9789140692931 by Smakprov Media AB

matematik 3A

LÄRARHANDLEDNING

Åsa Brorsson

ARBETSGÅNG MONDO PÄRON

PÄRON

Läs och inspireras av lärarhandledningen i tryckt form eller på webben. Här kan du se vilka minilektioner som hör till området, få tips på aktiviteter och viktiga saker att tänka på.

Inled lektionen med en minilektion eller genomgång.

matematik 3A

LÄRARHANDLEDNING

PÄRON MINILEKTION

PÄRON

Att tolka träddiagram

Syfte: Att lära eleverna att tolka träddiagram. Ett träddiagram visar möjliga utfall. Det visar också hur stor sannolikheten är för ett specifikt utfall. I denna minilektion får eleverna lära sig att avläsa ett träddiagram och att reflektera över sannolikheten för ett visst utfall. HALLON

PÄRON

HALLON

PÄRON

HALLON

PÄRON

HALLON

PÄRON

HALLON

PÄRON

HALLON

PÄRON

HALLON

PÄRON

HALLON

PÄRON

HALLON

PÄRON

HALLON

citron

PÄRON

HALLON

citron

PÄRON

HALLON

citron

PÄRON

HALLON

citron

PÄRON

HALLON

citron

PÄRON

HALLON

citron

PÄRON

HALLON

citron

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

Åsa Brorsson

HALLON

citron

HALLON

citron

BLÅBÄR

HALLON

BLÅBÄR

HALLON

citron

BLÅBÄR

HALLON

citron

BLÅBÄR

HALLON

BLÅBÄR

citron

Låt eleverna arbeta med eventuella aktiviteter och fortsätt sedan arbetet i elevboken.

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

citron

HALLON

citron

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

Samla gärna eleverna och låt dem dela sina strategier med varandra. Avsluta med en kort reflektion. Vad har vi lärt oss idag? BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

I elevwebben finns det fler övningar som eleverna kan arbeta med.

Efter minikollen arbetar eleverna med repetition och/eller utmaning.

REPETITION

4 halvor =

hela

2 halvor =

hel

8 halvor =

hela

hela kakor

10 halvor =

UTMANING

Använd innehållsdivision. Skriv kvoten.

4 1 2

2 1 3

= =

3 1 2

4 1 3

= =

5 1 2

3 1 3

= =

10 1 2

1 1 3

= =

BLÅBÄR

I slutet av varje delmål gör eleverna en minikoll med självbedömning. Den hjälper dig som lärare att bedöma elevernas kunskaper och att planera hur ni ska arbeta vidare.

Fyll i så att det stämmer. 6 halvor =

BLÅBÄR

Hur många gånger ryms 1 i 4? 2

MINIKOLL 1. Skriv ett naturligt tal.

Skriv ett tal i bråkform.

Skriv ett tal i decimalform. Skriv ett negativt tal. säker

ganska säker

osäker

2. Sätt ut rätt tecken. Välj mellan >, < och =. 4 8

4 5

1,25

20 20 2 20 20 20 20 50 50 50 50 100 20 20 5020 20 100 10020 20 20 20 10050 20 50 1002050 20 50 50 50 50 200 100 50 50 100 50100 50 200 100 200 100 100 200 100 100 100 200 ganska säker 200 100 500 200 200200 200200100100 200 500 200500200 500 500 200 500 200 500 500 500 500 500 500 500 200 1000 1000 1000500 1000 500 500 385? 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 385? 1000 500

1,5

TJUGO KRONOR

−4

TJUGO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

TJUGO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

säker

ganska säker50

osäker

FEMTIO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

FEMTIO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

3. Skriv talet.

FEMTIO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

TJUGO KRONOR

ETT HUNDRA KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

TJUGO KRONOR TJUGO KRONOR

TJUGO KRONOR

ETT HUNDRA KRONOR SVERIGES RIKSBANK

SVERIGES RIKSBANK

TJUGO KRONOR

ETT HUNDRA KRONOR

FEMTIO KRONOR FEMTIO KRONOR FEMTIO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

TVÅ HUNDRA KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

FEMTIO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

FEMTIO KRONOR

TVÅ ETT HUNDRA KRONOR HUNDRA KRONOR ETT HUNDRA KRONOR ETT HUNDRA KRONOR SVERIGES RIKSBANK

SVERIGES RIKSBANK

TVÅ HUNDRA KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

säker

SVERIGES RIKSBANK

ETT HUNDRA KRONOR ETT HUNDRA KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

TVÅ HUNDRA KRONOR TVÅ HUNDRA KRONOR TVÅ HUNDRA KRONOR

FEM HUNDRA KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

ETT HUNDRA KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

TVÅKRONOR HUNDRA KRONOR TVÅ HUNDRA KRONOR FEM HUNDRA

4. Skriv talens värde.

FEM HUNDRA KRONOR FEM HUNDRA KRONOR FEM HUNDRA KRONOR RIKSBANK

FEM HUNDRA KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

ETT TUSEN KRONOR SVERIGES RIKSBANK

SVERIGES RIKSBANK

200

SVERIGES RIKSBANK

ETT TUSEN KRONORETT TUSEN KRONOR

ETT TUSEN KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

FEM HUNDRA KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

Hur mycket är 3 värt i 385? säker

TVÅ HUNDRA KRONOR

ETT TUSEN KRONOR ETT TUSEN KRONORETT TUSEN KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

osäker

SVERIGES RIKSBANK

FEM HUNDRA KRONOR FEM HUNDRA KRONOR

ETT TUSEN KRONOR

Hur mycket är 5 värt i

100

SVERIGES

SVERIGES RIKSBANK

Hur mycket är 8 värt i

1000

ganska säker

SVERIGES RIKSBANK

500 ETT TUSEN KRONOR

osäker

1000

5. Skriv en räknehändelse som passar till subtraktionen 12 –

136

1 2

Diagnos och självbedömning av målet Naturliga tal och andra tal.

I slutet av varje kapitel finns en diagnos som följer upp alla kapitlets mål. Efter diagnosen arbetar eleverna med repetition och/eller utmaning. 3 DIAGNOS

6. Ringa in alla naturliga tal. 0,5

1. Måla så att det stämmer.

På fatet ligger det tolv fjärdedelar av äpplen. Hur många hela äpplen är det?

1 5

1 4

2 6

Förklara vilket av bråken som är störst.

Naturliga tal och andra tal.

3 4

500

−10

7. Skriv vilka de markerade talen är. Räkna ut skillnaden. −10

Skillnaden är

137

2. Skriv rätt antal. 1 av 20 är 4

8. På tipspromenaden får Theo dubbelt så många poäng som Vilma. Hur många poäng kan varje barn ha fått?

1 av 20 är 5

3. Sätt ut talen på tallinjen.

1 2

3 4

1 3

0,5

0,25

9. En liter glass kostar 20 kr. Hur mycket kostar

1 liter? 2

1,5

1 2

0,75

1 2

5. Skriv talens värde. Hur mycket är 4 värt i 241?

2 3

1 4

2 liter?

5 liter?

10. Mät sträckan. Rita sträckan i skala 3:1.

4. Sätt ut rätt tecken. välj mellan >, < och =. 3 4

0,5

Skala 1:1

Skala 3:1

11. Förstora bilden med hjälp av rutnätet.

Hur mycket är 1 värt i 241? Hur mycket är 2 värt i 241?

152

1, 2, 3, 4 Tal i bråk- och decimalform. 5 Naturliga tal.

6, 7 Naturliga tal. 8, 9, 10 Skala och proportionalitet.

153

Gleerups Utbildning AB Box 367, 201 23 Malmö Kundservice tfn 040-20 98 10 Kundservice fax 040-12 71 05 e-post info@gleerups.se www.gleerups.se

Mondo matematik 3A Lärarhandledning © 2018 Författare och Gleerups Utbildning AB Gleerups grundat 1826 Redaktör Louise Sjöström Bildredaktör Katarina Weström Formgivning Helena Alvesalo Illustratör Magdalena Wennberg Lavebratt Första upplagan, första tryckningen ISBN 978-91-40-69293-1 Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering är förbjuden, då ej annat anges i materialet. De sidor som får kopieras får endast spridas inom skolenheten! På kopierade sidor ska © och upphovsrättinnehavarnas namn anges. Ingen del av materialet får lagras eller spridas i elektronisk (digital) form. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Prepress Bording AB, Borås 2018. Kvalitet ISO 9001/Miljö ISO 14001 Tryck Bording AB, Borås 2018. Kvalitet ISO 9001/Miljö ISO 14001

Innehållsförteckning UNDERVISNING Upplägget i Mondo matematik för lågstadiet......4 Den matematiska verktygslådan ........................... 8 Berättelser till samtalsbilderna (kapitel 1-3)......... 10 Begrepp i Mondo 3A (kapitel 1-3)..................... 13

Kapitel 1 – Fjällvandringen Samtalsbild, Mål, Förmågor, Begrepp.................. 14 Fördiagnos och/eller diskussion i grupp............. 15 Undersökning – Historiska talsystem.................. 16 Grundsidor................................................... 18 Minikoll....................................................... 28 Aktivitet – Programmera mera!.......................... 30 Grundsidor................................................... 32 Minikoll....................................................... 42 Aktivitet – Att skapa ekvationer......................... 44 Grundsidor................................................... 46 Minikoll....................................................... 54 Matematikens värld Digitala verktyg, Hela den analoga klockan............................. 56 Diagnos............................................................. 58 Repetition och/eller utmaning.......................... 59 Kapitel 2 – Kapsyljakten Samtalsbild, Mål, Förmågor, Begrepp.................. 62 Fördiagnos och/ eller diskussion i grupp............ 63 Undersökning – Vi undersöker sannolikheten.... 64 Grundsidor................................................... 66 Minikoll....................................................... 76 Aktivitet – Statistik............................................ 78 Grundsidor................................................... 80 Minikoll....................................................... 90 Aktivitet – Hexomino....................................... 92 Grundsidor................................................... 94 Minikoll..................................................... 102 Matematikens värld Platonska kroppar, Hela den digitala klockan............................ 104 Diagnos........................................................... 106 Repetition och/eller utmaning........................ 107

Kapitel 3 – Vi måste dela lika! Samtalsbild, Mål, Förmågor, Begrepp.............. 110 Fördiagnos och/eller diskussion i grupp......... 111 Undersökning – Vi måste dela lika!................ 112 Grundsidor............................................... 114 Minikoll................................................... 126 Aktivitet – Vad finns mellan talen?.................. 128 Grundsidor............................................... 130 Minikoll................................................... 140 Aktivitet – Att blanda saft............................... 142 Grundsidor............................................... 144 Minikoll................................................... 152 Matematikens värld Eratosthenes såll, Tidsskillnader.................. 154 Diagnos......................................................... 156 Repetition och/eller utmaning...................... 157 MER OM MONDO MATEMATIK Koppling till styrdokumenten......................... 160 Forskning och beprövad erfarenhet................ 160 Ett språkutvecklande arbetssätt....................... 162 Att arbeta formativt....................................... 162 Bedömning i praktiken, praktiska tips för klassrummet........................................ 164 Didaktiska kartan........................................... 170 Matris – centralt innehåll och kunskapskrav... 177 Matris – syfte och kunskapskrav..................... 180 MINILEKTIONER................................... 181 Minilektioner, kapitel 1.................................. 184 Minilektioner, kapitel 2.................................. 194 Minilektioner, kapitel 3.................................. 200 KOPIERINGSUNDERLAG.................... 209

Upplägget i Mondo matematik för lågstadiet SÅ ARBETAR EN MATEMATIKER På insidan av bokens pärm finns en illustrerad sammanställning av några viktiga punkter om hur en matematiker arbetar.Vår tanke med detta är att eleverna ska kunna återvända till denna sida som ett slags ”komihåg” men också att det ska visa på att matematik är så mycket mer än att arbeta med aritmetik, de fyra räknesätten. Matematik handlar också om nyfikenhet, organisation, problemlösning och sist men inte minst, kommunikation.Vår förhoppning är att du ska känna att Mondo lyfter fram alla dessa delar. I lärarhandledningen hittar du bland annat laborativa aktiviteter, spel och utomhusaktiviteter. EN MATEMATIKER Samlar information Letar mönster

Ritar Använder material

Spelar filmen Dramatiserar

Diskuterar Förklarar

Gör en uträkning Gör en tabell

PÄRON

BEGREPP Matematiska symboler

Taluppfattning

= Likhetstecknet

7 + 8 = 20 – 5

Naturliga tal 0,1,2,3…

≠ Skilt från

4 · 5 ≠ 12 + 3

Tal i bråkform 4

> större än

3+8>4+6

< mindre än

5·2<3·4

Sylarna 9 km

Blåhammaren 9 km Storulvån 10 km

Ulvåtjärn 5 km

APELSIN

ON PÄR

... 98, 99, 100

Fjällvandringen

PÄRON

HALLON

citron

Tal i decimalform 0,5 PÄRON

BLÅBÄR

|||| |||| ||

Gul

Blå

Blåhammaren 9 km HALLON

Cirkeldiagram

HALLON

Storulvån 10 km

HALLON citron

PÄRON

HALLON

PÄRON

HALLON

PÄRON

HALLON

Träddiagram HALLON

PÄRON

HALLON

citron

PÄRON

HALLON

citron PÄRON

citron citron

Venndiagram

BLÅBÄR

citron PÄRON

mån

tis

ons

tors

fre

citron

HALLON

PÄRON

4 3

citron PÄRON

HALLON

PÄRON PÄRON

6 5

citron

PÄRON

HALLON

PÄRON

HALLON

PÄRON

VAD TROR DU?

HALLON

Hur höga tal finns det?

Ulvåtjärn 5 km

°C HALLON

Rosa

Linjediagram

HALLON

|||| |

Grön

BLÅBÄR

Sylarna 9 km

PÄRON PÄRON

Stapeldiagram

PÄRON

BLÅBÄR

PÄRON

Röd

Vi arbetar med metoder, problemlösning och resonemang.

Matematikens värld: • Digitala verktyg • Tid: Hela den analoga klockan

Negativa tal –4, –7

Sannolikhet och statistik

Antal

MÅL • Höga tal • Mönster och programmering • Matematiska likheter, ekvationer

PÄRON

Färg

PÄRON

HALLON

PÄRON

Frekvenstabell

PÄRON

HALLON

PÄRON

BLÅBÄR

HALLON

citron

HALLON

PÄRON

HALLON

citron

PÄRON

HALLON

citron

PÄRON

HALLON

citron

PÄRON

HALLON

citron

PÄRON

HALLON

citron

PÄRON

HALLON

citron

BLÅBÄR HALLON

BLÅBÄR

HALLON

BLÅBÄR HALLON

Kollar om svaret är rimligt

TEMAN

STARTUPPSLAG

HALLON

citron

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

HALLON

BLÅBÄR BLÅBÄR

BLÅBÄR

citron

HALLON

BLÅBÄR

citron

HALLON

citron

BLÅBÄR

HALLON

citron

BLÅBÄR

HALLON

citron

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

citron citron

BLÅBÄR

citron

Geometriska objekts egenskaper BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

BLÅBÄR BLÅBÄR

BLÅBÄR

sida hörn

BLÅBÄR

hörn

spets

sfär

Fjällvandringen

parallella sidor

BLÅBÄR

kant

mantelyta

sidoyta

basyta

BLÅBÄR

Varje kapitel inleds med en startuppslag bestående av en samtalsbild, en sammanställning av kapitlets mål och en diskussionsfråga. Samtalsbilden har två funktioner, dels kan den användas som ett fördiagnos av elevernas kunskaper inom de aktuella målen, dels kan den fungera som ett underlag för ett gemensamt samtal. Den lägger också grunden för den kontext som det matematiska innehållet presenteras i. Till samtalsbilden finns det även en kortare skönlitterär berättelse skriven av barn- och ungdomsförfattaren Åsa Hofverberg. Syftet med berättelsen är att låta barnen lära känna sammanhanget och bokens huvudpersoner, men också att skapa nyfikenhet runt det matematiska innehållet och vara en inspirerande ingång till den undersökning som eleverna ska arbeta med. På startuppslaget finns det även en sammanställning av kapitlets mål.

Vad finns det färst av på bilden? 1. bollar X. hinkar 2. hopprep

Vad heter det geomet riska objekte t?

1. kub X. rektange l 2. rätblock

Kapsyljakten APELSINSAFT

HALLONSAFT HAL

LON

SAF

MÅL • Höga tal • Mönster och programmering • Matematiska likheter, ekvationer

Vi arbetar med metoder, problemlösning och resonemang.

APELINSAFT

AFT

LLO

Vi måste dela lika!

Elevboken är indelad i tre kapitel med var sitt tema. Dessa teman är vardagsnära och särskilt utvalda för att lyfta fram ett specifikt matematiskt innehåll. Temat är också ett sätt att placera matematiken i en kontext och att skapa sammanhang. Genom hela boken får vi följa de fyra huvudpersonerna Amira, Malte, Milo och Yafet samt deras klasskompisar och familjer. 4

Mondo 3A | Inledning

Matematikens värld: • Digitala verktyg • Tid: Hela den analoga klockan

Till vänster står de mål som hämtats från det centrala innehållet i kursplanen. Dessa följs av något som vi kallar matematikens värld, här finns en sida med blandat innehåll. Här handlar det om kombinatorik. Matema tikens värld innehåller också alltid en sida om tid. Till höger i rutan står de matematiska förmågor som är särskilt i fokus i det aktuella kapitlet.Vår tanke är att alla förmågorna ständigt är närvarande men vi

väljer att sätt särskilt fokus på några utvalda förmågor i varje kapitel. Målrutan följs av en diskussionsfråga som vi har valt att ge rubriken ”Vad tror du?” Denna återkommande rubrik rymmer olika typer av frågor som ibland är av mer filosofisk karaktär och tanken är givetvis att väcka funderingar och visa på matematikens bredd och funktion. PÄRON

UNDERSÖKNING OCH AKTIVITETER PÄRON

HALLON

PÄRON

HALLON

PÄRON

STAPELDIAGRAM

UNDERSÖKNING

HALLON

Ta upp en plockis utan att titta. Markera i stapeldiagrammet.

PÄRONHALLON HALLON PÄRON

Lägg tillbaka plockisen och upprepa 60 gånger.

Antal

Ni behöver plockisar i tre färger och en påse eller ask och ett arbetsblad.

citron

HALLON

PÄRON

Titta på ert resultat. Skriv in rätt antal.

HALLON

Hämta plockisar så att det stämmer med instruktionerna. Skriv färgerna.

HALLON

citron

BLÅBÄR

Det ska finnas 3 st av den första färgen. Vår första färg är

HALLON

citron

Kopiering tillåten © Författarna

och Gleerups Utbildning

Färg

Färg 1 kom upp

gånger.

Färg 2 kom upp

gånger.

Färg 3 kom upp

gånger.

citron HALLON

BLÅBÄR

citron

HALLON

AB.

Det ska finnas 2 st av den andra färgen. Vår andra färg är

Kopieringsunderlag |

Mondo 3A

citron

Förklara varför resultatet blev som det blev.

Det ska finnas 1 st av den tredje färgen. Vår tredje färg är

citron citron BLÅBÄR

Skriv in vilka färger plockisarna har i diagrammet. Ta upp en plockis i taget utan att titta. Lägg tillbaka den. Ni ska upprepa försöket 60 gånger.

citron BLÅBÄR BLÅBÄR citron

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

Vilken färg tror ni att ni kommer få upp flest gånger? Motivera ert svar.

Naturliga tal och andra tal.

Tal 0, 1, 2, 3, 4, 5… kallas naturliga tal eller grundtal.

1 3 och kallas tal i bråkform. 2 4

3 4

0,5 och 1,75 kallas tal i decimalform. – 10 och – 3 kallas negativa tal.

Ringa in det naturliga talet i varje ruta. 2 3

1000

6 8

−5

3,2

0,4

1 2

1 000 000

Skriv minst fem naturliga tal som är mindre än 20.

<20

Skriv minst fem naturliga tal som är större än 75.

Naturliga tal och andra tal.

PÄRON

UNDERSÖKNING Vi undersöker sannolikheten. citron

MÅL

FAKTA

>75

PÄRON

GRUNDSIDOR Varje nytt mål i kapitlet visas tydligt genom att målet står högst upp på sidan. Ibland finns det också en faktaruta på uppslaget. Till varje mål finns det också ett antal minilektioner som används för att stärka inlärningen. I lärarhandledningen får du förslag på arbetsgång, vilka minilektioner som passar till momentet och tips på ytterligare aktiviteter. Du får också didaktiska kommentarer som förklarar tanken bakom de uppgifter som finns med på uppslaget.

BLÅBÄR

125

BLÅBÄR

Kan man veta hur många gånger man ska få upp en viss färg? Motivera ert svar.

Vilken färg tror ni att ni kommer få upp färst gånger?

