Matematikboken
Lennart Undvall • Kristina Johnson • Conny Welén
Lennart Undvall Kristina Johnson Conny WelĂŠn
Matematikboken Liber
Så här använder du din Z-bok Boken innehåller sex kapitel som i sin tur är uppdelade i avsnitt. I varje avsnitt finns det uppgifter på fyra nivåer. På nivå ett finns lätta uppgifter medan uppgifterna på nivå fyra ger rejäla utmaningar. Du kan starta på olika nivåer i olika avsnitt eller kapitel, men ta för vana att räkna minst två nivåer. Om du tycker att nivå ett är för svår finns Bashäfte Z med enklare uppgifter. Om nivå fyra inte är tillräckligt utmanande finns en bok som heter Utmaningen Z. Sista uppgiften på varje nivå är en ”pratbubbleuppgift”. Den är tänkt som en diskussionsuppgift som du kan lösa med en kamrat. Pratbubbleuppgifterna har inget facit. De uppgifter där du bör använda miniräknare är markerade med en streckad linje. I kapitel 1–5 återkommer följande avsnitt: Målsida Här beskrivs vad du får möjlighet att utveckla i kapitlet. Aktiviteter Praktiska uppgifter att lösa i par eller grupp. Taluppfattning och huvudräkning: Tränar grundläggande matematik. Räkna och häpna Spännande uppgifter som ger överrakande svar. Resonera och utveckla Uppgifter av undersökande karaktär. Sammanfattning Sammanfattar kapitlets innehåll. Blandade uppgifter Blandad repetition av kapitlet. Kan du begreppen? Repetition av centrala begrepp. Kan du förklara? Här får du använda begreppen. Träna mera För dig som behöver träna mera. Tema För dig som klarat diagnosen bra. Problemlösning Kluriga problem att lösa individuellt eller parvis. I kapitel 6, XYZ – med sikte på framtiden, repeteras momenten från XYZ. Kapitlet ger därmed en omfattande repetition inför det nationella provet i matematik – och inför fortsatta matematikstudier i gymnasieskolan. I avsnittet Repetition är uppgifterna hämtade från bokens lösta typexempel. Om du behöver hjälp kan du titta tillbaka på exemplet. oken avslutas med Läxor. Det finns fyra läxor till varje kapitel. B I läxorna finns även repetition från tidigare kapitel. Lennart, Kristina och Conny
3
11
Taluppfattning och tals användning 6
Talmängder 8 1.2 Negativa tal 15 1.3 Potenser 23 Resonera och utveckla 28 1.4 Räkna med potenser 29 Taluppfattning och huvudräkning 35 1.5 Små tal och tiopotenser 36 1.6 Räkna med tiopotenser 42 Räkna och häpna 47 Sammanfattning 48 Blandade uppgifter 49 Kan du begreppen? 52 Kan du förklara? 52 Träna mera 53 Tema: På resa i solsystemet 55 Problemlösning 57 1.1
22
Algebra
58
Uttryck och mönster 60 Räkna och häpna 69 2.2 Förenkling av uttryck 70 Resonera och utveckla 76 2.3 Ekvationer 77 Taluppfattning och huvudräkning 81 2.4 Procent och ekvationer 82 2.5 Proportion 87 Sammanfattning 93 Blandade uppgifter 95 Kan du begreppen? 99 Kan du förklara? 99 Träna mera 100 Tema: En resa till Paris 103 Problemlösning 105 2.1
33
Geometri
106
Spegling och symmetri 108 Likformighet 114 Taluppfattning och huvudräkning 119 3.3 Skala 120 Räkna och häpna 126 3.4 Kvadrater och kvadratrötter 127 3.5 Pythagoras sats 134 Resonera och utveckla 142 Sammanfattning 143 Blandade uppgifter 145 Kan du begreppen? 148 Kan du förklara? 148 Träna mera 149 Tema: Tunguskakatastrofen 151 Problemlösning 153 3.1 3.2
4
44
Samband och förändring 154
Procent 156 Taluppfattning och huvudräkning 164 4.2 Förändringsfaktor 165 Räkna och häpna 171 4.3 Funktioner 172 4.4 Linjära funktioner 180 4.5 Tillämpning av linjära funktioner 189 4.6 Proportionalitet 196 Resonera och utveckla 202 6 XYZ – med sikte på Sammanfattning 203 framtiden 264 Blandade uppgifter 205 Kan du begreppen? 209 6.1 Taluppfattning och tals användning 266 Kan du förklara? 209 Räkna och häpna 272 Träna mera 210 6.2 Algebra 273 Tema: Vatten 213 6.3 Geometri 278 Problemlösning 215 Taluppfattning och huvudräkning 286 6.4 Samband och förändring 287 Resonera och utveckla 296 5 Sannolikhet och 6.5 Sannolikhet och statistik 297 statistik 216 6.6 Problemlösning 303 5.1 Hur stor är sannolikheten? 218 Tema: Vår miljö 307 5.2 Träddiagram 225 Taluppfattning och huvudräkning 232 Repetition 309 5.3 Komplementhändelse 233 Läxor 317 Räkna och häpna 237 5.4 Kombinatorik 238 Facit 365 Resonera och utveckla 242 5.5 Tabeller och diagram 243 Begreppsregister 385 Sammanfattning 252 Blandade uppgifter 254 Kan du begreppen? 257 Kan du förklara? 257 Träna mera 258 Tema: Den svenska skogen 261 Problemlösning 263 4.1
6
5
5
1
Taluppfattning och tals användning I det här kapitlet får du lära dig:
u hur vårt talsystem är indelat i grupper u utföra beräkningar med negativa tal u uttrycka små och stora tal i potensform och grundpotensform
u utföra beräkningar med tal i potensform u samband mellan prefix och tiopotenser u värdera lösningsmetoder och matematiska resonemang u förklara och motivera utifrån dina kunskaper om begreppen
6
at al Irr at ion ell at al Re ell at al
tio n
ell
tal Ra
at iva Ne g
tal la He
ur
lig
P Na t
EP BE
GR
repp Vilka beg till du r känne gare? di ti n da se d rklara va Kan du fö r? de betyde
at al
i kapitlet
n år sedan i för flera tuse e vd le m so folk r mycket var ett indian atematik va r Mayafolket ala. Deras m m te onssystem nä ua ti G si i h po t o oc som vi av et t is at södra Mexik r ec le pr bo g m si av 20 sy e använde använde sig avancerad. D v Mayafolket en M afolket skre l. ay ta M na r. de skrev si med 10 siffro m te ys ls ta vårt . jämföra med på varandra bolerna ovan m sy om ut dess yggt så här: let 805 uppb ta l pe em ex tem är till I vårt talsys 1 0 + 5 · 10 . 2 10 · 0 8 · 10 + mbolen den översta sy boler så ska m sy mbolen 20 sy e a nd olket anvä er. Den andr af vå ay ni M e tr r om ha rs t Efte 2 0 om tale med 20 = 40 len är ental. multipliceras tredje symbo 1 en D . 20 = med 20 multipliceras 4 3 2 1 talet 805: 0 Så här skrevs 0 80 = 0 2 40 2· 9 8 ⇒ 2 · 20 = 7 6 0 5 = ⇒ 0 · 20 5 13 14 = 10 11 12 ⇒ 1·5 805 18 19 15 16 17 dessa m motsvarar i vårt talsyste l ta et lk Vi 1 Mayatal? c) b) a)
Gr un dp ote ns Pr for efi m x
po te ns
Tio
Ex po
Ba
s
ne
nt
tal Po te ns
Mo tsa tta
De c
im
alt al
mboler talet ayafolkets sy M ed m v ri 2 Sk c) 828 b) 445 a) 45 . et talsystem med vårt eg m te ys da ls bå ta er du att de ayafolkets 3 Jämför M ckdelar tyck na ve ti ek sp ar re Vilka fördel har? en m te ys ls ta
7
1.1
Talmängder Här nedanför går vi igenom några olika typer av tal som du ska känna till. Naturliga tal 2
De naturliga talen (N) består av talet 0 och de positiva heltalen. Genom historien har de naturliga talen använts för att ange antal.
