Katarina Cederqvist Stefan Larsson Patrik Gustafsson
matematik
8
Katarina Cederqvist Stefan Larsson Patrik Gustafsson
matematik
8
SANOMA UTBILDNING
SANOMA UTBILDNING Postadress: Box 30091, 104 25 Stockholm Besöksadress: Alströmergatan 12, Stockholm Hemsida: www.sanomautbildning.se E-post: info@sanomautbildning.se Order/Läromedelsinformation Telefon: 08-587 642 10 Telefax: 08-587 642 02 Redaktion: Fredrik Enander, Helena Fridström, Johan Skarp och Karolina Danström Grafisk form: Typoform, Andreas Lilius Layout/produktion: Typoform, Karin Olofsson Illustrationer: Typoform, Karin Olofsson och Jakob Robertsson Prio Matematik 8 ISBN 978-91-523-2051-8 © 2013 Katarina Cederqvist, Stefan Larsson, Patrik Gustafsson och Sanoma Utbildning AB, Stockholm Första upplagan Första tryckningen
Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t. ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga er sättning till upphovsman/rättsinnehavare. Tryck: Livonia Print, Lettland 2013
BILDFÖRTECKNING Omslag Tärningar: Hemera/Thinkstock. Fyrklöver: Burazin/Masterfile/Scanpix. 10 Sylvie Bouchard/Shutterstock 13 Cardens Design/Shutterstock 14 Dmitry Lavruhin /Shutterstock 17 david vadala /Shutterstock 18 Rasmus Holmboe Dahl /Shutterstock 21 attem /Shutterstock 22 Greg Epperson /Shutterstock 29 AZP Worldwide /Shutterstock 31 martan /Shutterstock 33 Anetlanda /Shutterstock 34 Ariene Studio /Shutterstock 35 Bauer Alexander /Shutterstock 37 artemisphoto /Shutterstock
Till läsaren Välkommen till din nya matematikbok. Vi som har gjort den här boken vill att matematik ska vara mer än att bara räkna. Vår önskan är att matematik ska vara stimulerande med mycket tankearbete, problemlösning och diskussion.
Så här fungerar Prio Matematik: När du börjar arbeta med ett kapitel får du en överblick över innehållet genom att titta på listan med Begrepp som tas upp i kapitlet. Därefter kan du starta med Uppvärmningen, frågor som du bör kunna svara på med de förkunskaper du har. Varje avsnitt börjar med teori. Där får du en bakgrund och en översikt över den matematik du ska lära dig. Elevexemplen har många kommentarer, ledningar och tips. En Starter som ni jobbar tillsammans med i klassen kan inleda avsnittet. Därefter följer uppgifter på tre nivåer. Du kan komma överens med din lärare vilka uppgifter som du ska jobba med. Behöver du läsa mer om olika lösningsmetoder, så kan du gå till Metodsamlingen längst bak i boken. Historia och samhälle är ett avsnitt som ger dig lite intressant fakta och avslutas med några matematiska problem. Problem, resonemang och kommunikation är ett uppslag med uppgifter som lyfter fram och tydliggör de olika matematiska förmågorna. I Prio 8 finns dessutom ett helt avsnitt där du får lära dig olika problemlösningsstrategier och värdera vilken strategi som är mest lämplig. I slutet av kapitlet prövar du dina nyvunna kunskaper med ett Begreppstest och ett Kapiteltest. Du kan repetera och träna med hjälp av Blandade Uppgifter. Dessa innehåller också uppgifter från tidigare kapitel. Om du lyckades bra på testet, så kan du jobba på Hög höjd. Det är mer krävande uppgifter. Visar ditt testresultat att du behöver träna mer på vissa områden, så är det Baslägret som gäller. När kapitlet är helt klart är det dags att summera innehållet. Det gör vi i en Begreppslista och en Tankekarta. De kan användas som uppslagsdel, repetition och kontroll. Vi hoppas att Prio ska hjälpa dig upptäcka att matematik kan vara spännande, intressant och utmanande. Lycka till på din kunskapsresa! Författarna
Innehåll 1 Tal
6
4 Samband och förändring
130
1.1 Negativa tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.1 Procent och promille. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
1.2 Addition och subtraktion med negativa tal . . . 11
4.2 Förändringsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
1.3 Multiplikation och division med negativa tal . 15
4.3 Algebra och procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
1.4 Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.4 Procentenheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
1.5 Multiplikation och division med potenser. . . . 23
4.5 Koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
1.6 Kvadratrötter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.6 Grafer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
1.7 Stora och små tal med tiopotenser . . . . . . . . . . 28
4.7 Proportionalitet och linjära samband . . . . . . . 153
1.8 Prefix och gällande siffror . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.8 Mer om linjära samband . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
2 Algebra
46
5 Sannolikhet och statistik
174
2.1 Mönster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1 Chans och risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
2.2 Mönster och formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Sannolikhetslärans grunder . . . . . . . . . . . . . . 179
2.3 Uttryck med parenteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Sannolikhet i flera steg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
2.4 Multiplikation med en parentes . . . . . . . . . . . . 59
5.4 Oberoende och beroende händelser . . . . . . . 188
2.5 Ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.5 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
2.6 Mer om ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.6 Sannolikhet utifrån statistik . . . . . . . . . . . . . . . 196
2.7 Problemlösning med ekvationer. . . . . . . . . . . . 71
5.7 Spridningsmått . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
3 Geometri
86
3.1 Cirkelns omkrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.2 Cirkelns area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.3 Begränsningsyta och mantelyta . . . . . . . . . . . . 96 3.4 Volym och rätblock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.5 Volymenheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.6 Volym av prisma och cylinder . . . . . . . . . . . . . 109 3.7 Volym av kon, pyramid och klot . . . . . . . . . . . 113 3.8 Formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.8 Histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Problemlösningsstrategier
222
Blandade uppgifter
230
Metodsamling
240
Facit
264
Register
292
1
Tal
Vad kan subtraktionen 4 – 7 innebära? Kan något vara mindre än noll? De här frågorna sysselsatte matematiker i många århundraden. Så länge man såg tal som enbart ett antal, 4 oxar, ett mätetal med en enhet, till exempel 5 alnar, eller som ett förhållande, sträckan är 3 gånger så lång som en annan sträcka, så var det meningslöst att prata om tal mindre än 0. Hur ser till exempel en negativ sträcka ut? När man började räkna med negativa tal försökte man ofta göra dem begripliga genom att förklara dem som skulder eller förluster. I det här kapitlet får du lära dig mer om negativa tal och hur man använder potenser och prefix för att skriva små och stora tal.
Centralt innehåll L Reella tal och deras egenskaper
samt användning i vardagliga och matematiska situationer.
L Talsystemets utveckling från naturliga tal till reella tal.
L Centrala metoder för beräkningar
med tal i decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med digital teknik.
L Potensform för att uttrycka små och stora tal samt användning av prefix.
6
Avsnitt
Begrepp
1.1 Negativa tal
negativa tal motsatta tal naturliga tal hela tal rationella tal irrationella tal reella tal potens
1.2 Addition och subtraktion med negativa tal 1.3 Multiplikation och division med negativa tal 1.4 Potenser 1.5 Multiplikation och division med potenser 1.6 Kvadratrötter 1.7 Stora och små tal med tiopotenser 1.8 Prefix och gällande siffror
bas exponent kvadratrot tiopotens grundpotens prefix närmevärde gällande siffror
Uppvärmning 1 Vilken av följande subtraktioner har en
differens som är mindre än 0? A
25 – 20
B
20 – 30
C
40 – 25
2 Vilket av följande tal är minst? A
0,5
B
–4
C
–15
3 Vilket av följande tal kan avrundas till 6 000? A
5 497
B
5 514
C
6 508
4 Vilket påstående är falskt? A
3 · 4 är lika med 4 · 3
B
3 · 4 är lika med 4 + 4 + 4
C
3 · 4 är lika med 4 · 4 · 4
5 En kvadrat med sidan 9 cm har arean A
3 cm2
B
36 cm2
C
81 cm2
C
tusen
6 Prefixet milli betyder A
tusendel
B
hundra
7
1.1 Negativa tal 80
En kväll var temperaturen 2 °C. Morgonen därpå hade temperaturen sjunkit 5 °C och termometer visade –3 °C. För att ange temperaturer som är lägre än 0 °C kan man använda negativa tal.
°C
60
Negativa tal
40
20
0
0
Negativa tal är tal som är mindre än 0. På en tallinje finns de negativa talen till vänster om 0. Ju längre till vänster på tallinjen ett tal finns, desto mindre värde har det.
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
–40
1
Positiva tal
Negativa tal –20
–60
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Talet 0 är varken positivt eller negativt.
Minustecknet
För att visa att ett tal är negativt används ett minustecken framför talet. Minustecknet kan beteckna en subtraktion, men också ett negativt tal.
–5 5–3=2
Här visar minustecknet att talet är negativt Här visar minustecknet en subtraktion
Ibland skriver man det negativa talet inom parentes för att det ska vara extra tydligt. Man kan skriva –5 som (–5). Talet –2 ligger 2 steg till vänster om 0. Avståndet mellan –2 och 0 är lika långt som avståndet mellan 0 och 2. Talen –2 och 2 kallas motsatta tal, och summan av dem är 0.
Motsatta tal
–4 –3 –2 –1 0
1
2
3
4
Motsatta tal
Exempel
Skriv talen i storleksordning. Börja med det minsta. 8, –2, –17, 5, 0, 12
Lösning
Ta hjälp av en tallinje. –20
–15
–10
–5
0
5
10
15
20
Det minsta talet ligger längst till vänster på tallinjen. Alla negativa tal är mindre än de positiva talen. Svar: –17, –2, 0, 5, 8, 12
8
tal
1.1 negativa tal
En morgon är temperaturen –4 °C. Vad visar termometern om temperaturen
Exempel
a) stiger 3 °C
b) sjunker 2 °C
a) En ökning med 3 °C innebär att svaret motsvarar det tal som ligger 3 steg åt höger på tallinjen.
Lösning
3° C
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0
Svar: Termometern visar –1° C. b) En minskning med 2 °C innebär att svaret motsvarar det tal som ligger 2 steg åt vänster på tallinjen.
1
2° C
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0
Svar: Termometern visar –6° C. Övningsblad 1.1 A, B och C
2 Rita av tallinjen och markera följande tal:
Starter
a) Ange 5 negativa tal som är mindre än –3.
7
–4
6
–2
–1
b) Ange 5 negativa tal som är större än –3. –10
0
5
10
3 Skriv talen i storleksordning. Börja med det
NIVÅ ETT
minsta.
1 Vilka tal är markerade på tallinjen? a)
D
C
–10
b)
–5
D –1
–5
C
A 0
B –0,5
–5
B 5
10
A 0
0,5
–12
4
0
–3
4 Skriv två tal som ligger mellan 0 och –5. 5 Vilka av följande tal är större än –2?
1
0,1
–8
3
–1
–2,5
tal
1.1 negativa tal
9
6 Vilka är de två nästa talen i talföljderna? a) 9, 6, 3, …
b) –6, –4, –2, …
12 a) Vilka av följande subtraktioner har ett negativt tal som differens?
c) –4, –8, –12, …
8–3
7 Förklara hur du vet vilket tal som är störst av –300 och –320.
8 Vilket är det motsatta talet till a) –5
b) 9
c) 6,5
12 – 20
25 – 50
b) Förklara hur du kan se att lösningen måste vara negativ.
