9789127567283

fysik 2

fysik

rune alphonce • lars bergström • per gunnvald • erik johansson • roy nilsson

2

Heureka! är ett läromedel anpassat till Gy2011.

I Heureka! ingår: • läroböckerna Heureka! Fysik 1, 2 och 3

fysik 2

Det är ett komplett läromedel i tre delar för gymnasieskolans fysikkurser 1, 2 och 3. Heureka! ger eleverna en förståelse för fysikens betydelse och användningsområden. Heureka kan användas på gymnasiet, komvux och naturvetenskapligt basår.

• lärarhandledningar • ledtrådar och lösningar till övningsuppgifterna i läroböckerna • övningsmaterial för ytterligare problemlösning.

Heureka! finns även som digitalt läromedel.

För mer information om Heureka! se www.nok.se/heureka

ISBN 978-91-27-56728-3

9 789127 567283

Heureka omslag bok 2 120522.indd 1

2012-05-25 09.24

Heureka 2.indb 2

2012-05-24 11.30

Välkommen till Heureka Fysik 2!

Du som har läst Heureka Fysik 1, läroboken för gymnasiets kurs 1 i fysik, har nu en god grund att stå på. Du har lärt dig att ställa upp matematiska modeller för olika fenomen och att tillämpa dem i enkla situationer.

Men kanske har du ställt många frågor som kräver lite större fysikkunskaper? I den här läroboken, som är anpassad för fysik kurs 2, löser vi bl.a. mekaniska problem som inte är lika idealiserade som i kurs 1.

Vi går igenom teorin för magnetiska fält och visar hur elektricitet och magnetism hänger ihop, med viktiga tillämpningar för samhället som elektriska generatorer och sådant du känner från vardagen, som cykeldynamon. Även problem kring hur vågor uppstår och utbreder sig, som alltid har varit viktigt i fysiken och som helt genomsyrar beskrivningen av den moderna fysiken, går vi igenom pedagogiskt och metodiskt. Likhet och olikhet mellan ljud och ljus presenteras och örats och ögats funktion förklaras. Brytning av ljus i linser och reflektion i speglar, med glasögon, kikare och teleskop som viktiga tillämpningar, behandlas med hjälp av stråloptik. Inom atomfysiken försöker vi förklara hur en elektron samtidigt kan vara en våg och en partikel, hur atomen är uppbyggd och hur ljus kan sändas ut och absorberas. Vi visar hur Max Plancks viktiga upptäckt av att ljus skickas ut i energipaket, kvanta, ger en helt ny beskrivning av hur ett hett föremål emitterar ljus, och så småningom leder till kvantmekaniken. Som en viktig tillämpning i dag av elektromagnetisk strålning beskriver vi hur en mobiltelefon fungerar. Inom astronomin och läran om det allra största, kosmologin, ställer vi frågor som: Hur har man kunnat upptäcka planeter kring andra stjärnor än vår egen sol? Vad betyder det att universum expanderar och att expansionen till och med accelererar? Hur vet man att det finns ”mörk materia” och ”mörk energi” i universum?

Till din hjälp när du läser kursen får du, precis som i Heureka Fysik 1, förutom den löpande texten ett stort antal färgbilder, förklarande figurer, övningar, kontrolluppgifter, tankeväckande Tänk till!-frågor och en glimt av forskningsfronten i Fråga forskaren. Fysikens historia och sambandet mellan fysik, etik och samhällsutveckling blir också belyst.

Att använda ett naturvetenskapligt angreppssätt – att konstruera matematiska modeller som innehåller kända samband i naturen, och tillämpa dem på nya fenomen, är kanske det viktigaste av allt du lär dig i den här kursen.

Om du efter denna kurs får lust att lära dig ännu mer fysik, kan du göra det i Heureka Fysik 3!

Författarna

Heureka 2.indb 3

2012-05-24 11.30

Innehåll 1 Utforska världen

7

10 Bestämning av elektronens massa 86 11 Det jordmagnetiska fältet 91 12 Magnetiska material 95

1 Utforska världen 8 Sammanfattning

10

2 Jämvikt och kraftmoment 1 Jämvikt 12 2 Kraftmoment 12 21

21

3 Rörelse i två dimensioner

25

1 Rörelser kan sammansättas 2 3 4 5 6 7

och uppdelas 26 Rörelser kan studeras i koordinatsystem 28 Kaströrelse 29 Kaströrelse i elektriskt fält 34 Matematisk rörelsebeskrivning 35 Kroklinjig rörelse 39 Kraftekvationen på vektorform 43 Sammanfattning 45 Övningar 46

4 Centralrörelse 1 2 3 4

53

Cirkulär rörelse med konstant fart 54 Omloppstid, frekvens, vinkelhastighet 57 Den allmänna gravitationen 60 Roterande tvåkropparsystem 65 Sammanfattning 67 Övningar 67

5 Magnetfält

Övningar

71

1 Magnetfält kring

Ledare i magnetfält 106 Inducerad ström 108 Lenz lag 109 Magnetiskt flöde 110 Induktionslagen på annan form 111 Virvelströmmar 113 Självinduktion och induktans 115 In- och urkoppling i en krets med induktans 117 9 Växelströmsgeneratorn 118 10 Transformatorn och elektrisk energiöverföring 120 Sammanfattning 122 Övningar 123

7 Harmonisk svängningsrörelse

6 7 8 9

Heureka 2.indb 4

en lång rak ledare 79 Magnetisk kraft mellan två ledare 80 Flödestätheten i en solenoid 82 Magnetisk kraft på laddade partiklar 83 Hall-effekt 85

129

1 Harmonisk svängningsrörelse 130 Sammanfattning Övningar

138

139

8 Rörelse med stegmetod

143

1 Stegmetoden 144 2 Enkel pendel med stora utslag 148 3 En jordsatellits bana 149

permanenta magneter 72 strömförande ledare 73

105

1 2 3 4 5 6 7 8

Sammanfattning

2 Magnetfält kring 3 Magnetisk flödestäthet 75 4 Magnetisk kraftverkan 75 5 Flödestätheten från

97

98

6 Induktion

Sammanfattning Övningar

Sammanfattning

11

Övningar

9 Vågor 1 2 3 4 5 6 7

151

152

153

Pulser 154 Vågor 155 Periodiska vågor 156 Reflexion och transmission 158 Superposition 159 Stående vågor 161 Vattenvågor 164

2012-05-24 11.30

8 9 10 11 12

10 Stråloptik 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ljusets hastighet 210 Diffraktion 213 Interferens i dubbelspalt 214 Gitter 217 Färger och våglängder 218 Polarisation 220 Interferens i tunna skikt 221 Sammanfattning 225 Övningar 225

