Denna nya upplaga av Exponent 1b har förbättrats på flera punkter utifrån de synpunkter som kommit från elever och lärare. Även de nya direktiven i ämnesplanen om att använda digitala hjälpmedel har påverkat innehållet. Detta avspeglas i helt nyskrivna avsnitt, bland annat hur ränteberäkningar används i kalkylprogram. Exponent finns för alla kurser och alla program i gymnasieskolan och 1b tillhör den gula serien. ■ ■
Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teorigenomgångar, interaktiva laborationer, självrättande tester och prov m.m. Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material. Exponent finns även som digitalt läromedel för både lärare och elever, där allt material som finns i den tryckta boken och på webben finns samlat i en produkt. Gå gärna in på www.gleerups.se om du vill veta mer.
exponent
1b
GENNOW GUSTAFSSON SILBORN
y
exponent 1b
■
Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4, 5)
GENNOW GUSTAFSSON SILBORN
exponent
1b
MATEMATIK FÖR GYMNASIET
6
1
5 4
3
3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1
Författare till Exponent 1b är Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson och Bo Silborn. Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på gymnasienivå.
1
2
3
4
5
6
x
–2 ISBN: 978-91-40-69666-3
9 789140 696663
–3 –4
2
–5 40696663_e1b_omslag.indd Alla sidor
2017-06-30 07:43
INNEHÅLL 1
Taluppfattning 8
Tal i olika sammanhang, 8
1.0 Repetition av grundläggande begrepp 10 De fyra räknesätten, 10 Heltal, 11 Rationella tal, 14 Reella tal, 20
1.1 Heltal 26 Primtal och delbarhet, 27 Delbarhetsregler, 29 Problemlösning, 31
1.2 Reella tal 34 Potensform, 37 Räkneregler för potenser med heltalsexponenter, 37 Potenser med negativ bas och rationell bas, 42 Problemlösning, 43 Storheter, mätetal, enheter och gällande siffror, 44
1.3 Talsystem 49 Det decimala talsystemet, 49 Binära talsystemet, 50 Andra baser, 52
2
Algebra 62
2.2 Linjära ekvationer och olikheter 80 Linjära ekvationer, 80 Ekvationer med parenteser, 83 Ekvationer med variabelterm i båda leden, 86 Problemlösning, 90 Linjära olikheter, 93
2.3 Potensekvationer 99 Kvadratrötter och andragradsekvation, 99 Kubikrötter och tredjegradsekvation, 103 Potensekvation, 105 Mer om potensekvationer, 107
3
Geometri 118
Geometri i olika sammanhang, 119
3.0 Repetition av grundläggande begrepp 120 Omkrets och area, 120 Fyrhörningar och trianglar, 121 Andra månghörningar, 122 Cirkeln, 124 Volymenheter, 125 Formler för volym, 126 Pyramid, kon och klot, 128
3.1 Symmetrier 130
Algebra i olika sammanhang, 63
Symmetriska transformationer av figurer i planet, 132
2.0 Repetition av grundläggande begrepp 64
3.2 Symmetri och geometri i natur och konst 135
Uttryck och formler, 64 Ekvationer, 66
Mosaik, 137 Gyllene snittet, 139
2.1 Algebraiska uttryck 71
3.3 Argumentation, definition, axiom, sats och bevis 142
Formulera uttryck och formler, 75
Definition, axiom, sats och bevis, 142 Implikation och ekvivalens, 145 Pythagoras sats, 146
6
innehåll
40696663_e1b.indb 6
2017-06-30 07:34
4
Procent 156
Procenträkning i olika sammanhang, 157
4.0 Repetition och grundläggande procenträkning 158 Procent-, bråk- och decimalform, 158 Andelen, delen och hela mängden, 159 Procentenheter, 157
4.1 Promille, ppm och procentenheter 162 Promille och ppm, 162 Procentenheter, 165
4.2 Förändringsfaktor – procentuell förändring 167
5.2 Egenskaper hos olika typer av funktioner 228 Linjära funktioner, 228 Potensfunktioner, 235 Grafisk lösning av linjära ekvationer, olikheter och potensekvationer, 237 Exponentialfunktioner, 239
Sannolikhetslära och statistik 256 6
Sannolikhetsberäkningar inom olika ämnesområden, 257
Upprepad förändring, 172
6.0 Begrepp och enkla slumpförsök 258
4.3 Index 175
6.1 Relativa frekvenser 263
Konsumentprisindex, 178 Fasta priser*, 182
Spelet ”Kasta gris”, 263
4.4 Lån 175
Försök i två steg med likformig sannolikhetsfördelning, 266 Träddiagram, 270 Komplementhändelse, 274 Försök i många steg, 278 Mer om multiplikationsprincipen och riskbedömningar, 282
Avbetalningsköp och krediter, 185 Lån, räntor och amorteringar, 188 Räntor och amorteringar med kalkylprogram, 191 Effektiv ränta*, 197
5
Funktioner 210
Funktioner i olika sammanhang, 211
5.0 Repetition 212 Koordinatsystemet, 212 Koordinataxlarnas gradering och avläsning i en graf, 214
5.1 Vad är en funktion? 216
6.2 Oberoende händelser 266
6.3 Beroende händelser 284 6.4 Statistik 288 Tips 310 Facit 312 Register, 349 Bildförteckning, 351
Funktionsbegreppet, 216 Olika sätt att beskriva funktioner, 219 Definitionsmängd och värdemängd, 224
innehåll
40696663_e1b.indb 7
7
2017-06-30 07:34
Teorigenomgång
4.4 Lån
Penningmarknaden är en djungel fylld av seriösa och oseriösa aktörer. Man möter erbjudanden om lån, krediter och avbetalningsköp i en mängd sammanhang. Numera kan man skicka ett SMS till ett kreditinstitut för att få ett snabbt lån. Att kostnaden för att sådant lån ofta överstiger en effektiv årsränta på 1 000 % nämns inte alltid (begreppet effektiv ränta förklaras senare i detta avnitt). Många har blivit lurade och hamnat i avbetalningsfällor som de inte klarar av. I Sverige tvingas åtskilliga privatpersoner gå i personlig konkurs för att sanera sin ekonomi. För att undvika att bli lurad är det viktigt att få en inblick i lånemarknaden och dess villkor. Vad kostar det att låna pengar, att köpa på avbetalning eller att använda krediter? Hur påverkar lånevillkoren kostnaderna? Förhoppningsvis kan dessa frågor få sina svar här.
