MARTIN HOLMSTRÖM EVA SMEDHAMRE JONAS SJUNNESSON
Martin Holmstrรถm Eva Smedhamre Jonas Sjunnesson
LIBER
Till elever och lärare Den här boken i serien Matematik M är skriven för gymnasiets matematik kurs 2a och motsvarande kurser inom vuxenutbildning. I boken finns gott om övningar som ger möjlighet att träna många förmågor. EXEMPEL
! x2 + px + q = 0 har
Läs gärna igenom exemplen innan du börjar räkna uppgifterna! I regelrutorna finns det som är extra viktigt. Det finns uppgifter i tre nivåer med olika färg på uppgiftsnumren. grå uppgifter är grunduppgifter, bland de blå finns något svårare uppgifter och röda uppgifter är ännu svårare. Till vissa uppgifter finns ledtråd/lösning i slutet av boken. I facit har dessa uppgifter röda uppgiftsnummer. Med hjälp av Kommunicera-uppgifter kan du träna på att muntligt förklara matematiska begrepp.
aKTiviTeT
I varje kapitel finns några Aktiviteter/laborationer.
digiTaLa ruTan
I Digitala rutan får du använda digitala verktyg för att lösa problem.
TEST
Varje kapitel avslutas med två tester, varav ett utan räknare. Många testuppgifter har hänvisning till kapitlens lösta exempel .
FördJuPni
Sista kapitlet är Fördjupning/breddning. Det finns fördjupningsavsnitt till bokens samtliga kapitel. Här finns också Upptäck & visa som är uppgifter där du får träna på att generalisera ett matematiskt samband. Bokens NOG-uppgifter har samma upplägg som på Högskoleprovet.
nog-uppgifTer
TanKenöT
Tankenötter ger extra stimulans. Facit finns! Lycka till med kursen! Författarna 3
Innehåll 1
Uttryck och ekvationer 6
Förenkla uttryck 7 Multiplikation 10 Ekvationer 13 Ekvationer med nämnare 18 Aktivitet 1a: Tärningar och uttryck 20 Digitala rutan: Tänk på ett tal 21 Parentesmultiplikation 22 Kvadreringsregler 26 Konjugatregeln 30 Ekvationer med x2-termer 33 Enkla andragradsekvationer 35 Aktivitet 1b:
Vilket är det största spetstalet? 40 Kvadratkomplettering 42 Fullständiga andragradsekvationer 44 Problemlösning med ekvationer 48 Digitala rutan: Moms 50 Uppdelning i faktorer 51 Faktorisering med konjugatregeln 54 Digitala rutan: Budget 55 Sammanfattning 56 Blandade uppgifter 57 Test 1A 60 Test 1B 61
4
2
Linjära funktioner
62
Koordinatsystem 62 Värdetabeller 64 Rita grafer 67 Avläsa grafer 71 En linjes lutning 74 Mer om linjens lutning 76 Rita linjen y = kx + m 80 Formel för k 85 Skriv på formen 88 Aktivitet 2: Grafisk tidtabell 92 Parallella linjer 93 Mer om y = kx + m 97 Ekvationssystem, grafisk lösning 99 Digitala rutan: Rita grafer 102 Ekvationssystem, ersättningsmetoden 103 Ekvationssystem, additionsmetoden 106 Problemlösning 110 Sammanfattning 113 Blandade uppgifter 114 Test 2A 118 Test 2B 119
3
Geometri
120
Trianglar och vinklar 120 Pythagoras sats 125 Digitala rutan: Avståndsformeln 129
Aktivitet 3a:
Omkrets, area och volym 130 Likformighet och kongruens 131 Aktivitet 3b: A4-papper 137 Aktivitet 3c:
Vilken låda rymmer mest? 138 Implikation och ekvivalens 139 Sammanfattning 141 Blandade uppgifter 142 Test 3A 145 Test 3B 146
4
funktioner
148
Skrivsättet f(x) 148 Funktionen y = x2 151 Grafisk lösning av ekvationer 153 Grafisk lösning av olikheter 156 Definitions- och värdemängd 160 Andragradsfunktionens graf 162 Nollställen och symmetrilinje 165
fördjupningar
196
1 Dubbelrot eller ingen rot? 196 2 Faktorisering och ekvationer 198 3 Ekvationen y – y1 = k(x – x1) 201 4 Räta linjen på allmän form 202 5 Topptriangelsatsen och transversalsatsen 205 6 Randvinklar och medelpunktsvinklar 210 7 Trigonometri 213 8 Vektorer 217 9 Vektorer och trigonometri 220 10 Symmetri 222 11 Vilken är funktionen? 224 12 Upptäck & visa 225 13 NOG-uppgifter 230
Facit
232
Facit Fördjupningar 247 Facit Aktivitet 250 Facit Digitala rutan 251 Facit Tankenötter 251 Lösningar och ledtrådar 252
Digitala rutan:
Nollställe till andragradsfunktion 170
Aktivitet 4a: Tärningskast 171
Potenser med rationella exponenter 172 Ekvationen x5 = 2 174 Vad är en exponentialfunktion? 176 Mer om exponentialfunktioner 180 Linjära och exponentiella modeller 184 Aktivitet 4b: Folkmängd 187 Sammanfattning 188 Blandade uppgifter 190 Test 4A 193 Test 4B 194
5
1
Uttryck och ekvationer Tänk på ett tal mellan 1 och 10
7
Fördubbla talet
14
Lägg till 10
24
Dra bort 4
20
Dela med 2 Dra bort 3 Vad fick du?
