9789144093727

DIGITALTEKNIK Teori och praktik

Per Carlson | Staffan Johansson

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.

Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteratur har både digital och traditionell bok­utgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 37836 ISBN 978-91-44-09372-7 Upplaga 1:1 © Författarna och Studentlitteratur 2016 studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Sakgranskning: Stefan Höst LTH Omslagslayout: Francisco Ortega Omslagsbild: Marchenko Yevhen/Shutterstock Printed by Interak, Poland 2016

INNEHÅLL

Förord 17 1 Inledning 19

1.1 Digitalt och analogt 19 1.2 Logik 21 1.2.1 Boolesk algebra – logikens matematik 22 1.3 Digitala system – några exempel 24 1.3.1 Datorn 24 1.3.2 Numeriskt styrsystem – NC 25 1.3.3 Processtyrning och A/D-omvandling 26 1.4 Byggstenarna 27 2 Talsystem och koder 29

2.1 Positionssystem 30 2.1.1 Andra talsystem 31 2.2 Binära talsystemet 32 2.2.1 Exempel på olika två-tillstånd 33 2.2.2 Det binära talsystemets vikter 34 2.2.3 Omvandling från binära till decimala tal 35 2.2.4 Omvandling från decimala till binära tal 37 2.2.5 Binära reella tal 38 2.3 Oktala talsystemet 40 2.4 Hexadecimala talsystemet 41 2.4.1 Omvandling mellan binär och hexadecimal form 41 2.4.2 Omvandling mellan hexadecimal och decimal form 43 2.5 Binär aritmetik 45 2.5.1 Binär addition 45 2.5.2 Binär subtraktion 46 © F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

3

Innehåll

2.5.3 Negativa tal skrivna som tecken-belopp 47 2.5.4 Negativa tal skrivna med komplementmetoden 48 2.5.5 2-komplement 48 2.5.6 1-komplement 50 2.5.7 Aritmetik med binära reella tal 53 2.5.8 Representation med fixtal 54 2.5.9 Representation med flyttal 54 2.5.10 IEEE Standard för flyttal 56 2.5.11 Binär multiplikation 58 2.5.12 Binär division 59 2.5.13 Sammanfattning av binär aritmetik 60 2.6 Serie- och parallellform 61 2.7 Alfanumeriska koder 62 2.7.1 ASCII-kod 63 2.7.2 Unicode 64 2.8 BCD-kod 68 2.8.1 BCD-aritmetik 69 2.9 Excess-3-kod 70 2.10 Gray-kod 70 Läs mer 73 Självkontrollfrågor 74 3 Logisk algebra och grindar 77

3.1 Lite historia 77 3.2 ICKE-operationen 78 3.3 Inverterare 80 3.3.1 En enkel inverterare 82 3.4 OCH-operationen 83 3.5 AND-grind 85 3.5.1 En enkel AND-grind 87 3.6 ELLER-operationen 87 3.7 OR-grind 89 3.7.1 En enkel OR-grind 90 3.8 EXKLUSIVT–ELLER-funktionen 91 3.9 X–OR-grind och X–NOR-grind 94 3.9.1 X–OR-grinden 94 3.9.2 X–NOR-grinden 94 3.10 NAND-grind 95 3.10.1 En enkel NAND-grind 96

4

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

Innehåll

3.11 NOR-grind 96 3.11.1 En enkel NOR-grind 97 3.12 Tolkning av sanningstabell 97 3.12.1 Minimering av logiska uttryck 100 3.12.2 Mintermer och SP-form 101 3.12.3 Från SP-formen till sanningstabellen 102 3.12.4 Maxtermer och PS-form 103 3.12.5 Funktioner skrivna på SP- eller PS-normalform 104 3.13 Logiska lagar 105 3.13.1 Grundläggande postulat 106 3.13.2 Dualitet 106 3.13.3 Lagar för en variabel 107 3.13.4 Bevis med perfekt induktion 107 3.13.5 Bevis med sanningstabell 108 3.13.6 Logiska lagar med flera variabler 108 3.13.7 Bevis med Venndiagram 109 3.13.8 De Morgans teorem 110 3.13.9 Funktioners invers och dualitet 111 3.13.10 Duala funktioner och positiv/negativ logik 111 3.14 Olika grindsymboler 113 Självkontrollfrågor 114 4 Logiska funktioner och kombinatorik 119

4.1 AND/OR-logik 120 4.1.1 AND/OR-logik och SP-form 121 4.1.2 Grindnätets nivåer 122 4.1.3 OR/AND-logik 123 4.2 NAND-logik 124 4.2.1 Ekvivalensmetoden för analys av NAND-nät 126 4.2.2 Ekvivalensmetoden för syntes av NAND-nät 128 4.3 NOR-logik 129 4.4 NAND/NOR-logik och SP/PS-form 132 4.5 Låsande insignaler 133 4.6 Karnaughdiagram 135 4.6.1 Hoptagningar i Karnaughdiagram 137 4.6.2 Regler för hoptagningar i Karnaughdiagram 138 4.6.3 Exempel på hoptagningar 139 4.6.4 Föra in en funktion i Karnaughdiagrammet 142 4.6.5 Hoptagning av nollor 142

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

5

Innehåll

4.6.6 Hoptagning av nollor för att få SP-funktioner 144 4.6.7 Hoptagning av ettor för att få PS-funktioner 145 4.7 Quine–McCluskey-metoden 146 4.7.1 Primimplikatortabellen 151 4.7.2 Expandera en funktion så att den innehåller endast mintermer 152 Självkontrollfrågor 153 5 IC-kretsteknologier 159

