MAT TE
Ingrid Olsson · Margareta Forsbäck
LÄRARBOK 6 A Omslag_Eldorado6A_Lararboken.indd 1
2013-06-20 16:17
Eldorado_LB_6A.indb 1
2013-06-20 16:10
Innehåll Grundtankar i Eldorado åk 4–6
4
Ekvationer, askar och bönor K 6
Komponenter
5
Ekvationer med parenteser K 7
Matematiken i Eldorado åk 4–6
10
Förmågor i Lgr 11
10
Entreprenörskap i Lgr 11
11
Innehållet i Eldorado åk 4–6, samt i Lgr 11
12
Tidsplan för Eldorado 6 A
17
Mönster K 8 Talföljder och formler K 9 Räkna mera, problemlösning 1 K 10 Gauss påskformel K 11 Utvärdering 1 K 12 Repetition, fördiagnos inför kapitel 2 K 13
Undervisning – att skapa förutsättningar för elevers lärande
18
Mina kunskaper kapitel 2, A och B K 15–K 16
Matematiklyftet och Eldorado
18
Primtal, Eratosthenes såll K 17
Kommer du ihåg? 1 K 14
Om undervisning i Eldorados tidigare lärarböcker 18
Faktorspelet, fyra i rad K 18
Formativ bedömning
18
Räkna mera, multiplikation K 19
Dokumentkamera – ett användbart hjälpmedel
20
Räkna mera, division K 20
Elever som behöver mer tid vid genomgångar
20
Antal decimaler K 21
Elever som saknar viktiga grundkunskaper
20
Räkna mera, textuppgifter K 22
Analysera era nationella prov
20
Avrunda till lämplig talsort K 23
Fördjupning av tidigare kunskaper i åk 6
21
Binära talsystemet, underlag K 24
Rika problem ger resonemang i matematik
21
Räkna mera, problemlösning 2 K 25
Eldorado läromedelswebb
21
Utvärdering 2 K 26
Bedömning och prov
22
Repetition, fördiagnos inför kapitel 3 K 27
Kapitel 1
36
Numeriska och algebraiska uttryck
Mina kunskaper kapitel 3, A och B K 29–K 30 Skala K 31
Ekvationer
Likformighet, kongruens och skala K 32
Mönster och formler
Kapitel 2
Kommer du ihåg? 2 K 28
Textuppgifter, teckna lösningar K 33 74
Plump K 34
Primtal och sammansatta tal
Utvärdering 3 K 35
Räknemetoder ∙ och ÷
Repetition, fördiagnos inför kapitel 4 K 36
Negativa tal
Kommer du ihåg? 3 K 37
Kapitel 3
106
Mina kunskaper kapitel 4, A och B K 38–K 39
Skala och likformighet
Bråk, del av helhet K 40
Kombinatorik
Räkna mera, bråkräkning A K 41
Textuppgifter
Räkna mera, bråkräkning B K 42
Kapitel 4
134
Textuppgifter, bråk- och decimaltal K 43
Bråk
Räkna mera, procent K 44
Procent
Procent K 45 Procent, öka och minska K 46
Extrauppgifter
164
Kopieringsunderlag
168
Repetition, fördiagnos inför kapitel 5, 6 B K 48
Facit till kopieringsunderlagen
168
Kommer du ihåg? 4 K 49
Mina kunskaper kapitel 1, A och B K 1–K 2 Algebrakort K 3 Numeriska uttryck K 4 Algebraiska uttryck K 5
Eldorado_LB_6A.indb 3
Utvärdering 4 K 47
Läxa 1–13 K 50–K 62 Mattelappar till kapitel 1–4 K 63–K 66 Förklara felen, kapitel 1–4 K 67–K 70
2013-06-20 16:10
Kapitel 1 Innehåll
Grundbok
Numeriska och algebraiska uttryck, ekvationer, samt mönster och formler.
6–7 Introsidor
Numeriska och algebraiska uttryck
8–9 Utforska
Tolka och skriva numeriska uttryck till räknehändelser. Beräkna numeriska uttryck med och utan parenteser. Tolka och skriva algebraiska uttryck till räknehändelser. Förenkla algebraiska uttryck. Beräkna uttryck för olika värden på variabler.
Minutare
K 1–2 Mina kunskaper 1 A och 1 B
K 3 Algebrakort 10–12 Numeriska uttryck K 4 Numeriska uttryck 13–15 Algebraiska uttryck K 5 Algebraiska uttryck K 63 Mattelappar, 1 A Läxa 1 16–17 Blå 18–19 Röd
Säg uttryck som ”3 färre än 10” och ”differensen mellan 8 och 3”. Eleverna visar uttrycken. Skriv enkla uttryck som 2(5 + 5) och 4(20 + 5). Eleverna visar svaren. Säg uttryck som ”hälften av a”. Eleverna visar uttrycken. Skriv uttryck som 2r + v, där r är röd tärnings tal och v är vit tärnings tal. Skriv sedan tabeller för r och v. Slå tärningar och skriv in talen. Eleverna visar antal steg att flytta. Gör mattelapp 1 A, K 63.
Ekvationer
Betydelsen av tecknen = och ≠. Skriva ekvationer utifrån likheter. Lösa och kontrollräkna ekvationer. Bestämma vad x ska representera vid problemlösning med ekvation. Använda ekvationer för att lösa uppgifter. Välja passande ekvationer till textuppgifter.
K 1 Mina kunskaper 1 A 20–21 Utforska K 6 Ekvationer, askar och bönor 22 Likheter – ekvationer 23–27 Skriva och lösa ekvationer
Skriv två uttryck med en ruta emellan. Eleverna visar = eller ≠. Rita likheter med askar och bönor. Eleverna skriver och visar ekvationen.
K 63 Mattelappar, 1 B
Skriv enkla ekvationer som t ex 2x + 3 = x + 5 och fråga om x = 2 är rätt lösning. Eleverna visar ja eller nej.
Läxa 2
Gör mattelapp 1 B, K 63
K 7 Ekvationer med parenteser
28–29 Blå 30–31 Röd
36 Eldorado_LB_6A.indb 36
Eldorado 6 A Lärarbok
KAPITEL 1
2013-06-20 16:11
Innehåll
Grundbok
Minutare
Mönster och formler
K 1 Mina kunskaper 1 B
Utgå från uppgifterna A och B i Utforska. T ex ”Hur många kvadrater finns i figur 6? Vilket nummer har figuren med 9 kvadrater?”
Uppfatta och fortsätta växande mönster. Beskriva växande mönster muntligt. Generalisera och skriva uttryck för figur n. Använda uttrycket med n. Räkna med formler och bokstäver.
32 Utforska 33–35 Mönster 36 Formler vid mätning K 8 Mönster K 63 Mattelappar, 1 C Läxa 3 37–38 Blå 39–42 Röd
Ställ motsvarande frågor med bord och stolar. Eleverna skriver svar. Visa olika talföljder. Eleverna skriver reglerna. Gör mattelapp 1 C, K 63.
K 9 Talföljder och formler
Utvärdering Bråk. Procent. Decimalform.
Repetition Bråk. Procent.
43 Utvärdering K 12 Utvärdering 1 K 67 Förklara felen, kapitel 1 44 Fördiagnos, kapitel 2 K 13 Repetition, fördiagnos inför kapitel 2 45 Kommer du ihåg? K 14 Kommer du ihåg? 1
Kul med matte Mönster, likheter och algebraiska uttryck.
46 Problemuppgifter med svarsalternativ K 10 Räkna mera, problem lösning 1 47 Gauss, matematikens konung K 11 Gauss påskformel
Förslag till tidsplan Arbetet med kapitel 1 bör ta ca 5 veckor.
