9789144093543 by Smakprov Media AB

Med fokus på linjär algebra

Denna bok riktar sig till den grupp av studenter, som behöver komma in på egenvärden och egenvektorer redan efter en för hållandevis kort kurs i linjär algebra. Vid urvalet av stoff har det tagits hänsyn till att vissa studenter kommer att välja att läsa mer linjär algebra efter denna kurs, medan andra inte kommer att göra det.

fokus på linjär algebra

Den linjära algebran innehåller i dag ett rikt spektrum av metoder som används och en förståelse för dessa metoder krävs inom nästan alla samhällsområden som använder datorer, beräkningar, bildbehandling eller liknande. Även om verkligheten ofta är ickelinjär, så kräver icke-linjär analys ofta mycket god förståelse av de linjära specialfallen. Få delområden i matematiken kan på en lika elementär nivå klargöra skillnaderna mellan effektiva och mindre effektiva algoritmer och åskådliggöra vilken potential matema tiken ger för en fortsatt samhällsutveckling.

Torsten Lindström | Med

Torsten Lindström är professor i matematik vid Linnéuniversitetet. Han har finsk lärarutbildning inom matematik, fysik och kemi som grund och är en internationellt erkänd forskare inom popula tionsdynamiken, ett av de många gränsområden som i dag existerar mellan biologin och mate matiken.

Med fokus på

linjär algebra Torsten Lindström

Denna upplaga har kompletterats bland annat med ett stort antal övningar. Gamla tentamensuppgifter förekommer bland dessa. Videoinspelningar av undervisning som ansluter sig till delar av bokens texter och övningar existerar. Andra upplagan Art.nr 31876 2:a uppl.

www.studentlitteratur.se

978-91-44-09354-3_01_cover.indd 1

2014-08-26 11.30

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access. Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 31876 ISBN 978-91-44-09354-3 Upplaga 2:1 © Författaren och Studentlitteratur 2014 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Francisco Ortega Printed by Eurographic Danmark A/S, Denmark 2014

978-91-44-09354-3_01_p001-002.indd 2

2014-08-26 09.39

Förord till första upplagan

Denna bok kom till efter att jag hade undervisat i linjär algebra vid Örebro universitet 1995 och vid Högskolan i Kalmar, 1999, 2000, 2001 och 2002. Jag har vid dessa kurser använt en del olika läroböcker som kursböcker, i huvudsak D. C. Lays, K. G. Anderssons och G. Strangs läroböcker. Min egen framställning har dessutom färgats av min egen lärares, I. Björkfelt, framställning av materialet. Vektoralgebran i början av kurserna har alltid utgjort ett speciellt problem eftersom detta avsnitt ingår i de teknisk/naturvetenskapliga gymnasielinjerna i rätt många länder. Därmed är det inte säkert att all utländsk universitet- och högskolelitteratur täcker detta avsnitt. Jag har därför utgått från Thorbjörnssons kompendium, Vretblads bok och mina egna (fortfarande någorlunda välbehållna) gymnasieböcker när jag sökt efter alternativa sätt att presentera dessa avsnitt. Så småningom blev tiden mogen för att skriva ett eget material. Det definitiva startskottet för detta blev när jag anlitades för att utveckla ett nationellt distanskursmaterial 2003 för min kurs i linjär algebra. Distanskursmaterialet baserades till en början på Lays lärobok, och distansmaterialet kom att innehålla fullständiga videoinspelningar av samtliga föreläsningar och videodemonstrationer av samtliga givna övningsuppgifter. Dessutom gjorde jag rätt så noggranna kommentarer till såväl läroboken som det inspelade materialet direkt efter inspelning. Dessa skrivna kommentarer blev utgångspunkten för den bok du nu håller i din hand. Det är naturligtvis mycket svårt att avgöra vilken typ av stoff som ska inkluderas i en första kurs i linjär algebra på universitets- och högskolenivå. De behov som olika kategorier av studerande har kan skilja sig radikalt åt, och under inga omständigheter kan alla saker som är önskvärda tas med. Jag har redan nämnt problemen med att vektoralgebran inte ingår i den svenska gymnasiekursen. Detta ställer omedelbart kravet att man inte kan starta från vilken abstraktionsnivå som helst i en © Författaren och Studentlitteratur

