9789147114429 by Smakprov Media AB

CHRISTER NYBERG

Statik Mekanik Statik ingår i en serie om tre böcker inom mekanikämnet avsedd för studerande på ingenjörsutbildningar och andra högre tekniskanaturvetenskapliga utbildningar. Boken omfattar en teoridel och en problemsamling. Teoridelen tar upp: • • • •

kraftsystem jämvikt masscentrum jämvikt med friktion

MEKANIK Statik

MEKANIK

MEKANIK Statik

I problemsamlingen finns många övningsuppgifter till de olika avsnitten. Alla övningar har svar i facit och många har kompletta lösningar. I appendix repeteras den vektoralgebra som krävs för att tillgodogöra sig bokens innehåll. Denna nya upplaga har ett nytt praktiskt format och färgillustrationer. Konsekvent färgsättning av pilarna som representerar lägesvektorer, krafter, kraftmoment och hastigheter gör det lättare att tolka figurerna. Mekanik är en grundläggande komponent i de flesta tekniska utbildningar. Genom studier i mekanik utvecklar studenten sin kapacitet att göra förutsägelser om krafter och rörelser och deras verkan, i naturen och vid konstruktion och design av tekniska system. Den analytiska förmågan, det logiska tänkandet och den effektiva kommunikation som därigenom tränas är användbar inom vitt skilda områden även utanför teknik och naturvetenskap.

CHRISTER NYBERG

Christer Nyberg är universitetslektor vid institutionen för mekanik på KTH i Stockholm. Han har mångårig erfarenhet av undervisning i mekanik för blivande civilingenjörer och har själv bedrivit forskning inom plasmafysik och teoretisk akustik med tillämpningar inom musikakustik.

Best.nr 47-11442-9 Tryck.nr 47-11442-9

9789147114429c1c.indd 1

6/18/14 1:55 PM

CHRISTER NYBERG

MEKANIK Statik

9789147114429b1-220c.indb i

6/19/14 7:58 PM

FÖRORD Denna bok bildar tillsammans med böckerna Partikeldynamik och Stelkroppsdynamik ett läromedel i mekanik, som är tänkt att kunna användas av studenter på tekniska högskolor. Avsikten med läromedlet är att ge en lättläst och fullständig teori på svenska som presenterar den grundläggande mekaniken på ett klart, koncist och logiskt sätt och som väcker inspiration och lust till studierna. Vid en teknisk högskola fungerar mekanikkursen som länken mellan matematik och de mer tillämpade kurserna. Att få träning i att gå över från verklighetens ofta komplexa system till en idealiserad modell av systemet är ett fundamentalt kursmål. Mycket arbete har lagts på att presentera tillämpningarna med bilder. Bilder väcker intresse och underlättar studierna. Med hjälp av bilderna övar studenten också upp förmågan att gå från det verkliga systemet till det idealiserade systemet, vilket kanske är den svåraste delen av ett mekanikproblem. Den nya upplagan är i färg och i ett behändigare format. Färgsättningen är inte bara estetisk utan har en pedagogisk poäng. Mekanikens storheter är till stor del vektorer och vektoralgebran är en grundbult för att förstå beräkningen. Genom att konsekvent färgsätta pilarna som representerar lägesvektorer, krafter, kraftmoment och hastigheter med olika färg blir det lättare att tolka figurerna. Alla exempel och problem behandlas med en algebraisk metod där symboler införs för storheterna och som behålls ända fram till resultatet. Svaret eller resultatet kan då dimensionskontrolleras. Det kan prövas mot olika specialfall t ex genom att låta parametrarna gå mot noll eller oändligheten. Det är dessutom färdigt för analys med hjälp av något matematikprogram som Maple eller Matlab. Kurvskaror kan plottas som funktion av någon parameter eller variabel. Om de numeriska värdena sätts in direkt i början av problemlösningen är det nästan omöjligt för både student och lärare att hitta fel. Resultatet går heller inte att kontrollera och om ett parametervärde ska ändras måste man göra om lösningen. Till varje teoriavsnitt finns typexempel med sådana lösningar som studenterna sedan själva ska kunna presentera. Varje lösning ska ses som en redovisning av tankearbetet. Det är då viktigt med förklarande ord, att tala om vad man gör och att motivera uppställda samband. Problemsamlingen innehåller verklighetsnära problem i ett tillräckligt antal för att exponera olika problemtyper. Till alla problem finns svar. Till åtskilliga finns lösningar, både i boken och på bokens webbplats på liber.se. Jag uppskattar påpekanden och synpunkter som kan förbättra innehållet. Tack till alla kollegor och studenter som redan bidragit med synpunkter. Stockholm i maj 2014 Christer Nyberg christer@mech.kth.se

9789147114429b1-220c.indb iii

6/19/14 7:58 PM

TILL STUDENTEN • Problemlösningen brukar gå lättare om man först läser teorin, sedan går igenom några lösta typexempel i teorin innan man börjar med problemlösning på egen hand. • Problemens svårighetsgrad har markerats med tecknet (*). Om problemet är svårt eller tidskrävande anges det med markeringen (***). Introducerande problem markeras (*). • Problemen är i varje kapitel i stort sett ordnade efter svårighetsgrad. Dock ordnas de också efter olika teoriavsnitt, så att exempelvis kapitlet om energilagar är uppdelat i två delar. Den första behandlar begreppet arbete och den andra potentiell energi. • om lösning finns i boken har problemet markerats med L. • Många problemlösningar finns på www.liber.se.

