9789147112456 by Smakprov Media AB

Denna bok vänder sig i första hand till studerande vid universitet och tekniska högskolor som har läst en inledande kurs i linjär algebra och som behöver fördjupade kunskaper i ämnet. Boken utgör lämplig grund för fortsatta studier i matematik, fysik eller teknik. Utmärkande för boken: • Den grundläggande teorin för linjära rum och linjära avbildningar presenteras med många illustrativa exempel. • Begrepp som skalärprodukt och ortogonalprojektion leder fram till minsta kvadrat-metoden – en approximationsmetod av stort praktiskt intresse. • Många tillämpningar av matematik leder till egenvärdesproblem. Sådana problem för matriser diskuteras ingående. • Ett särskilt kapitel ägnas åt linjära system av differentialekvationer, ett stort och viktigt tillämpningsområde av linjär algebra. • Till varje kapitel hör ett stort antal övningsuppgifter. Författarna Kjell Holmåker och Ivar Gustafsson är docenter i matematik vid Chalmers tekniska högskola i Göteborg. De har över 40 års erfarenhet av undervisning i matematik och numerisk analys vid Chalmers och Göteborgs universitet. De har varit aktiva forskare inom tillämpad matematik, speciellt optimal kontroll respektive numerisk linjär algebra.

Best.nr 47-11245-6 Tryck.nr 47-11245-6

Untitled-2 All Pages

25/11/15 12:24 PM

KJELL HOLMÅKER OCH IVAR GUSTAFSSON

LINJÄR ALGEBRA FORTSÄTTNINGSKURS

Upplaga 1

Liber

9789147112456b1-256c.indd 1

25/11/15 12:10 PM

Innehåll

Linjära rum, vektorrum

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 2

Deﬁnition, räkneregler och exempel . . . . . . . . . . Underrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fundamentala underrum i samband med matriser . . . Linjära avbildningar, linjära transformationer . . . . . Linjärt oberoende, linjärt beroende, bas och dimension Grundläggande teori för linjära ekvationssystem . . . . Koordinater och basbyte . . . . . . . . . . . . . . . . Några exempel på grundläggande begrepp . . . . . . . Sammanfattning av kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . Övningsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Svar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

Deﬁnitioner och grundläggande satser . . . . . . . . . . . . Ortogonalitet. Ortogonalprojektion . . . . . . . . . . . . . . De fyra fundamentala underrummen. Minsta kvadratmetoden Basbyte mellan ON-baser. Ortogonala matriser . . . . . . . Några tillämpningar på skalärproduktrum . . . . . . . . . . Sammanfattning av kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . Övningsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Svar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . .

. 99 . 105 . 106 . 108

Skalärprodukt

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3

Linjära avbildningar

3.1 3.2 3.3 3.4

9789147112456b1-256c.indd 3

Matrisen för en avbildning . . . . . . . . Dimensionssatsen för linjära avbildningar Basbyte vid linjära avbildningar . . . . . Avbildningar med ortogonala matriser . .

1 4 9 13 17 27 33 36 42 43 52

57 63 76 83 86 92 92 97 99

. . . .

25/11/15 12:10 PM

INNEHÅLL

3.5 3.6 3.7 3.8 4

. . . .

Inledande exempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Karakteristiska ekvationen . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagonalisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Symmetriska avbildningar och matriser. Spektralsatsen . . Tillämpningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kvadratiska former . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Generaliserat egenvärdesproblem . . . . . . . . . . . . . . Skalärprodukt i komplexa vektorrum. Hermiteska matriser Sammanfattning av kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . Övningsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Svar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . .

LU-faktorisering . . . . . . QR-faktorisering . . . . . . Singulärvärdesuppdelning . Pseudoinvers . . . . . . . . Sammanfattning av kapitel 6 Övningsuppgifter . . . . . . Svar . . . . . . . . . . . . .

121 124 130 136 142 151 160 163 170 170 177 183

Allmänna egenskaper . . . . . . . . . . . . . . . . Lösning med hjälp av egenvärden och egenvektorer Matrisexponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . Linjära kontrollsystem . . . . . . . . . . . . . . . Sammanfattning av kapitel 5 . . . . . . . . . . . . Övningsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . Svar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

Matrisfaktoriseringar

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

113 115 115 118 121

Linjära differentialekvationer

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6

. . . .

Egenvärden och egenvektorer

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 5

Matrisnorm . . . . . . . . . Sammanfattning av kapitel 3 Övningsuppgifter . . . . . . Svar . . . . . . . . . . . . .

184 193 195 204 208 208 211 213

. . . . . . .

213 220 222 226 232 233 234

Litteraturförteckning

237

Sakregister

239

9789147112456b1-256c.indd 4

25/11/15 12:10 PM

Förord

Begrepp och metoder från linjär algebra används idag inom många ämnesområden, förutom naturvetenskap och teknik också ekonomi och samhällsvetenskap med flera. Goda kunskaper i ämnet är därför nödvändigt för matematikstuderande vid universitet och tekniska högskolor. En kurs i linjär algebra är en av de första kurserna som studenterna möter. En sådan kurs innehåller matriskalkyl och lösning av linjära ekvationssystem. Vektorer i Rn behandlas förstås, men det abstraktare begreppet linjärt rum brukar bara nämnas kortfattat mot slutet av kursen. Därför finns det behov av en kurs som går vidare och behandlar linjära rum och linjära avbildningar mellan sådana rum (det som linjär algebra egentligen handlar om). Denna bok är avsedd för en sådan kurs. Den bygger på material som har använts under en längre tid vid Chalmers tekniska högskola. Där ges en kurs som kombinerar fördjupade kunskaper i linjär algebra med tillämpningar inom numerisk analys. Kurslitteraturen har uppskattats av studenterna, och föreliggande bok är en bearbetad och kompletterad version av linjär algebra-delen. Numerisk analys-delen utgör en särskild volym, Gustafsson-Holmåker, Numerisk analys. En sådan här något mer avancerad kurs i linjär algebra utgör en lämplig och ibland nödvändig grund för ämnen som fysik (speciellt kvantfysik), Fourieranalys, ordinära och partiella differentialekvationer, elkretsteori, reglerteknik, mekanik och, som redan nämnts, numerisk analys. Vi förutsätter alltså att läsaren är förtrogen med vektor- och matriskalkyl och har löst linjära ekvationssystem med Gausselimination. Vidare förutsätter vi viss kännedom om determinanter och deras betydelse vid ekvationssystemslösning. På sätt och vis börjar vi om men från en mer avancerad utgångspunkt. Bortsett från färdigheter i att hantera matriser är det bara ett fåtal konkreta satser som man behöver ha med sig. Vi kommer att påminna om dessa när de behövs. Vidare förutsätter vi grundläggande kunskaper om matematisk analys i en och flera variabler.

