9789144117683 by Smakprov Media AB

KAJSA BRÅTING HÅKAN SOLLERVALL ERIKA STADLER

Kajsa Bråting, Håkan Sollervall och Erika Stadler har mångårig erfarenhet av undervisning och forskning i matematikämnets didaktik inom lärarutbildningarna vid Uppsala universitet, Linnéuniversitetet och Stockholms Universitet.

Algebra för lärare

| Algebra för lärare

Syftet med boken är att ge matematikläraren den specialiserade kunskap i algebra som lärare behöver för att kunna bedriva en varierad och allsidig undervisning.

Algebra för lärare

Med stöd av algebraiska symboler, formler, ekvationer och funktioner fokuserar boken på att beskriva generella samband och en generaliserad aritmetik som kan användas för intressanta matematiska resonemang och varierande sätt att lösa matematiska problem. Boken inriktar sig inte enbart på räknefärdigheter utan även på den viktiga helhetsförståelsen för matematikens mönster och strukturer. Bokens framställning är anpassad och strukturerad så att läsaren dels görs uppmärksam på hur eleven kan närma sig och tillämpa algebran för att effektivt lösa matematiska problem, dels hur elevers tankar, idéer och resonemang kan tolkas, bedömas och utvecklas. Algebra för lärare vänder sig till verksamma och blivande lärare i matematik.

Art.nr 39500

KAJSA BRÅTING HÅKAN SOLLERVALL ERIKA STADLER

studentlitteratur.se

978-91-44-11768-3_01_cover.indd 1

2017-05-11 14:09

978‐91‐44‐11768‐3_del1_p001‐004_book, senast sparat 2017‐ 05‐08 11:15

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Vid utgivning av detta verk som e‐bok, är e‐boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bok‐utgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljö‐ anpassade, både när det gäller papper och tryckprocess. Art.nr 39500 ISBN 978‐91‐44‐11768‐3 Upplaga 1:1 © Författarna och Studentlitteratur 2017 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Francisco Ortega Omslagsfoto: Martine Castoriano Illustrationer sidorna 96, 97 och 113: Björn Wallin Printed by Lapaprint, Valmiera, Latvia 2017

978‐91‐44‐11768‐3_del1_p001‐004_book, senast sparat 2017‐ 05‐08 11:15

INNEHÅLL

Förord 5 Om aktuell forskning i algebradidaktik 6 1. Mönster och talföljder 9 Att vara nyfiken, utmana sig själv och våga undersöka 9 Att representera och förstå matematiska idéer 9 Om uttryck, ekvationer, formler och funktioner 18 Att synliggöra och representera matematiska mönster 21 Matematisk modellering med talföljder 23 Aritmetisk talföljd 26 Geometrisk talföljd 30

2. Räknelagar 35 Multiplikation av tvåsiffriga heltal 35 Distributiva lagen 38 Associativa och kommutativa lagar 40 Ännu fler räknelagar och räkneregler 43 Räkneregler med subtraktion 45

3. Uttryck och ekvationer 47 Att konstruera aritmetiska uttryck 47 Algebraiska uttryck 48 Förenkling, faktorisering och utveckling 52 Allmänt om ekvationer 54 Ekvationer i lågstadiet och i högstadiet 55 Ekvationer i mellanstadiet 57 Allmänt om att lösa ekvationer 59 Att lösa ekvationer genom prövning 60 Algebraisk lösning av en förstagradsekvation 69 Att lösa en andragradsekvation utan linjär term 73

978‐91‐44‐11768‐3_del1_p001‐004_book, senast sparat 2017‐ 05‐08 11:15

INNEHÅLL

Att lösa en andragradsekvation med linjär term 80 Algebraisk kvadratkomplettering 83 Att lösa andragradsekvationer med pq‐formeln 85 Faktorisering av andragradsuttryck 86

