9789147117154

Hanna Palmér och Jorryt van Bommel är båda två universitetslektorer i matematikdidaktik. På Linnéuniversitetet respektive Karlstads universitet arbetar de med forskning, lärarutbildning och uppdragsutbildning.

Problemlösning som utgångspunkt

Boken vänder sig till blivande och verksamma lärare i förskola, förskoleklass och de tidiga skolåren.

Jorryt van Bommel

Förutom en introduktion till ett problemlösande arbetssätt presenteras genomförda problemuppgifter med tydliga kopplingar till styrdokumenten. Varje problemuppgift har testats och bearbetats, och i boken finns förslag till fördjupning eller förenkling av problemuppgifterna. Författarna ger även exempel på hur eleverna kan utvärdera både problemuppgifterna och det problemlösande arbetssättet.

Problemlösning som utgångspunkt

Hanna Palmér

I boken Problemlösning som utgångspunkt delar författarna med sig av sina erfarenheter från att arbeta med problemlösning i förskoleklass. Genom sin forskningsstudie visar de att det är möjligt, önskvärt och roligt, för både elever och lärare, att låta matematikundervisningen ha sin utgångspunkt i problemlösning.

Matematikundervisning i förskoleklass

Best.nr 47-11715-4 Tryck.nr 47-11715-4

Hanna Palmér Jorryt van Bommel

Omslag_Problemlösning som utgångspunkt ny.indd 1

2015-11-23 15:57

ISBN 978-91-47-11715-4 © 2016 Författarna och Liber AB Förläggare: Maria Granler Redaktör: Corinna Müller Projektledare: Maria Emtell Grafisk form och omslag: Lotta Rennéus Omslagsbild: Shutterstock Illustrationer: Jonny Hallberg, sidorna 59, 60, 70, 71 efter förlagor gjorda av elever i projektet Foto: Författarna Teckningar och elevarbeten från projektet sidorna 27, 29, 40, 51, 52, 92 Produktion: Lars Wallin

Första upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Stockholm Tryck: Sahara Printing Company, Egypten 2016

KOPIERINGSFÖRBUD

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden.

BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningssamordnare, till exempel kommuner och universitet.

Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet.

Läs mer på www.bonuscopyright.se.

Liber AB, 113 98 Stockholm tfn 08-690 90 00 www.liber.se Kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08–690 93 01 E-post kundservice.liber@liber.se

Problemlösning som utgångpunkt_inlaga.indd 2

2015-11-23 14:49

Problemlรถsning som utgรฅngpunkt_inlaga.indd 3

2015-11-23 14:49

8

Introduktion I boken presenteras sju olika problemuppgifter i matematik som vi har genomfört tillsammans med ca 150 elever i förskoleklass. Förskoleklassåret innebär en möjlighet att bygga något ”från början”, vilket är anledningen till att vi valde just förskoleklass för vårt projekt. Givetvis har alla elever som kommer till förskoleklass mött matematik tidigare och har värdefulla erfarenheter av matematik med sig. Dock innebär förskoleklassen nästan alltid att en ny grupp elever ska börja arbeta tillsammans med en eller flera nya lärare. På så vis har man som lärare i förskoleklass en fantastisk möjlighet att tillsammans med eleverna bygga upp matematikundervisningen från grunden. Det fantastiska i detta bygge är möjligheten att ta det bästa från förskolans och skolans verksamheter och skapa en matematikundervisning där lek, kreativitet, fantasi och matematik får möjlighet att integreras på förskoleklassens egna villkor.

Boken inleds med ett kapitel om det problemlösande klassrummet. I kapitlet behandlas matematikundervisningens inramning, problemuppgifter, elever och lärare i det problemlösande klassrummet, kommunikation och arbete i grupp samt digitala verktyg. Att boken innehåller ett avsnitt om digitala verktyg beror på att de används i flera av de problemlösningslektioner som presenteras i boken. Alla förskoleklasser har dock inte tillgång till digitala verktyg varför det mesta i våra exempel är genomförbart även utan.