5.1 Integrerade kretsar – introduktion 159 5.1.1 IC-kretsens historia 159 5.1.2 IC-kretsen – ett exempel på nanoteknologi 161 5.1.3 Moores lag 162 5.1.4 Digitala IC-kretsar – de tre huvudtyperna 163 5.2 Bipolära digitala IC-kretsar 164 5.2.1 De första bipolära IC-kretsarna 164 5.2.2 ECL-tekniken 165 5.2.3 TTL-tekniken 165 5.2.4 ”Ur-TTL-kretsen” – 7400 166 5.2.5 De olika TTL-familjerna 166 5.3 Kapsling av digitala IC-kretsar 168 5.3.1 Hålmontering 169 5.3.2 Ytmontering 170 5.3.3 Leadless ytmontering 172 5.4 CMOS – den vanligaste digitala IC-teknologin 173 5.4.1 PMOS och NMOS 174 5.4.2 CMOS-inverteraren och dess effektförbrukning 174 5.4.3 De olika spänningsfamiljerna för CMOS 176 5.4.4 CMOS-ingångar 177 5.4.5 Schmitt-trigger-ingång 177 5.4.6 Open-drain utgång 179 5.4.7 Trådade grindar 180 5.4.8 3-state-utgång 181 5.5 CMOS-familjerna 182 5.5.1 Den första CMOS-serien – 4000-serien 182 5.5.2 Efterföljaren till 4000-serien – high-speed CMOS 182 5.5.3 AC-serien – en snabbare CMOS-familj i 5 V utförande 183 5.5.4 AHC-serien – den ”senaste” 5 V CMOS-familjen 184

6

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

Innehåll

5.5.5 Ett CMOS-datablad – SN74AHC00 184 5.5.6 BiCMOS – en lyckad blandning av bipolär och CMOS-teknologi 188 5.5.7 CMOS- och BiCMOS-familjerna med VCC ner till 0,8 V 189 5.5.8 En konfigurerbar IC-krets 191 5.5.9 Little Logic 193 5.5.10 IC-kretsfamiljernas historia 194 5.6 Anpassning mellan system med olika VCC 194 5.7 ESD – IC-kretsens värste fiende? 195 5.7.1 Hur man skyddar IC-kretsen mot ESD-skador 196 5.7.2 Hur man bygger in ESD-skydd i systemen 197 Läs mer 199 Självkontrollfrågor 199 6 Kombinatoriska kretsar 203

6.1 Digital komparator 203 6.1.1 4-bitars komparatorn HEF4585B 203 6.1.2 8-bitars komparatorn SN74HC684 206 6.2 Paritetsgenerator/-detektor 208 6.2.1 Paritetskontroll 208 6.2.2 Enkel paritetsgenerator och paritetsdetektor 209 6.3 Multiplexer 210 6.3.1 Enkel multiplexer med två dataingångar 211 6.3.2 En liten multiplexer – 74AUP1G157 213 6.3.3 Multiplexer med fyra dataingångar 214 6.3.4 IEC-symbolen för multiplexern 214 6.3.5 4–1-multiplexern 74HC253 215 6.3.6 IEC-symbolen för multiplexern 74HC253 217 6.3.7 Logiska funktioner realiserade med multiplexer 218 6.4 Demultiplexer 219 6.5 Avkodare 220 6.5.1 2–4-avkodaren/demultiplexern 74AHC139 222 6.5.2 IEC-symbolen för avkodare och demultiplexer 224 6.6 BCD-till-sjusegment-avkodare 225 6.7 Kodare 228 6.7.1 8-bitars kodaren MC14532B 228 6.8 Binärtalsadderare 230 6.8.1 Halvadderare 231 6.8.2 Heladderare 231

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

7

Innehåll

6.8.3 Parallelladderare 234 6.8.4 Binär subtraktionskrets 235 6.9 ALU – Arithmetic Logical Unit 236 Läs mer 237 Självkontrollfrågor 237 7 Vippor 241

7.1 Sekvenskretsar 241 7.2 Låskrets med NOR-grindar 242 7.2.1 Låskretsens omslagsförlopp 243 7.3 Låskrets med NAND-grindar 245 7.3.1 S'R'-låskrets 245 7.3.2 Kontaktstuds 246 7.4 Grindade låskretsar 248 7.4.1 Grindad SR-låskrets 248 7.4.2 Grindad SR-låskrets med preset och clear 249 7.4.3 Grindad D-låskrets 250 7.4.4 Grindade D-låskretsen SN74LVC1G373 251 7.4.5 Större grindade D-låskretsar 252 7.4.6 När är den grindade D-låskretsen inte så lämplig? 252 7.5 Master–slave-vippor 253 7.6 Flanktriggade D-vippor 254 7.6.1 Flanktriggade D-vippan SN74AUP1G80 255 7.6.2 Tidsparametrar för flanktriggade vippor 256 7.7 JK-vippan 257 7.7.1 Flanktriggade JK-vippan 74HC107 259 7.8 T-vippan 260 Läs mer 261 Självkontrollfrågor 261 8 Sekvenskretsar 265

8.1 Modeller för synkrona sekvenskretsar 266 8.1.1 Mealy-modellen 266 8.1.2 Moore-modellen 268 8.2 Ett syntesexempel 269 8.2.1 Tillståndsgrafen 269 8.2.2 Tillståndstabellen 271