13 Skriv tre tal som är mindre än –10 men större än –11.
14 Vilka är de två nästa talen i talföljderna?
NIVÅ TVÅ
1
6–7
9 Temperaturen är –3 °C. Vad visar termometern om temperaturen a) stiger 3 °C
a) 11, 7, 3, …
b) –2,5; –5; –7,5; …
c) –5; –3,5; –2; …
b) sjunker 3 °C NIVÅ TRE
c) stiger 7 °C
15 Skriv decimaltalen i storleksordning med det minsta talet först.
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0
10 Vilket tal ligger mitt emellan a) –4 och 4
b) –2 och 4
c) –8 och –2
d) –5 och 2
11 Vilka av följande tal är större än –1? 4 – __ 3
– 0,001
1 ____
10
2 – __ 6
–0,4 0,8 –0,16 –0,25 0,2 0,03
16 Temperaturen är –4,8 °C. Vad visar termometern om temperaturen a) sjunker 2,1 °C
b) stiger 2,1 °C
c) stiger 5 °C
17 Kan det finnas ett tal som både är mindre än –9 och större än –8? Motivera ditt svar.
10
tal
1.1 negativa tal
1.2 Addition och subtraktion med negativa tal Tips! Använd dig av tallinjen när du adderar och subtraherar. –2 3
Addition När den andra termen minskar med 1 så minskar summan med 1
Addition
Du har säkert många gånger räknat med negativa tal utan att du har tänkt på det, till exempel vid temperaturförändringar eller om du är skyldig någon pengar. Addition och subtraktion med tal följer ett tydligt mönster 8 + 2 = 10
3–2=1
8+1=9
3–1=2
8+0=8
3–0=3
Subtraktion När den andra termen minskar med 1 så ökar summan med 1
Om vi fortsätter samma mönster med negativa tal, så får vi 8 + (–1) = 7
3 – (–1) = 4
8 + (–2) = 6
3 – (–2) = 5
1
Att addera ett negativt tal ger samma resultat som att subtrahera det motsatta talet. 8 + (–1) = 8 – 1 = 7 1 är motsatta talet till (–1)
Subtraktion
Att subtrahera ett negativ tal ger samma resultat som att addera det motsatta talet. 3 – (–2) = 3 + 2 = 5 2 är motsatta talet till (–2)
Vid addition och subtraktion med negativa tal kan man använda sig av minnesregler. Två olika tecken direkt efter varandra ersätts med subtraktion.
a + (–b) = a – b
Två lika tecken direktefter varandra ersätts med addition.
a – (–b) = a + b
tal
1.2 addition och subtraktion med negativa tal
11
Exempel
Beräkna a) –8 + 5
Lösning
b) –6 – 4
a) –8 + 5 = –3
c) 8 + (–6)
d) 10 – (–8)
Addition med ett positivt tal innebär att värdet ökar.
Svar: –3 b) –6 – 4 = –10
Subtraktion med ett positivt tal innebär att värdet minskar.
Minustecknet visar en subtraktion.
Svar: –10
1
c) 8 + (–6) = 8 – 6 = 2
Addition med ett negativ tal ger samma resultat som subtraktion med det motsatta talet. Värdet minskar.
Två olika tecken direkt efter varandra ersätts med subtraktion.
Svar: 2 d) 10 – (–8) = 10 + 8 = 18
Subtraktion med ett negativt tal ger samma resultat som addition med det motsatta talet. Värdet ökar.
Två lika tecken direkt efter varandra ersätts med addition.
Svar: 18 Aktivitet 1.2
3 Para ihop de beräkningar som ger samma
Starter
Kan differensen vid en subtraktion vara –2 om man subtraherar a) två positiva tal b) två negativa tal c) ett positivt och ett negativt tal
NIVÅ ETT
värde.
4+3
4 + (–3)
4 – (–3)
4–3
4 Vilket tal ska stå i rutan för att likheten ska stämma? a) 100 +
=0
c) –20 +
=0
b) 80 +
Beräkna
Beräkna b) 8 – 10
5 a) 12 – 14
b) –1 – 6
d) 12 – 15
c) 4 – 7
d) –2 – 3
2 a) 8 + 6
b) 8 + (–6)
6 a) –9 + 2
b) –5 + 10
c) 8 – 6
d) 8 – (–6)
1 a) 10 – 8 c) 15 – 12
12
Övningsblad 1.2 A, B, C och D
tal
1.2 addition och subtraktion med negativa tal
c) –10 + 3
d) –4 + 6
=0
14 Vilket räknesätt (+ eller –) ska stå i stället för
Beräkna
7 a) 8 + (–3) c) –8 + (–2)
8 a) 2 – (–4) c) –10 – (–1)
b) 8 + (–10) d) –3 + (–5) b) –4 – (–6) d) –5 – (–5)
9 Linnea påstår att –8 – 4 = 12. Eftersom det är två minustecken i beräkningen så blir det 8 + 4 = 12. Förklara vad som är fel i Linneas resonemang.
10 Klockan 18.00 var temperaturen 2 °C. Klockan 20.00 hade temperaturen sjunkit till –1 °C. Om temperaturen fortsatte att sjunka i samma takt, vad var temperaturen då vid midnatt? NIVÅ TVÅ
rutan för att likheten ska stämma? a) 5 c) –8
c) 4 + (–10)
12 a) 6 – (–6)
b) 14 – (–5)
c) –30 + 15
d) –9 – (–7)
13 a) –14 + (–2)
b) 35 – (–10)
c) –2 – 13
d) –12 – (–8)
9 = –16
d) –3
(–4) = 1
likheterna stämmer. a)
+
= –20
b)
–
= –5
16 Beräkna a) –8 + 12 – 3
b) 15 + (–2) – 4
c) –9 – (–2) + 6
17 En golfbana med 18 hål hade par 72. Det är så
1
många slag som en elitspelare förväntas slå. Rickard gick runt banan på 71 slag. Det skrivs då –1. Rickard
Linda
Gabriel
Christina
–1
–2
+3
+1
71
b) –12 – 3 d) –8 + (–2)
(–2) = –6
b) –7
15 Ersätt rutorna med negativa tal så att
Beräkna
11 a) 19 + (–20)
(–3) = 2
a) Hur många slag slog de andra spelarna? b) Vem vann? c) Hur många slag skiljde det mellan vinnaren och den som kom sist?
tal
1.2 addition och subtraktion med negativa tal
13
18 Klockan 17.00 visade termometern –2 °C.
25 Talen –7, –6 och –5 är tre konsekutiva
Under kvällen och natten sjönk temperaturen med 0,5 °C per timme. Vad var temperaturen klockan 02.00?
negativa tal (de följer på varandra). a) Beräkna summan av talen.
19 Kan summan vid en addition vara –5 om man adderar
c) Välj ytterligare tre konsekutiva negativa tal och beräkna summan av dem.
a) två positiva tal b) två negativa tal c) ett positivt och ett negativt tal
1
20 Tabellen visar uttag och insättningar på Salims kreditkort. Vad ska stå istället för A, B, och C? Belopp
Saldo –2 300
Skoaffären
–600
Pizzerian
A
–3 150
Insättning
+3 500
B
Resebyrån
–2 600
C
–2 900
NIVÅ TRE
21 Ersätt rutorna med tal så att likheterna stämmer. I varje uppgift ska minst ett av talen vara negativt och inget av talen får vara noll. a)
– 2,5 +
=3
c)
–
= 20
–
b)
+
–
= –10
22 Beräkna a) –4,5 – (–2,5)
b) 6,75 + (–3,6)
c) –9,7 – 0,3
d) –8,6 – (–3,3)
23 Beräkna värdet av uttrycket a – b om a) a = –12 och b = 5
b) a = –2 och b = – 8
24 Beräkna värdet av uttrycket om a = –3 och b = –7. a) a + b
14
tal
b) Välj tre nya konsekutiva negativa tal och beräkna summan av dem.
b) a – b
c) b – a
1.2 addition och subtraktion med negativa tal
d) Studera dina resultat. Vad ser du för mönster? Jämför summan med något av talen du utgick ifrån. Beskriv de samband du ser. e) Använd dina resultat för att förutsäga vad summan av (–101), (–100) och (–99) bör vara, och kontrollräkna sedan.
1.3 Multiplikation och division med negativa tal Multiplikation och division med negativa tal är något som man i alla tider har haft svårt att förklara med ett exempel från vardagen. Redan på 1700-talet diskuterade matematiker om det överhuvudtaget gick att genomföra en multiplikation med negativa tal. Vad skulle i så fall produkten bli? I dag är man överens om hur resultaten ska tolkas och vilka regler som ska gälla för multiplikation och division med negativa tal. Multiplikation med negativa tal
1
Multiplikation med negativa tal följer ett tydligt mönster. 3 · 5 = 15
3 · (–5) = – 15
2 · 5 = 10
2 · (–5) = – 10
1·5=5 0·5=0
När ena faktorn minskar med 1, så minskar produkten med 5.
1 · (–5) = – 5 0 · (–5) = 0
När ena faktorn minskar med 1, så ökar produkten med 5.
Om vi följer samma mönster får vi –1 · 5 = –5
–1 · (–5) = 5 Olika tecken ger negativ produkt.
–2 · 5 = –10
–2 · (–5) = 10
Lika tecken ger positiv produkt.
Man ser att olika tecken på två faktorer ger negativ produkt och lika tecken på två faktorer ger positiv produkt.
Minnesregel för multiplikation med negativa tal
Division med negativa tal
a · (–b) = –ab
Olika tecken på faktorerna ger negativ produkt.
(–a) · (–b) = ab
Lika tecken på faktorerna ger positiv produkt.
Sambandet mellan multiplikation och division visar att –10 ____ = –5
2 · (–5) = –10
2
–10 ____ =2 –5
Minnesregel för division med negativa tal a ___ –a a ___ = = – __ –b b –a a ___ = __ –b b
b
Olika tecken på täljare och nämnare ger negativ kvot. Lika tecken på täljare och nämnare ger positiv kvot.
tal
1.3 multiplikation och division med negativa tal
15
Exempel
Beräkna a) –6 · (–5)
Lösning
a) –6 · (–5) = 30
20 b) ___ –4
c) –2 + 4 · (–3)
Lika tecken på två faktorer ger en positiv produkt.
Svar: 30 20 b) ___ = –5 –4 Svar: –5 c) –2 + 4 · (–3) = –2 + (–12) =
1
Olika tecken på täljare och nämnare ger en negativ kvot.
Utför multiplikationen. Olika tecken på faktorerna ger negativ produkt. Två olika tecken direkt efter varandra ersätts med subtraktion.
–2 – 12 = –14 Svar: –14 Aktivitet 1.3
Övningsblad 1.3 A, B, C och D
3 Beräkna
Starter
Vad kan stå i stället för rutorna för att likheterna ska stämma? Minst ett tal i varje uppgift ska vara negativt. a)
·
= –24
b)
·
·
= –24
c)
·
·
·
–12 b) ____ –4 30 d) ___ –6
a) –4 · 3 c) –5 · (–6)
4 Vilka av följande uttryck har ett negativt värde? Motivera ditt svar.
= 24
17 · (–3)
–99 _____ –3
96 ____ –6
NIVÅ ETT
Beräkna
1 a) 3 · (–3) c) 10 · (–4)
2 a)
25 ___
–5 –50 c) ____ 5
16
tal
b) –2 · (–5)
–35 · (–12)
–28 · 8
5 Vilket tal ska stå i stället för x för att likheten ska gälla?
d) –6 · 2
a) 7 · x = 28
b) x · (–3) = 18
–100 b) _____ –10 24 d) ___ –3
c) x · (–9) = –27
d) –8 · x = 8
1.3 multiplikation och division med negativa tal
6 Lake Eyre i Australien ligger –15 meter över havet. Laguna del Carbón i Argentina ligger 7 gånger så långt under havsnivån. På vilken höjd över havet ligger Laguna del Carbón?
7 I en tävling får man 4 poäng för rätt svar och –2 poäng för fel svar. a) Klara svarade rätt på 5 frågor och fel på 3 frågor. Hur många poäng fick hon? b) John har svarat på 6 frågor och har 12 poäng. Hur många frågor svarade han rätt på? c) Efter några frågor har Elton 0 poäng. Hur många frågor kan han ha svarat på?
8 Skriv av och fyll i de tomma rutorna, så att värdet i varje ruta blir produkten av de två rutor de står på. a) –6
–12 –3
1
a a) __ 2
20 b) ___ a
–100 c) _____ a
12 På ett kontoutdrag från Mimmis bankkonto står det –218 kr. Hon betalar tillbaka hälften av sin skuld. Vad visar kontoutdraget då?