KAPITEL 1
Eldorado_LB_6A.indb 37
Eldorado 6 A Lärarbok
37 2013-06-20 16:11
Numeriska och algebraiska uttryck
Mål för området Numeriska och algebraiska uttryck i detta kapitel
Centralt innehåll enligt Lgr 11 i årskurs 4–6: • • Tal i bråk- och decimalform och deras användning i vardagliga situationer. •
• Obekanta tal och deras egenskaper samt situationer där det finns behov av att beteckna ett obekant tal med en symbol. •
• Enkla algebraiska uttryck och ekvationer i situationer där de är relevanta för eleven. •
•
• Kommentarmaterialets förtydligande: • För att kunna beskriva ett matematiskt innehåll behöver man ha förståelse för att tal kan uttryckas med olika representationsformer, till exempel med hjälp av konkret material, bilder och symboler för tal. I förståelsen för tal ingår även att kunna växla mellan olika representationsformer. [. . .] • Enkelt uttryckt kan algebraisk kunskap beskrivas som att man genom att använda bokstavsbeteckningar i stället för tal, kan uttrycka beräkningar på ett generellt sätt. [. . .] • Eleverna behöver kunskapen i och om algebra för att kunna föra generella resonemang vid problemlösning. Algebraiska kunskaper är också nödvändiga för att kunna använda matematiska modeller i senare årskurser och i fortsatta studier. [. . .] • I årskurserna 4–6 ska eleverna få möta enkla algebraiska uttryck och ekvationer som är relevanta för eleven.
• •
•
Eleverna ska kunna tolka, skriva och hantera enkla numeriska uttryck. prioritering av räknesätt, att multiplikation och division beräknas före addition och subtraktion om ingen parentes finns. använda parentes i enkla uttryck och beräkna den först. att enkla miniräknare inte prioriterar räknesätt. tolka, skriva och hantera enkla algebraiska uttryck. att en bokstav i algebra står för ett tal och att t ex 2a innebär 2 · a. sätta in olika värden för en bokstav och beräkna uttryckets värde. att en bokstav i ett uttryck alltid har samma värde, men att bokstaven kan ha ett annat värde i ett annat uttryck. förenkla uttryck som 3a + b + 4 – 2a + 4b till a + 5b + 4.
Målen ovan är i stort sett samma som för motsvarande kapitel i Grundbok 5 A, men uppgifterna här i 6 A ligger på lite högre nivå än i 5 A.
Förkunskaper
Eftersom eleverna redan arbetat med detta moment på en grundläggande nivå i 5 A, bör de ha goda grunder för alla målen ovan.
Repetition/fördiagnos inför kapitel 1
På s 140 i Grundbok 5 B, liksom på K 36 i Lärarbok 5 B, finns uppgifter som är fördiagnos till kapitel 1 i Grundbok 6 A. Troligen gjorde eleverna denna fördiagnos i slutet på vårterminen och du har därför redan gjort anteckningar om elevernas förkunskaper. Här följer några kommentarer till uppgifterna. Uppgift 95: De numeriska uttrycken A–D visar hur mycket Felix ska betala. Elevernas val av uttryck avslöjar om de kan tolka vad uttrycken står för. Samtala gärna om vad de andra uttrycken betyder. Uppgift 96: Kan eleverna teckna båda inköpen i ett och samma uttryck? Väljer de rätta tal i sina uttryck? Uppgift 97: Kan eleverna skriva de två algebraiska uttrycken och välja rätt räknesätt, a + 4 och 3b?
38 Eldorado_LB_6A.indb 38
Eldorado 6 A Lärarbok
KAPITEL 1
2013-06-20 16:11
Elevernas lösningar kan vara till god hjälp när du ska planera arbetet med det här området. Kanske har du även anteckningar från arbetet med motsvarande område i grundbok 5 A.
Om innehållet i området Numeriska och algebraiska uttryck Här finns samma uppgiftstyper som i motsvarande kapitel i grundbok 5 A, men vi har här tagit ett litet steg till. Steget kan tyckas litet, men om du arbetade med grundbok 5 A så vet du att många elever tycker att det är svårt att skriva, tolka och hantera uttryck, såväl numeriska som algebraiska. Framför allt brukar momenten att skriva och tolka uttryck upplevas svårare än att räkna med uttryck där man kan följa givna regler. Tyvärr fick just momenten skriva och tolka ofta alltför litet utrymme i undervisningen för några år sedan. Större delen av tiden ägnades åt att räkna med symboler, vilket inte gav eleverna nödvändig förståelse. Eftersom algebra dessutom introducerades sent, ofta i åk 8, har svenska elever generellt tyckt att algebra varit svårt och resultaten har varit dåliga vid såväl nationella som internationella utvärderingar. Algebra var därför ett område som lyftes fram inför förändringarna i kursplanen och på s 67 i Kommentarmaterial till matematik (2011) kan man läsa: ”För elever i alla årskurser handlar det om att de behöver utveckla bättre kunskaper om matematiska begrepp, samt bättre kunskaper inom algebra och geometri”. En åtgärd för att åstadkomma detta blev då att redan i det centrala innehållet för åk 4–6 skriva in området algebra och med betoning på enkla algebraiska uttryck i situationer som är relevanta för eleverna. Det är lätt att det uppstår traditioner för hur olika moment bör tas upp i undervisningen och få reflekterar över om det är just detta som bör komma i fokus. Så har det tidigare varit med algebra i matematikundervisningen. På s 16 i boken Nämnaren TEMA Algebra för alla (Red. NCM 1997) tar man upp just detta, att skolan ägnar mycken tid åt omskrivning av algebraiska uttryck, men alltför lite tid åt tolkning och åt att eleverna själva ska skriva uttryck: ”Försummas faserna översättning och tolkning i under visningen finns en risk att arbetet med det algebraiska symbolspråket för en del elever blir dubbelt meningslöst. Man räknar med symboler som saknar mening och med regler man inte förstår varför de fungerar eller överhuvudtaget finns.” För många elever har därför algebraräknandet blivit ett mekaniskt manipulerande med siffror och bokstäver utan förståelse. När vi nu genom Lgr 11 får en tidigare
KAPITEL 1
Eldorado_LB_6A.indb 39
start i algebraundervisningen bör vi kunna ändra på detta och lyfta fram de delar som tidigare försummats. Liksom i grundbok 5 A inleder vi med numeriska uttryck för att sedan övergå till de algebraiska uttrycken, vilka brukar upplevas än mer abstrakta. Nu förekommer även parenteser lite mer än tidigare. Att kunna översätta uttryck som ”3 fler än” och ”en fjärdedel av” till mattespråkets symboler är en nödvändig kunskap när eleverna ska lösa textuppgifter med ekvation. Då krävs det att de kan översätta en situation till det matematiska symbolspråket. även i detta kapitel finns ett tärningsspel, men nu med två tärningar. En röd och en vit, vars tal sätts in i olika uttryck med r och v. Eleverna spelar parvis och har nu två spelpjäser ute på spelplanen. De måste då avgöra vilken spelpjäs som är förmånligast att flytta vid varje slag. De kan också välja att använda tiosidiga tärningar, vilka kan ge negativa tal och eleverna får då flytta bakåt. I detta spel blir det naturligt att en bokstav står för ett tal och att t ex bokstäverna r och v kan representera alla tal mellan 1 och 6 respektive mellan 1 och 10. En vanlig missuppfattning är nämligen att en bokstav står för en sak i stället för ett tal. Eleven tror t ex att 3a + 2b kan betyda 3 apelsiner och 2 bananer. Bokstäverna a och b tolkas helt enkelt som förkortningar för apelsiner respektive bananer, precis som m och g motsvarar meter respektive gram. Tyvärr ger den missuppfattningen rätta svar vid addition och subtraktion, t ex 3a + 2a = 5a, varför vi måste förvissa oss om att eleverna verkligen vet att bokstäverna står för tal. Denna missuppfattning brukar avslöjas när eleverna möter multiplikation och division, för man kan ju inte multiplicera apelsiner och bananer eller dividera apelsiner med bananer. Om du undervisade samma klass i åk 5, så har du säkert anteckningar kring hur eleverna klarade motsvarande moment då och vad du nu bör följa upp lite extra. Elever med hög abstraktionsförmåga tycker troligen att detta kapitel är enkelt, men det finns mer utmanande uppgifter på avsnitt Röd, på kopieringsunderlag, samt på extrauppgifterna till kapitel 1.
Eldorado 6 A Lärarbok
39 2013-06-20 16:11
Kapitel
1
Varför står det a ibland och x ibland?
