Vektor Matematik | Ă…rskurs 8
Vektor 8 Omslag Smakprov NY.indd 2
2014-06-23 13:55
00_Fortext 140602.indd 5
2014-06-16 14:06
Innehåll 1 Tal
4 Procent
6
132
1.1
Primtal 8
4.1
Procent och procentenheter 134
1.2
Negativa tal 14
4.2
Promille och ppm 140
1.3
Multiplikation och division med negativa tal 20
4.3
Mer än 100 % 146
Potenser 27
4.4
Förändringsfaktor 154
4.5
Det hela och det ursprungliga 162
4.6
Blandade uppgifter 167
1.4
Repetera 34 Fokus på förmågorna 36 Sammanfattning 38
2 Mönster och samband 2.1
Mönster 42
2.2
Koordinatsystem 55
2.3
Funktioner 64
2.4
Formler 79
3.1
Cirkeln 94
3.2
Areaenheter 105
3.3
Skala 111
40
5 Algebra
180
5.1
Räkneregler och algebraiska uttryck 182
5.2
Ekvationer och olikheter 192
Repetera 201 Fokus på förmågorna 203 Sammanfattning 205
Repetera 85 Fokus på förmågorna 89 Sammanfattning 90
3 Geometri
Repetera 174 Fokus på förmågorna 177 Sammanfattning 179
92
6 Problemlösning 6.1
206
Problemlösning 208
FACIT 216 REGISTER 238
Repetera 125 Fokus på förmågorna 128 Sammanfattning 130
00_Fortext 140602.indd 5
2014-06-16 14:06
1 Tal Vem kommer närmast 0?
ta Pra te! m at
SYFTE: Repetera prioriteringsreglerna.
Arbeta tillsammans med en klasskamrat. Ni behöver: Två tärningar. 1 Turas om att kasta tärningarna. Addera de två talen som
tärningarna visar vid varje kast. Skriv ner summan efter varje kast.
2 Kasta tärningarna tre gånger var så ni tillsammans får sex tal. 3 Använd de fyra räknesätten och parenteser för att komma så nära
talet 0 som möjligt. Du måste ha med alla sex talen i din beräkning. Den som kommer närmast 0 har vunnit. Prioriteringsreglerna
1 2 3
Uttryck i parenteser Multiplikation och division Addition och subtraktion
Det centrala innehållet I kapitlet Tal kommer du att arbeta med • primtal och sammansatta tal • negativa tal • potenser
6
ta l
01_Tal 140616.indd 6
2014-06-16 13:22
ta l
01_Tal 140616.indd 7
7
2014-06-16 13:22
1.1 Primtal På en fest anordnas lekar. Lekledaren vill dela in de 23 deltagarna i lag med lika många i varje, men hon märker efter ett tag att det är omöjligt. Det går inte att göra lag med lika många deltagare i varje. Detta beror på att 23 är ett primtal.
Primtal Primtal är heltal som är större än 1 och som bara är jämnt delbara med sig själva och 1. Det finns oändligt många primtal och de första fem är 2, 3, 5, 7 och 11. Däremot är exempelvis 9 inget primtal eftersom det, förutom att vara delbart med 1 och sig självt, även är delbart med 3.
Sammansatta tal De heltal som är större än 1 och som inte är primtal kallas sammansatta tal. Varje sammansatt tal kan skrivas som en produkt av primtal. Exempelvis kan vi skriva det sammansatta talet 30 som 30 = 2 · 3 · 5. Om man inte på en gång kan hitta de tal som bildar ett sammansatt tal kan man hitta dem stegvis. Vi tar 70 = 10 · 7 som exempel. 7 är ett primtal och kan inte delas upp i mindre faktorer. Däremot är 10 = 5 · 2. Då kan vi skriva 70 = 10 · 7 = 5 · 2 · 7. 2, 5 och 7 är primtal och vi kan inte hitta mindre faktorer. Alla heltal större än 1 är antingen primtal eller kan skrivas som en produkt av primtal. Vi kan med andra ord se primtalen som byggstenar för de positiva heltalen.
8
ta l
01_Tal 140616.indd 8
2014-06-16 13:22
Exempel
1101 Dela upp följande tal i primtalsfaktorer
a) 45 Metod 1
45 = 15 · 3 = 5 · 3 · 3 Svar: 45 = 5 · 3 · 3
eller
45 = 9 · 5 = 3 · 3 · 5
Metod 2 Vi ritar ett faktorträd, där varje gren är en faktor i det tal som grenen startar från. Vi fortsätter tills alla grenar slutar med ett primtal. Även när vi använder faktorträd går det att gå olika vägar.
45
3
15
5
Vi delar upp talen i faktorer tills alla är primtal. Ofta finns flera olika vägar att gå, men primtalsfaktorerna vi får i slutänden är alltid desamma.
3
Svar: 45 = 5 · 3 · 3 b) 104 Metod 1
104 = 52 · 2 = 26 · 2 · 2 = 13 · 2 · 2 · 2 Svar: 104 = 13 · 2 · 2 · 2
2 och 13 är primtal så vi har hittat våra primtalsfaktorer.
Metod 2 104
2
52
26
13
2
2
Svar: 104 = 13 · 2 · 2 · 2
ta l
01_Tal 140616.indd 9
9
2014-06-16 13:22
Att avgöra om ett tal är ett primtal eller inte • Ett tal är delbart med 2 om det är ett jämnt tal. • Ett tal är delbart med 3 om siffersumman är delbar med 3. • Ett tal är delbart med 5 om det slutar med siffran 0 eller 5.
För att avgöra om ett tal är ett primtal måste vi undersöka om det är delbart med något annat tal än 1 och sig självt. Eftersom alla sammansatta tal är en produkt av primtal, behöver vi bara testa om vårt tal är delbart med något primtal. Planen är alltså att testa delbarhet med allt större primtal. De första tre är 2, 3 och 5 och där kan vi utnyttja delbarhetsreglerna vi mött tidigare. För större primtal kan du använda miniräknare för att undersöka delbarheten. För att minska arbetsbördan när vi testar räcker det med att undersöka delbarhet med allt större primtal tills produkten av primtalet multiplicerat med sig självt (primtalet i kvadrat) blir större än det tal vi undersöker. Någon av de möjliga primtalsfaktorerna i talet måste ju vara mindre än detta tal.