13 Beräkna a) (–2) · (–2) · (–2) b) (–2) · (–2) · (–2) · (–2)
14 Beräkna a) (–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1)
b) 2
11 Beräkna värdet av uttrycket om a = –4
–4
–3
1
b) (–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1) c) 1 · (–1) · 1 (–1) d) (–1) · 1 · (–1) · 1 · (–1)
NIVÅ TVÅ
15 Använd dina resultat från förra uppgiften
9 Ersätt rutorna med negativa tal så att likheterna stämmer. a)
·
= 36
b) ___ = 10
10 Beräkna värdet av uttrycket om x = –3 a) 2x
b) 2x + 1
och förklara hur du vet om produkten är positiv eller negativ om du utför en multiplikation med flera negativa faktorer.
16 Beräkna a) –3 · 4 – 2
b) 7 + 2 · (–5)
c) –8x
tal
1.3 multiplikation och division med negativa tal
17
17 Beräkna
21 Medeltemperaturen var –14 °C under tre
a) –4 · 3 + 2 · (–6)
dygn i Sälen. Ge förslag på dygnstemperaturerna under dessa tre dygn.
b) 10 + 4 · (–3)
18 Skriv av och fyll i de tomma rutorna, så att värdet i varje ruta blir kvoten av de två rutor de står på. a)
b)
E a) __ F AB
–6 18
22 Vilken bokstav visar ett ungefärligt värde av
–3
1
32
–4
19 Beräkna värdet av uttrycken om x = –5 b) 2 – 3x
c) 7 + 5x
20 Tabellen visar temperaturen i Tänndalen under en vecka i februari. Beräkna medeltemperaturen. Dag
18
tal
F G HI
J
–2
–1
0
1
2
3
23 Förklara hur du utan att utföra multiplika-
NIVÅ TRE
a) 6x + 2
CD E
c) H · C
–2 –3
1
b) B · F
Temp (°C)
tionerna kan avgöra vilket som är störst av (–11) · (–11) · (–11) · (–11) och (–23) · (–23) · (–23)
24 Beräkna värdet av uttrycken om a = –2 och b=5 a) 3a + b
b) 6a – b
25 Förenkla uttrycken
Måndag
–17
Tisdag
–15
a) 8x – 10x
Onsdag
–12
Torsdag
–20
c) –10 + 7x – 2x – 3
Fredag
–15
Lördag
–12
Söndag
–14
1.3 multiplikation och division med negativa tal
c) 3b – 4a
b) 2x – 4 – 5x + 8
historia och samhälle Vad gör man när talen inte räcker till? Naturliga tal
När människan började räkna saker runt omkring sig räckte det med hela tal. Man räknade kanske sina barn, sina djur eller antal dagar. De tal man använde var 0, 1, 2, 3, 4, 5, … De kallas för de naturliga talen. Det finns oändligt många naturliga tal. Hela tal
Människorna började handla med varandra och då uppstod ett behov av att kunna räkna både med skulder och tillgångar. För att kunna göra det införde man de negativa talen. De naturliga talen och de negativa talen utgör tillsammans de hela talen. Det finns oändligt många hela tal.
1 Rita en tallinje och markera fem hela tal. Två av talen ska inte vara naturliga tal.
2 Ge ett exempel på en uppgift som inte kan lösas med enbart hela tal.
3 Vilket är det minsta naturliga talet? 4 Varför kan man inte ange vilket som är det minsta hela talet?
5 Skriv fem tal som är rationella tal men inte naturliga tal.
6 Sant eller falskt? Motivera dina svar med ett exempel.
Med hjälp av de hela talen kan du till exempel beräkna dina tillgångar om du har 30 kr och behöver använda 50 kr. Beräkningen 30 – 50 = –20 visar att du då har en skuld på 20 kr.
A –5 är ett helt tal B –0,5 är ett rationellt tal C Alla hela tal är också naturliga tal
Rationella tal
Tidigt upptäckte man att en del divisioner inte går jämnt ut. Om man ska dela 2 bröd på 2 2 3 personer, så får var och en __ bröd. Talet __ är ett 3 3 bråk. De hela talen och bråktalen kallas tillsammans för rationella tal. Ett rationellt tal är ett tal som kan skrivas som kvoten av två hela tal. Det finns både positiva och negativa rationella tal. Även de rationella talen är oändligt många.
D Alla naturliga tal är också hela rationella
tal
7 Går det att ge exempel på två naturliga tal vars summa blir ett rationellt tal? Motivera ditt svar. Reella tal __
√2
Rationella tal Hela tal
Reella tal
Tal som inte går att skriva som en kvot av två hela __ tal kallas irrationella tal. Talen √2 och π är exempel på irrationella tal. Du kommer att lära dig mer om dem längre fram i boken. De reella talen består av de rationella talen och de irrationella talen. Varje punkt på tallinjen motsvarar ett reellt tal. De reella talen är också oändligt många.
1
__
√7
3 __ 4
–2
100 5 4 6 Naturliga tal 39 8 0 12 3
36 3,6 = ____ 10 –11
7
–3 1__ 2
–36
–14 1 – __ 2
–14
25 2,5 = ____ 10
125 _____ 3
π
tal
historia och samhälle
19
1.4 Potenser Potens
I ett laboratorieförsök fördubblas antalet bakterier för varje timme. Efter 6 timmar har antalet bakterier ökat 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64 gånger. I stället för att skriva ut hela raden med faktorerna kan man på ett enklare sätt uttrycka det med en potens: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 26 Potensen 26 utläses ”två upphöjt till sex”. I potensen kallas 2 för bas och 6 för exponent. I en potens multipliceras basen med sig själv så många gånger som exponenten anger.
1
Potens
26
Exponent
Bas
Potenser på räknaren
Exempel
Symbolen för ”upphöjt till” är ofta xy eller på räknaren. En del räknare har också en särskild knapp för upphöjt till 2 x2 Beräkna värdet av potensen a) 43
Lösning
b) –32
c) (–3)2
a) 43 = 4 · 4 · 4 = 64 Svar: 64 b) –32 = –(3 · 3) = –9
Det positiva talet 3 multipliceras med sig själv.
Svar: –9 c) (–3)2 = (–3) · (–3) = 9
Det negativa talet –3 multipliceras med sig själv.
Svar: 9
Exempel
Lösning
Skriv som en potens a) (–5) · (–5) · (–5) · (–5)
b) a · a · a · a · a
a) (–5) · (–5) · (–5) · (–5) = (–5)4
Basen är det negativa talet –5.
Svar: (–5)4 b) a · a · a · a · a = a5
Basen är variabeln a.
Svar: a5 Aktivitet 1.4
20
tal
1.4 potenser
Övningsblad 1.4
1
4 Beräkna
Starter
Vilket tecken, <, > eller = ska stå i rutan mellan talen så att olikheterna eller likheterna stämmer? a) 72
7·2
b) 1100
c) 102
210
d) 43
1001 34
c) 24
5 Två elever beräknar 42. Mette svarar 8 och Adel svarar 16. a) Vem har rätt?
6 Beräkna
1 Skriv som en potens
a) 102
a) två upphöjt till fem
b) basen är x och exponenten är 3
2 Skriv med faktorer
c) basen är 120, exponenten är y c) 74
3 Skriv som en potens a) 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7
c) 109
a) basen är 7 och exponenten är 8
c) x upphöjt till två
b) 83
b) 104
7 Skriv den potens där
b) sex upphöjt till tre
c) x · x
b) 52
b) Förklara vilket fel den andra personen kan ha gjort.
NIVÅ ETT
a) 62
a) 33
d) basen är a, exponenten är x
8 Skriv antalet hjärtan som en potens. b) (–4) · (–4) · (–4)
a)
♥♥♥ ♥♥♥ ♥♥♥
b)
♥♥♥♥♥ ♥♥♥♥♥ ♥♥♥♥♥ ♥♥♥♥♥ ♥♥♥♥♥ tal
1.4 potenser
21
1
16 Beräkna
NIVÅ TVÅ
a) 0,52
9 Beräkna a) 53
b) 112
c) (–2)2
10 Vilket eller vilka av potenserna i rutan har värdet 64?
64
26
82
likheterna ska stämma?
12
b) x2 = 25
c)
2x = 16
d)
e)
10x = 1 000 000
f) 10x = 100 000 000
x3 = 1 000
Förklara hur du kan beräkna 29 om du vet att 28 = 256.
13 Vilket är störst? a) 25 eller 52 c)
b) 42 eller 4 · 2
18 eller 1 · 8
14 Hur många gånger större är 67 än 66? 15 Några elever ska beräkna 32. Enligt Anna blir det 5. Bodil får det till 6. Colin får resultatet 9. a) Vem har rätt? b) Förklara vilka fel de andra eleverna kan ha gjort.
22
tal
1.4 potenser
b) (–3)3
c) –34
b) (–1)5
c) –18
b) (–0,2)3
c) 0,012
17 Beräkna 18 Beräkna
11 Vilka tal ska stå i stället för x för att a) 9x = 81
c) 0,23
NIVÅ TRE
a) (–3)2
322
b) 0,12
a) (–1)2
19 Beräkna a) 0,13
20 Hur mycket är en fjärdedel av 416? Välj bland alternativen och motivera ditt svar.
44
415
14
116
21 Förklara vad det är för skillnad mellan talen a och b om (–1)a = 1 och (–1)b = –1.
22 Dina hudceller fördubblas genom celldelning varje dygn. Ungefär hur många nya hudceller har bildats efter en månad med 30 dagar om vi utgår från en hudcell?
1.5 Multiplikation och division med potenser Multiplikation med potenser
Produkten 56 · 53 kan skrivas som en enda potens.
5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 59 56
53
56 + 3 = 59
Vid multiplikation av potenser med samma bas adderas exponenterna. Division med potenser
86 Kvoten ___2 kan skrivas som en enda potens. 8
1
86
1·1 8 · 8 · 8 · 8 · 8·8 4 _______________ =8 8·8 1 1 82
86 – 2 = 84
Vid division av potenser med samma bas subtraheras exponenterna. Exponent 0
34 Kvoten ___4 kan skrivas som en enda potens. 3 4 3 34 __________ 3·3·3·3 ___ = 34 – 4 = 30 eller ___ = =1 4 3 34 3 · 3 · 3 · 3 Alltså borde det gälla att 30 = 1 Ett tal upphöjt till 0 är alltid lika med 1.
Regler vid beräkning av potenser med samma bas
Prioriteringsregler
Prioriteringsregler: 1. Parenteser 2. Potenser 3. Multiplikation och division 4. Addition och subtraktion
Multiplikation med potenser
addera exponenterna
Division med potenser
ax subtrahera exponenterna ____y = ax – y a
Exponent noll
a0 = 1
ax · ay = ax + y
Ibland är det flera räknesätt i samma uttryck. Prioriteringsreglerna visar i vilken ordning man ska räkna. Potenser beräknas efter parenteser, men före multiplikation och division. Vi visar med ett exempel. 3 · 42 + (2 + 8)3 =
Beräkna parentesen först.
3 · 42 + 103 =
Beräkna potenserna.
3 · 16 + 1 000 =
Utför multiplikationen.
48 + 1 000 = 1 048
Addera talen.
tal
1.5 multiplikation och division med potenser
23
Exempel
Lösning
Beräkna och svara i potensform 68 a) 93 · 94 b) ___2 6 a) 93 · 94 = 93 + 4 = 97
45 c) ___5 4
Vid multiplikation av potenser med samma bas adderas exponenterna.
Svar: 97 68 b) ___2 = 68 – 2 = 66 6
Vid division av potenser med samma bas subtraheras exponenterna.
Svar: 66 45 c) ___5 = 45 – 5 = 40 4
1
Kvoten av två lika stora tal är alltid 1. Ett tal upphöjt till 0 är alltid 1.
Svar: 40
Exempel Lösning
Beräkna 4 + (4 + 3)2 Börja med att förenkla uttrycket enligt prioriteringsreglerna. 4 + (4 + 3)2 = 4 + (7)2 =
Beräkna parentesen först.
= 4 + 49 = 53
Beräkna potenserna.
