9789198168112 by Smakprov Media AB

MATEMATIK 1ABC Ingeli Jรถnsson Stegmark

MATEMATIK 1ABC INGELI JÖNSSON STEGMARK NA FÖRLAG

Utgiven av NA förlag AB, Lund www.naforlag.se © Ingeli Jönsson Stegmark, NA förlag AB Produktion: NA Förlag AB Textbearbetning: Magnus Aspegren Grafisk form & layout: Kolossal.se Fotografier från Matton och Johnér. ISBN: 978-91-981681-1-2 Tryck: Exakta, Malmö 2014 Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk är förbjuden.

INLEDNING

1. TALUPPFATTNING OCH ARITMETIK

2. ALGEBRA

3. PROCENT

4. STATISTIK

5. SANNOLIKHET

6. FUNKTIONER

7. GEOMETRI

FACIT

REFERENSER

130

162

188

228

292

316

INLEDNING

I matematikämnets syfte för gymnasieskolan står bland annat att: I undervisningen ska eleverna ges möjlighet att utmana, fördjupa och bredda sin kreativitet och sitt matematikkunnande. Vidare ska den bidra till att eleverna utvecklar förmåga att sätta in matematiken i olika sammanhang och se dess betydelse för individ och samhälle. (www.skolverket.se) Jag har som lärare i matematik utifrån skolverkets syfte plockat ut tre ledord när det gäller min undervisning: Utmana, fördjupa och kreativitet. Det är dessa ledord som jag utgått ifrån då denna bok skrevs. Boken har till viss del ett entreprenöriellt förhållningssätt med öppna uppdrag där eleverna kan utgå ifrån sig själva och sina intressen eller program. Många av uppdragen i boken utgår ifrån att elever och lärare har tillgång till datorer. En del i uppdragen är att hitta information som sedan ska användas i bland annat beräkningar. Upplägget i boken följer en traditionell matematikbok men med fokus på just uppdrag, praktiska och laborativa uppgifter på olika nivåer och inom olika områden. Jag har tagit fasta på Skolverkets beskrivning av matematikämnets syfte: ”Undervisningen i matematik ska enligt Gy11 innehålla varierade arbetsformer och arbetssätt, där undersökande aktiviteter utgör en del. När så är lämpligt ska undervisningen ske i relevant praxisnära miljö” (www.skolverket.se). Några av bokens mer omfattande uppdrag kan med fördel ingå i tematiskt arbete bland annat statistik och matematikens kulturhistoria. Uppgifter markerade med är tänkta som extra utmanande uppgifter. Varje kapitel börjar med en genomgång av de centrala innehållen i Ma1. Uppdelningen mellan de olika kurserna Ma1A, Ma1B och Ma1C särskiljs med tydlig rubricering.

Inledning

Två centrala innehåll i Matematik 1 med fokus på problemlösning återkommer i samtliga kapitel: • Matematiska problem av betydelse för privatekonomi, samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen. • Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria. Ett annat centralt innehåll i Ma1 handlar om användning av digitala medier och verktyg nämligen: • Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg. Alla hänvisningar till denna typ av verktyg har gjorts allmänna så det ställs inga krav på någon speciell räknare eller datorprogram. Två centrala innehåll i Ma1A har jag valt att inte gå djupare in på då detta är väldigt specifikt för just vissa program men trots det så förekommer inslag av detta i boken: • Strategier för att använda hjälpmedel från karaktärsämnena, till exempel formulär, mallar, tumregler, föreskrifter, manualer och handböcker. • Hur matematiken kan användas som verktyg i behandlingen av omfångsrika problemsituationer i karaktärsämnena. Matematikens möjligheter och begränsningar i dessa situationer. Jag som skrivit denna bok är verksam gymnasielärare sedan 2004. Under mina år som lärare har jag samlat på mig många uppgifter, laborationer och uppdrag

Inledning

som jag testat och utvecklat tillsammans med kollegor och elever för att få undervisningen i matematik så varierad som möjligt. Jag har tidigare undervisat på estetiska-, samhälls- och hotell- och restaurang programmet och undervisar nu på vård- och omsorg och på det naturvetenskapliga programmet. Jag ser denna bok som ett försök till ett mångsidigt läromedel men det finns mer att hämta i ny teknologi och laborationer som inte ryms inom ramen för den här boken. Eleverna ska utmanas, fördjupa sin kunskap och öka sin kreativitet, det innebär att eleverna måste få tid att tänka själva, stöttas i det arbetet och inte ges svar på alla frågor utan att själva hitta vägar till ny kunskap och förståelse. Jag hoppas att boken kan ge inspiration till just detta! Tack till Hans Nilsson för expertkunskap inom musiklära och Hannes Ljusås för djupgående kritiskgranskning och bred ämneskunskap inom framför allt matematik och datorvetenskap. Ingeli

Inledning

Kapitel ett

Taluppfattning

& Aritmetik CENTRALT INNEHÅLL FRÅN KURSPLANEN Ma1a: ›› M etoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier för att använda digitala verktyg.

Ma1b:

Ma1c:

›› Egenskaper hos mängden av heltal, olika talbaser samt begreppen primtal och delbarhet.

›› E genskaper hos mängden av heltal, olika talbaser samt begreppen primtal och delbarhet.

›› M etoder för beräkningar inom vardagslivet och karaktärsämnena med reella tal skrivna på olika former inklusive potenser med heltalsexponenter samt strategier för användning av digitala verktyg.

›› Metoder för beräkningar inom vardagslivet och karaktärsämnena med reella tal skrivna på olika former, inklusive potenser med reella exponenter samt strategier för användning av digitala verktyg.

DE FYRA RÄKNESÄTTEN 10 OLIKA POSITIONSSYSTEM NEGATIVA TAL 12 10-basen eller decimalsystemet

40 41

Oändligt – vad är det?

60-basen

20-basen

16-basen eller hexadecimala systemet

MA1B OCH MA1C: POTENSREGLERNA

BRÅK

SAMMANFATTNING

Förlängning och förkortning av bråk

Addition och subtraktion av bråk

Multiplikation och division av bråk

ÖVNINGAR

PRIORITERINGS- REGLERNA

AVRUNDNING

ÖVERSLAGSRÄKNING

DE FYRA RÄKNESÄTTEN

Ex. 1 Beräkna summan av 5 och 6. När svaret är en summa är det addition som ska räknas, alltså 5 + 6. Genom att förstå rätt terminologi vet man alltså vilket räknesätt som ska användas.

Ämnet matematik handlar inte bara om att räkna rätt utan det är också viktigt att kunna rätt terminologi för att veta vad det är man ska räkna.

Ex. 2 Beräkna differensen av 16 och 7. Frågas det efter differens så måste man veta att det är subtraktion som ska räknas, alltså 16 – 7.

Addition 5 + 6 = 11 Term + Term = Summa Subtraktion 14 – 6 = 8

Ex. 3 Beräkna kvoten om täljaren är 15 och nämnaren 3. Täljare 15 = =5 Nämnare 3 Svar: Kvoten är 5.

Term – Term = Differens Multiplikation

TECKENFÖRKLARING

4 ∙ 5 = 20

Liketstecken

Faktor ∙ Faktor = Produkt

betyder ”lika med”

≠

betyder ”skilt från” vilket innebär

Division 45 =9 5 Täljare = Kvot Nämnare

motsatsen till ”lika med”.

Olikhetstecken >

betyder ”större än” Ex. 3 > 2 3 är större än 2

betyder ”mindre än” Ex. 2 < 3 2 är mindre än 3

≥

betyder ”större än eller lika med” Ex. a ≥ 1 a är större än eller lika med 1.

≤

betyder ”mindre eller lika med” Ex. a ≤ 1, a är mindre eller lika 1.

