9789144109053 by Smakprov Media AB

Maskinelement Mart MĂ¤gi Kjell Melkersson Magnus Evertsson

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access . Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 39008 ISBN 978-91-44-10905-3 Upplaga 1:1 © Författarna och Studentlitteratur 2017 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Jens Martin, Signalera Omslagsillustration: Kjell Melkersson Språkgranskning: Ann-Charlotte Ekhed Stenberg Printed by Lapaprint, Valmiera, Latvia 2017

Innehållsförteckning 1 Inledning och allmänna grunder

1.1 Målsättning och metodik 1.2 Standard 1.3 Grunder vid analys av maskinelement Jämviktsekvationer Kompatibilitetsvillkor (kontinuitetsvillkor) Konstitutiva samband Grundekvationers karaktär 1.4 Kraftﬂödesbegreppet 1.5 Frikroppsdiagrammet 1.6 Dimensioneringskriterier Spänningsanalys Deformationsanalys Stabilitets- och vibrationsanalys Tribologiska dimensioneringskriterier 1.7 Utmattning Belastningstyper och spänningar Utmattningsfenoments statistiska natur Livslängdens belastningsberoende: Wöhler-kurvan Varierande belastning — delskadeteorin Inverkan av mittlast: Haigh-diagram Dimensionerande utmattningsspänningar Utmattningsförhöjande åtgärder 1.8 Säkerhetsfaktorer och tillförlitlighetsteknik 1.9 Tribologi Olika typer av relativrörelse Smörjningens mål och smörjmedlens indelning Uppkommande skador Översikt av tribologiska teorier Coulombs friktionshypotes ”Stick-slip” Bowden & Tabors asperitetsteori Archards nötningshypotes Reynolds’ hydrodynamiska smörjningsteori Hertz kontaktteori 1.10 Kraft- och formbetingad funktion

1 4 6 6 7 7 8 9 10 12 12 15 15 15 16 17 19 20 22 23 27 29 29 31 31 32 33 33 36 37 39 40 42 48 53

2 Förband

A. Plana förband

2.1 Förbandens funktion och indelningsgrunder 2.2 Skruvförband Gängan Utförandeformer på skruvar och muttrar

56 56 60

Speciellt utmattningståliga skruvar Skruvförbandets kraftöverförande funktion Gängans mekanik Förspända skruvförband Dynamiskt belastade förspända förband Skruvdimensionering och skruvkvaliteter Montering av förspända skruvförband Skruvars självlossning och säkringsmetoder Dimensionering av skruvgrupper Utformning av skruvförband 2.3 Nitförband Nitar och nitningsmetoder Nitens funktion Dimensionering av nitförband Belastningsfördelning i nitgrupp Inverkan av plåtarnas elasticitet

B. Rotationssymmetriska förband

2.4 Krymp- och pressförband Utförandeformer Montering av KP-förband Beräkning av överförbar belastning Bestämning av trycket p Bestämning av spänningar och greppet ∆ Val av tolerans, passning och ytjämnhet Formförändringar Mikroglidning och glidzon 2.5 Klämförband Dimensionering Klämringsförband 2.6 Kil-, bom-, pinn- och låsringsförband a1) Kilförband a2) Bomförband (Splines) b) Låsringsförband c) Pinnförband 2.7 Koniska förband Funktion och utförandeformer Momentöverföring med koniskt förband Spänningsberäkning vid koniska förband 2.8 Expanderande och kompressibla förband Koniska spännringar Toleransringar SPIETH klämhylsa BECO-LOCK-bussning SH-bussning ETP-bussning

60 62 63 67 76 76 79 80 81 83 84 84 86 89 90 92

93 93 94 95 96 96 100 101 102 103 103 106 106 106 108 111 112 113 113 114 116 116 116 118 119 120 120 121

3 Fjädrar

122

4 Axlar och rotorer

156

3.1 Funktionskrav och funktionsegenskaper 3.2 Utförandeformer 3.3 Speciella egenskaper för linjära fjädrar Allmänt Energiekvationen Serie- och parallellkoppling 3.4 Skruvfjädrar med linjär karakteristik Utförandeformer Grundläggande analys av axiellt belastade skruvfjädrar Allmän analys av skruvfjädrar Skruvfjädrars tillverkning 3.5 Övriga fjädrar med linjär karakteristik Koniska skruvfjädrar Spiralfjädrar Bladfjädrar Torsionsstavar Ringfjädrar 3.6 Fjädrar med icke-linjär karakteristik Allmänt Tallriksfjädrar (BELLEVILLE-fjädrar) Rullbandsfjädrar (NEGATOR-fjädrar) Gummifjädrar Gasfjädrar