4. Proportionalitet 89 Olika sätt att representera proportionalitet 89 Proportionell förändring 92 Proportionalitet mellan variabler 94 Proportionalitet och likformighet 98 Proportionalitet och rät linje 101

5. Räta linjens ekvation 107 Direkt proportionalitet 108 Linjen ∙ 109 Exempel: Från Celsius till Fahrenheit 111 Exempel: Från Fahrenheit till Celsius 113 Fahrenheit till Celsius i koordinatsystem 117 Linjen ∙ 119

6. Funktioner och funktionsgrafer 125 Begreppet funktion 125 Sträcka, fart och tid 128 Linjära funktioner 129 Styckvis linjära funktioner 133 Sträcka, fart och tid 136 Procentuell förändring och exponentialfunktioner 140

Referenser 144 Uppgifter 145 Facit 177

©FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

Förord Denna lärobok i algebra riktar sig speciellt till blivande och verksamma matematiklärare. Boken behandlar den specialiserade kunskap i algebra som du behöver för att kunna undervisa dina elever i algebra på ett allsidigt och variationsrikt sätt. Algebra är ett både brett och djupt område i matematiken som omfattar bland annat ekvivalenser, uttryck, ekvationer och olikheter, funktioner och variabler. Algebraiska metoder är ofta kraftfulla men kan samtidigt uppfattas som svårtillgängliga. Därför är det önskvärt att i matematikundervisningen arbeta med algebra på olika sätt och utnyttja de kopplingar som finns till andra områden i matematiken, särskilt aritmetik och geometri. Algebran kan användas för att sammanfatta och generalisera aritmetiska samband och den kan användas för att effektivt hantera det viktiga begreppet proportionalitet som kommer till uttryck i såväl aritmetik, geometri som funktionslära. Men går det att arbeta med algebra redan i de tidiga skolåren? Definitivt! I denna bok kommer du att möta många exempel som antingen direkt kan användas eller som ”enkelt” kan anpassas till yngre elever, så att de får tidiga erfarenheter av algebraiskt tänkande. Algebra för lärare kan användas som en fristående lärobok eller tillsammans med Aritmetik för lärare och Geometri för lärare, som ingår i en läroboksserie för lärarutbildningens alla inriktningar. Ämneslärare med inriktning årskurs 7–9 och gymnasieskolan rekommenderas att läsa Algebra för lärare i sin helhet. På bokens webbplats finns läsanvisningar och rekommenderade uppgifter för grundlärare med inriktning F–3 och 4–6. Vi författare önskar dig mycket nöje att bredda och fördjupa dina kunskaper inom det algebraiska området, så att du får goda förutsättningar att lyckas med ditt viktiga uppdrag som matematiklärare. Lycka till! Kajsa Bråting Håkan Sollervall Erika Stadler

FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

OM AKTUELL FORSKNING I ALGEBRADIDAKTIK

Om aktuell forskning i algebradidaktik Inom det matematikdidaktiska forskningsfältet finns en speciell gren som behandlar lärande i algebra. I Sverige brukar man kalla den forskningen för algebradidaktik medan den internationella beteckningen är ”algebraic thinking and learning”. Denna forskning delas i sin tur in i två olika delar: algebra under de tidiga skolåren respektive algebra på gymnasie‐ och universitetsnivå. Vi kommer här att titta närmare på den förra, det vill säga forskningen kring algebra för låg‐ och mellanstadiet. Under de senaste decennierna har ett omdebatterat ämne inom forskningen varit när algebran ska introduceras i skolan och vilken svårighetsgrad algebran bör ha. Vissa forskare menar att begrepps‐ utvecklingen inom algebra hos enskilda individer avspeglas i den historiska utvecklingen (se t.ex. Sfard, 1994; Katz m.fl., 2007). Detta synsätt brukar kallas rekapitulering och medför bland annat att i enskilda individers begreppsutveckling föregår alltid aritmetik och retorisk algebra den mer abstrakta algebran (se t.ex. Warren, 2003). Enligt den teorin bör man inte syssla med algebra i tidiga grund‐ skolan utan lära sig aritmetiken ordentligt först. Andra forskare menar att elever inte har de kognitiva förutsättningar som behövs för att ta till sig algebra förrän i de tidigare tonåren. Dessa båda synsätt har kritiserats starkt av flera forskare som framhåller att algebra bör introduceras redan i de tidiga skolåren (se t.ex. Carraher m.fl., 2006). De senare menar att kopplingen mellan aritmetik och algebra är dubbelriktad och att aritmetik kan ses som ett specialfall av algebra. I många länder har traditionen varit att vänta med att introducera algebra till de senare grundskoleåren men detta håller på att förändras. Flera länder har under de senaste åren genomfört ändringar i kursplanerna i matematik och implementerat algebra redan i de tidigare skolåren. Inom algebradidaktiken har en uppsjö av studier under de senaste åren påvisat fördelarna med att börja lära sig algebra tidigt, vilket säkerligen är en bidragande orsak till förändringarna i kursplanerna. Exempelvis har Maria Blanton, en framstående amerikansk forskare i algebradidaktik, lett en stor longitudinell studie där man undersökt konsekvenserna av att introducera algebra i de tidiga skolåren. Att en studie är longitudinell innebär att den genomförs under en längre tid och att man gör upprepade mätningar med samma försökspersoner under

©FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

OM AKTUELL FORSKNING I ALGEBRADIDAKTIK

tidens gång. I Blantons fall handlade det om att under ett år mäta effekterna av att införa en speciellt anpassad algebra för elever i årskurs 3 i ett antal skolor i USA och jämföra resultatet med skolor där man följt den traditionella matematikundervisningen. Resultatet visade att de elever som följt den nya anpassade algebraundervisningen var bättre på att lösa algebraiska problem jämfört med de elever som följt den traditionella undervisningen. Exempelvis var försöksguppen bättre på att använda likhetstecknet på rätt sätt, förstod bättre innebörden av ekvationer och kunde representera okända kvantiteter med hjälp av variabelnotation (Blanton m.fl., 2015). Det är viktigt att poängtera att den algebra som introduceras i grundskolans tidigare år måste vara anpassad till barn. I Blantons studie tillämpades ”comprehensive early algebra” som innebär att man allt eftersom implementerar algebra tillsammans med ett antal matematiska nyckelområden som tagits fram som viktiga inkörsportar till algebraiskt tänkande (Carraher & Schliemann, 2007). Ett exempel på ett sådant nyckelområde är att representera generaliseringar vilket är centralt i de flesta delar av matematiken. Det mest välkända verktyget när man ska representera generalise‐ ringar är att använda variabler som traditionellt sett brukar introduceras som fixa okända kvantiteter eller ”platshållare”. Sådana definitioner kan vara svåra för ett barn att ta till sig och därför försöker man hitta andra vägar att introducera variabler som exempelvis att se dem som kvantiteter som varierar eller som parametrar. Dessa sätt uppfyller inte helt den strikta definitionen av variabler men leder in barnen i ett utvecklingsbart algebraiskt tänkande. Ett annat ämne som intresserat forskare inom algebradidaktik är identifiering och klassificering av algebrans olika delområden. Om vi håller oss till den tidiga skolalgebran är ett exempel på en sådan klassificering följande fem så kallade ”big ideas”: (1) ekvivalenser, uttryck, ekvationer och olikheter; (2) funktionslära; (3) variabler; (4) proportionalitet och slutligen (5) generaliserad aritmetik (Kaput, 2008; Blanton, 2015). Den första kategorin inkluderar bland annat likhetstecknets betydelse, att förstå matematiska relationer och att kunna resonera kring uttryck och ekvationer. Ett exempel på en uppgift är att kunna lösa och resonera kring likheten 8 5 __ 4. Den andra och tredje kategorin

FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

OM AKTUELL FORSKNING I ALGEBRADIDAKTIK

handlar om funktioner och variabler och inkluderar bland annat att kunna konstruera och läsa av tabeller, identifiera såväl mönster som funktionsregler och kunna beskriva dessa med ord samt förstå vilken roll variabler kan ha i olika matematiska kontexter. Den fjärde kategorin handlar om att kunna se när två kvantiteter är proportionella mot varandra och kunna ge exempel på och resonera kring proportionella samband. Slutligen i den femte kategorin, generaliserad aritmetik, fokuseras det på strukturer och relationer som uppkommer inom aritmetiken (Kaput, 2008). Detta kan handla om olika räknelagar som exempelvis kommutativa, associativa och distributiva lagen men också att man inom aritmetiken undersöker kvadrat‐ och kvadreringsreglerna. I den svenska skolmatematiken har de fyra första kategorierna mer eller mindre alltid varit välrepresenterade i såväl kursplaner som läroböcker. Betoningen på funktioner och variabler har stärkts med tiden vilket man till exempel kan se i den senaste kursplanen i matematik från 2011 där ”Samband och förändring”, som tidigare tillhört innehållsområdet algebra, lyfts fram som en egen kategori (Lgr 11). Detta är inte någon tillfällighet utan följer en internationell trend där ”study of change” bland annat har identifierats som ett nyckelområde i PISA:s ramverk kring skolmatematik. När det gäller den femte kategorin ovan, generaliserad aritmetik, så är den inte lika välrepresenterad inom den svenska skolalgebran (Hemmi m.fl., 2017). Vad detta beror på är svårt att säga men förmodligen kan det vara så att den helt enkelt inte tillhör den tradition inom skolalgebra som vi är vana vid att hålla oss till i Sverige. I den här läroboken har vi tagit fasta på detta, framför allt i kapitlet ”Räknelagar”. Samtliga fem kategorier behandlas utförligt, såväl teoretiskt som praktiskt med många exempel som belyser olika typer av algebraiskt tänkande och algebraiskt skrivande.

©FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

1. Mönster och talföljder Att utföra beräkningar är en del av matematiken. Att undersöka och försöka förstå mönster av olika slag är också en del av matematiken. Det kan handla om geometriska, aritmetiska eller algebraiska mönster, som ibland kan beskriva samma situation fast på olika sätt.

Att vara nyfiken, utmana sig själv och våga undersöka Många matematikuppgifter kan eleven lösa direkt, genom att använda (för eleven) kända formler och samband. Andra uppgifter kräver att man noga tänker igenom vad uppgiften handlar om. Som stöd för tänkandet kan man behöva skriva och rita. Vrida och vända på uppgiften för att bättre förstå den. Det gäller att våga pröva och att försöka. De flesta försök leder inte någon vart, men det kan räcka med ett enda lyckat försök för att man ska komma på hur uppgiften kan lösas. Ofta finns det flera olika sätt att lösa en uppgift. Som lärare är det extra viktigt att kunna lösa uppgifter på flera olika sätt, för att kunna möta eleverna i deras tänkande. Nedan redovisas flera lösningar till en och samma uppgift. Alla lösningar utnyttjar ett samspel mellan geometrisk, aritmetisk och algebraisk representation av det givna mönstret. Uppgift I bilden nedan visas fyra figurer som följer ett geometriskt mönster. Det finns större figurer som passar in i samma mönster. Beskriv antalet prickar i varje sådan figur med en algebraisk formel uttryckt i variabeln , där är figurens nummer.

FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

1. MÖNSTER OCH TALFÖLJDER

Lösning Denna uppgift kräver att eleven tar det lugnt och först bekantar sig med uppgiften. Vad handlar den om? Jo, att räkna antalet prickar. I en godtycklig figur med stycken prickar. Men kan vara vilket tal som helst, så vi behöver veta mer än det vi ser i bilderna. Å andra sidan kan vi börja med att räkna på det vi ser framför oss. Vi kan börja med att räkna antalet prickar i de fyra första figurerna. Tabell 1. Antalet prickar i de fyra första figurerna.