Ekvationer
x kg
• Likhetstecknets betydelse:
8+4=2·6
8+4≠3·6
• Skriva ekvationer utifrån likheter:
8+4=2·6
8+4=2·x
• Lösa ekvationer:
3x + 2x = 30
3x + 5 = 20
x kg
9 kg 5 kg
(x = 6) 3x + 2 = 10 + x
• Använda ekvationer vid Anton har 3 gånger så mycket som Emil. problemlösning och bestämma Tillsammans har de 120 kr. Hur mycket har Anton? vad x ska representera: Emil har x kr. Anton har 3x kr. x + 3x = 120 Kan a vara ett negativt tal -2 eller ett bråktal 41 ?
Hur bestämmer du vad x ska stå för?
Hur kontrollräknar du en ekvation?
Numeriska och algebraiska uttryck Numeriska uttryck Kilopris äpplen
Algebraiska uttryck Kilopris äpplen
15,90 kr/kg
a kr/kg
Mönster och formler • Bestämma regler och fortsätta talföljder: 0,25 0,5 0,75
• Skriva uttryck: Priset för 3 kg äpplen.
3 · 15,90 kr
3a kr
• Tolka uttryck:
(100 – 3 · 15,90) kr
(100 – 3a) kr
• Prioritering av räknesätt: parenteser:
4 + 3 · 5 = 19
4 + 3 · a = 4 + 3a
(4 + 3) · 5 = 35
(4 + 3) · a = 7a
• Förenkla uttryck:
9·5–7·5=2·5
3 a + b + 4 –2a + 4b = a + 5b + 4
_________
_________
Regel: + 0,25
• Konstruera egna talföljder.
I uttrycket 3a + 8 kan a inte betyda apelsiner.
• Rita fortsättning på växande mönster:
figur 1
• Bestämma antalet delar i mönster:
figur 2
figur 1 Antal blå stickor:
1·2
Antal röda stickor: Summa stickor:
6
figur 2 2·2
figur 4
figur 3
figur n
3·2
1
1
1
1·2+1
2·2+1
3·2+1
• Beräkna antalet stickor, t ex i figur 12. Bestämma numret på figuren med t ex 24 stickor. Ange antalet stickor i en figur n. Vad innebär figur n?
Vad är en variabel, som t ex a i uttrycket 3a kr för 3 kg äpplen?
figur 3
Hur vet du hur ett mönster ska fortsätta?
7
Eldorado_6A.indb 6
2013-03-11 13:51
s 6–7 Introsidor För att göra innehållet i kapitlet tydligt för eleverna finns här en kortfattad sammanställning av det som tas upp i varje område. Motsvarande sammanställningar finns även på kopieringsunderlagen K 1 och 2 och här kan eleverna redan nu skriva vad de kan om det första området och/eller något som de inte behärskar. Under arbetets gång får de sedan fortsätta att anteckna här om sin kunskapsutveckling. Vi hoppas att det ska bli en god hjälp för eleverna att bli än mer medvetna om sitt eget lärande och sina kunskaper. Introsidor med tillhörande kopieringsunderlag kan naturligtvis användas på olika sätt. Det viktiga är att pröva sig fram till ett arbetssätt som blir givande för den egna klassen. Använd gärna detta uppslag i den digitala boken och visa rutan med det aktuella området på tavlan, så att alla fokuserar på samma bild. Vi föreslår att bara samtala om det aktuella området och spara de andra områdena tills det är dags att introducera dem.
Eldorado_6A.indb 7
2013-03-11 13:52
Numeriska och algebraiska uttryck Börja gärna med tankebubblorna eftersom eleverna ofta tittar på dem först. Kan a vara ett negativt tal –2 eller ett bråktal 1 ? 4 Låt eleverna parvis resonera om frågan och sedan ge förslag på svar. Ja, en bokstav kan representera både stora och små tal, positiva och negativa, samt även bråktal. I uttrycket 3a + 8 kan a inte betyda apelsiner. Lyft fram att en bokstav alltid står för ett tal. Bokstäverna a och b är inga förkortningar för t ex apelsiner och bananer, på det sätt som m är en förkortning av meter och g en förkortning av gram. Vad är en variabel, som t ex a i uttrycket 3a kr för 3 kg äpplen? I uttrycket 3a kr står a för kilopriset som kan vara t ex 15,90 kr, 18,90 kr eller 21,10 kr. Eftersom värdet på a kan anta olika värden när kilopriset ändras, kallas a för en variabel. Värdet på a kan alltså variera. Synliggör att 3a här visar en kostnad och alltså har enheten kr. Samtala om innehållet i kapitlet och starta med spalten för numeriska uttryck där eleverna får förklara uttryck,
40 Eldorado_LB_6A.indb 40
Eldorado 6 A Lärarbok
KAPITEL 1
2013-06-20 16:11
prioriteringar och förenklingar. Jämför sedan med spalten för algebraiska uttryck och lyft fram att samma regler gäller där. Hur fungerar parenteserna? Vid ”Tolka uttryck” är parenteserna utskrivna för att visa att kr gäller för hela uttrycket.
Mönster och formler Vad innebär figur n? Eleverna mötte uttrycket ”figur n” i området Mönster i grundbok 5 A. Det är vanligt att använda just bokstaven n för att representera ett valfritt tal vid mönster. Vilka tal kan n representera? Kan det vara 1, 2, 1 eller 2
0,35? En vanlig missuppfattning är att det måste vara ett större tal än de som finns i tabellerna. Här måste det vara ett positivt heltal, så det kan inte vara 1 eller
När ska man skriva ut multiplikationstecken? I uttrycket 3a är det underförstått att a ska multipliceras med 3, men det är inte fel att skriva 3 ∙ a. Vid parenteser behöver multiplikationstecknet inte heller skrivas ut, t ex 3(4 + a) och senare (4 + a)(5 + 2).
0,35. Det är nyttigt att resonera om olika sorters tal vid många tillfällen.
Prioritering av parenteser visar att man först ska beräkna uttrycket i parentesen, t ex (4 + 3) · 5 = 7 · 5 = 35 och (4 + 3)a = 7a.
Hur vet du hur ett mönster ska fortsätta? Låt eleverna berätta hur de uppfattar mönster och vad de tittar efter. Vad ändras och vad är konstant i mönstret i rutan? Låt eleverna muntligt beskriva de två mönstren.
Ekvationer Samtala om detta område i samband med Utforska s 20–21. Varför står det a ibland och x ibland? Det vanligaste är att man i ekvationer brukar använda bokstäver från slutet av alfabetet, som x, y och z, för att beteckna obekanta tal. Till konstanter och kända storheter brukar man däremot välja bokstäver från början av alfabetet, som a, b och c. Men det finns ingen lag på att det måste vara så. Hur bestämmer du vad x ska stå för? Samtala om att man får läsa texten noga, se vad som efterfrågas och välja så att räknandet blir enkelt. I uppgiften ovanför finns möjlighet att antingen välja att Anton har x kr eller att Emil har x kr. Om Emil har x kr så har Anton 3x kr. Om Anton har x kr så har Emil x kr. Båda är rätt, men det första är att föredra, efter-
2
Hur kommer stickmönstret att fortsätta? Genom att skriva en formel för t ex antalet stickor i figur n kan man sedan beräkna antalet stickor i vilken figur som helst i mönstret. Hur vet eleverna hur talföljden fortsätter? Låt dem beskriva hur man konstruerar t ex en lätt och en svår talföljd. Resonera gemensamt kring de olika delbegreppen som ni berört i samtalet.
Kopieringsunderlag
K 1 Mina kunskaper kapitel 1, A K 2 Mina kunskaper kapitel 1, B
3
som det i nuläget är enklare att räkna med 3x än med x , vilket ger 4x = 120. 3 3
Hur kontrollerar du en ekvation? Lös ekvationen ovan, 3x + x = 120, 4x = 120, x = 30. Värdet på x sätts in i den ursprungliga ekvationen och vi får 3 ∙ 30 + 30, vilket är 120 och alltså är lika mycket som det som står till höger om likhetstecknet. Då är x = 30 en lösning till ekvationen. Samtala om de olika delbegreppen och deras exempel.