Svar: 53 Övningsblad 1.5
Starter x
3 Beräkna och svara i potensform. y
4 ·4 ______ Ersätt exponenterna x, y och z med siffrorna 0, 1, 2 och 3 så kvoten blir a) så stor som möjligt b) så liten som möjligt
53 5 och motivera ditt svar.
1
3
5
5 Vilket tal ska stå i stället för x för att likheten
Beräkna och svara i potensform.
1 a) 103 · 102
b) 25 · 24
c) 34 · 35
75 2 a) ___2 7
106 b) ____3 10
57 c) ___2 5
tal
c) 77 · 73
4 Beräkna ___3 . Välj bland alternativen i rutan
0
NIVÅ ETT
24
411 b) ___ 43
a) 39 · 32
4z
1.5 multiplikation och division med potenser
ska gälla? a) 104 · 10x = 108 310 2 =3 c) ___ 3x
59 b) ___x = 53 5 x 4 d) ___6 = 1 4
6 Vad ska stå i stället för x för att likheten ska gälla?
95 b) ___ = 94 x
a) 78 · x = 79
16 Skriv som en potens x8 · x2 a) ______ x4
a15 b) ______ 2 a · a3
y3 · y7 c) ______ y2 · y4
17 Beräkna 104 + 103 + 102 + 101 NIVÅ TVÅ
7 Vilket tal stå i stället för x för att likheten ska gälla? x5 · 32 = 37
8 Vilket tal är dubbelt så stort som 220? Välj bland talen och motivera ditt svar.
440
240
420
221
10 a)
12
x ___ x4
43 25 a) ___3 b) ____2 2 10 3 2 c) 3 · 2 + (2 · 5)
19 Storleksordna uttrycken A 103 + 103 C
103 · 103
100
10 B ___________ 50 2
(10 · 10 ) 10100 D ___________ (1050 + 102)
1
20 Förenkla uttrycken
Skriv som en potens
9 a) x8 · x2
18 Beräkna
b) a4 · a3
c) b7 · b2
a9 b) ___6 a
b8 c) ___2 b
a) 4x · 4x 53x c) ____ 5x
b) 2x · 22x 34x d) ____ 33x
11 Hur mycket är hälften av 26? 53 5 Vad har hon gjort för fel?
12 Lotta beräknar ___5 = 52.
13 Kalle och Lova löste uppgiften 23 + 32 på olika sätt: Kalle: 23 + 32 = 55 Lova: 23 + 32 = 8 + 9 = 17 a) Vem har räknat rätt? Motivera ditt svar. b) Hur tror du att den som räknat fel har tänkt?
14 Beräkna a) 22 · 52
b) 22 + 52
c) 52 – 22
NIVÅ TRE
15 Beräkna och svara i potensform 36 · 32 a) ______ 33
59 · 54 b) ______ 56
103 · 107 c) ________ 102 · 104
tal
1.5 multiplikation och division med potenser
25
1.6 Kvadratrötter Arean av en kvadrat kan skrivas som sidan · sidan. Ett kvadratiskt rum har arean 25 m2. Vilka mått har då rummet?
Kvadratens area A=s·s
s
25 cm2
s
Kvadratroten ur
1
Arean av rummet beräknas med formeln A = s · s. Med potenser skrivs formeln A = s2. För att ta reda på hur lång sida rummet har, så vill vi veta vilket tal som multiplicerat med sig själv är 25. Det måste vara 5 efter___ som 5 · 5 = 25. Den räkneoperationen kallas kvadratroten ur: √25 = 5. Rummets sida är 5 m. ____ √25 utläses ”kvadratroten ur 25” eller ”roten ur 25”
___
___
Svaret till √25 kallas rötter. √25 har egentligen två rötter, 5 och –5, eftersom 5 · 5 = 25 och (–5) · (–5) = 25. I det här avsnittet bortser vi från de negativa rötterna. Kvadratroten ur på räknaren
Exempel
Många gånger kan det vara svårt att direkt se vad svaret ska bli när man beräknar kvadratroten ur ett tal. Då kan det vara bra att använda räknaren. Knappen på räknaren ser ofta ut så här √-- .
Beräkna __
__
a) √9 Lösning
b) √5
a) Tänk så här, vilket tal multiplicerat med sig själv är 9? 32 = 9
__
Svar: √9 = 3 b) Här är det lämpligt att använda räknare. Tryck √-- 5 eller 5 nare du använder. __
√5 = 2,23606… ≈ 2,24
√--
. Det kan variera beroende på vilken räkAvrunda till två decimaler.
__
Svar: √5 ≈ 2,24 Övningsblad 1.6
26
tal
1.6 kvadratrötter
7 Beräkna
Starter
____
a) √100
a) Vilka tal har samma värde? b) Ett tal blir över. Vilket? ___
23
√16
22
_____
c) √900
8 Vilket tal kan stå i stället för x för att likheten
___
42
_____
b) √400
√64
8
ska gälla?
4
Varje uppgift har två lösningar. a) x2 = 100
NIVÅ ETT
___
a) 6,25 cm2
___
___
a) √16
b) √25
c) √36
2 Hur lång är sidan i en kvadrat som har arean a) 100 cm2
b) 81 m2
c) 49 dm2
heltalslösningar? ____
____
10 Beräkna _____
a) √0,01
___
4 Vilka av följande kvadratrötter är större än 4? ____
___
b) √0,04
1
c) √0,09
5 Använd räknare. Beräkna kvadratrötterna och avrunda till 2 decimaler.
_________
c) Studera exponenterna i de tal där kvadratroten har en heltalslösning. Vilket samband ser du? d) Använd ditt resultat från c–uppgiften för att avgöra vilka av följande kvadratrötter som har en heltalslösning.
___
___
b) √45
_______
√100 √1 000 √10 000 ___________ _____________ √100 000 √1 000 000
b) Skriv talen efter rottecknet i potensform med basen 10.
____
√12 √17 √20 √24
__
_____
heltalslösning?
____
_____
a) √2
_____
11 a) Vilka av följande kvadratrötter har en ____
√64 √39 √49 √81 √50
___
b) 14,44 cm2 c) 24,01 cm2
NIVÅ TRE
3 Vilka av följande kvadratrötter har
__
c) x2 = 25
9 Hur lång är sidan i en kvadrat som har arean
1 Beräkna
√9
b) x2 = 4
c) √99
NIVÅ TVÅ ___
6 Vilken pil pekar på ___
___
a) √16
0
1
___
b) √64
A
B C 2
3
4
___
____
____
√74 √77 √711 √714 ___
c) √10 D 5
E 6
d) √44
12 En kvadrat har arean 50 cm2. Beräkna
F 7
8
omkretsen och avrunda till en decimal. 9
10
tal
1.6 kvadratrötter
27
1.7 Stora och små tal med tiopotenser Tiopotenser
Människokroppen består av cirka 100 000 000 000 000 celler och varje cell är 0,000 01 m i diameter. Så stora och små tal skriver man ofta på ett kortare sätt, i potensform. Då använder man potenser med basen 10. De kallas för tiopotenser. 103 = 1 000
Tiopotens
Tal
106 = 1 000 000
106
1 000 000
103
1 000
102
100
101
10
100
1
1
För små tal används tiopotenser med negativa exponenter. 1 10–1 = ___ = 0,1 Tiopotens Tal 10 10–1 0,1 1 –2 ____ 10 = = 0,01 –2 10 0,01 100 –3 10 0,001 1 10–3 = ______ = 0,001 1 000 Grundpotensform
Du kan tänka så här 5 300 = 5,3 · 103
Stora och små tal skrivs ofta i grundpotensform. Det är ett tal mellan 1 och 10 multiplicerat med en tiopotens. Talet 5 300 kan skrivas som 5,3 · 1 000 utan att talets värde ändras. 5 300 = 5,3 · 1 000 = 5,3 · 103
3 steg
Talet i grundpotensform
Talet 0,007 kan skriva som 7 · 0,001 utan att talets värde ändras. Du kan tänka så här
0,007 = 7 · 0,001 = 7 · 10–3
0,007 = 7 · 10–3 Talet i grundpotensform Flytta decimaltecknet 3 steg
28
tal
1.7 stora och små tal med tiopotenser
Exempel
Skriv utan tiopotens a) 4,9 · 105
Lösning
b) 2,71 · 10–2
a) 4,9 · 105 = 4,9 · 100 000 = 490 000
Skriv tiopotensen som ett tal.
Svar: 490 000 b) 2,71 · 10–2 = 2,71 · 0,01 = 0,0271
Skriv tiopotensen som ett tal.
Svar: 0,0271
Exempel
Skriv i grundpotensform a) 0,03
Lösning
Exempel Lösning
1
b) 63 500
a) 0,03 = 3 · 0,01 = 3 · 10–2
Dela upp i ett tal mellan 1 och 10 och en tiopotens.
b) 63 500 = 6,35 · 10 000 = 6,35 · 104
Dela upp i ett tal mellan 1 och 10 och en tiopotens.
Beräkna 4 · 103 · 2 · 104 och svara i grundpotensform 4 · 103 · 2 · 104 = 4 · 2 · 103 · 104 =
I en multiplikation kan man byta plats på faktorerna.
= 8 · 103 + 4 = 8 · 107
Beräkna tiopotenserna för sig och de andra faktorerna för sig.
Svar: 8 · 107 Aktivitet 1.7
Övningsblad 1.7 A och B
tal
1.7 stora och små tal med tiopotenser
29
11 Skriv talen i grundpotensform
Starter
a) Vilket tal är dubbelt så stort som 2 · 104? b) Vilket tal är hälften så stort som 104?
Skriv som en tiopotens
1
b) Guld kan valsas ut till bladguld, som har en tjocklek av 0,000 000 1 m. c) I jordskorpan finns ungefär 84 000 000 000 000 kg guld.
NIVÅ ETT
1 a) 100 000
a) Barn- och ungdomsnämnden i Norrköpings kommun hade en budget på 2 000 000 000 kr år 2013.
b) 1 000 000 000
12 Förklara varför 35 · 106 inte är ett tal i grundpotensform.
c) 10 000
2 a) 0,01
b) 0,001
13 Vilket tal ska stå i stället för x för att likheten
c) 0,000 01
ska gälla?
Skriv i grundpotensform
3 a) 700 000
b) 40 000
c) 3 000 000
4 a) 0,006
a) 0,002 = 2 · 10x
b) 0,000 05 = 5 · 10x
c) 0,000 038 = 3,8 · 10x
14 Skriv i grundpotensform b) 0,000 02
c) 0,000 000 003
5 a) 83 000
NIVÅ TVÅ
a) 0,000 25
b) 0,001 24
c) 0,000 000 034 b) 7 400 000
15 Tre elever fick i uppgift att skriva talet 738 000 i grundpotensform.
c) 921 000
Allan
Skriv utan potens
7,38 · 103
Astrid 7,38 · 105
6 a) 6 · 104
b) 2 · 105
7 a) 8,3 · 103
b) 6,22 · 106
a) Vem har gjort rätt?
8 a) 5 · 10–2
b) 8 · 10–4
b) Förklara vad de andra eleverna kan ha gjort för fel.
9 a) 6,92 · 10–3
b) 8,9 · 10–6
10 Vilket tal ska stå i stället för x för att likheten ska gälla? a) 29 000 = 2,9 · 10x
b) 450 000 = x · 105
c) 8,75 · 10x = 87 500 000
Selma 738 · 103
16 Skriv talen i grundpotensform a) År 2013 var medelpriset för småhus i Stockholm 3 900 000 kr. I Västernorrland var medelpriset 940 000 kr. b) I 100 g grädde finns det 0,000 37 g A-vitamin. c) Energivärdet i 1 dl filmjölk är 240 000 J.
30
tal
1.7 stora och små tal med tiopotenser
17 Skriv talen i storleksordning 3 · 104
4 · 10–2
7 · 106
NIVÅ TRE
9 · 10–3
24 Vilket värde har x om likheten ska stämma? a) 45 miljoner = 4,5 · 10x
18 I 1 liter vatten finns det cirka 3 · 1025 vattenmolekyler. Hur många vattenmolekyler finns det i en pool med 20 000 liter vatten?