svensk kurs i linjär algebra. Det blir t.ex. orimligt att ta upp vektorrum och Euklidiska rum i början av den första kursen i linjär algebra på universitets- och högskolenivå, hur lämpligt man än skulle tycka att det vore för att få alla saker på rätt plats från början. Detta innebär att man måste ta ställning till vilka avsnitt som läses på en lägre abstraktionsnivå och vilka avsnitt som läses på en högre abstraktionsnivå. Många författare väljer att ta upp minsta kvadratmetoden och Gram-Schmidts ortogonaliseringsförfarande i den första kursen och lämnar samtidigt egenvärden, egenvektorer, diagonalisering och kvadratiska former till den andra kursen och därmed den högre abstraktionsnivån. Jag har medvetet valt att avvika från detta mönster, även om jag kan se goda skäl att inte göra så. Orsaken är att ett flertal yrkesgrupper förutsätts veta vad egenvärden och egenvektorer är, redan i och med att de läst sin första kurs i linjär algebra. För många av dessa yrkesgrupper kan det vara svårt att motivera varför de ska gå ytterligare en kurs i linjär algebra. Det är naturligtvis relevant att veta vilken litteratur som kan användas för att ge en andra kurs i linjär algebra efter att studenterna läst en första kurs som inte helt följer samma upplägg som många andra läroböcker. Själv har jag med gott resultat testat väl valda avsnitt ur Strangs lärobok för en andra kurs, men jag kan tänka mig att även Saduns lärobok väl uppfyller de krav som ställs på en lärobok som man med behållning ska kunna läsa efter att ha läst denna bok. Såväl Strangs som Saduns läroböcker tar upp samtliga utelämnade centrala avsnitt på nästa abstraktionsnivå. Studenter som är mera praktiskt orienterade och har behov av att se geometrin i resonemangen får rätt mycket ut av Strangs bok, medan studenter som ska ledas in i funktionalanalys eller matematisk fysik i ett senare skede antagligen har mest nytta av framställningen i Saduns bok. Jag utesluter inte att det finns alternativa framställningar. Till min hjälp har jag haft ett stort antal studenter som dels tyckt om tidigare versioner av detta manuskript, dels tyckt att dessa varit otillgängliga. Jag vill uttrycka ett stort tack till alla studenter som försett mig med kommentarer i en eller annan riktning. Studenternas medverkan syns tydligt på flera ställen, bl.a. introduceras ortogonalitetsbegreppet via Pythagoras sats. Matematiskt sett är det ganska bökigt att göra detta på det här sättet, men många studenter känner igen skolmatematiken här. Ett särskilt tack riktar jag till universitetslektor Anders Hultgren, som uppmanade mig att engagera mig i den nationella distanskursen, som blev basen för detta arbete. Om han inte då och då hade sagt att det är ett gott arbete jag gör, hade denna bok knappast blivit till. Dessutom övertygade han den dåvarande institutionsledningen om att 2

distansprojektet var värt att satsa på. Ett annat tack måste riktas till Gillis Elmqvist, som tog hand om kommunikationen med studenterna på nätet och därmed frigjorde de resurser som var nödvändiga för att mina föreläsningar skulle kunna dokumenteras i skriven form, vilket senare blev basen för denna bok. Ett tredje tack måste givetvis riktas till Anders Olsson, som gav mig instruktioner inför varje tagning och ägnade stora tidsresurser till att klippa det filmade distansmaterialet. Universitetslektorerna Anders Claesson och Anna Torstensson gav mig en rad värdefulla kommentarer i slutskedet av arbetet med detta manuskript. Söderåkra, den 23 mars 2005, Torsten Lindström

