9789144118925 by Smakprov Media AB

Försöksplanering – faktorförsök

Ulla Blomqvist

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access . Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare. Studentlitteratur har både digital och traditionell bokutgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 39585 ISBN 978-91-44-11892-5 Upplaga 1:1 © Författaren och Studentlitteratur 2017 www.studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Omslagslayout: Jens Martin, Signalera Språkgranskning: Anders Drangel Printed by Eurographic Danmark A/S, Denmark 2017

Innehåll 1. Inledning……………………………………………………………………………..…

2. Fullständiga faktorförsök…………………………………………………………... Övningar……………………………………………………………………………….. 2.1 Referensfördelningen……………………………………..……........................ Övningar………………………………………………………………………….. 2.2 Matematisk modell…………………………………………………….….……… Övningar………………………………………………………………………….. 2.3 Residualanalys…………………………………………………………………… Övningar………………………………………………………………………….. 2.4 Centrumpunkt……………………………………………………………………. Övningar…………………………………………………………………………. 2.5 Blockning…………………………………………………………………………. Övningar………………………………………………………………………….

12 22 24 39 41 43 44 53 54 60 60 62

3. Reducerade försöksplaner…………..…………………………………………….. 63 Övningar…………………..………………………………………………………….... 70 Appendix 1. Tabeller………………………………………………….…………....................... 74 2. Svar och lösningar till övningsuppgifterna……………………………………… 76 3. Referenser……………………………………………………………………..…… 112 4. Normalfördelningspapper………………………………………………………… 113 5. Index .……………………………………………………………………………… 114

2. Fullständiga faktorförsök I det enklaste fallet väljs ett 22-faktorförsök. Detta betyder att man varierar två faktorer ( 2) på två nivåer (2 ). Faktorerna kan antingen vara mätvariabler eller olika varianter av en viss egenskap. Ex. 2.1 I måleriverkstaden vid en bilfabrik genomfördes försök för att förbättra ytfinishen på de målade karossdelarna. Man bestämde sig för att undersöka påverkan från de två faktorerna sprutavstånd (A) och färgtyp (B). Sprutavstånden valdes till 250 mm respektive 275 mm. Det lägre värdet på en faktor kallas faktorns låga nivå och det högre värdet för hög nivå. De två färgtyperna var standard lackfärg utan extra färgpigment och standard lackfärg med extra färgpigment. Om faktorn är en egenskap, kan man välja godtyckligt vilken variant av egenskapen som skall vara låg nivå och vilken som skall vara hög. Här valdes lackfärgen utan extra färgpigment till den låga nivån.

Ovanstående uppgifter kan ställas samman i följande tabell: låg nivå

hög nivå

Sprutavstånd (A)

250 mm

275 mm

Färgtyp (B)

utan extra färgpigment

med extra färgpigment

De olika försökssituationerna kan beskrivas i en så kallad designmatris. Denna består av kolumner med minustecken och plustecken. Egentligen skall det stå –1 och +1, men enbart tecknen är utsatta. Minustecknen markerar att den aktuella faktorn skall vara på låg nivå när försöket genomförs. På motsvarande sätt betyder plustecken att den aktuella faktorn skall vara på hög nivå när försöket genomförs. Observera att i varje kolumn skall finnas lika många minus- som plustecken. Minus- och plustecknen i nedanstående designmatris står i så kallad standardordning.

Försök nr

1 2 3 4

– + – +

– – + +

Tabellen visar att försök nr 1 skall genomföras med både faktor A och faktor B på låg nivå, d.v.s. sprutavstånd på 250 mm och färg utan extra färgpigment, försök nr 2 skall genomföras med faktor A på hög nivå och faktor B på låg nivå, d.v.s. sprutavstånd på 275 mm och färg utan extra färgpigment,

försök nr 3 skall genomföras med faktor A på låg nivå och faktor B på hög nivå, d.v.s. sprutavstånd på 250 mm och färg med extra färgpigment, samt att försök nr 4 skall genomföras med både faktor A och faktor B på hög nivå, d.v.s. sprutavstånd på 275 mm och färg med extra färgpigment. När försöken har genomförts görs mätningar på lackegenskaperna. Dessa vägs sedan samman i ett indextal med nedanstående resultat:

Försök nr

Resultat, y

1 2 3 4

– + – +

– – + +

y1 = 35 y2 = 46 y3 = 42 y4 = 40

Resultatet kan illustreras i följande figur

(+)

(–)

(+)