10 7
Samma tal som jag tänkte på!
Kan det här stämma för alla tal? Om vi kallar vårt tal för x kan vi se hur det fungerar. – – – – – – –
Tänk på ett tal mellan 1 och 10 Fördubbla talet Lägg till 10 Dra bort 4 Dela med 2 Dra bort 3 Vad fick du?
6
UTTRYCK OCH EKVATIONER
x 2x 2x + 10 2x + 10 – 4 vilket blir 2x + 6 När både 2x och 6 delas med 2, får vi x + 3 x+3–3 x
KAPITEL 1
Precis som i frågeleken ”Tänk på ett tal” kan många problem förklaras och lösas med bokstavsräkning. Här följer nu några avsnitt som repeterar uttryck och ekvationer från boken M1a.
Förenkla uttryck EXEMPEL 1
Amanda och Cesar går på gymnasiet och har startat firman ”Data och trädgård”. De använder följande taxor: Amanda: 200 kr + 250 kr/tim Cesar: 180 kr + 200 kr/tim Om x är antalet timmar får vi följande uttryck:
Amanda Cesar 200 + 250x 180 + 200x
a) Vilket blir uttrycket för kostnaden då både Amanda och Cesar anlitas i x timmar?
Vi adderar och får
(200 + 250x) + (180 + 200x) = 200 + 250x + 180 + 200x = = 380 + 450x
En parentes visar att något ”hör ihop”. Då det är plus framför parentesen, kan parentesen tas bort.
Siffertermerna adderas: 200 + 180 = 380 x–termerna adderas: 250x + 200x = 450x
svar: 380 + 450x
b) Skriv ett uttryck som visar skillnaden i kostnad mellan Amanda och Cesar.
(200 + 250x) – (180 + 200x) = = 200 + 250x – 180 – 200x = 20 + 50x
svar: 20 + 50x
Eftersom det är minustecken framför parentesen måste vi ändra tecknen inuti parentesen när parentesen tas bort!
c) Vilken blir skillnaden i kronor för 2 timmars jobb?
Vi beräknar värdet av uttrycket 20 + 50x då x = 2.
20 + 50 · 2 = 120
svar: 120 kr
UTTRYCK OCH EKVATIONER
7
KAPITEL 1
! Ett uttryck som 20 + 50x kallas ett polynom. Ett polynom är ett uttryck som innehåller flera termer. Här gäller att siffertermen är 20 och x-termen är 50x. Bokstaven x kallas variabel och 50 är x-termens koefficient.
EXEMPEL 2
Förenkla följande uttryck. a) 8 – 5x + 1 – 2x = 8 + 1 – 5x – 2x = 9 – 7x b) 4y + (8 – 3y) = 4y + 8 – 3y = 8 + 4y – 3y = 8 + 1y = 8 + y c) 9 – (5 + 2x) = 9 – 5 – 2x = 4 – 2x
Lägg märke till att 1y skrivs y.
d) 6x – (3 – x) = 6x – 3 + x = 7x – 3 e) 2y – (8y + 5) + 5 = 2y – 8y – 5 + 5 = –6y Siffertermerna ”försvinner”, eftersom – 5 + 5 blir noll.
Förenkla följande uttryck. 1001
a) x + 2x + 5x
b) 6x – 2x + 3x
1002
a) 2x + 6 + 3x – 2
b) 2 – 3x – 4x + 1
1003
a) 2x + (5 + 7x)
b) 10 – (x – 8)
1004
a) 3x – (9x – 2)
b) x – (2 + 4x) + 7
1005
a) x – (3x – 6) + 7
b) 8 – (5 – x) + 3x
1006
Vilka av följande uttryck betyder samma som 6x? 3 · 2x
1007
2 + 4x
8x + (–2x)
Förenkla polynomen och beräkna värdet då x = 12. a) 2x – 9 – x + 5 + 8x + 9x – 5x – 3x + 3 b) 2x – (2 – x) + 3x – (4x + 5) c) –x – (7 – 8x) + (8 + 9x)
8
2 – (2 – 6x)
UTTRYCK OCH EKVATIONER
12 x 2
KAPITEL 1
1008 Förklara vilka termer och koefficienter
som finns i uttrycket 4y + 5?
1009
Titta på uttrycken A och B!
