9789147113293

Ryggbredd:

Denna övningsbok hör ihop med upplaga fem av faktaboken, Modern Reglerteknik, och innehåller en stor mängd övningar i grundläggande reglerteknik, såväl teoretiska som praktiska. Även facit ingår. Övningarna testar studentens förmåga att förstå och tillämpa innehållet i faktabokens samtliga huvuddelar. De omfattar introduktion i reglerteknik, grundläggande systemteori, analoga reglersystem, tidsdiskret reglering samt givare, regulatorer, komponenter med mera. Modern reglerteknik är förmodligen det mest kompletta kurspaketet i ämnet.

Modern Reglerteknik Övningsbok

Modern Reglerteknik ÖVNINGSBOK

Modern Reglerteknik BERTIL THOMAS

Övningsbok

Bertil Thomas är docent vid Chalmers Tekniska Högskola och har undervisat i många år. Han är författare till ett flertal böcker inom reglerteknik.

BERTIL THOMAS

Best.nr 47-11329-3 Tryck.nr 47-11329-3

4711329ot_MR.indd 1,3

12/24/16 9:58 AM

Modern Reglerteknik Ă–vningsbok

Bertil Thomas

Liber

ďťż

47113293_Modern reglerteknik Ovningsbok_FM.indd 1

12/14/16 10:13 PM

Innehåll Förord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. Inledning till reglertekniken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. Användningsområden för reglerteknik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3. Egenskaper hos processer och reglersystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4. Klassiska reglerprinciper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5. Differentialekvationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6. Laplacetransformer och överföringsfunktioner. . . . . . . . . . . . . . . . 21 7. Modellering och identifiering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 8. Blockschemareduktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 9. Frekvensanalys. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 10. Beräkning av egenskaper hos reglersystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 11. Dimensionering av analoga reglersystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 12. Mer om dimensionering av analoga regulatorer. . . . . . . . . . . . . . . 72 13. Multivariabel reglering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 14. Tillståndsmodeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 15. Tidsdiskret reglering − introduktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 16. z-transformen och tidsdiskreta överföringsfunktioner . . . . . . . . . 95 17. Bestämning av tidsdiskreta överföringsfunktioner. . . . . . . . . . . . . 98 18. Beräkning av egenskaper hos tidsdiskreta system. . . . . . . . . . . . 103 19. Dimensionering av tidsdiskreta regulatorer. . . . . . . . . . . . . . . . . 107 20. Fuzzy Control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 21. Givare och mätdon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 22. Praktiska regulatorer, fältbussar m m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 23. Styrdon, reglerventiler, instrumentsymboler. . . . . . . . . . . . . . . . 123 24. Matlab och Simulink. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 25. Blandade uppgifter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Facit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

47113293_Modern reglerteknik Ovningsbok_FM.indd 3

12/14/16 10:13 PM

Förord Denna övningsbok innehåller uppgifter i grundläggande reglerteknik och är främst avsedd att användas tillsammans med upplaga fem av faktaboken Modern Reglerteknik. I denna nya upplaga av övningsboken har ett antal räkneuppgifter tillkommit och några andra har utgått.

Jämfört med upplaga fyra av övningsboken har följande uppgifter om­ numrerats: 7.18, 7.19, 11.2-11.18, 24.1-24.35. Övriga har kvar den gamla numreringen. Dessutom har följande uppgifter ändrats eller tillkommit: 6.8, 6.9, 6.14c, 7.7, 7.18, 11.2, 11.8, 17.1 och 25.11–25.19.

De grundläggande Matlab-uppgifterna (24.1–24.10) i kapitel 24 har utgått.

Istället har vi lagt in fler blandade uppgifter i kapitel 25.

Lycka till med uppgifterna!

Göteborg, december 2016 Bertil Thomas

5

47113293_Modern reglerteknik Ovningsbok_FM.indd 5

12/14/16 10:13 PM

1. Inledning till reglertekniken 1.1 Figuren föreställer ett reglersystem för konstanthållning av temperaturen från en värmeväxlare, där tilloppstemperaturen är varierande.

Förbrukad ånga

Ti Värmeväxlare

Utflöde T

Φ Reglerventil

Regulator

Från ångpannan

– + Börvärde

a) Förklara hur systemet fungerar. b) Rita ett blockschema över systemet. c) Ange vad som är reglerad storhet, störning, styrdon och reglerobjekt.

Vilken sorts givare används i systemet?

