LÖSNINGSBOK
THOMAS ÖSTBERG
M 3b LĂśsningsbok Thomas Ă–stberg
ISBN 978-91-47-10496-3 © 2015 Thomas Östberg och Liber AB Förläggare: Calle Gustavsson Layout: Thomas Östberg Omslag: Cecilia Frank Illustrationer: Thomas Östberg Faktor: Adam Dahl Första upplagan 1 Repro (Omslag): Exaktaprinting AB, Malmö Tryck: People Printing, Kina 2015
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuscopyright.se. Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se
sid2.indd 1
2015-09-08 10:13
1 Ekvationer och funktioner 13a4 + 6a5 + 5a3
F¨ orenkling av uttryck 1001a
1001b
1002a
1002b
1003a 1003b
1004a 1004b 1004c 1004d 1004e 1004f
1005a
1005b
1006a
5(7x + 3) + 2(x − 3) = 5 · 7x + 5 · 3 + 2 · x + 2 · (−3) = 35x + 15 + 2x − 6 = 37x + 9 3x(9 − 2x + x2 ) + x = 3x · 9 + 3x · (−2x) + 3x · x2 + x = 27x − 6x2 + 3x3 + x = 28x − 6x2 + 3x3
1006b
4(a − 6) − 2(1 + a) = 4 · a + 4 · (−6) − 2 · 1 − 2 · a = 4a − 24 − 2 − 2a = 2a − 26 8y(y − 1) − 2(3y 2 + y) + 7y = 8y · y + 8y · (−1) − (2 · 3y 2 + 2 · y) + 7y = 8y 2 − 8y − 6y 2 − 2y + 7y = 2y 2 − 3y (x−9)(x+7)−x2 = x2 +7x−9x−9·7−x2 = −2x − 63 (3a − 4b)(8a − 7b) − 14(a2 + 2b2 ) = 24a2 − 21ab − 32ab − (−28b2 )− (14a2 + 28b2 ) = 24a2 − 53ab + 28b2 − 14a2 − 28b2 = 10a2 − 53ab (x + 6)2 = x2 + 2 · x · 6 + 62 = x2 + 12x + 36 (a − 9)2 = a2 − 2 · a · 9 + 92 = a2 − 18a + 81 (3x + 4)2 = 32 · x2 + 2 · 3x · 4 + 42 = 9x2 + 24x + 16 (1 − 9x)2 = 12 − 2 · 1 · 9x + 92 · x2 = 1 − 18x + 81x2 (2a + 3b)2 = 22 · a2 + 2 · 2a · 3b + 32 · b2 = 4a2 + 12ab + 9b2 (7c − 2x)2 = 72 c2 − 2 · 7c · 2x + 22 x2 = 49c2 − 28cx + 4x2 (x3 + 7x)(x2 − 4) = x3 · x2 + x3 · (−4) + 7x · x2 + 7x · (−4) = x5 − 4x3 + 7x3 − 28x = x5 + 3x3 − 28x (3a2 + 5a)(a2 + 2a3 ) = 3a2 · a2 + 3a2 · 2a3 + 5a · a2 + 5a · 2a3 = 3a4 + 6a5 + 5a3 + 10a4 =
1007a
1007b
1007c
1007d
1008a
1008b
1008c
1008d
3
x3 (x−6)−x2 (2x+x2 ) = x3 ·x+x3 ·(−6)− (x2 · 2x + x2 · x2 ) = x4 − 6x3 − 2x3 − x4 = −8x3 8a3 − (4a − 1)(3 − 2a2 ) = 8a3 − (4a · 3 + 4a · (−2a2 ) + (−1) · 3 + (−1) · (−2a2 ) = 8a3 − (12a − 8a3 − 3 + 2a2 ) = 8a3 − 12a + 8a3 + 3 − 2a2 = 16a3 − 2a2 − 12a + 3 (p + 9)2 + (p + 1)2 = p2 + 2 · 9 · p + 92 + p2 + 2 · 1 · p + 12 = 2p2 + 18p + 81 + 2p + 1 = 2p2 + 20p + 82 (x − 2)2 + (x − 3)2 − 2x2 = x2 − 2 · x · 2 + 22 + x2 − 2 · x · 3 + 32 − 2x2 = 2x2 + 4 − 4x − 6x + 9 − 2x2 = 13 − 10x (x + 5)2 − (x + 4)2 = x2 + 2 · x · 5 + 52 − (x2 + 2 · x · 4 + 42 ) = x2 + 10x + 25 − x2 − 8x − 16 = 2x + 9 (x − 8)2 − (x − 7)2 = x2 − 2 · x · 8 + 82 − (x2 − 2 · x · 7 + 72 ) = x2 − 16x + 64 − x2 + 14x − 49 = 15 − 2x (2r − 7)2 + (r + 8)2 = (2r)2 − 2 · 2r · 7 + 72 + r2 + 2 · r · 8 + 82 = 4r2 − 28r + 49 + r2 + 16r + 64 = 5r2 − 12r + 113 (3x + 5)2 + (5x − 1)2 − 20x = (3x)2 + 2 · 3x · 5 + 52 + (5x)2 − 2 · 5x · 1 + 12 − 20x = 9x2 + 30x + 25 + 25x2 − 10x + 1 − 20x = 34x2 + 26 (x2 + 2)(4x − 2x2 ) + 2x4 = x2 ·4x+x2 ·(−2x2 )+2·4x+2·(−2x2 )+2x4 = 4x3 − 2x4 + 8x − 4x2 + 2x4 = 4x3 + 8x − 4x2 (2x3 + 0, 5x)2 − 2x2 (x4 + x2 ) = (2x3 )2 + 2 · 2x3 · 0, 5x + (0, 5x)2 − (2x2 · x4 + 2x2 · x2 ) = 4x6 + 2x4 + 0, 25x2 − 2x6 − 2x4 = 2x6 + 0, 25x2
1009
1010a 1010b
1011a
1011b
1012a 1012b
1013a 1013b
1013c
1013d
1014
1015a
1015b
2:a kvadreringsregeln ger: (1): (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (2): (b − a)2 = b2 − 2ab + a2 S˚ aledes g¨ aller (a − b)2 = (b − a)2 , VSV.
1015c
(x2 + 8)2 = (x2 )2 + 2 · x2 · 8 + 82 = x4 + 16x2 + 64 (2y 2 − 5)2 = 22 (y 2 )2 − 2 · 2y 2 · 5 + 52 = 4y 4 − 20y 2 + 25 x6 −(2−x3 )2 = x6 −(22 −2·2·x3 +(x3 )2 ) = x6 − (4 − 4x3 + x6 ) = x6 − 4 + 4x3 − x6 = 4x3 − 4 (3x2 − 6)2 + 36x2 = 32 (x2 )2 − 2 · 3x2 · 6 + 62 + 36x2 = 9x4 − 6 · 6x2 + 36 + 36x2 = 9x4 − 36x2 + 36 + 36x2 = 9x4 + 36 (a3 + 7b)2 = (a3 )2 + 2 · a3 · 7b + (7b)2 = a6 + 14a3 b + 49b2 (x3 − 3x2 )2 = (x3 )2 − 2 · x3 · 3x2 + (3x2 )2 = x6 − 6x5 + 9x4 (0, 5x + 2)2 − 2(x + 2) = 0, 25x2 + 2x + 4 − (2x+4) = 0, 25x2 +2x+4−2x−4 = 0, 25x2 (0, 8x+5)2 −(0, 2x+20)2 +375 = 0, 64x2 + 8x + 25 − (0, 04x2 + 8x + 400) + 375 = 0, 64x2 +8x+25−0, 04x2 −8x−400+375 = 0, 6x2 (3y 2 + 4y)2 − 3y 3 (3y − 8) = 9y 4 + 24y 3 + 16y 2 − (9y 4 − 24y 3 ) = 9y 4 + 24y 3 + 16y 2 − 9y 4 + 24y 3 = 48y 3 + 16y 2 (x2 − x)(x2 + x) − x(x3 − x) = (x2 )2 −x2 −(x4 −x2 ) = x4 −x2 −x4 +x2 = 0 Minustecknet framf¨ or de tv˚ a binomen behandlas fel. Enklast ¨ar att f¨orst utf¨ora parentesmultiplikationen och samtidigt beh˚ alla parentesen. Korrekt f¨orenkling: 3 − (x − 7)(2x + 6) = 3 − (2x2 + 6x − 14x − 42) = 3 − 2x2 − 6x + 14x + 42 = −2x2 + 8x + 45 2(x+h)2 −2(x2 +h2 ) = 2(x2 +2xh+h2 )− (2x2 +2h2 ) = 2x2 +4xh+2h2 −2x2 −2h2 = 4xh (a + 3)3 − 27(a + 1) = (a + 3)(a + 3)2 − (27a + 27) = (a + 3)(a2 + 6a + 9) − 27a − 27 = 4