Exempel
1102 Vilket eller vilka av talen nedan är primtal?
64
147
95
53
64 är delbart med 2 (jämnt tal)
Testa om något av talen är delbart med 2.
147 är delbart med 3 (har siffersumman 1 + 4 + 7 = 12, som är delbar med 3). 95 är delbart med 5 (slutar på en femma)
Testa om något av talen är delbart med 3.
Testa om något av talen är delbart med 5.
53 är varken delbart med 2, 3 eller 5. Nästa primtal är 7. 7 · 7 = 49, som är mindre än 53. 53/7 ≈ 7,57 som inte är ett heltal
Vi testar om 53 är delbart med större och större primtal, tills vi når ett primtal som gånger sig självt blir större än 53.
Nästa primtal är 11. Vi har 11 · 11 = 121, som är större än 53. Svar: 53 är ett primtal.
10
ta l
01_Tal 140616.indd 10
2014-06-16 13:22
starta
ett varv till
1103 Vilka tal är delbara med
1108 Ange tre tal som är delbara med
a) 2
b) 3
c) 5
2 22 33 37 45 72 95 120
a) 10 b) 2 c) 4
1104 Vilka tal är
a) sammansatta
1109 Ge tre exempel på
4 5 10 113 272
a) sammansatta tal
b) primtal
b) primtal
2 7 35 108 239 1105 Dela upp det sammansatta talet 64 i
a) 2 faktorer
b) 3 faktorer
c) 4 faktorer
d) 5 faktorer
e) 6 faktorer 1106 Vilka tal mellan 40 och 50 är primtal?
1110 Ange två sammansatta tal som består av
a) 2 faktorer b) 3 faktorer c) 4 faktorer 1111 Dela upp i primtalsfaktorer.
a) 10
b) 24
d) 144
e) 81
c) 51
1107 Hur många primtalsfaktorer består
talen av? a) 9
b) 16
c) 96
d) 100
Hur gick det? Ta Ett varv till om du behöver repetera, annars Kör vidare.
ta l
01_Tal 140616.indd 11
11
2014-06-16 13:22
kör vidare 1112 Talen 49, 584 och 1 338 är sammansatta.
Förklara hur du kan avgöra det.
1113 Hur undersöker du om ett tal är ett
primtal eller inte?
1114 Utgå från talet 3 18X, där X står för ett
ental. Vilka siffror kan X ersättas med så att talet blir delbart med a) 2 b) 3 c) 5 d) 2, 3 och 5 samtidigt Förklara varför siffrorna du väljer i uppgift a) – c) fungerar.
1115 Som hjälpmedel för att hitta vilka tal som
är primtal kan man använda Eratosthenes såll. Gör ett eget såll och använd det när du löser efterföljande uppgifter. 1 Gör en lista med alla heltal mellan
1 och 100.
2 Stryk talet 1, som inte är ett primtal. 3 Stryk alla tal som är delbara med 2,
utom talet 2.
4 Stryk alla tal som är delbara med 3,
utom talet 3.
5 Stryk alla tal som är delbara med 5,
utom talet 5.
6 Stryk alla tal som är delbara med 7,
utom talet 7.
7 De tal som finns kvar är primtal.
Vilka är de?
12
Erathostenes var en grekisk vetenskapsman som levde mellan ungefär år 276-194 f Kr.
1116 Vilka tal kan du hitta som stämmer med
beskrivningen?
• Talet är större än 15 men mindre än 100. • Talet är delbart med 2 och 3. • Talet ligger mitt emellan två primtal. 1117 Primtalstvillingar kallas två primtal som
har differensen 2, till exempel 11 och 13. Vilka primtalstvillingar finns det mellan 0 – 100?
1118 Förklara hur det kommer sig att talet 2 är
det enda jämna primtalet.
1119 Det ser ut som att alla jämna tal som är
större än 2 kan skrivas som summan av två primtal. Vilka två primtal ger summan a) 18
b) 60
c) 86
ta l
01_Tal 140616.indd 12
2014-06-16 13:22
öka 1120 Talet 5183 har primtalstvillingar som
faktorer. Vilka?
1121 Kan det finnas tre udda tal efter varandra
som samtliga är primtal? Förklara.
1122 40 är summan av tre primtal. Hur kan du
veta, utan att räkna, att ett av primtalen är 2?
1123 När du multiplicerar de första hundra
primtalen med varandra får produkten entalssiffran 0. Förklara varför det blir så.
1124 Du vill läsa en bok som har 435 sidor. Om
du läser samma antal sidor varje dag och detta antal är ett primtal större än 20, hur många sidor per dag kommer du att läsa?
1125 Vilket är det minsta tresiffriga talet som
är ett primtal och där alla tre siffrorna är primtal?
ta l
01_Tal 140616.indd 13
13
2014-06-16 13:22
1.2 Negativa tal I många situationer räcker inte de positiva talen till för vad vi vill göra. Vad blir temperaturen om den är 3 °C och sjunker med 12 °C? Vad finns det för lösningar till ekvationen x + 5 = 2? För att kunna hantera dessa situationer inför vi negativa tal. 1+4=5
Alla tal vi hittills har stött på, kan vi placera till höger om 0 på en tallinje. Vi kan även addera och subtrahera dessa tal genom att förflytta 0 1 2 3 4 5 6 oss framåt eller bakåt längs tallinjen. 5–3=2
1+4=5
0
Ett minustecken kan betyda två olika saker: • Det symboliserar räknesättet subtraktion. • Det visar att ett tal är ett negativt tal. För att markera att minustecknet anger ett negativt tal, och inte en subtraktion, kan negativa tal sättas inuti en parentes, (-4).
