Den här B-boken riktar sig till de flesta program på gymnasiet. Passar också för komvux. • Ett enkelt språk och många lösta typexempel gör matematiken både begriplig och rolig.
Matematik för gymnasiet kurs B
• Fördjupningar och Utmaningar för de elever som siktar mot höga betyg.
Holmström Smedhamre
Matematik B • Lämplig i grupper där spridningen i mattekunskaper är stor. Här kan alla hitta lagom svårighetsgrad och bli väl förberedda inför kommande studier. • Extramaterial finns på webben, både för lärare och elever. Författarna har också skrivit serien Matematik från A till E, samt böckerna Matematik inför A, Matematik A-light, Matematik B-light och Matematik för gymnasiet kurs A.
Best.nr 47-01907-6 Tryck.nr 47-01907-6
Holmström Smedhamre Matematik för gymnasiet kurs B
ISBN 978-91-47-01907-6 © 2008 Martin Holmström, Eva Smedhamre och Liber AB Grafisk form: Eva Jerkeman Produktion: Didacta Omslag: Eva Jerkeman Bildredaktör: Elisabeth Westlund
Första upplagan 1 Tryck: Elanders Ungern, 2008
Bildförteckning © Teckningar Didacta Rickard Ax/Didacta 7 Bengt Riton 1, 129 © Fotografier Larsson Linnea/Bildhuset/Scanpix omslag BigCheesePhoto/IBL 9 Brega Massimo/LookatSciences 194 Earthy Mark/Scanpix 0, 21 Effner Juergen/Dpa/Scanpix 153 Ericson Ola/www.stockholmsfoto.se 14 Feferberg Eric/Afp/Scanpix 215 Gustafsson Jeppe/Scanpix 93 Hallgren Magnus/Scanpix 174 Holmes Martha/Nature Picture Library/IBL 203 Höglund Bengt/Johnér 145
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t ex kommuner/universitet. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.
ImageState/IBL 179 Lindell Bo/Scanpix 27 Lorentzen Denny/Scanpix 86 Luebke Jochen/Afp/Scanpix 51 Macpherson Tim/Cultura/Ina Agency Press 43 Nicholson Lucy/Reuters/Scanpix 165(2) Persson Fredrik/Scanpix 223 PhotoDisc OS50 117 PhotoDisc SS21 96 PhotoDisc V05 104, 124-125; V08 201 Raycroft Mark/Minden/Nordicphotos 32
Liber AB, 113 98 Stockholm Telefon 08-690 92 00 www.liber.se Kundservice tfn: 08-690 93 30, fax: 08-690 93 01, e-post: kundservice.liber@liber.se
Rosenfeld Michael/Dpa/Scanpix 209 Schulz Volkmar/Keystone/Scanpix 61 Superstock/Nordicphotos 115 Syred Andrew/Science Photo Library/IBL 136
Till elever och lärare I den här B-boken presenteras grundkursen i kapitel 1– 4. Repetitionsuppgifter och Fördjupningsavsnitt finns i kapitel 5 och 6. De elever som siktar på höga betyg bör naturligtvis ta för sig av utmaningar och fördjupningsavsnitt. På webben finns mer material, både för elever och lärare. 1 Läs gärna igenom exemplen innan du börjar räkna uppgifterna! 2 I de gula regelrutorna finns det som är extra viktigt. 3 Till rödmarkerade uppgifter finns ledtråd/lösning i slutet av boken. 4 Sidor med svårare Utmaningar finns i varje kapitel. Observera att facit till dessa kommer efter kapitelfacit. 5 Varje kapitel avslutas med två tester, varav ett utan räknare. Många av testuppgifterna har hänvisning till lösta exempel. 6 Datorstödet Matteboxen kan användas i kapitlen Funktioner och Statistik. Ikonen visar när grafritande hjälpmedel är lämpligt.
