ESTADÍSTICA
Definición de Estadística Estadística descriptiva
Conceptos básicos de la estadísticas - 1.1 Población - 1.2 Individuo - 1.3 Muestra Tablas de distribución de frecuencias Medidas de tendencia central para datos no agrupados - 1.1 Media - 1.2 Mediana - 1.3 Moda(unimodal, bimodal y multimodal) Medidas de tendencia central para datos agrupados - 1.1 Media - 1.2 Mediana - 1.3 Moda(unimodal, bimodal y multimodal)
Gráficos de representación
INTEGRANTES
NAVARRETE ALVATRADO JESUS SHIRLEY CHICA LUIS GUACHO CESAR DAVILA DENISSE MEJILLON WENDY RUIZ
ESTADISTICA Definición de estadística La estadística es una rama de las matemáticas que se ocupa de la obtención, orden y análisis de un conjunto de datos con el fin de obtener explicaciones y predicciones sobre fenómenos observados. La estadística consiste en métodos, procedimientos y fórmulas que permiten recolectar información para luego analizarla y extraer de ella conclusiones relevantes. Se puede decir que es la Ciencia de los Datos y que su principal objetivo es mejorar la comprensión de los hechos a partir de la información disponible. El origen de la palabra estadística se suele atribuir al economista Gottfried Achenwall (prusiano, 1719-1772) que entendía la estadística como “ciencia de las cosas que pertenecen al Estado”. La estadística la encontramos dividida en dos partes por un lado la estadística descriptiva y por el otro la estadística inferencial.
¿Qué es la estadística descriptiva?
La estadística descriptiva es la rama de la estadística que recolecta, analiza y caracteriza un conjunto de datos (peso de la población, beneficios diarios de una empresa, temperatura mensual,…) con el objetivo de describir las características y comportamientos de este conjunto mediante medidas de resumen, tablas o gráficos.
Aplicaciones de la estadística descriptiva
La estadística descriptiva es aplicable en casi todas las áreas donde se recopilan datos cuantitativos. Puede brindar información acerca de productos, procesos o diversos aspectos del sistema de gestión de la calidad, como también en el ámbito de la dirección y organización de personas, la logística, etc. Algunos ejemplos de dichas aplicaciones son los siguientes: Resumen de las mediciones principales de las características de un producto. Describir el comportamiento de algún parámetro del proceso, como puede ser la temperatura de un horno. Caracterizar el tiempo de entrega o el tiempo de respuesta en el sector de los servicios. Procesar datos relacionados con muestras a clientes, tales como la satisfacción o insatisfacción del cliente. Ilustrar la medición de los datos, tales como los datos de calibración del equipo. Visualizar el resultado del desempeño de un producto en un periodo mediante un gráfico de tendencia.
CONCEPTOS BÁSICOS DE LA ESTADÍSTICA
POBLACION
Una población estadística es un conjunto de sujetos o elementos que presentan características comunes. Sobre esta población se realiza el estudio estadístico con el fin de sacar conclusiones.
El tamaño poblacional es el número de individuos que constituyen la población. Según el número de sujetos, el tamaño puede ser finito o infinito. Los conjuntos infinitos son algo artificial o conceptual, ya que toda población de entidades físicas es finita. Por ejemplo: Población finita: el conjunto de habitantes de una ciudad, los bolígrafos producidos en una fábrica en un día, etc. Población infinita: el conjunto de los números positivos. Cuando la población es muy grande, normalmente es imposible estudiar a todos los individuos. Supongamos que queremos saber cual es el nivel de colesterol de la población de Estados Unidos. Por cuestiones económicas y de tiempo obvias, no está al alcance realizar un análisis de sangre a toda la población de EEUU. Para solucionar este impedimento, se utiliza una muestra estadística.
INDIVIDUO Cada uno de los elementos que forman parte de la población. En sentido estadístico un individuo al igual que ocurre para el concepto de población, puede ser algo con existencia real, como una persona, un automóvil o una casa, o algo más abstracto como la temperatura, una opinión, un voto o un sentimiento.