1
2
3
7
4
5
6
0
7
1
2
3
4
5
6
7
Men ibland räcker 5 – 3 =inte 2 dessa tal till för vad vi vill göra. Hur blir det till exempel om temperaturen från början är + 4 °C och sedan sjunker med 10 °C? Vad är 4 – 10? Då ska vi starta i 4 och sedan gå 10 steg bakåt 0 1 2 3 4 5 6 7 längs tallinjen. Men där finns det ju inga tal just nu, eftersom vår tallinje slutar vid 0. För att kunna ta reda på vad 4 – 10 är behöver vi införa tal som ligger till vänster om 0. Dessa kallas negativa tal och betecknas med ett minustecken framför talet. Ett negativt tal och det positiva tal som ligger lika långt från 0 kallas motsatta tal och har summan 0 när de adderas. Till exempel är talen (-3) och 3 varandras motsatta tal och (-3) + 3 = 0. negativa tal
-5
-4
-3
-2
positiva tal
-1
0
1
2
3
4
5
motsatta tal
14
ta l
01_Tal 140616.indd 14
2014-06-16 13:22
Storleksordna tal Vi kan storleksordna alla tal som finns på tallinjen. Ju längre åt höger ett tal ligger på tallinjen, desto större är det. Talet 18 är större än 7 eftersom 18 ligger till höger om 7 på tallinjen. På motsvarande sätt är -6 mindre än 4 eftersom det ligger till vänster om 4. Vi kan skriva dessa storleksförhållanden med symboler mellan talen, som 18 > 7 och -2 < 4.
Tecknet < betyder ”är mindre än”. Tecknet > betyder ”är större än”.
Addition och subtraktion av negativa tal Vi ville tidigare räkna ut 4 – 10. Med de negativa talen på plats på vår utvidgade tallinje, kan vi nu göra det. Vi startar i 4 och går sedan 10 steg åt vänster längs tallinjen. Vi hamnar då vid -6. Så 4 – 10 = -6. 4 – 10 = -6
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Exempel
1201 Beräkna.
a) (-5) + 8 -6 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2
-1
0
1
2
3
4
Vi startar i -5 på tallinjen och går 8 steg framåt.
(–5) + 8 = 3 Svar: 3
b) (-3) – 2 -6
-5 -4
-3
Vi startar i -3 på tallinjen och går 2 steg bakåt.
(–3) - 2 = –5 Svar: –5
ta l
01_Tal 140616.indd 15
15
2014-06-16 13:22
De beräkningar vi gjort hittills med negativa tal har inneburit att vi subtraherat eller adderat ett positivt tal. Men hur gör vi med beräkningar där vi behöver addera eller subtrahera ett negativt tal, som 4 + (-2) eller 5 – (-3)? För att beräkna 4 + (-2) utnyttjar vi att vi får kasta om ordningen på termerna när vi adderar. Det innebär att 4 + (-2) = (-2) + 4. I beräkningar som till exempel (-2) + 4 startar vi i (-2) på tallinjen, går fyra steg framåt och hamnar i 2. Vi kan se att 4 + (- 2) = 2, och att addera (-2) ger samma resultat som att subtrahera 2. Alltså är 4 + (-2) = 4 – 2. Det betyder att vi kan byta räknesätt om vi ersätter talet som adderas eller subtraheras med dess motsatta tal. Hur ska vi då tänka kring 5 – (-3)? Vi kan använda att vi kan byta räknesätt om vi ersätter talet som adderas eller subtraheras med dess motsatta tal. Det motsatta talet till -3 är 3. Då får vi att 5 – (-3) = 5 + 3 = 8. Vi kan alltså ersätta två minustecken som står intill varandra med ett plustecken. Vi sammanfattar det vi kommit fram till med följande regler: a + (-b) = a – b
Addition av ett negativt tal blir subtraktion.
a – (-b) = a + b
Subtraktion av ett negativt tal blir addition.
Exempel
1202 Beräkna
a) 5 + (-2)
5 + (–2) = 5 - 2 = 3
b) (-12) – (-8)
–12 - (–8) = –12 + 8 = –4
16
Addition av ett negativt tal innebär subtraktion av det motsatta talet.
Subtraktion av ett negativt tal innebär addition av det motsatta talet.
ta l
01_Tal 140616.indd 16
2014-06-16 13:22
starta
Beräkna 1208 a) 4 – 7
1203 Ange de motsatta talen till
a) -3
b) -1
b) (-2) + 6
c) (-13) + 9
c) 4
d) (-6) – 4
1209 a) (-4) + 9 -3
-1
c) (-5) – 13
4
< > eller =. -6
b) 30 – (-10)
c) (-6) + (-3) b) -3
-2
c) -8
Vad visar den om temperaturen sjunker b) 7 °C
d) (-12) – (-7)
-4
1205 En termometer visar +5 °C.
a) 5 °C
d) (-17) – 4
1210 a) 18 + (-4)
1204 Sätt ut rätt tecken mellan talen,
a) 5
b) (-3) + 2
c) 10 °C
Hur gick det? Ta Ett varv till om du behöver repetera, annars Kör vidare.
1206 En termometer visar -10 °C.
Vad visar den om temperaturen a) stiger 10 °C
b) stiger 14 °C
c) sjunker 3 °C 1207 Jens kontoutdrag visar att han har -70 kr
på kontot. Han sätter in 200 kr. Hur mycket finns på kontot efter insättningen?
ett varv till 1211 Rita en tallinje och markera
a) 4
b) -4
c) -1
1212 Ange de motsatta talen till
a) -5
b) -113
c) 12
1213 Sätt ut rätt tecken mellan talen,
< > eller =. a) 4
-1
b) -5
-6
c) 0
-1
1214 En termometer visar +10 °C.
Vad visar den om temperaturen sjunker a) 6 °C
b) 10 °C
c) 12 °C
ta l
01_Tal 140616.indd 17
17
2014-06-16 13:22
Beräkna 1221 a) 42,5 + (-16,2)
b) (-40,2) + (-0,5)
c) (-58) + (-5,9) 1222 a) 19,7 – (-0,6)
b) (-505) – (-32,7)
c) (-0,7) – (-0,7) 1223 Tors kontoutdrag visar -110 kr. Det skiljer
1215 En termometer visar -3 °C.
Vad visar den om temperaturen
1 600 kr mellan hans kontoutdrag och hans syster Vildas. Vad visar Vildas kontoutdrag? Ge minst ett exempel.
a) stiger 3 °C b) stiger 5 °C c) sjunker 7 °C Beräkna 1216 a) 9 – 12
b) (-2) + 3
c) (-9) + 6
1217 a) (-2) – 1
b) (-4) + 2
c) (-7) + 9
1218 a) 8 + (-2)
b) 8 – (-7)
c) (-5) – (-7)
1224 a) Summan av två tal är 2. Det ena talet
är -3. Vilket är det andra?
kör vidare 1219 Albin påstår att -7 är större än -5.
Pedro säger att Albin har fel och att -5 är större än -7. Vem av killarna har rätt? Motivera.