Taluppfattning & aritmetik

UPPDRAG – ORDKUNSKAP I vilka andra sammanhang har du tidigare stött på följande ord? Summa, differens, faktor. Sök på Internet på dessa tre ord och ge exempel på sammanhang de används i. Skriv upp meningen de används i. Är det en korrekt användning av orden?

UPPGIFTER 1. Beräkna: a) Summan av 15 och 25. b) Produkten av 4 och 5. c) Differensen av 60 och 5. d) Kvoten av 90 och 3. 2. a) Addera 6 och 8. b) Multiplicera 7 och 9. 3. a) Dividera 10 med 4. b) Subtrahera 5 från 18. 4. Utgå ifrån heltalet 12 addera 6, multiplicera sedan med 2. Avsluta med att dividera med 4. Vilket tal får du? 5. Beräkna differensen av 40 och 20 och beräkna produkten av 7 och 9. Summera sedan dessa tal. Vad får du?

6. Ställ upp och beräkna: a) kvoten om täljaren är 15 och nämnaren 5. b) produkten om du har faktorerna 6 och 7. c) summan om termerna är 34 och 52. d) differensen om termerna är 60 och 15. e) differensen om termerna är 15 och 60. f) Vad är det för skillnad på d) och e)? Blir det olika svar? Vad betyder differens? 7. Välj ett tvåsiffrigt tal där tiotalssiffran och entalssiffran är olika: a) Bilda ett nytt tal där tiotalssiffran och entalssiffran byter plats. b) Subtrahera det större talet från det mindre c) Ta differensen från föregående uppgift b) och byt plats på tiotalssiffran och entalssiffran. d) Subtrahera det större talet från det mindre. e) Upprepa c) och d) så många gånger du kan.

Taluppfattning & aritmetik

NEGATIVA TAL

UPPDRAG – NEGATIVA TAL Par–/gruppuppgift

Tal som är mindre än noll kallas negativa tal. För att visa negativa tal så kan man använda sig av en tallinje som fungerar som en liggande termometer.

manhang i samhället t.ex. inom ekonomi, meteorologi och geografi. • Ta reda på tre olika sammanhang där du

Tallinje –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

Negativa tal används i många olika sam-

stöter på negativa tal i verkligheten. 1

3 4

6 7 8

• Ge exempel på hur talen används med tydliga räkneexempel. • Konstruera en egen uppgift på varje område.

Ex. Hur stor är temperaturskillnaden om det är –2°C på morgonen när du går till skolan och +5°C när du går hem? –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

3 4

6 7 8

• Byt med en klasskamrat och lös varandras uppgifter. Kommer du på några fler sammanhang där du stött på negativa tal?

Från –2°C till +5°C är det 7 grader. Alltså är skillnaden eller differensen 7 grader. 5 – (–2) = 5 + 2 = 7

Taluppfattning & aritmetik

MINUSTECKNETS BETYDELSE Minustecknet kan ha 3 olika betydelser i matematiken: 1. Operationstecken. 7 – 3 (Utför en subtraktion) Både 7 och 3 är här positiva tal. 2. Beteckning av negativt tal. (–5) 3. Beteckning av motsatt tal. (–a) är det motsatta talet till a, som kan vara antingen positivt eller negativt.

RÄKNEREGLER FÖR NEGATIVA TAL a + (–b) = a – b

Ex. 4 + (–2) = 4 – 2 = 2

a – (–b) = a + b

Ex. 4 – (–2) = 4 + 2 = 6

a ∙ (–b) = – a ∙ b

Ex. 4 ∙ (–2) = –4 ∙ 2 = – 8

(–a) ∙ (–b) = a ∙ b

Ex. (–4) ∙ (–2) = 8

4 4 −4 a –a a = = − = −2 = = – ex. −2 2 2 –b b b −4 4 –a a = =2 = ex. −2 2 –b b

På engelska skulle subtraktionen 7 – (–5) utläsas "seven minus negative five". Minustecknets olika betydelser blir här tydligt på ett sätt som inte är möjligt att uttrycka på svenska. På svenska läser man sju minus minus fem och det blir inte lika uppenbart som på engelska vad det egentligen betyder. För att ändå markera skillnaden noteras negativa tal ibland med parenteser t.ex. (–5) Detta innebär att följande exempel betyder: 12 – 6 12 subtraherat med 6 = 12 – 6 = 6 12 – (–6) 12 subtraherat med –6 = 12 + 6 = 18 (–12) – 6 (–12) subtraherat med 6 = (–12) – 6 = (–18)

Ett alternativt sätt att tänka när man räknar med negativa tal Ett alternativt sätt att tänka för att förstå räkning med negativa tal är att addera med det motsatta talet. Ex. Om man ska subtrahera (–6) från (–12) så kan man tänka att man adderar 6 på båda talen, alltså: (–12) – (–6) = (–12) + 6 – (–6) + 6 = –6–0=–6

Taluppfattning & aritmetik

DESCARTES 14

Taluppfattning & aritmetik

René Descartes (1596–1650) fransk filosof, kallade negativa rötter för falska lösningar på ekvationer, för att de var mindre än ingenting. John Wallis (1616– 1703) engelsk matematiker, konstaterade att 1/0 är oändligt stort. Utifrån insikten att: (

1 1 ) > 0,01 0,1

som utgår ifrån att ett bråk ökar i värde om nämnaren minskar, minskas då nämnaren till något mindre än noll så konstaterade han att 1/(–1) är större än oändligheten. Wallis införde symbolen ∞ för oändligheten.

UPPDRAG Vad tror du om Descartes och Wallis resonemang, kan det stämma? Motivera, hur tror du att de resonerade! Dessa två matematiker har blivit ihågkomna p.g.a. andra saker också. Ta reda på vad Descartes och Wallis är mest kända för och vad de bidrog med till i matematikens historia.

UPPGIFTER 1. a) 6 – 12

b) 6 – (–12)

c) (–6) – 12

d) (–6) – (–12)

2. a) 7 ∙ (–2)

b) (–7) ∙ 4

c) (–2) ∙ (–9)

d) 2 ∙ (–4) + (–2) ∙ (–4)

–9 3 –16 c) –4

64 –8 –(–16) d) (–4)

3. a)

4. a) 15 – 5 – (–3)

b) –13 + (–3) + 6

c) 23 – 5 + (–8) – (–6) d) −17 + 4 – ( –7) + (–6) 5. Ställ upp och beräkna temperaturen om det på natten är –7 grader och tempereturen under dagen sedan stiger med 15 grader. Vilken var dygnets högsta temperatur? 6. a) Summan av två negativa tal ska vara –8. Vilka två tal kan det vara? b) Summan av ett negativt tal och ett positivt tal ska vara –4. Vilka två tal kan det vara? 7. Bestäm temperaturdifferensen mellan ämnenas kokpunkt och smältpunkt. Ämne

Smältpunkt i °C

Kokpunkt i °C

Aceton

–95

Bensen

Etanol

–117

Fluor

–220

–188

8. En dag lånar du 250 kr från en kompis: a) Du betalar tillbaka 150 kr. Gör en korrekt uppställning med negativa tal och beräkna hur mycket du nu är skyldig? b) Nästa dag glömmer du din plånbok hemma och behöver då låna ytterligare 50 kr från din kompis. Ställ upp och beräkna hur mycket du nu är skyldig. 9. Bilden visar en ”gammal” febertermometer: a) Vilken temperatur har du om termometern visar som nedan? b) Om din normala temperatur brukar vara 36,5, hur mycket för hög temperatur har du? c) Din temperatur fortsätter att gå uppåt och stannar på 39,7 grader, hur mycket högre temperatur har du nu jämfört med temperaturen som visas på bilden?