A = 12 – 4x
B = 9 – 3x
Skriv och förenkla det uttryck som visar a) summan A + B b) differensen A – B c) differensen B – A d) Vilket värde får uttrycket A + B då x = 2? 1010
Beräkna värdet av uttrycket x – x2 + x3 då a) x = 3
1011
b) x = –1
c) x =
2 3
Beräkna värdet av (x + 3)y då a) x = 4 och y = 2
b) x = –5 och y = 3
c) x = 7 och y = –2 1012
a) Förenkla uttrycket
x 3x 5 x 7 x 9 x − + − + 2 2 2 2 2
Beräkna uttryckets värde då 2 b) x = 16 c) x = − 15 7 − 2x 5 − 2x − 3 3
1013
Förenkla uttrycket
1014
Värdet av uttrycket U = 2 x − y + 3 ska bli ett heltal. Välj själv värden på x och y så att a) x > 1 och y > 0 b) x < 1 och y < 0 TAnKEnöT 1
Dela 12 i två lik a stora delar så att en del blir 7.
UTTRYCK OCH EKVATIONER
9
KAPITEL 1
muLTIPLIKATIon I en multiplikation får vi ändra ordningen mellan faktorerna. T ex gäller att 3 · 4 = 4 · 3. På motsvarande sätt gäller att x · y = y · x Det är vanligt att multiplikationstecknet utelämnas, och vi skriver endast xy. En multiplikation som t ex 3 · (5 + x) kan alltid skrivas som en upprepad addition: 3 · (5 + x) = (5 + x) + (5 + x) + (5 + x) = 5 + x + 5 + x + 5 + x = 15 + 3x Det är enklare att multiplicera in faktorn 3 i parentesen på följande sätt: 3 · (5 + x) = 3 · 5 + 3 · x = 15 + 3x
! Distributiva lagen: a · (b + c) = a · b + a · c
EXEMPEL 1
a) 5 · (y + 4) = 5 · y + 5 · 4 = 5y + 20 b) x(x + 3y + 4) = x · x + x · 3y + x · 4 = x2 + 3xy + 4x
Lägg märke till att x · x = x2
c) 3x(4x – 2) = 3x · 4x + 3x · (–2) = 12x2 – 6x d) (5x – 3) · 2 = 2 · 5x – 2 · 3 = 10x – 6
Då faktorn 2 finns efter parentesen är det viktigt att multiplikationstecknet skrivs ut.
Utför följande multiplikationer. 1015
a) 5y · y
b) 2y · 3
c) x · 8x
1016
a) x · 2 · 3
b) 2x · 4x
c) x · 3 · 4x
1017
a) 2(x + 5)
b) 5(y – 3)
c) 7(2 – a)
1018
a) (2x + y) · 4
b) 3(y – 5x)
c) (x + 3) · x
1019
a) 5x(x – 1)
b) 4x(0,5 + 2x) c) 2y(3x – 5y)
10
UTTRYCK OCH EKVATIONER
KAPITEL 1
1020 Skriv ett uttryck för rektangelns
a) omkrets
b) area.
5 2x + 3
EXEMPEL 2
a) –2(5 + y) = (–2) · 5 + (–2) · y = –10 – 2y b) –3(2a – 1) = – 6a + 3 c) 4(–3 + 5x) = –12 + 20x EXEMPEL 3
Förenkla a) 3x + (x + 2) · 6 – 3(4 – 2x) =
3x + 6x + 12 – 12 + 6x = 15x
svar: 15x
b) x(x – 6) – x(1 – 8x) = x2 – 6x – x + 8x2 = 9x2 – 7x
Förenkling av x2-termerna: x2 + 8x2 = 9x2
Förenkling av x-termerna: – 6x – x = – 7x
Svaret 9x2 – 7x kan inte förenklas ytterligare.
svar: 9x2 – 7x
Förenkla följande uttryck 1021 a) 8x + 3(x – 5)
b) 4 + 5(y + 3) – 19
1022 a) 2(a – 7) – 2a
b) 15x – 4(x – 5)
1023 a) 2(x – 3) + 4(x + 2)
b) 6(a + 1) + (a – 2) · 3
1024 a) x(x – 2) – x(x + 3)
b) y(3y + 2) + (y – 3y2)
1025 a) y(5 – y) – (5y – y2)
b) 5(x – 4) – 2(x – 10)
1026 Vilket av uttrycken nedan är inte likvärdigt med de andra?
a) x – y + z
b) z – y + x
c) z – (y – x)
d) x – (y – z)
e) –y – (–x – z)
f) y – (z – x)
UTTRYCK OCH EKVATIONER
11
KAPITEL 1
Förenkla följande uttryck 1027 a) 9x + (x – 3) · 2 + 6
b) 6x – 5(x – 1) – x
1028 a) 7 – 4(y + 2) + 1
b) 3(4y – 5) – 2(5 – y)
1029 a) 1,4 x −
2 ⋅ (5 + 3,5 x ) 5
b) 1,5(2x – y) – (x – 0,6y) · 3
1030 Vilka av följande påståenden är sanna?
a) 2 + b = b + 2
b) 4n = n + n + n + n
c) x · y · 3 = 3xy
d) 5 · 3 = 53
e) b · a = ab
f) ax + ya = ay + xa
g) 8 + 3 · 5 = 8 + 15
h) a – b = b – a
1031 Skriv de uttryck (förenklade) som saknas i tabellens högra kolumn.
a) b) c) d)
Pris (kr) utan moms
+ 25 % moms
x
?