1015d
1016a
1016b
1017a
1017b
1018
a3 + 6a2 + 9a + 3a2 + 18a + 27 − 27a − 27 = a3 + 9a2 3(x − 2)2 − 2(x − 3)2 = 3(x2 − 4x + 4) − 2(x2 − 6x + 9) = 3x2 − 12x + 12 − (2x2 − 12x + 18) = 3x2 − 12x + 12 − 2x2 + 12x − 18 = x2 − 6 (x − h)3 + h(x + h)2 = (x − h)(x − h)2 + h(x2 + 2xh + h2 ) = (x − h)(x2 − 2xh + h2 ) + hx2 + 2xh2 + h3 = x3 − 2x2 h + xh2 − hx2 + 2xh2 − h3 + hx2 + 2xh2 + h3 = x3 − 2x2 h + 5xh2 √ 2 √ √ √ 2 − √2)2 = √ (√8 − √ 2)√ =2( 4 · √ ( 4· 2− 2) = (2 2− 2)2 = ( 2)2 = 2 √ √ √ √ 2 √ 2 √ ( 7 + 3)( 7 − 3) = 7 − 3 = 7−3=4 √ √ √ √ √ √ (√a + √b)2 − √ ( a −√ b)2 = √ (( a + √ b) + ( √a − √b))(( a √ + √b) − (√ a − b)) = 2 (2 a)(2 b) = 2 √ √ a b = 4 ab (1 + √3)4 − 16√ 3 = √ (1 + 3)2 (1 + 3)2 − 16 3 = √ √ 2 √ √ 2 √ (1 + 2 √3 + 3 )(1 + √ 2 3 + 3 ) − 16 3 = (1 + 2√3 + 3)2 −√16 3 = (4 + 2 3)2 − 16 3 = √ √ √ 2 16 + 4 · 2 · 2 3 + 22 3 − 16 3 = 16 + 4 · 3 = 28 (x + y + 2)(3 + x) − (x − y)(−3 − x) = 3x + x2 + 3y + xy + 6 + 2x − (−3x − x2 + 3y + xy) = 3x + x2 + 3y + xy + 6 + 2x + 3x + x2 − 3y − xy = 2x2 + 8x + 6
Polynom 1019a 1019b 1019c 1019d
1020
S¨att in x = 5: f (5) = 52 − 3 · 5 = 25 − 15 = 10 S¨att in x = −5: f (5) = (−5)2 − 3 · (−5) = 25 + 15 = 40 S¨att in x = 0: f (0) = 02 − 3 · 0 = 0 S¨att in x = b: f (b) = b2 − 3 · b = b2 − 3b A ¨ar ett fullst¨andigt tredjegradspolynom eftersom det finns termer med samtliga heltalsexponenter fr˚ an tre och ned˚ at
(3, 2, 1, 0). C ¨ ar ett fullst¨ andigt andragradspolynom eftersom det finns termer med samtliga heltalsexponenter fr˚ an tv˚ a och ned˚ at (2, 1, 0). Svar: A har gradtalet 3 och C har gradtalet 2.
1026b 1026c
1026d 1021a 1021b 1021c
1022
1023a 1023b
1024a
1024b
1024c
1024d 1024e
1025
1026a
Talet som st˚ ar framf¨ or x2 -termen a¨r dess koefficient. Svar: −5 Siffran 7 a ¨r konstanttermen i C eftersom den saknar en variabel. Svar: 7 Polynomets gradtal best¨ ams av den term som har st¨ orst exponent. I D a¨r s˚ aledes gradtalet 2. Svar: Grad 2 √ 1 x kan skrivas som x 2 . 2 −2 . x2 kan skrivas som 2 · x A och B ¨ ar inga polynom eftersom ett polynom ¨ ar en summa av termer d¨ar varje variabel har positiva heltal som exponent, dvs. 0, 1, 2 osv. Svar: C
1027
Ans¨att konstanttermen till C. Polynomet kan d˚ a skrivas t.ex. som p(x) = x2 + C. p(2) = 5 ⇒ 5 = 22 + C ⇒ C = 1. Svar: T.ex. p(x) = x2 + 1
1028
f (3) = 0 eftersom grafen antar y-v¨ ardet 0 d˚ a x = 3. f (2) = 2 eftersom grafen antar y-v¨ ardet 2 d˚ a x = 2. S¨att in f (3) = 0 och f (2) = 2 i uttrycket: −2 0−2 3−2 = 1 = −2
1029a
S¨att in x = 3 + h i f (x) = x2 − 2x: f (3 + h) = (3 + h)2 − 2 · (3 + h) = 9 + 6h + h2 − 6 − 2h = h2 + 4h + 3 S¨att in x = 2 i f (x) = x2 − 2x: f (3) = 32 − 2 · 3 = 9 − 6 = 3 2 2 f (3+h)−f (3) = (h +4h+3)−3 = h +4h = h h h h+4 S¨att in x = a + h i f (x) = x2 − 2x: f (a + h) = (a + h)2 − 2 · (a + h) = a2 + 2ah + h2 − 2a − 2h S¨att in x = a i f (x) = x2 − 2x: f (a) = a2 − 2 · a = a2 − 2a f (a+h)−f (a) = h
f (1) f˚ as genom att l¨ asa av y-v¨ardet d˚ a x = 1. Svar: f (1) = −4 f (−1) f˚ as genom att l¨ asa av y-v¨ardet d˚ a x = −1. Svar: f (−1) = 0 Svar: Multiplikationen: x · x4 = x1+4 = x5 . D˚ a x4 -termen multipliceras med x blir graden 4 + 1 = 5. Svar: Multiplikationen: x3 · x4 = x3+4 = x7 . D˚ a x4 -termen multipliceras med x3 blir graden 4 + 3 = 7. Svar: Exponenten p˚ a 4 kommer inte att f¨ or¨ andras d˚ a x4 -termen multipliceras med en konstant. Gradtalet blir of¨or¨andrat. Svar: Vi f˚ ar fler x4 -termer, men gradtalet blir of¨ or¨ andrat. Svar: Den st¨ orsta exponenten blir 5 i detta fall, allts˚ a f˚ ar polynomet gradtalet 5.
1029b
a2 +2ah+h2 −2a−2h−(a2 −2a) h a2 +2ah+h2 −2a−2h−a2 +2a) h
2a + h − 2
= =
h2 +2ah−2h h
=
Ekvationer
Konstanttermen anger f¨ or vilket y-v¨arde grafen sk¨ ar y-axeln. Vi ser att grafen sk¨ar y-axeln d˚ a y = −3. Svar: Konstanttermen = −3.
