Bråting Sollervall Stadler
Kajsa Bråting, Håkan Sollervall och Erika Stadler undervisar och forskar i matematikämnets didaktik. De är verksamma som universitetslektorer i lärarutbildningarna vid Uppsala universitet, Linnéuniversitetet respektive Stockholms universitet.
Geometri för lärare
| Geometri för lärare
Boken behandlar den specialiserade kunskap i geometri som lärare behöver för att kunna bedriva en varierad och allsidig matematikundervisning samt för att kunna tolka, bedöma och utveckla elevers matematiska tankar, idéer och resonemang.
Geometri för lärare
Olika tankeformer, formella resonemang och bevis varvas med informella heuristiska resonemang som syftar till att utveckla elevers matematiska kunskap, känsla och intuition. Många kopplingar görs till andra matematiska innehållsområden som aritmetik, algebra och funktioner. Läsaren får möjlighet att utforska matematiken och speciellt geometrin på ett sätt som lägger stor vikt, inte bara vid räknefärdigheter utan också vid den viktiga sammanhangsbundna förståelse för matematikens mönster och strukturer som matematiklärare behöver för att lyckas med sitt viktiga uppdrag. Boken vänder sig till verksamma och blivande lärare i matematik.
Art.nr 36424
Kajsa Bråting · Håkan Sollervall · Erika Stadler
www.studentlitteratur.se
978-91-44-08390-2_01_cover.indd 1
2013-02-05 15:17
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Presskopias skolkopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Denna trycksak är miljöanpassad, både när det gäller papper och tryckprocess.
Art.nr 36424 ISBN 978-91-44-08390-2 Upplaga 1:1 © Författarna och Studentlitteratur 2013 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Jakob Meijling Omslagsbild: Hung Chung Chih/Shutterstock Printed by Elanders Poland, Poland 2013
978-91-44-08390-2_01_p01-02.indd 2
2013-01-30 11.08
Innehållsförteckning Förord Att beskriva och tolka plana figurer Om språk och förståelse Om kommunikation, representation och uttryck Om geometriska figurer Om definitioner och begrepp Polygon, månghörning och triangel Några speciella fyrhörningar
Vinklar Några olika sorters vinklar Att mäta vinklar Vinklar i trianglar Vinklar i månghörningar Yttervinklar och randvinklar
Att mäta längd Om mätning och rättvisa mått Att mäta längder med måttstock Begreppet längd Omkrets av månghörning och cirkel
Likformighet och kongruens Likformiga figurer Topptriangelsatsen Att mäta med likformighet Kongruenta figurer Tre kongruensfall
Att mäta area Ett områdes storlek Area av ett oregelbundet område Area av rektangel, triangel och parallellogram Area av cirkel © Författarna och Studentlitteratur
1 1 2 3 6 9 12
18 18 22 23 25 27
30 30 30 31 33
36 36 39 41 45 45
49 49 50 51 58
Pythagoras sats
59
Kvadrat på en sida och kvadrat av ett tal Euklides bevis av Pythagoras sats
59 61
Enheter och skala
67
Kvadratdecimeter och kvadratcentimeter Ett exempel med längder och areor Ett exempel med tid Area av en ellips Skalenlig avbildning
67 69 70 70 71
Att beskriva och tolka rummet
75
Polyedrar – rummets månghörningar Cylinder och prisma Kon och pyramid Sfär och klot
75 78 80 81
Att mäta volym
83
En kropps storlek Volym av rätblock Volym av cylinder Volym av kon Volym av klot Längdskala och volymskala
83 85 87 90 94 97
Geometriska mönster
99
Symmetriska figurer Tesseleringar – heltäckande mönster Geometriska, aritmetiska och algebraiska mönster
Geometriska konstruktioner Konstruktioner med passare och linjal Bisektriser och bisektrissatsen Konstruktion av regelbundna polygoner
99 103 106
109 109 112 115
Uppgifter
117
Facit
141 © Författarna och Studentlitteratur
Förord Du håller i en lärobok i geometri för blivande och verksamma matematiklärare. Boken behandlar den specialiserade kunskap i geometri du behöver för att kunna undervisa så att dina elever lär sig geometri på ett allsidigt sätt. Den behandlar däremot inte hur elever lär sig geometri och hur man kan undervisa geometri. I din lärarutbildning är det viktigt att du får möjlighet att studera både matematik och matematikdidaktik, åtminstone om man ska tro merparten av de som forskar inom detta fält. En av dessa forskare är Deborah Loewenberg-Ball, som har bidragit till att utveckla den så kallade MKT-modellen (MKT: Mathematical Knowledge for Teaching). Enligt denna modell kan den nödvändiga matematik-lärarkunskapen MKT till att börja med delas in i ämnesinnehållslig kunskap (Subject Matter Knowledge, SMK) och pedagogisk ämneskunskap (Pedagogical Content Knowledge, PCK). Den markerade delen av ”MKT-ägget” nedan symboliserar det innehåll som behandlas i denna bok.