9789147112456b1-256c.indd 5

25/11/15 12:10 PM

INNEHÅLL

Här följer några punkter som kortfattat beskriver innehållet: Begreppet linjärt rum och grundläggande satser, bl.a. om dimension. Begreppet skalärprodukt och allmänna resultat rörande ortogonalitet och ortogonalprojektion. Diagonalisering av matriser, speciellt symmetriska sådana. Komplexa vektorrum, Hermiteska och unitära matriser. Diagonalisering av normala matriser. Teorin för linjära diﬀerentialekvationer inklusive matrisexponentialfunktionen. Olika matrisfaktoriseringar av betydelse för numerisk analys. Särskilt singulärvärdesuppdelning och pseudoinvers. Författarna vill gärna tacka kolleger vid Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet för goda råd och synpunkter på innehållet. Särskilt vill vi tacka för bidrag till övningsuppgifterna. Ett speciellt tack till Benny Kullinger vars sakkunniga granskning av textens utformning har lett till åtskilliga förbättringar.

9789147112456b1-256c.indd 6

25/11/15 12:10 PM

Om disposition och innehåll

Boken är i huvudsak organiserad efter det traditionella formatet definition – sats – bevis, men det följs inte slaviskt. Ibland leds man till en sats genom ett inledande resonemang, och då blir satsen en sammanfattning av resonemanget, som då också utgör beviset. Alla satser har fullständiga bevis (det enda undantaget är satsen om Jordans normalform, vars bevis skulle föra för långt). Bevisen är tämligen detaljerade, men vad som är tillräckligt utförligt kan vara väldigt individuellt. Ibland kan läsaren behöva stanna upp och tänka efter: ”Varför är nu detta sant?” Om svaret inte ges genom någon hänvisning finns det i regel i något som nyligen har sagts. Syftet är att lägga en teoretisk grund och presentera centrala begrepp och resultat. När nya begrepp införs illustreras de med typiska exempel. Ibland kommer exemplen först för att motivera en formell definition. Många satser illustreras med genomräknade exempel. Efter varje avsnitt finns en samling övningsuppgifter. Många är ytterligare uppgifter i samma stil som de lösta exemplen i texten. Några är av litet mer teoretisk natur och avser att träna bevisföring. I några få fall är uppgiften till för att fylla igen någon lucka som har lämnats i texten. Läsaren bör inte försumma att lösa sådana uppgifter. Realistiska problem är ofta väldigt omfattande (med kanske miljontals variabler). Dessa kan bara lösas med datorhjälp. Men vi är ute efter allmänna principer, och de illustreras lika bra med små problem, som kan lösas med handräkning. Att arbeta med papper och penna förstärker också inlärningen. Det man bara läser om eller hör om glömmer man fort av, men det som man arbetar med handgripligen minns man mycket bättre. Men givetvis ska datorhjälpmedel användas där det är lämpligt. Det kan till exempel gälla större beräkningar av rutinkaraktär. Vissa uppgifter är märkta med (M), vilket innebär att vi rekommenderar användning av någon matematisk programvara som MATLAB, Maple eller Mathematica. I första hand tänker vi på MATLAB. MATLAB-kod skriver vi med detta typsnitt. Här följer en kortfattad översikt över innehållet i de olika kapitlen. Kapitel 1. Vi börjar med att presentera det allmänna begreppet linjärt rum. Det är en generalisering av vad man tidigare har lärt sig om Rn . Om läsaren inte tidigare har

9789147112456b1-256c.indd 7

25/11/15 12:10 PM

INNEHÅLL

stött på en axiomatisk teori, så är det här ett utmärkt tillfälle att bekanta sig med detta grundläggande matematiska tänkande. En vektor är ett objekt, som uppfyller axiomen, och inget annat. Vi härleder några konsekvenser av axiomen och ger åtskilliga exempel på vad ett linjärt rum kan vara. Naturligtvis är Rn ett framträdande exempel, men även funktionsrum (där ”vektorerna” är funktioner) är viktiga. Ofta har man ett stort linjärt rum, som är som ett universum, där allting utspelar sig. I regel är man intresserad av mindre delar som själva är linjära rum, s.k. underrum. De vanligaste linjära rummen i boken är olika underrum av Rn . Begreppen linjärt beroende och oberoende, bas och dimension är centrala. Att varje underrum av Rn har en väldefinierad dimension är fundamentalt (det är inte trivialt). Införandet av koordinater (när man har en bas) erbjuder inga överraskningar. Hur koordinaterna ändras när man byter bas (basbytesformeln) används ofta i fortsättningen. Några av de viktigaste underrummen är nollrum och värderum för matriser. Dimensionssatsen ger ett samband mellan deras dimensioner. Varje matris har en rang, och rangsatsen ger en egenskap hos rang. Dimensionssatsen och rangsatsen är vad som behövs för att ge en koncis sammanfattning av teorin för linjära ekvationssystem. Kapitel 2. Med införandet av en skalärprodukt ges möjlighet att mäta storlek (kallas norm) av vektorer och avstånd mellan vektorer, liksom även vinklar mellan vektorer. Framför allt är det ortogonalitet som intresserar oss. Med tillgång till ett avståndsbegrepp kan man fråga efter avståndet mellan en punkt och ett underrum. Lösningen leder till begreppet ortogonalprojektion, och för överbestämda ekvationssystem får vi den välkända minsta kvadratmetoden. Man kan skaffa sig en bas bestående av parvis ortogonala vektorer (en ortogonalbas). Detta är av stor betydelse inte minst för tillämpningar, som ofta blir mycket enklare i en ortogonalbas. Ett typiskt exempel på det är teorin för Fourierserier, som vi berör kortfattat. Kapitel 3. Linjära avbildningar (även kallade transformationer eller operatorer beroende på sammanhanget) har kortfattat nämnts redan i kapitel 1. Nu studerar vi dem mer ingående. En matris är (eller ger upphov till) en linjär avbildning, och en linjär avbildning i ett rum av ändlig dimension har en matris. Matrisen är basberoende, och vid basbyte transformeras matrisen på ett speciellt sätt. En avbildning given av en matris kan beskrivas geometriskt i två och tre dimensioner. Vi undersöker speciellt den geometriska betydelsen av avbildningar med ortogonala matriser. Kapitel 4. De flesta tillämpningar av linjär algebra kommer på något sätt i kontakt med begreppen egenvärde och egenvektor. För matriser handlar det helt enkelt om att hitta lösningar λ och x = 0 till ekvationen Ax = λx. Denna enkla ekvation ger upphov till en omfattande teori. Hittills har vi i framställningen arbetat med reella tal, men nu måste vi också tillåta komplexa tal ty egenvärdena λ kan vara komplexa.

