Kurs
B GrĂśn
LENA ALFREDSSON ∙ HANS BROLIN PATRIK ERIXON ∙ HANS HEIKNE
Kurs
B GrĂśn
MATEMATIK 4000 Framställningen är precis som i fÜregüngaren Matematik 3000 baserad pü färdigheter – fÜrstüelse – problemlÜsning, men nu med Ükat fokus pü kommunikation. Nya begrepp introduceras pü ett pedagogiskt och metodiskt sätt.
BÜckerna i Matematik 4000 finns i tre svürighetsnivüer: RÜd, GrÜn och Blü, där Blü är den mest krävande. FÜr aktuell information om serien, se www.matematik4000.nu
*4#/
4000
Eleverna für med hjälp av denna bok och tillhÜrande kompletterande material münga tillfällen att upptäcka och bearbeta matematiken – genom elevnära exempel, aktiviteter och Üvningar, de senare av olika slag och svürighetsgrad.
MATEMATIK
är en ny läromedelsserie fÜr gymnasieskolan och vuxenutbildningen.
4000 MATEMATIK
Till lärare och elever Matematik 4000 är en läroboksserie för gymnasieskolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad på färdigheter, för ståelse, kommunikation och problemlösning. Den ger eleven goda möjligheter att utveckla de förmågor och nå de mål som beskrivs i kurs planen. Denna bok, Kurs B Grön lärobok, riktar sig till elever som läser normal B-kurs samt de flesta vuxenstuderande. Boken förutsätter att eleverna har viss tillgång till grafritande räknare. Innehållet och strukturen i boken gör det möjligt att i klassrummet använda den parallellt med Kurs B Röd lärobok.
Varje enskilt avsnitt har följande struktur: 1. Teorin framställs så att eleverna ges en chans att förstå och upptäcka matematik och så att den är möjlig att läsa på egen hand. Teorin utgår oftast från ett konkret Exempel. 2. Lösta uppgifter belyser det viktigaste och stärker förståelsen. 3. Övningsuppgifterna är uppdelade i fyra nivåer, en grundnivå samt nivå A, B och C i stigande svårighetsgrad. 4. Kan du det här? inleder i vissa avsnitt övningsuppgifterna. Här får eleverna, helt kort, testa om de har förstått de grundläggande begreppen. Den elev som inte har tillräckliga kunskaper får först träna på grundläggande uppgifter och därefter börja med A-uppgifterna. Den elev som klarar Kan du det här? hoppar direkt till A-nivån för att sedan fortsätta med B- och C-uppgifter.
Varje kapitel har följande struktur: 1. De olika momenten har delats in i mindre avsnitt med underrubriker för att underlätta lektionsplaneringen. Varje sådant avsnitt har den struktur som beskrivits ovan.
förord
Gr B Kap 1.indb 3
2. I varje kapitel finns Aktiviteter, Teman och Historik i anslutning till teorin. Aktiviteterna är främst avsedda för arbete i par eller i grupp och finns i fyra olika kategorier: Undersök, Upptäck, Laborera och Diskutera. I de flesta kapitel finns också en Inledande aktivitet med syfte att introducera kapitlets innehåll. 3. Kapitlet avslutas med • förslag till Hemuppgifter som är grupperade efter momentrubrikerna. • en Sammanfattning där eleven kan repetera det viktigaste i kapitlet. • Blandade övningar som består av två likvärdiga och parallella test med uppgifter även från tidigare kapitel. Blandade övningar innehåller A-, B- och C-uppgifter och har en struktur liknande ett Nationellt prov. Del I ska lösas utan räknare och Del II avslutas med Utredande uppgifter. • en sida Problem för alla med problemlösning av annorlunda slag.
Boken avslutas med • Repetitionsuppgifter, vilka är texten till de lösta uppgifterna i varje kapitel. Dessa kan användas som en självständig repetition av enstaka kapitel eller hela kursen.
