9789147085217

PPDRAG :

UPPDRAG: MATTE 9

UPPDRAG: MATTE 9 Uppdrag: Matte är en helt ny matematikserie för årskurs 7–9. Serien erbjuder eleverna två olika sätt att ta sig an matematiken: teori först och räkna sedan på, eller, lös uppdrag och ta hjälp av teorin vid behov. Oavsett vilket spår de väljer, är Uppdrag: Mattes främsta uppdrag att visa på nyttan med matte, och på så sätt motivera eleverna att

Best.nr 47-08521-7 Tryck.nr 47-08521-7

4708521_Omslag_9.indd 1

Olga Wedbjer Rambell Magnus Hansson

ta till sig kunskaper de har nytta av i verkliga livet.

ATTE 2012-07-05 08.00

Nystart Kom igång 6 2. Tal och räkning 8 Olika slags tal Talmängder Räkna med olika slags tal Potenser och prefix Delar, andelar och proportioner Blodet och kisset 3. Algebra 18 Uttryck och ekvationer Mönster 4. Geometri 22 2D: Sträckor och ytor, skalor och vinklar Drömrummet 3D: Kroppar och volymer 5. Samband och förändring 28 Procent och förändring Samband Sannolikhet Statistik Startdiagnos 38 Öva inför NP 40

Tal och räkning

Algebra

– om små och stora tal, potenser och kvadratrötter

– om uttryck och ekvationer, mönster och talföljder

Kom igång 42 Innehåll 44

Kom igång 88 Innehåll 90

BAS

BAS

UPPDRAG 46

UPPDRAG 92

TEORI 52 Problemlösning Potenser Grundpotensform och prefix för små tal

TEORI 98 Uttryck, formler och ekvationer Mönster och talföljder

RÄKNA PÅ 58 Diagnos 1 och 2 66 Repetera 68

RÄKNA PÅ 104 Diagnos 1 och 2 112 Repetera 114

DJUP

DJUP

UPPDRAG 70

UPPDRAG 116

TEORI 76 Kvadrater och kvadratrötter

TEORI 122 Uttryck och ekvationer med bråk Att multiplicera parenteser Andragradsekvationer

RÄKNA PÅ 80 Öva inför NP 84 Sammanfattning 86

RÄKNA PÅ 126 Öva inför NP 130 Sammanfattning 132

2

001-041 4708521_Kap_1.indd 2

2012-07-09 07.32

Geometri

Samband och förändring

Mattebanken

- om cirklar och cylindrar, area och volym

– om procent och förändringar, grafer och funktioner

Tips från coachen 227

Kom igång 134 Innehåll 136

Kom igång 180 Innehåll 182

Formler 228

BAS

BAS

Facit 248

UPPDRAG 138

UPPDRAG 184

Tipsfacit 269

TEORI 144

TEORI 190

Register 284

Volym Förhållande mellan volymer Pythagoras sats

Procent och förändring Tolka grafer och funktioner Linjära funktioner

RÄKNA PÅ 150 Diagnos 1 och 2 158 Repetera 160

RÄKNA PÅ 196 Diagnos 1 och 2 204 Repetera 206

DJUP

DJUP

UPPDRAG 162

UPPDRAG 208

TEORI 168

TEORI 214

Vinklar Likformighet Cirkelsektor Begränsningsarea

Procent och förändringar Andragradsfunktioner

RÄKNA PÅ 172 Öva inför NP 176 Sammanfattning 178

RÄKNA PÅ 218 Öva inför NP 222 Sammanfattning 224

226

Begrepp 230

3

001-041 4708521_Kap_1.indd 3

2012-07-06 11.03

KOM IGÅN G MED NYS TART

Lappar som inte överlappar ANTAL PERSONER: 2–3 MATERIAL: 1 vitt A4-papper per

Den som först har fyllt sin spelplan vinner.

person, A4-papper i fyra olika färger till varje grupp, vanlig tärning

3.

BESTÄM VEM SOM BÖRJAR. Turas

om att slå tärningen och gör det som tärningen visar:

Spelet går ut på att du ska fylla din spelplan med lappar utan att de överlappar varandra. Den som först täcker sin spelplan vinner.

1

2 3

1.

DELA DE OLIKFÄRGADE PAPPREN i

4

lika stora delar.

Antal bitar

2 4 8 16 2.

Varje bit är då

5

1 2 1 4 1 8 1 16

DELA UT DE VITA PAPPREN. Alla spelare ska ha varsitt vitt papper. Detta är spelplanen som du ska fylla.

Välj vilken lapp du vill.

Ta 1 .

2 Ta 1 .

4 Ta 1 .

8 Ta 1 .

16

5.

SPELA NÅGRA FLER omgångar.

6.

PÅ HUR MÅNGA OLIKA SÄTT kan den vinnande spelplanen se ut?

Försök kom på så många varianter som möjligt. Skriv ner kombinationerna som en addition av bråken. Visa att kombinationerna ger vinst genom att visa att summorna av bråken är 1.

6 Ta bort valfri lapp från din spelplan. Är du tvungen att lägga lappen så att den ligger på någon annan lapp eller så att den sticker ut utanför spelplanen har du förlorat och är ute ur spelet.

4.

HUR SER DEN VINNANDE

spelplanen ut?

6

001-041 4708521_Kap_1.indd 6

2012-07-05 09.44

nystart

7

001-041 4708521_Kap_1.indd 7

2012-07-05 09.32

N YS TA R T I N F Ö R

2. TAL OCH RÄKNING

6.