Taluppfattning & aritmetik

PRIORITERINGS REGLERNA Det räcker inte att kunna hantera de fyra räknesätten utan det är minst lika viktigt att veta i vilken ordning ett tal ska räknas ut ifall det består av flera räknesätt. Denna ordning brukar kallas prioriteringsregler, alltså vilken ordning du ska prioritera de olika räknesätten. I vissa fall spelar det ingen roll i vilken ordning du räknar: Ex. 1 10 – 2 + 5 – 1 = ?

På vissa sociala medier så cirkulerar ibland matematikuppgifter där det diskuteras vad som är rätt och fel. 6 / 2(1+2) = ? 1 or 9? Problemet här är oftast just prioriteringsreglerna. Följer man inte reglerna riskerar svaret att bli fel.

UPPGIFT Hur skulle du lösa ovanstående Facebook

Här finns några alternativa sätt att tänka: Variant 1: 10 – 2 + 5 – 1 = 8 + 5 – 1 = 13 – 1 = 12 (steg för steg)

problem? Jämför med några klasskamrater, är ni

Variant 2: (10 + 5) – (2 + 1) = 15 – 3 = 12 (Här adderas de positiva talen och de negativa för sig och subtraheras sedan.)

dessa två svar.

I andra fall blir svaren helt olika beroende på i vilken ordning du räknar. Om du inte följer prioriteringsreglerna riskerar svaret att bli fel. Ex. 2 4 + 5 ∙ 4 – 8 / 2 Variant 1: (steg för steg) 9 ∙ 4 – 8 / 2 = 36 – 8 / 2 = 28 / 2 = 14 Variant 2: (med prioriteringsreglerna) 4 + 20 – 4 = 20 Man kan konstatera att 20 ≠ 14

FACEBOOKPROBLEM

Taluppfattning & aritmetik

överens? 1 eller 9, visa hur man tänker för att få fram

UPPDRAG – PRIORITERINGSREGLERNA Paruppgift • Börja med att lösa följande uppgift var för sig: 4+8–5–2+3 • Jämför era svar, har ni räknat ut uppgiften på samma sätt? • Går det att lösa uppgiften på olika sätt? Spelar prioriteringsreglerna någon roll? • Hur löser man följande tal? Finns det flera sätt? a) (4 ⋅6) 2 b) 56 2⋅4 c) 18 ⋅ 4 2

INDIVIDUELL UPPGIFT Hur räknar din miniräknare/telefon/grafräknare m.m.? Kan den prioriteringsreglerna? Räkna uppgift a–c på räknaren, vad får du för svar? Blir det samma som när du räknar med prioriteringsreglerna? Jämför ditt resultat med en kompis, får ni samma svar?

PRIORITERINGSREGLERNA 1. Finns det några parenteser i talet så börjar man med dem. 2. Nästa steg är att beräkna eventuella potenser. 3. Steg tre är att beräkna multiplikation och division: sinsemellan spelar det ingen roll i vilken ordning man räknar. 4. Till sist beräknas addition och subtraktion: sinsemellan spelar det ingen roll i vilken ordning. Ex. 1 a) I vilken ordning ska du beräkna följande tal? (2 + 3)2 – 8/2 + 2 ∙ 5 b) Beräkna talet. Svar: 1. Parentesen: (2 + 3) = 5 2. Potensen. 52 = 25 3. Multiplikation och division: 4. Addition och subtraktion: Ex. 2 Beräkna 4 + 5 ∙ 3 – 2. 4+5∙3–2= 4 + 15 – 2 = 19 – 2 = 17 Svar: 17 Ex. 3 Beräkna (5 + 13)/2 + 5. (5 + 13)/2 + 5 = 18 /2 + 5 = 9 + 5 = 14 Svar: 14

Taluppfattning & aritmetik

8/2 =4 2 ∙ 5 = 10 25 – 4 + 10 = 35 – 4 = 31

Viktigt att tänka på: Har man en kvot med en täljare som består av mer än bara ett tal som i följande exempel: 4⋅2 + 3 2 då måste man först räkna ut täljaren innan den kan divideras med nämnaren. Det är en osynlig parentes om allt som står i täljaren. Lösning:

4⋅2 + 3 8 + 3 11 = = = 5,5 2 2 2

UPPGIFTER 1. a) 6 + 2 · 4 c) 3 ·

8+2 5

2. a) 2 · 5 + 3 · 8 c)

8+4 3 8 c) (2 + 2) b)

b) 6 + 4 · 2 – 5

8+ 2·4 7 – 2·2 d) 2 3

75 – 19 13 – 4 b) 22 – 4 · 4 2 25 (4 + 3) · 12 c) 7 · 8 – · 3 d) 5 2

3. a)

4. a) (4 + 6) ∙ (9 – 2) b) (7 ∙ 6) / (9 + 3) c) 8 + 4 – (9 – 4 – 2) 5. V ilket tecken ska stå i de tomma rutorna? a) 5 ☐ 2 · 3 = 30 b) 16 + 4 ☐ 2 = 18 c) 20 ☐ 2 – 6 ∙ 2 = -2 6. Sätt ut parenteser: a) 7+ 5 / 3 = 4 b) 24 – 12 / 3 · 2 = 22 c) 7 ∙ 3 + 2 ∙ 4 – 5 ∙ 8 = 37

Taluppfattning & aritmetik

AVRUNDNING Med avrundning av ett tal menas att talet ersätts med en approximant, alltså ett ungefärligt tal som är kortare, enklare eller tydligare. Det kan till exempel innebära att det avrundade talet har färre värdesiffror än det egentligen har. T.ex. så är talet π ett tal med oändligt många decimaler. För att vi ska kunna hantera det så måste vi avrunda och då avrundar vi oftast till 3,14. Använder man en miniräknare kan man hantera fler decimaler. Vid beräkning av pengar så blir avrundnigen mer uppenbar eftersom de minsta pengarna vi hanterar i svenska kronor är enkronor. Då måste alla belopp avrundas till hela kronor

AVRUNDNINGSPRINCIP/ SVENSK AVRUNDNING Om siffran efter avrundningssiffran är 0, 1, 2, 3 eller 4 så avrundar man neråt. Ex. 1 Om man ska avrunda 6,4 så blir det 6. Om siffran efter avrundningssiffran är 5, 6, 7, 8 eller 9 så avrundar man uppåt, Ex. 2 Om man ska avrunda 6,5 så blir det 7. Detta kommer från den svenska öresavrundningen i butiker, som för 1-kronaintervaller ser ut såhär: • 0 t.o.m. 49 öre avrundas till 0 kronor. • 50 t.o.m. 99 öre avrundas till 1 krona. Ex. 3 Om du handlar en liter mjölk för 8,67 kr, hur mycket får du betala? Eftersom betalning sker i hela kronor och avrundningssiffran är 6, avrundas talet uppåt och du får därför betala 9kr. Svar: 9 kr

Taluppfattning & aritmetik

UPPDRAG – KVITTO Leta upp några gamla kvitton och titta på hur avrundningen har gått till! Stämmer den svenska avrundningen? Välj ut en specifik produkt du har på ditt kvitto: • Hur mycket får du betala för den? • Om du hade köpt 10 st, hur mycket skulle du då betala? • Om du köpt 100 st, hur mycket skulle då betala? Varför tror du att priserna i affärerna ofta är prissatta med ören fastän vi inte har några mynt under en krona i Sverige? Hur blir det om du betalar med kort jämfört med kontanter? Jämför med dina klasskamrater: vad har ni fått för olika resultat? Spara ditt kvitto, fortsättning följer i nästa uppdrag.

UPPGIFTER 1. Avrunda till hela kronor: a) 187,50 b) 98,45 c) 1999,55 d) 16,49 2. Avrunda till hundratal: a) 154 b) 331 c) 45 d) 451 3. Avrunda till tusental: a) 2750 b) 9875 c) 35459 d) 128218 4. Hur m책nga bor i Sverige idag? Avrunda till hundratusental.