9789147112456b1-256c.indd 8

25/11/15 12:10 PM

INNEHÅLL

VII

Vi diskuterar möjligheten att hitta en bas av egenvektorer till en matris. Detta kallas att diagonalisera matrisen, ty den linjära avbildning som ges av matrisen har i egenvektorsbasen en matris som är diagonal. Kan man åstadkomma detta, så innebär det en kolossal förenkling av många kalkyler. En höjdpunkt är spektralsatsen, som säger att en symmetrisk matris kan diagonaliseras. Eftersom symmetri är inbyggd i många naturlagar, uppträder symmetriska matriser ofta i tillämpningar, och spektralsatsen är då oumbärlig. Vi bevisar den formulerad för symmetriska linjära avbildningar, vilket nog ger det kortaste beviset. Vi ger sedan ett antal tillämpningar, bl.a. lösning av system av differensekvationer eller differentialekvationer (diskreta eller kontinuerliga dynamiska system) med symmetrisk matris. Andra tillämpningar hör ihop med kvadratiska former. Vi kan även behandla ett så kallat generaliserat egenvärdesproblem, som är av formen Ax = λBx, och som uppträder naturligt i vissa tillämpningar. Eftersom det visar sig att reella symmetriska matriser har reella egenvärden och egenvektorer, har vi hittills klarat oss med reella vektorer och matriser. Men till exempel i kvantmekanik räknar man alltid med komplexa element (Schrödingerekvationen har komplexvärda lösningar), så därför behöver vi utvidga de föregående resultaten till komplexa vektorer och matriser. Vi behöver modifiera definitionen av skalärprodukt så att vissa element komplexkonjugeras (om de är reella blir det ingen skillnad mot förut). Man använder också andra namn på vissa typer av matriser: symmetrisk motsvaras av Hermitesk och ortogonal motsvaras av unitär. Vi utvidgar spektralsatsen till en sats om diagonalisering av normala matriser (klassen av normala matriser innehåller både Hermiteska och unitära). Avslutningsvis formulerar vi en sats om Jordans normalform, som är det närmaste en diagonalisering man kan komma i det allmänna fallet. Kapitel 5. Ett stort tillämpningsområde av linjär algebra är teorin för linjära differentialekvationer. I detta kapitel ger vi något av grunderna för system av linjära ordinära differentialekvationer. För kvadratiska system med konstanta koefficienter är matrisexponentialfunktionen etA ett bra hjälpmedel. Vi ger definitionen, bevisar några egenskaper och anger metoder för beräkning av den. Vi säger något om linjära kontrollsystem, som är ett område där linjär algebra spelar en viktig roll. Kapitel 6. I detta kapitel presenterar vi några matrisfaktoriseringar. Detta är något som kanske främst används inom numerisk linjär algebra. Vi tar upp LU-faktorisering med ett strikt bevis i fallet då rader måste permuteras (många böcker ger bara ett enkelt exempel och säger att det blir ungefär likadant i det allmänna fallet, men riktigt så oproblematiskt är det inte). Vi behandlar QR-faktorisering kortfattat och avslutar med en fylligare diskussion av singulärvärdesuppdelning och pseudoinvers.

9789147112456b1-256c.indd 9

25/11/15 12:10 PM

9789147112456b1-256c.indd 10

25/11/15 12:10 PM

Matematisk bakgrund

Vi har här samlat några av de symboler och beteckningar som vi använder. Det gäller främst beteckningar för mängder och för vektorer och matriser. Vi säger också något om blockindelade matriser. Beteckningar för mängder, vektorer och matriser

Vi använder standardbeteckningar från mängdläran: x ∈ A utläses ”x tillhör A” eller ”x är ett element i (mängden) A”, x∈ / A utläses ”x tillhör inte A”. Ett skrivsätt som x, y ∈ A är en förkortning av x ∈ A och y ∈ A. A ∪ B = unionen av A och B = {x : x ∈ A eller x ∈ B}, A ∩ B = snittet mellan A och B = {x : x ∈ A och x ∈ B}. I exemplen förekommer ibland olika mängder av (reellvärda) funktioner. De vanligaste är C[a, b] = mängden av alla funktioner som är kontinuerliga på [a, b], C 1 (a, b) = mängden av alla funktioner som har en kontinuerlig derivata (är kontinuerligt deriverbara) i (a, b), k C (a, b) = mängden av alla funktioner som är k gånger kontinuerligt deriverbara i (a, b), C ∞ (a, b) = mängden av alla funktioner som är oändligt deriverbara i (a, b). Mängden av de reella talen betecknas med R, och mängden av de komplexa talen betecknas med C. Med Rn betecknas mängden av alla n-tipler x = (x1 , x2 , . . . , xn ), där xi ∈ R för varje i (motsvarande gäller för C n ). Elementen i Rn kan representeras

9789147112456b1-256c.indd 11

25/11/15 12:10 PM

INNEHÅLL

som kolonnvektorer, dvs. n × 1-matriser ⎛ ⎞ x1 ⎜x2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. ⎟ , ⎝.⎠ xn eller som radvektorer, dvs. 1 × n-matriser x1 x2 . . . xn . Då x förekommer i en produkt (som Ax) avses alltid en kolonnvektor. För tydlighets skull skrivs radvektorer ofta som (x1 , x2 , . . . , xn ) (med kommatecken mellan elementen); det torde framgå av sammanhanget om en n-tipel eller radvektor avses. Av typograﬁska skäl skrivs också ofta ⎛ ⎞en kolonnvektor som transponatet av en rad1 vektor, t.ex. (1, 2, 3)T i stället för ⎝2⎠. Transponatet av en matris betecknas alltså 3 med T . Med Rm×n betecknas mängden av alla m × n-matriser med reella element. Nollmatrisen skrivs 0 (en nolla); vill vi framhäva dess storlek skriver vi 0m×n för en m×nmatris av idel nollor. Enhets- eller identitetsmatrisen skrivs I (eller In om storleken är n × n). Då diag(a1 , a2 , . . . , an ) betyder en kvadratisk matris med a1 , a2 , . . . an längs huvuddiagonalen och nollor för övrigt, har vi I = diag(1, 1, . . . , 1). Matriser i blockform