Lärarhandledningen innehåller bl a • didaktiska kommentarer till bokens olika avsnitt och Aktiviteter. • kopieringsunderlag till ytterligare Aktiviteter. • förslag till diagnos och prov till varje kapitel. Vi hoppas att Matematik 4000 är lätt att använda, att den inbjuder till en variation av arbetssätt och arbetsformer och att den erbjuder många olika möjligheter för lärare och elever att lägga upp undervisningen. Lycka till med matematiken! önskar Författarna
3
08-06-25 16.33.42
Innehåll 1. Sannolikhetslära och statistik 6
Inledande aktivitet: Hur stor är chansen? 7
2. Algebra och linjära modeller 56
Inledande aktivitet: Rektanglar och algebra 57
1.1 Enkla slumpförsök 8
2.1 Repetition av algebra 58
Inledning 8 Den klassiska sannolikhetsmodellen 9 Experimentella sannolikheter 12
1.2 Slumpförsök med flera föremål eller steg 14
Försök med två föremål 14 Aktivitet: Laborera – Kasta två tärningar 16 Träddiagram 17 Aktivitet: Laborera – Lika eller olika färg? 21 Avslutande aktivitet: Byta eller inte? 23 Komplementhändelse 24 Historik: Sannolikhetslärans födelse 26
1.3 Statistik 27
Repetition av lägesmått 27 Några spridningsmått 29
1.4 Statistiska undersökningar 34 Population, stickprov och urvalsmetoder 34 Formulera frågor 37 Några felkällor vid statistiska undersökningar 39 Aktivitet: Undersök – En egen undersökning – några tips 42 *Standardavvikelse – normalfördelning 43 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 46 Hemuppgifter 1 47 Sammanfattning 1 49 Blandade övningar 1A 51 Blandade övningar 1B 53 Problem för alla 1 55
Negativa tal 58 Algebraiska uttryck 59 Ekvationer 61 Omskrivning av formler 63 Aktivitet: Undersök – Funktionsmaskinen 64
2.2 Funktionsbegreppet 65
Inledning 65 Vad är en funktion? 66 Symbolen f (x) 71
2.3 Linjära funktioner 75
Inledning 75 Aktivitet: Upptäck – Torghandel med hjälp av räta linjer 77 Den linjära funktionen y = k x + m 78 En formel för linjers lutning 81 Räta linjens ekvation 85 Aktivitet: Laborera – Trästavar med skruv 88 Räta linjens ekvation i allmän form 89 Linjära modeller 92
2.4 Linjära ekvationssystem 95
Inledning 95 Grafisk lösning 96 Substitutionsmetoden 98 Additionsmetoden 100 Aktivitet: Undersök – Ekvationsbilder 102 Tillämpningar 103 Några speciella ekvationssystem 105
2.5 Olikheter 106 Algebraisk lösning 106 Grafisk lösning 109 Problem för alla 2 110 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 111 Hemuppgifter 2 112 Sammanfattning 2 114 Blandade övningar 2A 116 Blandade övningar 2B 118
4
Gr B Kap 1.indb 4
innehåll
08-06-25 16.33.43
3. Algebra och icke-linjära modeller 120
Inledande aktivitet: Olika beräkningar – samma resultat 121
3.1 Algebra 122
Polynom 122 Räkna med polynom 123 Faktorisera 125 Multiplikation av parenteser 127 Aktivitet: Upptäck – Kvadreringsreglerna 129 Konjugat- och kvadreringsreglerna 130
3.2 Andragradsekvationer 133
Enkla andragradsekvationer 133 En lösningsformel 135 Historik: Från lertavlor till dataskärmar 140 Tillämpningar 142
3.3 Icke-linjära modeller 144 Inledning 144 Andragradsfunktionens graf 146 Andragradsfunktionens största/minsta värde 149 Aktivitet: Undersök – Rektanglar med en given omkrets 154 Tillämpningar 155 Exponentialfunktioner 159 Olika matematiska modeller 161 Problem för alla 3 164 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 165 Hemuppgifter 3 166 Sammanfattning 3 168 Blandade övningar 3A 170 Blandade övningar 3B 173
innehåll
Gr B Kap 1.indb 5
4. Geometri 176
Inledande aktivitet: Alla dessa vinklar! 177
4.1 Vinklar 178
Några begrepp 178 Vinklar och vinkelsumma 179 Yttervinkelsatsen 181 Aktivitet: Upptäck – Randvinklar 183 Randvinklar och medelpunktsvinklar 184
4.2 Likformighet och Pythagoras sats 186
Ekvationer med nämnare 186 Likformiga månghörningar och trianglar 188 Historik: Fraktaler 191 Topptriangelsatsen och transversalsatsen 192 Pythagoras sats 195 Avståndsformeln 199
4.3 Några geometriska problem och bevis 201 Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 203 Hemuppgifter 4 204 Sammanfattning 4 206 Blandade övningar 4A 207 Blandade övningar 4B 210 Problem för alla 4 213
08-06-25 16.33.43
Sannolikheten för vinst är oftast för liten.
