■ ■ ■
y = f(x) f(x d y c
Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4, 5)
Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teorigenomgångar, interaktiva laborationer, självrättande tester och prov m.m. Gå gärna in på www.gleerups.se och prova en demo. Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material. Exponent tas fram i samarbete med lärare och elever. Du kan följa utvecklingen av detta arbete genom att gå in på lab.gleerups.se
x
4
Exponent 4 är ett läromedel i matematik för gymnasieskolans program NA och TE. Exponent finns för alla kurser och för alla program i gymnasieskolan.
e ponent
e ponent
y
x
e ponent
,
4 Författare till Exponent 4 är Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson och Bo Silborn. Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på gymnasienivå.
e4_omslag_till_tryck_130103.indd 1
2013-01-10 10.21
Till dig som ska använda boken Exponent 4 Välkommen att börja använda denna matematikbok, skriven för kursen Matematik 4 . Hoppas att du ska tycka det är roligt och utmanande att studera matematik med Exponent! Du som har sett tidigare upplagor av Exponent känner säkert igen dig, men flera viktiga förändringar är gjorda i denna nya upplaga. Här är de viktigaste förändringarna: n
n
n
n
n
Tydligare koppling till ämnesplanen när det gäller Syfte (särskilt vilka matematiska förmågor som tränas) och Centralt innehåll.
Kurs 5
4
3
Genomtänkt samspel mellan bok och webb (lärarens och elevens webb) Repetition av grundskolekursen i början av varje kapitel
2
Fler uppgifter och större variation bland uppgifterna Ny förbättrad layout
1
a
b
c
12 yrkes-
EK, ES, HU, SA
NA, TE
program
Program
Förord
e4.indb 3
3
2013-01-09 14.58
Så här funkar boken Boken har ett tydligt strukturerat upplägg med teorigenomgångar, många och varierande övningar, problemlösning m.m. I boken finns många finesser som du kan ha glädje av när du lär dig matematik.
4
e4.indb 4
Teori och Exempel
Öva I och Öva II
Tydliga teorigenomgångar med många lösta exempel.
Övningar på två svårighetsnivåer.
Tips och Lösningar
Hänvisningar till elevwebben
Till vissa utvalda övningar finns tips längst bak i boken, så att man kan komma en bit på vägen i sin lösning. En del övningar har fullständiga lösningar. Tips markeras med T och lösningar med L .
Med jämna mellanrum finns små symboler som visar när det är lämpligt att gå till webben och träna, se på en genomgång, laborera eller kanske hämta extra material.
Förord
2013-01-09 14.58
Förmågor I det övergripande syftet i ämnesplanen i matematik beskrivs 7 olika matematiska förmågor som du ska få träna på. Varje kurs har sedan ett Centralt innehåll, t.ex. tal, algebra och geometri. För att undervisningen ska bli varierad och för att du ska få ett rikt matematiskt kunnande, har de olika uppgifterna i boken märkts med vilken förmåga de avser att träna. Forskare i Sverige och internationellt anser att här finns den enskilt största förbättringspotentialen för matematikundervisningen, att gå från en procedurbetonad matematik till en mer mångsidig.
Gruppaktivitet, Refl ektera och diskutera samt Utmaning Med jämna mellanrum finns det uppgifter som kräver lite extra tid, eller att man arbetar i grupp. Gruppaktivitet är en omfattande uppgift, ofta med verklighetsanknytning, som ska lösas i grupp. Utmaningar är problem som kräver lite extra. Reflektera och diskutera är ett antal påståenden om matematiska begrepp, som man ska ta ställning till och gärna diskutera i grupp.
1. Begreppsförmåga 2. Procedurförmåga 3. Problemlösningsförmåga 4. Modelleringsförmåga 5. Resonemangsförmåga 6. Kommunikationsförmåga 7. Relevansförmåga
Tester, Blandade övningar och Sammanfattning Sist i varje kapitel finns tester till varje avsnitt. Dessutom finns blandade övningar. Den sista övningen i kapitlet (Öva III) är en omfattande aspektbedömningsuppgift (som finns på nationella prov). Allra sist finns en sammanfattning.
Förord
e4.indb 5
5
2013-01-09 14.59
Bok + webb är allt som behövs Exponent har tidigare bestått av böcker, dvd-skivor, lösningshäften, lärarhandledningar, programinfärgningshäfte, elevwebbar och lärarwebb. Nu gör vi det enklare! Varje kurs har en bok, en elevwebb och en lärarwebb. Det som inte ryms i boken finns på webben! På föregående uppslag har vi försökt beskriva de olika typerna av övningar som finns i boken. Ungefär hälften av bokens övningar ligger under rubriken ÖVA I. De tränar framförallt begrepps- och procedurförmåga. Det räcker alltså inte med att göra dessa övningar för att nå målen för kursen. Men om du gör de andra övningarna tränar du fler förmågor. På elevwebben kan du testa dig själv, träna mer, laborera, se på genomgångar och mycket mer. visar när det kan vara lämpligt att På så sätt blir lärandet mer varierat. Denna symbol gå till webben. För läraren finns en särskild webb med tester, prov, kommentarer m.m. Symbolen visar på övningar i boken vars svar finns på lärarwebben.
6
e4.indb 6
Förord
2013-01-09 14.59
Elevwebben
Lärarwebben
• Teorigenomgångar • Självrättande tester (Ord och begrepp, Koll på kapitlet) • Självrättande prov • Interaktiva laborationer • m.m.
• • • •
Extra övningar Tester Prov Laborationer och gruppövningar • m.m.
