Matematikboken UTMANINGEN
Lennart Undvall • Kristina Johnson • Conny Welén
Lennart Undvall Kristina Johnson Conny WelĂŠn
Matematikboken Utmaningen Liber
Så här använder du Utmaningen Z Utmaningen Z vänder sig till dig som arbetar i ett högt tempo och söker större utmaningar i matematik. Det fungerar bra att arbeta i Utmaningen Z samtidigt som andra elever i klassen arbetar i Matematikboken Z. Böckerna har nämligen samma kapitelindelning, och Utmaningen Z bygger vidare på och breddar det som tas upp i Matematikboken Z. Kapitlen inleds med en målsida där vi beskriver vilka kompetenser och vilket innehåll du kan öva på i kapitlet. Här hittar du också de centrala matematiska begrepp som kommer att tas upp. Använd gärna målsidan för att fundera över vad du redan kan innan du sätter igång arbetet med kapitlet. Gå även tillbaka till målsidan när du är färdig och fundera över vad du lärde dig för nytt eller vad du blev bättre på. Varje kapitel är uppdelat i mindre avsnitt. I början av avsnitten finns det genomgångar, faktarutor och typexempel. Uppgifterna kommer sedan i stigande svårighetsgrad. Det gör att du lätt kommer igång med ditt arbete men också slutligen når en avancerad nivå på matematiken. Varje kapitel avslutas med riktigt klurig Problemlösning. Där finns inga givna lösningsmetoder, utan här är det meningen att du ska utveckla ditt eget förråd av strategier. De uppgifter där du har stor nytta av att använda miniräknare är markerade med en streckad linje. Utöver facit finns det förslag på lösningar till knappt hälften av uppgifterna. I lösningarna visar vi ett sätt att lösa uppgiften på. Före facit hittar du dessutom ledtrådar till just de uppgifterna. Ledtrådarna ger dig en liten hjälp på vägen så att du kan komma vidare om du har kört fast. Uppgifter som det finns ledtrådar och lösningar till är markerade med . Lennart, Kristina och Conny
3
11
Taluppfattning och tals användning 5
Räkna med summatecken 6 Det binära talsystemet 8 Räkna med potenser 11 Problemlösning 14
2
Algebra
15
Potenser med variabler som bas 16 Kvadreringsreglerna 19 Konjugatregeln 23 Problemlösning 25
3
Geometri
5
Sannolikhet och statistik 51
Hur stor är sannolikheten? 52 Fakultet 53 Kombinationer och permutationer 54 Problemlösning 57
6
XYZ – med sikte på framtiden 58
Ekvationer och geometri 59 Numerisk lösning av andragradsekvationer 61 Potensekvationer 64 Problemlösning 67
26
Trigonometri – tangens 27 Sinus och cosinus 31 Hur stor är vinkeln? 35 Problemlösning 38
Ledtrådar 68 Facit och lösningar 71 Begreppsregister 80
Samband och förändring 39
4
Exponentiell förändring 40 Grafisk ekvationslösning 43 Omskrivning av formler 45 Ekvationssystem 47 Problemlösning 50
4
Taluppfattning och tals användning
1
Här får du utveckla din kompetens i att:
u teckna summor och utföra beräkningar med summatecken u förstå logiken i olika talsystems uppbyggnad u uttrycka tal och räkna med potenser u tolka information och välja lämplig metod för att lösa
lag ar Tio po te ns er
Po te ns
ste m Po te ns
ra tal sy
Bi
nä
ate m m Su
BE
GR
EP
P
ck en
et
matematiska problem
5
Räkna med summatecken I matematik vill man alltid skriva matematiska uttryck så kortfattat som möjligt. Summor kan man till exempel skriva med hjälp av summatecknet Σ (bokstaven sigma i det grekiska alfabetet). Summan av de tio första naturliga talen kan vi teckna så här: 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 Med hjälp av summatecknet kan vi istället teckna summan så här: Det betyder ”summan av alla tal från 0 till och med 9”.
9
n
n=0
Som variabel efter summatecknet använder vi här bokstaven n.
Skriv ut summorna och beräkna dem. 10
a)
5
n
b)
n =5
6
(n + 1)
c)
n =1
n2
n= 2
10
a)
Σ n = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45 n=5
Vid summatecknet står att n ska ha värdena från 5 till och med 10.
5
b)
Σ (n + 1) = (1+1) + (2+1) + (3+1) + (4+1) + (5+1) = n=1
Här ska du beräkna summan av ett antal parenteser (n + 1), där n ska ha värdena från 1 till och med 5.
= 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 6
c)
Σ n = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 90 2
2
2
2
2
2
n=2
Här ska du beräkna summan av ett antal potenser med exponenten 2, där basen n ska ha värdena från 2 till och med 6.