253

Ljud 254 Dopplereffekt 259 Musik och instrument 260 Ultraljud och infraljud 262 Sammanfattning 264 Övningar 265

14 Atomen

209

Ljus 230 Svartkroppsstrålning 230 Plancks upptäckt 232 Einstein och fotonen 232 Enheten elektronvolt 235 Ljus – en ström av fotoner 235 Comptons experiment – studsande fotoner 236 8 de Broglies hypotes: partiklar har också vågegenskaper 237

Heureka 2.indb 5

13 Akustik

179

12 Elektromagnetisk strålning 1 2 3 4 5 6 7

elektromagnetisk strålning 241 Sammanfattning 249 Övningar 250

Ljusstrålar – en modell 180 Reflexion 180 Ljusknippen 183 Avbildning i plana speglar 184 Buktiga speglar 186 Ljusets brytning 188 Totalreflexion 195 Linser 196 Ögat 200 Färgseende 202 Sammanfattning 204 Övningar 205

11 Ljus 1 2 3 4 5 6 7

9 Tillämpningar av

Reflexion 165 Refraktion 166 Brytningslagen för vågor 167 Diffraktion 168 Interferens mellan vågor från två punktkällor 169 Sammanfattning 172 Övningar 173

267

Atomens storlek 268 Atomens ljus 269 Bohrs atommodell 271 Väteatomen 272 Att excitera atomer 274 Bohrmodellens begränsningar 278 Materiens vågegenskaper 278 Röntgenspektrum 280 Elektronspektrum 281 Sammanfattning 284 Övningar 285

15 Universum 1 2 3 4 5 6 229

289

Att studera stjärnhimlen 290 Att mäta avstånd i rymden 291 Stjärnors födelse, liv och död 294 Hubble-expansionen 304 Universums utveckling 308 Den kosmiska bakgrundsstrålningen 310 Sammanfattning 312 Övningar 313

Tabeller 315 Svar och lösningsanvisningar 316 Register 333 Källförteckning 336

2012-05-24 11.30

Heureka 2.indb 6

2012-05-24 11.30

1

Utforska världen Fysikens beskrivning av hur världen är utformad sammanfattas i modeller som tagits fram vid undersökningar av naturen.

De är en viktig del av vår naturvetenskapliga världsbild.

k apitel 1 utforsk a världen

Heureka 2.indb 7

•

7

2012-05-24 11.30

1 Utforska världen Ända sedan Galilei på 1600-talet riktade sin kikare mot planeterna i solsystemet, har utforskningen av världen drivits av observationer och experiment. Han upptäckte att månen och planeterna såg helt annorlunda ut än man hade trott. Vår måne var full av berg och kratrar och planeten Jupiter hade flera egna månar. Kyrkans beskrivning av ett perfekt universum som inte förändras förkastades efter en hel del motstånd. Galilei fick dock leva resten av sitt liv i husarrest på grund av kyrkans makt.

Kunskap om hur naturen fungerar har vuxit fram genom ett samspel mellan teoretiska modeller och experimentella undersökningar. Experimentella undersökningar spelar en viktig roll inom naturvetenskapen och måste kunna bekräftas av oberoende observationer.

De experiment vi gör i skolans laboratorier visar ofta viktiga samband i naturen som vi kan beskriva med en matematisk modell, en viktig komponent i vår naturvetenskapliga världsbild.

Fysikens modeller Fysikens beskrivningar av världen har ofta matematisk form. Exempelvis sammanfattas vår kunskap om hur elektriska laddningar påverkar varandra i Coulombs lag. Den gäller för både positiva och negativa laddningar av olika storlek, och för olika avstånd mellan laddningarna. Många typer av situationer kan beskrivas av den korta formeln: kraften = en konstant · laddning 1 · laddning 2 /(avståndet)2 eller F = k

Q1 · Q2 r2

Ett annat exempel på fysikaliska ”lagar” är Newtons gravitationslag: 8

•

k apitel 1 utforsk a världen

Heureka 2.indb 8

2012-05-24 11.30

gravitationskraft = en konstant ∙ massa 1 · massa 2 /(avståndet)2 eller F = G

m1 ∙ m2 r2

Formeln gäller inte bara för fallande äpplen, utan ligger också till grund för hur månen rör sig runt jorden och hur Vintergatan med alla dess miljarder stjärnor roterar.

Det finns också modeller som försöker beskriva en mycket större del av vår värld. Big bang-modellen kan sägas vara en vidareutveckling av Newtons gravitationslag, men med ambitionen att beskriva hela universum och dess utveckling från dess uppkomst för 13,7 miljarder år sedan till i dag. Standardmodellen för partiklar är en annan omfattande modell som beskriver de processer som äger rum på mycket små avstånd inuti materien. Kraften mellan elektriska laddningar är bara en liten komponent i standardmodellen. Tillsammans beskriver big bang-modellen och standardmodellen för partiklar de flesta grundläggande fenomenen i vår värld.

Enkla matematiska modeller och mer övergripande modeller spelar en viktig roll i fysiken. De utvecklas hela tiden, och förändras i takt med att nya experimentella resultat och mer detaljerade teorier samverkar.

ExEmpEl 1

Med vilken hastighet rör sig jorden runt solen? För solljuset tar det omkring 8 minuter att nå jorden.

Avståndet till solen är 8 · 60 · 3 · 108 m, d.v.s. omkring 1,4 · 1011 m.

Omkretsen är 2 · 3,14 · 1,4 · 1011 m , d.v.s. 8,8 · 1011 m.

Jorden behöver 365 · 24 · 3 600 s för att ta sig ett varv runt solen.

Det är 3,2 · 107 s.

Hastigheten är alltså 8,8 · 1011 m / 3,2 · 107 s, d.v.s 2,8 · 104 m/s eller 28 km/s. I runda tal är hastigheten 30 km/s. Under den tid det tar dig att läsa meningen ”Med vilken hastighet rör sig jorden runt solen?” har den rört sig omkring 150 km.

√

K on t ro l l 1

Solsystemet rör sig med en hastighet av 220 km/s runt Vintergatan. Vi befinner oss ca 27 000 ljusår från Vintergatans centrum. Hur lång tid tar det för solsystemet att gå ett varv runt Vintergatan?

?

t ä n K t il l ! 1

Jorden har en hög hastighet runt solen, och solsystemet rör sig snabbt runt Vintergatan. Hur kommer det sig att jordens atmosfär inte ”blåser bort”?

k apitel 1 utforsk a världen

Heureka 2.indb 9

•

9

2012-05-24 11.30

Den naturvetenskapliga världsbilden Vår bild av universum beskrivs av big bang-modellen, och vår förståelse av materiens inre beskrivs av standardmodellen. Tillsammans med biologins kunskap om liv – t.ex. DNA, cellen och Darwins evolutionsteori – är de två modellerna grundpelarna för vår naturvetenskapliga världsbild. Vid fysikens frontlinjer, där gränsen för vår kunskap går, kan det dyka upp fenomen som inte passar in i våra nuvarande modeller.