Från dessa värden kan vi nu beräkna vad den generella effekten blir om man ökar faktorn A från låg till hög nivå, d.v.s. om man ökar sprutavståndet från 250 mm till 275 mm. Effekten betecknas A. Den beräknas genom att man tar genomsnittet av de två försöksresultat som erhölls när sprutavståndet var på hög nivå (försök 2 och 4) och subtraherar genomsnittet av de två försöksresultat som erhölls när sprutavståndet var på låg nivå (försök 1 och 3). A =  A  –  A  =

y2  y4 y1  y 3 46  40 35  42 = = 43.0 – 38.5 = 4.5   2 2 2 2

Resultatet av våra beräkningar visar att om man ökar sprutavståndet från 250 mm till 275 mm, kommer resultatet i genomsnitt att öka med 4.5 enheter. På motsvarande sätt beräknas effekten av att byta färgtyp, B, genom att man tar genomsnittet av de två försöksresultaten som erhölls när färgtyp var på hög nivå (försök 3 och 4) minus genomsnittet av de två försöksresultaten som erhölls när färgtyp var på låg nivå (försök 1 och 2).

B =  B –  B =

y3  y4 y1  y 2 42  40 35  46 = = 41.0 – 40.5 = 0.5   2 2 2 2

Effekten av B, B, innebär alltså att om man tillsätter extra färgpigment i standard lackfärg, kommer resultatet i genomsnitt att öka med 0.5 enheter. Detta resultat kan illustreras med hjälp av ett diagram för huvudeffekter. Vi ritar ett spridningsdiagram där  A  ,  A  ,  B och  B markeras. Därefter dras en linje mellan  A  och  A  och en linje mellan  B och  B .

Från detta diagram kan man dra slutsatser om vilken faktor som påverkar resultatet mest. Vi kan också se om resultatet ökar eller minskar, när en faktor ökar från låg till hög nivå. Observera att när vi drar räta linjer gör vi ett antagande om att ökningen alternativt minskningen är linjär. Detta gäller inte i alla situationer, men om låg och hög nivå ligger någorlunda nära varandra, är antagandet troligtvis approximativt sant.

 A

42 41

 B

40 39 38 37

 B  A

(–)

(+)

(–)

(+)

Avståndet på x-axeln mellan låg och hög nivå för faktor A skall vara lika långt som avståndet mellan låg och hög nivå för faktor B. Annars kan man inte avgöra vilken faktor som påverkar resultatet mest. Den faktor vars linje har den största lutningen är den faktor som påverkar resultatet mest. Om linjen har positiv lutning, förväntas resultatet öka när en faktor ökar från låg till hög nivå. På motsvarande sätt gäller att om linjen har negativ lutning, förväntas resultatet minska när en faktor ökar från låg till hög nivå. När linjen har negativ lutning kommer också den beräknade effekten att vara negativ. Från figuren kan man emellertid inte avgöra om den största effekten är tillräckligt stor för att vara väsentlig för problemet. Det går inte heller att avgöra om den minsta effekten är för liten för att vara intressant. Vi kommer senare att gå igenom metoder med vars hjälp vi kan dra slutsatser om detta. När man genomför ovanstående försök kan det uppstå en samspelseffekt mellan sprutavstånd och färgtyp. För att beräkna denna måste man komplettera designmatrisen med en kolumn för samspelet, AB. Denna kolumn måste precis som de 14

tidigare kolumnerna innehålla lika många plustecken som minustecken. Det betyder att för varje försök skall nu ett minus- eller ett plustecken räknas ut. Detta beräknas enligt följande:

Försök nr

Resultat, y

1 2 3 4

– + – +

– – + +

(–)(–) = + (+)(–) = – (–)(+) = – (+)(+) = +

y1 = 35 y2 = 46 y3 = 42 y4 = 40

Samspelseffekten beräknas nu på motsvarande sätt som de två huvudeffekterna: AB = 

( AB ) 



( AB )

y1  y 4 y2  y3 35  40 42  46 = = 37.5 – 44.0 = –6.5   2 2 2 2

När man grafiskt skall illustrera ett samspel kan detta göras i en samspelsgraf enligt följande: 1)

Rita ett koordinatsystem där y-axeln graderas, så att effekterna kan ritas in.

Välj ut en faktor – lämpligen den som ger den största effekten. (I detta problem är det faktorn A.)

Markera låg och hög nivå för den utvalda faktorn (A) på x-axeln.

Beräkna värdena A–B–, A–B+, A+B– och A+B+.

För låg nivå på faktorn A: rita in A–B– och A–B+; för hög nivå på faktorn A: rita in A+B– och A+B+.

Dra en linje mellan punkterna där den andra faktorn, B, är på låg nivå, d.v.s. A–B– och A+B–. På motsvarande sätt dras en linje mellan punkterna A–B+ och A+B+, d.v.s. där faktorn B ligger på hög nivå.