KAPITEL 1
Eldorado_LB_6A.indb 41
Eldorado 6 A Lärarbok
41 2013-06-20 16:11
s 8–9
Numeriska och algebraiska uttryck
Utforska
Utforska
Eleverna arbetar först med sidan Utforska i par eller i grupp och sedan följer ni gemensamt upp aktiviteterna och elevernas lösningar.
Numeriska uttryck A
0
1
2
3
5
6
10
• I vilken av rutorna ska det här talet stå? Det är ett jämnt tal. Talet är hälften av 8. Talet är 2 mindre än 6. Talet är dubbelt så stort som 2.
Numeriska uttryck a. Naturligtvis är talet 4, men tanken med uppgiften är att eleverna ska se att man kan beskriva ett tal på flera olika sätt och att de kan tolka beskrivningarna.
• Beskriv talet som ska stå i den andra rutan på liknande sätt. • Beskriv ett annat tal 1–1 000 och låt kamraterna lista ut talet.
B Uttrycket 8 + 4 kan betyda t ex: 8 adderat med 4 8 plus 4
4 större än 8 4 fler än 8
• Beskriv på liknande sätt uttrycken:
8 ökat med 4 summan av 8 och 4 8–4
8∙4
8 4
C Beräkna uttrycken. Om det finns en parentes så räkna ut den först. a) 3 · (4 + 5) =
b. Att kunna tolka och skriva algebraiska uttryck kräver säkerhet i att hantera numeriska uttryck. De numeriska uttrycken i boken motsvarar följande algebraiska uttryck där talet 8 ersatts med bokstaven a. ett tal a adderas med talet 4 4 större än talet a talet a ökat med 4
Här följer exempel på hur de matematiska uttrycken med olika räknesätt kan beskrivas med ord. ändra sedan om dem till algebraiska uttryck genom att exempelvis byta ut talet 8 mot bokstaven a. 8–4
8∙4
8 subtraherat med 4 8 minskat med 4
8 minus 4 4 färre än 8
4 mindre än 8
differensen/skillnaden mellan 8 och 4
4 multiplicerat med 8 8 gånger 4 8 gånger större än 4
8 4
8 dividerat med 4 8 delat med 4 en fjärdedel av 8
c. Uppgifterna a, b och c har samma siffror och symboler förutom parenteserna. I uppgift a har multiplikationstecknet skrivits ut före parentesen för att symbolerna ska vara lika i alla uppgifter. Svaren blir olika eftersom parenteser ska beräknas först: a) 27, b) 17 och c) 17. Låt eleverna förklara varför svaren i uppgifterna b och c blir lika. Eftersom multiplikation ska räknas före addition, så börjar man med 3 ∙ 4 vare sig det står en parentes omkring eller inte. Låt sedan eleverna berätta räknehändelser som passar till de olika uttrycken.
42 Eldorado_LB_6A.indb 42
Eldorado 6 A Lärarbok
c) 3 · 4 + 5 =
c) 1 + 5 + 7 · 2 = 25
D SPELA UTTRYcK FöR TAL Varje grupp skriver av protokollet. Slå fyra tärningar och skriv ett uttryck för något av talen 1, 4, 8, 12 eller 16. Alla fyra tärningarna ska användas en gång. Parenteser och alla räknesätt är tillåtna. Skriv endast ett uttryck till varje tal. Den grupp vinner som efter 5 slag har flest korrekta uttryck.
a plus 4 4 fler än a summan av a och 4
Det räcker inte bara med att kunna tolka 8 + 4 som ”åtta plus fyra”. I skilda situationer kan räknesättet addition uttryckas på olika sätt och det måste uppmärksammas och tränas.
b) (3 · 4) + 5 =
Sätt ut parenteser så att uttrycken stämmer. a) 4 · 8 – 3 = 20 b) 20 – 6 + 4 = 10
8
KAPITEL 1 Numeriska och algebraiska uttr yck
Eldorado_6A.indb 8
2013-03-11 13:52
I uppgifterna d, e och f ska eleverna sätta ut parenteser så att likheterna stämmer. d. Spela Uttryck för tal. Eleverna slår fyra tärningar och väljer vilket av de fem talen i protokollet som de ska bilda med tärningstalen. De fortsätter att slå fram de andra talen på samma sätt. Med tärningarna på bilden kan man bilda samtliga tal i protokollet (men man väljer bara ett), t ex: 1=6–4+1–2 4 = 1 ∙ 2(6 – 4) 8 = 6 – 2 + 4 1:an kan ju placeras olika, 1 t ex 1(6 – 2 + 4) 2 12 = 6 + 4 + 1 16 = 1 ∙ 2 ∙ 6 + 4
Material
Fyra sexsidiga tärningar till varje par.
KAPITEL 1
2013-06-20 16:11
Det är lämpligt att arbeta med s 9 precis innan ni gör s 13 i grundboken. Algebraiska uttryck e. Talen i rutorna från vänster till höger är a – 2, a – 1 och a + 3, eftersom alla tal är positiva heltal, samt att de utskrivna talen a och a + 1 visar att det är 1 mellan varje tal.
Algebraiska uttryck En bokstav står för ett tal.
E
a
a+1
Alla tal på den här tallinjen är positiva heltal. • Vilka uttryck ska stå i rutorna? • Vilket tal ska stå i den röda rutan om a är 5? 10? 99? • Bokstaven a kan ha olika värden och kallas därför variabel.
F Tildas bror är 3 år yngre än hon är.
Tilda Hur gammal är han när Tilda är a år? Tildas bror
Bokstaven a är en variabel som kan anta olika värden. Talet i den röda rutan är beroende av värdet av a. Vid a = 5 står det 7 i den röda rutan, vid a = 10 står det 12 och vid a = 99 står det 101.
5 år
12 år
20 år
2 år
9 år
17 år
a år _________
år
G Uttrycket a + 5 kan betyda t ex: a adderat med 5 a plus 5
5 större än a 5 mer än a
• Beskriv på liknande sätt uttrycken:
a ökat med 5 summan av a och 5 a–5
5a
a 5
H Jämför hur beräkningar utförs med numeriska respektive algebraiska uttryck. 5+5+5=3·5 3·7+5·7=8·7 9·4–3·4=6·4
Fråga eleverna vilket värde a har om det i den röda rutan står 51, 80 eller 1 000.
a + a + a = 3a 3b + 5b = 8b 9c – 3c = 6c
Vid a = 5 blir uttrycket 3 · 5. Vid b = 7 blir uttrycket 8 · 7. Vid c = 4 blir uttrycket 6 · 4.
I Förenkla och beräkna uttryckets värde för olika värden på a. 3a + 2a – a + 5
a=2
a = 10
a = 20
J SPELA ALgEBRAKoRT
f. Vid jämförelsen av åldern på Tilda och hennes bror framgår hur effektivt ett algebraiskt uttryck är. åldersskillnaden är 3 år och om Tildas ålder skrivs som a, så är hennes brors ålder alltid (a – 3). I uttrycket kan man sätta in vilket värde som helst på a, Tildas ålder, och beräkna broderns ålder genom att subtrahera 3. En bokstav kan här säga mer än tusen ord!
Blanda korten och lägg dem på bordet med baksidan upp. Deltagarna tar var sitt kort från högen och lägger det med uttrycket synligt. Turas om att slå tärningen för att bestämma värdet av t för den här omgången. Den vinner som har kortet med högst värde. Alla tar sedan ett nytt kort, någon slår tärningen och alla räknar ut värdet på sitt kort. Värdena kan bli negativa. Spelare 1 Spelare 2 Spelare 3 Omgång 1
2t - 1
10 - t
t+2
Spelare 1 vinner på 7 poäng.
Omgång 2
2(t - 1)
t+3
2t - 1
Spelare 3 vinner på 9 poäng.
KAPITEL 1 Numeriska och algebraiska uttr yck
Eldorado_6A.indb 9
Låt eleverna föreslå något liknande uttryck, kanske sin egen ålder jämfört med åldern på syskon eller kamrater. g. Jämför gärna med de numeriska uttrycken i uppgift B, eftersom de är enklare att tolka än de algebraiska. Vid de numeriska uttrycken föreslog vi att byta ut talet 8 mot bokstaven a för att även pröva algebraiska uttryck. h. Här jämförs beräkningar av numeriska och motsvarande algebraiska uttryck. Sätt gärna in andra värden på variablerna och skriv motsvarande numeriskt uttryck, t ex a = 10 motsvarar 10 + 10 + 10 = 3 ∙ 10 = 30, b = 100 ger 3 ∙ 100 + 5 ∙ 100 = 8 ∙ 100 och c = 1 000 ger 9 ∙ 1 000 – 3 ∙ 1 000 = 6 ∙ 1 000. Låt eleverna föreslå egna uttryck att jämföra.