1220 Vilket tal ligger mitt emellan
a) -1 och -5 b) -6 och 2 c) -4 och 4
18
b) Differensen av två tal är 5. Det ena talet är -4. Ge minst ett exempel på vilket det andra talet kan vara. 1225 Byt ut x och y mot tal så att likheten
stämmer. Minst en term måste vara negativt. Ge minst två förslag till varje uppgift. a) x + y = 5
b) y + x = -5
c) x – y = 3
d) y – x = -3
1226 Ge exempel på en subtraktion där båda
termerna är negativa och differensen är -9.
ta l
01_Tal 140616.indd 18
2014-06-16 13:22
öka 1227 I varje ruta i figuren ska summan av talen
i de två ovanliggande rutorna stå. Fyll i det som saknas. a)
-72
-13 -9
1229 Fyra tal följer på varandra. Vilka är talen
om summan av dem är a) 46 b) 2
1230 p är ett positivt heltal och q ett negativt
heltal. Vi vet att p > - q. Storleksordna talen nedan med det minsta först. p–q
b)
c) -2
10,54
q–p
p+q
(-p) – q
1231 För alla tvåsiffriga positiva heltal så
22,3 -63,7
1228 Rita av tabellen. Fyll i de tomma rutorna
så att summan längs alla rader och i alla kolumner blir densamma.
beräknar Daniel differensen mellan tiotalssiffran och entalssiffran. För talet 38 har vi exempelvis 3 – 8 = -5. Vilket tal får Daniel om han adderar dessa differenser för alla tvåsiffriga tal?
10,6 0,05
-1 5 11,55
-0,9
ta l
01_Tal 140616.indd 19
19
2014-06-16 13:22
1.3 Multiplikation
och division med negativa tal Vi har i föregående avsnitt lärt oss att addera och subtrahera med negativa tal. Nu ska vi ta en titt på vad som gäller för multiplikation och division av negativa tal.
Multiplikation av negativa tal En multiplikation som 4 · 3 innebär att vi adderar fyra stycken treor, 4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12. På samma sätt kan vi tänka att 4 · (-3) innebär att vi adderar fyra stycken (-3); 4 · (-3) = (-3) + (-3) + (-3) + (-3). Med våra räkneregler för addition och subtraktion av negativa tal så blir det 4 · (-3) = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -3 – 3 – 3 – 3 = -12. Resultatet verkar rimligt om vi tänker på (-3) som en skuld på 3 kr. Fyra sådana skulder skrivs 4 · (-3) och borde motsvara en skuld på -12 kr. Så vi kan dra slutsatsen att när vi multiplicerar ett positivt tal med ett negativt tal så får vi en negativ produkt. När vi kommer till produkten av två negativa tal är det däremot inte lika lätt att hitta något vardagsexempel. Vad kan vi likna vid (-4) · (-1)? För att försöka komma fram till vad (-4) · (-1) kan tänkas bli, tittar vi på vad som händer när vi multiplicerar (-4) med mindre och mindre tal. (-4) · 3 = -12 (-4) · 2 = -8 (-4) · 1 = -4 (-4) · 0 = 0
20
ta l
01_Tal 140616.indd 20
2014-06-16 13:22
Vi kan se att varje gång vi minskar talet som (-4) multipliceras med ett steg så ökar produktens värde med 4. Låter vi mönstret fortsätta nedåt, så får vi (-4) · 3 = -12 (-4) · 2 = -8 (-4) · 1 = -4 (-4) · 0 = 0 (-4) · (-1) = 4 (-4) · (-2) = 8 När vi låter mönstret fortsätta kan vi se att produkten av två negativa tal blir positiv. Vi sammanfattar det vi kommit fram till med följande regler: a · (-b) = -a · b
Olika tecken ger negativ produkt.
(-a) · (-b) = a · b
Lika tecken ger positiv produkt.
Division med negativa tal För att ta reda på vad som gäller för division med negativa tal kan vi använda vad vi vet om multiplikation med negativa tal. Vi behöver bara påminna oss om hur multiplikation och division hänger ihop. Om vi exempelvis skriver 18 = 3 · 6, så har vi på samma gång divisionerna 18 18 = 6 och = 3. 3 6 På samma sätt kan vi nu utgå från en produkt där det finns negativa tal. Låt oss ta (-18) = 3 · (-6). Denna multiplikation motsvarar de båda divisionerna
(-18) (-18) = - 6 och = 3 . Om vi istället tittar på 3 (-6)
18 = (-3) · (-6) så kan vi se att
18 18 = - 6 och = -3 . -3 -6
TA L
01_Tal 140616.indd 21
21
2014-06-16 13:55
Vi kan utifrån detta dra slutsatsen att om vi dividerar tal med olika tecken så blir kvoten negativ. Dividerar vi tal med lika tecken så blir kvoten positiv. Vi sammanfattar det vi kommit fram till med följande regler: -a a a = =b -b b
Olika tecken ger negativ kvot.
-a a = -b b
Lika tecken ger positiv kvot.
Exempel
1301 Beräkna
a) 3 · (-2)
3 · (–2) = –6
Produkten av tal med olika tecken är negativ.
Svar: –6 b) (-5) · (-4)
(–5) · (–4) = 20
Produkten av tal med samma tecken är positiv.
Svar: 20 c)
10 -2
10 = –5 –2
Kvoten av tal med olika tecken är negativ.
Svar: –5
22
ta l
01_Tal 140616.indd 22
2014-06-16 13:22
starta
Beräkna
1302 Vilka uttryck har samma värde?
1306 a)
A (-5) + (-5) + (-5) + (-5) B 2 · (-5)
C (-5) + (-5)
1305 a) 6 · (-4)
D 4 · (-5)
12 -4
b) -3 · 70
c) (-2) · (-18)
b) -150 3
c) -320 -40
1307 Vilket tal ska stå i rutan för att likheten
ska stämma?
1303 Beräkna
a) (-2) · (-2) · (-2) · (-2)
a) -15 · = -150
b) (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2)
b)
c) (-2) · 2 · (-2) · 2 · 2
c) -27 = -9
d) (-2) · 2 · (-2) Titta på resultaten i a) – d).
d)
· (-6) = 36
-36
= 4
e) Vilka uttryck har en positiv produkt? f) Vad har de uttrycken gemensamt? 1304 Vilka uttryck ger ett negativt svar?
