MATTE
MATTE
4 4
MATTE
4 4 a 4 4 4 4
ISBN 978-91-27-43388-5
4 4
a 4 4 b 2 4 b 2 4 3 c 4
2
1
3 5 6
6 d 8
e
6 d 8 4 e
f
4
12 11 10 9 4
3 4
5
4 4 2 4
9
6
10
5
7
8 2
1
3 12 11
c
3 4 6 d 8 c
7
Olsson · Johansson
MatteUtmaning 4 – 6 är en fristående del i serien och fungerar för alla, oavsett vilket övrigt material som används i klassrummet.
a
5
MatteUtmaning ger elever möjlighet att lära sig mer matematik, men framför allt att öka intresset och få dem att uppleva att matematik är spännande och roligt! MatteUtmaning är en bok för alla elever som behöver nya utmaningar i matematik i stället för att räkna fler uppgifter av samma sort. Här finns varierande uppgifter med problemlösning, logiskt tänkande och taluppfattning, men även historik kring hur man räknade förr, aktiviteter med undersökningar, samt smart huvudräkning. Eleverna kan arbeta självständigt med hjälp av ledtrådar och facit med förklaringar som finns i boken. Men låt dem gärna arbeta tillsammans, det lockar fram viktiga matematiska resonemang kring uppgifterna.
b 2 4
8
Ingrid Olsson · Cecilia Johansson
e
4 4
f
2 44
f
2 4
Ingrid Olsson Cecilia Johansson
9 789127 433885
EldoradoUtmaning5_omslag_original.indd 1
2015-06-30 16:06
MatteUtmaning5_inlaga.indd 3
2015-06-30 15:34
Innehåll Kapitel 1 5
Kapitel 5 43
A LGEBR A MED EK VAT IONER
BR Å K , PROCENT OCH DECIM A LTA L
Algebraiska uttryck 6 Likheter 8 Ekvationer 9 Talföljder 10 Undersök algebra 11 Huvudräkning, dela olika 12
Tiobas och fembas 44 Bråk 46 Proportionalitet 50 Undersök ÷ 11 51 Förkorta bråk 52
Kapitel 2 13 TA L I DECIM A L F ORM OCH PROCEN T
Taluppfattning, problemlösning 14 Procent 18 Undersök × och ÷ 20 Huvudräkning, procent, bråk och decimalform 22
Kapitel 3 23
Kapitel 6 53 S T OR A TA L
Stora tal, tiopotenser, textuppgifter 54 Funktioner 58 Problemlösning 60 Undersök, ändra positioner 61 Huvudräkning, stora tal 62
Kapitel 7 63 KOORDIN AT ER , OMK RE T S, A RE A OCH T ID
Area, problemlösning 24 Gamla areaenheter, problemlösning 26 Undersök tesselering 29 Area, dela upp figurer 31
Koordinater 64 Äldre talsystem, babylonierna 67 Tid, problemlösning 68 Omkrets, uppskatta 70 Undersök omkrets med mäthjul 71 Huvudräkning, tidsdifferenser 72
Kapitel 4 33
Kapitel 8 73
T E X T UPP GIF T ER , SÖK A FA K TA
DI AGR A M, L ÄGE SM ÅT T OCH S A NNOL IK HE T
OCH DECIM A LTA L
Samband mellan °F och °C 74 Lägesmått 76 Sannolikhet 77 Problemlösning 79 Undersök magiska kvadrater 80 Huvudräkning, lika tal 82
V INK L A R , A RE A OCH GEOME T RISK A K ROPPA R
Logiskt tänkande 34 Japansk multiplikation 36 Jämförpriser, söka fakta 38 Undersök, vinklar i månghörningar 40 Huvudräkning vid decimaler, × och ÷ med 10 och 100 42
Ledtrådar 83 Facit 88
MatteUtmaning5_inlaga.indd 3
2015-06-30 15:34
Välkommen till Matte Utmaning åk 5! Vad roligt att du ska arbeta med den här boken. Hoppas att du gillar utmaningarna. I alla kapitel finns det problemlösningsuppgifter och sidor med rubrikerna Undersök, samt Tänk smart där du får tips på huvudräkningsknep.