9789147114429b1-220c.indb iv

6/19/14 7:58 PM

INNEHÅLL 1. INTRODUKTION 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Allmän inledning Matematisk modell Idealiseringar Referenssystem Storhet, enhet och dimension

1 2 3 4 4

2. KRAFTSYSTEM 2.1 2.2

2.3

2.4

2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10

2.11

Inledning Kraft 2.2.1 En krafts kartesiska komponenter 2.2.2 Några allmänna kraft-vektoralgebraproblem 2.2.3 Kraftsumma-kraftresultant Kraftmoment 2.3.1 Inledning, en krafts vridande förmåga 2.3.2 Vridande förmåga med avseende på en axel 2.3.3 Kraftmoment med avseende på en punkt Kraftparsmoment 2.4.1 Inledning 2.4.2 Kraftparsmoment i tre dimensioner 2.4.3 En krafts verkan i en godtycklig punkt Sambandsformeln Ekvimomenta kraftsystem Reducering av givna kraftsystem till enkel form. Bestämning av resultanten till ett kraftsystem. Kraftparsmoment-resultanten Kraftresultanten Speciella kraftsystem som har kraftresultant 2.10.1 Strålkraftsystem 2.10.2 Plant kraftsystem 2.10.3 Parallellkraftsystem Kraftskruv

8 9 12 13 14 19 19 20 22 29 29 31 33 37 38 40 41 43 46 46 47 49 53

3. JÄMVIKT 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

9789147114429b1-220c.indb v

Inledning Det nödvändiga jämviktsvillkoret Statiskt obestämda problem Alternativa jämviktsvillkor för ett plant kraftsystem Friläggning Tredimensionella jämviktsproblem Strukturer och fackverk Virtuella arbetets princip 3.8.1 Inledning 3.8.2 Arbete 3.8.3 Virtuell förﬂyttning och virtuellt arbete

54 55 57 58 59 72 75 82 82 82 85

6/19/14 7:58 PM

4. MASSCENTRUM 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Inledning Diskreta och kontinuerliga kraftsystem Masscentrums deﬁnition Masscentrum för en sammansatt kropp Masscentrumberäkningar Experimentell bestämning av masscentrum Pappus regler

91 94 95 96 97 102 104

5. JÄMVIKT MED FRIKTION 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Inledning Torr friktion Problemlösningsmetoder Kilverkan Axeltappfriktion Remfriktion

PROBLEMSAMLING 1. 2. 3. 4. 5.

106 107 110 115 117 119

123

Dimensionsanalys Kraftsystem Jämvikt Masscentrum Jämvikt med friktion

123 125 146 166 170

LÖSNINGAR TILL VALDA PROBLEM

179

APPENDIX

191

VEKTORALGEBRA LÖSNINGAR VEKTORALGEBRA

191 200

FORMELSAMLING

202

TRÖGHETSMOMENT OCH MASSCENTRUM FÖR ENKLA HOMOGENA KROPPAR

203

MEKANIKENS BANBRYTARE

206

SVAR

207

213

9789147114429b1-220c.indb vi

6/19/14 7:58 PM

1. INTRODUKTION 1.1 Allmän inledning Ändamålet med mekanikstudier är att utveckla sin kapacitet att kunna göra förutsägelser om krafter och rörelser och verkan av krafter och rörelser både i naturen och vid konstruktion och design av tekniska system, t ex broar, maskiner och farkoster. Mekanikstudier ger träning i logiskt tänkande och effektiv, koncis kommunikation. Den analytiska förmågan som tränas upp är användbar inom många vitt skilda områden, inte bara inom naturvetenskapen. Ett mekanikproblem handlar i princip om att först göra idealiseringar av den oftast komplexa verkligheten och sedan ställa upp en matematisk modell, som beskriver det fenomen eller den maskindel man är intresserad av. Med denna modell tar man sedan fram en lösning med hjälp av fysikens principer och matematikens lagar och regler. Eftersom i dagens läge en stor del av själva problemlösningen eller simuleringen kan överlåtas till en dator så blir det viktigaste steget inom mekaniken att korrekt ställa upp en matematisk modell, vilket också innebär att man känner förutsättningarna och begränsningarna för modellens giltighet. På samma sätt som en fjäder är en modell för ett elastiskt material så är hela mekaniken en teoretisk modell för verkligheten. Denna teori är som matematiken exakt och består i princip av postulat, definitioner av begrepp samt härledda samband mellan storheter som karaktäriserar rörelse och krafter. Däremot är denna teoretiska modell en approximation till verkligheten, eftersom idealiseringar införs då modellen byggs. Mekaniken är tillsammans med termodynamik, elektromagnetism och kärnfysik ett huvudområde inom fysiken. Det är en större del än man kanske först anar, eftersom mekanikens modeller också är användbara inom andra områden av fysiken. Har man t ex lärt sig att räkna på ett mekaniskt svängande system behöver man egentligen bara byta symboler (bokstäver) för att behandla ett elektriskt svängande system. Vi nöjer oss här med en mycket kort historisk tillbakablick. Euklides gav det första bidraget med sin geometri för det tredimensionella rummet. Bortsett från några få bidrag som t ex Arkimedes jämviktsteori hände sedan inte så mycket under många hundra år. Utvecklingen tog sedan fart i och med den undersökning av planetrörelse, som Kopernikus, Tycho Brahe och Kepler var involverade i. Den analytiska geometrin som utvecklades av Cartesius kom att få en mycket stor betydelse. Galilei kan sägas inleda den moderna utvecklingen av mekaniken. Han introducerade det experimentella och matematiska arbetssättet. Newton blev den som på ett genialiskt sätt lade fram en allmän teori, som kunde appliceras på alla typer av rörelser. Han visade att en och samma teori om gravitationen kunde tillämpas på så vitt skilda fenomen som planetrörelse, ebb och flod och kaströrelse (äpplets fall till marken). Under nittonhundratalet blev det klart att Newtons teori inte gäller på atomär nivå, för mycket stora hastigheter eller stark gravitation. Många system har också visat sig vara kaotiska, så att deras rörelse inte är möjlig att förutsäga med Newtons teori.