Flera böcker i Exponentserien finns även som interaktiva böcker (allt i ett, helt digitalt). Läs mer på www.gleerups.se
Förord
e4.indb 7
7
2013-01-09 14.59
innehåll
2
Funktioner 70
Inledning, 71
2.1 Sammansatta funktioner 72 2.2 Inversa funktioner 76 1
Trigonometri 10
Inledning, 11
1.1 Trigonometriska formler 12 Trigonometriska ettan, 12 Additions- och subtraktionsformler, 17 Dubbla vinkeln, 20 Halva vinkeln, 22 Trigonometriska identiteter, 24 Tangenssumma, 26
1.2 Trigonometriska funktioner 27 Sinus- och cosinusfunktionerna, 27 Förskjuta trigonometriska funktioner, 31 Tangensfunktionen, 35 Summan av två trigonometriska funktioner, 37
1.3 Radianer 40
2.3 Logaritmfunktioner 79 2.4 Absolutbeloppet som funktion 83 Deriverbarhet, 84 Lokal extrempunkt, 85
2.5 Skissning av grafer och tillhörande asymptoter 87 2.6 Algebraiska och grafiska metoder för att lösa reella polynomekvationer av högre grad 92 Algebraiska metoder, 92 Faktorsatsen och restsatsen, 95 Polynomekvationer, 97 Viètes formler, 99 Grafiska metoder, 100
Bevisföring och standard gränsvärden 108 3
Radianer, 40 Cirkelsektor, 43 Trigonometri och radianer, 45
Inledning, 109
1.4 Trigonometriska ekvationer 49
3.1 Bevisföring 110
Ekvationer av typen f (x) = konstant, sinus- och cosinusfunktioner, 49 Ekvationer av typen f (u ) = f (v ), 53 Omskrivning av trigonometriska ekvationer, 56 Mer om trigonometriska ekvationer, 58
Direkt bevis, 110 Indirekt bevis genom omvänd implikation, 111 Indirekt bevis – motsägelsebevis, 112
3.2 Standardgränsvärden 116 Gränsvärden, 116 Standardgränsvärden, 117 sin x Gränsvärdet lim = 1 , 117 x →0 x De exponentiella och logaritmiska standardgränsvärdena, 119
8
e4.indb 8
2013-01-09 14.59
Deriveringsregler och differentialekvationer 128 4
Inledning, 129
4.1 Sammansatta funktioner 130 Sammansatta funktioner, 130 Bevis av kedjeregeln, 131
4.2 Trigonometriska funktioner 134
5.4 Volymberäkning med integraler 196 Allmänna volymsatsen, 196 Rotation kring x-axeln med skivmetoden, 199 Mer om rotationskroppar, 202 Rotation kring y -axeln med skivmetoden, 204 Skalmetoden, 207 6
Komplexa tal 222
Bevis för derivatorna till f (x) = sin x och f (x) = cos x, 134
Inledning, 223
4.3 Exponential- och logaritmfunktioner 139
6.1 Det komplexa talplanet 224
Bevis av derivatan till exponentialfunktionen, 139 Bevis av derivatan till logaritmfunktionen, 140
4.4 Produkt och kvot av funktioner 144 Derivatan av en produkt av två funktioner, 144 Bevis av produktregeln, 145 Derivatan av en kvot av två funktioner, 147 Bevis av kvotregeln, 148
4.5 Differentialekvationer 153 5
Integraler 166
Inledning, 167
5.1 Bestämning av integraler algebraiskt 168
Komplext tal, 226 Komplext talplan, 228 Komplext tal som vektor, 230 Cirkel i det komplexa talplanet, 234 Komplexa tal i polär form, 236
6.2 Komplexa tal och de fyra räknesätten 240 Addition och subtraktion med komplexa tal, 241 Multiplikation, 244 Division, 246 Multiplikation och division med komplexa tal i polär form, 248 de Moivres formel, 250 Komplext ta på formen ez, 252
6.3 Ekvationer 255
Primitiv funktion, 168 Enkla integraler, 171
Polynomekvationer, 257 Mer om polynomekvationer, 261
5.2 Grafiska och digitala metoder för bestämning av integraler 175
Tips 274
5.3 Areaberäkning med integraler 179
Lösningar 276
Arean mellan en kurva och x-axeln, 179 Arean mellan två kurvor, 181 Integralberäkning och areaberäkning, 186 Sannolikhetsfördelning, 188 Slumpvariabel (stokastisk variabel), 188 Täthetsfunktion (frekvensfunktion), 189 Fördelningsfunktion, 190 Normalfördelning, 192
Facit 280
9
e4.indb 9
2013-01-09 14.59
1
Trigonometri
10
e4.indb 10
2013-01-09 14.59
Centralt innehåll n
Hantering av trigonometriska uttryck samt bevis och användning av trigonometriska formler inklusive trigonometriska ettan och additionsformler.
n
Egenskaper hos trigonometriska funktioner.
n
Algebraiska och grafiska metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.
Inledning I kurs 1c definierades de trigonometriska begreppen cosinus, sinus och tangens för en spetsig vinkel utifrån en rätvinklig triangel. I kurs 3c lärde du dig att bestämma samtliga sidor och vinklar i en godtycklig triangel med hjälp av areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen. Du lärde dig även att använda enhetscirkel för att definiera trigonometriska begrepp. Trigonometri spelar en stor roll inom naturvetenskap. Trigonometriska funktioner används till att beskriva vågrörelser, t.ex. fjädersvängningar, växelströmmar, ljudvågor, ljusvågor med mera.
Din första uppgift Undersök funktionen f(x) = a sin kx genom att rita grafen för olika värden på konstanterna a och k. Vilken inverkan har konstanterna a och k?
k apitel 1 ; trigonometri
e4.indb 11
11
2013-01-09 14.59
1.1 Trigonometriska formler Trigonometriska ettan Från den rätvinkliga triangeln har vi följande trigonometriska samband: B b cos A = (närliggande katet till vinkeln A, delat med hypotenusan) c c a a sin A = (motstående katet till vinkeln A, delat med hypotenusan) C c b a tan A = (motstående katet till vinkeln A, delat med närliggande katet) b sin A , sin A = cos (90°– A) = cos B och cos A = sin (90°– A) = sin B Vidare gäller att tan A = cos A
Rätvinklig triangel
A
B
12 . Bestäm a) cos B b) tan A 13 Lösning: Vi ritar en rätvinklig triangel. Eftersom sin A är motstående katet dividerat med hypotenusan så är kateten BC = 12 och hypotenusan AB = 13. 12 Vi markera de sidorna i triangeln 12 a) Eftersom cos B = sin A så är cos B = 13 BC b) Eftersom tan A = måste vi bestämma AC. C AC AC kan bestämmas med hjälp av Pythagoras sats. Skrivsättet | AC| betyder längden av sträckan AC. (egentligen absolutbeloppet av AC).
I en rätvinklig triangel är sin A =
2
2
2
2
2
2
AC + BC = AB AC = AB − BC
13
A
Lös ut |AC|2 Sätt in |AB| = 13 och |BC| = 12
2
AC = 132 − 122 2
AC = 169 – 144 |AC|2 = 25 |AC| = 5
Eftersom AC är en sträcka så är bara den positiva roten intressant.
Då är och tan A = svar: a) cos B =
12
e4.indb 12
12 5
12 13
b) tan A =
12 5
k apitel 1 ; trigonometri
2013-01-09 14.59
I kurs 3c infördes enhetscirkeln, dvs. en cirkel med radien 1. Har cirkeln sin medelpunkt i origo så kan den beskrivas med ekvationen x2 + y2 = 1. För en punkt P = (x, y) på enhetscirkeln gäller att x = cos v och y = sin v.
y
1
P = (x, y) 1
Insättning i cirkelns ekvation ger identiteten cos2 v + sin2 v = 1. Detta samband kallas trigonometriska ettan.
O
y
v x
1
x
Defi nition: TrigonomeTriska eTTan cos2 v + sin2 v = 1
Trigonometriska ettan Bestäm sin v och tan v om cos v = 0,40. Lösning: Ur sambandet cos2v + sin2v = 1 kan vi lösa ut sin v. sin2 v = 1 – cos2 v sinv = ± 1− cos2v
Insättning av cos v = 0,40 ger sinv = ± 1− 0,40 2 = ± 1− 0,16 = ± 0,84 ≈ ±0,92
sinv Med hjälp av sambandet tanv = kan vi bestämma tan v. cos v 0,92 tanv = ± = ±2,3 0,4 svar: sin v = ±0,92, tan v = ±2,3
y
För en punkt P = (cos v, sin v) i första kvadranten på enhetscirkeln gäller att både cos v och sin v är positiva. Speglar vi punkten P i y-axeln får vi en punkt Q1 = (cos (180°– v), sin (180°– v)) i andra kvadranten. Punkterna har samma y-koordinat men x-koordinaterna har motsatta tecken.