Taluppfattning & aritmetik

ÖVERSLAGSRÄKNING Överslagsräkning kan vara bra att hantera när man vill uppskatta någonting, t.ex. om pengarna räcker till det du ska handla, om maten räcker till alla som kommer på festen eller om svaret som du kommit fram till när du beräknar en matematikuppgift är rimligt.

HUR MYCKET SKA DU BETALA? Du har hundra kronor med dig till affären och har lagt upp produkterna på rullbandet. Kommer dina pengar att räcka om du köper följande produkter: Kex 14,50 Lingonsylt 21,50 Quorn bullar 38,90 Choklad 2st 19,90 Hur mycket ungefär ska du betala? Kommer din hundralapp att räcka? Överslagsräkning: 14.50 ≈ 15 kr 21.50 ≈ 20 kr 38.90 ≈ 40 kr + 19.90 ≈ 20 kr ≈ 95kr Svar: Du ska betala ca 95kr och din hundralapp räcker!

Taluppfattning & aritmetik

UPPDRAG OBS: Utan räknare! Ta fram dina gamla kvitton igen eller leta upp nya. Hur skulle du gå till väga för att uppskatta summan på dina kvitton? • Skriv upp dina kostnader en efter en och uppskatta kostnaden för var och en av produkterna. • Uppskatta sedan vad din totalkostnad motsvarar. • Hur långt ifrån summan som du betalade kom du i din överslagsräkning? Beräkna differensen. • Byt kvitto med en klasskamrat och räkna ut varandras kvitton. • Jämför era resultat, har ni tänkt lika? Vilka skillnader har ni? Vem kommer närmst summan som stod på era kvitton!

Taluppfattning & aritmetik

TUMREGLER FÖR ÖVERSLAGSRÄKNING Addition Vid addition bör man avrunda ungefär lika mycket upp som ned, så att summan jämnar ut sig.

Subtraktion Vid subtraktion bör man avrunda termerna antingen uppåt eller nedåt.

Ex. 1 Beräkna med hjälp av överslagsräkning summan av 2867 och 376.

Ex. 2 Beräkna med hjälp av överslagsräkning differensen av 2867 och 376

2867 + 376 Om man avrundar eller uppskattar båda termerna uppåt så får man: 1. 2900 + 400 = 3300 Om man uppskattar båda termerna nedåt så får man: 2. 2800 + 300 = 3100 Det skiljer hela 200 mellan dessa två sätt att tänka. Om man istället uppskattar en term lite mer och en lite mindre får man: 3. 2900 + 300 = 3200 Detta värde ligger mellan de i första och andra uppskattningen. Slår man talet på räknaren eller räknar ut det för hand så får vi: 2867 + 376 = 3243.

2867 – 376 Om man avrundar eller uppskattar båda termerna uppåt så får man: 1. 2900 – 400 = 2500 (båda upp) Om man uppskattar båda termerna nedåt så får man: 2. 22800 – 300 = 2500 (båda nedåt) Om man istället uppskattar en term uppåt och en nedåt så blir skillnaden ännu större: 3. 2900 – 300 = 2700 (första upp och andra nedåt) 4. 2800 – 400 = 2400 (första nedåt och andra uppåt) De två första uträkningarna hamnar mellan de två sista. Slår vi talet på räknaren eller räknar ut det för hand så får vi: 2867 – 376 = 2491.

Taluppfattning & aritmetik

Multiplikation Vid multiplikation bör man avrunda uppåt och nedåt ungefär lika mycket.

Division Vid division bör du avrunda både täljaren och nämnaren antingen uppåt eller nedåt.

Ex. 3 Beräkna med hjälp av överslagsräkning

Ex. 4

176,10 ∙ 8,90 ~ 150 ∙ 10 = 1500 nedåt uppåt Slår vi talet på räknaren eller räknar ut det för hand så får vi: 176,10 ∙ 8,90 = 1567,29

176,10 200 ≈ = 20 8,90 10

Slår vi talet på räknaren eller räknar ut det för hand så får vi: 176,10 ≈19,787 8,90

Taluppfattning & aritmetik

UPPGIFTER 1. Ungefär hur mycket ska du betala om du handlar: ett par byxor för 499 kr, en tröja för 245 kr och ett par strumpor för 79 kr? 2. Uppskatta följande med hjälp av överslagsräkning: a) Ungefär hur många dagar har du levt? b) Ungefär hur många timmar har du levt? c) Ungefär hur många minuter har du levt? d) Ungefär hur många hjärtslag har ditt hjärta slagit om det slår ca 60 slag per minut? 3. Du tar en promenad på 3,5 km. Ungefär hur många steg har du gått om varje steg du tar är ca 75 cm? 4. Du ska resa till Tyskland och behöver växla pengar. Du tänker växla 500 svenska kronor. Ungefär hur många euro får du om kursen för 100 svenska kronor är 11, 90€?

Taluppfattning & aritmetik

5. Du ska lägga nytt golv i ett rum som är 3,75 m ∙ 6,35 m stort: a) Ungefär hur många kvadratmeter golv behöver du köpa till rummet? b) Du har fått en budget på 4000 kr. Uppskatta ungefär hur mycket ditt golv kan kosta per kvadratmeter. c) Hur bör man tänka när man beräknar en summa med överslagsräkning om man inte kan betala mer än en viss summa? 6. Testa uppgiften från exemplet på sidan 25 (Multiplikation): 176,10 ∙ 8,90 a) Avrunda båda talen uppåt. Vad blir produkten? b) Avrunda båda talen nedåt. Vad blir produkten? c) Vid multiplikation bör man avrunda uppåt och nedåt ungefär lika mycket. Varför då? Motivera denna tumregel.

7. Testa uppgiften från exemplet sidan 25 (Division): 176,10 8,90 a) Avrunda täljaren uppåt och nämnare nedåt. Vad blir kvoten? b) Avrunda täljaren nedåt och nämnaren uppåt. Vad blir kvoten? c) Vid division bör du avrunda både täljaren och nämnaren antingen uppåt eller nedåt. Varför då? Motivera denna tumregel. 8. Beräkna med överslagsräkning: 189,78 ∙ 24,5 och

417,4 36,7

a) Avrunda båda talen uppåt. b) Avrunda båda talen nedåt. c) Avrunda ett tal upp och ett tal nedåt. d) Jämför resultaten i a) – c). Vad kan du dra för slutsatser? Kan du hitta någon/några likheter eller skillnader på överslagsräkning med division och multiplikation?

Taluppfattning & aritmetik

BRÅK

UPPDRAG – PIZZA

Med bråkräkning hanterar vi delar av helhet på a formen . b

Du ska köpa pizza till klassen. Tänk dig att varje

Täljare = Kvot Nämnare Vad kan det då finnas för fördelar med bråk? Man kan ju bara slå kvoten på miniräknaren och få fram ett tal. 2 Men slår du ett bråk t.ex på din räknare så 3 kommer du att få ett decimaltal med oändligt många decimaler. Om du sen ska använda detta i kommande beräkningar så måste du avrunda. Behåller du däremot ditt bråk så har du ett exakt värde! Därför: Vänta med att avrunda tills du är klar, oftast går det bra att svara med ett bråk.

FÖRLÄNGNING OCH FÖRKORTNING AV BRÅK Med förlängning menas att man multiplicerar med samma faktor i både täljaren och nämnaren. I exemplet nedan förlänger vi med 2. 1 1⋅2 2 = = 2 2⋅2 4

Med förkortning menas att man dividerar med samma sak i både täljaren och nämnaren. I exemplet nedan förkortar vi med 3. 6 6/3 2 = = 9 9/3 3 Gemensamt för förkortning och förlängning är att bråktalen fortfarande har samma värde men är skrivna på en annan form.

Taluppfattning & aritmetik

Paruppgift

person äter ¾ pizza. Hur många pizzor ska du köpa till din klass för att få så lite svinn som möjligt? Jämför din uträkning med dina klasskamrater. Hur många olika lösningar har ni i klassen?