19 Beräkna och svara i grundpotensform. a) 3 · 104 · 2 · 105
b) 2 · 105 · 3 · 10–2
Vad ska stå i stället för x för att likheten ska gälla?
20 a) 82 · 103 = 8,2 · 10x
21 a) 55 · 10–3 = 5,5 · 10x b) 625 · 10–6 = 6,25 · 10x c) 81 · 10–4 = 8,1 · 10x Beräkna och svara i grundpotensform. 5
8 · 10 ______ 2 · 102
25 a) 4 · 10–5 · 6 · 10–3
b) 6 · 10–3 · 5 · 10–3
c) 1,5 · 107 · 8 · 104
26 En atom av grundämnet cesium har radien 3 · 10–10 m. Kärnan i samma atom har en radie på 6 · 10–15 m. Hur många gånger större är atomens radie jämfört med atomkärnans radie?
1
I 1 ml blod finns ungefär 4 · 109 röda blodkroppar. Om man lägger alla röda blodkroppar från 1 ml blod på en lång rad bredvid varandra, hur lång blir den raden? Svara i grundpotensform.
c) 902 · 104 = 9,02 · 10x
23 a)
Beräkna och svara i grundpotensform
27 En röd blodkropp är 7 · 10–6 m i diameter.
b) 653 · 106 = 6,53 · 10x
22 a) 5 · 109 · 7 · 103
b) 120 miljondelar = 1,2 · 10x
b) 8 · 106 · 3 · 10–4
9 · 10–6 b) _______ 3 · 102
4 · 103 c) _______ 2 · 10–3
28 I världshaven finns ca 5 · 1019 kg salt. Världshaven rymmer 1,3 · 1021 l vatten. Hur många kg salt per liter innehåller havsvatten i genomsnitt?
tal
1.7 stora och små tal med tiopotenser
31
1.8 Prefix och gällande siffror Google har fått sitt namn efter googol som betyder 10 100, tio sexdeciljarder.
Ett år producerade ett stort vindkraftverk 8 103 392 Wh (wattimmar). Ofta anger man inte värdet så noga eftersom det exakta värdet saknar betydelse för de flesta. Man kan till exempel avrunda till 8 000 000 Wh. Det avrundade talet kan skrivas i grundpotensform, 8 · 106 Wh. Prefix
Prefix kan användas i stället för tiopotenser för att uttrycka små och stora tal på ett kortare sätt. 8 · 106 Wh kan skrivas med prefixet mega, 8 MWh.
Prefixtabell
Prefix
1
Gällande siffror
Förkortning
Tal med bokstäver
Tal
Tiopotens
tera
T
biljon
1 000 000 000 000
1012
giga
G
miljard
1 000 000 000
109
mega
M
miljon
1 000 000
106
kilo
k
tusen
1 000
103
milli
m
tusendel
0,001
10–3
mikro
µ
miljondel
0,000 001
10–6
nano
n
miljarddel
0,000 000 001
10–9
Värdet 8 103 392 Wh är mer noggrant angivet än det avrundade närmevärdet 8 MWh. Man säger att talen har olika antal gällande siffror. Ett annat ord för gällande siffror är värdesiffror. Ett närmevärde är inget exakt värde. Hur många siffror som ska tas med i närmevärdet beror på situationen och hur noggrann man behöver vara. Närmevärde
Antal gällande siffror
Kommentar
8 103 392
7
Alla siffror är gällande siffror. Nollor är gällande siffror om de står inuti ett tal.
8 · 106
1
8 är gällande siffra.
8,1 · 106
2
8 och 1 är gällande siffror.
8,10 · 106
3
Nollor är gällande siffror om de står i slutet av ett decimaltal.
8,103 · 106
4
8,1, 0, och 3 är gällande siffror.
En grundregel vid beräkningar är att använda lika många värdesiffror i svaret som det värdet i uppgiften med minst antal värdesiffror.
Gällande siffror 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
är alltid gällande siffror.
0
nollan är alltid gällande om den står mellan två andra siffror eller om den är en decimal efter andra siffror. I slutet av ett heltal kan nollan vara gällande, men det beror på hur talet är avrundat.
32
tal
1.8 prefix och gällande siffror
Exempel
Skriv i grundpotensform utan prefix a) 1,6 MW
Lösning
b) 2,5 nm
a) 1,6 MW = 1,6 · 106 W
Ersätt prefixet mega (M) med motsvarande tiopotens, 106.
Svar: 1,6 · 106 W b) 2,5 nm = 2,5 · 10–9 m
Ersätt prefixet nano (n) med motsvarande tiopotens, 10–9.
Svar: 2,5 · 10–9 m
Exempel
I december 2012 hade Sverige 9 555 893 invånare. Skriv antalet invånare i grundpotensform med a) tre gällande siffror
Lösning
b) en gällande siffra
1
a) 9 555 893 ≈ 9,56 · 106 invånare Tre gällande siffror
Svar: 9,56 · 106 invånare. b) 9 555 893 ≈ 10 000 000 = 1 · 107 Svar: 1 · 107 invånare.
Exempel
Lösning
En gällande siffra
Mona har 419 steg till skolan. Hennes steglängd är ungefär 0,5 m. Hur lång är Monas väg till skolan? Längd till skolan: 419 · 0,5 m = 209,5 m Monas steglängd är ett ungefärligt värde och uttryckt med en gällande siffra. Därför bör svaret också vara skrivet med en gällande siffra. 209,5 m ≈ 200 m Svar: Monas väg till skolan är 200 m.
Aktivitet 1.8
Övningsblad 1.8 A och B
tal
1.8 prefix och gällande siffror
33
8 Vilket närmevärde är mest noggrant angivet?
Starter
Hur många gällande siffror har värdet 10 000 m?
43 mm
72,1 · 10–3 m
80 mm
NIVÅ TVÅ
9 Beräkna och avrunda till tre gällande siffror
NIVÅ ETT
1 Para ihop prefix med rätt tiopotens.
1
11 b) ___ 7
a) 307 m
b) 0,030 m
a) 5 · 106 W = 5
W
3 · 104 J = 30
J
b)
Skriv i grundpotensform utan prefix.
2 a) 8 km
b) 9,2 km
c) 4 mm
3 a) 5 µm
b) 5,2 µm
c) 7,3 nm
4 Skriv med prefix c)
b) 104,3 · 106 Hz
4,1 · 10–3 l
1 Talet 3,8 kg har 2 gällande siffror. 2 Talet –4,0° C har en gällande siffra. 3 Talet 14,03 har tre gällande siffror.
6 Skriv talet 92 682 i grundpotensform med b) två gällande siffror
c) tre gällande siffror
7 År 2011 fanns det 335 758 män i Sverige med förnamnet Karl. Ange antalet Karl som fanns i grundpotensform med a) två gällande siffror b) tre gällande siffror
34
tal
m
12 Skriv talen utan prefix, i grundpotensform. a) En portion cornflakes innehåller 2,4 mg järn. b) Energiinnehållet i 1 dl apelsinjuice är 180 kJ c) En tonårspojke hade ett energibehov på 12,3 MJ per dag.
13 Ljusets hastighet är 299 792 458 m/s. Skriv i
5 Sant eller falskt?
a) en gällande siffra
c) 5 000 m
11 Välj rätt prefix
c) 4 · 10–4 m = 400
a) 2,5 · 103 m
47 c) ___ 13
10 Hur många gällande siffror har mätvärdena?
10–3 103 10–6 106 10–9 109
nano kilo mikro milli giga mega
2 a) __ 3
1.8 prefix och gällande siffror
grundpotensform med a) en gällande siffra b) tre gällande siffror
1
14 Skriv som megabit (Mb) a) 500 kb
b) 2 Gb
17 Skriv som mm c) 3 Tb
a) 6 µm
15 Para ihop sträckorna med rätt längd.
b) 5 · 10–2 m
c) 75 · 10–4 m
18 En kvadratisk tomt har arean 9 900 m2. Beräkna sidans längd och svara med
Sveriges bredd Sveriges längd Jordens radie Avståndet jorden – månen Avståndet solen – jorden
1,57 Mm 0,34 Gm 0,15 Tm 500 km 6,37 Mm
c) 800 nm = 8 ·
19 En flaska innehåller 300 ml Alvedon. I varje ml finns 24 mg av det aktiva ämnet paracetamol.
b) Ett barn som väger 40 kg får maximalt ta 4 doser med 20 ml Alvedon per dygn. Hur många gram paracetamol motsvarar det?
16 Skriv rätt tiopotens b
b) en gällande siffra
a) Hur många gram paracetamol finns i den fulla flaskan?
NIVÅ TRE
a) 7 Gb = 7 ·
a) två gällande siffror
b) 60 MJ = 6 · m d) 50 µl = 5 ·
J l
20 Arean av en kvadrat är 600 cm2. Hur lång är omkretsen? Svara med lämpligt antal gällande siffror.
tal
1.8 prefix och gällande siffror
35
problem, resonemang och kommunikation Värdera lösningar
NOG
Studera lösningarna och avgör om de är korrekta och väl utförda.
Avgör om du har fått tillräcklig information för att kunna lösa uppgiften.
1 År 2011 hade Indien 1 241 491 960 invånare. Ange antalet invånare på ett lämpligt sätt. Martin: 1,2 miljarder invånare
1
Lukas:
1,24 · 109 invånare
Sofia:
1,2 gigapersoner
a) Är något eller några svar korrekta? b) Hur skulle du ha löst uppgiften?
2 Beräkna –4 – (–3) Peter: –4 – (–3) = –4 –3 = –7 Emil:
–4 – (–3) = 4 + 3 = 7
Patrik: –4 – (–3) = –4 + 3 = –1
a) Är någon av lösningarna korrekt? b) Förklara vad de andra har gjort för fel.
3 Jordens massa är 6 · 1024 kg. Jupiters massa är 2 · 1027 kg. Hur många gånger större är Jupiters massa än jordens massa? Eric:
Clara:
2 000 000 000 000 000 000 000 000 000 _________________________________ =
6 000 000 000 000 000 000 000 000 2 000 = _____ ≈ 333 6 27
2 · 10 1 ______ = __ · 1027–24 ≈ 0,33 · 103 6 · 1024 2 · 1027
3
24
2 000 · 10 __________ 2 Emina: ______ 24 = 3 · 10 24 =
6 · 10 6 · 10 a) Vem eller vilka har löst uppgiften korrekt? b) Hur skulle du ha löst uppgiften? Motivera ditt svar.
36
tal
problem, resonemang och kommunikation
1 Nicole tävlade i frågesport. Hon fick +2 poäng för varje rätt svar och –3 poäng för varje svar som var fel. Nicole fick sammanlagt 5 poäng. Hur många frågor hade Nicole svarat på? a) Finns det tillräckligt med information för att du ska kunna lösa uppgiften? b) Om det inte finns tillräckligt med information för att kunna lösa uppgiften – vad saknar du? c) Lös uppgiften om det finns tillräckligt med information.
2 Ljusets hastighet är 3,0 · 105 km/s. Vår närmsta stjärna förutom solen är Proxima Centauri. Det tar 4,2 år för ljuset från Proxima Centauri att nå jorden. Hur långt är avståndet mellan jorden och Proxima Centauri? a) Finns det tillräckligt med information för att du ska kunna lösa uppgiften? b) Om det inte finns tillräckligt med information för att kunna lösa uppgiften – vad saknar du? c) Lös uppgiften om det finns tillräckligt med information.
Modellering
Lös problemen
Här får du själv bestämma lämpliga och realistiska värden för att kunna lösa uppgiften.
Matematisk problemlösning där du själv väljer metod.
Enligt en legend fick uppfinnaren av schackbrädet ett erbjudande av en rik kung om belöning för sin uppfinning. Han bad då att få ett riskorn för den första rutan på schackbrädet, två för den andra rutan och så vidare med en fördubbling av antalet riskorn för varje ruta. Kungen tyckte först att det var ett billigt pris, men när han upptäckte att han blivit lurad lät han halshugga uppfinnaren. Hur mycket väger riset som motsvarar den 30:e rutan, och vilken volym har det?
