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Statistique inférentielle - Tests

Test de validité d'hypothèse relatif à une moyenne. Comparaison de la moyenne à un nombre fixé.

Comptabilité et gestion Une entreprise conditionne et commercialise du sel fin fluoré en sachets portant les mentions "Poids net 1 kg et fluorure de potassium 250 mg/kg". Une association de consommateurs décide de contrôler la teneur en fluor de potassium de ce sel fin fluoré, dont la valeur annoncée sur chaque paquet est 250 mg/kg. On prélève au hasard un échantillon de 100 sachets dans la production, afin de l'adresser à un laboratoire. Les résultats, en mg/kg obtenus pour la moyenne x et pour l'écart type s, sont x = 253,9 et s = 21,9. On désigne par µ la moyenne et par σ l'écart type en mg/kg des teneurs en fluorure de potassium de la production totale des sachets de sel. a) A partir des résultats obtenus par le laboratoire, donner une estimation ponctuelle de µ et de σ. b) Soit X variable aléatoire qui, à chaque échantillon de taille 100 prélevé au hasard dans la production totale, associe sa teneur moyenne en fluorure de potassium. On assimile ces échantillons à des échantillons non exhaustifs. On admet que X suit la loi normale de moyenne µ et d'écart type 2,2. Construire un test bilatéral permettant d'accepter ou de refuser au seuil de signification 5 % l'hypothèse selon laquelle la teneur en fluorure de potassium des sachets est, en moyenne, de 250 mg/kg. Pour répondre à cette question : choisir une hypothèse H0 nulle et une hypothèse alternative H1 , déterminer sous H0 le nombre réel h tel que P(250 – h ≤ Y ≤ 250 + h) = 0,95. déterminer la région critique au seuil de signification de 5 % , énoncer la règle de décision , utiliser le test avec l'échantillon.

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Statistique inférentielle - Tests

Groupement B 2000 Une entreprise industrielle utilise de grandes quantités d'un certain type de boulons. Dans cette question, on veut contrôler la moyenne µ de l'ensemble des diamètres, en mm, des pieds de boulons constituant un stock très important ; on se propose de construire un test d'hypothèse. On note Y la variable aléatoire qui, à chaque boulon tiré au hasard dans le stock, associe le diamètre, en mm, de son pied. La variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne inconnue µ et d'écart type σ = 0,1. On désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100 boulons prélevé dans un stock, associe la moyenne des diamètres des pieds de ces 100 boulons (le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise). L'hypothèse nulle est : µ = 10. Dans ce cas les boulons du stock sont conformes pour le diamètre de leur pied. L'hypothèse alternative est H 1 : µ ≠ 10. Le seuil de signification du test est fixé à 0,05. a) Justifier que, sous l'hypothèse nulle H 0 , Y suit la loi normale de moyenne 10 et d'écart type 0,01. b) Sous l'hypothèse nulle H 0 , déterminer le nombre réel positif h tel que

P(10 – h ≤ Y ≤ 10 + h) = 0,95. c) Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test. d) On prélève un échantillon de 100 boulons et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des diamètres des pieds est y =10,03. Peut-on, au risque de 5%, conclure que les boulons du stock sont conformes pour le diamètre de leur pied ?

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Statistique inférentielle - Tests

Informatique de gestion 2000 Monsieur A se fait livrer, par un marchand de bois, des bûches de 50 cm de long, en très grande quantité. Il désire contrôler à l'aide d'un test bilatéral si la longueur moyenne µ des bûches livrées est bien égale à 50 cm. Pour cela, il mesure les longueurs de 100 bûches prises au hasard et avec remise dans le stock qui lui a été livré et il calcule la moyenne des longueurs des bûches de l'échantillon ainsi constitué. On admet que la variable aléatoire X qui, à tout échantillon de 100 bûches prises au hasard et avec remise dans le stock livré, associe la moyenne des longueurs des bûches de l'échantillon, suit une loi σ où µ et σ sont respectivement la moyenne et l'écart type des normale de paramètres µ et 100 longueurs des bûches livrées.

Par expérience, Monsieur A a établi que σ = 5 cm. 1) Construire un test bilatéral permettant d'accepter ou de refuser, au seuil de signification de 5 %, l'hypothèse selon laquelle la longueur moyenne µ des bûches livrées est 50 cm : • écrire l'hypothèse nulle H 0 et l'hypothèse alternative H 1 ; • déterminer la région critique ; • énoncer la règle de décision. 2) Monsieur A a trouvé que la moyenne des longueurs des bûches de l'échantillon est x = 49,2 cm. Utiliser le test avec ce résultat et conclure.

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Statistique inférentielle - Tests

Travaux publics Une machine fabrique des pièces cylindriques utilisées dans le secteur des Travaux Publics. A chaque pièce prélevée au hasard dans la production on associe sa longueur, on définit ainsi une variable aléatoire X. Cette variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne µ = 30 cm et d'écart type σ = 0,8 cm On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire non exhaustif de 36 pièces, associe la moyenne des longueurs des pièces de cet échantillon. 1° Quelle est la loi suivie par X ? 2° Déterminer le réel h tel que : P(30 – h ≤ X ≤ 30 + h) = 0,95. 3° Un magasin reçoit une commande de 36 pièces fabriquées par la même machine. On mesure les longueurs de ces 36 pièces ; les résultats sont réunis dans le tableau suivant : longueur [28 ; 28,5[ [28,5 ; 29[ [29 ; 29,5[ [29,5 ; 30[ [30 ; 30,5[ 30,5 ; 31[ effectif

1

4

6

9

8

5

[31 ; 31,5[ [31,5 ; 32[ 2

1

En faisant l'hypothèse que les valeurs observées sont celles du centre de la classe, calculer la valeur approchée x de la longueur moyenne des pièces de cet échantillon. 4° a) Construire un test d'hypothèse permettant d'accepter ou de rejeter au seuil de signification 5% l'hypothèse selon laquelle la longueur moyenne des pièces de la fabrication est bien m1 = 30 cm. On devra : choisir une hypothèse nulle H 0 et une hypothèse alternative H 1 ; déterminer la région critique au seuil de 5 % (en utilisant la question B - 2°) , énoncer la règle de décision. b) Utiliser ce test avec l'échantillon étudié à la question B - 3°, échantillon que l'on assimile à un échantillon prélevé de manière non exhaustive.

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Enveloppe du bâtiment Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Les résultats seront donnés à 10 −3 près. Une carrière fournit des dalles de pierre à agrafer en façade. Les dalles existent en deux formats et en deux sortes de pierre :

formats : - carrés de cote 40 cm représentant 35% du stock ; - rectangulaire de 40 cm × 60 cm représentant 65% du stock.

pierre : - comblanchien pour 70% des carrés ; - remiremont pour 40% des rectangulaires.