1.2 Ett garage ska uppvärmas med ett elektriskt element. Rita en figur över hur systemet kan vara uppbyggt i nedanstående två fall. Rita även blockschema i båda fallen. a) Systemet ska byggas som ett öppet system, dvs ingen automatisk reglering ska förekomma. Effekten till elementet ska ställas in manuellt med en vridpotentiometer. b) Systemet ska byggas som ett slutet system med temperaturgivare, jämförare och regulator. För inställningen av önskad temperatur används en vridpotentiometer.

1. Inledning till reglertekniken

47113293_Modern reglerteknik Ovningsbok_Uppgifter.indd 7

7

12/16/16 5:54 PM

1.3 Förklara vad som menas med följande reglertekniska begrepp: – återkoppling och återkopplade reglersystem – enkelvariabla/multivariabla reglersystem – börvärde/ärvärde – störningar i ett reglersystem – jämförare, styrsignal, regulator

8

47113293_Modern reglerteknik Ovningsbok_Uppgifter.indd 8

12/16/16 5:54 PM

2. Användningsområden för reglerteknik 2.1 Figurerna visar schematiskt ett system för nivåreglering och ett system för temperaturreglering. Tänk igenom funktionen hos systemen och rita upp deras blockscheman. a)

b)

Reglerventil

Ti

-h Het ånga Nivågivare

Variabelt utflöde

Regulator Börvärde

+

VärmeRegler- växlare ventil

T Temperaturgivare

Regulator Börvärde

–

+

–

2.2 Figurerna visar ett system för flödesreglering och ett system för koncentrationsreglering. Rita blockschemat för systemen. a)

b) Koncentrerad syra Reglerventil

Flödesgivare

Φ

Reglerventil Regulator Utspädd syra –

Regulator Börvärde

+

–

2 . A n vä n d n i n g s o m r å d e n f ö r r e g l e r t e k n i k

47113293_Modern reglerteknik Ovningsbok_Uppgifter.indd 9

Omrörare

+ Börvärde

Koncentrationsgivare

9

12/16/16 5:54 PM

2.3 Nämn några reglersystem som förekommer i: – kemisk processindustri – verkstadsindustri – flygplan och båtar – bilar och bussar – människokroppen

2.4 Reglersystem kan i princip byggas på två olika sätt, dels som öppna system (utan återkoppling), dels som slutna system med återkoppling. Den senare principen är utan tvekan den vanligaste. a) Vilka fördelar har ett återkopplat system jämfört med ett öppet system (normalt sett)? b) Vilka nackdelar kan det återkopplade systemet ha jämfört med det öppna systemet?

10

47113293_Modern reglerteknik Ovningsbok_Uppgifter.indd 10

12/16/16 5:54 PM

3. Egenskaper hos processer och reglersystem 3.1 Figurerna visar den statiska karakteristiken för två olika likströmsmotorer, A och B, d v s sambandet mellan spänning och varvtal i statiskt tillstånd. a) Vilken av de båda motorerna är olineär? b) Hur stor är den statiska förstärkningen för motor A? c) Hur stor är den statiska förstärkningen för motor B? Räkna dels på fallet då spänningen U är mellan 0 och 6 volt, dels på fallet då U är mellan 12 och 18 volt. (rpm)

n

600

600

400

400 Motor A

200 0

0

(rpm)

n

6

12

Motor B

200

18

U (V )

0

0

6

U (V )

18

12

3.2 Figurerna visar stegsvaret för två processer med en tidskonstant.

Hur stor är tidskonstanten T för de båda processerna? a) b)

0 10 20 30 40 50 60

ms

t

0

1

2

3

3. Egenskaper hos processer och reglersystem

47113293_Modern reglerteknik Ovningsbok_Uppgifter.indd 11

4

5

6

s

t

11

12/16/16 5:54 PM

3.3 Figuren visar stegsvaret för en process med dödtid och en tidskonstant.

Hur lång är dödtiden och hur stor är tidskonstanten?

0

2

4

6

8

10

12

s

t

3.4 En process har dödtiden 5 sekunder och tidskonstanten 10 sekunder.

Skissera stegsvaret för processen.

3.5 Figuren visar stegsvaret för ett helt reglersystem vid börsvärdesändringar.

Bestäm stigtiden tr, insvängningstiden (till ± 5 %) och översvängen M (räknat i %).

1 0,5 10

20

30

40

s

t

3.6 a) För en viss process med en tidskonstant fastställde man vid en mätning att det tog 12 sekunder för utsignalen att nå upp till 50 % av sitt slutvärde vid en stegformad insignaländring. Hur stor är processens tidskonstant? b) För en annan process med en tidskonstant tog det 10 minuter att komma upp till 90 % av slutvärdet. Hur stor var tidskonstanten för denna process?

