9789140696854

– MENINGSFULL MATEMATIK FÖR ALLA! Mondo matematik är en helt ny läromedelsserie i matematik för grundskolan.

9

Som lärare får du ett omfattande och pålitligt stöd för din undervisning. Det gäller i synnerhet med bedömning och utvärdering av elevernas kunskaper och färdigheter. Du får också förslag till hur du kan hjälpa elever som behöver stöd i matematik.

matematik

Mondo ger alla möjligheten att förstå och tillämpa matematikens grunder. Genom att välja nivå i grundkursen skapas en trygg bas och i det unika avsnittet ”Tillämpa förmågorna” utvecklar eleverna sina kunskaper i mindre projekt enskilt eller i grupp.

Mondo matematik 9 består av: • Elevwebb med filmade genomgångar, effektiv digital färdighetsträning och diagnoser • Lärarwebb med handledning, prov, bedömningsstöd, filmade genomgångar, resultatrapport på elevernas färdighetsträning och diagnoser

7 matematik

Lisa Gustafson Jonas Hällebrand Olle Nyhlén Johansson Jan Persson

8 matematik

Lisa Gustafson Olle Nyhlén Johansson Jan Persson

9 matematik

Lisa Gustafson Olle Nyhlén Johansson Jan Persson

ISBN 978-91-40-69685-4

9

789140 696854

Lisa Gustafson  Olle Nyhlén Johansson  Jan Persson

• Elevbok

9 matematik

Lisa Gustafson Olle Nyhlén Johansson Jan Persson

9

INNEHÅLL

KAPITEL 1 SAMBAND OCH FÖRÄNDRING 6

1.1 Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Räta linjens ekvation

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Funktioner och digitala verktyg 1.4 Icke linjära funktioner

12

. . . . . . . . .

16

. . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.5 Ekvationssystem med grafisk lösning

. . . . .

21

1.6 Ekvationssystem med algebraisk lösning . . . 24 1.7 Problemlösning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Kapiteldiagnos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Tillämpa förmågorna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Träna mera

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fördjupning

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 40

Begrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

KAPITEL 2 ALGEBRA OCH EKVATIONER

2.1 Parentesuttryck

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Faktorisera uttryck

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

48 50

2.3 Algebraiska uttryck med nämnare . . . . . . . . 52 2.4 Ekvationer med nämnare . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.5 Ekvationer med parenteser . . . . . . . . . . . . . . 57 2.6 Ekvationer med förhållande . . . . . . . . . . . . . 60 2.7 Olikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.8 Kvadratrötter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.9 Andragradsekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Kapiteldiagnos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Tillämpa förmågorna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Träna mera

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fördjupning

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74 77

Begrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

INNEHÅLL

KAPITEL 3 GEOMETRI

82

KAPITEL 5 PROBLEMLÖSNING

154

3.1 Omkrets, area och volym . . . . . . . . . . . . . . . 84

Problemlösningsstrategier

3.2 Klot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.1 Taluppfattning och tals användning . . . . . . 158

3.3 Pythagoras sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.2 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

3.4 Likformighet och kongruens . . . . . . . . . . . . 91

5.3 Geometri

3.5 Likformiga trianglar

5.4 Sannolikhet och statistik . . . . . . . . . . . . . . . 170

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156

166

3.6 Topptriangelsatsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.5 Samband och förändring

3.7 Längd, area- och volymskala

Tillämpa förmågorna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

. . . . . . . . . . .

100

3.8 Problemlösning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Kapiteldiagnos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fördjupning

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174 184

104

Tillämpa förmågorna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Träna mera

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fördjupning

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

KAPITEL 6 PROGRAMMERING

188

115

Begrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

1 Håll koll på höjden! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

2 Fallande rymdsonden

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

190

3 Alvas datorspel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 4 Strumpsimulatorn KAPITEL 4

SANNOLIKHET OCH STATISTIK

4.1 Sannolikhet

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Komplementhändelser

. . . . . . . . . . . . . . . .

120

122 125

4.3 Sannolikhet ur statistik . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.4 Kombinatorik

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

4.5 Permutationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.6 Stam-blad-diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.7 Lådagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Kapiteldiagnos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140

Tillämpa förmågorna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Träna mera

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fördjupning

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

146 149

Begrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Sammanfattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5 Rositas tärningar

KAPITEL 7

Läxa 1–12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

192

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

193

LÄXOR

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

194

195

Ledtrådar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Bildförteckning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

KAPITEL 1

Samband och förändring

6  Kapitel 1 | Samband och förändring

PROBLEMLÖSNING

P

BEGREPP

B

METOD M RESONEMANG R KOMMUNIKATION K

CENTRALT INNEHÅLL • Linjära- och icke linjära funktioner • Metoder för att lösa ekvationer • Procent för att uttrycka förändring och förändringsfaktor • Rimlighetsbedömning vid uppskattning och beräkning • Problemlösning

SIDORNA 30–35

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA I PROJEKT Cabaret Cirrus Coacha Lo Marie Curie

GRUPPUPPGIFT

Nu har det kört ihop sig! Hjälp till att para ihop diagramrubriken med rätt diagram. 1 En matematiklärares humör under en mattelektion 2 Medeltemperaturen en vårdag 3 Innehållet i plånboken under julklappsinköp 4 Antalet läsplattor i svenska skolor 5 Ett barns längdtillväxt

A

B

C

D

E

Samband och förändring | Kapitel 1  7

GRUNDKURS

1.1 FUNKTIONER y 5

Funktion – En funktion beskriver ett samband mellan två storheter som är beroende av varandra, t.ex. sambandet mellan pris och vikt på potatis. Proportionalitet – Två storheter är proportionella om de ändrar sig i samma förhållande till varandra. Kvoten mellan storheterna är konstant. En proportionalitet går alltid genom origo.

4 3 2 1 -5

-4

-3

-2 -1

-1 -2

Funktioner och proportionaliteter kan beskrivas med ord, graf, värdetabell eller en formel.

-3

1

2

3

4

5

x

Origo Graf

-4 -5

Graf – En graf visar sambandet mellan olika storheter. En graf kan även kallas för linje.

Rita grafer – När grafer ska ritas kan man välja att använda digitala hjälpmedel eller rita för hand. Tänk på följande:

x

y

1 Skapa en värdetabell där första kolumnen innehåller x-värden och andra kolumnen innehåller y-värden till den blivande grafen. 2 Markera siffervärdena i båda kolumnerna. Beordra programmet att rita ett diagram och välj lämplig diagramtyp. Alternativt konstruerar du ett diagram med lämpliga axel-skalor och markerar värdena. 3 Lägg till diagramrubriker och axelrubriker.

Sträcka (m) 1500

1000

500

0

8  Kapitel 1 | Samband och förändring

0

1

2

Tid (min)

GRUNDKURS

y

EXEMPEL 1

Utgå från funktionen y = 2x − 3

5

b)

4

a) Gör en värdetabell med x = −1, 0 och 1.

3

b) Rita grafen.

2

c) Använd grafen för att bestämma värdet för x = 2.

1 -5

Lösning: a)

x

-3

-2 -1

-1

1

2

3

4

5

x

-2

y

2x − 3 =

−1

-4

-3

2 · (−1) − 3 =

−5

-4

0

2·0−3=

−3

-5

1

2·1−3=

−1

c) x = 2

y=1

EXEMPEL 2

Grafen visar priset på apelsiner. Pris (kr)

Lösning: a) Avläsning i diagrammet:

80

50 = 12,5 kr. 4 b) Kostnaden ges om vikten multipliceras med kilopriset. x = vikten och y = kostnaden ⇒ y = 12,5 · x ⇒ y = 12,5x

60

40

20

0

0

2

4

6

8

Vikt (kg)

a) Vad är priset per kilogram? b) Skriv formeln för att räkna ut priset på apelsiner. c) Äpplen är billigare per kilogram. Om grafen för priset på äpplen ritas i samma diagram, hur skulle den kunna se ut?

4 kg = 50 kr ⇒ 1 kg =

c) Eftersom kilopriset är billigare skulle grafens lutning bli mindre. I övrigt skulle grafen se likadan ut eftersom den också är proportionell. Pris (kr) 80 60

40 Exempel på graf för pris på äpplen

20

0

0

2

4

6

8

Vikt (kg)

Samband och förändring | Kapitel 1  9

GRUNDKURS   NIVÅ 1  1

Fem snabba om funktioner

Ja

4 Doris köper en solrosplanta för att plantera den på sin balkong. Hon mäter höjden på plantan varje dag. Grafen visar tillväxten i cm som en funktion av tiden i dagar.

Nej

a)  En graf börjar alltid i origo.

a) Hur hög är plantan då Doris planterar den? b) Hur lång tid tar det för plantan att bli 1 m? c) Hur hög är plantan efter 70 dagar?

b)  y-axeln är parallell med x-axeln. c)  Proportionaliteter går alltid genom origo.

Höjd (cm)

d)  En graf är alltid en rät linje.

250

e)  Det finns alltid ett x-värde som är 5.

200 150

2 Vilka grafer visar en proportionalitet? Motivera ditt svar. A

y

B

100

y

50 x

x

0

C

y

D

y

x

0

10

20

30

40

50

60

70 80 Tid (dagar)

NIVÅ 2

x

5 Vilka grafer visar en proportionalitet? Motivera ditt svar. y 5 A

B C

4

D

E

F

3

3 En sorts balsam finns att köpa i två olika förpackningar. Är priset proportionellt mot volymen? Motivera ditt svar.

Balsam 1 l Pris 104 kr

Balsam 500 ml Pris 60 kr

2 1 -5

-4

-3

-2 -1

-1 -2 -3 -4 -5

10  Kapitel 1 | Samband och förändring

1

2

3

4

5

x

GRUNDKURS  6 Familjen Brorsson ska åka till Thailand. Den aktuella växelkursen är enligt bilden. Gör en värdetabell och presentera sam­ bandet mellan kronor och baht. 1

SEK (svensk krona)

THB (thailändska baht) 1,00 SEK = 3,61 THB

7 Tanja sitter barnvakt och får betalt enligt grafen nedan. a) Vad är hennes grundlön? b) Hur mycket får hon betalt per timme? c) Är lönen proportionell mot arbetstiden?

NIVÅ 3  9 En bit vit tryffel som vägde 1,5 kg såldes för 220 000 dollar/kg i december 2007. Vad skulle en bit på 1,3 kg kostat i kronor? Räkna med att 1 dollar är värd 8,90 kronor. 10 Grafen visar temperaturen i en varmvattenberedare som en funktion av tiden efter det att uppvärmningen upphört. a) Beskriv med ord hur vattnets temperatur ändras.Vad händer efter 10 h? b) Vilken temperatur höll vattnet direkt efter det att uppvärmningen avstannat? c) Vilken är rumstemperaturen i det rum där beredaren står?

Lön (kr) 600

d) Hur lång tid tar det för vattentemperaturen att halveras?

500 400

Temperatur (°C)

300

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

200 100 0

0

1

2

3

5

4

6

Tid (h)

8 Para ihop funktionen med rätt graf.

1 y = x − 2   2 y = 2x  3 y = 2x + 3 y 5 4

A

B

3

0

2

4

6

8

10

12 Tid (h)

11 Rita i samma koordinatsystem graferna till funktionerna.

C

a) y = 2x + 3 b) y = −2x + 3

2 1 -5

-4

-3

-2 -1

-1

1

2

3

4

5

x

12 Vilken är den gemensamma lösningen för båda funktionerna?

-2

y = x + 1

-3

y = 5 − 2x

-4

-5

(Ledtråd: Den gemensamma lösningen finns i grafernas skärningspunkt.) Samband och förändring | Kapitel 1  11

GRUNDKURS

1.2 RÄTA LINJENS EKVATION I bilden visas tre linjer (grafer). Alla har samma riktning och lutning. De skiljer sig dock i var de skär y-axeln. Graf A B C

Formel

Kommentar

y=x+4

Skär y-axeln i punkten med y-koordinaten 4.

y=x+0 y=x−4

y 10

2 -10 -8

-6

-4 -2

-2

A

B

C

y = 2x − 2

För varje steg i x-led ändras y-värdet med 2. Linjen är stigande.

y = −2x − 2

y = 0x − 2

För varje steg i x-led ändras y-värdet med −2. Linjen är fallande. y = −2

För varje steg i x-led ändras inte y-värdet.

Om k < 0 är linjen fallande. Om k > 0 är linjen stigande. Om k = 0 är linjen parallell med x-axeln. Alla räta linjer kan skrivas enligt formeln y = kx + m, där k och m är variabler. k-värdet anger linjens lutning och kallas linjens riktningskoefficient.

12  Kapitel 1 | Samband och förändring

4

6

7

10

3

4

5

x

-6 -8 -10

I bilden visas tre linjer (grafer). Alla har samma skärningspunkt i y-axeln. Det som är olika är deras riktning och lutning. k-värdet avgör linjens lutning. Kommentar

2

-4

Formeln kallas för den räta linjens ekvation.

Formel

C

4

Alla räta linjer kan skrivas enligt formeln y = kx + m, där k och m är variabler. m-värdet anger linjens skärningspunkt i y-axeln.

Graf

B

6

Skär y-axeln i punkten med y-koordinaten 0. Skär y-axeln i punkten med y-koordinaten -4.

A

8

y 5

B

A

4 3 2 1

-5

-4

-3 C

-2 -1

-1 -2 -3 -4 -5

1

2

x

GRUNDKURS

y

EXEMPEL 1 5

Bestäm linjens ekvation.

y

EXEMPEL 2 5

Bestäm linjens ekvation.

4

4

3

3

2

2

1

1

x -2

-1

1

-2

2

-1

1

2

-1

-1

1. 1 steg på x-axeln ⇒ 3 steg på y-axeln ⇒ k = 3

1. 1 steg på x-axeln ⇒ 2 steg på y-axeln ⇒ k = −2

2. Skärningspunkten i y-axeln är 2 ⇒ m = 2

2. Skärningspunkten i y-axeln är 0 ⇒ m = 0

y = kx + m k=3

y = kx + m ⇒ y = 3x + 2

m=2 Svar: Linjens ekvation är y = 3x + 2.

⇒ y = –2x

k = –2 m=0

Svar: Linjens ekvation är y = −2x.

GRUPPUPPGIFT

y 5

Beskriv utifrån de begrepp du lärt dig, likheter och skillnader mellan graferna i bilden.

A B

4

C D

E

3 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

Samband och förändring | Kapitel 1  13

x

GRUNDKURS NIVÅ 1

16 Para ihop funktionen med rätt graf.

13 a) I vilken punkt skär graferna y-axeln?

1 y = 4x

b) Vilka grafer är stigande?

2 y = 2x + 4

c) Vilka grafer är fallande?

3 y = 2x − 4 4 y = −4x

y A

B

8

C

y

D

7

5

A

1

2 1 -3

-2

-1

D

2

3

-4

C

3

5

-5

B

4

6

-5 1

-1

2

3

4

5

x

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

-2 -3

-2

-4

14 Vilka av punkterna ligger på linjen?

-5

A (0, 2)

B (2, 4)

C (1, −1)

D (0, −2)

E (−3, −2)

F (−1, −5)

y 5

a) y = 3x + 4 b) y = 3x + 7

4

c) y = 3x d) y = 4x

3

e) y = 2x − 4 f) y = 2x − 6

2 1 -5

-4

-3

-2

-1

17 I vilken punkt skär grafen y-axeln om funktionen är

-1

1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

15 Vilket k-värde respektive m-värde har funktionerna? a) y = 3x + 2 b) y = 3x − 2 c) y = 4x + 2 d) y = −2x + 4 e) y = −3x + 0 f) y = −4x − 7 14  Kapitel 1 | Samband och förändring

x

GRUNDKURS NIVÅ 2

NIVÅ 3

18 Vilka grafer är parallella?

22 Skriv formeln för funktionen som har

y A

B

5

C

D

E

F

a) r iktningskoefficienten 4 och skär y-axeln i punkten (0, −4)

b) r iktningskoefficienten 7 och skär y-axeln i punkten (0, −6)

4 3 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

23 Skriv formeln för funktionen som är

x

5

-2 -3

a) parallell med x-axeln och skär y-axeln i punkten (0, 8)

b) parallell med x-axeln och skär y-axeln i punkten (0, 4)

-4 -5

19 a) Rita graferna till funktionerna i samma koordinatsystem. A y = 3x  B y = 3x + 4  C y = 3x − 4

24 Varför har proportionella funktioner inget m-värde? Motivera ditt svar med ord, formel och graf.

b) Vilket k-värde har de tre funktionerna?

25 Bestäm ekvationen till linjen som går genom punkterna (−2, 3) och (1, −3).

c) I vilka punkter skär de tre linjerna y-axeln?

26 Vilka av punkterna ligger på linjen y = 6x + 1?

20 Vilket k-värde respektive m-värde har funktionerna?

A (−3, 19)

B (10, 60)

a) y = 3x + 4

b) y = −3x + 4

C (5, 31)

c) y = −5x − 10

d) y = x

D (−1, 5)

e) y = −x

f) 2y = 10x + 10

E (0, 1)

F (13, 7)

21

Fem snabba om räta linjens ekvation

Ja

Nej

27 Vilka av linjerna är parallella?

a) y = 3x + 4 har k-värdet 3.

A y = 3x + 4

b) y = 3x + 4 har m-värdet 3.

B x + y = 4

c) y = 3x − 4 beskriver en fallande linje.

C 3x + 3y = 2

d) y = 3x har m-värdet 0.

D y = −x + 3

E y − x = 3

e) k-värdet anger linjens riktningskoefficient.

F −x = y + 4

Samband och förändring | Kapitel 1  15

GRUNDKURS

1.3 FUNKTIONER OCH DIGITALA VERKTYG I denna del ska du använda ett grafritande program (t.ex. Desmos). Det finns ett antal program som påminner om varandra. I programmen finns verktyg för att t.ex. rita grafer. När man ritar grafer finns två möjligheter. Man kan utgå från en värdetabell eller utgå från en funktion. EXEMPEL 1 Från värdetabell

Använd verktyget ”tabell”.

Skriv in koordinaterna.

Markera symbolen för graf vid y i tabellhuvudet och foga dem samman.

Öppna tangentbordet i nedre vänstra hörnet för att få linjens ekvation.

Skriv in y1 kx1 + m.

Programmet ritar då en graf som sammanbinder punkt­ erna om värdena i tabellen ger en linjär funktion.

k = 1 och m = 1 ⇒ Linjens ekvation är y=x+1

EXEMPEL 2 Från funktion

Använd verktyget ”uttryck”.

Skriv in funktionen och programmet ritar samtidigt grafen.

Det går därefter att få en värdetabell utifrån funktionen. Ett sätt är att skriva in funktionen igen och konvertera till tabell.

16  Kapitel 1 | Samband och förändring

Programmet gör en tabell som stämmer överens med funktionen. Om ett x-värde ändras i tabellen ändras y-värdet automatiskt.

GRUNDKURS GRUPPUPPGIFT

Använd ett grafprogram och konstruera funktionen y = ax. a kommer då vara en så kallad glidare med vilken värdet på a kan varieras. Undersök vad det finns för samband mellan glidarens värde och grafens utseende.

NIVÅ 1 28 Skriv in koordinaterna i en tabell. Använd grafverktyget för att binda samman punkterna.

34 Grafen till en funktion går genom punkterna enligt tabellen.Vilken formel har funktionen? a)

a) (0, 0) och (4, 5) b) (0, 0) och (−3, 3) c) (−4, 6) och (4, 8) d) (−3,5; −3,5) och (−5, −6) 29 Rita grafen till funktionen.

a)

30 Använd resultatet i uppgift 29 och besvara utan att rita hur grafen till funktionen y = 2x + 1 kommer att se ut.

a) skär y-axeln två enheter över grafen b) skär y-axeln två enheter under grafen

y 3 8 13

b)

x 0 1 2

y −2 2 6

35 Vilket m-värde har ekvationen till den linje som går genom punkterna?

a) y = 2x b) y = 2x + 2 c) y = 2x − 2

31 Rita grafen till y = 3x − 2. Vilken formel har funktionen som

x 0 1 2

x −2 1 5

y −3 6 18

b)

x −3 1 4

y 4 −4 −10

NIVÅ 3 36 Bestäm formeln för funktionen som går genom punkterna (−7; −0,5), (−1; 2,5), (1,5; 3,75).

NIVÅ 2

37 Vilka av punkterna ligger på linjen till funktionen y = −1,5x + 4?

32 Rita graferna till funktionerna och avgör om de är proportionaliteter.

A (0,5; 3,25) B (0; 4,5)

C (10,−11)

D (−1, 5)

F (−1,5; 4)

a) y = −3x + 1 4x c) y = 3

b) y = 4x d) −x = y + 3

33 Vilka av linjerna är parallella? A y = 6x +4

B 2x + y = 4 C 6x + 3y = 2

D y = −2x + 3 E y − 2x = 3 F −3x = y + 4

E (0, 0)

38 Rita graferna till funktionerna

y = 2x − 4 och y = −4x + 5. I vilken punkt skär graferna varandra? 39 Vilken formel har den linje som skär grafen y = x + 2 med en rät vinkel i punkten (1, 3)? Samband och förändring | Kapitel 1  17

GRUNDKURS

1.4 ICKE LINJÄRA FUNKTIONER Det finns funktioner som inte ger en rät linje. Dessa funktioner kallas för icke linjära funktioner. Grafen visar utvecklingen på Simons bank­ konto. Grafen är ett exempel på icke linjär funktion. Alla funktioner där grafen inne­ håller en eller flera kurvor tillhör den kategorin.

EXEMPEL

Simon har 20 000 kr som han sätter in på ett bankkonto. Han får 2 % i ränta. Hur mycket finns på kontot 10 år senare om räntesatsen inte förändras? Lösning 1 Avläsning Avläsning ⇒ x =10, y = 24 000 Svar: 24 000 kr

Belopp (kr)

Lösning 2 Förändringsfaktor

120 000

y = kapital, förändringsfaktor = 1,02

100 000

y = 1,02 · 1,02 · 1,02 · 1,02 · 1,02 · 1,02 · 1,02 · 1,02 · 1,02 · 1,02 · 20 000 ≈ 24 379,89 Svar: 24 380 kr

80 000 60 000 40 000

Lösning 3 Funktion

20 000

y = kapital, förändringsfaktor = 1,02 och x = antal år

0

y = 1,02x · 20 000 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 Tid (år)

y = 1,0210 · 20 000 ≈ 24 379,89 Svar: 24 380 kr

GRUPPUPPGIFT

Ge exempel på olika händelser som skulle kunna representeras av graferna.

B C

Hitta några olika händelser till varje graf.

A

18  Kapitel 1 | Samband och förändring

GRUNDKURS NIVÅ 1 Grafen visar medlemsutvecklingen i en nystartad parkour-klubb. Använd grafen till uppgifterna 40-42. Antal medlemmar 700 600 500 400 300 200 100 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 Tid (år)

40 Hur många medlemmar har klubben efter a) 1 år b) 2 år c) 8 år

43 Beskriver uttrycket en ökning eller minskning? a) 0,9 · 10 000 b) 1,25 · 20 000 c) 1,01 · 1,01 · 2 000 d) 0,6 · 0,5 · 20 000

41 Under vilket år passerar medlemsantalet a) 100 medlemmar b) 700 medlemmar 42 Ungefär hur många år tar det för att medlemsantalet ska öka från a) 0–100 b) 100–200 c) 300–400

NIVÅ 2 44 Beskriver funktionen en ökning eller minskning? a) y = 0,92x · 20 000 b) y = 1,02x · 20 000 c) y = 1,23x · 100 d) y = 0,63x · 20 000 45 Beräkna värdet på y. a) y = 0,5x · 200 när x = 2 b) y = 0,4x · 100 när x = 4 c) y = 1,2x · 1 000 när x = 2

46 Skriv om till en funktion.

a) Det finns 5 000 kr på ett bankkonto. Räntan är 1 % per år.

b) En aktie är värd 250 kr.Värdet minskar med 3 % per år. Samband och förändring | Kapitel 1  19

GRUNDKURS 52 En vara kostar 3 675 kr inklusive 25 % moms. Vad kostar varan utan moms? 53 Ett företag ökar omsättningen med 4 % per år under ett antal år. Ett år var omsättningen 2,5 Mkr.

47 En ny elbil kostar 245 000 kr. Värdeminskningen är 20 % varje år. Hur mycket är bilen värd efter

a) 1 år

b) 2 år

c) 5 år

48 En dators värde minskar med 30 % per år. Efter 3 år är den värd 4 000 kr.Vad kostade datorn när den var ny? Avrunda till helt antal kronor. 49 Bestäm den totala procentuella förändringen av priset efter ändringarna. Första ändringen

Andra ändringen

a

+ 20 %

− 20 %

b

− 10 %

− 10 %

c

− 50 %

+ 100 %

NIVÅ 3 50 Rita grafen till funktionen y = 1 − x2. Besvara därefter frågorna genom att avläsa grafen.

a) Vilken är grafens skärningspunkt med y-axeln?

b) Vilken är grafens skärningspunkter med x-axeln?

51 Du sätter in 1 000 kr på en aktiefond. Fonden ger 5 % avkastning per år. Vad är fondens värde efter a) 1 år

b) 2 år

c) 5 år

20  Kapitel 1 | Samband och förändring

Hur stor var omsättningen 5 år därefter om utvecklingen var densamma? Avrunda svaret till tusental kronor.

54 Lida investerar sina besparingar i en räntefond. Fonden beräknas ge en avkastning på 9,5 % ränta.

Efter hur många år har beloppet blivit minst dubbelt så stort?

Ordlista Omsättning – Sammanlagda värdet av ett företags försäljning under en viss period. Räntefond – En fond som placerar pengar exempelvis i ett lands skulder. Fonden får betalt då landet betalar ränta på skulden. Avkastning – Utdelning av en investering. Kan anges i kronor eller procent.

GRUNDKURS

1.5 EKVATIONSSYSTEM MED GRAFISK LÖSNING Med hjälp av ett ekvationssystem kan man lösa ekvationer med två variabler. Inledningsvis övar vi på att lösa ekvationssystem med hjälp av att rita grafer. Uppgifterna blir enklare att lösa om du använder digitala hjälpmedel. EXEMPEL

Till en föreställning såldes 650 biljetter för sammanlagt 34 000 kr. En vuxenbiljett kostade 80 kr medan en barnbiljett kostade 20 kr. Hur många vuxna respektive barn var på föreställningen? Lösning Anta att x = antal vuxenbiljetter och y = antal barnbiljetter. Sambanden i uppgiften kan tolkas till två ekvationer. Ekvation 1 Ord

Ekvation

Omskrivning av ekvation

Antalet vuxenbiljetter + antalet barnbiljetter = 650

x + y = 650

x + y = 650 y = 650 − x

Ord

Ekvation

Omskrivning av ekvation

Värdet av antalet sålda vuxenbiljetter + + värdet av antalet sålda barnbiljetter = 34 000 kr

80x + 20y = 34 000

80x + 20y = 34 000 20y = 34 000 − 80x 34 000 − 80x y= 20 y = 1 700 − 4x

Ekvation 2

Vi sätter en klammer för att visa att ekvationerna hör ihop med varandra. Ekvationerna kallas tillsammans för ekvationssystem. y = 650 − x y = 1700 − 4 x Om vi ritar linjerna till ekvationerna i samma koordinatsystem kommer de skära varandra i en punkt. I denna punkt har de båda ekvationerna en gemensam lösning. x- och y-värdet i skärningspunkten är alltså lösningen på de ursprungliga ekvationerna. Skärningspunkten är (350, 300). Den gemensamma lösningen är x = 350 och y = 300.

y 600

400

200

0

0

200

400

600

x

Svar: Det var 350 vuxna och 300 barn.

Samband och förändring | Kapitel 1  21

GRUNDKURS GRUPPUPPGIFT

10 elever har fått bedöma hur mycket de gillar matematik och svenska. Elevernas poängsättning mellan 1–5 visas i diagrammet nedan. Exempelvis har My gett matematik en 2:a och svenska en 1:a. a)

Fem snabba

Ja

5

Nej

Mira har gett matematik betyget 3.

Aslan

4 Poängtal svenska

Elis gillar matematik och svenska lika mycket. Två elever varken gillar eller ogillar något av ämnena. Nästan hälften av eleverna gav ämnena samma poäng.

2 1

Alla gillar matematik mer än svenska.

b) Skriv egna sanna och falska påståenden. Byt med varandra.

Använd grafprogram för att lösa uppgifterna.

Mira

3

0

Lo

0

Elis

Yafet Lova

Carl

My

1

2 3 4 Poängtal matematik

5

y

y = 0,5x y = −0,5x + 4

55 Lös ekvationssystemet med hjälp av bilden.

4 3

y 4

2

3

1

2

-1

1

1

2

3

-1

-1

1

2

3

4

5

x

58 Lös ekvationssystemet grafiskt.

-1

a) Rita linjerna till ekvationerna. b) I vilken punkt skär linjerna varandra?

56 Lös ekvationssystemet med hjälp av bilden.

y = 3x + 1 y =x+3

y

y = 0,5x y = −0,5x + 2

Jon

57 Lös ekvationssystemet med hjälp av bilden.

NIVÅ 1 y = 2x y = −x + 3

Ida

4 3

59 Lös ekvationssystemet grafiskt.

2

a) Rita linjerna till ekvationerna. b) I vilken punkt skär linjerna varandra?

1 -1

1

2

-1

22  Kapitel 1 | Samband och förändring

3

4

5

x

y = 2x − 1 y = 4 − 3x

4

5

x

GRUNDKURS NIVÅ 2

NIVÅ 3

60 Lös ekvationssystemet grafiskt.

64 Lös ekvationssystemet grafiskt.

a) y = 2x − 2

2y = 6x − 8

b)

y=x

y=x

2

61 Skriv ekvationssystemet som hör till bilden. y 4 3

1 1

2

3

4

5

x

-1

2 x − 3y + 3 = 0 3x − 2y = −1

65 Bestäm talen k och m så att punkterna (1, 5) och (2, 8) ligger på den linje som hör till ekvationen y = kx + m.

67 En rät linje går genom punkten (1, 1) och har riktningskoefficienten −4. a) Bestäm linjens ekvation.

62 Summan av två tal är 269. Differensen av samma tal är 23. V   ilka är talen? 63 Fotbollsklubben Mondo FC hade 1 500 besökare på sin senaste hemmamatch. De sålde biljetter för 167 500 kr. Hur många biljetter såldes till

8x − y + 1 = 0

b)

66 Två räta linjer skär varandra i punkten (3, 1). Den ena har riktningskoefficienten 2 och den andra −2. Bestäm linjernas ekvationer.

2

-1

a) 2x + y = 4

b) En annan linje skär linje 1 med en rät vinkel.Vilken riktningskoefficient har denna linje? c) Den gemensamma lösningen är i punkten (2, −3). Bestäm andra linjens ekvation.

a) ordinarie pris  b)  ungdom t.o.m. 18 år

x

STÅPLATS Ordinarie pris Ungdom t.o.m. 18 år

140 kr 90 kr

Samband och förändring | Kapitel 1  23

GRUNDKURS

1.6 EKVATIONSSYSTEM MED ALGEBRAISK LÖSNING Ett annat sätt att lösa ekvationssystem är med en algebraisk lösningsmetod. En av fördelarna med metoden är att lösningar blir exakta. Principen för den algebraiska lösningen är att använda ett av uttrycken och sätta in i det andra. EXEMPEL

Lös ekvationssystemet. x + y = 3 (1) x − 3y = 0 (2) Lösning 1

x+y=3⇒ x=3−y

Skriv om ekvation 1 för att lösa ut x.

2

x − 3y = 0 ⇒ (3 – y) − 3y = 0

Ersätt x med 3 − y i ekvation 2. På så sätt tas variabeln x bort från ekvation 2.

3

3 − y − 3y = 0 ⇒ 3 − 4y = 0 ⇒ 3 = 4y ⇒ y = 0,75

Förenkling av ekvation 2 ger en lösning på y.

4

x+y=3⇒ x + 0,75 = 3 ⇒ x = 3 – 0,75 ⇒ x = 2,25

Använd y-värdet i ekvation 1. På så sätt tas y-termerna bort från ekvation 1.

5

Ekvationssystemet har lösningen x = 2,25 och y = 0,75.

Ekvationssystemet är löst.

6

x+y=3⇒ 2,25 + 0,75 = 3 ⇒ lösningen stämmer för ekvation 1.

Kontrollera lösningen genom att sätta in talparet (2,25; 0,75) i båda ekvationerna och se ifall vänsterled och högerled stämmer.

x − 3y = 0 ⇒ 2,25 − 3 · 0,75 ⇒ 2,25 − 2,25 = 0 ⇒ Lösningen stämmer för ekvation 2.

24  Kapitel 1 | Samband och förändring

GRUNDKURS NIVÅ 1 68 Lös ut x. a) x + y = 8 b) x − 2y = 8 c) x − 3y = 2 69 Lös ut x. a) x + 8 = y b) x + 2y = 8 c) x − 2 = 3y

Lös ekvationssystemen och kontrollera lösningen. 70 a) x + y = 8

x=5

x+y =8 x = −4 b)

71 a) x + 2y = 23

x+y =8 x−y =2 b)

2x = 10 72 a) y = 4x + 5

y = 5x

b)

x + 5y = 22 y = 2x

NIVÅ 3 NIVÅ 2 73 Lös ut x.

a) 3x + 3 = 6y + 3 b) 2x + 3y + 6 = 3y + 3

74 Lös ut x. 5x + 10 a) = 15 2

b)

5x − 10 1 = 2 4

78 Lös ut x. 3x + 6 y 5x + 10 a) = 6y + 3 b) = 2y + 3 6 20 79 Lös ut x. 10 2y + 12 + 5x 36 y + 12 + 5x a) = b) = 2 2 9 4

Lös ekvationssystemen och kontrollera lösningen.

Lös ekvationssystemen och kontrollera lösningen.

75 a) 2y = 3x − 1

y =x−2 3x + 5y = 14

80 a) 3x − 4 y = 2,5

x + 5y = 10 3x − y = 14

81 a) 2y = 3x – 4

2x + y = 7 3x − y = 8

82 a) 2y = 3x − 1

5x − 3y = 2,5 76 a) 2x + 3y = 55

4 x + y = 35 77 a) 2x − 3y = 10

x + y = 20

b)

b)

b)

2x + y = 9

5x – 3y = 7,5

7x − 3y = 4,5

b)

b)

x − 5y = 9 x − y = 20,6 2 x − 3y = 0 7x − 5y = 4,4

b) 2x − 3y = 0

6x − 4 y = 12,5

Samband och förändring | Kapitel 1  25

GRUNDKURS

1.7 PROBLEMLÖSNING Med hjälp av algebraiska eller grafiska metoder för att lösa ekvationssystem har vi möjligheten att lösa ekvationer med flera obekanta. Tänk på att: 1 läsa texten noga 2 sätta upp två olika samband utifrån texten 3 bestämma om en algebraisk eller grafisk lösningsmetod ska användas 4 lösa ekvationssystemet 5 kontrollera lösningen EXEMPEL

Summan av två tal är 60. Det ena talet är fyra gånger större än det andra.Vilka är talen? Lösning: Anta att x = tal 1 och y = tal 2. Ekvation 1: x + y = 60 Ekvation 2: x = 4y Algebraiskt x + y = 60 (1) x = 4y (2)

Grafiskt x + y = 60 (1) x = 4y (2)

y 50 40

Sätt in 4y istället för x i ekvation 1. 4y + y = 60 ⇒ 5y = 60 ⇒ y = 12 x + y = 60, y = 12 ⇒ x + 12 = 60 ⇒ x = 60 − 12 ⇒ x = 48 Kontroll av lösningen: Ekvation 1: 48 + 12 = 60 Ekvation 2: 48 = 4 · 12 Svar: x = 48 och y = 12. De två sökta talen är 48 och 12.

26  Kapitel 1 | Samband och förändring

30 20 10 0

x 0

10

20

40

30

50

60

Skärningspunkten är (48, 12) ⇒ x = 48 och y = 12 GRUPPUPPGIFT

Detta är lösningen till en uppgift. Men hur ser uppgiften ut? Formulera en uppgift som passar.

5 4 3 2 1 -1 -1

1 2 3 4 5

GRUNDKURS NIVÅ 1 83 Summan av två tal är 9. Det ena talet är dubbelt så stort som det andra.Vilka är talen? 84 Summan av två tal är 20. Det ena talet är 4 gånger så stort som det andra.Vilka är talen? 85 Differensen mellan två tal är 6. Det ena talet är 3 gånger så stort som det andra.Vilka är talen? 86 Aliza är 24 cm längre än Lola. Tillsammans är de 362 cm. a) Hur lång är Aliza? b) Hur lång är Lola? 87 Alexandra och Jamila tjänar tillsammans 35 000 kr på sitt sommarjobb. Jamila tjänar 5 000 kr mer än Alexandra. Hur mycket tjänar var och en?

NIVÅ 2 88 Per har 84 kr i mynt i sin ficka. Det är fyra gånger så många femkronor som enkronor. Hur många enkronor och femkronor har Per? 89 Ode och Liv är och fikar på ett kafé. Ode köper en juice och tre frallor. Liv köper två juice och en fralla. Ode betalar 69 kr och Liv betalar 63 kr. a) Vad kostar en fralla? b) Vad kostar en juice? 90 Summan av två tal är 66. Det större talet är dubbelt så stort som det mindre så när som på 3.Vilka är talen? 91 Marcus köper en vuxenbiljett och tre barn­ biljetter och betalar 825 kr. Martinus köper tre vuxenbiljetter och en barnbiljett och betalar 1 275 kr. Vad kostar

a) en vuxenbiljett   b)  en barnbiljett

92 I en hage finns kor och höns. Sammanlagt finns det 32 ben och 9 huvuden. Hur många kor respektive hönor finns i hagen?

NIVÅ 3 93 Medelvärdet av två tal är 13,75. Differensen mellan talen är 2,5. Vilka är talen? 94 Olivia köper två olika sorters te. Hon köper 2 hg av den billigare sorten och 1 hg av den dyrare och betalar 21 kr. Carro köper 1 hg av varje sort och betalar 15 kr. Vad kostar respektive tesort per kg? 95 I en glasskiosk säljs glassar med tre eller två kulor. En dag har det sålts 15 strutar och 41 kulor glass. Hur många av respektive glass har sålts? 96 I ett tryckeri används två tryckpressar. Om den långsammaste pressen arbetar i 2 h och den snabba i 3 h trycks 31 000 exemplar av en tidning. Om båda pressarna arbetar 2 h trycks 24 000 exemplar av tidningen. Hur många exemplar trycker respektive press per timme? 97 Om den längre sidan i en rektangel ökas med 3 cm och den mindre sidan ökas med 2 cm uppstår en ny rektangel vars area är 35 cm2 större. Om den större sidan minskas med 2 cm och den mindre ökas med 3 cm ökar den ursprungliga arean med 5 cm2. Hur långa är sidorna i den ursprungliga rektangeln? Samband och förändring | Kapitel 1  27

KAPITELDIAGNOS A NIVÅ 1–2

A4 a) Rita grafen till y = x − 2.

A1 Alban är innebandydomare och får 660 kr för 6 matcher.

b) Vilken formel har grafen som skär y-axeln tre enheter över den ritade grafen?

a) Hur mycket får han per match? b) Var skär grafen y-axeln när man visar vad han tjänar för olika antal matcher med en graf?

c) Var skär den grafen x-axeln? A5 Du sätter in 12 000 kr på banken. Räntesatsen är 3,5 %. Hur mycket finns på kontot efter a) 1 år

A2

Fem snabba om y = 2x − 3

Ja

Nej

a) m-värdet är 2.

b) 2 år c) 5 år

A6 Lös ekvationssystemet grafiskt.

y = 3x + 4 y = 2+x

b) Grafen skär y-axeln i −3. c) Grafen lutar åt vänster.

A7 Summan av två tal är 45. Det ena talet är 4 gånger så stort som det andra. Vilka är talen?

d) Grafen är linjär. e) Grafen går genom origo.

A8 Lös ut x.

A3 Para ihop funktionen med rätt graf.

1 y = x

2 y = −x

3 y = 2x − 2

4 y = 2x + 1

a) 6 + 3x = 2x + 6y − 9 2x b) = (2 − 4y) 5 A9 Lös ekvationssystemet och kontrollera lösningen.

y

2x + 2y = 22 2x = 12

5 A

4

B

C

D

3 2 1 -5

-4

-3

-2 -1

-1

1

2

3

4

-2 -3 -4 -5

28  Kapitel 1 | Samband och förändring

5

x

A10 Amina har 61 kr i mynt i sin ficka. Det är åtta fler mynt av femkronorna än av tvåkronorna. Hur många tvåkronor och femkronor har Amina? A11 Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna A1-A10.

KAPITELDIAGNOS B NIVÅ 2–3 B1 Para ihop beskrivningen med rätt funktion. y är kostnaden och x är antal timmar.

1 Ett fast pris på 200 kr

A y = 60x

2 200 kr i grundavgift och 60 kr/h

B y = 200

3 60 kr/h

C y = 200 + 60x

B2 Vilka av punkterna ligger på linjen

y = −3x + 1?

A (2, −5)

B (3, −5)

C (0, 1)

D (−2, 7)

E (−3, 0)

F (−2, 1)

B3 Bestäm ekvationen till linjen som går genom punkterna (−2, −3) och (2, 5). B4 a) Rita graferna till funktionerna y = 3x + 2 och y = −2x − 3. b) I vilken punkt skär graferna varandra? B5 En nyöppnad glasskiosk hade 20 000 kr i vinst första året. Under ytterligare fyra år så ökade vinsten med 5,5 % per år. Hur stor var vinsten efter de fyra åren?

B6 Lös ekvationssystemet grafiskt och kontrollera lösningen.

3y + 3 = x 3x + 2y = 9 B7 Lös ut x. (4x + 8) a) = 2y + 3 3 b) 5x − 2y + 7 = 3x + 6y − 9 B8 Lös ekvationssystemet och kontrollera lösningen.

2x − y = 4 8y − 4 x = 28 B9 Summan av två tal är 55 och differensen mellan dem är 11.Vilka är talen? B10 På Harry Potters studiotour kostar en vuxenbiljett och tre barnbiljetter 1 930 kr. En familj köper två vuxenbiljetter och två barnbiljetter och betalar 2 120 kr.Vad kostar

a) en vuxenbiljett b) en barnbiljett

B11 Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna B1-B10.

Samband och förändring | Kapitel 1  29

Tillämpa förmågorna

TILLÄMPA KAPITEL 1 FÖRMÅGORNA 2

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA

Här följer tre större uppgifter där ni under arbetets gång övar alla förmågorna i matematik: P PROBLEMLÖSNING B BEGREPP M METOD R RESONEMANG K KOMMUNIKATION

Uppgifterna varierar i storlek och kan ta allt ifrån en lektion till någon vecka. Ofta arbetar ni i grupp och hur ni redovisar bestämmer ni tillsammans med er lärare.

1

CABARET CIRRUS Nu är det dags för stor premiär. Men vad ska biljetterna kosta?

2

COACHA LO Det gick inte så bra på senaste matteprovet. Hjälp till att hitta vad som behöver tränas och coacha hen mot nya matematiska höjder.

3

MARIE CURIE – ETT GENI SOM FÖRÄNDRADE VÄRLDEN! Halveringstid, radioaktivitet och sönderfallskurvor är begrepp som myntades av Marie Curie och har hjälpt till att förändra världen. Simulera ett ämnes sönderfall och bestäm ämnets halveringstid.

30  Kapitel 1 | Samband och förändring

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 1

CABARET CIRRUS Teatersällskapet har jobbat på sin föreställning i tre månader och ska nu ha sin premiär.  Alla har arbetat hårt och de är många som är inblandade. Nu behöver de hjälp med prissättningen! De har gjort ett överslag på att en föreställning behöver dra in 15 000 kr för att den ska gå 1 ihop ekonomiskt. Det får plats 100 personer i lokalen och det brukar komma ca barn, 4 1 pensionärer och resten vuxna på deras föreställningar. 10 UPPGIFT

a) Visa med beräkningar och resonemang hur mycket biljetterna borde kosta. b) Hur många föreställningar behöver de göra under en månad? De jobbar deltid och behöver tjäna 12 000 kr före skatt på en månad, förutom sminkören som får betalt per föreställning. c) Blir det rimligt många föreställningar eller behöver varje föreställning dra in mer?