Partie A - Les dalles sont livrées en palettes, recouvertes d'un film opaque et laissées sous la pluie. A la longue, la référence s'est effacée. 1. Quelle est la probabilité qu’une palette, prise au hasard dans le stock, contienne : - des dalles carrées de comblanchien ? - des dalles rectangulaires de comblanchien ? - des dalles de comblanchien (quel que soit le format) ? 2. En déchirant le plastique d'une palette, le comblanchien apparaît. Quelle est la probabilité que les dalles de cette palette soient carrées ? Partie B - La variable aléatoire X qui a toute dalle carrée de comblanchien associe sa masse, exprimée en kilogrammes, suit la loi normale (ou loi de Gauss), de moyenne m = 16 et d’écart type σ = 0,5.

1. Déterminer la probabilité que la masse d'une dalle soit inférieure à 16,4. 2. Déterminer le réel positif a tel que P (16 − a < X < 16 + a) = 0,9. 3. Afin de contrôler que la moyenne des masses des dalles carrées de comblanchien est effectivement m = 16, on se propose de construire u test bilatéral. L’hypothèse nulle est donc m = 16. Le seuil de signification du test est 0,05. On considère qu’une palette contenant 60 dalles, prélevée au hasard parmi est très grand nombre de palettes, constitue un échantillon de la production. On constate que la moyenne observée des masses des dalles de cette palette est 16,08 kg (on rappelle que la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille n, associe la moyenne de l’échantillon, suit une loi normale de moyenne m et σ d’écart type ). n

Énoncer la règle de décision permettant d’utiliser ce test. Peut-on admettre, au risque 0,05, que la moyenne des masses de l'ensemble de la fabrication est bien 16 kg ?

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Statistique inférentielle - Tests

Groupement C 2001 Une usine fabrique des billes métalliques. L'étude porte sur le diamètre de ces billes, mesuré en millimètres. Un client réceptionne une commande. Il prélève un échantillon de 125 billes choisies au hasard et avec remise dans le lot reçu et constate que le diamètre moyen est égal à 25,1. On rappelle que pour les billes fabriquées par l'entreprise, la variable aléatoire X qui prend pour valeurs leurs diamètres suit une loi normale d'écart type 0,44. L'entreprise s'est engagée à ce que la moyenne des diamètres des billes fournies soit de 25. Le client décide de construire un test bilatéral permettant de vérifier l'hypothèse selon laquelle le diamètre des billes du lot reçu est de 25. 1) Quelle est l'hypothèse nulle H0 ? Quelle est l'hypothèse alternative Hl ? 2) On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 125 billes, prises au hasard et avec remise, associe la moyenne des diamètres obtenus. a) Donner sous l'hypothèse nulle la loi de X . En préciser les paramètres. b) Déterminer le nombre a tel que P(25 – a < X < 25 + a) = 0,95. c) Énoncer la règle de décision du test. 3) Au vu de l'échantillon, au risque de 5 %, que peut conclure le client sur le respect de l'engagement de l'entreprise ?

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Statistique inférentielle - Tests

Microtechnique Des pièces sont produites en très grande série. On s'intéresse à leur longueur. 1) On suppose que la variable aléatoire qui, à chaque pièce associe sa longueur exprimée en millimètres, suit la loi normale de moyenne 300 mm et d'écart type 2 mm. L'intervalle de tolérance pour la longueur d'une pièce étant [ 296,5 ; 303,5 ], déterminer la probabilité qu'une pièce soit acceptable. 2) Pour contrôler la fabrication on prélève au hasard des échantillons de 40 pièces que l'on assimilera à des échantillons non exhaustifs. On définit une variable aléatoire X en associant à chaque échantillon la moyenne des longueurs des 40 pièces. a) Quelle est la loi suivie par X ? Quels sont les paramètres de cette loi ? b) Déterminer le réel h positif tel que : P(300 – h ≤ X ≤ 300 + h) = 0,95. 3) On prélève avec remise un échantillon de 40 pièces dans la production, la longueur moyenne des pièces est 299,2. a) Construire un test d'hypothèse bilatéral permettant d'accepter ou de rejeter au seuil de signification 5 % l'hypothèse selon laquelle les pièces de la fabrication ont une longueur moyenne de 300 mm. Utiliser ce test avec l'échantillon de l'énoncé. b) Reprendre la question a) avec le seuil 1 %.

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Statistique inférentielle - Tests

Maintenance Une usine assure le conditionnement d'un très grand nombre de bouteilles d'un certain type. On désigne par X la variable aléatoire qui, à toute bouteille prise au hasard, associe sa contenance L exprimée en litres. On admet que lorsque la machine est bien réglée X suit la loi normale de moyenne 1 L et d'écart type 0,01 L. On effectue régulièrement des prélèvements aléatoires d'échantillons de 100 bouteilles, les tirages pouvant être considérés comme faits au hasard et avec avec remise. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon, associe la contenance moyenne des 100 bouteilles de cet échantillon. 1° Si la machine est bien réglée : a) Quelle est la loi suivie par X ? b) Déterminer à 10 −3 près par excès le réel h tel que : P(1 – h ≤ X ≤ 1 + h) = 0,95. 2° En utilisant la question B 1°, construire un test bilatéral permettant d'accepter ou de rejeter, au seuil de risque 5 %, l'hypothèse selon laquelle la machine est bien réglée. (Quand la machine est bien réglée on sait que X suit la loi normale de moyenne µ = 1 et d'écart type σ = 0,01). 3° Sur un échantillon de 100 bouteilles, on a les résultats suivants : contenance

0,980

0,985

0,990

0,995

1

1,005

1,010

1,015

1,020

nombre de bouteilles

2

6

19

23

22

16

7

4

1

a) Calculer la moyenne xe de cet échantillon. b) Au vu de ce résultat peut-on, au seuil de risque 5 % conclure que la machine est bien réglée ? c) Même question au seuil de 1 %.

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Statistique inférentielle - Tests

Équipement technique énergie Une machine fabrique en grande série des pièces de diamètre nominal 38 mm. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque pièce, associe son diamètre exprimé en mm. On admet que, lorsque la machine est bien réglée, X suit la loi normale de moyenne µ = 38 et d'écart type σ = 0,49. On effectue régulièrement des prélèvements aléatoires d'échantillons de 100 pièces, les tirages pouvant être considérés comme faits avec remise. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon, associe le diamètre moyen des pièces de cet échantillon. 1° Si la machine est bien réglée : a) Quelle est la loi suivie par X ? b) Déterminer le réel a tel que : P(38 – a ≤ X ≤ 38 + a) = 0,95. 2° Sur un échantillon de 100 pièces, on a les résultats suivants : Diamètre en mm

[36,6 : 37[

[37 ; 37,4[

[37,4 ; 37,8[

[37,8 ; 38,2[

Nombre de pièces

3

15

20

28

[38,2 ; 38,6[ [38,6 ; 39[ [39 ; 39,4[ 22

8

4

a) En choisissant pour valeurs observées les centres de classes, calculer une valeur approchée de la moyenne xe de cet échantillon. b) Construire un test bilatéral permettant au vu de ce résultat, accepter au risque de 5 % l'hypothèse selon laquelle la machine est bien réglée ? Pour déterminer la région critique on utilisera la question 1 b).