Olika slags tal

Hur många hundradelar är: 7 180 5 ? b) ? c) ? a) 10 1 000 100

7.

Skriv talen ovan i decimalform.

8.

Vilka är talen? a

b

0

1.

Hur mycket är siffran 4 värd i talen? a) 145

b) 5,4

9.

3.

Rita en tallinje mellan 0 och 1 och märk ut talen:

5.

1

2

Skriv två tal mellan 0,98 och 1.

10. Para ihop de bråk som har samma värde.

2.

4.

d

c) 9,104

20 Hur många tiondelar är ?

10

a) 0,5

c

b) 0,2

4 8 c) 0,85

4 12

4 20

5 10

5 25

a) Jesu död

b) Hur många tusendelar går det på en hel?

b) Cheopspyramiden byggdes

?

10

= 0,7

b) 10 =

?

10

c) 9,6 =

6 24

11. Gör en tidslinje från år –3100 till 2100. Sätt ut följande på tidslinjen:

a) Hur många tiondelar går det på en hel?

a)

d) 60 %?

?

c) Gustav Vasa blev kung

10

d) Första människan på månen

8

001-041 4708521_Kap_1.indd 8

2012-07-05 09.32

a) 2 än 0,2?

d

b

a

c

b) 30 än 0,3? c) 87 än 0,087?

–2

13. Vilka två tal kommer sedan? a) 30,5

30,3

30,1

b) 125

25

5

2 3

3 5

0

1

2

19. Vilket tal ligger mittemellan:

? ?

? ?

14. Skriv i storleksordning. Börja med det minsta talet.

6 12

–1

a) –8 och 5? b) 100 och 1 000?

20. Sant eller falskt? Motivera svaret.

15. Skriv två bråk som är större än 0,3 men mindre än 0,5.

a) Jag kan dela upp tallinjen mellan 0,98 och 0,99 i endast 10 delar.

3 4 b) Det finns inget bråk mellan och .

5 5 c) Talet –13,007 ligger mellan –13,1 och –13,0.

16. a) Vilka bråk är större än 0,5?

d) Dett finns nns oändligt oänd n ligt g många tal mellan 0,505 och occh 0,506.

506.

50 6.

0,8

2 5

3 4

8 7

4 7

75 %

14 17

N YS TA R T I N F Ö R

18. Vilka är talen?

2. TAL OCH RÄKNING

12. Hur många gånger större är:

14 27

b) Vilka bråk är mindre än 1? c) Hur kan du se om ett bråk är större än en halv men mindre än en hel?

17. Sant eller falskt? Motivera ditt svar.

4 5 3 5 1 1 a) b) c) < <1 < 6 5 10 2 11 7

9

001-041 4708521_Kap_1.indd 9

2012-07-05 09.33

UPPDRAG

I dinosauriernas spår Antal personer: 1–3 Dinosaurierna utvecklades för ungefär 230 miljoner år sedan. För 65 miljoner år sedan ändrades troligen klimatet så häftigt att dinosaurierna inte kunde leva kvar.

BAS Dinosaurie

Massa

Längd

Typ

Ditt uppdrag är att lösa problem som rör dinosaurier.

När (miljoner år sedan)

Brachiosaurus Stegosaurus Diplodocus Compsognathus

40 ton

26 m

Växtätare

156–145

5 ton

9m

Växtätare

155–148

15 ton

35 m

Växtätare

155–150

2 kg

11 m

Köttätare

ca 150

2. TAL OCH RÄKNING

Iguanodon

4 ton

10 m

Växtätare

135–125

Velociraptor

13 kg

1,5 m

Köttätare

75–70

Triceratops

9 ton

9m

Växtätare

68–65

Tyrannosaurus rex

6 ton

12 m

Köttätare

67–65

1.

ha haft en hjärna stor som en valnöt. Detta är lite orättvist, dess hjärna var stor som en lime. Ett enkelt mått på intelligens är ”smarthetskvoten” som anger hur stor andel hjärnans vikt är av kroppsvikten. a) Vilken smarthetskvot får Stegosaurus vars hjärna vägde 160 gram? b) Vilken smarthetskvot har en elefant som väger lika mycket som en Stegosaurus men vars hjärna väger 5 kg?

Uppgifterna i tabellen kan skilja sig mellan olika källor.

Massan bygger på uppskattningar. Längden är från nostill svanstipp.

042-087 4708521_Kap_2.indd 46

HUR SMARTA var dinosaurier? Stegosaurus påstås

46

2012-07-05 10.17

b) Staketet runt inhägnaden ska förses med nät.

Nätet kostar 29 kr/m2. Hur mycket kommer nätet att kosta totalt?

d) En människohjärna väger runt 1 kg, ibland mindre, ibland mer. Hur mycket skulle du väga om du skulle ha samma smarthetskvot som en Stegosaurus?

2.

4.

DET FINNS SPÅR som visar att vissa dinosaurier kunde

springa åtminstone 12 meter per sekund en kortare sträcka. b) Tyrannosaurus rex påstås ha sprungit i 60 mph (miles per hour). Hur fort är det i km/h?

b) Hur mycket skulle barnbiljetten kosta?

1 mile = 1 610 meter

5.

LEKSAKSDINOSAURIER skulle nog sälja bra i

souvenirbutiken. Ge förslag på skala och mått om vi vill sälja: a) endast Brachiosaurus och T. rex.

d) Compsognathus uppskattas ha sprungit i 40 mph.