Lycka till med kursen! Uppsala i april 2008 Martin Holmström
Eva Smedhamre
Innehåll
3 FUNKTIONER
1 UTTRYCK OCH EKVATIONER
Inledning 1 Förenkla uttryck 2 Multiplikation 4 Utmaning 1A 6 Ekvationer 7 Ekvationer med nämnare 12 Olikheter 15 Utmaning 1B 18 Parentesmultiplikation 19 Kvadreringsregler 22 Konjugatregeln 25 Ekvationer med x2-termer 28 Enkla andragradsekvationer 29 Pythagoras sats 33 Utmaning 1C 36 Fullständiga x2-ekvationer 37 Problemlösning med ekvationer Uppdelning i faktorer 44 Faktorisering med konjugatregeln In English 48 Sammanfattning 49 Blandade uppgifter 50 Test 1A 53 Test 1B 54
42 47
2 GEOMETRI
Trianglar och vinklar 55 Två bevis 59 Mer om vinklar och trianglar 60 Utmaning 2 62 Likformig avbildning 63 Topptriangel- och transversalsatsen 68 Randvinklar och medelpunktsvinklar 72 In English 76 Sammanfattning 77 Blandade uppgifter 78 Test 2A 81 Test 2B 82
Avläsa grafer 84 Praktiskt om linjens lutning 88 Bestäm linjens k-värde 91 Rita linjen y = kx + m 94 Skriv linjens ekvation, y = kx + m 99 Parallella linjer med mera 102 Formel för riktningskoefficienten 106 Mer om y = kx + m 108 Mer om räta linjer 111 Utmaning 3A 114 Ekvationssystem, grafisk lösning 115 Ekvationssystem, ersättningsmetoden 118 Ekvationssystem, additionsmetoden 120 Problemlösning med ekvationssystem 124 Skrivsättet f(x) 127 Andragradsfunktioner 129 Exponentialfunktioner 132 Teckna funktionen 135 Utmaning 3B 137 In English 138 Sammanfattning 139 Blandade uppgifter 141 Test 3A 146 Test 3B 147 4 SANNOLIKHET OCH STATISTIK
Hur stor är chansen? 149 Koordinatsystem 155 Träddiagram 158 Hur ofta inträffar en händelse? 164 Utmaning 4 166 Diagram och lägesmått 167 Spridningsmått och lådagram 170 Samband mellan statistiska variabler 175 Population och stickprov 177 Felkällor 178 In English 181 Sammanfattning 182 Blandade uppgifter 183 Test 4A 187 Test 4B 188
5 REPETITIONSUPPGIFTER
Repetition 1 Repetition 2 Repetition 3 Repetition 4
190 192 195 199
6 FÖRDJUPNINGSAVSNITT
1a 1b 1c 1d 1e 2a 2b 3a 3b 3c 3d 4 5a 5b
Bokstavsekvationer 205 Mer om potenser 206 Ekvationer och rötter 208 Faktorisering och ekvationer 210 Fler utmaningar med ekvationer 212 Bokstavsuttryck i geometri 213 Fler utmaningar i geometri 215 Ekvationen y – y1 = k(x – x1) 216 Andragradsfunktioner och nollställen 217 Mer om x2-grafer 220 Fler utmaningar på funktioner 222 Kluriga sannolikheter 224 Blandade utmaningar 225 Uppgifter med ¤ 229
FACIT
232
FACIT TILL TANKENÖTTER
250
LÖSNINGAR OCH LEDTRÅDAR SAKREGISTER
258
250
1 Uttryck och ekvationer Inledning – – – – – – –
Tänk på ett tal mellan 1 och 10 Fördubbla talet Lägg till 10 Dra bort 4 Dela med 2 Dra bort 3 Vad fick du?
7 14 24 20 10 7 Samma tal som jag tänkte på!
Kan det här stämma för alla tal? Om vi kallar vårt tal för x kan vi se hur det fungerar. – Tänk på ett tal mellan 1 och 10 – Fördubbla talet – Lägg till 10 – Dra bort 4 – Dela med 2 – Dra bort 3 – Vad fick du?