1,4x
?
x + 40
?
4x + 100
?
1032 Nedan ser du en rektangel där den ena
sidan är a och den andra sidan är b + c.
Förklara den distributiva lagen med hjälp av rektangeln.
b
c
a
2 y x (9 − 3x + 2 y ) − ( − + 0,5) ⋅ 4 3 3 4 b) Beräkna uttryckets värde då x = –5 och y = 10–2
1033 a) Förenkla uttrycket
1034 Beräkna utan räknare.
a)
3( 12 + 3)
b)
2( 8 − 18)
1035 Motivera varför uttrycket 1 + x(2 – x) · x – x2(1 – x)
aldrig har ett negativt värde.
12
UTTRYCK OCH EKVATIONER
KAPITEL 1
EKvATIonEr Titta på balansvågen som är i jämvikt. I vänstra vågskålen finns 5 lika stålkulor. I den högra skålen finns 3 lika stålkulor och en säck med 8 kg sand.
5x
8 + 3x
Hur mycket väger en stålkula? I exemplet nedan använder vi en ekvation för att bestämma stålkulans vikt, som vi kallar x. Jämför gärna ekvationen med ditt eget sätt att tänka. EXEMPEL 1
Lös ekvationen 5x = 8 + 3x Här finns det x-termer i ekvationens båda led. Vi subtraherar därför båda leden med 3x så att siffertermen blir ensam kvar i högra ledet. 5x – 3x = 8 + 3x – 3x Vi kan ”tänka” subtraktionen och direkt skriva så här: 5x – 3x = 8 2x = 8 8 x= 2
Båda leden divideras med 2.
x=4 svar: x = 4 Om vi jämför svaret med balansvågen, så betyder det att varje stålkula väger 4 kg.
! När vi löser en ekvation får vi subtrahera, addera, multiplicera och dividera med samma tal i båda leden.
UTTRYCK OCH EKVATIONER
13
KAPITEL 1
EXEMPEL 2
Lös ekvationen 10 – 2x = 22 10 – 22 = 2x –12 = 2x 2x = –12 x=
−12 2
Båda leden divideras med 2.
x = –6 svar: x = – 6
EXEMPEL 3
Lös följande ekvationer. a) 7x + 5 = 4x + 4 + 1
b) x + 5 = x + 8
7x – 4x = 5 – 5
x–x=8–5
3x = 0
0=3
x=0
svar: x = 0
Orimligt! Ekvationen saknar lösning!
svar: Ekvationen saknar lösning.
Lös följande ekvationer. 1036 a) 8x = 5x + 18
b) 6x + 9 = 4x + 11
1037 a) 10x – 3 = 29 + 6x
b) 3x + 40 = 5x
1038 a) 7s + 100 = 3s
b) 12 + 4s = 10s – 12
1039 a) 9x – 2 = 4x + 13
b) 20 + 7x = 4 – x
1040 a) 10x + 1 = 20x – 3
b) 15x – 5 = 5x + 35
1041 a) 8 – 5x = 20 – 3x
b) 1 – 2x = 16 – 5x
1042 a) – 2 – 3 + 4x = 5 – 6x
b) 2x – 1 + 4x – 8 = 5x – 9
1043 Vilka av följande ekvationer saknar lösning?
14
a) 4x = 2x
b) x + 9 = x + 8
c) 3x – 5 = 2x – 5
d) 2x – 4 = x + 4
e) 2x – 10 = 2x – 11
f) 2x – 3x = 0
UTTRYCK OCH EKVATIONER
KAPITEL 1
1044 Titta på ekvationen 5x + 4z = 100. Bestäm x om du vet att
a) z = 10
b) z = –50
1045 Ekvationen x + 4 = 12 har roten x = 8.
Skriv en liknande ekvation som har roten a) x = 1
b) x = 10
c) x = –5
1046 Summan av ett tal och talets fjärdedel är 8. Vilket är talet?
1047 Titta på uttrycken 2n och n + 2.
Vilket är störst? Förklara.