Problemlösning är huvudmålet Du får träna alla dina kunskaper i räknande, geometri, statistik och algebra för att kunna använda dem när du ska lösa olika typer av problem. Men att lyckas med problemlösning handlar också mycket om att våga pröva, använda sin fantasi och att kunna dra slutsatser. Allt det får du också träna här och då blir det ännu roligare att möta nya utmaningar.
Uppgifter med text Ha inte för bråttom vid textuppgifter. Följ gärna en bestämd arbetsgång, t ex:
1 Läs hela uppgiften noga och berätta för dig själv vad som händer i uppgiften. 2 Ta reda på vad det frågas efter. 3 Läs en mening i taget och rita eller anteckna vad du får veta. Tänk på att rita enkelt, t ex kan
representera tre hästar eller tre bilar.
4 Skriv lösningen på mattespråket och räkna ut svaret. 5 Reflektera över om svaret är rimligt innan du lämnar uppgiften. Är svaret orimligt så försök hitta felet. Är det ett räknefel? Är det ett tankefel?
Ledtrådar Hur noga man än läser så kan det ibland vara svårt att veta hur man ska lösa en uppgift. Till många av uppgifterna finns därför ledtrådar, en hjälp med hur du kan komma igång. Om symbolen L står framför uppgiftens nummer, så finns det en ledtråd, t ex ”Jämför streckgubben och ramen.” När du har läst ledtråden, så kanske du kommer på lösningen till uppgiften. Ledtrådarna hittar du på s 83–87.
Facit På s 88–96 finns facit och du får själv rätta dina uppgifter. Om ditt svar inte stämmer, så titta på din lösning och kontrollera om du gjort något räknefel eller om du tänkt fel. Stämmer det ändå inte, så jämför med någon kamrat som också räknar i den här boken. Tillsammans kan ni säkert komma fram till rätt svar. Du får alltså gärna arbeta tillsammans med en kamrat och resonera om uppgifterna. Vi hoppas att du ska lära dig mycket matematik, men framför allt att du ska tycka att det är roligt och spännande med matematik och bli ännu mer intresserad. Ingrid och Cecilia
4
MatteUtmaning5_inlaga.indd 4
2015-06-30 15:34
Kapitel
Du får bara flytta ett mynt.
Sex mynt ligger så här. Ta ett av mynten och flytta det så att båda raderna, lodrätt och vågrätt, har fyra mynt. Du får bara flytta ett mynt. 5
MatteUtmaning5_inlaga.indd 5
2015-06-30 15:34
L
1 a) Vilket av uttrycken visar figurens omkrets? A 6a
B 7a
C 9a
a a
D 10a
Kontrollera att du har rätt svar innan du fortsätter.
b) Hur lång är omkretsen om triangelns sida är 5 cm? c) Hur lång är sidan a om omkretsen är 126 cm? L
2 En ananas kostar a kr. Ett päron är 10 kr billigare. a) Skriv ett uttryck för vad frukterna på fatet kostar tillsammans. b) Hur mycket kostar de fyra frukterna om en ananas kostar 17 kr? c ) Hur mycket kostar en ananas om alla frukterna tillsammans kostar 40 kr? 3 En apelsin kostar a kr. Alla fyra frukterna kostar (4a + 6) kr. a) Hur mycket mer kostar en banan än en apelsin? b) Hur mycket kostar en banan om alla frukterna kostar 22 kr? 4 Spela Algebratoppen. a) Du behöver två tärningar 1–6 i två färger. Skriv av protokollet. Om du t ex har en grön tärning i stället för en röd så byt ut alla R mot G för grön. Spelet går ut på att få så många poäng som möjligt. Regler: Slå en röd (R) och en vit (V) tärning samtidigt. I vilket uttryck ger dessa tal mest poäng? I varje omgång väljer du alltså på vilken rad du skriver in tärningstalen. Beräkna hur många poäng uttrycket ger och skriv in det. Efter sex slag är omgången klar. Räkna ut poängsumman. Subtrahera eventuella minuspoäng.
Omgång 1
Omgång 2
Tärningstal Poäng Tärningstal 2R
R=V=
R=V=
2V
R=V=
R=V=
2 (R − V)
R=V=
R=V=
2 (V − R)
R=V=
R=V=
Par
R=V=
R=V=
Tal i följd R = V =
R=V=
Summa poäng
Par, t ex Tal i följd, t ex
, ger 20 poäng , ger 12 poäng
Vilket är ditt rekord efter några omgångar? Om ni är två som spelar tillsammans, så turas om att slå. L
6
b) Spela med två tärningar 0–9 i två färger. Vilken är den högsta poäng du kan få?