Redovisa era beräkningar med tydliga rubriker och skrivna slutsatser!

Personal Skådespelare: 6 st Sminkör: 1 st, 120 kr/tim Regissör: 1 st Scenarbete: 2 st Föreställning Antal platser: Tid: Biljettyper:

100 st 2 timmar Vuxen, Barn, Pensionärer Materialkostnad: 20 000 kr

Samband och förändring | Kapitel 1  31

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 2

COACHA LO En niondeklass någonstans i Sverige har haft sitt första matteprov. En av eleverna heter Lo. Hen har förstått en hel del, men några saker har hen missat. Er uppgift: UPPGIFT

1 Rätta provet. 2 Fundera på hur Lo tänkt. Rita av matrisen till höger och använd den för att kommentera provet. 3 Lyft fram minst två saker som Lo är bra på. 4 Föreslå vad Lo behöver träna på för att lära sig det hen ännu inte behärskar. 5 Konstruera ett nytt prov med fem uppgifter som visar Los nyvunna kunskaper.

32  Kapitel 1 | Samband och förändring

Bedömningen avser Rätt

Fel

B M P K R Sammanlagd bedömning enligt ”Two stars and a Wish”.

Kommentar

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 2

PROV ÅK 9 B Para ihop begreppet med rätt förklaring.

1 Räta linjens ekvation

2 3 4 5

x+y =8 x − 3y = 0 B y = kx C y = kx + m D y = 5x + 2 E y = x2 A

Icke linjär funktion Ekvationssystem Proportionalitet Icke proportionalitet

K Para ihop funktionen med rätt graf.

2x = 18

b) en barnbiljett

B

C D

2 1 -5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

x

-2

x−y =8

a) en vuxenbiljett

4 3

b) x + y = 10

P Ola-Conny köper två vuxenbiljetter och tre barnbiljetter och betalar 500 kr. Morgan köper en vuxenbiljett och en barnbiljett och betalar 225 kr. V   ad kostar

2 y = 2x + 3 4 y = −2x + 3

y 5

A

M Lös ekvationssystemen och kontrollera lösningen. a) x + 2y = 23

1 y = 2x 3 y = 2x − 3

-3 -4 -5

R En vara kostar 3 675 kr inklusive 25 % moms. Vad kostar varan utan moms?

LOS SVAR

B) 1D, 2A, 3E, 4B, 5C M) a) (2): 2x = 18 ⇒ x = 6 (1): x + 2y = 23 ⇒ 6 + 2y = 16 ⇒ y = 5 Svar: x = 6 och y = 5 y

10

5

0

0

5

2v + 3b = 500 1v + 1b = 225 (2): 1v + 1b = 225 ⇒ 1v = 225 − 1b (1): ⇒ 2(225 − 1b) + 3b = 500 ⇒ (450 − 2b) + 3b = 500 ⇒ 450 + b = 500 ⇒ b = 50 (2): ⇒ 1v + 50 = 225 ⇒ 1v = 225 − 50 = 175 Svar: v = 175 kr och b = 50 kr. P)

10

b) Svar: x = 1 och y = 9

15

x

K) 1C, 2B, 3D, 4A R) 0,75 · 3 675 = 2 756,25 ≈ 2 760 kr Svar: Varan kostar 2 760 kr utan moms. Samband och förändring | Kapitel 1  33

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 3

MARIE CURIE – ETT GENI SOM FÖRÄNDRADE VÄRLDEN! Marie Curie föddes i Polen. Hon och hennes syskon uppfostrades under knappa förhållanden eftersom hennes far hade gjort dåliga affärer. Hon utbildade sig i Frankrike. Hennes starka vilja och extrema minne resulterade i att hon genom sin forskning lade grunden till en förståelse av atomens uppbyggnad samt radioaktiviteten. För sina förtjänstfulla upptäckter hedrades Marie Curie med Nobelpriset både i fysik och i kemi. Trots sina enorma insatser för vetenskapen valdes inte Marie Curie in i franska vetenskapsakademin sannolikt bara för att hon var kvinna.

Grundämne 84 tillägnades Marie Curies hemland Polen för att hedra hennes upptäckter.

Isotoper är varianter av samma grundämne.Vissa isotoper är instabila, och faller förr eller senare sönder till andra sorters isotoper. De sänder då ut radioaktiv strålning. Det sönderfaller flest atomer i början. När det blir färre atomer kvar, avtar antalet sönderfall. Ett sätt att uttrycka hur snabbt ett ämne sönderfaller är att bestämma tiden till hälften av en viss mängd av ämnet sönderfallit. Denna tid kallas för ämnets halveringstid. Isotoper har olika halveringstid, från milli­ sekunder till miljarder år, därför kan halveringstiden bl.a. användas för att identifiera ämnen.

34  Kapitel 1 | Samband och förändring

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 3 Procent av ämnet 100 90 80 70 60 50 40 30 20

Sönderfallskurva för grundämnet ”Mondo”.

10 0 0

20

60

40

80

100

120

140 Antal dygn

UPPGIFT

a) Använd grafen för att ta reda på 1:a, 2:a och 3:e halveringstiden för grundämnet ”Mondo”. 1:a halveringstiden

2:a halveringstiden

3:e halveringstiden

Medelvärde halveringstiden

b) Det går aldrig att bestämma när en enskild atom kommer att sönderfalla. Radioaktiva sönderfall sker slumpvis. Tack vare att det finns så otroligt många atomer kan man med hjälp av sannolikhets­ beräkningar bestämma halveringstiden.

Ni ska nu simulera ett ämnes sönderfall. Tio tärningar motsvarar tio atomkärnor av ämnet.

1 Börja med att slå tio tärningar.Varje gång en tärning blir en sexa motsvarar det ett sönderfall och tärningen tas då bort. Skriv antalet tärningar som inte har sönderfallit i kolumn 1 i serie 1 (se tabell).

2 Kasta de återstående tärningarna och ta bort de tärningar som eventuellt har sönderfallit. Resultatet förs ner i kolumn 2 i serie 1.

3 Fortsätt kasta tills alla tärningarna har sönderfallit.

4 Upprepa steg 1-3 för 10 serier. Summera resultatet från respektive kolumn. Antal kast

0

Serie 1

10

Serie 2

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

c) Rita en sönderfallskurva för ert ämne. Låt y-axeln representera antal atomkärnor som finns kvar medan x-axeln representerar tiden. 1 kast motsvarar 1 dygn. d) Använd grafen för att ta reda på 1:a, 2:a och 3:e halveringstiden för ert ämne.

Samband och förändring | Kapitel 1  35

TRÄNA MERA   1.1 Funktioner  1 Diagrammet visar Katarinas hastighet när hon cyklar till en kompis. Beskriv hur hastigheten förändras.

4 a) Skriv formeln för hur kostnaden K kr beror av vikten x kg.

Sträcka

18 kr/kg

b) Motivera varför det är en proportionalitet.

5 a) Skriv av och gör färdigt värdetabellen till funktionen y = 2x − 1. x

y

0 Tid

3 5

2 Diagrammet visar vad det kostar att hyra en kanot under en viss tid. Kostnad (kr)

b) Rita en graf till funktionen.  6 Gör en värdetabell och rita grafen till funktionen y = 4 − x.

500 400 300

1.2 Räta linjens ekvation

200

7 Räta linjens ekvation skrivs y = kx + m.

100 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tid (h)

a) Hur mycket kostar det att hyra en kanot i 5 timmar?

b) Skriv en formel för kostnaden K kr när du hyr kanoten i x antal timmar.

a) Hur ser man på en graf vilket m-värde den har?

b) Hur påverkar k-värdet grafens utseende?  8 a) Vilka m-värden har graferna? b) Vilka av graferna har ett negativt k-värde? y 5

B

4

C

D

3

3 Priset är proportionellt mot vikten. Vad ska stå istället för a och b i värdetabellen?

2 1

A -5

-4

-3

-2

-1

Pris (kr)

Vikt (kg)

a)

3

-2

72

b)

-3

120

10

36  Kapitel 1 | Samband och förändring

-1

-4 -5

1

2

3

4

5

x

TRÄNA MERA  9 Para ihop funktionen med rätt graf.

1 y = x − 1

3 y = 2x + 2 B

A

16 Rita grafen till funktionen.

2 y = −x + 3

a) y = −x b) y = −x + 3 c) y = −x − 3

4 y = −x

y

17 Grafen till en funktion går genom punkterna enligt tabellen. Vilken formel har funktionen? a) b) x y x y

5 C

4

D

3

-5

-4

-3

-2

-1

2

0

1

1

1 2

-1

1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

3

−1 0

−3 −2

5

1

−1

1.4 Icke linjära funktioner 18 Beskriver följande uttryck en ökning eller minskning? a) 1,20 · 0,80 · 2 400

10 Rita graferna till funktionerna y = x + 3 och y = −2x + 3. 11 a) Hur ser man att två grafer har samma m-värde?

b) Hur ser man att två grafer har samma k-värde?

b) 1,02 · 1,02 · 2 400 c) 0,98 · 0,98 · 2 400 19 Beskriver följande uttryck en ökning eller minskning? a) 0,53 · 200 b) 1,52 · 200 c) 1,054 · 200 20 Beräkna värdet på y.  Avrunda till heltal.

1.3 Funktioner och digitala verktyg

a) y = 0,9x · 200 när x = 2

12 Grafen till en funktion går genom punkterna (0, 2) och (2, 3). I vilken punkt skär den x-axeln?

b) y = 1,04x · 200 när x = 3

13 Grafen till en funktion går genom punkterna (1, 2) och (4, 5). I vilken punkt skär den y-axeln? 14 Rita grafen till funktionen. a) y = x b) y = x + 1 c) y=x−1 15 Rita grafen till funktionen. a) y = 3x b) y = 3x + 2 c) y = 3x − 2

c) y = 1,20x · 200 när x = 4 21 Anne har 8 000 kr som hon sätter in på ett bankkonto, Hon får 3 % i ränta. Hur mycket finns på kontot om räntesatsen inte förändras efter a) 1 år b) 3 år c) 6 år 22 Ett företag hade några svåra år och aktierna gick ner med 5 % per år under 5 år. Vad var de värda efter dessa år om värdet från början var 350 kr/st?

Samband och förändring | Kapitel 1  37

TRÄNA MERA 23 Gör färdigt tabellen som beskriver hur ett lån på 100 000 kr ökade under 5 år med räntesatsen 3 %.

1.6 Ekvationssystem med algebraisk lösning 29 Lös ut x.

Lån (kr)

År

a) x + y = 12

100 000

0

103 000

1

b) 3x − 6y = 9 c) 2x − 4y = 18

2 3

30 Lös ut y.

4

a) x+y=5

5

b) x−y=3 c) 8x − 4y = 12

1.5 Ekvationssystem med grafisk lösning 24 Rita graferna till funktionerna y = x + 3 och y = −x + 5.

Lös ekvationssystemen och kontrollera lösningen. 31 a) x + y = 20

x=5

a) Vilka koordinater har skärningspunkten?

b) Sätt in koordinaterna i funktionerna och kontrollera att det är den gemensamma lösningen.

25 Lös ekvationssystemet grafiskt.

a) y = 2x − 4

y =x+2

y = 3x − 1 y = x +1 b)

26 Lös ekvationssystemet grafiskt.

a) y = 3x

4x − y = 1 y =x+2 y =x+2 b)

27 Differensen mellan två tal är 10. Summan av talen är 20. Vilka är de två talen? 28 I en hage går strutsar och zebror. De har 20 huvuden och 64 ben. Hur många djur finns det av varje sort?

38  Kapitel 1 | Samband och förändring

32 a) x + y = 14

y=5 33 a) x + y = 22

x+6 = y 34 a) x + y = 21

x = 5+y

b) x + y = 12

x = −3 x+y =3 x = −4 b)

x+y =8 2x − 4 = y b)

x + y = 16 x = 3y − 4 b)

TRÄNA MERA 1.7 Problemlösning 35 Carl och Anna har under ett sommarjobb tjänat 12 600 kr tillsammans. Anna har tjänat 3 gånger så mycket som Carl. Hur mycket har var och en tjänat? 36 Kvoten mellan två tal är 4. Det ena talet är 27 större än det andra. V   ilka är talen?

41 Summan av två tal är 3 650 och differensen är 1 246. Vilka är de två talen? 42 En rektangel och en liksidig triangel har samma omkrets. Triangelns sida är lika lång som rektangelns längsta sida. Hur långa är rektangelns sidor om rektangelns omkrets är 36 cm?

37 Ett tal är 4 gånger så stort som det andra. Summan av dem är 30.Vilka är talen? 38 Per och Anna hoppar tillsammans 5,40 m i längd­hopp. Anna hoppar 3 gånger längre än Per. a) Hur långt hoppar Per? b) Hur långt hoppar Anna? 39 En rektangels omkrets är 64 cm. Den ena sidan i rektangeln är tre gånger så lång som den andra. Hur stor är rektangelns area? 40 Inträdesbiljetten till akvariet för vuxna kostar 50 kr mer än för barn. För tre vuxna och två barn kostar det 550 kr. Vad kostade biljetterna per styck?

43 I ett koordinatsystem går en linje genom origo och punkten (2, 2). Vilken ekvation har den linje som går vinkelrätt mot den första linjen och genom samma punkt? 44 Biljetterna till en teaterföreställning kostade 120 kr för vuxna och 50 kr för barn. En kväll var det fullsatt med 300 personer och då tjänade de 27 600 kr. Hur många vuxna respektive barn var det?

Samband och förändring | Kapitel 1  39

FÖRDJUPNING

Mer om icke linjära funktioner I avsnitt 1.4 har du arbetat med funktioner som beskriver en upprepad procentuell förändring, t.ex. y = 1,02x · 20 000. Funktioner som har variabeln i exponenten kallas exponentialfunktioner. En andragradsfunktion, t.ex. y = x2 − 3, är ett exempel på en potensfunktion. I potensfunktioner finns variabeln i potensens bas. Exponenten är en konstant (ett tal). När vi ska rita grafen till en potensfunktion gör vi på samma sätt som tidigare. EXEMPEL

Rita grafen till funktionen y = −x2 + 5 i ett koordinatsystem. Lösning Rita sedan grafen i ett koordinatsystem.

Gör först en värdetabell.

y

y = −x2 + 5

x

y

4

2

−4

3

2

−(−3) + 5

−3

5

−2

−(−2) + 5

1

2

−1

2 −(−1) + 5

4

1

0

2 −0 + 5

5

1

2 −1 + 5

4

2

2 −2 + 5

1

3

2 −3 + 5

−4

-5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

1 Undersök funktionen y = −x2 + 2.

a) Skriv av och gör färdigt värdetabellen. x 2 − −1 0 1 2

y = −x2 + 2 2 −(−2) + 2

y

b) Rita grafen.

40  Kapitel 1 | Samband och förändring

2 Rita graferna till funktionerna i samma koordinatsystem.

a) y = x2 − 3

b) y = x2

c) y = x2 + 3

d) Vad händer när du ändrar talet efter x2-termen?

3 Rita graferna till funktionerna i samma koordinatsystem.

a) y = −x2 − 1

b) y = −2x2 − 1 c) y = −4x2 − 1

d) Vad händer när du ändrar talet framför x2-termen?

FÖRDJUPNING  4 Vilken betydelse har minustecknet framför x2-termen i en andragradsfunktion?  5 Möss har en snabb förökningstakt. De kan få en ny kull varje månad. Detta innebär en förökningstakt på 120 %. a) Gör en tabell över antalet möss per månad under ett år när du startar med två möss.

b) Rita en graf. c) Vilken typ av funktion är det?  6 Det var en gång en kung som fick syn på ett schackspelande par och ville köpa spelet. Ägaren till schackspelet sa då till kungen:

– Ja, om du ger mig så mycket ris enligt följande: Ett riskorn i ruta 1, två riskorn i ruta 2, fyra riskorn i ruta 3 och åtta riskorn i ruta 4 osv. Kungen tyckte detta lät billigt och godkände affären. Blev det billigt för kungen? Motivera.

7 Jordens befolkning var 7 miljarder 2011 och ökade till 7,3 miljarder 2014. a) Hur stor är den procentuella ökningen på tre år? b) Hur många människor kommer det att finnas 2110 om vi har samma procentuella ökning i framtiden?  8 En triangels area är 48 cm2 och en rektangels omkrets är 44 cm. De har samma bas och höjd. Vilken längd har basen och höjden?   9 Undersök funktionerna y = 0,5x och y = 2x.

10 Rita graferna till funktionerna y = x2 − 1 och y = 5 − x. I vilka koordinater skär graferna varandra? 11 Rita graferna till funktionerna y = x2 − 1 och y = −x2 + 7. I vilka koordinater skär graferna varandra? 12 En dator minskar i värde med 20 % varje år. a) Skriv funktionen som visar datorns värdeminskning om den kostar 14 000 kr från början?

b) Efter hur många år har datorns värde halverats?

13 Anders tjänar 35 000 kr i månaden.Vid ett tillfälle får han välja löneökning under 5 år.

A Höjning med 700 kr per år

B Höjning med 2 % per år

Vilket alternativ bör Anders välja? Motivera.

14 Rita grafen till funktionen y = 2x2 − 1. Vilka värden kan x ha när y = 17? 15 Para ihop funktionerna med graferna.

1 y = −x2 – 2

c) Vilka likheter och skillnader finns mellan graferna?

4 y = 0,25x + 2

3 y = x – 2

5 y = −0,25x + 2 y 10 B C 8 6

A

4 2

-10 -8

-6

-4

a) Gör en värdetabell med värden från −3 till 3. b) Rita graferna.

2 y = 0,25x – 2

2

-2

-2

2

4

6

8

10

x

-4

D

-6 -8 E

-10

Samband och förändring | Kapitel 1  41

BEGREPP

Storhet

Egenskap som kan mätas eller beräknas, t.ex. längd, höjd och temperatur.

Koordinatsystem

Ett system för att ange en punkts läge med hjälp av tal.

Koordinat

Ett av de tal som används för att ange en punkts läge i ett koordinatsystem, (x, y).

y 5 A = (3, 4)

4 3 2 B = (–3, 1)

1 (0,0)

-5

-4

-3

-2 -1

1

-1

2

3

4

5

x

-2 C = (–1,5; –2,5)

-3 -4 -5

Origo

Koordinatsystemets nollpunkt, (0, 0).

Kvadrant

Ett av de fyra områden som ett koordinatsystem med x- och y-axel delas in i.

y 5 4 3

2:a kvadranten

1:a kvadranten

2 1

-5

-4

-3

-2 -1

-1

1

2

3

4

5

x

-2 3:e kvadranten

4:e kvadranten

-3 -4 -5

Graf

Kurvan som bildas då punkter binds samman i ett koordinatsystem.

Skärningspunkt

Den punkt där två eller flera grafer korsar varandra.

y 5 4 3 2 1 -1 -1

42  Kapitel 1 | Samband och förändring

1 2 3 4 5

x

BEGREPP

Funktion

Beskriver sambandet mellan två storheter som är beroende av varandra, t.ex y = 2x.

Variabel

Är något som ändrar värde. I en funktion kan x ha olika värden som då ger olika y-värden.

Linjär funktion

Alla räta linjer kan skrivas enligt formeln: y = kx + m där k och m är variabler. m-värdet anger linjens skärningspunkt i y-axeln och k-värdet är riktningskoefficienten.

Icke linjär funktion

Alla funktioner där grafen innehåller en eller flera kurvor tillhör icke linjära funktioner.

Proportionalitet

y 700 600 500 400 300 200 100 0

5 4 3 2 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-5 -4 -3 -2 -1-1 -2 -3 -4 -5

1 2 3 4 5

x

Exponentialfunktion Potensfunktion

En funktion där grafen är en rät linje som går genom origo. Kvoten mellan storheterna är konstant. Graf A beskriver en proportionalitet.

y 5 4 Graf B

3

Graf A

2 1

-5

-4

-3

-2 -1

-1

1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

Värdetabell

Tabell över en funktions värden.

Ekvationssystem

Innehåller två eller flera ekvationer som ska gälla samtidigt. Man söker en gemensam lösning till ekvationerna.

y 4 3 2 1 -1 -1

1 2 3 4 5

x

Samband och förändring | Kapitel 1  43

SAMMANFATTNING

DU SKA KUNNA

EXEMPEL

LÖSNINGSFÖRSLAG

Rita och tolka grafer

Utgå från funktionen y = 2x + 1

a)

x −1 0 1

a)  Gör en värdetabell med x = −1, 0 och 1. b)  Rita en graf. c)  Använd grafen för att bestämma värdet för x = −2.

y = 2x + 1 2 · (−1) + 1 2·0+1 2·1+1

y −1 1 3

y 5

b)

4 3 2 1 x -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

-2 -3 -4 -5

c) x = −2 ⇒ y = −3

Räta linjens ekvation y = kx + m

1 steg på x-axeln ⇒ 3 steg på y-axeln ⇒ k = 3 Skärningspunkten med y-axeln är −2 ⇒ m = −2

Bestäm linjens ekvation. y 5 4

y = kx + m

3

k=3

2

m = −2

1 -5 -4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

4

5

x

⇒ y = 3x − 2

Linjens ekvation är y = 3x − 2.

-2 -3 -4 -5

Icke linjär funktion

Ulf har 30 000 kr som han sätter in på ett bankkonto. Han får 1 % i ränta. Hur mycket finns på kontot 10 år senare om räntesatsen inte förändras?

y = kapital förändringsfaktor = 1,01 x = antal år y = 1,01x · 30 000 y = 1,0110 · 30 000 ≈ 33 140 Det kommer finnas 33 140 kr på kontot.

44  Kapitel 1 | Samband och förändring

SAMMANFATTNING

DU SKA KUNNA

EXEMPEL

LÖSNINGSFÖRSLAG

Ekvations­ system – grafisk lösning

Lös ekvationssystemet grafiskt.

a)

y 5

a) Rita linjerna till ekvationerna.

4

b) I vilken punkt skär linjerna varandra?

3

y =x+2 y =4−x

2 1 -1

1

2

3

4

5

x

-1

b) (1, 3)

Ekvations­ system – algebraisk lösning

Lös ekvationssystemet. x+y =8 x − 3y = 0

Lös ut x i ekvation 1: x=8−y Sätt in 8 − y i ekvation 2: 8 − y − 3y = 0 ⇒ 8 = 4y ⇒ y=2 Sätt in y = 2 i ekvation 1: x+2=8⇒ x=6 Den gemensamma lösningen är x = 6 och y = 2.

Problem­ lösning

Summan av två tal är 108. Det ena talet är fem gånger större än det andra. Vilka är talen? Tänk på att: 1 läsa texten noga 2 sätta upp två olika samband utifrån texten 3 bestämma om en algebraisk eller grafisk lösningsmetod ska användas 4 lösa ekvationssystemet 5 kontrollera lösningen

Anta att tal 1 = x och tal 2 = y. x + y = 108 (1) x = 5y (2) Ersätt y med 5x i ekvation 1: x + 5x = 108 6x = 108 x = 18 y = 5 · 18 y = 90 Talen är 18 och 90.

Samband och förändring | Kapitel 1  45

KAPITEL 2

Algebra och ekvationer

46  Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

PROBLEMLÖSNING

P

BEGREPP

B

METOD M RESONEMANG R KOMMUNIKATION K

CENTRALT INNEHÅLL • Algebraiska uttryck • Metoder för att lösa ekvationer • Tal i potensform • Rimlighetsbedömning vid uppskattning och beräkning • Problemlösning

SIDORNA 70–73

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA I PROJEKT Minnesrunan Små steg mot mer jämställda löner Familjen Euler och deras hund

GRUPPUPPGIFT

Anta att x har samma positiva värde i alla uttrycken. a) Vilket uttryck har lägst värde? b) Vilket uttryck har högst värde? c) Hur stor är differensen mellan det högsta värdet och det lägsta värdet?

Motivera era svar. A

B

C

(x + 5)2

(x − 5)2

(x − 5)(x + 5)

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  47

GRUNDKURS

2.1 PARENTESUTTRYCK Multiplikation med parentesuttryck

Första kvadreringsregeln (a + b)2 = (a2 + 2ab + b2)

a(b + c) = (ab + ac)

Andra kvadreringsregeln 2

1

(a − b)2 = (a2 − 2ab + b2)

(a + b)(c + d) = (ac + ad + bc + bd) 3

Konjugatregeln

4

(a + b)(a − b) = a2 − b2

EXEMPEL 1

Förenkla uttrycket. (4 − b)(3 + b) Lösning: 4 · 3 + 4b − 3b − b2 2

12 + b − b

1 Utveckla uttrycket. 2 Förenkla.

Svar: b − b2 + 12 EXEMPEL 2

Förenkla uttrycket. (x + 3)2 − (x + 3)(x − 3) Lösning: (x2 + 6x + 9) − (x2 − 9) 1 Utveckla uttrycket. x2 + 6x + 9 − x2 + 9

2 Ta bort parenteser och ändra tecken om det behövs.

6x + 18

3 Förenkla.

Svar: 6x + 18

48  Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

GRUNDKURS   NIVÅ 1

NIVÅ 2

Utveckla uttrycken.

Utveckla uttrycken.

1 a) 2(x + 3) b) 5(2x + 3) c) 2x(3 − 4y)

6 a) (4 + x)(6 + x) b) (4 − x)(6 − x) c) (4 + x)(6 − x)

2 a) (x + 3)(x + 2) b) (x − 3)(x − 2) c) (x + 3)(x − 2)

7 a) (3x + y)2 b) (3x − y)2 c) (3x + y)(3x − y)

3 a) 2(x + 2) b) (x + 2)(x + 2) c) (x + 2)(x − 2)

8 a) (xy + 10)(xy − 10) b) (12 − x)(12 + x)

4 a) Skriv ett uttryck för figurens area. b) Använd uttrycket och beräkna arean om y = 7 m

(y – 3) (y + 3)

9 Para ihop ekvivalenta uttryck, dvs. uttryck som betyder samma sak.

1 (4 + x)2

A (42 − 8x + x2)

2 (4 + y)(4 − y)

B (42 + 8x + x2)

3 (4 − y)2

C (42 − y2)

10 Vad saknas i uttrycken för att likheten ska stämma? a) (2 +

5 Skriv ett uttryck för hela kvadratens a) omkrets b) area c) Beräkna arean om x = 2 m.

)(

− x) = 4 − x2

b) x2 + 2xy + y2 = (

+

c) (4 x)(4

− x2

x) =

)2

NIVÅ 3 Utveckla uttrycken. 11 a) (x − 2)2 b) (2x + 3y)2 c) (4a − 3b)2

4

12 a) (x + y)(x − y) b) (bx + 5)(bx − 5)

x x

4

13 a) 4(x − 1) + 2(x − 2)2 b) (2x − 4)2 − (x − 2)2 14 (3y2 + 4)(3y2 − 4) 15 (m + n)2 + (m − n)2 − 2(m + n)(m − n)

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  49

GRUNDKURS

2.2 FAKTORISERA UTTRYCK 5(2x + 4) = (10x + 20)

Faktorn 5 har multiplicerats in i uttrycket och likheten gäller.

(10x + 20) = 5(2x + 4)

Omvänt gäller också likheten. Man kan bryta ut faktorn 5 ur uttrycket. Detta är möjligt eftersom alla termer innehåller faktorn 5. Uttrycket har då delats upp i faktorer, uttrycket är faktoriserat.

EXEMPEL 1

Faktorisera uttrycken. a) 2a + 4 b) 6 + 3b c) 3x + 6xy + 3y

Lösning: a) 2a + 4 = (2 · a + 2 · 2) = 2(a + 2)

Faktorn 2 har brutits ut ur uttrycket.

b) 6 + 3b = (3 · 2 + 3 · b) = 3(2 + b)

Faktorn 3 har brutits ut ur uttrycket.

c) 3x + 6xy + 3y = (3 · x + 3 · 2xy + 3 · y) = = 3(x + 2xy + y)

Faktorn 3 har brutits ut ur uttrycket.

EXEMPEL 2

x + 4x + 4

I uttrycket finns ingen gemensam faktor i termerna som kan brytas ut.

Lösning:

Dock känns uttrycket igen som ett resultat av en utveckling av ett uttryck i kvadrat.

x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2) = (x + 2)2

1 Första talet i kvadrat ⇒ x2

Faktorisera med hjälp av kvadreringsreglerna. 2

2 Dubbla produkten ⇒ 4x 3 Sista talet i kvadrat ⇒ 4

Uttrycket har delats upp i faktorer med hjälp av första kvadreringsregeln.

50  Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

GRUNDKURS

GRUPPUPPGIFT

Vilka algebraiska uttryck representeras av bilden?

x 2

x 2

x 2

x 2

x 2

x 2

x 2

x 2

x 2

x 2

x x x

1

NIVÅ 1

25 Längden på telefonens sidor kan uttryckas som (2x + 1) cm och x cm.

Faktorisera uttrycken. 16 a) 6b + 6

b) 6 + 3b

c) 2b − 6

17 a) 6a + 12

b) 3a + 3b

c) 4x + 8y

18 a) 12a + 4b b) 9a + 18b c) 8x + xy 19 a) 49x + 7y b) 56a − 7b c) 15x + 10y 20 a) 4a − 8b

b) 64x + 8y c) 25 + 5xy

NIVÅ 2

a) Skriv ett uttryck för omkretsen. b) Förenkla uttrycket. c) Beräkna omkretsen då x = 5 cm. 26 Para ihop uttrycken som hör ihop.

1 10x + 2y – 4

A 2(10 + 5y − 10x)

2 20 + 10y − 20x

B 2x(x + y – 2)

3 20x + 10y − 20

C 2(5x + y − 2)

2

D 10(2x + y − 2)

4 2x + 2xy − 4x

NIVÅ 3

Faktorisera uttrycken. 21 a) 2x − 4y + 6

b) 3x + 6xy + 3y

22 a) 32x + 4xy b) 6xy + 15x 2

2

23 a) x − 9 b) 16 − x 2

24 a) x − 14x + 49

b) 4x − 8xy + 2

Använd kvadreringsreglerna för att faktorisera uttrycken. 27 a) a 2 + 10a + 25 b) 9 + 6x + x 2 28 a) x 2 + 2x + 1

b) c 2 + 6c + 9

29 a) a 2 − 2ac + c2

b) x 2 − 2x + 1

30 a) y 2 − 81

b) 49x 2 – 36

31 a) y(y + 12) − y(4 + 3) b) y(y + 4) − 4(y + 4) Algebra och ekvationer | Kapitel 2  51

GRUNDKURS

2.3 ALGEBRAISKA UTTRYCK MED NÄMNARE Vid förenkling av uttryck ska uttrycken alltid förenklas så långt som möjligt. EXEMPEL 1

EXEMPEL 2

Förenkla uttrycket.

Förenkla uttrycket.

a 3 a ⋅ a ⋅ a a = =a = a2 a ⋅ a 1

3x 3 ⋅ x 1 1 = = = 3 12x 3 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ x 4 ⋅ x 4 x

Förkorta med a · a i täljare och nämnare.

Förkorta med 3 · x i täljare och nämnare.

För att kunna förkorta uttryck krävs gemensamma faktorer i täljare och nämnare. Ibland behöver man faktorisera uttrycken innan förkortning. EXEMPEL 3

EXEMPEL 4

Förenkla uttrycket.

Förenkla uttrycket.

5x + 20 5 ( x + 4 ) ( x + 4 ) = = = x+4 5 5 1

x 2 + 6x + 9 ( x + 3) ( x + 3) ( x + 3) = = ( x + 3) ( x − 3) ( x − 3) x2 − 9

Bryt först ut faktorn 5 i täljaren. Förkorta därefter med 5 i täljare och nämnare.

Faktorisera uttrycken i täljaren och nämnaren med hjälp av kvadreringsreglerna. Förkorta därefter med (x + 3).

GRUPPUPPGIFT

Gabi har fått tag på brorsans gymnasiebok i matematik. En uppgift lyder: Bevisa att y − x y = −1 x x Hur ska man tänka här?

52  Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

GRUNDKURS NIVÅ 1 Förenkla uttrycken. a5 a2 32 a) 3 b) a a 33 a)

c)

4a a

4x 2x 6x 4 b) c) x3 8x 2 6x 3

34 Bryt ut faktorn 3 ur uttrycken och förkorta. 6 6b 6b a) b) c) 3 3 3b 35 Vilka olika faktorer kan brytas ut ur uttrycket? 12 12b 12b a) b) c) 4 4 4b 36 Vilket av uttrycken kan inte förenklas? 6a 5a 4a A B C 2 2 2

NIVÅ 2 37 Emma är inte nöjd med sin lösning. Ge henne ett par tips hur hon skulle kunna förbättra den.

Uppgift: Förenkla uttrycket: Lösning:

20y 2 x 2 + 12xy 2 4 xy 2 + 6y 2

2 ⋅ 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ y ( 5x + 3) ⇒ 2 ⋅ y ⋅ y ( 2x + 3)

Svar:

( 5x + 3) ( 2x + 3)

32a 16a 2

6x 2 + 9x 6a + 3 9x + 36 b) c) 2 3x 3 9

40 a)

12a − a 2 ab − b 2 b) 3a a − b

41 a)

8x 2 − 32x 16x − 32 6x 2 + 9x b) c) 8xy + 8 3x 2 + 6x 16x + 4

c)

9xz 3 y 2 3y

NIVÅ 3 Förenkla uttrycken. x2 ⋅ a ⋅ y ⋅ a ⋅ b x 3a 2 yab x 3a 2 yab 42 a) 2 b) 2 2 c) y ⋅x ⋅x ⋅a yx a yxa 3 43 a)

77 + 77 + 77 + 77 + 77 77 + 77

b)

77b + 77b + 77b + 77b 77b + 77b

100xa 2 y 2 + 150xa 2 y 2 25x 2 y 2 − 15xy 2 44 a) b) 50xa 2 y 2 + 30a 2 y 2 5xy 2 − 3y 2 45 Använd kvadreringsreglerna eller konjugatregeln och faktorisera uttrycken. a) a2 + 8a + 16

b) 50x2 − 500x + 1250

2 ⋅ 2 ⋅ 5y ⋅ y ⋅ x ⋅ x + 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ x ⋅ y ⋅ y ⇒ 2 ⋅ 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ y + 2 ⋅ 3 ⋅ y ⋅ y

2 ⋅ y ⋅ y ( 2x + 3)

c)

39 a)

20y 2 x 2 + 12xy 2 ⇒ 4 xy 2 + 6y 2

2 ⋅ 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ y ( 5x + 3)

Förenkla uttrycken. 4a 4a 2 38 a) b) 16a 2 16a 2

( 5x + 3) = ( 2x + 3)

c) 25y4 − 144

Förenkla uttrycken. ( y + 3)2 ( x − 9 )2 46 a) b) ( y + 3) ( y − 3) ( x + 9 ) ( x − 9 )

(x

47 a)

48

(a

2

+ 7x )

( x − 49) 2

b)

(x

2

− 81)

( x − 9 )2

( 3a + 3b ) ( a + 2b ) 2

− 4b 2 ) ( a 2 + 2ab + b 2 ) Algebra och ekvationer | Kapitel 2  53

GRUNDKURS

2.4 EKVATIONER MED NÄMNARE Ekvationer med nämnare löser man enklast genom att se till att alla termer innehåller samma nämnare. Det gör man genom förlängning eller förkortning. Då kan alla nämnare strykas. EXEMPEL 1

Lös ekvationen

x = 30 4

Lösning: x 30 x = 30 ⇒ = 4 4 1 1

x 30 ⋅ 4 = 4 1⋅ 4

1 Se till att alla termer har gemensam nämnare. I detta fall 4.

2

x 120 = 4 4

2 Stryk nämnarna i alla termer.

3

x = 120

3 Lös ekvationen.

4

120 = 30 4

EXEMPEL 2

Lös ekvationen

4 Kontrollera din lösning.

y y =3+ 2 3

Lösning: y y y y 3 ⇒ + =3+ = 2 3 2 3 1 1 2

y ⋅3 3⋅6 y ⋅2 = + 2 ⋅ 3 1⋅ 6 3 ⋅ 2 3y 18 2y = + 6 6 6

3 3y = 18 + 2y

4

1 Se till att alla termer har gemensam nämnare. I detta fall 6. 2 Stryk nämnarna i alla termer. 3 Lös ekvationen.

y = 18 18 18 =3+ 2 3 9=3+6

54  Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

4 Kontrollera din lösning.

GRUNDKURS

EXEMPEL 3

Vinkelsumman i en triangel är 180°.Vinkel a är en tredjedel så stor som vinkel b. Vinkel c är en rät vinkel. Hur stora är vinklarna a och b?

b

Lösning:

x 3 Vinkel b = x Vinkel a =

c

a

Vinkel c = 90° x + x + 90 = 180 3

x + x + 90 − 90 = 180 − 90 3 x + x = 90 3 x x 90 + = 3 1 1 x x ⋅3 90 ⋅ 3 + = 3 1⋅ 3 1 ⋅ 3 x 3x 270 + = 3 3 3 x + 3x = 270

x 67,5 ⇒ = 22,5° 3 3 Vinkel b = x ⇒ 67,5°

Vinkel a =

4x = 270

Vinkel c = 90°

x = 67,5

Svar:  Vinkel a är 22,5° och vinkel b är 67,5°.

NIVÅ 1 49 Vilken är minsta gemensamma nämnaren i ekvationerna? x 1 2x 2 1 3x a) = b) = c) = 3 2 5 10 4 2

Förläng till gemensam nämnare och lös ekvationerna. x x 50 a) = 15 b) = 20 3 4 51 a)

y 1 = 2 4

b)

y 1 = 3 4

52 a)

m =3 6

b) 4 =

53 a)

4y 2 = 3 5

b)

x 3

2 y = 3 6

54 Vinkelsumman i en triangel är 180°. Vinkel a är en femtedel så stor som vinkel b. Vinkel c är 60°. Hur stora är vinklarna? Lös uppgiften med hjälp av en ekvation.

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  55

GRUNDKURS NIVÅ 2

NIVÅ 3

Förläng till gemensam nämnare och lös ekvationerna.

62 Vilken är minsta gemensamma nämnaren i ekvationerna?

4 3 1 1 7 a) + 1 = b) − = y y x 4 2x

55 a)

12 + 2a = 10 3

56 a)

6x 8x 48 6x 48 8x + b) = = − 3 6 6 4 8 8

57 a)

x 3y 2 2x 1 + = 6y b) + = 4 2 6 3 3

58

b)

6 + a = 20 5

Fem snabba om ekvationer med nämnare.

Ja

Nej

a) Ekvationer med nämnare har alltid samma nämnare. b) Efter det att alla termer har samma nämnare kan de strykas.

Förläng till gemensam nämnare och lös ekvationerna. 63 a)

x x + = 20 2 3

64 a)

x + 1 3x + 5 20 + = 2x 2x 2x

b)

2x + 8 2x − 2 + =4 4 6

b)

2y −3=9 9

x x 30 c) = 10 ⇒ = 3 3 3

x −1 =x 3 x 4x − 9 b) 2x − 3 + = 3 3

d) I alla ekvationer som har nämnare kan man stryka nämnaren.

66 Johanna vann på lotteri. För

6 + 2a e) är ett exempel på 5 en ekvation

59 Om du adderar en tredjedel av ett tal med en femtedel av samma tal får du summan 48. Vilket är talet? 60 I en triangel är vinkel a en fjärdedel så stor som vinkel b.Vinkel c är 50°. Hur stora är vinklarna a och b? Lös uppgiften med hjälp av en ekvation. 61 Om en tredjedel av ett tal adderas med hälften av samma tal får man summan 30. Vilket är talet?

56  Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

65 a) 1 −

3 av vinsten 5 köpte hon en ny dator. Hälften av det som var kvar skänkte hon till välgörande ändamål. Efteråt hade hon 1 920 Euro kvar. Hur stor var vinsten? 1 av eleverna mest intresserade av 6 1 1 naturvetenskap, av idrott, av engelska 4 12 medan resten, 24 elever, tycker mest om tyska.

67 I åk 9 är

Hur många elever går det i årskursen? 68 Summan av två tal är 30. Om man adderar en tredjedel av det större talet med en fjärdedel av det mindre talet blir summan 9. Vilka är talen?

GRUNDKURS

2.5 EKVATIONER MED PARENTESER För att lösa ekvationer med parenteser är det bra att följa ordningen nedan. 1 Multiplicera in i parentes. 2 Ta bort parenteser och ändra tecken om det behövs. 3 Samla ihop termer. 4 Samla variabeltermer på en sida (enklast på den sida där det finns flest). 5 Lös som vanlig ekvation. EXEMPEL 1

Lös ekvationerna. a) 3x + 3(2x + 3) = 27

b) (3x + 1)(2x + 3) − 3(x + 2x2) = 211

1 3x + (6x + 9) = 27

1 (6x2 + 9x + 2x + 3) − (3x + 6x2) = 21

2 3x + 6x + 9 = 27

2

3

9x + 9 = 27 4 9x = 18 18 5 x= 9 x = 2

6x2 + 9x + 2x + 3 − 3x − 6x2 = 21 3 8x + 3 = 21 4 8x = 18 18 5 x= 8 x = 2,25

EXEMPEL 2

Hur mycket koncentrerad saft ska blandas med två liter 11-procentig färdigblandad saft för att den nya saften ska bli 20-procentig? Anta att ny mängd koncentrerad saft = x. Koncentrerad saft i blandningen: 11 % av 2 l ⇒ 0,11 · 2 = 0,22 l Total mängd koncentrerad saft: (x + 0,22) l Ny total mängd blandad saft: (2 + x) l x + 0,22 = 0,20 2 + x x + 0,22 0,20 ( 2 + x ) = 2 + x 2 + x x + 0,22 = 0,20(2 + x) x + 0,22 = 0,40 + 0,20x x − 0,20x = 0,40 − 0,22 0,80x = 0,18 Svar: Det behövs 0,225 l koncentrerad saft. x = 0,225 Ekvation:

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  57

GRUNDKURS

GRUPPUPPGIFT

Arbeta i par. Påbörja varsin uppgift. Lös det första steget och byt därefter uppgift. Möjligtvis behöver du korrigera något innan du går vidare med lösningen. När båda uppgifterna är lösta värderar ni lösningarna och kommer överens om möjliga utvecklingar. En ny runda påbörjas där de förfinade metoderna tillämpas. Lycka till! Runda

Ekvation 1

Ekvation 2

1

10x + 3(2x + 3) = 139

3(2x + 3) + 2(5x + 4) = 169

2

(3x + 4)(3x + 4) = 9x2 + 155,2

3(x + y) − 3(x − y) = 18

3

(x − 3)(5 − 2x) − (x + 3)(1 − 2x) = 14

(x +3)(x −1) = (x + 4)(x − 3)

Tid

NIVÅ 1 Lös ekvationerna. 69 a) 2(x − 1) = 3(x − 2) b) 4(x − 1) = 5(x − 2) 70 a) 7y + 4 = 5(y + 6) b) 7(y − 4) = 5(y + 6) 71 a) 4(x + 3) + 3(x − 3) = 24 b) 4(x + 3) = 24 − 3(x − 3) 72 Lös ekvationerna och ta reda på vilket lösningsförslag som är rätt. a) 3(x − 6) = 2(x + 8)

x = 34

x = 22

b) y + 4 = 9y − (y + 10)

y=4

y=2

58  Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

73 Hanna har x kr. Lova har dubbelt så mycket som Hanna.Vilma har 3 kr mer än Hanna. Tillsammans har de 300 kr. Vilken ekvation beskriver händelsen?

A x + 2x + x + 3 = 300

B x(2 + 3) = 300

C x + 2(x + x + 3) = 300

GRUNDKURS NIVÅ 2

NIVÅ 3

Lös ekvationerna.

Lös ekvationerna.