4.1 Allmänt Inledning Vanliga problemkategorier i samband med axlar Standard Speciella axlar 4.2 Dimensionering av axlar Bakgrund Belastnings- och deformationsanalys Statiskt obestämda axelsystem Kälkänslighet och utmattning 4.3 Egenvärdesproblem vid axlar och rotorer Svängningsproblem - översikt Kritiska varvtal vid en skiva Böjsvängningar vid en skiva Jämförelser kritiska varvtal - böjsvängningar Rotorer med ﬂera skivor Olika faktorers kvalitativa inverkan på kritiska varvtal Överkritiska hastigheter Axlar med kontinuerlig massbeläggning Torsionssvängningar Stabilitetsproblem 4.4 Kombinerade egenvärden

122 123 124 124 126 126 127 127 129 131 140 141 141 142 143 144 144 147 147 148 150 153 154

156 156 158 159 159 159 159 161 164 166 166 166 168 174 178 180 183 184 184 185 188 188

Southwell-Dunkerleys approximationsmetod Neubers approximationsmetod 4.5 Balansering av rotorer Inledning Balanseringsprinciper Balansering av stela rotorer Balansering av elastiska rotorer

188 190 190 190 192 192 195

5 Lagringselement

198

6 Tätningar

266

5.1 Funktionskrav och klassificering 5.2 Rullningslager Inledning Lagerkomponenter Lagertyper Yttre laster och materialpåkänningar Rullningslagers lastbärighet och livslängd Livslängd för sammanbyggda lagerkomplex Livslängd vid varierande last Rullningslagers smörjning Rullningslagers rörelsemotstånd Inbyggnad av rullningslager 5.3 Hydrodynamiskt smorda lager Dynamisk uppbyggnad av smörjfilmen Reynolds ekvation Plana blocklager Kavitation Plana blocklager för planstyrning och axiallagring Radiallager Dimensionering av radiallager Praktisk utformning av radiallager 5.4 Hydrostatiskt smorda lager Uppbyggnad av hydrostatiska lager Förhållanden vid en ficka Metoder för smörjmedelstillförsel Lagerstyvheter Praktiska utförandeformer Beräkningsmetoder 5.5 Tunnfilmssmorda och osmorda lager Inledning Lagermaterial och utförandeformer Inverkan av smörjmedel Empirisk dimensionering 5.6 Speciella lager Ädelstenslager Magnetlager 6.1 Funktionskrav och indelningsgrunder

198 201 201 202 203 205 209 213 214 217 218 218 220 220 220 221 230 232 234 239 241 243 243 245 251 253 254 256 256 256 256 259 260 263 263 263 266

6.2 Allmän typ- och prestandaöversikt 6.3 Elastomertätningar Statiska elastomertätningar Dynamiska elastomertätningar - translationsrörelse Dynamiska tätningar - rotationsrörelse Läpptätningar 6.4 Tätning av gängade förband 6.5 Spalttätningar Radialspalt Axiell spalt

267 271 271 273 274 274 275 275 276 281

7 Bromsar

285

8 Axelkopplingar

308

7.1 Funktion och indelning 7.2 Bandbromsar Bandkrafter och tryckfördelning Ansättningskrafter och bromsmoment Inbromsningsförlopp 7.3 Skivbromsar Formstyrd ansättning Kraftstyrd ansättning Temperaturökning vid enstaka bromsning Temperaturförlopp vid upprepade bromsningar Självhämning 7.4 Backbromsar Tryckfördelningshypoteser Utvändiga backbromsar Invändiga backbromsar 7.5 Övriga bromsar 8.1 Funktion och indelning 8.2 Val av axelkoppling 8.3 Fasta kopplingar Skålkoppling Skivkoppling Hylskoppling 8.4 Ledbara kopplingar Länkarmskoppling Glidblockskoppling Kardankoppling Kulkoppling Tandkoppling 8.5 Elastiska kopplingar Stålbandskoppling Skruvfjäderkoppling Gummielementskopplingar 8.6 Manövrerbara kopplingar Klokoppling