12

47113293_Modern reglerteknik Ovningsbok_Uppgifter.indd 12

12/16/16 5:54 PM

3.7 Ge några exempel på processer med: – dödtid – integration – översväng – instabila processer

3.8 Förklara vad som menas med följande begrepp: a) Stabilitet b) Instabilitet c) Robusthet d) Stigtid och insvängningstid e) Störningsdämpning f) Styrsignalaktivitet g) Processer med omvänt stegsvar

3.9 Nämn några typer av processer där det kan vara viktigt att klara rampformade börvärdesändringar utan att få något kvarstående fel.

3. Egenskaper hos processer och reglersystem

47113293_Modern reglerteknik Ovningsbok_Uppgifter.indd 13

13

12/16/16 5:54 PM

4. Klassiska reglerprinciper 4.1 a) Rita i figurerna hur sambandet mellan in- och utsignalen kan se ut för en P-regulator, en tvålägesregulator respektive en trelägesregulator.

Utsignal u

Utsignal u

Utsignal u

Insignal e

Insignal e

Insignal e

b) Förklara varför man inte kan rita samma typ av diagram för en regulator med I-verkan eller D-verkan, t ex en PI-regulator eller en PD-regulator.

4.2 Figuren visar ett specialutformat reglersystem för temperaturreglering i en ugn.

Kapillärrör

Vätskefylld bulb

Bälg Värmeelement

Fjäder

Ugn

a) Förklara hur systemet fungerar. b) Vilken reglerprincip är det frågan om? c) Vad används som givare, styrdon respektive jämförare?

14

47113293_Modern reglerteknik Ovningsbok_Uppgifter.indd 14

12/16/16 5:54 PM

4.3 För en viss P-regulator u = u0 + K ∙ e gäller att styrsignalens normalvärde är u0 = 120 enheter och att förstärkningen K är 2,5 ggr. Beräkna hur stor regulatorns styrsignal u blir i följande fall: a) Om e = 0

b) Om e = − 2 enheter

c) Om e = + 2 enheter

d) Om e = + 4 enheter

4.4 För en viss PD-regulator u = u0 + K ∙ e + TD ∙ eʹ(t) gäller att styrsignalens normalvärde är u0 = 120 enheter, förstärkningen K = 2,5 ggr och derivatatiden TD = 3 sekunder. Beräkna hur stor regulatorns styrsignal blir i följande fall: a) Om e = 0 samtidigt som eʹ(t) = 0 b) Om e = 0 samtidigt som eʹ(t) = + 2 enheter/s c) Om e = 0 samtidigt som eʹ(t) = − 2 enheter/s d) Om e = 5 samtidigt som eʹ(t) = + 2 enheter/s

4.5 Figuren visar sambandet mellan insignalen e och utsignalen u för en viss P-regulator. Bestäm det matematiska sambandet mellan e och u inom det lineära området. Hur stor är regulatorns förstärkning?

Utsignal u 40 20 3

–3

Insignal e

–20 –40

4.6 En PI-regulator har förstärkningen K = 2,5 och integrationstiden TI = 5 s.

Rita en figur på hur regulatorns stegsvar ser ut (antag att steghöjden har storleken = 1).

4. Klassiska reglerprinciper

47113293_Modern reglerteknik Ovningsbok_Uppgifter.indd 15

15

12/16/16 5:54 PM

4.7 Figuren visar stegsvaret för en PI-regulator. Bestäm integrationstiden TI och förstärkningen K. 2 1,5 1 0,5

10

20

30

40

(s)

t

4.8 Figuren visar hur insignalen e till en ideal PID-regulator såg ut vid en registrering.

Rita diagram över hur utsignalen från P-delen, D-delen och I-delen såg ut vid samma tillfälle. Antag att utsignalen från I-delen var noll från början. e

UP

P t

e

K

I D

+

+

u

UI + UD

4.9 Insignalen till den deriverande delen av en PID-regulator såg vid ett visst tillfälle ut enligt figuren nedan. Rita en figur som visar hur utsignalen såg ut till följd av den aktuella insignalen (schematiskt). e

t

16

47113293_Modern reglerteknik Ovningsbok_Uppgifter.indd 16

12/16/16 5:54 PM

4.10 Insignalen e(t) till en PD-regulator hade vid ett visst tillfälle nedanstående utseende. PD-regulatorns förstärkning var K = 1 och dess deriveringstid var TD = 0,5. Rita en figur på hur utsignalen från regulatorn såg ut till följd av den aktuella insignalen. (Antag att u0 = 0.) e (t)

1 0

2

4

6

8

tid (sekunder)