MINIKOLL Varje mål avslutas med en minikoll, detta innebär att det finns flera avstämningspunkter i varje tema. I minikollen får eleverna lösa ett antal uppgifter samt till varje uppgift göra en självvärdering av hur säkra de känner sig på momentet. I de flesta fall innehåller minikollen en uppgift som är av problemkaraktär och som kräver mer utrymme, då finns det en symbol som visar att eleverna ska använda sitt räknehäfte. Räknehäftet används återkommande i olika moment i boken. Minikollen följs upp på följande sida. 3B

Motivera ert svar.

MINIKOLL

1. Skriv ett naturligt tal.

Skriv ett tal i bråkform.

Skriv ett tal i decimalform.

Undersökningen fokuserar på sannolikhet i ett slumpmässigt försök.

Skriv ett negativt tal.

säker

ganska säker

osäker

2. Sätt ut rätt tecken. Välj mellan >, < och =. 4 8

4 5

Varje kapitel innehåller en undersökning och ett antal aktiviteter. Syftet med undersökningen är att låta elev erna upptäcka något viktigt inom matematiken. I det första kapitlet handlar det om att arbeta med talbilder. Hur kan man se ett antal i ett ögonkast? Vilka strategier använder olika elever? Hur förklarar eleverna hur de ser talet och hur kan det översättas till matematikens symbolspråk? Hur kan man visa att man hittat alla möjliga uppdelningar? I lärarhandledningen får du som lärare stöd med hur du kan hjälpa eleverna att kommunicera kring sina undersökningar och vilka uttrycksformer som kan användas. Undersökningarna innefattar både enskilt arbete och arbete i par samt uppföljande gruppdiskussioner. De kan genomföras vid ett lektionstillfälle eller utvidgas till att omfatta flera lektioner. Aktiviteterna är mindre omfattande än undersökningarna. Syftet är att låta eleverna arbeta praktiskt med moment som knyter an till respektive mål och förstärker inlärningen.Varje nytt mål inleds med en aktivitet. Förslag på ytterligare aktiviteter hittar du i lärarhandledningen. 3B

AKTIVITET Vad finns mellan talen?

Skriv två olika tal som är mindre än 1.

Hämta ett talkort. Skriv talen på kortet i storleksordning. Börja med det minsta.

Skriv ett tal som finns mellan era två minsta tal.

Skriv ett tal som finns mellan era två största tal.

124

Aktiviteten fokuserar på vad som finns mellan de naturliga talen på tallinjen.

1,25

20 1,5 −4 20 2 20 20 20 ganska säker50 20 50 50 50 50 100 20 20 5020 20 100 10020 20 20 20 20 10050 50 1002050 20 50 50 50 50 200 100 50 50 100 50100 50 200 100 200 100 100 100 100 ganska säker 200200100200200 200 100 500 200200100100 200 200 500 200500200 500 500 200 500 200 500 500 500 500 500 500 500 200 1000 1000 1000500 1000 500 500 385? 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 385? 1000 500 TJUGO KRONOR

TJUGO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

TJUGO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

säker

osäker

FEMTIO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

FEMTIO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

3. Skriv talet.

FEMTIO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

TJUGO KRONOR

ETT HUNDRA KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

TJUGO KRONOR TJUGO KRONOR

TJUGO KRONOR

ETT HUNDRA KRONOR SVERIGES RIKSBANK

SVERIGES RIKSBANK

TJUGO KRONOR

ETT HUNDRA KRONOR

FEMTIO KRONOR FEMTIO KRONOR FEMTIO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

TVÅ HUNDRA KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

FEMTIO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

FEMTIO KRONOR

TVÅ ETT HUNDRA KRONOR HUNDRA KRONOR ETT HUNDRA KRONOR ETT HUNDRA KRONOR SVERIGES RIKSBANK

SVERIGES RIKSBANK

TVÅ HUNDRA KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

säker

SVERIGES RIKSBANK

TVÅ HUNDRA KRONOR TVÅ HUNDRA KRONOR TVÅ HUNDRA KRONOR

FEM HUNDRA KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

ETT HUNDRA KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

TVÅKRONOR HUNDRA KRONOR TVÅ HUNDRA KRONOR FEM HUNDRA

4. Skriv talens värde.

SVERIGES

FEM HUNDRA KRONOR FEM HUNDRA KRONOR FEM HUNDRA KRONOR RIKSBANK

FEM HUNDRA KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

Hur mycket är 5 värt i

SVERIGES RIKSBANK

ETT TUSEN KRONOR SVERIGES RIKSBANK

SVERIGES RIKSBANK

ETT TUSEN KRONORETT TUSEN KRONOR

ETT TUSEN KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

TVÅ HUNDRA KRONOR

ETT TUSEN KRONOR ETT TUSEN KRONORETT TUSEN KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

100

SVERIGES RIKSBANK

FEM HUNDRA KRONOR FEM HUNDRA KRONOR

ETT TUSEN KRONOR

Hur mycket är 8 värt i

osäker

ETT HUNDRA KRONOR ETT HUNDRA KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

200

SVERIGES RIKSBANK

FEM HUNDRA KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

500

SVERIGES RIKSBANK

Hur mycket är 3 värt i 385?

säker

1000

ganska säker

ETT TUSEN KRONOR

osäker

1000

SVERIGES RIKSBANK

5. Skriv en räknehändelse som passar till subtraktionen 12 –

136

1 2

Diagnos och självbedömning av målet Naturliga tal och andra tal.

REPETITION OCH UTMANING Det finns alltid en repetitionsoch utmaningssida efter minikollen. Här kan eleverna repetera och/eller gå vidare inom det aktuella innehållet. Utmaningarna ligger generellt på en svårare nivå än grundkursen. Utöver den repetitionsoch utmaningssida som du hittar efter mini kollen så finns det även sex sidor repetition och REPETITION

Fyll i så att det stämmer. 6 halvor =

4 halvor =

hela

10 halvor =

2 halvor =

hel

8 halvor =

hela

hela kakor

UTMANING

Använd innehållsdivision. Skriv kvoten.

4 1 2

2 1 3

= =

3 1 2

4 1 3

= =

5 1 2

3 1 3

= =

10 1 2

1 1 3

Hur många gånger ryms 1 i 4? 2

På fatet ligger det tolv fjärdedelar av äpplen. Hur många hela äpplen är det?

Naturliga tal och andra tal.

137

Inledning | Mondo 3A

utmaning sist i varje kapitel. Tanken med att ha dessa tvådelade sidor är att alla elever ska arbeta med alla sidor i boken även om inte alla nödvändigtvis gör hela sidan. Det är inte statiskt vilka elever som arbetar med repetition respektive utmaning utan det är beroende av hur eleven behärskar det aktuella målet.Varje sida följer upp ett av målen och vår förhoppning är att fler elever ska känna sig trygga i att arbeta även med utmaningarna.

DIAGNOS 3 DIAGNOS

6. Ringa in alla naturliga tal. 0,5

1. Måla så att det stämmer. 1 5

1 4

2 6

3 4

500

−10

7. Skriv vilka de markerade talen är. Räkna ut skillnaden.

Förklara vilket av bråken som är störst.

−10

Skillnaden är 2. Skriv rätt antal. 1 av 20 är 4

8. På tipspromenaden får Theo dubbelt så många poäng som Vilma. Hur många poäng kan varje barn ha fått?

1 av 20 är 5

3. Sätt ut talen på tallinjen.

1 2

3 4

1 3

0,5

0,25

9. En liter glass kostar 20 kr. Hur mycket kostar

1 liter? 2

1,5

1 2

0,75

1 2

2 3

1 4

2 liter?

5 liter?

10. Mät sträckan. Rita sträckan i skala 3:1.

4. Sätt ut rätt tecken. välj mellan >, < och =. 3 4

0,5

Skala 1:1

Skala 3:1

11. Förstora bilden med hjälp av rutnätet.

5. Skriv talens värde. Hur mycket är 4 värt i 241? Hur mycket är 1 värt i 241? Hur mycket är 2 värt i 241?

MATEMATIKENS VÄRLD Eratosthenes såll är en metod för att hitta primtal. Metoden uppfanns av Erathostenes som var en grekisk astronom och matematiker. Han levde år 276 – 194 f.Kr. 2

17 och18 19 sig självt.

Primtal går bara att dela med 1 och med sig självt.

Skriv klockslagen. Räkna ut tidsskillnaden.

Tidsskillnaden är

100

Tidsskillnaden är

10:50

12:00

Tidsskillnaden är

1. Det minsta primtalet är 2. Talet 2 är inringat. Stryk alla tal som går att dela med 2. 2. Det första talet som inte är struket är 3. Ringa in talet 3. Det är nästa primtal. Stryk alla tal som går att dela med 3.

4. Fortsätt tills alla tal är inringade eller strukna.

Tidsskillnaden är 1 timme och 15 minuter. Vad kan klockorna visa?

Tidsskillnaden är 4 timmar och 30 minuter. Vad kan klockorna visa? :

Alla inringade tal är primtal. Erathostenes såll.

Tid: Tidsskillnader.

Problemlösning

3. Ringa in nästa tal som inte är struket. Stryk alla tal som går att dela med talet.

Samband & förändring

71 81

Sannolikhet & statistik

41 51

Mellan klockan kvart i ett och klockan kvart över ett är det 30 minuter.

Geometri

12 22

Tidsskillnaden berättar hur lång tid det är mellan två klockslag.

11 21

FAKTA

Algebra

Primtal går bara att dela med 1

Taluppfattning & tals användning

150

MATEMATIKENS VÄRLD Eratosthenes såll

152

151

Efter grundsidorna, innan den avslutande diagnosen i varje kapitel finns ett uppslag som vi har valt att kalla matematikens värld. Kursplanen i matematik är oerhört omfattande och för att hålla alla delar aktuella och för att lyfta till exempel historiska aspekter har vi detta uppslag med blandad träning. Arbete med tid och avläsning av klockan är något som många lärare efterfrågar.Vi har valt att ha med detta kontinuerligt i hela materialet. Matematikens värld innehåller alltid en sida om tid, till exempel avläsning av klockan, dessutom finns det kopieringsunderlag och mini lektioner som också tränar detta.

1, 2, 3, 4 Tal i bråk- och decimalform. 5 Naturliga tal.

6, 7 Naturliga tal. 8, 9, 10 Skala och proportionalitet.

I slutet av varje kapitel finns en diagnos som täcker in kapitlets alla mål (till skillnad från minikollen som testar enbart ett mål i taget). Diagnosen följs upp med repetitionsoch utmaningssidor där varje mål har en eller flera sidor. Efter diagnosen kan eleverna delas in i tre huvudgrupper: 1. De elever som i diagnosen visar att de har behärskar

momentet och behöver en utmaning. Dessa elever går direkt till utmaningen. 2. De elever som förstått grunderna men behöver öva mer för att befästa kunskapen. För dessa kan ibland en kortare genomgång krävas men i princip kan de sedan arbeta vidare med repetitionsuppgifterna och eventuellt gå vidare med vissa av utmaningarna. 3. De elever som har stora svårigheter med ett moment och behöver konkreta genomgångar och övningar med eventuellt material innan de kan gå vidare till repetitionsuppgifterna. I lärarhandledningen hittar du konkreta tips för hur du kan arbeta med dessa elever under rubriken Extra träning inför repetitionen på varje uppföljningssida. PÄRON

BEGREPP Allra sist, på insidan av bokens pärm finns några viktiga begrepp samlade. EN MATEMATIKER Samlar information Letar mönster

Ritar Använder material

Diskuterar Förklarar

Gör en uträkning Gör en tabell

BEGREPP Matematiska symboler

Taluppfattning

= Likhetstecknet

7 + 8 = 20 – 5

Naturliga tal 0,1,2,3…

≠ Skilt från

4 · 5 ≠ 12 + 3

Tal i bråkform 4

> större än

3+8>4+6

< mindre än

5·2<3·4

PÄRON

HALLON

citron

BLÅBÄR

Tal i decimalform 0,5 PÄRON

Negativa tal –4, –7 PÄRON

PÄRON PÄRON PÄRON PÄRON PÄRON

Sannolikhet och statistik

HALLON PÄRON

Frekvenstabell Färg

Antal

Röd

|||| |||| ||

Gul

Blå

|||| |

Grön

Stapeldiagram

Cirkeldiagram

HALLON

Linjediagram °C

HALLON HALLON

HALLON PÄRON

HALLON citron

PÄRON

HALLON

PÄRON

HALLON

PÄRON

citron

PÄRON

HALLON

Träddiagram

HALLON

PÄRON

HALLON

PÄRON

HALLON

citron PÄRON

citron citron

Venndiagram

BLÅBÄR

citron PÄRON

HALLON

citron

PÄRON

HALLON

citron

4 3

citron

PÄRON

HALLON

PÄRON

citron

HALLON

PÄRON

PÄRON PÄRON

PÄRON

6 5

PÄRON

Rosa

mån

tis

ons

tors

fre

BLÅBÄR HALLON

PÄRON

HALLON

citron

PÄRON

HALLON

citron

PÄRON

HALLON

citron

PÄRON

HALLON

citron

PÄRON

HALLON

citron

PÄRON

HALLON

citron

BLÅBÄR HALLON

BLÅBÄR

HALLON

BLÅBÄR HALLON

Spelar filmen Dramatiserar

Kollar om svaret är rimligt

HALLON

citron

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

HALLON

BLÅBÄR BLÅBÄR

BLÅBÄR

citron

HALLON

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

HALLON

citron

BLÅBÄR

HALLON

citron

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

citron citron

BLÅBÄR

citron

Geometriska objekts egenskaper BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

citron

BLÅBÄR

BLÅBÄR BLÅBÄR

BLÅBÄR

sida hörn

BLÅBÄR

parallella sidor

BLÅBÄR

Mondo 3A | Inledning

153

BLÅBÄR

hörn

spets

kant

mantelyta

sidoyta

basyta

sfär

VAD BETYDER SYMBOLEN?

Fler kopieringsunderlag I lärarwebben finns alla kopieringsunderlag, även de som ligger i handledningen. I rosa rutor sammanfattas det du kan komplettera/arbeta med till varje uppslag i elevboken. Symbolen betyder att du kan skriva ut underlag som bara finns i lärarwebben. Utomhusaktivitet Under denna symbol får du tips på hur ni kan arbeta vidare utomhus. S

Hänvisningar till den didaktiska kartan Strategier, Matematiska principer samt Modeller

Digital minilektion, bildspel Symbolen visar att minilektionen (ML) finns digitalt i lärarwebben som ett bildspel. RÄKNEHÄFTE Räknehäftet används för att lösa vissa upp gifter och göra mer omfattande redovisningar, det kan också användas i samband med till exempel undersökningar. Det är viktigt att redan från början lära eleverna att det viktiga är vägen fram till en lösning, inte enbart svaret. Tänk på att visa eleverna hur de kan strukturera sina lösningar i räknehäftet och hur de skriver vilken sida uppgiften är hämtad från. DIGITALA KOMPONENTER Till Mondo matematik finns det även digitala komponenter i form av bland annat interaktiva övningar, färdighetsträning och filmade genomgångar för elever respektive lärare. Dessa hittar du i elevwebben och lärarwebben. I lärarwebben finns även de digitala bildspel som kan användas till minilektionerna.

MINILEKTIONER Till varje tema finns det en förteckning över minilektioner. Dessa minilektioner kan till exempel innehålla presentation av modeller, färdighetsträning, övning på klockan, historiska fakta och arbete med mönster. Några är direkt knutna till det aktuella målet, andra handlar om andra aspekter av matematik, som till exempel historiska perspektiv och spännande fakta. Tanken är att du som lärare ska ha en så rik bank att ösa ur att du varje dag kan ha en minilektion i matematik om du så önskar. När det gäller färdighetsträning är minilektionerna en oerhört viktig byggsten. Minilektionerna är då ett verktyg för att synliggöra mönster och hjälpa eleverna att hitta effektiva strategier. Målet med minilektionerna är att involvera eleverna så att de är aktiva. Flertalet av minilektionerna finns även som digitala presentationer i Mondo lärarwebb. Du väljer själv hur många minilektioner du vill använda dig av. Det finns underlag för att ha en kortare mattesamling varje dag, precis som ni kanske har en stunds högläsning varje dag. I lärarhandledningen och på webben finns alla minilektioner samlade. LÄRARWEBB Till Mondo Matematik finns det en lärarwebb. I denna hittar du hela lärarhandledningen. Här finns även alla sidor i elevboken inklusive samtalsbilderna att projicera på tavlan och prata kring. Det finns dessutom didaktiska filmer och extra kopieringsunderlag. I lärarwebben kan du som lärare skapa individuella färdighetsträningsuppgifter i de fyra räknesätten till eleverna. Du skapar snabbt övningsuppgifter genom att göra några enkla val. Dessa genereras sedan slumpvis utifrån de inställningar du valt. Övningsuppgifterna kan delas via länk, eleverna kan då arbeta med dem digitalt, eller skrivas ut. I lärarwebben kan du även följa elevernas resultat på en del av de övningar som eleverna arbetar med i elevwebben. ELEVWEBB Mondo matematik elevwebb bygger på elevböckernas sex kapitel och innehåller självrättande interaktiva övningar, didaktiska elevfilmer, övningar för färdighetsträning och matematiska begrepp.

Inledning | Mondo 3A

Den matematiska verktygslådan Du som undervisar i matematik vet att det är otroligt komplext. När jag har tagit fram det här materialet har jag gjort det utifrån en helhetssyn på matematik. Mondo matematik bygger på didaktisk forskning och beprövad erfarenhet. I materialet har jag vävt in de erfarenheter som jag fått under mina drygt tjugo år som lärare i matematik, som matematikutvecklare och som handledare för lärare inom bland annat matematiklyftet. Matematik är ett mycket innehållsrikt ämne, det ser vi inte minst då vi studerar kursplanen i matematik.Vårt mål är att eleverna ska skaffa sig en ”matematisk verktygslåda” som är fylld med kunskap som de kan använda både i sin vardag och i framtida studier. Läs mer nedan om några viktiga verktyg i denna verktygslåda. KOMMUNIKATION OCH RESONEMANG Kommunikation är en grundläggande del i den matematiska kunskapsutvecklingen. Detta bör genomsyra hela matematikundervisningen. I Mondo varierar vi mellan att eleverna arbetar enskilt, att de arbetar tillsammans med en kompis och i grupp. I lärarhandledningen beskriver vi hur ni kan arbeta enligt modellen enskilt, par, alla (EPA). En av styrkorna med denna modell är att den på ett effektivt sätt involverar alla elever. Eleverna tänker först enskilt en stund, därefter diskuterar de i par. Slutligen samlar man elevernas tankar i en gemensam diskussion. Metoden har visat sig vara framgångsrik, men tänk på att det tar tid för eleverna att vänja sig vid ett arbetssätt. Kanske fungerar det inte de första gångerna ni arbetar på detta sätt, men våga ge det tid! Ett annat bra sätt att involvera alla elever i diskussionerna är att ställa öppna frågor och låta eleverna diskutera med en kompis. Fokusera på hur eleverna tänker snarare än ett specifikt svar. Använd dig gärna av bestämda par som du vet fungerar bra tillsammans så att båda får komma till tals. Låt eleverna diskutera någon minut och välj sedan ut några elevpar som får redogöra för sina tankar. BEGREPP I matematikundervisningen använder vi många begrepp.Vi använder oss konsekvent av en korrekt matematisk terminologi. Eleverna möter många 8

Mondo 3A | Inledning

:43

begrepp i boken men den viktigaste begreppsinlärningen står du som lärare för. Genom att i genomgångar och diskussioner konsekvent använda matematiska ord och begrepp får eleverna möta begreppen dagligen. Uppmuntra eleverna att använda begreppen i muntliga och skriftliga förklaringar. Ett sätt att systematiskt arbeta med begrepp är att till exempel en gång/vecka välja ett begrepp som eleverna själva ska förklara. Låt varje elev ha en egen skrivbok där de samlar sina förklaringar, alternativt kan de spela in små förklarande filmer med hjälp av till exempel en läsplatta. Alla matematikens delar kan användas för detta ändamål! FÄRDIGHETSTRÄNING Färdighetsträning handlar om att öva på till exempel metoder och tabellkunskaper så att dessa blir automatiserade. Jag menar att tabellkunskaper, så kallade talfakta, är en mycket viktig del i elevernas matematiska verktygslåda. Eleverna behöver behärska grundläggande tabeller i de fyra räknesätten, utan denna kunskap är det svårt för eleverna att arbeta effektivt med övriga områden inom matematiken. Forskningen visar att elever som byggt upp talfakta genom förståelse, till exempel genom att få möta och jämföra olika huvudräkningsstrategier har en mycket bättre grund att stå på än elever som lärt sig talfakta som utantillkunskap. Färdighetsträning behövs i matematik, men vi behöver vara tydliga med vad vi avser med detta. För de elever som har fastnat i en ineffektiv metod och kanske inte heller upptäckt mönstret mellan tabellerna så är jag övertygad om att

DE FEM PROBLEMLÖSNINGS STEGEN 1. Läs och spela filmen. 2. Tänk och planera. 3. Lös problemet. 4. Redovisa din lösning. 5. Kontrollera svaret.