9
2013-03-11 13:52
kan eleverna få förklara vilka tärningstal som ger positiva respektive negativa tal. Låt sedan eleverna skriva fler algebrakort, gärna på olika nivåer så att alla kan få utmaningar.
Material och kopieringsunderlag
Algebrakort, samt sexsidiga och tiosidiga tärningar. K 3 Algebrakort
i. Eleverna ska först förenkla uttrycket 3a + 2a – a + 5 till 4a + 5 och sedan sätta in de olika värdena på a och uttryckets värde blir då 13, 45 respektive 85. J. Spela Algebrakort. På K 3 finns 15 algebrakort att kopiera och klippa ut. Låt eleverna välja mellan sexsidig eller tiosidig tärning. När eleverna spelar kan du ställa frågor som kräver reflektion. Om två elever t ex har korten t + 2 respektive 10 – t kan du fråga vem av dem som vill att tärningen ska visa ett litet tal respektive ett stort tal. Vid 10 – (t + 5)
KAPITEL 1
Eldorado_LB_6A.indb 43
Eldorado 6 A Lärarbok
43 2013-06-20 16:11
9 Vilket eller vilka av uttrycken betyder: a) summan av 3 och 4 b) kvoten av 3 och 4 c) fyra gånger större än 3 d) fyra större än 3 e) en fjärdedel av 3 f) differensen mellan 4 och 3 g) tre mindre än 4 h) produkten av 4 och 3
Numeriska uttryck 1 Anton köper 3 cd-skivor och 20 kr 50 kr 2 förpackningar batterier. Vilket av uttrycken visar hur mycket han ska betala? A (50 + 2 ∙ 20) kr
B (3 ∙ 20 + 2 ∙ 50) kr
30 kr
a) Samira sålde 20 lotter. Tilda sålde dubbelt så många. Hur många lotter sålde Samira och Tilda tillsammans? D 20 + 20 2 b) Emil sålde 30 lotter. Det var dubbelt så många som Milo sålde. Hur många lotter sålde Emil och Milo tillsammans? A 30 + 2 ∙ 30 B 2 ∙ 30 + 2 ∙ 30 C 30 + 30 + 2 D 30 + 30 2 c) Tilda sålde 40 lotter. Det var 5 lotter fler än Anton sålde. Hur många lotter sålde Tilda och Anton tillsammans? A 40 + 5 B 40 + 40 + 5 C 40 + 40 – 5 D 40 + 40 5 A 20 + 2 ∙ 20
3 Tilda ska betala: (4 ∙ 20 + 1 ∙ 30) kr a) Vad köper hon? b) Hur mycket ska hon betala? 4 Samira köper 2 cd-skivor och 1 förpackning batterier. Skriv ett uttryck för hur mycket hon ska betala och räkna ut kostnaden. 5 Antons bror betalar 200 kr. Skriv tre olika uttryck för vad han kan ha köpt.
4 ∙ 5 + 2 ∙ 8 = 20 + 16 = 36 poäng
Skriv uttryck som ovan och räkna ut hur många poäng tärningarna visar. a)
b)
3+4 4 3 3 4
10 Klass 6A säljer lotter. Välj rätt uttryck till varje uppgift.
C (3 ∙ 50 + 2 ∙ 20) kr
2 Emil ska betala: (1 ∙ 30 + 2 ∙ 50) kr a) Vad köper han? b) Hur mycket ska han betala?
6 I ett tärningsspel ska man addera tärningarnas tal och försöka få så många poäng som möjligt.
4–3 3–4 4·3 4+3
c)
B 2 ∙ 20 + 2 ∙ 20
C 20 + 20 + 2
11 Skriv ett uttryck till varje uppgift. Beräkna uttrycket. a) De sex eleverna ovan sålde tillsammans 180 lotter. Det var en tredjedel av alla lotter som klassen sålde. Hur många lotter sålde hela klassen? b) Klass 6 B sålde 140 lotter fler än de sex eleverna. Hur många lotter sålde klass 6 B? c) Lotteriet hade 1 000 lotter. Hur många lotter fanns kvar sedan 6 A och 6 B sålt sina? 12 Skriv en textuppgift till varje uttryck. Beräkna uttrycken. a) 3 ∙ 20 + 2 ∙ 10 b) 10 – 2 ∙ 3 c) 20 + 60 2
7 Sortera tärningarna efter deras tal och skriv ett uttryck för poängen.
13 SPELA PARENTESSPELET Slå två 1–6-tärningar och skriv talen som en addition i en parentes. Slå den tiosidiga tärningen och skriv talet framför parentesen. Räkna ut poängen. T ex 8(4 + 3) = 56 poäng
8 Emil fick 34 poäng med sina 6 tiosidiga tärningar. Skriv olika uttryck för vad hans tärningar kan ha visat.
10
KAPITEL 1 Numeriska och algebraiska uttr yck
Eldorado_6A.indb 10
KAPITEL 1 Numeriska och algebraiska uttr yck
2013-03-11 13:52
s 10–11 Numeriska och algebraiska uttryck Tolka och välja numeriska uttryck till räknehändelser. Beräkna numeriska uttryck. Skriva numeriska uttryck till räknehändelser och tärningstal. Skriva räknehändelser till givna numeriska uttryck. Beräkna uttryck med parenteser.
Eldorado_6A.indb 11
11
2013-03-11 13:52
Fokus i uppgift 11 ligger på att tolka text och att skriva ett passande matematiskt uttryck. Därför bör alla skriva uttryck och inte bara ett svar, även om de tycker att uppgifterna är enkla. Elevernas räknehändelser i uppgift 12 avslöjar deras förmåga att tolka numeriska uttryck. I Parentesspelet tränar eleverna att hantera parenteser. När de ska beräkna poängen adderar de först de två talen i parentesen och multiplicerar sedan med talet framför parentesen. Påpeka att man inte behöver skriva ut något multiplikationstecken mellan talet och parentesen, t ex 8(4 + 3) = 56.
S 10 I uppgift 1–3 ska eleverna tolka de numeriska uttrycken och avgöra vilka varor och hur många som eleverna köper. Påpeka att uttrycket i parenteserna anger kostnaden för varorna. Om köpet gäller endast ett exemplar av en vara som kostar t ex 30 kr, kan man skriva såväl 30 +… som 1 ∙ 30 + … I algebraiska uttryck brukar man däremot endast skriva a för en sak och inte 1a.
Förenkla
S 11 I uppgift 10 har en del elever nytta av att ”rita ruta” som hjälp för att tolka texten och sedan för att kunna välja lämpligt uttryck.
Klarar eleverna att välja uttryck i uppgift 9? Skriver de korrekta uttryck i uppgift 11? är deras räknehändelser i uppgift 12 relevanta?
Låt eleverna ha tillgång till tiosidiga tärningar vid uppgifterna 7 och 8. Gör så många uppgifter som möjligt tillsammans och låt eleverna berätta vad de får veta av varje mening i textuppgifterna och rita ruta till. Låt dem ge flera olika exempel på räknehändelser till uttrycken i uppgift 12 innan de själva skriver.
Observera
Material
Två sexsidiga tärningar och en tiosidig till varje elevpar.
44 Eldorado_LB_6A.indb 44
Eldorado 6 A Lärarbok
KAPITEL 1
2013-06-20 16:11
s 12
14 Beräkna uttrycken. Jämför uttrycken och svaren på varje rad.
Numeriska och algebraiska uttryck Sätta ut parenteser så att likheter stämmer.
a) 9 – 5 + 3
b) 9 – (5 + 3)
c) 6 · 3 + 4
d) 6 · (3 + 4)
e) 5 + 5 · 10
f) (5 + 5) · 10
15 Skriv av och sätt ut parenteser så att det stämmer.
Tolka och välja numeriska uttryck med parenteser till räknehändelser.
a) 3 ∙ 6 + 4 = 30
b) 10 – 2 ∙ 3 = 24
c) 9 – 5 – 1 = 5
d) 100 – 40 – 10 = 70
e) 20 + 5 ∙ 4 = 100
f) 2 ∙ 30 + 20 = 100
Välj rätt uttryck till varje uppgift. 16 a) 4 gånger summan av 5 och 3.