Avbetalningsköp och krediter Det är vanligt med erbjudanden om att köpa varor på avbetalning. Man får göra ett antal delbetalningar istället för att betala hela summan vid köptillfället. I praktiken innebär det att man får låna pengar via ett konto hos en bank som företaget samarbetar med. För att visa ett exempel på hur ett sådant erbjudande kan se ut presenteras här information från ett dataföretag hämtat från deras hemsida på Internet:
Lånebelopp
3 000 kr
5 000 kr
10 000 kr
Månadsbelopp vid 24 månader
190 kr
290 kr
542 kr
Månadsbelopp vid 36 månader
175 kr
217 kr
399 kr
Välj mellan 24 eller 36 månaders återbetalningstid. Uppläggningsavgiften på 245 kr debiteras kontot och ingår i månadsbeloppet. Aviavgiften är 25 kronor per månad. Aktuell årsränta är 17,5 %. Två betalningsfria månader per kalenderår.
Samtidigt tar en av våra större banker, enligt uppgifter på bankens hemsida, 8 % ränta och inga aviavgifter för ett vanligt kundlån. Uppgifterna i följande två exempel är hämtade från ett större företag och en stor bank i Sverige.
k apitel 4 ; procent
40696663_e1b.indb 185
185
2017-06-30 07:38
Avbetalningsköp Marcela köper datatillbehör för 3 000 kr. Hon väljer delbetalningar enligt villkoren ovan. a) Vad blir hennes totala kostnad om hon väljer 24 månaders återbetalningstid? b) Vad blir hennes totala kostnad om hon väljer 36 månaders återbetalningstid? c) Hur mycket dyrare blir det procentuellt att avbetala på 36 månader än att köpa kontant? lösning: a) Två betalningsfria månader per år innebär att 20 inbetalningar görs på två år. Varje månad betalar hon 190 kr samt en aviavgift på 25 kr, totalt 215 kr. Total kostnad: 20 · 215 kr = 4 300 kr b) Två betalningsfria månader per år innebär att 30 inbetalningar görs på tre år. Varje månad betalar hon 175 kr samt en aviavgift på 25 kr, totalt 200 kr. Total kostnad: 30 · 200 kr = 6 000 kr c) Avbetalning: 6 000 kr Kontant: 3 000 kr 6000 kr =2 Förändringsfaktor: 3000 kr Det blir dubbelt så dyrt eller 100 % dyrare. svar: a) 4 300 kr
b) 6 000 kr
c) Det blir 100 % dyrare.
Ett annat sätt att skjuta upp betalningar är att handla på kredit. Man kan få kreditkort hos både företag och banker. Det innebär att man kan ha en skuld på sitt kreditkonto och att man kontinuerligt betalar ränta på den aktuella skulden. Ofta har man i storleksordningen en månad på sig att reglera nya skulder innan man börjar betala ränta på dem. Räntor på krediter är vanligtvis betydligt högre än räntor på andra banklån.
Kreditkort Mio jämför kreditlån med ett vanligt banklån på 40 000 kr. För kreditlån är årsräntesatsen 22,24 % och han räknar med att utnyttja 75 % av krediten. För vanligt banklån är årsräntesatsen 8 %. Hur mycket dyrare blir det att ta ett kreditlån i jämförelse med ett vanligt banklån under ett år? (Räntesatserna är hämtade från en bank vid samma tillfälle.) lösning: Medelskuldbelopp: 75 % av 40 000 kr = 0,75 · 40 000 kr = 30 000 kr Räntekostnad för ett år med 22,24 % ränta: 0,2224 · 30 000 kr = 6 672 kr Räntekostnad för 40 000 kr under ett år med 8 % ränta: 0,08 · 40 000 kr = 3 200 kr Skillnad: 6 672 kr – 3 200 kr = 3 472 kr svar: Det kostar 3 472 kr mer att handla på kredit (eller mer än dubbelt så mycket i ränta).