Förord till andra upplagan

Den viktigaste förändringen är att övningar har valts ut till varje kapitel. Dessutom har en hel del ytterligare material tagits med. Ordningen av innehållet följer fortfarande mönstret att vektorgeometrin först införs, därefter Gausselimination och matriser. Alla videoinspelningar som gjordes av mina föreläsningar och övningstimmar 2003 har tillgängliggjorts för läsarna av denna upplaga. Det kommer att finnas en länk till detta material på blogg.lnu.se/torsten-lindstroem/. Kommentarer rörande för mig kända oklarheter i filmerna och denna bok kommer att finnas på samma sida. Övningsuppgifter med demonstrationsvideo har markerats i texten med (D1)-(D85). Det är viktigt att påpeka att det inspelade materialet ska användas på rätt sätt, och det gäller i synnerhet övningsuppgifterna. Studenten bör först försöka lösa övningarna på egen hand och därefter se demonstrationsvideon. I en normalt genomförd kurs går det alltid minst 1-2 nätter mellan det att metoderna för uppgifterna demonstreras i exempel, till det att motsvarande uppgifter redovisas. Det ska reserveras tid till att granska sitt eget tänkande medan man löser en uppgift. Uppgifterna placerar sig på en helt annan svårighetsnivå om ett reproduktivt tänkande tillåts ersätta ett produktivt tänkande. Uppgifter som har markerats med * kan innehålla krävande moment. Slutligen ett stort tack till de ingenjörsstudenter i Växjö som kommenterade en förlaga till denna upplaga våren 2013. Om engelskspråkiga studenter läser denna kurs parallellt med svenskspråkiga studenter, kan Lays lärobok används som parallell lärobok på engelska för de delar av framställningen som den täcker. Söderåkra, den 31 maj 2013, Torsten Lindström

Innehåll

1 Vektorer 1.1 Vektoralgebra . . . . . . . 1.2 Baser och koordinater . . 1.3 Representationer för linjer 1.4 Övningar . . . . . . . . .

. . . .

11 14 17 20 22

2 Ortonormerade baser 2.1 Längden av en vektor . . . . . . . . . 2.2 Skalär produkt . . . . . . . . . . . . . 2.3 Planets ekvation . . . . . . . . . . . . 2.4 Avståndsformeln . . . . . . . . . . . . 2.5 Motsvarigheter i den plana geometrin 2.6 Projektioner . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Övningar . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

25 26 26 29 30 32 33 36

3 Orienteringsproblem i rymden och vektorprodukt i R3 3.1 Area- och volymberäkningar . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Räkneregler för kryssprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Om generaliseringar av kryssprodukten . . . . . . . . . . . 3.4 Övningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 44 47 48 49

4 Ellipser, hyperbler och parabler 4.1 Ellipser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Hyperbler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Parabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Olika typer av lösningsmängder till kvadratiska ekvationer i två variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Övningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 51 53 53

. . . . . . . . . . och plan . . . . .

. . . .

54 55

Innehåll 5 Matriser och Gausselimination 5.1 Inledning till den linjära algebran: ett exempel 5.2 System av linjära ekvationer . . . . . . . . . . . 5.3 Elementära radoperationer . . . . . . . . . . . . 5.4 Eliminering till echelonform . . . . . . . . . . . 5.5 Radförenklingsalgoritmen . . . . . . . . . . . . 5.6 Existens- och entydighetsfrågor . . . . . . . . . 5.7 Övningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

59 59 60 63 65 66 69 70

6 Vektorer i Rn 6.1 Linjära kombinationer . 6.2 Ekvationen Ax = b . . . 6.3 Linjärt oberoende . . . . 6.4 Snabbkriterier för linjärt 6.5 Basbegreppet i Rn . . . 6.6 Övningar . . . . . . . .

. . . . . .

73 74 75 77 79 80 81

. . . . . . . . . . . . . . . . . . beroende . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

7 Linjära avbildningar 85 7.1 Matrisen av en linjär avbildning . . . . . . . . . . . . . . . 87 7.2 Övningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 8 Matrisalgebra 8.1 Matrisaddition och multiplikation med 8.2 Matrismultiplikation . . . . . . . . . . 8.3 Rad–kolonn-metoden . . . . . . . . . . 8.4 Räkneregler för matrismultiplikation . 8.5 Upphöjt i, transponat . . . . . . . . . 8.6 Övningar . . . . . . . . . . . . . . . .

skalär . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

95 95 97 98 99 101 102

9 Matrisinverser 9.1 Elementärmatriser . . . . . . . . . . . . . 9.2 Inverskonstruktion . . . . . . . . . . . . . 9.3 Karakterisering av inverterbara matriser . 9.4 LU-faktorisering eller numerisk invertering 9.5 Övningar . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

105 107 108 111 112 118

10 Determinanter 10.1 Grundläggande egenskaper . 10.2 Härledda egenskaper . . . . 10.3 Sarrus regel . . . . . . . . . 10.4 Utveckling i kofaktorer . . . 10.5 Formeln för matrisinvers . . 10.6 Cramers regel . . . . . . . .