Om en hygglig sprinter skulle ställa upp i 100 meter mot Compsognathus, vem skulle ha vunnit?

Motivera ditt svar.

b) även Velociraptor. Motivera ditt val av skala. c) Hur hög skulle du själv bli som souvenirfigur i de skalor du kom fram till i a) respektive b)?

TÄNK ATT VI SKAPAR en djurpark för dinosaurier. En iguanodon behöver kanske minst 1 500 m2 att röra sig på.

a) Ge förslag på mått för en inhägnad som ska rymma en flock på nio iguanodoner. Visa också resonemanget bakom ditt förslag.

47

HAR DU KÖRT FAST? LÄS TEORIN PÅ S. 52-54

2. TA TAL A L OCH RÄKNIN RÄKNING

c) Många seriösa forskare tycker att snabbheten hos T. rex är kraftigt överdriven. Varför, tror du?

042-087 4708521_Kap_2.indd 47

BAS

a) Hur mycket skulle vuxenbiljetten kosta enligt förslaget?

a) Hur fort är det i km/h?

3.

VAD SKA VI TA BETALT i inträde till dinosaurieparken?

Vi behöver så mycket inkomster som möjligt med tanke på att dinosaurier inte är så billiga i drift. Mitt förslag är att barnbiljetterna ska kosta 2/3 av vuxenbiljetterna samtidigt som en familj på två barn och två vuxna inte ska behöva betala mer än 660 kr.

UPPDRAG

c) Hur mycket skulle din hjärna väga om du skulle ha samma smarthetskvot som en Stegosaurus?

2012-07-06 07.23

UPPDRAG

Synligt ljus och osynligt Våglängden på ljuset som reflekteras bestämmer vilken färg vi ser. Men det finns ljus eller elektromagnetisk strålning som vårt mänskliga öga inte kan uppfatta.

Det är faktiskt så att vi kan bara se en liten del av all elektromagnetisk strålning.

BAS Våglängd

6.

RADIOAKTIV STRÅLNING är mycket farlig.

a) Skriv våglängdsområdet i nanometer.

2. TAL OCH RÄKNING

Elektromagnetisk strålning

Våglängdsområde

Radioaktiv strålning

10–14 – 10–11 m

Röntgenstrålning

0,01 – 10 nm

Ultraviolett strålning

10 – 400 nm

Synligt ljus

400 – 700 nm

Infraröd strålning

700 nm – 1 mm

Mikrovågor

1 mm – 1 cm

Radiovågor

1 cm – 1 km

042-087 4708521_Kap_2.indd 48

b) Hur många våglängder radioaktiv strålning ryms på en våglängd röntgenstrålning?

7.

MED HJÄLP AV RÖNTGENSTRÅLNING kan vi fotografera

vårt skelett. a) Skriv våglängdsområdet som tiopotenser (utan prefix). b) Hur många våglängder röntgenstrålning ryms på en sträcka av 1 m?

48

2012-07-05 10.18

ULTRAVIOLETT STRÅLNING (så kallat UV-ljus) är osynlig för oss människor. Du har kanske hört talas om UVA (315–400 nm) och UVB (280–315 nm) i samband med solning och solskydd.

1 sekund

Vissa ämnen är fluorescerande. Det innebär att ämnet tar emot UV-ljus men reflekterar ljuset inom det synliga området. Hur stor skillnad i våglängd är det:

9.

10. ANTALET SVÄNGNINGAR (antalet våglängder) som ljuset gör på 1 sekund kallas för frekvens. Enheten för frekvens är Hertz (Hz).

Ljusets frekvens =

b) mellan en UVB-våg på 280 nm och grönt ljus med en våglängd på 0,55 μm?

Ljusets hastighet = 299 792 458 m/s ≈ 300 · 106 m/s

Ljusets vågländ (m)

c) Vilken strålning har en dubbelt så lång våglängd som UVA-strålning med en våglängd på 380 nm?

a) Skriv av tabellen på s. 48 och lägg till en kolumn: Frekvens.

INFRARÖD STRÅLNING kallas ofta för värmestrålning.

b) Räkna ut frekvenserna och skriv in värdena i din tabell. Välj lämpliga prefix till enheten Hz.

a) kortast våglängd? b) längst våglängd?

b) Jämför längderna med varandra. Hur många gånger längre är den längsta infraröda vågen jämfört med den kortaste?

c) högst frekvens? d) lägst frekvens?

12. TOLKA OCH FÖRKLARA dina resultat i uppgift 11.

49

042-087 4708521_Kap_2.indd 49

HAR DU KÖRT FAST? LÄS TEORIN PÅ S. 56-57

2. TAL OCH RÄKNING

11. VILKEN ELEKTROMAGNETISK strålning har:

a) Skriv våglängdsintervallet i en och samma enhet: mikrometer (μm).

BAS

Ljusets hastighet (m/s)

a) mellan en UVA-våg på 3,5 · 10–7 och synligt blått ljus på 475 nm?

Igenkänning av värmestrålning används bland annat för att skapa mörkerseende i kameror och kikare.

UPPDRAG

8.

2012-07-05 10.18

TEORI BAS

UTTRYCK, FORMLER OCH EKVATIONER En variabel, till exempel x, står för tal. Värdet på variabeln x kan variera i uttryck och formler. I en ekvation har x ett bestämt värde (eller flera bestämda värden om ekvationen innehåller x2). Du räknar med x och andra variabler på samma sätt som du räknar med vanliga tal. x+3

3 mer än x

x–3

3 mindre än x

3x

3 gånger mer än x

x 3

3 gånger mindre än x; en tredjedel av x

EX 2 Hur mycket pengar har jag om x = 242 och y = 1 963? x + y = 242 + 1 963 = 2 205 Svar: Jag har 2 205 kronor.