SUBJECT MATTER KNOWLEDGE
Common content knowledge (CCK) Horizon content knowledge
Specialized content knowledge (SCK)
PEDAGOGICAL CONTENT KNOWLEDGE Knowledge of content and students (KCS)
Knowledge of content and teaching (KCT)
Knowledge of content and curriculum
(Ball, Thames och Phelps, 2008) Den ämnesinnehållsliga kunskapen (Subject Matter Knowledge) omfattar dels den matematik som behandlas i skolans matematik (Common Content Knowledge, CCK), dels en djupare sammanhangsbunden kunskap om skolans matematik (Horizon Content Knowledge) men framför allt en specialiserad ämneskunskap (Specialized Content Knowledge, SCK) som du behöver som grund för att kunna bedriva en varierad och allsidig matematikundervisning där elevers tankar och idéer tas tillvara och utvecklas. Du måste ha goda kunskaper i matematik (särskilt SCK) för att kunna tolka, bedöma och utveckla dina elevers matematiska idéer på ett bra sätt. © Författarna och Studentlitteratur
Förord
Geometri för lärare behandlar ämneskunskap i geometri samt kopplingar mellan geometri och andra matematiska innehållsområden som aritmetik, algebra och funktioner. Ämnesinnehållet behandlas på ett varierat sätt, där formella resonemang och bevis varvas med mer informella heuristiska resonemang avsedda att utveckla läsarens matematiska känsla och intuition. När du känner dig väl förtrogen med detta ämnesinnehåll har du bra förutsättningar att ge dig i kast med det ämnesdidaktiska innehållet, vilket du får göra med hjälp av annan matematikdidaktisk litteratur. Denna lärobok har utformats med tanke på att kunna användas för samtliga inriktningar i lärarutbildningen. På Studentlitteraturs hemsida för Geometri för lärare finns förslag på läsanvisningar och rekommenderade uppgifter för inriktningarna F-3 och 4-6. Ämneslärare 7-9 och gymnasieskolan rekommenderas att studera Geometri för lärare i sin helhet och särskilt blivande gymnasielärare rekommenderas att fördjupa sig ytterligare inom området geometri, som tillsammans med aritmetik lägger en viktig grund för elevers fortsatta matematiska studier. En motsvararande framställning för området aritmetik finner du i boken Tal och de fyra räknesätten, även denna utgiven av bokförlaget Studentlitteratur. På bokens webbplats www.studentlitteratur.se/36424 finns geometriska mallar och arbetsunderlag till flera av bokens uppgifter. Vi författare önskar dig mycket nöje att här utforska matematiken och speciellt geometrin på ett sätt som lägger stor vikt inte bara vid räknefärdighet utan också lyfter fram den viktiga sammanhangsbundna förståelse för matematikens mönster och strukturer som du behöver för att lyckas med ditt viktiga uppdrag som matematiklärare.