I bokens andra kapitel beskrivs sju olika problemuppgifter och deras genomförande. De beskrivs ingående så att du som läsare ska få en inblick i möjligheterna med de olika problemuppgifterna och för att utveckla din egen förmåga att se möjligheter och utmaningar i dessa och andra framtida problemuppgifter. Det finns en uppsjö av problemuppgifter att utforska, i läromedel och givetvis på nätet. Att kunna utgå ifrån givna problemuppgifter och kunna utveckla och anpassa dessa till den egna elevgruppen är en viktig förmåga som lärare.

Exemplen som presenteras ska inte förstås som perfekta eller färdiga lektioner att kopiera, utan syftet är att inspirera och ge idéer och kunskaper för fortsatt utveckling av den egna verksamhetens matematikundervisning.

Det som skrivs i exemplen är inte specifikt för enbart dessa exempel utan det

Problemlösning som utgångpunkt_inlaga.indd 8

2015-11-23 14:49

9

mesta av innehållet gäller för matematikundervisning och problemlösning generellt. Problemuppgifterna är av olika typer då de fyller olika syften i de situationer de används och förutom traditionella matematiska problem förekommer det så kallade rika problem och konstruktion av egna problem. Att variera olika typer av problemuppgifter och problemlösningssituationer möjliggör att eleverna utvecklar olika förmågor vad gäller innehåll och strategier vilket även är i linje med att undervisningen i matematik i grundskolan ska syfta till att eleverna utvecklar en förtrogenhet med problemlösningens alla delar. Exemplen utgår ifrån olika matematikinnehåll och visar hur eleverna använder olika lösningsstrategier.

I boken kommer det att finnas kopplingar till förskolans och grundskolans läroplaner i marginalerna. Dessa utdrag är inte på något sätt uttömmande, och gällande problemlösning som mål och medel görs inga specifika kopplingar utan där utgör kapitel 1 basen för innehållet och utformningen av samtliga exempel. Ibland överlappar olika delar i exemplen varandra, spatial förmåga och matematiska resonemang behandlas exempelvis ett flertal gånger. Dessa olika överlappande delar kommer enbart att fördjupas i ett av exemplen för att undvika upprepningar. På så vis utgör exemplen tillsammans en helhetsbeskrivning av möjligheter och utmaningar i en matematikundervisning i förskoleklass som har problemlösning som utgångspunkt. Även om exemplen kommer från förskoleklassens verksamhet är deras innehåll och upplägg överförbara till både förskolans och grundskolans verksamhet. Förslag på hur detta kan göras ges i samband med exemplen.

Genom hela projektet har vi funnit det angeläget att utvärdera vårt arbete, inte enbart i relation till möjligheter till lärande i matematik utan även i relation till elevernas erfarenheter av de olika lektionerna. I slutet av projektet har vi därför intervjuat eleverna i de förskoleklasser vi arbetat tillsammans med. Syftet med intervjuerna var att ta del av hur eleverna hade upplevt problemlösningslektionerna. Mer om det kommer vi att berätta i bokens tredje kapitel. Syftet var också att se vilket lärande problemlösningslektionerna tycks ha lett till. Intervjuerna redovisas i varje exempel under rubriken ”Vad lär sig eleverna?”. Avslutningsvis presenteras i bokens tredje och sista kapitel elevröster från projektet kring hur de upplevde de olika lektionerna.

Problemlösning som utgångpunkt_inlaga.indd 9

2015-11-23 14:49

10

KAPITEL 1

Det problemlösande klassrummet Det är flera faktorer som påverkar matematikundervisning i allmänhet och problemlösning i synnerhet.

Detta kapitel syftar till att ge en bakgrund och en inramning till de exempel som sedan följer i kapitel 2.