Ibland finns det ett samband mellan variablerna. Det kan vi uttrycka med hjälp av en formel. Om vi vet den ena variabeln kan vi ta reda på värdet på den andra genom att teckna en ekvation och lösa den.

Ett uttryck, en formel eller en ekvation kan innehålla flera variabler. Varje variabel har då en egen beteckning (bokstav), t.ex. x och y eller s och t eller b och h. När vi har flera variabler kan vi som vanligt tolka uttrycken, dvs. beskriva vad vi beräknar ut med uttrycket.

EX 3 Jag har fyra gånger så mycket pengar på banken som i plånboken. Totalt har jag 2 000 kronor.

Hur mycket har jag på banken? x = pengarna i plånboken y = pengarna på banken

EX 1 Jag har x kronor i plånboken och y kronor på banken. Tolka uttrycken.

3. ALGEBRA

a) x + y

Mina samlade pengar.

b) y – x

Så mycket mer pengar har jag på banken än i plånboken.

Fyra gånger så mycket pengar på banken som i plånboken: y = 4x Totalt har jag 2 000 kronor: x + y = 2 000 x + 4x = 2 000

Vi kan sätta in värden på variablerna och räkna ut värdet på uttrycket.

MATTEBEGREPP

088-133 4708521_Korr_1_Kap_3_exp.indd 98

variabel

uttryck

formel

eftersom y = 4x

5x = 2 000

ekvation

tolka

teckna

98

2012-07-05 10.47

EX 5 Hur mycket kostar apelsinerna per kg om hallonen kostar 35 kr/paket?

5x 2000 = 5 5 x = 400

100 – (c + 0,6d) = 53

y = 4x = 4 · 400 = 1 600

c = 35 ger:

Svar: Jag har 1 600 kronor på banken.

100 – (35 + 0,6d) = 53

Subtrahera allt inom parentesen.

100 – 35 – 0,6d = 53

Förenkla.

65 – 0,6d = 53

Gör samma sak på båda sidor.

65 – 0,6d + 0,6d = 53 + 0,6d

Använd motsatta räknesättet.

EX 4 Titta på bilden. Tolka uttrycken och ekvationerna. a) 2a + 0,75d Uttrycket visar vad kunden får betala för en ananas och 0,75 kg apelsiner. b kr/ st

c kr/paket

a kr/st

/kg d kr

e kr/k g

65 = 53 + 0,6d b) 3a + 1,5e = 95

65 – 53 = 53 + 0,6d – 53

Ekvationen visar att kunden får betala 95 kronor för tre ananaser och 1,5 kg vattenmelon.

12 = 0,6d 12 = 0,6d 0,6 0,6

c) 100 – (c + 0,6d) = 53 Uttrycket visar vad kunden får tillbaka på en hundralapp när hon köper ett paket hallon och 0,6 kg apelsiner.

20 = d Svar: Apelsinerna kostar 20 kr/kg.

99

088-133 4708521_Korr_1_Kap_3_exp.indd 99

2012-07-05 10.48

TEORI

ATT LÖSA UT VARIABLER Du kan redan lösa ekvationer som x · 4 = 256 genom att dividera båda leden med 4:

BAS

Att ”bryta ut” en variabel är samma sak som att ”lösa ut” variabeln.

x . 4 = 256 4 4

Variabler är tal. När du löser ut en variabel gör du alltså på samma sätt som när du löser en ekvation. Skillnaden är bara att du inte har värden (tal) för alla variabler, utan du behåller bokstavsbeteckningarna för talen.

EX 6 Hur mycket nötter m räcker pengarna p till om jämförpriset är j kr/kg?

x = 64

Jämförpriset j (kr/kg) är ju kvoten mellan priset p (kr) och mängden m (kg). priset jämförpriset = mängden p j= Första steget är att få bort m från nämnaren. m m . p Multiplicera med m på båda sidor. m.j= m m · j = p Andra steget är att få m ensamt i vänster led.

Men om det står en annan variabel istället för 4, och alltså inte ett specifikt tal, hur ska du då göra? x · m = 256 Jo, på samma sätt: dividera båda leden med variabeln. x · m = 256 x . m 256 = m m x=

256 m

Variabeln m kan inte vara 0 eftersom vi inte kan dividera med 0.

m.j p = j j p m= j

3. ALGEBRA

Du får inget specifikt värde på x om du inte vet vilket värde m har. Svaret är en formel för hur du kan bestämma x om du vet m.

MATTEBEGREPP

088-133 4708521_Korr_1_Kap_3_exp.indd 100

Dividera med j på båda sidor.

Svar: Mängden m kan bestämmas med formeln: priset mängden = jämförpriset

lösa ut variabel

100

2012-07-05 10.48

Jag kan använda formeln för medelhastigheten: s v= t Låt t = tiden det tar att köra 4 mil.

2 10 = t 3 3 . t . 10

3.t.2

= 3 t 3 . t . 10 3 . t . 2 = t 3 3 · 10 = t · 2

15 = 4 t 2

Multiplicera med nämnarna t och 3 i båda leden.

Förkorta bort t i vänster led och förkorta bort 3 i höger led.

Jämför sista raden med första raden.