285 287 288 289 290 291 292 296 297 298 298 298 299 301 302 307

308 310 317 317 317 318 319 319 319 321 324 325 325 326 326 327 327 328

Tandkoppling Lamellkoppling Konkoppling Synkroniseringsdon 8.7 Frihjulskopplingar Frihjulskoppling med spärrhakar Frihjulskoppling med rullar Frihjulskoppling med klämkroppar 8.8 Säkerhetskopplingar Friktionskoppling Brytpinnekoppling Snäppkoppling 8.9 Centrifugalkopplingar 8.10 Elektromagnetiska och hydrodynamiska kopplingar Elektromagnetisk koppling Hydrodynamisk koppling Hydrodynamisk momentomvandlare

328 328 330 331 334 334 335 336 337 337 337 337 338 339 340 340 341

9 Mekaniska transmissioner översikt

343

10 Remväxlar

353

9.1 Grundläggande begrepp Funktionsprinciper Utväxling och verkningsgrader Val av transmissionstyp

10.1 Typer av remmar och remskivor Remtyper Remskivor 10.2 Remväxlars geometri 10.3 Kraftverkan i remväxlar Remkrafter, vridmoment och överförd effekt Kraftsamverkan mellan ﬂatrem och skiva Kraftkvot och belastningsgrad Glidzon och vilozon Kraftsamverkan mellan kilrem och skiva Kilremmens axialkraft 10.4 Förspänning av remväxlar A. Givet axelavstånd B. Given axelbelastning C. Spännrulle D. Tyngden av ledlagrat drivaggregat E. Självspännande utbalanserat drivaggregat F. Given axiell klämkraft (vid kilrem) Sammanfattande om förspänningsmetoder 10.5 Förluster och verkningsgrad Hastighetsförluster Momentförluster

343 345 347 351

353 353 355 357 358 358 359 362 362 363 365 367 367 368 369 371 372 373 374 375 375 378

Totalverkningsgraden 10.6 Belastning och livslängd Spänningar Utmattning och livslängd 10.7 Dimensionering och praktiska utföranden av remväxlar Växlar med ﬂatrem Växlar med kilrem Remväxeln Jämförelse mellan olika remtyper

11 Kuggväxlar

11.1 Systematik och kinematik Kuggväxeltyper 11.2 Utvändiga cylindriska rakkuggväxlar Kugghjulets geometri Kuggväxelns geometri Tillverkning Toleranser och passningar Kontrollmätning Kuggkrafter Påkänningar i kuggen 11.3 Invändiga cylindriska rakkuggväxlar Kugghjulets geometri Kuggväxelns geometri Krafter och verkningsgrad Flankpåkänning Kuggrotspåkänning 11.4 Cylindriska snedkuggväxlar Primära storheter Transversal - och normalplanet Kuggstång och modulsystem Samarbetande snedkugghjul Ekvationer för snedkuggväxel Ingreppstal Kuggkrafter Dimensionering Beräkningslast enligt SMS Flankpåkänning enligt SMS Kuggrotspåkänning enligt SMS Tillåtna påkänningar enligt SMS Val av kuggdata Smörjning av kuggväxlar 11.5 Kuggväxlar med koniska hjul Indelning och deﬁnitioner Kuggformer Geometri för koniska växlar Kuggkrafter och dimensionering Tillverkningsmetoder

379 379 379 381 382 384 386 387 388

390 390 390 399 400 408 413 416 416 418 420 426 427 428 431 432 433 435 436 436 438 440 441 441 442 443 444 444 446 448 448 451 454 454 455 455 457 460

Montering av koniska växlar Hypoidväxlar 11.6 Snäckväxlar Inledning och deﬁnitioner Geometri och tillverkning Kuggkrafter och verkningsgrad Användningsområden

461 461 462 462 463 465 467

12 Kedje- och kuggremsväxlar

468

13 Planetväxlar

485

14 Växellådor

500

12.1 Typer och uppbyggnad Kedjor Kuggremmar 12.2 Geometri 12.3 Kinematik Polygonverkan Utväxling 12.4 Effektöverföring 12.5 Krafter på tandhjulet Kedjehjul Kuggremshjul Kedjeverkan - remverkan 12.6 Förluster och verkningsgrad 12.7 Dimensionering av kedjor och kuggremmar Växlar med rullkedjor Växlar med kuggremmar

13.1 Uppbyggnad 13.2 Hastigheter Rullningsvillkor Monteringsvillkor 13.3 Moment 13.4 Effekter 13.5 Verkningsgrad Självhämning 13.6 Alternativa analysmetoder 14.1 Hastighetsreglering 14.2 Stegväxlar Kuggväxellåda Planetväxellåda 14.3 Variatorer Remvariatorer Rullningsvariatorer Frihjulsvariator

469 469 469 470 471 472 473 474 475 476 477 479 479 480 480 484 485 487 487 489 490 492 494 495 498