1 Vilket är talet? • Talet är ett heltal. • Talet är ensiffrigt. • Om jag tar talet i kvadrat får jag ett udda tal som är mindre än 30. • Om jag multiplicerar talet med –4, så är svaret delbart med 10.
1
2 Rita av figuren. Hur ser hela figuren ut om 3 triangeln motsvarar __ av hela figuren? 8 3 __ 8
3 Välj tal och räknesätt från rutan så att kvoten blir a) så stor som möjligt b) så liten som möjligt c) så nära noll som möjligt Varje tal får användas en gång.
Bedömningsuppgift
–5 –2 5 2 + –4 –1 4 1 – –3 3
Här får du visa kvalitet på olika matematiska förmågor. a) Beräkna 41, 42, 43, 44, 45, … Vilken entalssiffra har 430? b) Använd resultatet från uppgift a för att bestämma entalssiffran i 430. c) Beräkna 31, 32, 33, 34, 35, … Vilken entalssiffra har 320? d) Motivera varför entalssiffran i 399 är 7.
tal
problem, resonemang och kommunikation
37
BEGREPPSTEST 1 Vilket av följande tal är minst? A 0,01
B –25
C –30
2 Vilket är det motsatta talet till 14? A –14
B 0
C 28
3 Summan av två negativa tal är A alltid positiv B alltid negativ C positiv ibland
4 Produkten av två negativa tal är
1
A alltid positiv B alltid negativ C positiv ibland
5 Vilken av följande produkter är störst? A (–3) · 4
B (–2) · (–8)
C (–5) · (–6)
6 I talet 38 kallas siffran 8 för A potens
B bas
C exponent
7 52 är lika mycket som A 5·2
8
B 5·5
C 2·2·2·2·2
6
4 ___ är lika mycket som 42
A 23
B 43
C 44
9 4 är en rot till __
A √2
___
B √16
__
C √8
10 Talet 6 000 kan skrivas som A 63
B 6 · 103
C 61 000
11 Vilket av följande tal är störst? A 9,7 · 10–8
B 3 · 10–6
C 0,5 · 10–3
12 Antalet gällande siffror i mätvärdet 4 500 m är A 2
B 4
C omöjligt att avgöra
13 Prefixet giga motsvarar A 109
38
tal
begreppstest
B 106
C 103
KAPITELTEST 1 Skriv talen i storleksordning. 13 –22 –3 0,8 –1,5
2 På morgonen visade termometern – 8 °C. Under dagen steg temperaturen med 5 °C. Vad visade termometern då?
3 Beräkna a) 7 + (–5)
4 Beräkna a) (–3) · (–6)
b) (–3) + 2
c) (–5) – 4
d) (–8) – (–2)
30 b) ___ –5
c) 4 · (–2)
–36 d) ____ –9
1
5 Beräkna värdet av potenserna a) 82
b) 24
6 Beräkna och svara i potensform. a) 64 · 62
98 b) ___2 9
7 Beräkna ___
a) √25
___
b) √49
8 Skriv i grundpotensform a) 73 400
b) 0,000 023
9 Beräkna och svara i grundpotensform. a) 3 · 102 · 2 · 106 6 · 108 b) ______5 3 · 10
10 Världens två största länder är Ryssland, 17 075 200 km² och Kanada, 9 984 670 km². Skriv ländernas areor i grundpotensform med tre gällande siffror.
11 Skriv utan prefix a) 5 ml
b) 3 MW
tal
kapiteltest
39
BASLÄGER 1.1
1.3
1 Vilka är de två följande talen i talföljderna? a) 5, 3, 1, …
b) –5, –10, –15, …
c) –12, –8, –4, …
Beräkna
11 a) 4 · (–5)
12 a) (–3) · (–8) b) (–3) · 8
2 Rita av tallinjen och markera följande tal
–10
–5
0
5
10
(–15) b) ______ 3
(–15) c) ______ (–3)
14 a)
25 _____
(–36) b) ______ 6
(–10) c) ______ (–2)
(–5)
likheten ska gälla? a) 4 ·
–10 –20 3 –2 0, 7
c)
5 a) 7 + 9
b) 7 – 9
c) 7 + (–9)
6 a) –5 + 3
b) –5 – 3
c) –5 + (–3)
7 a) 6 + (–4)
b) 2 + (–4)
c) –3 + (–4)
8 a) (–6) – (–6) b) –10 – (–6) c) 4 – (–6) 9 a) –15 + (–10) b) 30 + (–40) c) –50 – (–60) 10 En termometer visar –10 °C. Vad visar den om temperaturen
basläger
= 20
d) ___ = –8 3 20 f) ___ = –5
1.4
16 Skriv med siffror
b) sjunker 3 °C
b) fem upphöjt till sex
17 Skriv den potens där a) basen är 4 och exponenten 2 b) basen är 10 och exponenten är 12
18 Skriv som en potens a) 6 · 6 · 6 · 6
b) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3
19 Beräkna värdet av potenserna a) 62
b) 43
c) 24
20 Beräkna värdet av potenserna a) 103
tal
· (–9) = 90
a) tre upphöjt till fyra
Beräkna
40
(–30) b) ______ = 6
= –12
e) –10 ·
4 a) Skriv tre negativa tal som är större än –10.
a) stiger 7 °C
(–3)
15 Vilket tal ska stå i stället för rutan för att
minsta.
1.2
c) 3 · (–8)
15 _____
3 Skriv talen i storleksordning. Börja med det
b) Skriv tre negativa tal som är mindre än –20.
c) (–4) · (–5)
13 a)
–2 –8 8 –6 7 –3
1
b) (–4) · 5
b) 105
c) 108
BASLÄGER 1.5
1.7
31 Skriv utan potens
Beräkna och svara i potensform
21 a) 45 · 42 10
8 ___
22 a)
84
b) 57 · 56
c) 72 · 74
77 b) ___3 7
58 c) ___2 5
a) 105
a) 1 000 000
23 a) 42 · 4x = 48 b) 63 · 6x = 67 c) 3x · 37 = 310 6
9 ___ = 92
25
9x
10x b) ____5 = 105 10
c) 10–6
32 Skriv som en tiopotens
Vilket tal ska stå i stället för x för att likheten ska gälla?
24 a)
b) 10–3
x7 c) ___2 =55 5
b) 0,01
Skriv utan potens
33 a) 5 · 103
b) 5,4 · 103
c) 5,4 · 106
34 a) 9,6 · 10–3
b) 2,5 · 10–4
c) 5,35 · 10–6
1
Skriv i grundpotensform
Vilket tal är dubbelt så stort som 26? Välj i rutan.
46 212 412 27
35 a) 70 000
b) 42 000
36 a) 0,004
b) 0,000 007 3
1.8
Ersätt prefixet med motsvarande tiopotens.
1.6
26 Beräkna ____
___
___
a) √100
b) √81
c) √16
27 Hur lång är sidan i en kvadrat som har arean 25 cm2
a)
__
__
a) √9
c) 2,9 km
38 a) 7,9 GW
b) 1,6 Tb
c) 98,7 MHz
39 Skriv med lämpligt prefix b) 9 · 109 b
c) 8,4 · 10–6 m
40 En stor hotellkedja hade sammanlagt
28 Vilken pil pekar på __
b) 6 nm
a) 4,2 · 103 J
49 cm2
b)
37 a) 9,5 µm
b) √1
3 383 201 övernattningar i sina 14 902 rum under ett år. Skriv antalet övernattningar i grundpotensform med
c) √8
A
B
C D
E
1
2
3
4
F
a) två gällande siffror 0
5
29 Vilka av följande kvadratrötter är större än 5 men mindre än 7? ___
√28
___
√15
___
√50
___
√39
___
b) Hur många övernattningar per rum hade hotellkedjan det året? Svara med tre gällande siffror.
41 Avrunda talet π ≈ 3,141592654 till
√70
30 Använd räknare. Beräkna kvadratrötterna
a) 1 gällande siffra
b) 3 gällande siffror
och avrunda till 2 decimaler. ___
a) √10
___
b) √47
___
c) √85
tal
basläger
41
HÖG HÖJD 1 I ett höghus ligger entrén på plan 0.
1
7 På alla hjärtans dag har Valentin bestämt sig
a) Ali kliver in i hissen på plan –3 och åker 5 våningar uppåt. På vilken våning kliver han av?
för att sprida kramar. Han kramar 4 personer och ber dem i sin tur krama 4 nya personer. De personerna kramar också 4 nya personer.
b) Sixten åker från plan 4 till plan –2. Hur många våningar har han åkt?
a) Hur många personer får en kram i den tredje omgången?
c) Ida kliver av hissen på plan 7. Då har hon åkt 9 våningar uppåt. På vilken våning klev Ida in i hissen?
b) Hur många kramar har delats ut totalt efter den tredje omgången?
d) Nathalie startar på plan –1. Hon åker först 6 våningar uppåt och sedan 8 våningar nedåt. På vilken våning är hon då?
2 Temperaturen mättes varje morgon. Beräkna medeltemperaturen under veckan. Dag
Mån Tis
c) Om mönstret upprepas i ytterligare 3 omgångar, hur många kramar delas då ut i den sista omgången? Skriv som en potens och beräkna värdet av den.
8 Fyll i den magiska kvadraten så att summan i varje rad vågrätt, lodrätt och diagonalt blir –30.
Ons Tor Fre Lör Sön
Temperatur °C –4,3 –2,1 –0,5 2,3 0,9 –3,6 –0,4
–32
5
3 Två tal har medelvärdet –3,5. Ge två olika exempel på vilka talen kan vara om
–17
a) båda talen är negativa
9 Ljusets hastighet är 299 792 458 m/s. Hur
b) ett av talen är positivt
4 Beräkna värdet av uttrycken om a = –5 och b = –20. a) a + b d) a · b
b) a – b b e) __ a
c) b – a a f) __ b
5 Antalet bakterier fördubblades var 20:e
10 Jordens massa är 5,976 · 1024 kg. Den tyngsta planeten i vårt solsystem, Jupiter, är 317,94 gånger tyngre. Vilken massa har Jupiter? Svara i kg i grundpotensform med 2 gällande siffror.
minut. Klockan 12.00 fanns det en enda bakterie. Hur mycket var klockan när antalet bakterier översteg 1 000?
11 En kolatom väger 1,66 · 10–24 g. Hur mycket
6 Beräkna värdet av uttrycken om a = –10, b = 4
12 Antalet stjärnor i universum uppskattas till
och c = –2. a) 3a + 4b b d) __ – a c
42
långt hinner ljuset på ett år? Svara i kilometer i grundpotensform med 2 gällande siffror.
tal
hög höjd
b) (a – b) · c
c) a – b · c
väger en miljard kolatomer? ca 3 · 1023. Antalet celler i en människokropp uppskattas till ca 5 · 1013 och antalet människor på jorden är ungefär 6 · 109. Jämför antalet stjärnor i universum med antalet människoceller på jorden.
HÖG HÖJD 13 Tabellen visar Sveriges elproduktion år 2011 i TWh.
el från vindkraft år 2011. TWh
Vattenkraft
17 Tabellen visar de län som producerade mest Län
Antal Producerad el, MWh vindkraftverk
65,7
2011
Kärnkraft Kraftvärme Vindkraft
2010
2011
15,4
Västra Götaland 449
582 042
1 167 663
6,1
Skåne
353
833 084
1 082 526
Jämtland
116
269 265
549 521
Kondenskraft
a) Hur mycket el från vattenkraft producerades 2011? Skriv i Wh i grundpotensform.
a) Hur mycket el producerades i Västra Götaland år 2011? Svara i Wh i grundpotensform med 3 gällande siffror.
b) Kondenskraftverken producerade 2 · 1011 Wh el 2011. Skriv som TWh.
b) Hur mycket el producerades i Skåne år 2011? Svara i TWh med 3 gällande siffror.
c) År 2010 producerades 55,6 TWh el från kärnkraft. Till år 2011 ökade produktionen med 3,8 %. Hur mycket el från kärnkraft producerades år 2011?
c) Vilket av länen ökade sin produktion mest procentuellt sett?
d) Hur många procent av all el som producerades 2011 kom från vindkraft?
e) En villa förbrukar ca 5 000 kWh i hushållsel på ett år. Till ungefär hur många villor räckte elen från vindkraften i Jämtland år 2011? Svara med en gällande siffra.