Matematikundervisningens inramning Vad som förväntas av en elev i ett matematikklassrum är sällan uttalat, utan något som eleverna får lära sig genom att vistas i den sociala och kulturella kontext som just deras matematikklassrum utgör. Även om de yttre riktlinjerna är desamma i olika förskoleklasser, ser matematikundervisning i förskoleklass mycket olika ut. De normer som styr hur matematikundervisning utformas och vad som är ett önskvärt agerande inom dess ramar brukar benämnas sociomatematiska normer. De är specifika för matematikundervisningen och genomsyrar de olika matematikinnehållen. Ett exempel på hur olika normer är kopplade till olika ämnesinnehåll är hur det i en och samma förskoleklass kan vara helt naturligt att samtala och diskutera i arbetet med språklig medvetenhet men lika naturligt att vara tyst och arbeta enskilt under matematikundervisningen. Vidare varierar vad som räknas som lika lös-

Problemlösning som utgångpunkt_inlaga.indd 10

2015-11-23 14:49

11

Problemlösning som utgångpunkt_inlaga.indd 11

Det problemlösande klassrummet

ningar, olika lösningar, effektiva lösningar och eleganta lösningar mellan olika matematikklassrum då svaren beror på de sociomatematiska normer som råder i det aktuella matematikklassrummet (Yackel & Cobb 1996).

Sociomatematiska normer är alltså inget förutbestämt som formuleras i styrdokument och sedan implementeras i klassrummen. Istället formas de i klassrummet där mönster byggs upp för hur matematikundervisning går till, vad eleverna gör, vad läraren gör, till vem man ställer frågor, hur man ställer frågor, när man ställer frågor, vad som räknas som ett svar och så vidare.

Dessa mönster som byggs upp och sedan ramar in matematikundervisningen formas i klassrummet av läraren i samspel med eleverna, och i förhållande till dem lär sig eleverna vad matematik är, hur matematik lärs ut och lärs in och vad som är viktigt att kunna i matematik.

Sociomatematiska normer styr även hur till exempel laborativa material, samtal och samarbete används och uppfattas i matematikundervisningen.

I en förskoleklass där klossar, pärlor och annat material används av läraren för att förklara, förtydliga och svara på frågor, kommer eleverna att ha en annan inställning till att använda material än i ett klassrum där läraren enbart plockar fram materialet när någon elev inte förstår. I en förskoleklass kan eleverna förväntas arbeta enskilt med uppgifter i sina matematikböcker.

En elev i en sådan klass anses vara ”duktig” om den klarar sig själv och löser sina uppgifter utan att involvera läraren. I en annan förskoleklass kanske eleverna arbetar i grupper med att lösa matematiska problem. En elev i ett sådant klassrum anses vara ”duktig” om den är aktiv och deltar i problemets lösning.

Inom ramarna för det projekt som presenteras i denna bok har vi mött många olika sociomatematiska normer som på olika sätt påverkar möjligheterna att utforma ett problemlösande klassrum. Eftersom de sociomatematiska normerna på så många olika sätt påverkar både möjligheter och begränsningar är det viktigt att varje enskild lärare, oavsett vilken matematikundervisning man bygger upp, reflekterar över vilka sociomatematiska normer man formar med sin matematikundervisning.

Eftersom eleverna vi mött har haft olika erfarenheter av problemlösning och eftersom olika sociomatematiska normer förekommit i deras förskoleklasser har vi i varje ny förskoleklass börjat med att berätta att problemlösning handlar om uppgifter som man kanske inte direkt vet hur man ska lösa och att det är vanligt och helt okej om man inte förstår allt från början. Vi

2015-11-23 14:49

38

KAPITEL 2

Sju olika problemuppgifter Exempel 1: Hur många klossar behövs för att bygga tornet?

I det första exemplet, tornproblemet,4 är frågan eleverna får: Hur många kuber eller klossar behöver du för att bygga tornet på bilden? Klossar är det ord eleverna oftast använder, medan läraren kan introducera och parallellt använda begreppet kub.

Lektionen som följer är indelad i tre delar: introduktion – pararbete – helklassdiskussion. Delen när eleverna arbetar i par är i sin tur indelad i tre steg där eleverna först bearbetar tornproblemet med enbart bilden, därefter med klossar (kuber) och slutligen med digitala verktyg.

Bild 2.1 Tornproblemet: Hur många kuber eller klossar behöver du för att bygga tornet på bilden?