Matriser multipliceras ibland genom blockmatrismultiplikation. Ett exempel torde klargöra principen:

A11 A12 B11 B12 A11 B11 + A12 B21 A11 B12 + A12 B22 AB = = . A21 A22 B21 B22 A21 B11 + A22 B21 A21 B12 + A22 B22 Här är blocken Aij och Bij matriser sådana att alla förekommande produkter och summor existerar. Alltså måste t.ex. antalet rader i A11 och i A12 vara detsamma, och antalet kolonner i A11 och A21 vara samma som antalet rader i B11 och B12 . Vanliga exempel är multiplikationer av typen AB = A(b1 b2 . . . bm ) = (Ab1 Ab2 . . . Abm ), ⎛ ⎞ x1 ⎜ .. ⎟ Ax = (a1 . . . an ) ⎝ . ⎠ = x1 a1 + · · · + xn an , xn där aj och bj är kolonnerna i A resp. B.

9789147112456b1-256c.indd 12

25/11/15 12:10 PM

INNEHÅLL

Vi behöver ett resultat om determinanten av en blocktriangulär matris: Låt A, B och C vara matriser av typ n × n, n × m resp. m × m. Då gäller att

A B

= det A · det C. =

det 0 C

0 C Detta kan bevisas med induktion i n och utveckling av determinanten efter första kolonnen.

9789147112456b1-256c.indd 13

25/11/15 12:10 PM

9789147112456b1-256c.indd 14

25/11/15 12:10 PM

KAPITEL 1

Linjära rum, vektorrum I matematiken möter man i olika sammanhang storheter som på ett naturligt sätt kan adderas och multipliceras med tal så att vissa enkla räknelagar gäller. Några exempel är geometriska vektorer, vektorer i Rn , matriser i Rm×n och funktioner. Trots de yttre olikheterna har dessa och andra exempel någonting gemensamt, och för att fånga detta har man infört det generella begreppet linjärt rum.

1.1

Deﬁnition, räkneregler och exempel

Vi börjar med att ge deﬁnitionen av linjärt rum. DEFINITION 1.1

Ett linjärt rum är en icke-tom mängd V , vars element kan adderas parvis och multipliceras med tal. Talen kallar vi skalärer och de kan vara reella eller komplexa. Här behandlar vi nästan enbart fallet att talen är reella, dvs. så kallade reella linjära rum. För additionen använder vi symbolen ⊕ och för multiplikation med tal (skalär) använder vi symbolen . Den exakta innebörden av detta är följande: (1) För alla u ∈ V och v ∈ V finns ett entydigt bestämt element u ⊕ v ∈ V . (2) För alla u ∈ V och α ∈ R finns ett entydigt bestämt element α u ∈ V . Dessa två operationer, addition och multiplikation med tal (eller skalär) ska uppfylla följande räknelagar: (3) u ⊕ v = v ⊕ u för alla u, v ∈ V . (Kommutativ lag) (4) (u ⊕ v) ⊕ w = u ⊕ (v ⊕ w) för alla u, v, w ∈ V . (Associativ lag) (5) Det finns ett element 0 ∈ V (nollelementet) så att 0 ⊕ u = u ⊕ 0 = u för alla u∈V. (6) För varje u ∈ V finns ett element −u ∈ V (additiv invers) så att u ⊕ (−u) = (−u) ⊕ u = 0. (7) α (β u) = (αβ) u för alla α, β ∈ R, u ∈ V . (Associativ lag) (8) α (u ⊕ v) = α u ⊕ α v för alla α ∈ R, u, v ∈ V . (Distributiv lag) (9) (α + β) u = α u ⊕ β u för alla α, β ∈ R, u ∈ V . (Distributiv lag) (10) 1 u = u för alla u ∈ V .

9789147112456b1-256c.indd 15

25/11/15 12:10 PM

KAPITEL 1 LINJÄRA RUM, VEKTORRUM

Notera att vi i (7) och (9) har den vanliga multiplikationen respektive additionen i R. Linjära rum kallas också vektorrum. Elementen i ett linjärt rum kallas vektorer. Då skalärerna är komplexa gäller egenskaperna (axiomen) (1)–(10) med C i stället för R (där C betecknar mängden av alla komplexa tal) och man talar då om ett komplext linjärt rum (vektorrum). Alla resultat som vi presenterar i detta kapitel gäller även för komplexa linjära rum. All matris- och determinantkalkyl gäller också för matriser med komplexa element. EXEMPEL 1.1

Några exempel på linjära rum: (a) De geometriska vektorerna i (tvådimensionella) planet eller (tredimensionella) rummet med den vanliga betydelsen av addition och multiplikation med skalär liksom av nollelementet (nollvektorn) och invers (motsatt) vektor. (b) Mängden Rn med ⊕ och som de vanliga operationerna addition och multiplikatiom med skalär, dvs. om x = (x1 , x2 , . . . , xn )

och y = (y1 , y2 , . . . , yn ),

så är x ⊕ y = x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ), α x = αx = (αx1 , αx2 , . . . , αxn ). Nollelementet är nollvektorn 0 = (0, 0, . . . , 0), och den additiva inversen är −x = (−x1 , −x2 , . . . , −xn ). Räknelagarna (3)–(10) är direkta konsekvenser av räknelagarna för reella tal. (c) Mängden Rm×n av alla m × n-matriser med reella element och addition och multiplikation med skalär deﬁnerade enligt den vanliga matrisalgebran, dvs. A ⊕ B = A + B och α A = αA. Detta är helt analogt med (b). (d) Mängden F (I) av alla reellvärda (eller komplexvärda) funktioner på ett intervall I. Addition och multiplikation med skalär deﬁnieras på det naturliga sättet, dvs. f ⊕ g = f + g och α f = αf, där (som vanligt) (f + g)(t) = f (t) + g(t),

(αf )(t) = αf (t)

för alla t ∈ I.