Förklara hur du kan avgöra det utan att göra några beräkningar. -13 A (-12) · (-100) B 0, 5 C 65 · (-0,1)
D
-18 -10
1308 Ge två förslag på faktorer som ger
produkten 12.
1309 Två tal divideras.
a) Vilka egenskaper måste täljare och nämnare ha för att kvoten ska bli -12? b) Ge minst två förslag på vad täljare och nämnare kan vara för att kvoten ska bli -12. Hur gick det? Ta Ett varv till om du behöver repetera, annars Kör vidare.
ta l
01_Tal 140616.indd 23
23
2014-06-16 13:22
ett varv till
kör vidare
1310 Vilka uttryck ger ett positivt svar?
1316 Vilka påståenden är sanna?
Förklara hur du kan avgöra det utan att gör några beräkningar.
-9 ,9 -30 > 0, 1 0, 3
A (-1) · 2
B
- 8, 2 B - 0, 1
C 8 – (-0,2) >
ett laboratorium sjunker temperaturen i ett kärl med 54,6 °C, till -16,2 °C.
65 D -5
a) Vilken temperatur höll kärlet innan strömavbrottet?
1311 Beräkna
a) 2 · (-5)
b) (-4) · 6
c) (-2) · (-10)
d) (-7) · (-7)
1312 a)
20 -5
b)
-50 2
c)
24 -6
d)
b) Hur många grader sjönk temperaturen i genomsnitt per timme? -44 -4
1313 Vilket tal ska stå i rutan för att likheten
ska stämma? a) c)
· (-2) = -12 -6
-3 - 0 ,5
1317 Under ett 6 timmar långt strömavbrott på
C (-5) · (-10)
= 3
b) –1 · = -9 d)
-15
= 3
1314 Produkten av två tal är -30. Vilka kan
faktorerna vara?
1315 Kvoten av två tal är -30. Ge minst två
förslag på vad täljare och nämnare kan vara.
24
A (-12,4) + (-4) < (-3) · 5,1
1318 Nedan ser du temperaturen under en
vintervecka i Uppsala. Måndag
-5 °C
Tisdag
-8 °C
Onsdag
-9 °C
Torsdag
-10 °C
Fredag
0 °C
Lördag
-6 °C
Söndag
-4 °C
a) Beräkna medeltemperaturen under veckan. b) Med hur många grader måste temperaturen förändras per dag för att medeltemperaturen istället ska bli -3 °C?
ta l
01_Tal 140616.indd 24
2014-06-16 13:23
1320 Avgör vilket uttryck som har störst kvot,
utan att göra några beräkningar.
-5 -4
-3 -2
a)
eller
b)
eller
-1
0
1
2
3
4
5
c) Vilka symboler på tallinjen ger den största kvoten? 1321 Utgå ifrån följande tal.
-2
a) a)
a) b)
6
3
-4
8d) b) c)-3 -26 d) c) a) två tal ger den b) a) störstac) b) d) c) a) Vilka produkten? a)b) a) c)b) d)c) ger den minsta a) b) b) Vilka b) c) d) c) två tald) 12
produkten?
c) Vilka tal ger kvoten -2? d) Vilka två tal ger den största kvoten? e) Vilka två tal ger den minsta kvoten? Förklara hur du tänker. 1319 Avgör vilket uttryck som har störst
produkt utan att göra några beräkningar.
-5 -4 -3 -2
-1
0
1
a)
·
eller
·
b)
·
eller
·
2
3
4
5
1322 Det finns ett samband mellan talen
i talföljden
…, 12, -24, 48, -96, … a) Hur får man ett tal från det föregående talet? b) Vilket tal kommer före 12? c) Vilket tal kommer efter -96?
c) Vilka symboler på tallinjen ger den största produkten?
ta l
a)
a) a) b)
01_Tal 140616.indd 25
d) a) b) a) b)c) c)d) b)a) d)c) b)d) c) c)a) b) d) c) b) d)c) a) d) b) c) d)
25
2014-06-16 13:23
d) d)
1323 Ersätt x och y så att likheten stämmer.
Minst ett tal måste vara negativt. Ge minst två förslag till varje uppgift. a) x · y = 20
b) x · y = -20
c) x = 2 y
d) x = -2 y
öka 1324 Farmor antecknar utomhustemperaturen
varje morgon. Temperatur
Antal dagar
-5
3
-2
5
-1
6
0
1
2
1
Vad är medeltemperaturen under den här tiden? 1325 Beräkna värdet av uttrycken då
a = -1, b = -2 och c = -2,5. a) a · a – b – 1 b 1 b) abc – abc 1326 Med hjälp av formeln F = 32 + 1,8 · C
kan vi omvandla mellan grader Fahrenheit (°F) och grader Celsius (°C). a) Hur många grader Fahrenheit motsvarar -20 °C? b) Hur många grader Celsius motsvarar -20 °F? Avrunda svaret till en decimal.
26
1327 Ersätt rutorna i uttrycket med talen så att
resultatet blir så stort som möjligt. –
·
a) 2 och 4 och 5 b) -2 och 4 och 5 c) -2 och 4 och -5 1328 Ge exempel på tre tal som uppfyller
följande villkor:
• medelvärdet av de tre talen är -7,3. • medelvärdet av två av talen är -5,9. 1329 Vilket tal är störst? (-8)(-8)(-8)(-8) eller
(-18)(-18)(-18)? Försök komma på svaret utan att göra några beräkningar.
ta l
01_Tal 140616.indd 26
2014-06-16 13:23
1.4 Potenser Ett klassiskt matematiskt problem handlar om en person som ska köpa en häst och är missnöjd med det höga priset. Säljaren föreslår då att köparen istället kan betala 1 öre för den första sömmen (spiken) i hästens skor, 2 öre för den andra, 4 öre för den tredje och så vidare. Eftersom de här hästskorna bara har sex sömmar per sko (åtta sömmar är det vanligaste) tycker köparen att det blir en mycket bra affär och accepterar priset. Men är det verkligen en bra affär? Hur mycket får köparen betala för hästen? Om vi vill räkna ut hur mycket köparen får betala för den sista sömmen blir det räknat i ören: 122222222222222222222222 23 st tvåor
Något som är typiskt för matematiken är att det ofta finns ett enklare sätt att skriva långa uttryck, som det ovan. Till exempel kan den upprepade additionen 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 också skrivas som en multiplikation, 2 · 6. Då anger 6 vilket tal vi ska addera med sig självt och 6 antalet upprepade termer. På motsvarande sätt kan vi skriva en upprepad multiplikation 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 som en potens 26. Talet 6 anger antalet upprepningar av 2 och kallas för exponent. Talet 2 kallas för bas. Potens 6
2
exponent 6
bas
2 utläses ”två upphöjt till sex”.