186
k apitel 4 ; procent
40696663_e1b.indb 186
2017-06-30 07:38
· begrepp och procedur
öva i 4097
4098
En TV säljs på avbetalning för 433 kr/månad i fem år. a) Vad blir den totala kostnaden? b) Samma TV kostar 16 799 kr kontant. Hur mycket dyrare procentuellt är avbetalningsköpet än kontant?
Ett vitvaruföretag gav följande erbjudande: Köp ett nytt kylskåp för 7 200 kr på avbetalning till samma pris som kontant! Betala endast 200 kr/månad i 36 månader! Aviavgift: 40 kr. Aviavgiften betalas tillsammans med avbetalningen varje månad. a) Blir den sammanlagda kostnaden vid avbetalning samma som vid kontantköp? b) Om inte, hur mycket dyrare procentuellt är det att handla på avbetalning än att handla kontant?
öva ii 4099
- En uppläggningsavgift, som betalas en gång per köp.
·
flera förmågor
Vid köp hos ett teknikföretag på nätet, kan två typer av kostnader tillkomma om man väljer att göra avbetalningar en gång i månaden.
- En administrationsavgift, som betalas en gång per avbetalning och månad. Följande villkor ges på företagets hemsida: Tid 1 mån 3 mån 12mån Uppläggningsavgift 0 kr 195 kr 295 kr Administrationsavgift 0 kr 29 kr 29 kr Saga tänker handla lite varor och vill veta svaren på följande frågor. a) Vad blir den sammanlagda kostnaden för en TV som kostar 6 000 kr om hon väljer tolv månaders avbetalning? b) Hur mycket dyrare procentuellt blir det för Saga att köpa en telefon för 600 kr om hon väljer att betala av den på tre månader istället för att betala inom en månad?
* 4100
En kredit på 10 000 kr har månadsräntesatsen 1,5 %. a) Hur stor blir månadsräntan om krediten utnyttjas maximalt? b) Vad blir månadskostnaden om krediten i medelvärde utnyttjas till 60%?
* 4101
Emilia vill ansöka om en kredit med årsräntesatsen 22,5 %. Hon tror sig ha råd att betala 150 kr i ränta varje månad. a) Vilket kreditbelopp bör hon högst ansöka om? b) Hur stort banklån med årsräntesatsen 6 % kan hon ta för att få samma räntekostnad?
* 4102
Axel har en kredit med månadsräntesatsen 1,8 %. Under en månad är Axels skuld 7 800 kr i 15 dagar, 8 800 kr i tio dagar och 9 500 kr i fem dagar. Hur stor blir räntekostnaden den månaden? T
k apitel 4 ; procent
40696663_e1b.indb 187
187
2017-06-30 07:38
Lån, räntor och amorteringar När man lånar pengar finns det några begrepp som är viktiga att känna till. Årsräntesats
Den procentuella kostnaden för att låna pengar under ett år.
Fast ränta
Räntesatsen låses under en tid, t.ex. fem år, och kan inte ändras av lånegivaren under denna tid.
Rörlig ränta
Räntesatsen kan korrigeras av lånegivaren kontinuerligt.
Amortering
En återbetalning av en del eller av hela lånebeloppet. Vanligtvis amorteras lån varje månad enligt en överenskommen plan med banken.
Rak amortering
Amorteringsbeloppet är konstant. Det innebär att den totala omkostnaden för ett lån successivt minskar eftersom räntekostnaden minskar efterhand som lånet betalas av.
Serieamortering
Amorteringarna är lägre i början då räntekostnaden är högst. Efterhand som räntekostnaden avtar ökar amorteringarna så att den totala kostnaden är konstant. Ett sådant lån brukar kallas annuitetslån.
Skattereduktion
Om man har en inkomst och därmed betalar skatt får man dra av en del av sina räntekostnader på den skatt man ska betala. I praktiken blir därför räntesatsen mindre än den angivna.
Kostnader för ett banklån Linn lånar 180 000 kr för att kunna köpa en bil. Lånet löper på 10 år och ska amorteras med lika mycket varje månad. Årsräntan är 7,2 % och ränta inbetalas varje månad. a) Hur stor blir den första inbetalningen om den sker efter precis en månad? b) Hur stor blir den sista inbetalningen? lösning: a) Tid: 10 år = 10 · 12 mån = 120 mån 180000 kr = 1 500 kr Amortering per månad: 120 7,2 % Månadsräntesats = = 0,60 % 12 Räntekostnad den första månaden: 0,0060 · 180 000 kr = 1 080 kr Inbetalning den första månaden: 1 500 kr + 1 080 kr = 2 580 kr b) Av skulden återstår 1 500 kr vid den sista inbetalningen. Räntekostnad den sista månaden: 0,0060 · 1 500 kr = 9 kr Inbetalning den sista månaden: 1 500 kr + 9 kr = 1 509 kr svar: a) Den första inbetalningen blir 2 580 kr
188
b) Den sista inbetalningen blir 1 509 kr
k apitel 4 ; procent
40696663_e1b.indb 188
2017-06-30 07:38
Räntekostnad efter skattereduktion Eftersom Linn arbetar och betalar skatt är hennes verkliga räntekostnad mindre än den som beräknades i föregående exempel. Hon får nämligen dra av 30 % av räntekostnaderna på sin inkomstskatt. a) Hur stor är hennes verkliga räntekostnad vid den första inbetalningen? b) Hur stor är årsräntesatsen om man tar hänsyn till skattereduktionen? lösning: a) Räntekostnad enligt föregående exempel: 1 080 kr 30 % av kostnaden dras av på skatten så Linn betalar i praktiken 70 % av räntan: 0,70 · 1 080 kr = 756 kr b) På grund av skatteavdraget motsvarar den verkliga räntesatsen 70 % av den angivna. Årsräntesats efter skattereduktion: 0,70 · 7,2 % = 5,04 % svar: a) Verklig räntekostnad är 756 kr
öva i 4103
· begrepp och procedur
b) Årsräntesats efter skattereduktion är 5,04 %
4105
Tom lånade 100 000 kr till en jordenrunt-resa. Han fick lånet till årsräntesatsen 6,4 % och med villkoret att betala ränta och amortering en gång per kvartal i tio år. Den första inbetalningen görs efter ett kvartal. a) Hur stor blev Toms första inbetalning? b) Hur stor blev Toms sista inbetalning då det gått tio år?