N
9
6
N = [0, 1, 2, 3, …] Hela tal I de hela talen (Z) ingår de naturliga talen och de negativa hela talen. Negativa tal använder vi oss av till exempel i samband med temperatur.
–11 –2 Z
2
N 6
–5
9
Z = […–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3…] Rationella tal Ett rationellt tal (Q) är samma sak som ett tal i
2 3
–11 –2
bråkform. Några exempel på rationella tal är 2 5 3 Q Z N och − . Även tal som 0,7 och 13 % är 6 9 8 7 –5 –5 rationella tal eftersom de kan skrivas 9 10 13 respektive . 100 Men även de hela talen är rationella tal eftersom de kan skrivas som 4 3 4 bråk. Till exempel är 4 = , 1 = och −2 = − . Det innebär att de 1 3 2 hela talen är en del av de rationella talen. Ändlig decimalutveckling
Alla rationella tal kan skrivas i decimalform genom att täljaren divideras med nämnaren. Vissa rationella tal har en ändlig decimal utveckling. Om man skriver dem i decimalform så blir det ett begränsat antal decimaler. Sådana tal kallas decimaltal. Exempel på decimaltal är: 3 5 47 = 0,75 − = −0,625 = 1,468 75 4 8 32 8
1 • Taluppfattning och tals användning
9
Oändlig periodisk decimalutveckling
När man dividerar täljaren med nämnaren hos vissa rationella tal, tar decimalerna aldrig slut. Decimalutvecklingen är oändlig. Däremot ser man att samma decimaler kommer tillbaka med regelbundenhet i perioder. Rationellt tal Period 1 = 0,333 333 3 3 41 = 0,123123123 123 333
Irrationella tal Det finns tal som inte kan skrivas som kvoten av två heltal. Talet π är ett sådant tal. Med ett gemensamt namn kallas sådana tal för irrationella tal. Det som kännetecknar dessa tal är att decimal utvecklingen inte är periodisk. Till exempel kan talet π skrivas så här: π = 3,141 592 653 589 793 234 626 433 832 795… Irrationella tal
2 –11 3 –2
π
2
Q 3
–5 9
–5
6
9 Rationella tal
Reella tal De rationella talen och de irrationella talen bildar tillsammans de reella talen (R). Sammanfattningsvis kan vi säga att de naturliga talen (N) är en del av de hela talen (Z) som i sin tur är en del av de rationella talen (Q). De rationella talen är en del av de reella talen (R). Den del av de reella talen som inte är rationella kallas för irrationella tal.
π
R
Q 3
2 3 Z –5 9
–11 –2
2
N –5
6
1 • Taluppfattning och tals användning
9
9
De fyra räknesätten I det här avsnittet får du repetera – hur man räknar med små och stora tal – prioriteringsreglerna – hur man räknar med tal i bråkform
a) 15 + 5 · 0,6
b) (15 + 5) · 0,6
c)
1,2 0,06
a) 15 + 5 · 0,6 = 15 + 3 = 18
Multiplikation och division räknas före addition och subtraktion.
b) (15 + 5) · 0,6 = 20 · 0,6 = 2 · 6 = 12 c)
Parenteser räknas först.
1,2 1,2 ·100 120 = = = 20 0 ,06 0 ,06 ·100 6
Svar: a) 18
b) 12
Förläng med 100 för att få en ensiffrig nämnare.
c) 20
3 2 ⋅ 4 5
a)
2 7 + 3 9
a)
4 2 7 2 · 3 7 6 7 13 =1 + = + = + = 9 9 3 9 3· 3 9 9 9
b)
MGN: 9
c) 4 · 1
3 8
Innan du adderar skriver du bråken med samma nämnare. Den minsta gemensamma nämnaren kallas MGN och är i detta fall 9. Därför förlänger du första bråket med 3.
Täljarna multipliceras för sig och nämnarna för sig.
1
b)
3 2 3· 2 3 · = = 4 5 4 · 5 10
Innan du multiplicerar förkortar du med 2.
2
1
3 4 11 4 ⋅ 11 11 1 = = =5 c) 44 ·⋅ 1 = ⋅ 8 1 8 1⋅ 8 2 2 2
1
3 44 11 4 ⋅311 11 1 4Svar: ⋅ 1 a) = 1 ⋅ = b) = c)= 5 8 19 8 1 10 ⋅8 2 2 2
10
1 • Taluppfattning och tals användning
3 Skriv talen 4 och 1 i bråkform. 8 Multiplicera sen på vanligt sätt.
a)
3 /2 4
4 5
b) 8 /
c)
3 6 3 /2= /2= a) 4 8 8 b) 8 /
c)
Skriv 8 hela som femtedelar. Du får då divisionen 40 femtedelar delat med 4 femtedelar. Det kan jämföras med 40 m dividerat med 4 m.
5 2 5 4 5 1 / = / = =1 6 3 6 6 4 4 b) 10
1001 a) 10 · 4,37
b)
1002 a) 4 + 7 · 3
b) (4 + 7) · 3
a) 65 = ? · 100
b)
c) 1
Den minsta gemensamma nämnaren är 6. Skriv därför båda bråken som sjättedelar. 5 sjättedelar delat med fyra sjättedelar är lika 5 med . Svara i blandad form. 4
1 4
3 8
1003 Vilka tal saknas?
3
med 2 så att du får en täljare som 4 är delbar med 2. Förläng
4 40 4 40 = / = = 10 5 5 5 4
Svar: a)
5 2 / 6 3
67,5 10
c) 0,8 · 20 c) 4 · (7 + 3)
? / 4 = 60
c) 1 – ? = 0,9
1 av sin inkomst på 5 56 ris. av hushållen har dator. Skriv de båda bråken i decimalform. 100
1004 Den genomsnittliga familjen i Tokyo spenderar
1005 a) 1 − 1006 a)
2 5
1 0,5
1007 Vem har rätt?
b)
1 1 ⋅ 2 3
c)
3 5 + 8 8
b)
42 20
c)
4 0,02
Förklara hur du tänker.
Talet
3
är ett
4 rationellt tal.
Gabriel
Talet
3
är ett 4 irrationellt tal.
Yasemin
1 • Taluppfattning och tals användning
11
1008 a) 14 / (7 + 3) 1009 a)
b) 14 / 7 + 3
3 7 + 5 10
b)
c) 14 – (7 + 3)
5 1 − 8 4
c)
3 1 + 4 3
1010 Cajsa har en stor hink som rymmer
12 liter och en liten vattenkanna som rymmer 0,6 liter. Hur många gånger måste hon hälla med vattenkannan för att hinken ska bli full?