74 a) 6x − 5 = 4(2x − 1)

79 a) (y + 2)(y − 5) + 10y = (y + 6)(y − 2)

b)

75 a)

1 (3y + 12) = 6 3 1 1 (3y − 12) = (6y −18) 3 3

1 1 b) (8y − 24) = (4y −12) 4 4 76 Till en föreställning kostade vuxenbiljetter 50 kr mer än barnbiljetter. En gång kom det 150 vuxna och 305 barn. Det såldes biljetter för 34 800 kr. Vad kostade en vuxen respektive en barnbiljett?

b) (x + 3)(x − 4) + 5x = (x + 6)(x + 2)

80 a) 9(x + 1)(x − 1) + 7(x + 1)2 = (4x − 3)2 − 30

b) −3(x + 1)(x −1) + 5(x − 1)2 + x = 2(x − 3)2

81 Standardmjölk har fetthalten 3 % och lättmjölk har fetthalten 0,5 %. Hur mycket vatten ska blandas med 1 l standardmjölk för att det ska bli lättmjölk?

77 Det är 95 personer som har betalat entré till en utställning. Biljetterna kostar 80 kr/st. Efter utställningen fanns 88 sedlar i kassan. De var av valörerna 20 kr och 100 kr. Hur många av sedlarna var 20 kr-sedlar? 78 Till en konsert med “The Mondos” såldes 289 biljetter för 17 895 kr. En vuxenbiljett kostade 75 kr medan en barnbiljett kostade 45 kr. Hur många vuxenbiljetter såldes?

82 En kemist smälte samman en blandning bestående av 125 g kopparlegering (65 % Cu), 45 g ren zink (Zn) och 30 g ren koppar (Cu). Hur många procent koppar kommer legeringen innehålla? Avrunda till tiondels procent. 83 Hur mycket vatten ska tas bort från en 15-procentig sockerlösning som väger 5 kg för att sockerhalten ska stiga till 25 %? Algebra och ekvationer | Kapitel 2  59

GRUNDKURS

2.6 EKVATIONER MED FÖRHÅLLANDE Proportion beskriver ett förhållande mellan två eller flera storheter. Förhållandet uttrycks ofta som ett bråk. Till exempel anges förhållandet mellan talen 4 och 1 som 4:1 (uttalas fyra till ett) Om storheterna är av samma slag måste de vara samma enhet. Förhållandet ges alltid med heltal i förenklad form. Sträckor

Förhållande

Förenklad form

20 m och 4 m

20:4

5:1

20 m och 4 dm

200:4

50:1

40 dm och 30 dm

40:30

4:3

EXEMPEL 1

Mohammed och Alvin arbetade med att måla staket. Mohammed arbetade 8 h medan Alvin arbetade 4 h. Hur ska de fördela lönen så att den står i proportion till det pojkarna arbetat? Lösning:

8 4 : ⇒ 2:1 4 4 Svar: Arbetstiden för håller sig som 2:1. Mohamed ska ha dubbelt så mycket betalt som Alvin. Mohammeds arbetstid förhåller sig till Alvins arbetstid som ⇒ 8:4 ⇒

EXEMPEL 2

Längden av två rep förhåller sig som 1:2. Tillsammans är repen 36 m. Hur långa är repen var för sig? Lösning: Anta att det kortare repets längd = x m. Det längre repets längd = 2x m. Förhållandet: 1x:2x Ekvation för sammanlagda längden:

1x

1x + 2x = 36 3x = 36 m x = 12 m 2x ⇒ 2 · 12 = 24 m Svar: Det kortare repet är 12 m och det längre är 24 m.

60  Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

2x 36 m

GRUNDKURS

GRUPPUPPGIFT

Vid en utgrävning hittas delar av ett dinosaurie­skelett. Längden av fotavtrycket var 40 cm, lårbenets längd var 100 cm och dinosauriens längd är 7 m. En bit längre bort hittas ett nytt fot­ avtryck, med längden 30 cm, som troligen kommer från samma art.

92 I färdigblandad saft är förhållandet mellan mängden koncentrerad saft och vatten 1:9. Hur mycket koncentrerad saft ska man ta för att få 3,5 l färdigblandad saft? 93 Erna och hennes kusin tippade på hästar. Deras insatser förhåller sig som 3:5. Hur ska vinsten på 16 000 kr fördelas?

Hur lång var den dinosaurien?

NIVÅ 1 84 Vilket är förhållandet mellan

a) 50 m och 2 m

b) 28 dl och 7 dl

85 Vilket är förhållandet mellan

a) 3,5 m och 7 m

b) 90 dm och 9 dm

86 Längden av två rep förhåller sig som 1:4. Tillsammans är repen 25 m. Hur långa är repen var för sig? 87 Vinklarna i en triangel förhåller sig som 1:2:3. Hur stora är triangelns vinklar? 88 I en salladsdressing är förhållandet mellan olja och vinäger 3:1. Du ska blanda 2 dl dressing. Hur mycket vinäger behöver du?

NIVÅ 2 89 Vilket är förhållandet mellan

a) 40 m och 7 dm

b) 2 km och 300 m

90 Vilket är förhållandet mellan a) 200 mm och 5 m b) 30 km och 50 mil 91 Sidorna i en rektangel förhåller sig som 3:7. Rektangelns omkrets är 240 cm. Hur stor är arean?

NIVÅ 3 Vilket är förhållandet mellan 94 a) 20 m2 och 0,3 m2 b) 50 m2 och 300 dm2 95 Hugo har 8 gånger så många 20 kr-sedlar som 100 kr-sedlar i spargrisen. Totalt har han sparat 2 600 kr. Hur många sedlar har han av varje valör? 96 Två tal förhåller sig som 5:7. Talens summa är 108. Hur stor är talens differens? 97 Vinklarna i en triangel förhåller sig som 10:14:21. Hur stora är triangelns vinklar? 98 Två tal förhåller sig som 2:3. Om båda talen ökas med 3, förhåller sig de nya talen som 5:7. Vilka är de ursprungliga talen? 99 På en skola går det 1 200 elever. Förhållandet mellan antalet lärare och elever är 1:25. Hur många lärare behöver anställas för att förhållandet ska vara 1:20? Algebra och ekvationer | Kapitel 2  61

GRUNDKURS

2.7 OLIKHETER En olikhet består av två algebraiska uttryck där det ena uttrycket är större eller mindre än det andra. Olikheter löser man på samma sätt som ekvationer. Om man gör en division eller multiplikation med negativa tal i uttrycket måste man komma ihåg att vända olikhetstecknet. En olikhet innehåller tecknen > eller <. Dessa ska behandlas på samma sätt som = i ekvationer. EXEMPEL

Tahir och Adam jobbar på varsin Kibbutz där de plockar apelsiner. De får betalt enligt två olika betalningsmodeller. Tahir: 1,2 Euro per korg. Adam: 40 Euro per dag samt 0,4 Euro per korg. Om vi förutsätter att de plockar lika många korgar. Hur många korgar ska de plocka på en dag för att Tahir ska tjäna mer än Adam?

Ekvationslösning med olikhet x = antal plockade korgar. Tahirs dagslön: 1,2 · x Adams dagslön: 0,4 · x + 40

Ekvationssystem med grafisk lösning 1,2x 0,4 x + 40 Lön (Euro)

1,2x > 0,4x + 40 1,2x − 0,4x > 40 0,8x > 40 40 x> 0,8 x > 50

50

Adam

Tahir

50

Svar: Om de plockar mer än 50 korgar per dag kommer Tahir att tjäna mer.

62  Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

100

Antal korgar

GRUNDKURS NIVÅ 2

GRUPPUPPGIFT

Nu får vi ta hjälp av alla matematiska hjälpmedel och allt ert matematiska kunnande för att sätta tänderna i en tung utmaning. Under vilka förutsättningar, eller i vilket intervall, gäller olikheten?

Lös olikheterna. 105 a) x + 5 > 2x + 1 b) 4x − 1 > 7x + 2 106 a) 6x + 3 > 5 − 2x b) 5 + 3x < 6 + 4x 107 Para ihop siffran med rätt bokstav.

x2 − 4x + 5 < x + 1

Använd gärna digitala verktyg vid lösning av uppgifterna.

NIVÅ 1 Lös olikheterna. 100 a) x − 7 < 5

1 Värden mellan 20 och 40

A x < 0, x > 20

2 Värden under 0 och över 20

B 20 < x < 40

3 Värden under 20 och över 40

C 0 < x < 40

4 Värden under 40 och över 0

D x < 20, x > 40

5 Värden över 40 och under 0

E 0 > x, x > 40

b) x + 2 > 5 108 Använd bilden. För vilka x-värden gäller att

101 a) 3x − 7 > 5

b) 6x + 5 > 41

102 a) 5x − 2 < 8

b) 7x + 16 + 2x > 61

a) 7 − 0,5x > x − 5 b) 7 − 0,5x < x − 5 c) 7 − 0,5x = x − 5 y

103

Fem snabba om olikheter.

Ja

Nej

a) Tecknet > betyder större än.

5

b) Tecknet > betyder mindre än. c) 5 > 10 d) 5 < 10 e) 5x − 2 < 8 är exempel på en olikhet.

104 Elis betalar 420 kr i månaden för sitt träningskort. Han vill inte att varje träningstillfälle ska kosta mer än 20 kr. Hur många gånger per månad måste han då träna?

5

10

x

109 Miriam och Olivia ska spara pengar för att åka på scoutläger. Miriams plan är att spara sin veckopeng, 200 kr, i 8 veckor. Olivia ska jobba extra. Hon får då 80 kr/h. Hur många timmar måste Olivia jobba för att hon ska tjäna mest? a) Lös uppgiften med hjälp av ett ekvationssystem med grafisk lösning. b) Lös uppgiften med olikhet. Algebra och ekvationer | Kapitel 2  63

GRUNDKURS NIVÅ 3 Lös olikheterna. 110 a) 2x − 3 > 0,25x + 4 b) 8x − 5 > 3x + 50,5

3x − 10 < 140 5 1 1 b) 2x + > x + 31,7 5 4 111 a)

112 Du blir erbjuden ett jobb som försäljare. Innan du tackar ja ska ni komma överens om lönen. Du blir erbjuden lön enligt två olika modeller.

Modell 1: 3 000 kr per vecka

Modell 2: 1 500 kr + 5 % av det du säljer

Hur mycket ska du sälja för per vecka för att modell 2 ska löna sig? Lös uppgiften med hjälp av ett ekvationssystem med grafisk lösning.

64  Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

113 Du blir erbjuden ett jobb som pärldykare. Innan du tackar ja ska ni komma överens om lönen. Du blir erbjuden lön enligt två olika modeller.

Modell 1: 4 000 kr per vecka

Modell 2: 1 800 kr + 50 kr per pärla

Hur många pärlor ska du hitta per vecka för att modell 2 ska löna sig? Lös uppgiften med olikhet.

114 I staden Mondo city fanns det 65 000 invånare år 2017.Varje år stiger invånarantalet med 700 personer. I Mondorås är invånar­ antalet konstant på 74 000. a) Hur många år är invånarantalet störst i Mondorås? b) Vilket år har Mondo city flest invånare?

GRUNDKURS

2.8 KVADRATRÖTTER På ett schackbräde finns det 64 små rutor. 8 · 8 = 64 ⇒ Det finns 8 rutor på varje sida av brädet. För att beräkna antalet rutor på varje sida av brädet kan man istället ”dra roten ur 64”. Det innebär att hitta ett tal som multiplicerat med sig själv är 64. Matematiskt uttrycker vi detta enligt följande: 8⋅8 = 8

64 =

Med hjälp av miniräknaren beräknas lätt roten ur ett tal. . Skriv först in ett tal och tryck därefter Ofta ges du svaret med många decimaler och behöver då avrunda ditt svar. Ett alternativt sätt att svara för att slippa avrundningen är att inte utföra beräkningen, utan att låta svaret innehålla rottecknet. Då är svaret i exakt form, t.ex. 12 . EXEMPEL 1

Beräkna

25 ·

EXEMPEL 2

4

Beräkna

Lösning 1: 25 ·

Lösning 1:

4 = 5 · 2 = 10

81 9 = =3 9 3

Lösning 2: 25 ·

4 =

25 ⋅ 4 =

81 9

100 = 10

Lösning 2: 81 = 9

81 = 9 =3 9

Räkneregler a⋅ a =a

EXEMPEL 3

Beräkna

16 +

25 −

9

a = b

Lösning: 16 +

a ⋅ b = ab

25 −

a b

9 =4+5−3=6

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  65

GRUNDKURS NIVÅ 1

122 Beräkna

115 Hur många rutor är sidorna på ett kvadratiskt bräde om det har

a)

a) 16 rutor

b) 36 rutor

c) 144 rutor

d) 100 rutor

b)

9

117 Använd miniräknare för att beräkna. Avrunda till en decimal.

NIVÅ 3

a) 134

Beräkna

b)

85

300

c)

125 a)

118 Ordna talen efter storlek. Börja med det minsta.

119 En kvadrat har omkretsen 56 cm. Hur stor är kvadratens area?

NIVÅ 2 120 Vilka av följande tal har heltalslösningar?

1    9    92    8    121

Fem snabba om kvadratrötter a)

10 = 100

b)

100 ⋅ 9 = 75

c)

8 ·

d)

81 = 92

e)

1 =1

8 =8

66  Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

Ja

0,01 +

1

6,25 ⋅ 100 10 2

b)

0,25 ·

b)

1 900

b)

0,81 12

400

126 Beräkna och svara i exakt form. 25 b) a) ( 5,25 )2 2

16   144  42   6   36

121

4

124 Beräkna 100 a) 4

81

c)

10 000 b)

123 Beräkna och svara i exakt form. a) 100 ·

116 Beräkna

144 a)

8100 +

Nej

127 Beräkna och svara i exakt form.

a) (5 4 )2

b) 5( 4 )2

128 Ett kvadratiskt skogsområde har arean 10 000 m2. Hur stor stor omkrets har området? 129 De två kaninerna Lakrits och Vanilj ska få en ny bur. Buren ska ha en rektangulär botten där den ena sidan är dubbelt så lång som den andra. Arean av bottenytan skall vara 1 m2. Vilka mått ska buren ha?

GRUNDKURS

2.9 ANDRAGRADSEKVATIONER En ekvation som innehåller obekanta av typen x kallas för en förstagradsekvation. En ekvation som innehåller obekanta av typen x2 är en andragradsekvation. För att lösa en andragradsekvation används rottecknet. EXEMPEL 1

EXEMPEL 2 2

Lös ekvationen x = 100.

Lös ekvationen 5x2 − 17 = 73.

Lösning:

Lösning:

2

5x2 − 17 = 73

x = 100 2

x = 100 x = ± 100

5x2 = 90

x = ±10

x = 45 x = ± 45 ≈ ±6,7

x2 = 45 2

Det finns två tal som multiplicerat med sig själv är 100, 10 · 10 = 100 och −10 · −10 = 100. 100 kan alltså vara 10 eller −10.

NIVÅ 1 130 Vilken är lösningen till ekvationen x2 = 144?

A 12   B  12 och −12

C −12

136 Ett positivt heltal är fyra gånger så stort som ett annat. Produkten av talen är 484.Vilka är talen? 137 Om hälften av ett tal multipliceras med talets tredjedel blir produkten 54.  Vilket är talet?

Lös ekvationerna. 131 a) x2 = 9

b) x2 = 121 c) 2x2 = 144

132 a) x2 + 4 = 40 2

2

b) x2 − 1,7 = 1,9 2

2

133 a) x + 2x = 243 b) 7x − 2x = 125

NIVÅ 2

NIVÅ 3 Lös ekvationerna. 138 a) 5(2x − 4)2 = 125

b) 4(x − 3)2 = 256

139 a) 4x(x + 3) = 4x2 + 36 b) 5x2 + 60 = 5x(x + 3) 140 Två positiva heltal förhåller sig som 3:4. Produkten av talen är 108.  Vilka är talen?

Lös ekvationerna. 134 a) x(4 − x) = 0

b) (x − 2)(x −7) = 0

135 a) (x − 5)2 = 121

b) (x + 7)2 = 100

141 En rektangulär altan har arean 49 m2. Förhållandet mellan sidornas längd är 4:1. Hur stor är altanens omkrets? Algebra och ekvationer | Kapitel 2  67

KAPITELDIAGNOS A NIVÅ 1–2 A1 Utveckla uttrycken. a) 5(2x + 3)

b) (a + 5)(a − 3)

A2 Faktorisera uttrycken. a) (10 + 8x)

b) (12y − 8)

A3 Förkorta uttrycken. 3x 2 15x 3 a) b) 6x 10x 2 A4 Förläng till gemensam nämnare och lös ekvationerna. 3y 4 y 7 x 5x a) + = 17 b) − = 22 2 3 4 6 A5 Lös ekvationerna. a) 3(2 + x) = 4(x − 5) b) 2(2x + 3) = 3(3x − 3)

68  Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

A6 Två skolgårdar förhåller sig som 2:5. Den minsta skolgården är 400 m2. Hur stor är den andra? A7 Lös olikheterna. a) 3x + 4 > 20 − 5x

b) 20 + 8x < 4x + 46

A8 Beräkna a) 9 ·

4

b)

25 5

A9 Arean av en kvadrat är 81 cm2. Hur stor är omkretsen? A10 Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna A1–A9.

KAPITELDIAGNOS B NIVÅ 2–3

B8 Beräkna.

B1 Utveckla uttrycken.

a) (4y − 5x)2 − xy

b) (5 + 2x)(5 − 2x) + 2x2

B2 Faktorisera uttrycken. a) 36c2 − 81

b) (3x + xy − x2)

B3 Förkorta uttrycken.

a)

12 ⋅ 3

b)

20 5

B9 När en fjärdedel av ett tal multipliceras med en femtedel av samma tal blir produkten 5. Vilket är talet? B10 Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna B1–B9.

24 x 2 y 4 + 8x 3 y 3 a) 8xy 2

b)

18ab 4 c 3 12ab 3

B4 Förläng till gemensam nämnare och lös ekvationerna. a)

6y −8=4 24

b)

4x 3 2x + = 5+ 3 2 3

B5 Lös ekvationerna. a) 4(x + 2)(x − 2) = (2x + 3)2 − 31 b) (4 − 3x)2 = (3x − 4)(3x + 4) B6 Ella och hennes bror tippade på travet. Deras insatser förhåller sig som 2:5. Hur ska de fördela vinsten på 28 000 kr? B7 Lös olikheterna. a) 12 − 4x < 2x – 66 b) 3x − 12 + x > −2x − 18

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  69

Tillämpa förmågorna

TILLÄMPA KAPITEL 2 FÖRMÅGORNA 2

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA

Här följer tre större uppgifter där ni under arbetets gång övar alla förmågorna i matematik: P PROBLEMLÖSNING B BEGREPP M METOD R RESONEMANG K KOMMUNIKATION

Uppgifterna varierar i storlek och kan ta allt ifrån en lektion till någon vecka. Ofta arbetar ni i grupp och hur ni redovisar bestämmer ni tillsammans med er lärare.

1

MINNESRUNAN Att bli ihågkommen är viktigt. Diofantos skrev ett matematikproblem på sin grav som handlade om hans liv. Hur skulle ditt problem se ut?

2

SMÅ STEG MOT JÄMSTÄLLDA LÖNER Kvinnor tjänar mycket mindre än män. Hur lång tid kommer det ta att förändra detta?

3

FAMILJEN EULER OCH DERAS HUND Familjen Euler har problem med sin hundträning. Hunden vägrar att springa på samma stig mer än en gång när de tränar inkallning mellan sig. Hur ska de göra?

70  Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 1

MINNESRUNAN Diofantos sägs vara en av de första som använde symbolspråk för att lösa matematiska problem. Redan de gamla babylonierna sägs dock ha lagt grunden till ekvationsläran. På Diofantos gravsten lär följande problem ha funnits. Om ni lyckas lösa gåtan vet ni också hur gammal Diofantos var när han dog. Gud lät honom vara pojke en sjättedel av sitt liv, lade till en tolftedel då han var en ung man. Efter ytterligare en sjundedel av sitt liv gifte han sig, och fem år därefter fick han en son. Denna sent födda arma son, togs av ödet när han levt halva sin fars liv. Efter att ha tröstat sin sorg med matematik i fyra år slutade hans liv. UPPGIFT

a) Lös gåtan och ta reda på hur gammal Diofantos blev. b) Hur vill du bli ihågkommen? Var kreativa och hitta på egna matematikproblem inspirerat av Diofantos.

Diofantos var en av antikens mest fram­ stående grekiska matematiker. Många skrifter är bevarade efter honom men trots detta vet man inte med bestämdhet när han levde. Han har troligen varit verksam i den dåtida storstaden Alexandria i mitten på 200-talet. På Diofantos tid använde grekiska matematiker i huvudsak geometriska metoder. Diofantos var i det här avseendet en oliktänkare. Han utnyttjade talens egenskaper. Diofantos undersökte även de ekvationer, som har fler än en lösning. Ekvationer eller ekvationssystem som endast har heltalslösningar kallas för diofantiska ekvationer.

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  71

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 2

SMÅ STEG MOT MER JÄMSTÄLLDA LÖNER Med jämlikhet menas förhållandet mellan alla individer och grupper i samhället och utgår ifrån att alla människor har lika värde. Begreppet jämställdhet används i Sverige när det gäller förhållandet mellan kvinnor och män. Jämställdhet anses vara en av de viktigaste jämlikhetsfrågorna. Därför är statistik i Sverige könsuppdelad.

Fakta

Ersatta dagar för vård av barn 1974–2015

Vid ett barns födsel får föräldrarna dela på 480 föräldrapenningdagar. På arbetsmarknaden har kvinnor, när alla löner är uppräknade till heltid, ca 87 % av mäns lön. Den största anledningen till att det ser ut så är att kvinnor och män finns i olika yrken och att mansdominerade yrken tenderar att betalas högre än kvinnodominerade yrken. När arbetslivet är över kan kvinnor i genomsnitt kvittera ut 67 % av mäns pension, de yngre något mer och de äldre något mindre.

Föräldrapenning Könsfördelning

Könsfördelning

År

Antal

Kvinnor

Män

Antal

Kvinnor

Män

1974

19 017

100

0

689

60

40

1980

27 020

95

5

3 042

63

37

1985

33 193

94

6

4 156

67

33

1990

48 292

93

7

5 731

66

34

1995

47 026

90

10

4 890

68

32

2000

35 661

88

12

4 403

66

34

2005

42 659

80

20

4 421

64

36

2010

49 719

77

23

4 657

64

36

2015

53 177

74

26

6 069

62

38

UPPGIFT

a) Vilket år blir det jämställda löner om nuvarande utveckling håller i sig? b) Vilket år blir det jämställda uttag av föräldrapenning om nuvarande utveckling håller i sig? c) Hur tror ni det ser ut i resten av världen? Se ifall ni kan hitta statistik som stödjer er hypotes.

72  Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

Tillfällig föräldrapenning

Källa: Försäkringskassan

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 3

FAMILJEN EULER OCH DERAS HUND Familjen Euler består av fem personer. De tränar sin hund att springa mellan familje­medlemmarna. De klipper stigar i gräset ute på en äng. Hunden springer längs stigarna till respektive person. De observerar att ibland behöver hunden springa dubbla gånger på en stig och ibland kan hunden besöka alla genom att springa bara en gång på respektive stig. De märker att det finns samband mellan hur många personer som finns med, antalet stigar som leder till varje person och om det går att springa bara en gång längs varje stig.

UPPGIFT

A

a) Visa om hunden kan springa till alla i familjen utan att behöva springa samma sträcka två gånger enligt bilden. b) Gör en systematisk undersökning genom att ändra antalet gånger som hunden springer till en person i familjen. c) Försök att hitta ett samband mellan antalet gånger hunden är hos en familjemedlem och om det är möjligt för hunden att springa till alla i familjen.

B

C

E

D

Kan hunden springa längs alla stigar bara en gång?

Leonhard Euler (1707–1783) Leonhard Euler levde under 1700-talet och föddes i Schweiz. Han arbetade med att forska inom matematik och fysik i Berlin och Sankt Petersburg. Han har skrivit en stor mängd artiklar om matematik och lagt en del av grunden i matematisk analys. Euler märkte att det fanns ett samband mellan antal hörn i en figur, dragna streck mellan hörnen och om det är möjligt att dra alla streck i en sammanhängande graf endast en gång. När det är möjligt att dra grafen sammanhängande kallas den Eulerväg.

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  73

TRÄNA MERA   2.1 Parentesuttryck

11 Skriv uttryck för rektangelns sidor.

Utveckla uttrycken.  1 a) 5(x + 2)

b) (3x + 4)6 c) x(y − 8)

2 a) (x + 1)(x + 2)  3 a) (2 + b)2

b) (2 − x)(x + 4)

b) (a − 3)2

c) (a + 5)(a − 5)

4 a) Skriv ett uttryck för figurens area.

A = (6x + 3) cm2

b) Använd uttrycket och beräkna arean när x = 6 dm.

12 Skriv ett uttryck för kvadratens omkrets.

A = 4a2 cm2

(3x + 2) (5x – 3)

2.3 Algebraiska uttryck med nämnare

5 a) Skriv ett uttryck för figurens omkrets i uppgift 4.

b) Använd uttrycket och beräkna omkretsen när x = 2,5 dm.

6 Vad saknas i uttrycken för att likheten ska stämma? a) (x +

Förenkla uttrycken. y7 5y 4 13 a) 3 b) 4 y y

14 a)

3+3+3+3 3

15 a)

8x − 12 4

16 a)

18x − 12 15 + 35y 24 x − 36x b) c) 3 5 4x

− 3) = x2 − 9

)(

2

2

b) x + 2xy + y = (

+

c) x2 − 2

− a)2

+ a2 =(

2

)

6y 2 c) 2y

b)

b)

55 + 55 + 55 11

6 + 27y 3

c)

24 x − 36x x

2.2 Faktorisera uttryck 17 Vilka uttryck kan man inte förenkla?

Faktorisera uttrycken.   7 a) (3x + 3)

b) (9 − 18x) c) (2y − xy)

8 a) (4 + 8a)

b) (5y − 20x) c) (2y − 2xy)

9 a) (24x + 8xy) 10 a) (2a2 + 8a)

b) (36ab − 18b) b) (5y2 + 35x)

74  Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

A

2x + 4 3

B

12y + 8y 9x − 36 C 2y 4

18 Förenkla uttrycken.

3a + 9a 6a a) + 12 3

b)

b + 4b 4 b + 5 2

TRÄNA MERA 2.4 Ekvationer med nämnare

2.5 Ekvationer med parenteser

Förläng till gemensam nämnare och lös ekvationerna.

Lös ekvationerna.

19 a)

20 a)

21 a)

x 3 = 6 12

b)

x 2 13 + = 5 3 15

b)

3b 4 15 – = 2 6 18

b)

2x 8 = 6 3 2x 4 3 − = 3 7 7 2b 4 − =2 4 5

25 a) 3(x − 4) = 12 b) 2(25 + x) = 140 26 a) 4(x − 2) = x + 4 b) 2(x + 2) = x 27 a) 8x + 5 = 5(x + 4) b) 3(x + 2) = 3x + 12 − x − 3 28 Hur långa är sidorna om omkretsen är 58 cm?

22 Om du subtraherar hälften av ett tal med en fjärdedel av samma tal får du differensen 6. Vilket är talet? 23 Armin använde två tredjedelar av sitt studie­ bidrag till kläder och en femtedel till nöjen. Han hade då kvar 140 kr. Hur stort var hans studiebidrag? 24 Camilla och hennes gäng har dragkamp. 3 Lag B drar över av lag A:s del av repet på 5 sin sida av mittmarkeringen.

Då har lag A 3 m rep kvar på sin sida.

Hur långt är hela repet?

(x + 4) (2x – 5) 29 Hur stora är triangelns vinklar?

A

3v – 30 B

2v – 40

C

30 Lös ekvationerna. a) 2(x + 5) = 3(5 − x) b) 4(2x + 5) = 2(x − 2)

2.6 Ekvationer med förhållande 31 Höjden av två träd förhåller sig som 1:3. Tillsammans är träden 8 m. Hur höga är träden var för sig? 32 Vinklarna i en triangel förhåller sig som 2:3:4. Hur stora är triangelns vinklar? 33 I en pannkakssmet är förhållandet mellan ägg, mjöl och mjölk 1:2:4. Du har 2 ägg. Hur mycket mjöl och mjölk behöver du? (mjöl och mjölk anges i hela dl) Algebra och ekvationer | Kapitel 2  75

TRÄNA MERA 34 På saftflaskan står det att den ska blandas 1:7. Du tar 3 dl saft. Hur mycket vatten behöver du? 35 Amanda ska blanda till oljeblandad bensin till båtmotorn i förhållandet 1:25. Hur mycket olja behöver hon till 20 l bensin?

41 Lös olikheterna. a) x − 3 > 3x – 15 b) 4x + 7 > 7x + 1 c) 2(x + 3) > 3(2x − 2)

2.8 Kvadratrötter 42 Beräkna

36 Aron och en kompis har satsat pengar i ett lotteri. Deras insatser förhåller sig som 3:5. De vinner 3 200 kr. Hur ska de fördela vinsten mellan sig?

a) 64

37 Sätt ut rätt tecken >, < eller =. a) 3,4

c) 1,11

e) 0,07

3,04

b) −5 −3 2 4 1,9 d) 5 10 0,017 f) −0,5 −1,5

38 Följande gäller: 1 < x < 19. a) Ange två heltal som exempel på x. b) Ange två decimaltal som exempel på x. 39 Para ihop siffran med rätt bokstav.

121

49

c)

43 Använd miniräknare för att beräkna. Avrunda till en decimal.

2.7 Olikheter

b)

a) 164

b)

30

c)

90

44 Ordna talen efter storlek. Börja med det minsta. 2 2 4   12  4    121   6    36

Beräkna 45 a)

81 + 9

b) 169 −

46 a)

25 ·

b)

10 ·

47 a)

100 4

b)

200 2

4

25 10

2.9 Andragradsekvationer

1 Värden mellan 30 och 55

A x < 0, x > 30

2 Värden under 0 och över 30

B 30 < x < 55

48 a) x2 = 49 b) x2 − 2 = 62 c) 82 = 1 + x2

3 Värden under 30 och över 55

C 0 < x < 30

49 a) y2 = 7 b) y2 − 2 = 8

4 Värden under 30 och över 0

D x < 30, x > 55

50 a) a2 = 32 b) a2 − 22 = 21 c) 52 = 42 + a2

5 Värden över 55 och under 0

E 0 > x, x > 55

51 Bestäm sidan i en kvadrat om arean är

Lös ekvationerna.

40 Lös olikheterna. a) x+2<4 b) 8<x–7 c) 2x + 1 < x + 9 76  Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

a) 25 cm2 b) 2 dm2

c) 150 = 6 + y2

c) 900 cm2

52 Vilket värde har x?

A = 81 cm2 x + 2 x+2

FÖRDJUPNING

Ekvationer med obekant i nämnaren Lös ekvationen. 3 4 2 − = x 5 10 EXEMPEL 1

3 ⋅ 10 4 ⋅ 2x 2⋅x − = x ⋅ 10 5 ⋅ 2x 10 ⋅ x

1 Se till att alla termer har gemensam nämnare. I detta fall 10x.

3 ⋅ 10 4 ⋅ 2x 2 ⋅ x − = 10x 10x 10x

2 Stryk nämnarna i alla termer. 3 Lös ekvationen.

30 − 8x = 2x 30 = 2x + 8x 30 = 10x x = 3

Problemlösning Sidorna på en rektangulär uteplats förhåller sig 2:5. Den känns lite för liten och byggs ut med 2 m åt båda hållen. Uteplatsen blir då 11 m2 större. Hur stor area får den nya uteplatsen? EXEMPEL 2

Lösning: Uteplatsens nya area − gamla area = 11 m2 (5x + 2)(2x + 2) − 5x · 2x = 11 10x2 + 10x + 4x + 4 − 10x2 = 11 14x + 4 = 11 14x = 7 x = 0,5 m Uteplatsens nya sidor 5x + 2 ⇒ 5 · 0,5 + 2 = 4,5 m 2x + 2 ⇒ 2 · 0,5 + 2 = 3 m

2x 5x

Nya uteplatsens area 4,5 · 3 = 13,5 m2    Svar: Den nya uteplatsens area är 13,5 m2.

Lös ekvationerna och svara i exakt form.

x − 3 1 − x 2x − 7 + = 3 9 6 5x − 4 x 1 x+3 b) +1− = − 3 2 2 6   1 a)

2 a)

2 3 2 + = 4x 12 3

b)

5 3 2 − = 7 x 2x

2 3 + =2 x + 2 x + 3 2 3 b) + 2 =0 x − 4 x + 2   3 a)

2 3 + =5 x − 6 4 2 2x 1 1 b) − = +1 ( x − 2 ) ( x − 2 )2 2 2  4 a)

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  77

FÖRDJUPNING  5 Du har 30 g salt och vill lösa upp det i vatten för att få en 10 % saltlösning. Hur mycket vatten behöver du?  6 På apoteket ska 1 kg 20 % saltlösning göras om till 25 % saltlösning. Hur mycket salt ska tillsättas?  7 På apoteket ska 1 kg 20 % saltlösning göras om till 25 % saltlösning. Hur mycket vatten ska tas bort?  8 En bit brons som väger 300 g innehåller 30 % tenn och 70 % koppar. Legeringen vill man smälta ihop med en annan bit som innehåller 10 % tenn och 90 % koppar. Hur stor bit ska man ta för att nya legeringen ska innehålla 20 % tenn och 80 % koppar?

9 En pool fylls med en vattenslang på 5 h och med en annan vattenslang fylls den på 6 h. Hur lång tid tar det att fylla poolen om båda slangarna används? Avrunda till hela timmar och minuter. 10 Mässing är en legering av koppar och zink. Under 50 % koppar blir färgen vit, mellan 50 och 75 % är färgen gul och över 75 % blir färgen röd. Två bitar smälts ihop. Den ena biten väger 200 g och innehåller 48 % koppar. Hur stor bit med 80 % koppar behöver man ta för att få 70 % koppar? 11 Dela talet 120 i två delar så att den större delen är tre gånger så stor som differensen av de båda delarna. Vilka är delarna? 78  Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

12 En gräsmatta klipps på 8 h av Pelle. Samma gräsmatta klipps på 6 h av Sofia. Hur snabbt går det om de hjälps åt? Avrunda till timmar och minuter. 13 En kvadrat förlängs med 3 cm på ena hållet och kortas med 2 cm på andra hållet. Rektangeln som uppstår har lika stor area som kvadraten. Hur stor är kvadratens omkrets? 14 Mats har bestämt träff med en kompis klockan 12.00. När han går i en hastighet av 3 km/h kommer han 5 min för sent och när han går i 5 km/h kommer han 5 min för tidigt. Hur långt är det till kompisen? 15 Jenny är riktigt godissugen. Först äter hon en fjärdedel av sina godisbitar och sedan tre fjärdedelar av bitarna som är kvar. Därefter har hon tre bitar kvar. Hur mycket hade hon från början? 16 Ett ishockeylag har gjort två mål i genomsnitt på sina matcher. Om de gör fyra mål i nästa match blir genomsnittet 2,4. Hur många matcher har de spelat?

BEGREPP

Algebra

Gren inom matematiken där bokstäver används istället för tal.

Uttryck

En kombination av symboler för tal och variabler samt tecken för räkneoperationer, t.ex. (3x + 2y).

Förenkla

Skriva ett uttryck på ett enklare sätt, t.ex. 2x + 2x = 4x.

Kvadreringsreglerna

Regler för multiplikation med två likadana parentesuttryck: (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 (x − 1)2 = x2 − 2x + 1

Konjugatregeln

Regel för multiplikation med två likadana parentesuttryck men där tecknen är olika: (x + 1)(x − 1) = x2 – 1

Ekvivalent

Detsamma som ...

Faktorisera

Dela upp ett uttryck i faktorer t.ex. 24x = 3 · 2 · 2 · 2 · x

Ekvation

En ekvation är en likhet som innehåller ett eller flera obekanta tal, betecknade med bokstäver.

Förhållande

Förhållandet mellan två tal är talens kvot. Förhållandet mellan två storheter är kvoten mellan mätetalen. T.ex. förhållandet mellan talen 3 och 4 ⇒ 3:4 (uttalas 3 till 4) ⇒

3 4

Olikhet

Uttryck som inte är lika stora där vi använder < och > istället för =.

Kvadratrot

Talet som multiplicerat med sig själv är lika med talet som roten tas ur t.ex. 25 = 5 (roten ur 25 är lika med fem)

Andragradsekvationer

En ekvation med ett uttryck där den obekanta är i kvadrat, t.ex. x2 = 81.

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  79

SAMMANFATTNING

DU SKA KUNNA

EXEMPEL

Kvadreringsregler Utveckla och förenkla uttrycket. Konjugatregeln (x + 4)2 − (x + 5)(x − 5) Faktorisera uttryck

Faktorisera uttrycken. a) (3a + 6) b) (2x + 8xy − 6xy2)

c) x2 + 2x + 1

Algebraiska uttryck med nämnare

Förkorta och förenkla 4x 2 a) 28 x 3 30 − 6x b) 6

Ekvationer med nämnare

Lös ekvationen 3 6 1 + = x 4x 2 Tänk på att: 1 Förläng alla termer till gemensam nämnare. 2 Stryk nämnarna i alla termer. 3 Lös ekvationen. 4 Kontrollera din lösning.

Ekvationer med parenteser

Lös ekvationen 2(x − 1) = 7 − 3(x − 2) Tänk på att: 1 Multiplicera in i parentes. 2 Ta bort parenteser och ändra tecken. 3 Samla ihop termer. 4 Samla variabeltermer på en sida (enklast på den sida där det finns flest). 5 Lös som vanlig ekvation.

80  Kapitel 2 | Algebra och ekvationer

LÖSNINGSFÖRSLAG (x2 + 8x + 16) − (x2 − 25) = = x2 + 8x + 16 − x2 + 25 = = 8x + 41

a) (3a + 6) = (3 · a + 3 · 2) = 3(a + 2) b) (2x + 8xy − 6xy2) = = (2x · 1 + 2x · 4y − 2x · 3y2) = = 2x(1 + 4y − 3y2) c) x2 + 2x + 1 = (x + 1) · (x + 1) = (x + 1)2

4 ⋅ x ⋅ x 4x 2 1 1 = = = 3 4 ⋅ 7 ⋅ x ⋅ x ⋅ x 28 x 7 ⋅ x 7x ( 5 − x ) 30 − 6x 6 ( 5 − x ) b) = = = (5 − x) 6 1 6 a)

3 6 1 + = x 4x 2 4⋅3 6 2x ⋅ 1 1 + = 4⋅x 4x 2x ⋅ 2 2 12 + 6 = 2x 3

18 = 2x x = 9 3 6 1 1 1 3 1 ⇒ 4 + = + = = 9 4 ⋅9 2 3 6 6 2 2(x − 1) = 7 − 3(x − 2) 1 (2x − 2) = 7 − (3x − 6) 2 2x − 2 = 7 − 3x + 6 3 2x − 2 = 13 − 3x 4 5x = 15 5

x 15 = 5 5 x = 3

SAMMANFATTNING

DU SKA KUNNA

EXEMPEL

LÖSNINGSFÖRSLAG

Ekvationer med förhållande

Två tal förhåller sig som 2:3.

Tal 1: 2x

Talens summa är 150.

Tal 2: 3x

Hur stor är talens differens?

Talens summa: 2x + 3x = 150 5x = 150 x = 30 Tal 1: 2 · 30 = 60 Tal 2: 3 · 30 = 90 Talens differens: 90 − 60 = 30

Olikheter

Lös olikheten 3x − 13 > 2x + 1

3x − 13 > 2x + 1 3x − 2x > 1 + 13

Kvadratrötter

x > 14

Beräkna a)

36 ·

b)

100 4

9

a)

36 ·

9 = 6 · 3 = 18

eller enligt regeln

a ·

b =

ab

100 10 = =5 4 2 eller enligt regeln b)

Andragrads­ ekvationer

a = b

a b

Lös ekvationen 5x2 − 17 = 73

5x2 − 17 = 73 5x2 = 90

x2 = 45 x 2 = 45 x = ±

45 ≈ ±6,7

Algebra och ekvationer | Kapitel 2  81

KAPITEL 3

Geometri

82  Kapitel 3 | Geometri

PROBLEMLÖSNING

P

BEGREPP

B

METOD M RESONEMANG R KOMMUNIKATION K

CENTRALT INNEHÅLL • Avbildning och konstruktion av geometriska objekt • Likformighet och kongruens • Area och volymskala • Metoder för beräkning av area, omkrets och volym • Geometriska satser och formler

SIDORNA 106–110

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA I PROJEKT Verklighetens Barbie och Ken Festivaltältet Presentasken

GRUPPUPPGIFT

I slutet av varje kapitel finns en begreppslista. Nu är det er tur att göra en. Objekt

Begrepp

Förklaring

1

Parallello­g ram.

En fyrhörning med parvisa parallella sidor. Motstående vinklar är lika stora.

2 3 4 5

Geometri | Kapitel 3  83

GRUNDKURS

3.1 OMKRETS, AREA OCH VOLYM EXEMPEL 1

(cm)

Beräkna cirkelns a) omkrets

4

b) area

Lösning: a) O = d · π d = 2 · r = 2 · 4 = 8 cm O = 8 · π ≈ 25,1 cm b) A = r2 · π A = 42 · π = 16π ≈ 50,3 cm2

EXEMPEL 2

Lösning:

Beräkna

a) Medelpunktsvinkeln (v) är 45° av 360° =

a) cirkelsektorns area

b

b) cirkelbågens längd

A = v = 45° r = 8,0 cm

c) figurens omkrets

1 2 8 ⋅ 8 ⋅ π 64 ⋅ π · r ·π = = = 8π cm2 ≈ 25,1 cm2 8 8 8

b) Medelpunktsvinkeln (v) är 45° av 360° =

b =

45 1 = 360 8

45 1 = 360 8

1 2 ⋅ 8 ⋅ π 16 ⋅ π ·2·r·π= = = 2π cm ≈ 6,3 cm 8 8 8

c) Figuren begränsas av O = b + r + r O = 2π + 8 + 8 = 2π + 16 ≈ 22,3 cm

Lösning:

EXEMPEL 3

(cm)

Beräkna volymen av

7

a) rätblocket 4

3

b) cylindern 2

c) pyramiden

5

84  Kapitel 3 | Geometri

5

8

b) V = B · h = r2 · π · h = 22 · π · 8 = 32π ≈ 100,5 cm3

c) V =

B ⋅h 6⋅6⋅5 = = 60 cm2 3 3

d) V =

B ⋅h r2 ⋅π ⋅h 32 ⋅ π ⋅ 5 = = 15π cm3 ≈ 47,1 cm3 = 3 3 3

6

6

d) konen

a) V = B · h = 3 · 4 · 7 = 84 cm3

3

GRUNDKURS   Svara i exakt form eller avrundat till en decimal   vid beräkning med π.