Gr B Kap 1.indb 6
08-06-25 16.34.51
1 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK Inledande aktivitet
hur stor är chansen? 2 Kasta de tre tärningarna samtidigt och pricka in poängsumman i din tabell. Gör detta 20 gånger. Skriv frekvenserna i tabellen. 3 Rita av tabellen och skriv in de relativa frekvenserna. Poängsumma
Relativ frekvens Bråkform
Decimalform
Procentform
3–6
Materiel: Tre sexsidiga tärningar
7 – 10
1 Rita av tabellen. Poängsumma
11 – 14 Avprickning
Frekvens
15 – 18
3–6 7 – 10 11 – 14
15 – 18
1 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK
Gr B Kap 1.indb 7
Summa
4 Hur stor är chansen att få en poängsumma mellan 11 och 14 enligt detta försök? Svara i procent.
08-06-25 16.35.06
1.1 Enkla slumpförsök Inledning I många situationer kan vi inte förutsäga exakt vad som kommer att hända. Kastar vi en sexsidig tärning, så vet vi inte om den kommer att visa 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Resultatet beror av slumpen. Slumpförsök
möjliga utfall
Att ”kasta tärning” är exempel på ett slumpförsök. Om vi bara kastar tärningen en gång, kan vi inte veta resultatet. Om vi däremot kastar tärningen många gånger kan vi t ex förutsäga att vi får en fyra i ungefär en sjättedel av kasten. Några exempel på slumpförsök och de möjliga utfallen (resultaten): Slumpförsök
Möjliga utfall
Kast med mynt Kast med häftstift Ta en lott
Nit
Vinst
Kast med tärning
Händelse
Sannolikhet
När vi kastar tärning kan vi t ex få ett udda resultat. Vi kallar detta en händelse. En händelse kan bestå av ett eller flera utfall. Händelsen ”udda resultat vid kast med tärning” består av tre av de sex möjliga utfallen. Sannolikheten för en händelse anges med ett tal från och med 0 till och med 1.
Sannolikheten för en händelse som alltid inträffar är 1 (100 %). Sannolikheten för en händelse som aldrig inträffar är 0 (0 %). Om du kastar ett mynt, får du antingen ”krona” eller ”klave”. 1 Sannolikheten att få krona är eller 0,5. 2 Detta skrivs kortare P(krona) = 0,5 Bokstaven P står för sannolikhet (jämför engelskans probability). Till vardags säger vi ibland chans eller risk istället för sannolikhet. Ofta anges då sannolikheten som ett tal i procentform, t ex: ”Chansen att få en vinstlott är 15 %.” 8
Gr B Kap 1.indb 8
1.1 ENKLA SLUMPförSöK
08-06-25 16.35.16
Den klassiska sannolikhetsmodellen Exempel
Farmor har en skål med lakrits- och jordgubbskarameller. Alla karameller har samma form. Emmy, som gillar lakrits, tar en karamell utan att titta. Hur stor är sannolikheten att hon får en lakritskaramell?
2 karameller av 8 är lakritskarameller.
Vi säger att det finns 8 möjliga utfall och 2 av dessa är gynnsamma.
2 1 P (lakrits) = antalet gynnsamma utfall = = = 0,25 = 25 % 8 4 antalet möjliga utfall
P (jordgubb) =
Svaret kan ges i bråkform, decimalform eller procentform.