Beräkna numeriska uttryck med parenteser.
A 4∙5+3
B 4∙3+5
C (4 ∙ 5) + 3
D 4 ∙ (5 + 3)
C 8 + (10 – 4)
D 8 + 10 + 4
C (3 – 2) ∙ 5
D 2∙5∙3
b) 8 mer än differensen mellan 10 och 4.
Skriva räknehändelser till givna numeriska uttryck.
A 8 ∙ (10 + 4)
B 8 ∙ (10 – 4)
c) 3 mindre än produkten av 2 och 5. A 2∙5–3
B 2 ∙ (5 – 3)
17 a) Anton köper 3 päron för 4 kr/st. Hur mycket får han tillbaka på 20 kr?
Visa att på den här sidan är multiplikationstecknen utsatta i uttrycken såväl före som efter parentes. Man kan göra så, men man behöver inte sätta ut dem när parentesen ska multipliceras eller mellan två parenteser, t ex (2 + 3)(7 – 3). Här beräknas först parenteserna, vilka ger 5 ∙ 4 och värdet är 20. Uppgift 15 är av samma sort som den sista på Utforska. Om eleverna var osäkra där så gör några liknande uppgifter innan eleverna startar med sidan.
Beräkna parenteser först.
A (20 – 3) ∙ 4
B 20 – 3 ∙ 4
C (20 – 4) ∙ 3
D 20 – 3 – 4
b) Emil har 20 idolkort. Han ger två av sina kamrater 3 kort var. Hur många kort har han sedan kvar? A 20 + 2 ∙ 3
B 20 – 2 ∙ 3
C (20 + 2) ∙ 3
D (20 – 2) ∙ 3
18 Skriv textuppgifter som passar till uttrycken. Lös uppgifterna. a) 100 – 4 ∙ 20 12
b) 2 ∙ 30 + 3 ∙ 10
KAPITEL 1 Numeriska och algebraiska uttr yck
Eldorado_6A.indb 12
Samtala om hur man skriver uttrycket för t ex 5 gånger summan av 6 och 2. Vad ska man börja med? Vad ska vi multiplicera med 5? Vad ska beräknas först? Gör på motsvarande sätt med t ex 4 mer än differensen mellan 10 och 9 5 mindre än differensen/skillnaden mellan 10 och 2 2 mer än produkten av 3 och 5 2 mindre än produkten av 3 och 5
2013-03-11 13:52
Observera
Klarar eleverna att hantera parenteser i uppgifterna 14 och 15? Kan de tolka uttryck både när det handlar om matematiska termer (uppgift 16) och en situation (uppgift 17)? är elevernas textuppgifter i uppgift 18 relevanta?
Kopieringsunderlag K 4 Numeriska uttryck
Förvissa dig om att eleverna förstår termerna och kan hantera dem. Fråga vilka enheter som gäller för uttrycken i uppgift 17 a respektive b. På kopieringsunderlag K 4 får eleverna ytterligare träning på numeriska uttryck.
Förenkla
Samtala om uppgifterna och lös dem tillsammans. Då har du möjlighet att upptäcka och rätta till eventuella missuppfattningar.
Utmana
Låt eleverna konstruera egna uttryck med parenteser och sedan skriva relevanta räknehändelser till dem.
KAPITEL 1
Eldorado_LB_6A.indb 45
Eldorado 6 A Lärarbok
45 2013-06-20 16:11
s 13 Numeriska och algebraiska uttryck Avgöra vilka tal som variabeln a kan anta. Tolka och välja algebraiska uttryck till räknehändelser. Skriva algebraiska uttryck till textuppgifter.
Algebraiska uttryck 19 Vilka uttryck ska stå i rutorna? a) b)
c–1 c–1 a a
c c a+1 a+1
20 Vilka olika tal kan a representera i varje räknehändelse? a) Antons lillebror har plåster på a fingrar på höger hand. b) Tildas pappa får punktering på a däck på sin personbil. c) Emil ritar en vinkel som är a grader. d) Samira köper 50 cl läsk. Hon dricker genast a cl. 21 Vilket uttryck stämmer? a) Det är b glassar i varje paket. Hur många glassar är det i 5 paket?
Eftersom eleverna brukar tycka att det är svårare att hantera algebraiska uttryck än numeriska är det viktigt att de känner sig trygga med de numeriska innan de möter motsvarande algebraiska. För att kunna avgöra ett svars rimlighet vid beräkningar med variabel kan det vara bra att reflektera över vilka värden variabeln kan ha. Ibland finns givna gränser som t ex: Hur många dagar den veckan tränade Anton? Från och med 0 dagar till och med 7 dagar. Ett intervall som t ex 5 < a < 10 innebär att variabeln a måste vara större än 5 men mindre än 10. Om a även kan anta värdena 5 och 10 skrivs intervallet ≤ a ≥. Symbolerna ≤ och ≥ finns inte med i elevboken. Låt eleverna arbeta i par med att lösa några liknande uppgifter som 21 och 22, t ex: • Det finns 4 glassar i varje paket. Hur många glassar får Emil om han köper a st paket? • Det finns b stycken gem i varje ask. Hur många gem finns det sammanlagt i 5 askar?
b) Anton gjorde två mål fler än Emil. Hur många mål gjorde Anton om Emil gjorde a mål?
A b+5 C b–5
B 5b D 5–b
A 2a C a+2
B a∙2 D a–2
c) Samira vinner frågesporten. Hon har 12 poäng. Tilda kommer tvåa med a poäng. Hur många A 12 – a fler poäng har Samira än Tilda? C 12 + a
B a – 12 D a + 12
22 Skriv algebraiska uttryck till textuppgifterna. a) Tilda har x m att gå till skolan. Hur långt har Samira att gå om hennes skolväg är hälften så lång? b) Det är lika många ballonger i varje påse. Hur många är det i varje påse om det är a stycken påsar och sammanlagt 100 ballonger? c) Emil köper 3 tablettaskar som kostar a kr/st. Hur mycket ska han betala? d) Samiras rum är 12 m2 stort. Hur stort är Tildas rum om det är x m2 mindre?
KAPITEL 1 Numeriska och algebraiska uttr yck
Eldorado_6A.indb 13
13
2013-03-11 13:52
Utmana
Låt eleverna skriva textuppgifter som liknar uppgift 21 och 22 och sedan lösa varandras.
Observera
Skriver eleverna korrekta tal i rutorna på tallinjen? Klarar eleverna av att välja rätt uttryck? Kan de skriva egna uttryck till textuppgifterna och kan de använda de olika variablerna på rätt sätt?
• Det finns c stycken tuggummi i varje förpackning. Tre elever köper två förpackningar och delar lika. Hur många tuggummin får var och en? • Emil fick 5 poäng mer än Tilda. Hur många poäng hade Tilda om Emil hade d poäng? Låt eleverna parvis konstruera fler liknande uppgifter. De kan sedan läsa upp dem och kamraterna föreslår uttryck.
Förenkla
Lös några av uppgifterna tillsammans med eleverna och ställ reflekterande frågor som: Hur kan du veta det? Vad kan a vara i den här uppgiften?