14 Vilket av alternativen i rutan är ett korrekt svar till 55 + 55 + 55 + 55 + 55?
2525 525 255 56
1
d) Vilket av länen producerade mest el per vindkraftverk år 2011?
___
3 ___
18 På__ samma sätt som √x2 = x så är √x3 = x. 3
√1 kallas kubikroten eller tredjeroten. √8 = 2 eftersom 23 = 8. Beräkna
3 __
15 Förenkla uttrycken a) 3x – 9 + 2x – 17
3 ___
b) –5y + 6 + 9y – 8
c) 3a + 7 – 8a – 11
16 a) År 2010 fanns det 4 942 513 personbilar registrerade i Sverige. De kördes sammanlagt 6,4 · 1010 km. Hur många mil kördes varje bil i genomsnitt? Avrunda till 2 gällande siffror. b) Av alla personbilar var 15 472 taxibilar. De hade en genomsnittlig körsträcka på 6 823 mil. Jordens omkrets är ungefär 40 000 km. Hur många varv runt jorden motsvarar taxibilarnas sammanlagda körsträcka? Avrunda till 2 gällande siffror.
a) √27
3 ______
b) √1 000
3 ____
c) √125
19 Skriv 5 tal som uppfyller alla följande villkor: Medelvärdet är –2. Alla tal är olika. Två av talen är positiva tal. Inget tal är mindre än –10.
20 264 betyder att 64 stycken tvåor ska multipliceras. Man skulle kunna gruppera faktorerna två och två och istället säga att det är 32 stycken fyror som ska multipliceras, alltså 432. Skriv om talet 264 med 4 som exponent.
tal
hög höjd
43
BEGREPPSLISTA
1
44
Förklaring
Exempel
Sida
negativa tal
Tal som är mindre än 0. Ligger till vänster om 0 på en tallinje.
1 –2, –49, – __ , –0,1 2
8
positiva tal
Tal som är större än 0. Ligger till höger om 0 på en tallinje.
3 4, 906, __ , 0,2 4
8
motsatta tal
Två tal som ligger lika långt från 0 på tallinjen. Det ena talet är negativt, det andra talet är positivt.
–2 och 2, 7 och –7
8
Begrepp
–4 –3 –2 –1 0
1
2
3
4
Motsatta tal
naturliga tal
Talet 0 och de positiva heltalen.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
19
hela tal
De naturliga talen och motsvarande negativa tal.
–8, 12, –333, 40 921, 0
19
rationella tal
Tal som kan skrivas som en kvot av två hela a tal, __ där a och b är heltal och b ≠ 0. b
2 __ , 7, – 4 __ , 0,2, -8 3 5
19
irrationella tal
Tal som inte kan skrivas som en kvot av två hela tal.
√2 , √5 , π
reella tal
De rationella talen och de irrationella talen.
potens
Ett tal skrivet i formen am där talet a multipliceras med sig själv m antal gånger.
bas
Det tal i en potens som upphöjs till något. Talet a i potensen am.
exponent
Det tal i en potens som anger hur många gånger basen ska multipliceras med sig själv. Talet m i potensen am.
__
__
19
__ 6 4, –10, __, –2,7, √8 7
19
Exponent Potens
{ 43 = 4 · 4 · 4 Bas
20 20 20
Ett tal upphöjt till 0 är alltid 1, a0 = 1 __
____
kvadratrot
Kvadratrot ur ett tal är det tal som multiplicerat med sig själv blir det ursprungliga talet.
√9 = 3, √25 = 5
26
tiopotens
En potens med basen 10.
106 = 1 000 000, 10–3 = 0,001
28
grundpotens
Ett tal mellan 1 och 10 multiplicerat med en tiopotens. Används för att ange små och stora tal.
1,602 · 10–19, 6,023 · 1023
28
prefix
En förstavelse som i matematiken har ett visst värde. Används för att skriva små och stora tal på ett enklare sätt.
7 dm = 0,7 m 3 km = 3 000 m
32
närmevärde
Ett avrundat eller uppskattat värde.
4 512 m ≈ 4 500 m
32
gällande siffror
Talar om hur noggrant ett värde är angivet. Synonymer: värdesiffror, signifikanta siffror.
0,03 har en gällande siffra, 509 har tre gällande siffror.
32
tal
begreppslista
d = deci = tiondel = 0,1 k = kilo = tusen = 1 000
TANKEKARTA
Talmängder Reella tal
_
Rationella tal
__3 –2
__
7
2
__
1 – 2
–3
Negativa tal • T.ex. –2, –0,5
__
36 3,6 = 10 100 –11 5 4 6 25 2,5 = Naturliga tal 10 39 8 –14 0 12 3 125 –36 –14 3 Hela tal
4
__1
_
√2
√7 π
Positiva tal 3 • T.ex. 14, __, 0,2 4
___
Potenser • T.ex. 53 = 5 · 5 · 5 = 125
Motsatta tal • T.ex. –4 och 4
Kvadratrötter ____ • T.ex. √25 = 5
Addition med negativa tal • Värdet minskar.
1
• T.ex. 4 + (–6) = –2 Tiopotenser • Ett tal med basen 10. • T.ex. 105 = 100 000 10–3 = 0,001
Räkna med potenser • T.ex. 53 · 54 = 53 + 4 = 57 107 ____ = 107 – 2 = 105 102 2 · 104 · 3 · 102 = 6 · 106
Grundpotensform • Ett tal mellan 1 och 10 multiplicerat med en tiopotens.
• T.ex. 5,41 · 109 har 3 gällande siffror
• T.ex. (–8) – (–2) = (–8) + 2 = –6
Multiplikation med negativa tal • Udda antal negativa faktorer ger negativ produkt. • T.ex. (–2) · 6 = –12 (–3) · (–2) = 6
• T.ex. 4,6 · 108 3,24 · 10–6
Gällande siffror • Anger noggrannhet.
Subtraktion med negativa tal • Värdet ökar.
Prefix • T.ex. M = mega = 106 = 1000 000 k = kilo = 103 = 1 000 m = milli = 10–3 = 0,001
Division med negativa tal • Kvoten är negativ om täljare eller nämnare är negativ. (–12) • T.ex. _____ = –4 3 (–20) _____ = 10 (–2)
tal
tankekarta
45
Facit
FACIT
1.1 Negativa tal 1 a) A = 2
B = 8 C = –3 D = 8 b) A = 0,4 B = –0,4 C = –0,7 D = –1,1 –4 –1
2
6
b) –7
c) –3
d) –5
6 a) –7
b) 5
c) –7
d) 2
7 a) 5
b) –2
c) –10
d) –8
1 a) –9
b) 10
c) –40
d) –12
8 a) 6
b) 2
c) –9
d) 0
2 a) –5
b) 10
c) –10
d) –8
3 a) –12
b) 3
c) 30
d) –5
9 Det är bara om minustecknen står
3 –12, –5, –3, 0, 4
10 –7 °C
4 T.ex. –1 och –3
11 a) –1
Tal
intill varandra utan siffra emellan som de kan bytas ut mot ett plustecken för addition. –8 – 4 = –12
F 1
6 a) 0 och –3
–10
–5
0
5
–2
10 7
5 –1, 0,1 och 3 b) 0 och 2
c) –16 och –20
7 –300 är större än –320 för det ligger längre till höger på tallinjen.
8 a) 5
b) –9
9 a) 0 10 a) 0
c) –6,5
b) –6
c) 4
b) 1
c) –5
d) –1,5 1 10
2 6
11 –0,001; ___ och – __ b) Den andra termen är större än den första.
13 T.ex. –10,1; –10,25 och –10,9 b) –10; –12,5
c) –0,5; 1
15 –0,4; –0,25; –0,16; 0,03; 0,2; 0,8 16 a) –6,9 °C
b) –2,7 °C
c) 0,2 °C
17 Nej, det går inte. Alla tal som är
mindre än –9 är också mindre än –8.
1.2 Addition och subtraktion med negativa tal 1 a) 2
b) –2
c) 3
d) –3
2 a) 14
b) 2
c) 2
d) 14
3 4 + 3 = 4 – (–3), 4 – 3 = 4 + (–3)
264
facit
5 a) x = 4 b) –15
c) –6
d) –10
c) 20
b) x = –6 d) x = –1
c) x = 3
12 a) 12
b) 19
c) –15
d) –2
6 –105 meter över havet
13 a) –16
b) 45
c) –15
d) –4
7 a) 14 poäng
14 a) +
b) –
c) –
d) –
15 a) T.ex. –2 + (–18) b) T.ex. –8 – (–3)
16 a) 1
b) 9
b) 4 frågor c) t.ex. 3 frågor (1 rätt och 2 fel) eller 6 frågor (2 rätt och 4 fel)
8 a)
och Christina 73 slag. b) Linda c) 5 slag
–6 2
b)
är alltid positiv. b) Ja, t.ex. –2 + (–3) c) Ja, t.ex. 1 + (–6)
B = 350
C = –2 250
23 a) –17
b) 6
24 a) –10
b) 4
1
–144 –4
–12 –3
4
(–20) b) T.ex. ______ (–2)
10 a) –6
b) –5
c) 24
11 a) –2
b) –5
c) 25
12 –109 kr
b) T.ex. –20 + 12 – 2 c) T.ex. 15 – (–3) – (–2) –5,3
–3
9 a) T.ex. –9 · (–4)
21 a) T.ex. –1,5 – 2,5 + 7
b) 3,15
–3
12
19 a) Nej, summan av två positiva tal
20 A = – 250
18
c) –1
17 a) Linda 70 slag, Gabriel 75 slag
22 a) –2
4 a) (–100) b) (–80)
96 4 17 · (–3), ___ och –28 · 8 för i de –6 uttrycken är ett av talen negativt.
18 –6,5 °C
12 a) 6 – 7, 12 – 20 och 25 – 50
14 a) –1; –5
1.3 Multiplikation och division med negativa tal
5 a) –2
13 a) –8
c) –10
d)
c) –4
25 a) –18 b) T.ex –10 + (–9) + (–8) = –27 c) T.ex. –3 + (–2) + (–1) = –6 d) Summan är tre gånger talet i mitten. e) –300
14 a) 1
b) 16 b) –1
c) 1
d) –1
15 Om det är ett udda antal negativa
faktorer är produkten negativ. Om det är ett jämnt antal negativa faktorer är produkten positiv.
16 a) –14
b) –3
17 a) –24
b) –2
FACIT 18 a)
1.4 Potenser
2 –6 18
–3 –3
1
5 a) x = 4
1 a) 25
b) 63
c) x2
2 a) 6 · 6
b) 8 · 8 · 8
–4 –8 32
19 a) –28
2 –4
–2
b) 17
b) (–4)3
c) x2
4 a) 27
b) 25
c) 16
b) Mette har räknat 4 · 2 = 8
6 a) 100
20 –15 °C 21 T.ex. –20 °C, –10 °C och –12 °C.
Summan av temperaturerna ska vara –42 °C.
22 a) B
3 a) 76 5 a) Adel c) –18
b) E
c) A
23 (–11) · (–11) · (–11) · (–11) är störst.
24 a) –1
b) –17
25 a) –2x
b) –3x + 4 c) 5x – 13
c) 23
HISTORIA OCH SAMHÄLLE
b) x3
c) 120y d) ax
8 a) 32
b) 52
9 a) 125
b) 1
c) 4
10 26 och 82 11 a) x = 2 c) x = 4 e) x = 6
b) x = 5 eller x = –5 d) x = 10 f) x = 8
12 29 = 28 · 2 Alltså kan man räkna 256 · 2 = 512
13 a) 25
b) 42
c) 1 · 8
14 6 gånger större
1 T.ex. –6
–2
1
3
7
0
2 T.ex. Tre pizzor ska delas lika mellan fem personer. Hur mycket pizza får var och en?
3 0 4 Det finns oändligt många negativa heltal.