x 2x 2x + 10 2x + 10 – 4 vilket blir 2x + 6 När både 2x och 6 delas med 2, får vi x + 3 x+3–3 x
Precis som i frågeleken ”Tänk på ett tal” kan många problem förklaras och lösas med bokstavsräkning. Här följer nu några avsnitt som repeterar uttryck och ekvationer från A-boken. U T T R Y C K O C H E K VAT I O N E R
1
Kvadreringsregler I det här avsnittet ska vi multiplicera två parenteser som är lika. Vad blir (a + b) · (a + b)? Vi multiplicerar på vanligt sätt och får 1
2
(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 3
4
Lägg märke att ba = ab och att termen 2ab kommer från ab + ba. 2ab kallas här ”dubbla produkten”. Eftersom (a + b)(a + b) kan skrivas (a + b)2, dvs ”parentesen i kvadrat”, får vi kvadreringsregeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a
b
a
a2
ab
b
ab
b2
Regeln visas geometriskt
Titta på kvadraten som har sidan (a + b). Vi ska skriva kvadratens area på två sätt. 1) Hela kvadratens area = sidan · sidan = (a + b)2 2) Titta nu på kvadratens delar!
Gul:
en kvadrat med arean = a2
Röd:
två rektanglar som var och en har arean = ab
Blå:
en kvadrat med arean = b2
Summan av delarna = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 Eftersom hela kvadratens area = summan av delarnas area får vi (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2 · första termen · andra termen
(a + b)2 = a2
22
kallas ”dubbla produkten”
+
2ab
Kvadraten på första termen
U T T R Y C K O C H E K VAT I O N E R
+
b2
1:a kvadreringsregeln
Kvadraten på andra termen
Förenkla följande uttryck. 1109
(x + 1)2 + (x – 3)2 + (x + 2)2
1110
(x + 9) (x – 9) + (x – 6)2 + (3x + 2)2
1111
(x + 4)2 – (x – 4)2 – 2(8x – 5)
1112
(x + 0,5) (x – 0,5) – (x + 0,8) (x – 0,8)
1113
(x – 4)2 + (x + 1) (x +10) – 2x(1 + x)
1114
(4x – 3) (4x + 3) + (x – 9)2 – 9(8 – 2x)
1115
(2x – 1)2 – (x – 1) (2 – 5x) – (3x – 2)2
1116
34 – (8x – 5)2 + (8x + 3) (8x – 3)
1117
(6x + y) (6x – 3y) – (6x – y)2
1118
10(x – 0,2)2 – 100(0,3x + 5) (0,3x – 5) – (x – 50)2
1119
Förenkla (3y – x)2 – 2x (x – 3y) och beräkna sedan värdet för
Tankenöt!
a) x = 3 och y = 1 b) x = –5 och y = 4 c) x = 9 · 102 och y = 103
T3
Vilket är årtalet på bilden? M = 1000 D = 500 C = 100 L = 50 X = 10 V = 5 I = 1
Test 1A
Räknare får ej användas
Lös följande ekvationer. 1
a) 2x – 10 = 7x – 40
b) 10 – 2x = 22
(exempel 2, 3 s 8)
2
a) 7x + 5 = 4x + 4 + 1
b) x + 5 = x + 8
(exempel 4 s 8)
3
22 – 3(x – 2) = 5(4 – x)
4
a) x + x = 20 6 4
5
Lös olikheterna.
a) x + 2 ≤ 2x – 8
6
Förenkla följande uttryck.
a) 4y(1 – 3x) – (3x – 1) (2 – 4y) b) (4x – 3)2 – (2 – 6x)2 c) 7x2 + 2(x – 2y)2 – (3x – y) (3x + y)
(exempel 6 s 10)
b) 5 + 1 = 25 x 2 4x
(exempel 1, 2 s 12)
b) 1 – 2x > 7
(exempel 2, 3 s 16, 17)
(exempel 3 s 21) (exempel 3 s 26) (exempel 4 s 26)
Faktorisera så långt som möjligt. 7
a) 4x + 8 + 10y
b) 5x – 10x2
(exempel 2 s 46)
8
a) 25x2 – y2
b) x2 + 25
(exempel s 47)
9
A, B och C ska dela på 12 000 kr. A får dubbelt så mycket som B och C får 50 % mer än A. Hur mycket får C?
10
För vilka av följande värden på x stämmer olikheten x2 + x > 2 ?
a) x = –1
11
Hur mycket är 20y + 40x om man vet att 10x + 5y = 7?