1
Q = (−x, y)
P = (x, y) 180°− v
v
v 1
x
Det ger sin (180°– v) = sin v cos (180°– v) = –cos v
k apitel 1 ; trigonometri
e4.indb 13
13
2013-01-09 14.59
y
Speglar vi punkten P i origo får vi en punkt i tredje kvadranten. Att spegla i origo är det samma som en vridning 180°. Det ger sin (180°+ v) = –sin v cos (180°+ v) = –cos v
1
P = (x, y)
180° + v v 1
x
R = (−x, −y)
y
1
Speglar vi punkten P i x-axeln får speglingspunkten samma x-koordinat medan y-koordinaten får motsatt tecken. Att spegla i x-axeln är detsamma som att vrida –2v. Det ger sin (–v) = –sin v cos (–v) = cos v
P = (x, y)
v −v
1
x
S = (x, −y)
TrigonomeTriska samband sin (90°– v) = cos v sin (180°– v) = sin v sin (–v) = –sin v sin (v + 180°) = –sin v cos 2 v + sin 2 v = 1
cos (90°– v) = sin v cos (180°– v) = –cos v cos (–v) = cos v cos (v + 180°) = –cos v sinv tanv = cos v
Förenkla uttryck Förenkla uttrycket sin (–v) + cos (180°– v) + sin (90°– v) + sin (180°– v). Lösning: Vi använder sin (–v) = -sin v, cos (180°– v) = –cos v, sin (90°– v) = cos v och sin (180°– v) = sin v. De ger sin (–v) + cos (180°– v) + sin (90°– v) + sin (180°– v) = = –sin v – cos v + cos v + sin v = 0 svar: sin (–v) + cos (180°– v) + sin (90°– v) + sin (180°– v) = 0
14
e4.indb 14
k apitel 1 ; trigonometri
2013-01-09 14.59
1 2
öva i 1001
1002
1007
För den rätvinkliga triangeln ABC 4 gäller att cos A = 5 Bestäm B a) cos B b) sin (90°– B) C c) tan A
Bestäm det exakta värdet av cos v om 3 v är en trubbig vinkel och sin v = 8 1008 Bestäm cos2 v + sin2 v då a) v = 25,96° b) v = 0,0012° A
Bestäm med hjälp av figuren a) sin v b) cos v c) tan (90°– v)
1009
Bestäm för sin v = 0,18 och utan att bestämma v a) sin (180°– v) b) sin (–v) c) cos (90°– v) d) cos v e) tan v
öva ii
1 2 3
y
P = (0,309, 0,951)
1
1010
v O
1
x
För en vinkel i första kvadranten 4 gäller att sinv = . Bestäm cos v 5 1004 Bestäm med hjälp av trigonometriska ettan 1 a) cos v om sin v = och v är 2 en vinkel i första kvadranten. b) sin u om cos u = –0,32 och u är en vinkel i tredje kvadranten. c) tan v om sin v = –0,43 och v är en vinkel i fjärde kvadranten.
1011
Förenkla a) cos2 v + sin2 (–v). b) 2sin2 (180°– v) + 2 cos2 (180°– v) c) cos2 3v + sin2 3v
1012
Bestäm utan räknare 1 och v är a) tan v då cosv = − 3 en vinkel i andra kvadranten. b) sin v då tan v = 2 och v är en vinkel i tredje kvadranten. T 3 c) cos v då tanv = − och v är 4 en vinkel i fjärde kvadranten.
1013
Bestäm exakt värdet av cos2 v – sin2 v om a) cos v = 1 1 b) sinv = 3 5 c) cosv = − 9
1003
1005
Bestäm cos 20°+ sin 20°.
1006
I vilken kvadrant ligger punkten a) (cos 92°, sin 92°) b) (cos (–43°), sin (–43°)) c) (cos 560°, sin 560°)
2
2
Förenkla a) sin v + sin (180° - v) b) cos v + cos (180° - v)
5 6
k apitel 1 ; trigonometri
e4.indb 15
15
2013-01-09 14.59
1014
1015
1 Bestäm värdet av då cos 2 v 1 a) sinv = 2 2 b) sinv = 5
1016
För vinkeln v som ligger i första 2 kvadranten gäller att sin v = 3 Bestäm det exakta värdet av a) sin (90°– v) b) cos (90°– v) c) sin (90°+ v)
Minsta vinKeL
utManing
Vilken är den minsta vinkel som uppfyller ekvationen sin 3x = cos 7x?
Förenkla cos(90°− x ) ⋅ sin(180°+ x ) ⋅ cos(x − 540°) sin(x − 360°) ⋅ sin 2(90°− x )
cos x ⋅ tan x + sin 2 x . sin x 1018 I triangel ABC är ∠C = 90° och 6 tan A = . Bestäm exakt sin B. 5 1017
Förenkla cos 2 x +
1019
I triangel ABC är AB = AC = 6,0 cm och ∠C = 75°. Bestäm triangelns area.
1 2 3 5
Gruppaktivitet Kordas Längd Rita en enhetscirkel, markera två punkter P = (cos u, sin u) och Q = (cos v, sin v) där 0°≤ v < u ≤ 180°och dra kordan PQ. Bestäm längden av kordan på två olika sätt för olika värden på u och v.
1 2 3 5 6
16
e4.indb 16
2013-01-09 14.59
Additions- och subtraktionsformler Vi ritar en enhetscirkel och markera två punkter P = (cos u, sin u) och Q = (cos v, sin v) där 0°≤ v < u ≤ 360°. Vi drar kordan PQ. y
P
d
Q
u–v u
v x
Längden d av kordan PQ kan uttryckas på två sätt: 1. Vi använder avståndsformeln d 2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2. Den ger d 2 = (cos u – cos v)2 + (sin u – sin v)2 2. Vi använder cosinussatsen c2 = a2 + b2 – 2ab cos C. Den ger d2 = 12 + 12 – 2 · 1 · 1 · cos (u – v) De två uttrycken för d2 representerar längden i kvadrat av samma sträcka PQ, alltså gäller (cos u – cos v)2 + (sin u – sin v)2 = 12 + 12 – 2 · 1 · 1 · cos (u – v) Förenkling ger cos2 u – 2cos u · cos v + cos2 v + sin2 u – 2sin u · sin v + sin2 v = 2 – 2cos (u – v) Vi flyttar om termerna i vänster ledet. Det ger cos2 u + sin2 u + cos2 v + sin2 v – 2cos u · cos v – 2sin u · sin v = 2 – 2cos (u – v) Vi använder trigonometriska ettan på de första termerna i vänster ledet. Det ger 1 + 1 – 2cos u · cos v – 2sin u · sin v = 2 – 2cos(u – v) Ytterligare förenkling ger sambandet cos (u – v) = cos u · cos v + sin u · sin v vilket kallas subtraktionsformeln för cosinus. Från den här formeln kan man härleda ytterligare tre samband. Härledningarna får du göra som en övning. De övriga sambanden är additionsformeln för cosinus: cos (u + v) = cos u · cos v – sin u · sin v additionsformeln för sinus: sin (u + v) = sin u · cos v + cos u · sin v subtraktionsformeln för sinus: sin (u – v) = sin u · cos v – cos u · sin v
addiTions- och subTrakTionsformlerna för cosinus och sinus cos(u + v) = cos u · cos v – sin u · sin v cos(u – v) = cos u · cos v + sin u · sin v sin(u + v) = sin u · cos v + cos u · sin v sin(u – v) = sin u · cos v – cos u · sin v
k apitel 1 ; trigonometri
e4.indb 17
17
2013-01-09 14.59
Additionsformeln för sinus Skriv sin (x + 30°) som en summa. Lösning: Vi använder additionsformeln för sinus. Den ger sin (x + 30°) = sin x · cos 30°+ cos x · sin 30° För cos 30°och sin 30°finns det exakta värden, cos30° = sin (x + 30°) = sin x ⋅
3 1 3 sin x + cos x + cos x ⋅ = 2 2 2
svar: sin (x + 30°) =
3 1 och sin30° = . De ger 2 2
3 sin x + cos x 2
Subtraktionsformeln för cosinus 3 3 Bestäm exakt cos (x – y) när sin x = , cos y = − och vinklarna x och y är i samma kvadrant. 5 5 Lösning: Eftersom sin x > 0 och cos y < 0 är vinklarna x och y i andra kvadranten. Med hjälp av trigonometriska ettan kan vi bestämma cos x och sin y. 3 cos2 x + sin2 x = 1 och sin x = ger 5 9 16 4 2 cos x = 1− = och cos x = − 25 25 5 3 2 2 cos y + sin y = 1 och cos y = − ger 5 4 9 16 2 sin y = 1− = och sin y = 5 25 25
Vinklarna är i andra kvadranten.