Problemlösning som utgångpunkt_inlaga.indd 38

4 Problemen kommer från Kängurun – Matematikens Hopp vilket är en internationell rörelse som varje år genomför en matematiktävling. Avsikten med Kängurun – Matematikens Hopp är att stimulera elevers intresse för matematik, från förskoleklass till och med gymnasiet.

Tävlingsdelen är enbart en del av kängurun och tanken är att problemen ska väcka nyfikenhet och kunna användas vid flera lektionstillfällen utöver själva tävlingen. Problemen som använts under tidigare år finns samlade på Nationellt centrum för matematikutbildnings hemsida (www.ncm.gu.se). I Kängurun – Matematikens Hopp finns många fler liknande problem som lämpar sig väl för förskoleklassen i den nivå som heter Milou.

2015-11-23 14:49

39

För att utifrån bilden på tornet ta reda på hur många kuber det behövs för att bygga tornet behöver eleverna förstå att bilden är en tvådimensionell representation av en tredimensionell figur. Yngre elever har många gånger svårt att länka visuella representationer av föremål (bilden av tornet) till den rymd som det avbildade föremålet besitter (höjd, bredd och djup av ett verkligt torn). För läraren är den visuella tvådimensionella avbildningen tydlig men för eleverna kan den vara förvirrande (Mesquita 1998). Att länka tvådimensionella och tredimensionella representationer till varandra är inte enkelt (Pittalis & Christou 2010). Att bygga med klossar har visat sig vara ett bra sätt att sammankoppla tvådimensionella och tredimensionella representationer för eleverna (Sarama & Clements 2009a).

Former och tredimensionella figurer är sällan något nytt för elever i förskoleklass (även om de kanske inte känner till ordet tredimensionell) då förskolan ska sträva efter att varje barn utvecklar sin förståelse för grundläggande egenskaper hos former samt sin förmåga att orientera sig i rummet.

Att förstå att ett föremål ser olika ut om det avbildas från olika håll handlar om att kunna orientera sig i ett tänkt rum. (Detta återkommer vi till i exempel 5.) Att skapa inre bilder av yttre föremål bygger på spatial förmåga vilket innebär en förmåga att korrekt uppfatta den visuella världen. Spatial förmåga innebär att kunna generera, kombinera och manipulera inre bilder av yttre föremål (Clements & Sarama 2009). En god spatial förmåga har en positiv inverkan på elevernas geometriska tänkande (Pittalis & Christou 2010) och en undervisning med stöd av digitala verktyg och fysiska manipulativa material har visats stödja elevernas utveckling av spatial förmåga (Baki m.fl.

2011).

För att utveckla sin spatiala förmåga behöver eleverna utforska och upptäcka, och just detta finns det stora möjligheter för i tornproblemet. Det är inte elevernas ålder utan deras tidigare erfarenheter som avgör vad som är en lagom utmanande utformning av tornet. Just tornet i vårt exempel har visat sig vara en lagom utmaning för förskoleklassen och även årskurs ett och två.

För elever som redan har utvecklat en god inre rumsuppfattning och kan koppla tvådimensionella bilder till tredimensionella byggen kan givetvis mer avancerade torn användas.

Ytterligare ett matematiskt innehåll i exemplet är att kub som matematiskt begrepp introduceras för eleverna. Som lärare kan man använda

Problemlösning som utgångpunkt_inlaga.indd 39

Sju olika problemuppgifter

Matematikinnehåll

Förskolan ska sträva efter att varje barn utvecklar sin förståelse för rum, form, läge och riktning och grundläggande egenskaper hos mängder, antal, ordning och talbegrepp samt för mätning, tid och förändring.

(Lpfö98)

Grundläggande geometriska objekt, deras egenskaper och inbördes relationer samt konstruktion av geometriska objekt utgör centralt innehåll i årskurs 1–3. Det gör även vanliga lägesord för att beskriva föremåls och objekts läge i rummet.