12
Bestäm x.
b) x = – 2
c) x = –5
(cm) 10
3x
4x
U T T R Y C K O C H E K VAT I O N E R
53
2 Geometri Trianglar och vinklar Vi börjar med en liten repetition från A-boken. Vinkelsumman i en triangel är 180° x + y + z = 180°
y z
x
B
I triangeln ABC kan vinkeln x namnges på olika sätt: x = ∧ A = ∧ BAC = ∧ CAB
Bokstaven ”i mitten” finns i vinkelns spets. Tecknet ∧ betyder vinkel.
En spetsig vinkel är mindre än 90°.
A
x
C
En trubbig vinkel är större än 90°.
En rätvinklig triangel har en vinkel som är rät, dvs 90°. I en liksidig triangel är alla vinklar 60°. I en likbent triangel är basvinklarna lika stora. Vinkeln v är yttervinkel till z.
z
v
GEOMETRI
55
2014
Är linjerna L1 och L2 parallella?
43°
L1 L2
137°
2015
Beräkna vinklarna som markerats med x och y. a)
b) 2x
2x + 75°
y
x
x
70° – x
y
2016
a) Visa att vinkelsumman i en 4-hörning är 360o. b) Hur stor är vinkelsumman i en 5-hörning? c) Hur stora är vinklarna i en regelbunden 6-hörning? Se bilden.
2017
I en triangel ABC är ∧ B dubbelt så stor som ∧ A. ∧ C har en yttervinkel som är 84° större än ∧ A. Hur stor är ∧ C?
2018
Linjerna L1 och L2 är parallella. Bestäm vinkeln x.
L1
x
L2 47°
2019
På en klocka går timvisaren ett varv på 12 timmar. Minutvisaren går ett varv på 60 minuter. Hur många grader vrider sig a) minutvisaren på 2 minuter b) timvisaren på 12 minuter?
GEOMETRI
61
2045 2046
a) Multiply .7 by 2 1 b) Divide eight by 2 7 3 Calculate 13 – 3(19 – 9)2 + (–20)2
2047
Sue buys eggs at £1.08 for 10 and sells them at 12p each. Calculate her percentage profit.
2048
Solve these equations. a) 4t + t2 = 0
2049
Find x in the triangle. Give the answer correct to two significant figures.
b) t2 + 8t – 9 = 0 (m) 12
x
3x –2
0
–1
Calculate 10 + 3 + 10 and give the answer as a fraction.
2051
Simplify (2x – 8)2 – (2x + 8) (2x – 8)
2052
A has £45 more than B. C has 60 % more than B. Together A, B and C have £765. How much has each?
2053
When a container is 35% full, it contains 21 litres. Find its total capacity. (cm)
2054
Find the volume of the cone. Give the answer correct to two significant figures.
3x
2050
–1 0
15
x 2 V = Pr · h 3
Wordlist
76
.7 betyder 0,7
p = pence engelsk valuta där 100p = £1
profit = vinst
significant figures = värdesiffror
fraction = bråktal
total capacity = total volym
GEOMETRI
I n E n g l is h
S a mm a n f a tt n i n g Yttervinkel
En triangels yttervinkel = summan av de två motstående inre vinklarna
v=x+y y x
v
Likformighet
Två figurer är likformiga om
1) förhållandet mellan motsvarande sträckor är lika
2) motsvarande vinklar är lika stora.
För de två likformiga trianglarna nedan gäller att a=b= c d e f
a
c d
f
e
b
Topptriangelsatsen Den röda topptriangeln är likformig med
Transversalsatsen
Randvinkelsatsen
stora triangeln. a = c = e a+b c +d f En parallelltransversal delar två sidor i en triangel i samma förhållande. Se bilden. a= c b d
c
a
e
b
d
f
I en cirkel är medelpunktsvinkeln dubbelt så stor som randvinkeln på samma cirkelbåge. x = 2y
y x
GEOMETRI
77
3004
Grafen visar temperaturen i en vätska vid ett kemiskt experiment. Använd grafen och besvara frågorna. a) Vilken är den högsta temperatur som uppnås? b) Vid vilka tidpunkter är det 20°? c) Hur lång tid tar temperatur sänkningen från 50 till 30 grader?