Vinklarna är i andra kvadranten.
Subtraktionsformeln cos (x – y) = cos x · cos y + sin x · sin y ger 4 3 3 4 12 12 24 cos(x − y) = − ⋅ (− ) + ⋅ = + = 5 5 5 5 25 25 25 svar: cos(x − y) =
18
e4.indb 18
24 25
k apitel 1 ; trigonometri
2013-01-09 14.59
1 2
öva i 1020
6
1021
1022
öva ii
Skriv som en summa a) cos (x + 45°) b) sin (120°+ u) c) sin (270°– v) d) cos (y – 60°)
1026
Bestäm 1 a) sin v om cosv = och v är en 3 vinkel i första kvadranten. 2 b) cos u om sinu = och u är 5 en vinkel i andra kvadranten. c) cos (u –v) med hjälp av resultaten i a) och b)
1028
3 Beräkna för cosu = , u är en vinkel 5 2 i första kvadranten och cosv = − , 3 v är en vinkel i andra kvadranten ett exakt värde på a) cos (u + v) b) sin (u + v)
1023
Bestäm ett exakt värde på a) cos 15° T b) sin 105°
1024
Förenkla a) sin(x + 30°) + sin(x + 60°) b) sin x + 2 cos (x + 30°)
1025
Förenkla a) sin(30° + v) + sin(30° - v) b) cos(30° - v) - cos(30° + v)
1027
1 2 3
Visa att a) sin (90° – v) = cos v b) cos (90° – v) = sin v
5 6
Visa att cos(45° – v )– sin(45° – v ) = 2 sin v
Visa att 3 sin 70° cos10° –cos 70° sin10° = 2 1029 Härled a) additionsformeln för cosinus. T b) additionsformeln för sinus. T c) subtraktionsformeln för sinus. 1030
Bestäm a) sin 2v T b) cos 2v
1031
I en triangel gäller för de tre vinklarna u, v och w sambandet cos w = sin u · sin v. Vad kan du utifrån sambandet säga om triangelns form? L 4 3 , − 1032 a) Visa att punkterna A = 5 5 12 5 , och B = ligger på enhets13 13 cirkeln. b) Bestäm vinkeln AOB där O är origo.
(
1033
)
(
)
1 3 Skriv om cos x sin x med 2 2 hjälp av a) subtraktionsformeln för sinus T b) additionsformeln för cosinus c) Varför fungerar båda formlerna?
k apitel 1 ; trigonometri
e4.indb 19
19
2013-01-09 14.59
Dubbla vinkeln I övning 1030 har du med hjälp av additionsformeln för sinus respektive cosinus bestämt sinus och cosinus för den dubbla vinkeln 2x. sin 2x = sin (x + x) = sin x cos x + cos x sin x = 2sin x cos x cos 2x = cos (x + x) = cos x cos x – sin x sin x = cos2 x – sin2 x Med hjälp av trigonometriska ettan, cos2 x + sin2 x = 1, kan det sista sambandet även uttryckas som cos 2x = cos2 x – sin2 x = 1 – sin2 x – sin2 x = 1 – 2sin2 x eller som cos 2x = cos2 x – sin2 x = cos2 x – (1 – cos2 x) = 2cos2 x – 1 Vi har tre användbara samband för cosinus för dubbla vinkeln cos2 x – sin2 x cos2x = 2cos2 x – 1 1 – 2sin2 x
dubbla vinkeln sin 2x = 2sin x cos x
cos2 x – sin2 x cos2x = 2cos2 x – 1 1 – 2sin2 x
Dubbla vinkeln I Bestäm sin 2v då sin v = 0,6 och v är en vinkel i andra kvadranten. Lösning: Eftersom sin 2v = 2sin v cos v måste vi bestämma cos v. Det kan vi göra med hjälp av trigonometriska ettan cos2 v + sin2 v = 1. cos2 v = 1 – sin2 v cosv = ± 1− sin2v men v är en vinkel i andra kvadranten så cos v < 0.
sin v = 0,6 ger cosv = – 1– 0,6 2 = – 1– 0, 36 = – 0,64 = –0, 8 Det ger sin 2v = 2 · 0,6 · (–0,8) = –0,96 svar: sin 2v = –0,96
Dubbla vinkeln II Bestäm exakt cos 2x då sin x =
3 och x är en spetsig vinkel. 3
Lösning: 3 ger Vi kan använda sambandet cos 2x = 1 – 2sin2 x. Insättning av sin x = 2 3 3 3 2 1 cos2x = 1– 2 ⋅ = 1– 2 ⋅ = 1– = 9 3 3 3 svar: cos2x =
20
e4.indb 20
1 3
k apitel 1 ; trigonometri
2013-01-09 14.59
1 2
öva i 1034
6
1035
öva ii
Bestäm cos 2v då a) cos v = 0,1 b) sinv = 0,3 2 Bestäm för cos v = och 2 2 sin v = 2 a) sin 2v b) cos 2v
1036
1037
1038
1039
2 Beräkna exakt för sinu = , 5 90°< u <180° a) cos 2u b) sin 2u c) tan 2u Använd formlerna för dubbla vinkeln och beräkna utan räknare a) 2sin 22,5°cos 22,5° b) cos2 22,5°– sin2 22,5° c) 2sin 75°cos 75° Förenkla och beräkna utan räknare a) cos2 15° + sin2 15° b) cos2 15° – sin2 15° c) 1 – 2sin2 15° d) sin 15°cos 15° Visa att
cos 54° = 2 sin18° T cos18°
1040
1 2 3
Uttryck följande tal i a om sin 24°= a a) cos 24° b) sin 48° c) cos 312° d) tan 204° e) sin (–132°)
5 6
1041
Beräkna exakt 3sin 2v + 4cos 2v då 3 90°< v < 180°och tanv = − T 4 1042 Förenkla a) (sin x + cos x )2 – sin 2x sin 4x b) sin 2x v 2 1043 Beräkna exakt för sin = , där v är 2 5 en spetsig vinkel v a) cos b) sin v T 2 1044
Förenkla 1 -cos 2v a) sin 2v b) cos4 v – sin4 v T
1045
Bestäm utan räknare sin v · cos v om 8 cos2v = , 0° ≤ v ≤ 90°. 3
1046
Skriv a) sin 3v som ett uttryck i sin v. b) cos 3v som ett uttryck i cos v. L
k apitel 1 ; trigonometri
e4.indb 21
21
2013-01-09 14.59
Detta avsnitt är överkurs och studeras av den som är intresserad.