1030a
S¨ att in x = 2:
1030c
5
g(2) = 2 · 22 − 3 · 2 + 4 = 2 · 4 − 6 + 4 = 6 S¨att in x = a: g(a) = 2 · a2 − 3 · a + 4 = 2a2 − 3a + 4 S¨att in x = a + 1: g(a + 1) = 2 · (a + 1)2 − 3 · (a + 1) + 4 = 2 · (a2 + 2a + 1) − 3a − 3 + 4 = 2a2 + 4a + 2 − 3a − 3 + 4 = 2a2 + a + 3 S¨att in x = 5a: g(5a) = 2 · (5a)2 − 3 · 5a + 4 = 2 · 25a2 − 15a + 4 = 50a2 − 15a + 4
1030b
12x + 4 = 42 + 2x ⇒ 12x − 2x = 42 − 4 ⇒ 10x = 38 ⇒ x = 38 10 ⇒ x = 3, 8 20 = 14s − 22 ⇒ 20 + 22 = 14s ⇒ s = 42 14 ⇒ s=3 800 + 3r = 2500 + r ⇒ 3r − r = 2500 − 800 ⇒ 2r = 1700 ⇒ r = 1700 2 ⇒ r = 850
−6 3
⇒
1030d
0 = 3y + 6 ⇒ 3y = −6 ⇒ y = y = −2
1031a
10 − 3x = 5 + 2x ⇒ −3x − 2x = 5 − 10 ⇒ −5 −5x = −5 ⇒ x = −5 ⇒x=1 45 − 5p = 10 − 15p ⇒ −5p + 15p = 10 − 45 ⇒ 10p = −35 ⇒ p = −35 10 ⇒ p = −3, 5 0, 2x + 3 = 11 ⇒ 0, 2x = 11 − 3 ⇒ 8 0, 2x = 8 ⇒ x = 0,2 ⇒ x = 40 F¨ or att vi ska slippa att r¨akna med decimaltal multipliceras ekvationen med 100 i b˚ ada leden. L¨ os den sedan som vanligt: 100·(0, 03−0, 1y) = 100·0, 05 ⇒ 3−10y = 2 ⇒ y = −0, 2 5 ⇒ −10y = 5−3 ⇒ y = −10
1031b 1031c 1031d
1032a
1032b
1032c
1032d
1033 a b c d
1034 a
b
Mgn = 3. Multiplicera d¨arf¨or hela ekvationen med 3 och f¨ orkorta: 3 · 50 + 3·x 3 = 3 · x ⇒ 150 + x = 3x ⇒ 3x − x = 150 ⇒ 2x = 150 ⇒ x = 150 2 ⇒ x = 75 Mgn = 3 · 2 = 6. Multiplicera d¨arf¨or hela ekvationen med 6 och f¨ orkorta: 6· x3 +6· x2 = 6 · 10 ⇒ 2x + 3x = 60 ⇒ x = 60 5 ⇒ x = 12 Mgn = 10, eftersom 10 = 2 · 5. Multiplicera d¨ arf¨ or hela ekvationen med 10 och y 7 f¨ orkorta: 10 · 2y 5 + 10 · 10 = 10 · 2 ⇒ 2 · 2y + 7 = 5 · y ⇒ 4y − 5y + 7 = 0 ⇒ −7 −y = −7 ⇒ −y −1 = −1 ⇒ y = 7 Mgn = 3 · 2y = 6y. Multiplicera hela ekva13 −6y· y5 = tionen med 6y och f¨ orkorta: 6y· 2y 6y · 13 ⇒ 3 · 13 − 6 · 5 = 2y ⇒ 39 − 30 = 2y ⇒ y = 92 ⇒ y = 4, 5 Skriv f¨ orst tiopotensen som ett vanligt tal. L¨ os sedan ekvationen. 2x − 103 = 10 ⇒ 2x − 1000 = 10 ⇒ 2x = 1000 + 10 ⇒ x = 1010 2 ⇒ x = 505 10y−102 = 2·103 ⇒ 10y−100 = 2·1000 ⇒ 10y = 2000 + 100 ⇒ y = 2100 10 ⇒ y = 210 1 t · 10−2 = 1 ⇒ 0, 01t = 1 ⇒ t = 0,01 ⇒ t = 100 5 = 4x · 10−2 ⇒ 5 = 4 · 0, 01 · x ⇒ 5 x = 0,04 ⇒ x = 125 Utveckla kvadraterna och multiplicera parenteserna. L¨ os sedan ekvationen. (x + 1)(x − 3) = (x − 5)(x − 1) ⇒ x2 − 3x + x−3 = x2 −x−5x+5 ⇒ x2 −x2 −2x+6x = 5 + 3 ⇒ 4x = 8 ⇒ x = 84 ⇒ x = 2 (x+3)(x−4)+(3−x)(x+4) = 4(2−x) ⇒
6
c
d
1035a
1035b
1035c
1035d
x2 − 4x + 3x − 12 + 3x + 12 − x2 − 4x = 8 − 4x ⇒ −2x = 8 − 4x ⇒ −2x + 4x = 8 ⇒ x = 82 ⇒ x = 4 (5x−7)(3x+3) = 12(x+1)2 −3x(9−x) ⇒ 15x2 + 15x − 21x − 21 = 12(x2 + 2x + 1) − (27x − 3x2 ) ⇒ 15x2 − 6x − 21 = 12x2 + 24x + 12 − 27x + 3x2 ⇒ 15x2 − 15x2 − 6x + 33 3x = 12 + 21 ⇒ −3x = 33 ⇒ x = −3 ⇒ x = −11 16 = (x − 3)(x + 1) − (x − 5)(x − 1) ⇒ 16 = x2 + x − 3x − 3 − (x2 − x − 5x + 5) ⇒ 16 = x2 − 2x − 3 − x2 + 6x − 5 ⇒ 16 = 4x − 8 ⇒ 4x = 16 + 8 ⇒ x = 24 4 ⇒x=6 (x − 4)2 − (x + 5)2 − 5(1 − 4x) = 0 ⇒ x2 − 8x+16−(x2 +10x+25)−(5−20x) = 0 ⇒ x2 −8x+16−x2 −10x−25−5+20x = 0 ⇒ 2x−14 = 0 ⇒ 2x = 14 ⇒ x = 14 2 ⇒x=7 Anv¨and konjugatregeln i den sista termen. 0 = (3x−2)(x−3)−(x−5)2 −2(x−2)(x+ 2) ⇒ 0 = 3x2 − 9x − 2x + 6 − (x2 − 10x + 25) − 2(x2 − 4) ⇒ 0 = 3x2 − 11x + 6 − x2 + 10x − 25 − (2x2 − 8) ⇒ 0 = 2x2 − x − 19 − 2x2 + 8 ⇒ 0 = −x − 11 ⇒ x = −11 De tv˚ a f¨orsta termerna i v¨ansterledet bildar ett uttryck p˚ a formen a2 − b2 . Ist¨allet f¨or att anv¨anda andra kvadreringsregeln, kan man anv¨anda konjugatregeln bakl¨anges: a2 − b2 = (a + b)(a − b): (3x − 3)2 − (2x − 3)2 = ((3x − 3) + (2x − 3))((3x − 3) − (2x − 3)) = (5x − 6)(x) = 5x2 − 6x. Anv¨and konjugatregeln som vanligt p˚ a termen (x + 1)(x − 1) = x2 − 1. Detta ger (3x − 3)2 − (2x − 3)2 − 5(x + 1)(x − 1) = 29 ⇒ 5x2 − 6x − 5(x2 − 1) = 29 ⇒ 5x2 − 6x − (5x2 − 5) = 29 ⇒ 5x2 − 6x − 5x2 + 5 = 29 ⇒ −6x = 29 − 5 ⇒ x = 24 −6 ⇒ x = −4 B˚ ade h¨oger och v¨anster led ¨ar p˚ a formen a2 −b2 . Man kan d˚ a skriva om b¨agge leden med hj¨alp av konjugatregeln, a2 − b2 = (a + b)(a − b). Med a = (3x + 4) och b = (4 − 3x) blir d˚ a v¨anster led (3x + 4)2 − 2 (4 − 3x) = ((3x + 4) + (4 − 3x))((3x + 4) − (4 − 3x)) = (8)(6x) = 48x. H¨oger led blir, p˚ a samma s¨att, (2x+3)2 −(3−2x)2 = ((2x + 3) + (3 − 2x))((2x + 3) − (3 − 2x)) = (6)(4x) = 24x. Ekvationen ¨ar nu 48x = 24x, som bara har en l¨osning, x = 0.
1036a
1036b
1037a
1037b
1038a
1038b
1039 a
b
Mgn = 2·3 = 6. Multiplicera hela ekvatio4−x nen med 6 och f¨ orkorta: x+1 2 = 10+ 3 ⇒ 6·(x+1) 6·(4−x) = 6 · 10 + ⇒ 3 · (x + 1) = 2 3 60 + 2 · (4 − x) ⇒ 3x + 3 = 60 + 8 − 2x ⇒ 3x + 2x = 60 + 8 − 3 ⇒ 5x = 65 ⇒ x = 65 5 ⇒ x = 13 Mgn ¨ ar 4. Multiplicera hela ekvationen med 4 och f¨ orkorta: 2y − 3(10−2y) − 3+5y = 4 2 4·3(10−2y) 4·(3+5y) 0 ⇒ 4 · 2y − − =0⇒ 4 2 8y − 3(10 − 2y) − 2(3 + 5y) = 0 ⇒ 8y − (30 − 6y) − (6 + 10y) = 0 ⇒ 8y − 30 + 6y − 6 − 10y = 0 ⇒ 4y = 36 ⇒ y = 36 4 ⇒y =9 Ledningen ger att mgn = x(x + 1). Multiplicera hela ekvationen med x(x + 1), 4 f¨ orkorta och l¨ os som vanligt: x+1 = x3 ⇒ 4 3 x(x+1) x+1 = x(x+1) x ⇒ 4x = 3x+3 ⇒ 4x − 3x = 3 ⇒ x = 3 H¨ ar ¨ ar mgn = x(x + 5). Multiplicera hela ekvationen med x(x + 5), f¨ orkorta och l¨os 1 som vanligt: x(x + 5) x+5 = x(x + 5) x2 ⇒ x = 2(x + 5) ⇒ x = 2x + 10 ⇒ x − 2x = 10 ⇒ −x = 10 ⇒ x = −10
5t + 15 = 0 ⇒ t =
7
⇒ t = −3
Till¨ ampningar 1040a
1040b
Ber¨akna G(100): G(100) = 4500+12·100 = 5700 100 100 = 57 kr/st Svar: G(100) = 57 kr/fat L¨os ekvationen 30 = 4500+12x ⇒ 30x = x 4500 + 12x ⇒ 30x − 12x = 4500 ⇒ 18x = 4500 ⇒ x = 4500 18 = 250. Svar: Keramikern m˚ aste tillverka 250 stycken fruktfat.