Då måste modellerna och kanske även delar av vår naturvetenskapliga världsbild modifieras.

Filosofer och vetenskapsmän har sedan urminnes tider strävat efter att formulera en vetenskaplig världsbild. De grekiska naturfilosoferna skapade en världsbild baserad främst på observationer av naturen och myter om gudomliga krafter, en världsbild som stod pall i nästan tvåtusen år. Även om många av de grekiska naturfilosoferna var mest resonerande och kvalitativa i sitt resonemang, fanns det många lysande undantag, som Pythagoras från Samos och Arkimedes från Syrakusa (Pythagoras sats och Arkimedes princip).

I och med renässansen i Europa på 1600-talet förändrades naturvetenskapen. Utforskandet av naturen blev mer aktivt – man gjorde detaljerade experiment. Och genast ökade konflikten med kyrkan vars världsbild byggde på heliga skrifter och som inte under några omständigheter fick ifrågasättas. Religionernas världsbilder bygger på tro, medan den naturvetenskapliga bygger på observationer, som gett upphov till mer heltäckande modeller av naturen. Hur världen och människan skapades och utvecklades är fortfarande en källa till konflikter mellan religion och vetenskap.

Sam m an f at t n in g

10

•

Heureka 2.indb 10

⊲

Fysikens modeller beskriver de flesta grundläggande fenomenen i vår värld.

⊲

Utforskningen av vår värld har drivits av observationer och experiment.

⊲

Våra nuvarande modeller prövas hela tiden och måste modifieras när nya fenomen upptäcks som inte passar in.

k apitel 1 utforsk a världen

2012-05-24 11.30

2

Jämvikt och kraftmoment Du bär dina skidor med ett grepp nära mitten.

Om du försöker lyfta dem i ena änden vrider sig andra änden neråt och du orkar inte ens få upp skidorna från marken.

Begreppet kraftmoment förklarar varför det blir så.

k apitel 2 jä mv ik t o ch kr af tmoment

Heureka 2.indb 11

•

11

2012-05-24 11.30

fig. 1. Pojkarna i figuren skjuter på med lika stora, motsatt riktade kraf­ ter. trots att kraftresultanten är noll är karusellen inte i jämvikt utan roterar allt snabbare.

1 Jämvikt I Heureka Fysik 1 fann vi att ett föremål är i jämvikt när de krafter som verkar på det har resultanten noll. Det är då antingen i vila eller rör sig med konstant hastighet.

Men anta att karusellen i fig. 1 ovan är i vila när pojkarna börjar skjuta på med lika stora, motsatt riktade krafter. Den börjar då rotera trots att kraftresultanten är noll! Vad måste gälla vid rotationsjämvikt, d.v.s. tillstånd när föremål inte roterar eller roterar med konstant varvtal? För att svara på frågan behövs ett nytt begrepp, kraftmoment.

2 Kraftmoment Va r S K a ma n ta ta g fÖ r a tt B l i SÅ ” Sta r K” Som mÖ Jl i gt?

Utan att fundera trycker du högst upp på tunnan när du vill välta ut vattnet ur den. Och du håller emot så långt som möjligt från dörrens gångjärn om du vill hindra någon att komma in. Du försöker få så stor vridande förmåga som möjligt. En åra eller spade bär du nära tyngdpunkten för att inte tyngdkraften ska vrida den.

fig. 2. Pojken kan bara vicka tunnan om han trycker högst upp.

12

•

k apitel 2 jä mv ik t o ch kr af tmoment

Heureka 2.indb 12

2012-05-24 11.30

Det är sen höst och dags att byta till vinterhjul. Du försöker lossa hjulmuttrarna med ett verktyg från bilens verktygslåda men orkar inte.

Muttrarna är för hårt åtdragna. Men med hjälp av grannens specialverktyg, som har längre skaft, går det. Du har större vridningsförmåga med det verktyget, därför att du ansätter kraften längre bort från muttern, se fig. 3. Allra störst vridningsförmåga får du när kraften, som i figurerna, är vinkelrät mot verktygets skaft.

fig. 3. Det krävs ett långt handtag för att lossa hjulmuttrarna.

Kraft och momentarm Vridningsaxel kallar vi den axel ett föremål vrider sig kring (eller kan tänkas vrida sig kring). En rät linje som sammanfaller med en kraftpil kallas riktningslinje till kraften i fråga. Det vinkelräta avståndet mellan vridningsaxeln och kraftens riktningslinje är kraftens momentarm l, se fig. 4. riktningslinje

riktningslinje

l1

fig. 4. Kraftmomentet F · l2 är större än kraftmomentet F · l1.

F

l2

F

Den vridande förmågan ges av kraftmomentet M, som är produkten av den vridande kraften och momentarmen: kraftmoment = vridande kraft · momentarm M = F · l

k apitel 2 jä mv ik t o ch kr af tmoment

Heureka 2.indb 13

•

13

2012-05-24 11.30

Som väntat blir kraftmomentet större, ju större kraft och ju större momentarm man använder. Enheten för kraftmoment är Nm. Trots att 1 N · 1 m är lika med energienheten 1 J, anges alltid kraftmoment i enheten Nm. Kraftmoment och energi är nämligen helt olika begrepp. Fig. 5 visar en cykelpedal som pressas neråt med kraften F av en cyklist.

Kraftmomentet M = F · l.

Momentarmen l är det vinkelräta (kortaste!) avståndet mellan vridningsaxeln och kraftens riktningslinje.

Enhet: 1 Nm.

l = acosv

a

v a

l=a

F

B

fig. 5. Kraften på cykelpedalen åstadkommer kraftmomentet F · a i läge a, F · a cos v i läge B och noll i läge C.

C

l=0

F

F

I läge A har momentarmen sitt största belopp a, och kraftmomentet, som strävar att vrida tramporna medurs, har sitt största värde F · a. I läge B har momentarmen minskat till a cos v och kraftmomentet har därmed minskats till F · a cos v. I trampans nedersta läge C går kraftens riktningslinje genom vridningsaxeln. Det betyder att momentarmen är noll.

Då är också kraftmomentet noll, och trampan befinner sig i ett ”dödläge”.

Cyklistens kraft åstadkommer ingen vridande verkan alls.

?

t ä n K t il l ! 1

?

t ä n K t il l ! 2

Visa att du kan använda den mot trampaxeln vinkelräta komposanten av kraften F i fig. 5B och få samma resultat för kraftmomentet.