* 4106
Marie köpte en segelbåt och tog därför ett lån med följande villkor: Belopp. 180 000 kr Tid: 10 år Amortering: En gång per månad Årsräntesats: 5,4 % a) Hur stora blev amorteringarna? b) Marie får dra av 30 % av räntekostnaderna på sin skatt. Bestäm räntekostnaden vid den inbetalning som Marie gör då halva skulden återstår efter en skattereduktion på 30 %.
Pelle lånade 60 000 kr med följande villkor: Tid: 5 år Amortering: En gång per månad Årsräntesats: 6 % a) Bestäm amorteringarnas storlek. b) Hur stor blev räntekostnaden den första månaden?
4104
Maj-Britt tog ett lån för att köpa en villa med följande villkor: Belopp. 2 400 000 kr Tid: 40 år Amortering: En gång per månad Årsräntesats: 4,8 % Hur stor blir den första inbetalningen om det ingår både amortering och räntekostnad?
k apitel 4 ; procent
40696663_e1b.indb 189
189
2017-06-30 07:38
öva ii
· flera förmågor
* 4107
Ida lånade pengar för att kunna studera utomlands. Lånet skulle återbetalas kvartalsvis inom 15 år. Hon fick sitt första inbetalningsbesked från banken med inbetalningsdag tre månader efter att hon fått sitt lån. Hon läste där att hon skulle betala 1 200 kr i amortering och 900 kr i ränta. a) Beräkna lånets storlek. b) Beräkna årsräntesatsen för lånet.
** 4108
Jonas tog ett lån på 20 000 kr som skulle betalas av på ett år med en inbetalning per kvartal. Årsräntesatsen var 8,0 %. Vad blev den sammanlagda räntekostnaden för lånet efter korrektion för skattereduktion med 30 % av inbetalad ränta?
** 4109
Victor fick ett amorteringsfritt lån på 10 000 kr. Årsräntesatsen var 12 %. Han hade ett speciellt avtal med banken. Det innebar att han inte betalade månadsränta utan att skulden istället räknades upp med en procent (månadsräntesatsen) varje månad. a) Hur stor var skulden efter en månad? b) Hur stor var skulden efter två månader? c) Hur stor var skulden efter ett år? d) Hur mycket hade skulden ökat procentuellt under ett år? e) Den procentuella skuldökningen under ett år kallas effektiv årsränta. Hur stor hade den effektiva årsräntan blivit om årsräntesatsen var 24 %? T
utmaning årsränta En skuld räknas varje månad under ett år upp med samma procentuella värde, vilket är en tolftedel av årsräntesatsen. Den effektiva årsräntan, som motsvarar den sammanlagda procentuella skulduppräkningen på ett år, är 12 %. Vad är årsräntesatsen?
40696663_e1b.indb 190
1 3 5 6
2017-06-30 07:38
Räntor och amorteringar med kalkylprogram Ett utmärkt hjälpmedel för att få en bra överblick över lånekostnader är ett kalkylprogram. Det finns gott om gratisprogram på nätet som kan vara till hjälp. Det finns även mer avancerade program som kostar en del. Vi ska visa hur beräkningar av räntor och amorteringar kan göras med hjälp av GeoGebra och Excel. För våra exempel är dessa program precis lika användbara.
Exempel: Lån med en inbetalning per år (GeoGebra kalkylprogram) Ett lån tecknas med följande förutsättningar: Lånebelopp: 10 000 kr Amortering: 1 000 kr per år Räntesats: 5 % Räntekostnader och amortering betalas en gång per år med den första inbetalningen efter ett år. Bestäm hela det inbetalade beloppet för amorteringar och ränta efter tio år. lösning: Vi skapar ett kalkylblad genom att göra följande inmatningar och åtgärder:
Vi matar först in lämpliga rubriker och justerar kolumnbredder så att hela texten syns. Vi matar därefter in värdena 1, 10 000 och 1000 i cellerna A2, B2 och C2. Resterande celler ska fyllas med beräknade värden. Detta gör vi med hjälp av formler som matas in enligt följande: k apitel 4 ; procent
40696663_e1b.indb 191
191
2017-06-30 07:38
Cell
Inmatning
Förklaring
D2
0.05B2
Beräknar 0,05 · B2 = 0,05 · 10 000 = 500.