46 Eldorado_LB_6A.indb 46
Eldorado 6 A Lärarbok
KAPITEL 1
2013-06-20 16:11
23 Vilka uttryck visar hälften av a?
a–2
a 2
2 a
1 2a
0,5a
1a 2
24 Ett äpple kostar a kronor och ett päron b kr. Vad betyder uttrycket 3a + 2b? 25 Veckans 7 dagar betecknas med a. Skriv med ord vad varje uttryck betyder. b) a – 2
a) 3a
c) a + 3
d) 4a + 2
26 Skriv ett uttryck för hur man beräknar arean respektive omkretsen av varje figur. a)
h
b)
b
s
c)
d
c
h b
s
27 Förenkla varje uttryck. Vilket av alternativen stämmer? a) 5 + 3a + a – 2
A 5 + 2a
B 5 + 4a
C 3 + 4a
D 3 + 3a
b) 4c + 8 + 2c – 5 – c
A 5c + 3
B 6c + 3
C 7c + 3
D 7c + 13
c) 2a + 9 + 5b – 4 – 4b A 2a + b
B 2a + 9b + 9 C 2a + b + 9 D 2a + b + 5
28 Skriv ett uttryck för varje figurs omkrets. Förenkla uttrycket. 2a 2b a) 4 b) c) 8 c b b a 2b 3c
3
6
29 a) Skriv ett uttryck som visar kostnaden för två hamburgare och en juice. b) Hur mycket kostar det om a = 25 och b = 10? c) Hur mycket kostar det om a = 22 och b = 8? 30 Emil ska betala 3a och 2b. a) Vad köper Emil? b) Hur mycket ska han betala om a = 20 och b = 9?
14
a kr
31 SPELA ALgEBRARAcE
b kr
Bokstäverna r och v står för röd respektive vit tärnings tal. Varje par har två spelpjäser på banan. Hamnar en spelare på en grön ruta så följ pilen. Om uttrycket blir negativt får man flytta bakåt. Bestäm riktning i förväg och antal varv för att vinna.
KAPITEL 1 Numeriska och algebraiska uttr yck
Eldorado_6A.indb 14
KAPITEL 1 Numeriska och algebraiska uttr yck
2013-03-11 13:52
s 14–15 Numeriska och algebraiska uttryck Tolka och skriva algebraiska uttryck. Skriva algebraiska uttryck för omkrets och area. Förenkla algebraiska uttryck. Beräkna uttryck för olika värden på variabler.
Låt eleverna föreslå hur man kan skriva en fjärdedel av b på olika sätt. Skriv sedan uttryck som 4 · b, b – 4, b + 4 och 4b och låt eleverna tolka dem. Repetera hur man beräknar arean av rektanglar och trianglar, så att eleverna inte skriver fel uttryck för att de inte kan areaberäkning. a
Rita den här figuren och fråga eleverna om förhållandet mellan sidorna 3a AB och BC och mellan AB och AD. D C 5 Sidan BC är dubbelt så lång som AB och sidan AD är tre gånger så lång som AB. A
B 2a
Eldorado_6A.indb 15
15
2013-03-11 13:52
Rita t ex en bok och en penna och skriv priserna a kr respektive b kr. Låt eleverna ge förslag på uttryck för kostnaden för olika inköp, t ex 3 böcker och 4 pennor. Skriv uttrycken och beräkna sedan kostnaden för respektive inköp när variablerna a och b antar olika värden, som t ex 10 kr och 2 kr eller 20 kr och 5 kr. I spelet Algebrarace flyttas spelpjäserna medsols och eleverna kan använda sexsidiga tärningar eller tiosidiga och då räkna 0 som 10. Eftersom varje elevpar har två spelpjäser på banan samtidigt så gäller det att avgöra vilken av spelpjäserna som det är mest förmånligt att flytta efter ett tärningsslag. För att vinna ska elevparet ha fått båda sina spelpjäser i mål. Pröva även med tre spelpjäser. Titta gemensamt på uttrycken i rutorna, t ex i den fjärde rutan r – v. Vad händer om vit tärning visar högre tal än den röda, t ex vit 5 och röd 2. Uttrycket blir då – 3 och man får gå tre steg bakåt. När får man flytta framåt respektive bakåt från rutan med uttrycket 5 – v? Låt eleverna göra egna spelplaner och skriva uttryck.
Observera
Lyssna på eleverna när de spelar och ställ frågor. Skriv uttryck med en eller flera variabler, låt eleverna förenkla dem och sedan förklara varför man exempelvis får addera 3a och 2a i ett uttryck. Distributiva lagen ger här att 3a + 2a = a (3 + 2) = 5a. T ex: 5a + 3 – 4a – 1 + 7a = (8a + 2)
KAPITEL 1
Eldorado_LB_6A.indb 47
Material och kopieringsunderlag
Två sexsidiga eller tiosidiga tärningar och fyra spelpjäser per två elevpar. K 5 Algebraiska uttryck
Eldorado 6 A Lärarbok
47 2013-06-20 16:11
Blå
39 Hur många steg får du flytta? Bokstaven v står för vit tärnings tal och r för röd tärnings tal.
32 Skriv uttryck för vad de olika buketterna kostar: a) 5 rosor och 2 vita kvistar b) 7 rosor och 3 gröna kvistar c) 4 rosor, 1 vit kvist och 1 grön kvist
10 kr/st
8 kr/st
5 kr/st
b) (9 ∙ 10 + 4 ∙ 5) kr
A (7 ∙ 10 – 100) kr
B (100 – 7 – 10) kr
c) (6 ∙ 10 + 3 ∙ 8) kr
C (100 – 7 ∙ 10) kr
D (100 + 7 ∙ 10) kr
C 40 – 10 – 5
c) 7a + 4 + b + 2b +5
c) Tre elever delar lika på två förpackningar. Hur många nektariner får var och en om det är a stycken i varje förpackning? d) Samira köper två förpackningar med a stycken i varje. Hon får slänga tre som är dåliga. Hur många nektariner har hon kvar?
D 40 + 10 + 5
a) 20 – 10 + 5
b) 20 – (10 + 5)
c) 20 – (10 – 5)
d) 5 ∙ 10 + 20
e) 5 (10 + 20)
f) 5 ∙ 10 + 5 ∙ 20
g) 40 + 5 ∙ 2
h) (40 + 5) ∙ 2
i) 40 + (5 ∙ 2)
42 Skriv uttryck som visar kostnaden för a) 2 glas saft, 1 bulle och 1 muffins. b) 3 kaffe, 2 bullar och 1 muffins. c) 1 glas saft, 1 kaffe och 2 muffins.
37 Skriv av och sätt ut parenteser så att det stämmer. a) 2 ∙ 5 + 3 = 16
b) 100 – 60 ∙ 2 = 80
c) 4 ∙ 10 – 2 = 32
d) 20 – 9 – 1 = 12
e) 100 – 80 + 10 = 10
f) 6 – 4 + 1 = 1
43 Tre personer betalar (2a + b + 3d) kronor. Vad har de köpt?
a kr b kr
44 Vad står dessa uttryck för? a) (b + 2d) kr b) (3a + 3c) kr
38 Skriv en textuppgift till varje uttryck. Beräkna uttrycken. b) 100 – 3 ∙ 20 c) 4 ∙ 25 + 40 a) 30 + 50 4
c) 5d kr
KAPITEL 1 Numeriska och algebraiska uttr yck
Eldorado_6A.indb 16
b) 8 – 3a + 4b + 5a
b) En förpackning kostar b kronor. Hur mycket kostar 4 förpackningar?
36 Beräkna uttrycken.
16
f) 3 + v - r
41 Skriv algebraiska uttryck till textuppgifterna. a) I varje förpackning är det a nektariner. Hur många nektariner är det i 4 förpackningar?
35 Emil har 40 idolkort. Han ger tio till Samira och fem till Anton. Hur många kort har han sedan kvar? Välj rätt alternativ. B 40 + 10 – 5
c) 8 - (r + v)
e) 2(v- 1)
a) 3b + a + 2 – b + 5a
34 Tilda köper 7 rosor á 10 kr/st. Hur mycket får hon tillbaka på 100 kr? Välj rätt alternativ.
A 40 – (10 – 5)
b) 2(r - v)
d) r - (v - 1) 40 Förenkla uttrycken.