2 5 3 6
1 3
5 T.ex. __, __, – __, –4 och 2,5 6 A Sant B Sant. –0,5 kan skrivas som ett 1 bråk med två heltal, t.ex. – __ 2 C Falskt. De negativa talen tillhör inte de naturliga talen. D Sant. Alla naturliga tal kan skrivas som en kvot av två heltal.
7 Ja, eftersom alla naturliga tal även är rationella tal. T.ex. 1 + 2 = 3.
6 a) x = 7 eller x = 71 7 x=3 8 Ett tal som är dubbelt så stort är 2 gånger så stort. 2 · 220 = 221
9 a) x10 10 a) x8
b) Anna räknar 3 + 2 och Bodil räknar 3 · 2
c) b9
b) a3
c) b6
11 25 12 Lotta har räknat 5 – 3 = 2, nämna-
rens exponent subtraherat med täljarens. Vid division av två potenser med samma bas gäller täljarens exponent subtraherat med nämnarens. Rätt svar är 5–2.
13 a) Lova har räknat rätt. Priorite-
ringsreglerna säger att potenser räknas före addition. Exponenterna kan bara adderas om det är potenser med samma bas som multipliceras. b) Kalle adderade basen för sig och exponenten för sig.
14 a) 100
15 a) Colin
b) a7
15 a)
b) 29
35
b)
16 a) x6
c) 21
57
c) 104
b) a10
c) y4
b) 0,32
c) 124
16 a) 0,25
b) 0,01
c) 0,008
17 11 110
17 a) 9
b) –27
c) –81
18 a) 8
18 a) 1
b) –1
c) –1
19 Minst, A, C, B, D Störst
19 a) 0,001
b) –0,008 c) 0,0001
20 415 eftersom 415 · 4 = 416 är ett udda tal.
22 Ungefär 1 miljard hudceller. 1.5 Multiplikation och division med potenser 1 a) 2 a)
73
3 a)
311
b)
29
b)
103
b)
48
c) 52x
d) 3x
1.6 Kvadratrötter
21 Talet a är ett jämnt tal och talet b
105
20 a) 16x2 b) 23x
F 1 Tal
Eftersom det är ett jämnt antal negativa faktorer blir produkten positiv. Den andra produkten är ett negativt tal.
b) 10 000
c) 1 000 000 000
7 a) 78
c) x = 8
b) x = 9 eller x = 91
c) 7 · 7 · 7 · 7
b)
b) x = 6
d) x = 6
1 a) 4 2 a) 10 cm ___
b) 9 m
c) 7 dm
___
3 √64 , √49 och √81 eftersom 64 = 82, 49 = 72 och 81 = 92. ___
___
___
4 √17 , √20 och √24 , eftersom de är ___ större än √16 som är lika med 4.
c) c)
55
5 a) 1,41
c)
710
6 a) C
53 alltid 1. ___3 = 50. Ett tal upphöjt 5 till 0 är alltid 1.
c) 6
___
39
4 Ett tal dividerat med samma tal är
b) 5
7 a) 10
b) 6,71 b) F b) 20
c) B
c) 9,95 d) E c) 30
facit
265
FACIT 16 a) 3,9 · 106 kr och 9,4 · 105 kr
8 a) x = 10 och x = –10
b) 3,7 · 10–4 g c) 2,4 · 105 J
b) x = 2 och x = –2 c) x = 5 och x = –5
9 a) 2,5 cm b) 3,8 cm 10 a) 0,1 ____
b) 0,2 _______
17 9 · 10–3, 4 · 10–2, 3 · 104, 7 · 106
c) 0,3
18 6 · 1029
__________
F 1
b) 100 = 102, 1 000 = 103, 10 000 = = 104, 100 000 = 105, 1 000 000 = = 106 c) När exponenten är ett jämnt tal har kvadratroten en heltalslösning. ___ ___ d) √74 och √714
12 28,3 cm
20 a) x = 4
b) x = 8
c) x = 6
21 a) x = –2
b) x = –4
c) x = –3
3,5 · 1013
b) 2,4 · 103
23 a) 4 · 103
b) 3 · 10–8
24 a) x = 7
b) x = –4
c)
c) 2 · 106
b) 3 · 10–5
1,2 · 1012
Tal
26 5 · 104 gånger så stor.
b) 109
c) 104
27 2,8 · 104 m
2 a) 10–2
b) 10–3
c) 10–5
28 Ca 0,04 kg/l
3 a) 7 · 105
b) 4 · 104
c) 3 · 106
1.8 Prefix och gällande siffror
4 a)
6 · 10–3
5 a)
8,3 · 104
b)
2 · 10–5 b)
c)
3 · 10–9
7,4 · 106
b) 200 000
7 a) 8 300
b) 6 220 000
8 a) 0,05
b) 0,000 8
9 a) 0,006 92 10 a) x = 4
b) 0,000 008 9 b) x = 4,5
11 a) 2 · 109 kronor c)
c) x = 7
b) 1 · 10–7 m
8,4 · 1013 kg guld
12 35 är större än 10. En grundpotens
skrivs som en multiplikation av ett tal mellan 1 och 10 och en tiopotens. I grundpotensform blir det 3,5 · 107
13 a) x = –3 14 a) 2,5 · 10–4
b) x = –5
c) x = –5
b) 1,24 · 10–3
c) 3,4 · 10–8
15 a) Astrid b) Allan har räknat antalet nollor efter sista siffran. Selma har skrivit som en potens, men inte som en grundpotens eftersom 738 är större än 10.
facit
10–3 mikro–10–6 Giga–109 c)
b) 9,2 · 103 m
4 · 10–3 m
3 a) 5 · 10–6 m c)
b) 5,2 · 10–6 m
7,3 · 10–9 m
4 a) 2,5 km
b) 104,3 MHz
c) 4,1 ml
5 1 Sant 2 Falskt, nollor efter decimaltecken räknas som gällande siffra. 3 Falskt, fyra gällande siffror.
6 a) 9 · 104
b) 9,3 · 104
c) 9,27 · 104
7 a) 3,4 · 105
b) 3,36 · 105
8 72,1 · 10–3 m 9 a) 0,667
b) 1,57
c) 3,62
10 a) 3 gällande siffror b) 2 gällande siffror c) Det går inte att avgöra. Det kan vara 1, 2, 3 eller 4 gällande siffror.
11 a) M
14 a) 0,5 Mb
b) 2 000 Mb
b) k c) µ (mikro)
15 Sveriges bredd 500 km
Sveriges längd 1,57 Mm Jordens radie 6,37 Mm Avståndet jorden–månen 0,34 Gm Avståndet jorden–solen 0,15 Tm
16 a) 109
b) 107
17 a) 0,006 mm
c) 10–7 d) 10–5 b) 50 mm
c) 7,5 mm
18 a) 99 m
b) 100 m
19 a) 7,2 g
b) 1,9 g
100 m
BASLÄGER
1 Mega–106 nano–10–9 kilo–103 milli2 a) 8 · 103 m
6 a) 60 000
b) 3,00 · 108 m/s
20
1 a) 105
c) 9,21 · 105
266
b) 6 · 103
25 a) 2,4 · 10–7
1.7 Stora och små tal med tiopotenser
13 a) 3 · 108 m/s c) 3 000 000 Mb
19 a) 6 · 109
22 a)
b) 1,8 · 105 J
c) 1,23 · 107 J
c) 4,9 cm
11 a) √100 , √10 000 , √1 000 000
12 a) 2,4 · 10–3 g
1 a) –1, –3
b) –20, –25
c) 0, 4 –8
2
–10
–3
0 –5 –6 –2
7
5
10 8
3 –20; –10; –2; 0,7; 3 4 a) T.ex. –9, –8 och –7 b) T.ex –21, –22 och –23
5 a) 16
b) –2
c) –2
6 a) –2
b) –8
c) –8
7 a) 2
b) –2
c) –7
8 a) 0
b) –4
c) 10
9 a) –25
b) –10
c) 10
10 a) –3 °C
b) –13 °C
11 a) –20
b) –20
c) 20
12 a) 24
b) –24
c) –24
13 a) –5
b) –5
c) 5
14 a) –5
b) –6
c) 5
15 a) –3
b) –5 e) –2
c) –10 f) –4
d) –24
16 a) 34
b) 56
17 a) 42
b) 1012
18 a) 64
b) 36
FACIT 19 a) 36
b) 64
20 a) 1 000
c) 16 b) 100 000
5 15.20 6 a) –30 + 16 = –14
c) 100 000 000 13
c) 7
4
b) 7
c) 56
23 a) x = 6
b) x = 4
c) x = 3
24 a) x = 4
b) x = 10
c) x = 5
b) 9
c) 4
21 a) 4 22 a) 8
7
b) 5
6
b) –14 · (–2) = 28 c) –10 – (–8) = –2 d) –2 – (–10) = 8
6
7 a) 43 = 64 kramar b) 4 + 42+ 43 = 4 + 16 + 64 = = 84 kramar c) 46 = 4 096 kramar
25 27 26 a) 10 27 a) 5 cm
b) 7 cm
28 a) D
b) A
___
c) C
30 a) 3,16
b) 6,86
–3
5
27
–10
–47
–25
–17
12
F 1
c) 9,22
b) 0,001
c) 0,000 001
32 a) 106
b) 5 400
c) 5 400 000
34 a) 0,009 6
b) 0,000 25 b) 4,2 · 104
4 · 10–3
b) 7,3 · 10–6
37 a) 9,5 · 10–6 m
b) 6 · 10–9 m
2,9 · 103 m
38 a) 7,9 · 109 W
b) 1,6 · 1012 b 6 c) 9,87 · 10 Hz = 9,87 · 107 Hz
39 a) 4,2 kJ
b) 9 Gb
c) 8,4 µm
40 a) 3,4 · 106 övernattningar b) 227 övernattningar per rum
41 a) 3
11 1,66 · 10–15 g på jorden som stjärnor i universum. Ungefär 3 · 1023 stycken.
13 a) 6,57 · 1013 Wh
c) 0,000 005 35
35 a) 7 · 104
10 1,9 · 1027 kg 12 Det finns ungefär lika många celler
b) 10–2
33 a) 5 000
9 9,5 · 1012 km
b) 3,14
HÖG HÖJD
b) 0,2 TWh c) 57,7 TWh år 2011 d) 4,2 %
14 55 + 55 + 55 + 55 + 55 = 5 · 55 = 56 15 a) 5x – 26
c) våning –2
b) 6 våningar d) våning –3
2 –1,1 °C
b) 4y – 2
c) –5a – 4
16 a) 1,3 · 103 mil per bil b) 2,6 · 104 varv runt jorden.
17 a) 1,17 · 1012 Wh b) 1,08 TWh c) Jämtland ökade mest med 104 % d) Jämtland 4 737 MWh/vindkraftverk e) 1 · 105 villor
18 a) 3
1 a) våning 2
Tal
31 a) 100 000
c)
–32
___
29 √28 och √39
36 a)
8
b) 10
c) 5
19 T.ex. 1, 3, –10, –1, –3. Medelvärdet = = –2 ger att summan ska vara –10.
20 (216)4 = 65 5364
3 a) T.ex. –5 och –2 eller –3 och –4. Summan ska vara –7. b) T.ex. 3 och –10 eller 1 och –8. Summan ska vara –7.
4 a) –25 d) 100
b) 15 e) 4
c) –15 f) 0,25
facit
267
matematik
8
Prio Matematik är moderna läroböcker med > teori, exempel och övningar på tre nivåer > Historia och samhälle – temaavsnitt > Problem, resonemang och kommunikation – uppgifter som tränar alla matematiska förmågor > Begreppslista, Tankekarta och Metodsamling – upplagsdelar för sammanfattning och repetition Serien består av > Elevbok > Digitalt material > Lärarguide > Prov, övningsblad och aktiviteter
ISBN 978-91-523-2051-8
(523-2051-8)