EXEMPEL 4
Agnes, Leo och Stina ska dela på 500 kr så att Agnes får dubbelt så mycket som Stina, och Leo får 80 kr mer än Stina. Hur mycket pengar får Leo? Stina får x kr
Agnes får 2x kr
Leo får (x + 80) kr
Vi får följande ekvation. x + 2x + x + 80 = 500 4x + 80 = 500
Tillsammans får de 500 kr
4x = 500 – 80 4x = 420 x=
420 4
x = 105 Leo får (x + 80), dvs (105 + 80) kr = 185 kr svar: Leo får 185 kr
UTTRYCK OCH EKVATIONER
15
KAPITEL 1
EXEMPEL 5
Lös ekvationen 22 – 3(x – 2) = 5(4 – x) Vi börjar med att multiplicera in faktorerna 3 och 5. Samtidigt tar vi bort parenteserna. Observera teckenändringarna i vänstra ledet eftersom det är minus framför parentesen. 22 – 3x + 6 = 20 – 5x 28 – 3x = 20 – 5x –3x + 5x = 20 – 28 2x = –8 x=
−8 2
x = –4 svar: x = –4
Lös följande ekvationer. 1048 5x + (3 + 2x) = 18 – (x – 1) 1049 12 – (2x + 8) = (x + 16) 1050 13 + (x – 13) – (2 – 5x) = 2,8 1051 5(y + 2) = 18 – (1 – 3y) 1052 (2a + 10) – 4(a + 5) = 0 1053 0,5(4x + 1) + 2(2 – 0,5x) = (4,5 – 2,5x) 1054 2 – 3(y + 5) = 26 – 5y
1055 Den här likbenta triangeln har
omkretsen 50 cm. Förklara hur du kan beräkna triangelns bas. Lös ekvationen.
x+4
x+4
x
16
UTTRYCK OCH EKVATIONER
KAPITEL 1
1056
1057
Vilka är ekvationer och vilka är uttryck? a) 3x + 5y
b) 2x + 5 – x
c) 2x + 5 = x
d) 2x = 5
Lös ekvationerna. a) 12 – 1,2(x – 5) = 22 – 2(x + 4) b) 3(s + 1) – (s – 1) · 2 = 10 – (5 – 3s)
1058
En summa pengar ska fördelas på följande sätt: Billy får 5000 kr mer än Emil. Frida får tre gånger så mycket som Emil. a) Hur mycket pengar får Billy om man ska dela på 20 000 kr? b) Hur mycket får Frida om man ska dela på 40 000 kr?
1059
Jim är dubbelt så gammal som Eva. Max är 4 år äldre än Jim. Den sammanlagda åldern för Eva, Jim och Max är 64 år. Hur gammal är Max?
1060
Ett rep som är 190 meter långt ska delas i tre delar A, B och C så att … … C är dubbelt så lång som B … A är 1/6 av B Hur lång blir den längsta delen?
1061
Lös ekvationen (400 + 4x) · 3 + 2(350 + 3x) = 2800
1062
Två vuxna och tre barn får betala 1500 kr för fem teaterbiljetter. Varje vuxenbiljett kostar 50 % mer än en barnbiljett. Vad kostar en vuxenbiljett?
Lös följande ekvationer. 1 1063 a) x ⋅ ( + 2) = 14 x
3 3 b) 0 = 2 x ( − ) − 7 x 2
1064
a) –9x – x = 100 – 32
b) 4(x – 3) – (x + 4) · x = 5x – x2
1065
Pröva om x = –2 är rot till ekvationen. 12 a) x 3 − x + = 0 b) 7 − x = 5 + x x
UTTRYCK OCH EKVATIONER
17
KAPITEL 1
Ekvationer med nämnare EXEMPEL 1
Lös ekvationen 1 −
8− x =x 3
Vi multiplicerar ekvationens båda led med 3, så att vi sedan kan ”förkorta bort” nämnaren 3. 3 ⋅1 −
3 ⋅ (8 − x ) = 3⋅ x 3
Observera parentesen!
Efter förkortning med 3 får vi 3 – (8 – x) = 3x 3 – 8 + x = 3x –5 = 2x −5 x= 2 x = –2,5 svar: x = –2,5 EXEMPEL 2
Lös ekvationen
5 1 25 + = x 2 4x
Här är den minsta gemensamma nämnaren 4x. Man säger att mgn = 4x. Vi multiplicerar med 4x. 2
1
1
4 x ⋅ 5 4 x ⋅1 4 x ⋅ 25 + = x 2 4x 1
1
1
Vi förkortar med x, 2 och 4x.
20 + 2x = 25 2x = 25 – 20 2x = 5 x=
5 2
x = 2,5 svar: x = 2,5
18
UTTRYCK OCH EKVATIONER
KAPITEL 1
Lös ekvationerna 1066 a) 20 +
x =x 6
b)
y y + = 15 3 2
1067 a)
3p 9 7 p + = 2 10 5
b)
1 2 3 + = x 5 2x
1068 a)
1 1 2 − = 2p 3 p
b)
20 5 = y 7
5 4 = ledning: Mgn = x(x + 1) x +1 x 1 3 = b) x+2 x
1069 a)
1070 a)
x +1 1 − 2x = 10 + 4 3
b) 2y −
3(10 − 2y ) 3 + 5y − =6 4 2
1071 Bestäm x så att medelvärdet av de tre talen 48, (x + 15) och 2x
blir 60.
1072 Pia, Adam och Jon ska dela på en summa pengar så att Jon
får 2/7 av pengarna, Adam får 1/3 och Pia får 12 000 kr. Hur mycket pengar delar de på?