1011 Vilken eller vilka av beräkningarna
ger följande svar a) 2
b) 20
A: 40 · 50
c) 2 000 B: 0,02 · 100
E: 1 000 · 0,002
1012 a)
1 4 ⋅ 3 5
F:
C:
14 0,007
b) 1 /
1 4
1,6 0,08
D:
G: 0,4 · 5
c) 3 ⋅
1 0, 5 H:
2 0,1
3 5
1013 Ett lotteri har presentkort som priser. Hur mycket är presentkorten
värda sammanlagt? VINSTER
10 st presentkor t à 500:– 50 st presentkor t à 250:– 100 st presentkor t à 100:–
1014 Ge exempel på en beräkning med ett svar som är ett
a) naturligt tal
12
b) rationellt tal
1 • Taluppfattning och tals användning
1015 a) Vilken av följande beräkningar ger det största respektive det minsta
talet som svar?
A:
3 2 5 5 3 5 + − B: ⋅ C: / 2 8 3 6 6 8 6
b) Beräkna summan av dessa två tal. 1016 a)
24 0,6
b) 4 000 · 0,09
c)
15 500
1017 a)
2 1 / 3 6
b) 1
3 5 ⋅ 10 6
c)
5 1 / 8 2
1018 a) 8 – 2(11 – 8,5)
b) 60 −
13 + 17 2
c) 56 / 10 – 0,037 · 100
1019 En mataffär frågade sina kunder varför
de handlar ekologisk mat. 1 svarade ”för djurens skull” 5 2 och svarade ”för miljöns skull”. 9 Resten svarade ”för hälsans skull”. Hur stor andel handlade ekologiskt för hälsans skull?
Vid EU-undersökningen analyserades 70 000 prover. Man hittade då rester av bekämpningsmedel i hälften av proverna. I några fall överskreds dosen för barn med 10 gånger det tillåtna värdet.
1020 Det finns regler för hur mycket bekämpningsmedel frukt och grön
saker får innehålla. Vid EU-undersökningen överskreds gränsvärdena 1 av proverna. I 1 % av dessa prover var för bekämpningsmedel i 20 det så hög dos att det omedelbart får effekter på hälsan. Hur många sådana prov upptäcktes i EU-undersökningen?
1 • Taluppfattning och tals användning
13
1021 Vilka av följande påståenden är sanna? Förklara hur du tänker.
A: Talet –2 är ett naturligt tal. B: Talet 0,17 är ett rationellt tal. C: Talet π är ett reellt tal. D: Talet 57 är ett heltal. 3 E: Talet är ett irrationellt tal. 5
1022 a) 2 /
2 9
3 8 b) 1 ⋅ 4 9
c)
7 1 / 12 3 10 + 4 ⋅ 1,5 20 + 3 ⋅ 4
1023 a)
5 ⋅ 5 + 11 62 − 7 ⋅ 8
b)
125 − 8 ⋅ 5 7⋅4 − 3⋅6
c) 20 −
1024 a)
3 2 / 5 3
b)
7 2 1 + ⋅ 12 3 6
4 1 c) ( + ) / 3 7 2
1025 Sätt ut parenteser så att uttrycken stämmer.
a) 55 – 5 · 2 · 3 + 1 = 20
b) 45 – 5 / 5 – 12 + 5 = 1
1026 I svaren nedan saknas decimaltecken och kanske också nollor. Använd
överslagsräkning och räkna ut de rätta svaren. a) 0,785 · 640 = 5 0 2 4
b) 72 000 · 0,34 = 2 4 4 8 4 c) 65,2 ⋅ 0,045 ⋅ == 223344 77 22 5 1 d) 0,072 ⋅ ⋅ 6 600 = 22 33 7 6 2 1027 Skriv talet 0,775 som ett bråk med så liten nämnare som möjligt. 1028 Är talet 0,777 777 777… ett rationellt tal? Hur tänker du?
INGEN Z UTMAN s. 5—14
14
1 • Taluppfattning och tals användning
Negativa tal RÄKNA MED NEGATIVA TAL Materiel: Två tärningar Antal deltagare: 2–3 st
A Alla ska kasta två tärningar sex
gånger var. Efter varje kast väljer spelaren om tärningarna ska visa positiva eller negativa tal. Följande alternativ finns att välja på: 1. Den ena tärningen visar ett positivt och den andra ett negativt tal. 2. Båda tärningarna visar negativa tal.
B Spelare 1 kastar tärningarna en
första gång och väljer ett av alternativen ovan. Därefter multipliceras de två talen och resultatet skrivs upp. Sen kastar nästa spelare de två tärningarna
och gör samma sak. Båda alternativen ska väljas tre gånger vardera. C Efter sex kast kan anteck
ningarna till exempel se ut så här för en spelare: 10, –15, 16, –6, –9, 20
AKTIVITET
1.2
D När alla kastat sex kast adderar
man sina resultat. Den som får störst summa vinner.
E Spela igen eller hitta på en egen
tävling. Ni kan då kanske använda tre tärningar eller andra tärningar som har fler än sex sidor.
1 • Taluppfattning och tals användning
15
Motsatta tal Talen 5 och –5 är motsatta tal. Andra exempel på motsatta tal är 13 och –13. Om man adderar ett tal med det motsatta talet så är summan 0. a + (–a) = 0
Addition av negativa tal Hur mycket är 15 + (–5)? Vi ersätter 15 med 10 + 5 och utnyttjar sen att summan av de motsatta talen 5 och (–5) är 0. Vi får då: 15 + (–5) = 10 + 5 + (–5) = 10 + 0 = 10
123
0
Vi ser att 15 + (–5) = 15 – 5 = 10. En addition med ett negativt tal ger samma resultat som en subtraktion av det motsatta talet. a + (–b) = a – b
Subtraktion av negativa tal Den röda sträckan har längden 5 cm. Längden kan beräknas genom subtraktionen (53–48) cm.
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
Även den gröna sträckan är 5 cm lång. Längden kan beräknas genom subtraktionen 3 – (–2) cm. Vi ser av detta att 3 – (–2) = 3 + 2 = 5.
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
En subtraktion av ett negativt tal ger samma svar som en addition av det motsatta talet. a – (–b) = a + b
16
1 • Taluppfattning och tals användning
Multiplikation med negativa tal En multiplikation med positiva hela tal kan skrivas som en addition: 5 · 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 Om ena faktorn är negativ kan vi göra på samma sätt: 5 · (–2) = (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) = –2 – 2 – 2 – 2 – 2 = –10 Men vad händer om båda faktorerna är negativa tal? Vi kan visa det så här: (–5) · 0 = 0 Eftersom (–2) + 2 = 0 ersätter vi 0 med (–2) + 2 och får då: (–5) · [(–2) + 2] = 0
Multiplicera in (–5) i klammerparentesen.
(–5) · (–2) + (–5) · 2 = 0
123 –10
(–5) · (–2) + (–10) = 0
123 10
Eftersom V.L. = 0 så innebär det att (–5) · (–2) = 10. a · (–b) = –ab
Produkten av ett positivt och ett negativt tal är negativ.
(–a) · b = –ab
Produkten av ett negativt och ett positivt tal är negativ.
(–a) · (–b) = ab
Produkten av två negativa tal är positiv.
Flera faktorer 2·2·2·2 2 · 2 · 2 · (–2)
= 8 · (–2)
= 16 = –16
2 · 2 · (–2) · (–2)
=4·4
= 16
4 2 · (–2) · (–2) · (–2)
= (–4) · 4
= –16
–4 4 (–2) · (–2) · (–2) · (–2)
=4·4
= 16
123
123 123
123 123 4
4
I tabellen ovan ser du att produkten hela tiden växlar mellan 16 och –16. Antalet negativa faktorer avgör om produkten blir negativ.