9789147114429b1-220c.indb 1

6/19/14 7:58 PM

1. Introduktion 1.2 Matematisk modell Mekaniken har en fundamentalt experimentell grund men är ett ämnesområde med matematisk karaktär. Varje människa gör ständigt under hela livet mekaniska experiment, både med kroppen och med leksaker eller redskap. Hon kan också observera andras lek och det som händer i naturen och på så sätt få erfarenheter, så att medvetna eller omedvetna förutsägelser om olika skeenden kan göras. På så sätt byggs det hos alla upp en intuitiv känsla för samband mellan rörelse och kraft. Komplexa mekanismers mekanik, att gå, springa, hoppa, cykla, rida eller åka snowboard, liksom manövrering av en farkost eller robot, är alltså en vardaglig upplevelse för de flesta av oss. Vi själva har försetts med ett avancerat kontrollsystem för våra rörelser som ofta fungerar omedvetet. Hur komplicerat sambandet mellan rörelserna och kontrollen av dessa är blir uppenbart för den som försöker utveckla en robot som ska klara dessa aktiviteter. Mekanikens experimentella grund har också lagts genom att en del människor, exempelvis Galilei, gjort såväl kontrollerade laboratorieexperiment som observationer i naturen och genom mätningar funnit lagbundenheter, dvs samband mellan storheter. En modell är en avbildning. Modellen kan göras verklighetstrogen på olika sätt. Man kan bygga en skalenlig plastbil med de rätta färgerna som utseendemässigt inte går att skilja från originalet eller en Lego technic-bil för att t ex få en uppfattning om hur styrsystemet fungerar. I mekaniken bygger vi matematiska modeller som kan beskriva och ge insikt i en viss företeelse. Om denna matematiska modell beskriver verklighetens system riktigt så kan matematikens logik leda till nya insikter om det verkliga systemet. Teorin måste ständigt verifieras med nya experiment. Det går aldrig att vara riktigt säker på en uppställd lags giltighet. Det tog två hundra års experimenterande innan man kom på att Newtons klassiska mekanik inte var allmängiltig. Om förlängningen x av en fjäder ser ut att vara proportionell mot storleken av den kraft F som tänjer ut den vill man beskriva det med formeln F = kx. Formeln är då den matematiska modellen för fjädern eller hypotesen för det aktuella skeendet. Att formelns giltighetsområde är begränsat är uppenbart. Nya experiment visar kanske att för en större kraft gäller formeln F = kx + cx3. Giltighetsområdet har visserligen ökat men om fjäderkraften ökas ytterligare blir fjädern helt rak och går till slut av. Hela mekaniken, som vi ska studera den, går ut på att finna en matematisk modell för det verkliga systemet och med denna som grund dra slutsatser med matematikens lagar. För en kropp som sitter fast i en fjäder kan vi kombinera modellen för fjädern (Hookes lag Fx = −kx) med den naturlag som kallas kraftekvationen (Newtons andra lag, F = m x¨ ). Vi får då en differentialekvation av andra ordningen (m x¨ = −kx). Med denna ekvation kan vi, om vi vet var kroppen är och vilken hastighet den har vid en viss tidpunkt, för all framtid exakt bestämma kroppens läge, hastighet och acceleration. Detta är det klassiska mekanikproblemet. Det ”exakta” resultatet kommer förstås på grund av de idealiseringar som införts att avvika från den verkliga rörelsen. Kanske kan modellen förfinas genom att t ex införa en friktionskraft.

9789147114429b1-220c.indb 2

6/19/14 7:58 PM

1. Introduktion 1.3 Idealiseringar För att ställa upp en matematisk modell krävs alltså att vi gör idealiseringar av verkligheten. Vi försöker då att bortse från allt som inte har någon betydelse i sammanhanget. Om en rörelse i en motor ska studeras brukar man oftast kunna bortse från jordens rotation. Jordrotationen kan alltså då försummas redan innan man ställer upp modellen. Alternativet är att ta med den i modellen och sedan i stället göra matematiska approximationer i själva lösningen. De flesta är bekanta med den s k kastparabeln som är den bankurva som en projektil får på grund av tyngdkraften. Av de idealiseringar som införts för att komma fram till detta resultat kan vi nämna att tyngdkraften antagits vara konstant både till storlek och riktning, att luftmotståndet försummats och att jorden antagits vara fix. Om man istället räknar med det allmänna uttrycket för gravitationskraften övergår kastparabeln i en ellips, om fortfarande luftmotståndet försummas. Vill man också ta med luftmotståndet i modellen låter man oftast denna motståndskraft vara proportionell mot hastigheten eller hastighetens kvadrat, åtminstone om man ska räkna analytiskt. Vilken av dessa modeller som är att föredra beror på omständigheterna, t ex hur stor hastigheten är. För noggrann bestämning av en projektilbankurva måste man också i sin modell räkna med att luften blir tunnare högre upp. Densiteten sägs då avta enligt en viss matematisk formel som stämmer med uppmätta värden. Luftmotståndet har inte alltid bara en bromsande verkan. En golfboll påverkas på grund av rotationen av en lyftkraft som gör att bollen kan slås mycket längre än vad kastparabelmodellen skulle förutsäga. Bollen går alltså längre med luftmotstånd än utan. Alla roterande kroppar som t ex skruvade fotbollar, tennisbollar eller gevärskulor med spinn får på grund av aerodynamiska effekter en bankurva som avviker från kastparabeln. Avvikelsen kan dock beräknas med en matematisk modell för just denna effekt. Sammanfattningsvis, kastparabeln är alltså bara den allra enklaste modellen för kaströrelse. Exempel på vanliga idealiseringar vid problemlösning är: En kropp kan ibland sägas sakna utsträckning och vara en partikel som är en massbelagd matematisk punkt. En tunn kropp är en massbelagd yta och har tjockleken noll. En smal kropp är en massbelagd kurva. Om en kropps massa kan försummas jämfört med andra massor i problemet sägs den vara lätt. En stel kropp kan inte deformeras på något sätt. Om friktionen kan försummas vid kontakt mellan två kroppar sägs kontakten vara glatt. För en linjär fjäder är förlängningen proportionell mot kraften. En oelastisk tråd kan inte förlängas. För övrigt är det en idealisering att tillämpa differential- och integralkalkylen på kroppar, eftersom det betyder att man låtsas som om materien är kontinuerligt utspridd istället för bestående av atomer, molekyler och tomrum. Ända in på 1900-talet trodde man att den klassiska mekaniken var den rätta allmängiltiga teorin. Den duger emellertid inte på atomär nivå eller då hastigheterna blir jämförbara med ljushastigheten. Då använder man i stället andra teorier som kvantmekanik eller relativistisk mekanik. Hela den klassiska mekaniken kan alltså sägas vara en idealisering som emellertid oftast fungerar för vardagliga skeenden.

