KApITeL 1
1 trigonometri BEGrEPP
peRIODISKA fÖRLOpp
I
tidigare kurser har vi använt trigonometri för att beräkna vinklar och sträckor i geometriska figurer. Här ska vi utvidga trigonometrin och möta nya tillämpningsområden. Formler och lagar som du får lära dig i det här kapitlet kan användas i t ex ellära, optik och akustik. Många händelser i naturen återkommer med bestämda mellanrum, man säger att de är periodiska. exempel: • I en ljudvåg varierar lufttrycket periodiskt. • ”Dagens längd” varierar under året. • I en väggkontakt varierar den elektriska spänningen. • Solfläcksaktiviteten varierar periodiskt och når maximal intensitet vart elfte år.
Vattendjupet i t ex en hamn bassäng ändras periodiskt och kan beskrivas med en trigonometrisk funktion. Om vattendjupet är h m efter t timmar får vi sambandet πt h(t ) = 1,5 + 2sin 6 Längst ner på sidan ser du grafen till funktionen. Genom att matematiskt beskriva detta naturfenomen kan vi svara på frågor som: När är djupet mer än 3 m? Hur länge är hamnbassängen tom? Kapitlet ger dig kunskaper så att du kan analysera den här och liknande funktioner.
enhetscirkel trigonometriska ettan amplitud period cosinuskurva sinuskurva tangenskurva additionsformlerna subtraktionsformlerna dubbla vinkeln radian båge cirkelsektor
Listan kan göras lång. Periodiska händelser kan ofta beskrivas matematiskt med hjälp av trigonometriska funktioner. Låt oss titta på tidvattnet som är ett periodiskt förlopp. Två gånger per dygn är det högvatten (flod) och två gånger är det lågvatten (ebb). Det är gravitationen mellan jorden och månen som ger upphov till tidvattnet. T.v. och ovan: Bilderna visar samma plats vid ebb (lågvatten) och vid flod (högvatten).
meter h 3
h(t) = 1,5 + 2sin
πt 6
2 1
t 5
10
15
20
triGonoMetri
timmar
7