MUESTRA Una muestra estadística es un subconjunto de datos perteneciente a una población de datos. Estadísticamente hablando, debe estar constituido por un cierto número de observaciones que representen adecuadamente el total de los datos. La estadística, como rama de las matemáticas, se encarga de recoger datos, ordenarlos y analizarlos. Es decir, cuando queremos estudiar un determinado fenómeno recurrimos a la estadística. Un buen ejemplo de fenómeno que estudia la estadística, es el salario medio de los ciudadanos de un país En este sentido, por cuestiones de tiempo y coste, no podemos recoger la totalidad de los datos. Esta totalidad de los datos es lo que se conoce como población de datos o, simplemente, población. ¿POR QUÉ SE TRABAJA CON MUESTRAS ESTADÍSTICAS? Para explicar porque se utiliza una muestra estadística en lugar de la población total, vamos a recurrir al ejemplo planteado anteriormente. Supongamos que queremos estudiar un fenómeno cualquiera. En nuestro caso, ese fenómeno es el salario medio de los ciudadanos de un país. La población de datos está formada por todos y cada uno de los trabajadores del país. Claro que por razones de tiempo y coste sería imposible ir preguntando a cada trabajador cual es su salario anual. Tardaríamos mucho tiempo o necesitaríamos muchos recursos. En este punto aparece el concepto de muestra estadística. En lugar de preguntar a los millones de trabajadores de un país o región, tan solo recogemos una pequeña cantidad de datos. Por ejemplo, preguntamos a 100.000 personas. Esta tarea sigue siendo complicada, pero es mucho más asequible preguntar a 100.000 personas que preguntar a 30 millones. Esta pequeña cantidad de datos ha de ser representativa. Es decir, debe representar adecuadamente a la población. Si las 100.000 personas a las que preguntamos se concentran en barrios ricos, obtendremos datos que no son representativos. El salario medio nos saldría mucho más alto de lo que es en realidad CARACTERÍSTICAS DE UNA MUESTRA ESTADÍSTICA REPRESENTATIVA
Si se quiere hacer una buena investigación, la calidad de la muestra estadística es esencial. De nada sirve realizar las métricas estadísticas más complejas con los modelos más sofisticados si la muestra estadística está sesgada. Es decir, si la muestra no es representativa. A la hora de obtener una muestra representativa existen ciertos aspectos que el investigador debe conocer de antemano. Entre esos aspectos se encuentran las características de una muestra representativa. Las características de una muestra representativa son las siguientes: Tamaño suficientemente grande: Cuando trabajamos con muestras estamos, normalmente, trabajando con una cantidad de datos inferior a la población. Ahora bien, para que una muestra estadística sea representativa deberá ser lo suficientemente grande como para considerarse representativa. Por ejemplo, si nuestra población está formada por 10 millones de datos y escogemos 10, es difícil que sea representativa. Eso sí, no siempre a mayor tamaño la muestra es más representativa. Aleatoriedad: La selección de los datos de una muestra estadística debe ser aleatoria. Es decir, debe ser totalmente al azar. Si en lugar de realizarlo al azar, realizamos un proceso de selección de datos planificado, estamos introduciendo un sesgo a la obtención de datos. Por tanto, para evitar que la muestra sea sesgada y, por tanto, conseguir que sea una muestra representativa, debemos hacer una selección aleatoria.
Ejemplo de muestra estadística Supongamos que queremos realizar un estudio sobre el gasto medio de las familias de Colombia en el mes de enero. Para ello tenemos dos opciones: Entrar en las cuentas bancarias de todas las familias de Colombia Preguntar a una cantidad de personas representativa La primera opción no es viable por varias razones. Primero que las familias no van a ceder sus datos y segundo que tampoco podíamos ir familia por familia mirando los datos. Principalmente, porque la población de Colombia se encuentra cerca de los 50 millones. Mientras, la segunda es la opción para recoger una muestra estadística. Lo que haremos, siguiendo las características mencionadas anteriormente, será preguntar a 100.000 familias. Es algo complicado, pero mucho más fácil que preguntar a 50 millones de colombianos. La diferencia es considerable. Así pues, a partir de esa muestra de 100.000 familias, intentaremos calcular el gasto medio de las familias en enero. Los datos extraídos serán más o menos fiables según una serie de métricas que se tienen en cuenta en las investigaciones estadísticas. Claro que, ese tipo de métricas son más avanzadas y, por ello, no las trataremos aquí.
TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA
las distribuciones de frecuencias son tablas en que se dispone las modalidades de la variable por filas. En las columnas se dispone el número de ocurrencias por cada valor, porcentajes, etc. La finalidad de las agrupaciones en frecuencias es facilitar la obtención de la información que contienen los datos. Ejemplo: Quieren conocer si un grupo de individuos está a favor o en contra de la exhibición de imágenes violentas por televisión, para lo cual han recogido los siguientes datos:
La inspección de los datos originales no permite responder fácilmente a cuestiones como cuál es la actitud mayoritaria del grupo, y resulta bastante más difícil determinar la magnitud de la diferencia de actitud entre hombres y mujeres. Podemos hacernos mejor idea si disponemos en una tabla los valores de la variable acompañados del número de veces (la frecuencia) que aparece cada valor:
X: Símbolo genérico de la variable. f: Frecuencia (también se simboliza como ni). La distribución de frecuencias de los datos del ejemplo muestra que la actitud mayoritaria de los individuos del grupo estudiado es indiferente. La interpretación de los datos ha sido facilitada porque se ha reducido el número de números a examinar (en vez de los 20 datos originales, la tabla contiene 5 valores de la variable y 5 frecuencias).
Generalmente las tablas incluyen varías columnas con las frecuencias relativas (son el número de ocurrencias dividido por el total de datos, y se simbolizan "fr" o "p i"), frecuencias acumuladas (la frecuencia acumulada es el total de frecuencias de los valores iguales o inferiores al de referencia, y se simbolizan "fa" o "na". No obstante la frecuencia acumulada también es definida incluyendo al valor de referencia), frecuencias acumuladas relativas (la frecuencia acumulada relativa es el total de frecuencias relativas de los valores iguales o inferiores al de referencia, y se simbolizan "fr" o "pa") Ejemplo: Consideremos el siguiente grupo de datos:
La distribución de freciemcias es:
La reducción de datos mediante el agrupamiento en frecuencias no facilita su interpretación: La tabla es demasiado grande. Para reducir el tamaño de la tabla agrupamos los valores en intervalos, y las frecuencias son las de los conjuntos de valores incluidos en los intervalos
Ahora es más sencillo interpretar los datos. Por ejemplo, podemos apreciar inmediatamente que el intervalo con mayor número de datos es el 34-39, o que el 75% de los datos tiene valor inferior a 46. Este tipo de tabla es denominado "tabla de datos agrupados en intervalos". Elementos básicos de las tablas de intervalos: Intervalo: Cada uno de los grupos de valores de la variable que ocupan una fila en una distribución de frecuencias Límites aparentes: Valores mayor y menor del intervalo que son observados en la tabla. Dependen de la precisión del instrumento de medida. En el ejemplo, los límites aparentes del intervalo con mayor número de frecuencias son 34 y 39. Límites exactos: Valores máximo y mínimo del intervalo que podrían medirse si se contara con un instrumento de precisión perfecta. En el intervalo 34-39, estos límites son 33.5 y 39.5 Punto medio del intervalo (Mco Marca de clase): Suma de los límites dividido por dos. Mc del intervalo del ejemplo= 36.5 Amplitud del intervalo: Diferencia entre el límite exacto superior y el límite exacto inferior. En el ejemplo es igual a 6.
MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS Y MEDIDAS DE DISPERSIÓN Los datos agrupados son como lo indica su nombre, una cantidad dada de datos que puede clasificarse, ya sea por sus cualidades cualitativas o cuantitativas, y por tal agruparse para su análisis. Estos datos por lo general son aconsejables agruparles cuando su población cuenta con alrededor de 20 o más elementos que comparten una característica y caben dentro de una categorización (repeticiones de un valor), pues permite un mejor manejo y análisis más profundo de los mismos. Porque al emplear este método podemos manejarlos por clases (una clase es una categoría en la que se agrupan los datos). Por lo cual pueden organizarse o clasificarse de dos formas: datos agrupados en frecuencia o en intervalos. Los datos agrupados en frecuencia son los que se distribuyen u organizan en una tabla de frecuencia (La frecuencia es igual al número de veces en que se repite cada valor en una serie de datos.), así, Por medio de ella, es fácil identificar la cantidad de respuestas repetidas. Los datos agrupados por intervalos son los que se organizan dentro de un rango y se delimita su amplitud por límites establecidos. Así, por medio de esta, es fácil identificar la cantidad de elementos en un determinado rango de valores. Concluyendo con la distinción de puntos significativos de este tema. 1.- su fin es resumir la información mediante el uso de de tablas que organizan sus elementos y agrupan sus valores para ser presentados numérica o gráficamente. Esto implica: ordenar, clasificar y expresar los en una tabla de frecuencias o intervalos. 2.- Se agrupa a los datos, si se cuenta con 20 o más elementos. Aunque contemos con más de 20 elementos, debe de verificarse que los datos n sean significativos, esto es: que la información sea “repetitiva”, también debemos de verificar que los datos puedan clasificarse. Y que dicha clasificación tiene coherencia y lógica (de acuerdo a lo que se nos está pidiendo). Ejemplos: Se busca determinar el número de niños en cada uno de los grados escolares de una primaria, (del 1 al 6 grado), por lo que se recolectan los datos y se organizan y agrupan en una tabla de frecuencias. Edad..........Frecuencia 1..................2 2..................4 3..................7 4..................4 5..................2 6..................1 Total............20
Agrupación
en
intervalos,
por
ejemplo,
de
2
años
para
Este
caso.
Edad..........Frecuencia 1-2...............6 3-4...............11 5-6...............3 Total.............20 Las medidas de tendencia central nos indican hacia donde se inclinan o se agrupan más los datos. Las más utilizadas son: la media, la mediana y la moda. Los propósitos de las medidas de tendencia central son:
Mostrar en qué lugar se ubica el elemento promedio o típica del grupo.
Sirve como un método para comparar o interpretar cualquier valor en relación con el puntaje central o típico.
Sirve como un método para comparar el valor adquirido por una misma variable en dos diferentes ocasiones.
Sirve como un método para comparar los resultados medios obtenidos por dos o más grupos.
SE CLASIFICAN EN: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1. Media o media aritmética 2. Mediana 3. Moda MEDIDAS DE DISPERSIÓN
1. Rango 2. Desviación estándar 3. Varianza
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Media, Mediana y Moda LA MEDIA La media de un conjunto de números, algunas veces simplemente llamada el promedio, es la suma de los datos divididos entre el número total de datos. Ejemplo: Encuentra la media del conjunto {2, 5, 5, 6, 8, 8, 9, 11}. Hay 8 números en el conjunto. Súmelos, y luego divida entre 8.
= 6,75 Así, la media es 6.75.
LA MEDIANA La mediana de un conjunto de números es el número medio en el conjunto (después de que los números han sido arreglados del menor al mayor) o, si hay un número por número de datos, la mediana es el promedio de los dos números medios. Ejemplo 1 : Encuentra la mediana del conjunto {2, 5, 8, 11, 16, 21, 30}. Hay 7 números en el conjunto, y estos están acomodados en orden ascendente. El número medio (el cuarto en la lista) es 11. Así, la mediana es 11.
Ejemplo 2 : Encuentra la mediana del conjunto {3, 10, 36, 255, 79, 24, 5, 8}. Primero, arregle los números en orden ascendente.
{3, 5, 8, 10, 24, 36, 79, 255} Hay 8 números en el conjunto - un número par. Así, encuentre el promedio de los dos números medios, 10 y 24. (10 + 24) / 2 = 34/2 = 17 Así, la mediana es 17.