NIVÅ 2

NIVÅ 1

a) omkrets b) area

1 Beräkna cirkelns omkrets.

a)

12

6 Beräkna arean av en cirkelsektor om

b) d = 9 cm

(dm)

10 8

5 Beräkna figurens

r = 5 cm

a) r = 20 cm och v = 40° b) r = 0,5 dm och v = 135°

7 Beräkna volymen av en kon om

2 Diametern i cirkeln är 1 m. Beräkna arean.

a) r = 16 cm och h = 20 cm b) d = 1,5 dm och h = 1,2 dm c) r = 0,7 m och h = 12 dm

NIVÅ 3

d=1m

8 Hur många grader är en cirkelsektorns medelpunktvinkel om 1 2 1 2 a) A = · r · π b) A = ·r ·π 4 6  9 Beräkna arean av det färgade området. (cm) 6

3 Beräkna fönstrets

a) omkrets b) area

6

6

6

10 Beräkna arean av det färgade området.

(dm) 3 3

3 3

4 Beräkna volymen av

11 Du vill göra en behållare som ska rymma 200 dm3. Ge förslag på mått som behållaren skulle kunna ha om den är formad som

a) ett rätblock med B = 60 cm2 och h = 10 cm b) en cylinder med B = 60 cm2 och h = 10 cm c) en kon med B = 60 cm2 och h = 10 cm

a) ett rätblock b) en pyramid c) en cylinder

d = 1,8 m

Geometri | Kapitel 3  85

GRUNDKURS

3.2 KLOT Ett klot är ett tredimensionellt objekt som du känner igen från många sammanhang, t.ex. boll eller kula. För att beräkna begränsningsytan och volymen av klot används formlerna: A = 4 · π · r  2  V =

4 · π · r  3 3

EXEMPEL

En biljardboll har diametern 57,2 mm. Hur stor är bollens a) begränsningsyta (A) b) volym (V)

Volymenheter i metersystemet 1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3 = = 1 000 000 000 mm3

Lösning: a) r = 28,6 mm A = 4 · π · r2 A = 4 · π · 28,62 ≈ 10 300 mm2 = 103 cm2 Svar: 103 cm2

1 mm3 = 0,001 cm3 = 0,000 001 dm3 = = 0,000 000 000 1m3

Volymenheter litersystemet 1 m3 = 1 000 l 1 dm3 = 1 l 1cm3 = 1 ml 1 l = 10 dl = 100 cl = 1 000 ml 1 ml = 0,1 cl = 0,01 dl = 0,001 l

b) r = 28,6 mm 4 V = · π · r3 3 4 V = · π · 28,63 ≈ 98 000 mm3 = 98 cm3 3 Svar: 98 cm3

GRUPPUPPGIFT

Använd ett kalkylprogram och programmera en egen klotkalkylator. När radien skrivs in ska resterande storheter beräknas automatiskt. Storhet

Beteckning

Radie

r

m

Diameter

d

m

Omkrets

O

m

Begränsningsyta

A

m2

Volym

V

m3

86  Kapitel 3 | Geometri

Värde

Enhet

GRUNDKURS Svara i exakt form eller avrundat till en decimal vid beräkning med π.

NIVÅ 3

NIVÅ 1

a) radie b) area c) volym

21,5 mm

12 Beräkna golfbollens volym.

13 Beräkna volymen av ett klot om

a) r = 3,0 dm

b) r = 15,0 cm

14 Beräkna begränsningsytan av ett klot om

20 Jordens omkrets är 40 000 km. Beräkna jordens

21 Det större klotet nedan har en radie som är 1,6 cm längre än det mindre klotet. Det mindre har begränsningsytan 36π cm2. Vilken begränsningsyta har det större klotet?

a) r = 10,0 cm b) r = 15,0 cm

15 En futsalboll har omkretsen 6,3 dm. Vilken begränsningsyta har bollen?

NIVÅ 2 16 Beräkna kulornas totala volym. 1 cm

17 Hur många glasskulor kan man göra av en liter glass om en kula har diametern 5 cm? 18 Volymen av ett klot är 288π cm3. a) Hur stor är radien? b) Beräkna begränsningsytan. 19 Ett stålklot är placerat i en kub. Kuben har sidlängden 2,0 dm och är fylld med vatten. Klotet når från sida till sida. Hur många liter vatten är det i kuben?

22 Tre tennisbollar får precis plats i en cylinderformad förpackning. Bollarna har radien 3,5 cm.

a) Beräkna cylinderns volym. b) Hur många procent av förpackningens volym utgörs av bollarna?

23 En islykta är gjord av två olika stora halvklots­ formade skålar. Den större har diametern 40 cm och den mindre har diametern 20 cm. De placeras i frysen enligt bilden. Hur mycket vatten går åt för att tillverka lyktan? (cm) 40 20

2,0 dm Geometri | Kapitel 3  87

GRUNDKURS

3.3 PYTHAGORAS SATS GRUPPUPPGIFT

Arbeta i par. Använd rutat papper, linjal och penna. 1 Konstruera tre rätvinkliga trianglar med valfria mått. Använd med fördel helt antal rutor som mått på sidorna. 2 Konstruera därefter kvadrater på var och en av trianglarnas sidor. Måtten på kvadraternas sidor bestäms av det mått triangelsidan har. 3 Beräkna kvadraternas areor och för in i en tabell.

C A

B

4 Försök hitta ett samband mellan kvadraternas areor. Area A (cm2)

Area B (cm2)

Den grekiske matematikern och filosofen Pythagoras kom på ett samband mellan areorna redan ca år 550 f.Kr. Sambandet kallas Pythagoras sats och används till att beräkna sidornas längd i en rätvinklig triangel. När två sidor i en triangel är kända kan den tredje räknas ut.

Pythagoras staty, Samos, Grekland.

88  Kapitel 3 | Geometri

Area C (cm2)

Samband

GRUNDKURS

I en rätvinklig triangel kallas de två kortare sidorna kateter. Den längre sidan kallas hypotenusa. I en rätvinklig triangel är summan av kvadraterna på kateterna alltid lika med kvadraten på hypotenusan:

Katet2 b

c

Hypotenusan

a2 + b2 = c2 (Katet12 + Katet22 = Hypotenusan2)

a Katet1

EXEMPEL 1

(cm)

Beräkna längden av hypotenusan. Triangeln är rätvinklig ⇒ Pythagoras sats gäller. a2 + b2 = c2 32 + 42 = c2 9 + 16 = c2 25 = c2 c2 = c =

c

4

25 25 = 5

3

Svar: Hypotenusan är 5 cm.

EXEMPEL 2

(cm)

I en rätvinklig triangel är en av kateterna 3,0 cm och hypotenusan 7,0 cm. Hur lång är den andra kateten? a2 + b2 = c2 32 + b2 = 72 9 + b2 = 49 b2 = 49 − 9 b2 = 40

b 2 =

b =

7,0

b

40 40 ≈ 6,3

Svar: Den andra kateten är 6,3 cm. 3,0

Geometri | Kapitel 3  89

GRUNDKURS Svara i exakt form eller avrundat till en decimal.

31 Är trianglarna rätvinkliga?

NIVÅ 1

Katet1

Katet2

Hypotenusa

24 Beräkna c.

a)   7 cm

14 cm

28 cm

b)   6 cm

8 cm

10 cm

c) 12 cm

16 cm

25 cm

a) c2 = 100

b) c2 = 49 c) c2 = 13

25 Beräkna längden av hypotenusan.

a) 6

(cm)

(cm)

b) 9

8 12

26 Beräkna längden av hypotenusan. (cm) a) b) 8

32 Pythagoreiska tripplar kallas tre heltal som uppfyller villkoren a2 + b2 = c2 Vilka av alternativen är Pythagoreiska tripplar?

(cm) 8

C 5, 12, 13 F 6, 8, 10

33 Fyll i det som saknas.

6

28 En handbollsplan har måtten 40 × 20 m. Beräkna längden av planens diagonal.

B 3, 4, 7 E 8, 5, 17

NIVÅ 3

10

27 I en rätvinklig triangel är kateterna 10 cm och 14 cm. Hur lång är hypotenusan?

A 3, 4, 5 D 4, 5, 6

Katet1

Katet2

Hypotenusa

6 cm

8 cm

a)

3 cm

b)

5 cm

c)

15 cm

25 cm

34 Diagonalen i en kvadrat är 72 cm. Beräkna kvadratens area. 35 Hur långa är diagonalerna?

a) A

b) B

(cm) 8

B A

6 12

NIVÅ 2 29 Beräkna längden av hypotenusan om

a) katet1 = 0,4 dm och katet2 = 0,3 dm b) katet1 = 8 dm och katet2 = 8 dm

30 Vad ska stå istället för x?

a) 62 + x2 = 72 b) x2 + 52 = 74

90  Kapitel 3 | Geometri

36 En pyramid har en kvadratisk bottenyta med sidan 8 m. Pyramidens höjd är 10 m. Hur stor area har de fyra sidotrianglarna sammanlagt? 8

(m)

10

8

GRUNDKURS

3.4 LIKFORMIGHET OCH KONGRUENS Figurer som har samma form är likformiga. En figur som förstoras, förminskas, förflyttas, speglas eller roteras är likformig med den ursprungliga figuren.

Figur 1

Figur 2

Figur 1 och 2 är likformiga. Skillnaden mellan figurerna är att figur 2 har förstorats. Den har behållit sina proportioner och har ökat lika mycket på bredden som på längden. Sträckorna i figur 2 är 1,5 gånger så lång som motsvarande sträckor i figur 1.

(cm)

(cm)

4

3 = 1,5 2

6

6 = 1,5 4

2

Att två figurer är likformiga innebär att förhållandet mellan motsvarande sträckor är detsamma.

3

Figur 3

Figur 4 (cm)

(cm)

Figur 3 och 4 är inte likformiga. De har inte ökat lika mycket på bredden och längden. 4 =2 2

4 5

5 = 1,25 4 Förhållandet mellan sträckorna är inte detsamma.

2 4

Geometri | Kapitel 3  91

GRUNDKURS

Figurer som är av samma form och storlek är kongruenta. En figur som förflyttas, speglas eller roteras är kongruent med den ursprungliga figuren. Figurerna är kongruenta. Den enda skillnaden mellan figurerna är att de har roterats eller förflyttats. EXEMPEL 1

Rektanglarna är likformiga. Beräkna sidan x.

(cm) 5,0

Längdförhållande: 30,0  = 2,5 ⇒ Rektangelns längd är förstorad 12,0 2,5 gånger.

12,0

Bredd: Eftersom figurerna är likformiga är även figurens bredd förändrad med faktorn 2,5.

x

x = 5,0 · 2,5 = 12,5 Svar: x = 12,5 cm 30,0 EXEMPEL 2

Vilka figurer är kongruenta? A

B

C

D

E

F

G

H

Figur A har samma form och storlek som figur C. Figur D har samma form och storlek som figur G. Svar: Figurerna A och C är kongruenta. Figurerna D och G är kongruenta.

GRUPPUPPGIFT

Ebba har precis fått kläm på likformighet och kongruens. - Alla rätvinkliga trianglar är kongruenta, säger hon. - Nej, säger hennes kompis bestämt! Alla rätvinkliga trianglar är likformiga! Vem har rätt?

92  Kapitel 3 | Geometri

GRUNDKURS NIVÅ 1

NIVÅ 2

37 Är cirklarna likformiga? Motivera ditt svar.

42

Fem snabba om likformighet.

Ja

Nej

a) Alla rektanglar är likformiga. b) Alla kvadrater är likformiga. c) Alla rätvinkliga trianglar är likformiga. d) Alla liksidiga trianglar är likformiga.

38 Vilka figurer är likformiga med figur 1?

e) Alla cirklar är likformiga.

Figur 1

A B C D E

39 Rektanglarna är likformiga. Vad ska stå istället för x?

43 Vilken katt till höger är likformig med katten nedan?

(cm)

2

A B C

D

x

G

3 9

40 Vilka färger hör ihop om figurerna ska vara kongruenta?

F

H

I

44 En rektangel är 7 m bred och 12 m lång. Den är likformig med en annan rektangel som är 18 m lång. Hur bred är den andra rektangeln?

B A

E

C D

45 Vilken figur är kongruent med figur 1?

E

41 Vilken figur är inte kongruent med de övriga?

Figur 1

A B C

46 a) Para ihop de tre par som är kongruenta.

A A

B B

C C

D D

b) En är olik alla andra, vilken?

EE

A B C D E F G Geometri | Kapitel 3  93

GRUNDKURS NIVÅ 3

50 Farmor vill snickra en lekstuga som är likformig med hundkojan. Måtten på hundkojan är

47 Vilka av rektanglarna är likformiga? Visa med beräkningar. (cm) 2,0

A

h = 80 cm, b = 100 cm och l = 140 cm.

Vilka mått på höjden och bredden kommer lekstugan ha om längden ska vara 3,85 m?

3,0

3,0

B

4,5 2,0

C 4,5

48 Trianglarna är likformiga. Beräkna

a) sidan x

b) sidan y

(cm)

16

20 y

x 12

51 Vilka av trianglarna A-F är kongruenta med triangeln till höger? Motivera ditt svar.

3

49 Är mobiltelefonen och läsplattans skärmar likformiga? Motivera.

A

B

(cm)

D 34,5

C

13,8

F 6,7 20,1 94  Kapitel 3 | Geometri

E

GRUNDKURS

3.5 LIKFORMIGA TRIANGLAR (cm)

7,5

6,0

A

4,0

5,0

B

4,5

3,0

Triangel B är en förminskning av triangel A. Detta har inte ändrat storleken av triangelns vinklar utan endast längden av sidorna. Båda trianglarna har samma form, de är likformiga. För att trianglar ska vara likformiga krävs att båda trianglarnas vinklar är parvis lika. Triangel A är likformig med triangel B kan skrivas som ∆A ~ ∆B (~ betyder ”är likformig med”).

I likformiga figurer gäller att: 1 motsvarande vinklar är lika stora 2 kvoten mellan motsvarande sidor är lika stor

2,4

EXEMPEL

(cm)

Trianglarna är likformiga. Beräkna sidan x. A

Lösning: Eftersom trianglarna är likformiga är kvoten av motsvarande sträckor lika.

4,8 6,0

Alternativ 1:

x 6,0 2,4 ⋅ x 6,0 ⋅ 2,4 6,0 ⋅ 2,4 14,4 ⇒ ⇒x= = = = =3 2,4 4,8 2,4 4,8 4,8 4,8

B

x

6,0 Alternativ 2: = 1,25 ⇒ Alla sidor i triangel B är 1,25 gånger större än 4,8 motsvarande sidor i triangel A ⇒ x = 1,25 · 2,4 = 3 Svar: Sidan x = 3 cm.

Geometri | Kapitel 3  95

GRUNDKURS

GRUPPUPPGIFT

Diskutera och motivera era svar.

A

Vad kallas figurerna?

B 6

3

Är figurerna likformiga?

(cm) 5

2,5

Är figurerna kongruenta? C

Är delar av figurerna likformiga?

D

4

30°

4

Är delar av figurerna kongruenta? 4

NIVÅ 1 52 Trianglarna är rätvinkliga. Beräkna sidan x.

54 Beräkna sidan x. (cm)

(cm)

15

x

6

A

4

5

B

6

4,5

53 Trianglarna är rätvinkliga. Beräkna sidan x.

x

9

3

55 Vilka är motsvarande sidor i figurerna?

(cm)

x c

24

A 12

18

96  Kapitel 3 | Geometri

w

d

30

b

x

B

a 9

y z

GRUNDKURS NIVÅ 2

NIVÅ 3

56 Rätvinkliga trianglar vars sidor förhåller sig som 3:4:5 kallas egyptiska trianglar. I en egyptisk triangel är den kortaste kateten 9 cm. Hur lång är

60 Är trianglarna likformiga? Motivera ditt svar med beräkningar. (cm) 13,8

19,8

a) den andra kateten

6,0

b) hypotenusan

Katet2

Hypotenusa

3 cm

4 cm

a)

b)

20 cm

25 cm

30 cm

c)

50 cm

8,0

26,4

57 Trianglarna i tabellen är likformiga. Beräkna det som saknas. Katet1

61 AB är parallell med CD.

58 Skuggorna till mannen och trädet bildar två likformiga trianglar. Hur högt är trädet?

a) Visa att ∆ABE ~ ∆DCE med hjälp av dina kunskaper om vinklar. 6,0 b) Beräkna A B (dm) sidan BE. 5,6 c) Beräkna E sidan DE. 5,0 C

(m)

x 1,7 1,5

b) Beräkna sidan DE.

c) Beräkna sidan CD.

6,0

59 Trianglarna är likformiga. Bestäm den stora triangelns obekanta sidor. (cm)

x

(x + 4)

(cm)

E D

5,0

C 12,5

A

6

D

8,0

62 a) Förklara varför ∆ABC ~ ∆CDE

5

4,6

B

7,5

63 Beräkna sträckan CD. C 8,4

A

(cm)

D 4,0 11,2

B

Geometri | Kapitel 3  97

GRUNDKURS

3.6 TOPPTRIANGELSATSEN C

Sträckan DE är parallell med sidan AB. En ny triangel DEC har bildats. Denna är en topptriangel i den ursprungliga triangeln ABC. De två trianglarna som bildats är likformiga, ∆ABC ~ ∆DEC.

Topptriangel D

Det betyder att: AB AC BC DE DC EC = = och = = DE DC EC AB AC BC

E

Parallell sträcka med sidan AB

A

B

EXEMPEL

Sträckorna AB och DE är parallella. Hur lång är sidan x? Lösning: x 3,4 DE DC ⇒ = = 12,0 (6,8 + 3,4) AC AB

3,4

D

x 3,4 ⋅ 12,0 · 12,0 = 12,0 10,2

x =

(cm)

C

x

E

6,8

3,4 ⋅ 12,0 10,2

A

B

12,0

40,8 10,2 x = 4 x = Svar: Sidan x är 4 cm.

NIVÅ 1 64 Topptriangeln är likformig med hela triangeln. Beräkna sträckan x.

a) (cm) 4,0 x 8,0

b) 21,0

(cm) x

6,0

65 Sträckan BC är parallell med DE. Beräkna sträckan AE.

AB = 4 cm

AD = 3 cm

AC = 4 cm

AE = ? cm

C D

8,0 9,0

A 98  Kapitel 3 | Geometri

E

B

GRUNDKURS 66 Hur lång är sträckan x?

(cm)

A x

D

4,0

E

1,8

3,0

B

C

NIVÅ 3 70 DE är parallell med AC och DF är parallell med EC. Romben DECF x har sidan 2,0 cm. D Beräkna x. 2,0 A

NIVÅ 2

1,6

B

(cm) x

E

F

C

67 ∆ABC ~ ∆DEC. a) Beräkna längden av sträckan BC. b) Beräkna längden av sträckan AD. c) Beräkna längden av sträckan DE B

8

71 Två elevgrupper har fått i uppgift att beräkna bredden av en väg. De gör följande skisser. Grupp 1

Grupp 2

4,5 m

(cm)

E 16

3,6 m

1,8 m

5,6 m 4,8 m

A

D

7,2 m

C

12

68 Beräkna längden av a) x

1,0

(cm)

a) Hur tänker eleverna i den första gruppen? b) Beräkna vägens bredd på deras sätt. c) Hur tänker eleverna i den andra gruppen? d) Beräkna vägens bredd på deras sätt.

3,8

b) y 4,0

72 Hur stor är kvadratens area?

x

5,5

y

B

(cm)

9,0 4,0

69 Beräkna sidan x.

A

(cm)

E

9,0

8,0

D

4,0

B

E

x

C

A

F

C

D 2,0

Geometri | Kapitel 3  99

GRUNDKURS

3.7 LÄNGD, AREA- OCH VOLYMSKALA Att rita något i skala betyder att man gör en avbildning av något som finns i verkligheten. Avbildningen kan förstoras, förminskas eller avbildas i naturlig storlek.

Längdskala Vad blir längden om sträckan avbildas i skala 3:1? 1 cm

Areaskala Vad blir arean om figuren avbildas i skala 3:1? 2

1 1 cm

Lösning:

Volymskala Vad blir volymen om figuren avbildas i skala 3:1? (cm)

(cm)

3

1 1 cm

1

1

1

Lösning:

Lösning: (cm) (cm)

3 cm

Längden ökar 3 gånger till 3 cm. Längdskalan är 3:1.

3

3

3 3

3

Arean blir 3 · 3 = 32 = 9 cm2. Areaskalan är längdskalan i kvadrat (längdskala2), 32 9 = = 9:1. 12 1

Volymen blir 3 · 3 · 3 = 33 = 27 cm3. Volymskala är längdskalan i kubik (längdskala3), 33 27 = = 27:1. 13 1

GRUPPUPPGIFT

På skolidrotten argumenterar 9B om bollar och deras volym. Minst hälften av klassen håller med Göran som hävdar: ”En boll som har dubbelt så stor diameter har dubbelt så stor volym.” Han jämför en tennisboll med en handboll och hävdar bestämt att han resonerat rätt. Hjälp dem att lösa bolldiskussionen.

100  Kapitel 3 | Geometri

GRUNDKURS NIVÅ 1

NIVÅ 2 78 En kub har volymen 32 cm3. Hur stor blir volymen om kubens sidor ska vara hälften så långa?

B A 1 cm

2 cm

79 En kvadrat har omkretsen 24 cm. Vad ska stå istället för a, b och c i tabellen?

73 a) Beräkna arean av de båda kvadraterna.

b) Kvadrat B är en förstoring av A. Beräkna längdskalan.

c) Hur många gånger större är arean av kvadrat B jämfört med A?

a) Hur stor är kvadratens area?

b)

b) volymskalan

9:1  300:1  1:300  1:90  1:9  27:1  1:27

c) Vad kan man dra för slutsats mellan hur mycket sidan förändras och vilken volym det blir? C B A a

76 Vilka hörnpunkter kommer den rektangel att ha som har två gånger så stor area som rektangel ABCD?

z

y

D

C

A

B

77 Figurerna på bilden är likformiga. a) Hur stor area har den mindre figuren? b) Hur stor area får en figur om basen är 20 cm? A = 96 cm2 16 cm

8 cm

c)

b) Hur många gånger större blir volymen i B och C jämfört med A?

75 Längdskalan är 1:3. Vilket av alternativen motsvarar

a)

81 a) Skriv uttrycken för kubernas volym.

b) Vilken area får figuren om den ritas i skala 3:1?

a) areaskalan

Kvadratens area Kubens volym

80 Arean av en kvadrat är 144 cm2.Vilken är kvadratens omkrets?

74 En kvadrat har omkretsen 36 cm.

Sidans längd

x

2a

3a

NIVÅ 3 82 En cylinder med volymen 200 cm3 har diametern 3 cm.Vilken volym får cylindern om den avbildas i skala 3:1?

w

83 Kanten på en kub är 10 cm. Hur många gånger större blir kubens volym när kantlängden görs dubbelt så lång? 84 Tomt A och tomt B är båda kvadratiska. Arean av tomt A är 5 gånger så stor som arean av B. Hur lång är sidan i A jämfört med sidan i B? 85 En rektangel med längden 8 cm och bredden 2 cm avbildas i skala 4:1. Bestäm förhållandet mellan den ursprungliga rektangelns area och den nya rektangelns area. Geometri | Kapitel 3  101

GRUNDKURS

3.8 PROBLEMLÖSNING Svara i exakt form eller avrundat till en decimal vid beräkning med π.

NIVÅ 2 91 Skuggan av en flaggstång är 22,5 m. Skuggan av en 8 dm lång pinne är 1,2 m. Hur lång är flaggstången?

NIVÅ 1 86 En glasskopa har formen av ett halvklot. Hur stor volym har glasskulan som bildas om skopans innerdiametern är 3 cm? Avrunda ditt svar till hela cm3. 87 Samma glasskopa används för att göra kulglass på ett barnkalas. Hur många glassar med två kulor kan man göra av ett 5 l glasspaket? 88 Beräkna längden av en stege om den når 3,5 m upp på väggen och står 1 m ut från väggen. Avrunda till tiondels meter.

92 Hur mycket väger ekbordet? Avrunda till tiondels kg. Ekbordets densitet är 0,7 g/cm3. (cm) 100

2

70

33

93 På en ritning i skala 1:3 är höjden i en cylinder 5 cm. Den verkliga cylindern har en volym på 891 cm3. Hur stor basyta har cylindern på ritningen? 89 Du vill göra en behållare som ska rymma 6 dm3. Föreslå mått på basytan och höjden om behållaren ska vara formad som

a) ett rätblock

b) en pyramid

90 En boll har omkretsen 6,3 dm. Vilken begränsningsyta har en boll som har dubbelt så lång diameter? 102  Kapitel 3 | Geometri

94 Alicia åker skidor. Hon kommer till en uppförsbacke vars lutning är 4 m på 100 meter. Hur långt har hon åkt då hon klättrat 50 höjdmeter? 4m 100 m

GRUNDKURS 95 När den rätvinkliga triangeln roterar kring hörnet A bildas en kon. Vilken volym har den tänkta konen?

C (cm)

5,0

A

3,0

96 Hur många procent ökar kubens volym med om sidan görs 25 % större? Avrunda till hela procent.

B

98 Jordens diameter är 12 742 km. Jupiters volym är 1,43128 · 1015 km³.

a) Hur stor är jordens volym?

b) Hur många hela jordklot får plats i Jupiter?

99 Jordens radie är 6 371 km.Vi lägger ett snöre runt jorden längs ekvatorn. Hur mycket längre skulle ett snöre behöva vara om vi istället håller det 1 m ovanför jordytan? 100 En metallkon med radien 6 cm och höjden 20 cm smälts ned för att tillverka klot med diametern 6 cm. Hur många klot kan tillverkas? 101 Grannarna A och B ska bygga en gemensam brygga. De är noga med att bryggan ska pla­ceras någonstans på den gemensamma stranden så att avståndet från husen blir lika långt fågelvägen. Hur långt från punkten C ska bryggan placeras? Avrunda till hela meter.

C

NIVÅ 3 97 Hur stor är arean av det färgade området?

400 m

A

(cm)

800 m

5,0

4,0

B

300 m

D

Geometri | Kapitel 3  103

KAPITELDIAGNOS A NIVÅ 1–2

A5 Trianglarna är likformiga. Beräkna höjden h. (dm)

Svara i exakt form eller avrundat till en decimal vid beräkning med π. h

A1 Beräkna prismats volym.

12 2,8

(cm)

10

3,0

2,5

A6 Beräkna sidan x.

4 18

3

(dm)

9 x

A2 a) Beräkna volleybollens volym.

27

b) Beräkna volleybollens begränsningsyta. 38

A7 Vad blir arean om figuren avbildas i skala 4:1?

10,5 cm

(cm)

2 6 A3 Beräkna sidan x.

a)

b)

6,0

x x

5,0

(cm)

5,0

A8 Karin sneddar genom ett skogsområde och Axel går runt det. De startar och slutar på samma plats. Hur mycket längre kommer Axel att gå? Mål

5,0

Karin

1 km

A4 Rektanglarna är likformiga. Beräkna sidan x.

Axel 2 km

Start

(cm)

x 6 10

25

104  Kapitel 3 | Geometri

A9 Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna A1-A8.

KAPITELDIAGNOS B NIVÅ 2–3

B6 Beräkna sträckan x.

Svara i exakt form eller avrundat till en decimal vid beräkning med π.

(cm) 20

3

B1 En cylinder har volymen 1,13 dm och höjden 10 cm. Hur lång är radien?

x 8

B2 En medicinboll har diametern 30,0 cm. Beräkna bollens

25 40 50

a) volym b) begränsningsyta

B7 En kvadrat med arean 625 m2 avbildas i skala 1:100. Hur lång är kvadratens sida på bilden?

B3 Avgör om trianglarna är rätvinkliga när längderna på sidorna är a) 5 cm, 4 cm och 3 cm b) 15 cm, 12 dm och 9 cm c) 10 cm, 7 cm och 4 cm

B8 Alma bygger en modell av sitt rum. Hennes rum har volymen 30 m3 och hennes modell har volymen 30 dm3. I vilken skala har hon avbildat rummet?

B4 Rektanglarna är likformiga. Beräkna sidorna x och y.

B9 Beräkna rymddiagonalen i en kub med sidan 1 m. (dm)

6

4 x

12

y 4

B5 Trianglarna är likformiga. Beräkna sidan x. (cm)

x 45

20

1m

B10 Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna B1-B9.

30

Geometri | Kapitel 3  105

Tillämpa förmågorna

TILLÄMPA KAPITEL 3 FÖRMÅGORNA 2

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA

Här följer tre större uppgifter där ni under arbetets gång övar alla förmågorna i matematik: P PROBLEMLÖSNING B BEGREPP M METOD R RESONEMANG K KOMMUNIKATION

Uppgifterna varierar i storlek och kan ta allt ifrån en lektion till någon vecka. Ofta arbetar ni i grupp och hur ni redovisar bestämmer ni tillsammans med er lärare.

1

VERKLIGHETENS BARBIE OCH KEN Vilka signaler om kroppsideal ger leken barn? Om man nu skulle vilja, är det ens möjligt att se ut som t.ex. Barbie eller Ken? Ta matematiken till hjälp och krossa myten om de orimliga kroppsidealen.

2

FESTIVALTÄLTET Design, kostnad och funktion. Hörnpelare i alla designers tänkande. Tillsammans med en kompis får du chansen att utveckla det nya festivaltältet. Inga mer lånade festivaltält här inte!

3

PRESENTASKEN Du ska bilda ett företag som säljer presentaskar i olika former som snabbt och lätt ska kunna vikas ihop. Det gäller att vara lite klurig för att minska spillet vilket ger ökad vinst och ett bra miljötänk.

106  Kapitel 3 | Geometri

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 1

VERKLIGHETENS BARBIE OCH KEN Hur skulle verklighetens Barbie och Ken sett ut? Medellängden i Sverige 165,7 cm för kvinnor och 179,2 cm för män. Tänk er att dockans längd motsvarar medellängden i Sverige.Vilka mått får då dockans olika kroppsdelar? UPPGIFT

a) Ta reda på måtten för dockans olika kroppsdelar. b) Beräkna vilka mått dockan får i en verklig modell (skala 1:1). c) Resonera om möjligheten att se ut som dockorna och hur det påverkar våra kroppsideal.

Längd

Hårlängd

…

…

…

…

Barbie Verklig Barbie Ken Verklig Ken

Geometri | Kapitel 3  107

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 2

FESTIVALTÄLTET UPPGIFT

Som nybakad student får du jobb på ett friluftsföretag. Företaget har valt att bredda sitt sortiment av tält med ett festivaltält. Målgruppen är ungdomar som behöver ett billigt och bra tält. Ditt uppdrag blir att designa ett attraktivt, praktiskt och säljande tält. Följande begränsningar ska du hålla dig inom: 1 Tältet ska rymma två vuxna personer. 2 Det ska finnas möjlighet till förvaring av bagage, t.ex. två ryggsäckar. 3 Två vertikala tältpinnar ska hålla upp tältet. 4 Tältet får maximalt väga 4 kg. 5 Företaget har ett vinstkrav på minst 300 kr per tält.

Ta fram ett beslutsunderlag till företagsledningen, med två olika förslag på hur tältet ska se ut vad gäller form, färg, vikt och pris.

108  Kapitel 3 | Geometri

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 2

MATERIAL OCH PRISLISTA Material

Bild

Pris

Vikt

Tältduk

94 kr/m2

148 g/m2

Tältpinnar

2 kr/st

9 g/st

PVC-överdragen polyester – golvmaterial

65 kr/m2

280 g/m2

Tältlinor

8 kr/m

2 g/m

Tältstång

22 kr/m

100 g/m

Dragkedjelöpare

6 kr/st

12 g/st

Dragkedja

7 kr/m

15 g/m

Geometri | Kapitel 3  109

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 3

PRESENTASKAR Du ska bilda ett företag som säljer presentaskar i olika former som snabbt och lätt ska kunna vikas ihop. Företaget som tillverkar kartongen till askarna behöver en 3D-ritning, mallar och hur dessa ska placeras vid utstansning. När du tillhandahållit det är det dags att göra en prognos för antal sålda varor och företagets utgifter i form av material- och arbetskostnad. Detta ger ett underlag för prissättning av varan. UPPGIFT

a) Bestäm dig för tre former som ska säljas. Rita 3D-skisser i lämplig skala och ange måtten i mm. b) Rita mallarna + “sömsmån” i rätt storlek. c) Undersök för var och en av mallarna hur den ska placeras upprepade gånger på en kvadratmeter för att få så lite spill som möjligt. d) Bygg ihop dina askar. e) Ta reda på vad en kvadratmeter kartong kostar och gör en budget till ditt företag.

110  Kapitel 3 | Geometri

TRÄNA MERA   3.1 Omkrets, area och volym   Svara i exakt form eller avrundat till en decimal   vid beräkning med π. (dm)  1 Beräkna cirkelns 6,0 a) omkrets

5 Hur mycket saft får plats i glaset?

8

(cm)

6

b) area

2 Beräkna prismats a) volym b) begränsningsyta (cm) 4,6

3.2 Klot

4,6

Använd π ≈ 3,14 och avrunda till en decimal. 4,0

6 Beräkna volymen av ett klot om

12,0

5,0

a) r = 10,0 dm

b) r = 15,0 cm

7 Beräkna begränsningsytan av ett klot om (cm)

3 Beräkna konservburkens a) volym b) begränsningsyta

a) r = 3,0 cm b) r = 5,0 cm  8 Beräkna pilatesbollens a) volym b) begränsningsyta

14

5,5 dm 7

4 Beräkna pyramidens volym.  9 Beräkna volymen. 5 cm 15 cm

B = 12 cm2 Geometri | Kapitel 3  111

TRÄNA MERA 3.3 Pythagoras sats

3.4 Likformighet och kongruens

10 Beräkna c. a) c2 = 81 b) c2 = 144

16 Vilka figurer är likformiga med figur 1? c) c2 = 23 2

11 Beräkna längden av hypotenusan.

1

(cm) h

Figur 1

2

1

4

7 2

2

4

9 A

B

6

1

D

E

0,5

3 C

12 Beräkna längden av den andra kateten. 17 Rektanglarna är likformiga. Beräkna sidan x.

(cm) 13

k

(cm)

a)

b) (cm) 12

12

10

13 Beräkna längden av den andra kateten. 8

4

6 9

x

8

x

(cm)

18 Bilarna är likformiga. Hur hög är modellbilen? k

15

1,2 m x 5,0 m

14 Hur långa är vimpelns sidor? x 2,50

1,00

x

(m)

19 Vilka av figurerna är kongruenta med varandra? A

x

B

D

C

15 Hur lång är kvadratens diagonal? (m)

50 cm

E

20 Vilka av figurerna är kongruenta med varandra?

5,0

5,0 112  Kapitel 3 | Geometri

A

B

C

D

E

TRÄNA MERA 3.5 Likformiga trianglar

3.6 Topptriangelsatsen

21 Trianglarna är likformiga. Beräkna sidan x.

25 Beräkna sidan x. x

(cm)

(dm)

4

20 6

x 6

9

15

22 Trianglarna är likformiga. Beräkna sidan x. (cm) 6

m)

(dm)

26 Beräkna sidan x. 6

x

4

x

3

8

12

23 Trianglarna är likformiga. Beräkna sidorna x och y.

8,0

8,0

12

x

12,0

(cm)

27 Beräkna sidan x.

(cm)

21

16 x

y

5,0

24 Trianglarna är likformiga. Beräkna sidan x. (cm) 1,0

28 a) Beräkna höjden i den stora triangeln. b) Beräkna den lilla triangelns area. c) Beräkna den stora triangelns area.

2,0 3,0

(cm) x

4 6 9 Geometri | Kapitel 3  113

TRÄNA MERA 3.7 Längd-, area- och volymskala

3.8 Problemlösning

29 Rektangel B är ritad i skala 3:1.

34 Är trianglarna rätvinkliga?

a) Hur många gånger större area får figur B? b) Varför blir det så? (cm)

3 1

B

A

2

Katet1

Katet2

Hypotenusan

a)

3

4

5

b)

3

6

9

c)

5

10

11

d)

1

5

8

Ja

Nej

6

30 Kvadrat B är ritad i skala 5:1. Hur många gånger större area får figur B? (cm)

5 1 A 1

B

35 I ett sexsidigt prisma är basytans area 3 450 cm2. Vad är höjden om volymen är 207 dm3? 36 En rätvinklig triangel har höjden 3 cm och basen 4 cm. En annan triangel som är likformig med den första har höjden 6 cm. Beräkna basen av den triangeln. 37 Hur stor volym har tårtbiten?

5

10 cm 40°

31 Triangel B är ritad i skala 2:1. Hur många gånger större area får figur B?

(cm) 6 3

B

4,5 cm

38 En skolgård är rektangulär med sidorna 30 m och 20 m. Hur mycket kortare är det att gå diagonalt över skolgården istället för längst med sidorna?

A

4

8

32 Du har en kub med sidan 2 cm. Hur många gånger större volym får kuben i skala 2:1?

39 Hur stor volym får figuren när den sätts ihop till en cylinder?

(cm)

10,0

33 Du har en kub med sidan 8 cm. Hur många gånger mindre volym får kuben i skala 1:4?

4,0 3,2

114  Kapitel 3 | Geometri

FÖRDJUPNING

Trigonometri är en gren av matematiken som studerar samband mellan sidorna och vinklarna i en triangel. Dessa samband används inom en rad områden, t.ex. navigering, musikteori, bildbehandling, spelutveckling och arkitektur. I rätvinkliga trianglar kan man med hjälp av trigonometri ta reda på värdet för samtliga sidor och vinklar. Det räcker med att man vet värdet på två sidor alternativt en sida och en vinkel. Funktionerna som används kallas sinus (sin), cosinus (cos) och tangens (tan). Dessa finns på alla avancerade miniräknare och ofta på mobiltelefonens miniräknare. Samband vid beräkning av vinkeln: motstående katet a = sin v = hypotenusan c cos v =

närliggande katet b = hypotenusan c

tan v =

motstående katet a = närliggande katet b

B

Hypotenusan (c) Motstående katet (a) C

v

A

Närliggande katet (b)

För att kunna bestämma vinkeln ska du använda miniräknarens inversfunktion för sinus, cosinus respektive tangens. Beteckningarna för respektive är sin−1, cos−1 och tan−1. EXEMPEL 1

EXEMPEL 2

Beräkna vinkeln v.

Beräkna sidan a. (cm)

B 28,0 C

56,0 20,0 v 48,5

A

motstående katet 28 = hypotenusan 56 28 v = sin−1 = 30° 56 närliggande katet 48,5 = 2 cos v = hypotenusan 56 48,5 v = cos−1 = 30° 56 motstående katet 28 = 3 tan v = närliggande katet 48,5 28 v = tan−1 = 30° 48,5 1 sin v =

(cm)

B

a

45°

C

A

14,1

1 a = sin v · hypotenusan = sin 45° · 20 a = 14,1 cm 2 a = cos v · hypotenusan = cos 45° · 20 a = 14,1 cm 3 a = tan v · närliggande katet = tan 45° · 14,1 a = 14,1 cm

Geometri | Kapitel 3  115

FÖRDJUPNING  1 Para ihop värdena för sin, cos och tan med förhållandet mellan sidornas längder. a 1 sin 20° A b a 2 cos 20° B c b 3 tan 20° C c B

5 Vilken lutning får en ramp som är 2,0 m lång och 60 cm hög?  6 En familj bygger sitt eget hus och vill att taket ska ha 45° lutning. Beräkna arean av gaveln. (m) (cm)

70°

3

c = 60,0

a = 20,5

45° 20°

C

A

b = 56,4

6

2 Para ihop värdena för sin, cos och tan med förhållandet mellan sidornas längder. b 1 sin 70° A a a c = 60,0 2 cos 70° B c b 3 tan 70° C c

B

(cm)

A

20°

70°

b = 56,4

7 I en rätvinklig triangel är en katet 32,2 cm och hypotenusan 42,0 cm. Hur stora är vinklarna i triangeln?  8 Hur stora är vinklarna i en egyptisk triangel när sidorna är 3, 4 och 5 cm långa?

C

a = 20,5

3 Bestäm med två decimaler

9 Ett träd ger en 15 m lång skugga när solens strålar lyser mot marken med en vinkel av 40°. Hur högt är trädet?

a) sin 30° b) cos 60° c) sin 70° d) cos 20° e) Vilken slutsats kan du dra av resultatet?

40°

4 Beräkna kateterna i triangeln. a) Hur lång är sidan a? b) Hur lång är sidan b? B

10 Beräkna rombens vinklar. (dm)

(cm) 55°

10

15,0

a

6 10 6

C

35° b

116  Kapitel 3 | Geometri

A

BEGREPP

Omkrets

Hur långt det är runt om en geometrisk figur.

Area

Storleken på en yta.

Volym

Storleken på en geometrisk kropp

Cirkelsektor

Område av en cirkel som begränsas av en cirkelbåge och av två radier med en viss vinkel.

Cirkelbåge

Bågen på en cirkel vars längd påverkas av medelpunktsvinkeln.

Tvådimensionella objekt

T.ex. kvadrat, rektangel, triangel, cirkel, romb, parallellogram, parallelltrapets.

Tredimensionella objekt

T.ex. kub, rätblock, prisma, cylinder, klot, pyramid, kon.

Begränsningsyta

Yta som begränsar en kropp.

Pythagoras sats

Sambandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel, a 2 + b 2 = c 2.

b

c

a

Likformighet

Figurer som har lika stora vinklar och vars sidor förhåller sig på samma sätt till varandra är likformiga.

Kongruens

Figurer som är exakt lika i utseende.

Förhållande

Visar hur mätetal förhåller sig till varandra, t.ex. sidorna i en triangel kan förhålla sig 3:4:5.

Längdskala

Visar hur många gånger mindre eller större verkligheten är avbildad. Skala 1:5 anger förminskning. Skala 3:1 anger förstoring.

Areaskala

Visar hur många gånger mindre eller större arean blir i en förminskning eller förstoring. Areaskalan = Längdskalan2

Volymskala

Visar hur många gånger mindre eller större volymen blir i en förminskning eller förstoring.Volymskalan = Längdskalan3

Geometri | Kapitel 3  117

SAMMANFATTNING

DU SKA KUNNA

EXEMPEL

LÖSNINGSFÖRSLAG

Beräkna klotets begränsningsyta och volym

Ett bowlingklot har diametern 21,6 cm. Hur stor är klotets

r = 10,8 cm

a) begränsningsyta

A = 4 · π · 10,82 ≈ 1 500 cm2 = 15 dm2

a) A = 4 · π · r 2

b) volym

Pythagoras sats

4 · π · r3 3 4 V= · π · 10,83 ≈ 5 300 cm3 = 5,3 dm3 3 b) V =

a) 32 + 52 = x2

Beräkna längden av sidan x i trianglarna. a)

x

3,0

(cm)

x

Likformighet

6,0

(cm)

15

30

118  Kapitel 3 | Geometri

B

x2 = 7,32 − 62

x2 = 53,29 − 36

x2 = 17,29 x = 17,29 ≈ 4,2 cm

Längdförhållande: 30 = 2 ⇒ Rektangelns längd är förstorad 2 ggr. 15

x = 5 · 2 = 10 cm

Vilka figurer är kongruenta? A

x = 34 ≈ 5,8 cm

Bredd: Eftersom figurerna är likformiga är även figurens bredd förändrad med faktor 2.

x

Kongruens

34 = x2

Rektanglarna är likformiga. Beräkna sidan x. 5

b) x2 + 62 = 7,32 (cm)

7,3

9 + 25 = x2

5,0

b)

C

D

E

Figur A har samma form och storlek som figur D. Figurerna A och D är kongruenta.

SAMMANFATTNING

DU SKA KUNNA

EXEMPEL

LÖSNINGSFÖRSLAG

Likformiga trianglar

Beräkna sidan x.

Eftersom trianglarna är likformiga är kvoten av motsvarande sträckor lika. x 4 = 25 20 x ⋅ 25 4 ⋅ 25 = 25 20 100 x = 20 x = 5 cm

4 B

x

(cm)

3 25

20

25

A

15

Topptriangel­ satsen

Beräkna sidan x. 5,0

x 8,0

10,0

Längd-, area- och volymskala

a) Ett 2 cm långt streck ritas i skala 3:1. Hur långt blir det? b) En rektangel med sidorna 2 och 4 cm avbildas i skala 3:1. Vilken area får bilden? c) Ett rätblock med sidorna 2, 4 och 5 cm avbildas i skala 3:1. Hur stor volym får rätblocket på bilden?

Topptriangeln är likformig med den stora triangeln. x 5 = 10 13 x ⋅ 10 5 ⋅ 10 = 10 13 50 x = 13 x = 3,8 cm a) Längdskala 3:1 Längd på bilden = 2 · 3 = 6 cm b) Area i verkligheten 2 · 4 = 8 cm2. Areaskala = längdskala2 32 9 Areaskala = 2 = = 9:1 1 1 Area på bilden = 8 · 9 = 72 cm2 c) Volym i verkligheten 2 · 4 · 5= 40 cm3. Volymskala = längdskala3 33 27 Volymskala = 3 = = 27:1 1 1 Volym på bilden = 40 · 27 = 1 080 cm3

Geometri | Kapitel 3  119

KAPITEL 4

Sannolikhet och statistik

120  Kapitel 4 | Sannolikhet och statistik

PROBLEMLÖSNING

P

BEGREPP

B

METOD M RESONEMANG R KOMMUNIKATION K

CENTRALT INNEHÅLL • Likformig sannolikhet • Bedömningar av risker och chanser utifrån statistiskt material • Kombinatorik • Tabeller och diagram • Lägesmått och spridningsmått

SIDORNA 142–145

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA I PROJEKT Spel och dobbel Rally-Kalle Sten, sax eller påse?