Om det är ett udda antal negativa faktorer så är produkten negativ. Om det är ett jämnt antal negativa faktorer så är produkten positiv.
1 • Taluppfattning och tals användning
17
Division med negativa tal 10 = 5 5 2 −10 == –5 −5 2 10 –5 == − 5 −2 −10 = 5 5 −2
eftersom
5 · 2 = 10.
eftersom
(–5) · 2 = –10.
eftersom
(–5) · (–2) = 10.
eftersom
5 · (–2) = –10.
Vi kan sammanfatta det i några regler: −a b a −b −a −b
=− =− =
a b
a b a b
Kvoten av ett negativt och ett positivt tal är negativ.
Kvoten av ett positivt och ett negativt tal är negativ.
Kvoten av två negativa tal är positiv.
a) 6 – (–2)
b) (–6) + (–2)
c) 6 · (–2)
a) 6 – (–2) = 6 + 2 = 8 b) (–6) + (–2) = –6 – 2 = –8 c) 6 · (–2) = –12 6 d) = –3 −2 Svar: a) 8
18
b) –8
1 • Taluppfattning och tals användning
c) –12
d) –3
d)
6 −2
1029 Vilket tal är störst?
a) 2 eller –3
b) –7 eller –1
c) 0 eller –9
1030 a) Vad visar termometern?
b) Vad visar termometern om temperaturen stiger 5 °C? c) Vad visar termometern om temperaturen sjunker 5 °C? 1031 a) 3 – 6
b) –3 – 6
c) –3 + 6
1032 a) –8 + 2 – 5
b) –6 – 4 + 8
c) 2 – 9 + 1
1033 Vilket är nästa tal?
a)
8
5
2
–1
b) –15
–11
–7
–3
? ?
1034 Du kliver in i en hiss på våning –1. Teckna uttryck och räkna ut på
vilken våning du kliver ut om du åker a) fem våningar uppåt
1035 Vilket är rätt tecken (< eller >)?
a) –7 ? –2
b) 1,5 ? –1,75
b) två våningar nedåt c) –1,9 ? 0
1036 Förklara varför –3 är ett större tal än –9.
1037 a) 2 – 7
b) –7 + 3
< betyder e än”, ”är mindr > betyder e än” ”är störr
c) –3 – 5
1038 Teckna uttryck och räkna ut vad termometern visar
om temperaturen a) stiger 7 °C
b) sjunker 3 °C
1039 Vilket tal ligger mitt emellan
a) –3 och 7 1040 a) 8 + (–2)
b) –9 och –1
c) –5 och 2
b) 7 – (–5)
c) 3 + (–4)
1 • Taluppfattning och tals användning
19
1041 Teckna ett uttryck och
räkna sen ut hur kallt det kan vara på månen på natten.
Månen är en ganska ogästvänlig plats för oss människor. På dagen kan det vara 180 °C och på natten kan temperaturen sjunka med 390 °C.
1042 Vilka tal saknas?
a) ? + 2 = –7
1043 a) (–4) · 5
b) ? – 3 = –12 b)
−12 3
c) 2 = 1 – ? c) (–5) · (–2)
1044 ”Om man multiplicerar ett negativt tal med ett positivt tal så blir svaret
ett negativt tal” säger Emelie till sin kompis. Stämmer det som Emelie säger? Förklara hur du tänker.
1045 a) 8 + (–3)
b) 8 – (–3)
1046 På Mars var temperaturen –5 °C mitt
på dagen. Under natten sjönk temperaturen till –87 °C. a) Med hur många grader sjönk temperaturen? b) Teckna ett uttryck för hur många grader temperaturen sjönk.
20
1 • Taluppfattning och tals användning
c) (–8) – (–3)
1047 a) 7 · (–2)
b)
−20 4
1048 a)
35 −7
c) (–6) · 3
b) (–5) · (–3)
c)
−16 −2
1049 Använd tallinjen och räkna ut vilken bokstav som visar svaret till
a) B + E
b) E – G
A
–4
–3
B
C
D
–2
–1
0
c) B – E
1
d) A + F
E
F
G
2
3
4
1050 Skriv följande tal i storleksordning. Börja med det minsta. –1,26
0,01
–1,3
–2,1
1051 Vilka tal saknas?
a) (–4) · ? = –8
3= b) −–3
–0,91
?
1,01
c) (–2) · ? = 14
7
1052 Ge exempel på ett negativt tal som är ett rationellt tal men inte ett
heltal.
1053 Använd tallinjen och räkna ut vilken bokstav som visar svaret till
a) D · E
b) A / G
A
B
C
D
–4
–3
–2
–1
c) G – C E
0
1054 Under en vecka i december var
1
F
G
2
medeltemperaturen –3 °C. Tabellen visar vilken temperaturen var måndag–lördag. Vilken temperatur var det på söndagen?
d) B + D H
3
4 måndag
3 °C
tisdag
–4 °C
onsdag
–5 °C
torsdag
0 °C
fredag
1°C
lördag
–7 °C
1 • Taluppfattning och tals användning
21
1055 a) 4 + (– 2) – 1
b) (–2) + 7 – (–1)
c) 4 – (–3) – (–2)
1056 I en magisk kvadrat är summan av alla tal,
7
vågrätt, lodrätt och diagonalt densamma. Rita av kvadraten till höger. Fyll sen i rutorna så att kvadraten blir magisk med summan –15.
1057 a)
4 ⋅ (−5) (−2) ⋅ (−2)
b) 3 · (–2) · 2 + 8
c)
–3
9
3 ⋅ (−4) (−6) − (−12)
1058 I USA mäter man temperatur i grader Fahrenheit (°F). Med uttrycket
5 ∙ (F – 32) kan man omvandla från °F till °C. I uttrycket står F för 9 temperaturen i °F. En vinterdag i Alaska visade termometern –13 °F. Vad visar en celsiustermometer vid samma temperatur?
1059 Lös ekvationerna.
a) 7 + x = –3 b) (–6) · z · (–1) = –18 c) –10 = x + (–7) – (–5) 1060 Skriv in negativa tal så att likheterna stämmer.
a) (?) + (?) = –12 b) (?) – (?) = 4
22
1 • Taluppfattning och tals användning
INGEN Z UTMAN s. 5—14
1.3
Potenser POTENSRACET Materiel: Spelplan (Aktivitetsblad 1), en 10-sidig tärning, en vanlig tärning, miniräknare och spelmarkörer Antal deltagare: 2–3 st
båda tärningarna. Den 10sidiga tärningen visar potensens bas och den vanliga tärningen potensens exponent. Exempel Om den 10sidiga tärningen visar 8 och den vanliga tär ningen 4, så ger det potensen 84.
B Beräkna potensens värde.
Använd miniräknare om det behövs. Om värdet hamnar innanför intervallet i den första ringen hoppar man dit, annars står man kvar. Sen går turen över till nästa spelare.
AKTIVITET
A Spelare 1 börjar med att kasta de
C Alla spelare gör sedan i tur och
ordning som spelare 1. Den som kommer först i mål vinner.
D Om ni hinner kan ni spela igen 1–500 START
MÅL 100 000– 1 000 000
10– 1 000
50–500
1 000– 5000
10 000– 100 000
eller hitta på en egen tävling.
100– 1 000
1–100
1 • Taluppfattning och tals användning
23
Potenser Ett schackbräde har 8 rutor på längden och 8 rutor på bredden. Antalet rutor är alltså 8 ∙ 8 = 64. Ett annat sätt att skriva 8 ∙ 8 är 82. Uttrycket 82 kallas för en potens. Talet 8 är potensens bas och talet 2 är potensens exponent.