Nollelementet är nollfunktionen 0, 0(t) = 0 för alla t ∈ I, och −f är deﬁnierad av att (−f )(t) = −f (t) för alla t. Räknelagarna (3)–(10) blir uppfyllda för F (I) på grund av att motsvarande räknelagar gäller för reella (eller komplexa) tal. (e) I (b) kan alla tal få vara komplexa så att C n (dvs. mängden av alla n-tipler av komplexa tal) är ett komplext linjärt rum. Om vi emellertid begränsar oss till reella skalärer, så ser vi att C n också är ett reellt linjärt rum (dvs. ett linjärt rum med reella skalärer).

9789147112456b1-256c.indd 16

25/11/15 12:10 PM

1.1 DEFINITION, RÄKNEREGLER OCH EXEMPEL

(f) Mängden R+ , dvs. mängden av positiva reella tal, med operationerna u ⊕ v = uv och α u = uα för α ∈ R. Vi noterar först att u ⊕ v och α u tillhör R+ med de givna deﬁnitionerna. Räknereglerna är enkla att bekräfta med nollelementet 0 = 1 ∈ R+ och additiva inversen −u = u−1 ∈ R+ . De två första exemplen kan sägas ha stått modell för det allmänna begreppet linjärt rum. Därför används ett geometriskt språkbruk, och man kan hela tiden ha en geometrisk bild i tankarna. I de konkreta exemplen i exempel 1.1 är egenskaperna (1)–(10) mer eller mindre självklara. Dessutom har man i dessa fall ytterligare egenskaper som kan förefalla lika självklara. En del av dessa kan visas vara konsekvenser av egenskaperna (1)– (10) och gäller alltså för godtyckliga linjära rum, medan andra egenskaper kan vara speciﬁka för det speciella exemplet och sakna motsvarighet i det allmänna fallet. Som en illustration ska vi härleda några konsekvenser av (1)–(10). Vi börjar med att konstatera att entydigheten i (1) leder till att u = v ⇒ u ⊕ w = v ⊕ w,

för alla w ∈ V.

(1.1)

Vi konstaterar också att nollelementet (nollvektorn) 0 i (5) är entydigt bestämd. (Observera att en formulering som ”det ﬁnns ett element . . . så att . . . ” betyder ”det ﬁnns minst ett element . . . så att . . . ”.) Om nämligen (även) 0∗ uppfyller (5) dvs. 0∗ ⊕ u = u för alla u, så gäller speciellt 0∗ ⊕ 0 = 0. Enligt (5) är också 0∗ ⊕ 0 = 0∗ varför 0∗ = 0. Låt oss vidare titta på en ekvation w ⊕ u = v (u och v givna). Den har den entydiga lösningen w = v ⊕ (−u), som vi skriver w = v u . Att w är en lösning följer av att (4)

(6)

(5)

w ⊕ u = (v ⊕ (−u)) ⊕ u = v ⊕ ((−u) ⊕ u) = v ⊕ 0 = v. Å andra sidan är w den enda tänkbara lösningen, ty antag att w ∗ är lösning. Då gäller: (1.1)

(4)

w ∗ ⊕ u = v ⇒ (w ∗ ⊕ u) ⊕ (−u) = v ⊕ (−u) ⇒ (6)

(5)

w ∗ ⊕ (u ⊕ (−u)) = v ⊕ (−u) ⇒ w ∗ ⊕ 0 = v ⊕ (−u) ⇒ w ∗ = v ⊕ (−u) = w. Det gemensamma värdet i (4) skrivs u ⊕ v ⊕ w. Genom upprepad användning av (4) inses att en summa u1 ⊕ · · · ⊕ un är väldeﬁnierad och oberoende av hur parenteser sätts in för att bygga upp summan genom addition av två vektorer i taget. Följande allmänna konsekvenser av räknelagarna lämnas som övning: Den additiva inversen −u, deﬁnierad i (6), är entydigt bestämd. 0 u = 0, där nollan i vänsterledet är det reella talet 0 och nollan i högerledet är nollvektorn i V .

9789147112456b1-256c.indd 17

25/11/15 12:10 PM

KAPITEL 1 LINJÄRA RUM, VEKTORRUM

α 0 = 0 (nollvektorn) för alla α ∈ R. −u = (−1) u. För fullständighetens skull ger vi ett exempel på en mängd som inte är ett linjärt rum. Fler exempel ﬁnns bland övningarna. EXEMPEL 1.2

Mängden av matriser på formen 1b a1 för godtyckliga a ∈ R, b ∈ R är inte ett linjärt rum eftersom (1) och (2) i deﬁnition 1.1 inte gäller. Exempelvis har summan av två sådana matriser inte ettor på diagonalen. Nollelementet enligt (5) existerar inte heller. Om vi däremot har nollor i stället för ettor på diagonalen, så blir alla villkoren för ett linjärt rum uppfyllda med nollmatrisen som nollelement.

1.2

Underrum

Många gånger arbetar man i olika delmängder av ett stort omgivande linjärt rum. Till exempel är det linjära rummet av alla funktioner ett alldeles för stort rum. I regel är man är intresserad av funktioner med speciella egenskaper (kontinuerliga, deriverbara, osv.). Därför gör vi följande deﬁnition: DEFINITION 1.2

Ett underrum M till ett linjärt rum V är en delmängd M av V sådan att M självt är ett linjärt rum med avseende på samma operationer. Eftersom räknelagarna (3)–(10) i definition 1.1 gäller i hela V gäller de också i en delmängd M under förutsättning att 0 ∈ M och −u ∈ M om u ∈ M. Därför behöver man bara verifiera (1) och (2) för M för att inse att M är ett underrum av V , dvs. man ska verifiera att M är slutet under addition och multiplikation med tal. Vi formulerar detta som en sats. SATS 1.1

En icke-tom delmängd M av ett linjärt rum V är ett underrum av V om och endast om M har egenskaperna u, v ∈ M ⇒ u ⊕ v ∈ M, u ∈ M, α ∈ R ⇒ α u ∈ M,

(1.2)

eller, ekvivalent, egenskapen u, v ∈ M, α, β ∈ R ⇒ α u ⊕ β v ∈ M.

