Origo
Origo Origo är en modern matematikbok för gymnasieskolan och vuxenutbildning med
Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Mikael Marklund
övningar, problemlösning och kommunikationsuppgifter på olika nivåer, mål, test och tankekartor som kontrollstationer, matematikens historia och undersökningar som ger fördjupade kunskaper. Serien består av Origo kurs A för SP och ES Origo kurs B för SP och ES Origo kurs C för SP och ES Origo kurs AB för NV och TE Origo kurs C för NV och TE Origo kurs D för NV och TE Origo kurs E för NV och TE
Origo Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund
Origo Lärarhandledning kurs A Origo Lärarhandledning kurs B Origo Lärarhandledning kurs C Origo Lärarhandledning kurs D
ISBN 978-91–622–8417-6
www.bonnierutbildning.se
Best.nr 622–8417-6
Matematik kurs A för samhällsvetenskapliga och estetiska program BONNIERS
Till läsaren DEN HÄR BOKEN i serien ORIGO är skriven för dig som går Samhällsveten-
skapsprogrammet eller Estetiska programmet och ska läsa Matematik A. I ORIGO finns övningar och problemlösning på alla nivåer. Men matematik är inte enbart en fråga om att räkna. Här betonas också vikten av att delta i matematiska samtal. • ORIGO kurs A är indelad i sju kapitel. Varje kapitel inleds med att ange de förkunskaper som du har nytta av och de mål som du förväntas uppnå. BONNIER UTBILDNING Postadress: Box 3159, 103 63 Stockholm Besöksadress: Sveavägen 56, Stockholm Hemsida: www.bonnierutbildning.se E-post: info@bonnierutbildning.se Order /Läromedelsinformation Telefon 08–696 86 00 Telefax 08–696 86 10
Redaktion: Karolina Danström, Olof Edblom och Lena Torbjörnson Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform, Karin Olofsson Illustrationer: Typoform, Jan Wilhelmsson, Jerker von Vegesack och Jakob Robertsson Bildredaktör: Margareta Söderberg
Origo kurs A för SP och ES ISBN 978-91–622–8417-6 © 2007 Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Mikael Marklund och Bonnier Utbildning AB, Stockholm Första upplagan Första tryckningen
Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.
Printed in Sweden by Fälth & Hässler, Värnamo 2007
• Teorigenomgång följs av lösta exempel som belyser teorin. Det finns uppgifter på tre olika nivåer och av olika karaktär. Öppna uppgifter har inte ett givet svar och kräver många gånger en matematisk diskussion. A-uppgifterna är standarduppgifter som i regel kan lösas i ett steg, medan B-uppgifterna ofta kräver en lösning i flera steg. C-uppgifterna är mer komplexa till sin karaktär och för att lösa dem behöver du ibland använda matematikkunskaper från flera områden. • Efter varje delkapitel kommer Rätt eller fel? Där kan du tillsammans med din lärare och dina kamrater utveckla det matematiska innehållet i delkapitlet med hjälp av olika påståenden. • En större uppgift märkt med ¤ finns i varje kapitel. Där prövas bland annat kvalitéer som behövs för ett högt betyg. Men alla har möjlighet att lösa någon eller några deluppgifter. • I slutet av varje kapitel finns ett avsnitt om Historia som beskriver matematikens utveckling ur ett idéhistoriskt och kulturellt perspektiv. • Blandade uppgifter finns på tre nivåer och innehåller övningar, problemlösning och diskussionsuppgifter. Här får du möjlighet att befästa dina kunskaper från hela kapitlet. Du kan tillsammans med din lärare och dina kamrater göra en eller flera Undersökningar. • Kapiteltest och Tankekarta avslutar kapitlet. Tankekartan visar hur de olika matematiska begreppen hänger ihop och är också en bra utgångspunkt för ett muntligt test. Testet och tankekartan är din kontrollstation för att du ska veta att du har uppnått kapitelmålen. Lycka till! Författarna
Till läsaren DEN HÄR BOKEN i serien ORIGO är skriven för dig som går Samhällsveten-
skapsprogrammet eller Estetiska programmet och ska läsa Matematik A. I ORIGO finns övningar och problemlösning på alla nivåer. Men matematik är inte enbart en fråga om att räkna. Här betonas också vikten av att delta i matematiska samtal. • ORIGO kurs A är indelad i sju kapitel. Varje kapitel inleds med att ange de förkunskaper som du har nytta av och de mål som du förväntas uppnå. BONNIER UTBILDNING Postadress: Box 3159, 103 63 Stockholm Besöksadress: Sveavägen 56, Stockholm Hemsida: www.bonnierutbildning.se E-post: info@bonnierutbildning.se Order /Läromedelsinformation Telefon 08–696 86 00 Telefax 08–696 86 10
Redaktion: Karolina Danström, Olof Edblom och Lena Torbjörnson Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform, Karin Olofsson Illustrationer: Typoform, Jan Wilhelmsson, Jerker von Vegesack och Jakob Robertsson Bildredaktör: Margareta Söderberg
Origo kurs A för SP och ES ISBN 978-91–622–8417-6 © 2007 Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Mikael Marklund och Bonnier Utbildning AB, Stockholm Första upplagan Första tryckningen
Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.
Printed in Sweden by Fälth & Hässler, Värnamo 2007
• Teorigenomgång följs av lösta exempel som belyser teorin. Det finns uppgifter på tre olika nivåer och av olika karaktär. Öppna uppgifter har inte ett givet svar och kräver många gånger en matematisk diskussion. A-uppgifterna är standarduppgifter som i regel kan lösas i ett steg, medan B-uppgifterna ofta kräver en lösning i flera steg. C-uppgifterna är mer komplexa till sin karaktär och för att lösa dem behöver du ibland använda matematikkunskaper från flera områden. • Efter varje delkapitel kommer Rätt eller fel? Där kan du tillsammans med din lärare och dina kamrater utveckla det matematiska innehållet i delkapitlet med hjälp av olika påståenden. • En större uppgift märkt med ¤ finns i varje kapitel. Där prövas bland annat kvalitéer som behövs för ett högt betyg. Men alla har möjlighet att lösa någon eller några deluppgifter. • I slutet av varje kapitel finns ett avsnitt om Historia som beskriver matematikens utveckling ur ett idéhistoriskt och kulturellt perspektiv. • Blandade uppgifter finns på tre nivåer och innehåller övningar, problemlösning och diskussionsuppgifter. Här får du möjlighet att befästa dina kunskaper från hela kapitlet. Du kan tillsammans med din lärare och dina kamrater göra en eller flera Undersökningar. • Kapiteltest och Tankekarta avslutar kapitlet. Tankekartan visar hur de olika matematiska begreppen hänger ihop och är också en bra utgångspunkt för ett muntligt test. Testet och tankekartan är din kontrollstation för att du ska veta att du har uppnått kapitelmålen. Lycka till! Författarna
Innehåll 1 Tabeller och diagram
6
1.1 Avläsa tabeller och tolka diagram . . . . . . 8 Avläsa och använda tabeller Tolka diagram 13
8
¤-uppgift: Kejsarsnitt blir vanligare. . . 18 Historia: Florence Nightingale . . . . . . . . . 19 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Tal på olika former 2.1 Hela tal och negativa tal
26
................
28
Talmängder 28 Hela tal 29 Negativa tal 32
2.2 Tal i bråk- och decimalform
............
35
Bråk 35 Addition och subtraktion av bråk 38 Multiplikation och division av bråk 40 Tal i decimalform 43 Överslagsräkning 46
2.3 Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Potenser med positiva heltalsexponenter 49 Negativa exponenter och exponenten noll 52 Prioriteringsregler 54 Tal i grundpotensform 57 Prefix 60
¤-uppgift: Musik, publik och matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Historia: Talsystem genom historien . 64 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3 Ekvationer och formler
72
3.1 Algebraiska uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Teckna och tolka uttryck 74 Att förenkla uttryck 77 Multiplicera in i parenteser 80 Faktorisera uttryck 82
Historia: Procenttecknet och Big Mac-index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Vad är en ekvation? 84 Ekvationslösningens grunder 86 Mer om ekvationer 88 Andragradsekvationer och tredjegradsekvationer Problemlösning med hjälp av ekvationer 94
91
97 100
¤-uppgift: Mount Everest – världens tak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Historia: Fibonaccis talföljd . . . . . . . . . . . 105 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4 Procent och index
112
4.1 Procent och procentberäkningar . . . . . . 114 Procent – ett sätt att skriva hundradelar Andelen, delen och det hela 116 Promille och ppm 119
114
4.2 Procent i samhället . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 124
5 Statistik
142
5.1 Statistiska tabeller och diagram . . . . . . 144
3.3 Formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Procentuella förändringar 121 Upprepade procentuella förändringar Procentenheter 126 Lån och ränta 128 Konsumentprisindex 131
Historia: Cogito, ergo sum . . . . . . . . . . . . . 193
Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.2 Ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Att använda formler Mönster och formler
¤-uppgift: En korg full …. . . . . . . . . . . . . . . . 135
Frekvenstabell 144 Tolka och rita diagram
7 Geometri
156
¤-uppgift: Miljö och mode . . . . . . . . . . . . . 161 Historia: Den svenska statistikens fader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6 Funktioner och grafer
170
200
7.1 Vinklar och trianglar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Olika slags vinklar 202 Vinklar i trianglar 205 Pythagoras sats 208
7.2 Omkrets, area och volym
146
5.2 Statistik i samhället . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Lägesmått 153 Granska statistik
Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
...............
211
Enheter för area och volym 211 Beräkna omkrets och area 213 Volym och area 218 Skala 222
¤-uppgift: Typografi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Historia: Pythagoras och Gyllene snittet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Repetition
234
Facit
248
Register
274
6.1 Allmänt om funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Koordinatsystemet 172 Funktioner som grafer 174 Funktioner som tabeller och formler
177
6.2 Speciella funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Linjära funktioner 180 Proportionaliteter 183 Exponentialfunktioner 186 Ekvationslösning med grafritande räknare
190
¤-uppgift: Premien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Innehåll 1 Tabeller och diagram
6
1.1 Avläsa tabeller och tolka diagram . . . . . . 8 Avläsa och använda tabeller Tolka diagram 13
8
¤-uppgift: Kejsarsnitt blir vanligare. . . 18 Historia: Florence Nightingale . . . . . . . . . 19 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Tal på olika former 2.1 Hela tal och negativa tal
26
................