ta l
01_Tal 140616.indd 27
27
2014-06-16 13:23
Det långa uttrycket för att beräkna priset för den sista sömmen, kan nu skrivas som 1 · 223. Hur mycket är då 223? När du skriver in det på en miniräknare får du 8 388 608. Med potenser kan det alltså snabbt bli stora tal. Köparen ska enbart för den sista sömmen betala 8 388 608 öre, vilket är 83 886 kronor (och 8 öre). Totalt kommer köparen att få betala hela 167 772 kronor för hästen, trots att första sömmen bara kostade 1 öre!
Exempel
1401 Beräkna
a) 34
34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 Svar: 81
b) (-2)3
(–2)3 = (–2) · (–2) · (–2) = –8
(-2) · (-2) = 4 4 · (-2) = -8
Svar: –8 c) 2 · 42
2
2 · 4 = 2 · 4 · 4 = 32
Exponenten påverkar bara fyran. Potenser beräknas före de fyra räknesätten.
Svar: 32 d) 25 – 2 · 32
25 - 2 ·32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 – 2 · 3 · 3 = 32 - 18 = 14
Kom ihåg prioriteringsreglerna. Potenser beräknas först. Därefter multiplikation och sist beräknas subtraktionen.
Svar: 14
Prioriteringsreglerna
1 2 3 4
28
Uttryck i parenteser Potenser Multiplikation och division Addition och subtraktion
ta l
01_Tal 140616.indd 28
2014-06-16 13:23
Exponenten 0 När vi multiplicerar ett tal med 0 blir produkten alltid 0. Men vad händer om vi har exponenten 0? Potens
Vanligt tal
Potens
2
4
3
2
3
33
2
2
32
21
31
20
30
Undersök
Vanligt tal
4
1 Rita av tabellerna. 2 Beräkna värdet av 24, 23, 22 och 21 och skriv värdena i tabellen. 3 Vilket mönster ser du? Om du fortsätter mönstret, vad borde
20 bli?
4 Gör nu samma sak för den andra tabellen. Vad borde 30 bli?
a0 = 1 , för alla tal a ≠ 0
De mönster vi kan se i undersökningen gäller för alla tal. Vi har en regel som säger att ett tal upphöjt till 0 blir 1. Det enda undantaget till den regeln är 00. Faktum är att 00 är så speciellt att vi inte ens kan bestämma dess värde!
Exempel
1402 Beräkna
30 + 23 + 780 0
3
0
3 + 2 + 78 = 1 + 8 + 1 = 10
30 = 1 23 = 2 · 2 · 2 = 8 780 = 1
Svar: 10
ta l
01_Tal 140616.indd 29
29
2014-06-16 13:23
Multiplikation och division med potenser Vi ska nu undersöka hur vi kan skriva produkter och kvoter av potenser med samma bas på ett enklare sätt. Om vi vill skriva 25 · 23 kortare kan vi räkna antalet tvåor i produkten. 25 23 = 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2 8
5 st tvåor
3 st tvåor
8 st tvåor
På motsvarande sätt kan vi undersöka vad som händer vid division av 5 potenser med samma bas. I divisionen 2 3 kan vi skriva ut alla tvåor i 2 beräkningen och med hjälp av detta förkorta på samma sätt som vi förkortar bråk. 25 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = = 2 ⋅ 2 = 22 23 2⋅2⋅2 Vi kan se ovan att vid multiplikation av potenser med samma bas kan man alltså addera exponenterna. Vi ser också att man subtraherar exponenterna när vi dividerar potenser med samma bas. a x · a y = a x + y
ax = a x – y ay
I stället för att göra som ovan kan vi göra på följande sätt:
Exempel
1403 Skriv som en potens.
a) 25 · 23
25 · 23 = 25+3 Addera exponenterna, 5 + 3 = 8.
Svar: 28
30
b)
2 23 5
25 = 25-3 = 22 3 2 Subtrahera exponenterna, 5 – 3 = 2.
Svar: 22
ta l
01_Tal 140616.indd 30
2014-06-16 13:23
starta
ett varv till
1404 a) Skriv 5 + 5 + 5 på ett kortare sätt.
1412 Skriv som en potens.
b) Skriv 5 · 5 · 5 på ett kortare sätt.
a) 13 · 13 · 13 Beräkna
1405 Skriv som en potens.
a) 4 · 4
b) 2 · 2 · 2 · 2
c) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 Beräkna b) 23
c) 30
1407 a) (-2)2
b) (-2)3
c) (-2)0
< > eller =. c) 100
b) 42
a) 3 · 3 c)
b) (-1)3
c) (-1)0
a) 13
21
b) 22
60
b) (-1)2 + 90
1417 Skriv som en potens. 2
2
b) (-1) + 3
2
3
c) 4 – 5
0
4
2
b) 40 · 40
710 76
a) 52 · 53
b) 22 · 23
1418 Skriv som en potens.
1410 Skriv som en potens. 2
1414 a) (-1)2
a) 32 + 42
1409 Beräkna
a) 2 + 6
c) 40
1416 Beräkna
24
21
4
b) 53
uttrycken, < > eller =.
1408 Sätt ut rätt tecken mellan uttrycken,
32
1413 a) 62
1415 Vad är störst? Sätt ut rätt tecken mellan
1406 a) 43
a) 23
b) 9 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9 · 9
0
2 d) 13 0 13
a)
35 32
b)
45 44
1411 Vilken exponent saknas för att likheten
ska stämma?
a) 5 · 54 = 511 c) 3 2 = 312 3
6 b) 4 = 42 4
Hur gick det? Ta Ett varv till om du behöver repetera, annars Kör vidare.