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Statistique inférentielle - Tests

Étude et économie de la construction Une machine est chargée de conditionner des paquets de poudre d'additif pour ciment. La variable aléatoire M qui, à tout paquet prélevé au hasard dans la production, associe sa masse, exprimée en grammes, suit une loi normale d'écart type constant égal à 30 et dont la moyenne m peut être modifiée par un réglage de la machine. On a réglé la machine pour que m = 1000 g. On décide de tester le réglage de la machine à m = 1000 g à l'aide d'un échantillon de 40 paquets prélevés au hasard et avec remise. On appelle M la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 40 paquets prélevés au hasard et avec remise dans la production, associe la moyenne des masses des 40 paquets. a)

Quand le paramètre m est inconnu quelle est la loi de la variable M ?

b)

Construire un test permettant de décider si, au seuil 5 %, le réglage est correct.

c) Utiliser ce test, sachant qu'un échantillon de 40 paquets effectivement prélevé a donné une masse moyenne de 1007 g.

Construction navale Dans cet exercice, les résultats numériques seront donnés par leur valeur décimale arrondie à 0,01 près. On suppose que la variable aléatoire qui, à tout conteneur utilisé dans le transport routier, associe sa masse exprimée en tonnes suit la loi normale de moyenne µ = 15 et σ = 6 . 1) Le capitaine du cargo veut tester l'hypothèse µ = 15, faite sur la masse moyenne d'un conteneur à embarquer. On définit une variable aléatoire X en associant à chaque échantillon aléatoire de 50 conteneurs la masse moyenne de cet échantillon. On assimile ces échantillons à des échantillons non exhaustifs. Quels sont les paramètres de la loi suivie par X ? 2) Le capitaine procède à un relevé des masses de 50 conteneurs choisis au hasard sur le quai d'embarquement. Dans cet échantillon, la masse moyenne d'un conteneur est de 17 tonnes. Construire un test d'hypothèse bilatéral permettant d'accepter ou de rejeter au seuil de signification 5 % l'hypothèse selon laquelle µ = 15. Utiliser ce test avec l'échantillon de l'énoncé. 3) Même question au seuil de signification 1 % .

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Statistique inférentielle - Tests

Travaux publics Une entreprise de travaux publics décide de s'équiper d'une table de coffrage pour fabriquer elle-même ses bordures. On note L la variable aléatoire associant à chaque bordure tirée au hasard de la production sa longueur. On admet que L suit la loi normale de paramètres µ = 100 cm et σ = 0,5 cm. Au bout d'un certain temps, on désire vérifier que la moyenne de la longueur des bordures est bien 100 cm. Pour cela, on prélève au hasard 50 bordures dans la production de l'entreprise, et on les mesure (prélèvement assimilé à un tirage avec remise). Longueur en cm Effectif

[99 ; 99,4[ [99,4 ; 99,8[ [99,8 ; 100,2[ 100,2 ; 100,6[ 7

8

15

14

[100,6 ; 101[ 6

a) Calculer, à 10 −3 près, la moyenne me de cet échantillon. b) On considère que l'écart type de la population reste égal à 0,5 cm. Construire un test bilatéral permettant d'accepter ou de refuser l'hypothèse selon laquelle, au risque de 5 %, la moyenne des longueurs de la production est bien 100 cm. Utiliser ce test avec l'échantillon de l'énoncé.

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Statistique inférentielle - Tests

Industries graphiques Lors d'une impression, on estime que la variable aléatoire qui, à tout instant aléatoire, associe la densité optique suit une loi normale de moyenne µ et d'écart type σ. Des études antérieures ont montré qu'en général, on a µ = 1,62 et σ = 0,04. Une modification introduite dans le processus peut amener un changement de la moyenne. On procède à 50 essais. On trouve une moyenne expérimentale de 1,65. Tester au seuil de confiance 0,95 l'hypothèse "la moyenne n'a pas changé" contre l'alternative "la moyenne n'est plus 1,62". Remarque : On pourrait choisir pour hypothèse alternative "la moyenne est supérieure à 1,62. Nous ferrons l'étude de ce cas plus loin.

Industries céramiques Une entreprise de porcelaine fabrique, entre autres produits, des sous-tasses. On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque sous-tasse prise au hasard dans la production, associe la mesure de son diamètre, exprimée en cm. On admet que X suit la loi normale de paramètres µ = 9,98 et σ = 0,03. Un client commande un lot de sous-tasses dont on lui annonce que la moyenne des mesures des diamètres est 9,98 cm. Ce client veut vérifier cette affirmation et mesure les diamètres de 100 soustasses prises au hasard dans le lot. Ce tirage est asimilé à un tirage avec remise. On obtient le résultat suivant : Diamètres xi Effectifs ni

[9,91 ; 9,93[ 6

[9,93 ; 9,95[ [9,95 ; 9,97[ [9,97 ; 9,99[ [9,99 ; 10,01[ 12

20

32

23

[10,01 ; 10,03[ 7

c)

En assimilant chacune des classes à son centre, calculer, à 10 −4 près, la moyenne et l'écart type de cet échantillon.

d)

Le client considère que l'écart type de l'échantillon est une bonne approximation de l'écart type du lot qu'il a reçu. Peut-il accepter au risque de 3 % l'affirmation de son fournisseur ?

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Analyses biologiques On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout enfant de 10 ans dont le développement physique est régulier, pris au hasard dans une population donnée, associe sa taille. La variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 126 cm et d'écart type 4 cm. On observe une population voisine. La variable aléatoire qui, à tout enfant de 10 ans dont le développement physique est régulier, pris au hasard dans cette population, associe sa taille suit une loi normale analogue de même écart type 4 cm, seule la moyenne risque d'être différente. On prélève au hasard dans cette population voisine un échantillon de 50 enfants (assimilé à un échantillon non exhaustif). La taille moyenne observée est 127,4 cm. Construire un test permettant d'accepter ou de refuser, au risque de 5 %, l'hypothèse selon laquelle la taille des enfants de 10 ans dont le développement physique est régulier est en moyenne 126 cm dans cette population. Utiliser ce test avec l'échantillon de 50 enfants de l'énoncé.