28
Talmängder 28 Hela tal 29 Negativa tal 32
2.2 Tal i bråk- och decimalform
............
35
Bråk 35 Addition och subtraktion av bråk 38 Multiplikation och division av bråk 40 Tal i decimalform 43 Överslagsräkning 46
2.3 Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Potenser med positiva heltalsexponenter 49 Negativa exponenter och exponenten noll 52 Prioriteringsregler 54 Tal i grundpotensform 57 Prefix 60
¤-uppgift: Musik, publik och matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Historia: Talsystem genom historien . 64 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3 Ekvationer och formler
72
3.1 Algebraiska uttryck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Teckna och tolka uttryck 74 Att förenkla uttryck 77 Multiplicera in i parenteser 80 Faktorisera uttryck 82
Historia: Procenttecknet och Big Mac-index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Vad är en ekvation? 84 Ekvationslösningens grunder 86 Mer om ekvationer 88 Andragradsekvationer och tredjegradsekvationer Problemlösning med hjälp av ekvationer 94
91
97 100
¤-uppgift: Mount Everest – världens tak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Historia: Fibonaccis talföljd . . . . . . . . . . . 105 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4 Procent och index
112
4.1 Procent och procentberäkningar . . . . . . 114 Procent – ett sätt att skriva hundradelar Andelen, delen och det hela 116 Promille och ppm 119
114
4.2 Procent i samhället . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 124
5 Statistik
142
5.1 Statistiska tabeller och diagram . . . . . . 144
3.3 Formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Procentuella förändringar 121 Upprepade procentuella förändringar Procentenheter 126 Lån och ränta 128 Konsumentprisindex 131
Historia: Cogito, ergo sum . . . . . . . . . . . . . 193
Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.2 Ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Att använda formler Mönster och formler
¤-uppgift: En korg full …. . . . . . . . . . . . . . . . 135
Frekvenstabell 144 Tolka och rita diagram
7 Geometri
156
¤-uppgift: Miljö och mode . . . . . . . . . . . . . 161 Historia: Den svenska statistikens fader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6 Funktioner och grafer
170
200
7.1 Vinklar och trianglar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Olika slags vinklar 202 Vinklar i trianglar 205 Pythagoras sats 208
7.2 Omkrets, area och volym
146
5.2 Statistik i samhället . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Lägesmått 153 Granska statistik
Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
...............
211
Enheter för area och volym 211 Beräkna omkrets och area 213 Volym och area 218 Skala 222
¤-uppgift: Typografi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Historia: Pythagoras och Gyllene snittet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Blandade uppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Test & Tankekarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Repetition
234
Facit
248
Register
274
6.1 Allmänt om funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Koordinatsystemet 172 Funktioner som grafer 174 Funktioner som tabeller och formler
177
6.2 Speciella funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Linjära funktioner 180 Proportionaliteter 183 Exponentialfunktioner 186 Ekvationslösning med grafritande räknare
190
¤-uppgift: Premien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5 Statistik Ordet statistik kommer från latinets status, som betyder ställning.
Innehåll 5.1 Statistiska tabeller och diagram 5.2 Statistik i samhället
Förkunskaper • Procent, procentenheter och förändringsfaktor • Negativa tal • Decimaltal • Tiopotenser • Avrundning • Avläsa tabeller och diagram
Mål • Kunna tolka statistiska data i tabeller och diagram • Kunna sammanställa och åskådliggöra statistiska data • Kunna tolka och använda vanliga lägesmått • Kunna kritiskt granska statistiska data
142
S
verige har en lång och intressant statistikhistoria. Som första land i världen började vi samla in statistik redan i slutet av 1600-talet. Statistik är ett viktigt beslutsunderlag för samhällsplanerare och politiska beslutsfattare, men också för företag och organisationer inom den privata sektorn. Tillgången på statistik är en demokratisk rättighet. Genom off entlig statistik kan varje medborgare i Sverige få insyn i samhället och se hur det sköts. På statliga Statistiska Centralbyråns webbplats, www.scb.se, kan vi få tillgång till aktuell statistik inom en mängd olika områden. 143
5 Statistik Ordet statistik kommer från latinets status, som betyder ställning.
Innehåll 5.1 Statistiska tabeller och diagram 5.2 Statistik i samhället
Förkunskaper • Procent, procentenheter och förändringsfaktor • Negativa tal • Decimaltal • Tiopotenser • Avrundning • Avläsa tabeller och diagram
Mål • Kunna tolka statistiska data i tabeller och diagram • Kunna sammanställa och åskådliggöra statistiska data • Kunna tolka och använda vanliga lägesmått • Kunna kritiskt granska statistiska data
142
S
verige har en lång och intressant statistikhistoria. Som första land i världen började vi samla in statistik redan i slutet av 1600-talet. Statistik är ett viktigt beslutsunderlag för samhällsplanerare och politiska beslutsfattare, men också för företag och organisationer inom den privata sektorn. Tillgången på statistik är en demokratisk rättighet. Genom off entlig statistik kan varje medborgare i Sverige få insyn i samhället och se hur det sköts. På statliga Statistiska Centralbyråns webbplats, www.scb.se, kan vi få tillgång till aktuell statistik inom en mängd olika områden. 143
Tolka och rita diagram Det finns många olika typer av diagram och det gäller att välja en diagramtyp som visar det insamlade materialet på ett tydligt sätt.
7 Exempel:
Naturligtvis kan man rita diagrammet för hand, men vanligtvis använder man ett kalkylprogram, som t.ex. Excel, eller en grafritande räknare. Antal elever
Stolpdiagram
12 10 8 6 4 2 0
Timmar 1
2
3
4
5
Antal elever
Stapeldiagram
12 10 8 6 4 2 0
Lösning:
Om observationerna endast kan anta vissa värden, t.ex. hela tal, är det lämpligt att använda ett stolpdiagram.
Stapeldiagram är den vanligaste diagramtypen i media. Stapeldiagram skiljer sig från stolpdiagram genom att staplarna är bredare och kan visa annat än tal, t.ex. fritidsintressen.
Musik Sport Radio TV Schack
12 10 8 6 4 2 0
Energiskatt
2,83 kr
Koldioxidskatt
2,13 kr
Rita ett lämpligt diagram som visar fördelningen.
Moms
2,30 kr
Oljebolag och försäljningsställen
4,23 kr
Eftersom bensinpriset delas upp i fyra olika delar, så kommer ett cirkeldiagram att visa fördelningen bäst. Använd gradskiva om du ritar för hand. Andel
Medelpunktsvinkel
Energiskatt
2,83 _____ ≈ 0,246 11,49
0,246 ∙ 360° ≈ 89°
Koldioxidskatt
2,13 _____ ≈ 0,185 11,49
0,185 ∙ 360° ≈ 67°
Moms
2,30 _____ ≈ 0,200 11,49
0,200 ∙ 360° ≈ 72°
Oljebolagen
4,23 _____ ≈ 0,368 11,49
0,368 ∙ 360° ≈ 132°
7 Exempel:
Antal elever
Histogram
Om priset på bensin är 11,49 kr/liter fördelas det som tabellen visar.
Oljebolagen
Moms
Energiskatt
Koldioxidskatt
I exemplet här ovanför ritade vi ett diagram som visade hur priset på bensin fördelas på olika poster. a) Rita diagrammet med hjälp av Excel.
Om man däremot mäter något där resultatet fördelas på många spridda värden, så kan man dela in mätvärdena i klasser och rita ett histogram.
b) Hur många procent är momsen?
Lösning:
a) Öppna ett Excelblad. Skriv in de olika delarna.
Längd 155 160 165 170 175 180 cm
Cirkeldiagram
Nk Ma
Om man har få olika observationsvärden och är intresserad av hur stor andel de olika värdena upptar av hela mängden data, syns det tydligast i ett cirkeldiagram.
Sh
Du kunde också ha bockat för procent under fliken Dataetiketter, så hade du fått alla procenttal utskrivna.
Sv
Linjediagram
146
°C 12 10 8 6 4 2 0
Temperatur För att visa hur något har förändrats med tiden använder man linjediagram.
Markera alla cellerna och tryck på diagramguiden i menyn. Välj cirkel och den undertyp du vill ha. Tryck nästa två gånger. Skriv in diagramrubrik och tryck slutför.
Tid 14.00 14.30 15.00 15.30
statistik • 5.1 statistiska tabeller och diagram
b) För att avläsa hur många procent av priset som är moms, pekar du på cirkelsektorns periferi. Då kan du avläsa svaret 20 %.
kl
statistik • 5.1 statistiska tabeller och diagram
147
Tolka och rita diagram Det finns många olika typer av diagram och det gäller att välja en diagramtyp som visar det insamlade materialet på ett tydligt sätt.
7 Exempel:
Naturligtvis kan man rita diagrammet för hand, men vanligtvis använder man ett kalkylprogram, som t.ex. Excel, eller en grafritande räknare. Antal elever
Stolpdiagram
12 10 8 6 4 2 0
Timmar 1
2
3
4
5
Antal elever
Stapeldiagram
12 10 8 6 4 2 0
Lösning:
Om observationerna endast kan anta vissa värden, t.ex. hela tal, är det lämpligt att använda ett stolpdiagram.
Stapeldiagram är den vanligaste diagramtypen i media. Stapeldiagram skiljer sig från stolpdiagram genom att staplarna är bredare och kan visa annat än tal, t.ex. fritidsintressen.
Musik Sport Radio TV Schack
12 10 8 6 4 2 0
Energiskatt
2,83 kr
Koldioxidskatt
2,13 kr
Rita ett lämpligt diagram som visar fördelningen.
Moms
2,30 kr
Oljebolag och försäljningsställen
4,23 kr
Eftersom bensinpriset delas upp i fyra olika delar, så kommer ett cirkeldiagram att visa fördelningen bäst. Använd gradskiva om du ritar för hand. Andel
Medelpunktsvinkel
Energiskatt
2,83 _____ ≈ 0,246 11,49
0,246 ∙ 360° ≈ 89°
Koldioxidskatt
2,13 _____ ≈ 0,185 11,49
0,185 ∙ 360° ≈ 67°
Moms
2,30 _____ ≈ 0,200 11,49
0,200 ∙ 360° ≈ 72°
Oljebolagen
4,23 _____ ≈ 0,368 11,49
0,368 ∙ 360° ≈ 132°
7 Exempel:
Antal elever
Histogram
Om priset på bensin är 11,49 kr/liter fördelas det som tabellen visar.