I slumpförsök där alla utfall har samma chans att inträffa gäller:
6 3 = = 0,75 = 75 % 8 4
Sannolikheten för en händelse =
Sammanfattning
antalet gynnsamma utfall antalet möjliga utfall
Summan av sannolikheterna i ett slumpförsök är 1 (= 100 %).
1101
Snurra hjulet. a) Hur stor är sannolikheten att hjulet stannar på blått?
b) Anta att vi snurrar hjulet 120 gånger. Hur många gånger bör det då stanna på blått?
a) Det är lika stor sannolikhet för alla sektorerna.
2 gynnsamma av 6 möjliga utfall. 2 2 /2 1 P (blått) = = Vi förkortar med 2. = 6 6 /2 3 BB_3101
b) Antal gånger vi förväntar oss att hjulet stannar på blått:
1.1 ENKLA SLUMPFÖRSÖK
Gr B Kap 1.indb 9
1 1 · 120 · 120 = = 40 , d v s 40 gånger. 3 3
08-06-25 16.35.22
1108 Kasta ett mynt.
Kan du det här?
24 så långt som möjligt. 30 3 b) Beräkna 200 · 4
1102 a) Förkorta 1103
Dra slumpvis en kula ur skålen. Bestäm sannolikheten att du får en
kula a) vit NVAB 8106
a) Hur stor är sannolikheten att du får en ”etta”? b) Hur många ”ettor” bör du få på 3 000 kast? 5 rätt eller mer – hoppa till
6 1105 Förkorta med 12 b) 3 a) 2 1106 Beräkna 3 a) 10 · 5
a) Hur många möjliga utfall finns det?
b) Ange sannolikheten för klave.
c) Hur många gånger bör du få klave om du kastar myntet 5 000 gånger?
1109 Du drar slumpvis ett kort ur en vanlig kortlek. Förklara vad som menas med skrivsättet 4 P (ess) = 52
s 289b) blå kula.
1104 Kasta en tärning.
c) 6
1110 Snurra lyckohjulet. Hur stor är sannolikheten att du vinner om du har satsat på
1
a) 8
b) 2, 5 och 8
2
c) alla udda tal?
1 4
9
8 7 6
3
4
5
1111 I en påse ligger en röd, sex gula och två blå godispengar. Du tar en godispeng utan att titta. Bestäm sannolikheten för att den
b) 200 ·
0
a) är blå b) är gul eller blå c) inte är gul.
1112
1107
Anna tar slumpvis en kula ur skålen.
a) Hur många möjliga utfall finns det?
b) Anna vill nu ha en blå kula. Hur många gynnsamma utfall finns det?
10
Gr B Kap 1.indb 10
c) Hur stor är sannolikheten att hon får en blå kula?
Den sista siffran i telefonnumret har rivits bort. Hur stor är chansen att du gissar rätt om du helt slumpvis väljer den sista siffran? 1113 Nadja kastar en vanlig tärning fem gånger och får en sexa varje gång. Hur stor är sannolikheten att hon får en sexa även i nästa kast?
1 Den är större än 1/6. 2 Den är mindre än 1/6. 3 Den är fortfarande 1/6. 1.1 ENKLA SLUMPFÖRSÖK
08-06-25 16.35.33
1114
1118 Para ihop följande händelser med sannolikheterna 0 0,000 004 0,96 och 1:
a) Hur många vita kulor måste läggas i påsen för att P(vit) = P(blå)? BB_3102
b) Kommer P(blå) att öka, minska eller vara densamma om en vit kula läggs till i påsen?
1115 En vanlig kortlek innehåller 52 kort, 13 i varje färg. Du drar ett kort ur leken. Ange sannolikheten att det dragna kortet är
a) en spader
c) en kung
b) spader kung
d) en kung eller dam.
1116 ” Ta en lott. Du har 15 % chans att vinna!” Hur många lotter och hur många vinster kan det finnas i lotteriet? 1117
A att få krona eller klave vid kast med mynt
B att en gräshoppa kan hoppa till månen
C att få fyra ess då man drar fyra kort ur en kortlek
D att en 20-åring blir 50 år.
1119 Du köper en lott i ett lotteri med 250 vinster. Sannolikheten att du får en vinst- lott är 0,08. Hur många lotter finns det? 1120 Du kastar en tärning. Hur stor är sanno likheten att poängtalet är
a) högst 2
c) minst 4
b) minst 2
d) högst 5?