Om de två inritade linjerna är parallella, saknas samspel mellan de två faktorerna. Om däremot linjerna korsas, tyder detta på ett samspel. Ju större vinkeln mellan linjerna är, desto större är samspelet. Observera att linjernas skärningspunkt inte behöver finnas i figuren. I detta exempel behöver vi inte beräkna värdena A–B–, A–B+, A+B– och A+B+. Dessa består bara av en observation vardera. Värdena kan läsas av direkt i designmatrisen med A–B– = 35, A–B+ = 42, A+B– = 46 och A+B+ = 40.

Samspelsgraf 48

B–

46 44

B+

Resultat

Ju större vinkel, desto större samspel.

B+

38 36

B–

34 32

(-)

(+)

Av figuren kan vi utläsa att om vi vill ha ett så lågt resultat som möjligt, skall vi välja både faktor A och faktor B på låg nivå. Vill vi däremot ha ett maximalt resultat, skall vi välja faktor A på hög nivå och medan faktor B fortfarande skall vara på låg nivå. Notera också att vi – precis som för huvudeffekterna – antar att samspelseffekten är linjär. I samspelsgrafen på föregående sida såg vi en negativ samspelseffekt, AB = –6.5. För att förstå hur svårt det är att veta hur en negativ samspelseffekt ser ut, visas ytterligare två samspelsgrafer som illustrerar negativa samspelseffekter. Samspelsgraf

B+ B–

B+

B– -

Resultat

Samspelsgraf

550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50

5,4 5,2 5,0 4,8 4,6 4,4 4,2 4,0 3,8 3,6

B+

B–

B+ B– -

+ A

Ovanstående är bara exempel på hur en samspelsgraf över en negativ samspelseffekt kan se ut. När man skall analysera ett problem som innehåller ett signifikant samspel är det alltså viktigt och nödvändigt att rita upp det i en samspelsgraf. Motsvarande gäller givetvis om samspelseffekten är positiv. Om signifikant samspel saknas, är båda linjerna är parallella. Hur samspelsgrafen ser ut i detta fall spelar givetvis ingen roll eftersom vi inte behöver oroa oss för någon samspelseffekt. 16

Om man vill illustrera hur olika faktorer påverkar resultatet, används ofta ett Paretodiagram. Detta ritas enligt följande: 1) Rangordna effekterna i storleksordning, utan hänsyn till tecken. 2) Rita in staplar, en för varje effekt: såväl huvudeffekter som samspelseffekter. 3) Den största stapeln skall stå närmast y-axeln. Därefter skall staplarna placeras in i avtagande ordning. Nedanstående diagram är ritat med dator. Här är staplarna liggande, med y-axeln uppåt. Ofta ritas Paretodiagrammet som ett vanligt koordinatsystem, med staplarna stående. I nedanstående diagram är effekterna från exempel 2.1 inritade. Paretodiagram 0

AxB

-6,5

4,5

0,5

Effekter

I diagrammet ser vi att samspelseffekten är större än båda huvudeffekterna. Den faktor som påverkar mest är faktor A, medan faktor B verkar vara tämligen betydelselös för problemet. Slutligen måste påpekas att det är viktigt att försöken genomförs i randomiserad (slumpmässig) ordning. Varför det är så framgår av följande exempel: Anta att försöksnumren också är den ordning i vilken vi genomför försöken. Allteftersom resultaten från försöken noteras blir det också varmare i försökslokalen. Detta medför i sin tur att luftfuktigheten ökar. När lacken skall torka påverkas resultatet av den höjda temperaturen tillsammans med luftfuktigheten. Faktor B befinner sig på låg nivå i försök 1 och 2 och på hög nivå i försök 3 och 4. Tyvärr finns det nu bakgrundsvariabler eller störfaktorer (temperaturen och luftfuktigheten) som också befinner sig på låg nivå under försök 1 och 2 och på hög nivå under försök 3 och 4. När försöken är genomförda beräknas effekterna av att höja faktorerna A och B från låga till höga nivåer. Men, vi kommer inte enbart att få ut effekten av faktorn B. Störfaktorerna och faktor B befinner sig på låg nivå samtidigt och på hög nivå samtidigt. Därför kommer effekten av B att förstärkas av störfaktorerna utan att vi är medvetna om detta. Störfaktorer är alltså faktorer som påverkar vårt resultat trots att de inte ingår bland de faktorer som vi varierar systematiskt i försöket.