Oljebolagen
Moms
Energiskatt
Koldioxidskatt
I exemplet här ovanför ritade vi ett diagram som visade hur priset på bensin fördelas på olika poster. a) Rita diagrammet med hjälp av Excel.
Om man däremot mäter något där resultatet fördelas på många spridda värden, så kan man dela in mätvärdena i klasser och rita ett histogram.
b) Hur många procent är momsen?
Lösning:
a) Öppna ett Excelblad. Skriv in de olika delarna.
Längd 155 160 165 170 175 180 cm
Cirkeldiagram
Nk Ma
Om man har få olika observationsvärden och är intresserad av hur stor andel de olika värdena upptar av hela mängden data, syns det tydligast i ett cirkeldiagram.
Sh
Du kunde också ha bockat för procent under fliken Dataetiketter, så hade du fått alla procenttal utskrivna.
Sv
Linjediagram
146
°C 12 10 8 6 4 2 0
Temperatur För att visa hur något har förändrats med tiden använder man linjediagram.
Markera alla cellerna och tryck på diagramguiden i menyn. Välj cirkel och den undertyp du vill ha. Tryck nästa två gånger. Skriv in diagramrubrik och tryck slutför.
Tid 14.00 14.30 15.00 15.30
statistik • 5.1 statistiska tabeller och diagram
b) För att avläsa hur många procent av priset som är moms, pekar du på cirkelsektorns periferi. Då kan du avläsa svaret 20 %.
kl
statistik • 5.1 statistiska tabeller och diagram
147
7 Exempel:
Utanför en skola var hastigheten begränsad till 30 km/h. Vid en poliskontroll blev den uppmätta hastigheten i km/h för 35 bilar: 37 42 29 51 48 35 28 56 36 59 27 46 57 48 26 31 32 50 27 56 62 42 32 37 58 34 26 46 32 52 34 59 61 46 64
a) Rita ett lämpligt diagram som visar resultatet. b) Hur många procent av bilisterna körde 30 km/h eller fortare?
Lösning:
Endast 6 av 35 finns i klassen 25 ≤ x < 30
a) Eftersom observationerna är fördelade på många olika värden från 26 till 64 km/h, är det lämpligt att göra en klassindelning och rita ett histogram. För att histogrammet ska bli överskådligt vill man ha mellan 5 och 10 klasser. Därför väljer vi klassbredden 5 km/h. Hastighet
Frekvens
25 ≤ x < 30
6
30 ≤ x < 35
6
35 ≤ x < 40
4
40 ≤ x < 45
2
45 ≤ x < 50
5
50 ≤ x < 55
3
55 ≤ x < 60
6
60 ≤ x < 65
3
29 b) ___ ≈ 0,83 = 83 % 35
Frekvens
5111 Antalet inrapporterade viltolyckor (utom ren) i september år 2005 fördelade sig på inblandade djur som tabellen visar.
5108 På en skola hade elevrådet gjort en undersökning bland eleverna, om vilket som var det populäraste ämnet. Resultatet visas i diagrammet.
Nk Sh
Ma
Sv
5 4 2 1 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Hastighet km/h
ON På din räknare
Skriv in de nedre klassgränserna i L1 och frekvenserna i L2. Tryck 2ND STAT PLOT och välj 1: Plot1. Använd piltangenterna för att markera On och histogram. Placera markören efter L1 , placera den Xlist: och tryck 2ND sedan efter Freq: och tryck 2ND L2 . För att rita diagrammet trycker du först WINDOW och skriver in Xmin = 25, Xmax = 65, Xscl = 5, Ymin = 0 och Ymax = 10. Avsluta med att trycka GRAPH .
557
Hjort
b) Vilka två ämnen var ungefär lika populära?
Rådjur
c) Ungefär hur stor andel av eleverna tyckte bäst om naturkunskap?
Vildsvin
94
Rovdjur
2
45 1 729
Källa: Polisens datasystem STORM
5112 Pia antecknade vilka märken bilarna utanför en stormarknad hade. Rita ett lämpligt diagram som visar resultatet.
30
Märke (modell)
20
Volvo
22
Saab
13
10 1
Svar: 83 % av bilisterna körde 30 km/h eller fortare.
Med en grafritande räknare kan man rita histogram. För att rita histogrammet i det förra exemplet trycker du STAT och väljer sedan 1: Edit.
Antal
a) Vilket ämne var mest populärt?
2
3
4
5
Antal besök
a) Vad kallas denna typ av diagram? b) Hur många patienter gjorde 3 besök?
b) Rita ett cirkeldiagram över fördelningen. Älg
Antal patienter 40
3
a) I hur många procent av olyckorna var älg inblandad?
Viltslag
5109 Diagrammet visar hur många besök patienterna gjorde på en vårdcentral under en månad.
6
0
a-uppgifter
c) Hur många besök gjordes sammanlagt? d) Hur många patienter gjorde fler än 3 besök?
Mercedes Wolksvagen Opel Övriga
Antal bilar (frekvens)
7 11 9 17
5113 Axel har gjort en statistisk undersökning i ö skolan. Han gör ett diagram på datorn och skriver ut det. Så här såg det ut.
5110 Histogrammet visar åldersfördelningen i en schackklubb. Antal 35 25 15 5 15
20 25 30 35 40 45 50
Ålder
a) Hur stor är klassbredden? b) I vilken åldersgrupp var det flest medlemmar?
Tyvärr glömde han att skriva ut rubrik och beteckningar på axlarna. Ge förslag på vad diagrammet beskriver och sätt ut beteckningar på axlarna.
c) Hur många procent av klubbens medlemmar har fyllt 35 år?
148
statistik • 5.1 statistiska tabeller och diagram
statistik • 5.1 statistiska tabeller och diagram
149
7 Exempel:
Utanför en skola var hastigheten begränsad till 30 km/h. Vid en poliskontroll blev den uppmätta hastigheten i km/h för 35 bilar: 37 42 29 51 48 35 28 56 36 59 27 46 57 48 26 31 32 50 27 56 62 42 32 37 58 34 26 46 32 52 34 59 61 46 64
a) Rita ett lämpligt diagram som visar resultatet. b) Hur många procent av bilisterna körde 30 km/h eller fortare?
Lösning:
Endast 6 av 35 finns i klassen 25 ≤ x < 30
a) Eftersom observationerna är fördelade på många olika värden från 26 till 64 km/h, är det lämpligt att göra en klassindelning och rita ett histogram. För att histogrammet ska bli överskådligt vill man ha mellan 5 och 10 klasser. Därför väljer vi klassbredden 5 km/h. Hastighet
Frekvens
25 ≤ x < 30
6
30 ≤ x < 35
6
35 ≤ x < 40
4
40 ≤ x < 45
2
45 ≤ x < 50
5
50 ≤ x < 55
3
55 ≤ x < 60
6
60 ≤ x < 65
3
29 b) ___ ≈ 0,83 = 83 % 35
Frekvens
5111 Antalet inrapporterade viltolyckor (utom ren) i september år 2005 fördelade sig på inblandade djur som tabellen visar.
5108 På en skola hade elevrådet gjort en undersökning bland eleverna, om vilket som var det populäraste ämnet. Resultatet visas i diagrammet.
Nk Sh
Ma
Sv
5 4 2 1 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Hastighet km/h
ON På din räknare
Skriv in de nedre klassgränserna i L1 och frekvenserna i L2. Tryck 2ND STAT PLOT och välj 1: Plot1. Använd piltangenterna för att markera On och histogram. Placera markören efter L1 , placera den Xlist: och tryck 2ND sedan efter Freq: och tryck 2ND L2 . För att rita diagrammet trycker du först WINDOW och skriver in Xmin = 25, Xmax = 65, Xscl = 5, Ymin = 0 och Ymax = 10. Avsluta med att trycka GRAPH .
557
Hjort
b) Vilka två ämnen var ungefär lika populära?
Rådjur
c) Ungefär hur stor andel av eleverna tyckte bäst om naturkunskap?
Vildsvin
94
Rovdjur
2
45 1 729
Källa: Polisens datasystem STORM
5112 Pia antecknade vilka märken bilarna utanför en stormarknad hade. Rita ett lämpligt diagram som visar resultatet.
30
Märke (modell)
20
Volvo
22
Saab
13
10 1
Svar: 83 % av bilisterna körde 30 km/h eller fortare.
Med en grafritande räknare kan man rita histogram. För att rita histogrammet i det förra exemplet trycker du STAT och väljer sedan 1: Edit.
Antal
a) Vilket ämne var mest populärt?
2
3
4
5
Antal besök
a) Vad kallas denna typ av diagram? b) Hur många patienter gjorde 3 besök?
b) Rita ett cirkeldiagram över fördelningen. Älg
Antal patienter 40
3
a) I hur många procent av olyckorna var älg inblandad?
Viltslag
5109 Diagrammet visar hur många besök patienterna gjorde på en vårdcentral under en månad.
6
0
a-uppgifter
c) Hur många besök gjordes sammanlagt? d) Hur många patienter gjorde fler än 3 besök?
Mercedes Wolksvagen Opel Övriga
Antal bilar (frekvens)
7 11 9 17
5113 Axel har gjort en statistisk undersökning i ö skolan. Han gör ett diagram på datorn och skriver ut det. Så här såg det ut.
5110 Histogrammet visar åldersfördelningen i en schackklubb. Antal 35 25 15 5 15
20 25 30 35 40 45 50
Ålder
a) Hur stor är klassbredden? b) I vilken åldersgrupp var det flest medlemmar?
Tyvärr glömde han att skriva ut rubrik och beteckningar på axlarna. Ge förslag på vad diagrammet beskriver och sätt ut beteckningar på axlarna.
c) Hur många procent av klubbens medlemmar har fyllt 35 år?
148
statistik • 5.1 statistiska tabeller och diagram
statistik • 5.1 statistiska tabeller och diagram
149
5121 Tabellen visar de lag i damallsvenskan där antalet åskådare ökade från år 2004 till år 2005: Lag
Publik år 2004
Publik år 2005
2 897
2 927
Örebro
887
1 405
Mallbacken
913
1 183
Malmö FF
769
1 017
Sunnanå
611
907
Umeå IK
a) Rita ett stapeldiagram som visar antalet åskådare för båda åren.
a) Rita ett diagram som beskriver fördelningen på de största försäljningsställena. De tre minsta kan slås ihop och få rubriken Övriga.