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Groupement D 2002 Un atelier produit en grande série des disques de diamètre nominal 25 mm. PARTIE A

On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque disque de la production, associe son diamètre en mm. On admet que X suit une loi normale de moyenne m et d'écart type σ. Un disque est considéré comme valable si son diamètre est compris entre 24,90 mm et 25,08 mm, sinon il est considéré comme défectueux. 1. On suppose que σ = 0,04. Calculer la probabilité qu'un disque pris au hasard dans la production soit défectueux, dans chacun des deux cas suivants : a) m = 25 b) m = 24,99 2. On note X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 disques de la production, associe la moyenne des diamètres de ces 100 disques. On admet que X suit la loi normale de moyenne m et d'écart type 0,004. On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 100 disques dans la production. On souhaite construire un test bilatéral de validité d'hypothèse, pour savoir si l'on peut considérer, au risque de 5%, que la moyenne m des diamètres des disques de la production est égale à 25. a) Sous l'hypothèse nulle

(

)

H0

(m = 25), calculer la valeur du réel d tel que :

P X − 25 < d = 0,95 . b) La moyenne des diamètres des 100 disques de l'échantillon prélevé dans la production est 24,994. Quelle est la conclusion du test ?

PARTIE B

On suppose que 3% des disques de la production sont défectueux. On prélève au hasard un lot de 60 disques dans la production ; la production étant très importante, ce prélèvement peut être assimilé à un tirage avec remise. On désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque lot de 60 disques, associe le nombre de disques défectueux. 1. a) Quelle est la loi suivie par Y ? Donner ses paramètres. b) Calculer la probabilité qu’un lot de 60 disques contienne au moins deux disques défectueux (arrondir au millième le plus proche). 2. On admet que la loi de Y peut être approchée par une loi de Poisson. a) Donner le paramètre de cette loi de Poisson. b) En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilité qu'un lot de 60 disques contienne au moins deux disques défectueux (arrondir au millième le plus proche).

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Test de validité d'hypothèse unilatéral relatif à une moyenne

Comptabilité et gestion Avant d'engager une campagne publicitaire, la direction de l'hyper-marché vous demande de construire un test unilatéral qui, au vu des chiffres d'affaires journaliers des trente jours ouvrables suivant cette campagne, permettra de de décider si, au seuil de signification 5%, la moyenne des chiffres d'affaires journaliers a augmenté, c'est-à-dire dépassé 1,5 million de francs, à la suite de cette campagne publicitaire. 1° Construction du test unilatéral : On note µ la moyenne inconnue de la nouvelle population des chiffres d'affaires journaliers obtenus après la campagne publicitaire et on suppose que l'écart type de cette population est 0,3 million de francs. Soit Z la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire, non exhaustif, de trente chiffres d'affaires journaliers de cette nouvelle population, associe la moyenne de ceux-ci. On suppose que Z suit la loi 0,3 normale de moyenne µ et d'écart type 30 a) Choisir une hypothèse nulle H 0 et une hypothèse alternative H 1 pour ce test unilatéral . b) Déterminer le nombre réel h tel que, sous l'hypothèse H 0 , on ait : P(Z ≤ h ) = 0,95. c) Enoncer la règle de décision de ce test. 2° Utilisation de ce test: Les chiffres d'affaires journaliers pendant les trente jours ouvrables suivant la campagne publicitaire sont donnés par le tableau suivant : chiffre d’affaires (en millions de F)

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2

2,1

2,2

2,3

Nombre de jours

1

2

2

8

8

2

2

1

2

1

0

1

a) Calculer la moyenne des chiffres d'affaires journaliers pendant ces trente jours. b) En appliquant la règle de décision du test à cet échantillon de trente chiffres d'affaires journaliers que l'on assimile à un échantillon aléatoire non exhaustif, peut-on conclure, au seuil de signification 5% qu'à la suite de la campagne publicitaire la moyenne des chiffres d'affaires journaliers a dépassé 1,5 millions de francs ?

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Statistique inférentielle - Tests

Travaux publics Une entreprise fabrique des supports d'auvent utilisés notamment dans la construction de stades. Ces pièces sont réalisées en béton. Soit la variable aléatoire Y qui à chaque support tiré au hasard dans la production associe sa charge de rupture à la traction exprimée en kg/cm 2 . A la suite d'une étude statistique on suppose que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne 42 kg/cm 2 et d'écart type 1,5 kg/cm 2 .

Dans l'objectif d'obtenir des résultats plus satisfaisants, l'entreprise teste la charge de rupture de nouveaux supports. Pour cela on décide de construire un test unilatéral au seuil 0,05. On choisit comme hypothèse nulle H 0 : µ = 42 kg/cm 2 et comme hypothèse alternative H 1 : µ > 42 kg/cm

2

Z est la variable aléatoire, qui à tout échantillon de trente six pièces, associe la charge de rupture moyenne. On assimile tout tirage de 36 pièces à un prélèvement, au hasard et avec remise. On donne : sous l'hypothèse H 0 , Z suit la loi normale de moyenne µ = 42 kg/cm

σ1 =

1,5 36

2

et d'écart type

= 0,25.

a) Déterminer le réel positif h tel que P( Z ≤ 42 + h) = 0,95. b) Au seuil α = 0,05, déterminer la région critique. c) Énoncer la règle de décision du test. d) L'entreprise a réalisé un échantillon de 36 pièces et on a relevé une charge moyenne de rupture de 2

42,8 kg/cm . Au vu de cet échantillon, au seuil α = 0,05 peut on accepter ou refuser l'hypothèse H 0 ?

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Statistique inférentielle - Tests

Comptabilité et gestion Un fabricant de vêtements de sport et de loisirs commercialise directement une partie de sa production. Le fabricant désire savoir si la campagne promotionnelle entreprise a permis de modifier le montant moyen des achats. Il réalise une enquête auprès d'un échantillon de 50 clients choisis au hasard et avec remise ; la dépense moyenne pour cet échantillon est de 597 F. Soit Y la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50 clients pris au hasard et avec remise, associe σ (on moyenne de leurs achats. On rappelle que Y suit la loi normale de moyenne µ et d'écart type 50 prendra pour σ la valeur 195). Construire un test unilatéral permettant d'accepter ou de refuser, au seuil de signification de 5 % l'hypothèse selon laquelle le montant moyen des achats a été modifié. Pour répondre à cette question : a) choisir pour hypothèse nulle H0 : µ = 550 et pour hypothèse alternative H1 : µ > 550, b) déterminer le nombre réel positif h tel que P( Y ≤ h) = 0,95, en déduire la région critique au seuil de signification de 5%, c) énoncer la règle de décision, d) utiliser le test avec l'échantillon précédent et conclure.