(Lgr11)

2015-11-23 14:49

60 Pararbete Att hitta många olika sätt

Vanliga lägesord för att beskriva föremåls och objekts läge i rummet är ett centralt innehåll i årskurs 1–3. (Lgr11)

Bild 2.16 a, b, c Exempel på olika representationer av nallarna. 8

När eleverna ska arbeta i par kan man med fördel para ihop elever som har gjort på olika sätt. En spännande kombination är att para ihop två elever som har kommit fram till lika många, men inte samma kombinationer.

Genom att uppmärksamma dem på detta har de ett bra utgångsläge för att utforska uppgiften vidare tillsammans: Vilka av deras kombinationer är lika och vilka är olika? Hur många olika kombinationer har de hittat tillsammans? För att beskriva och jämföra sina dokumentationer behöver eleverna använda och förstå olika matematiska begrepp. En gång upptäckte två elever att de hade gjort likadant ”om vi vänder på det ena papperet”! Då fick de plocka fram nallarna och ställa dem på rad så att de kunde se vad det innebar att vända på papperet, på vilket sätt deras kombinationer skilde sig åt. Att vända på papperet innebar att se nallarna bakifrån, vilket gav dem en möjlighet att upptäcka skillnader och likheter mellan olika kombinationer.

Förutom att uppmärksamma eleverna på vilka olika kombinationer de har hittat kan de även uppmärksammas på hur de har representerat nallarna i sina dokumentationer. Vissa elever lägger ner mycket tid på att avbilda nallarna medan andra enbart fokuserar på de olika färgerna och ritar färgade prickar eller streck (bild 2.16 a–c).

När eleverna arbetat i par en stund kan de få berätta vilka likheter och olikheter de har upptäckt i dokumentationerna. Det motiverar dem att tillsammans utforska på hur många olika sätt som nallarna kan sitta i soffan.

8 Av trycktekniska skäl har elevteckningarna ritats om av en illustratör.

Problemlösning som utgångpunkt_inlaga.indd 60

2015-11-23 14:49

61

När eleverna har arbetat i par och jämfört sina dokumentationer kan läraren samla in dokumentationerna och lägga dem bredvid varandra. Eleverna kan då se olika sätt att rita lösningar med olika grader av abstraktion: Vissa elever symboliserar en nalle med en prick eller ett streck i samma färg. Andra symboliserar genom att rita en nalle i samma färg. Det är dock viktigt att inse att även detta är ett steg till abstraktion. Efter en gemensam diskussion kring att en prick på papperet kan symbolisera en nalle kan läraren gå vidare och titta på de olika kombinationer eleverna har hittat.

För att tillsammans med eleverna hitta de olika kombinationerna kan ett systematiskt tillvägagångssätt vara lämpligt. Om läraren använder sig av nallarna och ställer upp dessa kan man styra strukturen så att eleverna får erfarenhet av att konsekvent utforska alla kombinationer som är möjliga när ett objekt hålls konstant (English 1991). Parallellt med att elevernas lösningar visas, ställer läraren upp de olika utfallen bredvid varandra. Principen är att först sätta en nalle i mitten på varje soffa enligt bild 2.17 nedan.

Sju olika problemuppgifter

Helklass Hur många kombinationer kan vi hitta?

Förskolan ska sträva efter att varje barn tillägnar sig och nyanserar innebörden i begrepp, ser samband och upptäcker nya sätt att förstå sin omvärld. (Lpfö98)

Bild 2.17 Steg 1: Varje nalle får sitta i mitten.

När eleverna kommit med förslag på hur de andra nallarna kan sitta bjuder läraren in till fler kombinationer genom att ställa en ny ”mittennalle” framför (bild 2.18).

Bild 2.18 Steg 2: Hur kan de andra nallarna sitta?

Problemlösning som utgångpunkt_inlaga.indd 61

2015-11-23 14:49

70

I lekens och det lustfyllda lärandets olika former stimuleras fantasi, inlevelse, kommunikation och förmåga till symboliskt tänkande samt förmåga att samarbeta och lösa problem.