5.2 Statistik i samhället Lägesmått
b) Hur förändras diagrammet om man i stället beskriver försäljningen per anställd? 5123 Diagrammen visar antalet p-böter som har utfärdats dels i hela landet, dels i de tre största städerna. Jämför andelen parkeringsböter som har utfärdats i storstäderna med det totala antalet. Hur har denna andel förändrats från år 2002 till år 2004?
b) Uppskatta för vilket lag den procentuella ökningen är störst.
För att beskriva, jämföra och analysera olika statistiska material i media och i vetenskapliga rapporter, använder man ofta statistiska lägesmått. Tre viktiga lägesmått är medelvärde, median och typvärde.
Medelvärde
Median
När man ställer upp alla observationer i storleksordning och tar det mittersta värdet får man medianen. Om det är ett jämnt antal observationer, så är medianen medelvärdet av de två mittersta. Medianen är ofta ett bättre lägesmått än medelvärdet när fördelningen är sned, eftersom den inte påverkas på samma sätt av enstaka mycket stora eller mycket små värden.
Typvärde
Typvärdet är det observationsvärde som förekommer flest gånger. Det används om man vill undersöka vad som efterfrågas mest. Typvärdet går att använda även om observationerna inte är tal.
7 Exempel:
Antal utfärdade p-böter i riket Antal betalda böter
C-uppgifter
Totalt antal böter
2002 799 126 st
5122 Tabellen visar hur snabbmatsförsäljningen i Sverige fördelades på de sex största företagen år 2004. Miljoner kronor
Försäljning (Mkr)
Antal anställda
McDonalds
3 846
11 500
Burger King
526
1 500
Max
482
1 200
Frasses
176
225
Pizza Hut
90
250
Sandys
60
200
1 052 848 st
2003 839 769 st
1 083 027 st
2004 1 016 850 st
1 301 732 st
Antal utfärdade p-böter i storstäderna (i tusental) 481
2002 2003 2004
333 356 136 148 Stockholm
Medelvärde är det mest använda lägesmåttet. Det kallas ibland ”i genomsnitt” eller ”i medeltal”. Medelvärdet beräknas genom att dividera summan av värdena på alla observationer med antalet observationer.
191
Göteborg
107 109 Malmö
Månadslönerna i ett företag med 6 anställda och en vd ser ut så här: 18 400, 19 800, 13 600, 15 900, 18 600, 20 300 och 45 200 kr. Beräkna median och medelvärde. Vilket lägesmått beskriver löneläget bäst? Motivera ditt svar.
119
Lösning:
För att beräkna medianen ordnar man observationsvärdena efter storlek: 13 600, 15 900, 18 400, 18 600, 19 800, 20 300, 45 200 Medianlönen är 18 600 kr.
Värdet av den mittersta observationen
Medellönen:
Rätt eller fel � Relativa frekvensen beräknas genom att dividera antalet observationer som har ett visst värde med totala antalet observationer.
� För att visa att något förändrats med tiden är det lämpligt att använda ett stapeldiagram.
� Summan av de relativa frekvenserna är alltid större än 100%. � En cirkelsektor som har medelpunktsvinkeln 45° beskriver
13 600 + 15 900 + 18 400 + 18 600 + 19 800 + 20 300 + 45 200 ________________________________________________ kr ≈ 21 686 kr 7
Medellönen är 21 686 kr.
Eftersom det endast är ett värde som är högre än medelvärdet, så är medianen ett bättre lägesmått i detta fall.
Svar: Medianlönen är 18 600 kr och är det lägesmått som är bäst att använda i detta fall, eftersom vd-lönen drar upp medelvärdet över alla andra värden.
andelen 12,5 %.
� Ett histogram används när resultatet är fördelat på många olika värden.
152
statistik • 5.1 statistiska tabeller och diagram
statistik • 5.2 statistik i samhället
153
5121 Tabellen visar de lag i damallsvenskan där antalet åskådare ökade från år 2004 till år 2005: Lag
Publik år 2004
Publik år 2005
2 897
2 927
Örebro
887
1 405
Mallbacken
913
1 183
Malmö FF
769
1 017
Sunnanå
611
907
Umeå IK
a) Rita ett stapeldiagram som visar antalet åskådare för båda åren.
a) Rita ett diagram som beskriver fördelningen på de största försäljningsställena. De tre minsta kan slås ihop och få rubriken Övriga.
5.2 Statistik i samhället Lägesmått
b) Hur förändras diagrammet om man i stället beskriver försäljningen per anställd? 5123 Diagrammen visar antalet p-böter som har utfärdats dels i hela landet, dels i de tre största städerna. Jämför andelen parkeringsböter som har utfärdats i storstäderna med det totala antalet. Hur har denna andel förändrats från år 2002 till år 2004?
b) Uppskatta för vilket lag den procentuella ökningen är störst.
För att beskriva, jämföra och analysera olika statistiska material i media och i vetenskapliga rapporter, använder man ofta statistiska lägesmått. Tre viktiga lägesmått är medelvärde, median och typvärde.
Medelvärde
Median
När man ställer upp alla observationer i storleksordning och tar det mittersta värdet får man medianen. Om det är ett jämnt antal observationer, så är medianen medelvärdet av de två mittersta. Medianen är ofta ett bättre lägesmått än medelvärdet när fördelningen är sned, eftersom den inte påverkas på samma sätt av enstaka mycket stora eller mycket små värden.
Typvärde
Typvärdet är det observationsvärde som förekommer flest gånger. Det används om man vill undersöka vad som efterfrågas mest. Typvärdet går att använda även om observationerna inte är tal.
7 Exempel:
Antal utfärdade p-böter i riket Antal betalda böter
C-uppgifter
Totalt antal böter
2002 799 126 st
5122 Tabellen visar hur snabbmatsförsäljningen i Sverige fördelades på de sex största företagen år 2004. Miljoner kronor
Försäljning (Mkr)
Antal anställda
McDonalds
3 846
11 500
Burger King
526
1 500
Max
482
1 200
Frasses
176
225
Pizza Hut
90
250
Sandys
60
200
1 052 848 st
2003 839 769 st
1 083 027 st
2004 1 016 850 st
1 301 732 st
Antal utfärdade p-böter i storstäderna (i tusental) 481
2002 2003 2004
333 356 136 148 Stockholm
Medelvärde är det mest använda lägesmåttet. Det kallas ibland ”i genomsnitt” eller ”i medeltal”. Medelvärdet beräknas genom att dividera summan av värdena på alla observationer med antalet observationer.
191
Göteborg
107 109 Malmö
Månadslönerna i ett företag med 6 anställda och en vd ser ut så här: 18 400, 19 800, 13 600, 15 900, 18 600, 20 300 och 45 200 kr. Beräkna median och medelvärde. Vilket lägesmått beskriver löneläget bäst? Motivera ditt svar.
119
Lösning:
För att beräkna medianen ordnar man observationsvärdena efter storlek: 13 600, 15 900, 18 400, 18 600, 19 800, 20 300, 45 200 Medianlönen är 18 600 kr.
Värdet av den mittersta observationen
Medellönen:
Rätt eller fel � Relativa frekvensen beräknas genom att dividera antalet observationer som har ett visst värde med totala antalet observationer.
� För att visa att något förändrats med tiden är det lämpligt att använda ett stapeldiagram.
� Summan av de relativa frekvenserna är alltid större än 100%. � En cirkelsektor som har medelpunktsvinkeln 45° beskriver
13 600 + 15 900 + 18 400 + 18 600 + 19 800 + 20 300 + 45 200 ________________________________________________ kr ≈ 21 686 kr 7
Medellönen är 21 686 kr.
Eftersom det endast är ett värde som är högre än medelvärdet, så är medianen ett bättre lägesmått i detta fall.
Svar: Medianlönen är 18 600 kr och är det lägesmått som är bäst att använda i detta fall, eftersom vd-lönen drar upp medelvärdet över alla andra värden.
andelen 12,5 %.
� Ett histogram används när resultatet är fördelat på många olika värden.
152
statistik • 5.1 statistiska tabeller och diagram
statistik • 5.2 statistik i samhället
153
7 Exempel:
Beräkna medelvärde, median och typvärde i det statistiska material som visas i diagrammet.
a-uppgifter
Frekvens
5201 Emma mätte temperaturen mitt på dagen varje dag under en vecka. Resultatet blev följande:
8 6 4 2
Lösning:
5
Medelvärdet =
7
9
11
13
15
Antal 17 timmar (h)
2 ∙ 5 + 3 ∙ 6 + 1 ∙ 7 + 5 ∙ 9 + 4 ∙ 10 + 5 ∙ 11 + 7 ∙ 12 + 2 ∙ 14 + 1 ∙ 16 __________________________________________________ h ≈ 10 h 30
Vi har sammanlagt 2 + 3 + 1 + 5 + 4 + + 5 + 7 + 2 + 1 = 30 observationer
Om man delar materialet mitt itu så ligger gränsen mellan observation nr 15 och observation nr 16. 15:e observationen är 10 timmar och 16:e observationen 11 timmar.
10 + 11 Median = _______ h = 10,5 h 2 Typvärde = 12 h
Det observationsvärde som har den högsta frekvensen
Svar: Medelvärde = 10 timmar, median = 10,5 timmar och typvärde = 12 timmar.
7 Exempel:
Lösning:
Tabellen visar hur mycket äggen från ett hönseri vägde under en vecka. Beräkna medelvikt, median och typvärde.
Äggens vikt (g) Antal ägg 48 ≤ x < 53
2 400
53 ≤ x < 58
6 600
58 ≤ x < 63
10 200
63 ≤ x < 68
6 600
68 ≤ x < 73
4 200
Eftersom man inte kan utläsa äggens exakta vikt ur tabellen, så förutsätter man att alla ägg i en klass har klassmittens vikt, dvs. att alla 2 400 äggen i första klassen väger 50,5 g osv. Äggens vikt (g)
Antal ägg Klassmitt Antal ∙ klassmitt
Tis
Ons
3 °C
5 °C
2 °C
Tor
Fre
5202 a) Beräkna medelvärde och median av följande fem tal: 7, 3, 12, 9 och 6. b) Hur ändras medelvärde och median om man byter ut talet 9 mot talet 15? 5203 Medelåldern i en familj är 18 år. Vilken är medelåldern om 4 år? Motivera ditt svar. 5204 En byggmästare skulle bygga ett hyreshus. Han undersökte hur stora lägenheter de 10 första i bostadskön ville ha och fick följande svar: 2:a, 4:a, 1:a, 2:a, 4:a, 2:a, 4:a, 2:a, 2:a, 3:a. Vilket lägesmått är lämpligast att använda i detta sammanhang? Motivera ditt svar. 5205 Stolpdiagrammet visar elevernas resultat på ett matematikprov. Antal elever 4
10
12
14
16
a) Beräkna medelpoängen.