1041
Arean f¨or pl˚ at A = 3x · (5 + x) − x · x = 15x + 3x2 − x2 = 2x2 + 15x Arean f¨or pl˚ at A = 2 · (x2 + 6) = 2x2 + 12 S¨att arean f¨or pl˚ at A lika med arean f¨or pl˚ at B 2x2 + 15x = 2x2 + 12 ⇒ 15x = 12 ⇒ x = 12 15 ⇒ x = 0, 8
1042
F¨or att en ekvation skall sakna l¨osning, f˚ ar det inte finnas n˚ agot x som l¨oser ekvationen. c) l¨oses av vilket x som helst, eftersom det st˚ ar samma sak i b¨agge leden, dvs. v¨anster och h¨oger led ¨ar alltid lika. b) och d) g˚ ar att l¨osa: 3x = 6x ⇒ 0 = 6x − 3x ⇒ x = 03 = 0, 5x − 3x = 0 ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 20 = 0. Men a), e och f ) g˚ ar ej att l¨osa. x-termerna i de b˚ ada leden tar ut varandra och kvar blir en ekvation som inte st¨ammer. a) x + 5 = x + 10 ⇒ x+5−x = x+10−x ⇒ 5 = 10, vilket inte a l¨osning. e) x−3 = ¨ar sant. a) saknar allts˚ x − 5 ⇒ −3 = −5, vilket inte a¨r sant. f) 3(2 + x) = 3x ⇒ 6 + 3x = 3x ⇒ 6 = 0, vilket inte a¨r sant. e) och f) saknar allts˚ a l¨osning. Svar: a),e) och f ) saknar l¨ osning.
1043
Triangelns omkrets ges av summan av dess sidol¨angder. F¨or att best¨amma triangelns omkrets m˚ aste vi veta x. Anv¨and Pythagoras sats f¨or att st¨alla upp en ekvation f¨or x: (x + 3)2 = 92 + x2 ⇒ x2 + 6x + 9 = 81 + x2 ⇒ x2 − x2 + 6x = 81 − 9 ⇒ x = 72 ar 6 = 12 Triangelns omkrets ¨ (x + 3) + 9 + x, med x = 12 f˚ as omkretsen (12 + 3) + 9 + 12 = 36. Svar: Triangelns omkrets ¨ar 36 cm.
Multiplicera ekvationen med mgn, f¨ orkorta och l¨ os som vanligt. Mgn = 20, vilket ger 20(1−x) − 4 · 20 = 20·3(2x−7) ⇒ 20 5 1 − x − 80 = 24x − 84 ⇒ −x − 24x = −5 −84 + 80 − 1 ⇒ −25x = −5 ⇒ x = −25 ⇒ x = 0, 2 Multiplicera ekvationen med mgn = 30. 30(5y−2) 5y−2 − y5 = 3 − 5−y − 30y 3 2 ⇒ 3 5 = 30(5−y) 30 · 3 − ⇒ 10(5y − 2) − 6y = 90 − 2 15(5 − y) ⇒ 50y − 20 − 6y = 90 − (75 − 15y) ⇒ 44y − 20 = 90 − 75 + 15y ⇒ 44y − 35 15y = 15 + 20 ⇒ 29y = 35 ⇒ y = 29 ≈ 1, 2 Utveckla kvadraterna och multiplicera parenteserna. L¨ os sedan ekvationen. (3x + 4)2 − (2x + 3)2 = 3 + 5(x + 2)2 ⇒ 9x2 +24x+16−(4x2 +12x+9) = 3+5(x2 + 4x + 4) ⇒ 9x2 + 24x + 16 − 4x2 − 12x − 9 = 3+5x2 +20x+20 ⇒ 5x2 +12x+7 = 5x2 + 20x+27 ⇒ 5x2 +12x+7−5x2 −20x−23 = 0 ⇒ −8x − 16 = 0 ⇒ x = − 16 8 x = −2 5t2 − (2t + 1)(t − 3) − 3(t + 2)(t − 2) = 0 ⇒ 5t2 − (2t2 − 6t + t − 3) − 3(t2 − 4) = 0 ⇒ 5t2 − 2t2 + 6t − t + 3 − 3t2 + 12 = 0 ⇒
−15 5
1044a
1044b
1045
1046
1047
1048
1049a
Antalet mil Reza skall k¨ora ges av ekvatio⇒ 20x = 1020 + 8x ⇒ nen 20 = 1020+8x x 20x − 8x = 1020 ⇒ x = 1020 12 = 85. Svar: Reza skall k¨ ora 85 mil. Genom att unders¨ oka om G(50) − G(100) ≈ 10 f˚ ar vi reda p˚ a om p˚ ast˚ aendet a r sant eller ej. G(50) − G(100) = ¨ 1020+8·50 1020+8·100 1420 1820 − = − = 50 100 50 100 28, 4 − 18, 2 = 10, 2. P˚ ast˚ aendet a¨r sant. Svar: Ja, genomsnittskostnaden minskar med drygt 10 kr/mil.
1049b
1049c
Ursprungliga kvadratens area = x2 Nya kvadratens area = (x + 5)2 Differensen = (x + 5)2 − x2 = x2 + 10x + 25 − x2 = 10x + 25, VSV. I figuren a¨r 3 st. delareor utritade. Summan av dessa areor motsvarar area¨okningen av den ursprungliga kvadratens area.
S¨ att in x = 2: p(2) = 23 + 2 · 2 − 5 = 8 + 4 − 5 = 7 √ − 6x + 8 och S¨ att in x = √ 3 + 5 i x2 √ f¨ orenkla: (3 + 5)2 − 6(3 + 5) + 8 = 9 + √ √ 2 √ 6 5+ 5 −18−6 5+8 = 9+5−18+8 = 4. Svar: 4. Antag att Hugos ˚ alder ¨ar x ˚ ar. Lindas ˚ alder a a (x+15) ˚ ar. Subtrahera kvadra¨r d˚ terna p˚ a Lindas och Hugos ˚ alder och s¨att differensen lika med 1125. L¨os ut x: (x + 15)2 − x2 = 1125 ⇒ x2 + 30x + 152 − x2 = 1125 ⇒ 30x + 225 = 1125 ⇒ 30x = 1125−225 ⇒ x = 900 ar allts˚ a 30 = 30. Hugo ¨ 30 ˚ ar och Linda ¨ ar (30 + 15) ˚ ar = 45 ˚ ar. Man kan ocks˚ a anta att Lindas ˚ alder ¨ar y ˚ ar. Hugo blir d˚ a y − 15 ˚ ar gammal, och ekvationen blir ist¨ allet y 2 − (y − 15)2 = 2 2 1125 ⇒ y − (y − 30y + 225) ⇒ y 2 − y 2 + 30y − 225 ⇒ 30y = 1125 + 225 ⇒ y = 1350 ar 45 ˚ ar gammal. 30 = 45. Svar: Linda ¨
Den nya kvadraten a¨r 5x+5x+25 = 10x+ 25 st¨orre a¨n ursprungliga kvadraten. 1050
Pythagoras sats ger: √ x2 + ( x + 11)2 = (x + 3)2 ⇒ x2 + x + 11 = x2 + 6x + 9 ⇒ 11 − 9 = 6x − x ⇒ 5x = 2 ⇒ x = 25 ⇒ x = 0, 4. Notera att √ 1 x + 11 = (x + 11) 2 .