Lycka till! Kajsa Bråting
Håkan Sollervall
Erika Stadler
© Författarna och Studentlitteratur
Att mäta längd Om mätning och rättvisa mått Människor har i alla tider behövt räkna och mäta. Vi behöver relatera till olika sorters mått när vi kommunicerar med andra och vi använder måtten för att fördela rättvist mellan oss. Rättvisans gudinna Justitia avbildas vanligtvis med en balansvåg i ena handen och ett svärd i andra handen. Krav på rättvis mätning har historiskt sett kommit i takt med att samhällen utvecklas och interaktionen mellan människor regleras genom införande av lagar och regler. Genom 1734 års svenska lag reglerades straffen för fusk med mått ”brukar någon i handel, uppbörd eller utgift, falskt mått eller vigt, straffes som för tiufnad”. Att sköta mätning av olika varor var ett viktigt uppdrag i samhället och det kunde utdömas dödsstraff för den som fuskade med mätningen. Hantering av mått nämns redan (tillsammans med stöld och otukt) i Bibelns tredje Mosebok: ”Ni skall inte handla orätt när ni dömer om längdmått, vikt och rymdmått. Riktig våg, riktiga vikter, riktigt efamått och riktigt hinmått skall ni ha.” (Kuriosa: efa användes som volymsmått för torra varor medan hin användes för att mäta vätskors volym. En efa är cirka 22 liter, medan en hin är 3,67 liter. 6 hin är ett bad, som är 22 liter vatten.) Motsvarande formuleringar finns t ex också i Koranens kapitel 83, Al-Mutaffifin, där det sägs att den som mäter upp snålt inte kommer att få nåd på domedagen. Den kortlivade Qindynastin (ca 200 f.Kr.) som införde standardiserade mått och vikter för att staten skulle kunna kontrollera samhället och beskatta befolkningen är också känd som en av de grymmaste i kinesisk historia. Att använda ”riktiga” mått är viktigt för att samhällen ska fungera rättvist, inte enbart mellan individer utan också mellan individen och staten.
Att mäta längder med måttstock I vardagen spelar det ibland inte så stor roll vilka mått vi använder och om vi tolkar dessa mått exakt lika. Vi kan exempelvis mäta avstånd med steg om vi bara tar någorlunda lika långa steg. Måttet steg definierades förr som en halv famn eller tre fot vilket med dagens mått är strax under 90 centimeter. Det är naturligt att använda den egna kroppen vid mätning eftersom den alltid är tillgänglig. Alternativt kan vi använda tillgängliga föremål som snören, träpinnar och brädor. Hur många grankottar lång är du? Hur många pennor lång är du? Om vi ställer sådana frågor till elever och ber dem resonera sig fram till ett rimligt svar, så kommer de förr eller senare fram till att de måste 30
© Författarna och Studentlitteratur
Att mäta längd
använda sig av en viss sorts penna eller komma överens om vilken grankotte de ska använda som måttstock eller längdenhet. När vi ska mäta längder använder vi vanligtvis en linjal, en tumstock eller ett måttband. Dessa är idag graderade i centimeter och millimeter, två längdenheter som utgår ifrån SIenheten meter (SI står för Le Système International d'Unités, det internationella systemet för standardiserade måttenheter). Två andra grundenheter i SI-systemet är sekund och kilogram.
Begreppet längd Hur lång är lektionen? Hur lång är boken? Hur lång är korridoren? Hur lång är jag? Svaren på dessa frågor kan i tur och ordning bli 45 minuter, 320 sidor, 12 meter, 174 cm. Ibland kan vi välja hur vi svarar, beroende på vem som frågar. På frågan ”Hur långt är det till affären” kan vi svara ”3 km” eller ”det tar 10 minuter att köra”. Vi använder begreppet längd i många olika sammanhang och i olika betydelser. Längden på en fotbollsmatch är något annat än fotbollsplanens längd. Det som är gemensamt för alla former av längd är att längden syftar på något som är utsträckt i tid eller rum. I geometrin intresserar vi oss främst för föremål som har en fysisk utsträckning antingen i ett plan eller i rummet. Vi mäter längder i en dimension. Hur vi väljer att följa och mäta i denna dimension beror på föremålets karaktär.