53 ≤ x < 58
6 600
55,5
6 600 ∙ 55,5 = 366 300
b) Beräkna medianen.
60,5
10 200 ∙ 60,5 = 617 100
6 600
65,5
6 600 ∙ 65,5 = 432 300
68 ≤ x < 73
4 200
70,5
4 200 ∙ 70,5 = 296 100
30 000
1 833 000
1 833 000 g = 61,1 g ≈ 61 g Medelvärde = ________ 30 000 Median = 60,5 g ≈ 61 g Båda de mittersta värdena finns i klassen 58–63 Typvärde: Det finns flest observationer i klassen 58–63 g. Svar: Medelvikten är 61 g, medianvikten är 61 g och typvärdet är klassen 58–63 g.
statistik • 5.2 statistik i samhället
5208 Medlemmarna i en idrottsklubb hade löpträning tre kvällar i veckan. Sara tyckte att man skulle flytta träningen till en annan plats eftersom hon hade räknat ut att medelavståndet till träningen var 1,5 km. Tränaren tyckte att det var konstigt eftersom hon hade räknat ut att de flesta hade mindre än 1 km. Hon bad därför att deltagarna skulle skriva upp hur långt de hade till träningen. Resultatet i kilometer såg ut så här:
Vem har rätt, Sara eller tränaren? Motivera ditt svar.
2
2 400 ∙ 50,5 = 121 200
10 200
b-uppgifter
0,8 0,6 0,6 0,7 0,9 1,3 0,8 0,4 1,1 1,1 5,2 0,9 4,7 2,3 0,5
50,5
58 ≤ x < 63
Sön
Beräkna medeltemperaturen under veckan.
2 400
63 ≤ x < 68
Lör
–1 °C 2 °C −2 °C –1 °C
48 ≤ x < 53
Summa
154
Mån
18
20 22 Antal poäng
5206 Ange fem tal som har medelvärdet 10 och ö medianen 12.
5209 Jens skulle undersöka fiskbeståndet i en sjö och därför provfiskade han. Han fick bara abborre och när han mätte längden på alla fiskarna fick han följande resultat: Längd (cm)
Frekvens
15 ≤ x < 20
14
5207 Månadslönerna för fem anställda på ett café är 15 328 kr, 13 946 kr, 16 251 kr, 14 250 kr och 13 456 kr.
20 ≤ x < 25
21
25 ≤ x < 30
29
30 ≤ x < 35
27
a) Beräkna medellön och medianlön.
35 ≤ x < 40
9
b) Håkan, som tjänar 13 946 kr/mån, slutar. Hur ändras medianlönen och medellönen då?
Beräkna medellängden på abborrarna.
statistik • 5.2 statistik i samhället
155
7 Exempel:
Beräkna medelvärde, median och typvärde i det statistiska material som visas i diagrammet.
a-uppgifter
Frekvens
5201 Emma mätte temperaturen mitt på dagen varje dag under en vecka. Resultatet blev följande:
8 6 4 2
Lösning:
5
Medelvärdet =
7
9
11
13
15
Antal 17 timmar (h)
2 ∙ 5 + 3 ∙ 6 + 1 ∙ 7 + 5 ∙ 9 + 4 ∙ 10 + 5 ∙ 11 + 7 ∙ 12 + 2 ∙ 14 + 1 ∙ 16 __________________________________________________ h ≈ 10 h 30
Vi har sammanlagt 2 + 3 + 1 + 5 + 4 + + 5 + 7 + 2 + 1 = 30 observationer
Om man delar materialet mitt itu så ligger gränsen mellan observation nr 15 och observation nr 16. 15:e observationen är 10 timmar och 16:e observationen 11 timmar.
10 + 11 Median = _______ h = 10,5 h 2 Typvärde = 12 h
Det observationsvärde som har den högsta frekvensen
Svar: Medelvärde = 10 timmar, median = 10,5 timmar och typvärde = 12 timmar.
7 Exempel:
Lösning:
Tabellen visar hur mycket äggen från ett hönseri vägde under en vecka. Beräkna medelvikt, median och typvärde.
Äggens vikt (g) Antal ägg 48 ≤ x < 53
2 400
53 ≤ x < 58
6 600
58 ≤ x < 63
10 200
63 ≤ x < 68
6 600
68 ≤ x < 73
4 200
Eftersom man inte kan utläsa äggens exakta vikt ur tabellen, så förutsätter man att alla ägg i en klass har klassmittens vikt, dvs. att alla 2 400 äggen i första klassen väger 50,5 g osv. Äggens vikt (g)
Antal ägg Klassmitt Antal ∙ klassmitt
Tis
Ons
3 °C
5 °C
2 °C
Tor
Fre
5202 a) Beräkna medelvärde och median av följande fem tal: 7, 3, 12, 9 och 6. b) Hur ändras medelvärde och median om man byter ut talet 9 mot talet 15? 5203 Medelåldern i en familj är 18 år. Vilken är medelåldern om 4 år? Motivera ditt svar. 5204 En byggmästare skulle bygga ett hyreshus. Han undersökte hur stora lägenheter de 10 första i bostadskön ville ha och fick följande svar: 2:a, 4:a, 1:a, 2:a, 4:a, 2:a, 4:a, 2:a, 2:a, 3:a. Vilket lägesmått är lämpligast att använda i detta sammanhang? Motivera ditt svar. 5205 Stolpdiagrammet visar elevernas resultat på ett matematikprov. Antal elever 4
10
12
14
16
a) Beräkna medelpoängen.
53 ≤ x < 58
6 600
55,5
6 600 ∙ 55,5 = 366 300
b) Beräkna medianen.
60,5
10 200 ∙ 60,5 = 617 100
6 600
65,5
6 600 ∙ 65,5 = 432 300
68 ≤ x < 73
4 200
70,5
4 200 ∙ 70,5 = 296 100
30 000
1 833 000
1 833 000 g = 61,1 g ≈ 61 g Medelvärde = ________ 30 000 Median = 60,5 g ≈ 61 g Båda de mittersta värdena finns i klassen 58–63 Typvärde: Det finns flest observationer i klassen 58–63 g. Svar: Medelvikten är 61 g, medianvikten är 61 g och typvärdet är klassen 58–63 g.
statistik • 5.2 statistik i samhället
5208 Medlemmarna i en idrottsklubb hade löpträning tre kvällar i veckan. Sara tyckte att man skulle flytta träningen till en annan plats eftersom hon hade räknat ut att medelavståndet till träningen var 1,5 km. Tränaren tyckte att det var konstigt eftersom hon hade räknat ut att de flesta hade mindre än 1 km. Hon bad därför att deltagarna skulle skriva upp hur långt de hade till träningen. Resultatet i kilometer såg ut så här:
Vem har rätt, Sara eller tränaren? Motivera ditt svar.
2
2 400 ∙ 50,5 = 121 200
10 200
b-uppgifter
0,8 0,6 0,6 0,7 0,9 1,3 0,8 0,4 1,1 1,1 5,2 0,9 4,7 2,3 0,5
50,5
58 ≤ x < 63
Sön
Beräkna medeltemperaturen under veckan.
2 400
63 ≤ x < 68
Lör
–1 °C 2 °C −2 °C –1 °C
48 ≤ x < 53
Summa
154
Mån
18
20 22 Antal poäng
5206 Ange fem tal som har medelvärdet 10 och ö medianen 12.
5209 Jens skulle undersöka fiskbeståndet i en sjö och därför provfiskade han. Han fick bara abborre och när han mätte längden på alla fiskarna fick han följande resultat: Längd (cm)
Frekvens
15 ≤ x < 20
14
5207 Månadslönerna för fem anställda på ett café är 15 328 kr, 13 946 kr, 16 251 kr, 14 250 kr och 13 456 kr.
20 ≤ x < 25
21
25 ≤ x < 30
29
30 ≤ x < 35
27
a) Beräkna medellön och medianlön.
35 ≤ x < 40
9
b) Håkan, som tjänar 13 946 kr/mån, slutar. Hur ändras medianlönen och medellönen då?
Beräkna medellängden på abborrarna.
statistik • 5.2 statistik i samhället
155
Landad vikt
ton (tusen) 400 350 300 250 200 150 100 50 0 1970
Övrig fisk Torsk Sill och strömming Foderfisk
-76
-82
-85
-90
-95
00
02
Värde
kronor (miljoner) Övrig fisk Torsk Sill och strömming Foderfisk
1000 800
Alla bidrar på något sätt till miljöfarliga utsläpp. En del mer, andra mindre. Stora företag bidrar ofta väldigt mycket, men kan också göra förändringar som ger stora resultat. På senare år är det många stora företag som redovisar miljöpåverkan i sina årsredovisningar. De sätter upp mätbara mål och kontroller för att nå ett visst resultat. Från ett stort svenskt modeföretag visas tabeller och diagram över deras utsläpp av koldioxid. Andel av totala mängden koldioxid per utsläppskälla
600
Tjänsteresor Tjänstebil
2005
400
Varutransport fl yg
200 0 1970
-76
-82
-85
-90
-95
-00
-02
Energianvändning
Källa: Fiskeriverket
• Hur många ton koldioxid släpptes ut per omsatt miljon SEK år 2006?
Varutransport ej fl yg Tjänsteresor Tjänstebil
Rätt eller fel � Att en fördelning är sned innebär att ett eller ett par
2006
Varutransport fl yg
värden avviker mycket från övriga. Energianvändning
� Medelvärdet är det lämpligaste lägesmåttet om det är sned fördelning på materialet.
� Om mätvärdena ordnas efter storlek är typvärdet det
Varutransport ej fl yg
mittersta värdet.
� Ett diagrams utseende påverkas alltid av skalan på axlarna. � Medianen är alltid större än medelvärdet.olika värden.
Ton/miljoner SEK
• Ta ställning till påståendet: Antalet varutransporter med flyg har minskat från år 2005 till år 2006. Motivera ditt svar.