Halva vinkeln Sambanden för dubbla vinkeln för cosinus respektive sinus leder vidare till andra användbara trigonometriska samband. x x x I sambandet sin 2v = 2sin v cos v sätter vi 2v = x ⇔ v = . Det ger sin x = 2 sin · cos , 2 2 2 dvs. ett samband där halva vinkeln är involverad. Om vi gör motsvarande insättning i sambanden för cos 2v = 2cos2 v – 1 = 1 – 2sin2 v får vi
x cos x = 2 cos2 − 1 2 2x 2 cos = 1+ cos x 2 1+ cos x 2x cos = 2 2
eller
x 2 2x 2 sin = 1– cos x 2 1− cos x 2x sin = 2 2
cos x = 1– 2 sin2
Lös ut sin2
x 2
samband för halva vinkeln
x x sin x = 2 sin cos 2 2
cos 2
x 1+ cos x = 2 2
sin2
x 1– cos x = 2 2
Halva vinkeln Bestäm exakt sin
x och cos x då cos x = 1 och x är en spetsig vinkel. 2 2 3
Lösning: Vi använder de trigonometriska sambanden för halva vinkeln. 1− 1 2 1− cos x 1 1 2x 2x cos x = och sin = ger sin = 3 = 3 = 2 2 3 2 2 2 3
x 1 = 3 sin = 2 3 3 1 cos x = och cos 2 x = 1+ cos x ger 3 2 2 1 4 1+ x 2 cos2 = 3 = 3 = 2 2 3 2 x 2 6 cos = = 2 3 3 x är en spetsig vinkel, dvs. en vinkel i första kvadranten. Där är både sinusvärdet och cosinusvärdet positivt. Alltså kan vi bortse från den negativa lösningen när vi tar kvadratroten ur båda leden. x x 3 6 och cos = svar: sin = 2 3 2 3
22
e4.indb 22
k apitel 1 ; trigonometri
2013-01-09 14.59
1 2
6
öva i
öva ii
1047
1051
Bestäm för cos v = –0,90, utan att beräkna v och där v är en trubbig vinkel v v b) sin a) cos 2 2 2 1048 cos2x = . Bestäm ett exakt värde för 5 a) cos x b) sin x 1049
1050
11 Bestäm exakt för cosv = , 25 270°< v < 360° v v v b) cos c) tan a) sin 2 2 2 x 1 Bestäm cos x och sin x om cos = 2 4
1052
1053
v 1 Bestäm exakt sin då cosv = och 4 8 v är en spetsig vinkel.
1 2 3 5 6
x 3 Bestäm utan räknare då tan = 2 4 a) sin x b) cos x c) tan x I en rätvinklig triangel ABC är vinkel C rät. Sidan AC har längden 2 och sidan BC längden 3. I en annan rätvinklig triangel DEF är vinkel F rät, sidan DF har längden 12 och sidan EF längden 5. Visa att ∠ABC är exakt hälften så stor som ∠DEF.
23
e4.indb 23
2013-01-09 14.59
Trigonometriska identiteter En identitet är en likhet som gäller för samtliga värden på den/de ingående variablerna. Trigonometriska ettan cos2 v + sin2 v = 1 är exempel på trigonometrisk identitet eftersom likheten är giltig för alla reella värden på vinkeln v. Genom att tillämpa kända trigonometriska och algebraiska identiteter kan andra likheter visas.
Trigonometrisk likhet I Visa likheten
sin x sin x 2 sin x + = 1− sin x 1+ sin x cos 2 x
Lösning: Vi utgår från V. L. och förklarar vad vi använder för operationer och samband för att komma fram till H.L. sin x sin x + = 1− sin x 1+ sin x
Gör liknämnigt.
=
sin x(1+ sin x) sin x(1− sin x) + = (1− sin x)(1+ sin x) (1+ sin x)(1− sin x)
=
sin x(1+ sin x) + sin x(1− sin x) = (1− sin x)(1+ sin x)
sin x + sin2 x + sin x − sin2 x = 1− sin2 x 2 sin x = V.S.V. cos2 x =
Skriv på samma bråkstreck.
Utveckla nämnaren med hjälp av konjugatregeln och täljaren med hjälp av distributiva lagen. Använd trigonometriska ettan i nämnaren.
Trigonometrisk likhet II Visa likheten
1+ cos x − sin2 x = cos x 1+ cos x
Lösning: Vi börjar med VL och använder trigonometriska ettan, 1 – sin2 x = cos2 x. 1+ cos x – sin2 x cos 2 x + cos x = = 1+ cos x 1+ cos x =
24
e4.indb 24
cos x(cos x + 1) = cos x 1+ cos x
Faktorisera täljaren.
V.S.V.
k apitel 1 ; trigonometri
2013-01-09 14.59
1 2 3 5 6
öva ii
1057
Visa följande identiteter och ange även vilka samband som används. 1054
(sin x + cos x)2 = 1 + sin 2x
1055
(cos x + sin x)(cos x – sin x) = = 1 – 2sin2 x.
1056
1 = 1 + tan 2 x cos 2 x
a) 1 − cos x = sin x = tan x T sin x 1 + cos x 2 1 − cos x x b) = tan 2 T 1 + cos x 2
1058
cos 2x = cos x + sin x cos x − sin x
1059
tan x +
1060
sin x 1 1 − =− 1 + cos x sin x tan x
1 2 = tan x sin 2x
Problemlösning
Här har vi samlat ett antal uppgifter där du får möjlighet att utveckla problemlösningsförmåga med fokus på trigonometriska samband.
1 2 3
öva ii 1061
5 6
1062 1063 1064
Bestäm utan räknare värdet av cos2 10°+ cos2 20°+ cos2 30°+ … … + cos2 80°+ cos2 90°.
1065
Bestäm utan räknare värdet 58sin x · cos x om 2sinx = 5cos x. T L
1066
a) Visa att ekvationen sin x + cos x = 1 kan omformas till ekvationen x x x sin cos = sin 2 2 2 2 b) Lös därefter ekvationen. T
1067
I en triangel är förhållandet mellan två vinklar 1:2 och förhållandet mellan vinklarnas motstående sidor 4:5. Bestäm trianglarnas vinklar.
1068
sin x + cos x = a. Bestäm a) sin2 x + cos2 x b) sin3 x + cos3 x
Visa utan räknare att sin 20°· sin 30°= sin 10°· sin 100°. 2 Beräkna exakt sin 4x då cos x = , 5 0°< x < 90°. Sinus för en av basvinklarna i en 2 likbent triangel är . Beräkna 3 topp vinkelns a) sinusvärde b) cosinusvärde c) tangensvärde
Ord och begrepp Koll på avsnittet
k apitel 1 ; trigonometri
e4.indb 25
25
2013-01-09 15.00
tangenssuMMa n
n
utManing
tanu + tanv 1− tanu tanv 3 1 Använd den för att visa att u + v = 45°om tanu = och tanv = 4 7 u och v ligger i första kvadranten. Visa additionsformeln för tangens, tan(u + v) =
1 2 3 5 6
REFLEKTERA OCH DISKUTERA 1.1 Avgör för varje påstående om det är sant, falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt. 1 sin 2v = sin v · cos v 2 cos 2v = cos v – 1 2
1
5 6
3 cos(u + v) = cos2 u – sin2 v 4
sin(u – v) = cosu sin v – sin u cos v
5
cos(180°– v) + sin(180°– v) = cos v – sin v
6
Trigonometriska ettan säger att kvadraten på summan av cosinus för en vinkel och sinus för samma vinkel är lika med 1. Svar med motiveringar finns på lärarwebben.