• KAPITEL 1
MatteUtmaning5_inlaga.indd 6
2015-06-30 15:34
5 Tänk på ett valfritt heltal. Dubblera talet. Addera 10. Dividera med 2. Subtrahera det tal som du tänkte på från början.
Tänk på ett heltal. Ok!
a) Vilket tal har du nu? b) Gör samma beräkning fler gånger och pröva med talen 40, 27 och 120. Vilka sluttal får du? c ) Varför blir det alltid samma tal kvar? Visa hur det blir om du skriver a för det tal du väljer från början. 6 a) En bakterie delar sig en gång var 20:e minut. Vid varje delning blir det alltså dubbelt så många bakterier. Hur många bakterier ger en enda bakterie upphov till efter 3 timmar? L
L
b) Efter 4 timmar är det 4 096 bakterier. När var det hälften så många bakterier? 7 Antalet apelsiner som läggs i en låda fördubblas för varje minut. Efter 7 minuter är lådan full. a) När var lådan halvfull? b) När var lådan fylld till en fjärdedel?
Tänk till nu!
KAPITEL 1 •
MatteUtmaning5_inlaga.indd 7
7
2015-06-30 15:34
L
8 Hur mycket väger kuben, klotet respektive cylindern i var och en av uppgifterna? Visa hur du löser uppgifterna. a) 15 kg
9 kg
A
B
C
b) 14 kg
12 kg
A
B
C
c) 22 kg
15 kg
A
B
C
d) 10 kg
A
B
C
e) 24 kg
A
8
B
C
• KAPITEL 1
MatteUtmaning5_inlaga.indd 8
2015-06-30 15:34
Vilket var enklast?
Lös uppgifterna, både med och utan hjälp av ekvationer.
Tänk efter noga vad du ska välja som x, så att räknandet blir enkelt. Kontrollräkna sedan.
2 8 08 04 6
17 3
62 8 9
0
4
1
7
10 Det är fyra personer på ett foto. Lisa är 42 år och dubbelt så gammal som Lukas. Han är tre gånger så gammal som Anton och 5 år äldre än Elsa. Hur gammal är varje person?
5
L
9 I ett rum finns fyrbenta stolar och trebenta pallar. Det är totalt 16 sitsar och 58 ben. Hur många stolar och hur många pallar är det i rummet?
3 5
L
L
11 Tre systrar är 11 år tillsammans. Moa är dubbelt så gammal som Rut och 1 år yngre än Ida. Hur många år är var och en av systrarna?
L
12 Personerna A, B och C ska dela på 7 000 kr. B får dubbelt så mycket som A. C får 1 000 kr mer än A. Hur mycket får var och en?
L
13 Astrids kanin åt 80 små morötter på fem dagar. Varje dag åt kaninen fyra morötter fler än dagen innan. Hur många morötter åt kaninen den första dagen?
Att använda ekvationer är ofta en smart metod.
KAPITEL 1 •
MatteUtmaning5_inlaga.indd 9
9
2015-06-30 15:34
Talföljder Vid alla aritmetiska talföljder gäller det att uppfatta mönstret, dvs regeln som ger själva sambandet mellan talen. Pröva alltid att regeln stämmer på de givna talen innan du fortsätter en talföljd. Om talen i en talföljd inte har något samband, så är talföljden inte aritmetisk, t ex
1
9
13
73.
Skriv gärna ut skillnaden mellan talen, t ex:
1
6
7
13
6
19
6
Ibland ändras även skillnaden, den blir som en egen talföljd, t ex:
1
3
4
6
10
3
3
9
19
12
31
3
14 Skriv av varje talföljd. Skriv regeln. Fortsätt talföljden. a) 3
20
37
54
Regel:
b) 1
3
7
13
Regel:
c) 1
2
5
10
17
L
d) 2
3
5
9
16
L
e) 1
4
13
33
69
Regel:
f ) Skriv två egna talföljder och regler för var och en.
FIBONACCISERIEN En välkänd talföljd är Fibonacciserien som matematikern Fibonacci presenterade i Liber Abaci ca år 1200. Det märkliga är att dessa tal kan avläsas i naturen, t ex som antalet ”spiraler” i solrosor och tallkottar.