°C temperatur 60 50 40 30 20 10
tid 10
3005
Fyll i värdetabellen med hjälp av den räta linjen. x
y
y
0 4 –2 5
x 1
86
FUNKTIONER
20
30
40
min
Praktiskt om linjens lutning Bilden visar hur temperaturen ökar i två ugnar A och B. I vilken ugn ökar temperaturen snabbast? Svar: A ökar snabbast Grafen A
Från början är temperaturen 30o C. Hur mycket ökar temperaturen den första timmen? Svar: 20 grader den andra timmen? Svar: 20 grader den tredje timmen? Svar: 20 grader Vi ser att temperaturen ökar lika mycket varje timme, nämligen med 20 grader.
°C
temperatur
A
90 80 70
B
60 50 40 30
Grafen B
20
Även här är det 30 grader från start.
10
Hur mycket ökar temperaturen den första timmen? Svar: 10 grader den andra timmen? Svar: 10 grader
tid 1
2
3
4
Här gäller att temperaturen ökar 10 grader varje timme.
Temperaturökning per timme är ett mått på hur mycket den räta linjen lutar.
Lutning för linje A 20grader = 20 grader/timme 1 timme
Lutning för linje B 10 grader = 10 grader/timme 1 timme
En linjes lutning brukar betecknas med bokstaven k. Linje A har k = 20
Linje B har k = 10
En linjes lutning k kan användas i många sammanhang. Löneökning/år, milkostnad för en bil, timkostnad för en hantverkare mm. 88
FUNKTIONER
timmar
Utmaning 3A y är direkt proportionellt mot x
y=k·x
y är proportionellt mot x2
y = k · x2 y är omvänt proportionellt mot x y= k x Konstanten k = proportionalitetskonstant.
1
a) För 100 kr får Peter 8 liter bensin. Vad kostar 45 liter av bensinen? b) Skriv priset y (kr) som en funktion av antalet liter x.
2
3
4
5
En cirkels area är proportionell mot radien i kvadrat. Vilken är proportionalitetskonstanten? En cirkels omkrets är direkt proportionell mot radien. Vilken är proportionalitetskonstanten? y är omvänt proportionell mot x. För x = 8 är y = 0,2. Bestäm y då x = 10. Klotets area A är proportionell mot radien r i kvadrat. a) Vilken är proportionalitetskonstanten? b) Bestäm A då r = 2 m. c) Bestäm r då A = 5 m2.
6
Tiden t sekunder att springa 80 m är omvänt proportionell mot hastigheten v (m/s). a) Vilken är proportionalitetskonstanten? b) Hur mycket kortare blir tiden om hastigheten ökar från 5 m/s till 8 m/s?
7
Här gäller att a = 0, 5 b . a) Visa att b är proportionellt mot a2. b) Vilken är proportionalitetskonstanten?
8
F är omvänt proportionellt mot x2. Då x = r blir F = 900. Bestäm F då x = 1,5r.
Facit finns på sidan 249.
114
FUNKTIONER
A = 4πr2
Ekvationssystem, grafisk lösning Anton är på semester och ska hyra en motorcykel. Vilken motorcykel blir billigast? Motorcykel A 200 kr + 70 kr/mil
Motorcykel B 450 kr + 35 kr/mil
Titta på linjerna A och B i koordinatsystemet. Linjerna visar hyran för motorcyklarna. A) y = 70x + 200 B) y = 35x + 450
kr 800
y
700 600
B
500 400
A
300 200 100
Vi ser att linjerna skär varandra då x ≈ 7 och y ≈ 700 Observera att värdena är ungefärliga.
x 1
2
3
4
5
6
7
8 mil
Om Anton kör ca 7 mil kostar motorcyklarna lika mycket, ca 700 kr. Kör han mindre än 7 mil är A billigast. Linjerna A och B visar en grafisk lösning av ekvationssystemet y = 70 x + 200 y = 35x + 450
x ≈ 7 Lösningen är y ≈ 700
Ett ekvationssystem består av två eller flera ekvationer, och vi söker ekvationernas gemensamma lösning. I ett linjärt ekvationssystem motsvaras varje ekvation av en rät linje, och vi söker alltså linjernas skärningspunkt. Om linjerna är parallella, saknar ekvationssystemet lösning. Se det lilla koordinatsystemet till höger.