26
e4.indb 26
2013-01-09 15.00
1.2 Trigonometriska funktioner y
Vi vet att varje vinkel v i en enhetscirkel svarar mot en punkt P på cirkeln. För vinkeln v i intervallet 0°≤ v < 360° får vi samtliga punkter på enhetscirkeln. Koordinaterna för punkten P är (cos v, sin v)
1 P = (x, y)
v
cos v
y
Låter vi strålen OP vrida sig ett varv moturs kommer vi tillbaka till punkten P. Strålen har då vridit sig v + 360° och koordinaterna för punkten P = (cos (v + 360°), sin (v + 360°) ) = = (cos v, sin v)
sin v
1
x
1
x
1 P = (x, y) v 1
x
y
1 P = (x, y)
Vi kan fortsätta att vrida strålen OP medurs eller moturs ett antal multiplar av 360°. Koordinaterna för punkten P = (cos (v + n · 360°), sin (v + n · 360°)) = (cos v, sin v) där n är ett heltal.
v
sin(v + n · 360°) = sin v, cos(v + n · 360°) = cos v, n heltal
Sinus- och cosinusfunktionerna När vi låter en stråle OP med längden 1 rotera utefter enhetscirkeln moturs kommer vinkeln v att anta alla reella gradtal ≥ 0°. Är rotationen istället medurs antar vinkeln v alla reella gradtal < 0°.
Gruppaktivitet 1
trigonoMetrisKa grafer 1 n
4
Rita ett koordinatsystem och låt x-axeln representera vinkeln v när strålen OP roterar utefter enhetscirkeln. Låt y-axeln representera sinusvärdena i punkterna P.
n
Gradera axlarna så att ni kan rita en funktion f(x) som visar hur sin x varierar då vinkeln x ändras från 0°till 360°.
n
Markera lämpliga punkter och bind samman till en graf. Vilken värdemängd har funktionen?
n
Välj nu även x-värden utanför intervallet 0°≤ x < 360°, markera motsvarande punkter i koordinatsystemet och bind samman till en graf. Beskriv med ord grafen.
6 7
k apitel 1 ; trigonometri
e4.indb 27
27
2013-01-09 15.00
När punkten P roterar utefter enhetscirkeln så kan sambandet mellan rotationsvinkeln v och sin v i punkten P avsättas i ett koordinatsystem. På x-axeln markerar vi vinkeln v och på y-axeln, värdet på sin v. Avsättningen resulterar i följande bild. y y
1 y = sin x 150° 90° 45°
180°
x
240°
0
90° 180° 270° 360° 450° 540° 630°
x
315° 270° –1
Grafen visar funktionen f(x) = sin x. Funktionen n
är kontinuerlig och definierad för alla reella x, dvs. definitionsmängden D = R.
n
antar alla värden mellan –1 och 1, dvs. värdemängden V = {y R: –1 ≤ y ≤ 1}.
n
är periodisk, dvs. grafens utseende är likadant i varje period med längden 360°. Man säger att funktionen har perioden 360°.
n
svänger symmetrisk kring x-axeln, dvs. x-axeln är funktionens symmetrilinje. Man säger att funktionen har amplituden 1. Med amplitud menas största avstånd från funktionens symmetrilinje till maximi- och minimipunkterna.
n
har en maximipunkt och en minimipunkt i varje period.
Vi kan även rita ett samband mellan rotationsvinkeln v och cos v i ett koordinatsystem. Det sambandet illustreras av grafen till funktionen f(x) = cos x. För funktionen f(x) = cos x gäller att den är kontinuerlig, har samma definitionsmängd, värdemängd, period och amplitud som f(x) = sin x men är förskjuten 90°i negativt x-led.
y
1 y = cos x
0 90° 180° 270° 360° 450° 540° 630°
x
–1
De två trigonometriska funktionerna f(x) = sin x och f(x) = cos x är kontinuerliga och har n definitionsmängd R n värdemängd –1≤ y ≤ 1 n period 360° n amplitud 1
28
e4.indb 28
k apitel 1 ; trigonometri
2013-01-09 15.00
Gruppaktivitet 1
trigonoMetrisKa grafer 2
4
I den här uppgiften ska ni undersöka perioden hos trigonometriska funktioner. Ni bör använda ett datorprogram (t.ex. GeoGebra) eller en grafritande räknare.
6 7
Börja med att rita funktionen f(x) = sin x. Rita därefter följande fyra funktioner och jämför respektive funktions period med perioden för f(x) = sin x. Ange funktionernas period och avsluta med att sammanfatta hur man bestämmer en funktions period. 22xx x f (xx))==sin sin n f(x) = sin 2x n f(x) = sin 3x n f (x) = sin nn f ( 33 2
Funktions period Bestäm perioden för funktionen f (x) = cos
3x 2
Lösning: Cosinusfunktionen f(x) = cos x har perioden 360°, vilket är detsamma som 0°≤ x ≤ 360°. 3x För f (x) = cos gäller då att 0° ≤ 3x ≤ 360°. Vi bestämmer vilka värden x variera mellan 2 2 3 2 2 ⋅ 360° genom att multiplicera i alla led med inverterade talet till , dvs. . Den ger att 0° ≤ x ≤ 2 3 3 vilket är detsamma som 0°≤ x ≤ 240°. Perioden är 240°. svar: Perioden är 240°.
Funktions amplitud Bestäm amplituden för funktionen f(x) = 1,5 sin x. Lösning: Vi jämför med funktionen y = sin x som har amplituden 1 och perioden 360°. När x antar alla värden i ett intervall med längden 360°kommer funktionen f(x) = 1,5 sin x att anta alla värden från –1,5 till 1,5. Amplituden är 1,5. svar: Amplituden är 1,5
Funktionen f(x) = Asin kx har perioden
360o och amplituden A. k
k apitel 1 ; trigonometri
e4.indb 29
29
2013-01-09 15.00
1 2
öva i
öva ii
1069
1073
Bestäm perioden för funktionen f då a) f (x ) = cos 3x b) f (x ) = sin 6x 5x c) f (x ) = 2 sin 3 x d) f (x ) = − cos 2 1070 Bestäm amplituden A och perioden P för funktionen g då a) g (x ) =1, 5 sin 0, 5x b) g (x ) =10 cos 5x sin 0,1x c) g (x ) = 10 d) g (x ) = −0, 5 cos1, 5x 1071
y
Bestäm med hjälp av grafen till funktionen f (x) = sin x funktionerna för kurvorna a, b och c.
a
1074
Bestäm största och minsta värde av funktionen f då a) f (x) = 2sin x x b) f (x) =10 cos 2 c) f (x) = 2sin 2x + 1 d) f (x) = 3 – 4cos 2,5x
1075
Ange en cosinusfunktion f (x) som har perioden 60°samt största värde 0,6 och minsta värde –0,6.
1076
Bestäm med motivering antal extrempunkter som funktionen a) f (x) = 4cos 5x har i intervallet 0°≤ x < 360°. b) f (x) = 2 sin 4x har intervallet –30°≤ x ≤ 30°.