15 Lista ut regeln och fortsätt Fibonacciserien. Regel: 0 1 1 2 3 5 8 13
10
• KAPITEL 1
MatteUtmaning5_inlaga.indd 10
2015-06-30 15:34
! KALENDER
16 Addera talen korsvis i den röda ”fyra-rutan”.
Må
?
a) Jämför de två summorna. Välj andra ”fyrarutor” och addera talen korsvis två och två. Jämför de två summorna. Vad upptäcker du? b) Använd algebra.
4 ? a+1
a
en vecka senare
a+7 a+8
a+a+8=2a+8
(a + 1) + (a + 7) = 2 a + 8
5
+ ½
dagen efter dagen efter en vecka senare lika
Ons
L
Fre
Lö
Sö
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19 20 21
22 23
5
24 25 26 27 28 29 30
Addera korsvis och jämför de två summorna. Nu har du visat att det här sambandet gäller för alla ”fyra-rutor” på kalendern. Välj en ”fyra-ruta” och sätt in det lägsta talet i rutan för a i uttrycket 2a + 8. Kontrollräkna.
7
17 a) Rita av ”nio-rutan”. Kalla talet i mitten för a. Skriv uttrycket för vart och ett av de nio talen. Addera nu alla tal. Vilket uttryck får du för summan? Jämför med facit innan du räknar vidare.
=
b) Välj en ”nio-ruta” i kalendern, t ex: Vilken är summan av alla nio talen? Sätt in talet 15 för a i ditt uttryck ovan. Vilken summa får du? Pröva med andra ”nio-rutor”.
6
To
3
4
Visst är det smart att använda bokstäver!
7
8
9
14
15
16
21
22
23
a–7
2 en vecka tidigare
a a+7
en vecka senare
? KAPITEL 1 •
2 8 08 62 8 9
17 3
5
04 6
3 5
1
7
MatteUtmaning5_inlaga.indd 11
Ti
?
11
2015-06-30 15:34
Tänk smart Eleverna A och B ska dela på 19 kr. B ska ha 5 kr mer än A. Hur mycket får var och en?
Lösning med ekvation: A får x kr B får (x + 5) kr
x + (x + 5) = 19 2 x = 14 x=7
A får 7 kr B får 7 kr + 5 kr = 12 kr Kontrollräkna: 7 kr + 12 kr = 19 kr
Lösning genom att tänka ut: Hur många kronor ska delas lika?
19 – 5 = 14
Båda ska alltså ha 14 = 7 kr och B 5 kr mer.
2
A får 7 kr B får 7 kr + 5 kr = 12 kr Kontrollräkna: 7 kr + 12 kr = 19 kr
Det var väl enkelt att tänka ut?
Jämför de två lösningarna ovan. Vilken är enklast att använda vid den här uppgiftstypen? Ekvationer är bra, men ibland är det enklare att tänka ut svaret.
18 Pröva nu att tänka ut svaren. a) Eleverna C och D ska dela på 29 kr. D ska ha 7 kr mer än C. Hur mycket får var och en?
b) Eleverna E och F ska dela på 530 kr. F ska ha 50 kr mer än E. Hur mycket får var och en?
c) I Centralskolan går 243 elever. Det är 17 fler pojkar än flickor. Hur många flickor respektive pojkar går i Centralskolan?
d) Eleverna G, H och I ska dela på 660 kr. G ska ha 10 kr mer än H. I ska ha 20 kr mer än H. Hur mycket får var och en?
e) Skriv två liknande uppgifter och lös dem. Byt sedan uppgifter med en kamrat.
12
• KAPITEL 1
MatteUtmaning5_inlaga.indd 12
2015-06-30 15:35
LEDTRÅDAR
L
Kapitel 1 1 a) Cirklarnas diameter är a.
14 d)
2
3 1
e) 1
9
2
16
4
27
7
11
1
2
3
4
4
13
33
69
3
b) Sätt in värdet 5 för a i uttrycket.
5
9 6
2 Om en ananas kostar a kr, så kostar ett päron
20 11
5
36 16
5
126 57
21 5
(a – 10) kr.
4 b) Vid 2(R – V) är R = 9 och V = 0 maxpoäng på den raden, dvs 18 poäng.
6 b) Tänk på att antalet bakterier fördubblas var 20:e minut.