500 501 501 501 505 505 509 512

Kapitel 3:

Fjädrar I maskiner finns ofta behovet att förena dess mer eller mindre stela delar på ett medvetet eftergivligt sätt. Funktionen förena delar tillgodoses vanligast med element som klassificeras som förband (se kapitel 2) och som är i stort sett stumma. Det finns anledning att gruppera medvetet deformerbara förband under särskild rubrik: fjädrar. För en fjäder är dess konstitutiva samband dess mest betydelsefulla egenskap: sambandet mellan belastningar och deformationer. I enklaste fall beskrivs den egenskapen av endast en fjäderkonstant. En fjäder förväntas dessutom uppvisa samma samband mellan deformationer och statisk belastning vid olika och upprepade på- och avlastningar. En enstaka belastningscykel får inte påverka fjäderns egenskaper. De konstitutiva sambanden förväntas därför vara av elastisk natur, vilket utesluter t. ex. plastiskt beteende.

3.1 Funktionskrav och funktionsegenskaper Fjädrar placeras mellan två kroppar för att tillgodose bl. a. följande funktionskrav: • skapa väldeﬁnierad kraft • lagra energi • uppta deformationer • mildra stötar • fördela belastningar

Fjädrande förband förekommer i många olika utföranden. I de ﬂesta fall kan man dock renodla funktionen till att vara begränsad till: • linjära fall: translation och kraft • angulära fall: rotation och moment

i en, två eller tre dimensioner. Sammanfattande för alla fjädrar kan man tala om belastning (kraft  resp. moment  ) och förskjutning (translation  resp. rotation ). Deras funktionsegenskaper beskrivs för fjädrar med en frihetsgrad bäst med ett belastnings-förskjutnings-diagram, som också kallas fjäderkarakteristik och är en visualisering av konstitutiva samband. Oftast eftersträvas en linjär karakteristik (linearitet förenklar bl. a. svängningsberäkningar). I speciella fall är man intresserad av progressiva eller degressiva karakteristiker. I stötmildrande tillämpningar kan man dessutom vara intresserad av fjäderns hysteres, som är ett mått på energiförlusten under en deformationscykel. Man önskar ibland fjädrar med konstant kraft, som oberoende av deformationen alstrar samma kraft. Olika fjäderkarakteristiker visas i ﬁgur 3.1. Ytan under karakteristiken anger upplagrad energi i fjädern. En fjäderanalys skall leda till önskad fjäderkrakteristik (uppfyllande givna funktionskrav). Däri inkluderas eventuellt hysteres och energilagring. Dessutom skall analysen leda till ett samband mellan yttre belastning och maximal materialpåkänning. Med kännedom om materialdata kan man då beräkna maximalt tillåten last på fjädern.

3.2 Utförandeformer

123

Figur 3.1: a) Fjäderkarakteristiker och b) energier

3.2 Utförandeformer Man brukar skilja mellan linjära och olinjära fjädrar, som är beskrivande av funktionsegenskaper, som i sin tur i stor utsträckning beror av fjäderns utförande. De linjära fjädrarna görs vanligen av stål eller andra metalliska material. De olinjära fjädrarna kan vara tillverkade av stål, men även gummi- och luftfjädrar förekommer. En snävare indelning av fjädrar kan endera ta fasta på den geometriska formen, eller arten av materialpåskänning. I ﬁgur 3.2 visas några förekommande fjädertyper uppdelade efter påkänningsarten: huvudsakligen skjuvpåkända resp. normalpåkända. Fjädrarna har följande benämningar, jfr SS-EN ISO 26909:2010, Fjädrar - Terminologi: • skjuvspänningspåkända: s1 skruvfjäder för drag (rund tråd), se SS-EN 13906-2:2013 (eng.: helical spring, ty.: Schraubenfeder) s2 skruvfjäder för tryck (rund tråd), se SS-EN 13906-1:2013 s3 skruvfjäder för tryck (rektangulär tråd) s4 konisk skruvfjäder för tryck (rund tråd) s5 teleskopfjäder (eng.: volute spring, ty.: Kegeliger Schraubendruckfeder) s6 torsionsstav (av metall, eng.: torsion bar, ty.: Drehstabfeder) s7 torsionsfjäder (av gummi) • normalspänningspåkända: n1 skruvfjäder för torsion n2 spiralfjäder (eng.: spiral spring, ty.: Spiralfeder) n3 rullbandsfjäder n4 bladfjäder (eng.: leaf spring, ty.: Blattfeder) n5 tallriksfjäder, se SS-EN 16984:2016, (eng.: disc spring, ty.: Tellerfeder) n6 ringfjäder (eng.: ring spring, ty.: Ringfeder) n7 tryckfjäder (av gummi) I ovanstående uppräkning relateras vissa fjädertyper till välkända geometriska former, t. ex. skruvlinjen (på en cylinder) och spirallinjen (i ett plan). I vardagligt språk kan det förekomma slarv med denna distinktion. Det uppstår språkliga problem med mellantinget mellan dessa linjer: jfr konisk skruvfjäder med konisk spiralfjäder? Begreppet är inte standardiserat, varför här väljs benämningen konisk skruvfjäder (jfr teleskopfjäder). I det följande görs en huvuduppdelning på linjära och olinjära fjädrar.

