9789152330371 by Smakprov Media AB

L Ã&#x201E;RARMAT E R I A L

Gunilla Viklund Birgit Gustafsson Anna Norberg

Innehåll 1 • POTE N S B E RÄ KN I N GA R O C H B U D G E TE R I NG

2 • RÄTA LI N J E N S E KVATI O N

Författarnas kommentarer till kapitlet ....................................................1 Lösningar till uppdragen .............................................................................. 2 Lösningar till uppgifter markerade med ++ .......................................... 7 Begreppskarta ..................................................................................................9 Övningsblad ................................................................................................... 10 Koordinatsystem ................................................................................ 10 Tabeller och grafer .............................................................................. 11 Rita linjen till ekvationen ..................................................................12 Bestäm k-värdet och m-värdet .......................................................13 Bestäm linjens ekvation ................................................................... 14 Problemlösning ....................................................................................15 Skostorlek.............................................................................................. 16 Repetitionsuppgifter ..........................................................................17 Facit till övningsbladen .............................................................................. 19

3• EKVATI O N S SYSTE M

Författarnas kommentarer till kapitlet ....................................................1 Lösningar till uppdragen .............................................................................. 2 Lösningar till uppgifter markerade med ++ ..........................................6 Begreppskarta ..................................................................................................8 Övningsblad .....................................................................................................9 Multiplikation av parenteser ............................................................9 Ekvationssystem på grafritande räknare 1 ................................. 10 Ekvationssystem på grafritande räknare 2 ................................. 11 Algebraiskt lösning av ekvationssystem .....................................13 Problemlösning 1: Vad kostar resan? ............................................ 14 Problemlösning 2: Hjälp Ibrahim att blanda ..............................15 Facit till övningsbladen .............................................................................. 16

4 • AN D RAG RA D S E KVATI O N E R

Matematik 2a © Författarna och Sanoma Utbildning AB. Kopiering tillåten

1 • P OT E N S B E R Ä K N I N GA R O C H B U D G E T E R I N G

Övningsblad ....................................................................................................12 Kvadreringsregler och konjugatregeln.........................................12 Faktorisera uttryck ..............................................................................13 Andragradsekvationer 1.................................................................... 14 Andragradsekvationer 2 ....................................................................15 Andragradsekvationer 3 ................................................................... 16 Andragradsekvationer med grafritande räknare......................17 Repetitionsuppgifter ......................................................................... 18 Facit till övningsbladen .............................................................................. 19 5 • FU N KTI O N E R

Författarnas kommentarer till kapitlet ....................................................1 Lösningar till uppdragen .............................................................................. 2 Lösningar till uppgifter markerade med ++ .......................................... 4 Begreppskarta .................................................................................................. 5 Övningsblad .....................................................................................................6 Funktion och funktionsvärde ...........................................................6 Deﬁnitionsmängd och värdemängd .............................................8 Funktionsmaskinen 1 ..........................................................................9 Funktionsmaskinen 2........................................................................ 10 Funktionsmaskinen – Gruppuppgift ............................................ 11 Andragradsfunktioner .......................................................................12 Andragradsfunktioner och andragradsekvationer ..................13 Repetitionsuppgifter ......................................................................... 14 Facit till övningsbladen ...............................................................................15

6 • MATE MATI S K A RG UM E NTATI O N O C H G E OM E TR I

Författarnas kommentarer till kapitlet ....................................................1 Lösningar till uppdragen .............................................................................. 2 Begreppskarta ..................................................................................................6 Övningsblad ..................................................................................................... 7 Implikation och ekvivalens 1 ............................................................. 7 Implikation och ekvivalens 2 (algebra)..........................................8 Implikation och ekvivalens 3 (geometri) ......................................9 Repetitionsuppgifter trigonometri .............................................. 10 Repetitionsuppgifter symmetri ......................................................12 Repetitionsuppgifter vektorer ........................................................13 Facit till övningsbladen ...............................................................................15