Är cyklistens tyngd den största kraft hon kan påverka pedalen med?

√

K on t ro l l 1

a) Hur stort kraftmoment kan en cyklist maximalt åstadkomma med sin tyngd, om hans massa är 72 kg och avståndet a i fig. 5 är 17 cm? b) Hur stort är kraftmomentet när trampan vridits 56° från läge A i fig. 5?

14

•

Heureka 2.indb 14

k apitel 2 jä mv ik t o ch kr af tmoment

2012-05-24 11.30

Momentlagen Sture och Theo gungar på en gungbräda. Sture väger dubbelt så mycket som Theo, som har satt sig längst ut på sin sida. Vilka är villkoren för att gungbrädan ska befinna sig i ”vridningsjämvikt”? I figuren vrider Theos tyngd medurs och Stures moturs. Vi låter Stures tyngd vara F1 och Theos F2. Deras momentarmar betecknar vi l1 respektive l2, se fig. 6.

F2 l2

l1

fig. 6. Hur ska personerna sitta för att brädan ska väga jämnt?

F1

Sture kan nu flytta sig framåt eller bakåt, tills han hittar det läge där gungbrädan väger jämnt. Han finner då att han sitter hälften så långt från vridningsaxeln som Theo. Men han väger dubbelt så mycket som Theo. Stures tyngd F1 är alltså dubbelt så stor som Theos, men har bara hälften så lång momentarm l1. Då måste gälla: F1 · l1 = F2 · l2 men F1 = 2F2 och l1 =

l2 leder till att 2

l F1 · l1 = 2F2 · 2 = F2 · l2 eller 2

M1 = M2 där M betyder kraftmoment.

Momentlagen: vid jämvikt är kraftmomenten medurs lika stora som kraftmomenten moturs M1 = M2.

Kraftmomentet moturs är alltså lika stort som kraftmomentet medurs.

Sambandet kallas momentlagen och måste alltid vara uppfyllt vid vridningsjämvikt.

√

K on t ro l l 2

Antag att Stures tyngdkraft är 560 N och att Theos tyngd är 310 N. Gungbrädan är 4,2 m lång och understödd på mitten. Var ska Sture sätta sig, om Theo sätter sig längst ut och brädan ändå ska väga jämnt?

k apitel 2 jä mv ik t o ch kr af tmoment

Heureka 2.indb 15

•

15

2012-05-24 11.30

Jämviktsvillkor Momentlagen gäller alltid vid jämvikt. För att ett föremål inte ska börja vrida sig kring en axel eller ändra rotationshastighet, måste kraftmomenten åt ena hållet upphävas av kraftmomenten åt det andra. Vi har nu funnit två olika jämviktsvillkor, som båda måste vara uppfyllda när ett föremål befinner sig i jämvikt i vila: För det första måste resultanten till krafterna vara noll. Om så inte är fallet börjar föremålet röra sig åt något håll. ⊲ För det andra måste summan av kraftmomenten åt ena hållet vara lika med summan av kraftmomenten åt det andra hållet. Om inte, börjar föremålet vrida sig. ⊲

ExEmpEl 1

En strykbräda med massan 8 kg har två stöd 42 cm ifrån varandra, som på bilden. Tyngdkraften mg verkar i punkten P, 28 cm från det ena stödet. Hur stora är normalkrafterna från stöden?

N1

N2 l2 = 42 cm l1 = 28 cm P

Strykbräda sedd från sidan.

mg

Lösning

Figuren visar alla krafter som verkar på strykbrädan. Eftersom strykbrädan är i jämvikt vet vi: Summan av de uppåtriktade krafterna måste vara lika med summan av de neråtriktade: N1 + N2 = mg (1) ⊲ Kraftmomenten moturs är lika med kraftmomenten medurs. Men var är vridningsaxeln? Svaret är att vi kan placera en tänkt vridningsaxel var vi vill! Eftersom brädan inte vrider sig, kan vi sedan använda momentlagen. ⊲

Om vi väljer vridningsaxeln i någon punkt där en kraft angriper, så kommer kraftmomentet för denna kraft att bli noll, eftersom 16

•

Heureka 2.indb 16

k apitel 2 jä mv ik t o ch kr af tmoment

2012-05-24 11.30

fig. 7. varför bär du helst tulpaner rakt uppåt eller rakt neråt? Jo, annars kan tyngden av blommor och stjälkar ge så stort kraftmoment att de bryts.

momentarmen är noll. Vi får då enklare beräkningar i momentlagen.

Vi väljer att placera vridningsaxeln vid någon av de obekanta krafterna N1 eller N2. Låt oss välja N1. Kraftmomenten medurs = kraftmomenten moturs vilket ger: mg · l1 = N2 · l2

(2)

vilket ger l 0,28 N2 = mg · 1 = 8,0 · 9,82 · N = 52,4 N l2 0,42 N2 = 52,4 N Beräkna sedan N1 ur (1): N1 = mg – N2 = 8,0 · 9,82 – 52,4 N = 26,2 N Svar: Krafterna från stöden är 52 N och 26 N.

√

K on t ro l l 3

a) Beräkna N1 med hjälp av momentlagen och en annan vridningsaxel. b) Varför ligger inte tyngdpunkten mitt i strykbrädan?

?

t ä n K t il l ! 3

Om du använder en grytlapp och tar tag i en stekpanna med båda händerna på varsin sida, uppnår du enkelt jämvikt med dina båda uppåtriktade krafter.

Varför är krafterna från händerna som lyfter stekpannan i figuren olika stora?

F

jä mv ik t o ch kr af tmoment

Heureka 2.indb 17

•

17

2012-05-24 11.30

ExEmpEl 2

Du håller på att resa en 5,0 m lång stege som har tyngden 160 N. Tyngdpunkten är mitt på stegen. Hur stor kraft vinkelrätt mot stegen behöver du för att hålla kvar stegen i det läge figuren visar, om du stöder stegen 1,5 m från dess högsta punkt?

F1

1,5

m

l1

F2 = 160 N

37° l2

Lösning

Välj vridningsaxeln där stegen stöder mot marken. Stödkraften från marken har då inget kraftmoment och behöver därför inte vara känd.

Vid jämvikt gäller: momentmoturs = momentmedurs.

F1 · l1 = F2 · l2 som ger F1 = F2 ·

l2 l2

Här är F2 = 160 N och l1 = (5,0 – 1,5) m = 3,5 m.

Tyngdens momentarm l2 Beräknas med trigonometri. Avståndet från marken till tyngdpunkten är 5/2 m = 2,5 m. l2 = 2,5 · cos 37o m = 2,0 m

det ger l 2 F1 = F2 · 2 = 160 · N = 91 N. l1 3,5 Svar: För att hålla stegen kvar behövs kraften 91 N.