Eleverna har också fått möta olika problemlösningsstrategier för att efterhand få ett allt rikare utbud av strategier att välja emellan. När eleverna nu går i årskurs tre har de fått lära känna en hel bukett av allt mer generella problemlösningsstrategier: • Rita • Använd konkret material • Använd ledtrådar • Spela filmen/dramatisera • Gissa och prova • Gör en tabell ATT ARBETA SOM EN MATEMATIKER HUR ARBETAR EN MATEMATIKER?

matematik F–3 Ritar en bild Använder konkret material Gissar och prövar

Spelar ﬁlmen Dramatiserar problemet

KRITA

KRITA KRITA

KRITA

Samlar information Strukturerar fakta Letar efter mönster Es två kil är än år Mi yngr lo e

det inte är fler stenciler med multiplikationer som är lösningen, utan istället diskussioner och arbete med ett fåtal kombinationer där viktiga strategier och principer lyfts fram. Målet är att alla elever ska kunna ”räkna flytande”. Detta kan jämföras med att läsa flytande, något som vi vet är mycket viktigt för att kunna tillgodogöra sig andra kunskaper. Min uppgift som lärare är att hjälpa eleverna att utveckla effektiva strategier och på sikt automatisera talfakta. För att kunna göra detta behöver jag veta hur eleverna kom fram till sitt svar. Det är först när elevernas strategier blir synliga som jag vet var de befinner sig i sin kunskapsutveckling och vad som är nästa steg. För att jag ska kunna upptäcka vilken strategi de använder sig av behöver jag vara medveten om vilka strategier som finns. Som en hjälp för dig som lärare har vi därför skapat den didaktiska kartan där olika modeller, principer och strategier lyfts fram, vi har också skapat minilektioner. En minilektion är en kort genomgång där eleverna aktiveras och deras tankar får möjlighet att synliggöras. Minilektionen fokuserar på en särskild aspekt, det kan t.ex. vara multiplikation med två (·2) eller den kommutativa lagen, det kan handla om tiohopp, egenskaper hos tal, sambandet mellan multiplikation och division eller andra delar av matematiken. Bland minilektionerna har vi också valt att lägga in färdighetsträning av den analoga och digitala klockan.

Har jag svarat på frågan? Är svaret rimligt?

KRI

KRITA

KRI

TA KRITA

Gör en skriftlig uträkning Ritar en tabell Diskuterar med andra Förklarar sin lösning

KRITA ITA

KRITA

Es två kil är än år Mi yngr lo e

6 2

400966

PROBLEMLÖSNING I Mondo skiljer vi på textuppgifter och problemlösningsuppgifter. En textuppgift är en rutinuppgift som har klätts i ord, uppgiften har fått en kontext, till exempel Malte har tjugo kronor. Han får femton kronor till. Hur många kronor har han nu? För de flesta elever är detta en ren textuppgift, de vet att de ska lösa uppgiften med en addition. En problemlösningsuppgift är en uppgift som eleverna inte på förhand vet hur de ska lösa. Målet är att alla elever ska vara duktiga problemlösare. För att de ska nå dit krävs det att de får lära sig effektiva metoder för att arbeta med problemlösning. I Mondo har vi medvetet låtit eleverna använda de fem problemlösningsstegen redan från början av sin skolgång.

A3_Mondo_1-3.indd 1

2015-12-14 08:26

Vår målsättning är att eleverna med hjälp av den matematiska verktygslådan ska ”arbeta som matematiker”. Det innebär att vi vill ge dem möjlighet att undersöka och upptäcka olika delar av matematiken. Givetvis ska de göra detta i undersökningar och aktiviteter som är utvalda just för att ge eleverna möjlighet att upptäcka de mönster och strategier som vi vill lyfta fram. I Mondo matematik får eleverna tips om hur man liksom en matematiker kan samla information och strukturera fakta, leta efter mönster och angripa ett problem från olika infallsvinklar.

Inledning | Mondo 3A

Berättelser till samtalsbilderna För att hjälpa eleverna att upptäcka matematiken i sin omvärld har varje kapitel ett tema som finns med i samtalsbilden och kapitlets uppgifter. Avsikten med detta tema är att skapa ett engagemang hos eleverna och att hjälpa dem att matematisera sin omvärld. Som en inspiration och ett stöd i detta finns det till varje tema en kort berättelse som både låter eleverna lära

KAPITEL 1 FJÄLLVANDRINGEN Yafet hade somnat sent igår kväll. Han gillade att sova i tält, men det hade kommit in en massa mygg som lät så irriterande. Och det var supertrångt. Dessutom hade han en snarkande pappa cirka en centimeter ifrån sig. Först när morgonen kom kunde Yafet sova. Men mamma, pappa och Milka ville komma iväg på vandring så de tvingade honom att gå upp. Till en början var Yafet sur, men ganska snart fick han medge att det var härligt. Luften var ren och klar. Och fjälltopparna reste sig längs leden. Den ena högre än den andra. ”Är det här verkligen Sverige?” undrade Milka. ”Det är klart att det är”, sa Yafet. ”Hur vet du det? Det ser inte alls ut som hemma”, undrade Milka. ”Ser du inte att alla skyltar står på svenska?”, sa Yafet. Sedan slutade de att prata för Yafet hade hittat en vandringsstav. Den räckte honom upp till midjan, helt perfekt. Och Milka hade fått syn på snö uppe på ett fjäll som såg ut att ligga nära. Hon började genast gå ditåt för hon ville ha snöbolls krig. ”Det ser nära ut, men det är jättelångt till snön”, förklarade pappa. ”Det är Sylarnas högsta berg.” ”Nej, det är Templet som är högst”, avbröt Yafet. Han hade läst det i en bok kvällen före i tältet. ”1728 m över havet.” Pappa såg förvirrad ut. ”Jag trodde Blåhammarkläppen var högre”, sa han. ”Nej, Blåhammarkläppen är bara 1164 meter”, sa Yafet. ”Vad du kan”, sa mamma imponerat. Milka gav upp snöbollskriget, men inte att gå utanför vandringsleden. Hon envisades med att

Mondo 3A | Inledning

känna barnen i Mondo matematik bättre och som inbjuder till matematiska samtal. Berättelsen fungerar dessutom som en inkörsport till den undersökning som eleverna arbetar med i varje kapitel. Berättelserna är skrivna av barn- och ungdomsförfattaren Åsa Hofverberg.

Sylarna 9 km

Blåhammaren 9 km Storulvån 10 km

Ulvåtjärn 5 km

hoppa på stenarna längs med istället. Eftersom hon sprang omkring så mycket på sidan av leden gick hon ungefär dubbelt så långt som de andra. Mamma var rädd att hon inte skulle orka ända till Sylarna. ”Kom och gå här!” ropade hon till Milka. ”Ska bara ...” ropade Milka och hoppade fram på stenarna. ”Milka, kom hit!”, ropade pappa också nu. ”Ser ni inte grodan?” frågade Milka. ”Fattar ni inte hur spännande det vore att pussa en groda?” Hon fortsatte jakten. Mamma, pappa och Yafet skrattade och lät henne hållas. ”Ifall det blir en prins när hon pussar grodan ...”, sa Yafet. Mamma och pappa tittade på honom. ”... så får han inte plats i tältet.” Mamma och pappa skrattade. ”Nej, om det blir en prins får han ta in på fjällhotellet istället”, sa de.

APELSIN

KAPITEL 2 KAPSYLJAKTEN Amira var klar redan en halvtimme innan hon skulle gå till skolan idag. Hon hade kollat väskan för säkerhets skull flera gånger. För visst låg Nasims gamla kapsylsamling fortfarande där? Nasim hade samlat kapsyler i åratal och hade en hel kasse full, och nu hade Amira fått den till klassens stora kapsyljakt. Inte konstigt att Amira var förväntansfull. Hon såg till att gå in i klassrummet bland de sista så att ingen skulle missa ögonblicket då hon gick fram till den gamla tvättkorgen där de samlade alla kapsyler. Amira kollade runt lite och såg att hon hade de flestas uppmärksamhet, då började hon hälla. ”Wow”, sa många. Till slut blev det en spontan applåd. ”Bravo, Amira.” ”Äsch”, sa Amira. ”Det är bara Nasims gamla samling.” Men egentligen var hon jättenöjd. Läraren Anna log och sa åt Amira att gå och sätta sig. ”Du får hälsa Nasim och tacka.” Sedan tog Anna fram en liten påse. I den hade hon lagt tre blå, två gula och en grön kapsyl. Sedan spände hon ögonen i barnen. Hon lät blicken svepa över klassrummet, och då visste barnen att det skulle komma någonting riktigt lurigt. ”Vilken färg tror ni ...”, sa Anna och gjorde en liten paus. ”...att kapsylen kommer att ha om jag blundar, sticker ner handen och tar upp den första jag får

PÄRO

tag i ur påsen?” Det hördes spridda chansningar i rummet. Milo råkade till exempel säga ”lila” fast det inte ens fanns några lila kapsyler. Hon skrattade lite förläget när hon kom på det. Men Anna verkade inte ha hört det. ”Vad tror ni händer om jag lägger tillbaka kapsylen och gör om samma sak flera gånger?”. Nu var det ingen som sa något. ”Det här och många andra kapsylexperiment ska vi testa idag”, fortsatte Anna. Amira tyckte att det lät superspännande.Vilken bra dag det här blir, tänkte hon lyckligt. Kapsyler verkar vara min grej.

Inledning | Mondo 3A

KAPITEL 3 VI MÅSTE DELA LIKA! Alla treor var på utflykt. Milo hade längtat länge! En del barn lekte kurragömma. Läraren Anna var också med. Det såg riktigt kul ut, men Milos bästa kompisar bestämde sig för att äta först. Så Milo tänkte att hon ju skulle hinna leka kurragömma lite senare. Problemen började direkt. De var sex barn på fyra baguetter. ”Om alla får en halv var, då?” föreslog Yafet. ”Neeeej”, sa Amira. ”Då blir det ju två halvor över, det är slöseri, jag är superhungrig!”. ”Då delar vi de som blir över i sex delar, lätt som en plätt”, sa Ludde. ”Lätt som en plätt?”, surade Amira. ”Det är inte lätt att dela en baguette i sex lika stora delar.” ”Lyssna på mig”, sa Malte och höll upp handen. ”Om alla börjar med en halv baguette var först.” ”Jag är så hungrig!” gnällde Amira igen. ”Lyssna då!” sa de andra. De började bli lite irriterade på Amira nu. ”Alltså, först får alla en halv baguette och ett glas saft.” sa Malte. ”Sedan får alla en frukt. Det finns både äpplen och päron där borta...” Alla lyssnade nu. Till och med Amira var tyst. ”Sedan får alla varsin kaka. Och när vi har kommit så långt kollar vi vilka som fortfarande är hungriga, och så får de som vill dela på resten.” Alla var nöjda med förslaget. Milo åt sin baguetthalva i raketfart, svepte saften och tog kakan i ett enda nafs. Sedan stoppade hon ett päron i jackfickan och

Mondo 3A | Inledning

... 98, 99, 100

Vad finns det färst av på bilden? 1. bollar X. hinkar 2. hopprep

Vad hete r det geometri ska objektet ? 1. kub X. rekta ngel 2. rätblock

APELSINSAFT

HALLONSAFT HALL ONSA

APELINSAFT

SA ON ALL

reste sig upp. ”Ni andra kan ta min baguettedel”, sa hon sedan. Hon var redan på väg till kurragömma-gänget. Det var länge sedan hon var så leksugen. Nadja i andra trean räknade, men hon var bara på 25, så Milo hade gott om tid att gömma sig. Hon la sig bakom en buske. Det här är livet, tänkte hon. På avstånd hörde hon hur de andra fortfarande pratade om fördelningen. Det lät som om det bara var Amira som ville ha den sista baguetten nu, och att de andra fått varsin extra kaka. Eller om det var frukt. Milo hade fått något annat att tänka på: Nadja hade räknat klart och skulle börja leta.

Begreppen i Mondo 3A TALUPPFATTNING OCH TALS ANVÄNDNING tal, siffra hundratal, tiotal, ental talsystem symbol positionssystem tiobas decimalsystem oändligt tallinje addition, summa

• • • • • • • •

subtraktion, differens uppställning, minnessiffra produkt kvot, nämnare, täljare uttryck tal i bråkform, tal i decimalform storleksordning naturliga tal, grundtal, negativa tal, pi, primtal

• • • • • • • • • •

ALGEBRA • programmering, instruktion, mönster, loop • talföljd, talmönster, • ekvation, likhet, likhetstecken, skilt från, värde, större än, mindre än

GEOM ETRI • gram, vikt, meter • endimensionell (1D), tvådimensionell (2D), tredimensionell (3D) • objekt, linje, sträcka • cirkel, radie, diameter, periferi, ellips

månghörning, polygon hörn, sida, kant parallell vinkel rektangel, kvadrat, triangel, klot, sfär, kon, cylinder, pyramid • mantelyta, spets, basyta, sidoyta • • • • •

• prisma, rätblock, kub, • diagonal, platonska kroppar, tetraeder, oktaeder, dodekaeder, ikosaeder • temperaturskillnad • tidsskillnad • omkrets, area

SANNOLIKHET OCH STATISTIK • sannolikhet, utfall • kombinatorik, kombinera

• frekvenstabell • träddiagram

• stapeldiagram • cirkeldiagram

• linjediagram, graf • venndiagram

SAM BAND OCH FÖRÄNDRING

PROBLEM LÖSNING

• proportionalitet, skala, naturlig storlek, förstoring, förminskning • dubbelt, hälften

• ledtråd, strategi

Inledning | Mondo 3A

MÅL • Höga tal • Mönster och programmering • Matematiska likheter, ekvationer

s. 4–5

Vi arbetar med metoder, problemlösning och resonemang.

Matematikens värld: • Digitala verktyg • Tid: Hela den analoga klockan Sylarna 9 km Blåhammaren 9 km Storulvån 10 km

Hur höga tal finns det?

VAD TROR DU?

Ulvåtjärn 5 km

Fjällvandringen 5

MÅL • Höga tal • Mönster och programmering • Matematiska likheter, ekvationer Matematikens värld: • Digitala verktyg • Tid: Hela den analoga klockan

FÖRMÅGOR I FOKUS Metodförmågan, problemlösningsförmågan samt resonemangsförmågan.

BEGREPP Taluppfattning och tals användning: tal, siffra, hundratal, tiotal, ental, talsystem, symbol, positionssystem, tiobas, decimalsystem, oändligt, tallinje, addition, summa, subtraktion, differens, uppställning, minnessiffra, produkt, kvot, nämnare, täljare, uttryck Algebra: programmering, instruktion, mönster, loop, talföljd, talmönster, ekvation, likhet, likhetstecken, skilt från, värde Geometri: gram, vikt, sträcka, meter Problemlösning: ledtråd, strategi

Mondo 3A | Kapitel 1 Fjällvandringen

Kapitlets tema är Fjällvandringen. Kapitlets första mål är höga tal. I detta mål får eleverna arbeta mer med vårt positionssystem och de får göra detta genom att jämföra det med några andra talsystem genom tiderna, det egyptiska talsystemet och det romerska talsystemet. Kapitlets nästa mål handlar om mönster och programmering. Här fortsätter vi att arbeta med mönster i färg och form samt att skapa och följa entydiga instruktioner. I mönsteravsnittet anknyter vi till temat genom att eleverna får skapa egna mönster som utgår från färgerna i den samiska flaggan. Kapitlets sista mål handlar om matematiska likheter i form av enkla ekvationer. I matematikens värld får eleverna lära sig mer om digitala verktyg och öva på att använda miniräknaren. I avsnittet om tid repeteras hela den analoga klockan som eleverna arbetat med i åk 2. SAMTALSBILDEN Illustrationen visar Yafet som är på fjällvandring i den svenska fjällvärlden tillsammans med sin lillasyster Milka och sina föräldrar. Till bilden hör en berättelse som skapar kontext och engagemang. Du hittar berättelsen här på sidan 10. Till samtalsbilden finns det två typer av frågor. Dels finns det frågor som fungerar som en fördiagnos inför de områden som kapitlet tar upp, dels finns det samtalsfrågor som du kan använda i gruppen. Du kan använda bilden både

som ett underlag för fördiagnosen och som ett underlag för en gemensam diskussion. Tänk på att resultatet påverkas av i vilken ordning du genomför dessa två aktiviteter. ATT ANVÄNDA BILDEN SOM FÖRDIAGNOS Fördiagnosen med tillhörande frågor utifrån kapitlets mål hittar du i kopieringsunderlag 1 och 2. Syftet med fördiagnosen är att du som pedagog ska få en bild av vilka kunskaper eleverna som grupp och individuellt har i de aktuella områdena. Detta hjälper dig att bättre kunna anpassa det fortsatta arbetet med kapitlet utifrån elevernas kunskaper. FRÅGOR TILL SAMTALSBILDEN Till samtalsbilden finns det även diskussionsfrågor som är tänkta att användas i grupp. Frågorna utgår från bilden och hör samman med kapitlets mål.Visa gärna samtalsbilden på storbild medan ni arbetar med frågorna. Detta är förslag till frågor, tänk på att följa upp elevernas svar med följdfrågor så att du får en djupare inblick i deras resonemang.

Vad gör Yafet och hans familj? Fjällvandrar Var i Sverige tror ni att de är? Varför? I norra Sverige, fjäll och renar visar detta. De är i Jämtlandsfjällen vilket skyltarna avslöjar. Vilka siffror kan ni se på bilden? 0, 1, 5, 9 Vad är det för skillnad på en siffra och ett tal? Vi har tiosiffror. Av dessa kan vi bilda oändligt många tal. Tal kan bestå av en eller flera siffror. Vad visar skyltarna? Avstånd i kilometer Hur långt är en kilometer? Hur långt bort från skolan är det? Gör en jämförelse med er närmiljö. Vilka andra exempel har eleverna på 1 km? Kanske brukar de jogga 1 km? Hur många meter är en km? 1000 m Ungefär hur högt kan ett berg vara? Diskussionsfråga Hur högt tror ni att det högsta berget i Sverige är? Kebnekaise är 2099 m.ö.h. Vilka siffror finns det i talet 2099? 0, 2, 9

Hur många ental är det i talet 2099? 9 ental Hur många tiotal är det i talet 2099? 9 tiotal Hur många hundratal är det i talet 2099? 0 hundratal Hur många tusental är det i talet 2099? 2 tusental Vilka andra tal kan vi skriva om vi använder siffrorna 2, 0, 9 och 9? Låt eleverna ge exempel på tal med mellan 1 och 4 siffror. Hur högt tror ni att det högsta berget i Europa är? Elbrus i Kaukaserna är 5 642 m ö.h. (Tidigare har man räknat Mont Blanc som det högsta Europeiska berget med sina 4807 m.ö.h. men i modern statistik räknas även Kaukasus till de Europa). Hur många ental är det i talet 5642? 2 ental Hur många tiotal är det i talet 5642? 4 tiotal Hur många hundratal är det i talet 5642? 6 hundratal Hur många tusental är det i talet 5642? 5 tusental Hur högt tror ni att det högsta berget i världen är? Mount Everest i Himalaya är 8848 m.ö.h. Den första dagen går Yafet och hans familj 9600 meter. Ungefär hur många km är det? ca 10 km Den andra dagen går de 5300 meter. Hur stor är skillnaden? 4300 m Hur långt går de sammanlagt på de två dagarna? 14 900 m ARBETE MED MÅLEN Visa målen och de förmågor som särskilt fokuseras i kapitlet. Diskutera dem med eleverna och låt barnen fundera över vad de innebär. Återknyt sedan till målen och förmågorna under hela ert arbete med kapitlet. DISKUSSIONSFRÅGA På startuppslaget finns det alltid en diskussionsfråga under rubriken Vad tror du? I det här kapitlet handlar frågan om hur höga tal det finns. Svaret på frågan är att det finns oändligt höga tal. Detta är ett av matematikens svindlande fascinerande områden. Be gärna eleverna säga det högsta tal de kan. Fråga vilket tal som kommer efter. För varje högt tal finns det alltid ett tal som är ännu högre.Visa gärna hur man skriver en miljon respektive en miljard.

Kapitel 1 Fjällvandringen | Mondo 3A

1A UNDERSÖKNING Historiska talsystem

Skriv era tal med de gamla egyptiska symbolerna.

FAKTA är värd 1

Hämta en tärning. Slå tärningen tre gånger. Skriv talen tärningen visar i rutorna.

Bygg olika tal med hjälp av era siffror.

är värd 10

är värd 100

s. 6-7

5 9

Talet innehåller hundratal

tiotal

ental

hundratal

tiotal

ental

hundratal

tiotal

ental

hundratal

tiotal

ental

hundratal

tiotal

ental

hundratal

tiotal

ental

hundratal

tiotal

ental

tiotal

ental

tiotal

ental

tiotal

ental

tiotal

ental

tiotal

ental

Talet innehåller hundratal

Talet innehåller

hundratal

Undersökningen fokuserar på olika talsystem och deras uppbyggnad.