9789147114429b1-220c.indb 3

6/19/14 7:58 PM

1. Introduktion 1.4 Referenssystem En observatör ser en rörelse som lägesändringar under ett visst tidsintervall. Tittar man vid järnvägsstationen ut genom tågfönstret ser man kanske ett annat tåg som backar eller kör om. Vilket av tågen backar egentligen? Står kanske det ena tåget stilla? Vi har nog alla i liknande situationer haft svårt att avgöra detta. De mätningar och den beskrivning av ett skeende, som observatören gör, blir inte meningsfulla förrän rörelsen av det ”rum” eller det referenssystem relativt vilket mätningarna görs är känd. En observatör känner eller upplever också kraftverkan olika i olika referenssystem. Som vi definierar krafter är det dock ofta avsaknad av en kraft som kan upplevas som en kraft åt andra hållet. Står du på en karusell måste du hålla i dig om det går fort. Det måste finnas en kraft inåt för att en kropp ska kunna utföra en cirkelrörelse. Släpper du taget upplever du att du slungas utåt. Den rörelsen får du inte för att en kraft utåt tar tag i dig utan för att kraften inåt saknas. Egentligen fortsätter du i princip bara din rörelse utan påverkan av horisontella krafter. En bil som går för fort genom en hal kurva hamnar i diket inte för att någon kraft drar den utåt, utan för att friktionskraften inåt är otillräcklig. I ett referenssystem, dvs i jorden, i en farkost eller en rörlig stel maskindel, kan man på olika sätt lägga in ett koordinatsystem. För att beskriva en rörelse relativt jorden kan vi t ex antingen välja ett kartesiskt koordinatsystem med origo i jordens mitt och xy-planet i ekvatorsplanet eller ett med origo på jordytan och xy-planet som horisontalplan. En hastighetsvektor relativt jorden får då olika komponenter i de två olika koordinatsystemen, fastän hastigheten egentligen är densamma, eftersom den mäts i samma referenssystem. Sammanfattningsvis är det meningslöst att ange hastigheter och accelerationer om inte referenssystemet anges. Att man ändå slarvar med detta beror på att jorden som referenssystem som regel är underförstått. I mekaniken införs begreppet inertialsystem för ett referenssystem i vilket Newtons lagar gäller. I ett inertialsystem gäller tröghetslagen, Newtons första lag, som säger att en kropp förblir i sitt tillstånd av vila eller rätlinjig likformig rörelse så länge den inte påverkas av några krafter. Man kan till en början se ett inertialsystem som ett vilande referenssystem men allt detta kommer att utvecklas närmare under kursens gång. 1.5 Storhet, enhet och dimension I mekaniken införs olika begrepp bl a för att kommunikationen ska förenklas. Förutom fundamentala begrepp som rum, tid och kropp är de fysikaliska storheterna de viktigaste. En storhet är en egenskap, som kan mätas eller beräknas. Den är operationellt definierad om den kan bestämmas med en viss mätmetod. Så är fallet med mekanikens grundstorheter massa, längd och tid. En kraft, som mäts med en dynamometer, är ett annat exempel på en operationellt definierad storhet. För att en storhet (t ex kraft) ska vara bestämd fordras att man först definierat en enhet för den (newton, N) och sedan angett mätetalet, som anger förhållandet mellan den aktuella kraften och den valda enhetskraften: F = 430 N storhet = mätetal ⋅ enhet

9789147114429b1-220c.indb 4

6/19/14 7:58 PM

1. Introduktion På samma sätt talar man om storhetsekvationer och mätetalsekvationer. Om kraftekvationen skrivs F = ma utgår man alltid från att det är storheterna F, m och a som ingår. Både mätetal och enhet ingår alltså i ekvationen och det betyder att både mätetalet och enheten måste vara lika i vänster- och högerled. I vårt fall med kraftekvationen måste enheten N (newton) vara detsamma som kg gånger m/s2. För att skriva en mätetalsekvation måste man noga kontrollera att mätetalen hör till ett och samma enhetssystem, i första hand SI-systemet. De enda grundstorheter som behövs i mekaniken är massa, längd och tid. Alla andra storheter kan med formelsamband härledas till en kombination av dessa tre. Tidigare användes olika enhetssystem i olika länder och även inom samma land för olika tillämpningsområden. Storheten tryck har t ex haft många olika enheter beroende på om det gällt vakuumteknik, ett lågtryck på väderkartan eller bildäckets ringtryck. Nuförtiden försöker man så långt det är möjligt att följa SI-systemet. Nackdelen med detta system är att den rekommenderade enheten för vissa tillämpningsområden blir väldigt liten eller stor. En meter är en stor enhet för atomära avstånd och en liten enhet för astronomiska avstånd. Detta problem löses med hjälp av prefix (piko, nano, mikro, milli, kilo, mega, giga, tera). Vid problemlösning gör man ofta en enhetskontroll av resultatet. Om en kraft efterfrågas duger det inte med ett resultat som har enheten Nm istället för N (newton). Sådana kontroller kan göras effektivt och oberoende av enhetssystem genom att införa storhetens dimension. I praktiken räknar man på samma sätt med dimensioner som med enheter. Om en storhets dimension ska bestämmas gäller det att hitta något formelsamband där storheten ingår och där dimensionen för de andra storheterna är kända. Förutom att kontrollera resultatet kan man ofta lokalisera felet i en lösning genom att göra dimensionskontroll i alla ekvationer. Varje term i en ekvation måste ju ha samma dimension (dvs samma enhet). Vi kallar nu dimensionen för massa M, dimensionen för längd L och dimensionen för tid T och skriver för de tre grundstorheterna dim(massa) = M dim(längd) = L dim(tid) = T