• Ta ställning till påståendet: Företaget släppte ut mindre mängd koldioxid år 2006 än år 2005. Stämmer det? Motivera ditt svar.
4,0 3,0
Målsättning 2009
2,0 1,0
09
08
20
07
20
06
20
05
20
20
20
04
År
statistik • 5.2 statistik i samhället
• Gör ett diagram som beskriver fördelningen av koldioxidutsläppen per utsläppskälla för år 2006, om man slår ihop transporterna till en utsläppskälla och tjänsteresor och tjänstebilar till en.
• Målsättningen är att utsläppet ska vara nere på 3,45 ton per omsatt miljon SEK år 2009. Hur många procent minskning blir det från år 2006?
Utsläpp av koldioxid per omsatt miljon SEK
5,0
160
¤
• Anta att minskningen av koldioxidutsläppet per omsatt miljon SEK är lika stor i procent för varje år. Hur många procent måste koldioxidutsläppet per omsatt miljon SEK minska per år för att målet år 2009 ska uppfyllas?
statistik • ¤-uppgift
161
¤-UPPGIFT
Miljö och mode
5221 Uppskatta med hjälp av diagrammen hur priset på 1 kg torsk har förändrats från år 1990 till år 2002.
Landad vikt
ton (tusen) 400 350 300 250 200 150 100 50 0 1970
Övrig fisk Torsk Sill och strömming Foderfisk
-76
-82
-85
-90
-95
00
02
Värde
kronor (miljoner) Övrig fisk Torsk Sill och strömming Foderfisk
1000 800
Alla bidrar på något sätt till miljöfarliga utsläpp. En del mer, andra mindre. Stora företag bidrar ofta väldigt mycket, men kan också göra förändringar som ger stora resultat. På senare år är det många stora företag som redovisar miljöpåverkan i sina årsredovisningar. De sätter upp mätbara mål och kontroller för att nå ett visst resultat. Från ett stort svenskt modeföretag visas tabeller och diagram över deras utsläpp av koldioxid. Andel av totala mängden koldioxid per utsläppskälla
600
Tjänsteresor Tjänstebil
2005
400
Varutransport fl yg
200 0 1970
-76
-82
-85
-90
-95
-00
-02
Energianvändning
Källa: Fiskeriverket
• Hur många ton koldioxid släpptes ut per omsatt miljon SEK år 2006?
Varutransport ej fl yg Tjänsteresor Tjänstebil
Rätt eller fel � Att en fördelning är sned innebär att ett eller ett par
2006
Varutransport fl yg
värden avviker mycket från övriga. Energianvändning
� Medelvärdet är det lämpligaste lägesmåttet om det är sned fördelning på materialet.
� Om mätvärdena ordnas efter storlek är typvärdet det
Varutransport ej fl yg
mittersta värdet.
� Ett diagrams utseende påverkas alltid av skalan på axlarna. � Medianen är alltid större än medelvärdet.olika värden.
Ton/miljoner SEK
• Ta ställning till påståendet: Antalet varutransporter med flyg har minskat från år 2005 till år 2006. Motivera ditt svar.
• Ta ställning till påståendet: Företaget släppte ut mindre mängd koldioxid år 2006 än år 2005. Stämmer det? Motivera ditt svar.
4,0 3,0
Målsättning 2009
2,0 1,0
09
08
20
07
20
06
20
05
20
20
20
04
År
statistik • 5.2 statistik i samhället
• Gör ett diagram som beskriver fördelningen av koldioxidutsläppen per utsläppskälla för år 2006, om man slår ihop transporterna till en utsläppskälla och tjänsteresor och tjänstebilar till en.
• Målsättningen är att utsläppet ska vara nere på 3,45 ton per omsatt miljon SEK år 2009. Hur många procent minskning blir det från år 2006?
Utsläpp av koldioxid per omsatt miljon SEK
5,0
160
¤
• Anta att minskningen av koldioxidutsläppet per omsatt miljon SEK är lika stor i procent för varje år. Hur många procent måste koldioxidutsläppet per omsatt miljon SEK minska per år för att målet år 2009 ska uppfyllas?
statistik • ¤-uppgift
161
¤-UPPGIFT
Miljö och mode
5221 Uppskatta med hjälp av diagrammen hur priset på 1 kg torsk har förändrats från år 1990 till år 2002.
HISTORIa
h
Den svenska statistikens fader Kyrkobokföring
Pehr Wargentin (1717–1783).
År1686 stiftades en kyrkolag i Sverige. Enligt den lagen skulle präster föra bok över alla dop och begravningar samt ingångna äktenskap. Dessa data bevarades i församlingsböcker. Från början var det nog bara tänkt som en hjälp för församlingsprästen att hålla kontroll över sin församling, men med tiden användes församlingsböckerna även vid utskrivning till militärtjänst och för indrivning av skatter. I början av 1700-talet plågades landet av det långvariga stora nordiska kriget. Dessutom härjade pesten som värst. Allt detta tillsammans gjorde att kungen och militären förstod att det rådde befolkningsbrist. Befolkningsbristen förklarades av makthavarna med en stor utvandring. År 1749 fick Pehr Wargentin, som var astronom och Vetenskapsakademiens sekreterare, i uppdrag att sammanställa kyrkobokföringen till att omfatta hela riket. Han var prästson, född i Jämtland, och väl insatt i kyrkoböckerna. Han såg till att upprätta de första tabellerna över den svenska befolkningens dödlighet och livslängd. Världens äldsta statistiska ämbetsverk, Tabellverket, grundades.
Wargentins tabeller
h ? Vad gör en aktuarie? h ? År 2006 såg befolkningen ut så här: Folkmängd vid årets början: 9 047 752 personer Levande födda: 105 913 Dödfödda: 319 Döda: 91 177 Invandrare: 95 750 Utvandrare: 44 908 Hur stor var folkökningen år 2006? Hur många procent av folkökningen är invandringsöverskottet och hur många procent är födelseöverskottet?
162
statistik • historia
Resultaten man fick först pekade i riktning mot en stor utvandring och Vetenskapsakademien utlyste en pristävling där frågan som skulle besvaras var: Hvad kan vara orsaken att sådan myckenhet svenskt folk årligen flyttar utur landet, och genom hvilka författningar kan det bäst förekommas? Men, efter en noggrann kontroll, slog Wargentin senare fast att beräkningarna var fel, eftersom man utgått från felaktig data. Det var i själva verket fler döda och färre födda än man tidigare anat. Pehr Wargentin visade sig vara en samhällsmedveten och socialt engagerad forskare. Han påvisade bland annat de stora missförhållanden som rådde på den svenska landsbygden. På så sätt använde han statistik i syfte att påverka för bättre hälsa och fred. Wargentin hade redan tidigare gjort sig känd utomlands genom sina observationer av Jupiters månar, vilken fått betydelse för internationell forskning. Hans tabellverk över befolkningen utnyttjades även i Europa. I ett antal uppsatser som översattes till tyska, franska och engelska presenterade han det unika datamaterialet över ett helt land. I England, Frankrike och Tyskland räknade man sedan ut livräntor och premier på livförsäkringar efter Wargentins tabeller. En staty över Pehr Wargentin finns i Östersund, vid huvudingången till Wargentinskolan.
Blandade uppgifter a-uppgifter
3 Diagrammet ska visa apelsinskörden i två olika länder. På vilket sätt är detta diagram vilseledande?
1 Diagrammet visar chokladkonsumtionen per invånare i några europeiska länder. Vilket eller vilka av följande påståenden är sanna? 12 10 8
330 tusen ton
690 tusen ton
6
4 På ett diagnostiskt prov i matematik med 8 uppgifter hade eleverna i en klass så här många rätt:
4 2 0
Schweiz Österrike Irland
Storbritannien
Norge
Danmark Tyskland Sverige
4 8 5 3 4 7 5 7 6 5 7 6 7 8 5 4 6 8 7 8 6 5 3 4 7
1) I Schweiz äter man mer än dubbelt så mycket choklad per invånare som i Sverige.
a) Gör en frekvenstabell.
2) Skillnaden mellan konsumtionen per person i Storbritannien och Sverige är lika stor som den mellan Österrike och Storbritannien.
c) Hur många procent av eleverna hade alla rätt?
3) Konsumtionen av choklad i Danmark och Storbritannien är ungefär lika mycket. 4) Diagrammet visar chokladkonsumtionen per person på ett bra sätt.
b) Hur många elever hade fler än 6 rätt? d) Hur många procent av eleverna hade färre än 5 rätt? 5 I diagrammet nedan beskrivs arbetsgivaravgiftens utveckling från år 1960 till 2005. Arbetsgivaravgiftens utveckling Procent av lönen
2 Stapeldiagrammet visar antalet motorcyklar i trafik mellan åren 1995 och 2004.
40 30
Mc i trafik 1995–2004 250 000
20
200 000
10
150 000
0 1960
100 000 50 000 0
95
96
97
98
99
00
01
02
03
04
a) Hur många motorcyklar var i trafik år 2004? b) Hur många fler motorcyklar var i trafik år 2004 jämfört med år 1995? c) Med hur många procent har motorcykeltrafiken ökat?
–65
–70
–75
–80
–85
–90
–95
–00
–05
a) När var arbetsgivaravgiften lägst under perioden? b) När var arbetsgivaravgiften högst under perioden? Hur hög var den då? c) Nora tjänade 23 461 kr/mån år 2005. Hur mycket betalar hennes arbetsgivare i arbetsgivaravgift per månad?
d) Gör en bedömning av hur många motorcyklar som kan antas vara i trafik år 2005. statistik •blandade uppgifter
163
HISTORIa
h
Den svenska statistikens fader Kyrkobokföring
Pehr Wargentin (1717–1783).
År1686 stiftades en kyrkolag i Sverige. Enligt den lagen skulle präster föra bok över alla dop och begravningar samt ingångna äktenskap. Dessa data bevarades i församlingsböcker. Från början var det nog bara tänkt som en hjälp för församlingsprästen att hålla kontroll över sin församling, men med tiden användes församlingsböckerna även vid utskrivning till militärtjänst och för indrivning av skatter. I början av 1700-talet plågades landet av det långvariga stora nordiska kriget. Dessutom härjade pesten som värst. Allt detta tillsammans gjorde att kungen och militären förstod att det rådde befolkningsbrist. Befolkningsbristen förklarades av makthavarna med en stor utvandring. År 1749 fick Pehr Wargentin, som var astronom och Vetenskapsakademiens sekreterare, i uppdrag att sammanställa kyrkobokföringen till att omfatta hela riket. Han var prästson, född i Jämtland, och väl insatt i kyrkoböckerna. Han såg till att upprätta de första tabellerna över den svenska befolkningens dödlighet och livslängd. Världens äldsta statistiska ämbetsverk, Tabellverket, grundades.