. . . . . .

121 122 123 126 127 129 130

. . . . . .

Innehåll 10.7 Övningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 11 Egenvärden och egenvektorer 11.1 Den karakteristiska ekvationen 11.2 Likformiga matriser . . . . . . 11.3 Diagonalisering . . . . . . . . . 11.4 Hur gör man? . . . . . . . . . . 11.5 Komplexa egenvärden . . . . . 11.6 Övningar . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

137 142 143 144 146 150 155

12 Repetition 161 12.1 Typtenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 12.2 Tentamina 20031030, 20130604 . . . . . . . . . . . . . . . 163 A Bilaga A Komplexa tal 165 A.1 Det komplexa talplanet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 A.2 Geometrin i den komplexa multiplikationen . . . . . . . . 170 B Bilaga B Snabbguide till MatLab 173 B.1 Filen cdef.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 B.2 Figuren figur.epsc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 B.3 Laborationsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 C Bilaga C Svar och anvisningar till uppgifterna

183

Ortonormerade baser

Strukturen hos en del räkneoperationer som vi vill kunna utföra kommer inte att vara helt oberoende av basvalet som ovan. I dessa fall vill vi ha möjlighet att välja basen på ett sådant sätt att dessa operationer på något sätt får ett enklare utseende än i vilken bas som helst. Det kommer att visa sig att dessa operationer antar sin enklaste form om planets basvektorer {e1 , e2 } uppfyller |e1 − e2 |2 = |e1 |2 + |e2 |2 , |e1 | = 1, |e2 | = 1.

(2.1) (2.2)

Observera att (2.1) motsvarar Pythagoras sats och att vi därmed kräver vinkelräthet mellan de i basen ingående vektorerna. Kravet (2.2) innebär att vi kräver att de ingående basvektorerna ska ha längden ett. Vi kan ställa motsvarande krav på en bas {e1 , e2 , e3 } i rymden genom att kräva |e1 − e2 |2 = |e1 |2 + |e2 |2 , |e1 − e3 |2 = |e1 |2 + |e3 |2 , |e2 − e3 |2 = |e2 |2 + |e3 |2 , |e1 | = 1, |e2 | = 1, |e3 | = 1 Baser där de ingående vektorerna är parvis vinkelräta mot varandra kallas ortogonala baser. Har de ingående vektorerna dessutom längden ett, kallas de ortonormerade baser. Detta förkortas ON-bas. Vi nämner i detta sammanhang att det finns ett standardförfarande som kan generera en ON-bas från vilken bas som helst. Detta förfarande kallas Gram-Schmidts ortogonaliseringsförfarande. Notera att en ortogonal bas alltid kan normeras; jämför exempel 1.14. © Författaren och Studentlitteratur

Kapitel 2 Ortonormerade baser

2.1

Längden av en vektor

Vi har hittills använt oss av längder av vektorer definierade som avståndet mellan utgångspunkten och ändpunkten för vektorn i fråga. Vi vill emellertid, liksom beträffande vektoraddition och multiplikation med skalär, komma ifrån dessa geometriska framställningssätt. Betrakta nu v = v1 e1 + v2 e2 given i den plana ON-basen {e1 , e2 }. Vi kan nu använda Pythagoras sats och definition 1.12 för att beräkna dess längd enligt |v|2 = |v1 e1 +v2 e2 |2 = |v1 e1 |2 +|v2 e2 |2 = |v1 |2 |e1 |2 +|v2 |2 |e2 |2 = v12 +v22 . Rotutdragning ger nu att satsen: Sats 2.1. Längden av en vektor med koordinaterna (v1 , v2 ) i en plan ON-bas ges av q |(v1 , v2 )| = v12 + v22 .

Vi kan på liknande sätt komma fram till: Sats 2.2. Längden av en vektor med koordinaterna (v1 , v2 , v3 ) i en ONbas i rymden ges av q |(v1 , v2 , v3 )| = v12 + v22 + v32 . Vi ser snabbt att de ovanstående formlerna skulle ha antagit ett annat utseende om basen inte vore ortonormal.