LA MODA ( unimodal, bimodal, multimodal) La moda de un conjunto de números es el número que aparece más a menudo. Ejemplo 1 : Encuentra la moda del conjunto {2, 3, 5, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 12}. El 2, 3, 7, 10 y 12 aparecen una vez cada uno. El 5 aparece dos veces y el 9 aparece tres veces. Así, el 9 es la moda. Ejemplo 2 : Encuentra la moda del conjunto {2, 5, 5, 6, 8, 8, 9, 11}. En este caso, hay dos modas: el 5 y el 8 aparecen dos veces, mientras que los otros números aparecen solo una vez. UNIMODAL propiedad de las distribuciones de presentar una sola moda, esto es, el valor que en un conjunto de datos se presenta con mayor frecuencia. Ejemplo: (1,2,3,4,5) BIMODAL Propiedad de las distribuciones encargada de presentar dos modas es decir dos números que se repiten. Ejemplo: (1,2,3,4,3,5)
MULTIMODAL
Cuando se encuentran tres o mรกs cantidades modales Ejemplo: (1,2,2,3,3,4,4,4,5)
MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS NO AGRUPADOS Y MEDIDAS DE DISPERSIÓN Los datos no agrupados son el conjunto de datos que no se ha clasificado y se es presentada en su forma de aparición en una tabla de datos donde cada valor se representa de forma individual. Por lo general este conjunto comprende una cantidad de elementos menor a 30 (n<30) con poca o nula repetición.
El tratamiento de estos datos sin agrupar. El manejo de estos datos es simple, se recolectan los datos de la población de estudio y dichos datos se distribuyen en una tabla de datos y se analizan sin necesidad de formar clases con ellos.
Estos datos al distribuirse en tabla de frecuencia donde cada dato mantiene su propia identidad después que la distribución de frecuencia se ha elaborado.
Vas a investigar la edad a un grupo de 20 Niños en datos no agrupados (es decir, vienen los 20 niños y así como te dan la edad así la anotas) 2,2,1,3,3,3,4,4,5,6,1,2,2,3,3,3,4,4,3,6 (Total 20 niños) Estos son datos no agrupados por qué no los contado.1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,5,5,6 (Total 20 niños)
has
clasificado
y
Los datos no agrupados también los puedes ordenar, por ejemplo de la edad menor a la edad mayor, no están contabilizados ni clasificados solamente están ordenados. En una investigación sobre el calentamiento de varios elementos líquidos para determinar en cada uno de ellos el punto, la temperatura, en la cual cambian de estado, los científicos van anotando las temperaturas que van dando efecto. 134°C, 345°C, 234°C, 456°C, 837°C, 456°C, 122°C, 4567°C, 3456°C, 456°C, 190°C, 900°C. estas medidas pueden ser apiladas en una tabla de datos, y mantener su independencia como valor único a representar
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
A veces, el estudio de una distribución queda incompleto si sólo se estudian las medidas de centralización, siendo imprescindible saber si los datos numéricos están agrupados o no alrededor de los valores centrales. A esto es a lo que se le llama dispersión, y a los parámetros que miden estas desviaciones respecto a la media medidas de dispersión o parámetros de dispersión. Las más importantes son: el recorrido, la varianza y la desviación típica.
RANGO O RECORRIDO Definición: se llama recorrido de una distribución a la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística.
Cálculo del recorrido Es muy sencillo aplicando la definición, consiste en ordenar los valores de menor a mayor y restar al último el primero. Observaciones al recorrido 1.Cuanto menor es el recorrido mayor es el grado de representatividad de los valores centrales. 2.Cuanto mayor es, la distribución está menos concentrada o más dispersa. 3.Tiene la gran ventaja de su sencillez de cálculo. 4.Tiene gran aplicación en procesos de control de calidad, 5.Tiene el inconveniente de que sólo depende de los valores extremos. De esta forma basta que uno de ellos se separe mucho para que el recorrido se vea sensiblemente afectado. 6.Para paliar este inconveniente a veces se utilizan otros dos rangos:
Rango intercuartílico: Q = Q3 – Q1 Rango entre percentiles: P = P90 – P10
Estos rangos son algo más estables, ya que tienden a eliminar aquellos valores extremadamente alejados. Ejemplo de rango: (3,1,2,4,6,5,7,8) 1,2,3,4,5,7,8 8-1=7 R=7
DESVIACIÓN ESTÁNDAR La desviación estándar mide la dispersión de una distribución de datos. Entre más dispersa está una distribución de datos, más grande es su desviación estándar. Por ejemplo, la distribución azul en la parte de abajo tiene una desviación estándar mayor que la distribución verde de arriba: Es interesante que la desviación estándar no puede ser negativa. Una desviación estándar cercana a 000 indica que los datos tienden a estar más cerca a la media (se muestra por la línea punteada). Entre más lejos estén los datos de la media, más grande es la desviación estándar.