y
x
FUNKTIONER
115
Teckna funktionen E xempel
a) Att spela tennis kostar 500 kr i medlemsavgift och dessutom 120 kr/timme. Skriv kostnaden y som en funktion av antalet timmar x. Svar: y = 500 + 120x b) En bil kostar 160 000 kr i inköp. Sedan sjunker bilens värde med 15 % varje år. Bestäm funktionen som visar hur bilens värde y beror av antalet år x. Minskning med 15 % betyder att ändringsfaktorn = 0,85 Svar: y = 160 000 · 0,85x c) Emil arrangerar en fest och hyr en lokal för 4 000 kr. Entrébiljetterna säljer han för 100 kr/st. Bestäm den funktion som visar hur Emils vinst y (kr) beror av antalet sålda biljetter x (st).
Emils vinst = Intäkt – Kostnad Biljettpriset 100 kr ⇒ intäkten = 100 · x Kostnad = 4 000 Vinst = 100x – 4000
Svar: y = 100x – 4000
3142
En motorcykel kostar 70 000 kr. Bestäm den funktion som visar motorcykelns värde y (kr) som en funktion av tiden x (år), då värdet varje år a) ökar med 5 % c) minskar med 10 %
3143
b) ökar med 5 000 kr d) minskar med 15 000 kr.
Vilken eller vilka av funktionerna i föregående uppgift är a) linjära
b) exponentiella?
FUNKTIONER
135
Blandade uppgifter 3159
Rita de tre linjerna i samma koordinatsystem. a) y = x – 1
3160
b) y = –x + 2
c) y = –2x – 2
Bestäm de sex linjernas ekvationer. y
y e
c
a
f
1
1
x
b
1
1
x
d
3161
3162
En rät linje går genom punkten (0, 3) och är parallell med linjen y = 5 – 2x. Bestäm linjens ekvation. Bestäm en ekvation för den räta linje som har a) k = 4 och m = –1 c) k = 1 och m = 0
3163
3164
En rät linje går genom origo och har k = 7. Vilken är linjens ekvation? Vi har funktionen f(x) = x2 – 4x. Bestäm a) f(1)
3165
b) k = 0 och m = 3
b) f(–3)
a) Rita grafen till funktionen y = 2x + x2 b) Ange funktionens minimipunkt. c) Rita linjen y = 2 + x i samma koordinatsystem. I vilka punkter skär linjen och andragradskurvan varandra?
3166
3167
Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten (4, 3) och har riktningskoefficienten –2. Bestäm riktningskoefficienten för den linje som går genom punkterna (8, –1) och (4, 11). FUNKTIONER
141
4006
Tabellen visar resultatet vid ett test i matematik. Poäng
1
2
3
4
5
Frekvens
2
4
8
5
1
Bestäm sannolikheten att en slumpvis vald elev har a) 5 poäng b) 2 poäng eller 3 poäng c) minst 2 poäng, dvs 2 poäng eller mer.
4007
Ett chokladhjul har delats in i 12 lika stora fält. Elin spelar på nummer 2, 4 och 7. Hur stor är sannolikheten att hon a) vinner
b) inte vinner?
12
2 3
10 9
4 8
5 7
4008
1
11
6
En grupp elever fick följande fråga: ”Hur många syskon har du?” Resultatet visas i stolpdiagrammet. Vilken är sannolikheten att en elev i gruppen har a) 1 syskon 10
b) mer än två syskon?
f
8 6 4 2
x 0 1 2
3 4 5 6
antal syskon
S A N N O L I K H E T O C H S TAT I S T I K
153
4034
På sex små lappar har man skrivit tal. Av dessa är två tal negativa och fyra positiva. Man drar två lappar. Bestäm sannolikheten att de två talens produkt blir a) positiv
5
4035
b) negativ.
2
1
–2
4
Ett test består av fyra frågor. Till varje fråga finns det fem svarsalternativ. Joakim gissar svaren på alla frågorna. Hur stor är sannolikheten att han ska få a) alla rätt
4036
–3
b) inget rätt?