33 Beskriv var och en av de här buketterna. Räkna ut hur mycket de kostar. a) (3 ∙ 10 + 1 ∙ 8 + 2 ∙ 5) kr
a) v + 2r
d) (2d + a) kr
c kr d kr
KAPITEL 1 Numeriska och algebraiska uttr yck
2013-03-11 13:52
Eldorado_6A.indb 17
17
2013-03-11 13:52
s 16–17 Blå Det är bättre att eleverna som brukar välja avsnitt Blå arbetar med dessa sidor nu än att de väljer kopieringsunderlaget K 5. Det kan de i så fall göra senare om tid finns. På den vänstra sidan tränar eleverna numeriska uttryck och på den högra algebraiska. Uppgifterna här är ungefär på samma nivå som i grundkursen och inga nya uppgiftstyper tillkommer. Det gäller att ta tillvara alla möjligheter att få eleverna att ”sätta ord på” uttryck. Låt därför eleverna lösa uppgifterna individuellt och sedan komma överens om rätt lösning genom att samtala och jämföra med varandra och eller fråga läraren om de har olika åsikter.
Observera
Lyssna på elevernas resonemang. Ställ frågor för att förvissa dig om att de förstått vad de gör och att de kan uttrycka hur de tänker.
48 Eldorado_LB_6A.indb 48
Eldorado 6 A Lärarbok
KAPITEL 1
2013-06-20 16:11
Röd
53 Alla sidor har enheten meter. Ange omkretsen i var och en av figurerna.
a) 400 – 4 ∙ 75
b) 200 + 3 ∙ 23
c) 6 ∙ 300 – (500 + 300)
d) 4 ∙ 70 – 65
e) 4 ∙ (70 – 65)
f) 4 ∙ 50 + 2 ∙ 90
a) 837 – 4 ∙ 163
b) 500 + 200 ∙ 2
c) 17 ∙ 54 – 39
d) 23 ∙ 48 + 12
e) 23(48 + 12)
f) (48 + 12) ∙ 23
5
c) 2
5
2
Här ser du bara en del av en figur som har n antal sidor. Varje sida är 2 meter lång.
2 2
3
a meter
A ab meter
B (a + b) meter
C a meter b
D b meter a
55 Anton har dubbelt så många böcker som Emil. Tore har sex böcker fler än Emil. Hur många böcker har de tre pojkarna tillsammans om Emil har x böcker?
48 I annonsen står det ”Köp 3 betala för 2. Du får den billigaste varan.” Anton köper ett par byxor för 298 kr, en tröja för 149 kr och en skjorta för 179 kr. Hur mycket får han tillbaka på 500 kr?
A 3x + 6
B 3x + 8
C 4x + 6
D 5x + 6
56 På semestern utomlands betalade Samira x zed för tre paket juice. Vad är priset i zed för ett paket? A x B 3 C 3+x D 3x 3 x
49 Samira köper en jacka som har kostat 850 kr men nu är det 50 % rabatt. Hur mycket får hon tillbaka på 500 kr? 50 En fyrhörning har omkretsen 487 mm. Tre av sidorna är alla 147 mm vardera. Hur lång är den fjärde sidan?
57 Vilket svarsalternativ är sant om L = 4 då K = 6 och M = 24? A L=K+M B L= K C L=K∙M D L=M M K
51 En annan fyrhörning har omkretsen 625 mm. Tre av sidorna är lika långa och den fjärde sidan är 136 mm. Hur lång är var och en av de övriga sidorna?
58 Beräkna uttrycket 3(m + 2) när m är:
a) 10 b) 1
59 Till varje uppgift väljer du ett av alternativen: detta är alltid sant, detta är aldrig sant eller detta kan vara sant. Förklara hur du kom fram till svaret.
52 Två av vinklarna i en fyrhörning är 110° respektive 70°. Hur många grader är var och en av de återstående vinklarna om de är lika stora?
a) a + b + c = c + a + b
KAPITEL 1 Numeriska och algebraiska uttr yck
b) 4 + x = 4 + y
c) 2a + 3 = 2a – 3
KAPITEL 1 Numeriska och algebraiska uttr yck
2013-03-11 13:52
s 18–19 Röd De elever som väljer avsnitt Röd brukar ofta vara snabba, så många av dem hinner säkert göra både avsnitt Blå och Röd. Detta är ett svårt område, så det är bra att träna på många olika uppgifter. Uppgifterna på avsnitt Röd är på lite högre nivå än grundkursen. även här finns uppgifter med numeriska uttryck på vänstersidan och med algebraiska på den högra. I uppgift 46 ska eleverna använda miniräknare. Då måste de tänka efter i vilken ordning och hur de ska göra beräkningarna, eftersom enkla miniräknare inte prioriterar parenteser och räknesätt. Låt eleverna försöka skriva hela lösningen, i ett sammanhängande uttryck, till var och en av uppgifterna 47–52. Uppgift 53 b och c ingick i det norska KIM-projektet (Kvalitet i matematikkundervisningen). Resultaten visar, precis som andra undersökningar, att eleverna har svårt för de algebraiska uttrycken. Sedan denna undersökning genomfördes har algebra tidigarelagts i vår kursplan, vilket är ett bra sätt att förbättra resultaten.
Eldorado_LB_6A.indb 49
u
54 Det första röret är a meter långt. Det andra röret är b gånger så långt som det första. Hur långt är det andra röret?
47 Tilda har 500 kr. Hon köper 2 tröjor för 98 kr/st och 3 par sockor i en förpackning som kostar 79 kr. Hur mycket pengar har hon sedan kvar?
KAPITEL 1
u
b) h
t
Skriv ett uttryck till varje uppgift. Beräkna uttrycket.
Eldorado_6A.indb 18
h
h
46 Använd miniräknare och beräkna uttrycken.
18
h
a)
45 Beräkna uttrycken.
Eldorado_6A.indb 19
19
2013-03-11 13:52
Eleverna behöver mycket träning på att tolka, hantera och använda uttryck. Uppgift 53 b: I åk 8 var det 18 % av eleverna som inte besvarade uppgiften, 7 % hade den rätta lösningen 2u + 13 eller 13 + 2u, 12 % hade inte förenklat sina uttryck, 3 % skrev 2 u och 13, 22 % svarade 2 ∙ u, 2 ∙ 5, 1 ∙ 3 eller liknande, 8 % svarade 2u13 eller liknande och övriga hade lämnat andra svar. Uppgift 53 c: I åk 8 var det 42 % som inte besvarade uppgiften och 9 % skrev 2n eller liknande svar. Övriga elever gav varierande svar. Uppgift 54 fanns med i TIMSS 2007 för åk 8 och 52,6 % av eleverna valde alternativ A, ab meter. Men så många som 24,2% av eleverna valde alternativ B, (a + b) meter. Låt eleverna förklara uppgift 59 muntligt. a) Alltid sant. Kommutativa lagen. b) Kan vara sant om x och y har samma värde, annars inte. c) Kan aldrig vara sant. På sidorna med Extrauppgifter till kapitel 1 finns fler uppgifter att arbeta med.
Eldorado 6 A Lärarbok
49 2013-06-20 16:11
MAT TE
Ingrid Olsson · Margareta Forsbäck ELDORADO grundlägger en god matematisk förståelse på ett sätt som väcker lust för matematik. Eleverna får upptäcka matematiken i en undervisning som synliggör begrepp, strukturer och samband. I varje kapitel får eleverna utforska ett lärandemål i taget, arbeta med grundkursen och sedan välja uppgifter på två svårighetsnivåer – blå sidor på samma nivå som grundkursen eller röda sidor med mer utmaningar. Kapitlet avslutas med utvärdering, fördiagnos inför nästa kapitel, repetition samt ett uppslag med klurig problemlösning. I Lärarboken tydliggörs kopplingen till kursplanens förmågor och centrala innehåll samt den matematikdidaktik varje kapitel bygger på. Här finns handledning med kommentarer till varje elevsida och kopieringsunderlag där bland annat läxor och prov ingår. ELDORADO är ett läromedel i matematik med genomtänkt progression och samma författare för FK–åk 6. Åk 6 består av: MAT TE
MAT TE
Ingrid Olsson Margareta Forsbäck
6A
Ingrid Olsson Margareta Forsbäck
6B
• Grundböcker – finns även som Digitalbok med ljud och Skriva, en grundbok som eleverna skriver direkt i. • Lärarböcker • Facit
Mer om ELDORADO och de olika komponenterna hittar du på www.nok.se/eldorado.
ISBN 978-91-27-42557-6
9 789127 425576
Omslag_Eldorado6A_Lararboken.indd 2
2013-06-20 16:17