1051
K = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1) = (x2 − 1)(x6 + x2 + x4 + 1) = x8 + x4 + x6 + x2 − x6 − x2 − x4 − 1 = x8 − 1 √ S¨att in x = − 2 i det f¨orenklade uttrycket: √ (−√2)8 − 1 √ = √ √ (− 2)2 · (− 2)2 · (− 2)2 · (− 2)2 − 1 = 2 · 2 · 2 · 2 − 1 = 15
(x − a)2 = x2 ⇒ x2 − 2xa + a2 = x2 ⇒ −2xa + a2 = 0 ⇒ −2xa = a2 ⇒ x = a2 −2a ⇒ x = −0, 5a
Andragradsekvationer
1052a 1052b
Kvadraterna med sidl¨angderna angivna:
1053a 1053b
1054a
8
√ x2 = 324 ⇒ x = ± 324 ⇒ x ± 18√ 3x2 = 600 ⇒ x2 = 600 ⇒ x = ± 200 ⇒ 3 √ √ √ x = ± 2 · 100 = ± 2 · 10 ≈ ±14, 1 √ x2 − 10 = 0 ⇒ x2 = 10 ⇒ x = ± 10 ⇒ x ≈ ±3, 16 2x2 − 19 = √ 31 ⇒ 2x2 = 31 + 19 ⇒ x2 = 50 2 ⇒ x = ± 25 ⇒ x = ±5 2 2 250 √ − x = 150 ⇒ 250 − 150 = x ⇒ x = ± 100 ⇒ x = ±10
1054b
1055a
1055b
1056a
1056b
1057a
1057b
1057c
1057d
1058a
1058b
5 − 3x2 = 1 + x2√⇒ 5 − 1 = x2 + 3x2 ⇒ x2 = 44 ⇒ x = ± 1 ⇒ x = ±1 (x + 5)2 = 10x ⇒ x2 + 10x + 25 = 10x ⇒ x2 +10x−10x = −25 ⇒ x2 = −25. Denna ekvation saknar l¨ osning eftersom man inte kan ber¨ akna kvadratroten ur ett negativt tal. 4x(x − 1) = 2(3 − 2x) ⇒ 4x2 − 4x = 6 − 4x√⇒ 4x2 − 4x + 4x = 6 ⇒ x2 = 46 ⇒ x = ± 1, 5 ⇒ x ≈ ±1, 22
1058c
1058d
Mgn = 4x. Multiplicera ekvationen med = x+8 ⇒ 4x och l¨ os som vanligt. 2x+9 x 4 4x(2x+9) 4x(x+8) = ⇒ 4(2x + 9) = x(x + x 4 8) ⇒ 8x + 36√= x2 + 8x ⇒ 8x − 8x + 36 = x2 ⇒ x = ± 36 ⇒ x = ±6 Mgn = x. Multiplicera ekvationen med x och l¨ os som vanligt. 2x − 8−x x =1⇒ 2 = x · 1 ⇒ 2x − (8 − x) = x · 2x − x(8−x) x 2 x ⇒ 2x − (8 − x) = x ⇒ 2x2 − 8 + x = x ⇒ 2x2 + x − x = 8 ⇒ x2 = 82 ⇒ x = √ ± 4 ⇒ x = ±2
1059a
x2 − 8x + 15 = 0 ⇒ x = − (−8) ± 2 q √ (−8) 2 ( 2 ) − 15 ⇒ x = 4 ± 16 − 15 ⇒ x = 4 ± 1 ⇒ x1 = 5, x2 = 3 x2 − 10x + 9 = 0 ⇒ x = − (−10) ± 2 q √ (−10) 2 ( 2 ) − 9 ⇒ x = 5 ± 25 − 9 ⇒ x = 5 ± 4 ⇒ x1 = 9, x2 = 1 x2 − 4x − 21 = 0 ⇒ x = − (−4) ± 2 q √ (−4) 2 ( 2 ) − (−21) ⇒ x = 2 ± 4 + 21 ⇒ x = 2 ± 5 ⇒ x1 = 7, x2 = −3 x2 + 18x + 80 = 0 ⇒ x = − 18 2 ± q √ 18 2 ( 2 ) − 80 ⇒ x = −9 ± 81 − 80 ⇒ x = −9 ± 1 ⇒ x1 = −8, x2 = −10
1059c
1059b
1059d
2 x = − −10 ( −10 2 ± 2 ) − 22 ⇒ x = 5 ± √ √ 25 − 22 ⇒ x = 5 ± 3 ⇒
9
(x − 1)2 + (x − 2)2 = 1 ⇒ (x2 − 2x + 1) + 2 (x2 −4x+4) = 1 ⇒ 2x2 −6x+4 q =0⇒x −
2 3x + 2 = 0 ⇒ x = − −3 ( −3 2 ± 2 ) −2 ⇒ √ x = 23 ± 2, 25 − 2 ⇒ x = 1, 5 ± 0, 5 ⇒ x1 = 2, x2 = 1 (2x − 3)2 − (x − 2)2 = 2x(x − 5) + 8 ⇒ ((2x − 3) + (x − 2))((2x − 3) − (x − 2)) = 2x2 − 10x + 8 ⇒ (3x − 5)(x − 1) = 2x2 − 10x + 8 ⇒ 3x2 − 3x − 5x + 5 = 2x2 − 10x+ 2 8 ⇒ 3x2 −2x2 −8x+10x+5−8 q =0⇒x + 2 2 2 2x − 3 = 0 ⇒ x = − 2 ± ( 2 ) − (−3) ⇒ x = −1 ± 2 ⇒ x1 = 1, x2 = −3 (x + 1)2 − (x + 2)2 = 0 ⇒ ((x + 1) + (x + 2))((x+1)−(x+2)) = 0 ⇒ (2x+3)(−1) = 0 ⇒ −2x − 3 = 0 ⇒ x = − 23 ⇒ x = −1, 5 (x − 4)(x + 8) = 2x + 3 ⇒ x2 + 8x − 4x − 2 32 = 2x q + 3 ⇒ x + 2x − 35 = 0 ⇒ x = 2 2 2 − 2 ± ( 2 ) − (−35) ⇒ x = −1 ± 6 ⇒ x1 = 5, x2 = −7
1060
Rektangelns area ges av uttrycket x(x − 16) = x2 − 16x. Arean ¨ar k¨and, 225 m2 , vilket ger en ekvation f¨or l¨ angden x: x2 − 16x = 225q⇒ x2 − 16x − 225 = 2 0 ⇒ x = − (−16) ± ( (−16) 2 ) − (−225) ⇒ √2 x = 8 ± 64 + 225 ⇒ x = 8 ± 17 ⇒ x1 = −9, x2 = 25. Den negativa l¨osningen f¨orkastas (en l¨angd kan inte vara negativ), och sidorna blir d˚ a 25 m och (25 − 16) m = 9 m. Svar: Rektangelns sidor ¨ar 9 m och 25 m.
1061
Pythagoras sats ger 62 + (x + 6)2 = 102 ⇒ 36 + x2 + 12x + 36 = 100 ⇒ x2 + 12x + 72 − 100 = 0 ⇒ x2 + 12x − 28 = 0 ⇒
1 (3 − 4x2 − 4x) = 3 − 4x2 − 4x = 0 ⇒ (−4) 1 3 1 2 (−4) · 0 ⇒ x + x − 4 = 0 ⇒ x = − 2 ± q q ( 12 )2 − (− 34 ) ⇒ x = − 21 ± 14 + 34 ⇒
x = − 12 ± 1 ⇒ x1 = 0, 5, x2 = −1, 5 1 1 0 = 20x − 2x2 − 44 ⇒ −2 · 0 = −2 (20x − 2 2 2x − 44) ⇒qx − 10x + 22 = 0 ⇒
x1 ≈ 6, 732, x2 ≈ 3, 268 1 + 8x − x2 = 0 ⇒ (−1) · (1 + 8x − x2 = (−1) · 0 ⇒ x2 − 8x − 1 = 0 ⇒ x = − −8 2 ± q √ −8 2 ( 2 ) − (−1) ⇒ x = 4 ± 16 + 1 ⇒ √ x = 4 ± 17 ⇒ x1 = 8, 123, x2 = −0, 123 2 − 7x − 4x2 = 0 ⇒ x2 + 47 x − 12 = q 1 2 ± 0 ⇒ x = − 7/4 ( 7/4 2 2 ) − (− 2 ) ⇒ x = q 1 7 9 − 78 ± 49 64 + 2 ⇒ x = − 8 ± 8 ⇒ x1 = 0, 25, x2 = −2
1062a
1062b
1062c
1062d
q 2 x = − 12 ( 12 ± 2 2 ) − (−28) ⇒ x = −6 ± √ 36 + 28 ⇒ x = −6 ± 8 ⇒ x1 = 2, x2 = −14. Den negativa l¨ osningen f¨orkastas, och x ¨ ar d¨ arf¨ or lika med x1 = 2. Svar: x = 2 m.
1064a
x(x+4)+(x−2)2 = 0 ⇒ x2 +4x+x2 −4x+ 4 = 0 ⇒ 2x2 + 4 = 0 ⇒ x2 = −2. Denna ekvation saknar l¨ osning eftersom man inte kan ber¨ akna kvadratroten ur ett negativt tal. x2 = 0 ⇒ x2 +2, 5x−1, 5 = 2 +1, 25x−0, 75q 2 0 ⇒ x = − 2,5 ± ( 2,5 2 ) − (−1, 5) ⇒ x = √2 −1, 25 ± 1, 5625 + 1, 5 ⇒ x = −1, 25 ± 1, 75 ⇒ x1 = 0, 5, x2 = −3 5x2 2 2 2 + 4, 9 = 7x ⇒ x + 5 · 4, 9 = 2 2 x − 2, 8x + 1, 96 = 0 ⇒ x = 5 · 7x ⇒ q (−2,8) − ± ( (−2,8) )2 − 1, 96 ⇒ x = 1, 4 ± 2 √ 2 1, 96 − 1, 96 ⇒ x = 1, 4 ⇒ x1 = x2 = 1, 4 2 x + x9 = 10 ⇒ x2 + 9 = 10x q ⇒ x − 10x+
1064b
2 ± ( −10 9 = 0 ⇒ x = − (−10) 2 2 ) −9 ⇒ √ x = 5 ± 25 − 9 ⇒ x = 5 ± 4 ⇒ x1 = 9, x2 = 1
1063a
1063b
1063c
1063d
1065
1066
Triangelns area ges av uttrycket x(x+1) . 2 Arean ¨ar k¨and, vilket ger ekvationen 2 6 = x 2+x ⇒ x2 + x − 12 = 0 ⇒ x = q − 12 ± ( 12 )2 − (−12) ⇒ x = −0, 5 ± √ 0, 25 + 12 ⇒ x = −0, 5 ± 3, 5 ⇒ x1 = 3, x2 = −4. Den negativa l¨osningen f¨orkastas. Kalla hypotenusan c. Hypotenusans l¨angd ges av Pythagoras p sats: c2 = x2 + (x + 1)2 ⇒ c = x2 + (x + 1)2 . Triangelns omkrets ges d˚ a av x + (x + 1) + p x2 + (x + 1)2 . Med x = 3 blir omkretp sen 3 + (3 + 1) + 32 + (3 + 1)2 = 12 m. Svar: Triangelns omkrets ¨ar 12 m.