E2
C2+D2
Beräknar C2 + D2 = 1 000 + 500 = 1 500.
F2
B2–C2
Beräknar B2 – C2 = 10 000 – 1 000 = 9 000.
A3
A2+1
Beräknar A1 + 1 = 1 + 1 = 2.
B3
B2–C2
Beräknar B2 – C2 = 10 000 – 1 000 = 9 000.
C13
Summa(C2:C11)
Summerar värdena i cellerna C2 - C11.
D13
Summa(D2:D11)
Summerar värdena i cellerna D2 - D11.
E13
Summa(E2:E11)
Summerar värdena i cellerna E2 - E11.
För att fylla resterande celler med motsvarande formler krävs följande: 1. Markera först en cell som innehåller en formel (t.ex. cell B3). 2. Placera pekaren på punkten i cellens nedre högra hörn (se cell B3 i figuren). 3. Dra punkten nedåt till dess den sista cellen nås (cell B11). Om cell B3 innehåller formeln B2 – C2, kommer nu cell B4 innehålla formeln B3 – C3, cell B5 formeln B4 – C4, o.s.v. Motsvarande kopieringar sker genom att dra nedåt i punkterna hos cellerna C2, D2, E2, F2 och A3. Det finns en viss valfrihet vid inmatning av formler. I GeoGebra kan exempelvis inmatningen i cell D2, 0.05B2 ersättas av 0.05*B2, = 0.05B2, 5%B2 eller någon kombination av dessa varianter. Däremot måste det vara en punkt och inte ett kommatecken i talet 0.05.
svar: Summan blir 12 750 kr.
Exempel: Lån med en inbetalning per månad (Excel kalkylprogram) Ett lån tecknas med följande förutsättningar: Lånebelopp: 24 000 kr Amortering: 2 000 kr per månad Räntesats: 6 % per år Räntekostnader och amortering betalas en gång per månad med första inbetalningen efter en månad. Bestäm medelvärdet av alla inbetalningar när lånet helt har betalats. lösning: Eftersom räntan betalas månadsvis börjar vi med att räkna ut månadsräntesatsen: 6% = 0,5 % 12
192
40696663_e1b.indb 192
2017-06-30 07:38
Den här gången ska vi skapa ett kalkylblad som gör det lätt att ändra både lånets förutsättningar och frågeställningen utan att behöva göra om kalkylbladet. Vårt kalkylblad får därför ett lite annorlunda utseende än i föregående exempel.
I cellerna B1-B3 matar vi in lånets förutsättningar, där räntesatsen kan anges som 0,5 % eller 0,005. Om vi vill använda samma kalkylblad för beräkningar av andra lån, räcker det att ändra dessa uppgifter. Då görs alla beräkningar automatiskt om med dessa nya värden. Därefter matar vi in värdet 1 i cell A6 förutom lämpliga rubriker. Resterande celler ska fyllas med formler som matas in enligt följande: Cell
Inmatning
Förklaring
B6
=B1
Placerar innehållet i cell B1 här.
C6
=$B$2
Placerar innehållet i cell B2 här.
D6
=$B$3*B6
Beräknar B3 · B6 = 0,005 · 24 000 = 120.
E6
=C6+D6
Beräknar C6 + D6 = 2 000 + 120 = 2 120.
F6
=B6–C6
Beräknar B6 – C6 = 24 000 – 2 000 = 22 000.
A7
=A6+1
Beräknar A6 + 1 = 1 + 1 = 2.
B7
=B6–C6
Beräknar B6 – C6 = 24 000 – 2 000 = 22 000.
C18
=SUMMA(C6:C17)
Summerar värdena i cellerna C6 – C17.
D18
=SUMMA (D6:D17)
Summerar värdena i cellerna D6 – D17.
E18
=SUMMA (E6:E17)
Summerar värdena i cellerna E6 – E17.
C19
=MEDEL(C6:C17)
Beräknar medelvärdet av värdena i cellerna C6 – C17.
D19
=MEDEL(D6:D17)
Beräknar medelvärdet av värdena i cellerna D6 – D17.
E19
=MEDEL(E6:E17)
Beräknar medelvärdet av värdena i cellerna E6 – E17. k apitel 4 ; procent
40696663_e1b.indb 193
193
2017-06-30 07:38
Då formler kopieras från en cell till en annan, ändras normalt innehållet i formlerna automatiskt (se föregående exempel). I det här kalkylbladet vill vi emellertid att referenser till cellerna B2 och B3 inte ska förändras då vi kopierar formler. Vi använder därför så kallade fasta referenser. Detta åstadkommer vi genom att lägga till $-tecknet både framför bokstaven och talet. Det innebär att B2 skrives $B$2. På så sätt ändras varken kolumnen eller raden vid kopiering. Formlerna refererar då alltid till cellen B2 även då de har åstadkommits genom kopiering. För att fylla resterande celler med motsvarande formler gör vi på samma sätt som i föregående exempel: 1. Markera en cell som innehåller en formel (t.ex. cell D6). 2. Placera pekaren på punkten i cellens nedre högra hörn. 3. Dra punkten nedåt till dess den sista cellen nås (cell D20). Om cell D6 innehåller formeln =$B$3*B6, kommer nu cell D7 innehålla formeln =$B$3*B7, cell D8 formeln =$B$3*B8, o.s.v. Cellen B3 används i samtliga celler medan B6 förändras successivt. Resterande formler kopieras på motsvarande sätt. Vi låter kalkylprogrammet beräkna både summor och medelvärden så att samma fil kan användas vid olika uppgifter och frågeställningar. I Excel måste likhetstecknet skrivas allra först då formler matas in.
svar: Medelvärdet blir 2 065 kr.