UPPGIFTER 1. Förläng följande bråk: a)

1 med 3 2

2 med 4 5

3 med 8 7

4 med 5 3

4. På skolavslutningen bjuder din lärare klassen på kladdkaka. Om ni är 27 elever närvarande samt er lärare, hur ska ni dela kakorna om alla ska få lika stor bit och ni har fått 4 stycken kladdkakor?

2. Förkorta följande bråk: a)

2 med 2 6

3 med 3 27

14 med 7 49

27 med 9 63

3. Förkorta så långt som möjligt: a)

5 8 b) 25 24

20 18 d) 75 63

Taluppfattning & aritmetik

ADDITION OCH SUBTRAKTION AV BRÅK

MINSTA GEMENSAMMA NÄMNARE

För att kunna utföra räkneoperationerna addition och subtraktion med bråk så måste alla termer ha samma nämnare. Om termerna inte har samma nämnare från början så måste talen förlängas eller förkortas så att de har det.

För att kunna utföra räkneoperationerna addition och subtraktion med bråk så krävs att bråktalen har gemensam nämnare. Man brukar sträva efter att hitta den minsta gemensamma nämnaren för att de olika termerna ska vara enklare att hantera. Men det räcker att hitta en gemensam nämnare för att kunna utföra addition och subtraktion av bråk. Ett sätt att hitta en gemensam nämnare är att multiplicera d.v.s förlänga med varandras nämnare:

Ex. 1

1 1 2 1 3 + = + = 2 4 4 4 4

2 1 2⋅3 1⋅5 6 5 11 Ex. 2 + = + = + = 5 3 5⋅3 3⋅5 15 15 15

Taluppfattning & aritmetik

UPPGIFTER 1. Beräkna och förkorta så långt som möjligt. 1 1 1 3 a) + b) + 2 2 2 4 1 1 1 1 c) + d) + 4 4 4 8 2. Beräkna och förkorta så långt som möjligt. 2 1 1 1 a) – b) – 4 4 2 4 c) 1 –

1 1 1 d) – 4 3 6

3. Beräkna och förkorta så långt som möjligt. 2 1 3 2 a) – b) + 5 4 4 6 c)

1 3 1 – + 3 4 2

1 3 1 – + 5 6 4

Taluppfattning & aritmetik

MULTIPLIKATION OCH DIVISION AV BRÅK

DIVISION MED BRÅK

Multiplikation och division av bråk kan användas i vardagslivet vid till exempel omvandling av recept och beräkning av bränsleförbrukning. Dessa räkneoperationer är även bra att behärska för att förstå potensräkningen och dess lagar som återkommer senare i detta kapitel.

Vid division av bråktal, förlänger vi både täljaren och nämnaren med nämnarens invers. Invers är den faktor du kan multiplicera med för att få produkten 1. 1 a ∙ inversen = 1 alltså a⋅ = 1 a

MULTIPLIKATION MED BRÅK Räkneoperationen multiplikation med bråk går till så att man multiplicera täljaren med täljare och nämnaren med nämnaren. Har man ett heltal som ska multipliceras med ett bråktal skriver man först om heltalet till ett bråk (se exempel 2 nedan). Ex. 1 Beräkna

3 3 · 4 4

3 3 3·3 9 · = = 4 4 4 ·4 16 9 Svar: 16 Ex. 2 Beräkna 3 ·

2 5

2 3 2 3·2 6 = · = = 5 1 5 1·5 2 6 Svar: 5 1 4 Ex. 3 Beräkna · , vilket motsvarar hälften av 4/3 2 3 3·

vilket rent logiskt innebär 2/3. Ska vi lösa det matematiskt så blir det: 1 4 4 2 · = = 2 3 6 3 Svar:

2 3

Taluppfattning & aritmetik

Ett bråktals invers innebär alltid i praktiken att täljaren och nämnaren byter plats: t.ex. inversen till

2 3 2 3 6 är för · = = 1 3 2 3 2 6

Förlängning med nämnarens invers! Förkorta med 2 2 3 4 5

2 5 3 = · 4 4 5 5 4

10 10 10 10 / 2 5 12 = = 12 = = = 20 1 12 12 / 2 6 20 1

När du räknar med division behöver du inte skriva upp alla dessa steg som visas i exemplet ovan utan det räcker med: 2 3 4 5

2 5 10 5 · = = 3 4 12 6

Efter förlängning med nämnarens invers.

UPPGIFTER

3. Pizzarecept Omvandla receptet till så många ni är i klassen:

1. Ange inversen till bråket: 2 9 –1 c) 8 a)

2 1

PIZZADEG 4 PERS:

4 d) 6

2. Beräkna och förkorta så långt som möjligt: 4 3 5 7 a) b) 2 5 3 4 5 6 c) 2

4 3 7

1 paket jäst 2

1 tsk salt 2

5 dl vatten 2

ca 7 – 8 l vetemjöl 10 10

2 msk olja

(www.recept.nu)

4. Saft på flaskor Du har kokat 3 liter saft som du ska hälla upp i 3 flaskor. Dina flaskor rymmer liter. Hur många 4 flaskor behöver du? Hur får du fram ditt svar? Jämför med några kompisar i klassen. Har alla löst uppgiften på samma sätt? 5. Bensin i tank Din bil har en bensintank som rymmer 80 liter. Hur långt kan du köra på en tank om bilen drar 2 liter/mil? 3

Taluppfattning & aritmetik

LABORATION Material - ett kolasnöre Arbeta i par

• Börja med att dela snöret i två lika stora delar. Vad har du nu? Hur skriver du detta i bråkform? Rita gärna! • Dela den ena halvan igen i två lika stora bitar. Vad har du nu i bråkform? • Dela den andra halvan i tre lika stora bitar. Vad har du nu i bråkform? • Ät upp eller plocka bort en valfri bit. Hur många bitar har du kvar? Skriv det som en summa i bråkform. Hur ska du gå till väga för att addera bitarna? Förklara och utför. • Adderar dina bitar med din kompis bitar, hur räknar du ut det? Vad blir svaret i bråkform? • Förklara begreppet minsta gemensamma nämnare utifrån laborationen du just utfört!

Taluppfattning & aritmetik

BRÅK I MUSIK Musik är matematik på flera olika sätt. Musik består av ljud och rytm (ljud återkommer vi till i kapitlet Algebra). Musik kan noteras med hjälp av noter och symboler. Historiskt sätt så började man med detta för att komma ihåg musiken som man spelat.

När man noterar musik (alltså skriver ut den som notbild) så måsta man veta hur långa tonerna ska vara och vilken taktart det är. Taktarten noteras som 4 ett bråktal t.ex. , alltså ska varje takt bestå av 4 4 fjärdedelar, men fördelningen kan så klart se olika ut:

Helnot Halvnot Fjärdedelsnot Åttondelsnot

1 1 + 2 2

1 1 1 1 + + + 4 4 4 4

8·

1 8

Sextondelsnot Trettioandradelsnot

16 ·

1 16

32 ·

1 32

Taluppfattning & aritmetik

För att kunna variera notvärdena mer så finns även punkterade noter enligt följande princip: sätter man en punkt efter en not så förlänger man den med halva sitt värde. Så är t.ex. en punkterad helnot samma sak som en helnot adderat med en halvnot. Alltså är musik matematik! =

Punkterad helnot = helnot + halvnot 6 4 2 = + 4 4 4 3 1 =1+ 2 2 = + Punkterad halvnot = halvnot + fjärdedelsnot 3 1 1 = + 4 2 4 3 2 1 = + 4 4 4

Taluppfattning & aritmetik

= + Punkterad fjärdedelsnot = fjärdedelsnot + åttondelsnot 3 1 1 = + 8 4 8 3 2 1 = + 8 8 8 =

Punkterad åttondelsnot = åttondelsnot + sextondelsnot 3 1 1 = + 16 8 16 3 2 1 = + 16 16 16

UPPGIFTER 1. Hur mycket fattas för att takterna ska bli fullständiga? Fyll i med lämpligt notvärde och/eller paus och visa fullständiga lösningar i bråkform.

b) 2. Lös bråktalen och ange svaret i notvärde: a)

1 1 1 3 + = b) + = 4 8 8 4

1 1 1 3 – = d) – = 2 4 2 8

3. Lös notvärdet och ange svaret i bråkform: a)

+ =

−

6. För att veta hur snabbt, alltså i vilket tempo man ska spela ett stycke, så noterar man ibland ovanför notsystemen. = 112, vilket innebär att det ska motsvara 112 fjärdedelsnoter på en minut. Hur många slag blir det per sekund?