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Statistique inférentielle - Tests

Comptabilité et gestion -3

Dans cet exercice, donner et utiliser les valeurs décimales arrondies à 10 numériques.

près des valeurs

Un échantillon de 200 personnes est extrait, au hasard et avec remise, de la population constituée par les employés d’une grande entreprise. Le tableau suivant décrit la distribution des salaires annuels bruts de ces 200 employés, en 1989 (on suppose que les salaires sont uniformément répartis dans chaque classe). Salaires (en milliers de francs)

Effectifs

[50,100[

[100,150[

[150,200[

[200,250[

[250,300[

90

50

30

20

10

On désigne par µ la moyenne et par σ l’écart type des salaires, en milliers de francs, de la population constituée par tous les employés de l’entreprise. a) Calculer la moyenne x et l’écart type σ ’ des salaires, en milliers de francs, pour l’échantillon de 200 personnes décrit dans le tableau précédent. b) On considère tous les échantillons de 200 personnes extraits au hasard et avec remise de la population totale. On admet que la variable aléatoire qui associe à chacun de ces échantillons, la moyenne des salaires de l’échantillon, suit la loi normale de paramètres µ et d’écart type

σ

200

.

Donner un intervalle de confiance à 99 % de la moyenne de la population µ , centré en x , en prenant σ ’ pour valeur approchée de σ. Construire un test unilatéral permettant d’accepter ou de refuser au seuil de signification 5 % selon laquelle le salaire moyen des employés de l’entreprise est supérieur à 116 milliers de francs. Utiliser le test avec l’échantillon de l’énoncé.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 18 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯


Statistique inférentielle - Tests

Industries graphiques (suite) Modifions le test de l'exercice de la page 12 : Tester au seuil de confiance 0,95 l'hypothèse "la moyenne n'a pas changé" contre l'alternative "la moyenne est supérieure à 1,62". 1° Construction un test unilatéral : On prendra pour hypothèse nulle H 0 : µ = 1,62 et pour hypothèse alternative H 1 : µ > 1,62 . a) Déterminer sous H 0 le réel h tel que P( X ≤ 1,62 + h) = 0,95. b) Énoncer la règle de décision de ce test. 2° Utilisation du test : Utiliser le test avec l'échantillon de 50 essais de l'énoncé et conclure si, au seuil de signification 5%, la moyenne est supérieure à 1,62.

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Statistique inférentielle - Tests

Construction navale (suite) Reprenons l'exercice de la page 10 : 1° Construire un test unilatéral : On prendra pour hypothèse nulle H 0 : µ = 15 et pour hypothèse alternative H 1 : µ > 15. a) Déterminer sous H 0 le réel h tel que P( X ≤ 15 + h) = 0,99 . b) Énoncer la règle de décision de ce test. 2° Utilisation du test : Utiliser le test avec l'échantillon de l'énoncé et conclure si, au seuil de signification 1%, la masse moyenne est significativement supérieure à 15 tonnes.

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Statistique inférentielle - Tests

Groupement C 2002 Un grossiste en fournitures de bureau revend un ruban adhésif transparent répondant à deux critères : (i)

pouvoir être repositionné au moins une fois sans arracher le support, noté Cl ;

(ii)

ne pas jaunir le papier sur lequel il est posé, noté C2.

Les réponses des trois parties sont indépendantes. Les résultats numériques seront arrondis à 10 −3 .

PARTIE A

Ce grossiste a trois fournisseurs Rubatop, ADZif et S.A.Col. Il commande 27 % des rubans adhésifs transparents chez Rubatop, 33 % chez ADZif et 40 % chez S.A.Col. Le pourcentage de rubans qui ne répondent pas au critère C1 est 2,9 % chez Rubatop, 3,1 % chez ADZif et 4,2 % chez S.A.Col. Ensuite, les rubans sont répartis dans le rayon sans tenir compte du fournisseur. 1. Un client prend au hasard un ruban adhésif dans le rayon. Montrez que la probabilité d'obtenir un ruban ne répondant pas au critère C1 est 0,035 à 10 −3 près. 2. Le chef de rayon, après réclamation d'un client, a en main un ruban adhésif ne répondant pas au critère C1. Quelle est la probabilité que ce ruban vienne de chez ADZif ? PARTIE B

La probabilité qu'un ruban adhésif jaunisse le papier est de 0,008. Un client achète 500 rubans adhésifs. On assimilera le choix de ces 500 rubans à un tirage aléatoire avec remise. On s'intéresse à la variable aléatoire X qui compte, dans ce lot de 500 rubans adhésifs, le nombre de ceux qui jaunissent le papier. 1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. Quelle est la probabilité qu'au moins un de ces 500 rubans adhésifs jaunisse le papier ?

PARTIE C

Après leur utilisation, le client s'aperçoit que six rubans adhésifs sur les 500 jaunissent le papier. Il décide donc de demander au grossiste de vérifier si le lot est compatible avec son affirmation d'avoir dans son stock 0,8 % des rubans ne satisfaisant pas au critère C2. Pour étudier cette réclamation, le grossiste construit un test unilatéral. 1. Quelle est l'hypothèse H 0 ? Quelle est l'hypothèse H 1 ? 2. On désigne par F la variable qui, à tout lot de 500 rubans adhésifs prélevés au hasard avec remise, associe la fréquence de rubans qui jaunissent le papier. On suppose, sous l'hypothèse nulle, que F 0,008 (1 − 0,008) suit la loi normale de moyenne 0,008 et d'écart type . 500 a) Déterminer le nombre a tel que P ( F < 0,008 + a ) = 0,95 . b) Énoncer la règle de décision du test. ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 21 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯


Statistique inférentielle - Tests

3. Au risque de 5 %, et suite à la requête de son client sur l'échantillon des 500 rubans qu'il a acheté, le grossiste doit-il remettre en cause son affirmation ?

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Statistique inférentielle - Tests

Comparaison des moyennes de deux populations

Chimiste Une entreprise d'imprimerie compose les différents tomes d'une encyclopédie des sciences et des techniques. Dans cet exercice tous les échantillons sont assimilés à des échantillons non exhaustifs. 1. On note X1 la variable aléatoire qui, à toute page du premier tome choisie au hasard, associe le nombre de fautes d'impression de la page. Sur un échantillon aléatoire de 48 pages, le nombre de fautes est le suivant : 8