1073 ”Om man fördubblar ett visst tal och dessutom lägger till
en niondel av talet får man svaret 133. Vilket är talet?” Lös uppgiften med hjälp av en ekvation.
1074 Då Ohran står i kö till en rock-konsert, märker han att han har
1/7 av kön framför sig och 5/6 bakom sig. Hur många står i kön?
Lös ekvationerna 1 2 1075 a) = 6 1− x 1076 a) x (9 − x ) − 2 x (3 − x ) =
b) 5 −
1 − 3x = 40 + x 1 2
b)
3 2 = x − 2 x +1
3 7 ⋅ + x2 7 3
1077 Elias har en motorbåt. Han ska hälla x liter olja i 25 liter bensin så
att den oljeblandade bensinen innehåller 2 %. Hur många deciliter olja behöver Elias?
1078 Visa att x =
1 9 1 − 3,5 är en rot till ekvationen = x 1− x 7
UTTRYCK OCH EKVATIONER
19
KAPITEL 1
AKTIvITET 1a
Tärningar och uttryck
Varje elev har en vit tärning och en röd tärning. v = antal prickar på den vita tärningen r = antal prickar på den röda tärningen
1 Vi har uttrycket 2r + 3v. Slå de båda tärningarna. Sätt in dina värden på r och v i uttrycket och beräkna uttryckets värde. Vilket blir värdet för dig?
2r + 3v
2 Slå de två tärningarna ytterligare en gång. Vilket värde får uttrycket nu? 3 Vilket är det största värde som uttrycket 2r + 3v kan få? 4 Nu har vi uttrycket v – 2r Slå tärningarna 4 gånger och beräkna värdet varje gång.
v – 2r
5 Vilket är det största och det minsta värde som uttrycket v – 2r kan få? 6 Nu har vi uttrycket 2v.
2v
a) Slå den vita tärningen och beräkna uttryckets värde. b) Upprepa försöket ytterligare 3 gånger. c) Vilket är det största värde som uttrycket kan få? 7 Till sist har vi uttrycket
a) Slå de båda tärningarna och beräkna uttryckets värde. b) Vilket är det största värde som det här uttrycket kan få?
20
UTTRYCK OCH EKVATIONER
3(v + r)
KAPITEL 1
dIGITALA ruTAn
Tänk på ett tal
Använd ett kalkylblad (t ex Excel) och lös följande uppgifter. uppgift 1 A
B
1
Tänk på ett tal x
?
2
Multiplicera med 9
= B1*9
3
Addera 12
= B2+12
4
Dividera med 3
5
Subtrahera 3x
I kolumn A ser du vad som ska göras. Skriv ett tal i cell B1. I cell B2 ser du hur formeln skrivs för ”muliplicera med 9” och i cell B3 hur du ”adderar med 12” Skriv formler i cellerna B4 och B5 så att beräkningarna i kolumn A görs. Prova med olika tal i B1. Vilket svar får du? Förklara svaret med algebra. uppgift 2 A 1
Tänk på ett tal
2
Addera 5
3
Multiplicera med 4
4
Subtrahera 20
5
Dividera med 2
B
?
Gör på samma sätt som i uppgift 1, dvs skriv ett tal i B1, skriv formler i de tomma rutorna och bestäm svaret. Ändra sedan talet i B1 och formulera en slutsats. Visa din slutsats med algebra. uppgift 3 Välj ett godtyckligt tal. Addera det tal som är dubbelt så stort. Addera 90. Multiplicera summan med 2. Subtrahera 180 från den erhållna produkten. Dividera med 6. Vilket blir svaret? a) Lös uppgiften med hjälp av kalkylbladet b) Visa med algebra att detta gäller för alla tal
UTTRYCK OCH EKVATIONER
21
KAPITEL 1
PArEnTESmuLTIPLIKATIon I det här avsnittet ska vi undersöka vad som händer när vi multiplicerar två binom, t ex (x + 3) · (y + 2)
! Polynom betyder ett uttryck med flera termer. Ett polynom som består av bara två termer kallas ett binom. E XEMPEL :
3x + 4 xx
Peter har ett trädgårdsland där han odlar potatis. Trädgårdslandet har längden x meter och bredden y meter. Se figuren.