= =

4. Hur många fjärdedelar går det på en punkterad helnot? 5. Hur många sextondelar går det på en halvnot?

Taluppfattning & aritmetik

ORDKUNSKAP Heltal

Primtal

Med heltal menas hela positiva och negativa tal samt

Ett primtal är ett heltal p, som är större än 1 och som

0. Mängden av alla heltal brukar betecknas Z. Det

bara är delbart med 1 och sig själv, alltså p. Exempel på

finns oändligt många heltal, det vill säga att det finns

primtal är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 m.fl.

ett obegränsat antal.

Det finns 25 primtal som är mindre än 100. Antalet primtal är oändligt.

Bråktal Ett bråktal skrivs som a där a och b är heltal och b b ≠ 0.

Ett tal som inte är ett primtal är delbart med fler tal än 1 och sig själv. Tittar vi t.ex. på talet 10 så kan vi faktorisera 10, alltså skriva om som en produkt av 2

Rationella tal

och 5:

Bråktal tillsammans med alla heltal kallas rationella

10 = 2 ∙ 5.

tal. De rationella talen är oändligt många. Även heltalen kan man skriva om som bråk: 3 t.ex. 3 = 1

10 är delbart med både 2 och 5 och alltså inget primtal. Alla tal som går att faktorisera är inte primtal.

Alltså kan vi definiera rationella tal som alla tal a b

Reella tal

där a och b är hela tal och b ≠ 0. Mängden av alla

De reella talen är de tal som man vanligtvis menar med

rationella tal brukar betecknas Q.

tal. De kan beskrivas som alla punkter på en tallinje vilken även inkluderar samtliga decimaltal. Mängden av alla reella tal betecknas vanligen R. Det finns

Delbarhet Man talar ibland om att tal är delbara. Det innebär att om a och b är heltal så är a delbart med b om a b

= ett heltal.

Taluppfattning & aritmetik

oändligt många reella tal.

UPPDRAG Primtalsfaktorisering • Faktorisera 100, 1 000, 10 000 så långt som möjligt så att produkten endast består av primtal, så kallad primtalsfaktorisering.

Delbarhet • Vilket tal är alla jämna tal delbara med? • Vilket tal är delbart med alla tal som slutar på 5 och 0 t.ex. 105, 2430? • Vilket tal är delbart med 12, 72, 796? Tips: beräkna siffersumman av entals- och tiotalssiffran. Om du har talet 12 så är siffersumman 1 + 2.

Oändligheten • Är oändligheten alltid lika mycket? Till exempel är både primtal och heltal oändligt många. Betyder det att de är lika många? Vilka av talen som beskrivs är oändliga och vilka har ”störst” oändlighet?

Taluppfattning & aritmetik

OLIKA POSITIONSSYSTEM Beroende på var du skriver en siffra så kan den betyda olika saker. Om du till exempel skriver 25 så betyder 2:an 20 och 5:an 5, alltså 2 · 10 + 5 · 1. Skriver vi talet i omvänd ordning 52 så betyder det 5 · 10 + 2 · 1. Det är alltså platsen som bestämmer hur stort talet är. Men detta exempel gäller bara i ”vårt” sätt att räkna… För att kunna förstå olika positionssystemen så måste vi ha potensformen klar för oss.

POTENSER Multiplicerar man ett tal med sig själv flera gånger t.ex. 4 ∙ 4 ∙ 4 så kan man skriva det i potensform där 4 är bas och 3 är exponent. 43 = 4 ∙ 4 ∙ 4 Allmänt gäller: ax, där a kallas för bas och x för exponent. Ex. 1 Beräkna potensen om basen är 10 och —exponenten 5. 105 = 10∙10∙10∙10∙10 = 100 000 Ex. 2 Beräkna potensen om basen är 10 och exponenten -3. 10−3 =

1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ = = = 0,001 (en tusendel) 10 10 10 103 1000

Taluppfattning & aritmetik

UPPDRAG – TALBASER Fördjupa dig/er inom en annan talbas än 10-bas en och redovisa detta inför klassen. Exempelvis: 60-basen, 2-basen, 20-basen, 16-basen. Vilka/vem kom på den? När började den användas? Var används den i dagens samhälle? Jämför ”din” talbas med 10-basen. Varför tror du att det blivit så att det är just 10-bas som blivit den vedertagna inom matematiken och samhället idag?

Räknaren Om du skriver in ett stort tal i din räknare, vad skriver den då? • Testa på din räknare att skriva in några olika 6-siffriga tal. Vad får du för svar? • Testa nu med några 9-siffrigta tal. Vad får du för resultat? • Testa med några 12-siffriga tal. • Vad ser du för samband? • Jämför med någon i klassen som har en annan räknare!

10-BASEN ELLER DECIMALSYSTEMET

UPPGIFTER

Basen 10 är den bas vi oftast utgår ifrån. Basen innefattar siffrorna 0-9, alltså 10 siffror, sen går vi över till nästa position. Skriver vi t.ex. talet 32465 så läser vi trettiotvåtusenfyrahundrasextiofem vilket då motsvarar: Tiotusental tusental hundratal tiotal ental 3 2 4 6 5

1. Skriv i potensform: a) 5 · 5 · 5 · 5 · 5 b) 10 · 10 · 10 c) 2· 2 · 2 · 2· 2 ∙ 2 d) 5 · 5 · 5 + 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 e) 10 · 10 · 10 ∙ 10 + 10 ∙ 10

3 · 10000 + 2 · 1000 + 4 · 100 + 6 · 10 + 5 · 1 3 · 104 + 2 · 103 + 4 · 102 + 6 · 101 + 5 · 100

2. Beräkna: a) 23 + 22 b) 33 – 23 3. Skriv utan tiopotens: a) 7 ∙ 107 b) 9, 648534 ∙ 104 (Faradays konstant) c) 2,898 ∙ 10-3 (Konstanten i Wiens förskjutningslag) 4. Skriv ut talen med 10-basen som i exemplet intill: a) 43546 b) π 3,14159

FARADAYS KONSTANT Faradays konstant anger laddningen hos en mol elektroner. Enheten är C per mol. Konstanten är uppkallad efter den brittiske fysikern Michael Faraday.

WIENS FÖRSKJUTNINGSLAG Wiens förskjutningslag är sambandet mellan emissionsmaximum och temperaturen av en svartkroppsstrålare. Lagen kan skrivas med formeln:

λmax =

b T

där konstanten b är Wiens förskjutningskonstant.

Taluppfattning & aritmetik

OÄNDLIGT – VAD ÄR DET? Tidigare har ett bråktal definierats som kvoten av två heltal a och b så a där b ≠ 0. Varför får då inte b vara noll? b 1 = 0,1 10 1 =1 1 1 = 10 0,1 1 = 1000 0,001 osv. 1 = 100000000000000000000 = 1019 0,00000000000000000001 Ju mindre tal man dividerar med ju större kvot får man. Vilket då leder till: 1 =∞ 0 Division med noll leder då till något oändligt stort som är odefinierbart.