Du kan göra beräkningen i ett steg:

TEORI

EX 7 Hur lång tid tar det för mig att köra 4 mil om det tar två timmar för mig att köra 15 mil med samma medelhastighet? Lös med hjälp av ekvation.

KVOTER I BÅDA LEDEN Ekvationer och förhållanden kan också innehålla kvoter eller bråk. Här ska vi se på ett fall där vi har kvoter på varje sida om likhetstecknet.

BAS

eftersom hastigheten är samma.

15 · t = 4 · 2 Korsmultiplikation.

15. t 4 . 2 = 15 15

2 10 = t 3 3 · 10 = t · 2

t=

8 15

8 8 h = · 60 min = 32 min 15 15 Svar: Det tar mig 32 min att köra 4 mil.

t= c a är samma sak som = d b (Obs! b eller d kan inte vara 0.)

a·d=b·c

MATTEBEGREPP MATTEBEGREPP

variabel uttryck korsmultiplikation

formel

ekvation

101

088-133 4708521_Korr_1_Kap_3_exp.indd 101

tolka

teckna

3. ALGEBRA

Den här genvägen brukar kallas för korsmultiplikation.

Den kan du använda när du har en kvot på vardera sidan av likhetstecknet.

2012-07-05 10.48

DIAGNOS

5.

Kolla vad du kan 1

Hur många gånger större blir volymen på en kubformad låda om alla sidorna dubblas?

(cm)

1.

LOGG Vilka uppgifter känner du dig säker på?

Vilka känner du dig osäker på?

a) Beskriv figuren med minst tre ord. b) Bestäm basytans area.

5

c) Bestäm volymen.

2

1 och 2 2.

6

Hur många gånger större volym har cylindern än konen?

RÄTTA Hur gick det?

Har du 4 rätt eller fler, gör Kolla vad du kan 2

(cm)

Kolla vad du kan 2 y

y

35

x

Avgör om snickaren har lagt brädorna i en vinkel på 90°.

8

Hur många liter rymmer konen?

7.

Ett A4-papper har måtten 21 cm · 29,7 cm.

Bestäm diagonalen på ett A4-papper.

Kontrollmät gärna.

8.

En klotformad sparbössa har diametern 22 cm.

Vilken volym har sparbössan?

9.

Vad blir volymskalan när skalan är:

dm

24

6

3.

dm

x

6.

4.

Bestäm konens volym.

4. GEOMETRI 134-179 4708521_Korr_1_Kap_4_exp.indd 158

(cm)

10 dm

h = 18

a) 1:4?

b) 20:1?

9

158

2012-07-05 12.39

Klura Små lådor med yttermåtten 4 cm · 4 cm · 4 cm ska packas i en kartong med innermåtten 24 cm · 17 cm · 19 cm.

11. a) Hur många gånger större volym har den större förpackningen jämfört med den mindre?

a) Undersök hur många små lådor som kan få plats i kartongen som mest? b) Hur kan du ändra måtten på kartongen så att volymen blir mindre samtidigt som du får plats med fler små lådor?

b) Vilken är volymskalan?

(dm) 4

2

1

1

2

Hitta talet

0,5

Vilket tal ska in i rutan med frågetecknet?

12. En pyramid har volymen 840 cm3. Basytan är kvadratisk med kantlängden 2 dm. Bestäm höjden.

LOGG Vilka uppgifter känner du dig säker på?

Vilka känner du dig osäker på?

4

3

5

1

7

5

4

1

6

3

4

2

11

7

5

?

159

134-179 4708521_Korr_1_Kap_4_exp.indd 159

GÖR DJUP: VÄLJ MELLAN UPPDRAG OCH RÄKNA PÅ

1 och 2

4. GEOMETRI

RÄTTA Om du räknat rätt på de flesta av uppgifterna bör du försöka klara alla uppgifter i Djup.

DIAGNOS

10. Ett rektangulärt rum har diagonalen 8 m. Kortsidan är 5 m. Bestäm den längre sidan i rummet.

2012-07-05 12.39

RÄKNA PÅ

5.

Vinklar 1.

b) Hur stora är sidovinklarna u och v om den ena är dubbelt så stor som den andra?

Bestäm vinklarna. a)

b)

u 50°

DJUP

a) Hur stora är sidovinklarna u och v om de är lika stora?

6.

v

38°

Hur stor är vinkeln b? b

2.

a) Hur stor är vinkeln a? Motivera ditt svar. b) Hur stor är vinkeln b? Motivera ditt svar.

130°

70°

c) Hur stor är vinkeln c? Motivera ditt svar.

7.

a 55°

b

e

c

Bestäm vinklarna x och y.

g

h b

c

d) alternatvinkel till vinkel a?

4. GEOMETRI

b) Jämför vinkeln y med summan av de två vinklarna i triangeln som inte är sidovinklar till y. Vilken slutsats drar du?

134-179 4708521_Korr_1_Kap_4_exp.indd 172

a

c) vertikalvinkel till vinkel a?

a) Hur stor är vinkeln y?

c) Gäller slutsatsen i b) alla trianglar eller är det här ett specialfall?

f

b) likbelägen vinkel till vinkel a?

x

45°

4.

d

a) sidovinkel till vinkel a? y

3.

Två parallella linjer skärs av en tredje linje.

Vilken eller vilka vinklar är:

8.

30°

Två likadana likbenta trianglar har sina spetsar mot varandra. Bestäm vinkeln c.

70°

y c

TA HJÄLP AV TEORIN PÅ S. 168

172

2012-07-05 12.41

d) Alla rektanglar är likformiga.