–1

4.11 Diskussionsfrågor: Avgör vilka av nedanstående påståenden som är sanna respektive falska: a) Höga värden på förstärkningen K leder ofta till dålig stabilitet hos ett reglersystem med P-reglering. b) Processer med lång dödtid är vanligen svårare att reglera än processer med kort dödtid. c) Tvålägesreglering används främst i samband med enklare temperaturreglering. d) Med hjälp av deriverande verkan kan man ofta eliminera kvarstående fel hos ett reglersystem. e) Med hjälp av deriverande verkan kan man ofta förbättra stabiliteten hos ett reglersystem. f) Integrerande verkan kan aldrig användas ensam, den måste kombineras med andra reglerformer. g) En fördel med integrerande verkan är att kvarstående fel vid stegstörningar normalt elimineras. h) Ju större förstärkning en P-regulator har, desto större blir också det proportionella bandet. i)

Deriverande verkan bör användas med försiktighet om man har processer med kraftiga mätstörningar.

4. Klassiska reglerprinciper

47113293_Modern reglerteknik Ovningsbok_Uppgifter.indd 17

17

12/16/16 5:54 PM

4.12 En P-regulator används för att reglera temperaturen i en industriell torkkammare. Kammaren är utrustad med ett värmeelement vars effekt kan ställas in mellan 0 och 8 kW. Effekten bestäms av en regulator med tillhörande effektförstärkare. Regulatorns insignal är felet e, utsignalen är effekten P. Se figur.

Följande gäller: – Normalt börvärde i kammaren är 65 grader.

– Normalt behövs en grundeffekt på ca 4 kW för att hålla temperaturen 65 grader. Styrsignalens normalvärde skall alltså vara 4 kW.

2

1 = Värmeelement 2 = Temperaturgivare 3 = Regulator med effektförstärkare, börvärdesgivare och jämförare

Torkkammare

1

3

a) Rita ett blockschema över reglersystemet. Rita in alla variabler med tillhörande enheter. b) Antag att vi ska använda en P-regulator med förstärkningen K = 0,4 kW/°C. Hur ser algoritmen för regulatorn ut? c) Rita ett diagram för sambandet mellan temperatur T och effekt P. d) Hur stort är det proportionella bandet? e) Hur ser sambandet ut om förstärkningen ökar till 0,8 kW/°C? f) Hur stort blir det proportionella bandet nu? g) Vad skulle hända om förstärkningen var oändligt stor?

18

47113293_Modern reglerteknik Ovningsbok_Uppgifter.indd 18

12/16/16 5:54 PM

Facit Börvärde BörBörvärde värde Börvärde

1.1 b)

+

Inloppstemperatur Ti InloppsInloppstemperatur Ti Reglertemperatur Ti VärmeventilInloppsväxlare temperatur Ti VärmeReglerFlöde Φ ReglerVärmeventil växlare ventil växlare TemperaturReglerVärmeFlöde Φ givare ventil Flöde Φ växlare TemperaturTemperatur- Flöde Φ givare givare Temperaturgivare

Regulator

+– + – +–

Regulator Regulator Regulator

–

Temperatur T Temperatur T Temperatur T Temperatur T

c) Reglerad storhet = temperaturen T; Störning = inloppstemperaturen Ti; Styrdon = reglerventil; Reglerobjekt = värmeväxlaren; Typ av givare = temperaturgivare Utetemperatur

1.2

Vridpotentiometer VridpotenVridpotentiometer tiometer Vridpotentiometer

a) Öppet system Rattläge (önskad effekt) Rattläge Rattläge (önskad (önskad effekt) Rattläge effekt) (önskad effekt)

u u u u

b) Slutet system RattVridpotenläge tiometer (önskad VridpotenRatttemperatur) RattVridpotenläge tiometer läge tiometer (önskad RattVridpoten(önskad temperatur) läge tiometer temperatur) (önskad temperatur)

1.3

+ _ + +_ _ + _

Utetemperatur ElektrisktUtetemperatur Temperatur T Garage element ElektrisktUtetemperatur Värme- Garage Temperatur T Elektriskt element Temperatur T effekt Garage element Elektriskt VärmeTemperatur T Garage Värmeelement effekt effekt Värmeeffekt Utetemperatur

Regulator Regulator Regulator Regulator

Se faktaboken!