GRUPPUPPGIFT

I klass 9E är det 25 elever. 2 är tjejer och 20 % av tjejerna spelar ishockey. 5 Vilka påståenden stämmer? A Det är 60 % sannolikhet att nästa elev du träffar från 9E är en pojke. B Två tjejer spelar ishockey. C Sannolikheten är 0,08 att den första du träffar från 9E är en tjej som spelar ishockey. D Om en av pojkarna skulle spela ishockey, skulle sannolikheten vara 12 % att den första du träffar från 9E är en pojke.

Sannolikhet och statistik | Kapitel 4  121

GRUNDKURS

4.1 SANNOLIKHET Sannolikhet innebär att räkna på hur troligt det är att en händelse (ett utfall) ska inträffa. Sannolikheten betecknas med P (från latinska ordet probabilitas) och uttrycks med ett tal mellan 0–1 i bråk-, decimal- eller procentform. SANNOLIKHETEN =

ANTAL GYNNSAMMA UTFALL ANTAL MÖJLIGA UTFALL

Gynnsamma utfall – De utfall man vill få i ett slumpmässigt försök. Möjliga utfall – De utfall man kan få i ett försök. Vid beräkning av sannolikhet för händelser som sker i flera steg är det viktigt att veta om händelserna är beroende eller oberoende av varandra. EXEMPEL 1

I en påse finns tre röda kulor och två svarta. Hur stor är sannolikheten att få två röda kulor med återläggning?

Vid oberoende händelser påverkar inte den första händelsen sannolikheten för att den andra ska ske.

Lösning:

3 5 3 Sannolikhet för andra händelsen = 5 3 3 3⋅3 9 36 P(röd, röd) = · = = = = 36 % 5 5 25 100 5⋅5

3 5

Sannolikhet för första händelsen =

2 5 2 5

3 5

Första händelsen 2 5

3 5

Andra händelsen

EXEMPEL 2

I en påse finns tre röda kulor och två svarta. Hur stor är sannolikheten att få två röda kulor utan återläggning?

Vid beroende händelser påverkar den första händelsen sannolikheten för att den andra ska ske.

Lösning:

3 5 2 Sannolikhet för andra händelsen = 4 3 2 3⋅2 6 3 P(röd, röd) = · = = = = 30 % 5 4 5⋅4 20 10

3 5

Sannolikhet för första händelsen =

122  Kapitel 4 | Sannolikhet och statistik

2 4

2 5 2 4

3 4

Första händelsen 1 4

Andra händelsen

GRUNDKURS GRUPPUPPGIFT

Para ihop begreppet med rätt exempel. BEGREPP

EXEMPEL

1

Oberoende händelse

2

Beroende händelse

B

Att ur en vanlig kortlek först dra ett ess och sedan ytterligare ett ess utan återläggning.

3

Chans

C

Att träffas av blixten två år i rad.

4

Träddiagram

D

Sannolikhet för ett misslyckat resultat.

5

Sannolikhet

E

Sannolikhet för ett lyckat resultat.

6

Risk

F

Ett sätt att åskådliggöra sannolikheten för olika händelser.

antal gynnsamma utfall antal möjliga utfall

A

NIVÅ 1  1 Hur stor är sannolikheten att med en sexsidig tärning slå a) en 4:a b) högre än en 3:a c) ett jämnt tal  2 Skriv sannolikheterna i procentform. 1 a) 0,5 b) 4 c) 0,87 d) 1 av 8  3 Du tar två kulor ur burken utan återläggning. Hur stor är sannolikheten att du tar a) två vita kulor

3 3 · 6 5 3 3 B P(vit, vit) = · 6 5 3 2 C P(vit, vit) = · 6 5 A P(vit, vit) =

b) först en vit och sedan en blå 3 3 A P(vit, blå) = · 6 5 3 2 B P(vit, blå) = · 6 5 3 1 C P(vit, blå) = · 6 5

4 Du drar två kort ur en kortlek utan återläggning. Hur stor är sannolikheten att dra a) två hjärter b) två kungar  5 En automat innehåller 100 karameller. När man vrider om ett handtag kommer det ut en karamell. Automaten innehåller en blandning av samma antal blåa, rosa, gula och gröna karameller. Sara vred om handtaget och fick en rosa karamell. Därefter vrider Karl om handtaget. Hur sannolikt är det att Karl får en rosa karamell?

A Det är säkert att hans karamell är rosa.

B Det är mer sannolikt än det var för Sara.

C Det är exakt lika sannolikt som det var för Sara.

D Det är mindre sannolikt än det var för Sara.

TIMMS 2011

Sannolikhet och statistik | Kapitel 4  123

GRUNDKURS NIVÅ 2

NIVÅ 3

6 Skriv sannolikheterna i procentform 3 3 3 3 3 a) · b) Var tolfte c) · · 6 5 5 5 5

11 På en högstadieskola finns det 250 flickor och 150 pojkar. 60 % av eleverna koldioxidbantar en vecka. Hur stor är sannolikheten för att en slumpvis vald elev är

1 1  7 I en skål med chokladägg är gula, röda, 12 6 1 1 1 lila blå och gröna. 3 4 6 Hur stor är sannolikheten att med återläggning ta

a) en pojke som koldioxidbantar b) en flicka som koldioxidbantar

a) tre röda ägg b) två gula ägg

12 I en kulpåse ligger fem porslinkulor och sju glaskulor. Du drar två kulor utan återläggning. Hur stor är sannolikheten att du drar

8 Vilket av alternativen stämmer till uppgiften? Sannolikheten att få en pojke är ungefär 50 %. Hur stor är sannolikheten att få två pojkar efter varandra?

a) en porslinkula och därefter en glaskula b) två kulor av olika material c) två glaskulor

13 97 % av alla tåg är i tid. Hur stor är sannolikheten att de nästkommande fem tågen är i tid?

A 0,5 · 0,5 = 0,25 = 25 % B 0,5 + 0,5 = 1 = 100 % C 0,5 · 0,25 = 12,5 % D 0,5 + 0,25 = 0,75 = 75 %

9 Du snurrar på lyckohjulet. Hur stor är sannolikheten att få

a) först lila och sedan orange

b) antingen lila eller orange

10 Vid en hälsoundersökning mättes 25 000 av Sveriges elever i årskurs 9. a) Det var 5 % sannolikhet att en elev var 180 cm. Ungefär hur många elever var 180 cm långa? b) Det var 3 % sannolikhet att en elev var 172 cm. Ungefär hur många elever var 172 cm långa? c) Skriv sannolikheterna i a och b i bråkoch decimalform. 124  Kapitel 4 | Sannolikhet och statistik

14 Sannolikheten att en person ska bli 73 år i Sverige är 84 % för kvinnor och 71 % för män. Hur stor är sanno­ likheten för att två makar i ett äktenskap blir över 73 år om a) båda är kvinnor b) båda är män c) en är kvinna och en är man 15 Handbollslaget har fått sin målvakt skadad. Johanna, Emma och Tova anmäler sig som reserver. Inför varje match lottar tränaren vem som ska stå. Hur stor är sannolikheten att a) Emma kommer att vara målvakt i de tre återstående matcherna b) Johanna är målvakt i en match och Tova i två

GRUNDKURS

4.2 KOMPLEMENTHÄNDELSER På handbollsträningen får alla spelarna antingen en röd eller en blå väst. Sannolikheten att få en väst är 100 % därför att alla som kommer till träningen får en väst. P(röd) + P(blå) = 1 = 100 % P(röd) och P(blå) är komplementhändelser till varandra. Tillsammans utgör de alla möjliga utfall och är alltid 100 %. Ibland är det enklare att beräkna sannolikheten för en händelse genom att använda komplementhändelsen som utgångspunkt. EXEMPEL 1

Hur stor är sannolikheten att minst få en 6:a när man slår en sexsidig tärning tre gånger? Lösning:

6 =1 6 5 Komplementhändelsen till att slå en sexa är att inte slå en sexa:  P(ej 6:a) = 6 5 5 5 125 Sannolikheten att inte få en sexa på tre slag:  P(ej 6:a tre slag) = ⋅ ⋅ = ≈ 0,58 = 58 % 6 6 6 216 Sannolikheten att minst få en sexa på tre slag:  P(minst 6:a tre slag) = 1 − 0,58 = 0,42 = 42 % P(ej 6:a) + P(6:a) =

Svar: Det är 42 % sannolikhet att få minst en 6:a vid tre slag. EXEMPEL 2

En basketspelare lyckas med 60 % av sina frikast. Hon kastar tre frikast. Med vilken sannolikhet lyckas hon åtminstone med ett av kasten? Lösning: P(miss) = 40 % = 0,4 P(tre missar) = 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,43 ≈ 0,06 P(minst en träff) = 1 − 0,06 = 0,94 = 94 % Svar: Det är 94 % sannolikhet att hon lyckas med minst ett av de tre kasten.

GRUPPUPPGIFT

Uppgiften nedan gavs på ett prov i matematik. Uppgiften gick inte att lösa eftersom det saknades information. Ge förslag på vad som behöver kompletteras för att kunna lösa uppgiften. På en strand finns endast vita, svarta och grå stenar. Vad är sannolikheten att man får en vit sten om man tar upp en sten slumpmässigt?

Sannolikhet och statistik | Kapitel 4  125

GRUNDKURS NIVÅ 1 16 Hur stor är sannolikheten för komplement­ händelsen till a) 22 % b) 64 % c) 49 % 17 Hur stor är sannolikheten för komplement­ händelsen till a) 0,5 b) 0,4 c) 0,44 18 Du slår en sexsidig tärning.Vad är sannolik­ heten för komplementhändelsen till att a) slå en 5:a b) inte slå en 5:a

a) Vad är komplementhändelsen till att han får ett udda antal prickar? b) Vad är sannolikheten att tärningen visar udda antal prickar?

NIVÅ 2 20 Hur stor är sannolikheten för komplementhändelsen till a) 25 % b) 12,5 %

c)

1 3

A 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

B 5, 7, 11, 12, 16, 27, 35

23 Ett frö har grobarheten 85 %. a) Hur stor är sannolikheten att det är två frön som gror om du sår två frön? b) Hur stor är sannolikheten att inget gror om du sår fyra frön?

19 Omar kastar en sexsidig tärning.

22 I spelet Lotto ska man förutsäga vilka sju nummer av 35 som det blir vid en nummerdragning. Vilken av raderna A eller B har störst sannolikhet att vinna i lottodragningen? Motivera ditt svar.

d)

1 6

21 Du pekar slumpmässigt på en av rutorna i luffarschack-spelet.Vad är sannolikheten för att inte peka på en ruta med en cirkel i?

NIVÅ 3 24 Hur stor är sannolikheten för komplement­ händelsen till att få krona, krona, krona då man singlar en slant tre gånger? 25 Nina spelar Yatzy och kastar fem sexsidiga tärningar. Hur stor är sannolikheten att hon på ett kast får minst en 6:a? Svara avrundat till hela procent. 26 Kevin använder ett kombinationslås till sitt elevskåp med en tresiffrig kod med siffrorna 0–9. Tyvärr har han glömt delar av koden. Han vet att den första siffran är en 6:a. Hur stor är sannolikheten att han inte får rätt kod på något av de tio första försöken? 27 Paul har 5 olika nagellack. En dag får han för sig att slumpmässigt måla sina naglar. Han drar en färg, målar nageln och lägger tillbaka nagellacket. Hur stor är sannolikheten att på en hand a) alla naglarna får samma färg b) att minst två naglar får samma färg

126  Kapitel 4 | Sannolikhet och statistik

GRUNDKURS

4.3 SANNOLIKHET UR STATISTIK Enligt en undersökning av 10 miljoner lösenord på internet är världens fem vanligaste följande: Plats

Lösenord

Antal lösenord (miljoner)

1

123456

1,7

2

123456789

0,9

3

qwerty

0,6

4

12345678

0,4

5

111111

0,3

Relativ frekvens 1,7 10 0,9 10 0,6 10 0,4 10 0,3 10

= 0,17 = 17 % = 0,09 = 9 % = 0,06 = 6 % = 0,04 = 4 % = 0,03 = 3 %

EXEMPEL 1

Hur stor är sannolikheten att knäcka en dators lösenord om du testar något av de fem vanligaste lösenorden? Lösning: I detta fall adderas den relativa frekvensen för de fem möjliga utfallen eftersom man testar något av de fem vanligaste lösenorden. 0,17 + 0,09 + 0,06 + 0,04 + 0,03 = 0,39 = 39 %. Svar: Sannolikheten är 39 %. EXEMPEL 2

Hur stor är sannolikheten att en hackare tar sig in på någon av fem slumpvis valda datorer om den använder det vanligaste lösenordet? Lösning: P(rätt lösenord) + P(fel lösenord) = 100 % ⇒ P(rätt lösenord) = 100 % − P(fel lösenord) P(123456) = 17 % = 0,17 ⇒ P(inte 123456) = 0,83 P(fel lösenord) = 0,83 · 0,83 · 0,83 · 0,83 · 0,83 ≈ 0,39 = 39 % P(rätt lösenord) = 100 % − 39 % = 61 % Svar: Det är ungefär 61 % sannolikhet att hackare kommer in på någon av de fem datorerna genom att använda det vanligaste lösenordet.

Sannolikhet och statistik | Kapitel 4  127

GRUNDKURS NIVÅ 1

NIVÅ 2

28 Tabellen visar hur stor andel (i procent) av befolkningen som läser böcker på fritiden.

31 Diagrammen visar befolkningens utbildning (25–64 år).

Män Kvinnor

Inte alls 33,7 19,4

Varje vecka 28,6 45,3

Kvinnor 1 % 2 %3 % 7%

Mer sällan 37,7 35,3

Förgymnasial utb. kortare än 9 år 29 %

Hur stor är sannolikheten att

a) en man inte läser några böcker alls b) en man läser en gång i veckan c) en kvinna läser mindre än en gång i veckan

16 %

20 %

Män 2 1% %3%

29 Diagrammet visar andelen hushåll efter hushållsstorlek.

4 personer, 12 %

Gymnasial utb. kortare än 3 år

11%

Eftergymnasial utb. kortare än 3 år Eftergymnasial utb. 3 år eller längre

25 %

15 % 22 %

2 personer, 31 %

Förgymnasial utb. 9 år

Gymnasial utb. 3 år

20 %

1 person, 38 %

7+ personer, 1 % 6 personer, 1 % 5 personer, 4 %

21 %

Forskarutbildning Uppgift om utbildning saknas

Vilket eller vilka av påståendena stämmer?

A Det är större andel män än kvinnor som har förgymnasial utbildning.

a) Hur stor är sannolikheten att nästa person du träffar bor i ett hushåll med fyra personer?

B Kvinnor har sammanlagt högre utbildning än män.

b) Hur många av 50 slumpvis valda personer bor sannolikt i ett hushåll med en person?

C I en grupp med 1000 män kommer det att finnas ca 10 personer med forskarutbildning.

D I en grupp med 1000 kvinnor kommer det att finnas minst 400 personer med eftergymnasial utbildning.

3 personer, 12 %

30 Eleverna i årskurs 9 fick välja ämne de önskade till elevens val. Tabellen visar resultatet. Ämne Slöjd Idrott Svenska Matematik Bild

Antalet elever 4 17 6 9 14

a) Hur många procent av eleverna valde slöjd? b) Hur stor är sannolikheten att en slumpvis ut­vald elev i årskurs 9 valde idrott till elevens val?

128  Kapitel 4 | Sannolikhet och statistik

32 Vid kast med två sexsidiga tärningar finns 36 möjliga utfall. Hur stor är sannolikheten att få a) summan 2 eller 12

b) summan 7

c) summan 6 eller mer

d) få olika värde på de två tärningarna

Rita gärna en tabell som visar summan av respektive utfall för att lösa uppgiften.

GRUNDKURS 33 Oskar kastade 1 000 tärningsslag med en sexsidig tärning och fick följande resultat. Tärningsslag 1 2 3 4 5 6

35 Tabellen visar de fem vanligaste lösenorden. Plats

Antal 167 200 135 169 135 194

a) Vilket värde bör enligt statistiken nästkommande tärning visa?

Relativ frekvens

1

123456

17 %

2

123456789

9%

3

qwerty

6%

4

12345678

4%

5

111111

3%

Hur stor är sannolikheten att du

a) inte har 123456 som lösenord

b) Vad är sannolikheten för att få en 3:a enligt resultatet i tabellen? c) Är tärning riktigt utformad? Motivera.

b) inte har ett av de tre vanligaste lösenorden

c) inte väljer ett av de fem vanligaste lösenorden

36 Diagrammet visar de fem populäraste motionsoch tävlingsaktiviteterna bland ungdomar. Tabellen visar antalet av respektive åldersgrupp.

NIVÅ 3 34 Diagrammet visar ungdomars användande av ett socialt nätverk.

81 68

Gång/promenad Löpning

Procent 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Lösenord

Styrketräning 83

81

74

75

74

Simning Fotboll

60

0

48

200´ 6–12 år

400´ 13–18 år

600´

800´

19–25 år

35 22

17 8

2012

2013

2014

2015

2016

Gymnasiet 17–19 år Högstadiet 14–16 år Mellanstadiet 11–13 år

Åldersintervall

Antal

6–12

1,2 · 106

13–18

1,3 · 106

19–25

1,4 · 106

a) Vad är sannolikheten för att en slumpvis utvald 13–18 åring styrketränar?

a) I vilken ålderskategori har användandet minskat mest?

b) Hur många i ålderskategorin 19–25 år håller på med löpning?

b) Vad var sannolikheten för att gå på mellanstadiet och inte använda mediet 2016?

c) Vad är sannolikheten för att en slumpvis utvald 6–12 åring simmar?

c) Ungefär hur många av 28 elever i en högstadieklass använde mediet 2014?

d) Hur stor andel av 6–12 åringarna spelar fotboll? Sannolikhet och statistik | Kapitel 4  129

GRUNDKURS

4.4 KOMBINATORIK På hur många olika sätt man välja en fyrsiffrig Bankomatkod? På hur många olika sätt kan man kombinera kläderna i garderoben? Hur många olika lösenord finns det till en mobiltelefon? Den delen av matematiken som undersöker sådana frågeställningar kallas för kombinatorik. EXEMPEL 1

EXEMPEL 2

En Bankomatkod består av fyra siffror. Hur många olika bankkoder finns det?

En korvkiosk säljer tre olika typer av korvar. De har två olika typer av bröd att välja på. Hur många olika kombinationer finns att köpa?

Lösning: Tal 1

Tal 2

Tal 3

Tal 4

Möjliga val

0–9

0–9

0–9

0–9

Antal

10

10

10

10

Antal möjliga koder:

Lösning: Korven kan väljas på tre olika sätt medan brödet kan väljas på 2 olika sätt. Antal möjliga kombinationer: 3 · 2 = 6 Svar: 6 olika kombinationer.

10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 Svar: 10 000 olika koder.

Multiplikationsprincipen För att få fram totala antalet kombinationer, multipliceras antalet möjliga val på varje plats i lösenordet. Metoden kallas för multiplikationsprincipen.

NIVÅ 1 37 En portkod består av tre siffror mellan 0 och 9. Hur många olika koder finns det? 38 Sabina ska ta på sig kläder till skolan. Hon väljer mellan två tröjor, tre par byxor och tre olika kepsar. På hur många olika sätt kan hon klä sig om hon ska ha ett plagg av varje?

130  Kapitel 4 | Sannolikhet och statistik

39 I glasskiosken kan man välja på rån eller bägare. Det finns fem smaker att välja på. Bestäm antalet möjliga kombinationer av glassar om man väljer a) en kula b) två kulor c) tre kulor 40 Hur många tvåsiffriga tal kan bildas med siffrorna 1 och 2?

GRUNDKURS NIVÅ 2

NIVÅ 3

41 Edit och Liam ska cykla till en sjö. Det finns olika vägar dit men alla går till sjön. I respek­ tive korsning kan de antingen välja höger, vänster eller rakt fram. På hur många olika sätt kan deras cykelväg bli om de kommer fram till fyra korsningar längs vägen till sjön?

45 Isak har sju olika tröjor, sex olika byxor, tre par skor och tre jackor.

42 Du ska äta en trerättersmiddag på en restaurang. Du kan välja mellan två förrätter, fem huvudrätter och tre efterrätter. Hur många olika menyval har du?

46 Koden till BankId består av sex siffror. Hur många olika koder kan det finnas?

FÖRRÄTT

a B ru s c h e tt io c c a rp Ca

HUVUDRÄ

TT

o n a ra P a s ta c a rb o c Osso bu ca S a lt im b o c e Lasagn R is o tt o

EFTERRÄT

T

T ir a m is u a P a n n a c o tt G e la to

43 Till en friluftsdag ska eleverna välja aktiviteter, två på förmiddagen och två på eftermiddagen. Hur många kombinationer av alternativ är möjliga? Förmiddag

Eftermiddag

Innebandy

Frisbeegolf

Kanindressyr

Löpträning

Teater

Ridning

Matlagning

Mattespets

a) På hur många olika sätt kan han kombinera, om han väljer ett av varje klädesplagg? b) Hur många fler sätt kan han kombinera om han köper två tröjor och ett par byxor till?

47 Registreringsnumret på en svensk bil består av tre bok­ stäver och tre siffror. Hur många bilar kan det, med detta system, maximalt finnas om varje bil ska ha ett unikt registreringsnummer? (ÅÄÖ finns inte på registreringsskyltar) 48 Imelda Marcos var tidigare presidentfru på Filippinerna. Hon är känd för sin stora samling av kläder och skor. Bland annat ska det ha funnits 1000 par skor, 500 kjolar och 1000 väskor i hennes garderob. a) På hur många olika sätt kunde hon kombinera de tre sakerna ur sin garderob? b) Hur många år skulle det minst ta för henne att ha på sig sina kombinationer om hon bara fick ha en kombination per dag?

44 Hur många femsiffriga tal kan bildas med siffrorna 1 och 2? Sannolikhet och statistik | Kapitel 4  131

GRUNDKURS

4.5 PERMUTATIONER Ibland har ordningen betydelse inom kombinatorik. Det gäller t.ex. ordningen i en kö med fyra personer. Det som redan har valts kan inte väljas igen. En sådan omordning av en följd kallas permutation. EXEMPEL

Fyra personer står i en kö. På hur många olika sätt kan de köa? Lösning: Antal möjliga köordningar: 4 · 3 · 2 · 1 = 24

Möjliga val

Plats 1

Plats 2

Plats 3

Plats 4

4

3

2

1

När köplats 1 valts återstår endast tre möjliga val till köplats 2. Antalet möjliga val minskar.

Svar: 24 olika sätt.

Fakultet För att underlätta beräkningar med permutationer kan man ta hjälp av begreppet fakultet. Fakulteten av ett heltal större än noll är lika med produkten av alla heltal från 1 upp till och med talet självt. Beteckningen ! används för fakultet. Lösningen till exemplet ovan kan alltså skrivas som 4! (4-fakultet). 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24

GRUPPUPPGIFT

På en pizzeria får man välja mellan sex olika ingredienser på sin pizza. Vilka påståenden stämmer? Påstående

a) Sex olika pizzor kan lagas med endast en ingrediens. b) Det finns lika många pizzor med fyra ingredienser som med två. c) Det finns fler pizzor med två ingredienser än med en. d) Det finns nio olika varianter av pizza med skinka, ost och lök. e) Om det hade funnits tolv ingredienser hade antalet olika pizzor fördubblats.

132  Kapitel 4 | Sannolikhet och statistik

Ja

Nej

GRUNDKURS NIVÅ 1 49 Tre elever tävlar i kortspel på rasten. Hur många olika resultatlistor kan tävlingen få? 50 De fyra olikfärgade klossarna ska staplas på varandra. Hur många olika sätt kan man stapla klossarna på?

51 Laget ställer upp för att tacka för matchen. På hur många olika sätt kan de ställa sig vid sidan om av varandra?

54 Fotbollsallsvenskan består av 12 lag. Hur många matcher blir det totalt om lagen möts två gånger? 55 Två kort ska dras ur en kortlek. På hur många olika sätt kan resultatet bli? 56 På hur många olika sätt kan bokstäverna i ordet DYNAMISK arrangeras om det nya ”ordet” också ska börja med bokstaven D? 57 Två personer går på en buss där det finns sex lediga platser. På hur många olika sätt kan de sätta sig?

NIVÅ 3 58 Familjen Bylund består av fem personer. Runt köksbordet finns det sex platser. På hur många olika sätt kan familjen sätta sig? 59 Det ska väljas elevrådsrepresentant i 9C. Klassen består av 13 pojkar och 16 flickor. På hur många olika sätt kan klassen välja om det ska utses

52 Hur många kombinationer finns till ett fyrsiffrigt lås om a) siffrorna 0–9 får användas på alla platser b) alla siffror är högre än 7 c) koden består endast av jämna siffror

NIVÅ 2 53 I en kiosk finns fyra olika glassorter, vanilj, jord­ gubb, choklad och päron. Du väljer två kulor. Hur många olika glassar kan du köpa om du a) måste välja olika smaker b) får välja samma smak

a) en flicka och en pojke b) två flickor c) två pojkar 60 Hur många möjliga ordningsföljder kan en blandad kortlek kan förekomma i? 61 I spelet Lotto ska man förutsäga vilka sju nummer av 35 som det blir vid en nummer­dragning. Hur många olika vinstrader är möjliga?

Sannolikhet och statistik | Kapitel 4  133

GRUNDKURS

4.6 STAM-BLAD-DIAGRAM Det vanligaste sättet att beskriva ett datamaterial är med hjälp av tabeller eller stapeldiagram. Det finns många vinster med att beskriva materialet med hjälp av ett så kallat stam-blad-diagram. Namnet kommer av att tiotalen påminner om en stam, på vilken det sitter blad, entalssiffrorna. En undersökning av hur många kilogram avfall en grupp elever slänger per månad visar följande resultat: 21 24 33 36 30 36 30 35 30 39 28 32 30 37 32 22 24 25 40 23 26 27 26 45 44 Sortera mätvärdena på följande sätt i ett stam-blad-diagram: Alla värden börjar med tiotalssiffra så vi kan sortera efter grupperna 2, 3 och 4. Dessa tal kallas stammar och sätts till vänster om ett lodrätt streck. Värdet 21 skrivs: 2 | 1 (2 är stam och 1 är blad). Fyller vi på med värdet 24 får vi: 2 | 1 4 Läs av alla mätvärden och placera alla entalssiffror bakom korrekt tiotalssiffra: 2|1482453676 3|360605092072 4|054 Sortera därefter från minsta till största värde: 2|1234456678 3|000022356679 4|045

Lägesmått och spridningsmått Ett lägesmått är ett mått på det genomsnittliga värdet i en undersökning. När värdena i stam-blad-diagrammet är sorterade i storleksordning är det lätt att avläsa och beräkna lägesmåtten median, medelvärde och typvärde. Medianen i stam-blad-diagrammet är det mittersta värdet. Om det är två värden i mitten är medianen medelvärdet av dem. 2|1234456678 3|000022356679 4|045 Medianen är 30 kg.

134  Kapitel 4 | Sannolikhet och statistik

GRUNDKURS

Medelvärdet är summan av alla värden dividerat med antalet värden. Antalet entalsiffor är totala antalet värden. I diagrammet finns det 25 värden. 2 | 1 2 3 4 4 5 6 6 7 8 3 | 0 0 0 0 2 2 3 5 6 6 7 9 4 | 0 4 5 Medelvärdet =

⇒ 20 · 10 + 46 = 200 + 46 = 246 ⇒ 30 · 12 + 40 = 360 + 40 = 400 ⇒ 40 ·   3 +   9 = 120 +   9 = 129 (tiotal) (ental)

246 + 400 + 129 775 = 31 kg. = 25 25

Typvärdet är värdet som förekommer flest gånger. V   ärdet 30 kg förekommer fyra gånger. 2|1234456678 3|000022356679 4 | 0 4 5

Typvärdet är 30 kg.

Spridningsmått är ett sammanfattande mått på spridningen i en undersökning. Eftersom värdena i diagrammet är sorterat från minsta till största värdet är det lätt att beräkna spridningsmåttet variationsbredd. Variationsbredden är differensen mellan det största och det minsta mätvärdet. Det lägsta värdet i undersökningen är 21 kg och det högsta 45 kg. 2|1234556679 3|000022356679 4 | 0 4 5

Variationsbredden = 45 – 21 = 24 kg.

NIVÅ 1

64 Stam-blad-diagrammet visar resultatet av en undersökning.

62 Utgå från talserien.

1|140 2|04 3|81

6 8 10 23 46

a) Sortera mätvärdena. b) Beräkna variationsbredden.

a) Beräkna medelvärdet. b) Bestäm medianen.

65 Alva undersökte skostorlekar i en klass och fick följande resultat.

63 Vilken av talserierna har den största variationsbredden?

A B C

1 2 1

2 4 2

3 6 3

4 8 8

38, 45, 34, 39, 38, 41, 41, 40, 36, 35, 36, 39, 37, 37, 34, 38, 38

a) Redovisa resultatet i ett stam-blad-diagram. b) Vilken är medianen? c) Vilket är typvärdet? Sannolikhet och statistik | Kapitel 4  135

GRUNDKURS NIVÅ 2

NIVÅ 3

66 Vilken av talserierna har störst

70 Utgå från talen nedan.

a) variationsbredd b) typvärde c) median A B C

2 1 4

2 1 4

3 1 2

4 2 2

4 5 2

4 10  2

67 Arvid undersökte åldern hos de boende i ett hyreshus. Stam-blad-diagrammet visar resultatet.

2300 9600 3250 8750 6750 1200

71 Vilket lägesmått representerar respektive talserie bäst? Motivera.

a) Vilken är variationsbredden? b) Vilket är typvärdet? c) Vilken är medianen?

0 | 4 4 1 | 2 2 | 2 4 4 3 | 8 4 | 1 1 1 8 9

a) Beräkna medelvärdet. b) Bestäm medianen. c) Beräkna variationsbredden.

A

0

1

1

2

20

B

20

30

30

30

40

C

2

2

2

2

2

72 Utgå från följande stam-blad-diagram som be­ skriver en undersökning om kroppsvikt i kg.

4 | 9 3 2 6 7 5 6 7 5 8 5 | 3 5 2 2 7 4 0 1 8 6 7 7 0 6 | 4 0 Fem snabba

Ja

Nej

a) Typvärdet i undersökningen är 50 kg. b) Det är 8 personer som väger ungefär 40 kg.

68 En undersökning av värdet i ett antal spargrisar gav följande resultat i kr.

c) Variationsbredden är 12 kg.

2, 22, 10, 3, 25, 20, 1, 19, 28, 2, 1

a) Redovisa resultatet i ett stam-blad-diagram. b) Vilken är medianen? c) Vilket är medelvärdet? d) Vilket är typvärdet? d) Vilken är variationsbredden? 69 Vad ska stå istället för A och B om variationsbredden är 48, medianen är 44 och medelvärdet är 42? A

23

44

B

68

136  Kapitel 4 | Sannolikhet och statistik

d) Det har deltagit 28 personer i undersökningen. e) Medianvikten är 51 kg. 73 Följande värden är resultatet från en under­ sökning av månadslöner (i kr) på ett företag.

29 000, 28 500, 50 000, 32 000, 37 000 24 000, 29 000, 41 000, 32 000, 28 500

Avrunda svaren till tusental och gör ett stamblad-diagram.

GRUNDKURS

4.7 LÅDAGRAM Stam-blad-diagrammen visar lärarnas ålder i två arbetslag på en skola. Arbetslag A 2|78 3|24 4|3566 5|47 6|1

För båda arbetslagen gäller följande lägesmått:

Arbetslag B 3|048 4|0566 5|26

Median = 45 år Medelvärde = 43 år Typvärde = 46 år

Däremot har arbetslag A större spridning i åldersfördelningen. För att jämföra åldern i arbetslagen man använda spridningsmått. Bilden av spridningen kan man visa i ett lådagram (kallas även låddiagram). Lådagrammet visar fem värden: det minsta värdet, nedre kvartilen (25 % av värdena), medianen, övre kvartilen (75 % av värdena) och det största värdet. Genom att ordna värdena efter storlek i arbetslag A kan vi enkelt bestämma de olika värdena. Median 27

28

32

34

43

45

46

Mittvärdet i denna del är 32. Detta värde kallas nedre kvartilen och är gränsen för 25 % av värdena. Kvartil betyder fjärdedel.

46

54

25

25 %

30

Minsta värdet

50 %

35

40

Nedre kvartil

45

75 %

50

Median

55

100 %

60

Övre kvartil

65

Största värdet

Arbetslag B

25

30

35

40

45

61

Mittvärdet i denna del är 54. Detta värde kallas övre kvartilen och är gränsen för 75 % av värdena.

Arbetslag A 0%

57

50

55

60

65

”Lådan” i mitten visar läget och spridningen av den mittersta hälften av värdena. Det är även lätt att avläsa variationsbredden, dvs. differensen mellan det lägsta och högsta värdet ⇒ 61 – 27 = 34 år. Man kan tydligt se skillnaden i sprid­ ning om vi jämför lådagrammen för respektive arbetslag.

Sannolikhet och statistik | Kapitel 4  137

GRUNDKURS NIVÅ 1

NIVÅ 2

74 Vilket värde har

78 Rita ett lådagram med följande värden:

a) medianen b) nedre kvartilen c) övre kvartilen

20

25

30

35

40

45

50

75 Vilket värde har

Nedre kvartilen = 17 Övre kvartilen = 57 Det minsta värdet = 7 Det största värdet = 68 Medianen = 36

79 Utgå från följande lådagram. år 9

a) nedre kvartilen b) övre kvartilen c) det minsta värdet d) det största värdet

130

140

150

160

170

180 år 8

Fem snabba 10

15

20

25

30

a) Medianlängden har ökat från år 8 till år 9. b) Medianlängden har ökat med 15 cm.

76 77

190cm

Rita ett lådagram med följande värden: Nedre kvartilen = 16 Övre kvartilen = 37 Det minsta värdet = 8 Det största värdet = 45 Medianen = 23 Fem snabba om lådagram

a) Median betyder 50 % av antalet observationer. b) Kvartil betyder fjärdedel. c) Variationsbredden är alltid lika stor. d) Typvärdet är samma som nedre kvartilen. e) Nedre kvartilen visar 25 % av antalet observationer.

138  Kapitel 4 | Sannolikhet och statistik

Ja

c) I år 9 är den som är längst 180 cm. d) Den kortaste personen är en tjej. e) Det är 25 % av eleverna i år 9 som är längre än 172 cm

Nej

Ja

Nej

GRUNDKURS 80 Utgå från följande diagram. Hur skulle lådagrammet till undersökningen se ut?

NIVÅ 3 82 Lådagrammet visar fördelningen av 800 elevers längd i årskurs 3.

3 2

100

1 0

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

81 En undersökning av temperaturen gav följande resultat.

−17, −12, −12, −8, −7, −5, −3, −1, −1, 0, 2, 2, 5

a) Rita ett lådagram där värdena nedan framgår. Nedre kvartilen Övre kvartilen Det minsta värdet Det största värdet Medianen

110

120

130

140

150

Vilket värde har

a) nedre kvartilen b) övre kvartilen c) Den 640:e längsta eleven är 130 cm. Ungefär hur många elever är då mellan 126 till 130 cm? 83 Stam-blad-diagrammet visar fördelningen av skostorlekar i en klass. Rita ett lådagram utifrån värdena.

3 | 4 4 5 6 6 7 7 7 8 9 9 4 | 0 0 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 6 84 Lådagrammet visar resultatet från 10 observationer. Ge förslag på vilka mätvärden som ingått i undersökningen. Typvärdet är 22.

b) Beräkna variationsbredden. 10

15

20

25

30

85 Två företag tillverkar batterier. En under­ sökning av batteriernas livslängd gav resultatet enligt lådagrammen. Vilket av företagen tillverkar de bästa batterierna? Motivera. Tillverkare A

Tillverkare B

0

1

2

3

4

5

8 6 7 Livslängd i h

Sannolikhet och statistik | Kapitel 4  139

KAPITELDIAGNOS A NIVÅ 1–2 A1 Du slår en sexsidig tärning två gånger. Hur stor är sannolikheten att först få ett jämnt tal och sedan ett udda tal? A2 I en påse finns åtta röda kulor och fyra svarta. Hur stor är sannolikheten att få två svarta kulor utan återläggning? A3 Nedan anges sannolikheten för några händelser. Hur stor är sannolikheten för komplementhändelsen?

a) 7 % b) 0,34 c)

2 5

A4 Du slår en tärning 50 gånger och antecknar resultatet i en tabell. Vilka av resultaten känns rimliga? Antal prickar

Antal gånger

1

6

2

9

3

7

4

8

5

9

6

11

A5 Karim har fyra mössor, två halsdukar och tre par handskar. På hur många sätt kan de kombineras? A6 Hur många tvåsiffriga tal kan bildas med siffrorna 3, 2 och 1? A7 Du har en hög med klossar i fyra olika färger. På hur många sätt kan du göra en stapel med tre klossar? Samma färg får bara förekomma en gång.

140  Kapitel 4 | Sannolikhet och statistik

A8 Fem personer köar efter varandra. På hur många olika sätt kan de stå? A9 Gör ett stam-blad-diagram till längdhoppsresultatet (i cm):

250, 340, 280, 410, 370, 220, 340, 350 A10 Läs av lådagrammet.

4

5

6

7

8

9

10

11

Vilket värde har

a) nedre kvartilen b) övre kvartilen c) det minsta värdet d) det största värdet A11 Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna A1–A10.

12

KAPITELDIAGNOS B NIVÅ 2–3 B1 I en godispåse med 50 bilar är 2 fördelningen röda bilar, 5 10 % gröna bilar och resten vita bilar.

Hur stor är sannolikheten att först ta en vit bil, röd bil och till sist en grön bil? B2 Du blandar en kortlek. Hur stor är sannolikheten att dra först en knekt, sedan en dam och till sist en kung när du lägger tillbaka korten varje gång? B3 I en fröpåse gror 80 av 120 frön. a) Hur många är det sannolikt att det gror när du sår 20 frön? b) Hur många frön ska du minst så för att det bör bli 20 frön som gror? B4 Diagrammet visar antalet elever som behöver eller redan har glasögon i de olika årskurserna. Detta framkom i en synundersökning av skolans 360 elever.

B5 Koden till en iPad består av sex siffror. Hur många olika kombinationer är möjliga? B6 På pizzerian finns det 20 olika sorters pizzor, 10 olika sorters drickor och 15 olika sorters glassar. På hur många sätt kan man kombinera ihop en meny med pizza, dricka och glass? B7 I klassen med 25 elever ska två väljas till elevrådet. På hur många olika sätt kan eleverna väljas? B8 Floristen i blomsteraffären ändrar ordningen på blommorna i skyltfönstret varje dag. Hur många olika sorter behövs högst för att ordningen ska bli olika under en hel månad? B9 På en arbetsplats har personalen följande löner (i kr):

Antal elever med glasögon 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

21 000, 22 500, 22 800, 28 100, 28 300, 28 600, 32 300 och 32 800.

Avrunda svaren till tusental och gör ett stam-blad-diagram.

B10 Läs av lådagrammet.

8,0

Åk 7

Åk 8

Åk 9

a) Hur stor är sannolikheten att en elev har glasögon på skolan? b) Sannolikheten är oförändrad när åk 7 startar till hösten. I en klass är det 30 elever. Hur många har rimligen glasögon?

9,0

10,0

Vilket värde har

a) nedre kvartilen b) övre kvartilen c) det minsta värdet d) det största värdet? B11 Självbedömning Skriv om du är säker, ganska säker eller osäker på lösningen för var och en av uppgifterna B1–B10. Sannolikhet och statistik | Kapitel 4  141

Tillämpa förmågorna

TILLÄMPA KAPITEL 4 FÖRMÅGORNA 2

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA

Här följer tre större uppgifter där ni under arbetets gång övar alla förmågorna i matematik: P PROBLEMLÖSNING B BEGREPP M METOD R RESONEMANG K KOMMUNIKATION

Uppgifterna varierar i storlek och kan ta allt ifrån en lektion till någon vecka. Ofta arbetar ni i grupp och hur ni redovisar bestämmer ni tillsammans med er lärare.

1

SPEL OCH DOBBEL Vilka är egentligen vinnarna när det kommer till spel. Spelarna eller spelbolagen? Lär dig se igenom myten om den stora vinsten!

2

RALLY-KALLE Välkomna till rallybanan! Här gäller det att ta sig i mål snabbast av alla genom att flytta bilarna med hjälp av tärningar. Vad ska du satsa på för att ha störst chans att vinna?

3

STEN, SAX ELLER PÅSE? Spelet sten, sax eller påse styrs väl av slumpen? Eller finns det knep för att vinna?

142  Kapitel 4 | Sannolikhet och statistik

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 1

SPEL OCH DOBBEL Med aggressiv marknadsföring vill spelbolagen få oss att spela mer. Allt som oftast får vi besked om hur mycket pengar man kan vinna på spel.Vad som inte framkommer är att de stora vinnarna är Spelbolagen och att allt fler fastnar i spelberoende. Nästan alla spelare går med förlust. Oavsett vilken spelform man ägnar sig åt. Ju mer man spelar, desto mer förlorar man. Att försöka vinna tillbaka de pengar man förlorat leder bara till att man förlorar ännu mera pengar. UPPVÄRMNING

Av totalt 4 000 000 trisslotter finns det 857 736 vinstlotter. På två av dessa lotter kan man vinna 1 000 000 kronor. 843 892 lotter ger en vinst på 120 kronor eller mindre. a) Hur stor är sannolikheten att vinna 1 000 000 kronor? b) Hur stor är sannolikheten att vinna något alls? c) Du köper 10 trisslotter. Hur mycket av pengarna du satsar går till spelbolaget och hur mycket delas ut som vinster till spelarna?

UPPGIFT

Din kompis har fastnat i spelberoende. Använd din kunskap om sannolikhet för att hjälpa hen att sluta spela. Gör ett faktablad med argumenterande text och tydliga diagram där du jämför olika spel eller lotterier.

Stödfrågor • Beskriv spelformen.Vad är det ni ser och hör? • Vilka tror ni är målgruppen för spelet? Beskriv ålder, kön och intressen. • Känner ni till företaget eller organisationen som ligger bakom spelet? • Informerar spelbolaget om återbetalningsgrad och vinstchanser i sin kommunikation? • Vilka är oddsen? Ofta nämns begreppet odds när det handlar om spel. 1 1 Odds = , där P är sannolikheten för att något ska inträffa.  Är t.ex. P = 0,4 blir oddset = 2,5. 0,4 P Sannolikhet och statistik | Kapitel 4  143

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 2

START

MÅL

RALLY-KALLE Välkomna till rallybanan! Här gäller det att ta sig i mål snabbast av alla genom att flytta bilarna med hjälp av tärningar. • Respektive spelare ger sin bil ett startnummer mellan 2 och 18. • Innan förflyttning ska spelaren kasta två eller tre sexsidiga tärningar. Det får spelaren själv välja från gång till gång. • Stämmer summan av tärningarna med startnumret får bilen flyttas 5 steg på spelplanen. • När en spelare slagit tärningarna en gång går turen över till nästa. UPPGIFT

a) Vem vann? Spela flera gånger och ändra ditt startnummer så att du får större chans att vinna! b) Visa med beräkningar och resonemang vilket eller vilka startnummer som har störst chans att vinna!