124

Kapitel 3: Fjädrar

Figur 3.2: Skjuvpåkända och normalpåkända fjädertyper

3.3 Speciella egenskaper för linjära fjädrar Allmänt

Den viktigaste egenskapen hos en linjär fjäder anges med ett enda talvärde, den s. k. fjäderkonstanten, som är ett mått på fjäderns styvhet. Fjäderkonstanten  deﬁnieras som  =   = 

(translation) (rotation)

(3.1)

Som ett alternativ till fjäderkonstanten  kan man använda vekheten eller inﬂuenstalet  = 1 (C) FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

(3.2)

3.3 Speciella egenskaper för linjära fjädrar

125

Varje fjäder kan också tillordnas ett godhetstal eller utnyttjandegrad. Detta tal  anger den lagrade elastiska energin i materialet relativt den energi, som kan lagras, om hela materialvolymen utnyttjades till maximal spänningsnivå. Den inre elastiska energin d i ett litet volymselement d är 2 d 2 2 d d = 2

(normalspänning)

d =

(skjuvspänning)

Den verkligt lagrade energin kan beräknas på två sätt: • genom integration över alla volymselement R 2  = d (normalspänning)  2 

R 2 d =  2

(3.3)

(skjuvspänning)

• genom beräkning av yttre arbetet för den linjära fjädern 2  2  = = 2 2 2  = 2

 =

(translation)



(rotation)

(3.4)

Den maximalt lagringsbara energin i en fjädervolym  är enligt ekvation 3.3  2  2  2  = 2

 =

(normalspänning)



(skjuvspänning)

(3.5)

Utnyttjandegraden  (0 ≤  ≤ 1) deﬁnieras som

(3.6)

 =  

och kan bl. a. användas för att beräkna erforderlig fjädervolym (massa) vid givna belastningsförhållanden. Exempel: Hur stor fjädermassa krävs för att lagra 400 W under 15 minuter (vilket ungefär motsvaras av den energi som en elitcyklist utvecklar vid cykling 1 mil på 15 minuter) om fjädern är av stål med sträckgränsen   = 1000 MPa? Energin som ska lagras  = 400 · 15 · 60 = 360 kJ Fjädermassan  blir med ekvation 3.5 & 3.6: 2  2 ≥ stål · 2   = stål ·  = stål · 2      Med   =   ,  = 210 GPa och stål = 7800 kg/m3 fås  ≥ 1179 kg (C) FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

126

Kapitel 3: Fjädrar

Minsta massan är således c:a 1200 kg och då måste fjädern ha utnyttjandegraden  = 1 innebärande att materialet över hela tvärsnittet längs fjädern utnyttjas optimalt till 100 %. De ﬂesta fjädrar har  en bra bit under 1. En skruvfjäder med cirkulär tråd har t. ex. vid drag- eller tryckbelastning  ≈ 0 5.

Energiekvationen

Många beräkningar av fjädrar lindade av tråd kan med fördel utföras med energiekvationen hämtad från hållfasthetsläran. Snittytan hos en svagt krökt tråd belastas med olika snittlaster:  = normalkraft,  = tvärkraft,  = böjmoment och  = vridmoment. Snittbelastningarna varierar i allmänhet med variabeln  längs tråden, se ﬁgur 3.3.