MÅL

Med positionskort kan detta visas på följande sätt:

• Höga tal

14 6 1 00 4 0 6 00

BEGREPP

Som en kontrast till detta får eleverna arbeta med det egyptiska talsystemet. Även detta talsystem har en tiobas men till skillnad från det decimala talsystemet som vi använder oss av så är det egyptiska talsystemet ett additivt. Man använder sig av symboler som visar de olika talsorterna. Ibland kan vi ta positionssystemet för givet och felaktigt anta att alla elever förstår det system vi använder oss av och den betydelse positionerna har. Eventuella brister i elevernas kunskaper brukar bli tydliga i samband med att de börjar arbeta med tal i decimalform. Förståelsen av positionssystemet är nämligen en oerhört viktig grund för förståelsen av hur vi skriver decimaltal och förhållandet mellan olika talsorter såsom tiondelar, hundradelar och tusental. Det är grunden för detta arbete som vi lägger på lågstadiet då vi upprepade gånger åter kommer till vårt arbete med positionssystemet.

tal, siffra, hundratal, tiotal, ental, talsystem, symbol

DIDAKTISKA TANKAR Syftet med undersökningen är att eleverna ska få arbeta med vårt talsystem.Vårt talsystem har tiobas och kallas därför för det decimala talsystemet. Det decimala talsystemet är ett positionssystem. Det innebär att siffrans placering i talet bestämmer dess värde. Med hjälp av siffrorna 1, 4 och 6 kan jag bygga sex olika tresiffriga tal. Om jag placerar dessa i storleksordning så får jag talen 146, 164, 416, 461, 614 och 641. I dessa tal har siffran 1 olika värde. I talen 146 och 164 visar siffran 1 att talet innehåller 1 hundratal, värdet är 100. I talen 416 och 614 visar siffran 1 av talet innehåller 1 tiotal, värdet är 10. I talen 461 och 641 visar siffran 1 att talet innehåller 1 ental, värdet är 1. När vi skriver talen i utvecklad form kan vi ”se” talens värde: 146 = 100 + 40 + 6.

Hitta på ett eget talsystem. Skriv era tal med ert nya talsystem.

Mondo 3A | Kapitel 1 Fjällvandringen

är värd 1

är värd 10

är värd 100

För att skriva talet 146 så var man i det egyptiska talsystemet tvungna att använda rita en symbol för hundratal, fyra symboler för tiotal och en symbol för ental. I vilken ordning man ritade symbolerna

spelade ingen roll eftersom det inte är ett positionssystem. Talet 146 skrevs alltså med följande symboler:

ARBETSGÅNG Introducera undersökningen för eleverna. Förklara att de ska slå tärningen tre gånger och skriva de tal som tärningen visar i rutorna i boken. Du kan anpassa övningen genom att bestämma att eleverna måste slå tre olika tal, du kan också bestämma att de ska använda en tiosidig tärning (0 – 9) istället för sexsidig. När eleverna slumpat fram sina tre siffror ska de bygga olika tresiffriga tal av dessa. De skriver talet i de tre rutorna på varje rad och anger sedan hur många hundratal, tiotal och ental som talet innehåller. På uppslagets högra sida ska de sedan översätta talet till egyptiska talsymboler. Avslutningsvis ska de sedan hitta på ett eget talsystem och skriva talen de arbetat med även i detta talsystem. LÖSNINGSMODELLER OCH UPPFÖLJNING Undersökningen är tredelad. Den första delen handlar om vårt positionssystem och betydelsen av siffrans placering i talet. I denna del av undersökningen visar eleverna om de har förståelse för detta. Undersökningens andra del handlar om att skriva samma tal med egyptiska symboler. Notera om eleverna spontant skriver dessa utifrån vår talsortsordning eller om de skriver dem slumpvis. Den tredje delen av undersökningen handlar om att skapa ett eget talsystem. Här finns det två troliga lösningsmodeller. I den första gruppen hittar vi de elever som skapar egna symboler för varje talsort, det vill säga de skapar ett additivt talsystem som utgår från det egyptiska talsystemet men med andra symboler för ental, tiotal etc. I den andra gruppen hittar vi elever som istället skapar nya siffersymboler som ersätter våra siffror 0 – 9 men som i övrigt använder samma princip för att skriva tal som vi gör i det decimala talsystemet. Man kan också tänka sig en tredje kategori där eleverna skapar ett eget talsystem med en annan talbas än tio. Detta kan i sig leda till mycket intressanta diskussioner.

I uppföljningen av undersökningen är det intressant att låta eleverna reflektera över likheter och skillnader mellan systemen. Låt dem också reflektera över föroch nackdelar med olika talsystem.Vad händer till exempel om man ska utföra en beräkning med höga tal i det egyptiska talsystemet jämfört med i vårt talsystem. Hur bokför man detta? Låt eleverna skriva olika tal i sitt eget talsystem och sedan byta uppgifter med varandra. Kan de upptäcka hur talsystemet är konstruerat? Genom att ställa vårt eget talsystem, som vi ibland tar för givet, mot andra talsystem så kan vi hjälpa eleverna att fördjupa sina kunskaper. På de följande sidorna kommer eleverna att få lära sig mer om olika talsystem genom tiderna. TÄNK PÅ

För att bygga bron mellan vårt mer abstrakta talsystem där antalet hundratal, tiotal och ental symboliseras av en siffra och det mer konkreta egyptiska talsystemet kan ni använda er av tiobasmaterial. Med hjälp av tiobasmaterialet framstår både likheter och skillnader tydligare. Talet 146 skrivs med tre siffror. När vi visar det med tiobasmaterial motsvarar det de egyptiska symbolerna. Komplettera gärna med att använda positionskort.

1 hundratal

4 tiotal

6 ental

Det som gör vårt talsystem så oerhört effektivt är att vi med ett begränsat antal symboler, det vill säga våra tio siffror, kan skriva oändligt stora tal.

s. 6-7 Aktivitet: Historiska talsystem

Positionskort, Tiobasmaterial

Kapitel 1 Fjällvandringen | Mondo 3A

MÅL

Skriv talet med våra siffror.

Höga tal.

123

FAKTA Talsystem Genom historien har människan utvecklat olika talsystem.

123

I det gamla Egypten hade varje talsort en egen symbol. Det spelade ingen roll i vilken ordning man skrev symbolerna. är värd 1

är värd 10

är värd 100

Talet 34 kunde skrivas till exempel I det romerska I är värd 1 L är värd 50 Talet 34 skrivs

eller

CCX III

132

CX X X II

Skriv talen i storleksordning.

124, 142, 214, 241, 412, 421 Skriv alla tresiffriga tal som du kan skriva med hjälp av talen 1, 2 och 4 om samma siffra får användas flera gånger. Ringa in det största talet med rött. Ringa in det minsta talet med blått.

Med hjälp av våra tio siffror kan vi skriva oändligt många tal.

Romerska talsystemet

213

124 142 214 241 412 421

talsystemet använder man bokstäver för att skriva tal. V är värd 5 X är värd 10 C är värd 100 Talet fyra skrivs IV. XXXIV.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Egyptiska talsystemet

CX X III

s. 8-9

123

Skriv alla tresiffriga tal som du kan skriva med hjälp av siffrorna 1, 2 och 4. Alla siffror i talet ska vara olika.

är värd 1000

Vårt talsystem är ett positionssystem. Det har tiobas och kallas för decimalsystemet. Vi använder de arabiska siffrorna.

Decimala talsystemet

123

III

IIII

III II

III III

IIII III

IIII IIII

III III III

III

VII VIII

111, 112, 114, 121, 122, 124, 141, 142, 144

100

211, 212, 214, 221, 222, 224, 241, 242, 244 411, 412, 414, 421, 422, 424, 441, 442, 444 X

C Jämför vårt talsystem med det egyptiska talsystemet. Skriv likheter och skillnader.

Höga tal.

MÅL • Höga tal

BEGREPP talsystem, talsort, symbol, positionssystem, tiobas, decimalsystem, siffra, tal, storleksordning

Den andra skillnaden är att det egyptiska talsystemet är ett additivt talsystem, det betyder att talsorterna adderas samman. Om man ska skriva talet 342 skriver man tre hundratalssymboler, fyra tiotalssymboler och två entalssymboler. I det egyptiska talsystemet spelar ordningen på symbolerna spelar ingen roll. 342 kan till exempel skrivas

eller M INILEKTION

1, 2

DIDAKTISKA TANKAR Genom att jämföra vårt talsystem, det decimala talsystemet, med två andra historiska talsystem så riktar vi fokus mot positionssystemets betydelse. Det egyptiska talsystemet har, som jag tidigare beskrivit, både likheter och skillnader med vårt talsystem. Likheten är framför allt att det är ett system med tiobas. Det finns dock flera skillnader mellan talsystemen. Den första skillnaden är att varje talsort har en egen symbol i det egyptiska talsystemet. Entalet symboliseras av ett streck, tiotalet symboliseras av en åsnehov, hundratalet av en hårlock och tusentalet av en lotusblomma.

ental

tiotal

Mondo 3A | Kapitel 1 Fjällvandringen

hundratal

tusental

Det andra talsystemet vi tar upp är det romerska talsystemet. I Romarriket använde man sig av vårt decimala talsystem samtidigt som man använde sig av egna symboler, istället för att använda våra siffror utvecklade man andra symboler. En anledning till att låta eleverna lära känna detta romerska skrivsätt är att vi fortfarande kan stöta på detta till exempel på äldre byggnader, på urtavlor och i kunganamn där ett tal ofta finns med: Carl XVI Gustaf utläses ”Carl den sextonde Gustaf ”. Det romerska talsystemet har tiobas och varje talsort representeras av en bokstav: I står för 1, X står för 10, C står för 100, M står för 1000. Dessutom använder man sig i det romerska talsystemet av en slags mellanbas med symboler för

5 (V), 50 (L) och 500 (D). I det romerska talsystemet har symbolens position betydelse. Symbolernas värde adderas respektive subtraheras enligt ett bestämt mönster. Grunden är att symbolernas värde adderas samman men om en symbol med ett lägre värde står till vänster om en symbol med ett högre värde subtraheras värdet av den lägre symbolen från den högre. Således har symbolerna VI värdet sex (5 + 1) medan samma symboler skrivna i ordningen IV har värdet fyra (5 – 1). Detta betyder att talet elva skrivs XI (10 + 1) och talet 9 skrivs IX (10 – 1). Notera att ett lägre tal som skrivs till vänster om ett högre tal aldrig får vara mindre än en tiondel av talet till höger. Talet 99 skrivs därför LXXXXIX (50 + 10 + 10 + 10 + 10 + (10 – 1) = 99 och inte IC (100 – 1) vilket vi kan förledas att tro. Genom att jämföra vårt talsystem med dessa två talsystem så kan eleverna dels upptäcka hur tiobasen fungerar, dels inse hur oerhört effektivt det är att med hjälp av enbart tio siffror (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) kunna bygga oändligt stora, och oändligt små, tal. Tänk er bara hur det skulle vara att lösa en addition eller subtraktion med höga tal i ett annat talsystem! P4

ARBETSGÅNG Gå igenom de olika talsystemen dels utifrån de erfarenheter eleverna gjort i den föregående undersökningen, dels genom att titta på innehållet i fakta rutan och i de två föreslagna minilektionerna som behandlar de bägge talsystemen. Minilektion 1 handlar om det egyptiska talsystemet och minilektion 2 handlar om det romerska talsystemet. Efter detta

ska eleverna ”översätta” mellan de olika talsystemen. När eleverna har översatt talen mellan talsystemen ska de bygga tresiffriga tal utifrån tre givna siffror. Dessa tal ska de sedan storleksordna. Förmågan att bygga och storleksordna tal visar på elevernas taluppfattning och förmåga att strukturera sina lösningar. Notera särskilt om eleverna använder sig av någon systematik när de skapar talen. Använder de metoden gissa och pröva tills de tror sig ha skapat alla tänkbara kombinationer eller skapar de systematiskt sina tal? Ett sätt att avgöra om eleverna använder sig av systematik är att titta på i vilken ordning eleven har skrivit talen. En elev som redan från börjat placerat talen i storleksordning eller som skrivit alla tal som börjar med ett hundratal (142, 124) först och sedan alla som börjar med två hundratal (241, 214) etc har troligen använt sig av någon form av systematik medan de som slumpvis skrivit ned talen troligen inte har gjort det. Uppmärksamma eleverna på detta genom att fråga dem om de har hittat alla möjliga tal. Be dem förklara hur de vet att de har hittat alla möjliga tal. Låt gärna eleverna reflektera över denna fråga i par och lyft även diskussionen i klassen. Eleverna får här en möjlighet att argumentera för sin lösning. I den avslutande tillsammans-uppgiften ska eleverna jämföra det egyptiska talsystemet med vårt talsystem och skriva ner likheter och skillnader. Denna uppgift kan fungera som en utvärdering av elevernas kunskaper. s. 8-9 Minilektion: 1 Det egyptiska talsystemet,

2 Det romerska talsystemet Elevwebb: Begrepp

Kapitel 1 Fjällvandringen | Mondo 3A

Använd siffrorna 2, 3, 7, 8.

FAKTA Tallinjen kan visa olika talområden. Varje tal har en bestämd plats på tallinjen. 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Skriv det största fyrsiffriga talet du kan skriva med siffrorna.

8732

Skriv det minsta fyrsiffriga talet du kan skriva med siffrorna.

2378

Räkna ut differensen mellan talen.

100

210 350 420 570 700 850 200

300

400

500

600

700

800

900

990 1000

100 1900 3200 4800 6800 8200 9900 0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10 000

Markera talet på tallinjen. Dra streck till rätt tal.

120

100

200

270

300

Skriv talets grannar.

460

400

998

590

500

999

600

1000

800

700

910

800

1099

900

1100

1999 2000 2001 9999 10000 10001 518 10

1000

519

1000

1101 520

10 10

8732 −2378 6354

Skriv talet.

s. 10-11

I Sverige finns det elva bergstoppar som är högre än 2000 meter. Numrera bergstopparna i höjdordning. Börja med den högsta.

10 6 1 5 2 9 3 4 8 11 7

Pårtetjåkkå 2006 m.ö.h.

FAKTA

Kaskasapakte 2043 m.ö.h.

m.ö.h. betyder meter över havet.

Kebnekaise sydtopp 2099 m.ö.h. Sarektjåkkås nordtopp 2056 m.ö.h. Kebnekaise nordtopp 2097 m.ö.h. Buchttoppen 2010 m.ö.h.

Tjåkkå är det samiska ordet för fjälltopp.

Sarektjåkkås stortopp 2089 m.ö.h. Kaskasatjåkka 2076 m.ö.h. Akka stortopp 2015 m.ö.h. Palkattjåkkå 2002 m.ö.h. Sarektjåkkås sydtopp 2023 m.ö.h.

Höga tal.

MÅL 0

• Höga tal

tallinje, tal, siffra

3, 28

DIDAKTISKA TANKAR Tallinjer kan se olika ut, samtidigt finns det vissa grundläggande egenskaper som går igen hos alla tallinjer. En sådan egenskap är att avståndet mellan två efterföljande tal är konstant. Avståndet mellan 1 och 2 är lika långt som avståndet mellan 21 och 22 eller mellan 91 och 92. Detta innebär att avståndet mellan 10 och 20 är lika långt som avståndet mellan 90 och 100. Avståndet mellan 100 och 200 är lika långt som mellan 500 och 600 etc. Detta är en grundläggande egenskap hos tallinjer. Tallinjer kan användas för att visa olika talområden. Ibland är samtliga heltal markerade på tallinjen. Så är fallet på den första tallinjen i faktarutan.

På andra tallinjer är endast tiotal, hundratal eller kanske till och med tusental markerade.

BEGREPP

M INILEKTION

Mondo 3A | Kapitel 1 Fjällvandringen

90 100

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

När vi arbetar med tallinjer är det viktigt att notera om eleverna har förstått den grundläggande egen skapen med konstant avstånd mellan talen. När vi markerar tal på tallinjen gör vi det alltid i förhållande till det talområde tallinjen visar. Om vi på en tallinje som visar hundratal ska markera talet 150 måste denna markering finnas mitt emellan talen 100 och 200. En särskild utmaning när elever arbetar med ett högre talområde är övergångar mellan talsorter. Att arbeta med talets grannar är ett sätt att identifiera eventuella svårigheter med detta.Vet eleverna vilket tal som kommer före respektive efter 100? 2000? 10 000?

ARBETSGÅNG Titta på några olika tallinjer och markera tal på dessa. Vilket tal finns mitt emellan 40 och 50? Vilket tal finns mitt emellan 400 och 500? Utmana gärna elevernas tankar genom att fråga vilket tal som finns mitt emellan 4 och 5? Hur kan vi skriva det talet? Gå vidare genom att fråga eleverna vilket tal som finns före respektive efter det tal ni markerat. Skriv talet och talets grannar på tavlan. På uppslagets vänstra sida ska eleverna dels skriva vilka de markerade talen är, dels ska de markera de angivna talen. I nästa uppgift ska de skriva talets grannar. Talen i denna uppgift är utvalda för att visa om eleverna har förståelse för övergångar mellan talsorter i ett högre talområde. På uppslagets högra sida ska eleverna arbeta vidare med att bygga fyrsiffriga tal som passar med den angivna beskrivningen: De ska alltså skriva ett tal som är så stort som möjligt respektive så litet som möjligt. De ska sedan räkna ut differensen (skillnaden) mellan talen. Uppmuntra dem gärna att använda subtraktionsuppställningen. I den avslutande övningen ska eleverna rangordna de elva svenska bergstoppar som är högre än 2000 meter över havet. Här får eleverna även möta det samiska ordet för fjälltopp, nämligen tjåkkå. Många av våra högsta fjäll har samiska namn då de ligger i Sápmi. Notera vilka strategier eleverna använder sig av då de storleksordnar fjälltopparna. Undersöker de systematiskt en talsort i taget? Gissar de och prövar sig fram?

Till uppslaget hör två minilektioner. I dessa får eleverna dels lära sig mer om det decimala talsystemet (minilektion 3), dels lära sig mer om våra siffror (minilektion 28). Den sistnämnda minilektionen fanns även med i årskurs 1 men den kan vara värd att återanvända som en påminnelse om att matematik är en vetenskap med rötter i många delar av vår värld.

De siffror vi använder kallar vi för arabiska eftersom det var araberna som introducerade dem i Europa. Ursprungligen kom de dock från Indien. s. 10-11 Minilektion: 3 Det decimala talsystemet,

28 Historien om våra siffror Elevwebb: Begrepp,Visa vad du kan

Kapitel 1 Fjällvandringen | Mondo 3A

REPETITION

MINIKOLL

Räkna ut summan eller differensen. 20

1. I det gamla Egypten skrevs talet 236 Skriv symbolernas värde.

100

säker

TJUGO KRONOR

120

SVERIGES RIKSBANK

FEMTIO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

ETT HUNDRA KRONOR

1 osäker

ETT HUNDRA KRONOR

10 19 1 100

SVERIGES RIKSBANK

200

SVERIGES RIKSBANK

200

TVÅ HUNDRA KRONOR

200

SVERIGES RIKSBANK

500

SVERIGES RIKSBANK

500

FEM HUNDRA KRONOR

500

SVERIGES RIKSBANK

2. Skriv talet med våra siffror.

1000

SVERIGES RIKSBANK

ETT TUSEN KRONOR

1000

ganska säker

109

osäker

3. Placera talen i storleksordning. Börja med det minsta.

1943

3491

9143

1439

100

TVÅ HUNDRA KRONOR

200 FEM HUNDRA KRONOR

500 ETT TUSEN KRONOR

TJUGO KRONOR

1349

3194

SVERIGES RIKSBANK

TJUGO KRONOR

120

SVERIGES RIKSBANK

ETT HUNDRA KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

ETT HUNDRA KRONOR

200

1000 SVERIGES RIKSBANK

TVÅ HUNDRA KRONOR

200

SVERIGES RIKSBANK

500

FEM HUNDRA KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

100

SVERIGES RIKSBANK

200

TVÅ HUNDRA KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

500

20 FEMTIO KRONOR

ETT HUNDRA KRONOR

7044

100

SVERIGES RIKSBANK

500

FEM HUNDRA KRONOR

500

SVERIGES RIKSBANK

1000

ETT TUSEN KRONOR

1000

ETT TUSEN KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

1000

SVERIGES RIKSBANK

200 SVERIGES RIKSBANK

500 SVERIGES RIKSBANK

1000 SVERIGES RIKSBANK

TJUGO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

FEMTIO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

200

2 501 050 850 50 + 4 1009 3 6100

FEMTIO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

100

SVERIGES RIKSBANK

1000 Skriv1000 produkten. SVERIGES RIKSBANK

säker

120

FEMTIO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

ganska säker

123

TJUGO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

850 9 504 450 + 1 2 1004 7 100 50

ganska säker

osäker

900 9000–3000= 6000

säker

2000 = 500

100

ganska säker

osäker

5. Ställ upp talen och räkna ut summan eller differensen.

2165+473 = 8407−1239 = 4629−753 =

=2638

=7168

=3876

6. Sveriges högsta berg Kebnekaise är 2099 m.ö.h. Världens högsta berg Mount Everest är 6749 meter högre. Hur högt är Mount Everest?