TA L
01_Tal 140616.indd 31
31
2014-06-16 13:52
kör vidare 1419 Skriv som en potens
a) 0,32 · 0,35 · 0,39 9 2 6 7 3 ⋅3 b) 17 · 17 c) 3 17 34
Beräkna 1420 a) 0,10
b) 0,12
c) 0,13
1421 a) (-3)1
b) (-3)2
c) (-3)3
d) (-3)4
e) (-3)5
f) Hur kan man med hjälp av exponenten se om värdet av potensen är positivt eller negativt? g) Beräkna (-1)99? 1422 I tabellen kan vi se hur antalet bakterier i
en odling fördubblas varje timme.
< > eller =. a) 33
26
b) 22 + 32
(2 + 3)2
c) 12 + 12
(1 + 1)2
1425 Beräkna
a) (-3 – 2)2
Tid i timmar
Antal bakterier
0h
20
b) (-2) + (-5)2
1h
21
c) (-2) – (-5)2
2h
22
Hur många bakterier finns det efter a) 4 timmar b) 6 timmar c) 9 timmar 1423 a) Vad vet vi om heltalet x om (-1)x = 1?
b) Vad vet vi om heltalet y om (-1)y = -1?
32
1424 Sätt ut rätt tecken mellan uttrycken,
1426 Vilken exponent saknas för att likheten
ska stämma? a) 2 · 8 = 2x
b) 6 · 36 = 6x
c) 9 · 9 · 81= 9x 1427 Vilken av potenserna har samma värde
som uttrycket 33 + 33 + 33? 99
39
34
94
ta l
01_Tal 140616.indd 32
2014-06-16 13:23
öka
1430 Skriv ett tal i potensform med basen 4
som är
1428 En potens med värdet 125 har
exponenten 3. Vilken är basen?
1429 Du vet att 37 = 2 187. Hur gör du då för att
på enklast möjliga sätt beräkna a) 3
8
b) 3
6
a) 4 gånger så stort som 412 b)
1 av 412 4
1431 Ersätt x med ett tal och y med ett tal så att
likheten stämmer. 35 ⋅ 3x 8 x ⋅ 86 3 5 = 3 b) 2 y = 8 a) y 2 3 ⋅3 8 ⋅8
c) Vilket samband måste gälla mellan x och y? 1432 Ordna talen i storleksordning (med det
minsta först) utan att använda miniräknare: 215, 312, 49, 56
1433 En häst ska skos. Varje hästsko ska ha 8
sömmar (spikar). För den första sömmen får hästägaren betala 1 öre, för den andra 2 öre, för den tredje 4 öre, för den fjärde 8 öre och så vidare. a) Vad får hästägaren betala för den första skon? b) Vad får hästägaren betala totalt för hästen?
TA L
01_Tal 140616.indd 33
33
2014-06-16 13:51
Repetera
1508 En termometer visar +7 °C. Vad visar
den om temperaturen sjunker a) 2 °C
Primtal
5
8
b) 3 9
45
c) 5 66
84
100
a) sammansatta 7
12
42
19
27
50
42
53
a) 2 faktorer
1504 Vilka tal mellan 10 och 25 är primtal? 1505 Dela upp i primtalsfaktorer.
c) 98
Negativa tal 1506 Ange de motsatta talen till
b) -34
c) 70
1507 Sätt ut rätt tecken mellan talen,
< > eller =.
34
a) 2
-1
b) -7
-8
c) -2
0
b) (-5) + 7 c) (-5) – 5
1512 a) (-7) + 8 b) (-6) + 5 c) (-3) – 4
c) 4 faktorer
b) 24
1511 Beräkna
a) 2 – 6
b) 3 faktorer
a) -15
b) stiger 8 °C
Hon har glömt sitt bankkort hemma och lånar därför 600 kr av sin mamma. Hur mycket är hon skyldig sin mamma efter att hon betalat tillbaka 500 kr?
1503 Dela upp det sammansatta talet 16 i
a) 16
a) stiger 3 °C
1510 Majken har 500 kr på sitt bankkonto.
b) primtal 6
Vad visar den om temperaturen
c) sjunker 5 °C
1502 Vilka av talen är
3
c) 11 °C
1509 En termometer visar - 4 °C.
1501 Vilka av talen är delbara med
a) 2
b) 7 °C
1513 a) 5 + (-2)
c) (-3) + (-3)
b) 9 – (-2) d) (-22) – (-8)
Multiplikation och division av negativa tal 1514 Vilka av uttrycken har samma värde? A 3 · (-2) B (-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) C (-2) + (-2) + (-2) D 5 · (-2)
ta l
01_Tal 140616.indd 34
2014-06-16 13:23
1515 Beräkna
1523 Beräkna
a) 3 · (-70)
b) (-13) · 2
c) (-20) · (-5)
1524 a) (-1)0
1516 Vilket tal ska stå i rutan för att likheten
ska stämma? a)
· (-4) = 36
1517 Beräkna
a)
22 -2
b)
-25 5
c)
-210 -7
1518 Vilket tal ska stå i rutan för att likheten
ska stämma? a)
c)
-3 -6
= -15
b) 43
c) 90
b) (-1)1
c) (-1)2
1525 Sätt ut rätt tecken mellan uttrycken,
< > eller =.
· (-5) = -55
b) -9 · = -27 c)
a) 25
b) -56 = -8
= 3
1519 Produkten av två tal är -8. Ge förslag
på vilka faktorerna kan vara.
1520 Kvoten av två tal är -8. Ge minst två
förslag på vad täljare och nämnare kan vara.
Potenser
a) 33
52
b) 62
34
c) 20
91
1526 Beräkna
a) 12 + 22 b) (-1)1 + 23 c) 53 – 40 1527 Skriv som en potens.
a) 22 · 24
b) 72 · 70
58 c) 3 5
43 d) 0 4
1528 Vilken exponent saknas för att
likheten ska stämma? a) 8 · 88 = 810 5 b) 6 = 63 6 2 c) 11= 24 2
1521 a) Skriv 8 + 8 + 8 + 8 på ett kortare
sätt.
b) Skriv 8 · 8 · 8 · 8 på ett kortare sätt. 1522 Skriv som en potens.
a) 1 · 1 · 1
b) 6 · 6 · 6 · 6
ta l
01_Tal 140616.indd 35
35
2014-06-16 13:23
Fokus på förmågorna 1601 a) Välj tre på varandra följande tal och
multiplicera dem. Blir produkten udda eller jämn?
b) Välj tre nya på varandra följande tal och multiplicera dem. Blir produkten udda eller jämn? Upprepa samma sak ytterligare en gång. c) Vilket mönster ser du? Förklara hur det är uppbyggt, använd gärna exempel. 1602 Medelvärdet i en undersökning är -6,2.
a) Ge förslag på tre värden som har medelvärdet -6,2. b) Vad skulle det kunna vara för undersökning? 1603 Vilket är det minsta talet som är
delbart med alla positiva heltal som är mindre än eller lika med 15?
