räntan 2,4 %. När hon har haft pengarna på kontot i tre månader sänks räntan med 0,5 procentenheter. Fem månader efter det att hon satt in pengarna tar hon ut dem och åker utomlands. När hon kommer hem är det mellandagsrea och hon köper lite nya kläder. Hon tycker att hon gör ett par riktiga fynd, men eftersom hon inte har tillräckligt med pengar på sitt konto tar hon ett SMS-lån på 1 000 kr. • Hur mycket pengar finns på hennes konto efter tre månader och hur mycket pengar har hon på kontot då hon tar ut dem? Sist i varje kapitel ligger ett test, • Påi rean är alla varor nedsatta med 30 %. Hon handlar för 995 kr. Hur som direkt knyter an till målen mycket kostade varorna innan rean? kapitlets inledning. Det ger eleverna möjlighet att själva kontrollera • Hennes SMS-lån kostar 230 kr i uppläggningskostnad och 150 kr i ränta sina kunskaper. Testet är uppdelat som ska betalas efter en månad. Dessutom tillkommer en faktureringsi två delar: en del som ska lösas avgift på 45 kr. Hur många procent dyrare blev varorna genom att hon utan räknare och en del där räknatog lånet? Blev det billigare eller dyrare att köpa varorna på detta sätt ren får användas. jämfört med att köpa dem till ordinarie pris utan lånet?

Test

• Uppskatta vilken räntesats uttryckt i procent, som Marita totala lånekostnader motsvarar. procent • kapiteltest 147

kapiteltest

Nya Matematik Origo

matem

atik

Attila Sza Niclas Lar bo son Gunilla Viklund Mikael Markl Daniel Du und fåker

k emati

mat

Szabo Attila Larson Niclas Viklund Gunilla rklund Ma Mikael Dufåker Daniel

BO NN

IE R BO N N

Nya Matematik Origo är skriven för den nya ämnesplanen i Gy 2011 och finns i två serier, 1b för samhällsvetenskapligt, estetiskt och humanistiskt program och 1c för naturvetenskapligt och tekniskt program. Matematik Origo för kurs 1b och 1c kommer under våren 2011. Sedan följer övriga böcker i den takt du kommer att behöva dem. Matematik Origo 2c blir klar under hösten 2011. Problemlösning, resonemang Matematik Origo 1b och kommunikation 523-0924-7, 336 sidor, 269:Matematik Origo 1c 523-0925-4, 304 sidor, 269:Matematik Origo 2c (utkommer ht 2011) 523-0970-4, 240 sidor, 269:Matematik Origo Lärarguide 1b (utkommer ht 2011) 523-0971-1, 525:Matematik Origo Lärarguide 1c (utkommer ht 2011) 523-0972-8, 525:-

Matematik Origo har en tydlig struktur och ett stort matematikinnehåll. Genomtänkta realistiska uppgifter utmanar eleven till fördjupad matematisk förståelse och ger eleven möjlighet att utveckla olika matematiska förmågor. Stor vikt läggs vid problemlösning och matematiska resonemang. Med Matematik Origo får eleven god begreppsförståelse och stimuleras till kommunikation och kreativitet.

˭˭ Varje kapitel inleds med aktuellt centralt innehåll från nya ämnesplanen. Här presenteras också tydliga målbeskrivningar. Kapitlet avslutas med ett

test. Det här gör det lättare för eleven att ta ansvar för sitt eget lärande och att kontrollera sina kunskaper. ˭˭ Förståelse väcker intresse och motivation. I Matematik Origo ges stort utrymme till förklaringar av matematiken. Teori och exempel är skrivna så att eleven lätt kan följa med i framställningen. ˭˭ Matematik Origo har inspirerande utmaningar för alla elever. Här finns problemlösning och kommunikationsuppgifter för alla elever. I varje kapitel presenteras också en ¤-uppgift, en större uppgift där eleven får möjlighet att använda flera olika matematiska förmågor.

Lärarguide Till varje kursbok kommer en Lärarguide. Den ger dig som lärare tips och idéer för din undervisning, uppslag för uppslag. Dessutom innehåller Lärarguiden fullständiga lösningar till alla uppgifter.

Författare: Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Daniel Dufåker och Mikael Marklund Har du frågor om Matematik Origo kontakta: Eva Andersson, marknadsförare, eva.andersson@bonnierutbildning.se, 08 – 696 86 14 Lena Bjessmo, redaktör, lena.bjessmo@bonnierutbildning.se, 08 – 696 80 09 Olof Edblom, redaktör, olof.edblom@bonnierutbildning.se, 08 – 696 85 97

IE RS

– för det nya gymnasiet 2011