144  Kapitel 4 | Sannolikhet och statistik

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 3

STEN, SAX ELLER PÅSE? En barnlek som enligt vissa är helt slumpmässig men enligt andra kräver sitt och att vinnaren är en skicklig taktiker. Sten-sax-påse är ett urgammalt spel med anor från Kina. Spelet går ut på att två mot­ ståndare samtidigt sträcker fram en hand formad antingen som en sten, sax eller påse. Stenen vinner över saxen, saxen över påsen och påsen över stenen.

UPPGIFT

1. Arbeta tillsammans två och två och sätt upp ett simulerings­ försök, där ni ska beräkna sannolikheten för vinst spelare 1, oavgjort eller vinst spelare 2. Ju fler försök ni utför desto mer tillförlitligt resultat. Utför minst 50 men gärna 100 försök.

Utan strategi

2. Nu får förloraren möjlighet till att ändra strategi. Istället för att följa sin intuition så följs taktiken enligt teorin.

Med strategi

Vinst spelare 1

Vinst spelare 1

Oavgjort

Oavgjort

Vinst spelare 2

Vinst spelare 2

Teori: • En vinnare byter inte sitt föremål. Den kör på samma föremål i hopp om att vinna igen. • En förlorare byter sitt föremål. Taktik: • Förlorar du. Byt till föremålet som vinner över det föremål du just förlorat mot (alltså – byt till det föremål som varken du eller din motståndare hade). • Har du vunnit, byt till föremålet som din motspelare precis spelade och förlorade med. Hen förväntar sig att du kommer spela samma föremål och byta till det som vinner över den. • Blir det oavgjort, ”slumpa” fram ett valfritt föremål. Upprepa försöket för att se ifall spelet styrs av slumpen eller strategiskt tänkande.

Sannolikhet och statistik | Kapitel 4  145

TRÄNA MERA   4.1 Sannolikhet

4.2 Komplementhändelser

1 Hur stor är sannolikheten att med en tiosidig tärning (0 till 9) slå

7 Hur stor är sannolikheten att inte få 1:a och 2:a när man slår med en sexsidig tärning?

a) en 2:a eller 5:a b) högre än 6:a c) ett udda tal

8 Du slår en tiosidig tärning.

2 Skriv sannolikheterna i procentform. 3 a) 0,05 b) 4 c) 0,152 d) 1 av 10  3 I en fruktskål ligger 3 clementiner och 6 plommon. Hur stor är sannolikheten att

a) först dra en clementin och sedan ett plommon

b) först dra ett plommon och sedan en clementin

4 Du drar två kort ur en kortlek. Hur stor är sannolikheten att med återläggning dra

a) Bestäm antalet möjliga utfall. b) Hur stor är sannolikheten att slå en 8:a? c) Hur stor är sannolikheten att inte slå en 8:a?  9 Nedan anges sannolikheten för några händelser. Hur stor är sannolikheten för komplement­ händelsen? a) 47 % b) 89 % c) 95,5 % 10 Nedan anges sannolikheten för några händelser. Hur stor är sannolikheten för komplementhändelsen? a) 0,7 b) 0,03 c) 0,44 11 Du har en skål med kulor.

a) två spader b) två knektar c) först en hjärter och sedan en spader  5 Du snurrar på lyckohjulet. Hur stor är sannolikheten att få

a) först rött och sedan blått b) först gult och sedan grönt?

6 Annelie sätter 8 av 10 skott i basket. Hur stor är sannolikheten att hon sätter a) ett skott b) två skott i rad

146  Kapitel 4 | Sannolikhet och statistik

a) Hur stor är sannolikheten att dra en rosa kula?

b) Hur stor är sannolikheten att inte dra en rosa kula?

12 Ett frö har grobarheten 90 %.

a) Hur stor är sannolikheten att ett sått frö inte gror?

b) Ungefär hur många frön gror om du sår 100 st?

TRÄNA MERA 4.3 Sannolikhet ur statistik

4.4 Kombinatorik

13 Ett år köpte svenskarna 13 kg nya kläder per person. Av dem återanvändes 2,4 kg och 8 kg slängdes i soporna.

16 Du har två tärningar. Den ena är numrerad 1–6 och den andra 0–9. På hur många olika sätt kan siffrorna på tärningarnas sidor kombineras?

a) Hur stor är sannolikheten att man återanvände någon persons kläder?

b) Hur stor är sannolikheten att man slängde sina kläder i soporna?

14 I ett bostadsområde är fördelningen av yrken enligt diagrammet. Det bor 3 000 arbetande personer i området. Lärare 8,3 % Målare 3,3 %

Författare 13,3 %

Operatör 10,0 % Vårdbiträde 13,3 % Kontorist 8,3 %

Journalist 10,0 %

Konstnär 13,3 %

Tekniker 10,0 %

Telefonist 10,0 %

a) Hur stor är sannolikheten att det är en konst­när som öppnar dörren när du ringer på?

b) Hur många är målare?

c) Hur stor är sannolikheten att träffa en journalist och sedan en tekniker i området?

15 I ett bostadsområde med 3 000 invånare pendlar 1 200 personer med buss, 300 st med tåg, 1 100 st med cykel och resten med bil. Hur stor är sannolikheten att träffa någon som

a) åker buss eller tåg

b) åker bil

17 Hur många tresiffriga tal kan bildas med siffrorna 3, 2 och 1? 18 Erik ska duka till middagen. Han väljer mellan två färger på tallrikar, tre olika sorters glas och fyra olika dukar. På hur många olika sätt kan han duka bordet? 19 I glasskiosken kan man köpa kulglass. De har sju olika smaker, bägare eller rån och plastskedar i fyra färger. På hur många sätt kan man kombinera sina glassar med en smak? 20 Hur många olika smörgåsar kan man göra av tre sorters bröd, fyra sorters pålägg och två sorters grönsaker? Varje smörgås ska ha ett pålägg och en grönsak.

4.5 Permutationer 21 De fem olikfärgade klossarna ska staplas på varandra. På hur många olika sätt kan man stapla klossarna?

22 I en grupp med fem personer ska två väljas till styrelsen. På hur många olika sätt kan detta ske? 23 Farfar och hans sex barnbarn ska sätta sig i hans bil med sju säten. På hur många olika sätt kan de sitta om farfar kör hela tiden? 24 Hur många olika koder med tre siffror kan bildas från siffrorna 0–9 om man inte får välja samma siffra mer än en gång i en och samma kod? Sannolikhet och statistik | Kapitel 4  147

TRÄNA MERA 4.6 Stam-blad-diagram

4.7 Lådagram

25 Vilken av talserierna har störst

29 Läs av lådagrammet.Vilket värde har

a) variationsbredd b) typvärde c) median d) medelvärde A

10

2

5

6

5

5

B

3

1

2

2

5

7

C

7

3

2

2

4

6

26 Till en undersökning gjordes ett stam-bladdiagram. Sortera mätvärdena och bestäm medianen.

3|5324 4|724 5|021

27 Katarina undersökte längden av klasskamraternas skolväg i km.

1,2 4,4 2,4 1,3 3,5 2,3 2,6 1,7 1,8 1,2 3,2 1,4 3,4 3,3 2,5 2,4 1,9 1,2 5,8 1,1 a) Redovisa resultatet i ett stam-blad-diagram. b) Vilken är medianen? c) Vilket är medelvärdet? d) Vilket är typvärdet? 28 Klassen sprang orientering och fick följande tider i min.

45 44 36 32 47 30 42 43 36 32 46 31 55 34 37 42 57 33 43 48 32 39 40 30 a) Redovisa resultatet i ett stam-blad-diagram. b) Hur stor är variationsbredden? c) Vilken är medianen?

0

10

15

20

25

a) medianen b) nedre kvartilen c) övre kvartilen d) variationsbredden 30 Läs av lådagrammet.Vilket värde har

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

a) medianen b) övre kvartilen c) minsta värdet d) största värdet 31 Rita ett lådagram med följande värden.

Nedre kvartilen: 25 Övre kvartilen: 57 Det minsta värdet: 10 Det största värdet: 72 Medianen: 36

32 Rita ett lådagram med följande värden.

Nedre kvartilen: 2,5 Övre kvartilen: 8,5 Det minsta värdet: 1,5 Det största värdet: 11,5 Medianen: 6,5

33 Klassen sprang 5 km och fick följande tider i antal min:

40  44  36  32  40  30  42  43  36  32  28  31  25  34  37  28  24

148  Kapitel 4 | Sannolikhet och statistik

5

Redovisa resultatet i ett lådagram.

FÖRDJUPNING

Standardavvikelse är ett exempel på spridningsmått. Det är ett mått på hur mycket ett mätvärde avviker från medelvärdet. En hög standardavvikelse innebär en stor spridning av mätvärdena i en undersökning. En liten skillnad mellan mätvärdena ger en låg standardavvikelse. EXEMPEL

Elias och Elsa frågar sina kompisar hur stor veckopeng var och en får. De får följande svar: 20, 50, 50, 40, 30, 20 kr. Beräkna medelvärdet och standardavvikelsen. Lösning: 1 Beräkna medelvärdet av värdena i undersökningen. 20 + 50 + 50 + 40 + 30 + 20 210 medelvärdet = = = 35 kr 6 6 2 Beräkna skillnaden mellan varje enskilt värde och medelvärdet. Beräkna sedan kvadraten på skillnaden.

Skillnaden

3 Beräkna medelvärdet av summan av kvadraterna. 225 + 225 + 225 + 25 + 25 + 225 950 = ≈ 158 6 6 4 Dra till sist roten ur resultatet för att beräkna standardavvikelsen.

standardavvikelsen =

158 ≈ 12,6 kr

Standardavvikelser visas ofta i ett linjediagram som visar normalfördelningen i en stor undersökning med många värden. Många mätvärden följer en normalfördelning t.ex. längd i en viss ålder, födelsevikt, nederbörd under en viss månad. Normalfördelningskurvan är symmetrisk kring medelvärdet. Standardavvikelsen delar in observationerna i bestämda intervall. 68 % av värdena finns inom högst 1 standardavvikelse från medelvärdet.

Kvadraten på skillnaden 35 − 20 = 15 152 = 225 35 − 50 = −15 (−15)2 = 225 35 − 50 = −15 (−15)2 = 225 35 − 40 = −5 (−5)2 = 25 35 − 30 = 5 52 = 25 35 − 20 = 15 152 = 225

95 % 68 %

–2σ –σ m +σ +2σ Låg standardavvikelse

95 % av observationerna finns inom högst två standardavvikelser från medelvärdet.

Hög standardavvikelse

m

Sannolikhet och statistik | Kapitel 4  149

FÖRDJUPNING  1 Katarina och Per jämför sina längder med sina fyra kompisar. De undersöker också hur mycket deras längder avviker från medelvärdet. Deras längder är:

156, 168, 189, 172, 169 och 160 cm

a) Beräkna medelvärdet. b) Beräkna standardavvikelsen.  2 I Katarina och Pers familj ingår fem medlemmar. Deras ålder är:

5 Antalet invånare i Sverige är 10 miljoner.Varje person äter i genomsnitt 62 kg kött per år. Utgå från att köttkonsumtionen är normalfördelad. Hur många äter kött inom första standard­ avvikelsen?  6 Undersökningen visar normalfördelningen av åldern för ungdomar att ta körkort.  Antalet ungdomar i undersökningen är 2 000 st. Antal ungdomar

45, 51, 15, 14 och 10 år

a) Beräkna standardavvikelsen för barnen. b) Beräkna standardavvikelsen för familjen.  3 Utgå från nomalfördelningskurvan.

a) Hur många procent av värdena ligger till höger om medelvärdet?

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Ålder

a) Hur hög är medelåldern?

b) Hur många procent av värdena ligger till vänster om medelvärdet?

b) Hur många år är en standardavvikelse?

c) Hur många procent motsvarar det rosa, det blå respektive det gula området var för sig?

d) Hur många i åldern 26–28 år tog körkort?

95 % 68 %

c) Hur många i åldern 18–24 tog körkort?

7 I en undersökning tillfrågades 50 000 ungdomar om de läste två eller fler böcker i månaden. Antal elever

–2σ –σ m +σ +2σ

4 I en familj är fotstorleken olika. Längden på deras fötter är:

9,5, 18, 22, 23, 24, 25 och 28 cm

a) Beräkna medelvärdet. b) Beräkna standardavvikelsen. c) Bestäm medianen. 150  Kapitel 4 | Sannolikhet och statistik

6

8

10

12

14

16

18 Ålder

a) Hur många mellan 10–14 år läste två eller fler böcker i månaden? b) Hur många i åldern 4–10 och 14–20 år läste två eller fler böcker i månaden?

BEGREPP

Sannolikhet

Den chans eller risk för att en händelse ska inträffa. Uttrycks med tal mellan 0 och 1.

Oberoende händelse

Händelse där sannolikheten inte ändras av en tidigare händelse.

Beroende händelse

Händelse där sannolikheten ändras av en tidigare händelse.

Gynnsamma utfall

De utfall som man vill få i ett slumpmässigt försök.

Möjliga utfall

De resultat som man kan få i ett slumpmässigt försök.

Kombinatorik

En gren av matematiken som behandlar hur olika valmöjligheter kom­ bineras t.ex. hur många olika ordningsföljder det finns av ett visst antal.

Fakultet

För ett heltal större än noll är fakulteten lika med produkten av alla heltal från 1 upp till och med talet självt. T.ex. 8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

Multiplikationsprincipen

För att få fram totala antalet kombinationer, multipliceras antalet möjliga val för varje plats.

Komplementshändelser

Samtliga utfall i en händelse som inte är gynnsamma.

Typvärde

Det vanligaste värdet i en undersökning.

Variationsbredd

Differensen mellan största och minsta värdet i en undersökning.

Stam-blad-diagram

En tabell där värdena i en undersökning organiseras på ett visst sätt. Tiotal till vänster (stam) och ental till höger (blad). 2|014 3|04 4|18

Kvartil

Delar upp ett statistiskt material i fyra lika delar. 25 % av värdena är mindre än nedre kvartilen och 75 % av värdena är mindre än övre kvartilen.

Lådagram (låddiagram)

Diagram som visar det minsta värdet, den nedre kvartilen, medianen, den övre kvartilen och det största värdet i en undersökning.

Sannolikhet och statistik | Kapitel 4  151

SAMMANFATTNING

DU SKA KUNNA

EXEMPEL

Oberoende och beroende händelser

I en påse finns tre röda kulor och två svarta. a) Hur stor är sanno­ likheten att få två röda kulor med återläggning?

LÖSNINGSFÖRSLAG

a) P(röd, röd) =

3 5

2 5

3 5

b) Hur stor är sanno­ likheten att få en röd kula och en svart kula med återläggning?

b) Antingen drar man först en röd och sedan en svart eller först en svart och sedan en röd. 3 2 3⋅2 6 P(röd, svart) = · = = = 24 % 5 5 5⋅5 25 2 3 2⋅3 6 P(svart, röd) = · = = = 24 % 5 5 5⋅5 25 Totala sannolikheten att få en röd och en svart kula är 24 % + 24 % = 48 %.

c) Hur stor är sanno­ likheten att få två röda kulor utan återläggning?

c) P(röd, röd) =

3 5 2 4

Komplementhändelser

2 5 2 5

3 5

3 3 3⋅3 9 · = = = 36 % 5 5 5⋅5 25

Hur stor är sanno­ likheten att inte få en 1:a eller 6:a när man slår med en tärning?

152  Kapitel 4 | Sannolikhet och statistik

3 2 3⋅2 6 · = = = 30 % 5 4 5⋅4 20 2 5

2 4

3 4

1 4

P(ej 1:a eller 6:a) + P(1:a eller 6:a) =

6 6

2 6 ⇒ = 6 6 6 2 4 P(ej 1:a eller 6:a) = − = ≈ 67 % 6 6 6 P(ej 1:a eller 6:a) +

SAMMANFATTNING

DU SKA KUNNA

EXEMPEL

LÖSNINGSFÖRSLAG

Kombinatorik

Sabina ska ta på sig kläder till skolan. Hon väljer mellan två tröjor, tre par byxor och tre olika kepsar. På hur många olika sätt kan hon klä sig om hon ska ha en sak av varje?

Två tröjor, tre par byxor och tre kepsar kombineras på alla sätt som är möjliga.

Tre personer går på en buss där det finns tre lediga platser. På hur många olika sätt kan de sätta sig?

Ordningen har betydelse. När första personen valt plats återstår endast två möjliga val till andra personen. Antalet möjliga val minskar.

a) Gör ett stam-bladdiagram utifrån värdena nedan.

a) Stam-blad-diagram:

Permutationer

Stam-blad-diagram

11, 14, 10, 20, 24, 38, 31

b) Beräkna variationsbredden.

Lådagram

2 · 3 · 3 = 18 olika sätt.

3 · 2 · 1 = 6 olika sätt.

1|014 2|04 3|18

b) Största värdet = 38 Minsta värdet = 10 Variationsbredden = 38 – 10 = 28

Läs av lådagrammet. Vilket värde har

1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6

a) medianen b) minsta värdet c) nedre kvartilen d) övre kvartilen e) det största värdet f) variationsbredden

a) medianen = 2,5 b) minsta värdet = 1,6 c) nedre kvartilen = 2,2 d) övre kvartilen = 3,1 e) största värdet = 3,5 f) variationsbredden = 3,5 – 1,6 = 1,9

Sannolikhet och statistik | Kapitel 4  153

KAPITEL 5

Problemlösning

154  Kapitel 5 | Problemlösning

PROBLEMLÖSNING

P

BEGREPP

B

METOD M RESONEMANG R KOMMUNIKATION K

CENTRALT INNEHÅLL • Förstå frågan i en textuppgift • Använda olika strategier för att lösa problem • Tolka resultat och dra slutsatser • Rimlighetsbedömning av givna svar • Bedöma om en matematisk modell kan användas i andra sammanhang

SIDORNA 180–183

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA I PROJEKT Det gyllene snittet Vem bryr sig? Skolans nya arkitektur

GRUPPUPPGIFT

En kokosboll kostar 2 kr mer än en chokladboll. Sju chokladbollar kostar lika mycket som fem kokosbollar. Vad kostar en chokladboll? Bestäm dig för vilken strategi som passar dig bäst när du löser problemet. Undersök sedan i klassen vilka strategier som har använts. Strategi

Frekvens

Relativ frekvens

Rita en bild Gissa och prova Gör en tabell Använd praktiskt material

Problemlösning | Kapitel 5  155

GRUNDKURS

PROBLEMLÖSNINGSSTRATEGIER Kapitlet behandlar problemlösning inom de olika ämnesområdena: Taluppfattning, Algebra, Geometri, Sannolikhet och statistik samt Samband och förändring. Till varje ämnesområde finns en sammanfattning av användbara begrepp och metoder för att lösa uppgifterna. Ett matematiskt problem är en typ av uppgift som ofta kräver någon form av undersökning för att kunna lösas. Det går att välja mellan olika strategier då man gör undersökningen.Vilken strategi man väljer beror på problemet men också vilken metod man känner sig mest bekväm med. Några problemlösningsstrategier: 1 Grafisk metod – Rita en bild

3 Systematisk prövning – Gör en tabell

2 Hitta på ett nytt exempel

4 Algebraisk lösning – Skriv en ekvation

Eftersom det finns många olika sätt att tänka är det viktigt med en tydlig och utförlig redovisning när du arbetar med problemlösning. EXEMPEL

I somras fick Sofie ett extrajobb i en glasskiosk. Försäljningen gick trögt och hon bestämde, utan chefens vetskap, att sänka glasspriset med 10 %. Chefen blev arg och Sofie fick i uppgift att höja priset till det samma som innan sänkningen. Med hur många procent tvingas hon höja glasspriset?

1 Grafisk metod – Rita en bild En ruta ska bort. Detta motsvarar 10 %. När sedan en ruta läggs till är den inte tillräckligt stor för att komma fram till utgångspriset. Det behöver läggas till mer. Pris från början

Nytt pris

Positivt med lösningen

10 % 1 ruta av 10 ska bort ⇒ 10 % 11 % 1 ruta av 9 ska till ⇒ ≈ 11 % Negativt med lösningen

Ger en enkel bild av Svårt att avgöra hur lösningen. mycket som ska läggas En allmängiltig lösning. till, bara att det är mer än det som togs bort.

156  Kapitel 5 | Problemlösning

2 Hitta på ett nytt exempel Anta att glassen kostar 20 kr. Nytt glasspris: 0,9 · 20 = 18 kr Höjning till det ursprungliga priset: 2 kr 2 Höjning i procent: ≈ 0,11 = 11 % 18 Positivt med lösningen

Negativt med lösningen

Enkel att förstå. Visar endast att be­ Tydlig och och räkningen fungerar välstrukturerad lösning. om glasspriset är 20 kr.

GRUNDKURS

3 Systematisk prövning – Gör en tabell Genom att använda ett kalkylark programmeras de olika beräkningarna. Alla testade glasspriser ger samma beräknade höjning.

Svar: Höjningen är ≈ 11 % Positivt med lösningen

Negativt med lösningen

Visar på fler olika glasspriser som ger samma resultat. En lösning som bygger på systematisk prövning.

Redovisar endast resultat för ett antal olika glasspriser. Man vet inte om resultatet är rätt för alla glasspriser.

4 Algebraisk lösning – Skriv en ekvation Anta att glassen kostar A kr. Pris efter sänkning: 0,9 · A Pris efter höjning: 0,9 · x · A = A (x är ny förändringsfaktor. Så mycket ska priset höjas igen för att anta det ursprungliga värdet.) 0,9 · x · A = A ⇒ 0,9 · x = 1 0,9 ⋅ x 1 ≈ 1,11 = 0,9 0,9 Förändringsfaktor 1,11 ⇒ Höjning 11 %

Positivt med lösningen

Negativt med lösningen

Spelar ingen roll vad Kan vara svår att förstå. glassen kostar från början. En allmängiltig lösning.

Problemlösning | Kapitel 5  157

GRUNDKURS

5.1 TALUPPFATTNING OCH TALS ANVÄNDNING GRUPPUPPGIFT

Adam åker längdskidor. Han åker med hastigheten 8 m/s men för varje minut halkar han 80 m bakåt. Hur lång tid tar det för Adam att åka en bana som är 3 km? Arons lösning: 3000 80 448 = 1,3    8 − 1,3 = 6,7    6,7 = 447,8    = 7,5 60 60 Svar: 7,5 min 1 Hitta ytterligare ett sätt att lösa uppgiften på. 2 Jämför er egen lösning och Arons lösning. Skriv ner fördelar och nackdelar. 3 Vilken metod tyckte ni var bäst? Motivera.

Prioriteringsregler

EXEMPEL

1 Parenteser

3(2 + 5) = 3 · 7 = 21 3 · 4 − 3 · 2 = 12 − 6 = 6

2 Multiplikation och division

2 (6 − 2) 2 ⋅ 4 8 = = =2 3+1 4 4

3 Addition och subtraktion

Negativa tal och de fyra räknesätten Addition

Subtraktion

EXEMPEL

a + (−b) = a − b

a − (−b) = a + b

(−4,8) + (−5,3) = (−4,8) − 5,3 = − 10,1

(−a) + (−b) = (−a) − b

(−a) − (−b) = (−a) + b

(−6,4) − (−2,4) = (−6,4) + 2,4 = − 4,0

Multiplikation

Division a (−c) ( −b ) =

EXEMPEL

(−a) · b = (−ab) a · (−b) = (−ab) (−a) · (−b) = ab

( −a )

= (−c)

b ( −a ) c ( −b ) =

(−1,2) · (−7) = 1,2 · 7 = 8,4 0,8 (−0,2) ( −4 ) =

Primtal Ett primtal är ett heltal som endast är delbart med 1 och sig självt.

158  Kapitel 5 | Problemlösning

EXEMPEL

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37…

GRUNDKURS

Potenser

Räkna med potenser

Multiplicera basen det antal gånger exponenten anger.

EXEMPEL

3

4

Addition och subtraktion 43 + 42 = 64 + 16 = 80

Exponent

43 − 42 = 64 − 16 = 48

Bas

Multiplikation och division 43 · 42 = 43+2 = 45 46 = 46−4 = 4 2 44

EXEMPEL

43 = 4 · 4 · 4 = 64 40 = 1 4−3 =

1 = 0,0625 4 ⋅4 ⋅4

Tiopotenser Värde i decimalsystemet

1 000 3

Tiopotens

100

10

2

10

10

0

1

0,1 0

10

0,01

−1

10

10

−2

10

0,001 10−3

Grundpotensform

Räkna med tiopotenser

Ett tal mellan 1 och 10 multiplicerat med en tiopotens.

EXEMPEL

EXEMPEL

3,5 · 103 + 3 · 102 = 3 500 + 300 = 3 800 = 3,8 · 103

40 000 = 4 · 104

8,2 · 103 − 2 · 102 = 8 200 − 200 = 8 000 = 8,0 · 103

Addition och subtraktion

34 000 = 3,4 · 104

Multiplikation och division

0,008 = 8 · 10−3

3,5 · 104 · 3 · 102 = 10,5 · 106 = 1,05 · 107

0,35 = 3,5 · 10−1

7 · 10−2 · 3 · 102 = 21 · 100 = 2,1 · 101 3,5 ⋅ 10 3 = 0,5 ⋅ 10 −1 = 5 ⋅ 10 −2 7 ⋅ 104

Prefix Prefix

tera

giga

mega

kilo

hekto

deci

centi

milli

mikro

nano

Förkortas

T

G

M

k

h

d

c

m

μ

n

Tiopotens

1012

109

106

103

102

10−1

10−2

10−3

10−6

10−9

Problemlösning | Kapitel 5  159

GRUNDKURS NIVÅ 2

Välj lämplig problemlösningsstrategi. Redovisa tydligt och strukturerat.

10 En ask med vin­druvor väger 240 g och kostar 24 kr. V   ad kostar 3,7 hg?

NIVÅ 1  1 Längs ena sidan av en allé står 20 träd. Träden är i genomsnitt 0,5 m breda. Hur långt är det mellan träden om allén är 105 m lång?  2 Malins tumme är 2,2 cm bred. Hur många tummar får det plats på 5 dm?  3 Avståndet mellan jorden och månen är ca 400 000 km. Mellan jorden och solen är det ca 1,5 · 108 km. Hur många gånger längre är det till solen?  4 En snäcka klättrar upp längs en hal hink. Den klättrar upp 5 cm och halkar ner 2 cm på en minut. Hur lång tid tar det för snäckan att komma över kanten 45 cm upp?  5 1,5 l läsk kostar 25 kr.Vad kostar 2 dl läsk?  6 Skolbespisningen gör köttbullar till lunch. De har lagt upp 1 000 st. Barnen får 6 st vardera. a) Hur många räcker bullarna till?

b) Det är 200 st elever som äter den dagen. Hur många köttbullar behövs ytterligare?

7 Kim packar ägg i kartonger.Varje kartong har plats för 6 ägg. Hon har 94 ägg. Vilket är det minsta antalet kartonger hon behöver för att packa alla äggen?

TIMSS 2011  8 Kalle cyklar 4 mil på tre timmar. Vilken är hans hastighet i m/s?  9 En tumnagel är 16 mm bred. Anta att man kunde lägga röda blodkroppar i en rad efter varandra på nageln. Hur många skulle det bli om en blodkropp är 8 μm? 160  Kapitel 5 | Problemlösning

11 En blond person har 146 000 hårstrån, på en yta av 10 dm2. Hur många hårstrån är det per cm2? 12 Hår växer ca 0,35 mm per dygn och det växer i ca 2-6 år. Amalias längsta hårstrå är 14,5 cm. Hur många månader har håret vuxit? 13 En vuxen människa har 5 l blod. En kubik­ millimeter blod innehåller 5 miljoner röda blodkroppar. Hur många röda blodkroppar finns det i 5 l blod? 14 En genomsnittlig atom är 0,2 nm. Hur många atomer får det plats på rad i en röd blodkropp med diametern 8 μm? 15 En människa tar ca 12 andetag per minut och andas in i genomsnitt 8 dl luft.

a) Hur många andetag tar en människa per dygn?

b) Hur många andetag tar en människa per år?

c) Hur många liter luft blir det på ett år? 16 Ett människohjärta slår ca 70 slag och pumpar ca 500 cl blod per minut. a) Hur många slag slår ett hjärta per dygn? b) Hur många hjärtslag blir det per år?

c) Hur många liter blod pumpar ett hjärta per år?

GRUNDKURS 17 Frankrike har 67 miljoner invånare och 104 inv/km2. Spanien har 46 miljoner invånare och 91,2 inv/km2.Vilket land är störst? 18 Spanien har 46 miljoner invånare och 91,2 inv/km2. Storbritannien har 65 miljoner invånare och 267 inv/km2. Hur många gånger större är Spanien än Storbritannien?

23 När olja från fartyg läcker ut i havet bildas en tunn hinna på vattnet som i genomsnitt har tjock­leken 0,002 mm. Ett fartyg läcker ut 6 m3 olja. Hur många kvadratkilometer täcker oljan?

Äp9Ma13 En AE (astronomisk enhet) är längden mellan jorden och solen, 149 597 870 700 m. Ett ljusår är 63 241 AE och ljuset färdas en AE på 499 sekunder.

NIVÅ 3 19 Hur många av de naturliga talen mellan 10–99 innehåller siffran 8? 20 Använd siffrorna 3 6 8 9. a) Bilda två tal som ger den största produkten.

b) Vilket är det största talet du kan bilda som är jämnt delbart med 3? (Alla siffror behöver inte användas.)

21 Kalle klipper gräsmattan på 6 timmar och Mursal klipper den på 4 timmar. Hur lång tid tar det om de klipper tillsammans? 22 En människa består till 60 % av vatten. En vattenmolekyl väger 3,0 · 10-26 kg. Hur många vattenmolekyler finns det i en person som väger 70 kg?

24 Närmaste stjärnan, vår sol, är 0,000016 ljusår från oss. Därefter kommer Proxima Centauri 4,2 ljusår bort. Ett ljusår är sträckan som ljuset färdas under ett år i hastigheten 300 000 km/s.

a) Hur många km är det till vår sol?

b) Hur många km är det till Proxima Centauri?

c) Hur många gånger längre är det till Proxima Centauri jämfört med solen?

25 Avståndet mellan Venus och Merkurius är 0,33 AE. Mellan Neptunus och Uranus är det 10,5 AE.

a) Hur många gånger längre är det mellan Neptunus och Uranus?

b) Hur många minuter och sekunder tar det för ljuset att färdas mellan Venus och Merkurius? 26 Merkurius avstånd till solen är 59 839 148 280 m. Hur många gånger fler ljusår är det mellan jorden och solen? 27 Vårt solsystem befinner sig ca 26 000 ljusår från Vintergatans mitt. Hur långt är ett varv i km om vi rör oss cirkulärt runt medelpunkten? Problemlösning | Kapitel 5  161

GRUNDKURS

5.2 ALGEBRA GRUPPUPPGIFT

Det finns n stycken tabletter i en tablettask. Av tabletterna är r stycken röda och g stycken gröna. a) Förklara uttrycken genom att ange sambandet mellan de röda och gröna tabletterna. A  r + 5 = g   B  n − 8 = g   C  7 − g = r b) Vad får vi reda på om tabletterna i ask D och E i uttrycken? r g D  = 0,1 = 0,25   E  n 20

Tolka och skriva uttryck

Förenkla och beräkna värdet av uttryck

EXEMPEL

(cm)

Skriv ett uttryck för triangelns area. 8x

EXEMPEL

a) Skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för rektangelns omkrets.

10x

(cm) 5y (3y + 4)

b) Beräkna omkretsen när y = 4,5 cm. 6x

b ⋅h 2 48x 2 6x ⋅ 8x Uttryck: = = 24x2 cm2 2 2 Triangelns area: A =

a) Rektangelns omkrets: 5y + (3y + 4) + 5y + (3y + 4) = = 5y + 3y + 4 + 5y + 3y + 4 = (16y + 8) cm b) y = 4,5 cm sätts in i uttrycket: 16 · 4,5 + 8 = 72 + 8 = 80 cm

Parentesuttryck Multiplikation med parentesuttryck Första kvadreringsregeln (a + b)2 = (a2 + 2ab + b2)

a(b + c) = (ab + ac) (a + b)(c + d) = (ac + ad + bc + bd) EXEMPEL

(dm)

Skriv ett uttryck för kvadratens area.

(2x + 1) (2x + 1)

Kvadratens area: (2x + 1)(2x + 1) = 4x2 + 2x + 2x + 1 = 4x2 + 4x + 1

162  Kapitel 5 | Problemlösning

Andra kvadreringsregeln (a − b)2 = (a2 − 2ab + b2) Konjugatregeln (a + b)(a − b) = a2 − b2

GRUNDKURS

Formler

Mönster

EXEMPEL

EXEMPEL

Volymen av en kon beräknas med hjälp π⋅r2 ⋅h . av formeln V = 3

Detta är de tre första figurerna i ett mönster med stickor. Beskriv mönstret med en formel.

Lös ut h. π⋅r2 ⋅h ⋅3 V ⋅3 = 3 V · 3 = π · r 2 · h V ⋅3 =

π⋅r2 ⋅h π⋅r2

V ⋅3 =h π⋅r2 V ⋅3 h= π⋅r2

Fig 1

Fig 2

Fig 3

Differensen mellan antalet stickor i figurerna är 3 stickor. Starttalet är 2 när vi tittar på figur 1. Formeln blir 3n + 2 för antalet stickor, där n = figurens nummer.

Ekvationer EXEMPEL 1

EXEMPEL 2

Tre udda tal har summan 47. Det andra talet är dubbelt så stort som det första. Det tredje är tre mindre än det andra. Vilka är talen?

Du har 500 g 15 % saltlösning och vill göra det till 10 % saltlösning. Hur mycket vatten ska du tillsätta? Avrunda till en decimal.

Skriv uttryck för talen: Tal 1 = x Tal 2 = 2x Tal 3 = 2x − 3

Mängd vatten i 15 % saltlösning: 0,85 · 500 = 425 g Mängd vatten som ska tillsättas: x g Mängd vatten i 10 % saltlösning: (425 + x) g Total mängd 10 % saltlösning: (500 + x) g Andel vatten i ny lösning:

Skriv en ekvation: x + 2x + (2x − 3) = 47 Förenkla och lös ekvationen: 5x − 3 = 47 5x = 50 x = 10 Tal 1: x = 10 Tal 2: 2x ⇒ 2 · 10 = 20 Tal 3: 2x − 3 ⇒ 2 · 10 − 3 = 17

( 425 + x ) = 0,90 ( 500 + x )

(425 + x) = 0,90(500 + x) 425 + x = 450 + 0,9x 0,1x = 25 25 x = 0,1 x = 250 g

Problemlösning | Kapitel 5  163

GRUNDKURS Välj lämplig problemlösningsstrategi. Redovisa tydligt och strukturerat.

33 Sambandet mellan Celsius och Fahrenheit är F = 1,8C + 32

NIVÅ 1

a) Hur många Fahrenheit är 100 °C? b) Hur många Fahrenheit är 0 °C? c) Hur många Celsius är 68 °F?

28 Uttrycket 3x + 4 motsvarar 20. Hur mycket är då 5(3x + 4)? 29

NIVÅ 2 Buske höjd (cm)

Skugga längd (cm)

20

16

40

32

60

48

80

64

34 Uttrycket (x − 2) motsvarar 12. ( 5x − 10 ) Hur mycket är då ? 6 35 Triangelns omkrets är 36 dm. Hur stor är arean?

Tabellen ovan visar längden på skuggorna från fyra buskar av varierande höjd när klockan är 10. Hur lång är skuggan från en buske som är 50 centimeter hög? A 36 cm

B 38 cm

C 40 cm D 42 cm

TIMSS 2011 30 Hur stora är triangelns vinklar?

(x + 6)

x

A

(x + 3)

36 Rektangelns area är 96 m2.   Hur stor är omkretsen?

3x + 10 2x

x + 12 B

C

31 Summan av tre tal är 117. Det andra talet är tre gånger så stort som det första. Det tredje talet är tre gånger så stort som det andra. Vilka är de tre talen?

3x

37 Tre tal förhåller sig 3:4:8. Summan av talen är 120. Hur stor är produkten av talen? 38 Hur stora är fyrhörningens vinklar?

32 a) Beskriv mönstret med en formel. b) Beräkna antalet cirklar i figur 10.

C 2x D 5x – 15

2x + 10 Fig 1

Fig 2

164  Kapitel 5 | Problemlösning

Fig 3

A

3x + 5 B

GRUNDKURS 39 a) Beskriv mönstret med en formel. b) Hur många stickor behövs till figur 22?

Fig 1

Fig 2

Fig 3

40 På en kemilektion blandar läraren till en blandning med kopparsulfat. Lösningen väger 360 g och innehåller 20 % kopparsulfat. Hur mycket kopparsulfat ska tillsättas för att lösningen ska innehålla 30 % kopparsulfat?

NIVÅ 3 41 Det här är en skiss av en rektangulär trädgård. Den vita arean är en rektangel som är 1 meter bred.Vilket uttryck beskriver arean för den skuggade delen av trädgården i m2? (x + 4) m

45 Ett tal multiplicerat med fem och adderat med tio till ger samma resultat som att multiplicera med nio och subtrahera med två. Vilket är talet? 46 Tre syskon vann 34 000 kr på tipset. De hade satsat olika mycket. Oscar satsade hälften så mycket som sin syster Vera. Lillebror Viktor satsade en femtedel av vad Vera satsade. Hur mycket fick var och en av vinsten?

Det finns några olika samband mellan höjd över marken och temperatur. Kokpunkt på en viss höjd h t = 100 − 300 där t = kokpunkt i °C, h = antal m över havet

Gång

xm

44 Priset för inträde på badhuset kan beräknas med formeln P = 200 + 20x där x är antalet besök. Alternativt kan man köpa årskort för 1 000 kr. Hur många besök ska man göra för att det ska löna sig med årskort?

Lufttemperatur på en viss höjd t = 10 − 0,01h där t = temperatur i °C, h = antal m över havet

1m

A x2 + 3x

B x2 + 4x

C x2 + 4x − 1

D x2 + 3x − 1

Marktemperatur på ett visst djup t = 10 + 0,03h där t = temperatur i °C, h = antal m ner i marken

TIMSS 2011 42 Hur stora är vinklarna?

x 2x

47 Sveriges högsta berg Kebnekaise är 2 106 m högt. a) På väg mot toppen av Kebnekaise mäter en klättrare att temperaturen är −9,8°C. Vilken höjd befinner de sig på om det är 10 °C vid havsnivån?

2x + 20 3x - 8

43 Priset på en telefon höjs med 5 % till 5 565 kr. Vad kostade telefonen före höjningen?

b) Hur varmt kan vattnet bli om man kokar det på 2 000 m höjd? c) Anta att man borrar lika djupt som Kebnekaise är högt. Hur varmt är det där? Problemlösning | Kapitel 5  165

GRUNDKURS

5.3 GEOMETRI GRUPPUPPGIFT

Bibliotekarien ska packa en låda med böcker. Lådans höjd är 2 dm och längden är 3,6 dm. Hur många böcker får plats i lådan?

Tillräcklig information för lösning får du i:

(1) Böckernas höjd är 20 cm och djupet är 15 cm.

A i (1) och (4)

(2) Lådans bredd är 3 dm och böckernas bredd är 6 cm.

B i (3) och (4)

3

(3) En av böckernas volym är 1,8 dm .

C i (1) och (2)

(4) Lådans volym är 21,6 dm3.

D i (2) och (3) E Det saknas information för att kunna lösa uppgiften.

Vinklar

Vinkelsumma

En vinkel bildas av två vinkelben som möts i en vinkelspets.

Summan av vinklarna i en månghörning EXEMPEL

a

Beräkna vinkeln x.

b

c

x

d

Sidovinklar: a och b är lika stora Alternatvinklar: b och c är lika stora Vertikalvinklar: c och d är lika stora Likbelägna vinklar: b och d är lika stora

150°

Sidovinkeln till 150° är 30°. x = 180° − 90° − 30° = 60°

Omkrets och area a) Halvcirkelns diameter = 6 – 2 = 4 cm 4⋅π Cirkelbågens längd = = 2π ≈ 6,3 cm 2 Figurens omkrets = 2π + 2 + 2 + 2 + 6 + 4 = 22,3 cm

Omkretsen är sträckan runt om figuren. Arean är storleken av figurens yta. (dm)

EXEMPEL

Beräkna figurens a) omkrets

2

b) area

2 2

6

166  Kapitel 5 | Problemlösning

22 ⋅ π = 2π ≈ 6,3 cm2 2 Lilla kvadratens area = 2 · 2 = 4 cm2 Stora kvadratens area = 4 · 4 = 16 cm2 Figurens totala area = 2π + 4 + 16 ≈ 26,3 cm2

b) Halvcirkelns area =

GRUNDKURS

Skala Skala visar förhållandet mellan en sträcka i verkligheten och motsvarande sträcka på en bild eller modell. EXEMPEL

På ett foto är en giraff 10 cm lång. I verkligheten är den 5 m. I vilken skala är giraffen avbildad? 5 m = 500 cm

500 = 50 10 Skalan är 1:50 (förminskad 50 gånger) Antal gånger större i verkligheten:

Pythagoras sats a2 + b2 = c2 b

c

a

Volym Volym är hur mycket ett objekt rymmer. h

Rätblock (prisma): V = B · h

(cm)

EXEMPEL 3

Beräkna volymen av objektet.

B 6

h

Cylinder: V = B · h B

Pyramid: V =

Kon: V =

B ⋅h 3

B ⋅h 3

4 Klot: V = · π · r3 3

h

4

B

2 ⋅π⋅3 = 4π ≈ 12,56 cm3 3 2

Konens volym = h

Cylinderns volym = 22 · π · 6 = 24π ≈ 75,36 cm3

B

r

Objektets totala volym = 4π + 24π = 28π ≈ 87,92 ≈ 88 cm3

Problemlösning | Kapitel 5  167

GRUNDKURS Välj lämplig problemlösningsstrategi. Redovisa tydligt och strukturerat.

54 Beräkna volymen av den nedre delen av konen.

(dm) 5

NIVÅ 1 4

48 Ett rätblock har volymen 2 l. Ange två förslag på mått som objektet kan ha. 4,5

49 Beräkna parallelltrapetsens area.

(dm)

10,0

5

8

NIVÅ 2

55 Hur mycket mer väger en kub med sidan 3 cm om den är gjord av guld jämfört med om den är gjord av järn? Densiteten för guld är 19,3 g/cm3 och järn 7,9 g/cm3.

12,0

50 Beräkna arean av burkens etikett. Burkens höjd är 10,5 cm och diametern är 7,0 cm.

56 En familj ska fylla sin runda pool med vatten. Poolens diameter är 5 m och den fylls med en vattenslang som ger 80 l/min. Hur lång tid tar det att fylla poolen om vattendjupet ska vara 1,5 m? 57 Albin tävlade i orientering. Mellan två kontroller var det 3,4 cm på en karta i skala 1:100 000. Det tog honom 20 min att springa sträckan. I vilken hastighet sprang han?

51 Rektangeln är ritad i skala 1:2. Vilka mått har den i skala 2:1?

58 60°

m

b° 70°

52 Framsidan på en bok har måtten 14 cm × 20 cm. På ett foto av boken är måtten 3,5 cm × 5 cm. I vilken skala är bilden? 53 Hur stor är vinkel v?

125°

168  Kapitel 5 | Problemlösning

v

110°

n

Linjerna m och n är parallella. Vad har b för värde? 59 Beräkna tårtbitens volym.

10 60° 4

TIMSS 2011 (cm)

GRUNDKURS 60 Amanda gungar på lekplatsen. Gungan vänder efter 120°. Hur lång sträcka åker hon mellan vändpunkterna om kedjorna som håller gungan är 2,5 m långa?

65 65° x

120°

45°

30°

Vilket värde har x i figuren ovan?