(cm)

3

13. a) Hur lång är sträckan x?

Vilka av figurerna är likformiga?

9.

RÄKNA PÅ

c) Alla kvadrater är likformiga.

Likformighet

12

b) Bestäm längden av sträckan y.

x

10

(cm)

DJUP

4

10. Trianglarna är likformiga.

5

7

a) Bestäm längden på sidan a. y

b) Bestäm längden på sidan b.

14. Rita tre likformiga figurer med valfri form och valfria mått. b

a

5

x

9

8

4

15. Bestäm längden av sträckan x.

12,5 28

7

16. De tre figurerna är likformiga. Bestäm längden av a och b.

11. Teveskärmarna är likformiga. Bestäm längden på 1,8 sidan y. (m)

9

18

6

a

(dm)

27

13,5

1,1 5

15

1,1

17. En skateboardramp är symmetrisk och den har mått som i figuren. Hur lång är den del av rampen som du kan åka på? (m)

12. Sant eller falskt? a) Alla liksidiga trianglar är likformiga.

3,5 1,4

b) Alla likbenta trianglar är likformiga.

2 3

TA HJÄLP AV TEORIN PÅ S. 169

134-179 4708521_Korr_1_Kap_4_exp.indd 173

173

4. GEOMETRI

y

b

2012-07-05 12.41

RÄKNA PÅ

22. En pizza med diametern 40 cm delas upp i fem lika stora delar.

Cirkelsektor

a) Hur stor blir medelpunktsvinkeln i varje pizzabit? b) Hur stor area har varje pizzabit?

18. Hur stor är den blå cirkelsektorns area? a)

(cm)

(cm)

b)

23. Hur stor är medelpunktsvinkeln i en cirkelsektor om cirkelsektorns area är:

50°

DJUP

17

8

a) 50 % av cirkelns area? b) 20 % av cirkelns area?

19. Du vill få fram arean av en cirkelsektor med medelpunktsvinkeln 30°. Vilka sätt att räkna på är korrekta?

A. π · r · r ·

30o o

360

C. π · r · r · 1 12

4. GEOMETRI

4

a) Hur långt rör sig visarens spets på 5 minuter? b) Hur långt rör sig visarens spets på 40 minuter?

30o B. π · d · 360o o D. 2 · π · r · 30 o

25. I friidrott måste kulstötarna hålla sig inom en sektor med 35° som medelpunktsvinkel. Maxlängden på en kulstöt förväntas bli 15 m.

Hur stor area har kastsektorn?

360

20. Hur stor är cirkelbågens längd? a) b) (m) 60°

24. Klockans minutvisare är 15 cm.

(m) 150° 6,5

26. Jonas ska sätta stängsel runt en hage.

Hur många stolpar behövs om det ska vara en stolpe minst var tredje meter?

21. Förklara begreppen cirkelsektor, cirkelbåge och medelpunktsvinkel. Rita gärna en figur.

134-179 4708521_Korr_1_Kap_4_exp.indd 174

35°

TA HJÄLP AV TEORIN PÅ S. 170

85° 15 m

174

2012-07-05 12.41

27. a) Bestäm pyramidens basyta. b) Bestäm arean på en av pyramidens sidor.

(cm) sidans h = 10

c) Bestäm pyramidens totala begränsningsarea.

15 15

RÄKNA PÅ

30. Antal personer: 1–3 Material: sax och papper Gör så här: Hur ser mantelytan på en kon ut?

Rita och klipp till en figur som du kan forma till en kon. Gör två olika förslag, den ena ska formas till en smalare kon och den andra till en bredare kon.

Jämför konerna, vilka slutsatser kan ni dra?

Begränsningsarea

DJUP

5,0

31. a) Rita en bild av strutens mantelyta.

28. Glaspyramiden vid Louvren i Paris har kantlängden 35 m och den vinkelräta höjden på varje sida är ungefär 27 m. Hur stor är pyramidens begränsningsarea? (Du behöver inte räkna med basytan.)

(cm)

b) Bestäm strutens mantelyta. (cm)

32. Bestäm konens begränsningsarea.

15,0

5 d=4

33. Bestäm fotbollens begränsningsarea.

8 cm

b) Räkna ut vilken av figurerna som har störst respektive minst begränsningsarea.

29. En pyramid har en kvadratisk basyta med sidan 6 cm. Höjden på varje sida är 5,5 cm.

(cm)

a) Gör en ritning som visar hur pyramidens begränsningsarea ser ut när den är utvikt.

3

134-179 4708521_Korr_1_Kap_4_exp.indd 175

3

3 3

b) Bestäm begränsningsarean.

TA HJÄLP AV TEORIN PÅ S. 171

(cm)

(cm)

3

175

d=3

4. GEOMETRI

34. a) Uppskatta vilken av figurerna som har störst respektive minst begränsningsarea.

2012-07-05 12.41

Ö VA I N F Ö R N P

5.

Öva inför NP

En sida på en kub har längden 2a. Vilket uttryck beskriver kubens volym?

(2006)

6a 1.

I figuren är AB en rät linje.

Hur stor är vinkeln y?

6.

(2009)

8a

4a2

2a3

8a3

Figuren består av rektanglar och trianglar.

Alla rektanglarna har arean 2 cm2.

(2007)

a) Hur stor area har hela figuren?

3y

A

2.

y

b) Hur stor del av figuren är grå?

B

Hur stor är vinkeln v?

7.

