3. Sannolikheter och slumpvariabler
Exempel 3.10 Två servrar, A och B, ingår i ett nätverk. Antag att händelserna A och B motsvarar att A resp. B fungerar under en hel, slumpmässigt vald arbetsdag. Från driftstatistik har man funnit följande sannolikheter: P(A) = 0.90,
P(B) = 0.85,
P(A ∩ B) = 0.80.
Nätverket fungerar så länge minst en av servrarna fungerar. Vi kan införa händelsen C = ”Nätverket fungerar” och eftersom C = A ∪ B finner vi P(C) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.95.
Antag nu att vi får en rapport om att server A är utslagen. Vilken blir sannolikheten att nätverket fungerar? Den sökta sannolikheten ges av P(C|A∗ ) =
P(B) − P(A ∩ B) 0.05 1 P(C ∩ A∗ ) = = = = 0.50. ∗ P(A ) 1 − P(A) 0.10 2
För att finna täljarens värde kan ett venndiagram med markerade händelser vara användbart. Alternativt kan följande resonemang utföras3 : C ∩ A∗ = (A ∪ B) ∩ A∗ = (A ∩ A∗ ) ∪ (B ∩ A∗ ) = (∅) ∪ (B ∩ A∗ ) = B ∩ A∗ , och eftersom P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A∗ ) följer för täljaren P(C ∩ A∗ ) = P(B) − P(A ∩ B).
Sammanfattningsvis påverkade tilläggsinformationen funktionssannolikheten, vilken reducerades betydligt i detta exempel (sjönk från 0.95 till 0.50).
Betingningskedjor och felträdsanalys Som en följd av definitionen kan man skriva betingade sannolikheter som följer (för två händelser A och B): P(A ∩ B) = P(B|A)P(A).
(3.5)
Ofta är de betingade sannolikheterna i uttryck av dessa slag kända, eller har uppskattats från data. Sannolikheterna för olika scenarier kan därför beräknas, och man talar om betingningskedjor. Vi illustrerar med ett exempel. 3
44
Användning av distributiv lag för mängdoperationer. © F Ö R FAT TA R E N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R