8
2
potens
exponent bas
Potenser med negativ bas Om basen i en potens är ett negativt tal så är det exponenten som avgör om potensen är positiv eller negativ. Till exempel är: (–1)2 = (–1) · (–1) = 1 (–1)3 = (–1) · (–1) · (–1) = –1 Om basen i en potens är ett negativt tal så är potensens värde: – positivt om exponenten är ett jämnt tal – negativt om exponenten är ett udda tal
a) 0,42
b) 3 · 42
c)
() 2 3
2
a) 0,42 = 0,4 · 0,4 = 0,16 b) 3 · 42 = 3 · 16 = 48
Först räknar du ut vad potensen blir. Sedan räknar du multiplikationen.
( )
2
c)
2 2 2 2·2 4 = · = = 3 3 3 3· 3 9
Svar: a) 0,16
24
b) 48
1 • Taluppfattning och tals användning
Hela bråket, både täljaren och nämnaren, ska tas upphöjt till två.
c) 4 9
a) (–2)2
b) (–3)3
c) (–0,5)2 – 0,42 Om du multiplicerar ett jämnt antal negativa faktorer med varandra, är produkten positiv.
a) (–2)2 = (–2) · (–2) = 4
Om det är ett udda antal negativa faktorer är produkten negativ.
b) (–3)3 = (–3) · (–3) · (–3) = –27
c) (–0,5)2 – 0,42 = (–0,5) · (–0,5) – 0,4 · 0,4 = = 0,25 – 0,16 = 0,09
Tänk på att räkna multiplikationerna före subtraktionen. (–0,5)2 = (–0,5) · (–0,5) = 0,25 och 0,42 = 0,4 · 0,4 = 0,16.
Det första minustecknet, (–0,5), visar att det är ett negativt tal. Det andra minstecknet visar att det ska ske en subtraktion.
Svar: a) 4
b) –27
c) 0,09
1061 Skriv uttrycken som potenser.
a) 5 · 5 · 5 · 5 1062 a) 72
b) 2 · 2 · 2
c) (–3) · (–3)
b) 0,52
c) 13
1063 Vilket tal är störst, 32 eller 23? 1064 Adam har staplat backar på lagret.
En stapel har fyra backar på bredden, fyra på längden och fyra på höjden. a) Skriv antalet backar som en potens. b) Hur många backar läsk finns det i stapeln?
()
1 1065 a) 3
2
1066 Vilka tal saknas? ?
a) 3 = 9
b) 52 + 22
c) 102 – 92
b) 8 = 2?
c) 103 =
?
1067 Förklara varför 21 = 2.
1 • Taluppfattning och tals användning
25
1068 a) 72
b) 92 2
1069 a) 0,8
()
3 b) 5
c) 24 2
c) (–6)2
1070 Om du viker en duk en gång får
du två lager duk. Antalet lager kan skrivas 21. Hur många lager får du om du viker en duk a) två gånger b) tre gånger c) fyra gånger d) En duk kan vara 0,5 mm tjock. Hur tjocka är alla lager sammanlagt efter fyra vikningar?
I uppgift a–c ska du svara i både potensform och utan potens. 1071 a) (–2)2
b) (–2)3 c) 104 1072 En potens har värdet 64.
Exponenten är 3. Vilken är basen?
1073 a) Vilken av följande beräkningar ger det största respektive minsta
talet som svar?
A: 0,62 – 0,42 B: (–1)4 C: (–2)2 – 12 b) Beräkna differensen mellan det största och minsta talet. 1074 (–1)m = 1 och (–1)n = –1.
Ge förslag på vilka tal som m och n kan vara.
26
1 • Taluppfattning och tals användning
() () 1 2
2
+
1 2
3
1075 a) 0,42
b) (–0,5)2
c)
1076 a) 2 · 42
b) 4 · (–1)3
c) (–4)2 + (–6)2
1077 Vilka tal saknas?
a) (–6)? = 36
b) 990 = 10? – 10 c) 0,1? = 0,0001
1078 a) 5 · 23 – 4 · 32
b) 52 + (–3)3
c) 6 · 0,12 + 3 · 0,22
1079 a) (–1)4 + (–2)3
b) (–1)4 · (–2)3
c) (–1)4 – (–2)3
1080 Visa att talet 1010 – 1 är delbart med 9. 1081 Ge två exempel på potenser där basen är ett bråk och potensens värde
är 0,25.
2 4 + 3 ⋅ 23 102 + 102
1082 a) (15 + 3 · 22) – 42 · 23
b)
1083 a) (–5)2 – (–5)3
b) (–2)3 – (–3)3 + (–4)3
Vilket tal är x? 1084 a) (–5)x = –125 1085 a)
10 x == 0,1 0,1 53 − 5 2
1086 a) (–4) · x · (–1) – (–2)2 = 4
b) 49 = 72x – 1 b) 5x – 4x – 3x – 2x – 1x = 52 b) x3 + (–3)4 = 17
1087 Hur ska talen –2, 6, –8 och 10 placeras i uttrycken för att
uträkningarna ska stämma? Varje tal ska användas en gång i varje uttryck. a) (? – ?) / (? + ?) = 4
b)
? · ? + ? · ? = 76
1088 Hur kan du förklara att –32 = –9 men (–3)2 = 9? INGEN Z UTMAN s. 5—14
1 • Taluppfattning och tals användning
27
NP
NP
NP
NP
NP
NP
RESONERA OCH UTVECKLA
NP
NP
MÖNSTER
NP
Titta på bilderna nedan. Antalet cirklar bildar ett mönster.
NP
NP
NP Figur 1
Figur 2
Figur 3
1 Skriv antalet blåa cirklar i följande figurer i potensform.
NP
a) Figur 1
b) Figur 2
d) Figur 4
e) Figur 10
NP
c) Figur 3
NP
2 Hur många gula cirklar är det i följande figurer?
NP NP
a) Figur 1
b) Figur 2
d) Figur 4
e) Figur 10
c) Figur 3
NP
3 a) Teckna ett uttryck för antalet blåa cirklar i figur n.
b) Teckna ett uttryck för antalet gula cirklar i figur n. 4 a) Teckna ett uttryck för det sammanlagda antalet cirklar i figur n.
NP
NP
b) Använd uttrycket och räkna ut det sammanlagda antalet cirklar i figur 50.
NP
5 Gör en undersökning och ta reda på i vilken figur som
NP
a) antalet gula cirklar är dubbelt så många som antalet blåa cirklar b) antalet blåa och gula cirklar är lika många
NP
c) antalet blåa cirklar är dubbelt så många som antalet gula cirklar
NP
6 Hur kan du med hjälp av uttrycken i 3a och 3b ta reda på i vilken
NP
figur som antalet blåa cirklar är 10 ggr så många som antalet gula cirklar?