4

6

1

4

6

7

5

3

4

4

9

1

9

1

2

5

1

9

6

4

6

3

2

5

5

3

4

3

6

4

5

3

4

4

1

7

7

4

1

5

3

2

2

1

1

7

3

Calculer la moyenne m1 et l'écart type s1 de cet échantillon. On admet, dans la suite de cet exercice, qu'une estimation ponctuelle de la moyenne µ1 de la variable X1 est 4,17 et qu'une estimation ponctuelle de l'écart type σ1 de X1 est 2,29. 2. On note X2 la variable aléatoire qui, à toute page du premier tome choisie au hasard, associe le nombre de fautes d'impression de la page. Sur un échantillon aléatoire de 64 pages de ce deuxième tome on a obtenu une moyenne la moyenne m2 de 3,31 fautes d'impression et un écart type s2 de 1,63. En déduire une estimation ponctuelle de la moyenne µ2 de la variable X2 et une estimation ponctuelle de l'écart type σ2 de X2 . 3. On se propose de construire un test d'hypothèse pour observer l'évolution dans la qualité du travail d'impression. a) On note X 1 la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire de 48 pages du premier tome, associe le nombre moyen de fautes d'impression de l'échantillon et X 2 la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire de 64 pages du deuxième tome, associe le nombre moyen de fautes d'impression de l'échantillon. Quelles sont les lois de probabilité des variables X 1 et X 2 ? On ne demande pas les valeurs des paramètres qui sont d'ailleurs inconnus. b) On note D la variable aléatoire telle que D = X 1 – X 2 . On admet que D suit la loi normale

n(µ1 – µ2 ,

σ 12

2

σ + 2 ). 48 64

On prendra pour valeurs de s1 et s2 les valeurs estimées aux questions 1. et 2. On pose pour hypothèse H0 : µ1 = µ2 et pour hypothèse H1 : µ1 ? µ2 . Calculer, sous l'hypothèse H0, les nombres h et k tels que : P(– h < D < h) = 0,99 et P(– k < D < k) = 0,95 .

Énoncer la règle de décision relative à ce test successivement lorsque l'on choisit un seuil de signification de 1 % puis de 5 %. Peut-on conclure au vu des échantillons donnés dans les questions 1. et 2. que la différence des moyennes est significative au seuil de risque de 1 % ? au seuil de 5 % ? ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 23 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯


Statistique inférentielle - Tests

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 24 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯


Statistique inférentielle - Tests

Analyses biologiques Pour un groupe de 300 personnes bien portantes, on a dosé le cholestérol et obtenu les résultats résumés dans le tableau suivant : classe de xi effectif ni

[80 ; 120[

[120 ; 160[

[160 ; 200[

[200 ; 240[

[240 ; 280[

280 ; 320[

[320 ; 360[

7

54

110

72

46

8

3

où xi désigne le taux de cholestérol exprimé en cg/l. 1° Calculer des valeurs approchées de la moyenne x1 et de l'écart type s1 de l'échantillon. 2° Donner une estimation ponctuelle µ1 de la moyenne et σ1 de l'écart type du taux de cholestérol chez les gens bien portants de la région considérée. Les résultats seront donnés à 10 −1 près. 3° Dans une autre région, un hôpital a obtenu pour un échantillon de 250 personnes une moyenne x 2 = 191,2 et un écart type s2 = 45,2. On suppose que toutes les analyses effectuées sont indépendantes. On désigne par X 1 la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 300 personnes de la première région, associe la moyenne de l'échantillon et par X 2 la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 250 personnes de la deuxième région, associe la moyenne de l'échantillon. On suppose que les variables aléatoires X 1 , X 2 , D = X 1 – X 2 suivent les lois normales de moyennes respectives µ1, µ2, µ1-µ2 inconnues et on estime l'écart-type de D par

σ 12 300

+

σ 22 250

σ1 et σ2 sont les écart types estimés à partir des échantillons précédents. On désire construire un test permettant de déterminer si il y a une différence significative entre les moyennes des deux population au seuil de 5 %. L'hypothèse H 0 est donnée par µ1 = µ2 , énoncer l'hypothèse alternative H 1 . Déterminer l'intervalle [– a ; a] tel que, sous l'hypothèse H 0 , P(– a ≤ D ≤ a) = 0,95. Énoncer la règle de décision du test. Utiliser ce test avec les deux échantillons de l'énoncé et conclure.

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 25 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯


Statistique inférentielle - Tests

Traitement des matériaux La société « T.D.M. » fabrique des appareils en grande série. A une date t1, on procède à l'analyse de la production. Un échantillon (E1) de 100 profilés a donné le relevé statistique suivant : Hauteur x (mm) [11,6;11,7[ [11,7;11,8[ [11,8;11,9[ [11,9;12[ [12;12,1[ [12,1;12,2[ [12,2;12,3[ [12,3;12,4[ Nbre de pièces

1

4

9

38

33

10

3

2

1° a) Grâce au tableau précédent, calculer la moyenne x 1, et l'écart type s1 de l'échantillon (E1). Pour les calculs on utilisera les centres des intervalles.

ˆ 1 de la moyenne µ1 et une estimation ponctuelle ˆs 1 de b) Donner une estimation ponctuelle m l'écart type σ1 de la production à la date t1. 2° On procède à une nouvelle analyse de la production à une date t2 Sur un échantillon (E2) de 100 profilés, on a obtenu les résultats suivants : .

moyenne de (E2) = 11,96 mm, écart type de (E2) = 0,125 mm. On se propose ensuite de construire un test d'hypothèse pour observer l'évolution dans la qualité de fabrication des profilés entre les dates t1 et t2 .

a) On note X 1 la variable aléatoire prenant pour valeur la hauteur moyenne des profilés dans des échantillons aléatoires d'effectif 100 prélevés dans la production à la date t1. On note X 2 la variable aléatoire prenant pour valeur la hauteur moyenne des profilés dans des échantillons aléatoires d'effectif 100 prélevés dans la production à la date t2 . Les échantillons de 100 profilés sont assimilés à des échantillons prélevés avec remise.

ˆ 2 de la moyenne µ2 et une estimation ponctuelle sˆ 2 de Donner une estimation ponctuelle m l'écart type σ2 de la production à la date t2. b) On note Y la variable aléatoire telle que : Y = X 1 − X 2 . On admet que Y suit la loi normale n(µ2 – µ1 ;

ˆs1 2 + ˆs 2 2 ). 100

On pose pour hypothèse nulle H 0 : µ1 = µ2 et pour hypothèse alternative H 1 : µ1 ≠ µ2. Calculer, sous l'hypothèse H 0 , le nombre h tel que P(- h < Y < h) = 0,95. Peut-on conclure, au seuil de risque de 5%, que la différence des moyennes observées entre les dates t1 et t2 est significative ?