1121 I en låda ligger 1 000 kulor. Sannolikheten för att ta upp en röd kula är 1/8 och för att ta upp en blå kula 4/5. Vad säger detta om kulorna i lådan? 1122 Vilken är sannolikheten att vinna i lotteriet?
a) Lotterna är numrerade från 101 till 1 000. Vinst utgår på de lotter där alla siffror är lika.
b) Lotterna är numrerade från 1 till 100. Vinst utgår på de lotter som har minst en 2:a i lottnumret.
1123 Oddset för en händelse A definieras som P(A inträffar) P(A inträffar inte)
a) Du köper en trisslott. Hur stor är sannolikheten att du får en vinst?
b) Filip köper en trisslott varje dag under två års tid. Hur många vinster på mer än 100 kr bör han få?
1.1 ENKLA SLUMPFÖRSÖK
Gr B Kap 1.indb 11
a) Vad är oddset för att få en sexa vid kast med tärning?
b) Hästen Golden Star anses ha chansen 6 på 10 att vinna sitt lopp. Vilket är oddset för vinst?
c) En annan häst har bara chansen 9 på 100 att vinna sitt lopp. Vilket är oddset för vinst?
11
08-06-25 16.35.39
Experimentella sannolikheter
Exempel
Om du kastar ett häftstift hamnar det antingen med stiftet upp eller med stiftet ner
.
De båda utfallen har inte samma chans att inträffa. Vi kan därför inte bestämma sannolikheterna teoretiskt. Vi måste göra ett experiment. I tabellen ser du resultatet. Antal
Antal
20
10
10
100
70
30
500
335
165
0,67 = 67 %
33 %
1 000
651
349
0,65 = 65 %
35 %
2 000
1 300
700
0,65 = 65 %
35 %
Antal kast
Relativ frekvens
Relativ frekvens
10 = 0,5 = 50 % 20 70 = 0,7 = 70 % 100
50 % 30 %
Vi ser att
– efter 20 kast hade vi lika många kast med stiftet upp som med stiftet ner.
– när antalet kast ökar, så ändras de relativa frekvenserna allt mindre. Vi får ett säkrare resultat.
För detta häftstift är det rimligt att säga att
P(
) = 0,65 och P (
) = 0,35
Många sannolikheter är av denna typ. Vi får nöja oss med att samla in data eller göra försök och sedan uppskatta sannolikheten med hjälp av den relativa frekvensen.
1124 En nystartad restaurang undersöker hur stor andel av gästerna som väljer olika lunchalternativ under några dagar. Resultatet blev enligt vidstående tabell. Uppskatta med hjälp av tabellen hur stor sannolikheten är att en slumpvis vald gäst har valt
Lunch
Antal
Dagens lunch
746
Dagens soppa
73
Dagens vegetariska
209
Dagens sallad
181
a) dagens lunch b) vegetariskt eller sallad.
a) Totala antalet luncher: 746 + 73 + 209 + 181 = 1 209 746 P(dagens lunch) = ≈ 0,62 = 62 % 1 209 12
Gr B Kap 1.indb 12
b) P (vegetariskt eller sallad) =
209 + 181 ≈ 0,32 = 32 % 1 209 1.1 ENKLA SLUMPFÖRSÖK
08-06-25 16.35.57
1125 Vid årsskiftet 2006/07 var Sveriges befolk ning 9 113 257 personer. 272 594 av dessa hette Johansson. Hur stor var då sannolikheten att en slumpvis vald person i Sverige hette Johansson. 1126 Sannolikheten att få en flicka eller en pojke när man väntar barn är inte riktigt densamma. Vi använder födelsestatistik från ett år i Sverige.