A 30°

B 40°

C 45°

D 65° TIMSS 2011

61 Vid bågskytte skjuter man från olika avstånd. Vid skjutavståndet 30 m använder man en tavla med diametern 80 cm. När man skjuter från längre avstånd använder man en tavla med dubbelt så stor area. Hur stor diameter ska den tavlan ha? Äp9Ma04

NIVÅ 3 62 Denniz vill mäta hur långt torget är. Han har en cykel med däck som har diametern 27 tum. Storleken på ett cykeldäck anges i tum. En tum motsvarar 2,54 cm. Han cyklar längs torgets ena sida. Cykelhjulet snurrar då 18 varv. Hur många meter cyklar han? Äp9Ma09 63 Silverringen har innerdiametern 1,6 cm, tjockleken 1,3 mm och bredden 8 mm. Densiteten för silver är 10,5 g/cm3. Hur mycket väger ringen? 64 Ett klassrum har måtten 10 × 8 × 3 m. Luftens densitet är 1,2 g/dm3. Hur mycket väger luften i klassrummet?

66 Punkterna A, B och C ligger på en linje och B ligger mellan A och C. Om AB = 10 cm och BC = 5,2 cm, vad är avståndet mellan AB:s och BC:s mittpunkter?

A 2,4 cm B 2,6 cm C 5,0 cm D 7,6 cm TIMSS 2011 (m)

67 Hur stor volym har den färgade oktaedern?

5

4 4

68 Hur långt är det gröna bandet? (diagonalerna)

(dm)

15

15

20

69 Mohammad och Amira cyklar mot varandra. När de möts har Mohammad rört sig 2,3 cm på en karta i skala 1:150 000. Amira har cyklat i 18 min med medelhastigheten 18 km/h. Hur mycket längre har Amira cyklat? Problemlösning | Kapitel 5  169

GRUNDKURS

5.4 SANNOLIKHET OCH STATISTIK GRUPPUPPGIFT

Ett vägnät är uppbyggt enligt bilden. Du startar längst upp och färdas nedåt. Du får aldrig gå tillbaka samma väg. Sannolikheten att du svänger vänster är lika stor som sannolikheten att du svänger höger. Hur stor är sannolikheten att du hamnar i punkten A? 1 Lös uppgiften. 2 Ge några konkreta tips till en kompis som inte klarar av att lösa uppgiften. ”Gör så här …” 3 Gör en egen liknande uppgift och lös den.

A

Sannolikhet

Komplementhändelse

Den chans eller risk för att en händelse ska inträffa. Uttrycks med tal mellan 0 och 1.

Summan av sannolikheten för en händelse och dess komplementhändelse är alltid 1.

EXEMPEL

EXEMPEL

I en påse finns fem röda kulor och tre svarta. Hur stor är sannolikheten att få två röda kulor utan återläggning?

Vad är sannolikheten att inte slå en 6:a vid kast med en sexsidig tärning? P(6:a) + P(ej 6:a) = 1 ⇒ 1 5 P(ej 6:a) = 1 − P(6:a) ⇒ 1 − ≈ 83 % = 6 6

Lösning: 5 8 4 7

3 8 3 7

5 7

Första händelsen 2 Andra händelsen 7

Kombinatorik Behandlar hur många olika ordningsföljder något kan förekomma i. EXEMPEL

5 8 4 Sannolikhet för andra händelsen = 7 5 4 5⋅4 20 P(röd, röd ) = · ≈ 36 % = = 8 7 56 8⋅7 Sannolikhet för första händelsen =

En kod har tre siffror. Hur många olika koder finns det? Multiplikationsprincipen ger antalet möjliga koder: 10 · 10 · 10 = 1000 olika koder

Permutationer Ordningen har betydelse. EXEMPEL

På hur många olika sätt kan tre personer stå i en kö? Det som redan valt kan inte väljas igen. 3! = 3 · 2 · 1 = 6 olika sätt

170  Kapitel 5 | Problemlösning

GRUNDKURS

Diagramtyper Linjediagram Används vid förändring över tid.

Temperatur 20

Lägesmått och spridningsmått

15

EXEMPEL:

10

Ett statistiskt material har följande värden:

5 0

Stolpdiagram Används när under­ sökningen gäller tal.

Stapeldiagram Används när under­ sökningen handlar om annat än tal.

Histogram Används när materialet är klassindelat.

8

12

16

20

Klockan

Typvärde = 3 3

4

5

Antal syskon

Fågel Hamster Råtta

Frekvens 10 5 0 50 100 150

kr

15

Medelvärdet är det genomsnittliga värdet. Addera värdena i materialet och dela med totala antalet. 31 ≈ 2,2 Medelvärde = 14 Medianen är värdet i mitten när värdena ordnats efter storlek. Om det är två värden i mitten är medianen medelvärdet av dessa. 2 + 3 Median = = 2,5 2 Variationsbredden är differensen mellan det högsta och det lägsta värdet.

Vet ej Ja 22 % 40 % Nej 38 %

10

00111223333444

Typvärdet är det vanligaste värdet i ett material.

Antal djurägare 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Hund Katt

Cirkeldiagram Används för att visa en fördelning av helheten.

Stam-blad-diagram En tabell där värdena i en undersökning organiseras på ett visst sätt.

4

Frekvens 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2

0

Lådagram En bild av högsta och lägsta värdet samt medianen i en undersökning.

0

Variationsbredd = 4 − 0 = 4

20

25

30

2|014 3|04 4|18 Tiotal till vänster (stam). Ental till höger (blad)

Problemlösning | Kapitel 5  171

GRUNDKURS Välj lämplig problemlösningsstrategi. Redovisa tydligt och strukturerat.

76 Fem företag har 2, 18, 19, 21 och 40 anställda.

NIVÅ 1

70 I en påse finns sju röda knappar och sex svarta. Ellen tar upp tre röda knappar. Hur stor är sannolikheten att hon nu får två svarta knappar a) med återläggning b) utan återläggning 71 När du kastar två sexsidiga tärningar är 5 sannolikheten att få över summan 7. 12 Hur stor är sannolikheten att få

a) Hur många anställda har företagen i genomsnitt? b) Vad är medianen för antalet anställda? c) Tänk dig att antalet anställda ökar till 90 på det företag med 21 anställda. Hur påverkar det medelvärdet och medianen?

NIVÅ 2 77 Du har en urna med 5 röda, 6 blå och 4 svarta kulor. Du tar en kula åt gången. Hur stor är sannolikheten att du på fyra ”plockningar” tar alla svarta kulor?

a) summan 7 b) under summan 7 72 Meja har fem olika tröjor, fyra byxor, tre par skor och tre jackor.

78 Diagrammet visar åldersfördelningen i en roddklubb. Frekvens

a) På hur många olika sätt kan hon kombinera sina klädesplagg om hon väljer ett av vardera? b) På hur många fler sätt kan hon kombinera om hon köper två tröjor och ett par byxor till?

30

20

73 Isa har gjort en undersökning om hur många husdjur hennes kompisar har. Hon får följande resultat:

10

0

3 0 1 1 0 2 4 1 2

Isa frågar ytterligare en kompis och får då medianen 1,5. Hur många husdjur har kompisen?

74 Vilken temperatur är det på söndagen för att medeltemperaturen ska bli −2°C? Mån

Tis

Ons

Tors

Fre

Lör

Sön

3°

−4°

−2°

1°

−5°

−3°

?

75 En skål innehåller 36 färgade kulor. Kulorna är blå, gröna, röda och gula. Sannolikheten 4 för att en slumpvis vald kula är grön är . 9 Hur många gröna kulor finns i skålen? 172  Kapitel 5 | Problemlösning

År 10

11

12

13

14

15

Vad blir medelåldern i roddklubben om 5 tioåringar slutar?

79 Fem lag ska delta i en fotbollsturnering.Varje lag ska möta de andra lagen i en match (inga returmatcher). Hur många matcher ska spelas totalt i turneringen? 80 Sigge ska cykla till skolan. Det finns olika vägar dit men alla går till skolan. I respektive korsning kan han antingen välja vänster eller rakt fram. På hur många olika sätt kan hans cykelväg bli om han kommer fram till fem korsningar längs vägen till skolan?

GRUNDKURS 81 Eleverna i år 9A och 9B har valt inriktning till gymnasiet. Det blev följande resultat.

Program

Antal

Ekonomi

7

Estetiskt

4

Naturvetenskap

6

Samhälle

10

Barn och fritid

9

Bygg- och anläggning

8

Övriga

6

Vad är sannolikheten att en slumpvis vald elev har valt bygg- och anläggning?

82 Medelvärdet av 5 tal är 8. Vad blir medelvärdet om talet 14 adderas? 83 I ett lotteri finns det 1 000 lotter. De är numrerade från 1 till 1 000. Alla lotter som slutar på 77 ger 100 kr i vinst och de som slutar på 3 ger 10 kr i vinst. Pia drar den första lotten. a) Hur stor är sannolikheten att hon vinner 100 kr? Motivera ditt svar. b) Enligt lagen måste minst hälften av pengarna som man får in på försäljningen av lotter gå till vinster. Hur mycket får lotterna högst kosta per styck? Äp9Ma04

86 I en låda ligger alla bestick i ett stort fack. Där ligger 12 knivar, 10 gafflar och 14 skedar. Hur stor är chansen att ta ett bestick av varje sort utan att titta? 87 På tunnelbanan finns det ett ledigt säte för två. Ellen, Johanna, Malte och Vilmer stiger på samtidigt. Hur stor är sannolikheten att Ellen och Malte kommer att sitta bredvid varandra? 88 Kaj, Britt och Ola har konstruerat ett tärningsspel där man ska kasta två sexsidiga tärningar och beräkna summan. Kaj vinner om summan är 3, 4 och 5. Britt vinner om summan är 6,7,8 och Ola vinner om summan är 9, 10, 11. Är det ett rättvist spel? Redovisa ditt resonemang med beräkningar. 89

30 20 10 0

a) att du får vänta 15 min eller mer b) att du får vänta mindre än en minut

1998

1999

2000

2001

Figuren visar försäljningen av två sorters läsk under fyra års tid. Om förändringen av försäljningen fortsätter på samma sätt under de kommande tio åren, när kommer försäljningen av hallonsoda att vara lika stor som försäljningen av citronsoda?

A 2003

84 En undersökning har gett följande värden: 20, 23, 28, 23, 20, 23, 31, 34, 33, 35, 36, 41, 34, 48

85 Bussen in till centrum går varje halvtimme. Du går till hållplatsen utan att veta när bussen går. Hur stor är sannolikheten

Citronsoda

40

NIVÅ 3

a) Gör ett stam-blad-diagram. b) Gör ett lådagram och beräkna medianen samt variationsbredden.

Antal burkar (miljoner) 60 Hallonsoda 50

B 2004

C 2005

D 2006

TIMSS 2011 90 De fem talen 6, 1, x, 9 och 4 är alla heltal. a) Vilka värden får medianen för olika värden på talet x? b) För vilka värden på x får de fem talen samma medelvärde som medianen? Problemlösning | Kapitel 5  173

GRUNDKURS

5.5 SAMBAND OCH FÖRÄNDRING GRUPPUPPGIFT

Uppgiften är löst med olika metoder. Hitta fördelar respektive nack­delar med de olika lösningarna. Vilken av lösningarna föredrar ni? Motivera ert svar.

Maria tjänar pengar på sitt extrajobb. För en tredjedel av lönen köper hon ett nytt mobilskal. För 40 % av det som är kvar köper hon en ny t-shirt. Hon avslutar shoppingrundan med att gå och fika för en tiondel av de pengar som är kvar. När hon räknar pengarna i plånboken har hon 216 kr kvar. Hur mycket fick hon i lön?

1 Räkna framlänges med addition  x = lön (

1 2 1 2 + 0,4 · + · 0,6 · )x + 216 = x 3 3 10 3

3 Grafisk metod

Kvar

Fika T-shirt

Mobilskal

0,64x + 216 = x 9 10

216 = 0,36x 216 x ⇒ x = 600 kr 0,36 =

60 %

Svar: Maria fick 600 kr i lön.

Kvar

Används

1

x

1 ·x 3

2

2 ·x 3

0,4 ·

3

0,6 ·

4 5

9 2 · 0,6 · · x = 216 10 3 0,9 · 0,6 · 0,66 · x = 216 0,36x = 216 216   x = 600 x= 0,36

Svar: Maria fick 600 kr i lön.

174  Kapitel 5 | Problemlösning

40 % 1 3

2 3

2 Räkna framlänges i tabell  x = lön

2 ·x 3

1 10

216 kr

216 kr

? kr

Svar: Maria fick 600 kr i lön. 2 ·x 3

1 2 · 0,6 · ·x 10 3

4 Räkna baklänges med variabel x = Pengar kvar efter alla köp 0,9x = 216 ⇒ x = 240 kr x = Pengar kvar innan t-shirt 0,6x = 240 kr ⇒ x = 400 kr x = Pengar från början 2 x = 400 kr ⇒ x = 600 kr 3 Svar: Maria fick 600 kr i lön.

GRUNDKURS

Procent och procentenheter

Förändringsfaktor

EXEMPEL

Faktor som anger relativ en förändring (höjning eller sänkning).

Räntesatsen på ett bankkonto ändrades från 1 % till 2 %. Hur mycket höjdes räntan i a) procentenheter b) procent

EXEMPEL

Ett par byxor kostar 390 kr. Vad kostar byxorna om priset a) höjs med 20 %

Lösning: a) Höjning i procentenheter: 2 − 1 = 1 procentenhet 1 b) Höjning i procent: = 1 = 100 % 1

b) sänks med 20 % c) först höjs med 20 % och sedan sänks med 20 %

Lösning: a) Nytt pris: 1,2 · 390 = 468 kr

ANDELEN =

DELEN DET HELA

b) Nytt pris: 0,8 · 390 = 312 kr c) Nytt pris: 1,2 · 0,8 · 390 = 374,4 ≈ 374 kr

Räta linjens ekvation Beskrivs med formeln y = kx + m. k-värdet är riktningskoefficienten och bestämmer linjens lutning. m-värdet bestämmer skärningspunkten med y-axeln. y

EXEMPEL 5

Bestäm linjens ekvation. 1 steg på x-axeln ⇒ 3 steg på y-axeln ⇒ k = 3 Skärningspunkten med y-axeln är −2 ⇒ m = −2

4 3 2

y = kx + m k=3

1

⇒ y = 3x − 2

m = −2 Linjens ekvation är y = 3x − 2.

-5

-4

-3

-2 -1

-1

1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

Problemlösning | Kapitel 5  175

GRUNDKURS

Ekvationssystem Med hjälp av ett ekvationssystem kan man lösa ekvationer med två variabler. EXEMPEL

Summan av två tal är 48. Det ena talet är tre gånger så stort som det andra. Vilka är talen? Lösning: Anta att x = tal 1 och y = tal 2. Ekvation 1: x + y = 48 Ekvation 2: x = 3y Algebraiskt x + y = 48 (1) x = 3y (2) Sätt in 3y istället för x i ekvation 1. 3y + y = 48 ⇒

Grafiskt x + y = 48 (1) x = 3y (2) y 50

4y = 60 ⇒

40

y = 12

30

x + y = 48, y = 12 ⇒

20

x + 12 = 48 ⇒

10

x = 48 − 12 ⇒

0

x = 36 Svar: De sökta talen är 36 och 12.

0

10

20

30

40

50

60

Skärningspunkten är (36, 12) ⇒ x = 36 och y = 12 Svar: De sökta talen är 36 och 12.

176  Kapitel 5 | Problemlösning

x

GRUNDKURS Välj lämplig problemlösningsstrategi. Redovisa tydligt och strukturerat

NIVÅ 1 91 Ett parti ökar sitt väljarstöd från 4 % till 6 %. a) Hur stor är ökningen i procentenheter? b) Hur stor är ökningen i procent? 92 Ett spel kostar 490 kr. Vad kostar spelet om priset a) höjs med 10 % b) sänks med 30 %

c) först höjs med 10 % och sedan sänks med 30 %

93 Oskar och David jämför priserna på läsk. De köper fem olika flaskor med olika läsksorter. Diagrammet nedan visar sambandet mellan volym och pris för dessa olika flaskor (markerade med 1–5 i diagrammet). Pris (kr) 4

94 I en hage går får och påfåglar. De har 22 huvuden och 70 ben. Hur många djur finns det av varje sort? 95 I affären är ostens pris proportionellt mot vikten. En bit ost, 400 g, kostar 56 kr. Vad kostar en ostbit som väger 1 kg? 96 a) Rita grafen till y = x − 2.

2

1

c) Var skär den grafen x-axeln?

5

3

Volym (dl)

a) Vilken flaska är dyrast? Endast svar krävs.

b) Vilken formel har grafen som skär y-axeln tre enheter över den ritade grafen?

b) Två av läsksorterna kostar lika mycket per deciliter.Vilka är det? Förklara tydligt varför du valt dessa.

Äp9Ma01

97 Priset på en säng sjönk med 10 % för varje år. Från början kostade sängen 6 000 kr. Vad kostar sängen efter tre år? 98 Du har köpt en chokladkaka som väger 180 g.

a) Hur många gram kakao är det i choklad­ kakan om den innehåller 70 % kakao?

b) Chokladkakan består av 36 lika stora rutor. Du ska baka en kaka och till den behövs 120 g choklad. Hur många rutor ska du ta?

Äp9Ma08 Problemlösning | Kapitel 5  177

GRUNDKURS NIVÅ 2  99 Jens köper en vuxenbiljett och tre barnbiljetter och betalar 625 kr. Fredrik köper tre vuxenbiljetter och en barnbiljett och betalar 1 075 kr.Vad kostar en a) vuxenbiljett b) barnbiljett 100 En rät linje går genom punkten (2, 3) och har riktningskoefficienten −5. a) Bestäm linjens ekvation. b) En annan linje skär den första linjen med en rät vinkel. Vilken riktningskoefficient har denna linje? c) Den gemensamma lösningen är i punkten (2, −3). Bestäm andra linjens ekvation. 101 En mountainbike väger 13,2 kg. Hjulens vikt motsvarar 30 % av hela cykelns vikt. 4 Framhjulet väger av bakhjulets vikt. 5 Vad väger fram- respektive bakhjulet? 102 En dag var det tre elever på skolan som missade idrotten. Det motsvarar 0,7 % av eleverna. Hur många elever går på skolan? 103 Marcus och Layla brukar gå och simma. I simhallen kan man betala 50 kr per besök eller köpa ett medlemskort och sedan betala en lägre avgift varje gång man simmar. Marcus och Leyla väljer att köpa varsitt medlemskort.

Ett år simmade Leyla 34 gånger och Marcus simmade 26 gånger. Leyla betalade 1 220 kr totalt för medlemskort och avgifter och Marcus betalade 980 kr totalt. Hur mycket betalade de varje gång de simmade och vad kostade medlemskortet? Äp9Ma11

178  Kapitel 5 | Problemlösning

104 I Åshöjdens IF håller 192 medlemmar på med fotboll. Det är 40 % av alla som är med i föreningen. Hur många medlemmar har föreningen?

Äp9Ma04 105 Inför julen ändrades priset flera gånger på en vara. Först höjdes priset med 10 % och sedan sänktes det med 20 % och då kostade varan 286 kr. Vad kostade varan från början? 106 Karin köpte ett par byxor som kostat 450 kr och som reades med 10 % rabatt. Hon köpte även en tröja som kostat 180 kr och som reades med 50 % rabatt. Hur stor var den totala rabatten?

GRUNDKURS NIVÅ 3 107 Inför jul säljs många chokladaskar. På juldagen sålde en affär sina chokladaskar med 20 % rabatt. En vecka senare, på nyårsdagen, var det 50 % rabatt på reapriset. Med hur många procent har priset på chokladaskarna nu sänkts från ursprungspriset? Äp9Ma08

114 En hink som rymmer 10 liter är fylld med 20 kg sand. Sanden utgör 74 % av hinkens volym. Vad väger hinken när den fyllts med regnvatten dessutom? (1 liter vatten väger 1 kg)

108 Karim och Edwin äter på varsitt äpple. Karim äter upp en fjärdedel av sitt äpple och Edwin äter upp tre åttondelar av sitt. Då har de ätit lika stor äppelbit.Vem hade störst äpple från början? 109 Lös ekvationssystemen. a)

4 x + 3y = 3,5 b) 2x + y = 9

2x + 6y = 3,4 4x + y = 9

110 Bestäm ekvationen till linjen som går genom punkterna (−4, 3) och (3, −3). 111 På 1700-talet var 75 % av Nya Zeelands yta täckt av urskog. Sedan dess har stora delar av urskogen huggits ned för att ge plats för jordbruk och städer. Idag täcker urskogen bara 20 % av landets yta. Hur stor del av urskogen som fanns på 1700-talet har huggits ned? Äp9Ma07 112 Ett företag ökar omsättningen med 3 % per år under ett antal år. Ett år var omsättningen 6,5 Mkr. Hur stor var omsättningen 5 år därefter om utvecklingen var densamma? Avrunda svaret till tusental kronor. 113 Skriv formeln för funktionen som har a) r iktningskoefficienten 5 och går genom punkten (4, −6)

b) r iktningskoefficienten 8 och går genom punkten (5, −4)

115 Den svarta noshörningen har länge varit utrotningshotad på grund av tjuvjakt. Man har på olika sätt försökt att stoppa tjuvjakten och antalet svarta noshörningar har därför ökat med 60 % från år 1995 till år 2005. År 2005 fanns det cirka 4 000 svarta noshörningar. a) Hur många svarta noshörningar fanns det år 1995?

b) Utgå från att den procentuella ökningen fortsätter på samma sätt. Hur många svarta noshörningar kan man då räkna med att det finns år 2035? Äp9Ma13 Problemlösning | Kapitel 5  179

Tillämpa förmågorna

TILLÄMPA KAPITEL 5 FÖRMÅGORNA 2

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA

Här följer tre större uppgifter där ni under arbetets gång övar alla förmågorna i matematik: P PROBLEMLÖSNING B BEGREPP M METOD R RESONEMANG K KOMMUNIKATION

Uppgifterna varierar i storlek och kan ta allt ifrån en lektion till någon vecka. Ofta arbetar ni i grupp och hur ni redovisar bestämmer ni tillsammans med er lärare.

1

DET GYLLENE SNITTET Hur står sig kroppens proportioner i proportion till det gyllene snittet?

2

VEM BRYR SIG? En god gärning sprids lätt. Gör en insats för att förändra världen till det bättre!

3

SKOLANS NYA ARKITEKTUR Du får fria händer att bygga om din skola. Använd din kreativa förmåga att utforma något nyskapande som alla kan uppskatta och imponeras av!

180  Kapitel 5 | Problemlösning

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 1

DET GYLLENE SNITTET Proportionerna i det som anses vilsamt eller vackert är ofta de samma. Gyllene snittet är ett sätt att dela in något i harmoniska proportioner. Värdet på gyllene snittets förhållande är ungefär lika med 1,618 och betecknas med grekiska bokstaven φ (phi). ϕ=

1+ 5 ≈ 1,618 2

Det gyllene snittet dyker upp i de mest oväntade sammanhang. Till exempel i solrosens kronblad, i människokroppen och i uppbyggnaden av DNA-molekyler. Det gyllene snittet har ansetts ge den totala harmonin inom måleri, arkitektur och musikkonsten. Många av historiens största matematiker har studerat sambandet såsom Euklides, Leonardo Fibonacci.

UPPGIFT

Undersök proportionerna av en kropp. 1 Mät och anteckna de sträckor som anges i tabellen. 2 Jämför sträckorna ni fått och undersök om ni kan hitta det gyllene snittet. Längd (cm) kropps­längd

huvudets längd

huvud till finger­toppar

huvudets bredd

huvud till navel

öga till haka

bredden mel­ lan axlarna

öga till mun

armbåge till fingertopp

mun till haka

midjemått

haka till öga

På bilden har Leonardo Da Vinci målat sig själv. Han påstod att naveln delar upp en människa enligt det gyllene snittet.

Problemlösning | Kapitel 5  181

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 2

VEM BRYR SIG? Pay it forward blev ett begrepp när boken med samma namn släpptes. En pojke ville göra skillnad i världen genom att göra tre goda handlingar. Dessa skulle verkligen hjälpa människor i samhället utan att de egentligen bad om det. Det resulterade i att en hel del av människorna som blev hjälpta, i sin tur hjälpte andra och detta spreds sig vida omkring. Den 28 april är det den internationella Pay It Forward Day. Dagen har spridits runt jorden.Varje år är ett hundratal länder med och gör tillsammans 10 miljoner goda handlingar.

Exempel på goda handlingar • Betala någons bussbiljett. • Erbjuda någon din sittplats. • Bjuda någon på middag. • Köpa en lott till någon. • Ge beröm till någon. • Skänka en slant till en behövande. • Hjälpa någon med matteläxan. • Städa huset. Bara fantasin sätter gränser för goda handlingar.

UPPGIFT

a) P å din skola startar du med att göra tre goda handlingar mot tre kompisar, som i sin tur gör tre goda handlingar mot tre nya kompisar osv. Hur många dagar skulle det ta för alla på skolan att göra tre goda handlingar? b) Hur lång tid skulle det ta för hela Sveriges befolkning att göra tre goda handlingar? c) Hur lång tid skulle det ta för hela jordens befolkning att göra tre goda handlingar?

182  Kapitel 5 | Problemlösning

TILLÄMPA FÖRMÅGORNA 3

SKOLANS NYA ARKITEKTUR Er nystartade arkitektfirma har fått ett uppdrag att rita om skolan du går på. Önskemålet är att det finns utrymmen för olika aktiviteter som elever och lärare vill ha för att rasterna ska bli avkopplande och ge ny energi. Dessutom behövs det bra inspirerande lärmiljöer både inne och ute. UPPGIFT

1 Betrakta er skola genom en arkitekts ögon och gör en lista på vad som behövs och vilka förändringar som krävs. 2 Diskutera era idéer med elever och skolpersonal. 3 Välj den förändring som inspirerar er mest. 4 Gör en ritning i lämplig skala på hur det ser ut nu. 5 Gör en ritning på ert förslag till förändring. 6 Gör en snygg presentation för skolledningen, lärare och elever.

För att få bygglov krävs tydliga ritningar. Ritningen ska: • vara skalenlig och måttsatt • innehålla skalstock och ritningshuvud • vara ritad med linjal eller med datorbaserat verktyg • vara ritad på vitt, olinjerat papper • vara ritad i svart och vitt

Problemlösning | Kapitel 5  183

FÖRDJUPNING

PRIVATEKONOMI Trots att vi alltmer sällan ser pengar är det viktigt att ha kontroll över sin ekonomi. Ett sätt att få det är att sätta upp en budget. Här sammanfattas intäkter och utgifter. Om summan av intäkterna motsvarar summan av utgifterna kallas det för att budgeten är i balans.

Budget Cykelklubben Text

Intäkter (kr)

Text

Utgifter (kr)

1

Bidrag från kommunen

25 000

8

Inköp cyklar

63 000

2

Bidrag sponsorer

5 000

9

Underhåll cyklar

6 000

3

Banklån

25 000

10

Amortering

3 000

4

Medlemsintäkter

8 500

11

Ränta

1 500

5

Försäljning lotter

7 600

12

Inköp lotter och vinster

3 800

6

Försäljning Kiosk

12 700

13

Inköp Kioskvaror

6 500

7

Summa intäkter

83 800

14

Summa utgifter

83 800

Cykelklubben behöver köpa in nya cyklar. De har använt ett kalkylark för att göra en budget. Vi summerar intäkter med hjälp av en summaformel i kalkylarket. När du sparar pengar i banken lånar du ut pengar till banken. Det du får betalt av banken kallas inlåningsränta. Lånar du istället pengar av banken får du betala banken. Det du får betala kallas utlåningsränta. Banken tar högre ränta då de lånar ut pengar än de betalar för de pengar de lånar. Inlåningsräntan är lägre än utlåningsräntan. Överskottet blir bankens förtjänst. Aviavgift är en kostnad som banken tar för att skicka ut räkningen. Aviavgiften betalas varje månad. Uppläggningsavgift är en avgift banken tar för att undersöka den som ska låna pengar. Avgiften betalas en gång. Den effektiva räntan visar den sammanlagda kostnaden för ett lån. Där ingår alla kostnader som utlåningsränta, aviavgift och uppläggningsavgift. Formel för värdeförändring: Kx = K0 · ax Kx = Kapital efter x år, K0 = startkapital, a = räntesats (förändringsfaktor), x = antal år

184  Kapitel 5 | Problemlösning

FÖRDJUPNING

EXEMPEL 1

EXEMPEL 2

Spara Räntesatsen på en bank är 1,5 %. Hur mycket får Ameli i ränta om hon har 14 700 kr insatta på banken i

Låna En ny bil kostar 350 000 kr. Första året minskar bilens värde med 30 %. Därefter minskar värdet årligen med 10 %. Efter hur många år är bilen värd hälften av sitt inköpsvärde?

a) ett år b) 10 månader

Lösning:

Lösning: a) Ränta per år: 14 700 · 0,015 = 220,5 kr b) Ränta per år: 220,5 kr

220,5 12

Ränta per månad:

Ränta 10 månader:

220,5 · 10 ≈ 184 kr 12

En lämplig strategi är att använda ett kalkylark. Värdet efter 1 år beräknas till 245 000 kr. År 2 sjunker värdet 10 %. Programmera så värdet efter 1 år beräknas till 245 000 och att det därefter minskar med 10 % årligen, dvs. återstoden 90 % ⇒ förra årets värde · 0,9. Värdeminskning bil A

B

C

År Värdeminskning (kr) Värde (kr) 1

0

0

350 000

2

1

105 000

245 000

3

2

24 500

220 500

4

3

22 050

198 450

5

4

19 845

178 605

6

5

17 860,5

160 744,5

7

6

16 074,45

144 670,05

8

7

14 467,005

130 203,045

Svar: Under det femte året kommer bilens värde att ha halverats.

Problemlösning | Kapitel 5  185

FÖRDJUPNING   1 Saskia planerar sin ekonomi för den närmaste veckan. Hon har 175 kr i veckopeng och 375 kr för att dela ut tidningar. Hon planerar att använda 135 kr till bio, 150 kr på mat och dricka, 50 kr till tidningar och 220 kr till ett konsertbesök. Använd ett kalkylark för att göra en budget.   2 Karl har haft följande händelser i sin ekonomi den senaste veckan: Pengar på kontot (saldo) 1 456 kr, kafébesök 65 kr, 175 kr i veckopeng, biobesök 135 kr, present 125 kr. Använd ett kalkylark för att redovisa Karls intäkter och utgifter den senaste veckan.   3 Ines lånar 8 000 kr för att köpa en ny cykel. Hon ska betala tillbaka lånet på två år med ett avdrag per månad.

a) Använd ett kalkylark och gör en avbetalnings­ plan när räntan på lånet är 4,25 %.

b) Hur mycket får Ines betala totalt för sin cykel?

7 Hur mycket ska du betala tillbaka om du lånat 10 000 kr i 320 dagar när den årliga räntan är 37,5 %?  8 Markus köper en ny elektrisk moped för 19 195 kr.Värdeminskningen det första året är 25 %. De resterande åren minskar värdet med 10 % årligen. Efter hur många år har mopedens värde halverats?  9 Du har ont om pengar. Kompisen erbjuder dig att låna pengar av honom. Du får låna 100 kr men ska betala tillbaka 130 kr en månad senare. Vilken årsränta motsvarar detta? 10 Värdet på en sommarstuga stiger från 1 300 000 kr till 1 500 000 kr på ett år. Om vi förutsätter att stugans värde stiger med samma procentsats, hur mycket är då stugan värd efter 10 år?

4 Sigrid tar ett SMS-lån på 10 000 kr.

Uppläggningsavgift: 395 kr Aviavgift: 29 kr/mån Ränta 29 %

Vad blir den effektiva räntan på ett år?

5 Astrid har 10 000 kr som hon vill spara i fem år. Hon väljer mellan två fonder. Vilken fond ska hon välja?

Fond 1 Avgift: 1,5 % av kapitalet per år Förväntad tillväxt: 4,5 %

Fond 2 Avgift: 0,5 % av kapitalet per år Förväntad tillväxt: 2,5 %

6 Asrar har 7 000 kr i skuld på sitt kreditkort. Hon betalar 1,65 % i ränta per månad. a) Vad är årsräntan? b) Hur mycket är hon skyldig efter ett halvår? c) När är skulden dubbelt så stor? 186  Kapitel 5 | Problemlösning

11 Inflation är ett mått på den årliga penning­ värdesförsämringen. Inflationen i Sverige är 2,2 %. Anta att inflationen är den samma de närmaste 10 åren. Hur mycket kommer 100 kr vara värda om 10 år? 12 Malika har 4 700 kr insatta på två olika konton på banken. Lite av pengarna står på ett sparkonto med räntesatsen 2 %. Resten av pengarna står på ett Aktiekonto med räntesatsen 4 %. Ett år får hon totalt 146 kr i ränta. Hur mycket pengar finns på var och ett av kontona?

FÖRDJUPNING 13 Du är löneansvarig i reklamfirman. Kalkylarket visar räkenskaperna för en månad. Skattesatsen är 31 %.

16 SMS-låneföretaget LÅNA NU, erbjuder dig att låna 10 000 kr i 8 månader med följande villkor. Beräkna de utelämnade värdena.

a) Gör färdigt räkenskaperna där du för in månadslön innan skatt, skatt i kr och månadslön efter skatt.

LÅNA NU Lånebelopp

10 000 kr

b) Vilken är den genomsnittliga lönen efter skatt?

Uppläggningsavgift

350 kr

Aviavgift

90 kr

Årsränta

91 %

c) Hur mycket hade genomsnittslönen påverkats om skattesatsen hade halverats?

Effektiv ränta

Lön september Anställda

Arbetade timmar

Timlön

Alve

112

350

Doris

120

375

Johanna

150

400

Greger

160

450

Edion

105

450

Miodrag

80

450

Räntekostnad Totalt att återbetala Månadskostnad

17 Christoffer har 8 500 kr i skuld på sitt kreditkort. Räntan är 7,6 % per månad. a) Hur stor är hans skuld efter 7 månader? b) Hur stor är årsräntan i procent? 18 Studera lånevillkoren i bankerna.

14 Du sätter in 4 000 kr på ett bankkonto som ger 1,5 % ränta per år. Samtidigt sätter du in 3 500 kr på ett annat konto som ger 2,5 % ränta per år. a) Vad är värdet på respektive konto efter 10 år? b) Hur länge ska kapitalet stå för att det ska vara lika mycket på de båda kontona? Använd gärna ett kalkylark då du löser uppgiften. 15 Nathanael ska låna 80 000 kr med en årsränta på 6,7 %. Han funderar på om han ska betala tillbaka lånet på ett eller två år, med ett avdrag per månad. Gör en betalningsplan för de två alternativen och ta reda på hur mycket han sparar på valet att betala tillbaka på ett år.

Bank 1

Bank 2

Lånebelopp: 150 000 kr

Lånebelopp: 100 000 kr

Årsränta: 1,5 %

Årsränta: 2,5 %

Avbetalningsperiod: 5 år

Avbetalningsperiod: 7 år

Använd ett kalkylark för att beräkna vilken av bankerna som erbjuder de mest förmånliga lånevillkoren.

19 Du får beskedet att ett SMS-lån är räntefritt. Det är falskt och i själva verket är den faktiska räntan 15 %. Du låter skulden växa utan att betala av. Hur lång tid tar det innan skulden blivit dubbelt så stor? Problemlösning | Kapitel 5  187

KAPITEL 6

Programmering

PROBLEMLÖSNING

P

BEGREPP

B

METOD M RESONEMANG R KOMMUNIKATION K

Oavsett om man ska programmera ett spel, en robot eller en app till en telefon så stöter man på matematik här och där. I det här kapitlet kommer du att få lösa några programmeringsproblem där matematiken spelar stor roll. Det finns ett problem kopplat till respektive kapitel 1–5: 1 Håll koll på höjden! 2 Fallande rymdsonden 3 Alvas datorspel 4 Strumpsimulatorn 5 Rositas tärningar

188  Kapitel 6 | Programmering

Alla exempel använder ett programmeringsspråk som heter JavaScript. För att testa koden och lösa uppgifterna går du in på Kodlabbet som du hittar här: www.koda.nu Det går ganska fort att lära sig att programmera. Man skriver helt enkelt instruktioner till datorn som säger åt den vad den ska göra. Datorer är egentligen väldigt dumma, det är vårt jobb att lära dem lösa uppgifter. I Kodlabbet kan du skriva direkt i webb­ läsaren så det fungerar oavsett vilken enhet du har.

PROGRAMMERING

KAPITEL 1  SAMBAND OCH FÖRÄNDRING

HÅLL KOLL PÅ HÖJDEN! Robert börjar jobba på företaget Drönar AB som praktikant och får i uppdrag att programmera de automatiska drönarna så de lättare kan hålla koll på flyghöjden inomhus. Han prövar en drönare och antecknar hur snabbt den kan stiga: x (tid i s)

y (höjd i m)

10

7

25

17,5

38

26,6

41

28,7

67

46,9

Hans första uppdrag blir att hitta en funktion som beskriver hur drönarna stiger, så att man kan räkna ut vad höjden kommer vara efter en viss tid. Robert skriver följande kod:

var x = promptNumber( " Ange en tid i sekunder " ); var k = ? ; var y = ? ; alert( " Drönaren kommer att nå höjden " + y + " meter. " );

UPPGIFT

a) Hitta funktionen.Vad saknas i Roberts kod för k och y? Testa även koden när du ändrat den och se till att den fungerar. b) Gör en ny version av programmet som också ber om ett en start-höjd (m-värdet för funktionen). Programmet ska svara med vilken höjd som drönaren kommer ha efter den angivna tiden. c) Gör ännu en version av programmet som också frågar om hur högt det är till tak där drönaren ska flyga. Om det är för lågt ska programmet varna att drönaren kommer krascha mot taket. Nu kommer du att behöva använda if-satser i din kod, det kan se ut så här: if (y > taket) { alert( " VARNING! " ); }

Programmering | Kapitel 6  189

PROGRAMMERING

KAPITEL 2  ALGEBRA OCH EKVATIONER

FALLANDE RYMDSONDEN Amanda jobbar på Esrange i Kiruna och får i uppgift att planera uppdrag där rymd­sonder ska släppas ned på olika planeter i solsystemet. Sonderna ska påbörja vetenskapliga mätningar när de är 20 000 meter över ytan. Det Amanda vet är att hennes program startar när sonden är 60 000 meter över ytan. Då börjar rymdsonden falla fritt. För att bestämma sträckan vid fritt fall gäller följande formel: gt 2 2 s = sträcka (m) s=

g = tyngdacceleration (m/s2) t = tid (s) Amandas program sätts alltså igång när sonden börjar falla, och programmet ska räkna ut hur lång tid sonden ska vänta innan den börjar mätningarna. Accelerationen beror på vilken planet sonden ska krascha ned på. Tyngdaccelerationen på jorden är ungefär 9,8 m/s2. UPPGIFT

a) Lös ut tiden (t) ur formeln. b) Gör ett program som räknar ut hur länge rymdsonden ska falla från 60 000 till 20 000 meter över ytan (se exempel på kod i uppgiften Håll koll på höjden!). Du kommer att behöva räkna ut kvadratroten ur ett tal. Det kan man göra så här (t.ex. 25 ): sqrt(25);

c) Använd ditt program och räkna ut vad tiderna blir om rymdsonden ska skickas iväg till Mars,Venus och Månen.

190  Kapitel 6 | Programmering

Himlakropp

Tyngdacceleration (m/s2)

Mars

3,7

Venus

8,9

Månen

1,6

PROGRAMMERING

KAPITEL 3  GEOMETRI

ALVAS DATORSPEL Alva håller på att utveckla ett biljardspel, men nu har hon stött på problem. Problemet är att Alva inte riktigt vet hur hon ska ta reda på avståndet mellan bollarna. Krockmeddelandet ska bara komma fram när bollarna precis nuddar varandra, men nu kommer det alldeles för tidigt. För att lösa uppgiften måste man ändra på koden var distans så att avståndet mellan bollarna räknas ut med hjälp av Pythagoras sats.

var boll1 = { x: 100, y: 150 }; var boll2 = { x: 450, y: 600 }; function update() { clearScreen(); boll1.x += 1; boll1.y += 1; boll2.x -= 1; boll2.y -= 1; circle(boll1.x, boll1.y, 50, " red " ); circle(boll2.x, boll2.y, 50, " blue " ); var distans = boll2.x - boll1.x; if (distans < 100) { alert( " Nu blev det krock! " ); stopUpdate(); } }

UPPGIFT

a) Testa Alvas kod och se vad som händer. b) Ändra i koden så att avståndet mellan de två bollarna räknas ut på rätt sätt med hjälp av Pythagoras sats. Du kommer att behöva räkna ut kvadratroten ur ett tal. Det kan man göra så här (t.ex. 25 ):

x1, y1

y2 − y1

sqrt(25);

c) Hur kan man ändra i koden så att bollarna inte krockar?

x2 − x1

x2, y2

Programmering | Kapitel 6  191

PROGRAMMERING

KAPITEL 4  SANNOLIKHET OCH STATISTIK

STRUMPSIMULATORN Bengt gillar att köpa olika sorters strumpor, helst med olika färger. Problemet är att det blir jobbigt när man tvättar. Efter torktumlingen måste man hitta ett par med samma färg. Inför ett strumpköp bestämmer sig Bengt för att han behöver en simulator så att han kan testa hur jobbigt det skulle vara att ha många olika strumpor. Han skriver följande program: var strumpor = [ " grön " , " grön " , " grön " , " grön " , " röd " , " röd " , " röd " , " röd " , " röd " , " röd " , " blå " , " blå " , " orange " , " orange " ];

var torkadeStrumpor = shuffle(strumpor);

var strumpan = torkadeStrumpor.pop(); var plockadeStrumpor = 1;

while (torkadeStrumpor.length > 0) { plockadeStrumpor += 1; if (torkadeStrumpor.pop() == strumpan) { alert( " Du behövde plocka ut " + plockadeStrumpor + " strumpor för att få ett par. " + " Idag får du ha på dig: " + strumpan); break; } }

Programmet simulerar att Bengt plockar ut en strumpa som bestämmer vilken färg han är ute efter idag. Programmet fortsätter sedan att ta ut en strumpa i taget tills det matchar den första strumpan. UPPGIFT

a) Testa Bengts kod och se till att den fungerar. b) Räkna ut vad sannolikheten för att första strumpan kommer vara röd. Gör sedan detta för de andra färgerna. Kör programmet t.ex. 100 gånger och jämför med vad du beräknat. Redovisa i en värdetabell. Stämmer simulationen? c) Ändra i koden så att den första strumpan alltid är röd och kör simuleringen många gånger. Blir det alltid samma svar? Resonera och diskutera kring resultatet. d) Hur många strumpor måste man ta utan att titta i torktumlaren för att vara helt säker på att man får minst ett matchande par?

192  Kapitel 6 | Programmering

PROGRAMMERING

KAPITEL 5  PROBLEMLÖSNING

ROSITAS TÄRNINGAR Rosita får i uppdrag av sin lärare att kasta två tärningar och räkna ihop summan av dessa. Detta ska hon göra om så många gånger hon orkar. Som alla duktiga programmerare så vet Rosita att datorer är superduktiga på upprepningar, så hon skriver ett program som gör allt åt henne: // Skapa en lista för alla resultat. // 13 platser med siffran 0 på varje plats: var resultat = new Array(13).fill(0);

// Nu ska vi kasta två tärningar 1000 gånger: var antalkast = 1000; while (antalkast > 0) { var kast1 = random(1, 6); var kast2 = random(1, 6); var summa = kast1 + kast2; // Spara på summan i listan: resultat[summa] += 1; antalkast -= 1; } alert(resultat);

I Rositas program finns först en lista där hon sparar på alla summor hon får. Listan får 13 platser (0–12), eftersom datorn också skapar en plats för summan 0 och 1 (vilket kanske är lite onödigt, eftersom man sällan får summan 0 och 1 när man kastar två tärningar). UPPGIFT

a) Testa Rositas kod och se till att den fungerar. b) Rita ett stolpdiagram med resultatet från en körning av programmet.Varje stolpe ska motsvara en summa (2–12) och höjden av stolpen ska motsvara antalet gånger den summan inträffade. c) Ändra i koden så att datorn utför experimentet 10 000 gånger. Rita ett nytt stolp­ diagram över resultatet och jämför med förra uppgiften. Hur skiljer sig diagrammen? d) Ändra i koden så att datorn kastar tre tärningar istället. Kom ihåg att du kommer behöva göra listan på resultat större, eftersom summan av tre tärningar kan bli 6 + 6 + 6 = 18. Rita ett stolpdiagram över resultatet.