Taluppfattning & aritmetik

2-BASEN ELLER DET BINÄRA TALSYSTEMET

Basen 2 används framförallt i programmering. Basen innefattar endast siffrorna 0-1, alltså endast 2 siffror.

2 3

Omskrivning av 1–10 till 2-basen Om man ska skriva om de 10 första siffrorna i det decimala talsystemet så motsvarar det i det binära talsystemet följande: 1 = 20 2 = 21 3 = 20 + 21 = 1 + 2

4 = 22 5 = 20 + 22 = 1 + 4

Tabellen ovan visar hur tal 1 till 10

6 = 21 + 22 = 2 + 4

skulle skrivas som binära tal.

7 = 20 + 21 + 22 = 1 + 2 + 4 8 = 23 9 = 20 + 23 = 1 + 8

Ex. 11101 i basen 2 motsvarar i 10-basen:

1 · 2 +1 · 2 + 1 ·2 + 0 ·2 + 1 · 2 1 · 16 +1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 29 4

1 16

1 1

Exemplet ovan kan också skrivas: Skriv om 111012 till basen 10. Svaret kan då skrivas 2910

Bild: Horus öga

Den nedsänkta siffran visar vilken bas som talet är skrivet i. Egyptierna använde det binära talsystemet för att skriva bråktal i decimalform. De använde sig dock inte av nollor och ettor, utan av en symbol kallad Horus öga. Olika delar av symbolen motsvarade olika positioner på höger sida om kommatecknet. Om man bara ritade en del så motsvarade det en etta på den positionen, om den utelämnades motsvarade det en nolla.

TIPS! Sök på Binary hand dance på YouTube! http://www.youtube.com/watch?v=OCYZTg3jahU

Taluppfattning & aritmetik

60-BASEN Det sexagesimala talsystemet är ett positionssystem som baseras på talet 60. Det uppfanns av sumererna för cirka 5 000 år sedan och överfördes därifrån till babylonierna. I kinesisk kultur användes också en sexagesimal cykel för att benämna år. Vi ser fortfarande spår av 60-basen i t.ex. geometri där en cirkels varv är 360 vinkelgrader, att timmar har 60 minuter och att minuter har 60 sekunder o.s.v.

20-BASEN Det vigesimala talsystemet med basen 20 utvecklades av Mayafolket i Mellanamerika (cirka år 250–900 efter Kristus). I västvärlden i dag används framför allt det decimala talsystemet (med basen 10) men i vissa europeiska språk hittar man spår av det vigesimala talsystem bl.a. i danska och franska. I danskan räknar man till viss del med tjugo som bas för tal mellan 50 och 99. Exempelvis är det danska ordet tres detsamma som 3 ∙ 20 det vill säga 60 och halvtres betyder: 3 ∙ 20 – 0,5 ∙ 20 = 50 eller 20 ∙ 2,5 = 50. I franska används det tydligast för tal mellan 80 och 99. Till exempel heter 80 heter quatrevingt och betyder fyra tjugo vilket motsvarar: 4 ∙ 20 = 80 84 heter quatrevingtquatre(fyra-tjugo-fyra) alltså 4 ∙ 20 + 4 = 80 + 4 = 84 90 heter quatrevingtdix (fyra-tjugo-tio) alltså 4 ∙ 20 + 10 = 90 99 heter quatrevingtdixneuf(fyra-tjugo-tio-nio) alltså 4 ∙ 20 + 10 + 9 = 80 + 19 = 99.

Taluppfattning & aritmetik

16-BASEN ELLER HEXADECIMALA SYSTEMET

UPPGIFTER

Hexadecimala talsystemet är ett talsystem med basen 16. Talsystemet är ett positionssystem med de sexton siffrorna 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E och F där A motsvarar 1010, B motsvarar 1110, C motsvarar 1210, D motsvarar 1310, E motsvarar 1410 och F motsvarar 1510. När man räknar om ett tal från hexadecimal bas till vanlig decimal bas utnyttjar man att den första positionen är värd 1 (160), andra 16 (161), tredje 256 (16 · 16) och så vidare. Att räkna om talet 3C5 i det hexadecimal positionssystemet till det decimala positionssystemet blir då:

1. Du ska titta på en film och det står att filmen varar i 112 minuter. Du ska börja titta på filmen kl. 20.00. Hur dags kommer filmen att vara klar?

3C516 = 3 · 162 + 12·161 + 5·160 = 3 ∙ 256 + 192 + 5 = 768 + 192 + 5 = 965 Det hexadecimala talsystemet tillsammans med det binära talsystemet används inom programmering och datorgrafik t.ex. vid färgprogrammering av en HTML-sida.

2. Skriv om DCA416 till det decimala talsystemet. 3. Skriv om 1101102 till det decimala talsystemet. 4. Skriv om 7 till det binära talsystemet. 5. Hur många sekunder går det på en dag? Svara både med 60-basen och 10-basen. 6. Hur fort måste du springa för att springa 4,5 km på 20 minuter? a) svara i km/h. b) svara i m/s. 7. Hur många grader motsvarar varje minut på klockan?

Taluppfattning & aritmetik

MA1B OCH MA1C: POTENSREGLERNA För reella tal x och y och positiva tal a och b gäller: 1. ax · ay = ax+y Ex. 24 ·23 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 27 = 128

(a )

x y

= a x⋅y

ex. ( 22 ) = ( 2⋅2 )( 2⋅2 )( 2⋅2 ) = 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 = 26 Ex. 3

=24+3=27

22 2.

ax = a x−y ay 25 2⋅2⋅2⋅2⋅2 2⋅2⋅2⋅2⋅2 Ex. ex. 2 = = = 2⋅2⋅2 2 2⋅2 2⋅2

5. ax bx = (ab)x 6. a − x =

1 ax

22 = 22⋅3

= 26

Ex. 43 · 53 = (4 ∙ 5)3 = 203 Ex. ex. 3−4 =

1 34

2 = 25−2 = 23 = 8 22 3.

a x ⎛⎜ a ⎞⎟ = ⎟ b x ⎜⎝ b ⎟⎠ ex. Ex.

4 2 4⋅4 ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ = =⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟ 32 3⋅3 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠

UPPDRAG – RÄKNARE • Hur räknar du ut potenser på din räknare? Räkna ut exemplen i punkt 1- 7 med hjälp av din räknare. • Jämför med en klasskamrat. Har ni använt samma funktioner på räknaren?

Taluppfattning & aritmetik

7. a n = n a

Ex. ex.4 2 = 2 4 = 2

8. a0 = 1

Ex. 50 = 1

UPPGIFTER

7. Beräkna:

1. Skriv i potensform:

a) 3–2 b)

a) 3 ∙ 3

b) 4 ∙ 4

c) 5 ∙ 5

d) 10 · 10

-4

–6

c) 44 ∙ 34

25 22

410 47

56 514

36 · 37 35

d) (2 ∙ 3)3

–4

2. Beräkna och svara i potensform: a)

8. Avogadros konstant är en fysikalisk konstant som anger antalet atomer eller molekyler i en mol av ett ämne. Dess värde är uppskattat till: 6,02214 ∙ 1023 mol–1. a) Hur många atomer är det i 10 mol guld? b) Hur många atomer är det i 20 mol silver?

3. Beräkna: a) 7-4 · 75 57 c) –7 5

b) 30 + 60 d) 41 + 22

4. Beräkna och svara i potensform: 5

b) 2

d) 010

a) 05 · 06

b) 100 + 1000

104 104

10102 +10100 10100 (NP Ma1A 2012)

(32 )

a) (4 2 )

212 42 5. Beräkna:

9. Beräkna uttrycket:

d) 41 + 40

6. Beräkna: a) 25⋅25 b) 25 + 25 c)

25 25

Taluppfattning & aritmetik

KLASSUPPDRAG – TALUPPFATTNING

MATEMATIKBINGO

Material: 10 st A4 papper

Material: papper och penna

Dela upp klassen i grupper om fem elever i varje.