8

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

Innehåll

8.3

8.4

8.5

8.6

8.7

8.8 8.9

8.2.3 Tillståndskodning 272 8.2.4 Flödestabellen 273 8.2.5 Karnaughdiagram för funktionerna Q+ och Y 274 8.2.6 Realisering med grindar och vippor 275 8.2.7 Kontroll av odefinierade tillstånd 276 8.2.8 Sammanfattning 277 8.2.9 Syntes enligt Moore-modellen 278 Några olika tillståndsbegrepp 280 8.3.1 Stopptillstånd 280 8.3.2 Förlusttillstånd 281 8.3.3 Isolerat tillstånd 281 8.3.4 Starkt förbunden tillståndsgraf 281 8.3.5 Autonoma nät 282 Tillståndsminimering 283 8.4.1 Ekvivalenta tillstånd 284 8.4.2 1-ekvivalens 285 8.4.3 k-ekvivalens 286 8.4.4 Ett tillämpningsexempel 288 Ytterligare ett syntesexempel 290 8.5.1 1-ekvivalens 292 8.5.2 2-ekvivalens 292 8.5.3 3-ekvivalens 293 8.5.4 4-ekvivalens 294 8.5.5 Tillståndskodning 295 8.5.6 Flödestabellen 295 8.5.7 Realisering av sekvenskretsen 296 Iterativa kombinatoriska nät 297 8.6.1 Generell modell för iterativa kombinatoriska nät 299 8.6.2 Förenkling av iterativa kombinatoriska nät 300 8.6.3 Fördelar och nackdelar 301 Realisering med andra vipptyper 302 8.7.1 Excitationstabell för JK-vippan 302 8.7.2 Karakteristisk ekvation för vippor 303 8.7.3 Realisering med JK-vippa 305 Analys av asynkrona sekvensnät 307 8.8.1 Analys av en asynkron sekvenskrets 308 Hasard och kapplöpning 310 8.9.1 Ändring av flera insignaler samtidigt 310 8.9.2 Statisk hasard 311

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

9

Innehåll

8.9.3 Dynamisk hasard 312 8.9.4 Kapplöpning 313 8.9.5 Tillståndsändringar i asynkrona sekvensnät 314 8.9.6 Kapplöpning i asynkrona sekvensnät 315 8.10 Syntes av asynkrona sekvenskretsar 316 Självkontrollfrågor 321 9 Exempel på sekvenskretsar 327

9.1

Register uppbyggda med låskretsar 327 9.1.1 8-bitars låskretsregistret 74HC573 328 9.1.2 8-bitars klockade registret 74HC574 330 9.2 Skiftregister 331 9.2.1 Seriell inläsning/utmatning 332 9.2.2 8-bitars skiftregistret 74LV165 333 9.2.3 Parallell synkron inläsning 334 9.2.4 Vänsterskiftande skiftregister 335 9.2.5 8-bitars universella skiftregistret 74HC299 336 9.3 Asynkrona räknare 338 9.3.1 Räknare modulo–N 339 9.3.2 IEC-symbolen för den asynkrona binärräknaren 340 9.3.3 Asynkrona binärräknaren 74HC4040 340 9.3.4 Nedräknande asynkrona räknare 342 9.3.5 Reversibla räknare 343 9.4 Dekadräknare 344 9.4.1 Asynkrona dekadräknaren MC74HC390A 345 9.4.2 IEC-symbolen för dekadräknaren MC74HC390A 347 9.5 Synkrona räknare 347 9.5.1 Synkrona binärräknaren HEF4520B 350 9.5.2 Synkrona dekadräknare 350 9.5.3 Nedräknande synkrona räknare 355 9.6 Jämförelse synkrona – asynkrona räknare 355 9.7 Ringräknare 357 9.8 Johnsonräknare 359 Läs mer 361 Självkontrollfrågor 361

10

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

Innehåll

10 Minnen 365

10.1 Introduktion 365 10.1.1 Bit och byte 365 10.1.2 Läs- och skrivminnen 366 10.2 Adressering av minnet 367 10.2.1 Adressavkodare 368 10.2.2 Hur grupperas minnescellerna? 370 10.3 RAM-minnet – introduktion 371 10.3.1 Flyktiga och icke-flyktiga RAM 372 10.3.2 Statiska och dynamiska RAM – introduktion 372 10.4 Statiska RAM – SRAM 373 10.4.1 SRAM-cellen 374 10.4.2 Asynkrona SRAM 374 10.4.3 32-Mb asynkront SRAM 376 10.4.4 Synkrona SRAM 378 10.4.5 Cache-minnet 381 10.5 Dynamiska RAM – DRAM 382 10.5.1 DRAM-cellen 383 10.5.2 De olika varianterna av DRAM 384 10.5.3 FPM DRAM 384 10.5.4 EDO DRAM 386 10.5.5 BEDO 386 10.5.6 Synkrona DRAM – SDRAM 387 10.5.7 DDR SDRAM 387 10.5.8 DDR2 och DDR3 – SDRAM 388 10.5.9 4 Gb DDR3L SDRAM 389 10.5.10 DDR4 – den senaste SDRAM-tekniken 389 10.6 Icke-flyktiga minnen – introduktion 392 10.7 EPROM 393 10.7.1 Floating-gate transistor 393 10.7.2 UV-EPROM 395 10.7.3 OTP-EPROM 395 10.8 EEPROM 396 10.8.1 Seriellt 1 Mb EEPROM-minne 396 10.8.2 PROM som konstruktionselement 397 10.9 Flash-minnen 400 10.9.1 NOR-/NAND-cellen 401 10.9.2 Olika typer av NOR-flash 402 10.9.3 Seriellt 2 Gb NOR-flash-minne 403

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

11

Innehåll

10.9.4 Olika typer av NAND-flash 404 10.9.5 256 Gb NAND-flash 405 10.9.6 SSD – ersättare för hårddisken? 405 10.9.7 Sammanfattning av olika minnestyper 406 10.10 NVRAM 407 10.11 FRAM – framtidens minne? 409 10.11.1 … 3D Xpoint från Intel och Micron? 410 Läs mer 411 Självkontrollfrågor 411 11 Digital konstruktion 415