8848 m.ö.h.

Diagnos och självbedömning av målet Höga tal.

MÅL • Höga tal

OM MINIKOLLEN Innan eleverna genomför minikollen är det bra om du som lärare förklarar syftet med sidan.Vi vill att det ska vara en avslappnad situation för eleverna vilket namnet också antyder. Gå igenom och förklara självvärderingsdelen som finns till varje uppgift. På självvärderingsdelen ska eleverna med ett kryss på valfritt ställe på skalan visa hur säkra eller osäkra de känner sig på denna typ av uppgifter. Genom att eleverna ser och gör en uppgift samtidigt som de får värdera hur säkra de känner sig på denna typ av uppgifter så får du en mer nyanserad bild av varje elevs kunskaper, men också av kunskaperna på gruppnivå. Den sista uppgiften i varje minikoll, här är det de två sista uppgifterna, ska skrivas i räknehäftet. Syftet med att använda räknehäftet återkommande är dels att eleverna ska ges möjlighet att redovisa sina lösningar på ett mer utförligt sätt, dels att de ska kunna använda det som ett extra utrymme då de genomför andra beräkningar. Målet är att eleverna ska få en vana vid att använda räknehäftet och därmed samla sina lösningar i detta. Tänk på att redan från början visa eleverna hur de strukturerar sitt användande av 28

Mondo 3A | Kapitel 1 Fjällvandringen

FEMTIO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

ETT HUNDRA KRONOR

100 200

200 500

500 1000

1000

TVÅ HUNDRA KRONOR

200

SVERIGES RIKSBANK

500

FEM HUNDRA KRONOR

500

SVERIGES RIKSBANK

ETT TUSEN KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

200

TVÅ HUNDRA KRONOR

200

SVERIGES RIKSBANK

FEM HUNDRA KRONOR

ETT HUNDRA KRONOR

2 14 3

SVERIGES RIKSBANK

TVÅ HUNDRA KRONOR

FEM HUNDRA KRONOR

500

SVERIGES RIKSBANK

ETT TUSEN KRONOR

1000

ETT TUSEN KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

TJUGO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

3 · 500= 1500

5 · 500= 2500

1500 = 500

7 · 500= 3500

TJUGO KRONOR

10 20

SVERIGES RIKSBANK

6 850 3 502 50 100 − 2 9 100 1 8 50

FEMTIO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

ETT HUNDRA KRONOR

TVÅ HUNDRA KRONOR

ETT HUNDRA KRONOR

200

SVERIGES RIKSBANK

500

FEM HUNDRA KRONOR

500

SVERIGES RIKSBANK

1000

ETT TUSEN KRONOR

100

SVERIGES RIKSBANK

200

TVÅ HUNDRA KRONOR

200

SVERIGES RIKSBANK

500

1000 SVERIGES RIKSBANK

20 FEMTIO KRONOR

50 ETT HUNDRA KRONOR

100

SVERIGES RIKSBANK

200

TVÅ HUNDRA KRONOR

200

SVERIGES RIKSBANK

500

FEM HUNDRA KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

100

FEM HUNDRA KRONOR

500

SVERIGES RIKSBANK

ETT TUSEN KRONOR

1000

s. 18-19

TJUGO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

3 91 4

100

SVERIGES RIKSBANK

200

20 50

FEMTIO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

1000 = 500

6 · 500= 3000

Skriv 1000 kvoten.1000

1000

SVERIGES RIKSBANK

8 · 500= 4000

1000

ETT TUSEN KRONOR

1000

SVERIGES RIKSBANK

2000 = 500

4000 = 500

UTMANING

Skriv termen som saknas. 1 1

2 4 7 6

SVERIGES RIKSBANK

FEMTIO KRONOR

4 · 500= 2000

4·2000= 8000

4. Skriv svaret. 400+500=

TJUGO KRONOR

3 8 050 5 50 −1001 6 61002

1349 1439 1943 3194 3491 9143 säker

TJUGO KRONOR

SVERIGES RIKSBANK

4276 6 7 5 2

6 3 2 0

+ 2828 9 1 4 8

10 10

8 6 1 6

−

7 9 2 2

3806

− 1146 6 7 7 6

4 8 1 0

Skriv färdigt multiplikationerna och divisionerna.

3 ·500 =1500

· 700=1400

4000

=500

8000 =2000 4

1000 =5 200

· 300=1800 300

=50

Höga tal.

räknehäftet. Förklara hur de visar vilken sida uppgiften kommer ifrån och att de skriver tydligt och strukturerat då detta underlättar för både dem och dig att kunna följa deras lösningar. ARBETSGÅNG Inled med att förklara syftet med minikollen inklusive självvärderingen, låt sedan eleverna arbeta med minikollen individuellt eller gemensamt. Observera att även om ni väljer att arbeta gemensamt med minikollen så är det viktigt att varje elev visar just sina kunskaper, därför är det inte lämpligt att ni diskuterar lösningarna gemensamt under själva genomförandet. Det gemensamma består istället av att ni till exempel läser uppgifterna gemensamt. Efter minikollen följer en sida med repetition och utmaning. Genom att kryssa i rutorna intill dessa rubriker så markerar du enkelt vilka elever som ska arbeta med repetitionen och vilka som ska arbeta med utmaningarna. Repetitionen är uppföljning på basnivå, det vill säga på den grundläggande nivån som kapitlet anger. Utmaningen ligger som namnet antyder, på en högre nivå än det som eleverna har arbetat med i kapitlet. Givetvis kan samma elev arbeta med bägge dessa delar. En grundregel som jag själv använt mig av som lärare när jag arbetat med dessa sidor med mina elever är att det jag kryssar för ska eleven göra, medan alla givetvis får göra det jag inte

kryssat för. Min upplevelse är att många elever gärna ger sig på att arbeta även med utmaningen även om jag inte kryssat för denna. För de elever som visar större brister i förståelsen finns det nedan ett förslag på hur dessa kan arbeta inför repetitionen. Du finner detta under rubriken Extra träning inför repetitionen. Tänk på att uppföljningssidan med repetition och utmaning enbart är en del av uppföljningen, fler övningar på olika nivåer finns i Mondo elevwebb och i kopieringsunderlag. REPETITION OCH UTMANING Extra träning inför repetition Anpassa övningarna efter de områden som eleverna behöver mer träning i. Om det handlar om att förstå positionssystemet även i ett högre talområde är det lämpligt att bygga tal med tiobas material och positionskort. För elever som ännu inte befäst de grundläggande tabellerna handlar det om att fokusera på tabellträning och att hitta mönster mellan tabeller. Använd befästa kombinationer till att träna generali seringar. Om eleven till exempel är säker på dubbleringar kan ni arbeta med additioner som 6 + 6, 60 + 60, 600 + 600 etc. Om eleven är säker på halveringar kan ni arbeta med dessa i ett högre talområde. Använd divisioner som 14/2, 140/2, 1400/2 etc.

Repetition Repetitionsdelen inleds med additions- och subtraktionsuppställningar med en eller flera växlingar.Var särskilt observant på hur eleven hanterar subtraktioner som kräver växling. Om eleven inte har förståelse för hur subtraktionsuppställningen fungerar och/eller vänder på termerna i subtraktionen ger detta systematiska fel. I den andra delen av repetitionen ska eleverna multiplicera med ena faktorn 500 och sedan dividera med nämnaren 500. Eleverna får bildstöd i form av 500 kr-sedlar. I denna uppgift är tanken att eleverna genom att använda sig av innehållsdivision ska kunna utnyttja sambandet mellan de bägge räknesätten. Eftersom 3 · 5 = 1500 måste 1500/500 = 3 eftersom 500 ryms tre gånger i 1500. Utmaning Tanken med utmaningsuppgifterna är att eleverna ska få en extra utmaning och möta uppgifter som är på en högre nivå än uppgifterna i grundkapitlet. I det

här fallet får eleverna arbeta med öppna utsagor. I den första delen av utmaningen ska eleverna komplettera additions- och subtraktionsuppställningar där den andra termen saknas men svaret är givet. Eftersom detta är uppställningar som innehåller växlingar visar det elevernas taluppfattning och förståelse för användandet av uppställningar. I den avslutande delen ska eleverna komplettera öppna utsagor i multiplikation och division. TÄNK PÅ

I samband med att ni arbetar med detta uppslag är det värdefullt att återkoppla till startsidan i temats början och hur målet presenterades där.Vad känner eleverna att de har lärt sig? Hur ska ni gå vidare? Använd gärna tips från avsnittet om formativ bedömning i klassrummet som finns på här. Minikollen är en värdefull återkoppling till dig som lärare både om vad du behöver arbeta vidare med på individuell nivå, men också vad ni behöver arbeta vidare med på gruppnivå. Utifrån resultatet på minikollen kan du bedöma om ni ska repetera någon eller några av minilektionerna, om ni behöver göra fler praktiska aktiviteter etc. I Mondowebben finns det fler övningar att använda som färdighetsträning av momentet.

s. 18-19 HÖGA TAL Minilektion: 1–15, 28 Aktivitet: Historiska talsystem, Tabellträning,

Jämföra svar, Skriva egna räknehändelser till bilderna Elevwebb: Begrepp, Mattekul, Träna mer, Visa vad du kan Kopieringsunderlag:

3 – 6 Tabellträning addition och subtraktion, 7–10 Additions- och subtraktions uppställningar Posititionskort, Tiobasmaterial, Stora additionstriangeln, Stora subtraktions triangeln, Tvåpennstest, Winnetkakort, Problemlösningsstegen

Kapitel 1 Fjällvandringen | Mondo 3A

Tid

Många saker som vi har runt omkring oss är programmerade.

Skriv klockslaget.

ON/C

7 ON/C

MRC

M-

+/-

M+

–

MRC

9 6

+/-

M-

M+

% x

–

– – =

+/-

M+

– – =

ON/C

5 8

41 10 0

MRC

ON/C

M-

M+

x – M% 2 5 736 8x 9–– % + 2. 4+/3 5 6=– x + 1+/- 2 3=

MRC

+/-

M+

– – =

40 382+ 5000 =45 382

6001– 5999 =2

30 999+ 9001 =40 000

Samband & förändring

5612– 2000 =3612

7· 3000 =21 000

24 999+

16 845+

909 1 5

=99 909

8 5

MRC

9 6

+/-

M-

M+

% x

– – =

=25 000 Klockan är tio över 4.

8 =4000 10 =2000 1000· 1000 =1 000 000

Klockan är halv 10.

Klockan är tio i 12.

Klockan är kvart i 7.

200·

Tid: Hela den analoga klockan.

MÅL • Digitala verktyg • Tid: Hela den analoga klockan

BEGREPP programmering, klockslag

DIDAKTISKA TANKAR Idag är många av de föremål vi omger oss med programmerade. Om vi frågar våra elever så kanske de framför allt tänker på datorer, läsplattor och mobiler i samband med programmering men faktum är att många saker som vi använder dagligen i vårt hem är programmerade. En del föremål finns både i analog och digital (programmerad) form, t.ex. klockor, vågar och termometrar. När ett föremål är programmerat för att utföra något fysiskt så kallar vi det för en robot. En robot kan utföra det arbete som vi har programmerat den till att göra.Vilka tankar får du och dina elever när ni hör ordet robot? Är det kanske en människoliknande maskin med en onaturlig röst, är det en industrirobot som genomför arbeten som kan 56

Klockan är fem över halv 1.

500·

Digitala verktyg.

M INILEKTION

Klockan är tjugo över 11.

=16 850

Problemlösning

5· 3000 =15 000

4· 3000 =12 000

99 000+

Rita klockans visare.

ON/C

4 1 0

Mondo 3A | Kapitel 1 Fjällvandringen

Samband & förändring

50 =7201 6735–700=6035 4372– 70 =4302

7251–

Sannolikhet & statistik

Fem över halv 2. Fem över 8. Fyll i tal så att det stämmer. Kontrollera med miniräknare.

Fem i halv 9.

M+

%M-

Fem över 5.

Titta i ert klassrum. Rita och skriv vilka saker ni tror är programmerade. Motivera ert svar.

Geometri

1 0

M-

Algebra

MRC

Geometri

8 5

Fem över 8. ON/C

s. 46-47

Algebra

ON/C

Taluppfattning & tals användning

MATEMATIKENS VÄRLD Programmering

vara både enformiga, tunga och farliga eller är det kanske ett vardagsföremål som en robotgräsklippare eller en robotdammsugare? Oavsett vilken bild vi har av robotar så står det klart att allt fler människor möter dessa i någon form i sin vardag, i hemmet, på skolan eller på sin arbetsplats. OM MATEMATIKENS VÄRLD I det här kapitlet handlar matematikens värld dels om vilka saker runt omkring oss i vår vardag som är programmerade, dels får eleverna använda ett programmerat föremål till att kontrollera sina uträkningar. Vilka föremål tror ni är programmerade? Varför tror ni det? Låt gärna eleverna fundera över vilka saker de möter i hemmet och på sin fritid som är programmerade. Skriv ner alla dessa föremål och fundera över hur vi gjorde innan det fanns datorer som vi kunde använda för programmering. Det programmerade föremålet eleverna ska använda för att lösa de aritmetiska uppgifterna på uppslaget är givetvis en miniräknare. Tänk på att eleverna idag möter olika typer av miniräknare och att dessa inte alltid fungerar på samma sätt.Vissa mini räknare är till exempel programmerade att ta hänsyn till prioriteringsregler, dessa räknar ut multiplikationer och divisioner före additioner och subtraktioner, medan andra miniräknare enbart utför operationer i den ordning vi slår in dessa. De flesta mobiltelefoner

har idag en inbyggd miniräknare, eller kalkylator, som kan hantera prioriteringsreglerna korrekt. De uträkningar som ska kontrolleras med miniräknare fungerar samtidigt som en avstämning av elevernas förståelse av positionssystemet och deras taluppfattning. DEN ANALOGA KLOCKAN I det här första kapitlet i årskurs tre repeteras hela den analoga klockan. Elevernas kunskaper om klockan tenderar att vara mycket skiftande men det är en viktig vardagskunskap att ha med sig. Elever bör kunna använda sig av både den analoga och den digitala klockan på ett fullgott sätt. Nedan kan du läsa mer om olika sätt att träna klockan med hjälp av både kopieringsunderlag och digitala övningar. Det är också viktigt att eleverna får resonera om hur man avläser och visar tid och att de får ta del av varandras förklaringar.

ATT TRÄNA KLOCKAN Samtliga material nedan finns för alla klockslag både analogt och digitalt. Du hittar större delen av materialet på lärarwebben. Klockkort Kan kopieras tvåsidiga och användas

individuellt eller i par för att öva klockslagen. Korten kan även kopieras ensidiga och användas som memory. Klocka (att tillverka) Underlag för att göra egna ställbara klockor. Tomma klockor Underlag för att göra egna klock övningar, till exempel till läxor. Klockdominon Kan användas enskilt eller i grupp. Mondowebben Den analoga och digitala klockan övas digitalt. Eleverna hittar övningarna under fliken Klockan. s. 46-47 Minilektion: 27 Den analoga klockan Lärar- och elevfilm: Klockan Elevwebb: Klockan

Klocka, Tomma klockor, Klockdomino

Kapitel 1 Fjällvandringen | Mondo 3A

1 DIAGNOS

5. Fortsätt talföljden. Skriv en regel som förklarar mönstret.

1. Skriv talet.

130 0

100

290 200

450 580 700 860 990

300

400

500

600

700

800

900

1000

2. Skriv svaret. 1

9429

37 47 57 67 77 87 97

7·10 000=

10 10

9 2 0 6 − 6 3 9

300 = 50

8567

6. Följ instruktionen och fyll i tabellen.

70000

Multiplicera med 6

Subtrahera 8

5 4 8

18 30 24

6 8 12

16 32

3. Den första dagen vandrade de 9600 m. Dagen efter vandrade de 4300 m kortare. Hur långt vandrade de den andra dagen?

5 4

16 20

37+6

54–6

3·50

170–20

500 100

8. Lös ekvationerna. START

3 2 1

1 33 1

MÅL

1, 2, 3 Höga tal. 4 Mönster och programmering.

MÅL • Höga tal • Mönster och programmering • Matematiska likheter, ekvationer

DIAGNOS I diagnosen testas kapitlets tre mål var för sig. När eleverna gjort diagnosen rättas den av dig som lärare. I samband med detta fyller du i hur eleven ska arbeta vidare.Varje mål följs sedan upp för sig på sidorna 50 – 55. Tänk på att det är omöjligt att täcka in alla aspekter av elevernas kunnande i en diagnos på ett uppslag. Diagnosen är ett stöd för dig som lärare i vilka elever som behöver träna mer och vilka som kan gå direkt till utmaningen inom respektive område. Här väger du givetvis samman det du sett under den tid ni arbetat med kapitlet med det eleverna visat på diagnosen. Det kan handla om elevernas enskilda arbete, det de visat i samband med minikoller, praktiskt arbete och gemensamma diskussioner och så vidare. Repetitions- och utmaningssidorna är ett sätt att individualisera och följa upp varje mål utifrån elevens nivå inom det aktuella området. Elevernas kunskaper är inte statiska och att en elev behöver träna mer till exempel på att addera och subtrahera 58

Mondo 3A | Kapitel 1 Fjällvandringen

7. Sätt ut rätt tecken mellan uttrycken. Välj mellan = och ≠.

5300 m 4. Hjälp Mimo att komma till ruta B5. Fyll i rätt antal steg i instruktionerna.

s. 48-49

+10

Regel:

Dividera med 4

8 7 5 1 + 6 7 8

x x x

x x

9+x=17

y–5=8

y= 13

16–11

100 =50 z z= 2

9. Tre spel kostar lika mycket som en bok. Boken kostar 156 kr. Hur mycket kostar ett spel?

52 kr

5, 6 Mönster och programmering. 7, 8, 9 Matematiska likheter, ekvationer.

höga tal betyder inte automatiskt att eleven behöver repetera andra områden, till exempel programmering. Här gäller det att se till kunskapen inom ett specifikt område! Använd de små kryssrutorna på sidan för att markera om eleven ska göra enbart repetition eller utmaning för det aktuella målet, eller om eleven ska göra bägge övningarna på sidan. Utmaningarna ligger generellt lite över grund kursen, de är tänkta att vara just utmaningar! Jag brukar ha som grundregel i med mina egna elever att det jag har kryssat för ska man göra, den del av sidan som jag inte kryssat för får man gärna göra. För de elever som behöver extra träning inför repetitionen finns en hänvisning till förslag. Läs mer om diagnosen och uppföljningen av denna på sidan 19. • Höga tal testas i uppgift 1,2 och 3 uppföljning

sidan 50 - 51. • Mönster och programmering testas i uppgift 4, 5 och 6, uppföljning sidan 52 - 53. • Matematiska likheter, ekvationer testas i uppgift 7, 8 och 9, uppföljning sidan 54 - 55.

REPETITION

Skriv med våra arabiska siffror.

VI X II IX II IV V III

6 12 betyder 9 betyder 2 betyder 4 betyder 8

Fyll i rätt antal av varje talsort.

betyder

VI I betyder

betyder

X I betyder X

betyder

I I I betyder

7 5 1 11 10 3

XI XII I

III

VIII VII

IV VI

tusental

hundratal

Hur mycket är klockan?

5624 består av

Kvart i 2.

2410 består av 1354 består av

Skriv svaret med romerska siffror.

X II − X =

V +V =

X I − V = VI

s. 50-51

V I + VI =XII

3827 består av 1 tusental =

5 2 1 3

tiotal

tusental tusental tusental tusental

hundratal

ental

6 4 3 8

2 tiotal 1 tiotal hundratal 5 tiotal hundratal 2 tiotal 1 hundratal =100 tiotal hundratal hundratal

UTMANING

Skriv talen.

Rita talen.

514

241

203

1205

Rita olika tal som du kan bygga med fyra stenar. Storleksordna talen.

ental ental ental

UTMANING

Talen visas med stenar i sandfåror.

ental

Lös talgåtorna med hjälp av ledtrådarna.

Titta på exemplen. Förklara hur talsystemet fungerar.

4 0 4 7

1. Jag 2. Jag 3. Jag 4. Jag 5. Jag

är ett fyrsiffrigt har lika många har lika många har två ental. har dubbelt så

tal. hundratal som tiotal. ental som tusental. många tiotal som ental.

1. Jag är ett tresiffrigt tal, alla siffror i talet är olika. 2. Två av siffrorna är udda. 3. En av siffrorna är noll. 4. Jag är ett jämnt tal. 5. Den första siffran är en tredjedel så stor som den andra siffran.