2.2

Skalär produkt

En annan operation vars koordinatframställning beror på basvalet är den skalära produkten. Ett alternativt namn är punktprodukt. I denna operation startar vi från två vektorer och erhåller ett tal som resultat. Den geometriska definitionen av detta tal ges av u · v = |u||v| cos θ, om u, v 6= 0

(2.3)

där θ betecknar vinkeln mellan de i produkten ingående vektorerna. Om någondera (eller båda) av de ingående vektorerna är nollvektorn, så sätts den skalära produkten definitionsmässigt lika med talet noll. Orsaken till att koordinatframställningen beror av basvalet är att denna produkt beror av vinkeln mellan de ingående vektorerna. Innan vi går vidare ger vi ett exempel på en situation i fysiken som visar att man kan kan ha nytta av en produkt som definieras enligt ovan. 26

2.2 Skalär produkt Exempel 2.3. Antag att en kraft F riktad vinkeln θ uppåt från horisontalplanet flyttar en massa sträckan s. Situationen beskrivs i figuren nedan.

: F -

Fs - s

Betrakta först den del av vektorn F som verkar i förflyttningens, vektorn s:s, riktning, Fs . Det arbete som utförs när kroppen förflyttas kommer definitionsmässigt att vara |s||Fs |. Lägg sedan märke till att |Fs | = |F|| cos θ|. Det arbete som utförs när kroppen flyttas kommer därmed att vara beloppet av den ovan definierade produkten. För den skalära produkten gäller följande räkneregler, vilka även liksom de tidigare (jfr sats 1.15) antingen kan bevisas geometriskt och därmed återföras på vår geometriska uppfattning eller tas som axiom eller grundsanningar och därmed lämnas obevisade. Sats 2.4. Låt u, v, w vara vektorer och låt µ, λ vara skalärer. Då gäller: (i) Den skalära produkten är kommutativ, dvs. u · v = v · u (ii) v · v = |v|2 ≥ 0 och v · v = 0 endast om v = 0. (iii) Den skalära produkten är distributiv med avseende på vektoraddition, dvs. (u + v) · w = u · w + v · w. (iv) Skalär produkt knyts ihop med operationen multiplikation med skalär genom räkneregeln (λu) · v = λ(u · v) = u · (λv). Tas ovanstående regler som axiom, så kommer envar konstruktion som startar från två vektorer, producerar ett tal, och uppfyller reglerna (i)–(iv) att kunna kallas en skalär produkt. Vi kan därmed få en mängd alternativa sätt att införa begrepp som vinklar, avstånd med mera. Vi begränsar oss emellertid i detta sammanhang till följande möjlighet att med hjälp av en ON-bas frigöra oss från den geometriska definitionen av skalär produkt. Sats 2.5. Om u = (u1 , u2 , u3 ) och v = (v1 , v2 , v3 ) i en ON-bas i rymden så gäller u · v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3

Kapitel 2 Ortonormerade baser Bevis Vi har enligt sats 2.4 att u·v

= (u1 e1 + u2 e2 + u3 e3 ) · (v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 ) = u1 v1 e1 · e1 + u1 v2 e1 · e2 + u1 v3 e1 · e3 + u2 v1 e2 · e1 + u2 v2 e2 · e2 + u2 v3 e2 · e3 + u3 v1 e3 · e1 + u3 v2 e3 · e2 + u3 v3 e3 · e3 = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 .

Exempel 2.6. Vektorerna u = (1, 2, 3) och v = (6, 5, 4) är givna i en ON-bas i rymden. Bestäm den skalära produkten u · v och vinkeln θ mellan vektorerna u och v. Lösning √ Vi får u · v = √ 1 · 6 + 2 · 5 + 3√· 4 = 6 + 10 + 12√= 28. Eftersom |u| = 12 + 22 + 32 = 14 och |v| = 62 + 52 + 42 = 77 ges vinkeln mellan vektorerna av θ = arccos

28 u·v 4 = arccos √ √ = arccos √ . |u||v| 14 77 22

Detta innebär att vinkeln mellan vektorerna är ungefär θ = 31, 48◦ . Den geometriska definitionen av den skalära produkten gav att u · v = |u||v| cos θ.