Figur nummer

Antal prickar

Vi går tillbaka till figurerna för att se om vi kan hitta någon struktur i talmönstret 1, 5, 12 och 22. Det geometriska mönstret kan delas upp på flera olika sätt. Även det aritmetiska mönstret (dvs. antalet prickar) kan delas upp på motsvarande sätt. Ett första sätt:

4 1 2 ∙ 2 1

Ett andra sätt:

9 3 3 ∙ 3 3

16 6 4 ∙ 4 6

6 6 2 ∙ 3 6

12 10 3 ∙ 4 10

2 3 1 ∙ 2 3

©FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

1. MÖNSTER OCH TALFÖLJDER

Ett tredje sätt:

1 1

4 2 ∙ 2

3 9 3 3 ∙ 3

6 16 6 4 ∙ 4

Lägg märke till att det tredje sättet har samma taluppdelning som det första, vilket beror på att antalet prickar i båda fallen kan tolkas med en kvadrat och en triangel. Ett fjärde sätt:

Vi provar att arbeta vidare utifrån det sista sättet. Vi kan räta ut det geometriska mönstret och visar detta för figur nummer 4.

Vi testar sedan att vrida figuren, för att se om det kan hjälpa oss att hitta något mönster.

FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

1. MÖNSTER OCH TALFÖLJDER

De två figurerna till vänster bildar tillsammans en rektangel. En lika stor rektangel får vi genom att bygga ihop de två figurerna till höger. Vi väljer att arbeta vidare med de båda figurerna till vänster. Om vi låter dem byta plats så ser vi tydligare hur de kan sättas ihop.

©FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

1. MÖNSTER OCH TALFÖLJDER

De två figurerna bildar tillsammans en stor rektangel, som kan delas upp i två kvadrater och en mindre rektangel.

4∙4

16 4∙4

12 3 ∙ 4

Av detta kan vi dra slutsatsen att antalet prickar i figur nummer 4 är precis hälften av det antal prickar vi ser i figuren till höger. Antalet prickar i figur nummer 4 är alltså lika med 4∙4

4∙4 2

3∙4

44 2

Nu kan vi börja spekulera om hur detta uttryck är kopplat till 4 och hur uttrycket eventuellt kan generaliseras till ett godtyckligt ‐ värde. Här är några möjliga generaliseringar, om vi enbart tar hänsyn till de talmönster vi ser på raden ovan: ∙

∙ 2 ∙

∙

3∙

1 ∙

2 2

För att övertyga oss själva om vilken generalisering som gäller ska vi också undersöka hur den geometriska konstruktionen (sammansättning av två figurer till en rektangel) fungerar för ett annat värde på . Vi väljer att undersöka fallet 7.

FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

1. MÖNSTER OCH TALFÖLJDER

Figur nummer 7 ser ut så här när vi har rätat ut den:

Vi gör motsvarande konstruktioner för denna figur.

7∙7

6 ∙ 7

Den sista figuren har 7 ∙ 7 7 ∙ 7 6 ∙ 7 prickar. Den figur vi började med har hälften så många prickar. Antalet prickar i figuren för 7 är därmed

7∙7

7∙7 2

6∙7

1. MÖNSTER OCH TALFÖLJDER

Nu kan vi känna oss ganska övertygade om att antalet prickar i figur nummer är ∙

∙

1 ∙ 2

3 2

Det sista uttrycket 3 2

kan tolkas geometriskt som hälften av ”tre kvadrater minus en rad”. saknas 7 saknas 4 Den sammansatta ”dubbelfiguren” kan ju tolkas just så. Om vi försöker lägga tre kva‐ drater över rektangeln så saknas det en rad i en av dessa kvadrater.