storhet

enhet

dimension

massa

längd

tid

9789147114429b1-220c.indb 5

6/19/14 7:58 PM

1. Introduktion Exempel 1.1

Vilken blir då dimensionen för hastighet? Jo, hastighet är längd per tid så att dim(hastighet) = LT −1 Vilken blir då dimensionen för acceleration? Acceleration är hastighetsändring per tid så att dim (acceleration) =

dim (hastighet) LT − 1 = = LT − 2 dim (tid) T

Kraft är enligt kraftekvationen F = ma massa gånger acceleration. dim(kraft) = dim(massa) ⋅ dim(acceleration) = MLT− 2 Tryck är definierat som kraft per area så att dim (tryck) =

dim (kraft) MLT − 2 = = ML − 1 T − 2 dim (area) L2

Dimensionen för energi kan bestämmas antingen med formeln för kinetisk energi mv2/2 eller potentiell energi mgh: dim(energi) = dim(massa) ⋅ dim(hastighet)2 = ML2T− 2 dim(energi) = dim(massa) ⋅ dim(acceleration) ⋅ dim(längd) = ML2T− 2 Kraftmoment är kraft gånger hävarm: dim(kraftmoment) = dim(kraft) ⋅ dim(längd) = MLT− 2 ⋅ L = ML2T− 2 Energi och kraftmoment har alltså lika dimension! Vissa storheter sägs vara dimensionslösa. Det betyder inte att dimensionen är noll utan istället M0L0T0 = 1. En vinkel definieras som kvoten mellan en cirkelbåges längd och motsvarande radie. dim (vinkel) =

dim (längd) L = =1 dim (längd) L

En konstant i en formel kan vara dimensionslös men i allmänhet bestäms dess dimension ur den formel där den ingår. I Hooke’s lag för en fjäder F = kx är fjäderkonstantens dimension dim (k) =

dim (kraft) MLT − 2 = = MT − 2 dim (längd) L

I detta fall skulle både N/m och kgs−2 vara riktiga SI-enheter.

9789147114429b1-220c.indb 6

6/19/14 7:58 PM

1. Introduktion Med dimensionsanalys kan också i vissa fall ett formelsamband härledas: Exempel 1.2

Om man observerar svängningstiden τ för en plan partikelpendel kan det vara rimligt att anta att den beror på massan m, trådlängden l, tyngdaccelerationen g samt utslagsvinkeln α. Bestäm med dimensionsanalys, så långt det går, det rätta formelsambandet. Vi gör en ansats: τ = c ⋅ mx ⋅ ly ⋅ gz ⋅ αu

(1)

Dimensionsekvationen blir dim(τ ) = 1 ⋅ dim(massa)x ⋅ dim(längd)y ⋅ dim(acceleration)z ⋅ dim(vinkel)u x

T = M L (LT − 2) ⋅ 1

(2)

Nu måste dimensionen vara lika på båda sidor. Exponenterna för M, L och T måste vara lika. Villkoret för rätt dimension är 0=x 0=y+z 1 = −2z

M: L: T:

Lösningen är

(3)

1 1 x = 0, y = , z = − och u obestämd 2 2

Insättning i ansatsen ger då τ = c

l u α Åg

(4)

Den dimensionslösa konstanten c kan vi inte bestämma med denna metod. Eftersom vinkeln α är dimensionslös kan vi inte heller bestämma u. Det betyder att svängningstiden kan vara en funktion av vinkeln α utan att det påverkar dimensionen. Den rätta formeln för svängningstiden är τ = 2π

α 2 11α 4 l + + ...b a1 + Åg 16 3072

Om man kan acceptera ett fel på 1% så kan man för utslagsvinklar mindre än 23° skriva enklare τ = 2π

l . Detta resultat ska härledas senare. Åg

9789147114429b1-220c.indb 7

6/19/14 7:58 PM

2. KRAFTSYSTEM 2.1 Inledning En förutsättning för att kunna beskriva och behandla problem inom mekaniken och besläktade områden inom fysiken är förståelse för krafter och krafters inverkan på kroppar i rörelse och jämvikt. Vi använder kraftbegreppet för att beskriva kroppars växelverkan. Krafternas egenskaper gör att vi kan använda vektorer för att åskådliggöra dem och vektoralgebran blir ett redskap för att göra beräkningar av denna växelverkan. Krafter kan behandlas matematiskt. Ett kraftsystem består av flera krafter. Vissa speciella kraftsystem kan definieras genom att istället för krafterna ange deras vridande förmåga eller kraftmoment. Vi ska i detta kapitel lära oss och försöka förstå hur kraftsystem kan reduceras till enklare system med samma verkan på en stel kropp som det ursprungliga. M

G mg

Ett kraftsystem bestående av krafter Fk och kraftparsmoment Cl kan alltid förenklas till ett kraftsystem, som bara består av en kraft och ett kraftparsmoment. Detta är i specialfall känt sedan tidigare. I stället för att räkna med alla de tyngdkrafter som verkar på varje masselement av en stel kropp kan man införa den resulterande tyngdkraften med angreppspunkt i masscentrum G.

Eftersom krafter står för växelverkan är de oftast utspridda över volymer eller ytor. Varje liten del av en helikopter, varje masselement, påverkas av tyngdkraften. Varje litet areaelement påverkas av den omgivande luften. Det finns krafter i varje punkt. Det går att ersätta delarna av detta komplexa kraftsystem med en tyngdkraft, en luftmotståndskraft, en lyftkraft, ett kraftparsmoment på rotorn, etc. I vissa fall och för vissa speciella kraftsystem går det att ersätta det givna kraftsystemet med en enda kraft.