11.1 Mikroprocessorn – universalkomponenten 415 11.1.1 Mikrokontroller 418 11.1.2 MPU eller MCU? 419 11.2 Programmerbara logikkretsar – PLD 420 11.2.1 Programmering av en PLD 420 11.2.2 SPLD 422 11.2.3 PLA 422 11.2.4 Första generationens PAL 423 11.2.5 Andra generationens PAL 425 11.2.6 GAL 426 11.2.7 Programmeringsverktyg 427 11.2.8 CPLD 428 11.3 En CPLD-familj – Altera MAX7000 429 11.3.1 PIA 432 11.3.2 LAB 432 11.3.3 LAB local array 433 11.3.4 I/O Control Block 436 11.3.5 Programmering av MAX7000B 437 11.4 ASIC 437 11.4.1 ASIC-utveckling 438 11.4.2 ASIC – gate array 439 11.4.3 ASIC – standard cell 441 11.4.4 ASIC – full custom 441 11.5 FPGA 442 11.5.1 FPGA arkitektur 443 11.5.2 Exempel på FPGA – Spartan II 444 11.5.3 Logikblock och logikceller 445 11.5.4 I/O-blocken 447

12

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

Innehåll

11.5.5 Förbindelsematrisen 448 11.5.6 FPGA – programmeringsmetodik 450 Läs mer 452 Självkontrollfrågor 452 12 Grunderna i VHDL 455

12.1 Inledning 455 12.1.1 De olika stegen i ett VHDL-projekt 456 12.2 Entity och Architecture – de två pelarna i VHDL 458 12.2.1 Ett första exempel – OR-grind med 2 ingångar 459 12.2.2 4-ingångars AND-grind i VHDL 463 12.3 Parallella satser 463 12.3.1 De olika abstraktionsnivåerna 464 12.3.2 Entity-beskrivningen 465 12.3.3 Olika Signal Modes 466 12.3.4 Olika signaltyper 466 12.3.5 Olika VHDL-operatorer 468 12.3.6 Den viktiga Std_logic 469 12.3.7 Bibliotek och Package 470 12.3.8 Lägga upp ett eget Package 471 12.3.9 Architecture-beskrivningen 472 12.3.10 Signal-deklarationer 473 12.3.11 Type-deklarationer 473 12.3.12 Constant-deklarationer 474 12.3.13 Fler exempel på dataflow-modellen 474 12.3.14 Villkorlig signaltilldelning 476 12.4 Strukturell VHDL 479 12.4.1 Hur hämtas komponenterna in? 480 12.4.2 Instansiering med hjälp av Port Map satsen 481 12.4.3 Olika varianter av instansiering 483 12.4.4 Hierarkier med strukturell VHDL 485 12.5 Sekventiella satser 485 12.5.1 Process-satsen 486 12.5.2 Variabler i Process 488 12.5.3 If–Then-satsen 489 12.5.4 If–Then–Else-satsen 490 12.5.5 Elsif-satsen 491 12.5.6 Case-satsen 492 12.5.7 Loop-satsen 494

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

13

Innehåll

12.5.8 While–Loop satsen 495 12.5.9 Next-satsen 496 12.5.10 Exit-satsen 496 12.5.11 Wait-satsen 497 12.5.12 Flanktriggad D-vippa i VHDL 498 12.5.13 Flanktriggad D-vippa med synkron Reset i VHDL 499 12.5.14 Flanktriggad D-vippa med asynkron Reset i VHDL 501 12.5.15 Skiftregister beskrivet i VHDL 502 12.5.16 Multiplexern beskriven med sekventiell VHDL 503 12.6 Subprogram 504 12.6.1 Function 505 12.6.2 Procedure 507 12.7 VHDL-summering 507 Läs mer 508 Självkontrollfrågor 509 13 Anpassning till en analog omvärld 511

13.1 Avstörning 511 13.1.1 Transienter på nätspänningen 512 13.1.2 Avstörning av ingångar 512 13.1.3 Störningar på transmissionsledningar 513 13.2 Isolation med reläer och optokopplare 514 13.2.1 Reläet 515 13.2.2 Optokopplaren 515 13.2.3 Halvledarreläet 516 13.3 A/D-omvandlare 518 13.3.1 1-bitars A/D-omvandlaren (ADC) – komparatorn 518 13.3.2 Principer för A/D-omvandling 519 13.3.3 Samplande A/D-omvandlare 521 13.3.4 Parallellomvandlande A/D-omvandling 521 13.3.5 Parallellomvandlande A/D-omvandlaren AD9058 523 13.3.6 Integrerande A/D-omvandling 525 13.3.7 Deltapulsmodulerande A/D-omvandling 527 13.3.8 Successivt approximerande A/D-omvandling 529

14

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

Innehåll

13.3.9 Spänning/frekvens-omvandlande A/D-omvandling 531 13.3.10 Delta–sigma A/D-omvandling 532 13.4 Felkällor i A/D-omvandlare 534 13.4.1 Kvantiseringsfel 534 13.4.2 Nollpunktsfel, skalfaktorfel och lineariseringsfel 536 13.4.3 Åldring, temperaturdrift och kalibrering 537 13.5 D/A-omvandlare 539 13.5.1 D/A-omvandling med viktade resistorer 540 13.5.2 D/A-omvandling med R–2R-resistorstege 541 13.5.3 D/A-omvandlaren AD7524 542 13.5.4 Pulsbreddsomvandling 543 13.6 Lysdioder 545 13.6.1 Lysdiodens fysik 545 13.6.2 Lysdioden som indikator 546 13.6.3 Lysdioden och serieresistorn 546 13.6.4 Pulsa en lysdiod 548 13.6.5 OLED 549 13.7 Lysdiodsdisplay 550 13.7.1 Sjusegment LED-displayen HDSM-281x 551 13.7.2 Driva sjusegment-displayer 552 13.7.3 Visa fler tecken med en 5 × 7-punktsmatris 552 Läs mer 553 Självkontrollfrågor 554 Facit 557 Person- och sakregister 597

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

15

KAPITEL 3

Logisk algebra och grindar

3.1 Lite historia År 1847 skrev den brittiske matematikprofessorn George Boole (1815– 1864) skriften Mathematical Analysis of Logic. Sju år senare (1854) utvecklade han dessa tankar i boken med den långa titeln An Investigation of the Laws of Thought, on which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities. Han beskrev i dessa båda verk hur man kan använda logiska lagar för behandling av vanliga språkliga meningar och påståenden, på ett sätt som liknar den vanliga matematiska algebrans hantering av matematiska uttryck.