KA P ITE L P ROV O C H FÖ R DJ U P N I N G S U P PG I F TE R

Kapitelprov 1 Potensberäkningar och budgetering ............................1 Fördjupningsuppgift 1 ................................................................................... 5 Kapitelprov 2 Räta linjens ekvation ......................................................... 7 Fördjupningsuppgift 2 .................................................................................12 Kapitelprov 3 Ekvationssystem ............................................................... 14 Fördjupningsuppgift 3 ................................................................................ 18 Kapitelprov 4 Andragradsekvationer ....................................................20 Fördjupningsuppgift 4 ................................................................................24 Kapitelprov 5 Funktioner ...........................................................................26 Fördjupningsuppgift 5 ............................................................................... 30 Kapitelprov 6 Matematisk argumentation.........................................32 Kapitelprov 6 Trigonometri, symmetri och vektorer........................ 35

Matematik 2a © Författarna och Sanoma Utbildning AB. Kopiering tillåten

1 • P OT E N S B E R Ä K N I N GA R O C H B U D G E T E R I N G

Lösningar till uppdragen Trianglar och kvadrater a Den nya kvadratens sidor är hypotenusan i trianglarna i den ursprungliga kvadraten. Vi kallar kvadratens sida för s. 7

s2 = 72 + 32

(cm)

s2 = 58

s = 58

Kvadratens sidor är 58 cm och arean är 58 · 58 cm2 = 58 cm2. Svar: Den nya kvadraten har arean 58 cm2.

Deras totala area är 4 ·

7·3

a I den nya kvadraten ﬁnns fyra lika stora trianglar med kateterna 7 cm och 3 cm.

cm2 = 42 cm2.

2 Den lilla kvadratens area är alltså (58 – 42) cm2 = 16 cm2. Svar: Kvadraten i mitten är 16 cm2. a Kvadraten i mitten med sidan c har arean c . Vi kan också uttrycka arean med hjälp av sidorna a och b genom att först beräkna den stora kvadratens area och sedan subtrahera de fyra trianglarnas area.

Den stora kvadraten med sidorna a + b har arean AK = (a + b)(a + b)= a2 + 2ab + b2 a·b Trianglarnas sammanlagda area är 4 · = 2ab 2 Kvadraten i mitten har alltså arean AM = a2 + 2ab + b2 – 2ab = a2 + b2

b a

c a

b a

Om vi sammanför de två olika uttrycken för den mittersta kvadratens area får vi sambandet c2 = a2 + b2 vilket även kallas Pythagoras sats.

Implikation och ekvivalens a 1) Om 2x = 4, så är x = 2. På samma sätt gäller att om x = 2, så är 2x = 4 Alltså är det ekvivalens mellan påståendena. x = 2 fp 2x = 4 2) Vi löser ekvationen 4x + 3 = 5x – 3 och får x = 6 Om 4x + 3 = 5x – 3, så är x = 6. På samma sätt gäller att om x = 6 så är 4x + 3 = 5x – 3. Alltså är det ekvivalens mellan påståendena. 4x + 3 = 5x – 3 fp x = 6 3) Vi löser ekvationen 3x – 4 = 2x + 3 och får x = 7 Om 3x – 4 = 2x + 3 så är x = 7. På samma sätt gäller att om x = 7 så är 3x – 4 = 2x + 3. Alltså är det ekvivalens mellan dessa påståenden.

Matematik 2a © Författarna och Sanoma Utbildning AB. Kopiering tillåten

6 • M AT E M AT I S K A R G U M E N TAT I O N O C H G E O M E T R I

Lösningar till uppdragen Funktionsmaskinen a Om vi stoppar in 4 i stället för x i funktionsuttrycket får vi y = 5 · 42 + 3 = 83 a x = 0 ger y = 3, x = 2 ger y = 23 och x = –2 ger y = 23 a T.ex. y = 2x + 2, eftersom x = 3 ger y = 8. Men det ﬁnns också andra funktionsuttryck som fungerar, t.ex. y = x + 5 eller y = 3x – 1