√

K on t ro l l 4

Förutom stödkraften från din hand påverkas stegen av tyngdkraften och en stödkraft från marken. Du känner två av dessa tre krafter. Använd ett jämviktsvillkor och beräkna stödkraften från marken.

18

•

Heureka 2.indb 18

k apitel 2 jä mv ik t o ch kr af tmoment

2012-05-24 11.30

ExEmpEl 3

Shirin tränar sina biceps. Hon lyfter en hantel som i bilderna nedan.

Avståndet mellan armbågsleden och bicepsmuskelns fäste i Shirins underarm är r = 4,0 cm. Hantelns massa är m = 1,5 kg och avståndet mellan hantelns tyngdpunkt och armbågsleden är R = 31 cm. a) Hur stor är muskelkraften i de båda lägena? b) I vilket av lägena är kraftmomentet minst? c) Vad gäller för muskelkraften när Shirin börjar lyfta?

F

F 40° r⊥

r R⊥

i

ii

Lösning :

a) Momentlagen ger för läge I: F · r⊥ = mg · R⊥ eller med användning av vinkeln 40° F · r · cos 40° = mg · R · cos 40° för läge II: F · r = mg · R Eftersom cos 40° kan divideras bort är alltså kraften i båda lägena lika stor: F =

mgR 1,5 · 9,82 · 0,31 = = 110 N. r 0,040

b) I figur I är kraftmomenten minst eftersom cos 40° är mindre än 1. c) För att starta en rörelse krävs alltid en liten kraftökning som ger en momentan acceleration. När hanteln kommit i gång kan den röra sig med konstant rotationshastighet och därmed blir kraften återigen lika stor som i uppgift a.

? Övning 2.1–2.13

t ä n K t il l ! 4

Varför orsakar ibland ett lyft av ett tungt föremål ryggsmärtor när man lyfter med hjälp av ryggen, medan samma lyft med hjälp av benmusklerna inte ger några skador?

k apitel 2 jä mv ik t o ch kr af tmoment

Heureka 2.indb 19

•

19

2012-05-24 11.30

Masscentrum Vi tänker oss att två föremål är placerade på en rak homogen stång som är understödd på mitten och att jämvikt råder, se fig. 8. Föremålens avstånd till stödpunkten måste uppfylla villkoret l1m1 g = l2m2 g eftersom de båda kraftmomenten på stången måste vara lika. Vi dividerar båda leden med g och får m1l1 = m2l2 Nu placerar vi en x-axel längs stången. Med beteckningarna i figuren kan villkoret skrivas: m1(xT – x1) = m2(x2 – xT) Som kan omformas till (m1 + m2)xT = m1x1 + m2x2 xT = (m1x1 + m2x2)/(m1 + m2) m1

m2

l1 x1

l2 xT

x2

fig. 8

Punkten T med koordinaten xT är de två föremålens gemensamma tyngdpunkt. I exemplet med stången bär stödet förutom stångens tyngd de två föremålens sammanlagda tyngd. Resultanten till de båda tyngdkrafterna har tydligen sin angreppspunkt i den gemensamma tyngdpunkten.

Formeln vi härlett för tyngdpunktens läge kan användas oberoende av tyngdkrafter. Den anger ju rent geometriskt läget av en punkt på sträckan mellan två föremål med massorna m1 och m2. Punkten finns där oavsett om några tyngdkrafter verkar eller inte. Den kallas masscentrum. Fig. 9 visar masscentrums läge för systemet jorden–månen. Masscentrum spelar en viktig roll i sammanhang som vi kommer att beröra i samband med planeter runt andra stjärnor än solen (exoplaneter).

fig. 9. Krysset markerar mass­ centrum för jorden med månen.

20

•

Heureka 2.indb 20

k apitel 2 jä mv ik t o ch kr af tmoment

2012-05-24 11.30

S a m m an f at t n in g ⊲

En rät linje som sammanfaller med en kraftpil kallas kraftens riktningslinje.

⊲

Momentarmen för en kraft F ges av det vinkelräta avståndet l från vridningsaxeln till kraften eller kraftens riktningslinje.

⊲

Kraftmomentet M ges av M = F · l

⊲

Momentlagen: vid rotationsjämvikt är kraftmomenten medurs lika med kraftmomenten moturs.

⊲

Ett föremål är i jämvikt om resultanten till alla krafter är noll och det totala kraftmomentet är noll.

⊲

x-koordinaten för masscentrum till massorna m1 och m2 med koordinaterna x1 och x2 ges av: x=

m1x1 + m2x2 m1 + m2

ÖV n in gar

2.1 Beräkna krafterna, som bockarna utövar på

2.2

brädan i figuren, om brädan väger 7,1 kg.

12 m

C D

B 2,0 m

O

A

1,5 m

mg

Korgarna i ”pariserhjulet” i figuren har massan 30 kg. Bestäm kraftmomentet med avseende på vridningsaxeln O för tyngdkraften på korgarna: a) A

b) B

c) C

d) D

k apitel 2 jä mv ik t o ch kr af tmoment

Heureka 2.indb 21

•

21

2012-05-24 11.30

2.3 Du håller en bok i handen med underarmen

vågrät. Med hur stor kraft drar bicepsmuskeln rakt uppåt?

Bokens tyngd är 7,0 N och underarmens 21 N. Underarmens tyngdpunkt ligger 15 cm från armbågsleden och bokens 40 cm.

Biceps har momentarmen 5,0 cm.

F

d) Bestäm komposanterna av S i stångens

längdriktning och vinkelrätt mot den.

e) Hur stort kraftmoment med avseende på

A har den komposant som är vinkelrät mot stången?

f) Hur stort kraftmoment med avseende på

A har komposanten som är parallell med stången? Jämför e) och f) med momentet i a).

2.5 Vindbryggan till slottets huvudingång hissas

sakta upp. Tyngdpunkten ligger mitt i vindbryggan, som väger 500 kg, så påfrestningen på de båda kedjor som drar upp bryggan är stor.

biceps

Fysik A

7,0 N 5,0 cm 21 N 30°

15 cm 40 cm

2.4 Butiksskylten väger 3,2 kg och hänger mitt

på en lätt stång. Den hålls i vågrätt läge med hjälp av en lina. Linan och stången sitter fast i en husvägg.

a) Bestäm kraften i vardera kedjan i det läge

som figuren visar.

b) Bestäm den största kraften som kedjorna

känner av när vindbryggan hissas upp.

c) Bestäm kraften i kedjorna när vind-

0,75 m A

bryggan fällts ner 67,0°.