(2.4)

Denna relation kan även användas för att definiera nya vinkelbegrepp ifall någon skalär produkt endast är given av de grundäggande egenskaperna i Sats 2.4. Eftersom ett vinkelbegrepp alltid finns definierat genom denna relation så kan vi också förklara vad vi menar med vinkelräthet. Sats 2.7. Två vektorer u och v är vinkelräta (ortogonala) om och endast om u · v = 0. Bevis Antag att u = 6 0 och v 6= 0. Högerledet i (2.4) är i detta fall noll om och endast om cos θ = 0. Om θ definitionsmässigt utgör den mindre av vinklarna mellan de båda vektorerna så måste θ = π/2. Om någondera vektorn är nollvektorn blir den skalära produkten givetvis noll. Men vi har redan kommit överens om att nollvektorn är parallell med alla andra vektorer. Därmed kan vi också komma överens om att den är vinkelrät mot alla andra vektorer. I samband med att vi införde ortogonala baser definierade vi vinkelräthet utifrån att de involverade vektorerna och deras skillnad uppfyllde Pythagoras sats. Det går att visa att dessa två definitioner av vinkelräthet sammanfaller. 28

2.3 Planets ekvation Sats 2.8. |u − v|2 = |u|2 + |v|2 ⇔ u · v = 0

Bevis Antag först att u · v = 0. Då gäller |u − v|2

(u − v) · (u − v) = u · u − 2u · v + v · v = |u|2 + |v|2 .

Omvänt gäller, att om vi antar u · v = 6 0 så är |u − v|2 6= |u|2 + |v|2 . Observera att cosinussatsen, |u − v|2 = |u|2 + |v|2 − 2|u||v| cos θ, där θ betecknar vinkeln mellan vektorerna u och v bevisas på motsvarande sätt.

2.3

Planets ekvation

I slutet av avsnitt 1.2 konstaterade vi att ett plan på parameterform (1.5) beskrevs av en ortsvektor till planet, två fria parametrar och två ickeparallella riktningsvektorer. Vi ska här härleda ekvationsformen för ett plan i rymden. Antag att n = (A, B, C) är en normalvektor till planet, dvs. den är en vektor som är vinkelrät mot varje annan vektor i planet, t.ex. mot de riktningsvektorerna som vi hade i parameterformen.

Låt nu P = (x, y, z) vara en godtycklig punkt i planet och låt P0 = (x0 , y0 , z0 ) vara en fixerad referenspunkt i samma plan. Då gäller n · P0 P = 0 © Författaren och Studentlitteratur

Kapitel 2 Ortonormerade baser och med P0 P = OP − OP0 betyder detta A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0, Ax + By + Cz − Ax0 − By0 − Cz0 = 0. Lägg nu märke till att −Ax0 − By0 − Cz0 är en konstant på grund av att referenspunkten hölls fixerad. Detta innebär att vi kan namnge denna konstant med D och få Ax + By + Cz + D = 0.

(2.5)

Detta är planets ekvation. Exempel 2.9. Bestäm ekvationen för det plan som har (5, 1, −1) som normalvektor och går genom origo. Lösning Vi får 5x + y − z + D = 0. Eftersom planet går genom origo måste (0, 0, 0) satisfiera ekvationen, och vi får D = 0.

2.4

Avståndsformeln

Vi beräknar i detta avsnitt avståndet mellan en punkt (x0 , y0 , z0 ) och ett plan på ekvationsformen Ax + By + Cz + D = 0. 

 x0  y0  t z0  6

 A  B  C H HH H   HH HH x1 H  y1  H t HH z 1 HH H HH H HH

2.4 Avståndsformeln Drag först en linje i normalvektorns riktning genom den givna punkten. Denna linje har parameterformen       x x0 A  y  =  y0  + t  B  z z0 C Vår första uppgift blir att bestämma t-värdet för skärningspunkten (x1 , y1 , z1 ) mellan denna linje och planet. Skärningspunkten uppfyller planets ekvation A(x0 + tA) + B(y0 + tB) + C(z0 + tC) + D = 0 Vi löser ut t och erhåller t=−

Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B 2 + C 2

och därmed ges skärningspunktens koordinater av       x1 x0 A Ax + By + Cz + D 0 0 0  y1  =  y0  −  B . A2 + B 2 + C 2 z1 z0 C Den riktade sträckan mellan (x1 , y1 , z1 ) och (x0 , y0 , z0 ) kan representeras med vektorn       x0 x1 A  y0  −  y1  = Ax0 + By0 + Cz0 + D  B  A2 + B 2 + C 2 C z0 z1 och denna vektor har längden |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ . A2 + B 2 + C 2