Funktioner och ekvationer a Vi använder pq-formeln för att lösa ekvationen x2 – 4x + 3 = 0 och får x = 2 ± 4 3 som ger x1 = 3 och x2 = 1 Även ekvationen (x – 3)(x – 1) = 0 har lösningarna x1 = 3; x2 = 1. Det ser man direkt eftersom någon av parenteserna måste vara lika med 0 om produkten ska bli 0. Vill man övertyga sig om att det är samma ekvation så kan man multiplicera ihop parenteserna. a Man kan rita grafen till funktionen på räknaren och sedan avläsa skärningspunkterna med x-axeln, dvs. där y = 0 a Ekvation A1: x2 + x – 6 = 0 kan lösas med hjälp av pq-formeln. Vi får då x = –0,5 ± 0,25+ 6 som ger x1 = –3 och x2 = 2 Ekvation A1 hör alltså ihop med B3 och C1. Ekvation A2: x2 – 1 = 0 kan delas upp med konjugatregeln. Vi får då (x + 1)(x – 1) = 0 A2 hör alltså ihop med B1 och C2. Nu har vi ju bara ett val men vi löser ändå ekvation A3: x2 + 5x + 6 = 0 med pq-formeln och får x = –2,5 ± 6,25 6 som ger x1 = –2 och x2 = –3 Ekvation A3 hör alltså ihop med B2 och C3.

Goda nyheter a U(x) = 100x2 + 2 500x + 20 000 x = 0 ger U(0) = 20 000 x = 2 ger U(2) ≈ 25 000 x = 5 ger U(5) = 35 000 Alltså stämmer funktionen med de uppsatta målen. a Vi söker det x-värde som ger U(x) = 50 000 vilket ger ekvationen 100x2 + 2 500x + 20 000 = 50 000 x2 + 25x = 300 x2 + 25x – 300 = 0 x = –12,5 ± 156,25+ 300 x = –12,5 ± 456,25 x1 ≈ 9 och x2 ≈ –34 Det negativa värdet saknar betydelse i det här fallet eftersom antalet år måste vara positivt, så svaret blir ca 9 år (8,86…) a Upplagan kan inte fortsätta öka hur länge som helst. Det beror bland annat på vilket spridningsområde tidningen har. En linjär modell med ökningen 3 000 exemplar/dag varje år skulle kunna beskrivas med funktionsuttrycket U(x) = 20 000 + 3 000x. Matematik 2a © Författarna och Sanoma Utbildning AB. Kopiering tillåten

5 • FUNKTIONER

Lösningar till uppgifter markerade med ++ KAPITEL 4 492 a) x2 – 25 = 10x +14

Subtrahera 10x och 14 från båda leden

x – 10x – 39 = 0

Använd pq-formeln för att lösa ekvationen.

x = 5 ± 5 + 39 2

x = 5 ± 64 x =5 ± 8 Svar: x1 = 13, x2 = – 3 b) –3x2 + 45 + 60x = 237 –3x + 60x – 192 = 0 2

Subtrahera 237 från båda leden Dividera alla termer med –3

x – 20x + 64 = 0 2

x = 10 ± 102 – 64 x = 10 ± 36 x =10 ± 6 Svar: x1 = 16, x2 = 4 493 Formeln för en cylinders volym är V = πr2h Vi vet att h = (r + 2) dm men vi behöver ta reda på radien r för att kunna beräkna cylinderns volym. En cylinders mantelarea är A =2πrh. Vi kan nu ställa upp och lösa ekvationen 340 = 2πr(r + 2)

Multiplicera in (2πr) i parentesen.

2πr + 4πr – 340 = 0 2

Lös ekvationen med pq-formeln.

r1 ≈ 6,42 Radien kan inte ha en negativ längd.

(r2 ≈ –8,42)

Radien är 6,42 dm och höjden är (6,42 + 2) = 8,42 dm V = π · 6,422 · 8,42 ≈ 1 090 dm3 Svar: Volymen är ca 1 090 dm3 494 Staven är placerad diagonalt i lådan. Antag att längden av en sida i kuben är x m. [m] Använd Pythagoras sats för att bestämma längden av diagonalen för en sida. x2 + x2 = 2x2 En sidas diagonal är alltså 2x2 m. 2

2x2 x

Staven är placerad diagonalt i lådan. Det bildas då en rätvinklig triangel med sidorna x m, 2x2 m och 2 m. Pythagoras sats ger x2 + ( 2x2 )2 = 22

x2 + 2x2 = 4 3x2 = 4 4 x2 = 3 x ≈ (+–) 1,2

Längden av en sida kan inte vara negativ.

Svar: Lådans sida är ca 1,2 m lång.