1067
Kalla de tv˚ a talen f¨or x och y. Vi f˚ ar f¨oljande ekvationer: (1): x · y = 420 (2): x + y = 43 L¨os ut x ur ekvation (1): x + y = 43 ⇒ x = 43 − y. S¨att nu in x = 43 − y i ekvation (1): (43 − y) · y = 420 ⇒ 43y − y 2 = 430 ⇒ y 2 − 43y + 420 = 0 ⇒
2x(x−1) 4 − x−1 = 2 = 1, 5 ⇒ 2x · x − 2 2 2x·1, 5 ⇒ 8−(xq−x) = 3x ⇒ x2 +2x−8 =
3(x+3)(x+2) 3
⇒ 3(5 − x) = (x + 3)(x + 2) ⇒ 2 15 − 3x = x2 + 8x q + 3x + 6 ⇒ x + 2x − 9 = 8 8 2 0 ⇒ x = − 2 ± ( 2 ) − (−9) ⇒ x = −4 ± √ 16 + 9 ⇒ x = −4±5 ⇒ x1 = 1, x2 = −9 10
Rektangelns area ges av uttrycket x(23 − x). Rektangelns area A = 90 m2 ¨ar k¨and, vilket ger ekvationen 90 = x(23 − x) ⇒ 2 2 90 = 23x − qx ⇒ x − 23x + 90 = 0 ⇒ x = 2 − (−23) ± ( (−23) 2 ) − 90 ⇒ x = 11, 5± √ 2 132, 25 − 90 ⇒ x = 11, 5 ± 6, 5 ⇒ x1 = 5, x2 = 18. Svar: Rektangelns sidor ¨ar 5 m och 18 m l˚ anga.
4 x
0 ⇒ x = − 22 ± ( 22 )2 − (−8) ⇒ x = −1 ± √ 1 + 8 ⇒ x = −1 ± 3 ⇒ x1 = 2, x2 = −4 4(x−2)(6−x) 6−x x = 4(x−2)x ⇒ x−2 = 4 ⇒ (x−1) 4 2 4(6 − x) = (x − 2)x ⇒ 24 − 4x = x − 2x ⇒ x2 + 2x − 24 = 0 ⇒ x = − 22 ± q √ ( 22 )2 − (−24) ⇒ x = −1 ± 1 + 24 ⇒ x = −1 ± 5 ⇒ x1 = 4, x2 = −6 4x(x+1) 6 x+1 4x·6 ⇒ x = 1 + 4 ⇒ x = 4x · 1 + 4 2 2 24 = 4x + q x + x ⇒ x + 5x − 24 = 0 ⇒ x = − 52 ± ( 52 )2 − (−24) ⇒ x = −2, 5 ± √ 6, 25 + 24 ⇒ x = −2, 5 ± 5, 5 ⇒ x1 = 3, x2 = −8 3(x+3)(5−x) 5−x x+2 = ⇒ = x+3 3 (x+3)
Pythagoras sats ger 52 + x2 = (x + 1)2 ⇒ 25 + x2 = x2 + 2x + 1 ⇒ x2 − x2 + 25 − 1 = angsta 2x ⇒ x = 24 2 ⇒ x = 12. Den l¨ sidan ¨ar hypotenusan, som ¨ ar (x + 1) = (12 + 1) = 13 m. Svar: Triangelns l¨angsta sida a¨r 13 m l˚ ang. Pythagoras sats ger (x + 5)2 + (x − 2)2 = (x + 7)2 ⇒ x2 + 10x + 25 + x2 − 4x + 4 = x2 + 14x + 49q ⇒ x2 − 8x − 20 = 0 ⇒ (−8) 2 x = − 2 ± ( (−8) 2 ) − (−20) ⇒ x = √ 4± 16 + 20 ⇒ x = 4±6 ⇒ x1 = 10, x2 = −2. Den negativa l¨osningen f¨orkastas. Triangelns l¨angsta sida blir d˚ a (x + 7) = (10 + 7) = 17 m l˚ ang. Svar: Triangelns l¨angsta sida ¨ar 17 m l˚ ang.
q 2 y = 43 ( 43 ± 2 2 ) − 420 ⇒ y = 21, 5 ± √ 42, 25 ⇒ y = 21, 5 ± 6, 5 ⇒ y1 = 28 y2 = 15 y = 28 ⇒ x + 28 = 43 ⇒ x = 15 y = 15 ⇒ x + 15 = 43 ⇒ x = 28 Talens differens ¨ ar 28 − 15 = 13 eller 15 − 28 = −13 1068
1077b
Svar: Vi ser att produkten av r¨otterna = q och att summan av r¨ otterna = −p.
Uppdelning i faktorer 1069a 1069b 1069c
3x − 6 = 3(x − 2) 10x + 15 = 5(2x + 3) 4 + 4x = 4(1 + x)
1070a 1070b 1070c
x2 − x = x(x − 1) 3x + 9y = 3(x + 3y) 12x + 3x2 = 3x(4 + x)
1071a 1071b 1071c
x2 − 4 = (x + 2)(x − 2) x2 − 25 = (x + 5)(x − 5) 49 − x2 = (7 + x)(7 − x)
1072a 1072b 1072c
9x2 − 1 = (3x + 1)(3x − 1) x2 + 9 g˚ ar ej att faktorisera. x2 − 16 = (x + 4)(x − 4)
1078a 1078b 1078c
16x2 − 8x + 8 = 8(2x2 − x + 1). 30xy 2 + 20xy = 10xy(3y + 2) 25x2 − 16 = (5x + 4)(5x − 4)
1079a 1079b 1079c
x2 + 25 g˚ ar ej att faktorisera ytterligare. 4x2 − 9y 2 = (2x + 3y)(2x − 3y) 36x2 − 1 = (6x + 1)(6x − 1)
1080a 1080b 1080c
25a2 + 10ab + b2 = (5a + b)2 25a2 + 10ab = 5a(5a + 2b) 25a2 − 9b2 = (5a + 3b)(5a − 3b)
1081a 1081b
x2 − 49 = (x + 7)(x − 7) 4a2 + 4ab − b2 . Uttrycket kan inte faktoriseras med andra kvadreringsregeln eftersom minustecknet st˚ ar framf¨or b2 -termen. 2 2 4a − 4ab + b = (2a − b)2
1081c 1082a 1082b 1082c
5a2 b − 25ab2 = 5ab(a − 5b) xy 2 − xy + 3x2 y = xy(y − 1 + 3x) 16x2 + y 2 + 8xy = 16x2 + 8xy + y 2 = (4x + y)2 x4 − 1 = (x2 + 1)(x2 − 1) = (x2 + 1)(x + 1)(x − 1) x4 − 16 = (x2 + 4)(x2 − 4) = (x2 + 4)(x + 2)(x − 2) x4 − y 4 = (x2 + y 2 )(x2 − y 2 ) = (x2 + y 2 )(x + y)(x − y)
1073a 1073b 1073c
x3 − 2x2 = x2 (x − 2) 3xy + 5y 2 = y(3x + 5y) xy 2 − xy = xy(y − 1)
1074a 1074b 1074c
5x − 16x2 + x3 = x(5 − 16x + x2 ) 4x3 + 2x2 − 4x4 = 2x2 (2x + 1 − 2x2 ) x3 − x4 = x3 (1 − x)
1083a
1075a 1075b 1075c 1075d
x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 a2 + 6a + 9 = (a + 3)2 p2 + 10p + 25 = (p + 5)2 a2 − 12a + 36 = (a − 6)2
1083c
1076a 1076b 1076c 1076d
x2 + x + 0, 25 = (x + 0, 5)2 x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 a2 − 8a + 16 = (a − 4)2 s2 + 16s + 64 = (s + 8)2
1077a
Man f˚ ar termen 16x i VL om det st˚ ar en 8 i rutan i HL:
1083b
1084c
2x2 − 18 = 2(x2 − 9) = 2(x + 3)(x − 3) 100 − 4x2 = 4(25 − x2 ) = 4(5 + x)(5 − x). Alternativ: 100−4x2 = (10+2x)(10−2x), men h¨ar kan man bryta ut en tv˚ aa ur varje parentes: (10 + 2x)(10 − 2x) = 2(5 + x) · 2(5 − x) = 4(5 + x)(5 − x) x3 − x = x(x2 − 1) = x(x + 1)(x − 1)
1085a
3x − 12x3 = 3x(1 − 4x2 ) =
1084a 1084b
11
(x + 8)2 = x2 + 16x + 64 F¨or att likheten ska st¨amma ska det s˚ aledes st˚ a 64 i rutan i VL. Svar: 8 och 64. Man f˚ ar termen −0, 2x i VL om det st˚ ar 0, 1 i rutan i HL: (x − 0, 1)2 = x2 − 0, 2x + 0, 01 F¨or att likheten ska st¨amma ska det s˚ aledes st˚ a 0, 01 i rutan i VL. Svar: 0, 01 och 0, 1.