Svar:
6
a) 45
b) 20
1 • Taluppfattning och tals användning
c) 90
101 Teckna summorna med summatecken.
a) 1 + 2 + 3 + 4 +5 + 6 + 7
b) 1 + 2 + 3 + … + 100
102 Skriv ut summorna och beräkna dem. 9
a)
n
10
b)
n=0
103 Beräkna summorna. 10
a)
n=0
3n
n =1
9
b)
n=3
10
(n − 1)
c)
(2n + 1)
c)
(n – 1)2
n=3
10 n =1
n 2
104 Teckna summorna med summatecken.
a) 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + 28 + 32 + 36 + 40 1 1 1 1 b) + + + + 2 3 4 20 105 Beräkna
2 1 1 a) ( n + n + 1 ) n =1
2
b)
(
n =1
1 1 ) − n +1 n + 2
106 Skriv summan 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 med summatecken.
1 • Taluppfattning och tals användning
7
Det binära talsystemet Vårt vanliga talsystem Det talsystem vi använder oss av kräver tio siffror – tiosystemet. Vilket värde de olika siffrorna i talet har beror på deras plats, deras position. Om vi tittar på talet 3 456 så representerar till exempel siffran 3 antalet tusental. Vi kan skriva talet 3 456 som 3 000 + 400 + 50 + 6. Men samma tal kan också skrivas med tiopotenser: 3 456 = 3 · 103 + 4 · 102 + 5 · 101 + 6 · 100 I vårt vanliga talsystem är de ”byggstenar” vi använder alltid potenser med 10 som bas. Det kan exempelvis vara 1 = 100, 10 = 101, 100 = 102, 1 000 = 103 och 10 000 = 104. Det binära talsystemet Det finns andra talsystem än det vi använder till vardags. Det binära talsystemet används i nästan alla datorer och använder sig endast av två siffror: 0 och 1. Genom att nollorna och ettorna placeras på olika positioner kan datorn avgöra vad de står för. I en dators ”hjärna” finns transistorer. Mycket förenklat kan det beskrivas så att siffran 0 innebär att en transistor är av, medan siffran 1 innebär att transistorn är på. I det binära talsystemet är det potenser med basen 2 som är ”byggstenar”. Dessa är: 20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 osv Vi tittar på ett tal skrivet i binär form, till exempel talet 10112. Den nedsänkta tvåan anger att talet är skrivet i tvåsystemet, det binära talsystemet. Talet utläses ”ett noll ett ett bas två”. Vilket tal i tiosystemet motsvarar det? På liknande sätt som vi skrev talet 3 456 ovan kan vi skriva 11012 = 1 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13. Alltså skrivs vårt ”vanliga tal” 13 i det binära talsystemet som 11012. 8
1 • Taluppfattning och tals användning
ISBN 978-91-47-08552-1 © 2013 Lennart Undvall, Kristina Johnson, Conny Welén och Liber AB Projektledare och redaktör: Sara Ramsfeldt och Patrik Marinilli Formgivning och layout: Eva Jerkeman och Monica Schmidt/Exaktaprinting Bildredaktör: Marie Olsson Illustrationer: Ingrid Magnusson Faktor: Adam Dahl Första upplagan 1 Repro: Exakta, Malmö Tryck: Kina 2013
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för under visningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisa tioner och huvudman för utbildningssamordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se. Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se
Bildförteckning 5 7 14 15 22 26 34 37 39 39 40 41 46 46 49 51 52 55 56 58 60 66
Albert J. Copley/IBL Apelöga/Scanpix Sara Arnald/Scanpix/Bildhuset Shutterstock Frank Rumpenhorst/DPA/Scanpix Science Photo Library/IBL Libers arkiv Photodisc (1) Roger-Viollet/IBL (2) Shutterstock Anna Rehnberg/Scanpix Photodisc (1) Rick Stevens/AP/Scanpix (2) Photodisc Shutterstock Bridgeman Library/IBL Libers arkiv Annika af Klercker/Scanpix Shutterstock Shutterstock Helena Wahlman/Maskot/Scanpix Janerik Henriksson/Scanpix
Utmaningen är en ny komponent i serien Matematikboken. Utmaningen Z erbjuder mer utmanande matematik och är kapitelparallell med det matematiska innehållet i Matematikboken Z. I Utmaningen Z finns: • Målsidor • Genomgångar • Typexempel • Uppgifter av undersökande karaktär • Mycket problemlösning • Ledtrådar och lösningsförslag
Matematikboken Z
Bashäfte
Utmaningen
Lärarhandledning
Onlinebok
Matematikboken finns för hela grundskolan, från förskoleklass till årskurs 9. Matematikboken X, Y och Z är avsedda för årskurserna 7–9. Till varje årskurs finns, utöver Utmaningen, en grundbok, ett enklare bashäfte och en lärarhandledning. Grundboken finns även som onlinebok, en digital version av boken med interaktiva verktyg. Du hittar också en hel del tips och extramaterial på www.matematikbokenxyz.se. Har du frågor om metodik eller innehåll är du välkommen att kontakta Lennart Undvall på mail eller telefon, lennart.undvall@gmail.com respektive 070-320 38 62. Beställningar kan du göra på webben, www.liber.se, eller genom kundservice, kundservice.liber@liber.se, 08-690 93 30.
Best.nr 47-08552-1 Tryck.nr 47-08552-1