I geometrin mäter vi både (raka) sträckor och andra kurvor. De kurvor som inte är raka kan vi sträcka ut (antingen i verkligheten eller tänka oss att vi gör det) så att de sedan kan mätas som sträckor. Ett snöre eller ett rep kan båda användas för att representera en kurva. Om vi ska mäta längden av en krokig © Författarna och Studentlitteratur
31
Att mäta längd
kurva (i verkligheten eller på en karta) kan vi lägga ett snöre längs kurvan och sedan mäta längden av det utsträckta snöret. Kurvans längd är då lika med det utsträckta snörets längd. För polygoner får vi en enkel tolkning av kurvans längd. Definition:
Längden av en polygon är summan av alla sidornas längder.
a
b
Längden av polygonen ovan är
c
d
e
.
Ofta finns det flera olika längder som vi kan mäta i en och samma figur. För en rektangel kan vi mäta både sidornas längder var för sig men också längden av hela rektangelkurvan dvs hela den polygon som består av de fyra sidorna. Längden av hela rektangelkurvan kallas omkrets.
längd
längd
kurvan
Längd av ena sidan
polygon-
längd
av hela
Längd av andra sidan
Längd av hela kurvan = omkretsen
Vi ska ta upp mer om begreppet omkrets i nästa avsnitt, men först lite mer om begreppet längd. Rent praktiskt är det ju lika enkelt att räta ut ett snöre oavsett om det ligger som en polygon eller som någon annan kurva från början. Tyvärr är det svårare att formulera en strikt definition för längden av en ”krokig” kurva. Vi gör ändå ett försök, där vi utgår ifrån något som kallas approximerande polygon.
32
© Författarna och Studentlitteratur
Att mäta längd
Om vi väljer ett antal punkter på kurvan kan vi mellan två intilliggande punkter approximera kurvan med en sträcka. (Vi kan göra detta praktiskt genom att markera kurvan på ett mjukt underlag, sätta knappnålar på kurvan och spänna en tråd mellan nålarna.) När vi sätter samman dessa sträckor får vi en polygon som approximerar kurvan. Ju mer noggrant vi väljer punkterna, desto bättre blir vår approximation. Observera att vi kan konstruera hur många approximerande polygoner som helst men att varje approximerande polygon är kortare än kurvan (varför?). Definition:
Längden av en kurva är den minsta övre gränsen för längderna av alla approximerande polygoner till kurvan.
Vad menas med ”minsta övre gränsen”? Exempelvis har talen 0,9 0,99 0,999 etc minsta övre gränsen 1. Inget av talen är lika med 1 men ändå har de 1 som minsta övre gräns. Begreppet minsta övre gräns brukar behandlas i högre kurser i så kallad matematisk analys men vi vill ändå nämna det här (närmast i förbigående) eftersom det behövs även för att förstå grundskolans geometri på djupet. Vi behöver nämligen tänka i termer av approximerande polygoner för att tolka cirkelns omkrets, vilket vi gör alldeles strax.
Omkrets av månghörning och cirkel I förra avsnittet nämnde vi att omkretsen av en rektangel är summan av alla (de fyra) sidornas längder. Vi kan tolka omkretsen som längden av den sträcka som uppstår då vi ”klipper upp” rektangeln (polygonkurvan) i ett hörn så att vi kan veckla ut kurvan.
Rektangelns omkrets är lika med den utsträckta kurvans längd, som är lika med summan av de fyra sidornas längder.
© Författarna och Studentlitteratur
33
Att mäta längd
På motsvarande sätt kan vi klippa upp och veckla ut vilken månghörning som helst.
Definition:
Omkretsen av en månghörning är summan av alla sidornas längder.
Vi ska nu ge oss på omkretsen av en cirkel och får då använda approximerande polygoner. I fallet med cirkeln märks skillnaden mellan intuitiva (heuristiska) resonemang och formella definitioner. Vi kan nämligen ”rulla ut” cirkeln så att vi kan ”se” omkretsen som längden av en sträcka men sedan måste vi ta till approximerande polygoner för att definiera omkretsen.