Denna algebra kallades Boolesk algebra, men den betraktades ända fram till slutet av 1930-talet endast som matematiska teorier utan något större praktiskt värde. Då beskrev den amerikanske matematikern Claude Shannon (1916–2001) från MIT (Massachusetts Institute of Technology) i sitt examensarbete på Masters-nivå – A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits – hur man med hjälp av Boolesk algebra enkelt och överskådligt kunde beskriva hur olika elektriska kontaktkretsar uppbyggda med reläer fungerar. Den Booleska algebran fick därmed sin första praktiska tillämpning.

En annan vetenskapsman som har haft stor betydelse för utvecklingen av Boolesk algebra är amerikanen Edward Huntington (1874– 1952), som under början av 1900-talet satte upp ett antal axiom och postulat. Dessa kom att utgöra basen för de logiska lagar som vi ska beskriva senare i detta kapitel.

Senare kom den Booleska algebran att tillämpas även på elektronikkretsar som t.ex. datorer och smarta mobiler. Boolesk algebra är helt enkelt den teoretiska grunden för hela den moderna digitaltekniken.

När denna Booleska algebra omsätts i praktiken är det Shannons kopplingsalgebra (eng. switching algebra) som utnyttjas.

Den ursprungliga Booleska algebran hanterar två eller flera element.

Den tvåvärda eller binära Booleska algebran är ett specialfall av denna

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

77

3 Logisk algebra och grindar

ursprungliga Booleska algebra. Denna binära Booleska algebra, eller logiska algebra som vi också kallar den i fortsättningen, bygger på att logiska påståenden endast kan vara antingen sanna (eng. true) eller falska (eng. false). Ett logiskt påstående får inte innehålla några tvetydigheter eller mellanvärden. Ta t.ex. det logiska påståendet ”lampan lyser”.

Detta påstående kan vara endast sant eller falskt. Något mellanläge av typen ”lampan halvlyser” existerar inte i den logiska algebran.

Låt oss som exempel symbolisera påståendet ”lampan lyser” med bokstaven a, som då blir en s.k. logisk variabel (eng. logic variable), eftersom sanningshalten i påståendet kan variera. Påståendet kan ju vara sant (S) eller falskt (F). Nu kommer det binära talsystemet in i bilden.

Det använder endast de två symbolerna 0 och 1. För att kunna räkna med logiska uttryck, låter vi helt enkelt binärsiffran 1 symbolisera sanna påståenden och binärsiffran 0 symbolisera falska påståenden.

Vårt påstående ”lampan lyser” (a) kan då anta följande två diskreta värden: a = 1 då a är sann – ”lampan lyser” a = 0 då a är falsk – ”lampan lyser inte” Dessa tvåvärda eller binära logiska variabler kan representeras av en mängd olika naturliga två-tillstånd i praktiska tillämpningar. Vi såg några exempel på detta i figur 2.2 i avsnitt 2.2.1. Den vanligaste representationen av två-tillståndet inom digital elektronik är två olika spänningsnivåer, som t.ex. +5 V resp. 0 V, eller +3,3 V resp. 0 V. 3.2 ICKE-operationen Vi ska nu bekanta oss med de logiska eller Booleska operatorerna. Det är en typ av logiska bindeord som fungerar som ”språklogikens klister”. De binder ihop de logiska språkliga satser som används i vårt dagliga språk.

De tre grundläggande logiska (Booleska) operatorerna är: • ICKE • OCH

• ELLER

Ett exempel på två av dessa operatorer hittar vi i det berömda Shake­ speare-citatet:

78

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

3 Logisk algebra och grindar

Att vara eller icke vara, det är frågan.

Låt oss börja med den logiska operatorn ICKE. Med denna får man motsatsen till ett påstående. Om ”lampan lyser” representeras av den logiska variabeln a, representeras påståendet ”lampan lyser icke” av ICKE-a. Ett kortare – och vanligare – skrivsätt för detta ICKE-a är: a’ (uttalas ”a-invers” eller ”a-prim”) Detta skrivsätt är i dag det vanligaste och det som vi genomgående använder i denna bok. En annan variant på hur man kan skriva ICKE-a är: (uttalas ”a-streck”) Inom matematisk logik betecknas även ICKE-a som: ¬a När man använder ICKE-operationen på en logisk sats, säger man att man inverterar eller komplementerar den logiska satsen.

En logisk funktion, eller Boolesk funktion som den även kallas, är en funktion som består av ett antal logiska variabler som sammanhålls av ett antal logiska operatorer. Varje enskild logisk variabel kan anta endast värdena 0 eller 1. Likaså kan hela den logiska (Booleska) funktionen själv anta endast värdena 0 eller 1.

De logiska funktionerna kan alltid åskådliggöras med hjälp av en s.k. sanningstabell (eng. truth table). Låt oss som första exempel visa sanningstabellen för den logiska funktionen ƒ = a’ (ICKE-a). Man skriver a-variabelns värden falskt (0) eller sant (1) i den vänstra kolumnen.

I den högra kolumnen skriver man sedan funktionens (ƒ = a’) värden; se figur 3.1.

Variabel a

Funktion ƒ = a’

0 1

1 0

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

a

a’ = ∁a

Figur 3.1 Sanningstabell och Venndiagram för ICKE-opera­tionen.

79

3 Logisk algebra och grindar

Vi har även i figur 3.1 åskådliggjort ICKE-funktionen (ICKE-operationen) med mängdlärans Venndiagram, som introducerades av den engelske matematikern John Venn (1834–1923).