2) SE-H

SE-H

945

4) SE-H

945

M F

9789147114429b1-220c.indb 8

945

SE-H

945

6/19/14 7:58 PM

2. Kraftsystem 2.2 Kraft Man använder sig av kraftbegreppet för att beskriva en växelverkan mellan kroppar. En kraft är alltså en mekanisk verkan från en fysisk kropp på en annan. I vardagslivet tänker man oftast på en kraft som en drag- eller tryckverkan. Kraften kan karaktäriseras fullständigt av sin storlek, riktning och angreppspunkt. Den räta linje längs vilken kraften verkar kallas kraftens verkningslinje.

β Fra

gile

Det är naturligt att åskådliggöra en kraft med en pil, vars längd visar kraftens storlek. Eftersom krafter som angriper i samma punkt dessutom kan adderas enligt parallellogramlagen, som vi strax ska beskriva, kan de matematiskt behandlas som vektorer. En vektor blir på detta sätt en modell för en kraft. Krafter klassificeras på olika sätt. I fysiken talar man om fyra fundamentala krafter: gravitationskraft, elektromagnetisk kraft samt den svaga och starka kraften. De två sistnämnda har dock så korta räckvidder att de blir väsentliga först då materiens uppbyggnad på atomkärnans nivå studeras. Gravitationskraften är den attraktionskraft som verkar mellan två kroppar. För två partiklar med massorna m och M på avståndet r från varandra ges storleken av Newtons gravitationslag: F=G

mM r2

där G ≈ 6,67 ⋅ 10−11 Nm2/kg2 är den allmänna gravitationskonstanten. I mekaniken gör man följande indelning av krafter: En kropps- eller volymkraft är en kraft som verkar på avstånd utan direkt kontakt. Varje liten del av kroppen, varje litet masselement, påverkas av en kraft från omgivningen. Detta gäller tyngdkraften eller gravitationskraften mellan massor och den elektromagnetiska kraften mellan elektriska laddningar. En kontaktkraft uppstår just vid kontaktstället mellan kroppar. Om två stela kroppar trycks mot varandra uppstår en repulsionskraft, som egentligen är av elektromagnetisk natur. Friktionskrafter och normalkrafter är kontaktkrafter. Om kroppen sitter fast i en tråd eller fjäder blir trådkraften och fjäderkraften en kontaktkraft. Luftmotståndet på en kropp är också en kontaktkraft. En punktkraft är en kraft som har så litet angreppsområde jämfört med kroppens övriga dimensioner att man kan säga att kraften har en angreppspunkt. I vissa fall kan ett kraftsystem med ett stort angreppsområde ersättas av en punktkraft. Tyngdkraften på varje masselement av en kropp kan ersättas av en kraft med angreppspunkt i masscentrum. Vi skiljer också på yttre och inre krafter. En kropp påverkas av en yttre kraft om kraften orsakas av en annan kropp. En inre kraft orsakas av en annan del av samma kropp. Om du själv är kroppen är tyngdkraften den självklara yttre kraften eftersom den orsakas av jorden. 9

9789147114429b1-220c.indb 9

6/19/14 7:58 PM

2. Kraftsystem Erfarenhetsmässigt gäller att en sådan yttre pålagd kraft ger upphov till reaktionskrafter. Kontaktkraften från golvet är alltså en yttre reaktionskraft. Om du trycker handflatorna mot varandra påverkas båda händerna av kontaktkrafter som är inre krafter. Om bara den ena handen är den betraktade kroppen blir samma kontaktkraft en yttre kraft. Vi exemplifierar nu dessa olika krafter genom att betrakta en låda som står i vila på ett lutande plan. Även om vi säger att krafterna är av olika slag och ger dem olika namn, behandlas alla krafter lika i den matematiska problemlösningen. Vi måste kunna skilja på dem, bland annat för att veta vilka som ska vara med i ekvationerna. P

Tyngdkraften på lådan är en yttre pålagd kraft. Verkan på hela lådan av denna volymkraft är densamma som punktkraften mg ger. Den ger upphov till en yttre reaktionskraft mot varje liten del av kontaktytan. Till denna kontaktkraft från underlaget kan man också finna en kraftresultant, alltså en punktkraft som kan ersätta hela kraftsystemet. Kontaktkraften delas ofta upp i komposanter, normalkraften N och friktionskraften f. Om lådan dessutom påverkas av en yttre dragkraft P, förändras kontaktkrafterna f och N. De yttre krafterna ger också upphov till inre krafter.

förstora N

Fragile

Inuti kroppen, till exempel vid angreppspunkten för dragkraften P, uppstår inre spännkrafter och deformationer, vars samband bestäms av de så kallade konstitutiva ekvationerna, t ex Hookes lag för ett elastiskt material. Det är samma lag som bestämmer hur mycket en fjäder förlängs för en given kraft. För att förstå skillnaden mellan yttre och inre krafter förstorar vi nu angreppsområdet för kraften P. Om hela lådan betraktas som ”systemet” så är krafterna i skruvarna som håller fast ringen inre krafter. Om vi enbart studerar ringen, så att den är ”systemet”, blir krafterna i skruvarna yttre krafter på ringen.

Mellan två kroppar i kontakt finns det kontaktkrafter. Dessa är yttre krafter om bara den ena kroppen studeras men inre krafter om båda kropparna studeras samtidigt. Om rep och ring betraktas finns det inre krafter vid kontaktytan mellan dem. Om bara ringen studeras är dessa kontaktkrafter yttre krafter. För lådan är kraften P en punktkraft om hela lådan studeras. Om bara ringen betraktas och repet är tjockt jämfört med ringens storlek får man vara försiktig med en sådan idealisering.