Dela upp klassen i grupper och låt varje grupp

Två lag med vardera 5 deltagande tävlar åt

konstruera uppgifter från kapitel Taluppfattning &

gången. Varje lag har fem A4-papper där det

Aritmetik med svar från 1-30. Det måste bli minst

står en siffra på varje papper och alla siffrorna

en fråga per svar.

är olika. Båda lagen har samma siffror på sina

• En uppgift till varje siffra.

papper.

• Uppgifterna lämnas sen in till läraren. • Konstruera en bingoplan med 4x4 rutor.

Varje deltagare har ett papper med en siffra på. Deltagarna ska då ställas sig i rätt ordning (utan

• Skriv en siffra i varje ruta mellan 1-30 (en siffra får bara finnas med en gång).

att byta eller sträcka sig). Den grupp som får rätt svar först, får en poäng.

Spelet kan börja! • Läraren läser upp slumpvis valda uppgifter

• Bilda ett så stort tal som möjligt. • Bilda ett så litet tal som möjligt. • Minsta talet först. • Största talet först. • Ett tal så nära 5000 som möjligt. • Ett tal så nära 1000 som möjligt. • Bilda två tal vars summa blir så nära 500 som möjligt. • Bilda två tal vars differens blir så liten som möjligt. • Bilda två tal vars differens blir så stor som möjligt. • Bilda en kvot som blir så nära två som möjligt. Byt lag och börja om tills alla fått vara med.

Taluppfattning & aritmetik

som eleven löser, finns svaret med så kryssas det talet över. • Den som först får en rad kryss vinner, o.s.v. två rader, tre rader, hela planen.

Sammanfattning DE FYRA RÄKNESÄTTEN

NEGATIVA TAL

term + term = summa

Minustecknet kan ha 3 olika betydelser i

term – term = differens

matematiken:

faktor ∙ faktor = produkt

1. Operationstecken alltså subtraktion.

täljare / nämnare = kvot

2. Beteckning av negativt tal (–5), t.ex. temperatur, det är 5 minusgrader. 3. Beteckning av motsatt tal, (–a) är det motsatta talet till a.

BRÅK

a b där a och b är heltal och b ≠ 0. Bråk skrivs på formen

Bråk kan förlängas och förkortas

POTENSER ax a är basen x är exponenten

INVERS Multiplicerar man ett tal med sin invers så får man produkten 1. 1 a · =1 a

RÄKNEREGLER FÖR NEGATIVA TAL a + (–b) = a – b

ex. 4 + (–2) = 4 – 2 = 2

a – (–b) = a + b

ex. 4 – (–2) = 4 + 2 = 6

a ∙ (–b) = – a ∙ b

ex. 4 ∙ (–2) = –4 ∙ 2 = – 8

(–a) ∙ (–b) = a ∙ b

ex. (–4) ∙ (–2) = 8

a −a a = =− –b b b

ex. 4 = −4 = − 4 = −2 −2 2 2

−a a = –b b

ex. −4 = 4 = 2 −2 2

PRIORITERINGSREGLERNA 1. Parenteser och potenser: Finns det några parenteser i talet så börjar man med dem och sedan potenser. 2. Multiplikation och division: spelar ingen roll i vilken ordning. 3. Addition och subtraktion: spelar ingen roll vilken ordning.

Taluppfattning & aritmetik

TUMREGLER FÖR ÖVERSLAGSRÄKNING Addition: du bör avrunda ungefär lika mycket upp som ned, så att din summa jämnar ut sig. Subtraktion: du bör avrunda termerna antingen uppåt eller nedåt. Multiplikation: du bör avrunda uppåt och nedåt ungefär lika mycket. Division: du bör avrunda både täljaren och nämnaren antingen uppåt eller nedåt.

POTENSREGLERNA (MA1B & C) För reella tal x och y och positiva tal a och b gäller: 1. ax · ay = ax +y x 2. a = a x−y ay

a x ⎛⎜ a ⎞⎟ = ⎟ b x ⎜⎝ b ⎟⎠

4. (ax)y = ax·y 5. ax bx = (ab)x 6. a−x = 1 ax 1

7. a n = n a 8. a0 = 1

Taluppfattning & aritmetik

ÖVNINGAR

2 1 9 9. Beräkna ⋅ ⋅ och förenkla så långt som 3 6 10 möjligt.

1. Välj två olika tvåsiffriga tal: a) Beräkna summan av dina tal. b) Avrunda summan till tiotal. c) Beräkna produkten av dina två tal. d) Avrunda produkten till hundratal. 2. Utgå från talet 3. Multiplicera med 4. Addera 6. Dividera med 8. Subtrahera 3. Vad blir resultatet? Svara både i bråk- och decimalform. 3. En kvot med nämnaren 8 och täljaren 5 subtraheras från en produkt med faktorerna 2 och 3. Vad blir resultatet? Svara både i bråk- och decimalform. 4. Beräkna: a)

4 + 11 12 – 3 4

b) 13 – 2 · (7 – 1)

5. Beräkna: a) c)

18 – 5 · (–3) –3

b) 5 · (–8) – 6 ∙ (–8 + 2)

6,8 · (–10) 78 – (–6) d) –4 10 – 2

6. Förläng bråket

7. Beräkna

14 så att nämnaren blir 60. 15

6 14 och svara med ett bråk som + 15 15

är förkortat så långt det går. 1 1 8. Beräkna + och förenkla svaret så långt som 3 7 möjligt.

2 10. Beräkna 4 och förenkla svaret så långt som 7 möjligt. 11. 1/2 kg glass ska delas lika mellan tre personer. Bestäm exakt hur mycket var och en av dem får. 12. Du och två kompisar ska dela på kostnaderna för en middag som kostar 330 kr. Du har glömt din plånbok så dina kompisar betalar 150 respektive 180 kr. Hur mycket ska du senare betala tillbaka till dina kompisar för att alla ska ha betalat lika mycket? 13. I en frys som avfrostas stiger temperaturen från −18°C till −14°C på en halvtimme. a) Vilken är temperaturen efter ytterligare 45 min om temperaturen fortsätter att stiga i samma takt? b) Hur lång tid tar det från avfrostningens början innan temperaturen når rumstemperaturen 20°C? 14. a) En bil färdas 80 km på 50 minuter. Bestäm bilens medelhastighet i km/h. b) Bilen drar 7/9 liter bensin per mil. Hur långt kan man färdas med 60 liter? 15. Enligt den senaste opinionsundersökningen så skulle 1/3 rösta på Socialdemokraterna, 1/4 på Moderaterna, 1/10 på Miljöpartiet, 1/10 på Folkpartiet och Kristdemokraterna tillsammans, 7/100 på Vänsterpartiet. Hur stor bråkdel av de tillfrågade skulle inte rösta på dessa partier? Lös genom att hitta en gemensam nämnare.

Taluppfattning & aritmetik

Matematik 1ABC är ett mångsidigt läromedel som omfattar samtliga inriktningar i matematik 1 och passar likväl på yrkesförberedande som studieförberedande program. Boken har ett entreprenöriellt förhållningssätt med öppna uppdrag där eleverna kan utgå ifrån sig själva och sina intressen eller program. Upplägget i boken följer en traditionell matematikbok men med fokus på uppdrag, praktiska och laborativa uppgifter på olika nivåer och områden. Den uppmanar till varierande arbetsformer och arbetssätt som utgörs av bland annat undersökande aktiviteter och uppgifter som kan utföras i relevant miljö. Några av bokens mer omfattande uppdrag kan med fördel ingå i tematiskt arbete bl.a. statistik och matematikens kulturhistoria.