9789147112456b1-256c.indd 18

25/11/15 12:10 PM

1.2 UNDERRUM

BEVIS

Att ett underrum uppfyller (1.2) är klart. Antag att M uppfyller (1.2). Tag ett u1 ∈ M (M är icke-tom) och α = 0 i (1.2), så fås att 0 u1 = 0 ∈ M. Vidare gäller för varje u ∈ M att −u = (−1) u ∈ M (tag α = −1 i (1.2)). Enligt kommentaren ovan är då M ett linjärt rum och alltså ett underrum av V . Vi förutsätter att läsaren är bekant med geometri i Rn såsom linjer och plan samt begreppet dimension i dessa sammanhang. Vi kommer i avsnitt 1.5 att ge en mer allmän deﬁnition av begreppet dimension. EXEMPEL 1.3

I det åskådliga, tredimensionella rummet (se exempel 1.1 (a)), där vi som vanligt identiﬁerar punkter och ortsvektorer, är följande delmängder underrum: (a) Origo, dvs. den mängd vars enda element är O, är underrum av dimension 0. (b) Räta linjer genom origo är underrum av dimension 1.

αu M

u O

Figur 1.1. Linje genom origo.

αu + βv βv M

αu u

O Figur 1.2. Plan genom origo.

Även i allmännare situationer kan man ha denna ﬁgur i tankarna och föreställa sig ett underrum som någonting som är analogt med ett plan genom origo. (d) Hela tredimensionella rummet.

9789147112456b1-256c.indd 19

25/11/15 12:10 PM

KAPITEL 1 LINJÄRA RUM, VEKTORRUM

EXEMPEL 1.4

Låt V vara det linjära rummet av alla reella n × n-matriser (se exempel 1.1 (c)), och låt M vara den delmängd som består av alla symmetriska n × n-matriser, dvs. matriser A ∈ Rn×n sådana att AT = A. Då är M ett underrum av V , ty om A och B är symmetriska, så är också A + B symmetrisk, eftersom (A + B)T = AT + B T = A + B, och αA är symmetrisk om α är ett reellt tal, eftersom (αA)T = αAT = αA.

EXEMPEL 1.5

I tillämpningarna möter man ofta s.k. funktionsrum, dvs. olika underrum av F (I) (se exempel 1.1 (d)). Några exempel: C[a, b] = mängden av alla funktioner som är kontinuerliga på [a, b]. C k (a, b) = mängden av alla funktioner som är k gånger kontinuerligt deriverbara i (a, b). C ∞ (a, b) = mängden av alla funktioner som har kontinuerliga derivator av alla ordningar i (a, b). P = mängden av alla polynom. Pn = mängden av alla polynom av grad högst n. L (a, b) = mängden av alla reellvärda funktioner f sådana att f 2 är integrerbar på (a, b). (Bokstaven L kommer från namnet Lebesgue och s.k. Lebesgueintegrerbara funktioner.) 2

För att visa att en mängd av funktioner (med operationerna addition och multiplikation med skalär deﬁnierade som i exempel 1.1 (d)) är ett linjärt rum räcker det att veriﬁera att f + g och αf tillhör mängden så snart f och g gör det. Mängden C[a, b] blir ett linjärt rum, därför att f + g och αf är kontinuerliga, om f och g är kontinuerliga. För C k och C ∞ används också att f + g och αf är deriverbara så snart f och g är det. För att visa att L2 (a, b) är slutet under addition använder vi den enkla men nyttiga olikheten αβ ≤

1 2 (α + β 2 ) 2

för godtyckliga reella tal α och β. Denna följer av att α 2 +β 2 −2αβ = (α −β)2 ≥ 0. Vi får också (α + β)2 = α 2 + β 2 + 2αβ ≤ 2(α 2 + β 2 ).

9789147112456b1-256c.indd 20

(1.3)

25/11/15 12:10 PM

1.2 UNDERRUM

Om f och g tillhör L2 (a, b), så är [f (x) + g(x)]2 ≤ 2f 2 (x) + 2g 2 (x), vilket medför att f + g tillhör L2 (a, b). Att αf tillhör L2 (a, b), om f gör det, inses omedelbart.

EXEMPEL 1.6

Låt V vara det linjära rummet C[0, 1] (se exempel 1.5). Sätt M = {f ∈ V : f (0) = f (1) = 0}. Då är M ett underrum av V , ty om f och g tillhör M, så är f + g kontinuerlig, dvs. tillhör C[0, 1], och satisﬁerar (f + g)(0) = f (0) + g(0) = 0 + 0 = 0,

(f + g)(1) = f (1) + g(1) = 0.

Vidare, om α är ett tal, så är αf är kontinuerlig och satisﬁerar (αf )(0) = αf (0) = α0 = 0,

(αf )(1) = αf (1) = α0 = 0.

I exemplen ovan rörde det sig om rum av funktioner av en variabel, men naturligtvis gäller motsvarande för funktioner av ﬂera variabler. EXEMPEL 1.7

Ett exempel på ett randvärdesproblem för partiella diﬀerentialekvationer är: För en given kontinuerlig funktion f , bestäm en funktion u sådan att ⎧ 2 ⎨ ∂ u ∂2 u + = f (x, y) för x2 + y 2 < 1, ∂x2 ∂y 2 ⎩ u(x, y) = 0 för x2 + y 2 = 1. Det är naturligt att kräva att u är kontinuerlig för x2 +y 2 ≤ 1 och har kontinuerliga partiella derivator av andra ordningen för x2 + y 2 < 1. Låt V beteckna mängden av alla funktioner u(x, y), som har dessa egenskaper och satisﬁerar randvillkoret u(x, y) = 0 för x2 + y 2 = 1. Visa att V är ett linjärt rum. LÖSNING

Låt u och v tillhöra V och sätt w = αu + βv. Då gäller att w är kontinuerlig för x2 + y 2 ≤ 1 och har kontinuerliga andraderivator för x2 + y 2 < 1 (eftersom detta gäller för u och v). Vidare är w(x, y) = αu(x, y) + βv(x, y) = 0

för x2 + y 2 = 1.

Alltså tillhör också w mängden V , vilket visar att V är ett linjärt rum.