NP
NP NP
NP 28
1 • Taluppfattning och tals användning
NP
NP
NP
NP NP
NP
P
P
P
P
1.4
Räkna med potenser
Tiopotenser och grundpotensform En tiopotens är en potens med basen 10. Till exempel är 1 000 = 10 · 10 · 10 = 103 och 100 000 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 105. Avståndet mellan solen och jorden är ungefär 150 000 000 km. Det kan vi skriva som 1,5 · 100 000 000 km = 1,5 ·108 km. Vi har då skrivit talet i grundpotensform. När ett tal är skrivet i grundpotensform är faktorn före tiopotensen ett tal mellan 1 och 10. Räkna med potenser Multiplikation med potenser
Om du till exempel vill räkna ut 102 · 103 kan du skriva det som en multiplikation med fem faktorer 10. 102 · 103 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 105
123 123 102
103
Som du ser kan du vid multiplikation av potenser med samma bas addera exponenterna. 102 · 103 = 102+3 = 105 Division med potenser
När man räknar en division kan man göra på liknande sätt. 1
1
105 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 103 102 10 ⋅ 10 1
1
Som du ser kan du vid division av potenser med samma bas subtrahera exponenterna. 105 5− 2 == 10 ==10103 3 105–2 2 10 1 • Taluppfattning och tals användning
29
Vad händer när exponenten är noll?
Vad är
104 ? 104
1
1
1
1
104 104 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 104 − 4 = 100 eller 4 = =1 4 10 10 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 1 1 1 1 Alltså är 100 = 1. Reglerna gäller för multiplikation och division av alla potenser med samma bas. När potenser med samma bas multipliceras med varandra adderas exponenterna. am · an = am+n När potenser med samma bas divideras med varandra subtraheras exponenterna. am m− n = aam–n an När en potens har exponenten 0, är potensens värde lika med 1. a0 = 1
Eftersom det inte finns några rovdjur i Australien finns det många tamdjur som blivit förvildade. Till exempel finns det 300 000 000 kaniner och 2 600 000 getter som lever vilt i naturen. Skriv antalen i grundpotensform.
Kaniner: 300000000 = 3 · 108
300 000 000 = 3 · 100 000 000 = 3 · 108. Men du kan också skriva antalet som 300 000 000,0. För att komma till talet 3,0 måste du flytta alla siffror 8 steg åt höger. Exponenten blir då 8.
Du kan också tänka så här: "För att komma till talet 3,0 måste decimaltecknet flyttas 8 steg åt vänster. Exponenten blir då 8."
Getter: 2600000 = 2,6 · 106 Svar: Kaniner: 3 · 108 st Getter: 2,6 · 106 st
30
1 • Taluppfattning och tals användning
I talet 2 600 000,0 måste siffrorna eller decimaltecknet flyttas 6 steg för att du ska få talet 2,6. Alltså är exponenten 6.
Skriv talen utan tiopotens. b) 6,1 · 104 a) 3,5 · 102
Antingen gör du som i lösningen, eller så tittar du på exponenten. Eftersom exponenten är 2, så kan du helt enkelt flytta decimaltecknet två steg åt höger.
a) 3,5 · 102 = 3,5 · 100 = 350
Här flyttar vi decimaltecknet fyra steg åt höger, eftersom exponenten är 4.
b) 6,1 · 104 = 6,1 · 10000 = 61000 Svar: a) 350
b) 61000
a) 102 · 10 · 104
b)
27 23
c)
a) 102 · 10 · 104 = 102+1+4 = 107 b)
54 ⋅ 52 53 ⋅ 53 Observera att 10 = 101.
27 = 27–3 ==2244 23 Räkna först ut täljarna och nämnarna.
54 · 52 56 6–6 0 = c) 3 3 ==550= 1= 1 6 = 5 5 ·5 5 Svar: a) 107
b) 24
Observera att potensens värde är 1 när exponenten är 0.
c) 1
1089 Skriv talen utan tiopotens.
a) 103
b) 3 · 103
c) 8 · 106
1090 Skriv talen i grundpotensform.
a) 700
b) 5 000
c) 30 000
1091 Skriv solens inre temperatur
a) med siffror b) i grundpotensform
Temperaturen i solens inre är 15 miljoner °C.
1 • Taluppfattning och tals användning
31
1092 a) 102 · 103
b)
105 102
c) 23 · 24
1093 Forskare i New Mexico har lyckats skapa en av de högsta
temperaturerna på jorden någonsin. Termometern visade två miljarder grader Celsius. a) Skriv temperaturen med siffror och utan potens. b) Skriv temperaturen i grundpotensform.
1094 Vidar tror att 104 är dubbelt så mycket som 102. Har han rätt? Förklara
hur du tänker.
1095 Skriv talen utan tiopotens.
a) 102 1096 a) 51 · 52
b) 6 · 103 b)
109 103
c) 4,2 · 105 c) 72 · 73
1097 En del av den sand som blåser bort från Saharaöknen blåser ända till
Europa. Skriv den bortblåsta sandens vikt i grundpotensform.
1098 Skriv Saharaöknens area utan tiopotens. 1099 Skriv antalet människor som bor i Saharaöknens utkanter i
grundpotensform.
Saharaöknen är 9 · 106 km2 stor. Trots det extrema klimatet bor det 2,5 miljoner människor i öknens utkanter. Att det blåser bort 200 000 000 ton sand från Saharaöknen varje år märker man inte mycket av. Öknen är fortfarande gigantisk.
32
1 • Taluppfattning och tals användning
1100 Hur kan du visa att 25 · 103 är lika med 2,5 · 104?
1101 Skriv talen som tiopotenser.
a) tio miljoner
b) hundra miljarder
c) en biljon
1102 Skriv talen i grundpotensform.
a) 725 000 1103 a) 34 · 32 · 3 1104 a)
63 ⋅ 6 4 67
b) två och en halv miljon b)
1011 107
b) 102 · 103 · 104
c) 5,4 miljarder c)
53 ⋅ 57 56
c)
63 ⋅ 67 6 2 ⋅ 66
1105 Hur många kilometer är det tvärs
över Vintergatan?
Galaxen M64, eller Onda Ögat som den också kallas, är en spiralgalax precis som vår egen galax Vintergatan. Båda galaxerna är ungefär lika stora. Trots att ljuset färdas 1013 km per år tar det 105 år för ljuset att färdas tvärs över Vintergatan.
1106 Hur mycket är en tredjedel av 39? Välj ett av alternativen nedan och
förklara varför det är det rätta.
38 33 19 13
1107 Vilket tal ligger mitt emellan
a) 52 och 25
b) 103 och 104
c) 2 ∙ 103 och 105
1108 (102)3 = 102 · 102 · 102 = 106. Vi ser alltså att (102)3 = 102 · 3 = 106. Allmänt
gäller att (am)n = am · n. Hur mycket är då
a) (103)4
b) (34)2 · (32)4
c) (23)4 · (22)5
1 • Taluppfattning och tals användning
33
N
Man tror att The Beatles har sålt 6 · 108 album. Skulle man dessutom räkna alla singlar är det mångdubbelt fler. En av medlemmarna, John Lennon, sköts tyvärr till döds i New York när han endast var 40 år och 2 månader gammal.
N
1109 The Beatles är den grupp som sålt flest album genom världshistorien.
Gruppen bildades 1960 och på den tiden fanns det bara vinylskivor, som är större än cd-skivor. Men tänk dig att alla skivor de sålt är cd-skivor och att du lägger alla cd-fodral i en lång rad. Hur lång skulle raden bli? Räkna med att ett fodral är 14 cm brett. Svara i grundpotensform i a) meter
b) kilometer
c) mil
d) Hur många gånger Sveriges längd blir raden med skivfodral? Sverige är ungefär 1,6 · 103 km långt. Avrunda till tiotal.
N
1110 Hjärtat slår ungefär 70 slag per minut. Hur många gånger slog John
Lennons hjärta under hans livstid? Räkna med 365 dygn på ett år och 30 dygn på en månad. Svara i grundpotensform med faktorn före tiopotensen avrundad till tiondelar.