Exempel: Lån med konstant månadskostnad (GeoGebra kalkylprogram) Ett lån tecknas med följande förutsättningar: Lånebelopp: 15 000 kr Amortering + räntekostnad: 2 000 kr per år Räntesats: : 4 % Räntekostnader och amortering betalas en gång per år med den första inbetalningen efter ett år. Eftersom summan av inbetalningarna är konstant kallas detta för serieamortering och lånet kallas annuitetslån. Bestäm den sammanlagda räntekostnaden för lånet. lösning: Här ska låntagaren ha samma årskostnad varje år. Räntekostnaden styr amorteringen så att summan blir konstant. Efterhand som räntekostnaden minskar, ökar amorteringen. Vi skapar därför ett lite annorlunda kalkylblad jämfört med tidigare exempel genom att göra följande inmatningar och åtgärder:
194
k apitel 4 ; procent
40696663_e1b.indb 194
2017-06-30 07:38
Vi matar in värdena 1 och 15 000 i cellerna A2 och B2 förutom lämpliga rubriker. Resterande celler ska fyllas med formler som matas in enligt följande: Cell
Inmatning
Förklaring
C2
0.04B2
Beräknar 0,04 · B2 = 0,04 · 15 000 = 600.
D2
2000–C2
Beräknar 2000 – C2 = 2 000 – 600 = 1 400.
E2
C2+D2
Beräknar C2 + D2 = 600 – 1 400 = 2 000.
F2
B2–D2
Beräknar B2 – D2 = 15 000 – 1 400 = 13 600.
A3
A2+1
Beräknar A1 + 1 = 1 + 1 = 2.
B3
B2–D2
Beräknar B2 – D2 = 15 000 – 1 400 = 13 600.
C13
Summa(C2:C11)
Summerar värdena i cellerna C2 - C11.
D13
Summa(D2:D11)
Summerar värdena i cellerna D2 - D11.
E13
Summa(E2:E11)
Summerar värdena i cellerna E2 - E11.
Resterande celler enligt figuren fylls genom att kopiera formler nedåt som i tidigare exempel. I den sista raden blir det fel belopp på amorteringen (och därmed även ett par följdfel) eftersom den sista amorteringen ska anpassas efter hur stor skulden är just då. Om innehållet i cell D11 korrigeras till 184 enligt figuren nedan blir allt korrekt.
svar: Den sammanlagda räntekostnaden blir 3 191 kr.
k apitel 4 ; procent
40696663_e1b.indb 195
195
2017-06-30 07:38
öva i 4110
· begrepp och procedur I figuren finns början till ett kalkylblad som ska användas för att beräkna räntekostnader för ett lån. Lånet på 20 000 kr avbetalas en gång per år i fem år med årsräntesatsen 8 %.
a) Föreslå en lämplig formel i cell D2 för beräkning av räntekostnaden. b) Föreslå en lämplig formel i cell A3 för beräkning av numret på inbetalningen. c) Föreslå en lämplig formel i cell B3 för beräkning av skuld efter amortering. d) Komplettera kalkylbladet med de celler som krävs för att beräkna den totala räntekostnaden och beräkna denna. 4111
196
40696663_e1b.indb 196
Ett lån tas under följande villkor: Belopp: 50 000 kr Tid: 10 år Räntesats: 6 % Amortering: En gång per år Tillverka ett kalkylblad som beräknar ränte- och amorteringskostnader för varje år och summan av dessa kostnader. Läs av svaren på följande frågor i ditt kalkylblad. a) Hur stor är räntekostnaden vid den första inbetalningen? b) Hur stor är den totala kostnaden vid den andra inbetalningen? c) Hur mycket är summan av alla ränte- och amorteringskostnader då lånet är helt avbetalat?
öva ii
· flera förmågor
* 4112
Erik tar ett lån på 50 000 kr för att äntligen kunna göra sin drömresa till Galápagosöarna. Enligt avtalet med banken ska Erik betala ränta och amortering en gång per år. Räntesatsen är 5 % och lånet ska avbetalas på tio år. Den första inbetalningen ska göras efter ett år. Tillverka ett kalkylblad och besvara med hjälp av det följande frågor. a) Vad blir den sammanlagda räntekostnaden för lånet? b) Vad blir medelvärdet av de tio inbetalningarna av ränta och amortering?
* 4113
Sofia tar ett lån på 12 000 kr för att köpa en moped. Räntesatsen är 6 % och Sofia ska betala hela lånet på ett år med en ränteinbetalning och en amortering per månad. Den första inbetalningen görs efter en månad. Bestäm den sammanlagda räntekostnaden för Sofia med hjälp av ett kalkylblad.