Ur sanningstabellen i figur 3.1 får vi vår första räknelag i logisk algebra: 0’ = 1 0-invers är lika med 1 1’ = 0 1-invers är lika med 0 Det kan här vara lämpligt att nämna att dubbla inverteringar tar ut varandra. Med andra ord; om en variabel som redan är inverterad skulle inverteras på nytt, får vi tillbaka den ursprungliga variabeln. Detta är naturligt eftersom logiska variabler endast kan anta värdena 1 eller 0.

Om en etta inverteras, får vi en nolla. Efter ytterligare en invertering får vi tillbaka den ursprungliga ettan. Formeln som visar vad som händer vid en sådan dubbel invertering kan skrivas: (a’)’ = a 3.3 Inverterare Den grundläggande digitala komponenten är grinden (eng. gate). En grind är en elektronisk krets som realiserar logiska operationer och funktioner. Vi beskrev i förra avsnittet den logiska ICKE-operationen (NOT) och kommer senare i detta kapitel att beskriva de logiska operationerna OCH (AND) samt ELLER (OR).

Som vi nämnde i förra avsnittet beskrivs en logisk (Boolesk) operation av ettorna och nollorna i dess sanningstabell. Dessa ettor och nollor motsvaras i en grind alltid av två olika spänningsnivåer, hög (H) resp. låg (L), som t.ex. +3,3 V resp. 0 V, på grindens ingångar och utgångar.

Om hög spänningsnivå får motsvara logisk etta och låg nivå motsvara logisk nolla, kallas detta positiv logik (eng. positive logic) eller hög representation (eng. active high). Om vi i stället gör tvärtom och låter hög spänningsnivå motsvara logisk nolla och låg nivå motsvara logisk etta, använder vi negativ logik (eng. negative logic) eller låg representation (eng. active low); se figur 3.2.

I figur 3.2 motsvarar spänningsnivån det elektriska sättet att se på en fysisk grind. Denna beskrivning är alltid densamma för en viss grind.

Ettorna och nollorna i figur 3.2 representerar däremot det logiska sättet att se på samma grind. En grind har alltså alltid samma elektriska egen80

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

3 Logisk algebra och grindar

Spänningsnivå

Positiv logik

Negativ logik

Hög

1

0

Låg

0

1

Figur 3.2 Positiv och negativ logik.

skaper, medan de logiska egenskaperna beror på vilken representation man har valt: positiv eller negativ logik.

Vi visar sambandet mellan grindarna och våra logiska funktioner i figur 3.3.

Funktionsvärde (0 eller 1)

Variabler (0 eller 1) a

a

Logisk funktion

b

Utsignal (hög eller låg spänningsnivå)

Insignal (hög eller låg spänningsnivå) Grind

ƒ

ƒ

b

Figur 3.3 Logisk funktion och fysisk grind.

Inverteraren (eng. inverter) är den grind som realiserar ICKE-operationen (NOT). Ibland kan man även se benämningen ICKE-grind (eng. NOT-gate).

En inverterare har endast en ingång och en utgång. Då insignalen till inverteraren har hög spänningsnivå, får utgången låg nivå och tvärtom.

Den standardiserade IEC-symbolen för inverteraren ser vi i figur 3.4.

IEC står för Internationella elektriska kommissionen (International Electrotechnical Commission): ett internationellt standardiseringsorgan.

Inverterarens inverterande verkan anges i symbolen av den lilla ringen på utgången, den s.k. inverteringsringen. När denna ring förekommer i någon symbol, på en ingång eller en utgång, innebär det att signalen inverteras just där.

Enligt svensk (och internationell) standard IEC 60617 kan man även beskriva en invertering med en ”halv triangel” på ingången eller utgången, som i den högra grinden i figur 3.4. Inverteringssymbolerna ”ring” och ”halv triangel” får dock inte blandas i samma logikschema.

I denna bok kommer vi att använda inverteringsringen, utom i de fall där vi visar originalinnehållet i datablad där den halva triangeln ibland används. a

1

ƒ = a’

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

a

1

ƒ = a’

Figur 3.4 Symbol för inverteraren.

81

3 Logisk algebra och grindar

a

ƒ = a’

L H

H L

1

0

Funktionstabell

1

1

1

0

H (1) L (0) H (1) ƒ L (0)

1

1

1

0

H (0) L (1) H (0) ƒ L (1)

a

a

Signalexempel (positiv logik)

Figur 3.5 Inverterare med signalexempel.

1

0

Signalexempel (negativ logik)

I figur 3.5 visas ett signalexempel och en funktionstabell (eng. function table) för inverteraren. Funktionstabellen beskriver grindens elektriska beteende, alltså med hög (H) eller låg (L) spänningsnivå. Det logiska beteendet av grindens logiska funktion beskrivs däremot med 0 och 1 i sanningstabellen.

Om man beskriver grindar i termer av logiskt beteende (0 resp. 1) i stället för i spänningsnivåer (L resp. H), måste man alltid ange om det är positiv eller negativ logik som man menar. Detta ser vi i signal­ exemplet i figur 3.5.

I kapitel 5 ska vi studera hur grindar är uppbyggda i integrerade kretsteknologier. För att inte detta med grindar ska kännas alltför abstrakt nu, ska vi dock redan här visa hur man kan konstruera enkla grindar med hjälp av diskreta komponenter som dioder, resistorer och transistorer.