(Lpfö98)

att använda och utforska sina egna dokumentationer. Kan de på sin dokumentation på ett enkelt sätt se hur många dragningar som är gjorda och/ eller vilket par som är i ledningen? Detta kan man sedan återkoppla till i den avslutande diskussionen.

Aktiviteten med de tjugo dragningarna leder ofta till hurrarop och applåder; eleverna blir glada när just det alternativ de har gissat på dras. Samtidigt leder aktiviteten till förundran över varför det mest blir kombinationen röd och gul. Vid ett tillfälle kom det upp röd och gul kloss i par arton gånger efter varandra innan det första lika paret drogs. Då fick vi med jämna mellanrum visa eleverna att samtliga klossar fortfarande låg i påsen eftersom eleverna började tro att det var fusk på gång.

Om denna lektion äger rum mycket tidigt under förskoleklassterminen kan en förtryckt tabell användas. Eleverna får då ett papper där de tre olika kombinationerna finns inritade i en tabell och eleverna får i uppgift att markera de olika dragningarna i rätt kolumn (bild 2.22 a–c). De flesta elever drar då ett streck eller ritar en ring eller prick för att dokumentera dragningarna.

Några av eleverna markerar de båda klossarna med ett enda streck för varje dragning vilket kan leda till intressanta jämförelser och reflektioner i den avslutande helklassdiskussionen. I dessa dokumentationer synliggörs vad som dragits men sällan hur många dragningar som gjorts.

Bild 2.22 a, b, c Exempel på elevdokumentationer i förtryckt tabell.

Problemlösning som utgångpunkt_inlaga.indd 70

2015-11-23 14:49

71 Sju olika problemuppgifter

Helklass Utvärdering: Vilket par vann? Hur har vi dokumenterat?

När de tjugo dragningarna är avklarade får eleverna frågan vilken kombination – vilket par – som har vunnit och hur de vet det. Eleverna använder då sina dokumentationer för att visa att röd och gul kloss drogs flest gånger. Eftersom eleverna själva använder sina dokumentationer för detta är det ett naturligt steg att fortsätta helklassdiskussionen med att titta på elevernas olika dokumentationer. Nedan följer exempel på hur olika elever i förskoleklass har dokumenterat de tjugo dragningarna när de helt fritt fått välja dokumentationssätt (bild 2.23 a–f ).

Bild 2.23 a, b, c, d, e, f Så här har sex olika elever dokumenterat de tjugo dragningarna. Dokumentation f har gjorts utifrån 30 dragningar.9

9 Av trycktekniska skäl har dessa elevarbeten ritats om av en illustratör.

Problemlösning som utgångpunkt_inlaga.indd 71

2015-11-23 14:49

Hanna Palmér och Jorryt van Bommel är båda två universitetslektorer i matematikdidaktik. På Linnéuniversitetet respektive Karlstads universitet arbetar de med forskning, lärarutbildning och uppdragsutbildning.

Problemlösning som utgångspunkt

Boken vänder sig till blivande och verksamma lärare i förskola, förskoleklass och de tidiga skolåren.

Jorryt van Bommel

Förutom en introduktion till ett problemlösande arbetssätt presenteras genomförda problemuppgifter med tydliga kopplingar till styrdokumenten. Varje problemuppgift har testats och bearbetats, och i boken finns förslag till fördjupning eller förenkling av problemuppgifterna. Författarna ger även exempel på hur eleverna kan utvärdera både problemuppgifterna och det problemlösande arbetssättet.

Problemlösning som utgångspunkt

Hanna Palmér

I boken Problemlösning som utgångspunkt delar författarna med sig av sina erfarenheter från att arbeta med problemlösning i förskoleklass. Genom sin forskningsstudie visar de att det är möjligt, önskvärt och roligt, för både elever och lärare, att låta matematikundervisningen ha sin utgångspunkt i problemlösning.

Matematikundervisning i förskoleklass

Best.nr 47-11715-4 Tryck.nr 47-11715-4

Hanna Palmér Jorryt van Bommel

Omslag_Problemlösning som utgångspunkt ny.indd 1

2015-11-23 15:57