9789147114429b1-220c.indb 10

6/19/14 7:58 PM

2. Kraftsystem Empiriskt gäller också att En yttre krafts verkan på en stel kropp förändras ej, dvs de yttre reaktionskrafterna förändras ej, om kraften förskjuts längs sin verkningslinje. För stela kroppar som ej kan deformeras motvaras en kraft alltså av en vektor som kan förskjutas längs sin egen riktning, en linjebunden vektor. Kraftens angreppspunkt kan då vara vilken som helst på kraftens verkningslinje. Det inre kraftsystemet förändras dock om angreppspunkten flyttas.

Det spelar ingen roll för bilens rörelse om vi drar den eller skjuter den framåt med lika stor kraft. Är kraften tillräckligt stor som vid en kollision, kommer deformationen vid angreppspunkten att synas och om man är intresserad av denna måste bilen behandlas som en deformabel kropp. För en kropp som kan deformeras blir skillnaden mellan kraftens verkan för olika angreppspunkter påtaglig: F

Enheten för kraft är newton (N). En krafts storlek är enligt kraftekvationen F = ma bestämd av kroppens massa m och den acceleration a som kraften skulle ge. Kraften 1 N ger en kropp med massan 1 kg accelerationen 1 m/s2. Hur mycket 1 N är framgår av följande exempel: Dragkraften på bandet i en kassettbandspelare: Tyngdkraften på en liter mjölk: Spännkraften på en gitarrsträng: Kraften på pedalen vid promenadcykling: Kraften på en tennisboll vid tillslaget: Kraften på en golfboll vid tillslaget: Tyngdkraften på en kraftig människa: Friktionskraften på en accelererande bil: En bils maximala bromskraft: Dragkraften på ett litet flygplan: Kraften från atmosfären på en kvadratmeter vid havsytan: Ett lokomotivs eller en jumbojets maximala dragkraft:

1N 10 N 102 N 102 N 102 N 103 N 103 N 103 N 104 N 104 N 105 N 106 N

9789147114429b1-220c.indb 11

6/19/14 7:58 PM

2. Kraftsystem 2.2.1 En krafts kartesiska komponenter z Fz F ez ex Fx

θz

θy

θx ey

Vi väljer alltid ett högerorienterat ortonormerat koordinatsystem så att det blir konsistent med den ”högerregel” som gäller för en vektorprodukt. Det betyder att om basvektorn ex vrids mot basvektorn ey så motsvarar det en skruvrörelse i ez-riktningen: ex × ey = ez. En kraft F kan skrivas på flera sätt. Den kan på olika sätt delas upp i delvektorer, som kallas komposanter.

Den vanligaste komposantuppdelningen av en kraft sker längs koordinatsystemets axelriktningar: F = Fx + Fy + Fz = Fxex + Fyey + Fzez = (Fx , Fy , Fz)

(2.1)

Det sista skrivsättet kallas komponentformen och det kan användas om koordinatsystemet är underförstått. Problem kan uppstå om flera olika koordinatsystem används samtidigt eftersom en och samma vektor har olika komponenter i olika koordinatsystem. Storlek (belopp): F = 0 F 0 =

冑Fx2 + Fy2 + Fz2

(2.2)

x-komponent:

Fx = 0 F 0 cos θ x = Fcos θ x = F ⋅ ex

(2.3)

x-komposant:

Fx = Fxex = (F ⋅ ex)ex

(2.4)

Om alla riktningsvinklar θx , θy , θz införs kan vi skriva F = (Fcos θ x , Fcos θ y , Fcos θ z) = F(cos θ x , cos θ y , cos θ z) = F(l, m, n) = FeF

(2.5)

Här införs skrivsättet e F = (cos θ x , cos θ y , cos θ z) = (l, m, n)

(2.6)

för riktnings-cosinerna. Eftersom detta är en enhetsvektor gäller cos 2θ x + cos 2θ y + cos 2θ z = l 2 + m2 + n2 = 1

(2.7)

vilket betyder att endast två riktningsvinklar måste vara kända för att kraftens verkningslinje ska vara känd.

9789147114429b1-220c.indb 12

6/19/14 7:58 PM

2. Kraftsystem 2.2.2 Några allmänna kraft-vektoralgebraproblem

•

En kraft har storlek P och sin verkningslinje genom punkterna A och B. Bestäm kraften på vektorform! z

Bilda först enhetsvektorn i kraftens riktning genom att normera vektorn mellan A och B. B

F = PeAB = P

P A

Om kraftens storlek är P = 15 N och verkningslinjen går genom punkterna (1, 2, 1)m respektive (2, 4, 3)m så är

rB y

F = PeAB = 15eAB N

= 15

•

rB − rA 0 rB − rA 0

(2, 4, 3)m − (1, 2, 1)m N |(2, 4, 3)m − (1, 2, 1)m| (1, 2, 2)

冑12 + 22 + 22

N = 5(1, 2, 2) N

Dela upp en given kraft F i en komposant F//, som är parallell med en given enhetsvektor e, och en komposant F⊥, som är vinkelrät mot e. Längden av vektorn F// är |Fcosθ|. Cosinus för mellanliggande vinkel θ förekommer ju i skalärprodukten.

F⊥

F// = F cosθ e = (F ∙ e) e θ

Längden av vektorn F⊥ är |Fsinθ|.

F ll

F⊥ = F − F//

Kraften F med angreppspunkt P har verkningslinjen r = rP + λF. Projicera kraften på en axel genom punkterna A och B!