390

Höga tal.

MÅL • Höga tal

REPETITION OCH UTMANING Extra träning inför repetition För förslag på aktiviteter se sidan 16.

Repetition I den första repetitionsuppgiften får eleven arbeta med det romerska talsystemet. Eleverna får stöd av att siffersymbolerna visas på en urtavla. Eleverna får även utföra några enkla additioner och subtraktioner skrivna med romerska symboler. I den andra repetitionsuppgiften får eleverna arbeta med positionssystemet. Elevernas uppgift är att ange hur många tusental, hundratal, tiotal och ental som talet är uppbyggt av. Eleverna ska även genomföra en växling där hen anger hur många hundratal det får på ett tusen tal och hur många tiotal det går på ett hundratal. Låt vid behov eleverna konkret tiobasmaterial eller bilder av detta och/eller positionskort.

2442

Höga tal.

tem. Antalet ental, tiotal etc visas med hjälp av stenar som ligger i sandfåror. Tanken är att eleverna med stöd av bilderna i boken ska räkna ut hur talsystemet fungerar och utifrån detta både kunna avläsa tal och skapa egna tal. I samband med detta är det intressant att reflektera över nollans betydelse. I den andra utmaningsuppgiften får eleverna ledtrådar som ska hjälpa dem att lösa en talgåta. I dessa ledtrådar ryms mängder av matematiska begrepp som används för att beskriva tals egenskaper. TIPS

Skapa egna talgåtor där eleverna med hjälp av ledtrådar ska komma fram till vilket tal det är du beskriver. Du kan även låta eleverna skapa egna talgåtor som ni sedan använder i klassen.

Utmaning I den första utmaningen får eleverna möta ett talsystem som bygger på positioner precis som vårat talsysKapitel 1 Fjällvandringen | Mondo 3A

MER OM MONDO MATEMATIK Koppling till styrdokumenten Mondo matematik är givetvis framtaget utifrån Lgr 11.Vi utgår från de förmågor och det centrala innehåll som finns beskrivet i kursplanen i matematik samt tillhörande kommentarmaterial. Givetvis finns även programmeringen med som ett mål i Mondo matematik.Vi har fördelat det centrala innehållet så att samtliga moment finns med i materialet, inklusive det nya momentet programmering. För att tydliggöra kopplingen till det centrala innehållet och kunskapskraven i matematik finns det matriser som visar hur de olika målen och arbetsområdena hör samman med kursplanens olika delar. Tänk på att matematikundervisningen rymmer så mycket mer än enbart arbete i en matematikbok. Helheten skapas genom att du som lärare använder dig av de minilektioner, aktiviteter och genom-

gångar som finns i lärarhandledningen. Det finns även digitala komponenter att arbeta vidare med. Färdighetsträningen finns delvis i boken men också i andra aktiviteter.Vi har valt att fokusera på några specifika förmågor i varje kapitel. Detta betyder att det är dessa förmågor som vi lyfter fram i det aktuella kapitlet, men samtidigt är givetvis alla förmågorna ständigt närvarande eftersom de så tydligt hör ihop med varandra. Du kan till exempel inte utveckla din resonemangsförmåga utan att samtidigt använda begreppsförmågan och för att kunna arbeta med problemlösning så behöver du använda din metodförmåga och din begreppsförmåga.Vår förhoppning är att detta ska bilda en givande helhet som bidrar till en varierad matematikundervisning.

Forskning och beprövad erfarenhet Mondo matematik är framtagen utifrån forskning och beprövad erfarenhet. Jag har i materialet byggt in de erfarenheter jag har fått i mitt dagliga arbete med eleverna i klassrummet under de drygt tjugo år som jag nu varit verksam lärare. Jag har också tagit med de erfarenheter som andra lärare gjort och som jag har fått möta då jag har haft förmånen att vara handledare i olika matematiksatsningar inklusive matematiklyftet. Genom dessa handledningar har jag fått ta del av hundratals lärares reflektioner kring den egna matematikundervisningen. Sist men inte minst har materialet granskats av en grupp lärare med olika elevgrupper och olika lärarerfarenheter, deras synpunkter är en viktig del i utvecklandet av det här materialet. DIDAKTISKA TANKAR OCH DEN DIDAKTISKA KARTAN För att visa hur de olika momenten i materialet hänger samman med matematikdidaktisk forskning så finns det till varje mål något som vi kallar för Didaktiska tankar. Här kan du läsa mer om bakgrunden

160

Mondo 3A | Mer om Mondo matematik

till området, varför vi presenterar ett innehåll i en viss ordning eller varför vi valt just de aktuella talen. Vi beskriver också vanliga missuppfattningar hos eleverna som du bör vara särskilt uppmärksam på och var i elevernas matematiska utveckling som det aktuella området hör hemma. Här hänvisar vi också till den didaktiska kartan. Kartan innehåller matematiska principer, strategier och modeller. Kartan visar de olika delarna men den visar inte någon exakt väg mellan de olika delarna, vägen till kunskapen ser olika ut för olika barn. Tanken med kartan är att den ska vara ett stöd för dig som lärare för att kunna se, upptäcka och följa utvecklingen av elevernas kunskaper i matematik. Om du vill använda den som en dokumentation på individuell nivå kan du använda dig av det kopieringsunderlag som du hittar längst bak i lärarhandledningen. Inspirationen till den didaktiska kartan kommer ursprungligen från USA där professor Catherine Twomey Fosnot vid City College of New York startade ett samarbete med Marten Dolk verksam vid Freudentahl Institutet i Nederländerna. Samarbetet ledde fram till projektet

Mathematics in the City där lärare får fortbildning och handledning i sitt arbete med att hjälpa eleverna att ”matematisera” sin omvärld. Som ett stöd i detta arbete har de tagit fram vad de kallar för Landscape of learning där viktiga steg i utvecklingen av barns matematikkunskaper finns med. Genom ett flerårigt samarbete mellan City College of New York och Centrum för skolutveckling i Göteborg har jag och många andra matematiklärare i Göteborg fått lära känna deras inspirerande arbete. Jag har också haft förmånen att besöka ett antal av de aktuella skolorna i New York och fått se detta arbete på plats. Mer om modellen kan du läsa i den matematikdidaktiska serien Young Mathematicians at work. På sid 20–25 här i lärarhandledningen går vi igenom de olika delarna av den didaktiska kartan. Tänk på att matematikinlärning inte är en linjär process. Barn utvecklas olika snabbt och tar lite olika vägar i sin inlärning. Den didaktiska kartan är en hjälp att se vilka delar som kan finnas med. ATT MÖTA ELEVER PÅ OLIKA KUNSKAPSNIVÅER I vårt uppdrag som lärare ingår det att identifiera och möta elever på olika kunskapsnivåer. Det handlar både om att finna de elever som har eller riskerar att få svårigheter i matematik och om att uppmärksamma de elever som kommit längre i sin kunskapsutveckling och behöver ytterligare stimulans. I detta arbete är fördiagnos, minikoll och kapiteldiagnoser ett redskap. Utöver dessa bedömningsverktyg har vi även den didaktiska kartan och övergripande diagnoser som stöd i det viktiga arbetet med att möta varje elev på sin nivå. I lärarhandledningen får du som lärare stöd i hur du kan möta eleverna på olika kunskapsnivåer samtidigt som du kan arbeta med gemensamma aktiviteter och diskussioner i gruppen. Vi har medvetet valt att inte göra instruktionerna

i boken fullständiga till exempel när det gäller undersökningen. Detta har vi gjort för att du som lärare ska ha möjlighet att variera uppgifternas svårighetsgrad för att utmana varje elev på sin nivå. Mer om hur du kan variera svårighetsnivån kan du läsa om vid respektive övning. Ett annat sätt att individualisera är hur uppföljningen av minikollen och diagnosen sker. Minikollen tar enbart upp ett mål och i diagnosen testas kapitlets mål var för sig. När eleverna gjort minikollen respektive diagnosen rättas de av läraren som i samband med detta fyller i hur eleven ska arbeta vidare.Varje mål följs upp för sig vilket gör att eleverna bara repeterar de moment som är aktuella, i övrigt arbetar de med utmaningar inom samma matematiska område. Repetition och utmaning till varje mål är placerade på samma sida i boken, detta gör att alla elever arbetar med målet på sin egen nivå. Då du som lärare rättar diagnosen kan du direkt bläddra till de efterföljande repetitionsoch utmaningssidorna och med ett enkelt kryss markera vilken eller vilka delar av sidan som eleven ska arbeta på. MATEMATISKA MODELLER I materialet använder vi oss av ett antal modeller för att stärka elevernas kunskaper. De modeller vi har valt är modeller som i forskning och beprövad erfarenhet visat sig vara kraftfulla verktyg för eleverna. I årskurs 2 handlar det till exempel om den öppna tallinjen och multiplikation men det handlar också om olika typer av talbilder. Den öppna tallinjen är en kraftfull modell som sedan länge använt bland annat i den nederländska matematikundervisningen. Denna fungerar både som ett verktyg för eleverna då de utför sina beräkningar och som ett sätt att tydliggöra sina strategier. Mer om de olika modellerna kan du läsa i den didaktiska kartan.

Mer om Mondo matematik | Mondo 3A

161

Ett språkutvecklande arbetssätt Att alla lärare är språklärare är en sanning som vi allt oftare talar om. För oss innebär detta att kommunikationen är central även i matematikundervisningen. Istället för att förenkla så att språket skalas av och förminskas så är det vår uppgift att lyfta fram olika begrepp så att eleverna ständigt får möjlighet att utveckla sina kunskaper i det språk som är matematikens språk. Man talar ibland om att det i matematiken finns tre olika slags ord eller begrepp: I den första kategorin har vi vardagsorden. Det är de ord som är gemensamma med vardagsspråket och som eleverna möter även i vardagliga sammanhang. Det kan vara ord som längre, kortare och lika många. I den andra kategorin har vi den specifikt matematiska terminologin med ord som fyrhörning, täljare, nämnare och subtraktion. Att lära känna dessa ord är lite grann som att lära sig ett nytt språk med nya glosor. Genom att använda och möta dem i olika sammanhang så lär man sig betydelsen. I den tredje kategorin hittar vi de ord som finns både i matematikens värld och i vardagsspråket men i olika betydelser.

Detta är ord som eleverna behöver uppmärksammas extra på och som ibland kan ställa till vissa svårigheter då vardagserfarenheterna krockar med matematikens värld. Om barnen sitter med sin vardagsförståelse av ordet i huvudet när ni egentligen talar om den matematiska betydelsen kan missuppfattningar uppstå. Till denna kategori hör begrepp som bråk och volym (vilket i barnens värld ofta kopplas till ljud), hit hör också begreppet massa och även ett ord som kurva. I vår vardagsvärld är kurva något som är böjt medan man inom matematiken kan tala om raka kurvor. Det här betyder inte att man ska undvika dessa ord, tvärtom, vi ska använda dem frekvent och vi ska uppmärksamma eleverna på deras betydelse. Vi bör också uppmuntra eleverna att använda de matematiska begreppen och spegla det de säger med en korrekt terminologi utan att förenkla eller komma med pekpinnar. Om en elev till exempel säger att hen ”plussar” talen så kan du som lärare spegla svaret genom att upprepa förklaringen men ersätta ordet ”plussa” med att addera.

Att arbeta formativt De senaste åren har mycket fokus legat på formativ bedömning. Dylan Wiliam, en brittisk bedömningsforskare har formulerat sig så här kring formativ bedömning:

”Bedömning fungerar formativt när bevis för elevens prestation tas fram, tolkas och används av lärare, elever eller deras kamrater för att besluta om nästa steg i undervisningen som förmodligen blir bättre, eller bättre grundade, än de beslut de skulle ha fattat om bevis inte hade funnits.” (Wiliam 2013 s. 58)

162

Mondo 3A | Mer om Mondo matematik

Inom den formativa bedömningen, eller inom den formativa undervisningen som man också kan kalla det finns tre huvudfrågor: • Vart ska vi? • Var är vi? • Hur tar vi oss dit? Låt oss använda dessa tre frågor och visa hur de används i det här materialet. VART SKA VI? Vårt mål är att alla elever ska utvecklas så långt som möjligt inom utbildningens mål. Jag som lärare ska givetvis veta vilket mål matematikundervisningen har och hur detta hänger ihop med det som står i styrdokumenten. Dessa mål ska jag också tydliggöra för eleverna på ett sådant sätt att de kan förstå och förhålla sig till målen. Det betyder att jag behöver bryta ner och konkretisera målen. Med hjälp av läromedlets matriser och hur målen visas i grundboken får du som lärare hjälp att tydliggöra målen.

VAR ÄR VI? Inlärningen är inte linjär, vi vet vilka olika steg som vanligtvis ingår då eleverna utvecklar sin förståelse för olika matematiska begrepp och principer, men det finns inte en enda väg som leder till målet utan många olika stigar. För att vi ska kunna hjälpa eleverna att ta nästa steg så behöver vi veta var de befinner sig. Till din hjälp har vi därför tagit fram några olika redskap, till exempel den didaktiska kartan. Den didaktiska kartan är ett verktyg som visar och förklarar vilka olika delar som hör till ett visst matematiskt område. De olika delarna förklaras var för sig och fungerar som en kortfattad matematikdidaktik för dig som lärare. På de följande sidorna kan du läsa mer om den didaktiska kartan. Andra redskap är samtals bilden som inleder varje kapitel. Denna fungerar som ett samtalsunderlag och kan användas som en enkel fördiagnos på individ- eller gruppnivå. Inne i varje kapitel finns det ett antal avstämningspunkter i form av en mindre diagnos med självbedömning för varje enskilt mål, denna avstämning kallar vi för Minikoll. I denna får eleven lösa några uppgifter som hör samman med det aktuella målet men också göra en självskattning genom att gradera hur säker hen känner sig på att lösa uppgifter av detta slag. Resultatet på uppgifterna i kombination med självskattningen ger dig som lärare möjlighet att se var eleven befinner sig. I slutet av kapitlet finns en sammanfattande diagnos som testar alla de mål som eleverna arbetat med i kapitlet. I lärarwebben finns det även mer övergripande diagnoser. Det är dock viktigt att komma ihåg att det inte bara är dessa fasta inslag som visar var eleverna befinner sig i sin kunskapsutveckling. Den kanske allra viktigaste byggstenen i den formativa undervisningen är den dagliga återkopplingen till eleverna. För att kunna ge denna behöver elevernas lärande bli synligt och det blir den framför allt genom kommunikation. Kommunikation är en mycket viktig

ingrediens i en god matematikundervisning och vi försöker att lyfta fram detta genom hela läromedlet. Det har utvecklats ett antal aktiviteter inom den formativa undervisningen för att synliggöra elevernas tankar. Praktiska tips och idéer kring detta hittar du under avsnittet Bedömning i praktiken, praktiska tips för klassrummet. HUR TAR VI OSS DIT? Utifrån de kunskaper du som lärare har om eleverna och utifrån den information som du kan få via de kartläggningsmöjligheter vi beskrivit ovan formar du den undervisning som stärker elevernas kunskaper i matematik. För att nå målen är kommunikation och arbetet med de matematiska förmågorna viktiga delar. Det är en känd framgångsfaktor att eleverna vet vilket målet för undervisningen är och att de förstår vad det innebär. I Mondo lyfter vi fram målen flera gånger under kapitlets gång, dels på kapitlets startuppslag, dels vid början av varje nytt mål samt i samband med minikoll, diagnos, repetition och utmaning. Synliggör målen för eleverna och återkoppla till dessa så att elevernas lärande blir synligt. Arbetet med målen innebär en stor variation i arbetssätt och arbetsformer. I Mondo är kommunikationen en viktig del av inlärningen och vi utnyttjar modellen att arbeta enskilt, i par och i grupp. Detta återspeglas inte bara i undersökningar och aktiviteter utan också i genomförandet av till exempel minilektioner och i de återkommande diskussionsuppgifterna i grundboken. För att ta eleverna mot målet så krävs en välfylld palett av aktiviteter och utöver de redan nämnda så arbetar eleverna även med enskild färdighetsträning i boken och digitalt. I matriserna kan du se hur vi steg för steg fördjupar innehållet inom de olika delarna av matematiken på väg mot de mål som beskrivs i våra kursplaner i matematik.

Mer om Mondo matematik | Mondo 3A

163

Didaktisk karta

ARITMETIK: DE FYRA RÄKNESÄTTEN

S23 Liggande stolen vid division

S24 Överslagsberäkningar S20 Subtraktionsuppställning

P16 Mönster vid multiplikation och division med tio P14 Använda gruppering vid upprepad addition

M10 Öppen area som modell vid multiplikation

P7 Sambandet multiplikation och division

S10 Använda konstant skillnad vid subtraktion

S16 Använda multiplikation med fem och tio

M11 Tabell som modell för multiplikation

S13 Använda kommutativa lagen vid multiplikation

M8 Multiplikativa jämförelser

S21 Kort division S17 Automatiserade talfakta

P15 Mönster vid addition och subtraktion med tio

P10 Associativa lagen vid addition

P8 Ser grupp som en helhet vid multiplikation

S11 Multiplikation som upprepad addition

S5 Gruppera och omgruppera

M6 Multiplikation som lika grupper S7 Dubblera flera gånger

S2 Använda kommutativa lagen vid addition

170

Strategier

M12 Division som innehållsdivision

P11 Associativa lagen vid multiplikation

P5 Sambandet addition och subtraktion

Mondo 3A | Mer om Mondo matematik

S14 Gruppera om vid multiplikation P13 Konstant skillnad som likhet P12 Distributiva lagen P9 Kommutativa lagen vid multiplikation

S12 Multiplikation som area

M7 Multiplikation som area

S4 Använda fem- och tiostrukturen

M5 Tillägg som modell för subtraktion

M3 Ta bort som modell för subtraktion

M2 Tiobasmaterial P1 Organisera fakta

Matematiska principer

P6 Sambandet addition och multiplikation

S9 Kompensation vid subtraktion

S6 Använda kända talfakta

M1 Öppen tallinje

S19 Additionsuppställning S15 Förenkla uträkningar

P3 Matematiska likheter

S1 Talhopp

M13 Division som delningsdivision

S8 Halvera flera gånger

S3 Uppdelning av tal

S22 Multiplikationsuppställning

S18 Generaliserade tabellkunskaper

M9 Kartesisk produkt

P4 Positionssystemet M4 Jämförelse som modell för subtraktion

S25 Anpassa strategin efter de ingående talen

Modeller

P2 Kommutativa lagen vid addition

KOMMENTARER TILL DIDAKTISK KARTA – ARITMETIK: DE FYRA RÄKNESÄTTEN

Den didaktiska kartan visar de strategier, modeller och matematiska principer som är byggstenar i elevernas kunskapsutveckling. I Mondo matematik finns flera didaktiska kartor utifrån olika matematiska innehåll. Den didaktiska kartan visar de strategier, modeller och matematiska principer som är byggstenar i elevernas kunskapsutveckling. Även om byggstenarna finns där så tar eleverna olika stigar på sin väg genom den didaktiska kartan. Genom att du som lärare vet vilka steg som finns så kan du lättare identifiera var eleven befinner sig i sin kunskapsutveckling och utifrån detta också avgöra hur du ska gå vidare i din undervisning. Innehållet i den didaktiska kartan bygger på matematikdidaktisk forskning såväl i Sverige som i andra länder. Kartan finns även som kopieringsunderlag. Kartan kan till exempel användas i kartläggningen av enskilda elevers kunskaper. Läs gärna mer om den grundläggande taluppfattningen samt de tidiga strategierna i addition och subtraktion i den didaktiska karta som du hittar i LH 1A samt i lärarwebben.

M3 Ta bort som modell för subtraktion:

Subtraktionen beskrivs som en händelse där något tas bort, exempel: Milo har femtio kronor och betalar tio kronor. Hur mycket har hon sedan kvar? Yafet har tjugo vindruvor, han äter upp fem stycken. Hur många vindruvor är det sedan kvar? M4 Jämförelse som modell för subtraktion:

Subtraktionen beskrivs som en skillnad mellan två tal, det kan till exempel vara målskillnad eller ålders skillnad, exempel: Malte är 8 år och hans syster Moa är 10 år. Hur stor är åldersskillnaden? M5 Tillägg som modell för subtraktion:

Subtraktionen beskrivs som en uppräkning, exempel: Yafet vill köpa en tröja som tröja kostar 200 kronor. Han har bara 180 kronor. Hur många kronor saknas? Uppgiften kan lösas genom att man räknar upp från de 180 kronor Yafet har till de önskade 200 kronorna. Modellen kan även kallas för komplettering. TÄNK PÅ

M MODELLER M1 Öppen tallinje: En vågrät linje på vilken en

strategi kan synliggöras. Den öppna tallinjen har inga tal markerade i förväg. På den öppna tallinjen markerar man de tal man använder i sin beräkning utifrån den strategi man använder sig av. Den öppna tallinjen fungerar som en hjälp vid beräkningar och är ett sätt att synliggöra strategier. M2 Tiobasmaterial: Tiobasmaterial används för att

synliggöra strukturen i vårt positionssystemen. Med hjälp av tiobasmaterial kan vi visa att tio ental bildar ett tiotal, tio tiotal bildar ett hundratal etc.