1604 Slöjdläraren Leif köper 36 stycken
skruvmejslar. Han glömmer hur mycket han betalade för en skruvmejsel och vill ta reda på det genom att titta på kvittot. Kvittot har dock blivit väldigt slitet så första och sista siffran har blivit oläsbara. Han kan bara läsa X42Y, där X och Y är siffrorna han inte kan tyda.
36
Men Leif minns dock några saker: – Han betalade inte mer än 4 000 kr totalt. – Priset på en skruvmejsel var ett helt antal kronor. Hjälp Leif att ta reda på vad en skruvmejsel kostade.
ta l
01_Tal 140616.indd 36
2014-06-16 13:23
1605 Mattias ska beräkna 10 000/0,001 på
miniräknaren, men råkar slå fel och slår in 10 000 · 0,001 istället. Andra gången blir det rätt. Vilken av beräkningarna ger störst resultat? Förklara varför.
1606 På 1700-talet levde en matematiker
som hette Goldbach. Han påstod att alla jämna tal, utom talet 2, kan skrivas som summan av två primtal. Man har bevisat att påståendet gäller för små tal, men man har ännu inte lyckats bevisa att det gäller alla jämna tal. Visa att Goldbachs påstående gäller för minst tio jämna tal.
1607 Om du adderar 1 000 till ett heltal så
blir resultatet större än om du multiplicerar samma tal med 1 000. För vilket eller vilka heltal stämmer detta påstående?
1608 Ett tal består bara av siffrorna 2 och 3,
och innehåller minst en av varje. Vilket är det minsta sådana tal som är delbart med både 2 och 3?
1609 Bestäm utan miniräknare hur många
nollor talet 65 · 56 slutar med.
1610 Talet 2 · 3 · 5 · 7 + 3 är inte ett primtal.
Förklara varför.
ta l
01_Tal 140616.indd 37
37
2014-06-16 13:23
Sammanfattning Begrepp
Förklaring & exempel
Sida
Primtal
Ett heltal, större än 1, som bara är delbart med sig självt och 1. Exempel: 2, 3, 5, 7 och 11.
8
Sammansatt tal
Ett heltal, större än 1, som inte är ett primtal. Exempel: 4, 8, 42 och 120
8
Primtalsfaktorisering
Ett sammansatt tal kan alltid skrivas som en produkt av primtal på ett unikt sätt. Detta kallas primtalsfaktorisering. Exempel: 45 = 15 · 3 = 5 · 3 · 3
8
Negativa tal
Ett negativt tal är ett tal som är mindre än 0 och därmed ligger till vänster om 0 på tallinjen.
14
positiva tal
negativa tal
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Exempel: -2, -10 Motsatta tal
14
Ett positivt tal och ett negativt tal som ligger lika långt från 0 på tallinjen kallas motsatta tal. När vi adderar motsatta tal får vi summan 0. -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
motsatta tal Exempel: -3 och 3 är motsatta tal. (-3) + 3 = 0 Storleksordna tal
38
Vi storleksordnar tal beroende på var de finns på tallinjen. Om a < b så ligger a till vänster om b på tallinjen. Om a > b så ligger a till höger om b på tallinjen. Exempel: 4 > 2 och -8 < -3
15
ta l
01_Tal 140616.indd 38
2014-06-16 13:23
Addera och subtrahera negativa tal
Vid addition och subtraktion med negativa tal gäller reglerna nedan: a + (-b) = a – b a – (-b) = a + b Exempel: 4 – (-2) = 4 + 2 = 6 8 + (-5) = 8 – 5 = 3
15
Multiplicera negativa tal
För multiplikation av negativa tal gäller reglerna nedan: a · (-b) = - a · b (Olika tecken ger negativ produkt) (-a) · (-b) = a · b (Lika tecken ger positiv produkt) Exempel: 3 · (-2) = (-2) · 3 = -6
20
Dividera negativa tal
För division av negativa tal gäller reglerna nedan:
20
-a a a = =– b -b b -a = -b
a b
(Olika tecken ger negativ kvot)
(Lika tecken ger positiv kvot) -12 = -4 3
Exempel:
-8 =2 -4 Potenser
En potens innebär en upprepad multiplikation. Exempelvis har vi 54 = 5 · 5 · 5 · 5
27
Bas och exponent
Talet 5 kallas för bas och talet 4 kallas för exponent.
27
exponent
54
bas
Exponenten 0
Om exponenten är 0, så är a0 = 1 för alla tal a ≠ 0.
29
Potensregler
För räkning med potenser gäller följande regler
30
x
y
a ·a =a
x+y
ax = ax-y ay Exempel: 32 · 34 = 36 46 Exempel: 5 = 46 – 5 = 41 4
ta l
01_Tal 140616.indd 39
39
2014-06-16 13:23
Daniel Domert Jenny Lundin Jakobsson Lars Madej Mia Öberg
Vektor Matematik | Årskurs 8
Vektor är ett läromedel i matematik för åk 7 – 9 helt synkroniserat med Lgr 11. Med Vektor kan man vara säker på att man får de bästa förutsättningarna för att träna och utveckla sina matematiska förmågor. Formativ bedömning uppmuntras och underlättas tack vare de bedömningsmatriser som medföljer. Genom matriserna blir man delaktig i sitt eget lärande och kan ta ansvar för sin egen utveckling. Vektor består av • 6 välstrukturerade kapitel med direkt koppling till Lgr 11 och det Centrala innehållet. • Ett stort urval varierade uppgifter med olika svårighetsnivå och möjlighet för eleven att själv välja väg. • Uppgiftsspecifika bedömningsmatriser till flera uppgifter i varje kapitel. För mer information se www.nok.se/vektor
ISBN 978-91-27-43006-8
9 789127 430068
Vektor 8 Omslag Smakprov NY.indd 1
2014-06-23 13:55