Programmering | Kapitel 6  193

KAPITEL 7

Läxor

PROBLEMLÖSNING

P

BEGREPP

B

METOD M RESONEMANG R KOMMUNIKATION K

Det finns tre läxor till respektive kapitel 1–4. Varje uppgift är markerad med vilken förmåga som tränas i huvudsak. B

SYFTET MED BEGREPPSUPPGIFTERNA ÄR ATT DU SKA TRÄNA PÅ FÖRMÅGAN ATT: • använda begrepp • beskriva begrepp • beskriva likheter och skillnader mellan begrepp • visa samband mellan begrepp

M

SYFTET MED METODUPPGIFTERNA ÄR ATT DU SKA TRÄNA PÅ FÖRMÅGAN ATT: • använda skriftliga räknemetoder som passar till den uppgift du ska räkna • använda effektiva huvudräkningsmetoder

P

SYFTET MED PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTERNA ÄR ATT DU SKA TRÄNA PÅ FÖRMÅGAN ATT: • förstå frågan i en textuppgift • använda dig av olika strategier när du löser ett problem • tolka resultat och dra slutsatser • bedöma om ett svar är rimligt • bedöma om den matematiska modell som använts kan användas i andra sammanhang

K

SYFTET MED KOMMUNIKATIONSUPPGIFTERNA ÄR ATT DU SKA TRÄNA PÅ FÖRMÅGAN ATT: • göra skriftliga beräkningar så att någon annan förstår vad du menar • beskriva och förklara din lösning • använda olika matematiska uttrycksformer som figurer, diagram och matematiskt språk

R

SYFTET MED RESONEMANGSUPPGIFTERNA ÄR ATT DU SKA TRÄNA PÅ FÖRMÅGAN ATT: • ställa och besvara frågor med matematiskt innehåll • följa andras förklaringar och bidra med idéer • motivera din lösning med matematiska resonemang

194  Kapitel 5 | Problemlösning

LÄXOR

KAPITEL 1  SAMBAND OCH FÖRÄNDRING

LÄXA 1

P 6

Saffran är en mycket dyr krydda som kostar 49 900 kr/kg. På nätet kunde man beställa 0,5 g saffran från Danmark för 17 DKK. Lönar det sig att beställa från Danmark när växlingskursen är 1,3542 SEK för 1 DKK?

K 7

Joel ritar en graf enligt sin värdetabell. Han tycker den ser konstig ut och tittar på tabellen igen.Vad har han gjort för fel?

1.1 FUNKTIONER 1.2 RÄTA LINJENS EKVATION

vad m och k står för i räta linjens ekvation, y = kx + m.

B 1 Förklara

B 2

En sommarpark tar 120 kr i inträde och därefter kostar det 15 kr för de olika aktiviteterna.

a) Skriv en formel för den totala kostnaden där K = kostnaden och x = antal aktiviteter. b) Hur många aktiviteter har man gjort om det kostar 300 kr totalt? M 3

M 4

Rita funktionen y = 3x − 2 i ett koordinatsystem.

K 8

x

2x − 2

y

0

20 − 2

18

1

21 − 2

19

2

22 − 2

20

Karin har skrivit ekvationen till linjen så här:

y = −2x + 2

Förklara vad som är fel och ange rätt ekvation. y 5

Bestäm linjernas ekvationer.

4

y

3

5 A

B

4

2 1

3 2

-5

-4

-3

1 -5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

-1

-1

-4

-3

-5

I affären är ostens pris proportionellt mot vikten. En bit ost, 200 g, kostar 16 kr. Vad kostar en ostbit som väger 4,2 hg?

2

3

4

5

x

-3

-2

-5

1

-2

x

-4

P 5

-2

R 9

En 3 kg påse med ris kostar 36 kr. En annan förpackning med 500 g ris kostar 12 kr. Motivera om priset är proportionellt mot vikten eller inte.

R 10 a) Hur

ser man på två räta linjers ekvationer att de är parallella?

b) Hur kan man ta reda på om två räta linjer skär x-axeln i samma punkt? Läxor | Kapitel 7  195

LÄXOR

KAPITEL 1  SAMBAND OCH FÖRÄNDRING

LÄXA 2

K 7

1.3 FUNKTIONER OCH DIGITALA VERKTYG 1.4 ICKE LINJÄRA FUNKTIONER B 1

Hur stor är den totala värdeförändringen i %?

Pris efter tre år: 3 · 0,9 · 6 000 kr.

Hon tyckte inte att svaret var rimligt. Vad är felet?

a) 1,04 · 0,98 · 8 300

b) 1,40 · 0,60 · 8 300 B 2

a) y = 2 − x + 3

b) y = 1 + 2x − 1 2x 3x c) y = −1+ 5 5

M 3

K 8

Formeln K = 250 000 · 1,025 t visar hur några räntefonder har förändrats i värde under några år. Förklara formeln så att din kompis förstår.

R 9

Beskriv skillnaderna mellan de tre graferna där följande ord finns med: proportionalitet, linjär funktion, icke linjär funktion, graf, koordinatsystem.

Avgör om sambanden är proportionaliteter.

På ett bankkonto finns 2 000 kr och räntesatsen är 5 %. Hur mycket finns på kontot efter a) 1 år

Priset på sängar sjönk tre år i rad med 10 % årligen. Från början kostade sängen 6 000 kr. Amelia löste uppgiften så här:

y 5

A

B

4

b) 2 år

C

3

M 4 a)

Vilka av graferna går genom samma punkt på y-axeln?

2 1

b) Vilka av graferna är parallella?

A y = 3 + 2x

B y = 2x − 3

C y = 3x − 1

D y = − 3x + 3

-5

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

x

-2 -3

P 5 Elvira

köper en cykel för 10 000 kr. Den minskar i värde med 20 % per år.

a) Hur mycket har den minskat i värde efter ett år? b) Hur många år tar det innan värdet halverats? P 6

Rita grafen till y = −2x + 2. Vilken formel har den funktion som

a) skär y-axeln två enheter över grafen

b) skär y-axeln i samma punkt men är vinkelrät mot grafen

196   Kapitel 7 | Läxor

-4 -5

R 10

Antalet bakterier ökar med 4 % varje minut. Förklara varför bakterietillväxten inte blir en linjär funktion.

LÄXOR

KAPITEL 1  SAMBAND OCH FÖRÄNDRING

LÄXA 3

P 5

Summan av två tal är 24. Tre gånger det ena talet är 10 större än det andra talet. Vilka är de två talen?

P 6

På en liten gård finns höns och katter. De har 68 ben, och 20 huvuden tillsammans. Hur många höns respektive katter finns det på gården?

K 7

Adam och Jonna försökte lösa en uppgift: Tal 1 är 1 större än tal 2. Summan av tal 1 och dubbla talet 2 är 4.Vilka är talen?

1.5 EKVATIONSSYSTEM MED GRAFISK LÖSNING 1.6 EKVATIONSSYSTEM MED ALGEBRAISK LÖSNING 1.7 PROBLEMLÖSNING B 1 a)

Bestäm linjernas ekvationer.

b) Vilken är den gemensamma lösningen? y 5

A

B

4 3 2

Adams lösning:

-4

-3

-2

-1

-1

1

2

3

4

5

y

x−1=y x + 2y = 4 x + 2(x − 1) = 4 x + 2x − 2 = 4 3x = 6 x = 2, y = 1

1 -5

Jonnas lösning:

x

-2 -3 -4

4 3 2 1 0

0

1

2

3

4

x

Talen är: 2 och 1

-5

B 2

Skriv ett ekvationssystem som kan lösa uppgiften. Två familjer köper biljetter till ett sport­ evenemang. De är tio personer och betalar 825 kr. Biljetterna kostar 100 kr för vuxen och 65 kr för barn. Hur många vuxna respektive barn är det?

M 3

Lös ut y.

a) 13 = 2x + y

b) 3y + 24 = x c) 2y = 15 − 10x

M 4

Lös ekvationssystemet.

a) y = 2x + 3

y =x−3

Förklara deras olika lösningsmetoder.

värde har k när ekvationssystemet saknar en lösning? b) Vilket värde har m för att linjerna ska skära y-axeln i samma punkt? K 8 a) Vilket

y = kx − 3 9 x − 3y = m R 9

Vi kan lösa ekvationssystem grafiskt eller algebraiskt. Förklara fördelar och nackdelar med respektive metod.

R 10

b) −4 − 3y = 4 x

y = x +1

Ekvationssystem A har ingen lösning. Ekvationssystem B har en lösning. Motivera varför.

A y = 3x + 1

B

y = 3x − 2

y = −3x + 1 y = 3x − 2

Läxor | Kapitel 7  197

LÄXOR

KAPITEL 2  ALGEBRA OCH EKVATIONER

LÄXA 4 2.1 PARENTESUTTRYCK 2.2 FAKTORISERA UTTRYCK 2.3 ALGEBRAISKA UTTRYCK MED NÄMNARE B 1

Para ihop ekvivalenta uttryck.

1 2x(x + 7)

A 16 − 3x

2 4 − 3(x − 4)

B x2 − 1

3 (x + 1)(x − 1)

C 2x2 + 14x

B 2 a)

Rita en rektangel som symboliserar arean (x + 3)2.

b) Beräkna värdet när x = 2,5 cm.

M 3

Faktorisera uttrycken.

a) 12x + 36 b) 32x − 10

M 4

Förenkla uttrycket. 4 x 2 ( 3x − 2 ) + + 3 5 3

P 5 a)

Bestäm x när arean är 70 cm2.

b) Vilken omkrets får parallellogrammen då?

(cm)

Rita ett geometriskt objekt till uttrycket 3(3x + 3).

K 8

Amalia förenklade så här: 15x − 35 − 2(x + 4) = 5 = 3x − 7 − 2x + 4 =

= x − 3

6

K 7

Rätta hennes fel och förklara.

5 R 9 Gör

en uppgift som testar beräkning med parenteser och faktorisering av uttryck. Skriv ett facit och förklara vad man kan göra fel på i uppgiften.

(5x + 4) P 6 Hur

stora är vinklarna?

R 10 Emils

A

lillasyster ber honom förklara hur man förenklar och förkortar. Hur tror du han förklarar det när han skriver ner följande uttryck?

x  + 10 3

C x – 40

198   Kapitel 7 | Läxor

B

2x 3

6x 2 + 12x 3 4 x 2 + 8x

LÄXOR

KAPITEL 2  ALGEBRA OCH EKVATIONER

LÄXA 5 2.4 EKVATIONER MED NÄMNARE 2.5 EKVATIONER MED PARENTESER 2.6 EKVATIONER MED FÖRHÅLLANDE B 1

Tal 1 är 2x och tal 2 är 6x.

a) Hur förhåller sig talen till varandra?

b) Hur stor är differensen mellan talen om x = 3? B 2

Per har x kr. Amina har 60 kr mer. Shahed har en tredjedel av Aminas pengar. Tillsammans har de 520 kr. Vilken ekvation kan användas för att ta reda på hur mycket Per har?

A x + x + 60 + 20 = 520

B 3x + 80 = 520

C 7x + 240 = 1 560

M 3

Förläng till gemensam nämnare och lös ekvationerna. 7x 8x 44 2x 15 x a) + = b) = − 5 10 10 3 9 6

M 4

P 6 En

10 % saltlösning som väger 2 kg späds till 8 % saltlösning. Hur mycket vatten tillsätts?

Amina löser följande ekvation: 4x 3x 34 + = 3 2 6 8x + 9x = 34 K 7

x = 2

Visa att svaret stämmer.

Lös ekvationen.

12y − (y + 4)(y − 3) = (y + 2)(5 − y) P 5 En

tandkrämstub väger 150 g. Den inne­ håller 20 % mer än den gjorde tidigare. Vad vägde tuben innan?

K 8

Ella har två rep som förhåller sig 1:5. Jan har två rep som förhåller sig 2:10. Kan deras korta och långa rep vara lika långa? Motivera.

R 9 Förklara

vad som menas med ”minsta gemensamma nämnare” och ge ett exempel.

R 10 Förklara

vad som menas med att vinklarna i en triangel har förhållandet 2:3:4. Läxor | Kapitel 7  199

LÄXOR

KAPITEL 2  ALGEBRA OCH EKVATIONER

LÄXA 6

P 6 Den

stora kvadratens omkrets är 36 cm. Beräkna den lilla kvadratens area.

2.7 OLIKHETER

x

2.8 KVADRATRÖTTER

x

2.9 ANDRAGRADSEKVATIONER B 1

Ordna talen efter storlek. Börja med det minsta. 18   81  32  27   9

B 2

Para ihop ekvivalenta uttryck. 1

18

A 4 2

12 3

2 4

B

3 32

C 3 2

M 3

Lös olikheterna.

a) 2x + 12 < 8

M 4

Lös ekvationerna.

a) (2x + 5)2 = 132

b) (x − 5)2 + 14 = 303

Vad innebär olikheten 23 < x < 24?

K 8

Ella löser en andragradsekvation så här:

a2 − 62 = 82 b) 8 + x > 5x − 17

a − 6 = 8 a = 14

större kvadraten har arean 81 dm2. Bestäm den mindre kvadratens sida. (dm)

2x 3

Har hon gjort rätt? Motivera. R 9 Förklara

P 5 Den

200   Kapitel 7 | Läxor

K 7

x

R 10 Adam

sambandet mellan 82 och

64 .

har glömt sin miniräknare när han ska ange ett ungefärligt värde på 7 . Hjälp honom!

LÄXOR

KAPITEL 3  GEOMETRI

LÄXA 7

P 6 Beräkna

arean av det färgade området. Svara i exakt form.

3.1 OMKRETS, AREA OCH VOLYM

(cm)

3.2 KLOT 3.3 PYTHAGORAS SATS

6 B 1

Vilka likheter finns det i beräkningen av en kons respektive en pyramids volym? 6

B 2

Figurerna har samma omkrets. Ordna figurerna efter storleken på arean. Börja med den minsta.

K 7 a)

Amelia har gjort beräkningar gällande ett geometriskt objekt. Vad har Amalia räknat ut?

?=4·5·3

?=2·4·5+2·3·4+2·5·3

A B C D

M 3

M 4

Beräkna begränsningsytan av en fotboll med diametern 22,2 cm. Beräkna volymen. (dm) 4

b) Rita objektet. K 8

Rita en figur som visar området som räknas ut här:

42 · π − 22 · π = 12π 60 · 12π = 2π 360 R 9 Förklara

vilket samband det är mellan enheterna m3, liter, cm3, cl, ml, dm3 och dl.

16 R 10 Beskriv

hur man beräknar begränsnings­ ytan på en konservburk.

8

P 5 Beräkna

triangelns omkrets. (dm) 6 16 Läxor | Kapitel 7  201

LÄXOR

KAPITEL 3  GEOMETRI

LÄXA 8

(cm)

P 6 Beräkna

cirkelns omkrets. Avrunda till hela cm.

3.4 LIKFORMIGHET OCH KONGRUENS

4

3.5 LIKFORMIGA TRIANGLAR

5

3.6 TOPPTRIANGELSATSEN B 1

6

Vilka figurer är

a) likformiga b) kongruenta?

A

B

C

D

K 7

Rita en cirkelsektor som är likformig med en cirkelsektor som har radien 5 cm och medelpunktsvinkeln 40°.

K 8

Vilka trianglar är kongruenta med varandra? Motivera. A

E

F G

E

H G

B 2

Vinklarna i en triangel förhåller sig som 2:3:4. Ge ett förslag på hur triangeln kan se ut.

M 3

Trianglarna är likformiga. Beräkna 20 sidan x.

18

I H

C

(cm)

F

Beräkna sidan x.

10

x

10

D

R 9 Formulera

x 12

9

en uppgift till bilden och redovisa din lösning. (dm)

9 M 4

B

8

(dm)

7

15 20

18

20

R 10 Formulera

P 5 Rätblocken

är

likformiga. Hur många 22,5 gånger större volym har det stora rätblocket? 202   Kapitel 7 | Läxor

(cm)

en uppgift till bilden som innehåller likformighet. A (cm) Redovisa även din lösning. D

12,5

15,0

18,0

5,0

B

10,0

7,5

C

LÄXOR

KAPITEL 3  GEOMETRI

LÄXA 9

K 7

3.7 LÄNGD-, AREA-, OCH VOLYMSKALA 3.8 PROBLEMLÖSNING B 1

En kub med sidan 10 cm är ritad i skala 1:2. Vilka hör ihop? 1 1 Sidans längd är A av den verkliga 8 2 Arean av en sida är B hälften av den verkliga

I figur A utgör pyramiden en tredjedel av rätblockets volym. När pyramiden och rätblocket dubblas i figur B utgör dubbla pyramiden fortfarande en tredjedel av det dubbla rätblocket. Stämmer detta? Motivera.

Figur A

Figur B

3 Kubens volym är C en fjärdedel av den verkliga B 2

M 3

M 4

Vad ska stå istället för a, b och c i tabellen? Skala

Bild

5:1

a)

Verklighet 1,5 cm 2

1:3

2 cm

4:1

128 cm3

K 8

b) c)

En cylinder är avbildad i skala 1:4. Den har diametern 8 cm och höjden 10 cm. Ange två olika sätt att beräkna cylinderns verkliga volym.

En kub har volymen 125 cm3. Hur lång blir sidan i skala 1:5?

R 9 Visa

En kvadrat har omkretsen 8 cm. Vad ska stå istället för a, b och c i tabellen?

R 10 Värdena

Sidans längd

Kvadratens area Kubens volym

a)

b)

c)

med exempel på sambanden mellan längd-, area- och volymskala. nedan är svar gällande figuren. Vilken är frågan?

a) 216 b) 113

P 5 I

ett hus finns en fläkt med luftflödet 50 liter/sekund. Hur många minuter tar det att ventilera all luft i ett rum som är 4 m långt, 3 m brett och 2,4 m högt? tandkrämstub innehåller 125 ml. Den runda öppningen har en diameter på 7 mm. Hur många borstningar räcker den till när man lägger 1,5 cm lång sträng varje gång? Anta att strängen är cylinderformad.

c) 0,52 (cm)

6

P 6 En

6 6

Läxor | Kapitel 7  203

LÄXOR

KAPITEL 4  SANNOLIKHET OCH STATISTIK

LÄXA 10

P 6

4.1 SANNOLIKHET

Bussen in till city går var tjugonde minut. Du går ut till hållplatsen utan att veta när bussen går. Hur stor är sannolikheten

4.2 KOMPLEMENTHÄNDELSER

a) att du får vänta 5 min eller mindre

4.3 SANNOLIKHET UR STATISTIK

b) att du får vänta mer än 10 min

B 1

Para ihop sannolikheterna för komplementhändelserna.

K 7

1 45 % A 0,55 3 7 2 B 4 10 3 0,3 C 25 %

B 2

En skål innehåller blå, vita och röda kulor. Sannolikheten att få de olika färgerna syns i träddiagrammet. Varför blir sanno­ likheten större att dra en kula av varje färg utan återläggning än med återläggning?

2 5

2 5

M 3

Hur stor är chansen att få klave två gånger i rad om du singlar en enkrona?

M 4

Sannolikheten att vinna i ett kortspel är 0,4. Hur stor är risken att förlora tre gånger i rad?

P 5

I ett lotteri finns det 30 lotter kvar och varav en är högsta vinsten och fem är godisvinster.

a) Hur stor är chansen att få en vinstlott?

b) Hur stor är risken att få en nitlott?

c) Chansen att få högsta vinsten var 0,5 % när försäljningen startade. Hur många lotter fanns det då?

204   Kapitel 7 | Läxor

1 − P(5:a och högre).

Förklara varför man kan det. K 8

1 5

Sannolikheten att få högst en 4:a med en tiosidig tärning kan räknas ut så här:

På lyckohjulet finns det 15 lika stora fält med siffrorna 1–15.

15

14

1

2 3

13

4

12 11

5 10

6 9

8

7

a) Motivera om det är lika stor chans att få ett udda tal som ett jämnt tal.

b) Motivera om det är lika stor chans att vinna om du satsar på 1 och 2 i samma omgång eller om du först satsar på 1 och sedan på 2. R 9

Du har två femkronor och fyra tiokronor i en påse.

a) Beräkna sannolikheten att dra två femmor utan att lägga tillbaka den första.

b) Vilken betydelse har det för sannolik­ heten om man ska dra två femmor med återläggning? R 10

Du slår en tiosidig tärning (med siffrorna 0–9) 900 gånger.

a) Hur många gånger kan du förvänta dig att det blir lägst en åtta?

b) Måste det bli exakt så många när du slår tärningen? Förklara varför.

LÄXOR

KAPITEL 4  SANNOLIKHET OCH STATISTIK

LÄXA 11

P 6

4.4 KOMBINATORIK 4.5 PERMUTATIONER B 1

Andrea ska köpa glass och har fem smaker att välja mellan. Hon vill ha två kulor i olika smak. Hur många olika kombinationer kan hon välja mellan?

B 2

I en innebandyturnering deltar 16 lag. Hur många matcher blir det totalt om lagen möts två gånger?

M 3

På hur många sätt kan lillebror klä sig om han har två par byxor, tre tröjor och fyra par strumpor?

M 4

Hur många tresiffriga tal kan bildas med siffrorna 7, 8 och 9?

P 5

När Karin cyklar till skolan passerar hon tre korsningar. I en korsning kan hon antingen välja höger, vänster eller rakt fram. Hur hon än väljer så kommer hon fram till skolan. På hur många olika sätt kan hennes cykelväg bli till skolan?

Fem elever (A, B, C, D och E) har anmält att de vill sitta med i elevrådet. Två av eleverna ska väljas ut.

a) På hur många olika sätt kan de väljas? b) I hur många av dem kommer eleven A att väljas? K 7

För att beräkna antalet olika kombinationer som det går att klä sig med ett antal tröjor och byxor ska man multiplicera respektive antal istället för att addera dem. Förklara varför.

K 8

Två kompisar har varsitt kodlås med fyra siffror. En av dem räknar ut antalet koder genom att ta 10 · 10 · 10 · 10 och den andre räknar ut det genom att ta 10 · 9 · 8 · 7.

a) Vem har rätt?

b) Hur skulle låset se ut för kompisen som hade fel? R 9

Elin och Amir har en sexsidig tärning som de turas om att kasta. Innan de kastar ska de gissa om det blir högre eller lägre. Hur kan de göra välgrundade gissningar?

R 10

Tio elever kan stå i kö på 10! olika sätt. Vad innebär detta? Läxor | Kapitel 7  205

LÄXOR

KAPITEL 4  SANNOLIKHET OCH STATISTIK

LÄXA 12 4.6 STAM-BLAD-DIAGRAM 4.7 LÅDAGRAM B 1

Para ihop begreppet med rätt bokstav.

1 största värdet 2 medianen 3 nedre kvartilen A

0

B

5

D E

C

10

15

Titta på stam-blad diagrammet och ange a) medianen b) minsta värdet c) variationsbredden B 2

M 3

20

25

1|224 2|1233 3|011 4|33

Gör ett stam-blad-diagram över pumpornas vikter i hg:

M 4

Rita ett lådagram med följande värden.

Nedre kvartilen: 2,1 Övre kvartilen: 2,8 Det minsta värdet: 1,8 Det största värdet: 3,2 Medianen: 2,6 P 5

55, 45, 48, 35, 32, 46, 45, 35, 38, 35, 56, 52, 51, 48

A

P 6

206   Kapitel 7 | Läxor

Vad ska stå istället för A, B och C om variationsbredden är 41, medianen är 75 och medelvärdet 80? 73

B

C

103

Nio personer svarade på en undersökning om hur många liter vatten de använder varje dag. Resultatet visade medelvärdet 200 l, variations­ bredden 100 l, medianen 180 l och att fyra av personerna använde mer än 200 liter. Rita ett exempel på ett lådagram som stämmer med informationen.

LÄXOR

KAPITEL 4  SANNOLIKHET OCH STATISTIK

K 7

Det har smugit sig in ett fel i talserierna. Ändra så att det stämmer med informationen. A har störst variationsbredd B har störst typvärde C har störst median

K 8

R 9

22

25

26

41

62

?

B

12

12

?

24

52

55

a) Vad innebär då bladen?

C

32

32

33

?

36

38

0|346789 1|00124677899 2|12

4

6

8

10 12 14 16 18 20 22 24

b) Diagrammet visar sträckan av elevernas skolväg.Vad får du reda på om deras skolväg? R 10

Robin har undersökt nagellängden på några kompisar. Resultat blev följande värden i cm:

1,3 1,8 1,5 2,1 1,7 1,8 1,9 1,6 2,5

2

0|345 1|022 2|133

A

Förklara hur lådagrammet är gjort utifrån stam-blad-diagrammet.  Använd orden median, variationsbredd, minsta värde, största värde, nedre kvartil och övre kvartil.

I stam-blad-diagrammet är stammen antalet hela km.

Robin kom fram till att medianvärdet var 1,7, nedre kvartilen 1,65 och övre kvartilen 1,75. Vad har Robin gjort för fel och hur ska man göra istället?

Läxor | Kapitel 7  207

LEDTRÅDAR TILL FÖRDJUPNING

KAPITEL 1 SAMBAND OCH FÖRÄNDRING  1 Beräkna värdet i parentesen i kvadrat först och sätt sedan minustecknet framför.  2 Gör en värdetabell med x-värden från −2 till 2.  3 Gör en värdetabell med x-värden från −2 till 2.  4 Rita graferna till y = −x2 och y = x2.  5 Gör en beräkning på antalet möss per månad. 120 % = 1,2.  6 Antalet riskorn i respektive ruta kan skrivas som en potens med basen 2.   7 b) Antal treårsperioder anger antal ökningar.  8 b + h = 22. b och h är heltal.  9 – 10 Gör värdetabeller med x-värden från −3 till 3. 11 Gör värdetabeller med x-värden från −3 till 3. 12 Gör en värdetabell. 13 En höjning med 2 % ger förändringsfaktorn 1,02.

8 Sätt upp ett uttryck där x motsvarar biten 10 % tenn 90 % koppar och välj ett uttryck antingen för tenn eller koppar.  9 Beräkna hur stor del som fylls på en timme av båda slangarna. 10 Sätt upp ett uttryck där x motsvarar mängd 80 % koppar. 11 Ange det ena talet som x och det andra som (120 − x). 12 Beräkna hur stor del som klipps på en timme av båda två. 13 Sätt upp en ekvation för kvadratens area som är lika med rektangelns area. s 14 Använd sambandet t = . v Sträckan till kompisen är s km. Skriv ett uttryck för tiden när han kommer för tidigt och ett när han är försenad. Lägg till och ta bort tid i de båda uttrycken och sätt dem lika med varandra.

14 Gör en värdetabell med x-värden från −3 till 3.

15 Sätt upp en ekvation där hon har x antal bitar från början.

15 Notera hur graferna ser ut och var de skär y-axeln.

16 Två mål i genomsnitt innebär att x antal matcher ger 2x antal mål.

KAPITEL 2 ALGEBRA OCH EKVATIONER  1 Förläng till en gemensam nämnare.  2 Förläng till en gemensam nämnare.  3 Förläng till en gemensam nämnare.  4 Förläng till en gemensam nämnare.  5 Ange mängd vatten med x och lös med ekvation.  6 Ange mängd salt med x och lös med ekvation.  7 Ange mängd vatten med x och lös med ekvation. 208

KAPITEL 3 GEOMETRI  1 Knappa in t.ex. sin 20° och testa vilket av förhållandena som stämmer med detta.  2 Knappa in t.ex. sin 70° och testa vilket av förhållandena som stämmer med detta.  3 Knappa in värdena på miniräknaren och jämför resultaten. a b   4 a) sin 35° = b) cos 35° = 15,0 15,0 a  5 tan v = b  6 Beräkna triangelns bas.

LEDTRÅDAR TILL FÖRDJUPNING a c a  8 Rita en bild och använd t.ex. sin v = c a  9 tan 40° = b 10 Beräkna vinklarna i en av de fyra rätvinkliga trianglarna.  7 Rita en bild och använd t.ex. sin v =

3 Dela upp cykelns pris på 24 månader. Beräkna räntan på 8 000 kr första året och på 4 000 kr andra året.   4 Den effektiva räntan visar den sammanlagda kostnaden för ett lån. Uppläggningsavgiften betalas en gång. Aviavgiften betalas varje månad.  5 Beräkna pengarnas värdeökning och kostnaden för respektive år.

KAPITEL 4 SANNOLIKHET OCH STATISTIK   1 b) Beräkna skillnaden mellan varje enskilt värde och medelvärdet. Beräkna sedan kvadraten på skillnaden. För in resultaten i en tabell för bättre överblick.  2 Beräkna först medelvärdet. Beräkna sedan skillnaden mellan varje enskilt värde och medelvärdet. Beräkna därefter kvadraten på skillnaden. För in resultaten i en tabell för bättre överblick.  3 Det rosa och blå området motsvarar tillsammans 95 %.   4 b) Beräkna skillnaden mellan varje enskilt värde och medelvärdet. Beräkna sedan kvadraten på skillnaden. För in resultaten i en tabell för bättre överblick.  5 68 % av värdena finns inom högst 1 standardavvikelse från medelvärdet.  6 Läs av diagrammet.  7 Läs av diagrammet.

KAPITEL 5 PROBLEMLÖSNING

6 Öka skulden med årsräntan tills den når upp till 14 000 kr.  7 Fördela årsräntan per dag och multiplicera med 320.  8 Först minskar priset med 25 % och sedan med 10 % till priset halverats.  9 Multiplicera räntan per månad med 12. 10 Nya värdet dividerat med gamla värdet = förändringsfaktorn. 11 Minska 100 kr med 2,2 % 10 gånger. 12 Sätt upp ett ekvationssystem, x + y = 4 700 och 0,02x + 0,04y = 146. 13 Gör kolumner med månadslön, skatt, månadslön efter 31 % skatt och månadslön efter 15,5 % skatt. 14 Öka respektive konto med förändringsfaktorn upphöjt till 10. 15 Ta hänsyn till att ränta beräknas per år. 16 Den effektiva räntan visar den sammanlagda kostnaden för ett lån. Uppläggningsavgiften betalas en gång. Aviavgiften betalas varje månad. 17 Beräkna räntan på 7 månader.

1 Skriv intäkter i en kolumn och utgifter i en annan.

18 Gör beräkning på avbetalning per månad och den nya räntan per år.

2 Skriv intäkter i en kolumn och utgifter i en annan.

19 Multiplicera med förändringsfaktorn tills den blir 2.

209

FACIT

KAPITEL 1

SAMBAND OCH FÖRÄNDRING 1.2 RÄTA LINJENS EKVATION

GRUNDKURS

NIVÅ 1

NIVÅ 1   1 a) Nej b) Nej c) Ja d) Nej e) Nej  2 B och C då grafen går genom origo.  3 Nej, kilopriset är lägre för den stora

förpackningen.   4 a) 10 cm b) 30 dagar c) 220 cm

NIVÅ 2  5 B och E då grafen går genom origo.  6 SEK

1  10 100

THB   3,61  36,1 361

6 5 4

b

17 a) (0, 4) b) (0, 7) c) (0, 0) d) (0, 0) e) (0, −4) f) (0, −6)

-5 -4 -3 -2 -1

y

A

C

d

4

y 5

a

4 3

29

1 1

2

3

4

5

-2

x

1

2

3

4

5

x

3

-2

2

-3

1 -5 -4 -3 -2 -1

20 a) k = 3, m = 4 b) k = −3, m = 4 c) k = −5, m = −10 d) k = 1, m = 0 e) k = −1, m = 0 f) k = 10, m = 10

-5

b) Nej e) Ja

3

4

5

x

-3 -4

31 a) y = 3x b) y = 3x − 4 c) Nej

NIVÅ 3

-4

24 Grafen går genom origo och då är

Skärningspunkten är (0,75; 1,75).

2

uppgift 29 och skär y-axeln i (0, 1).

22 a) y = 4x − 4 b) y = 7x − 6 b) y = 4

m = 0, y = kx + 0.

1

30 Grafen är parallell med graferna i

23 a) y = 8

12 x = 0,75.

-1 -2

-3 -5

x

4

b) k = 3 c) A (0, 0), B (0, 4), C (0, −4)

21 a) Ja d) Ja

2

5

b a c

5

-5

b) ca 93 °C c) 20 °C d) ca 5 h

4

-5

y

1

början och sedan långsammare. Efter 10 h stannar temperaturen vid 20 °C.

3

-4

2

10 a) Temperaturen sjunker mest i

2

-6

3

-1

1

-1 -3

B

-4

-1

2

-2

18 A och B, C och E, D och F 5

a

3 1

NIVÅ 2

9 1 696 933 kr

210

7

16 1C, 2B, 3D, 4A

-5 -4 -3 -2 -1

c

8

15 a) k = 3, m = 2 b) k = 3, m = −2 c) k = 4, m = 2 d) k = −2, m = 4 e) k = −3, m = 0 f) k = −4, m = −7

NIVÅ 3

-5 -4 -3 -2 -1

9

14 B, D, F

8 1C, 2B, 3A

b

y 10

28

19 a)

7 a) 200 kr b) 80 kr/h c) Nej, då hon har en grundlön.

11

NIVÅ 1

13 a) (0, 3) b) C och D c) A och B

1.1 FUNKTIONER

1.3 FUNKTIONER OCH DIGITALA VERKTYG

NIVÅ 2 32 a) Nej b) Ja

c) Ja

d) Nej

33 B, C, och D är parallella. 34 a) y = 5x + 3

b) y = 4x − 2

35 a) m = 3

b) m = −2

NIVÅ 3 36 y = 0,5x + 3

25 y = −2x − 1

37 A och C

26 C och E

38 (1,5, −1)

27 B, C, D och F är parallella.

39 y = −x + 4

FACIT y

1.4 ICKE LINJÄRA FUNKTIONER

58 a)

3

40 a) ca 20 st b) ca 60 st c) 400 st

2 0

x=5 y=3

72 a)

x = 5 b) y = 25

x=2 y=4

5

x

NIVÅ 2

1

b) ökning d) minskning

b) 2,56

c) 1 440

0

NIVÅ 3 50 a) (0, 1) b) (−1, 0) och (1, 0) 51 a) 1 050 kr b) 1 102,50 kr c) 1 276,28 kr 52 2 940 kr 53 3 042 000 kr 54 ca 8 år

1.5 EKVATIONSSYSTEM MED GRAFISK LÖSNING

74 a) x = 4

b) x = 2,1

75 a)

x=2 y = 2,5

b)

x=3 y =1

76 a)

x = 5 b) y = 15

x=5 y =1

0

1

2

3

4

5

77 a)

x = 14 b) y=6

x=3 y =1

NIVÅ 2

61

49 a) minskning med 4 % b) minskning med 19 % c) ingen förändring, 0 %

b) x = −1,5

x

b) (1, 1)

47 a) 196 000 kr b) 156 800 kr c) 80 282 kr 48 11 662 kr

73 a) x = 2y

2

60 a)

x=4 y=2

4

3

46 a) y = 1,01x · 5 000 b) y = 0,97x · 250

57

3

4

44 a) minskning c) ökning

x =1 y=2

2

59 a) 5

NIVÅ 2

56

1

y

43 a) minskning b) ökning c) ökning d) minskning

x =1 y=2

0

b) (1, 4)

42 a) ca 3 år b) ca 2 år c) ca 1 år

55

x = 5 b) y=9

1

41 a) Under fjärde året. b) Under elfte året.

NIVÅ 1

71 a)

4

NIVÅ 1

45 a) 50

5

x = 2 y=2

b)

x =1 y =1

y = −0,5x + 2 (röd) y = − x + 3 (lila) b) 850 st

NIVÅ 3 64 a)

78 a) x = 10y + 6 b) x = 8y + 10 79 a) x =

62 tal 1 = 123 och tal 2 = 146 63 a) 650 st

NIVÅ 3

x = 0,3 b) y = 3,4

x = 0,6 y = 1,4

( −2y − 2) (4 − y ) b) x = 5 5

80 a)

x = 3,5 b) y=2

x = 23,5 y = 2,9

81 a)

x = 3 b) y = 2,5

x = 1,2 y = 0,8

82 a)

x = 1,2 b) y = 1,3

x = 3,75 y = 2,5

65 y = 3x + 2, k = 3 och m = 2 66 y = 2x − 5 och y = −2x + 7 67 a) y =−4x + 5 b) k = 0,25 c) y = 0,25x − 3,5

1.7 PROBLEMLÖSNING

1.6 EKVATIONSSYSTEM MED ALGEBRAISK LÖSNING

84 tal 1 = 4 och tal 2 = 16

NIVÅ 1

86 a) Aliza är 193 cm. b) Lola är 169 cm.

NIVÅ 1 83 tal 1 = 3 och tal 2 = 6

68 a) x = 8 − y b) x = 8 + 2y c) x = 2 + 3y

87 Alexandra tjänar 15 000 kr och

Jamila tjänar 20 000 kr.

69 a) x = y − 8 b) x = 8 − 2y c) x = 3y + 2 70 a)

x = 5 y=3

85 tal 1 = 3 och tal 2 = 9

NIVÅ 2 88 4 enkronor och 16 femkronor b)

x = −4 y = 12

89 a) En fralla kostar 15 kr. b) En juice kostar 24 kr. 90 tal 1 = 23 och tal 2 = 43

211

FACIT 91 a) En vuxenbiljett kostar 375 kr. b) En barnbiljett kostar 150 kr.

6

92 Det är 7 kor och 2 hönor.

NIVÅ 3

x

y

0

4

1

3

2

2

y

14

4 3 2 1

93 tal 1 = 12,5 och tal 2 = 15

y

-5 -4 -3 -2 -1

94 De kostar 90 kr/kg och 60 kr/kg.

5

95 Det har sålts 11 strutar med tre

4

-2

3

-3

2

-4

kulor och 4 strutar med två kulor. 96 Pressarna trycker 7 000 ex/h

1

och 5 000 ex/h. -5 -4 -3 -2 -1

97 Sidorna i den ursprungliga

rektangeln är 5 cm och 7 cm.

1

-1

2

3

4

5

y 5

15

-5 -4 -3 -2 -1

8 a) A: −5, B: 3, C: 2, D: −3

3 a) 36 kr b) 6 kg

b) A och B

4 a) K = 18x b) Grafen för sambandet går

9 1D, 2B, 3C, 4A

0

−1

1

3

5

5

9

5

b

1

2

3

4

5

y 4

-5 -4 -3 -2 -1

1

2

3

4

2

-1 -2

y = -2x + 3 5

-3

x

-5

4

11 a) De skär y-axeln i samma punkt. b) Graferna är parallella med

2 1 1

2

3

4

5

x

-4 -5

17 a) y = 2x + 1 b) y=x−2

varandra.

1.4 Icke linjära funktioner 18 a) minskning b) ökning c) minskning

1.3 Funktioner och digitala verktyg

19 a) minskning b) ökning c) ökning

-4

12 (−4, 0)

20 a) 162 b) 225 c) 415

-5

13 (0, 1)

21 a) 8 240 kr b) 8 742 kr c) 9 552 kr

-1 -2 -3

x

5

-4

3

22 271 kr

212

4

1

-3

5

-5 -4 -3 -2 -1

a

-2 y

b)

-1

3

-5

y=x+3

3 2

2

3

4

y

1

-4

c

5

x

-1 -3

16 y

-5 -4 -3 -2 -1

bac

-2

skärningspunkt i y-axeln. b) k-värdet påverkar grafens lutning (riktning).

2 a) 300 kr b) K = 100 + 40x

5 a)

x

1

7 a) m-värdet anger grafens

10

5

2

1.2 Räta linjens ekvation

igenom origo(0, 0) och ökar linjärt.

4

3

-5

springa, står stilla en stund och går sedan.

3

4

-4

1 T.ex. en person startar med att

2

-5

-3

1.1 Funktioner

1

-1

x

-2

TRÄNA MERA

b a c

5

x

FACIT

23

Lån (kr)

År

100 000

0

103 000

1

106 900

2

109 273

27 tal 1 = 5 och tal 2 = 15 28 Det är 8 strutsar och 12 zebror.

1.6 Ekvationssystem med algebraisk lösning

4

115 927

5

31 a)

y 5

b)

4 3 2

32 a)

1 0

0

1

2

3

4

x

5

b)

a) (1, 4) b) 4 = 1 + 3 och 4 = −1 + 5 25 a) (6, 8)

y

x=4 y=4

4 2

b) (1, 2)

0

2

4

6

8

x

10

34 a)

y

b)

5 4

0

2

−(0) + 2

2

1

2

−(1) + 2

1

2

2

−2

−(2) + 2 5 4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1

1 0

1

2

3

4

5

x

4

5

4

5

x

-4 -5 y

c ba

10

2

9

x = 13 y=8

8 7 6

x = 11 y=5

5 4

1.7 Problemlösning

2

35 Anna har tjänat 9 450 kr

1

och Carl har tjänat 3 150 kr.

-5 -4 -3 -2 -1

2

2

39 A = 192 cm

1 0

1

2

3

4

5

x

40 En vuxenbiljett kostar 130 kr och en

barnbiljett kostar 80 kr.

y 5

41 tal 1 = 2 448 och tal 2 = 1 202

4

42 Rektangelns sidor är 6 cm och 12 cm.

3

43 y = 4 − x

2

-1

1

2

3

-2 -3

38 a) Per hoppar 1,35 m b) Anna hoppar 4,05 m

3

-4 -5

d) Då ändras skärningspunkten med

y-axeln.

44 Det var 180 vuxna och 120 barn.

1 0

3

-3

37 tal 1 = 6 och tal 2 = 24

4

b) (1, 3)

2

-2

36 tal 1 = 36 och tal 2 = 9

y 5

0

1

-1

3

2

26 a) (1, 3)

1

−(−1) + 2

3

0

−2

2

−(−2) + 2

x = −4 y=7

b)

y

2

y

x=9 y=5

x=8 y = 14

8

0

−1

y = −x2 + 2

b)

x = −3 y = 15

33 a)

10 6

x=5 y = 15

x −2

30 a) y = 5 − x b) y = x − 3 c) y = 2x − 3

1.5 Ekvationssystem med grafisk lösning 24

1 a)

29 a) x = 12 − y b) x = 3 + 2y c) x = 9 + 2y

3

112 551

FÖRDJUPNING

0

1

2

3

4

5

x

213

x

– MENINGSFULL MATEMATIK FÖR ALLA! Mondo matematik är en helt ny läromedelsserie i matematik för grundskolan.

9

Som lärare får du ett omfattande och pålitligt stöd för din undervisning. Det gäller i synnerhet med bedömning och utvärdering av elevernas kunskaper och färdigheter. Du får också förslag till hur du kan hjälpa elever som behöver stöd i matematik.

matematik

Mondo ger alla möjligheten att förstå och tillämpa matematikens grunder. Genom att välja nivå i grundkursen skapas en trygg bas och i det unika avsnittet ”Tillämpa förmågorna” utvecklar eleverna sina kunskaper i mindre projekt enskilt eller i grupp.

Mondo matematik 9 består av: • Elevwebb med filmade genomgångar, effektiv digital färdighetsträning och diagnoser • Lärarwebb med handledning, prov, bedömningsstöd, filmade genomgångar, resultatrapport på elevernas färdighetsträning och diagnoser

7 matematik

Lisa Gustafson Jonas Hällebrand Olle Nyhlén Johansson Jan Persson

8 matematik

Lisa Gustafson Olle Nyhlén Johansson Jan Persson

9 matematik

Lisa Gustafson Olle Nyhlén Johansson Jan Persson

ISBN 978-91-40-69685-4

9

789140 696854

Lisa Gustafson  Olle Nyhlén Johansson  Jan Persson

• Elevbok

9 matematik

Lisa Gustafson Olle Nyhlén Johansson Jan Persson