•

Drag en linje parallell med axeln AB genom kraftens angreppspunkt P. Projicera kraften först på den linjen. Komposanten är

P eAB

eAB rA x

F proj

Fproj = ° F ⋅ eAB ¢ eAB

B rB

komponent

där y

eAB =

rB − rA 0 rB − rA 0 13

9789147114429b1-220c.indb 13

6/19/14 7:58 PM

2. Kraftsystem 2.2.3 Kraftsumma-kraftresultant Två krafter F1 och F2 kan ju alltid matematiskt adderas som vektorer. Resultatet F = F1 + F2 kallas kraftsumman men har i allmänhet inte betydelsen att de två krafterna kan ersättas av F. Om en enda kraft F verkligen kan ersätta de båda krafterna F1 och F2 så att verkan på en stel kropp inte förändras kallas kraften F för kraftresultanten. Detta gäller bara i specialfall: •

Kraftresultanten till två krafter med samma angreppspunkt är lika med kraftsumman i samma angreppspunkt. F F1

Empiriskt gäller att kraftresultanten F = F1 + F2 har samma verkan på en kropp som de två krafterna var för sig. F1 och F2 kan då sägas vara kraftresultantens komposanter.

F2 •

Kraftresultanten till två krafter vars verkningslinjer har en skärningspunkt (F1 och F2 ligger i samma plan) är för stela kroppar också lika med kraftsumman med angreppspunkt i skärningspunkten. F1

För en stel kropp kan krafterna F1 och F2 förskjutas längs sin respektive verkningslinje till skärningspunkten och då är fallet återfört på det föregående. Kraftresultanten är F = F1 + F2.

F F2 •

Kraftresultanten till två parallella krafter kan bildas på följande sätt.

-K B

F1 R1 R2 R2 F

Inför två ”hjälpkrafter” K och -K längs sammanbindningslinjen AB. Detta förändrar ej kraftsumman. Nu kan kraftresultanten till R1 och R2, vars verkningslinjer har en skärningspunkt, bestämmas: F = F1 + K + F2 + (−K) = F1 + F2 Detta, inklusive angreppspunktens läge, är kraftresultanten oberoende av K. Om F1 och F2 är lika stora och motriktade är kraftsumman noll och någon skärningspunkt finns ej.

I fortsättningen behandlas stela kroppar om inget annat framgår.

9789147114429b1-220c.indb 14

6/19/14 7:58 PM

2. Kraftsystem Exempel 2.1 (kraftresultanten till två parallella krafter)

b P

Antag att två parallella vertikala krafter, exempelvis tyngdkrafter P och 2P, verkar på en stel kropp. Avståndet mellan krafternas verkningslinjer är b.

Kan två parallella krafter ersättas av en enda kraftresultant så att dess verkan på en stel kropp blir densamma som verkan av de två första krafterna?

•

Addera i varje angreppspunkt och i krafternas plan en horisontell kraft så att kraftsumman inte ändras. Vi väljer exempelvis krafter med storlek P.

•

Addera vektoriellt krafterna som har samma angreppspunkt. Dessa nya krafter R1 och R2 har verkningslinjer som skär varandra.

•

Förskjut dessa båda krafter längs respektive verkningslinje till verkningslinjernas skärningspunkt.

•

Krafterna har nu samma angreppspunkt C och kan adderas till en enda kraft. Kraftresultanten blir vertikal och har storleken 3P.

•

Kraftresultantens verkningslinje kan bestämmas med hjälp av likformiga trianglar enligt figuren. Antag att verkningslinjen ligger på avståndet x från den vänstra angreppspunkten A. Triangeln BCD och den markerade krafttriangeln är likformiga:

P 2P

b-x

45° P P

P x 2P C

x 2P = b−x P

1 x=

2 b 3

Kraftresultanten är alltså vertikal och har storleken 3P. Dess verkningslinje ligger på avståndet 2b/3 från A. Genom att upprepa proceduren kan man i princip använda samma metod för ett parallellkraftsystem med godtyckligt många krafter. Ett parallellkraftsystem har en kraftresultant (om kraftsumman inte är nollvektorn).

3P 15

9789147114429b1-220c.indb 15

6/19/14 7:58 PM

2. Kraftsystem Exempel 2.2 (konstruktion av kraftresultanten)

Krafter som verkar på en stel kropp kan förskjutas längs sina verkningslinjer. Krafter med samma angreppspunkt kan adderas enligt parallellogramlagen. Utnyttja dessa principer för att konstruera kraftresultanten till det kraftsystem som bogserbåtarna i figur 1 påverkar fartyget med. 1) 2) F3

α β F2 3)

F 12

F2 4) F

F 12

F12 Exempel 2.3 (konstruktion av kraftresultanten)

Utnyttja samma principer som ovan och ersätt det givna kraftsystemet på raketen med en kraft, kraftresultanten. Alla krafter antas ligga i samma plan.

F β2

F23

β1

3F 1

F23

A F2

β1

F1 F1 F1

β2

3F 1

Raketens tre motorer ger vardera drivkraften F1. De är parallella och kan ersättas av en kraft med storlek 3F1 och en verkningslinje som sammanfaller med raketens symmetriaxel. Verkningslinjerna för styrraketkrafterna F2 och F3 har en skärningspunkt A och krafterna kan förskjutas till denna punkt och adderas som vektorer till kraften F23. Denna kraft och huvudkraften 3F1 kan förskjutas till en gemensam angreppspunkt och adderas till en kraftresultant.

9789147114429b1-220c.indb 16

6/19/14 7:58 PM

Peter Rajan Kajsa Lindroth Björn Larsson

REDAKTÖR OCH PROJEKTLEDARE GRAFISK FORM OCH OMSLAG GRAFISK PRODUKTION

OKS

ILLUSTRATIONER OCH LAYOUT OMSLAGSFOTO

Christer Nyberg

Erik Hagman

Andra upplagan 1 REPRO TRYCK

OKS, Indien Spanien 2014

KOPIERINGSFÖRBUD

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningssamordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se. Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se Kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08–690 93 01 E-post kundservice.liber@liber.se

9789147114429b1-220c.indb ii

6/19/14 7:58 PM

CHRISTER NYBERG

kraftsystem jämvikt masscentrum jämvikt med friktion

MEKANIK Statik

MEKANIK

MEKANIK Statik

CHRISTER NYBERG

Best.nr 47-11442-9 Tryck.nr 47-11442-9

9789147114429c1c.indd 1

6/18/14 1:55 PM