Potatis Potatis xx ·· yy
Peter odlar alltså potatis på en area som är x · y kvadratmeter. Nästa år vill Peter göra trädgårdslandet större, så att han kan odla fler grönsaker. xx
33
yy
Potatis Potatis xx ·· yy
Sallad Sallad 33 ·· yy
22
Morötter Morötter 22 ·· xx
Persilja Persilja 22 ·· 33
xx
33
xx
33
Potatis Potatis xx ·· yy
Sallad Sallad 33 ·· yy
Morötter Morötter 22 ·· xx
Persilja Persilja 22 ·· 33
Det nya landet blir 3 m längre och 2 m bredare. Se figuren. Potatisen har fortfarande arean = xy Morötterna har arean = 2x Salladen har arean = 3y Persiljan har arean = 2 · 3 = 6 Totalt har Peter alltså odlat på en area som är xy + 2x + 3y + 6 Hela trädgårdslandet har längden (x + 3) meter och bredden (y + 2) meter. Arean kan alltså skrivas A = (x + 3) · (y + 2) Eftersom hela trädgårdslandets area är lika med summan av delarna får vi följande samband: (x + 3) · (y + 2) = xy + 2x + 3y + 6
yy
22
Vi får samma resultat om vi multiplicerar i den ordning som pilarna anger: 1
2
(x + 3)(y + 2) = x · y + x · 2 + 3 · y + 3 · 2 = xy + 2x + 3y + 6 3
22
4
UTTRYCK OCH EKVATIONER
xx ++ 33
yy
yy
22
yy ++ 22
KAPITEL 1
Vi kan sammanfatta detta så här:
! (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
EXEMPEL 1
Multiplicera parenteserna och förenkla. a) (x + 7)(3 + x) = x · 3 + x · x + 7 · 3 + 7 · x = = 3x + x2 + 21 + 7x = x2 + 10x + 21 b) (3x + 4)(5x + 1) = 15x2 + 3x + 20x + 4 = 15x2 + 23x + 4 EXEMPEL 2
Skriv som polynom och förenkla. Tänk på teckenreglerna! a) (x + 5)(x – 3) = x2 – 3x + 5x – 15 = x2 + 2x – 15 b) (x – 8)(4 – x) = 4x – x2 – 32 + 8x = 12x – x2 – 32 c) (5x – y)(3x – 4y) = 15x2 – 20xy – 3xy + 4y2 = 15x2 – 23xy + 4y2
! Kom ihåg teckenreglerna: Om två faktorer har lika tecken blir produkten positiv. Om två faktorer har olika tecken blir produkten negativ.
Utför multiplikationerna och förenkla. 1079
a) (x + 5)(y + 2)
b) (x + 3)(x + 1)
c) (x + 4)(y – 3)
1080
a) (y + 8)(y + 2)
b) (y – 5)(y + 4)
c) (y – 1)(7 + y)
1081
a) (3 + y)(y – 1)
b) (x – 5)(2 + y)
c) (y – 7)(y – 1)
1082
a) (3x + 2)(2x + 4)
b) (5 – 2x)(x – 3)
c) (x – 3y)(5x + 7y)
UTTRYCK OCH EKVATIONER
23
KAPITEL 1
1083 (x + 8)(x + 3) – 11x 1084 y2 + (2x + y)(3x – y) – 6x2 1085 (x + 4)(x + 3) + (x + 2)(x – 6) 1086 (x + 2)(4 – x) + (x + 6)(x + 1) EXEMPEL 3
Förenkla 4y(1 – 3x) – (3x – 1)(2 – 4y) Den här parentesen behåller vi eftersom den föregås av minustecken
4y – 12xy – (6x – 12xy – 2 + 4y) = = 4y – 12xy – 6x + 12xy + 2 – 4y = 2 – 6x svar: 2 – 6x Förenkla så långt som möjligt. 1087 (5 – x)(x – 3) – (x + 3)(x – 5) 1088 2(4x2 + 7x) – (x + 2)(8x – 2) 1089 10x2 – (x + 4)(4x – 1) – 4 1090 (2x – 3)(x – 5) + (x – 6)(x – 3) – 3(x2 – 1) 1091 (3x + 1)(6 – 2y) – 2(3 – y) – 6(3x – xy) 1092 3x(2x – 5) – (x + 8 )(x – 1) + 2(2,5x – 1)(4 – x)
24
UTTRYCK OCH EKVATIONER
KAPITEL 1
1093 Emma genomför en förenkling enligt
nedan, men gör inte helt rätt. Förklara vad Emma gjort för fel och hjälp henne att förenkla korrekt.
3 – (x – 7)(2x + 6) = 3 – 2x2 + 6x – 14x – 42 = = –2x2 – 8x – 39 1094
Rektangeln nedan består av fyra områden. I tre av områdena finns ett uttryck för arean. Vilket är uttrycket för den fjärde arean? xy uy
1095
uz
Fyll i de tomma rutorna. a) (x + 4)(x + ) = x2 + 5x + 4 b) (x + 9)(x + ) = x2 + 11x + c) (x + 2)( + ) = x2 + 5x + 6
1096
Förenkla (x + y + 2)(3 + x) – (x – y)(–3 – x)
TAnKEnöT 2
Hannes har fy ra brickor med siffror en ligt bilden. Hur många ol ika tresiffriga tal kan bildas med brickorna?