Heureka

1,2 m

a) Hur stort moment har spännkraften

S i linan kring stångens fästpunkt A?

b) Hur stor är spännkraftens momentarm? c) Bestäm S.

22

•

Heureka 2.indb 22

k apitel 2 jä mv ik t o ch kr af tmoment

2012-05-24 11.30

2.6 En stege har längst upp ett par små hjul,

som gör att friktionen mellan stegen och väggen är obetydlig. Se figuren, där normalkraften N från väggen är utritad. Stegens tyngd är 50 N. Den bildar vinkeln 65° med marken och är 4,0 m lång.

2.8 Massan hos en linjal, som är 50,0 cm lång,

bestäms på följande sätt. En vikt med massan 20 g placeras 1,0 cm från ena änden, varvid linjalen ligger vinkelrätt mot en bordskant enligt figuren.

N

4,0

m

Då linjalen skjuter ut 21,0 cm från bordskanten tippar den nätt och jämnt. Hur stor är linjalens massa?

2.9 Framför dig finns ett kastspö med monte-

65°

a) Bestäm N. b) Bestäm kraften från marken på stegen.

2.7 När du försöker skjuta bokhyllan på golvet,

finner du att den tenderar att välta i stället för att glida. Hur stor kraft måste du minst skjuta på med längst upp på hyllan enligt figuren för att den ska börja tippa? Bokhyllan med böcker väger 70 kg, och böckerna och hyllplanen är jämnt fördelade i bokhyllan.

1,5 m

rad rulle. Håll spöet i handtaget. Hur stort kraftmoment utövar din hand med avseende på spöets tyngdpunkt när du håller det horisontellt? Bestäm kraftmomentet. Du har tillgång till en våg och ett måttband. Redovisa alla beräkningar utförligt.

2.10 Framför dig ligger en lerklump, en millime-

tergraderad stållinjal och en tiogramsvikt.

Bestäm lerklumpens massa. Redovisa alla beräkningar utförligt.

2.11 En sandwichskylt är gjord av homogena

träplattor och har måtten 0,80 × 1,5 m. Den står på ett friktionsfritt underlag, is. Skivorna hålls ihop av en kedja som befinner sig 0,45 m rakt under gångjärnet högst upp.

Vinkeln mellan skivorna är 38°. Varje skiva har massan 4,5 kg. Beräkna kraften i kedjan.

0,75 m

k apitel 2 jä mv ik t o ch kr af tmoment

Heureka 2.indb 23

•

23

2012-05-24 11.30

2.12 Hur stor kraft måste Agneta prestera mot

golvet med varje hand för att göra armhävningar? Hon rör sig med konstant hastighet. m = 58,7 kg F1 mg F2

0,8 m 1,4 m

2.13 Du bär en hink i din hand.

Fm m

Fj

j

m·g

m·g

a) Försök avgöra vilka krafter, avstånd och

vinklar du, med viss ansträngning, kan mäta. Vilka krafter och vinklar kan du inte mäta, hur du än försöker?

b) Anta att hinken väger 10 kg. Uppskatta

eller mät massan på din arm och mät eller uppskatta de avstånd som är möjliga att mäta. Känn på din armbåge, lägg märke till var du har senfästet för bicepsmuskeln och känn på överarmsben och underarmsben. Beräkna muskelkrafter och vinklar som inte kan mätas.

24

•

k apitel 2 jä mv ik t o ch kr af tmoment

02_Heureka 2 2012.indd 24

2012-05-24 14.54

3

Rörelse i t vå dimensioner Rörelser kan sättas samman och delas upp. Vi kan beskriva och undersöka dem med hjälp av modellskapande verktyg från matematiken, som vektorer, funktioner och derivator.

k apitel 3 rörel se i t vå dimensioner

Heureka 2.indb 25

•

25

2012-05-24 11.30

1 Rörelser kan sammansättas och uppdelas När du går rakt framåt och svänger med armarna, utför dina händer samtidigt två rörelser, den ena med jämn fart framåt, den andra fram och tillbaka. Händernas hastighet i förhållande till golvet eller marken är en kombination av två hastigheter, en för vardera rörelsen. Vi studerar först ett enkelt exempel på en sådan kombination.

ExEmpEl 1

En båt glider fram längs en kaj med farten 2,0 m/s. Skepparen, som funderar på något, går fram och tillbaka mellan fören och aktern, en sträcka på 20 m, med en fart av 1,0 m/s. Hur stor fart i förhållande till kajen har skepparen a) när han rör sig från akter till för? b) när han rör sig från för till akter?

Lösning

a) Se figuren.

40 m

20 m 60 m

Det tar 20 s för skepparen att gå från aktern till fören. Under tiden rör sig båten 40 m längs kajen. Skepparen har alltså förflyttats 20 m + 40 m på 20 s, och hans hastighet i förhållande till kajen har varit 20 m + 40 m 20 m 40 m = + = 1,0 m/s + 2,0 m/s = 3,0 m/s 20 s 20 s 20 s Hastigheterna adderas. b) När skepparen rör sig från för till akter förflyttas han 40 m – 20 m i förhållande till kajen. Hans hastighet längs kajen är därför 40 m – 20 m = 2,0 m/s – 1,0 m/s = 1,0 m/s 20 s I stället för 2,0 m/s – 1,0 m/s kan vi skriva 2,0 m/s + (–1,0 m/s). Även i detta fall adderas alltså hastigheterna, om vi tar hänsyn till att de har riktning, d.v.s. att de är vektorer.

Svar: Farten i förhållande till kajen är i a) 3,0 m/s och i b) 1,0 m/s.

26

•

Heureka 2.indb 26

k apitel 3 rörel se i t vå dimensioner

2012-05-24 11.30

ExEmpEl 2

En båt ros 50 m över en älv. Båten håller hastigheten 2,0 m/s i förhållande till vattnet och vinkelrätt mot vattnets strömningsriktning. Vattnets hastighet är 1,5 m/s. a) Hur lång tid tar det för båten att nå motsatta stranden? b) Bestäm båtens hastighet i förhållande till älvstranden.

Lösning

2,0 m/s 50 m

1,5 m/s

a) Se fig. a. Vi tänker oss att en person står på en bro över älven långt från båten, där man inte kan se att den driver med strömmen. Den personen ser att båten passerar tvärs över älven med farten 2,0 m/s, vilket sker på tiden 25 s. b) Under tiden driver båten med strömmen (25 s) · (1,5 m/s) = 37,5 m

a. Båtens rörelse är en kombina­ tion av en rörelse vinkelrätt mot stränderna och en rörelse med strömmen.