Antal pojkar: 51 975
Antal flickor: 48 953
Hur stor är sannolikheten att få en pojke enligt statistiken? Svara i procent med en decimal. 1127 Micke och Max har fört protokoll över sina schackpartier. 120 har vunnits av Micke, 80 har vunnits av Max och 50 har slutat i remi (oavgjort). Hur stor är sannolikheten när de spelar att
a) Micke vinner
1129 Tabellen visar hur många som överlever till olika åldrar. Den avser svenska data från början av 2000-talet. Kvarlevande av 100 000 födda Män
Kvinnor
0
100 000
100 000
20
99 258
99 434
40
97 725
98 740
60
91 035
94 240
80
52 364
67 991
100
441
1 709
Blodgrupp
Antal
A B AB 0
954 197 131 750
Vi utgår från detta resultat.
a) Vad är sannolikheten att en slumpvis vald person har blodgrupp AB?
b) Vad är sannolikheten att en person har blodgrupp A eller 0?
c) Hur många patienter av 1 000 kan förväntas ha blodgrupp B?
1131 Alla elever i ett samhälle testas med avseende på färgblindhet.
b) det blir remi?
1128 I en väderprognos i en tidning står det: ”Sannolikheten för regn är 25 %.” Förklara hur detta ska tolkas.
Ålder
1130 På ett sjukhus undersöktes blodgruppen hos ett antal slumpvis valda personer.
Syn
Pojkar
Flickor
Normal
9 800
9 360
Färgblind
720
120
a) Hur stor är sannolikheten att en pojke är färgblind?
b) Hur stor är sannolikheten att en flicka är färgblind?
c) Peter ska beräkna sannolikheten att en slumpvis vald elev är färgblind och adderar därför svaren i b) och c). Vad säger du om detta?
1132 Linas baskettränare har räknat ut att sannolikheten för att Lina gör poäng när hon lägger ett staffkast är 0,8. Under en turnering missade Lina 7 straffar. Hur många straffar fick hon lägga under turneringen?
Uppskatta med hjälp av tabellen sannolikheten för att
a) en nyfödd flicka blir 60 år
b) en man på 60 år blir 80 år
c) en nyfödd pojke blir 100 år
d) en kvinna på 40 år blir 80 år.
1.1 ENKLA SLUMPFÖRSÖK
Gr B Kap 1.indb 13
13
08-06-25 16.36.15
1.2 Slumpförsök med flera föremål eller steg Försök med två föremål Exempel Hur många olika utfall finns det när man kastar två tärningar? Försök med två föremål eller i två steg kan presenteras i ett diagram, där varje punkt motsvarar ett utfall.
diagram över kast med två tärningar
blå 6 5 4 3 2 1
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)
Punkten motsvarar utfallet ”sexa på den röda tärningen och fyra på den blå tärningen”.
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5) (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4) (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3) (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2) (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1) röd 1
1201
2
3
4
5
6
När vi kastar två tärningar finns det 36 möjliga utfall.
Robin kastar två tärningar, en röd och en svart. B estäm sannolikheten för följande händelser:
a) Poängsumman är 8. b) Man får endast 5:or och 6:or.
c) Man får åtminstone en etta.
a) P oängsumman 8 svart 6 5 4
a) Händelsen består av 5 utfall. 5 gynnsamma utfall av 36 möjliga. 5 P (poängsumman 8) = 36 4 b) P (endast 5:or och 6:or) = 36 11 c) P (åtminstone en etta) = 36
b) Endast 5:or och 6:or
3 2 1
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6) (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5) (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4) (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3) (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2) (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1) röd 1
2
3
4
5
6
c) Åtminstone en etta
14
Gr B Kap 1.indb 14
1.2 slumpförsök med flera föremål eller steg
08-06-25 16.36.19
1206 Två tärningar kastas. Bestäm sannolik
1202 Två tärningar kastas.
heten för följande händelser:
a) Hur många möjliga utfall finns det?
b) Hur många utfall finns det med poängsumman 3?
a) tärningarna visar samma poäng.
b) tärningarna visar olika poäng.
c) Vad är sannolikheten för poängsumman 3?
c) poängsumman är mer än 10.
1207 Robin tänker kasta två tärningar 180 gånger. Hur många gånger kan han förvänta sig att få en poängsumma på
1203 Två tärningar kastas.
a) Bestäm sannolikheten för poängsumman 7. b) Vilken händelse har störst sannolikhet, att poängsumman blir 5 eller att poängsumman blir 10?
klave
(kr, kr)
(kl, kr)
(kr, kl)
(kl, kl)
a) 9 poäng
b) mindre än 9 poäng
c) åtminstone 9 poäng?