Vi fortsätter nu med ett 23-faktorförsök. Detta betyder att man varierar tre faktorer på två nivåer. Denna situation kräver 23 = 8 försök. Precis som tidigare gäller att faktorerna kan vara antingen mätvariabler eller olika varianter av en viss egenskap. Problemet med störfaktorer blir nu svårare att genomskåda och randomiseringen blir om möjligt ännu viktigare. Ju fler försök vi genomför, desto längre blir tiden som försöken tar att genomföra. Effekten av störfaktorerna kan därför bli betydligt större. Ex. 2.2 År 1946 genomfördes ett psykologiskt försök där man ville studera hur olika faktorer påverkade människors visuella uppfattningsförmåga. Man valde ut de tre faktorerna tid för exponering mätt i millisekunder (A), bakgrundsfärg (B) och bokstavsstorlek mätt i antal punkter (C). Resultatvariabeln, y, var en poängsumma; ju högre poängsumma, desto bättre uppfattningsförmåga. Låt oss anta att alla förutsättningar för att man skall kunna genomföra en analys och dra relevanta slutsatser var uppfyllda.

Exponeringstid (A) Bakgrundsfärg (B)

Bokstavsstorlek (C)

låg nivå

60 msek

vit

6 punkter

hög nivå

120 msek

mönstrad

12 punkter

Designmatrisen med enbart faktorerna A, B och C fick följande utseende: Nr 1 2 3 4 5 6 7 8

A − + − + − + − +

B − − + + − − + +

C − − − − + + + +

y y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8

Vi ser från tabellen att exempelvis försök nr 6 har genomförts på nivåerna (+, −, +), d.v.s. med exponeringstiden 120 millisekunder, vit bakgrundsfärg och bokstavsstorleken 12 punkter. Resultatet från försök nr 6 blev poängsumman y6. Förutom faktorerna A, B och C kommer vi nu att få 2-faktorsamspelen AB, AC och BC. Dessutom tillkommer ett 3-faktorsamspel ABC. Innan vi kan beräkna dessa samspel måste vi beräkna motsvarande teckenkolumner för samspelen. Detta sker på samma sätt som tidigare. Vi visar enbart beräkningen för första försöket. Försök 1: A är på låg nivå, d.v.s. –, B markeras –, C markeras – AB BC 18

beräknas till beräknas till

(–)(–) = + (–)(–) = +

AC ABC

beräknas till beräknas till



(–)(–) = + (–)(–)(–) = –

Den första kompletta raden i designmatrisen blir då: Nr 1

A –

B –

C –

AB +

AC +

BC +

ABC –

y y1

Designmatrisen kompletteras nu med de teckenkolumner som saknas och med de erhållna resultaten. Nr 1 2 3 4 5 6 7 8

A − + − + − + − +

B − − + + − − + +

C − − − − + + + +

AB + − − + + − − +

AC + − + − − + − +

BC + + − − − − + +

ABC − + + − + − − +

y 1 319 4 592 1 196 4 365 3 682 4 939 3 357 4 885

Resultatet från försöken kan presenteras i en kub. I nedanstående tre kuber finns markerat låg nivå (vita cirklar) och hög nivå (grå cirklar). Kuben längst till vänster visar nivåerna på faktor A, kuben i mitten på faktor B och kuben längst till höger på faktor C.

B – –

–

– –

–

– –

–C

Resultaten av försöken skrivs nu in i kubens hörncirklar. 3357

+ 1196

4365 3682

– 1319 –

4885

4939 +

4592 A

–

Ulla Blomqvist är biträdande professor i matematisk statistik vid Chalmers tekniska högskola. Hon har under 40 år undervisat såväl studenter på Handelshögskolans ekonomprogram vid Göteborgs universitet som studenter på civil- och högskoleingenjörsprogram vid Chalmers. Under de senaste 20 åren har hon även deltagit i uppdragsutbildningar inom industrin. Studenterna har uppskattat hennes föreläsningar och hon har fått flera pedagogiska priser.

Försöksplanering – faktorförsök Boken beskriver hur man genomför faktorförsök på ett statistiskt korrekt sätt. Det finns också beskrivet hur man med hjälp av diagram och beräkningar kan dra slutsatser från försöken. Innan man lägger ner mycket resurser på ett stort fullskaligt försök vill man givetvis veta om resultatet av försöket verkligen ger svar på de frågor man har. Har man fått fram alla väsentliga faktorer som påverkar resultatet? Det kan då vara bra att genomföra en mindre förstudie för att få svar på dessa frågor. I boken finns beskrivet hur man genomför en sådan förstudie med hjälp av en reducerad försöksplan. Till varje kapitel finns övningsuppgifter med kompletta lösningar samt lösta exempel. Boken är i första hand tänkt att användas på tekniska och naturvetenskapliga utbildningar samt på kurser som innehåller kontrollerade försök.

Art.nr 39585

studentlitteratur.se