Den totala sträcka, som båten rör sig, är därför enligt Pythagoras sats √502 + 37,52 m = 62,5 m. Hastighetens belopp v är då 62,5 m = 2,5 m/s 25 s Men detta resultat kan vi också få genom att bilda vektorsumman av de båda hastigheterna och beräkna dess storlek, se fig. b:

2,0 m/s

v

1,5 m/s b. Den resulterande hastigheten är vektorsumman av de två delrörel­ sernas hastigheter.

När två rörelser kombineras, är den resulterande hastigheten vektorsumman av de båda rörelsernas hastigheter.

v = √2,02 + 1,52 m/s = 2,5 m/s Svar: a) Överfärden tar 25 s. b) Hastigheten är 2,5 m/s i förhållande till stranden.

Komposanter När en rörelse ses som en kombination av två ”delrörelser”, t.ex. när ett flygplan lyfter, är hastigheten vektorsumman av delrörelsernas hastigheter. Hastigheterna sägs därför vara komposanter till den resulterande hastigheten. (Termen komposant används alltså inte bara när det gäller krafter.)

I exempel 3 lyfter ett flygplan, och vi delar upp dess hastighet i komposanter. De är då hastigheter i var sin av två delrörelser som flygplanet samtidigt utför.

k apitel 3 rörel se i t vå dimensioner

Heureka 2.indb 27

•

27

2012-05-24 11.30

ExEmpEl 3

Ett flygplan lyfter med farten v och rör sig längs en rät linje som bildar vinkeln α med den horisontella marken. Det utför då samtidigt två rörelser, en horisontell (”på kartan”) och en vertikal (som visar sig på flygplanets höjdmätare). Ange uttryck för dessa hastigheters belopp! v

v2

v α

α

v1 flygplanets hastighet kan delas upp i komposanter: en horisontell och en vertikal.

Lösning

Se figuren till vänster. Av sambanden v v cos α = 1 och sin α = 2 följer att v v v1 = v cos α

och

v2 = v sin α.

Svar: Hastigheternas belopp är v1 = v cos α respektive v2 = v sin α.

Övning 3.1–3.6

2 Rörelser kan studeras i koordinatsystem y vy

α

v vx

h

x

x = vx t y = vy t + h

y

lvy l

α

vx v x

fig. 1. i det koordinatsystem som visas här, blir x­komponenten v cos α och y­komponenten v sin α.

28

Vi kommer nu att beskriva hur flygplanet i exempel 3 rör sig genom att använda dess koordinater i ett koordinatsystem. Detta har en horisontell axel, x-axeln, längs marken och en vertikal axel, y-axeln, riktat lodrätt uppåt. Vid tiden t = 0 befinner sig planets nos i punkten (0, h), se fig. 1.

För den fortsatta rörelsen gäller:

•

Heureka 2.indb 28

där där

vx = v cos α vy = v sin α

och

Om planet i stället håller på att landa, sker den vertikala rörelsen i y-axelns negativa riktning. Det betyder att vy är negativ. Om vi då låter α vara en negativ vinkel, blir ju sin α negativ, och vi kan använda samma uttryck för vx och vy som förut.

x -komponent och y -komponent I det följande kallar vi vx hastighetsvektorns x-komponent och vy dess y-komponent. Komponenterna anges med tecken och bestämmer tillsammans hastighetsvektorns storlek och riktning.

k apitel 3 rörel se i t vå dimensioner

2012-05-24 11.30

Övning 3.7–3.10

√

K on t ro l l 1

I en byggkran hänger en hiss, se figuren! Medan hissen med farten 0,50 m/s lyfts 5,0 m, ska den förflyttas 12 m i sidled. a) Vilken genomsnittsfart i sidled innebär detta? b) Hur stor blir den resulterande farten?

12,0 m 5,0 m

3 Kaströrelse

En kaströrelse kan uppfattas som en kombination av två rörelser, en horisontell med konstant hastighet och en vertikal med konstant acceleration.

Fig. 2 är ett stroboskopfoto av två kulor. Den ena börjar falla samtidigt som den andra stöts ut horisontellt. Vi ser att den horisontella rörelsen hos den högra kulan sker med konstant fart, eftersom förflyttningen i horisontellt led är lika stor under varje blixtintervall. Samtidigt rör sig den högra kulan i vertikalt led precis på samma sätt som den fritt fallande vänstra kulan.

Det är tydligen så att den högra kulans rörelse är en kombination av två samtidiga rörelser, en horisontell med konstant hastighet, och en vertikal med konstant acceleration. I det följande ska vi studera denna kombination som vi kallar kaströrelse.

fig. 2. Bilden visar två kulors rörel­ ser. Den ena sköts i väg horisontellt i samma ögonblick som den andra släpptes rakt ner. Den högra kulan rör sig med konstant hastighet i horisontellt led, samtidigt som den faller lika snabbt som den vänstra kulan. medan kamerans slutare stod öppen, belystes kulor­ na av ljus från korta blixtar med konstant tidsmellanrum. Luftmot­ ståndet var obetydligt.

k apitel 3 rörel se i t vå dimensioner

Heureka 2.indb 29

•

29

2012-05-24 11.30

ExEmpEl 4

En sten kastas i väg med den horisontella utgångshastigheten v0 = 15 m/s från en punkt 20 m över marken, se fig. a. Vi utgår från att luftmotståndet inte behöver tas med i beräkningen. m y 25 20 15 10 5 x

a. Banan som stenen i exempel 4 följer.

0

5

10

15

20

25

30 m

a) Var befinner sig stenen efter 0,80 s? b) Hur lång tid tar det för stenen att nå marken? c) Bestäm hastighetens storlek och riktning omedelbart innan stenen träffar marken!

Lösning

När ett föremål släpps från vila då t = 0 och faller fritt, är farten v = g · t och fallsträckan är arean under v-t-grafen: s = t · gt/2 = 1/2gt 2.

Vi låter beteckningarna betyda talvärden. I fig. a har ett koordinatsystem införts, med x-axeln längs marken och y-axeln genom stenens startpunkt.

Utgångshastighetens komponenter är v0x = 15 och v0y = 0. Rörelsen i x-led har den konstanta hastigheten 15 m/s och startar med x = 0.