Matematik 2a © Författarna och Sanoma Utbildning AB. Kopiering tillåten

4 • A N D R A G R A D S E K VAT I O N E R

Förslag på begreppskartor

Matematisk argumentation

Deﬁnition Sats

Ekvivalens

Bevis Implikation

Pythagoras sats

Hypotenusa

Katet

Period

sin v Enhetscirkel

Rätvinklig triangel

Trigonometri

Amplitud

Triogonomisk funktion

cos v Symmetri

tan v Symmetrilinje

Rotationsordning

Vektor Skalär

Resultant

Matematik 2a © Författarna och Sanoma Utbildning AB. Kopiering tillåten

Komposant

6 • M AT E M AT I S K A R G U M E N TAT I O N O C H G E O M E T R I

Potenser Hitta det tal som ska stå i rutan. Räkna ihop dina kontrolltal till en kontrollsumma. Rätt kontrollsumma ﬁnns nederst på bladet.

Kontrolltal

100

Ditt kontrolltal

(2 ) = 2

–3

4 ·4 =4

3 =3 34

–2

52 · 5 = 1

–2

9·3 =3

1 3

1 2

1 3

25 = 5

1 2

–2

41/2 · 9 = 6

1 2

–

125 = 125 5–2

1 3

1 2

–3

10 · 41/2 = 2

491/ 2 = 3431/ 3

71/2

31/2 · 3 = 3

1 2

27 = 3

–

1 2

Kontrollsumma: Rätt kontrollsumma: 444

Matematik 2a © Författarna och Sanoma Utbildning AB. Kopiering tillåten

1 • P OT E N S B E R Ä K N I N GA R O C H B U D G E T E R I N G

Bestäm k-värdet och m-värdet Bestäm k-värde och m- värde för följande räta linjer. A

D y

x 1

Matematik 2a © Författarna och Sanoma Utbildning AB. Kopiering tillåten

x 1

2 • R ÄTA L I N J E N S E K VAT I O N

Problemlösning 1: Vad kostar resan? Eleverna delas in i grupper med sex elever i varje grupp. Klipp papperet så att varje elev i gruppen får en lapp med information som bidrar till att problemet kan lösas. Var och en ska sedan muntligt redogöra för sitt bidrag och aktivt medverka vid problemlösningen.

Lisa och Maria köper en ”sista minutenresa” till Kanarieöarna och får 25 % rabatt.

Familjen Davidsson köper en resa till Kanarieöarna till ordinarie pris och betalar 18 312 kr. Vad kostar resan för en vuxen och vad kostar den för ett barn?

Familjen Davidsson består av mamma, pappa och tre barn.

Lisa och Maria betalar tillsammans 660 Euro.

En Euro är värd 9,30 kr.

Lisa är 32 år och Maria är 5 år.

Rätt svar: 1 944 kr för ett barn och 6 240 kr för en vuxen

Matematik 2a © Författarna och Sanoma Utbildning AB. Kopiering tillåten

3 • E K VAT I O N S S Y S T E M

Kvadreringsregler och konjugatregeln Använd kvadreringsreglerna eller konjugatregeln för att utveckla uttrycken. Förenkla så långt som möjligt. 1 a) (x + 4)2 b) (2x + 11)2 c) (a + b)2 2 a) (x – 3)2 b) (3x – 9)2 c) (4 – x)2 3 a) (2x + 7y)2 b) (3b – 6a)2 c) (1 – x)2 4 a) (x – 6)(x + 6) b) (2a + 7)(2a + 7) c) (5a + 2)(2 – 5a) 5 a) (7x + 0,5y)(7x – 0,5y) x x b) 3z 3z + 3 3 2x 3 y 2x 3y + c) 5 4 5 4 x 1 6 a) + 3 4

5 5 b) + 3xy 3xy 2 2 2 ( x – 5) c) ( x – 5 )( x + 5 )