2.1 a)

b)

Börvärde (nivå) BörBörvärde värde (nivå) Bör(nivå) värde (nivå)

+

Regulator Regulator

+_

Regulator

_

Bör+ värde (temperatur)

–

Temperatur T TemperaTemperatur T tur T Temperatur T

Utflöde

Regulator

_ + +_

Utetemperatur Elektriskt Utetemperatur Garage element Utetemperatur u Elektriskt Garage u Elektriskt element Garage element Temperaturu Elektriskt givare Garage element TemperaturTemperaturgivare givare Temperaturgivare u

Regulator

Reglerventil ReglerReglerventil ventil NivåReglergivare ventil NivåNivågivare givare Nivågivare

_ Utflöde Utflöde + _ _ Utflöde + +

_

+

Behållare

Nivå

Behållare Behållare

Nivå Nivå

Behållare

Nivå

Inloppstemperatur

Reglerventil

Tankprocess

Temperatur

Ångflöde Temperaturgivare

149

Fa c i t

47113293_Modern reglerteknik Ovningsbok_Facit.indd 149

Densitet, tryck mm

12/14/16 10:11 PM

Temperaturgivare Densitet, tryck mm

2.2 a)

Bör+ värde – (flöde) Bör+ Bör+ värde värde – (flöde) – (temperatur)

Densitet, InloppsReglertryck mmFlödesventiltemperatur process

Regulator

FlödesRegler- Ventilöppning ReglerTankprocess ventil Flodesventil process givare Ventilöppning Ångflöde FlodesTemperaturgivare givare

Regulator Regulator

Flöde Flöde Temperatur

Flöde mm

b)

+ Börvärde (koncentra+ Börtion) värde Bör+ (koncentravärde tion) – (flöde)

– –

Regler- Flöde mm Tank ventil Densitet, tryck mm Tillsats koncenReglerTank trerad syra ventil KoncentraFlödesReglertionsgivare Tillsats process koncenventil Koncentra- trerad syra tionsgivareVentilöppning

Regulator Regulator Regulator

2.3

+

3.1

– +

Börvärde

–

+ Böra) B är icke-linjär värde (koncentration)

–

Regulator

3.2

1

1 ≈ 25 ms a) T

3.3

Lage hos robotarmen,Θ

Motor

∆n 600 = = 33 rpm/v ∆U 18

250 = 41, 7 rpm/v tionsgivare 6

U = 12 − 18V ⇒ k =

–

u

b) k =

+

Flöde

Flöde mm u Lage hos Regulator Motor robotarmen,Θ Vinkelgivare ReglerKoncenRegulator Tank ventil tration Vinkelgivare Tillsats koncenKoncentra- trerad syra

c) U = 0 − 6V ⇒ k =

Börvärde

Koncentration

Flodesgivare

Se faktaboken!

Börvärde

Koncentration

100 = 16, 7 rpm/v 6

Regulator

u

b) T ≈ 1 s

Lage hos robotarmen,Θ

Motor

10

20

Vinkelgivare 30

(s)

10

20

30

(s)

t t

Dödtid ≈ 2 s Tidskonstanten ≈ 2 s

3.4 1

10

20

30

(s)

t

150

47113293_Modern reglerteknik Ovningsbok_Facit.indd 150

12/14/16 10:11 PM

ISBN 978-91-47-11329-3 © 2017 Bertil Thomas och Liber AB Förläggare: Teckningar:

Simon Dalili Eva Henningsson Ingvar Andersson Björn Magnusson

Grafisk form: Ombrytning: Produktion:

Björn Larsson/Nette Lövgren Nette Lövgren Jürgen Borchert

Femte upplagan 1 Repro: Integra Software Services, Indien Tryck: People Printing, Kina, 2017

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t ex kommuner/universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet.

Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm tel 08-690 90 00 www.liber.se kundservice tel 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se

47113293_Modern reglerteknik Ovningsbok_FM.indd 2

12/26/16 11:40 AM

Ryggbredd:

Denna övningsbok hör ihop med upplaga fem av faktaboken, Modern Reglerteknik, och innehåller en stor mängd övningar i grundläggande reglerteknik, såväl teoretiska som praktiska. Även facit ingår. Övningarna testar studentens förmåga att förstå och tillämpa innehållet i faktabokens samtliga huvuddelar. De omfattar introduktion i reglerteknik, grundläggande systemteori, analoga reglersystem, tidsdiskret reglering samt givare, regulatorer, komponenter med mera. Modern reglerteknik är förmodligen det mest kompletta kurspaketet i ämnet.

Modern Reglerteknik Övningsbok

Modern Reglerteknik ÖVNINGSBOK

Modern Reglerteknik BERTIL THOMAS

Övningsbok

Bertil Thomas är docent vid Chalmers Tekniska Högskola och har undervisat i många år. Han är författare till ett flertal böcker inom reglerteknik.

BERTIL THOMAS

Best.nr 47-11329-3 Tryck.nr 47-11329-3

4711329ot_MR.indd 1,3

12/24/16 9:58 AM