9789147112456b1-256c.indd 21

25/11/15 12:10 PM

KAPITEL 1 LINJÄRA RUM, VEKTORRUM

EXEMPEL 1.8

Låt V vara mängden ∞ av alla reella kontinuerliga funktioner f deﬁnierade på [0, ∞) sådana att 0 f 2 (x)e−x dx < ∞. Visa att V är ett underrum av C[0, ∞). LÖSNING

Vi måste visa att mängden V är sluten under addition och multiplikation med skalär (jämför diskussionen av L2 (a, b) i exempel 1.5). Antag att f och g tillhör ∞ V . Vi vill visa att 0 [f (x) + g(x)]2 e−x dx är konvergent. Vi använder olikheten (1.3) och får ∞ ∞ [f (x) + g(x)]2 e−x dx ≤ 2 [f 2 (x) + g 2 (x)]e−x dx 0 ∞ 0 ∞ f 2 (x)e−x dx + 2 g 2 (x)e−x dx < ∞. =2 0

Alltså gäller att f + g ∈ V . Vi har också ∞

2 −x

[αf (x)] e 0

dx = α

∞

f 2 (x)e−x dx < ∞,

varför αf ∈ V . Alltså är V ett underrum. Adjektivet linjär i termen linjärt rum är bildat från ordet linje. Därför kan det kanske tyckas konstigt att (räta) linjer (och likaså plan) i allmänhet inte är linjära rum, utan det gäller bara sådana som går genom origo. I det allmännare fallet använder man ofta adjektivet affin. Eftersom en godtycklig rät linje är en translation (parallellförflyttning) av en linje genom origo (se figur 1.3), så gör vi följande definition:

u0 + u M

U u O

Figur 1.3. Aﬃn mängd.

9789147112456b1-256c.indd 22

25/11/15 12:10 PM

1.3 FUNDAMENTALA UNDERRUM I SAMBAND MED MATRISER

DEFINITION 1.3

En delmängd M till V kallas aﬃn, om det ﬁnns en vektor u0 ∈ V och ett underrum U av V så att M = u0 ⊕ U = {u0 ⊕ u : u ∈ U}.

Underrum som spänns upp av en mängd vektorer

I fortsättningen förenklar vi skrivsättet och skriver u + v och αu i stället för u ⊕ v resp. α u. Låt v1 , v2 , . . . , vp vara vektorer i det linjära rummet V och betrakta mängden av alla linjärkombinationer av dessa vektorer, dvs. vektorer på formen α1 v1 + α2 v2 + · · · + αp vp , där αj ∈ R, j = 1, . . . , p. Denna mängd av linjärkombinationer är ett underrum till p V (visa det som övning) och betecknas Span{v1 , v2 , . . . , vp } eller Span{vj }j=1 . Vi säger att underrummet spänns upp av de aktuella vektorerna. Exempelvis vet vi att två vektorer i R3 , som inte är parallella, spänner upp ett underrum (ett plan) av dimension 2. EXEMPEL 1.9

Låt V = Span{t, t2 , sin t, cos t, sin 2t, cos 2t} ⊆ C(R). Då är V ett underrum av C(R), och Span{sin t, cos 2t} är i sin tur ett underrum av V .

1.3

Fundamentala underrum i samband med matriser

Tillämningar av linjär algebra handlar ofta om matriser och linjära ekvationssystem Ax = b. Mycket i denna bok handlar också om dessa saker. Vi förutsätter att läsaren har en grundläggande kunskap om matrishantering liksom om hur man löser linjära ekvationssystem med Gausselimination. I detta avsnitt ska vi stifta bekantskap med två underrum, nollrum och värderum, förknippade med matriser och ekvationssystem. Dessa underrum kommer att dyka upp många gånger i fortsättningen. Först vill vi påminna om följande sats om lösningen till Ax = b, där A ∈ Rm×n och b ∈ Rn .

9789147112456b1-256c.indd 23

25/11/15 12:10 PM

KAPITEL 1 LINJÄRA RUM, VEKTORRUM

SATS 1.2

Antag att xp är en lösning till Ax = b (en partikulärlösning). Då är allmänna lösningen till Ax = b x = xp + xh , där xh är allmänna lösningen till det homogena ekvationssystemet Ax = 0. Nu deﬁnierar vi de underrum, som vi syftade på ovan. DEFINITION 1.4

Låt A ∈ Rm×n . Nollrummet för A är mängden N (A) = {x ∈ Rn : Ax = 0}, dvs. alla lösningar till det homogena ekvationssystemet Ax = 0. Värderummet för A är mängden V (A) = {y ∈ Rm : det finns ett x ∈ Rn så att Ax = y} = {Ax : x ∈ Rn }, dvs. V (A) är mängden av alla y för vilka ekvationssystemet Ax = y är lösbart. Att N (A) är ett underrum till Rn visas genom egenskaperna (1.2) i sats 1.1 (visa detta som övning). Att V (A) är underrum till Rm inses enklast genom observationen att V (A) = Span{a1 , a2 , . . . , an }, där aj , j = 1, . . . , n, är kolonnerna i A. Detta följer av att man kan skriva Ax = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an . Av denna anledning kallas V (A) även för kolonnrummet till A. På samma sätt definieras radrummet för A, med beteckning Row(A), som det underrum av Rn som spänns upp av raderna i A. Uppenbarligen är radrummet till A lika med kolonnrummet till AT . Av sats 1.2 framgår att lösningsmängden till systemet Ax = b är xp + N (A), en affin mängd alltså, enligt definition 1.3. Vi vet att Gausselimination (radreduktion), som används för att lösa ekvationssystemet, bygger på elementära radoperationer. Metoden fungerar eftersom lösningsmängden förblir oförändrad vid en elementär radoperation. Speciellt blir nollrummet för koefficientmatrisen oförändrat.

9789147112456b1-256c.indd 24

25/11/15 12:10 PM

1.3 FUNDAMENTALA UNDERRUM I SAMBAND MED MATRISER

Naturligtvis kan man också utföra motsvarande kolonnoperationer. Vi gör en formell deﬁnition. DEFINITION 1.5

Låt A vara en matris. En (elementär) kolonnoperation är en transformation av A av någon av följande tre typer: (i) Att låta två kolonner byta plats. (ii) Att multiplicera en kolonn med ett tal c = 0. (iii) Att addera en multipel av en kolonn till en annan kolonn.