Wargentins tabeller
h ? Vad gör en aktuarie? h ? År 2006 såg befolkningen ut så här: Folkmängd vid årets början: 9 047 752 personer Levande födda: 105 913 Dödfödda: 319 Döda: 91 177 Invandrare: 95 750 Utvandrare: 44 908 Hur stor var folkökningen år 2006? Hur många procent av folkökningen är invandringsöverskottet och hur många procent är födelseöverskottet?
162
statistik • historia
Resultaten man fick först pekade i riktning mot en stor utvandring och Vetenskapsakademien utlyste en pristävling där frågan som skulle besvaras var: Hvad kan vara orsaken att sådan myckenhet svenskt folk årligen flyttar utur landet, och genom hvilka författningar kan det bäst förekommas? Men, efter en noggrann kontroll, slog Wargentin senare fast att beräkningarna var fel, eftersom man utgått från felaktig data. Det var i själva verket fler döda och färre födda än man tidigare anat. Pehr Wargentin visade sig vara en samhällsmedveten och socialt engagerad forskare. Han påvisade bland annat de stora missförhållanden som rådde på den svenska landsbygden. På så sätt använde han statistik i syfte att påverka för bättre hälsa och fred. Wargentin hade redan tidigare gjort sig känd utomlands genom sina observationer av Jupiters månar, vilken fått betydelse för internationell forskning. Hans tabellverk över befolkningen utnyttjades även i Europa. I ett antal uppsatser som översattes till tyska, franska och engelska presenterade han det unika datamaterialet över ett helt land. I England, Frankrike och Tyskland räknade man sedan ut livräntor och premier på livförsäkringar efter Wargentins tabeller. En staty över Pehr Wargentin finns i Östersund, vid huvudingången till Wargentinskolan.
Blandade uppgifter a-uppgifter
3 Diagrammet ska visa apelsinskörden i två olika länder. På vilket sätt är detta diagram vilseledande?
1 Diagrammet visar chokladkonsumtionen per invånare i några europeiska länder. Vilket eller vilka av följande påståenden är sanna? 12 10 8
330 tusen ton
690 tusen ton
6
4 På ett diagnostiskt prov i matematik med 8 uppgifter hade eleverna i en klass så här många rätt:
4 2 0
Schweiz Österrike Irland
Storbritannien
Norge
Danmark Tyskland Sverige
4 8 5 3 4 7 5 7 6 5 7 6 7 8 5 4 6 8 7 8 6 5 3 4 7
1) I Schweiz äter man mer än dubbelt så mycket choklad per invånare som i Sverige.
a) Gör en frekvenstabell.
2) Skillnaden mellan konsumtionen per person i Storbritannien och Sverige är lika stor som den mellan Österrike och Storbritannien.
c) Hur många procent av eleverna hade alla rätt?
3) Konsumtionen av choklad i Danmark och Storbritannien är ungefär lika mycket. 4) Diagrammet visar chokladkonsumtionen per person på ett bra sätt.
b) Hur många elever hade fler än 6 rätt? d) Hur många procent av eleverna hade färre än 5 rätt? 5 I diagrammet nedan beskrivs arbetsgivaravgiftens utveckling från år 1960 till 2005. Arbetsgivaravgiftens utveckling Procent av lönen
2 Stapeldiagrammet visar antalet motorcyklar i trafik mellan åren 1995 och 2004.
40 30
Mc i trafik 1995–2004 250 000
20
200 000
10
150 000
0 1960
100 000 50 000 0
95
96
97
98
99
00
01
02
03
04
a) Hur många motorcyklar var i trafik år 2004? b) Hur många fler motorcyklar var i trafik år 2004 jämfört med år 1995? c) Med hur många procent har motorcykeltrafiken ökat?
–65
–70
–75
–80
–85
–90
–95
–00
–05
a) När var arbetsgivaravgiften lägst under perioden? b) När var arbetsgivaravgiften högst under perioden? Hur hög var den då? c) Nora tjänade 23 461 kr/mån år 2005. Hur mycket betalar hennes arbetsgivare i arbetsgivaravgift per månad?
d) Gör en bedömning av hur många motorcyklar som kan antas vara i trafik år 2005. statistik •blandade uppgifter
163
b-uppgifter 19 Varje dag under september 1998 mättes regnmängden på en ort i norra Jämtland. I diagrammet presenteras resultatet. a) Under hur många dagar föll det mer än 10 mm regn?
22 Diagrammet beskriver hur alkholkonsumtionen förändrats sedan år 1970. Antal dagar 16 14 12 10 8 6 4 2 0
10 8
liter hundraprocentig alkohol per invånare 15 år och äldre
6
a) Hur många kast bör hon ha gjort om den relativa frekvensen är lika med den teoretiska? vin
4 5
10 15 20 25 mm regn
b) Någon påstod felaktigt: ”Diagrammet visar att det föll mest regn under de första dagarna i månaden.” Förklara vad det är för fel i detta påstående. c) Ungefär hur många millimeter regn föll det totalt under månaden? (NP MaA vt 1999)
0 1960
b) Med hur många procentenheter avviker hennes relativa frekvens från det teoretiska om hon kastat tärningen 84 gånger?
öl
2
sprit 1970
1980
24 Vid kast med en vanlig tärning är den relativa frekvensen för att få en sexa teoretiskt sett lika med 1/6. Sara har under ett parti med Fia fått 19 sexor.
1990
2000
Källa: Forskning och framsteg
a) Beskriv med hjälp av diagrammet hur vinkonsumtionen har förändrats från år 1970. b) Rita ett diagram som beskriver hur konsumtionen av olika alkoholhaltiga drycker fördelades år 2000.
25 Diagrammet visar hur olika grupper av svenskar använder fildelning. Vad kan du läsa ut ur diagrammet? Andel personer i åldern 16–74 år som när de använt Internet använt ett fildelningsprogram efter ålder och kön.
procent 60
Kvinnor Män
20 10 16–24 år 25–34 år 35–44 år 45–54 år 54–74 år Källa: SCB
Längd (cm)
15000 10000 5000 0
-96 -98 -00 -02 -04
Vodka Choklad Övrigt Laxfisk Bakverk Anim. och veg. oljor
b) Vilken inkomst gav exporten av vodka år 2002?
C-uppgifter 27 Medelvärdet av fem olika positiva heltal är 17 och medianen är 20. Hur stort kan det största av de fem talen högst vara? Förklara hur du har kommit fram till ditt svar. (Np MaA vt 2002)
Undersökningar
150 160 170 180 190 200 210
a) Gör en frekvenstabell som visar samma sak.
21 Månadslönerna för Martin, Ulrika och Edvin år 2005 är 23 820 kr, 29 732 kr och 39 479 kr. Inkomstskatten är 30 % för inkomst upp till 25 500 kr/mån, 50 % för det belopp som ligger mellan 25 500 kr/mån och 38 400 kr/mån och 55 % på det belopp som ligger över 38 400 kr/mån. Rita ett stapeldiagram som visar båda deras månadslöner före och efter skatt.
20000
30
Antal elever
c) Beräkna medianen.
25000
50
20 Histogrammet visar längden på eleverna i en klass på samhällsprogrammet vid en skola.
b) Beräkna medelvärdet.
30000
a) Beräkna medelvärdet av exporten av livsmedel under perioden.
Unga män fildelar
40
8 7 6 5 4 3 2 1
26 Stapeldiagrammet visar livsmedelsexporten från Sverige i miljoner kronor. Cirkeldiagrammet visar hur exporten fördelades på olika varor år 2002.
23 Diagrammen visar pris, restid och koldioxidutsläpp för en resa från Stockholm till Peking. Jämför en flygresa med en tåg- och båtresa. Priset Stockholm-HelsingforsMoskva-Peking respektive PekingKöpenhamn-Stockholm, kronor 5 500
Tiden Stockholm-Peking respektive Peking-Stockholm, timmar
Koldioxidutsläppen Kg/person
1 100
• Studera en dagstidning under en vecka och leta efter statistik i form av tabeller och diagram. Dela in er i grupper och leta efter statistik i olika tidningar • Gör statistik över vilka typer av diagram som finns i tidningarna. Vilken diagramtyp är vanligast?
• Studera rubriker som anknyter till de diagram som du hittar. Tycker du att det går att läsa ut det som står i rubriken från diagrammet? • Jämför med några av dina kamrater och se vilken/vilka tidningar som innehåller mest statistik.
• Hittar du några tabeller och vilket innehåll har i så fall dessa?
168
4 325
StAtiStiK i MeDiA
2 875 tåg 1 450 båt
166
statistik • blandade uppgifter
flyg
tåg+båt
10,0 (+2 timmar transit) flyg
291
tåg+båt
flyg
statistik •blandade uppgifter
167
b-uppgifter 19 Varje dag under september 1998 mättes regnmängden på en ort i norra Jämtland. I diagrammet presenteras resultatet. a) Under hur många dagar föll det mer än 10 mm regn?
22 Diagrammet beskriver hur alkholkonsumtionen förändrats sedan år 1970. Antal dagar 16 14 12 10 8 6 4 2 0
10 8
liter hundraprocentig alkohol per invånare 15 år och äldre
6
a) Hur många kast bör hon ha gjort om den relativa frekvensen är lika med den teoretiska? vin
4 5
10 15 20 25 mm regn
b) Någon påstod felaktigt: ”Diagrammet visar att det föll mest regn under de första dagarna i månaden.” Förklara vad det är för fel i detta påstående. c) Ungefär hur många millimeter regn föll det totalt under månaden? (NP MaA vt 1999)
0 1960
b) Med hur många procentenheter avviker hennes relativa frekvens från det teoretiska om hon kastat tärningen 84 gånger?
öl
2
sprit 1970
1980
24 Vid kast med en vanlig tärning är den relativa frekvensen för att få en sexa teoretiskt sett lika med 1/6. Sara har under ett parti med Fia fått 19 sexor.