Matematik 2a © Författarna och Sanoma Utbildning AB. Kopiering tillåten

4 • A N D R A G R A D S E K VAT I O N E R

Faktorisera uttryck

Faktorisera följande uttryck med hjälp av kvadreringsreglerna eller konjugatregeln. 1 a) x2 – 36 b) x2 + 10x + 25 c) x2 – 10x + 25 2 a) 4 + 4x + x2 b) 9x2 – 12xy + 4y2 c) 9x2 – 16 3 a) 36 – x2 b) 22x + x2 + 121 c) 400 – 40x + x2 4 a) 4x2 + 16ax + 16a2 b) 9 + s2 – 6s c) 2a2 – 2 2 a + 1 5 a) 1 – z2 b)

x2 +2x + 4 4

c) a2 – 32a + 256 6 Faktorisera och förenkla följande uttryck a)

x 2 2x + 1 x2 1

16x 2 + 16x + 4 4x + 2

s2 2st + t 2 s–t

Matematik 2a © Författarna och Sanoma Utbildning AB. Kopiering tillåten

4 • A N D R A G R A D S E K VAT I O N E R

Andragradsekvationer med grafritande räknare Lös andragradsekvationen x2 – 5x – 2,75 = 0 på din grafritande räknare. Lösning: Din grafritande räknare använder en iterativ metod för att hitta lösningarna (rötterna) till en andragradsekvation. En iteration innebär att man upprepar beräkningen på samma sätt, gång på gång, och förbättrar resultatet efter varje steg. Därför måste man ge räknaren ett startvärde, där den kan börja söka efter rötter, och när den har hittat en rot får man ge den ett annat startvärde för att hitta den andra. Därför blir rötterna ibland inte helt exakta. Du är faktiskt bättre på att hitta exakta lösningar till andragradsekvationer, med hjälp av formeln, än din räknare som ger ett ungefärligt svar. Men det går fort att göra beräkningen på räknaren och man kan använda den som en kontrollmetod. För att få fram ekvationslösaren, tryck math välj Solver … (Om det redan står något där, tryck S Mata in ekvationen: x

–

clear då försvinner det gamla.)

x –

enter

(Knappen x kan ofta se ut så här: x, t eller x,t,V,n )

X2–5X–2.75=0 X=–.4999999999… bound={–1E99,1… left–rt=0

Roten blir x = –0,5

Här måste du välja ett startvärde på x. Pröva med ett litet värde, t.ex. x = – 10. Då börjar räknaren leta efter den rot som ligger närmast x = – 10. Tryck (–)

0 alpha solve

Då får du den ena roten: x = – 0,4999999… Nu ska du välja ett annat startvärde. Pröva med x = 10. Tryck 10 alpha solve Då får du din andra rot x = 5,5000000… Andragradsekvationen x2 – 5x – 2,75 = 0 har rötterna x = – 0,5 och x = 5,5 Lös andragradsekvationerna på din grafritande miniräknare. 1 x2 – 10x + 21 = 0 2 x2 + x – 6 = 0 Det är något speciellt med rötterna till nedanstående andragradsekvationer. Vadå? 3 x2 – 8x + 16 = 0 4 x2 – 2x + 3 = 0

Matematik 2a © Författarna och Sanoma Utbildning AB. Kopiering tillåten

4 • A N D R A G R A D S E K VAT I O N E R

Funktionsmaskinen 1 Man kan likna en funktion vid en maskin. Stoppa in ett x-värde i funktionsmaskinen och få ut ett funktionsvärde f(x). Ta hjälp av bilderna på funktionsmaskinen för att besvara frågorna. Här gäller det att lista ut vilket funktionsvärde som funktionsmaskinen ger.

2 x=1

f(x) = 3x – 2

x = –1

f(x) = 3x – 2

f(1) =

f(–1) =

4 x=

x = –4,5

f(x) = 7,5x + 3,5

f(x) = 4x –

f(–4,5) =

1 3 2 3

1 )= 3

6 x=2

f(x) = x2 – 3x – 2

x=5

f(2) =

f(x) = 1 000 • 1,04x

f(5) =

5 • FUNKTIONER

Implikation och ekvivalens 1 1 Avgör om följande implikationer gäller. a) Linus är 17 år och går på ett yrkesprogram p Linus går i gymnasiet b) Alva vattnar gräsmattan p Gräsmattan blir blöt c) Rima bor i England p Rima bor i London 2 Studera följande implikationer. Gäller ekvivalens i något av fallen? a) Stina ﬁck E på provet p Stina klarade provet b) I morgon är det onsdag p Idag är det tisdag c) Teo går på barn och fritidsprogrammet p Teo kan ta en yrkesexamen 3 Avgör vilka av följande implikationer som är falska. Motivera. a) Björnen sover p Det är vinter b) Det snöar och är kallt f Det är vinter c) Idag är det julafton p Om en vecka är det nyårsafton 4 Sätt ut p, f eller fp mellan påståendena. a) Max är en svart fågel