(2.6)

Uttrycket (2.6) beskriver alltså avståndet mellan punkten (x0 , y0 , z0 ) och planet Ax + By + Cz + D = 0. Exempel 2.10. Bestäm avståndet från punkten (3, 3, 4) till planet i exempel 2.9 Lösning Insättning i (2.6) ger d=

|5 · 3 + 1 · 3 + (−1) · 4 + 0| |15 + 3 − 4| 14 √ √ = = √ 25 + 1 + 1 27 3 3

Det finns ett stort antal problemställningar där avståndet på något sätt ska beräknas. Det kan röra sig om avstånd mellan linjer i rymden, © Författaren och Studentlitteratur

Kapitel 2 Ortonormerade baser avstånd mellan en linje i rymden och en punkt och så vidare. I de allra flesta fall finns det inte samband som är lätta att komma ihåg. Det är därför att rekommendera att ovanstående avståndsformel med härledning memoreras som ett prototyp exempel på hur dylika härledningar går till. Härledningen åskådliggör hur man tänker, och svaret känner man säkert igen efter avslutat arbete. Exempel 2.11. Bestäm avståndet mellan punkten (2, 2, 3) och linjen x = 2 + t, y = 1 − t, z = 1 + 2t. Lösning Låt X vara en punkt på linjen och P vara (2, 2, 3). Vektorn P X ges då av       2+t 2 t P X =  1 − t  −  2  =  −1 − t  1 + 2t 3 −2 + 2t För att erhålla det vinkelräta avståndet mellan punkten och linjen kräver vi att P X ska vara vinkelrät mot linjens riktningsvektor. Eftersom linjens riktningsvektor var given av (1, −1, 2) kräver vi alltså att (t, −1 − t, −2 + 2t) · (1, −1, 2) = t + 1 + t − 4 + 4t = −3 + 6t = 0. Vi erhåller t = 1/2, sätter in detta värde i P X, och får   1/2 P X =  −3/2  . −1 Längden av denna vektor utgör det sökta avståndet. Vi får med beteckningen d för avståndet att: r r 32 12 7 d = |P X| = + 2 +1= . 22 2 2

2.5

Motsvarigheter i den plana geometrin

Den skalära produkten, planets ekvation och avståndsformeln har med rätt tolkning motsvarigheter i planet. Ifall {e1 , e2 } är en ON-bas i planet ges den skalära produkten i koordinatform av u · v = (u1 , u2 ) · (v1 , v2 ) = u1 v1 + u2 v2 . Skalära produkter kan på motsvarande sätt även generaliseras till högre dimensioner. Vi har tidigare lärt oss att ekvationen för en linje i planet kan skrivas på formen y = kx + b. Ett sådant uttryck kan givetvis även skrivas på den ekvivalenta formen Ax + By + C = 0. 32

2.6 Projektioner Observera analogin med planets ekvation (2.5). Här ges denna linjes normalvektor av (A, B). Uttrycket (2.6) har också en motsvarighet i planet. Där ges avståndet mellan punkten (x0 , y0 ) och linjen Ax + By + C = 0 av |Ax0 + By0 + C| √ . A2 + B 2

2.6

Projektioner

En viktig tillämpning av skalärprodukter är projektioner. Vi har egentligen träffat på dessa redan i form av komponenter med avseende på en bas, se definition 1.22–1.23. Approximationsteorin är ett av de viktigaste användningsområdena för projektioner. Vid approximation är det vanligt att vi tvingas gå ner i dimension. Ett fotografi kan till exempel uppfattas som en tvådimensionell approximation av en tredimensionell verklighet. Låt oss nu föreställa oss att vi försöker erhålla den bästa möjliga avbildningen i ett plan av en sned vektor. Denna kan erhållas genom att belysa vektorn rakt ovanifrån och anse att den erhållna skuggan är den bästa bilden vi kan få. Se bild nedan till vänster.