1208 Du kastar två tiosidiga tärningar. Sidorna är märkta med heltalen från 0 till 9. Vilken poängsumma är det störst chans att du får?
1204 Två mynt kastas. De möjliga utfallen beskrivs i diagrammet. krona
1209 Araz har gjort ett eget lotteri. Han har skrivit ner några olika belopp på lappar som han sedan lägger i två skålar. 5 kr
krona
klave
1 kr
a) Hur många möjliga utfall finns det?
b) Bestäm sannolikheten att båda mynten visar krona.
c) Bestäm sannolikheten att mynten visar olika.
1205 En tärning och ett mynt kastas. De möjliga utfallen beskrivs i diagrammet.
klave
(1, kr) (2, kr) (3, kr) (4, kr) (5, kr) (6, kr) (1, kl) (2, kl) (3, kl) (4, kl) (5, kl) (6, kl) 1
2
3
4
5
6
a) Hur många möjliga utfall finns det?
b) Bestäm P(myntet visar krona).
c) Bestäm P(tärningens poängtal är 4).
d) Bestäm P(4, kr).
Skål 1
Lotteri
15 kr
5 kr
5 kr
r
0 k
1 kr
Skål 2 Betala 10 kr
Ta en lapp från varje skål. Vinsten är summan av beloppen som lapparna visar.
Yassine betalar 10 kr och är den första som drar en lapp ur vardera skålen. Hur stor är sannolikheten att
a) hon vinner 10 kr (och därmed får tillbaka sin insats)
b) hon går med förlust (vinner mindre än hon satsat)
c) hon vinner mer än hon satsat?
poäng
1.2 slumpförsök med flera föremål eller steg
Gr B Kap 1.indb 15
10 kr
20 kr
krona
r
0 k
1210 Hur ska man ändra beloppen i skål 2 i uppgift 1209 för att den högsta vinsten ska 2 bli 50 kr och P(50kr) = ? 25
15
08-06-25 16.36.26
Aktivitet
Laborera
Kasta två tärningar
Materiel: Två tärningar i olika färg Arbeta i par eller i grupp. 1 Gör ett experiment. Du ska kasta de båda tärningarna samtidigt och beräkna differensen mellan det största och det minsta poängtalet. a) Vilka värden på differensen är möjliga att få? b) Vilken differens tror du är vanligast före kommande om du kastar många gånger? Försök att motivera ditt svar. c) Kontrollera om ditt svar verkar stämma med verkligheten: Kasta de båda tärningarna 100 gånger och visa resultatet i en tabell med poängdifferens, avprickning, frekvens och relativ frekvens.
2 Ta reda på några andra gruppers resultat och beräkna ett medelvärde. Förklara varför detta medelvärde är ett bättre mått på sannolikheten än resultatet från endast en grupp. 3 Gör en teoretisk analys. a) I läroboken finns ett diagram som visar de möjliga utfallen då två tärningar kastas. Rita ett liknande diagram. b) Beräkna de teoretiska sannolikheterna för de olika poängdifferenserna. c) Jämför de experimentella och teoretiska resultaten. Skriv en kommentar.
d) Vilka värden på sannolikheten för de olika differenserna gav detta experiment? 16
Gr B Kap 1.indb 16
1.2 slumpförsök med flera föremål eller steg
08-06-25 16.36.47
Träddiagram
Exempel När Jesper går till skolan passerar han två övergångsställen med trafikljus. Vid varje övergångsställe är P(grönt) = 0,4 och P(rött) = 0,6. Hur stor är sannolikheten att han får grönt ljus vid båda ställena?
Träddiagram Exemplet kan beskrivas med ett träddiagram
(ett träd med roten upp och grenarna ner). Grönt 0,40
Första övergångsstället
Andra övergångsstället
Grönt 0,40
Rött 0,60
Rött 0,60
Grönt 0,40
Rött 0,60
Vi börjar med att besvara frågan: Hur många gånger bör Jesper få grönt vid båda ställena om han går till skolan 50 gånger?