2
3
5
5
UTTRYCK OCH EKVATIONER
25
KAPITEL 1
KvAdrErInGSrEGLEr I det här avsnittet ska vi multiplicera två parenteser som är lika. Vad blir (a + b) · (a + b)? Vi multiplicerar på vanligt sätt och får 2
1
(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 3
4
Lägg märke att ba = ab och att termen 2ab kommer från ab + ba. 2ab kallas här ”dubbla produkten”. Eftersom (a + b)(a + b) kan skrivas (a + b)2, dvs ”parentesen i kvadrat”, får vi kvadreringsregeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 regeln visas geometriskt: Titta på kvadraten som har sidan (a + b). Vi ska skriva kvadratens area på två sätt. 1) Hela kvadratens area = sidan · sidan = (a + b)2
a
b
a
a2
ab
b
ab
b2
2) Titta nu på kvadratens delar! GuL: en kvadrat med arean = a2
röd: två rektanglar som var och en har arean = ab BLÅ: en kvadrat med arean = b2
Summan av delarna = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 Eftersom hela kvadratens area = summan av delarnas area får vi (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2
! 1:a kvadreringsregeln 2 · första termen · andra termen kallas ”dubbla produkten”
(a + b)2 =
a2
+
2ab
Kvadraten på första termen
26
UTTRYCK OCH EKVATIONER
+
b2
Kvadraten på andra termen
ISBN 978-91-47-10891-6 © 2013 Martin Holmström, Eva Smedhamre, Jonas Sjunnesson och Liber AB Projektledare: Calle Gustavsson Formgivning och layout: Cecilia Frank/Frank Etc. AB Omslag: Cecilia Frank Bildredaktör: Marie Olsson Illustrationer: Björn Magnusson, Cecilia Frank Faktor: Adam Dahl Första upplagan 1 Repro: Exaktaprinting AB, Malmö Tryck: People printing, Kina 2013
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och elevers rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUSavtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner och universitet. Intrång i upphovsmannens rättigheter enligt upphovsrättslagen kan medföra straff (böter eller fängelse), skadestånd och beslag/förstöring av olovligt framställt material. Såväl analog som digital kopiering regleras i BONUS-avtalet. Läs mer på www.bonuspresskopia.se. Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se
49 Camilla Cherry/Scanpix 50 Pontus Lundahl/Scanpix Omslagsfoto framsida: 51 Shutterstock (1) Miguel Angel Muniz/Age 55 Claudio Bresciani/Scanpix fotostock/IBL, (2) Photodisc, 58 Jochen Luebke/Scanpix (3) Johan Bävman/Sydsv/IBL, 62 Shutterstock (4) Martin Botvidsson/ 65 Elis Hoffman/Scanpix/Bildhuset Maskot/Scanpix 67 Benkt Eurenius/DN/Scanpix Baksida: (1, 3) Photodisc, (2) Liber 69 OPV Online 70 Chris Cheadle/Corbis/Scanpix 6 (1) Matton 73 Denny Lorentzen/Scanpix 6 (2) Shutterstock 79, 84 Shutterstock 15 Anders Good/IBL 87 Georgios Kefalas/Keystone/ 17 Shutterstock Scanpix 24 Helena Larsson/ 93 Shutterstock Naturfotograferna/IBL 96 Drago Prvulovic/Scanpix 29 Philippe Wojazer/Reuters/ 101 Shutterstock Scanpix 105 Peter Widing/Scanpix 32 Shutterstock 110, 112 Shutterstock 34 Heide Benser/Corbis/Scanpix 117 Justin Sullivan/AFP/Scanpix 38 Lars Pehrson/SvD/Scanpix 39 Mark Raycroft/Minden/Scanpix 120, 127 Shutterstock 43 Sara Arnald/Scanpix/Bildhuset 136 Camilla Cherry/Scanpix 143 Matton Images 48 Bridgeman Library/IBL BILDFÖRTECKNING
144 Nicki Twang/Scanpix 148 Shutterstock 149 Daniel Hasselberg/IBL 156 Robban Andersson/XP/ Scanpix 158 Ulf Palm/Scanpix 169 Shutterstock 171 Matton Images 179 Bertil Ericson/Scanpix 183 Karl Melander/Sydsv/Scanpix 187 Henrik Montgomery/Scanpix 191 Martha Holmes/NP/IBL 196 Science Library/IBL 200 Adam Ihse/Scanpix 208 Shutterstock 221 Pete Stone/Corbis/Scanpix 223 (1) Bengt Ekman/ Naturfotograferna/IBL 223 (2) Science Photo Library/IBL 223 (3) Bridgeman Art Library/IBL 227 Filip Singer/EPA/Scanpix 229 Jeppe Wikström/Scanpix
M2a Den här boken omfattar gymnasieskolans kurs Matematik 2a och riktar sig till elever på yrkesprogrammen. Boken passar även för vuxenutbildningen. • Bokens tydliga förklaringar ger en djupare förståelse för matematiken. • Nivåindelade uppgifter gör det lätt att individualisera. • Aktiviteter, Digitala rutor, Kommunicera samt NOGuppgifter ger möjlighet att träna många förmågor. • I facit finns ledtrådar och lösningar till många uppgifter. M är en matematikserie för gymnasieskolan. Serien täcker samtliga gymnasieprogram.
Best.nr 47-10891-6 Tryck.nr 47-10891-6