Vi förenklar sedan situationen så att vi tänker oss att vi projicerar vektorn u vinkelrätt på den linje som har vektorn v som riktningsvektor, se bilden ovan till höger. Den bästa bilden av u längs v vi kan erhålla ges av vektorn uv . Denna vektor är parallell med v och har den egenskapen att u − uv är vinkelrät mot v. Vi formulerar detta som uv = tv och (u − uv ) · v = 0.

(2.7)

Det första villkoret kan sättas in i det andra, och vi erhåller en ekvation där t är obekant. Vi löser ut t ur denna ekvation och erhåller u·v (u − tv) · v = u · v − tv · v = 0, varvid t = . v·v © Författaren och Studentlitteratur

Kapitel 2 Ortonormerade baser Nu sätter vi in detta t-värde i det första av villkoren i (2.7). Den vektor som utgör den bästa approximationen av u i v:s riktning ges alltså av uv =

u·v v. v·v

(2.8)

En alternativ härledning av resultatet är följande: Längden av projektionsvektorn uv måste vara |u| cos θ om θ betecknar vinkeln mellan u och v. Om vi multiplicerar denna längd med en enhetsvektor i v:s riktning, får vi projektionsvektorn enligt uv = |u| cos θ

u·v |u||v| cos θ v v= = v, |v| |v|2 v·v

där vi först förlängde med |v| och därefter använde oss av (2.4). Vi tar ett exempel på hur man beräknar projektionsvektorer. Exempel 2.12. Bestäm projektionen av (1, 2, 1) på (3, 0, 2). Lösning Vi betecknar den sökta projektionen med p och använder oss av (2.8). Vi erhåller       3 3 15/13 5    1·3+2·0+1·2  0 0 0  = = p= 32 + 0 2 + 2 2 13 2 2 10/13 Vi frågar oss tills sist om det finns något enkelt sätt att bestämma koordinaterna för vektorer som är givna i ortonormerade baser. Antag t.ex. att vektorn x är given i ON-basen {e1 , e2 , e3 } x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 .

(2.9)

Vi börjar med att multiplicera (2.9) med e1 och får x1 =

x · e1 = x · e1 e1 · e1

där vi först kan urskilja x1 e1 som vektorn x:s projektion på e1 . Den sista likheten gjorde allt speciellt enkelt på grund av normeringen. Upprepning av argumentet ger alltså att x = (x · e1 )e1 + (x · e2 )e2 + (x · e3 )e3 varvid vektorn x delas upp i projektioner på basvektorerna. Denna uppdelning i komponenter är ett av de viktigaste argumenten för användning av ON -baser i fortsättningen. Märk att var och en av koordinaterna 34

2.6 Projektioner kunde bestämmas oberoende av någon information om de andra koordinaterna. Vi kommer i fortsättningen att studera möjligheterna att nå denna typ av oberoenden (möjligheter till separation) i beräkningarna noggrant. Vi avslutar detta kapitel med ett geometriskt bevis av den distributiva lagen för den skalära produkten, sats 2.4(iii). I en ON-bas kunde naturligtvis ett sådant bevis ha kunnat utföras utan hänvisning till något som helst geometriskt resonemang med hjälp av sats 2.5. Låt u, v, w vara definierade enligt figuren nedan.

v *CO C

C C 7CO C C C C C u C C : C C C :C w C vw C : uw Vi ser omedelbart från figuren att u + v:s projektion på w är uw + vw , dvs. projektioner har en linearitetsegenskap som vi ska studera närmare senare. Vi startar nedan från den mittersta likheten och utvecklar uttrycken åt vardera hållen med hjälp av skalära produkter, varvid vi får u·w v·w (u + v) · w w = (u + v)w = uw + vw = w+ w w·w w·w w·w Detta är ekvivalent med ((u + v) · w − (u · w + v · w))

w = 0. w·w

Den distributiva lagen följer i fallet w = 6 0. Lägg märke till att vi utnyttjade den distributiva lagen för vektor multiplicerad med skalär och vanliga tal i beviset, men inte den distributiva lagen för skalär produkt. Om w = 0, så är den distributiva lagen en omedelbar konsekvens av den geometriska definitionen (2.3). © Författaren och Studentlitteratur

Med fokus på linjär algebra

fokus på linjär algebra

Torsten Lindström | Med

Med fokus på

linjär algebra

Torsten Lindström

www.studentlitteratur.se

978-91-44-09354-3_01_cover.indd 1

2014-08-26 11.30