34
© Författarna och Studentlitteratur
Att mäta längd
Hur lüng är omkretsen? Svaret beror naturligtvis pü hur stor cirkel vi utgür ifrün. Vi bÜrjar med att studera cirkeln i figuren ovan, som har diametern 2 cm (och därmed radien 1 cm). Vi kan mäta den utrullade cirkeln som en sträcka och für dü längdmüttet 6,3 cm. Detta uppmätta längdmütt är ju inte exakt och vi kan dü früga oss vad det exakta värdet är. Denna früga har fÜrbryllat mänskligheten under tusentals ür och även när vi idag kan besvara frügan är det münga som fortsätter att fascineras av svaret. Du vet säkert att det handlar om det tal som kallas pi och skrivs . Cirkeln ovan med diametern 2 cm har omkretsen 2 cm. En cirkel med diametern 1 cm har omkretsen cm och en cirkel med diametern 358 meter har omkretsen 358 cm. Omkretsen fÜr cirkeln med diametern 1 (oavsett längdenhet) kan pü liknande sätt användas fÜr att beräkna omkretsen fÜr vilken cirkel som helst. Definition:
Talet definieras som omkretsen fÜr en cirkel som har diametern 1 (i nügon längdenhet).
Alternativt kan definieras som kvoten mellan en cirkels omkrets och diameter. Omkretsen O fÜr en cirkel med diametern d kan därmed beräknas med formeln , där r är cirkelns radie).
(eller
đ?œ‹
1
Det som skapade problem (och frustration) fÜr matematiker under tusentals ür var att inte kan skrivas som ett brüktal (vilket bevisades fÜrst 1761) och därmed har en oregelbunden decimalutveckling. Decimalutvecklingen bÜrjar sü här: 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751 05820974944592307816406286208998628034825342117067 98214808651328230664709384460955058223172535940812 84811174502841027019385211055596446229489549303‌ Ett mer exakt värde pü omkretsen av den cirkel vi bÜrjade med är 6,2831853071796 cm. Även om precisionen i svaret motsvarar en tusendel av en atoms diameter sü väljer vi ofta att skriva vüra svar med tecknet , som ju finns pü de flesta miniräknare om vi skulle behÜva ett närmevärde. Annars räcker det ofta att använda 3,14 som närmevärde fÜr och i exemplet ovan kan vi svara 6,3 cm eller 6,28 cm om vi inte vill svara exakt med cm. Allra bäst är kanske att svara büde exakt och med ett närmevärde. Exempel. En cirkel med diametern 17 meter har omkretsen meter. Š FÜrfattarna och Studentlitteratur
35
Bråting Sollervall Stadler
Kajsa Bråting, Håkan Sollervall och Erika Stadler undervisar och forskar i matematikämnets didaktik. De är verksamma som universitetslektorer i lärarutbildningarna vid Uppsala universitet, Linnéuniversitetet respektive Stockholms universitet.
Geometri för lärare
| Geometri för lärare
Boken behandlar den specialiserade kunskap i geometri som lärare behöver för att kunna bedriva en varierad och allsidig matematikundervisning samt för att kunna tolka, bedöma och utveckla elevers matematiska tankar, idéer och resonemang.
Geometri för lärare
Olika tankeformer, formella resonemang och bevis varvas med informella heuristiska resonemang som syftar till att utveckla elevers matematiska kunskap, känsla och intuition. Många kopplingar görs till andra matematiska innehållsområden som aritmetik, algebra och funktioner. Läsaren får möjlighet att utforska matematiken och speciellt geometrin på ett sätt som lägger stor vikt, inte bara vid räknefärdigheter utan också vid den viktiga sammanhangsbundna förståelse för matematikens mönster och strukturer som matematiklärare behöver för att lyckas med sitt viktiga uppdrag. Boken vänder sig till verksamma och blivande lärare i matematik.
Art.nr 36424
Kajsa Bråting · Håkan Sollervall · Erika Stadler
www.studentlitteratur.se
978-91-44-08390-2_01_cover.indd 1
2013-02-05 15:17