1111 Ljusets hastighet är 3 · 108 m/s. Hur många kilometer per timme är det? 1112 Försök att komma på ett sätt 25
25
x
att lösa ekvationen 2 + 2 = 2
34
1 • Taluppfattning och tals användning
INGEN Z UTMAN s. 5—14
N
NP
NP
NP
NP
NP
TALUPPFATTNING OCH HUVUDRÄKNING
NP
NP
1 Hur mycket är
a)
NP
NP
1 av 60 möss 3
b) 10 % av 70 hundar
c)
NP
2 av 20 spindlar 5
2 Skriv talen i decimalform.
a) sju tiondelar
NP
b) tolv tusendelar
c) tre hundradelar
NP
3 Skriv vikterna i gram.
a) 1,5 kg
b) två och ett halvt hektogram
c) 0,3 kg
NP
4 a) Hur stor andel av figuren är röd? Svara i bråkform.
NP
b) Hur många fler rutor ska färgläggas för att 75 % av figuren ska vara röd?
NP
5 Vilken av följande beräkningar ger
NP
a) det minsta svaret A: 32 – 0,793
NP
b) det största svaret
B: 32 – 0,78
C: 32 – 0,89
D: 32 – 0,849
NP
6 Vilket alternativ är rimligast?
1 a) 3 ⋅ 4 3 1 b) 4 / 4 4 1 c) 4 / 5 8
NP
NP
15
18
21
24
0,4
0,6
0,8
1,1
0,4
0,6
0,8
1,1
7 Hur mycket är
a) hälften av
1 2
b) en tredjedel av
NP NP NP
1 6
8 Hur mycket är hälften av
NP
a) –8 9 a) 23 · 32
NP
c) 24
b) (2 · 3)2
c) (2 – 3)3
10 För vilket värde på x stämmer följande likheter?
a) 300 – 2x = 200
NP
b) 0,25
b) 2x = 32
c) 10 ==
NP
50 x +1
NP
NP
NP
NP NP NP
1 • Taluppfattning och tals användning
NP
35
NP
1.5
Små tal och tiopotenser
Väteatomen är den minsta atomen i universum. Två väteatomer som sitter ihop bildar vätgas, en gas som är mycket explosiv. Därför används den till exempel för att driva rymdraketer.
Små tal som potenser På en millimeter får det plats 10 miljoner väteatomer. Det innebär att en väteatom har diametern 0,000 000 0001 m. Så här små tal är otympliga att skriva, men som tur är går även små tal att skriva med hjälp av tiopotenser. Vi börjar med att titta på en division med tiopotenser: 1
1
102 10 ⋅ 10 1 = = = 0,1 3 10 10 ⋅ 10 ⋅ 10 10 1
1
Med reglerna du har lärt dig för division av tiopotenser får du: 102 = 102− 3 = 10−1 3 10 1 = 10−1 10 Vi kan på motsvarande sätt visa att följande samband gäller: 1 10−2 = 2 = 0,01 10 1 10−3 = 3 = 0,001 10 1 10−4 = 4 = 0, 0001 10 Alltså är 0,1 =
och så vidare …
36
1 • Taluppfattning och tals användning
Små tal i grundpotensform Kungen hos de här schackpjäserna är 0,082 m hög. Hur skriver man 0,082 i grundpotensform? Faktorn före tiopotensen ska vara ett tal mellan 1 och 10, det vill säga 8,2. Vilket tal ska vi dividera 8,2 med för att få svaret 0,082? Jo, det är 100. Men att dividera med 100 ger samma resultat som en multiplikation med 0,01. Vi får då att: 8, 2 0, 082 m = m = 8, 2 ⋅ 0, 01 m = 8, 2 ⋅ 10−2 m 100 Du kan också tänka så här: ”I talet 0,082 flyttas alla siffror 2 positioner åt vänster för att vi ska få talet 8,2. Exponenten är då lika med –2.” Multiplikation och division När man multiplicerar och dividerar potenser där en eller flera exponenter är negativa, gäller samma regler som när exponenterna är 102 positiva. Låt oss som exempel titta på divisionen −3 . 10 Vi kan börja med att skriva divisionen med tal skrivna utan potens. Vi 102 100 får då −3 = . Sedan förlänger vi med 1 000 och får då 10 0,001 100 ⋅ 1 000 100 000 = = 100 000 = 105 0,001 ⋅ 1 000 1 Men vi kan också använda regeln för division av potenser. 102 Exponenterna ska subtraheras. Vi får då att −3 = 102−( −3) = 105 10 Skriv talen i grundpotensform. a) 0,002 b) 0,000 065
För att komma till talet 2 måste alla siffror i 0,002 flytta 3 positioner åt vänster. Exponenten blir då –3. Talet skrivet i grundpotensform blir då 2 · 10–3.
a) 0,002 = 2 · 0,001 = 2 · 10–3
b) 0,000065 = 6,5 · 0,00001 = 6,5 · 10–5
–3
Svar: a) 2 · 10
b) 6,5 · 10
–5
För att komma till talet 6,5 flyttar du alla siffror 5 positioner. Exponenten blir då –5.
Du kan också tänka så här: ”För att komma till talet 6,5, måste decimaltecknet flyttas 5 steg åt höger. Exponenten blir då –5.”
1 • Taluppfattning och tals användning
37
Skriv talen utan tiopotens. b) 1,45 · 10–4 a) 3,5 · 10–2
En snabbare metod är att du flyttar decimaltecknet två steg åt vänster.
a) 3,5 · 10–2 = 3,5 · 0,01 = 0,035
b) 1,45 · 10–4 = 1,45 · 0,0001 = 0,000145 Svar: a) 0,035
b) 0,000145
a) 103 · 10–8
b)
23 25
c) 4–5 · 4–1
a) 103 · 10–8 = 103+(–8) = 103–8 = 10–5 b)
23 = 23–5 = 2–2 25
Här flyttar du decimaltecknet fyra steg åt vänster.
Eftersom båda faktorerna har samma bas kan du addera exponenterna.
Eftersom täljaren och nämnaren har samma bas kan du subtrahera exponenterna.
c) 4–5 · 4–1 = 4(–5)+(–1) = 4–5–1 = 4–6 Svar: a) 10–5
b) 2–2
c) 4–6
1113 Skriv talen som tiopotenser.
a) 0,1
b) 0,001
c) 0,000 001
1114 Skriv talen utan tiopotens.
a) 10–2
b) 102
c) 10–3
1115 Skriv längderna i grundpotensform.
a)
b)
0,025 m
0,025 m
38
1 • Taluppfattning och tals användning
c)
0,006 m
0,006 m
0,000 m 0,000 0002 0002 m
1116 Skriv talen utan tiopotenser.
a) 2 · 10–2
b) 3 · 10–1
c) 8 · 10–3
1117 Världens största bakterie kan ses utan hjälp
av mikroskop. Skriv bakteriens längd i grundpotensform.
Bakterier är i vanliga fall så små att vi inte kan se dem utan att använda mikroskop. Men den här bakterien är 0,000 75 m och kan därför ses utan mikroskop.
1118 En golfboll väger 4,6 · 10–2 kg. Skriv golfbollens vikt utan tiopotens. 1119 Brahim tror att 10–1 är lika med (–1)10. Hur förklarar du för Brahim att
han har fel?