1077
Avgör med motivering vilken av graferna som beskriver funktionen f (x) = –sin (–2x).
y = sin x
1
b 90° 1
180°
270°
360
450°
x
540°
c
1072
Para ihop funktionerna i a) till d) med rätt graf 1 – 4. a) f (x) = –sin x b) f (x) = sin 2x c) f (x) = 0,5 sin x d) f (x) = sin 0,5x
Ange en sinusfunktion f (x) som har a) amplituden 4 och perioden 120° b) amplituden 0,5 och perioden 450° c) amplituden 1,25 och perioden 90° d) amplituden 0,6 och perioden 60°
1
y 1
2 90°
180°
3
5 6
y 1
270° 360° x
–1
1 2 3
90°
180°
270° 360° x
90°
180°
270° 360° x
–1
4
y 1
y 1
y
3
1
1
90°
180°
270°
–1
30
e4.indb 30
360°
450°
2 90°
540°
4
x
–1
1078
180°
270° 360° x –1
Bestäm amplitud och period till funktionen f (x) = sin2 x.
k apitel 1 ; trigonometri
2013-01-09 15.00
Förskjuta trigonometriska funktioner Vi ritar graferna till f(x) = sin x och g(x) = cos x i samma koordinatsystem. y
1 0,8 0,6 0,4 0,2
–90°
90° –0,2
180°
270°
360°
x
450°
–0,4 –0,6 –0,8 –1
Båda funktionerna har perioden 360°, värdemängden –1 ≤ y ≤ 1 och svänger symmetriskt kring x-axeln. Men den ena grafen är en förskjutning i x-led av den andra grafen. Förskjuter vi grafen till f(x) = sin x 90°åt vänster kommer den att sammanfalla med grafen till g(x) = cos x. Alltså kan vi skriva g(x) = cos x = sin (x + 90°). Förskjuter vi grafen till g(x) = cos x 90°åt höger kommer den att sammanfalla med grafen till f(x) = sin x. Det ger att f(x) = sin x = cos (x – 90°). En graf kan inte bara förskjutas i x-led utan även i y-led. Jämför med förskjutning av andragradskurvor i kurs 2. Funktionen f(x) = (x – 2)2 + 4 är förskjuten 2 steg åt höger i x-led och 4 steg uppåt i y-led jämfört med f(x) = x2. När man beskriver en funktion som är förskjuten är det viktigt att tala om vilken funktion man jämför med. Funktionen f(x) = sin x + 1 har perioden 360°. Grafen till funktionen är förskjuten 1 steg uppåt i y-led jämfört med f(x) = sin x. Den svänger kring linjen y = 1 och värdemängden är 0 ≤ y ≤ 2. Funktionen f(x) = Asin k(x + B°) + C har samma amplitud A och period P som f(x) = Asin kx men är förskjuten B°i x-led och C steg i y-led jämfört med den.
y 2
y = sin x + 1
1
0°
90°
180°
270°
360°
x
360 , k ≠ 0. k Den är förskjuten B°i x-led och C steg i y-led jämfört med funktionen f(x) = Asin kx. Funktionen f(x) = Asin k(x + B°) + C har amplituden A och perioden P =
k apitel 1 ; trigonometri
e4.indb 31
31
2013-01-09 15.00
Amplitud, period och förskjutning a) Ange för funktionen f(x) = 1,5sin (2x – 20°) – 0,5 perioden P, amplituden A och förskjutning jämfört med funktionen f(x) = 1,5sin 2x. b) Ange funktionens värdemängd. c) Kring vilken linje svänger grafen till funktionen? Lösning: a) Vi skriver om funktionen som f(x) = 1,5sin 2(x – 10°) – 0,5 och jämför den med f(x) = 1,5sin 2x. Vi ser då att amplituden är 1,5 och perioden är 180°. Förskjutningen är 10°i positivt x-led och 0,5 steg i negativt y-led. b) Funktionen f(x) = 1,5sin 2x har värdemängden –1,5 ≤ y ≤ 1,5. Förskjutningen i y-led ger att f(x) = 1,5sin (2x – 20°) – 0,5 har värdemängden –2,0 ≤ y ≤ 1,0. c) Eftersom funktionen är förskjuten –0,5 steg i y-led så kommer den att svänga kring linjen y = –0,5. svar: a) Funktionen har perioden 180°, amplituden 1,5 samt är förskjuten 10°i positivt x-led och 0,5 steg i negativt y-led. b) Funktionens värdemängd är –2,0 ≤ y ≤ 1,0. c) Funktionen svänger kring linjen y = –0,5.
Maximi- och minimipunkter Bestäm maximi- och minimipunkter för funktionen f(x) = 2cos (x + 45°) för 0°≤ x ≤ 360°. Lösning: Funktionen har perioden 360°, amplituden 2 och ingen förskjutning i y-led. Alltså har den maximivärde 2 och minimivärde –2. Den är förskjuten 45°åt vänster jämfört med funktionen f(x) = 2cos x. Den funktionen har maximipunkter för x = n · 360°och minimipunkter för x = 180°+ n · 360°. De punkterna är för f(x) = 2cos (x + 45°) förskjutna –45°. Alltså har den maximipunkter för x = –45°+ n · 360°och minimipunkter för x = 180°– 45°+ n · 360°. Men vi söker punkter i intervallet 0°≤ x ≤ 360°. n = 1 ger maximipunkten (315°, 2) och n = 0 ger minimipunkten (135°, –2). svar: Maximipunkten är (315°, 2) och minimipunkten är (135°, –2).
32
e4.indb 32
k apitel 1 ; trigonometri
2013-01-09 15.00
1 2
öva i
c)
Ange funktionernas amplitud och period. a) f (x) = 1,2sin 4x b) f (x) = –3,7cos 1,5x 3 x − 30o c) f (x ) = sin 4 3 2x d) f (x ) = 1 − cos 9 1080 Ange nollställena till funktionen f (x) om a) f (x) = sin(x + 30°) b) f (x) = 2sin(x - 10°) c) f (x) = sin(2x - 40°) d) f (x) = sin 2(x + 20°)
y
1079
1081
Grafen visar funktionen f (x) = Asin k(x + B°). Bestäm A, k och B. a) y 1 0,5
–120° –60° –0,5
60° 120° 180° 240° 300° 360° x
–1
b) y 1,5 0,5 0,5
–120° –60° –0,5
1 0,5
–120° –60° –0,5
60° 120° 180° 240° 300° 360° x
–1
1082
Bestäm för respektive funktion amplitud, period och förskjutning jämfört med lämplig graf. a) f (x) = 1,5cosx + 1 b) f (x) = cos (x – 30°) c) f (x) = 2,5sin(x + 25°) d) f (x) = 2cos (x – 45°) – 1
1083
Bestäm kring vilken linje funk tionen svänger samt ange funktionens värdemängd. a) g(x) = 3,5sin 2x – 2 b) g(x) = 5 – cos (x – 90°) c) g(x) = 0,7sin (3x – 15°) + 1,3 x d) g (x ) = 2, 3 + 3, 5 cos 2 1084 Ange funktionernas maximi- och minimipunkter för 0°≤ x ≤ 360°. a) f (x ) = 5sin(x + 20o ) x b) f (x ) = 3 sin 2 c) f (x) = 1 – 0,5cos(x + 50°) d) f (x) = 2,75sin 3(x + 15°) + 0,25
60° 120° 180° 240° 300° 360° x
–1 –1,5
k apitel 1 ; trigonometri
e4.indb 33
33
2013-01-09 15.00
1 2 3 4 5 6
öva ii 1085
1086
1089 Bestäm amplitud, period, förskjut-
2
y
y
1
1
b)
90° 180° 270° 360° x
–1
–1
–2
–2
3
90°
180°
270°
360°
x
90°
180°
270°
360°
x
90°
180°
270°
360°
x
–1
90° 180° 270° 360° x
y 1
4
y
y
1
1 90° 180° 270° 360° x
–1 90° 180° 270° 360° x
–1
–1
–2
–2
a) Vilken graf visar funktionen f (x) = 2 sin (x – 180°). Motivera ditt svar. b) Avgör vilka funktioner de övriga tre graferna representerar genom att bestämma period, amplitud och förskjutningar.
e4.indb 34
1
Graferna visar fyra olika funktioner. 1
34
ning samt funktionen som beskriver grafen. a) y
Beskriv med en funktion, en sinusfunktion som har amplituden 1, perioden 180° och nollställen för x = –45° + n° · 180°.