1990
2000
Källa: Forskning och framsteg
a) Beskriv med hjälp av diagrammet hur vinkonsumtionen har förändrats från år 1970. b) Rita ett diagram som beskriver hur konsumtionen av olika alkoholhaltiga drycker fördelades år 2000.
25 Diagrammet visar hur olika grupper av svenskar använder fildelning. Vad kan du läsa ut ur diagrammet? Andel personer i åldern 16–74 år som när de använt Internet använt ett fildelningsprogram efter ålder och kön.
procent 60
Kvinnor Män
20 10 16–24 år 25–34 år 35–44 år 45–54 år 54–74 år Källa: SCB
Längd (cm)
15000 10000 5000 0
-96 -98 -00 -02 -04
Vodka Choklad Övrigt Laxfisk Bakverk Anim. och veg. oljor
b) Vilken inkomst gav exporten av vodka år 2002?
C-uppgifter 27 Medelvärdet av fem olika positiva heltal är 17 och medianen är 20. Hur stort kan det största av de fem talen högst vara? Förklara hur du har kommit fram till ditt svar. (Np MaA vt 2002)
Undersökningar
150 160 170 180 190 200 210
a) Gör en frekvenstabell som visar samma sak.
21 Månadslönerna för Martin, Ulrika och Edvin år 2005 är 23 820 kr, 29 732 kr och 39 479 kr. Inkomstskatten är 30 % för inkomst upp till 25 500 kr/mån, 50 % för det belopp som ligger mellan 25 500 kr/mån och 38 400 kr/mån och 55 % på det belopp som ligger över 38 400 kr/mån. Rita ett stapeldiagram som visar båda deras månadslöner före och efter skatt.
20000
30
Antal elever
c) Beräkna medianen.
25000
50
20 Histogrammet visar längden på eleverna i en klass på samhällsprogrammet vid en skola.
b) Beräkna medelvärdet.
30000
a) Beräkna medelvärdet av exporten av livsmedel under perioden.
Unga män fildelar
40
8 7 6 5 4 3 2 1
26 Stapeldiagrammet visar livsmedelsexporten från Sverige i miljoner kronor. Cirkeldiagrammet visar hur exporten fördelades på olika varor år 2002.
23 Diagrammen visar pris, restid och koldioxidutsläpp för en resa från Stockholm till Peking. Jämför en flygresa med en tåg- och båtresa. Priset Stockholm-HelsingforsMoskva-Peking respektive PekingKöpenhamn-Stockholm, kronor 5 500
Tiden Stockholm-Peking respektive Peking-Stockholm, timmar
Koldioxidutsläppen Kg/person
1 100
• Studera en dagstidning under en vecka och leta efter statistik i form av tabeller och diagram. Dela in er i grupper och leta efter statistik i olika tidningar • Gör statistik över vilka typer av diagram som finns i tidningarna. Vilken diagramtyp är vanligast?
• Studera rubriker som anknyter till de diagram som du hittar. Tycker du att det går att läsa ut det som står i rubriken från diagrammet? • Jämför med några av dina kamrater och se vilken/vilka tidningar som innehåller mest statistik.
• Hittar du några tabeller och vilket innehåll har i så fall dessa?
168
4 325
StAtiStiK i MeDiA
2 875 tåg 1 450 båt
166
statistik • blandade uppgifter
flyg
tåg+båt
10,0 (+2 timmar transit) flyg
291
tåg+båt
flyg
statistik •blandade uppgifter
167
Kapitel 5
Statistik
Övriga
BMW
Piaggio Triuph
Honda
1 Den 30 juni 2004 var 235 000 motorcyklar HD i trafik. Cirkeldiagrammet visar märkesfördelningen av motorcyklar i trafik år 2004. Yamaha
Kawasaki
5 I en grupp med 5 kvinnor och 7 män är kvinnornas medellängd 1,67 m och männens 1,81 m. Beräkna gruppens medellängd.
Sammanställ data
6 Föreslå lämplig diagramtyp för att visa
• frekvens • relativ frekvens
a) Vilka är de två vanligaste märkena?
b) kroppslängden för invånarna i Sverige
• frekvenstabell
b) Ungefär hur många procent är av märket HD?
c) dygnsmedeltemperaturen i Säffle 16–31 december 2005
c) Hur många motorcyklar av märket Yamaha är i trafik?
d) betygen i Matematik A för en klass.
2 En trädgårdsfirma sålde buskar på postorder. I katalogen stod att en sorts prydnadsbuskar var ungefär 85 cm höga. Inför försäljningen på våren kontrollmätte man ett antal buskar för att se om det stämde. Resultatet i cm blev följande: 9, 12, 22, 35, 49, 56, 78, 84, 84, 84, 87, 87, 89, 90, 91, 92, 92, 95, 97, 99. a) Beräkna medelvärde och median. b) Borde trädgårdsmästaren ändra värdet på planthöjden i nästa katalog? 3 Bland de 92 anställda som kör bil till sin arbetsplats finns endast 5 bilmärken representerade. Vilken typ av diagram skulle du välja för att åskådliggöra fördelningen? Motivera ditt svar. 4 En julivecka varierade vindstyrkan i Roslagens skärgård enligt tabellen: T
O
T
F
L
!
• avprickning
a) mandatfördelningen i riksdagen
Suzuki
TaNKEKaRTa
KaPITELTEST
?
7 Tidningen BLAskan har en upplaga på 133 777 exemplar och tidningen O-Nytt har en upplaga på 121 200 exemplar. a) Gör en jämförelse av de två tidningarnas upplagor i ett korrekt diagram. b) Gör ett missvisande diagram som förstärker BLAskans övertag på O-Nytt. 8 Amanda hade plockat äpplen. Diagrammet visar äpplenas vikt.
M
S
Styrka (m/s)
4,0 3,1 2,2 1,0 1,0 1,3 1,2
• stolpdiagram • stapeldiagram • histogram • cirkeldiagram • linjediagram
Tolka och kritiskt granska statistik • lägesmått • rubrik • enhet • gradering av axlar
Antal äpplen 8 7 6 5 4 3 2 1 100 105 110 115 120 125 130
Dag
Presentation av statistik
Vikt g
Lägesmått • beskrivning av statistik
a) Hur många äpplen hade hon plockat?
• medelvärde
b) Hur mycket vägde äpplena sammanlagt?
• median
c) Beräkna äpplenas medelvikt.
• typvärde
Åskådliggör vindstyrkan under veckan i ett lämpligt diagram.
168
statistik • kapiteltest
statistik • tankekarta
169
Kapitel 5
Statistik
Övriga
BMW
Piaggio Triuph
Honda
1 Den 30 juni 2004 var 235 000 motorcyklar HD i trafik. Cirkeldiagrammet visar märkesfördelningen av motorcyklar i trafik år 2004. Yamaha
Kawasaki
5 I en grupp med 5 kvinnor och 7 män är kvinnornas medellängd 1,67 m och männens 1,81 m. Beräkna gruppens medellängd.
Sammanställ data
6 Föreslå lämplig diagramtyp för att visa
• frekvens • relativ frekvens
a) Vilka är de två vanligaste märkena?
b) kroppslängden för invånarna i Sverige
• frekvenstabell
b) Ungefär hur många procent är av märket HD?
c) dygnsmedeltemperaturen i Säffle 16–31 december 2005
c) Hur många motorcyklar av märket Yamaha är i trafik?
d) betygen i Matematik A för en klass.
2 En trädgårdsfirma sålde buskar på postorder. I katalogen stod att en sorts prydnadsbuskar var ungefär 85 cm höga. Inför försäljningen på våren kontrollmätte man ett antal buskar för att se om det stämde. Resultatet i cm blev följande: 9, 12, 22, 35, 49, 56, 78, 84, 84, 84, 87, 87, 89, 90, 91, 92, 92, 95, 97, 99. a) Beräkna medelvärde och median. b) Borde trädgårdsmästaren ändra värdet på planthöjden i nästa katalog? 3 Bland de 92 anställda som kör bil till sin arbetsplats finns endast 5 bilmärken representerade. Vilken typ av diagram skulle du välja för att åskådliggöra fördelningen? Motivera ditt svar. 4 En julivecka varierade vindstyrkan i Roslagens skärgård enligt tabellen: T
O
T
F
L
!
• avprickning
a) mandatfördelningen i riksdagen
Suzuki
TaNKEKaRTa
KaPITELTEST
?
7 Tidningen BLAskan har en upplaga på 133 777 exemplar och tidningen O-Nytt har en upplaga på 121 200 exemplar. a) Gör en jämförelse av de två tidningarnas upplagor i ett korrekt diagram. b) Gör ett missvisande diagram som förstärker BLAskans övertag på O-Nytt. 8 Amanda hade plockat äpplen. Diagrammet visar äpplenas vikt.
M
S
Styrka (m/s)
4,0 3,1 2,2 1,0 1,0 1,3 1,2
• stolpdiagram • stapeldiagram • histogram • cirkeldiagram • linjediagram
Tolka och kritiskt granska statistik • lägesmått • rubrik • enhet • gradering av axlar
Antal äpplen 8 7 6 5 4 3 2 1 100 105 110 115 120 125 130
Dag
Presentation av statistik
Vikt g
Lägesmått • beskrivning av statistik
a) Hur många äpplen hade hon plockat?
• medelvärde
b) Hur mycket vägde äpplena sammanlagt?
• median
c) Beräkna äpplenas medelvikt.
• typvärde
Åskådliggör vindstyrkan under veckan i ett lämpligt diagram.
168
statistik • kapiteltest
statistik • tankekarta
169
Origo
Origo Origo är en modern matematikbok för gymnasieskolan och vuxenutbildning med
Attila Szabo, Niclas Larson, Gunilla Viklund, Mikael Marklund
övningar, problemlösning och kommunikationsuppgifter på olika nivåer, mål, test och tankekartor som kontrollstationer, matematikens historia och undersökningar som ger fördjupade kunskaper. Serien består av Origo kurs A för SP och ES Origo kurs B för SP och ES Origo kurs C för SP och ES Origo kurs AB för NV och TE Origo kurs C för NV och TE Origo kurs D för NV och TE Origo kurs E för NV och TE
Origo Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund
Origo Lärarhandledning kurs A Origo Lärarhandledning kurs B Origo Lärarhandledning kurs C Origo Lärarhandledning kurs D
ISBN 978-91–622–8417-6
www.bonnierutbildning.se
Best.nr 622–8417-6
Matematik kurs A för samhällsvetenskapliga och estetiska program BONNIERS