Max är en koltrast

b) Troj är en häst

Troj galopperade på Elitloppet

c) Det blir solförmörkelse

Månen passerar mellan jorden och solen

5 Mellan vilket/vilka av följande påståenden är det ekvivalens? a) I år är det skottår

Årtalet är jämnt delbart med 4

b) x är 5

x är ett udda heltal

c) x och y är udda heltal

xy är ett udda heltal

6 Avgör om följande ekvivalenser gäller. Motivera. a) Cirkelns radie är 7 cm fp Cirkelns diameter är 14 cm. b) Harry köper godis för 25 kr och en läsk för 15 kr fp Harry betalar 40 kr. 7 Sätt ut p, f eller fp mellan påståendena. a) Maja är sjuk

Maja har feber

b) Sven fyller år på julafton

Sven fyller år i december

c) Resa går på fordonsprogrammet

Resa lär sig meka med bilar

8 Ge förslag på ett eget påstående så att implikation gäller. a) Stina läser en roman b) Mauritz bor i Göteborg c) John har sommarlov

6 • M AT E M AT I S K A R G U M E N TAT I O N O C H G E O M E T R I

Repetitionsuppgifter symmetri 1 I koordinatsystemet är sträckan mellan punkterna (2, 1) och (5, 3) utritad.

4 3 2 1 –5 –4 –3 – 2 –1 –1 –2 –3 –4 –5

1 2

3 4 5 x

a) Låt x-axeln vara den symmetrilinje som sträckan speglar sig i. Vilka koordinater har punkterna som den sträckan går mellan? b) Låt y-axeln vara symmetrilinje som sträckan speglar sig i. Vilka koordinater har punkterna som den sträckan går mellan? c) Rotera linjen 180 grader runt punkten (2, 1). Vilka koordinater har punkterna som den sträckan går mellan? 2 Arabisk konst innehåller ofta symmetrier. Vilken rotationsordning har följande mönster? a)

3 Figuren till höger ska vara symmetrisk kring en linje som går genom rutnätets mittpunkt. Vilket är det minsta antalet rutor vi måste färglägga för att ﬁguren ska vara symmetrisk?

4 Rita spegelbilden till var och en av siffrorna 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 5 Avgör om följande ﬁgurer är spegelsymmetriska och/eller rotationssymmetriska. Ange även antal symmetrilinjer och rotationsordning. A

6 • M AT E M AT I S K A R G U M E N TAT I O N O C H G E O M E T R I

Repetitionsuppgifter vektorer 1 I vilken punkt kommer vektorns spets att ligga efter parallellförﬂyttning till origo? a)

y 6

5 4

4 3 2 1

3 2 1 1

3 4

–3 –2 –1 –1 –2

x 6

2 3

2 Vilka vektorer i ﬁguren är lika? Motivera ditt svar. w

y u

p x r

3 Beräkna längden av vektorn i ﬁguren. a)

y 4 3 2 1

7 6

x 1

3 4

–3 –2 –1 –1 –2 –3

2 3

4 5 6

4 Vektorerna v = (2,3), u = (2,–3) och w = (–2,3) beﬁnner sig i ett rätvinkligt koordinatsystem. Är någon av vektorerna lika? Motivera ditt svar. 5 Utför följande räkneoperationer och visa resultatet med hjälp av vektorerna i ﬁguren. a) w = u + v u b) s = u – v v c) r = 2 u + v

6 • M AT E M AT I S K A R G U M E N TAT I O N O C H G E O M E T R I

6 Utför följande räkneoperationer och visa resultatet med hjälp av vektorerna i ﬁguren. a) t = a + b + c b) p = 2 a + b + 0,5 c

a b c

7 Kraften F har storleken 60 N och bildar vinkeln 30o med x-axeln. Ange storleken av komposanterna Fx och Fy . y

F 30°

8 Bestäm vinkeln mellan den positiva x-axeln och vektorn a) u = (3,5) b) v = (–6,2)

6 • M AT E M AT I S K A R G U M E N TAT I O N O C H G E O M E T R I