7 Tänk på att antalet apelsiner fördubblas för varje minut.
8 a) T ex våg B: Ta bort en cylinder på vardera + väger 9 kg. Jämför med sidan. våg A och bestäm vikten av . b) T ex våg A: Ta bort ett klot på vardera + väger 12 kg. Jämför med sidan, våg B. Bestäm . c) T ex jämför vågarna A och C: Vad väger ? d) T ex jämför vågarna A och C: Vad väger ? e) T ex jämför vågarna A och C: Hur många väger ? Ta bort ett på var sida av väger ? Byt ut våg A. Hur många mot på våg B. Bestäm . och
9 Sätt x för antalet stolar. Antalet pallar blir då (16 − x).
10 Sätt x för Elsas ålder. Anton är då (x + 5) år. Lukas är 3(x + 5) år. Lisa är 2 ∙ 3(x + 5), vilket är 42 år.
11 Sätt x för Ruts ålder. Moa är då 2x år och Ida är (2x + 1) år.
12 Antag att A får x kr. B får då 2x och C får (x + 1 000) kr.
13 Antag att kaninen äter x morötter den första dagen. Den äter då: dag 2 (x + 4) morötter dag 3 (x + 8) morötter dag 4 (x + 12) morötter dag 5 (x + 16) morötter
17 a)
a–8
a–7
a–6
a–1
a
a+1
a+6
a+7
a+8
Räkna ut summan av alla talen.
Kapitel 2 2 Det röda talet i varje figur är bildat av de tre svarta efter en viss regel. a) Subtrahera de två udda talen från det jämna talet. b) Multiplicera de två udda talen. Subtrahera det jämna talet från produkten.
5 Börja bakifrån. Vilket tal adderat med 4 är 10? osv.
6 Det är lättare att räkna med 100 än med 97. Hur mycket skulle Elin betalat om mobilskalen kostat 100 kr/st? Hur mycket mer blir det för varje mobilskal?
7 a) 7 ∙ 100 – 7 ∙ 1 = 700 – 7 b) 3 ∙ 200 – 3 ∙ 2 = 600 – 6
13 a) Välj samma enhet, kr. Använd innehållsdivision. c) A. Innehållsdivision: Hur många 7 l innehåller 112 l? 112 l Täljare och nämnare 7l har samma enhet. B. Delningsdivision: De 7 pojkarna delar lika på bären. 112 l 7 d) Innehållsdivision: T ex En påse innehåller bara 5-kronor. Hur många 5-kronor är det om värdet är 85 kr. Delningsdivision: T ex Fem elever delar lika på 85 kr. Hur mycket får var och en?
LEDTRÅDAR •
MatteUtmaning5_inlaga.indd 83
83
2015-06-30 16:02
MATTE
MATTE
4 4
MATTE
4 4 a 4 4 4 4
ISBN 978-91-27-43388-5
4 4
a 4 4 b 2 4 b 2 4 3 c 4
2
1
3 5 6
6 d 8
e
6 d 8 4 e
f
4
12 11 10 9 4
3 4
5
4 4 2 4
9
6
10
5
7
8 2
1
3 12 11
c
3 4 6 d 8 c
7
Olsson · Johansson
MatteUtmaning 4 – 6 är en fristående del i serien och fungerar för alla, oavsett vilket övrigt material som används i klassrummet.
a
5
MatteUtmaning ger elever möjlighet att lära sig mer matematik, men framför allt att öka intresset och få dem att uppleva att matematik är spännande och roligt! MatteUtmaning är en bok för alla elever som behöver nya utmaningar i matematik i stället för att räkna fler uppgifter av samma sort. Här finns varierande uppgifter med problemlösning, logiskt tänkande och taluppfattning, men även historik kring hur man räknade förr, aktiviteter med undersökningar, samt smart huvudräkning. Eleverna kan arbeta självständigt med hjälp av ledtrådar och facit med förklaringar som finns i boken. Men låt dem gärna arbeta tillsammans, det lockar fram viktiga matematiska resonemang kring uppgifterna.
b 2 4
8
Ingrid Olsson · Cecilia Johansson
e
4 4
f
2 44
f
2 4
Ingrid Olsson Cecilia Johansson
9 789127 433885
EldoradoUtmaning5_omslag_original.indd 1
2015-06-30 16:06