VARIANZA La varianza es una medida de dispersión que representa la variabilidad de una serie de datos respecto a su media. Formalmente se calcula como la suma de los residuos al cuadrado divididos entre el total de observaciones. También se puede calcular como la desviación típica al cuadrado. Dicho sea de paso, entendemos como residuo a la diferencia entre el valor de una variable en un momento y el valor medio de toda la variable. Antes de ver la fórmula de la varianza, debemos decir que la varianza en estadística
es muy importante. Ya que aunque se trata de una medida sencilla, puede aportar mucha información sobre una variable en concreto. Fórmula para calcular la varianza La unidad de medida de la varianza será siempre la unidad de medida correspondiente a los datos, pero elevada al cuadrado. La varianza siempre es mayor o igual que cero. Al elevarse los residuos al cuadrado es matemáticamente imposible que la varianza salga negativa. Y de esa forma no puede ser menor que cero.
O lo que es lo mismo:
Ejemplo de cálculo de la varianza Vamos a acuñar una serie de datos sobre salarios. Tenemos cinco personas, cada uno con un salario diferente: Juan: 1.500 euros Pepe: 1.200 euros José: 1.700 euros Miguel: 1.300 euros Mateo: 1.800 euros La media del salario, la cual necesitamos para nuestro cálculo, es de ((1.500 + 1.200 + 1.700 + 1.300 + 1.800) /5) 1.500 euros. Dado que la fórmula de la varianza en su forma desglosada se formula como sigue:
Obtendremos que se debe calcular tal que:
El resultado es de 52.000 euros al cuadrado. Es importante recordar que siempre que calculamos la varianza tenemos las unidades de medida al cuadrado. Para pasarlo a euros, en este caso tendríamos que realizar la desviación típica. El resultado aproximado sería de 228 euros. Esto quiere decir que, en media, la diferencia entre los salarios de las distintas personas será de 228 euros.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS ESTADÍSTICOS En los análisis estadísticos, es frecuente utilizar representaciones visuales complementarias de las tablas que resumen los datos de estudio. Con estas representaciones, adaptadas en cada caso a la finalidad informativa que se persigue, se transmiten los resultados de los análisis de forma rápida, directa y comprensible para un conjunto amplio de personas. TIPOS DE REPRESENTACIONES GRÁFICAS Cuando se muestran los datos estadísticos a través de representaciones gráficas, se ha de adaptar el contenido a la información visual que se pretende transmitir. Para ello, se barajan multiples formas de representación:
Diagramas de barras: muestran los valores de las frecuencias absolutas sobre un sistema de ejes cartesianos, cuando la variable es discreta o cualitativa. Histogramas: formas especiales de diagramas de barras para distribuciones cuantitativas continuas. Polígonos de frecuencias: formados por líneas poligonales abiertas sobre un sistema de ejes cartesianos. Gráficos de sectores: circulares o de tarta, dividen un círculo en porciones proporcionales según el valor de las frecuencias relativas. Pictogramas: o representaciones visuales figurativas. En realidad, son diagramas de barras en los que las barras se sustituyen con dibujos alusivos a la variable. Cartogramas: expresiones gráficas a modo de mapa. Pirámides de población: para clasificaciones de grupos de población por sexo y edad.
GRAFICAS ESTADÍSTICOS
BIBLIOGRAFIAS
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https://www.hiru.eus/es/matematicas/representacion-grafica-de-datos-estadisticos