Figur 3.3: Snittbelastningar i trådtvärsnittet Den totalt upplagrade elastiska energin  , av dessa belastningar inom intervallet 0     blir, jfr ekvation 3.3  =

Z ∙

 2 ()  2 () 2 () 2 () + + + 2 2 2 2

d

(3.7)

Utöver tidigare introducerade beteckningar gäller:  = trådens tvärsnittsarea  = trådens tröghetsmoment  = vridstyvhetens tvärsnittsfaktor  = geometrifaktor ( = 1 1 för cirkel och  = 1 2 för rektangel)

Serie- och parallellkoppling

För att uppnå önskade fjädringsegenskaper kan serie- och parallellkoppling tillgripas, se ﬁgur 3.4. Seriekopplas  stycken fjädrar, var och en med fjäderkonstanten  , blir kraften i alla fjädrar densamma,  . Därmed blir förskjutningen enligt enligt ekvation 3.1 av den enskilda fjädern   =  . Totala förskjutningen  av alla fjädrarna blir =

 X

 =

=1

 X  =1



=

 X 1  =1 

Deﬁnieras den resulterande fjäderkonstanten  som (jfr ekvation 3.1)  =  (C) FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

3.4 Skruvfjädrar med linjär karakteristik

127

Figur 3.4: a) Serie- och b) parallellkopplade fjädrar erhålls vid seriekoppling  X 1 1 =   =1 

(3.8)

Parallellkopplas  stycken fjädrar med fjäderkonstanterna   blir förskjutningen av alla fjädrarna densamma, , och därmed blir kraften i den enskilda fjädern  =  . Totala kraften  från alla fjädrarna blir    X X X  =  =   =   =1

=1

och därmed den resulterande fjäderkonstanten  vid parallellkoppling (jfr ekvation 3.1) 

 =

X  =   =1

(3.9)

3.4 Skruvfjädrar med linjär karakteristik Utförandeformer

Skruvfjädrar har cylindrisk fjäderform och görs vanligen av en cirkulär tråd, men även rektangulärt tvärsnitt förekommer, se figur 3.2. Fjäderändarnas utformning, jfr figur 3.5a, beror på yttre lastens karaktär (drag-, tryck-, tvärbelastning samt vridning eller böjning). Förekommande typer visas i handböcker. En vanlig skruvfjäder av cirkulär tråd visas i figur 3.5b och den definieras av följande storheter:  = tråddiameter  = fjäderns medeldiameter  = antal fria (fjädrande) trådvarv  = fjäderlängd alt.  = stigningsvinkel alt.  = stigning Mellan fjäderstorheterna råder följande samband  =  tan  + 

och

 =  tan 

(3.10)

Index  anger fortsättningsvis en obelastad fjäder och vid ett godtyckligt belastningstillstånd kan samtliga storheter, förutom , vara variabla. På grund av stigningen, d. v. s. att en skruvfjäder inte är helt rotationssymmetrisk, ﬁnns det en koppling i längs- och (C) FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

128

Kapitel 3: Fjädrar

Figur 3.5: a) Exempel på olika ändutformningar och b) geometri för skruvfjäder rotationsled. T. ex. vid tryckbelastastning minskar givetvis längden  men samtidigt, om inte fjäderändarna är förhindrade att rotera, uppkommer även en förvridning  . Förhindras denna rotation (från t. ex. friktion) uppkommer istället ett reaktionsvridmoment  . Men om inte stora noggranhetskrav föreligger så kan man i regel bortse från sådana här kopplingar. Detta görs i denna framställning, d. v. s. fjädern antas vara ekvivalent med en rotationssymmetrisk cylindrisk kropp. Dragfjädrar kan tillverkas tätlindade. De kan t. o. m. lindas med en viss (inbyggd) förspänning, varvid den fria fjäderlängden  till synes blir kortare än fjäderns minsta fysiska längd, d. v. s.   ( + 1)

(3.11)

Tryckfjädrars fria längd skall väljas med hänsyn till fjäderns under drift förutsedda maximala kompression   samt med viss frigång mellan trådvarven i den belastade fjädern. Exempelvis med 25 % av  som frigång gäller att   1 25( + 1) +  

(3.12)

Dessa fria fjäderlängder är räknade exklusive utformningen av fjäderändarna. För att undvika knäckning av tryckbelastade fjädrar skall man välja fjäderlängden enligt   2 6

(3.13)

vilket garanterar att fjädern aldrig knäcks (fjädern minskar hellre sin längd) vid det troligen vanligaste inspänningsfallet enligt Euler II, se ﬁgur 3.6a. Om detta villkor inte kan uppfyllas måste fjädern förses med ut- eller invändig axiell styrning. Beroende på inspänningen av fjäderändarna kan även andra knäckfall än Euler II behöva beaktas, se vidare i Skruvfjädrars knäckning på sidan 139. Vridfjädrar kan tillverkas tätlindade men bör, för undvikande av friktion mellan fjädervarven, ha ett mindre spel . Vanligast och gynnsammast ur spänningssynpunkt (”korrekt”) belastningsriktning är den som gör att antalet varv växer samtidigt som diametern minskar, d. v. s. i lindningsriktningen enligt ﬁgur 3.6b. Motsatta förhållanden gäller vid omvänd belastningsriktning. Ofta föreligger ett behov av in- eller utvändig axiell styr(C) FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