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Statistique inférentielle - Tests

Groupement D Une entreprise fabrique des pots de peinture. On se propose d'étudier les variations de la quantité d'un certain produit A contenu dans chaque pot. On a contrôlé le dosage du produit A à la sortie de deux chaînes de fabrication. Deux échantillons de 100 pots ont été analysés ; l'un provient de la chaîne n° l, l'autre de la chaîne n° 2. Le tableau suivant donne la répartition de l'échantillon de la chaîne n° l en fonction de la masse de produit A exprimée en grammes. m (en g) [100, 102[ [102, 104[ [104, 106[ [106, 108[ [108, 110[ [110, 112[ [112, 114[ [114, 116[ Effectifs

1

3

25

32

27

6

4

2

On donne des valeurs approchées de la moyenne m2 et de l'écart type s2 de l'échantillon fabriqué par la chaîne n° 2 : m2 = 107 et s2 = 2 (en grammes). Dans les questions 1 et 2 les valeurs seront arrondies au dixième le plus proche. l° En prenant les centres des classes, calculer une valeur approchée de la moyenne ml et de l'écart type s1 de l'échantillon issu de la chaîne n° l. 2° En considérant les résultats obtenus dans la première question, donner les estimations ponctuelles : a) des quantités moyennes µ1 et µ2 de produit A pour les productions de ces deux chaînes, b) des écarts types σ1 et σ2 correspondants. 3° On se propose de tester si la différence des moyennes observées dans les deux échantillons est due à des fluctuations d'échantillonnage ou si la chaîne de fabrication n° l produit des pots contenant davantage de produit A que la chaîne n° 2. On note X 1 la variable aléatoire qui à tout échantillon aléatoire de 100 pots provenant de la chaîne n° 1 associe la quantité moyenne de produit A dans cet échantillon. On note X 2 la variable aléatoire qui à tout échantillon aléatoire de 100 pots provenant de la chaîne n° 2 associe la quantité moyenne de produit A dans cet échantillon. On admettra que : X 1 suit une loi normale de paramètres µ1 et X 2 suit une loi normale de paramètres µ2 et

σ1 10

;

σ2 ; 10

X 1 et X 2 sont des variables aléatoires indépendantes ;

D = X 1 – X 2 suit une loi normale. On choisit l'hypothèse nulle H 0 : «µ1 = µ2» contre l'hypothèse alternative H 1 : «µ1 > µ2». a) Calculer la variance de la variable aléatoire D. On appelle σ(D) son écart type. Vérifier que σ(D) ≈ 0,32.

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Statistique inférentielle - Tests

b) Calculer au centième le plus proche le réel a tel que, sous H0, P(D ≤ a) = 0,99. c) Au vu des résultats observés, l'hypothèse nulle H 0 doit-elle être acceptée ou rejetée (au seuil de 1 %) ?

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Statistique inférentielle - Tests

Groupement C 2001 Calcul des probabilités 2 (TP2 - TP4 - TP5) ; statistique inférentielle (TP3)

Les parties A et B sont indépendantes. On donnera les résultats numériques à 10 −2 près. Une usine fabrique des billes métalliques. L'étude porte sur le diamètre de ces billes, mesuré en millimètres.

A - Étude de la production.

1) On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque bille prise au hasard dans la production de l'usine, associe son diamètre mesuré en millimètres. On admet que X suit une loi normale de moyenne 25 et d'écart type 0,44. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : E1 : "Le diamètre de la bille est inférieur à 25,2". E 2 : "Le diamètre de la bille est compris entre 24,1 et 25,9".

2) Certaines billes sont défectueuses. On admet que la probabilité de tirer au hasard une bille défectueuse est égale à 0,04. Les billes sont conditionnées par paquets de 150. On admet que le choix d'un paquet peut être assimilé à un tirage avec remise de 150 billes. On note Y la variable aléatoire qui associe à tout paquet choisi au hasard le nombre de billes défectueuses du paquet. a) Justifier que Y suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. b) On admet que la loi de Y peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre λ. Calculer la valeur de λ et déterminer la probabilité de l'événement E3 : "Il y a au plus 4 billes défectueuses dans le paquet".

B - Commande d'un client.

Un client réceptionne une commande. Il prélève un échantillon de 125 billes choisies au hasard et avec remise dans le lot reçu et constate que le diamètre moyen est égal à 25,1. On rappelle que pour les billes fabriquées par l'entreprise, la variable aléatoire X qui prend pour valeurs leurs diamètres suit une loi normale d'écart type 0,44. L'entreprise s'est engagée à ce que la moyenne des diamètres des billes fournies soit de 25. Le client décide de construire un test bilatéral permettant de vérifier l'hypothèse selon -laquelle le diamètre des billes du lot reçu est de 25. 1) Quelle est l'hypothèse nulle H 0 ? Quelle est l'hypothèse alternative H 1 ? 2) On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 125 billes, prises au hasard et avec remise, associe la moyenne des diamètres obtenus. a) Donner sous l'hypothèse nulle la loi de X . En préciser les paramètres. b) Déterminer le nombre a tel que p (25 − a < X < 25 + a ) = 0,95 . c) Énoncer la règle de décision du test.

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Statistique inférentielle - Tests

3) Au vu de l'échantillon, au risque de 5%, que peut conclure le client sur le respect de l'engagement de l'entreprise ?

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Statistique inférentielle - Tests

Techniques physiques pour l’industrie de laboratoire 2002 Toutes les valeurs numériques seront arrondies à 10 −2 près.

Partie A.

Soit T une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite. Sa fonction de répartition est notée Π. Soit t α un nombre strictement positif. Montrer que : 2

t ⎞ α ⎛ t ⎛t ⎞ P⎜ − α < T < + α ⎟ = 1 − α équivaut à Π ⎜ α ⎟ = 1 − . 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎝ 2 ⎠ Déterminer t α pour α =0,05 et α = 0,02. 2

Dans un laboratoire de contrôle, on mesure la masse de l'extrait sec d'une résine acrylique. Partie B.

Dans cette partie, la mesure est faite à 105° C. On admet qu'une mesure à 105° C est la réalisation d'une variable aléatoire X qui suit une loi normale de paramètres m1 et σ 1 . On réalise 50 mesures qui constituent un échantillon non exhaustif de taille 50, extrait de la population de mesures à 105° C. 1. On a obtenu (en grammes) sur cet échantillon une moyenne x1 = 14,62 et un écart type s1 = 0,62 . ) ) Déterminer à partir de ces résultats une estimation ponctuelle m1 et s1 de la moyenne m1 et de l'écart type σ 1 de la variable aléatoire X.

2. On admet que la variable aléatoire X qui à tout échantillon de 50 mesures associe la moyenne de ) ) s s ⎞ ⎛ ces mesures à 105° C suit une loi normale n ⎜⎜ m1, 1 ⎟⎟ de paramètres m1 et 1 . 50 ⎠ 50 ⎝

Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance 95%, de la moyenne m1 des mesures à 105° C de l'extrait sec. Partie C.