1087
Bestäm amplitud och period till funktionen f (x) = 4 sin x cos x.
1088
a) Skriv ekvationen för en trigonometrisk funktion f (x) som har amplituden 1,5, är förskjuten 30°i negativt x-led och 0,5 steg uppåt jämfört med f (x) = cos 3x. b) Vilken värdemängd har funktionen? c) För vilka x i intervallet 0°≤ x ≤ 360°är funktionen växande?
c)
y 1
–1
1090
Bestäm värdemängden till funktionen f (x) = 2cos 2x – sin2 x. T
utManing period Vilken period har funktionen f(x) = sin 2x + cos 3x?
1 2 3 5 6
k apitel 1 ; trigonometri
2013-01-09 15.00
Tangensfunktionen sin x är inte definierad när cos x = 0, dvs. när x = 90°+ n · 180°. cos x Funktionen f(x) = tan x har då definitionsmängden D = {x R: x ≠ 90°+ n · 180°}. Vi undersöker funktionens värdemängd genom att låta vinkeln x växa från –90°till 90°.
Kvoten tan x =
x
–90°
–89°
–60°
–45°
–30°
0°
30°
45°
60°
89°
90°
tan x
Ej def.
–57,3
–1,7
–1
–0,58
0
0,58
1
1,7
57,3
Ej def.
Vi ser att funktionsvärdena är växande i intervallet –90°< x < 90°. När x närmar sig –90° kommer tan x närma sig –∞, och när x närmar sig 90°går tan x mot ∞. Det kan vi uttrycka med två gränsvärden: lim tan x = −∞ och lim tan x = ∞ x →−90°
x →90°
Väljer vi ett annat intervall av formen –90°+ n · 180°< x < 90°+ n · 180°kommer vi att få samma funktionsvärden och gränsvärden. Funktionens värdemängd är därför de reella talen R och den har perioden 180°. Det kan vi även se om vi ritar grafen till funktionen f(x) = tan x. Funktionen är kontinuerlig för –90°+ n · 180°< x < 90°+ n · 180°och grafen närmar sig linjerna x = 90°+ n · 180°. Dessa linjer kallas asymptoter till funktionen. y 4 3 2 1 –270° –180°
–90° –1
90°
180°
–2 –3 –4
270°
x
Funktionen f(x) = tan x har n definitionsmängden D = { x R: x ≠ 90°+ n · 180°} n perioden 180° n värdemängden R n asymptoterna x = 90°+ n · 180°
Period och asymptoter Bestäm period P, definitionsmängd D och asymptoter till funktionen f(x) = tan 2x. Lösning: Funktionen f(x) = tan x har perioden 180°, dvs. –90°< x < 90°. Då gäller för f(x) = tan 2x att –90°< 2x < 90°, vilket är detsamma som –45°< x < 45°. Alltså är perioden P = 90°. Definitionsmängden D = {x R: x ≠ 45°+ n · 90°} Assympoterna är de linjer där x inte är definierad, dvs. linjerna x = 45°+ n · 90°. svar: P = 90°, D = {x R: x ≠ 45°+ n · 90°} och asymptoterna är linjerna x = 45°+ n · 90°.
k apitel 1 ; trigonometri
e4.indb 35
35
2013-01-09 15.00
öva i
1 2
2
Ange period och definitionsmängd. a) f (x) = tan 3x x b) f (x ) = tan 2 2x c) f (x ) = 4 tan 3 x − 90° d) f (x ) = tan 5 1092 Bestäm funktionernas asympoter. a) f (x) = tan(x – 45°) b) f (x) = 2tan x c) f (x) = –1,5tan (x + 30°) x − 50° d) f (x ) = tan 2
y 4 3
1091
2 1 –270° –180°
90°
180°
270° x
90°
180°
270° x
90°
180°
270° x
–2 –3 –4
3
y 4 3 2 1 –270° –180°
–90° –1 –2 –3 –4
4
y 4 3 2 1 –270° –180°
–90° –1 –2
öva ii
1 2 3
–90° –1
–3 –4
1093
Graferna visar fyra olika funktioner. 1
6
a) Vilken graf visar funktionen f (x) = tan(90°– x)? Motivera ditt svar. b) Avgör vilka funktioner (av typen y = tan a(x–b)) de övriga tre graferna representerar genom att bestämma period och asymptoter.
y 4 3 2 1 –270° –180° –90° –1
90°
180°
270° x
–2 –3 –4
1094
Bestäm period, definitionsmängd, värdemängd, eventuella asymptoter samt rita 1 grafen till funktionen f (x ) = tan x
Gruppaktivitet
funKtioners suMMa
I den här uppgiften ska ni undersöka vad som händer när man adderar en sinusfunktion och en cosinusfunktion. Ni bör använda ett datorprogram (t.ex. GeoGebra) eller en grafritande räknare. Börja med att rita funktionen f(x) = sin x + cos x och undersök period, amplitud, förskjutning. Jämför även med andra funktioner. Undersök därefter på samma sätt följande funktioner x x n f(x) = sin x – cosx n f(x) = 3sin x + 4 cos x n f(x) = sin 2x – 2 cos 2x n f(x) = 2 sin + 3 cos 2 2 Avsluta er undersökning genom att försöka formulera en slutsats.
36
e4.indb 36
1 2 3 4 5 6
k apitel 1 ; trigonometri
2013-01-09 15.00
■ ■ ■
y = f(x) f(x d y c
Exponent svart för yrkesprogrammen (kurserna 1a, 2a) Exponent gul för EK, ES, HU och SA (kurserna 1b, 2b, 3b) Exponent röd för NA och TE (kurserna 1c, 2c, 3c, 4, 5)
Till de olika böckerna finns även en webb för eleverna som innehåller teorigenomgångar, interaktiva laborationer, självrättande tester och prov m.m. Gå gärna in på www.gleerups.se och prova en demo. Till Exponent finns även ett rikt material till läraren på en lärarwebb. Här finns extra uppgifter, prov, laborationsförslag och annat kompletterande material. Exponent tas fram i samarbete med lärare och elever. Du kan följa utvecklingen av detta arbete genom att gå in på lab.gleerups.se
x
4
Exponent 4 är ett läromedel i matematik för gymnasieskolans program NA och TE. Exponent finns för alla kurser och för alla program i gymnasieskolan.
e ponent
e ponent
y
x
e ponent
,
4 Författare till Exponent 4 är Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson och Bo Silborn. Alla tre är lärare med mångårig erfarenhet av undervisning i matematik på gymnasienivå.
e4_omslag_till_tryck_130103.indd 1
2013-01-10 10.21