3.3.1 EN ENKEL INVERTERARE

I figur 3.6 ser vi hur man kan konstruera en enkel inverterare. För enkelhetens skull antar vi att transistorns kollektorström är noll i strypt tillstånd samt att kollektor–emitter-spänningen (UCE) är noll i bottnat tillstånd. Då ingången a läggs på hög nivå (+5 V) bottnar transistorn och vi får då låg nivå (0 V) på utgången. Vid låg nivå (0 V) på ingången stryps transistorn, och kollektorresistorn blir då strömlös. Utgången får då hög nivå (+5 V). Signalen på ƒ-utgången blir därmed inversen till ingångssignalen a, dvs. funktionen blir ƒ = a’. +5 V

ƒ = a’ a

Figur 3.6 Inverterare.

82

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

3 Logisk algebra och grindar

Transistorn arbetar här som en s.k. switch. Den växlar alltså mellan två tillstånd, hög resp. låg utgångsnivå, beroende på insignalens värde.

Transistorn är i princip antingen strypt eller bottnad. Transistorn i denna inverterarkoppling, transistorswitchen, arbetar då inte i sitt ­linjära område, som den gör då den är kopplad som en analog förstärkare.

Mellanliggande inspänningsnivåer är ”förbjudna” i en switchkoppling. Det är helt enkelt meningen att transistorn ska vara antingen helt strypt eller helt bottnad; inget däremellan. Vid själva omslaget mellan låg och hög nivå, kommer dock transistorn under ett kort ögonblick att befinna sig i sitt linjära område, med ett odefinierat logiskt tillstånd.

Därför ska inspänningen i denna digitala transistorkoppling växla nivå snabbt och distinkt, och inte med långsamma signalflanker.

3.4 OCH-operationen Nästa logiska operator är OCH (AND). Vi inleder med ett logiskt uttryck: Endast om man behärskar det binära talsystemet OCH logisk algebra, förstår man digitalteknikens grunder.

Den logiska operatorn är här OCH (AND). Hela uttrycket kan delas upp i tre olika påståenden. Låt oss kalla dem a, b resp. ƒ: logiska variabler, som var och en kan anta endast värdena sant (1) eller falskt (0): a = påståendet ”man behärskar det binära talsystemet” b = påståendet ”man behärskar logisk algebra” ƒ = påståendet ”man förstår digitalteknikens grunder”.

Eftersom värdet av ƒ är helt beroende av värdena på a och b, är ƒ en logisk (Boolesk) funktion som är sammansatt av variablerna a och b med hjälp av den logiska operatorn OCH. Vi får: ƒ = a OCH b För att skriva uttrycket ännu enklare kan man ersätta OCH med ett multiplikationstecken. Man säger att man utför en logisk multiplikation av variablerna och får då den logiska produkten: ƒ=a∙b

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

83

3 Logisk algebra och grindar

Liksom i vanlig algebra kan multiplikationstecknet utelämnas, och man kan i stället skriva ƒ = a b. Varför man använder just multiplikationstecknet kommer vi strax att se i OCH-operationens sanningstabell.

Inom matematisk logik skriver man även för a OCH b: a∧b Detta tecken ∧ kallas logisk konjunktion.

Låt oss nu konstruera en sådan sanningstabell för ƒ = a b. Som vanligt kan a och b vara endast ett eller noll. Det blir då fyra (= 22) olika kombinationer av dessa två variabler (00, 01, 10, 11). När dessa fyra kombinationer är införda i sanningstabellen, återstår det att lista ut vilket värde (0 eller 1) som funktionen ƒ får för resp. kombination av a och b.

OCH-operationen definieras så att ƒ är sann (1) endast då både a OCH b är sanna (1), alltså endast för kombinationen a b = 11. Detta betyder att man i vårt exempel måste behärska både binära tal (a = 1) och logisk algebra (b = 1) för att förstå digitalteknikens grunder (ƒ = 1).

Om man saknar kunskaper om binära tal (a = 0) eller logisk algebra (b = 0) eller båda (a = 0, b = 0), förstår man inte heller digitalteknikens grunder (ƒ = 0). Inskrivet i en sanningstabell ger detta oss figur 3.7, där vi även visar mängdlärans Venndiagram.

Vi ser i sanningstabellen i figur 3.7 varför den logiska operatorn OCH kan ersättas av just multiplikationstecknet. Om man multiplicerar a med b för varje kombination i tabellen, får man nämligen värdet i ƒ-kolumnen. Detta ger oss då ytterligare några räknelagar för logisk algebra: 0 ∙ 0 = 0 0 ∙ 1 = 0 1 ∙ 0 = 0 1 ∙ 1 = 1

Variabler a b

Figur 3.7 Sanningstabell och Venndiagram för OCH-operationen.

84

0 0 1 1

0 1 0 1

Funktion ƒ = a OCH b = a · b 0 0 0 1

a

b

ƒ = a ∩ b (”a snitt b”)

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

3 Logisk algebra och grindar

a b c 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

ƒ = a OCH b OCH c = =abc

0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 0 1

Figur 3.8 Sanningstabell för OCH-operationen med tre variabler.

Detta var ett exempel med endast två variabler. Hur ser då sanningstabellen ut för tre variabler, om vi har funktionen ƒ = a b c? Vi utför då en logisk multiplikation mellan a, b och c. Den logiska produkten ƒ får då värdet ett endast om samtliga dessa tre variabler har värdet ett. Så fort någon av dem är noll, blir även ƒ noll. Av dessa tre variabler kan man bilda åtta (= 23) olika kombinationer från 000 t.o.m. 111. Dessa kombinationer med sina resp. funktionsvärden hittar vi i figur 3.8.

Det gäller allmänt för n st. variabler, att värdet av OCH-operationen blir ett endast för den kombination där alla ingående variabler har värdet ett.

Sanningstabeller med n st. variabler innehåller 2n st. rader med olika n-bitars ord bestående av nollor och ettor. Dessa rader kan vi konstruera genom att räkna binärt uppåt från ”enbart nollor” till ”enbart ettor”.