1120 Skriv talen som tiopotenser.
a) 0,01
b) 0,0001
c) 0,000 000 01
1121 Skriv talen utan tiopotens.
a) 10–3
b) 10–2
c) 105
1122 Skriv talen i grundpotensform.
a) 0,005
b) 0,000 15
c) 0,000 0034
1123 Vilket tecken passar? Välj mellan < och >.
a) 10–1
? 10
1124 a) 104 · 10–2
–2
b) 10–3 ? 100
b)
23 25
c) 9 · 10–2
? 10
–1
< betyder e än”, ”är mindr > betyder e än” ”är störr
c) 7–2 · 7–3
1 • Taluppfattning och tals användning
39
Bildförteckning Omslag: Per Mäkitalo /Johnér Bildbyrå AB 7 Albert J. Copley/IBL 12 Lennart Undvall 24 Dan Norrå/Scanpix 26 Lars Pehrson/SvD/Scanpix 32 Thomas Dressler/Age/Scanpix 33 NASA and The Hubble Heritage Team (AURA/ STScI); S. Smartt (Inst of Astronomy) & D. Richstone (U. Michigan) 34 AP/Scanpix 36 Sandra Joseph & Kevin O’Connell/NASA 38 (1) Stefan Lindahl/IBL 38 (3) Science Photo Library/IBL 39 Charles O’Rear/Corbis/Scanpix 40 (4) Linda Stannard/Science Photo Library/IBL 41 Lars Pehrson/SvD/Scanpix 44 Nicklas Thegerström/Scanpix 45 Jessica Silversaga/Scanpix/Bildhuset 46 Tony Brain/Science Photo Library/IBL 47 National Human Genome Research Institute 49 David Arky/Getty Images 51 (1) Jens Lucking/Getty Images 51 (2) Jan Nordén/IBL 53 Jochen Eckel/DPA/Scanpix 54 Erling Schön/Naturfotograferna/IBL 66 Magnus Hjalmarson Neideman/SvD/Scanpix 69 Robert Daly/OJO/IBL 80 Emil Henriksson/Scanpix 83 Rolf Christensen/Scanpix 84 Hasse Holmberg/Scanpix 85 Hulton Archive/Getty Images 86 Paul Harcourt Davies/Science Photo Library/IBL 90 Lennart Undvall 91 Fredrik Funck/Scanpix 95 Lennart Undvall 98 Sven Persson/sydpol.com/IBL 102 Jessica Gow/Scanpix 107 Science Photo Library/IBL 108 ImagesBazaar/Getty Images 112 (2) Bridgeman Library/IBL 117 Paul Brown/Rex Features/IBL 118 Andrew Brown/Corbis/Scanpix 119 Anders Wiklund/Scanpix 122 Rodolfo Buhrer/Reuters/Scanpix 124 (1) Werner Forman/Corbis/Scanpix 126 Pär Eliasson/IBL 132 Trons/Scanpix 137 Dan Norrå/Scanpix 145 Science Photo Library/IBL 155 (1) Roger-Viollet/IBL 156 Conny Welén 159 Lars Jarnemo/Naturfotograferna/IBL 160 Jacques Brinon/AP/Scanpix 163 Nicklas Thegerström/DN/Scanpix 165 Elina Simonen/Lehtikuva/Scanpix 166, 313 Emory Kristof/National Geographic/Getty Images 169 Mark Carwardine/Getty Images
386
170 Triumph Motorcycles 171 Adam Haglund/Maskot/Scanpix 172 Maskot/Scanpix 189 Bertil Ericson/Scanpix 190, 314 Sari Gustafsson/Lehtikuva/Scanpix 207 Göran Gustafson/Scanpix 208 Justin Sullivan/Getty Images 217 Bridgeman Library/IBL 222 Daniel Hasselberg/IBL 224 André Maslennikov/IBL 229 Riksbanken 230 Berit Roald/Scanpix 236 Anders Wiklund/Scanpix 238 Image state/IBL 241 Tobbe Nilsson/Scanpix 245 Everett Collection/IBL 248 Drago Prvulovic/Scanpix 250 Lennart Undvall 256 Stefan Sauer/DPA/Scanpix 260 Roland Bengtsson/Scanpix 262 Simon Rydén/DA/Scanpix 265 (3) Karin Grip/SvD/Scanpix 268 Arnd Wiegmann/Reuters/Scanpix 271 Anders Wiklund/Scanpix 272 Bea Tigerhielm/XP/Scanpix 281 Ffooter/Shutterstock 283 Klas Rune/Naturfotograferna/IBL 290 Everett Collection/IBL 292 André Maslennikov/IBL 294 Claes Grundsten/Scanpix/Bildhuset 295 Johan Bävman/Sydsvenskan/Scanpix 296 Kristina Johnson 299 Claudio Bresciani/Scanpix 300 ©Posten Frimärken 301 Linda Forsell/SvD/Scanpix 304 Ulf Palm/Scanpix 306 Jan Nordén/IBL 308 Ulf Palm/Scanpix 318 Mark Earthy/Scanpix 320 Jonas Kullman/Skistar 322 Lars-Gunnar Gustafsson/IBL 326 Robert Henriksson/DN/Scanpix 327 (2) Science Photo Library/IBL 332, 335 Johan Bjurer/Scanpix 341 Tim McGuire/Workbook/Getty Images 344 Gerd Guenther/Science Photo Library/IBL 346 David Parker/Science Photo Library/IBL 347 Ardea/IBL 351 (2) Pascal Goetgheluck/Science Photo Library/ IBL 354 Per-Olof Sännås/Aftonbladet/IBL 355 Janos Jurka/Naturfotograferna/IBL 359 Andy Horner/Naturfotograferna/IBL 361 Carla Thomas/NASA Uppdragsfotografering: Ulf Rennéus/Mary Square Images, sidorna 15, 23, 60, 77, 180, 218 och 225. Övriga bilder: Haléns, Liber arkiv, OPV Online, Photodisc och Shutterstock.
ISBN 978-91-47-08550-7 © 2013 Lennart Undvall, Kristina Johnson, Conny Welén, Svante Forsberg, Karl-Gerhard Olofsson och Liber AB Projektledare och redaktör: Sara Ramsfeldt Formgivning och layout: Eva Jerkeman och Monica Schmidt/Exakta Bildredaktör: Marie Olsson Illustrationer: Ingrid Magnusson Faktor: Adam Dahl Fjärde upplagan 1 Repro: Exakta, Malmö Tryck: Kina 2013
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildnings samordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/ förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se. Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se
I Matematikboken Z hittar du: • • • • • • • • •
Centralt innehåll i enlighet med kursplan 2011 Tydlig struktur Målsidor Gemensamma genomgångar med typexempel Uppgifter på fyra svårighetsnivåer Väl avvägd progression Sammanfattningar av begrepp och formler efter varje kapitel Träning av olika matematiska förmågor Uppgifterna är av varierande karaktär och växlar mellan: Färdighetstränande | Kommunikativa | Laborativa | Undersökande | Problemlösande | Tematiska Bokens baksida
Matematikboken Z
Bashäfte
Utmaningen
Lärarhandledning
Onlinebok
Matematikboken går att använda genom hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9. Matematikboken X, Y och Z är avsedda för årskurs 7– 9. I varje årskurs finns en grundbok, ett enklare bashäfte, en utmaningsbok med mer avancerad matematik och en lärarhandledning. Grundboken finns även som onlinebok, en digital version av boken med interaktiva verktyg. Du hittar också en hel del tips och extramaterial på www.matematikbokenxyz.se. Har du frågor om metodik eller innehåll är du välkommen att kontakta Lennart Undvall på mail eller telefon, lennart.undvall@gmail.com respektive 070-320 38 62. Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.
Best.nr 47-08550-7 Tryck.nr 47-08550-7