Det betyder att

v v = gt s

x = 15t gt

s v

t

t

där t s är tiden från startögonblicket. Rörelsen i y-led är fritt fall från vila. När stenen varit på väg i t s har den rört sig den lodräta sträckan 1 = gt 2. Eftersom den startade på nivån y = 20, blir dess y-koordinat 2 1 y = 20 – gt 2 2 där g = 9,82. a) Stenens koordinater vid tiden t = 0,80 är x = 15 · 0,80 = 12 och y = 20 – 9,82 · 0,802/2 = 17

30

•

Heureka 2.indb 30

k apitel 3 rörel se i t vå dimensioner

2012-05-24 11.30

Sök upp punkten på kurvan i fig. a. vx |α| |vy |

v

b) När stenen träffar marken är y = 0, vilket ger oss ekvationen 20 –

9,82 2 ·t =0 2

vars lösning är t = b. Hastigheten vid nerslaget är vek­ torsumman av den konstanta hori­ sontella hastigheten 15 m/s och en vertikal hastighet, som motsvarar ett fall från 20 m höjd.

√ 9,82 = 2,0.

2 · 20

c) Vid nerslaget är vy = v0y – gt = 0 – 9,82 · och

√ 9,82 = –19,8 40

vx = v0x = 15 Hastighetens storlek finner vi med Pythagoras sats: v2 = vx2 + vy2, alltså v = √ 19,82 + 152 = 25 Hastighetens riktning kan vi få genom att bestämma vinkeln α i ekvationen tan α =

vy –19,8 = vx 15

som ger α = –53°. Se fig. b.

Svar: a) Stenen befinner sig i punkten (12 m; 17 m). b) Stenen når marken efter 2,0 s. c) Hastigheten är 25 m/s, riktad snett neråt. Den bildar vinkeln 53° med horisontalplanet.

?

t ä n K t il l ! 1

Kan du bestämma hastigheten i exempel 4 c med hjälp av energiprincipen?

Kastparabeln →

En sten slungas i väg vid tiden t = 0 med utgångshastigheten v0 i en riktning som bildar vinkeln α 0 med horisontalplanet. Fig. 3 visar den bana som stenen följer. Den utför samtidigt två rörelser, en horisontell, i x-led, och en vertikal, i y-led.

k apitel 3 rörel se i t vå dimensioner

Heureka 2.indb 31

•

31

2012-05-24 11.30

fig. 3. Kaströrelse: vid tiden t = 0 befinner sig föremålet i origo och → har hastigheten v0 med komponen­ terna v0x och v0y. vid tiden t är läget (x, y) och hastigheten v med kompo­ nenterna vx och vy.

y

(x, y)

y

|α |

|vy |

v0

vx = v0x v

v 0y α0

x

v0x

x

Utgångshastigheten har storleken v0 och komponenterna v0x i x-led och v0y i y-led. Rörelsen i x-led sker med konstant fart. Eftersom luftmotståndet har försumbar inverkan, finns ju ingen kraft i x-led som påverkar hastigheten. Rörelsen i y-led sker däremot under inverkan av tyngdkraften, som ger accelerationen g = 9,82 m/s2 riktad neråt.

Vi studerar först rörelsen i x-led. Eftersom vx = v0x blir x = v0x t där v0x = v0 cos α 0.

För rörelsen i y-led gäller vy = v0y – gt där v0y = v0 sin α 0 Formler för kaströrelse utan luftmotstånd.

Horisontell rörelse Vertikal rörelse vx = v0x

vy = v0y – gt

x = v0x t

gt 2

32

•

Heureka 2.indb 32

y = v0y t –

2

och y = v0y t –

gt 2 .

2

Ibland vill man beräkna hastighetens storlek v och dess riktning α i stället för komponenterna vx och vy. På samma sätt som i exempel 4 får vi v = √vx2 + vy2 tan α =

vy vx

Om man känner utgångshastigheten, kan man med dessa formler bestämma stenens läge och hastighet vid vilken tidpunkt som helst under rörelsen. Observera dock att formlerna bara gäller då luftmotståndet kan försummas. Banan är en parabel.

Med ett lämpligt datorprogram går det att beräkna hur luften påverkar rörelsen. I kapitel 8 kommer du att få se hur det kan gå till.

k apitel 3 rörel se i t vå dimensioner

2012-05-24 11.30

ExEmpEl 5

En boll sparkas med hastigheten 16 m/s mot en vertikal vägg på 18 m avstånd. Bollens utgångsriktning bildar vinkeln 30° med marken.

Luftfriktionen försummas. a) Hur högt ovanför marken träffar bollen väggen? b) Är bollen på väg uppåt eller neråt när den träffar väggen?

Lösning

Vi låter y-axeln ha positiv riktning uppåt. Rörelsen i x-led har utgångshastigheten v0x = v0 cos α 0 = 16 cos 30° m/s = 8 · √3 m/s och rörelsen i y-led har utgångshastigheten v0y = v0 sin α 0 = 16 sin 30° m/s = 8,0 m/s.

Anta att bollen träffar väggen efter tiden t. x = v0x t ger t =

18 x = s v0x 8 · √3

Nu kan vi också beräkna y-koordinaten vid tidpunkten t: y = v0yt –

gt 2 8 · 18 9,8 · 182 m– = m = 2,1 m 2 2 · 82 · 3 8 · √3

Svaret på fråga a) blir att bollen träffar väggen 2,1 m ovanför marken.

För att svara på fråga b) beräknar vi hastighetskomponenten vy vid tiden t. vy = v0y – gt = 8,0 m/s –

9,8 · 18 m/s = – 4,7 m/s 8 · √3

Minustecknet innebär att bollen är på väg neråt när den träffar väggen.

Svar: a) Bollen träffar väggen 2,1 m över marken. b) Den är då på väg neråt.

B

√ h

A

l

Övning 3.11–3.19

K on t ro l l 2

Figuren visar en kastparabel. Ange med hjälp av beteckningarna h (stighöjden) och l (kastvidden) i figuren samt v0x och v0y hur lång tid som går åt för rörelsen C

a) från A till C b) från A till B. Utnyttja att medelhastigheten i y-led är v0y /2

k apitel 3 rörel se i t vå dimensioner

Heureka 2.indb 33

•

33

2012-05-24 11.30

fysik 2

fysik

rune alphonce • lars bergström • per gunnvald • erik johansson • roy nilsson

2

Heureka! är ett läromedel anpassat till Gy2011.

I Heureka! ingår: • läroböckerna Heureka! Fysik 1, 2 och 3

fysik 2

Det är ett komplett läromedel i tre delar för gymnasieskolans fysikkurser 1, 2 och 3. Heureka! ger eleverna en förståelse för fysikens betydelse och användningsområden. Heureka kan användas på gymnasiet, komvux och naturvetenskapligt basår.

• lärarhandledningar • ledtrådar och lösningar till övningsuppgifterna i läroböckerna • övningsmaterial för ytterligare problemlösning.

Heureka! finns även som digitalt läromedel.

För mer information om Heureka! se www.nok.se/heureka

ISBN 978-91-27-56728-3

9 789127 567283

Heureka omslag bok 2 120522.indd 1

2012-05-25 09.24