Men det finns en genväg att fylla i sanningstabellen. I kolumnen längst till vänster (MSB) skriver man hälften nollor och hälften ettor, uppifrån räknat. I nästa kolumn till höger varvas nollorna med ettorna i totalt fyra grupper. För varje ny kolumn åt höger i tabellen halveras antalet nollor och ettor i varje grupp, samtidigt som antalet grupper i kolumnen fördubblas. I LSB-kolumnen slutligen, längst till höger, får man då alltid varannan nolla och varannan etta.

3.5 AND-grind Den grindtyp som utför eller realiserar OCH-operationen kallas naturligt nog för OCH-grind eller AND-grind. OCH-operationen är som vi har sett en logisk multiplikation, som ger en etta som resultat endast om samtliga ingående variabler har värdet ett. I alla övriga fall får vi en nolla. En AND-grind realiserar just detta beteende. I positiv logik får AND-grindens utgång hög nivå (H) endast då samtliga ingångar har hög nivå (H). Utgången får låg nivå (L) så snart någon ingång har låg nivå (L). © F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

85

3 Logisk algebra och grindar

Figur 3.9 AND-grindens symbol och funktionstabell.

a

b

ƒ

L L H H

L H L H

L L L H

a

& ƒ=a·b

b

I figur 3.9 ser vi funktionstabellen och symbolen för en AND-grind med två ingångar, enligt svensk och IEC-standard. Det som anger att det är en AND-grind är ”&”-tecknet i symbolen.

I figur 3.10 ser vi ett signalexempel med en AND-grind med de fyra tänkbara kombinationerna av insignaler inritade (positiv logik). Figur 3.10 är därför endast ett annat sätt att med positiv logik beskriva innehållet i funktionstabellen i figur 3.9.

Med signalexemplet i figur 3.10 kan vi åskådliggöra varför det egentligen heter grind. Låt oss se det som att den övre signalen a är en styrsignal som fungerar som en ”grindvakt”. Den gör att grinden öppnas eller stängs. Den nedre signalen b är den signal som ska släppas/grindas igenom till utgången (ƒ) då grinden är öppen.

Då grinden är stängd (a = 0) spelar det ingen roll vad som läggs på b.

Utgången f är alltid 0. Då grindvakten däremot öppnar grinden (a = 1) följer utgången helt det som läggs på b.

En AND-grind kan ha fler än två ingångar. En fyra-ingångars AND-grind (positiv logik) ser vi i figur 3.11. Denna grind fungerar så att utsignalen får hög nivå (H), endast om alla fyra ingångarna har hög spänningsnivå (H).

0 0

& 0

0 1

& 0

1 0

& 0

1 1

& 1

1 a 0 1 b 0

Figur 3.10 Ett signal­ exempel med AND-grind (positiv logik).

86

1 ƒ 0

© F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

3 Logisk algebra och grindar

a b c d

&

ƒ=a·b·c·d

Figur 3.11 AND-grind med 4 ingångar.

3.5.1 EN ENKEL AND - GRIND

En AND-grind med två ingångar kan i sitt allra enklaste utförande byggas upp av två dioder och en resistor, som i figur 3.12.

För enkelhetens skull försummar vi spänningsfallet över dioderna i framriktningen. Vi får då låg nivå (ƒ = L) på utgången, då någon av ingångarna a eller b har låg nivå (t.ex. jordas) (a = L och/eller b = L).

Endast om båda ingångarna samtidigt läggs på hög nivå (a = b = H), blir resistorn R strömlös och utgångsnivån blir hög (ƒ = H). Grinden i figur 3.12 realiserar därmed i positiv logik OCH-operationen (AND). +5 V R a

ƒ=a·b

b

Figur 3.12 AND-grind.

3.6 ELLER-operationen Det sista av de tre logiska (Booleska) operatorerna är ELLER (OR). Låt oss inleda med ett logiskt uttryck: Hegobald använder paraply när det regnar ELLER haglar, men aldrig annars.

Den logiska operatorn är här ELLER (OR). Vi delar upp uttrycket i tre påståenden och symboliserar dem med bokstäverna a, b resp. ƒ: a = ”det regnar” b = ”det haglar” ƒ = ”Hegobald använder paraply”.

Om ”Hegobald använder paraply” (ƒ) beror helt på om ”det regnar” (a) eller om ”det haglar” (b). Vår logiska funktion blir då ƒ, vars värde beror på värdet av variablerna a och b. Dessa variabler sammansätts då med ELLER-operatorn, så att vi får: © F ö r fatta r na och S tud e ntlitt e r atu r

87

Författarna, civilingenjörerna Per Carlson och Staffan Johansson, skrev för 45 år sedan som unga teknologer den första boken i det då nya och spännande ämnet Digitalteknik. Därefter har ett antal helt omarbetade upplagor av boken sett dagens ljus; där nu den senaste i raden publiceras.

Dessutom har författarna, med sina långa och djupa erfarenheter inom IT- och elektronikindustrin, skrivit ett antal läroböcker och undervisat inom områdena datorteknik, datakommunikation och elektronisk mätteknik.

DIGITALTEKNIK Teori och praktik Denna bok behandlar digitalteknikens teoretiska aspekter varvat med många praktiska tillämpningar och IC-kretsexempel från de klassiska till de allra modernaste (från våren 2016). Boken har ett lättförståeligt och pedagogiskt språk och är rikt illustrerad.

Ur innehållet: • Logisk algebra och binär aritmetik • Grindar och vippor • Kretsteknologier • Kombinatoriska kretsar och sekvenskretsar • Minnen • Digital konstruktion – mikroprocessorer, PLD, ASIC, FPGA • Anpassning till en analog omvärld – A/D- och D/A-omvandling, indikatorer • Introduktion till VHDL-språket.

Denna bok är framför allt avsedd för ingenjörsutbildning på högskolenivå, men lämpar sig även väl för företagsutbildningar och självstudier.

Art.nr 37836

studentlitteratur.se