(2008)

6,3 dm2

70° 20°

3.

15 dm2

v°

Bestäm triangelns area uttryckt i areaenheter (ae).

4. GEOMETRI

En kub har volymen 27 cm3.

Hur lång är kubens sida?

134-179 4708521_Korr_1_Kap_4_exp.indd 176

(2004)

10,8 dm2

12,5 dm2

25 dm2

8.

Figuren består av 5 kvadrater med lika stor area. Hela figurens area är 405 cm2. Bestäm omkretsen av hela figuren.

(2008)

9.

Man transporterar färdig chokladmassa i form av rätblock som väger 5 kg. Ge två förslag på hur rätblocken kan se ut. Rita figurer, sätt ut mått och visa att volymen stämmer. Räkna med att 1 dm3 väger 1 kg.

(2008)

(2008)

1ae

4.

Sidan i en liksidig triangel är 5 dm. Hur stor area har triangeln? Ett av alternativen är rätt.

(2007)

176

2012-07-05 12.41

13. Cylindrar Här ser du figuren av en cylinder.

Denna cylinder har botten men inget lock.

Här ser du en ritning på cylinderns båda delar. Ritningen används när man ska tillverka den här cylindern i plåt.

Ö VA I N F Ö R N P

10. Daniel och Sara vaskar guld till Saras förlovningsring. Ringen ska vara 5 mm bred och 2 mm tjock och ha en innerdiameter på 18 mm.

a) Hur stor volym kommer Saras ring att ha? b) Hur många gram rent guld behöver Sara och Daniel vaska fram till Saras ring om den ska innehålla 75 % rent guld?

1 cm3 guld väger 19,32 g.

(2007)

a) En cylinder har höjden 12,8 cm och basytans radie är 5,0 cm. Beräkna volymen av cylindern. b) Man ska klippa ut denna cylinders båda delar från en rektangulär plåtbit. Vilka mått bör denna plåtbit ha? Motivera ditt svar.

11. Vid bågskytte skjuter man från olika avstånd. Vid skjutavståndet 30 m använder man en tavla med diametern 80 cm. När man skjuter från längre avstånd använder man en tavla med dubbelt så stor area. Hur stor diameter ska den tavlan ha? (2004) 12. Borcellos pizzeria säljer runda pizzor i två olika storlekar men med samma tjocklek. De stora pizzorna har en radie som är 20 % större än de små pizzornas radie. De stora pizzorna är 25 % dyrare. Vilken pizza bör man köpa om man vill ha så mycket pizza som möjligt för pengarna?

(2009)

LOGG Hur tycker du att övandet gick? Motivera ditt svar.

177

134-179 4708521_Korr_1_Kap_4_exp.indd 177

4. GEOMETRI

c) Du har en plåtbit som är 6 cm bred och 24 cm lång. Av den här plåtbiten ska du tillverka ett decilitermått i form av en cylinder. Måttet ska ha volymen 1 dl. Undersök om det är möjligt.

Redovisa din undersökning och dina slutsatser med beräkningar och resonemang.

(2006)

2012-07-05 12.41

Mönster

Sammanfattning PROCENT OCH FÖRÄNDRING

Du har 16 likadana mynt. Lägg mynten på bordet så att varje mynt nuddar kanten på exakt tre andra mynt.

NYTT VÄRDE Varje förändring har ett utgångsvärde eller gammalt värde som motsvarar ”det hela” på 100 %.

A. Steg-för-steg Räkna ut det nya värdet efter den första förändringen.

Det blir sedan det gamla värdet som du utgår ifrån när du ska räkna ut värdet efter den andra förändringen.

5. SAMBAND OCH FÖRÄNDRING

B. Nya värdet direkt 1. Totala förändringsfaktorn = Förändringsfaktor 1 · · Förändringsfaktor 2 · ...

FÖRÄNDRINGEN I PROCENT

2. Nytt värde = Totala förändringsfaktorn · Ursprungsvärdet

Du ska alltid utgå från det gamla värdet när du räknar ut förändringen i procent.

A. Steg-för-steg Skillnaden = Nya värdet – Gamla värdet Skillnaden Andelen = Gamla värdet

TOLKA GRAFER OCH FUNKTIONER

B. Använd förändringsfaktorn Nya värdet Förändringsfaktorn = Gamla värdet Tolka förändringsfaktorn.

Grafens lutning: Ökar y-värdet när x-värdet ökar har grafen en positiv lutning.

Om y-värdet minskar har grafen en negativ lutning.

Ju brantare lutning, desto snabbare förändring.

TESTA OM DU MINNS a) Först höjs priset på garnet med 10 %, sedan sänks det med 15 %. Hur mycket kostar ett nystan nu som före första höjningen kostade 47 kr? b) Hur många procent har priset på garnet ändrats totalt?

180-225 4708521_Kap_5.indd 224

TESTA OM DU MINNS Grafen visar hur en bil sätter fart efter det har blivit grönt.

Beskriv bilens hastighet.

hastighet

tid

224

2012-07-05 13.05

LINJÄRA FUNKTIONER En linjär funktion bildar en rät linje som graf. Ökningen (eller minskningen) är konstant.

Alla linjära funktioner kan skrivas med formeln: y=k·x+m där k visar lutningen m visar skärningspunkten med y-axeln.

Genom att se hur mycket y ändras när vi ändrar x kan vi få fram ett mått på förändringen eller lutningen: k=

skillnaden i y skillnaden i x

TESTA OM DU MINNS

Andragradsfunktioner har en U-formad graf med antingen ett maximum eller ett minimum.