1085b 1085c
3x(1 + 2x)(1 − 2x) x2 − x4 = x2 (1 − x2 ) = x2 (1 + x)(1 − x) 2x2 −200 = 2(x2 −100) = 2(x+10)(x−10)
1086a 1086b 1086c
x3 − xy 3 = xy(x2 − y 2 ) = xy(x + y)(x − y) x4 − x6 = x4 (1 − x2 ) = x4 (1 + x)(1 − x) x2 − 196 = (x + 14)(x − 14)
1087a 1087b 1087c
x3 + x2 + 2x = x(x2 + x + 2) 49y 2 − 4z 2 = (7y + 2z)(7y − 2z) 9z 2 + 3z + 1. Uttrycket kan ej faktoriseras med f¨ orsta efter√ kvadreringsregeln √ som 3z 6= 2 · 9z 2 · 1.
1088a 1088b 1088c
16y 2 + 25 − 40y = 16y 2 − 40y + 25 = (4y − 5)2 4a3 − 8a2 = 4a2 (a − 2) a2 b3 + ab2 − a2 b = ab(ab2 + b − a)
1089a 1089b 1089c
25 + 4a2 + 10ab kan ej faktoriseras. 9a2 b2 − 25 = (3ab + 5)(3ab − 5) 36x2 − 9y 2 + 36xy = 9(4x2 − y 2 + 4xy)
1090
(a − b)(a + b) = b(a − b) ⇒ a + b = b. I detta steg divideras b˚ ada leden med (a − b). Eftersom a = b blir a − b = 0, vilket inneb¨ ar en division med 0. Detta ¨ar inte till˚ atet.
1094b
x2 + 8x = 0 ⇒ x(x + 8) = 0. L¨os f¨or varje faktor = 0: (x + 8) = 0 ⇒ x = −8, den andra roten ¨ar x = 0. Svar: x1 = 0, x2 = −8
1095a
2x2 − 3x = 0 ⇒ x(2x − 3) = 0. Den ena roten a¨r x = 0. Den andra roten ges av (2x − 3) = 0 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 23 . Svar: x1 = 0, x2 = 1, 5 3x+x2 = 0 ⇒ x(3+x) = 0. Den ena roten a¨r x = 0, den andra ges av (3 + x) = 0 ⇒ x = −3. Svar: x1 = 0, x2 = −3
1095b
1096a
1091
1096b
Om a ¨ ar ett negativt tal f˚ ar vi uttrycket: x2 − a. Faktorisering ger: x2 − a = (x + b)(x − b), d¨ ar a = −b2 . S¨att in b = 7: 2 a = −7 = −49. Svar: a = −49 x80 − 1 = (x40 + 1)(x40 − 1) = (x40 + 1)(x20 + 1)(x20 − 1) = (x40 + 1)(x20 + 1)(x10 + 1)(x10 − 1) = (x40 + 1)(x20 + 1)(x10 + 1)(x5 + 1)(x5 − 1)
1092
Faktorisering och ekvationer 1093a 1093b
1094a
1097a
1097b
1098a 1098b
1098c
(x + 1) = 0 ⇒ x = −1, (x − 5) = 0 ⇒ x = 5 ⇒ x1 = 5, x2 = −1 Vi ser direkt att den ena roten a¨r x = 0. Den andra roten f˚ as av (2x − 1) = 0 ⇒ 2x = 1 ⇒ x = 12 ⇒ x1 = 0, 5, x2 = 0 x2 − 7x = 0 ⇒ x(x − 7) = 0. L¨os f¨or varje faktor = 0: (x − 7) = 0 ⇒ x = 7, den andra roten ¨ ar x = 0. Svar: x1 = 7, x2 = 0 12
1099a
1099b
4x(2x − 5)(x − 1) = 0. S¨att varje faktor = 0 och l¨os ut r¨otterna: 4x = 0 ⇒ x = 0, (2x − 5) = 0 ⇒ 2x = 5 ⇒ x = 25 , (x − 1) = 0 ⇒ x = 1. Svar: x1 = 0, x2 = 2, 5, x3 = 1 (5 + x)(2x − 3)(3x + 6) = 0. S¨att varje faktor = 0 och l¨os ut r¨otterna: (5 + x) = 0 ⇒ x = −5, (2x − 3) = 0 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 23 , (3x + 6) = 0 ⇒ 3x = −6 ⇒ x = −2. Svar: x1 = −5, x2 = 1, 5, x3 = −2 10x − 0, 1x2 = 0 ⇒ x(10 − 0, 1x) = 0. L¨os f¨or varje faktor = 0: x = 0 ses direkt, (10 − 0, 1x) = 0 ⇒ 10 = 0, 1x ⇒ x = 100. Svar: x1 = 0, x2 = 100 0, 8x2 + x = 0 ⇒ x(0, 8x + 1) = 0. L¨os f¨or varje faktor = 0: x = 0 ses direkt, (0, 8x + 1) = 0 ⇒ 0, 8x = −1 ⇒ x = −1, 25. Svar: x1 = 0, x2 = −1, 25 Svar: T.ex. x(x − 5) = 0. Vi ser att x = 0 och x = 5 ¨ar r¨otterna till ekvationen. Svar: T.ex. (x + 3)(x − 1) = 0. Vi ser att x = −3 och x = 1 ¨ar r¨otterna till ekvationen. Svar: T.ex. x(x − 9)(x + 0, 25) = 0. Vi ser att x = 9, x = −0, 25 och x = 0 ¨ar r¨otterna till ekvationen. x2 − 9 = 0 ⇒ (x + 3)(x − 3) = 0. (x + 3) = 0 ⇒ x = −3, (x − 3) = 0 ⇒ x = 3. Svar: x1 = −3, x2 = 3 x2 − 121 = 0 ⇒ (x + 11)(x − 11) = 0. (x + 11) = 0 ⇒ x = −11, (x − 11) = 0 ⇒ x = 11. Svar: x1 = −11, x2 = 11
1100a
1100b
1101a
1101b
1102a
1102b
1103a
1103b
1104a
4(3−x)(2x+9) = 0 ⇒ (3−x)(2x+9) = 0. (3 − x) = 0 ⇒ x = 3, (2x + 9) = 0 ⇒ 2x = −9 ⇒ x = −4, 5. Svar: x1 = 3, x2 = −4, 5 x(2x + 7)(5x − 2) = 0. Vi ser direkt att en rot a ¨r x = 0. (2x + 7) = 0 ⇒ 2x = −7 ⇒ x = −3, 5, (5x − 2) = 0 ⇒ 5x = 2 ⇒ x = 0, 4. Svar: x1 = 0, x2 = 0, 4, x3 = −3, 5 2x2 = 4x ⇒ 2x2 −4x = 0 ⇒ x(2x−4) = 0. En rot a ¨r x = 0. (2x − 4) = 0 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2. Svar: x1 = 0, x2 = 2 x3 = 4x ⇒ x3 − 4x = 0 ⇒ x(x2 − 4) = 0. En rot ¨ ar x = 0. √ 2 (x − 4) = 0 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = ± 4 ⇒ x = ±2. Svar: x1 = 0, x2 = 2, x3 = −2 x3 + 4x = 0 ⇒ x(x2 + 4). En rot a ¨r x = 0. (x2 + 4) = 0 ⇒ x2 = −4, men denna ekvation saknar l¨ osning. x = 0 a ¨r d¨arf¨or den enda reella l¨ osningen till ekvationen. Svar: x = 0 3x3 = 27x ⇒ 3x3 − 27x = 0 ⇒ 3x(x2 − 9) = 0 ⇒ 3x(x + 3)(x − 3) = 0. En rot a ¨r x = 0. (x + 3) = 0 ⇒ x = −3, (x − 3) = 0 ⇒ x = 3. Svar: x1 = 0, x2 = −3, x3 = 3 x3 +12x2 +36x = 0 ⇒ x(x2 +12x+36) = 0. En rot ¨ ar x = 0. x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ x = − 12 2 ± q √ 2 ( 12 36 − 36 ⇒ 2 ) − 36 ⇒ x = −6 ± x = −6, vilket ¨ ar en dubbelrot. Svar: x1 = 0, x2 = −6, x3 = −6 x3 −10x2 +25x = 0 ⇒ x(x2 −10x+25) = 0. En rot ¨ ar x = 0. De andra tv˚ a ges av ± (x2 − 10x + 25) = 0 ⇒ x = − (−10) 2 q √ (−10) 2 ( 2 ) − 25 ⇒ x = 5 ± 25 − 25 (dubbelrot). Svar: x1 = 0, x2 = x3 = 5 3
3
1104b
1105
Enklast a¨r att teckna en ekvation med tre faktorer. Svar: T.ex. x(x − 4)(x + 21 ) = 0.