Denna typ av matematiska resonemang som uttrycker samband mellan olika typer av representationer (i detta fall geometrisk, aritmetisk och algebraisk representation) kan hjälpa elever att bygga upp en sammanhangsbunden förståelse för matematiken. Även om figurerna i viss utsträckning ”talar för sig själva” så spelar språket en viktig roll när vi skapar samband i matematiken. Vi behöver både använda oss av ett inre språk som stöd för vårt eget tänkande och ett yttre språk för att kommunicera och resonera tillsammans med andra. Detta kallas med vetenskapliga termer för intrapersonell respektive interpersonell kommunikation. Innan vi går vidare med fler mönster gör vi i nästa avsnitt en kort genomgång av begreppet representation. I avsnittet därefter introducerar vi de algebraiska begreppen uttryck, ekvation, formel och funktion.

FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

1. MÖNSTER OCH TALFÖLJDER

Att representera och förstå matematiska idéer Det finns olika sätt att tänka på begreppet ”språk”. Ett sätt är att tänka på representationer som en del av språket, ett annat sätt är att behandla naturligt språk (modersmål eller annat språk) och matematiska representationer som olika saker. Bilden nedan kan tolkas som ett försök att illustrera det sistnämnda synsättet. Det är svårt att kommunicera en matematisk idé med enbart naturligt språk. Ta till exempel det matematiska begreppet ”fem”. En elev som inte alls är bekant med begreppet ”fem” behöver få det ”förklarat” för sig med hänvisning till någon sorts representation. Läraren kan rita fem bollar på tavlan eller räkna 1, 2, 3, 4, 5 med hjälp av fingrarna, beroende på vad läraren vill få eleverna att tänka på när de samtidigt hör ordet ”fem”. En rent språklig representation kan fungera när eleven redan känner till olika representationer av begreppet, då kan det räcka att säga ”fem bollar” för att eleven ska förstå att läraren pratar om fem stycken bollar. Matematiska objekt kan representeras med hjälp av bilder, diagram, symboler, samt laborativt material och fysiskt med den egna kroppen. Att i handling visa genom att gå i en kvadrat eller längs en cirkel kan bidra till att bygga upp en bra känsla för matematiska samband och strukturer. Det naturliga språket har en särställning i och med att det inte enbart används för att represen‐ tera utan också för att stödja andra representationer.

1. MÖNSTER OCH TALFÖLJDER

En viktig egenskap är att olika representationer av samma objekt kan ha olika förklaringsvärden. Exempelvis kan 2 + 3 = 5 förklaras genom att flytta först två steg och sedan tre steg till (i verkligheten eller på en tallinje) eller genom att lägga ihop 2 bollar och 3 bollar. indirekt behandling

2 + 3 =

2 + 3 = 5

omvandling

omvandling direkt behandling

Däremot kan 2 + 3 = 5 inte förklaras genom att relatera till en tallinje där talen 2, 3 och 5 enbart är representerade som punkter. 2 + 3 = ???

??? 0 1 2 3 4 5 6 För att tallinjen ska fungera som stöd för tolkning av addition måste ytterligare omvandling göras, från punkter till tal‐pilar eller annan representation som stödjer en tolkning av tal som förflyttning. 2 + 3 = 5

0 1 2 3 4 5 6

Punkter fungerar utmärkt för att representera de enskilda talen 2, 3 och 5 men inte för att förklara additionen 2 + 3 = 5. I något annat fall, till exempel när eleven ska läsa av ett värde på tallinjen eller en längd på ett måttband, kan det vara just tolkningen med punkt som fungerar bäst.

FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

KAJSA BRÅTING HÅKAN SOLLERVALL ERIKA STADLER

Algebra för lärare

| Algebra för lärare

Syftet med boken är att ge matematikläraren den specialiserade kunskap i algebra som lärare behöver för att kunna bedriva en varierad och allsidig undervisning.

Algebra för lärare

Art.nr 39500

KAJSA BRÅTING HÅKAN SOLLERVALL ERIKA STADLER

studentlitteratur.se

978-91-44-11768-3_01_cover.indd 1

2017-05-11 14:09