** 4114
Mustafa lånar 80 000 kr. Han sluter ett avtal med banken om att han sammanlagt ska betala 12 000 kr vid varje inbetalning som sker en gång per år. Efterhand som räntekostnaden minskar, ökar alltså amorteringen. Räntesatsen sätts till 7,2 %. Den första inbetalningen gör Mustafa efter ett år. a) Efter hur lång tid gör Mustafa sin sista inbetalning av lånet? b) Vad blir den sammanlagda räntekostnaden för lånet? c) Hur stor var skulden efter ett år? d) Hur stor blir den sista inbetalningen?
2017-06-30 07:38
Ö V K U R S
I övning 4109 beräknas den effektiva årsräntan för ett lån utan amorteringar. Där ökade skulden med 1 % varje månad, eftersom årsräntesatsen var 12 %. Det gav sammanlagt en ökning på 1,0112 ≈ 1,127, vilket motsvarar en effektiv årsränta på 12,7 %.
ER
Effektiv ränta*
Kostnaden för olika typer av lån jämförs genom att räkna om räntesatsen till ”effektiv ränta”. I låneavtal måste den effektiva räntan anges. Det kan därför vara bra att förstå vad det är. Begreppet nämns dock inte i ämnesplanen. Avsnittet betraktas som överkurs.
Den effektiva räntan beräknas genom att räntor och avgifter som ska betalas tidigare än inom ett år läggs på skulden som i övning 4109. Efter ett år jämför man det nya skuldbeloppet med det man lånade från början. Förändringsfaktorn vid den jämförelsen omräknas till en effektiv ränta. Om lånet amorteras regelbundet (tätare än en gång per år) blir beräkningarna ganska omständliga. Det finns dock exempel på lån, där det inte är så komplicerat att beräkna den effektiva årsräntan. Om man tar ett lån och betalar tillbaka allt efter en månad, räknar man ut kvoten mellan den totala kostnaden (inklusive återbetalningen av lånet) och lånebeloppet. Den förändringsfaktorn upphöjs sedan till 12 för att få den effektiva räntan för ett år. Exempel Effektiv årsränta 2 visar hur man gör vid ett liknande fall.
Effektiv årsränta 1 Anna lånar pengar utan amorteringar under ett år med årsräntesatsen 6,0 %. Varje månad ska hon betala 0,5 % av skulden i ränta. Vilken effektiv årsränta motsvarar det? lösning: Förändringsfaktorn för en månad: 1,005 På ett år är det tolv månader. Det ger den totala förändringsfaktorn 1,00512 ≈ 1,062 En förändringsfaktor på 1,062 motsvarar en effektiv ränta på 6,2 %. svar: Den effektiva årsräntan blir 6,2 %.
Effektiv årsränta 2 Ann blir erbjuden ett lån på 5 000 kr om hon lovar att betala tillbaka 6 000 kr ett kvartal senare. Vad blir den effektiva räntan? lösning: 6000 kr = 1,2 Förändringsfaktorn för ett kvartal: 5000 kr På ett år är det fyra kvartal. Det ger den totala förändringsfaktorn 1,24 = 2,0736 En förändringsfaktor på 2,07 motsvarar en skuldökning med 107 % och därmed en effektiv årsränta på 107 %. svar: Den effektiva årsräntan blir 107 %.
k apitel 4 ; procent
40696663_e1b.indb 197
197
2017-06-30 07:38
S R U K ER V Ö
öva ii
* 4115
* 4116
* 4117
*
4118
** 4119
· flera förmågor
** 4120
En skuld på 50 000 kr räknas upp med 1 % varje månad i ett år. a) Bestäm förändringsfaktorn för skuldökningen under ett år. b) Hur stor är skulden efter ett år? c) Vad blir den effektiva årsräntan i procent på ett lån på 50 000 kr utan amortering om årsräntesatsen är 12 % med månadsinbetalningar av räntan? Artush tar ett lån på 3 000 kr. Efter en månad betalar han tillbaka lånet. Inklusive ränta och avgifter kostar det honom 3 300 kr. Vad blir den effektiva årsräntan? Vad blir den effektiva årsräntan om man lånar 1 000 kr och betalar tillbaka 2 000 kr efter ett kvartal? Vad blir den effektiva årsräntan om räntesatsen är 18 % och ränta betalas a) en gång per år b) varje halvår c) varje kvartal d) varje månad Den effektiva årsräntan på ett lån med en ränteinbetalning per halvår är 21 %. Vilken årsräntesats har lånet? T
Följande text om ett sms-lån på en månad är hämtad från ett företag på Internet 2010-03-21: Lån
Att återbetala
Årsränta
Effektiv ränta
1 000 kr
1 300 kr
360 %
2 230 %
2 000 kr
2 400 kr
240 %
792 %
3 000 kr
3 600 kr
240 %
792 %
a) Enligt uppgifterna blir årsräntan 360 % på ett lån på 1 000 kr. Hur kommer företaget fram till det värdet? b) Det står också att den effektiva räntan är 2 230 %. Stämmer det? Hur får man det värdet i så fall?