3.4 Skruvfjädrar med linjär karakteristik

129

Figur 3.6: a) Knäckt skruvfjäder då fjäderändarna inspända motsvarande Euler II. b) Vridfjäder, exklusive ändutformning, vid normal belastningsriktning ning. Då måste kontroll ske att fjäderns inner- eller ytterdiameter går fri vid maximala vridningsvinkeln  . Med villkoret att fjädertrådens längd  förblir oförändrad kan diameterändringen beräknas och den blir ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯· ¯ ∆ = ¯1 − (3.14) 1± (2) ¯ 

där + tecknet gäller för normal och − tecknet för omvänd belastningsriktning.

Grundläggande analys av axiellt belastade skruvfjädrar

Vid fjädrars belastning i axiell riktning i drag/tryck resp. i vridning bibehåller fjädern som antagits sin rotationssymmetriska form. Varje punkt längs fjädertråden blir likformigt belastad. Fjädertrådens stigning kan man bortse ifrån vid en elementär analys av fjäderns styvheter och påkänningar. Fjädertråden har då en längd av  =  cos  ≈ .

Styvheter - fjäderkonstanter

Vid belastning i drag eller tryck med kraften  påkänns varje trådtvärsnitt med dels ett vridande moment  =  2, dels med en skjuvkraft  =  , se ﬁgur 3.7a. Dessa värden insatta i ekvation 3.7 ger med  = 2 4 och  = 4 32  =

Z µ 0

 2 () 2 () + 2 2

d =

2  2

2  + 2  4 44 32

   2

I sista likheten har energikonservering utnyttjats, det vill säga upplagrad inre elastisk energi  = yttre arbetet  enligt ekvation 3.4. Därmed blir fjäderkonstanten, se ekvation 3.1 " µ ¶2 #−1  4 4  (3.15) = ≈  = ( ) = 1 + 0 5 3  8   83  där det framgår att deformation p. g. a. skjuvning ( = 1 1) är för skruvfjädrar försumbar jämfört med deformation p. g. a. vridning. Vid belastning i vridning med yttre momentet  enligt ﬁgur 3.7b, varvid fjädern torderas vinkeln  , fås på motsvarande sätt att trådtvärsnittet belastas med ett böjande (C) FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

130

Kapitel 3: Fjädrar

Figur 3.7: Skruvfjäder belastad med yttre a) axialkraft  och b) vridmoment  moment  =   Detta värde insatt i ekvation 3.7 ger med  = 4 64 Z 2 642     ()  = d = = 2 24 2 0

På samma sätt som ovan har här energikonservering utnyttjats, det vill säga  = yttre arbetet  enligt ekvation 3.4. Därmed blir fjäderkonstanten, se ekvation 3.1  =

 4 =  64

(3.16)

I ekvation 3.16 är produkten  invariant, t. ex. om  ökar vid belastning minskar , eftersom trådlängden  är konstant.

Materialpåkänningar vid axiell belastning Vid belastning med kraften  i drag eller tryck utsätts trådtvärsnittet för dels vridspänningar, förorsakade av vridmomentet  =  2, dels direktverkande skjuvspänningar, förorsakade av tvärkraften  =  . Vridmomentet ger upphov till maximala vridskjuvspänningar runt hela trådtvärsnittets omkrets:  8  = (3.17)  =  3 Tvärkraften ger upphov till skjuvspänningar, vars maximalvärde uppträder längs cirkelytans ”ekvator” tvärs tvärkraftens verkningslinje. Maximalspänningen är faktorn  gånger större än medelskjuvspänningen, där  = 43 för cirkulära tvärsnitt: 16  2  = (3.18)  =  =  32 3 De båda skjuvspänningarna   och   samverkar på trådens insida, där det totala maximalvärdet vid försummad inverkan av stigning och krökning är ¶ µ 2 8  (3.19) 1 +   = 3 3 (C) FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

3.4 Skruvfjädrar med linjär karakteristik

131

Det elementärt beräknade värdet kan korrigeras genom hänsynstagande till bl. a. fjädertrådens påtagliga krökning och oftast försumbara stigning enligt följande: µ ¶2 µ ¶3 7  8  5  +   =  , där  = 1 + + (3.20) 3 4 8  