10

TESTA OM DU MINNS

4

y 10

6 4 2 x 2

y = x2 + 1

x 2

4

–2 –4

GAMLA VÄRDET VID PROCENTUELL FÖRÄNDRING

LOGG

Använd sambandet: Nya värdet = Förändringsfaktorn · Gamla värdet A. Steg-för-steg ”Backa” ett steg i taget. Ta först reda på värdet före sista förändringen. Nu när du vet det kan du backa ett steg till och så vidare tills du har det ursprungliga värdet.

B. Nya värdet direkt Totala förändringsfaktorn = Förändringsfaktor 1 · ... · · Sista förändringsfaktorn Sista värdet = Totala förändringsfaktorn · Ursprungliga värdet

Hur har det gått? Rita en linje från osäker till säker för varje punkt och sätt ett kryss för hur du känner dig idag.

TESTA OM DU MINNS Min lön ökar första året med 3 % och andra året med 2 %.

Vilken ingångslön hade jag om jag efter två år tjänar 24 000 kr?

225

180-225 4708521_Kap_5.indd 225

6

a) Har grafen ett maximum eller 2 ett minimum? I vilken punkt?

–2 b) Var skär grafen y-axeln? c) Ge exempel på en andragradsfunktion som skär x-axeln på två ställen.

8

–4 –2

8

osäker

säker

procentuella förändringar

x

x

grafer

x

x

linjära funktioner

x

x

ursprungliga värdet

x

x

andragradsfunktioner

x

x

Varför satte du kryssen just där? Om du känner dig osäker är det viktigt att du berättar det för din lärare.

5. SAMBAND OCH FÖRÄNDRING 5

a) Bestäm formeln till grafen. b) I vilken punkt skär grafen funktionen y = 2x + 3?

y

ANDRAGRADSFUNKTIONER

2012-07-05 13.06

Fotoförteckning: Nick Ballon/Stone+/Getty Images 8 Alexander Nicholson/Taxi/Getty Images 18 Bryan Reinhart / Masterfile/Scanpix 28 Tara Moore/Photonica/Getty Images 46–47 Fry Design Ltd/Photographer’s Choice/Getty Images 48–49 Tomo/Shutterstock 50 Ulf Rennéus/Mary Square Images 70 Eric R./Flickr/Getty Images 74 Africa Studio/Shutterstock 83 (1) Smit/Shutterstock 83 (2) Vincenzo Lombardo/Taxi/Getty Images 92 Fanfo/Shutterstock 93 Anders Good/IBL 94 Marina_ua/Shutterstock 96 Gavin Hellier/Photographer’s Choice/Getty Images 116 Jessica Gow/Scanpix 118 Eric Issilée/Shutterstock 120 G. Jackson/Robert Harding World Imagery/Getty Images 138–139 Tetra-Pak 140 Ulf Rennéus/Mary Square Images 142 Ulf Rennéus/Mary Square Images 162 Kelvin Murray /Stone/Getty Images 164 Bluemoon Stock/Getty Images 165 Joe Belanger/Shutterstock 166 Emilio Ereza/AGE/Getty Images 167 Michael Probst/AP/Scanpix 171 Panoramic Images/Getty Images 175 Ulf Rennéus/Mary Square Images 185 Matthew Lankford/Flickr/Getty Images 188 Bryan Reinhart / Masterfile/Scanpix 208 Fredrik Persson/Scanpix 210 Martin Barraud/Iconica/Getty Images 211 Dave McAleavy/Shutterstock 212 Eric Isselée/Shutterstock 213 Omslag: Masterfile/Scanpix

226-288 4708521_Korr_1_facit.indd 287

2012-07-06 11.02

ISBN 978-91-47-08521-7 © 2012 Olga Wedbjer Rambell, Magnus Hansson och Liber AB Uppgifter hämtade från nationella prov är publicerade med tillstånd av Skolverket (Dnr 2009:00215) © Skolverket Projektledare: Weronika Duvmo och Karolina Hörstedt Redaktörer: Karolina Hörstedt och Thomas Aidehag Formgivare: Lotta Rennéus Bildredaktörer: Mikael Myrnerts Illustrationer: Johnny Dyrander Björn Magnusson och Ingrid Magnusson Anders Westerberg s 7, 47, 91, 137, 183 Hugo Rennéus (hjälpfigurerna i svartvitt) Susanne Wedbjer s 178 (överst) Faktor: Adam Dahl

Första upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: People Printing, Kina 2012

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningssamordnare, t.ex. kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet.

Läs mer på www.bonuspresskopia.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tel: 08-690 93 30 fax: 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

226-288 4708521_Korr_1_facit.indd 288

2012-07-06 11.02

PPDRAG :

UPPDRAG: MATTE 9

UPPDRAG: MATTE 9 Uppdrag: Matte är en helt ny matematikserie för årskurs 7–9. Serien erbjuder eleverna två olika sätt att ta sig an matematiken: teori först och räkna sedan på, eller, lös uppdrag och ta hjälp av teorin vid behov. Oavsett vilket spår de väljer, är Uppdrag: Mattes främsta uppdrag att visa på nyttan med matte, och på så sätt motivera eleverna att

Best.nr 47-08521-7 Tryck.nr 47-08521-7

4708521_Omslag_9.indd 1

Olga Wedbjer Rambell Magnus Hansson

ta till sig kunskaper de har nytta av i verkliga livet.

ATTE 2012-07-05 08.00