SATS 1.3

Kolonnrummet (värderummet) förblir oförändrat vid en elementär kolonnoperation. BEVIS

Om a1 , . . . , an är kolonnerna i A, så är V (A) = Span{a1 , . . . , an }. Det är uppenbart att V (A) är oförändrat vid kolonnoperationerna (i) och (ii). Betrakta kolonnoperation (iii) och antag för enkelhets skull att c gånger första ˜ Då gäller att en linjärkombination kolonnen läggs till andra, varvid A övergår i A. av a1 , a2 + ca1 , a3 , . . . , an är en linjärkombination av a1 , a2 , . . . , an , men även det ˜ = V (A). omvända gäller. Alltså är V (A) Eftersom radoperationer på A motsvarar kolonnoperationer på AT så gäller uppenbarligen också att radrummet för A förblir oförändrat vid elementära radoperationer. Ovan såg vi att också nollrummet förblir oförändrat. Senare (i sats 2.11) kommer vi att se att det ﬁnns ett nära samband mellan dessa rum. I följande exempel använder vi begrepp som linjärt oberoende, att spänna upp ett rum och bas. Det förutsätts att dessa begrepp är bekanta vad gäller rummet Rn . För allmänna linjära rum tas de upp i avsnitt 1.5. Den som inte är förtrogen med dessa begrepp kan återvända till exemplet efter avsnitt 1.5. EXEMPEL 1.10

Låt

⎛

1 ⎜ 0 A=⎜ ⎝−1 2

9789147112456b1-256c.indd 25

⎞ 3 2 −1 0 1 1 2 1⎟ ⎟. 2 3 0 5⎠ 1 −1 −3 −5

25/11/15 12:10 PM

KAPITEL 1 LINJĂ&#x201E;RA RUM, VEKTORRUM

(a) BestĂ¤m en bas fĂśr N (A). (b) BestĂ¤m en bas fĂśr V (A). LĂ&#x2013;SNING

(a) N (A) bestĂ¤ms genom att man lĂśser det homogena ekvationssystemet Ax = 0. Detta sker genom att koeďŹ&#x192;cientmatrisen A undergĂĽr elementĂ¤ra radoperaRE tioner som ĂśverfĂśr den pĂĽ matrisen A ( â&#x2C6;ź kan utlĂ¤sas â&#x20AC;?Ă¤r radekvivalent medâ&#x20AC;?): â&#x17D;&#x203A; â&#x17D;&#x17E; â&#x17D;&#x203A; â&#x17D;&#x17E; 1 3 2 â&#x2C6;&#x2019;1 0 1 3 2 â&#x2C6;&#x2019;1 0 â&#x17D;&#x153;0 â&#x17D;&#x153; 0 1 1 1 2 1â&#x17D;&#x; 1 2 1â&#x17D;&#x; â&#x17D;&#x; RE â&#x17D;&#x; â&#x2C6;ź â&#x17D;&#x153; A=â&#x17D;&#x153; â&#x17D;? â&#x17D;?â&#x2C6;&#x2019;1 2 â&#x17D; 0 5 5 â&#x2C6;&#x2019;1 5â&#x17D; 3 0 5 2 1 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;5 0 â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x17D;&#x203A; â&#x17D;&#x17E; â&#x17D;&#x203A; â&#x17D;&#x17E; 1 3 2 â&#x2C6;&#x2019;1 0 1 3 2 â&#x2C6;&#x2019;1 0 â&#x17D;&#x153;0 1 1 0 1 1 2 1â&#x17D;&#x; 2 1â&#x17D;&#x; RE â&#x17D;&#x153; â&#x17D;&#x153; â&#x17D;&#x; RE â&#x17D;&#x; = A . â&#x2C6;ź â&#x17D;&#x153; â&#x2C6;ź â&#x17D;? 0 0 0 â&#x2C6;&#x2019;11 0 â&#x17D; â&#x17D;? 0 0 0 1 0â&#x17D; 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 En radoperation Ă¤ndrar inte ekvationssystemets lĂśsningsmĂ¤ngd, sĂĽ Ax = 0 Ă¤r ekvivalent med A x = 0. Av utseendet pĂĽ A framgĂĽr att vi bĂśr vĂ¤lja x3 och x5 som parametrar, varefter x1 , x2 och x4 blir bestĂ¤mda. Vi fĂĽr lĂśsningen â&#x17D;§ â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş x1 = s + 3t, â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;¨ x2 = â&#x2C6;&#x2019;s â&#x2C6;&#x2019; t, x3 = s, â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş â&#x17D;Ş x = 0, â&#x17D;Ş â&#x17D;Š 4 x5 = t, eller i vektorform x = su1 + tu2 , dĂ¤r â&#x17D;&#x203A; â&#x17D;&#x17E; â&#x17D;&#x203A; â&#x17D;&#x17E; 1 3 â&#x17D;&#x153;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x17D;&#x; â&#x17D;&#x153;â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x17D;&#x; â&#x17D;&#x153; â&#x17D;&#x; â&#x17D;&#x153; â&#x17D;&#x; â&#x17D;&#x; â&#x17D;&#x153; â&#x17D;&#x; u1 = â&#x17D;&#x153; â&#x17D;&#x153; 1 â&#x17D;&#x; , u2 = â&#x17D;&#x153; 0 â&#x17D;&#x; . â&#x17D;? 0â&#x17D; â&#x17D;? 0â&#x17D; 0 1 Vi ser att u1 och u2 Ă¤r linjĂ¤rt oberoende, ty om su1 + tu2 = 0 = x, sĂĽ ger tredje och femte ekvationerna direkt s = x3 = 0, t = x5 = 0. AlltsĂĽ Ă¤r u1 och u2 en bas fĂśr N (A). (b) V (A) kan bestĂ¤mmas genom att man utfĂśr elementĂ¤ra kolonnoperationer och KE stĂśder sig pĂĽ sats 1.3. Kolonnekvivalens betecknas med â&#x2C6;ź .

9789147112456b1-256c.indd 26

25/11/15 12:10 PM

ISBN 978-91-47-11245-6 © 2016 Kjell Holmåker, Ivar Gustafsson och Liber AB Förläggare: Peter Rajan Redaktör: Benny Kullinger, Ord & Vetande Omslag: Cecilia Frank Layout/Illustrationer: Kjell Holmåker Produktionsledare: Jürgen Borchert

Första upplagan 1

Repro: OKS Prepress Services, Indien Tryck: Sahara Printing Company, 2016

KOPIERINGSFÖRBUD

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se. Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08–690 93 01 e-post kundservice.liber@liber.se

9789147112456b1-256c.indd 2

25/11/15 12:10 PM

Best.nr 47-11245-6 Tryck.nr 47-11245-6

Untitled-2 All Pages

25/11/15 12:24 PM