Inverkan av stigning ger ett böjande moment och en normalkraft på trådtvärsnittet:   sin  respektive  =  sin   = 2

Därav fås böj- och dragspänningar, d. v. s. ett tredimensionellt spänningstillstånd, som emellertid sällan behöver beaktas. Det yttre vridande momentet  ger vid försummad stigning upphov till rena böjpåkänningar i tråden, som antar maximalvärden på trådens insida och utsida. Denna spänning är elementärt 32 (3.21)  = 3 Trådens krökning ger även här större spänning på insidan än på utsidan. Dessa kan uppskattas medelst teorinµför starkt krökta ¶ balkar till  32   = (3.22) 1 + 0 87 3  Inverkan av stigning ger ett vridande moment på trådtvärsnittet:  =  sin  Därav fås skjuvspänningar och ett tredimensionellt spänningstillstånd, som dock sällan behöver beaktas.

Allmän analys av skruvfjädrar

En skruvfjäder utsatt för godtycklig belastning visas i figur 3.8a. De yttre lasterna  och  är kraft respektive moment i axiell riktning.  och  är kraft respektive böjande moment i lateral riktning (tvärplanet). Lateralkraften  och lateralmomentet  ger upphov till lateralutböjning   respektive lateralvinkling  , se figur 3.8b. Så länge man studerar små deformationer lateralt - eller tvärs - fjädern, kan dessa behandlas med lineär teori och de kan då överlagras på axiella deformationer som behandlats enligt det föregående. I avsnittet Laterala fjäderkonstanter på sidan 136 visas konstitutiva samband för de laterala deformationerna. I analysen där ersätts fjädern med en fiktiv balk i sitt centrum (jfr figur 3.8), där den fiktiva balken förutsätts ha skenbara ändliga sektionsstyvheter enligt följande.

Sektionsstyvheter Den ﬁktiva balkens sektionsstyvheter betecknas med: (jfr balkstyvhet )  = drag/tryckstyvhet (—— q —— )  = skjuvstyvhet (—— q —— )  = böjstyvhet (—— q —— )  = vridstyvhet Vid beräkning av sektionsstyvheter görs vissa förenklingar, innebärande att • effekter av fjäderns stigning försummas • effekter av stark krökning försummas (C) FÖRFATTARNA OCH STUDENTLITTERATUR

Mart Mägi är professor emeritus sedan 2001 vid Chalmers tekniska högskola, där han började sin akademiska yrkesgärning som assistent vid institutionen för Maskinelement 1959 och avslutade den som professor i fordonsteknik. Däremellan var han länge universitetslektor i maskinelement och var 1964 ansvarig redaktör för och huvudförfattare till det första inbundna kompendiet i maskinelement vid Chalmers. Kjell Melkersson är teknologie licentiat inom ämnesområdet maskin- och fordonskonstruktion och lektor vid Chalmers tekniska högskola. Kjell undervisar i kurser inom maskinelement, datorstödd maskinkonstruktion (CAD) och produktutveckling vid Institutionen för Industri- och materialvetenskap. Magnus Evertsson är biträdande professor i maskinelement vid Institutionen för Industri- och materialvetenskap vid Chalmers tekniska högskola. Magnus leder forskargruppen Maskinelement samt forskar inom krossutrustning för ballast-, mineral- och gruvindustrin.

Maskinelement Maskinelement är mekaniska komponenter eller delsystem som utgör byggstenarna vid konstruktion av maskiner och produktutveckling. Dessa kan sägas utgöra maskinteknikens tekniska alfabet. Maskinelementen har stor industriell betydelse men finns också runt omkring oss i vårt dagliga liv i bland annat hushållsprodukter, elektriska apparater, bilar, cyklar och verktyg. Maskiners miljömässiga och ekonomiska hållbarhet är ofta kopplade till den tekniska livslängden vilken är beroende av dimensionering, driftsbetingelser och underhåll av maskinelement. Denna bok behandlar förband, fjädrar, axlar och rotorer, lagringselement, tätningar, bromsar, axelkopplingar, remväxlar, kuggväxlar, kedje- och kuggremsväxlar, planetväxlar och växellådor. Boken bygger på en över halvsekellång tradition av undervisning i ämnet och är i första hand avsedd för kurser vid de tekniska högskolorna på såväl grundläggande som avancerad nivå, men utgör även ett referensverk för yrkesverksamma ingenjörer.

Art.nr 39008

studentlitteratur.se