Han bör få grönt vid det första övergångstället 40 % av gångerna:
0,40 ∙ 50 = 20 , d v s 20 gånger
Vid 40 % av dessa 20 tillfällen bör han få grönt även på det andra stället:
0,40 ∙ 20 = 8
8 av 50 tillfällen ger sannolikheten
BB_Traddiagram
8 = 0,16 = 16%. 50
Vi får samma resultat om vi multiplicerar sannolikheterna längs grenen grönt, grönt i träddiagrammet:
P(grönt, grönt) = 0,40 ∙ 0,40 = 0,16 = 16 %
Vi kan formulera följande allmänna multiplikationsregel för beräkning av sannolikheter vid försök som kan beskrivas med träddiagram:
Multiplikationsregeln
Sannolikheten för en gren = produkten av sannolikheterna längs grenen
Vi beräknar sannolikheten för alla fyra grenarna: P(grönt, grönt) = 0,40 ∙ 0,40 = 0,16 P(grönt, rött) = 0,40 ∙ 0,60 = 0,24 P(rött, grönt) = 0,60 ∙ 0,40 = 0,24 P(rött, rött) = 0,60 ∙ 0,60 = 0,36
1.2 slumpförsök med flera föremål eller steg
Gr B Kap 1.indb 17
17
08-06-25 16.37.04
1211 Hanna ska skjuta två straffsparkar i fotboll. Sannolikheten för mål vid första straffen är 0,7. Om hon lyckas ökar självförtroendet och sannolikheten för mål i andra straffen är då 0,8. Missar hon den första är sannolikheten för mål på andra straffen bara 0,6.
Bestäm sannolikheten för
a) 2 mål b) inget mål c) 1 mål.
Vi ritar ett träddiagram över straffarna. Mål 0,7
Mål 0,8
2 mål
Miss 0,3
Mål 0,6
Miss 0,2
1 mål
1 mål
Multiplikationsregeln ger
a) P(2 mål) = P(mål, mål) = 0,7 ∙ 0,8 = 0,56
b) P(inget mål) = P(miss, miss) = 0,3 ∙ 0,4 = 0,12 BB_Traddiagram
c) Händelsen ”1 mål” består av två olika utfall: ”först mål och sedan miss” och ”först miss och sedan mål”. Vi beräknar summan av sannolikheterna för de två grenar som motsvarar detta.
Miss 0,4
Inget mål
P(1 mål) = P(mål, miss) + P(miss, mål) = 0,7 ∙ 0,2 + 0,3 ∙ 0,6 = 0,32
Svar: a) 0,56 b) 0,12 c) 0,32
1212 Kasta en tärning fyra gånger. Vad är sannolikheten att få en sexa alla fyra gångerna?
Multiplikationsregeln ger P(sexa, sexa, sexa, sexa) =
=
18
Gr B Kap 1.indb 18
1 1 1 1 1·1·1·1 1 = · · · = 6 6 6 6 6·6·6·6 1 296 1.2 slumpförsök med flera föremål eller steg
08-06-25 16.37.17
Kurs
B GrĂśn
LENA ALFREDSSON ∙ HANS BROLIN PATRIK ERIXON ∙ HANS HEIKNE
Kurs
B GrĂśn
MATEMATIK 4000 Framställningen är precis som i fÜregüngaren Matematik 3000 baserad pü färdigheter – fÜrstüelse – problemlÜsning, men nu med Ükat fokus pü kommunikation. Nya begrepp introduceras pü ett pedagogiskt och metodiskt sätt.
BÜckerna i Matematik 4000 finns i tre svürighetsnivüer: RÜd, GrÜn och Blü, där Blü är den mest krävande. FÜr aktuell information om serien, se www.matematik4000.nu
*4#/
4000
Eleverna für med hjälp av denna bok och tillhÜrande kompletterande material münga tillfällen att upptäcka och bearbeta matematiken – genom elevnära exempel, aktiviteter och Üvningar, de senare av olika slag och svürighetsgrad.
MATEMATIK
är en ny läromedelsserie fÜr gymnasieskolan och vuxenutbildningen.
4000 MATEMATIK