1106
Ekvationen a¨r inte l¨ost p˚ a r¨att s¨att. Ekvationen hade haft l¨osningarna x1 = −3 och x2 = 2 om det hade st˚ att en nolla i h¨ogerledet. Multiplicera parenteserna och l¨os andragradsfunktionen: (x + 3)(2 − x) = 1 ⇒ 2x − x2 + 6 − 3x = 1 ⇒ −x2 − q x + 6 = 1 ⇒ x2 + x − 5 = 0 ⇒ x = − 21 ± ( 12 )2 − (−5) ⇒ x = −0, 5 ± √ 5, 25 ⇒ x1 ≈ 1, 79 x2 ≈ −2, 79
1107
2x2 − 12x − 14 ⇒ 2(x2 − 6x − 7). S¨att uttrycket inom parentes lika med noll: x2 − 6x − 7 = 0 ⇒ x = − −6 2 ± q √ 6 2 ( 2 ) − (−7) ⇒ x = 3 ± 9 + 7 ⇒ x = 3 ± 4 ⇒ x1 = 7 x2 = −1. Detta medf¨or att: 2(x2 − 6x − 7) = 2(x − 7)(x + 1)
1108
Ekvationer av typen (x + a)2 = 0, d¨ar a ¨ar ett reellt tal, har en dubbelrot. Ekvationer p˚ a formen x(x+a)2 = 0, d¨ar a ¨ar ett reellt tal, har en dubbelrot och en tredje rot som ¨ar noll. Svar: T.ex. x(x + 5)2 = 0.
1109
f (2a) = 1 ⇒ (2a)2 +3·2a+1 = 1 ⇒ 4a2 + 2 6a = 0 ⇒ 2(2a2 + 3a) = 0 ⇒ 2a q + 3a = 3 0 ⇒ a2 + 23 a = 0 ⇒ a = − 2·2 ±
a = − 43 ±
13
3 4
3 2 ( 2·2 ) ⇒
⇒ a1 = 0 a2 = − 23 = −1, 5
F¨ orkorta rationella uttryck 1110
2
32x = 2x ⇒ 2x − 32x = 0 ⇒ x(2x − 32) = 0. En rot ¨ ar x = 0. De andra tv˚ a ges av (2x2 − 32) = 0 ⇒ 2x2 = 32 ⇒ x2 = 16 ⇒ x = ±4.
Svar: x1 = 0, x2 = 4, x3 = −4 x3 = x2 − 0, 25x ⇒ x3 − x2 + 0, 25x = 0 ⇒ x(x2 − x + 0, 25). En rot ¨ar x = 0. x2 − x + 0, 25 = 0 ⇒ (x − 0, 5)2 = 0 ⇒ x = 0, 5, vilket a¨r en dubbelrot. Svar: x1 = 0, x2 = 0, 5, x3 = 0, 5
a b c
N¨amnaren f˚ ar inte vara noll. S¨att d¨arf¨or n¨amnaren ej lika med noll och l¨os ut x. (x − 5) 6= 0 ⇒ x 6= 5 (2x − 3) 6= 0 ⇒ 2x 6= 3 ⇒ x 6= 1, 5 (x + 2) 6= 0 ⇒ x 6= −2
1111
a b c
1112a 1112b
1112c
1113a 1113b 1113c
1114a 1114b 1114c 1115a 1115b 1115c
Om n¨ amnaren ¨ ar lika med noll ¨ar uttrycket ej definierat. S¨ att in x = 3 i n¨amnaren och prova. (x + 3): (3 + 3) = 6 6= 0. x: 3 6= 0 x a¨r (2x − 6): (2 · 3 − 6) = 0, uttrycket 2x−6 s˚ aledes ej definierat f¨ or x = 3. (2x + 1) = 0 ⇒ 2x = −1 ⇒ x = −0, 5 (x − 3)(x + 2) = 0. L¨ os f¨or varje faktor f¨or sig: (x − 3) = 0 ⇒ x = 3, (x + 2) = 0 ⇒ x = −2. Svar: Uttrycket a¨r ej definierat f¨ or x = 3 och x = −2. (x2 − 9x) = 0 ⇒ x(x − 9) = 0. x = 0 a¨r ett v¨ arde d˚ a uttrycket ej ¨ar definierat. Det andra ges av (x − 9) = 0 ⇒ x = 9. Svar: Uttrycket ¨ ar ej definierat f¨or x = 0 och x = 9.
1118a 1118b 1118c
1116b 1116c
1117a 1117b 1117c
+1 y
I forts¨attningen kommer termer som f¨orkortas bort inte att markeras med aknar sj¨alv p˚ a ¨overstrykningar. N¨ar man r¨ papper ¨ar det dock alltid en god id´e att stryka ¨over f¨orkortade termer. 1119a 1119b 1119c 1020a 1020b 1020c
2x(x−2) 2x2 −4x x−2 = (x−2) = 2x 3y(x−2) 3xy−6y 3(x−2) = 3(x−2) = y 2 2 a b+ab = ab(a+b) = ab a+b a+b 4x 4x 1 = = 2 4x −8x 4x(x−2) x−2 2 2y(x−2y) 2xy−4y 2y x2 −2xy = x(x−2y) = x 2 6a(a+b) 6a +6ab 6a 6 a2 b+ab2 = ab(a+b) = ab = b
2
x x−6
ar inte definierat f¨or x = 6. ¨ x2 Svar: T.ex. x−6 2x+1 ar inte definierat f¨or x = 0. Svar: ¨ x T.ex. 2x+1 x Kvadraten av b˚ ade 5 och −5 ¨ar lika med 25. x2x+1 ar inte definierat f¨or x = ±5. 2 −25 ¨ Svar: T.ex. x2x+1 2 −25 15x2 5x·3x 5x·3x = 3x 5x = 5x = 5x xy·3y xy·3y 3xy 2 = = xy xy xy = 3y 4x(2x−2) 8x(x−1) 2x−2) = 4x( 2(x−1) = 2x−2 2x−2
1121
Ett rationellt uttryck ¨ar inte definierat d˚ a n¨amnaren ¨ar lika med 0. 2 4x2 − 8x √ = 0 ⇒ x − 2x = 0 ⇒ x = −2 2 − 2 ± 1 ⇒ x = 1±1 ⇒ x1 = 2 x2 = 0. Svar: x1 = 2 och x2 = 2
1122a
ab2 ab·b b ab2 +a2 b = ab(b+a) = b+a 5(a−b) 5a−5b 10a2 −10ab = 5a(2a−2b) (a−b) 1 2a(a−b) = 2a
1122b 1122c = 4x
3 ·2x 6x2 y 3 3xy 3 ·2x 3xy 2x 3 ·y = y 3xy 4 = 3xy 3 ·y = 3xy =a 5a2 b 5ab·a 5ab·a 15ab = 5ab·3 = 3 5ab·3 3 p4 r 2 t 3 pr 2 t3 ·p3 pr 2 t3 ·p3 = pr2 = = pr 4 t3 pr 2 t3 ·r 2 pr 2 t3 ·r 2 a(2a+b) = a(2a+b) = 2a + a a 2x 2x (y+3) 2x(y+3) = y y(y+3) = y (y+3) 2 4x2 (x−5) (x−5) = 4x (x−5) 2x(x−5) 2x (2x)(2x) = 2x (2x)
1123a 1123b
b =
3(x−2) 3( x−2) 3x−6 =3 x−2 = x−2 = x−2 2(x+3) 2( x+3) 2x+6 =2 x+3 = x+3 = x+3 5x+15 = 5(x+3) = 5(x+3) =x 5 5 5
1123c (2x)(2x) 2x
=
(a−b) a(2a−2b)
=
Stryk parenteserna mot varandra direkt ist¨allet f¨or att utveckla dem: 9(2x−3)2 (3x+1) 3(2x−3)2 (3x+1) = = 12(3x+1)2 (2x−3) 4(3x+1)2 (2x−3) 3(2x−3) 4(3x+1)
1116a
ab+b = b(a+1) = b(a+1) =a+1 b b b 2x(y+1) 2x(y+1) 2xy+2x = 2x = 2x = y 2x x2 −xy = x(x−y) = x(x−y) =x− x x x
=
1124a 1124b
1124c
+3
14
8(3x+5)2 2(3x+5) = 2(3x+5) 12(3x+5) = 3 3 9(2x2 +x) 18x2 +9x 9 3 12x3 +6x2 = 6x(2x2 +x) = 6x = 2x (4x−8)(2x+5)2 4(x−2)(2x+5)2 2(2x+5) (4x+10)(x−2)2 = 2(2x+5)(x−2)2 = (x−2)
12(3x + 5) = 0 ⇒ 3x + 5 = 0 ⇒ 3x = −5 ⇒ x = − 53 12x3 + 6x2 = 0 ⇒ x2 (12x + 6) = 0. En rot (dubbelrot) ¨ar x = 0. Den andra ges av 12x + 6 = 0 ⇒ 12x = −6 ⇒ x = −0, 5. Svar: x = 0, x = −0, 5 (4x + 10)(x − 2)2 = 0. En rot (dubbelrot) ¨ar x = 2, den andra ges av (4x + 10) = 0 ⇒ 4x = −10 ⇒ x = −2, 5.
M-seriens lösningsböcker innehåller fullständiga lösningar till kursböckernas uppgifter. Böckerna är tänkta att underlätta självstudier och förbättra förståelsen för hur man löser matematiska problem.
Best.nr 47-10496-3 Tryck.nr 47-10496-3