Vid en travtävling startar följande antal hästar: Lopp 1: 12 hästar Lopp 3: 15 hästar
Lopp 2: 11 hästar
Hur stor är chansen att på en spelkupong slumpmässigt pricka in alla tre vinnarna? 4037
Tre resor ska lottas ut till 17-åringar i Sverige. Ett år finns det 57 821 pojkar och 54 259 flickor som är 17 år. Hur stor är sannolikheten att a) den första resan går till en flicka b) av de tre resorna går två till flickor? Svara i procent med en decimal.
4038
På en stryktipskupong ska man välja 1, X eller 2 för tretton matcher. Bestäm den slumpmässiga sannolikheten att få a) 13 rätt b) 0 rätt c) Vilken är sannolikheten att få 13 rätt på bildens tipskupong?
S A N N O L I K H E T O C H S TAT I S T I K
163
Bortfall
Vid de flesta undersökningar är bortfallet ett problem. Om t ex endast 800 personer av de 1000 utvalda till ett stickprov besvarar en enkät, så vet man ju inte hur bortfallet, dvs de 200 personerna, skulle ha svarat. Antag att 320 av de 800 svarat ja på en viss fråga. Detta innebär att endast 320/800 = 0,4 = 40 % svarat ja. Ja-sidan är alltså i minoritet. Om däremot hela bortfallet, dvs ytterligare 200 personer, svarat ja, så hade ja-sidan varit i majoritet. Då skulle nämligen 520 personer av totalt 1000, dvs 52 % ha svarat ja. Det är alltså viktigt att man är medveten om bortfallet. Man kan t ex minska bortfallet genom påminnelser. Om bortfallet är mycket stort, brukar man försöka att skatta hur dessa skulle ha svarat.
4069
Vid en stor undersökning skickade man enkäter till totalt 3812 elever, lika många tjejer som killar. I enkäten frågade man bl.a om resor och äventyr. Man fick svar från 1251 tjejer och 1352 killar. a) Hur stort blev bortfallet totalt? b) Är det sant att bortfallet bland tjejerna var ca 5 procent enheter större än bland killarna?
S A N N O L I K H E T O C H S TAT I S T I K
179
5b Uppgifter med ¤ 1
Pythagoras sats
Pythagoras sats: a2 + b2 = c2
Här gäller att a och b är kateter i en rätvinklig triangel och c är triangelns hypotenusa.
Då a, b och c är heltal kallas de Pythagoreiska tripler.
c
a
b
1 En triangel där sidornas längder förhåller sig som 3 : 4 : 5 kallas en Egyptisk triangel. Visa att en Egyptisk triangel är rätvinklig.
2 I en rätvinklig triangel är summan av kateternas längder 14 m. Hypotenusan är 25 % längre än en katet. Hur lång är hypotenusan?
3 a) Visa att 10, 24 och 26 är Pythagoreiska tripler.
Pythagoreiska tripler, dvs längden av sidorna i en rätvinklig triangel, kan man få från följande uttryck:
(m2 – n2), 2mn och (m2 + n2)
där m och n är positiva heltal och m > n.
b) Vilka blir sidorna i triangeln då m = 6 och n = 2?
c) Bestäm m och n, då en triangels sidor är 10, 24 och 26.
d) Visa att (m2 – n2), 2mn och (m2 + n2) ger Pythagoreiska tripler för alla positiva heltal m och n , där m > n.
4 Titta på rektangeln. Hur långt från hörnet D ligger punkten P?
B
C 110
210 180
(m)
P x
A
D
F Ö R D J U P N I N G S AV S N I T T
229
Den här B-boken riktar sig till de flesta program på gymnasiet. Passar också för komvux. • Ett enkelt språk och många lösta typexempel gör matematiken både begriplig och rolig.
Matematik för gymnasiet kurs B
• Fördjupningar och Utmaningar för de elever som siktar mot höga betyg.
Holmström Smedhamre
Matematik B • Lämplig i grupper där spridningen i mattekunskaper är stor. Här kan alla hitta lagom svårighetsgrad och bli väl förberedda inför kommande studier. • Extramaterial finns på webben, både för lärare och elever. Författarna har också skrivit serien Matematik från A till E, samt böckerna Matematik inför A, Matematik A-light, Matematik B-light och Matematik för gymnasiet kurs A.
Best.nr 47-01907-6 Tryck.nr 47-01907-6
Holmström Smedhamre Matematik för gymnasiet kurs B