M3 – M5 Tänk på att en textuppgift eller ett matematiskt problem kan beskriva en situation som leder tankarna till exempelvis modellen ”ta bort” samtidigt som de ingående talen gör att den effektivaste lösningsmodellen är en annan. Eleverna måste här kunna se bortom den kontext som uppgiften finns i. Exempel: Malte har 41 kr i plånboken. Han köper en tidning för 38 kr. Hur mycket har han kvar? Situationen som beskrivs är ett typiskt exempel på ”ta bort”, Malte betalar (ger bort) 38 kr. Den effektivaste beräkningsstrategin är dock att jämföra de två talen, hur stor är skillnaden mellan 38 och 41? När man jämför två tal kan detta ska genom att man räknar uppåt eller nedåt eller genom att man ”vet” avståndet mellan de två talen.

Mer om Mondo matematik | Mondo 3A

171

M6 Multiplikation som lika grupper:

M10 Öppen area som modell vid multiplikation:

Multiplikation visas som lika stora grupper, det kan till exempel vara tre korgar med tio äpplen i varje korg.

En öppen area används för att visa hur en multiplikation kan genomföras i steg med delprodukter. Modellen kan jämföras med den öppna tallinjen genom att eleverna kan anpassa den till de ingående talen och använda modellen för att visa sina strategier. Modellen används här för att visa multiplikationen 5 · 7. 5 2 7

M7 Multiplikation som area: Area använd som

modell för att beskriva multiplikation. Multiplika tionen 3 · 5 kan ses som arean av en rektangel med sidorna tre och fem. Denna modell kan användas för att visa multiplikationens kommutativa egenskaper, det är även en förklaringsmodell som är generaliserbar till multiplikation med decimaltal och tal i bråkform.

M11 Tabell som modell för multiplikation:

M8 Multiplikativa jämförelser: Äpplet kostar 4 kr,

ananasen kostar fem gånger så mycket är ett exempel på en multiplikativ jämförelse. Eleverna möter denna form av multiplikation till exempel vid arbetet med dubbleringar. Det är dock av stort värde att de får möta även andra typer av multiplikativa jämförelser som fyra gånger så mycket, tio gånger så mycket etc. Denna modell ger eleverna en god grund inför arbetet med till exempel proportionalitet, skala, bråk och procent.

På samma sätt som multiplikationen kan visas i delprodukter i den öppna arean så kan en tabell synliggöra mönster och visa på samband. Detta ska inte förväxlas med begreppet tabell i betydelsen multiplikationstabell. I det här exemplet visas hur man utifrån den bekanta multiplikationen med tio har multiplicerat med fem (hälften av tio) och sedan använt dessa delprodukter till att räkna ut hur mycket femton multiplicerat med sju är. Multiplikation Produkt

M9 Kartesisk produkt: Kartesisk produkt är en

modell för multiplikation som används i samband med kombinatorik. Ett exempel på en kartesisk produkt är när vi visar på hur många sätt tre tröjor och två par byxor kan kombineras med varandra.

10 · 7

5·7

15 · 7

105

M12 Division som innehållsdivision:

TÄNK PÅ M6 – M9 Forskningen beskriver fyra olika multiplikations situationer, eller modeller för multiplikation. För att ge eleverna möjlighet att utveckla sin taluppfattning och ge dem redskap att använda sig av multiplikation även i ett utvidgat talområde är det viktigt att de får återkommande får möta alla dessa modeller.

Vid innehållsdivision tänker man hur många gånger nämnaren får plats (ryms) i täljaren. 42 7

ses som hur många sjuor ryms det i 42?

Sju får plats sex gånger i 42. Kvoten är 6.Vid tankeformen innehållsdivision är sambandet mellan multiplikation och division tydligt. M13 Division som delningsdivision:

Vid delningsdivision delar man täljaren i lika många delar som nämnaren anger. 48 4

innebär att man delar 48 i fyra lika stora delar.

Kvoten är 12.

172

Mondo 3A | Mer om Mondo matematik

P MATEMATISKA PRINCIPER P1 Organisera fakta: Att strukturera talfakta så att

man har möjlighet att upptäcka mönster och använda sig av dessa. Genom att strukturera fakta kan eleverna upptäcka mönster, det kan till exempel handla om att se mönstret mellan multiplikation med 2, 4 och 8.

P5 Sambandet mellan addition och subtraktion:

Att förstå hur räknesätten addition och subtraktion hänger samman och hur detta hör ihop med uppdelning av tal. Talet tretton kan delas upp i nio och fyra. Det betyder att 9 + 4 = 13 (4 + 9 = 13) alltså är 13 – 4 = 9 och 13 – 9 = 4. Förståelsen av denna princip gör att eleverna kan generalisera sina kunskaper från addition till motsvarande subtraktioner. P6 Sambandet mellan addition och multiplikation:

P2 Kommutativa lagen vid addition: Kommutativa

lagen innebär att vi vid addition kan addera termerna i vilken ordning vi vill, summan är samma, a + b = b + a. Exempel: 1 + 14 = 14 + 1. Ofta används denna matematiska lag relativt tidigt omedvetet hos eleverna då de använder sig av strategin att ta det största talet först vid addition. Den kommutativa lagen gäller även för multiplikation. P3 Matematiska likheter: Att förstå betydelsen av matematiska likheter och att se till helheten på bägge sidor om likhetstecknet, 3 + 4 = 10 – 3. Att förstå principen för matematiska likheter handlar också om att förstå att lika tillägg eller lika fråndrag gör att likheten består liksom att man då man multiplicerar eller dividerar med samma tal på bägge sidorna fortfarande har en matematisk likhet. Denna förståelse är en viktig grund för algebra. P4 Positionssystemet: Vårt talsystem kallas för

decimalsystemet. Det är ett positionssystem med basen tio. Det innebär att vissa mönster uppstår då vi adderar med tio: 9 + 10 = 19, 19 + 10 = 29 etc. Motsvarande mönster uppstår då vi subtraherar med tio. På samma sätt gör vårt positionssystem att mönster uppstår då vi multiplicerar eller dividerar med tio. Att förstå talsystemets uppbyggnad och kunna växla mellan olika talsorter är en mycket viktig del i elevernas taluppfattning. När ni arbetar med positionssystemet och olika material som åskådliggör till exempel hundratal är det viktigt att notera om eleven ser tiotalet som en enhet eller räknar det som tio separata delar. Om eleven räknar varje del separat kan det tyda på svårigheter att förstå positionssystemets uppbyggnad.

Att förstå hur räknesätten addition och multiplikation hänger samman. Multiplikation kan ses som en upprepad addition då minst en av faktorerna är ett naturligt tal (positivt heltal). P7 Sambandet multiplikation och division:

Att förstå hur räknesätten multiplikation och division hänger samman. Genom att använda tankeformen innehållsdivision blir sambandet tydligt: hur många gånger ryms nämnaren i täljaren? Exempel: 30 5

, hur många femmor ryms det i 30? 5 · __ = 30.

Sambandet kan uttryckas på följande sätt: c·b=a

a b

= c,

P8 Ser grupp som en helhet vid multiplikation:

Denna princip handlar om att se gruppen som en helhet. Detta är ett viktigt steg i kunskapsutvecklingen. Från att ha sett 4 · 3 som fyra grupper med tre föremål i varje (där man kan räkna varje föremål separat om man använder sig av stegvis räkning) ser eleven nu det som fyra grupper som representerar talet tre. Eleven kan nu lösa multiplikationen genom att t.ex. använda sig av talhopp 3, 6, 9, 12. P9 Kommutativa lagen vid multiplikation:

Den kommutativa lagen gäller för multiplikation säger att a · b = b · a.Vi kan multiplicera faktorerna i vilken ordning vi vill, produkten är densamma, 5 · 7 = 7 · 5.

Mer om Mondo matematik | Mondo 3A

173

P10 Associativa lagen vid addition: Den associativa

lagen för addition innebär att vi kan gruppera och omgruppera tal för att förenkla våra uträkningar, 5 + 3 = 4 + 4 eller med en utförligare matematisk notering: (4 + 1) + 3 = 4 + (1 + 3) = 4 + 4 = 8. Denna kunskap bygger på att eleven förstår att tal kan delas upp på olika sätt. Den associativa lagen för addition skrivs (a + b) + c = a + (b + c). Den associativa lagen gäller även för multiplikation.

S STRATEGIER S1 Talhopp: Att lösa en upprepad addition eller en

multiplikation genom att hoppa talhopp, t.ex. femhopp eller tvåhopp. S2 Använda kommutativa lagen vid addition: Att

Den associativa lagen i multiplikation innebär att vi kan gruppera och omgruppera talen för att förenkla våra uträkningar: (7· 5)2 = 7 (5 · 2). Den associativa lagen för multiplikation lyder, (ab)c = a(bc).

förenkla uträkningar genom att utnyttja den kommutativa lagen för att genomföra den enklaste beräkningen. Det kan till exempel innebära att ta ”störst först” vid addition. Detta är ofta något som eleverna gör utan att reflektera till exempel då de löser additionen 2 + 15 genom att tänka 15 + 2.

P12 Distributiva lagen: Den distributiva lagen

S3 Uppdelning av tal: Att dela upp tal i mindre

innebär att multiplikationen är distributiv över additionen. Lagen skrivs a(b + c) = ab + ac. Ett exempel: 7 (5 + 2) = 7 · 5 + 7 · 2= 35 + 14 = 49.

delar för att underlätta en uträkning. Denna strategi ingår även ofta som en del i andra strategier där kunskaper om hur tal kan delas upp ger möjligheten att förenkla uträkningar.

P11 Associativa lagen vid multiplikation:

P13 Konstant skillnad som likhet: Förståelsen av

att skillnaden mellan två tal är konstant om vi ökar (eller minskar) bägge talen lika mycket. Denna princip är en viktig grund för att förenkla subtraktionsuträkningar: 94 – 38 = 96 – 40 = 56. Åldersskillnad kan användas för att exemplifiera denna princip. P14 Använda gruppering vid upprepad addition:

Förståelsen av att man kan gruppera tal för att effektivisera uträkningar. Exempel: 5+5+5+5 10 10 20 P15 Mönster vid addition och subtraktion med tio: Förståelse för det mönster som uppstår när vi

adderar eller subtraherar tio. Detta mönster kan vi använda oss av för att förenkla uträkningar. 39 – 10 = 29, 57 + 10 = 67. Egenskapen kan även generaliseras till addition och subtraktion med 100, 1000 etc. P16 Mönster vid multiplikation och division med tio: Att förstå hur vårt talsystem med basen tio

innebär att mönster uppstår då vi multiplicerar eller dividerar med tio. Egenskapen kan även generaliseras till multiplikation och division med 100, 1000 etc. 174

Mondo 3A | Mer om Mondo matematik

S4 Använda fem- och tiostrukturen: Med kul-

ramen som modell lär sig eleverna att känna igen femstrukturen. På samma sätt använder vi oss av femstrukturen då vi med våra fingrar ska visa talet sju (en hel hand plus två fingrar). Detta kan eleverna använda vid additioner som 5 + 7 som kan ses som 5 + (5 + 2) men också vid additioner som 8 + 6 som kan ses som (5 + 3) + (5 + 1). Läs mer om kulramen som modell i LH 1A.Vi kan även förenkla uträkningar genom att använda oss av tiostrukturen. Det innebär att vi utnyttjar ett jämnt tiotal vid våra uträkningar, att vi använder oss av tiokamrater eller att vi ”mellanlandar” på talet tio: 9 + 7 = 10 + 6. Kunskaperna generaliseras sedan till att utnyttja hundratal, tusental etc vid beräkningar. S5 Gruppera och omgruppera: Att utnyttja den

associativa lagen för att förenkla uträkningar. Additionen 38 + 7 löses som 40 + 5 vilket ger en enklare uträkning. Notera att denna strategi bygger på en förståelse för att talet 7 kan delas upp i talen 5 och 2 utan att helheten förändras.

S6 Använda kända talfakta: Denna strategi innebär

S11 Multiplikation som upprepad addition:

att utgå från kombinationer man behärskar för att räkna ut andra kombinationer. Exempel: Jag vet att 7 + 7 = 14, jag utnyttjar detta till den närliggande kombinationen 7 + 8 = 15.Vi utnyttjar våra kunskaper om dubbelt vid de beräkningar som är nästan dubbelt. På samma sätt kan jag använda mina kunskaper om hälften och nästan hälften eller dra nytta av andra kombinationer. Eftersom jag vet att 8 + 4 = 12 så måste 8 + 5 = 13, eftersom jag vet att 14 - 7 = 7 så måste 14 – 8 = 6. Strategin används i alla de fyra räknesätten.

Multiplikationen löses genom en upprepad addition. Detta är ofta en tidig strategi då eleverna arbetar med multiplikation. På sikt blir dock strategin ineffektiv och målet är att eleverna ska finna effektivare multi plikationsstrategier. Strategin fungerar endast då minst en av faktorerna är ett naturligt tal (det vill säga ett positivt heltal).

S7 Dubblera flera gånger: Kunskaperna om

dubbelt generaliseras och används till exempel vid multiplikation med fyra och åtta då eleven använder dubbelt (· 2), dubbelt igen (· 4) och dubbelt igen (· 8). S8 Halvera flera gånger: Eleven utnyttjar mönster i tabellerna och upprepar halveringar för att dividera med exempelvis fyra och åtta då eleverna delar i hälften ( 1 ), hälften igen ( 1 ) och hälften igen ( 1 ). 2

S9 Kompensation vid subtraktion: När vi använder

begreppet kompensation i samband med subtraktion så avser vi de situationer där eleven till exempel använder sig av jämna tiohopp och sedan kompenserar detta genom att justera svaret. Detta är ett sätt att använda sig av hjälpsamma tal och förenkla sin uträkning. Exempel: eleverna får i uppgift att lösa subtraktionen 43 – 19. Milo förklarar att hon sub traherar tjugo och lägger sedan till ett för att justera svaret. På tallinjen skulle denna strategi kunna visas på följande sätt:

S12 Multiplikation som area: Multiplikationen ses

som en area. Multiplikationen visas här genom en tvådimensionell representationsmodell. Modellen kan användas för att visa både den associativa, den distributiva och den kommutativa lagen för multiplikation. Modellen kan vara ett stöd i elevernas förståelse av dessa och i förenklandet av uträkningar. S13 Använda kommutativa lagen vid multiplikation: Att utnyttja den kommutativa lagen

för att genomföra den enklaste beräkningen. 5 · 7 ses som 7 · 5 och eleven får därmed en enklare multiplikation att hantera. Istället för att se multiplikation som fem sjuor handlar det nu om att räkna ut hur mycket sju femmor är. Elever med god taluppfattning tycks intuitivt använda sig av kommutativa lagen. S14 Gruppera om vid multiplikation: Genom att

använda sig av den associativa lagen vid multiplikation, gruppera och omgruppera förenklar eleven uträkningen. 8 · 5 ses som 4 · 10 = 40. Om vi ska teckna stegen i denna uträkning så skulle det kunna skrivas så här: 8 · 5 = (4 · 2) · 5 = 4 · (2 · 5) = 4 · 10 = 40. Den ena faktorn halveras medan den andra dubbleras.

1 23

S10 Använda konstant skillnad vid subtraktion:

Förenklar uträkningar genom att göra lika tillägg eller fråndrag. En elev som använder sig av denna strategi har förstått att skillnaden är konstant därför kan 42 – 19 ses som den enklare subtraktionen 43 – 20.

Mer om Mondo matematik | Mondo 3A

175

S15 Förenkla uträkningar: Genom att utnyttja

räknelagar och gruppera och omgruppera tal förenklar eleven sina uträkningar.Vi använder oss ibland av uttrycket ”hjälpsamma tal”, med detta uttryck menar vi att använda sig av tal som det är lätt att räkna med. För att eleven ska kunna förenkla sina uträkningar krävs en god taluppfattning. Att använda sig av tiostrukturen och tiokamrater är exempel på hur man kan förenkla uträkningar, att använda sig av konstant skillnad vid subtraktion är ett annat sådant exempel. S16 Använda multiplikation med fem och tio:

Att använda multiplikation med tio och fem för att räkna ut delprodukter kan vara en mycket effektiv strategi. Det är dock en strategi som kräver goda kunskaper i hur tal kan delas upp och vilka räknelagar som gäller för multiplikationen. Detta betyder inte att eleverna formellt kan berätta om räkne lagarna men de behöver ha en förståelse för vad de innebär. Exempel: Amira ska räkna ut hur mycket sjupåsar à 20 kr kostar. Hon utgår från multiplikation med fem och multiplicerar 5 · 20, sedan multiplicerar hon 2 · 20. Hon adderar därefter de bägge del produkterna 100 + 40.

S20 Subtraktionsuppställning:

10 10 Subtraktionsuppställning kallar 2 7 0 6 − 1 2 6 8 vi den algoritm som används vid 1 4 3 8 skriftlig uträkning av subtraktioner där termerna placeras under varandra. Metoden är generaliserbar och kan användas till såväl subtraktion med positiva heltal som decimaltal. S21 Kort division:

S22 Multiplikationsuppställning:

1 5 4 Multiplikationsuppställning kallar · 1 2 1 3 0 8 vi den algoritm som används för + 1 5 4 att bokföra multiplikationsuträk1 8 4 8 ningar. Metoden är generaliserbar till olika talområden och bygger på att man använder sig av vårt tiobassystem och delar upp multiplikationen i delprodukter. S23 Liggande stolen vid division:

S17 Automatiserade talfakta: När eleven inte längre

behöver tänka i steg för att räkna ut ett svar. Ofta uttrycker eleverna som att de bara ”vet” svaret. Målet är att tabellkunskaper ska automatiseras så att de blir ett användbart verktyg för eleverna. När talfakta är automatiserade brukar eleverna även kunna generalisera dessa till ett annat talområde. S18 Generaliserade tabellkunskaper: Elevernas

tabellkunskaper i ett lägre talområde kan generaliseras till ett högre talområde. Exempel: Eftersom 14 – 5 = 9 så är 140 – 50 = 90. Eftersom 5 · 5 = 25 så är 5 · 50 = 250. S19 Additionsuppställning:

1 Additionsuppställning kallar vi den 3 4 2 8 + 1 6 7 algoritm som används vid skriftlig 3 5 9 5 uträkning av additioner där termerna placeras under varandra. Metoden är generaliserbar och kan användas till såväl addition med positiva heltal som decimaltal.

176

Mondo 3A | Mer om Mondo matematik

2 3

7 3 ,0 En modell för skriftlig uträkning = 14 ,6 5 av division som blivit vanlig på senare år. I denna modell används endast bråkstrecket och alla delberäkningar bokförs inte (jfr med Liggande stolen nedan).

Denna divisionsalgoritm kallas även lång division. Täljaren (dividenden) skrivs till vänster och nämnaren (divisorn) skrivs till höger. Kvoten skrivs högst upp i algoritmen.

1 7 – 5 2 – 2

4 ,6 3 5

3 0 3 0 – 3 0 0

S24 Överslagsberäkningar: Att genom ett överslag

göra en ungefärlig beräkning av svaret, används vid rimlighetsbedömningar. S25 Anpassa strategin efter de ingående talen:

När eleverna behärskar olika strategier och använder den mest effektiva strategin utifrån de ingående talens egenskaper. Det kan till exempel handla om att i subtraktion växla mellan tankeformen ta bort vid subtraktioner som 61 – 2 och jämförelse vid subtraktionen 61 – 59.

Mer om Mondo matematik | Mondo 3A

177

Tallinjen, utvidgad till negativa tal, tal i bråkform och tal i decimalform

Primtal, Erathostenes såll

3A kap 1 - 3

3A kap 1, 3

Additions- och subtraktionsuppställningar

3A kap 1 - 3

Användning av de fyra räknesätten i textuppgifter

3A kap 3

Sambandet mellan tal i bråkform och enkla tal i decimalform

3A kap 3

3A kap 1 - 3

Rimlighetsbedömning vid textuppgifter och problemlösning

3A kap 1

3A kap 3

Generaliserade tabeller multiplikation och division

Rimlighetsbedömningar vid huvudräkning och generaliserade tabeller

3A kap 3

Decimalsystemet

Bråk som del av helhet, del av antal och bråk som tal

3A kap 3

Generaliserade tabeller addition och subtraktion

3A kap 1

Delbarhet

3A kap 3

Sambandet mellan multiplikation och division

Att jämföra bråk

3A kap 3

3A kap 1

Tal i bråkform

Positionssystemet

3A kap 1

3A kap 3

Historiska talsystem

3A kap 1

Rimlighetsbedömning vid enkla beräkningar och uppskattningar.

Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om val av metoder och räknesätt samt om resultats rimlighet.

Eleven kan välja och använda i huvudsak fungerande matematiska metoder med viss anpassning till sammanhanget för att göra enkla beräkningar med naturliga tal och lösa enkla rutinuppgifter med tillfredsställande resultat. Eleven kan använda huvudräkning för att genomföra beräkningar med de fyra räknesätten när talen och svaren ligger inom heltalsområdet 0–20, samt för beräkningar av enkla tal i ett utvidgat talområde. Vid addition och subtraktion kan eleven välja och använda skriftliga räknemetoder med tillfredsställande resultat när talen och svaren ligger inom heltalsområdet 0–200.

Eleven visar grundläggande kunskaper om tal i bråkform genom att dela upp helheter i olika antal delar samt jämföra och namnge delarna som enkla bråk.

Eleven har grundläggande kunskaper om naturliga tal och kan visa det genom att beskriva tals inbördes relation samt genom att dela upp tal.

Kunskapskrav år 3

Matris Centralt innehåll och kunskapskrav – sida 1(3)

Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal, vid huvudräkning och överslagsräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digitala verktyg. Metodernas användning i olika situationer.

De fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning i olika situationer.

Del av helhet och del av antal. Hur delarna kan benämnas och uttryckas som enkla bråk samt hur enkla bråk förhåller sig till naturliga tal. Naturliga tal och enkla tal i bråkform och deras användning i vardagliga situationer.

Hur positionssystemet kan användas för att beskriva naturliga tal. Symboler för tal och symbolernas utveckling i några olika kulturer genom historien.

Naturliga tal och deras egenskaper samt hur talen kan delas upp och hur de kan användas för att ange antal och ordning.

3A kap 1

Begreppet naturliga tal, negativa tal

Storleksordna höga tal

Höga tal på tallinjen

Centralt innehåll

TALUPPFATTNING OCH TALS ANVÄNDNING

matematik

3A MATRIS Centralt innehåll och kunskapskrav

178

Mondo 3A | Mer om Mondo matematik 3A kap 3

3A kap 3

Eleven kan göra enkla mätningar, jäm förelser och uppskattningar av längder, massor, volymer och tider och använder vanliga måttenheter för att uttrycka resultatet.

Dessutom kan eleven använda grund läggande geometriska begrepp och vanliga lägesord för att beskriva geometriska objekts egenskaper, läge och inbördes relationer

Eleven kan även avbilda och, utifrån instruktioner, konstruera enkla geometriska objekt.

Eleven kan använda grundläggande geometriska begrepp och vanliga lägesord för att beskriva geometriska objekts egenskaper, läge och inbördes relationer.

Kunskapskrav år 3

Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om geometriska mönster och mönster i talföljder.

Eleven kan hantera enkla matematiska likheter och använder då likhetstecknet på ett fungerande sätt.

Kunskapskrav år 3

Matris Centralt innehåll och kunskapskrav – sida 2(3)

Tidsskillnader

Omkrets och area

Avläsa temperatur, räkna med temperaturskillnader

3A kap 3

Jämförelser och uppskattningar av matematiska storheter. Mätning av längd, massa, volym och tid med vanliga nutida och äldre måttenheter.

3A kap 1

3A kap 2

Hela den analoga klockan

Avläsa vikt

Hela den digitala klockan

Symmetri, till exempel i bilder och i naturen, och hur symmetri kan konstrueras.

Konstruktion av geometriska objekt. Skala vid enkel förstoring och förminskning.

Målet behandlas i Mondo 3B

3A kap 3

Att förstora och förminska med hjälp av rutnät

Vanliga lägesord för att beskriva föremåls och objekts läge i rummet.

3A kap 3

3A kap 2

Målet har behandlats i Mondo 1

Längdskala

3A kap 2

Egenskaper hos 2D-objekt som cirkel, triangel, fyrhörning

Egenskaper hos 1D-objekt som linje, sträcka

Rita geometriska objekt

3A kap 2

Grundläggande geometriska objekt, däribland punkter, linjer, sträckor, fyrhörningar, trianglar, cirklar, klot, koner, cylindrar och rätblock samt deras inbördes relationer. Grundläggande geometriska egenskaper hos dessa objekt.

Egenskaper hos 3D-objekt som klot, rätblock, cylinder

Hur entydiga stegvisa instruktioner kan konstrueras, beskrivas och följas som grund för programmering. Symbolers användning vid stegvisa instruktioner.

Begreppen 1D, 2D, 3D

3A kap 1

Att följa instruktioner för förflyttning i rutnät

Centralt innehåll

3A kap 1

Hur enkla mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas.

GEOMETRI

Att skapa instruktioner med symboler

3A kap 1

Talföljder

Att skapa egna mönster

Följa och skapa entydiga instruktioner

3A kap 1

Att identifiera och fortsätta mönster i färg och form

3A kap 1

3A kap 1, 3

Skapa och lösa ekvationer

3A kap 1

Matematiska likheter och likhetstecknets betydelse.

Talkedjor

3A kap 1

Likhetstecknet = Olikhetstecken ≠, >, <

Enkla funktioner vid programmering

Öppna utsagor

Centralt innehåll

ALGEBRA

Mer om Mondo matematik | Mondo 3A

179

3A kap 3

3A kap 1, 3

3A kap 1

Att översätta textuppgifter till matematiskt symbolspråk 3A kap 1, 2, 3

Läsa och lösa textuppgifter med vardagsnära innehåll

3A kap 1, 2, 3

Eleven kan lösa enkla problem i elevnära situationer genom att välja och använda någon strategi med viss anpassning till problemets karaktär. Eleven beskriver tillvägagångssätt och ger enkla omdömen om resultatens rimlighet.

Kunskapskrav år 3

Eleven kan även använda och ge exempel på enkla proportionella samband i elevnära situationer.

Kunskapskrav år 3

Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om slumpmässiga händelser. Eleven kan dessutom vid olika slag av undersökningar i välkända situationer avläsa och skapa enkla tabeller och diagram för att sortera och redovisa resultat.

Kunskapskrav år 3

Matris Centralt innehåll och kunskapskrav – sida 3(3)

Matematisk formulering av frågeställningar utifrån enkla vardagliga situationer.

Strategier för matematisk problemlösning i enkla situationer.

Problemlösnings-strategier

Problemlösningens fem steg 3A kap 3

Centralt innehåll

PROBLEMLÖSNING Problemlösning med proportionella samband

Olika proportionella samband, däribland dubbelt och hälften.

Att visa proportionella samband med en graf (linjediagram)

Enkla tabeller och diagram och hur de kan användas för att sortera data och beskriva resultat från enkla undersökningar, såväl med som utan digitala verktyg.

3A kap 3

3A kap 2

Venndiagram

Proportionella samband

3A kap 2

Avläsa, tolka och skapa olika typer av tabeller och diagram

Centralt innehåll

3A kap 2

Frekvenstabell Stapeldiagram Cirkeldiagram Linjediagram

3A kap 2

Kombinatorik

SAMBAND OCH FÖRÄNDRING

3A kap 2

Träddiagram

3A kap 2

Ange sannolikhet i bråkform Slumpmässiga händelser i experiment och spel.

Bestämma möjliga utfall i vardagsnära situationer

Slumpmässiga försök

3A kap 2

Centralt innehåll

SANNOLIKHET OCH STATISTIK

180

Mondo 3A | Mer om Mondo matematik

Syfte Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att:

Formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder.

Använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp.

Välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter.

Föra och följa matematiska resonemang.

Använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.

MONDO MATEMATIK 3

I Mondo arbetar vi för att eleverna ska utveckla denna förmåga genom att:

I undersökningar och aktiviteter möta olika matematiska innehåll och lösa problem med olika strategier. Eleverna får lära sig arbeta med problemlösningens fem steg: 1. LÄS uppgiften. 2. SPELA FILMEN, TÄNK och PLANERA. Vad handlar problemet om? 3. LÖS problemet t.ex. genom att berätta, spela upp problemet, skriva eller rita. 4. REDOVISA din lösning 5. KONTROLLERA. Har jag svarat på frågan? Är svaret rimligt?

Introducera och använda matematiska begrepp och sambandet mellan olika matematiska begrepp inom matematikens olika delområden. Eleverna får möta och använda en korrekt terminologi som presenteras i faktarutor, genomgångar och minilektioner.

Låta eleverna upptäcka och dela med sig av olika strategier i de fyra räknesätten. Innehållet är upplagt så att eleverna ska upptäcka mönster och se samband mellan olika räknesätt samt ges möjlighet att upptäcka effektiva strategier. Vi använder oss av den öppna tallinjen som genomgående modeller för att stärka elevernas taluppfattning. Eleverna tränas i att välja räknesätt, att förklara sin lösning och bedöma resultatets rimlighet.

Materialet bygger på att eleverna arbetar såväl enskilt som i par och i grupp. I arbetet med samtalsbilden, undersökningar och i aktiviteter lyfts såväl elevernas muntliga som skriftliga resonemang fram. I grundboken använder vi återkommande symbolen ”jobba tillsammans” för att särskilt markera de uppgifter där eleverna ska resonera gemensamt.

I Mondo arbetar vi för att eleverna ska kunna växla mellan olika representationsformer genom att variera arbete med konkret material med redovisningar genom bild och symboler samt genom skriftliga och muntliga förklaringar och resonemang.

matematik

Eleven kan beskriva och samtala om tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande sätt och använder då konkret material, bilder, symboler och andra matematiska uttrycksformer med viss anpassning till sammanhanget.

Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om val av metoder och räknesätt samt om resultats rimlighet, slumpmässiga händelser, geometriska mönster och mönster i talföljder genom att ställa och besvara frågor som i huvudsak hör till ämnet.

Eleven har grundläggande kunskaper om matematiska begrepp och visar det genom att använda dem i vanligt förekommande sammanhang på ett i huvudsak fungerande sätt. Eleven kan beskriva begreppens egenskaper med hjälp av symboler och konkret material eller bilder. Eleven kan även ge exempel på hur några begrepp relaterar till varandra.

Kunskapskrav år 3

3A MATRIS Syfte och kunskapskrav

Minilektioner I de flesta klassrum har man en stund varje dag som man ägnar åt någon form av högläsning. Vår tanke är att man på samma sätt också ska kunna ägna en liten stund åt matematik. Detta kan vara en inledning av en matematiklektion, men det kan också vara en fristående minilektion som man genomför separat. I minilektionerna varvas färdighetsträning, talmönster, matematikens historia, träning på klockan och fascinerande fakta. Du som lärare får en rik källa att ösa ur och tips på vilka minilektioner som passar vid olika tillfällen. Minilektionen är en kort lektion som tar mellan fem och femton minuter att genomföra. Till varje kapitel finns runt trettio minilektioner. Detta innebär att det finns underlag för att ha en minilektion varje dag om man så önskar. Några av minilektionerna är direkt knutna till ett visst innehåll och lämpar sig då

som introduktion till detta, andra är helt fristående. En annan viktig funktion hos minilektionerna är att de fungerar som färdighetsträning. Dessa minilektioner är skapade för att lyfta fram en särskild strategi eller en särskild modell för eleverna, detta kan du till exempel se i det vi kallar för tankekedjor. I arbetsgången här i lärarhandledningen står det angivet vilka minilektioner som passar till det aktuella målet, utöver detta finns det alltså flera som du kan lyfta in när du tycker att det är lämpligt. På kommande sidor finns handledning och instruktioner till varje minilektion. Till flera av dem finns digitalt bildspel. Det visas med denna symbol . Under vissa finns hänvisningar till den didaktiska kartan. Symboler som denna S4 visar var i den didaktiska kartan som du kan läsa mer.

SAMMANSTÄLLNING AV MINILEKTIONER (ML) I BOK 3A ML nr

Rubrik

Bildspel

Område

Sida elevbok

Kapitel 1

Det egyptiska talsystemet

Matematikens historia

8-9

Det romerska talsystemet

Matematikens historia

8–9

Det decimala talsystemet

Taluppfattning

10 – 11

Tankekedja addition, generaliserade tabeller 1

Aritmetik

12 – 13

Tankekedja addition, generaliserade tabeller 2

Aritmetik

12 – 13

Tankekedja subtraktion, generaliserade tabeller 1

Aritmetik

12 – 13

Tankekedja subtraktion, generaliserade tabeller 2

Aritmetik

12 – 13

Positionssystemet, Att skriva tal i utvecklad form

Taluppfattning

12 – 13

Addition och subtraktion med höga tal

Aritmetik

12 – 13

Additionsuppställning

Aritmetik

14 – 15

Subtraktionsuppställning

Aritmetik

14 – 15

Tankekedja multiplikation, generaliserade tabeller 1

Aritmetik

14 – 15

Tankekedja multiplikation, generaliserade tabeller 2

Aritmetik

14 – 15

Tankekedja division, generaliserade tabeller 1

Aritmetik

14 – 15

Tankekedja division, generaliserade tabeller 2

Aritmetik

14 – 15

Beskriva mönster

Algebra

20 – 22

Programmera med symboler

Algebra

24 – 25

Var är djuret?

Geometri

24 – 25

Talföljder

Algebra

26 – 27

Funktioner – vad händer om…?

Algebra

27 – 28

Minilektioner | Mondo 2A

181

Matematiska likheter, = eller ≠?

Algebra

34 – 35

Matematiska likheter, vilket tal saknas?

Algebra

36 – 37

Talkedjor

Algebra

36 – 37

Att bygga ekvationer

Algebra

38 – 39

Ekvationer

Algebra

40 – 41

Problemlösningsstegen

Problemlösning

42 – 43

Den analoga klockan

Geometri

Historien om våra siffror

Historia (fr åk 1)

10 – 11

Veckans gissning

Taluppfattning

Allmän

Ledtrådsmatte

Problemlösning

Allmän

Kapitel 2

182

Vad är sannolikhet?

Sannolikhet och statistik

60 - 61

Sannolikhet – utfall och sannolikhet

Sannolikhet och statistik

62 - 63

Att skapa träddiagram

Sannolikhet och statistik

64 - 65

Att tolka träddiagram

Sannolikhet och statistik

66 - 67

Kombinatorik

Sannolikhet och statistik

68 - 69

Statistik – tabeller och diagram

Sannolikhet och statistik

Cirkeldiagram

Sannolikhet och statistik

Linjediagram

Sannolikhet och statistik

Venndiagram

Sannolikhet och statistik

80 - 81

Stapeldiagram

Sannolikhet och statistik

82 - 83

Geometriska objekt

Geometri

Linje och sträcka

Geometri

Cirkelns egenskaper

Geometri

Månghörningar

Geometri

Parallell – vad betyder det

Geometri

Rektangel

Geometri

Tredimensionella geometriska objekt – klot, kon, cylinder och pyramid

Geometri

Tredimensionella geometriska objekt – prisma, rätblock och kub

Geometri

Platonska kroppar

Geometri

Den digitala klockan

Geometri

Veckans gissning

Taluppfattning

Allmän

Ledtrådsmatte

Problemlösning

Allmän

Att matterita

Problemlösning

Allmän

Mondo 2A | Minilektioner

Kapitel 3

Tal i bråkform – olika representationer

Taluppfattning

112 – 113

Bråk som del av helhet

Taluppfattning

112 – 113

Bråk som del av antal

Taluppfattning

114 – 115

Bråk på tallinjen

Taluppfattning

116

Likvärdiga bråk

Taluppfattning

117

Att skriva tal i bråkform

Taluppfattning

118

Tal i bråk- och decimalform

Taluppfattning

119

Tal i bråkform – helheten och delarna

Taluppfattning

120

Naturliga tal och andra typer av tal

Taluppfattning

125

Att jämföra tal

Taluppfattning

126 – 127

Talbilder

Taluppfattning

128

Det decimala positionssystemet

Taluppfattning

129

Negativa tal på tallinjen

Taluppfattning

130

Talens grannar

Taluppfattning

131

Temperaturskillnad

Taluppfattning

132 – 133

Problemlösningsstegen

Problemlösning

135

Proportionalitet – pris och vikt, hur hänger det ihop?

Proportionalitet

139

Proportionalitet i tabeller och grafer

Proportionalitet

140 – 141

Längdskala

Skala

142 – 143

Areaskala

Skala

144 – 145

Problemlösning – hitta ledtrådarna!

Problemlösning

146 – 147

Eratosthenes såll

Historia

150

Tidsskillnader

Geometri

151

Veckans gissning

Taluppfattning

Allmän

Ledtrådsmatte

Problemlösning

Allmän

Tankekedja addition

Aritmetik

Allmän

Tankekedja subtraktion

Aritmetik

Allmän

Tankekedja multiplikation

Aritmetik

Allmän

Tankekedja division

Aritmetik

Allmän

Så arbetar en matematiker

Problemlösning

Allmän

Minilektioner | Mondo 2A

183

MINILEKTIONER – KAPITEL 1 MINILEKTION

Det egyptiska talsystemet Syfte: Att ge en inblick i talsystem som utvecklats genom historien. Använd det digitala bildspelet där de egyptiska symbolerna finns förklarade eller berätta själv om det egyptiska talsystemet. I bildspelet får eleverna även avläsa olika tal skrivna med de egyptiska symbolerna.Varje talsort har i det egyptiska en egen symbol:1 symboliseras av ett streck , 10 av en åsnehov , 100 av en hårlock och 1000 av en lotusblomma . Talet 143 visas alltså

MINILEKTION

med en hårlock, fyra åsnehovar och tre streck.

Notera att det egyptiska talsystemet inte är ett positionssystem, det spelar alltså ingen roll i vilken ordning symbolerna skrivs. För att underlätta avläsning är det dock lämpligt att gruppera varje talsort för sig.

Det romerska talsystemet Syfte: Att ge eleverna kunskap om det romerska talsystemet. Använd det digitala bildspelet eller berätta själv om det romerska talsystemet. I det romerska talsystemet användes bokstäver istället för siffror. I (1),V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) och M (1000). I det romerska talsystemet är symbolernas position viktig då en symbol med lägre värde än den efterföljande symbolen innebär en subtraktion. Om symbolerna står i omvänd ordning

MINILEKTION

innebär det istället en addition. Talet VI visar alltså talet 6 (5 + 1) medan IV visar talet 4 (5 – 1). Observera att I endast kan användas före V och X, X endast kan användas före L och C och att C endast kan användas före D och M. I bildspelet får eleverna både avläsa tal och fundera på hur talet 99 skrivs (XCIX).Vi kan fortfarande möta romerska siffror i vardagen, då främst på urtavlor, i samband med kunganamn eller årtal.

Det decimala talsystemet Syfte: Att visa på egenskaper i vårt positionssystem, det decimala talsystemet. Vårt talsystem är ett positionssystem med tiobas. Det kallas även för det decimala talsystemet. I bildspelet får eleverna lära känna några av de egenskaper som vårt talsystem har. De får även öva sig i växlingar mellan olika talsorter och få förståelse för nollans betydelse. Bildspelet avslutas med att eleverna får bygga tal av siffrorna 2, 4 och 7. I denna del av minilektionen får eleverna bygga tal utifrån givna förutsättningar. Dessa instruktioner kan även användas utan det digitala bildspelet.

184

Mondo 3A | Minilektioner kapitel 1

De uppgifter som eleverna får i uppgift att lösa är: Bygg det största tvåsiffriga talet du kan med hjälp av siffrorna (74). Bygg det minsta tvåsiffriga talet. (24) Bygg det största tresiffriga talet. (742) Bygg det minsta tresiffriga talet. (247) Välj hur många av siffrorna du vill använda: Skriv det minsta udda talet. (7) Skriv det största udda talet. (427) Skriv det minsta jämna talet. (2) P4 Skriv det största jämna talet. (724) Skriv alla udda tal du kan skriva (7, 27, 47, 247, 427)

– NYFIKEN MATEMATIK FÖR ALLA! Mondo matematik är en helt ny läromedelsserie i matematik. Elevernas uppgifter har en väl genomtänkt progression inom och mellan alla matematiska områden. Med ett lättillgängligt språk ger författaren Åsa Brorsson dig didaktisk vägledning kopplad till teori, forskning och styrdokument samt ett rikligt utbud av förslag på olika aktiviteter, minilektioner, kopieringsunderlag m.m. Med lång erfarenhet som klasslärare och handledare inom Mattelyftet har Åsa även praktisk kännedom om vad lärare behöver för att utöva sitt yrke som bäst. Hon visar hur du kan lotsa varje elev på sin nivå till god utveckling och matematisk förståelse. Hon beskriver olika elevers tänkande och missuppfattningar och hur du kan föra individuella och gemensamma samtal, arbeta med problemlösning, ge formativ bedömning och få eleverna att älska matematik. Mondo matematik för åk 3 består av: • Grundbok 3A och 3B – strukturerade elevböcker • Lärarhandledning – facit, metoder, didaktik, tips och idéer • Elevwebb – filmer, spel, självrättande övningar • Lärarwebb – hela lärarhandledningen och elevwebben, filmer, fler kopieringsunderlag än lärarhandledningen, färdighetsträning