** 4121
Ett annat företag på Internet ger dessa villkor 2010-03-21:
Lån
Avgift
Ränta
Att återbetala
Årsränta
Effektiv ränta
1 000 kr
70 kr
225 kr
1 295 kr
252,34 %
2 698 %
2 000 kr
70 kr
375 kr
2 445 kr
217,39 %
1 159 %
3 000 kr
70 kr
520 kr
3 590 kr
203,26 %
837 %
Det kostar dig dessutom 25 kr att skicka ett sms med låneansökan till oss. T a) Enligt uppgifterna blir årsräntan 252,34 % på ett lån på 1 000 kr. Hur kommer företaget fram till det värdet? Observera att företaget ökar skulden med 70 kr för avgiften. b) Hur görs beräkningen för att få den effektiva räntan till 2 698 %? Ord och begrepp Koll på avsnittet
198
k apitel 4 ; procent
40696663_e1b.indb 198
2017-06-30 07:39
utmaning ränta på ränta Finn sätter in 1000 kr på ett bankkonto vid varje årsskifte. Vid dessa årsskiften får han dessutom en insatt ränta på 4 % av det belopp som har funnits på kontot det senaste året. Q
Hur mycket har Finn på kontot direkt efter den tionde insättningen?
Q
Visa att beloppet som Finn har efter den tionde insättningen kan beräknas med uttrycket 1000(1 + 1,04 + 1,042 + … + 1,049)
Q
Visa att summan s = 1 + 1,04 + 1,042 + … + 1,049 kan 1,04 10 – 1 skrivas om till genom att först teckna uttrycket 0,04 för 1,04s och sedan förenkla värdet av uttrycket 1,04s – s
1 3 4 5 6 7
och använda att uttrycket också kan skrivas 0,04s.
REFLEKTERA OCH DISKUTERA 4.4 Avgör för varje påstående om det är sant eller falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt.
1
1 Rak amortering innebär att man betalar av lika mycket på ett lån vid varje tillfälle.
5 6
2 Om man får köpa något på kredit betyder det att man får rabatt på varan. 3 Om man har rak amortering minskar inbetalningarnas storlek under återbetalningstiden. Svar med motiveringar finns på lärarwebben.
Gruppaktivitet 1
I inledningen av kapitlet fick ni till upgift att undersöka ett sms-lån och jämföra med ett banklån. Det här är en fortsättning på den uppgiften. Tänk er att ni vill köpa en ny mobiltelefon och måste låna till en del av kostnaden. Q
Sök information på Internet om mobil- och sms-lån och jämför kostnaderna och räntesatserna för lån via ett par av våra banker.
Q
Ange skillnaderna i kostnader i procentform och beräkna gärna effektiva räntor där det är möjligt.
Q
Redovisa era resultat i skriftlig form och dra slutsatser av era jämförelser. k apitel 4 ; procent
40696663_e1b.indb 199
3 5 6 7
199
2017-06-30 07:39
TESTER 4.1
1
Skriv i decimalform. a) 3,5 ‰ b) 24 ppm
2
Omvandla till given enhet. a) 0,0006 = …… ‰ b) 2,35 · 10-5 = …… ppm
3
Bestäm förändringen i procentenheter och procentuellt då en räntesats ökar från 1,2 % till 1,8 %.
4
Lutningen hos järnvägsspår anges ofta i promille. En 2,5 km lång backe har lutningen 6,0 ‰. Hur stor är backens höjdskillnad?
5
Gränsvärdet för bly i vatten är 10 μg per liter.Vid en undersökning av drygt tusen prover år 2009 var medianvärdet 0,1 μg per liter. En liter vatten väger ungefär ett kilogram och 1 μg är en miljondels gram. a) Ange gränsvärdet i ppm. b) I genomsnitt använder varje person 160 liter vatten per dygn. Bestäm medianen av hur mycket bly det finns i årsanvändningen av vatten per person?
6
Det högsta halten alkohol som uppmätts hos en förare som stoppats vid en trafikkontroll är 7,7 ‰ (vilket är en dödlig mängd för de allra flesta). Halten avser alkoholens vikt i relation till blodets vikt. a) Hur mycket ren alkohol fanns det i blodet om förarens blod antas väga 6,0 kg? b) En liter alkohol väger 789 g. Hur mycket alkohol uttryckt i cl motsvarar mängden i förarens blod?
7
Sedan oktober 2015 är det i Sverige förbjudet att sälja batterier som innehåller mer än 0,0005 viktprocent kvicksilver. a) Hur stor andel motsvarar det i ppm? b) I Sverige hanteras årligen ungefär 2 ton batterier som innehåller kvicksilver. Hur mycket kvicksilver kan dessa batterier som mest innehålla om alla batterier klarar gränsen? c) Ett batteri som precis ligger på gränsvärdet innehåller 0,12 mg kvicksilver. Hur mycket väger batteriet?
8
200
Mellan två väljarundersökningar ökade ett partis andel av väljarsympatierna med 12,8 %, vilket motsvarade 4,8 procentenheter. Hur stor andel väljarsympatier fick partiet vid den andra undersökningen?
k apitel 4 ; procent
40696663_e1b.indb 200
2017-06-30 07:39