Le laboratoire de contrôle décide de refaire 50 mesures de l'extrait sec, mais cette fois à 145° C. On admet, comme dans la partie B, qu'une mesure à 145° C est la réalisation d'une variable aléatoire Y qui suit une loi normale de paramètres m2 et σ 2 . Sur ce nouvel échantillon, on a trouvé (en grammes) une moyenne y 2 = 13,56 et un écart type s 2 = 0,55 . ) ) l. Déterminer à partir de ces résultats une estimation ponctuelle m 2 et s 2 de la moyenne m 2 et de l'écart type σ 2 de la variable aléatoire Y. ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 31 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯


Statistique inférentielle - Tests

2. On admet que la variable aléatoire Y qui à tout échantillon de 50 mesures ) s2 ⎞ ⎛ ces mesures a 145° C suit une loi normale n ⎜⎜ m2, ⎟⎟ de paramètres m2 et 50 ⎠ ⎝

associe la moyenne de ) s2 . 50

On admet aussi que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, que les écarts types σ 1 et σ 2 ) ) sont respectivement égaux à s1 et s 2 et que la différence D = X − Y suit une loi normale d'espérance mathématique E(D) et d’écart type σ ( D ) avec : E(D) = m1 − m2 et σ ( D ) =

) ) s12 + s 22 50

On se propose de comparer les moyennes m1 et m2 des mesures de l'extrait sec à 105° C et à 145° C à l'aide d'un test bilatéral de comparaison des moyennes. 2. a) Donner l'hypothèse nulle H 0 et l'hypothèse alternative H 1 . b) En utilisant la partie A, déterminer les deux valeurs critiques, bornes de l'intervalle qui permet de décider si les deux moyennes de la mesure de l'extrait sec sont égales au risque de 2 %. c) Énoncer la règle de décision du test. d) Mettre en œuvre ce test à partir des résultats obtenus sur les deux échantillons. Que concluezvous ? Toutes les valeurs numériques seront arrondies à 10 −2 près.

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Statistique inférentielle - Tests

Test de validité d'hypothèse relatif à un pourcentage Comparaison d'un pourcentage à un nombre fixé.

Analyses biologiques Les statistiques ont permis d'établir qu'en période de compétition la probabilité, pour un sportif pris au hasard, d'être déclaré positif au contrôle antidopage est égale à 0,02. On décide de construire un test qui, à la suite des contrôles sur un échantillon de 50 sportifs prélevé au hasard, permette de décider si, au seuil de signification de 10 %, le pourcentage de sportifs contrôlés positifs est de p = 0,02. a) Construction du test bilatéral : Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire (supposé non exhaustif) de 50 sportifs contrôlés, associe le pourcentage de sportifs contrôlés positivement. ⎛

On suppose que F, suit la loi normale n ⎜ p, ⎜ ⎝

p(1 − p) ⎞⎟ où p = 0,02 et n = 50. ⎟ n ⎠

Enoncer une hypothèse nulle H0 et une hypothèse alternative H1 pour ce test bilatéral. Déterminer, sous l'hypothèse H0, le réel positif a tel que P(p – a ≤ F ≤ p + a) = 0,9. Enoncer la règle de décision du test. b) Utilisation du test : Dans l'échantillon E deux contrôles antidopage ont été déclarés positifs. En appliquant la règle de décision du test à cet échantillon assimilé à un échantillon aléatoire non exhaustif, peut-on conclure au seuil de risque 10 % que l'échantillon observé est représentatif de l'ensemble de la population sportive ?

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Statistique inférentielle - Tests

Domotique Une entreprise fabrique en grande série des pièces pour le bâtiment. Pour analyser la qualité de la fabrication, on effectue un test bilatéral permettant, à la suite du prélèvement au hasard d'un échantillon de n = 64 pièces dans la production, de tester au seuil de 5 %, l'hypothèse H 0 selon laquelle le pourcentage de pièces défectueuses dans la production est 4 %. L'hypothèse alternative H 1 est p ≠ 0,04. Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 64 pièces, associe le pourcentage de pièces défectueuses de cet échantillon. On assimile ces échantillons de 64 pièces à des échantillons aléatoires prélevés avec remise et on p (1 − p) admet que sous H 0 , F suit la loi normale n(p , ) où n = 64 et p = 0,04 . n a) Déterminer le nombre réel a positif tel que P(0,04 – a ≤ F ≤ 0,04 + a) = 0,95. b) Enoncer la règle de décision du test. c) Pour un tel échantillon de 64 pièces on a trouvé cinq pièces défectueuses. Peut-on en conclure, au seuil de 5 %, que le pourcentage de pièces défectueuses dans la production est bien 4 % ?

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Statistique inférentielle - Tests

Analyses biologiques On s'intéresse dans cet exercice, aux allergies déclenchées par un médicament B. Dans une population de grand effectif, on a observé que 40 % des individus sont allergiques à B. Dans un échantillon de 100 individus prélevés au hasard, (assimilé à un échantillon non exhaustif) on a observé que 31 individus révèlent l'allergie à B. Au seuil de risque 0,05 peut-on conclure que l'échantillon est représentatif de la population pour l'allergie B ? Et au risque 0,10 ?

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Statistique inférentielle - Tests

Comparaison des pourcentages de deux populations

Comptabilité Gestion Nouméa Les nouveaux modèles de téléviseurs " 70 cm ", que va fabriquer une usine, sont de deux types : modèle (1) et modèle (2). Une enquête préalable à la fabrication, réalisée auprès de 400 ménages de la population S des ménages des "quartiers sud" de la ville V, indique qu'entre les deux modèles de téléviseurs, 63 % préfèrent le modèle (1). La même enquête, réalisée auprès de 500 ménages de la population N des ménages des "quartiers nord" de la ville, indique que 67 % préfèrent le modèle (1). On note FS la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 400 ménages pris au hasard et avec remise dans la population S, associe la proportion de ménages de cet échantillon qui préfèrent le modèle (1). On note FN la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 500 ménages pris au hasard et avec remise dans la population N, associe la proportion de ménages de cet échantillon qui préfèrent le modèle (1). On suppose que la loi de la variable D = FS – FN est approximativement une loi normale de moyenne pS – pN inconnue et d'écart type 0,032 (pS et pN étant les pourcentages de préférence dans les populations S et N). Construire, puis mettre en œuvre un test permettant de décider s'il y a une différence significative, au seuil 5 %, entre les pourcentages de préférence issus des deux échantillons de l'enquête préalable. On peut ajouter pour aider les candidats: - L'hypothèse H 0 est donnée par pS = pN , énoncer l'hypothèse alternative H 1 . - Déterminer l'intervalle [– a ; a] tel que, sous l'hypothèse H 0 , P(– a ≤ D ≤ a) = 0,95 - Enoncer la règle de décision du test. - Utiliser ce test avec les deux échantillons de l'énoncé et conclure.

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Statistique inférentielle - Tests

Fabrication industrielle du mobilier Une entreprise fabriquant un certain objet en grande quantité effectue un contrôle de sa fabrication sur un échantillon de 200 objets assimilé à un échantillon aléatoire prélevé avec remise. On constate que 60 objets sont de première qualité, les autres de qualité courante. 1° Dans la production de l’entreprise le poucentage p d’objets de première qualité est inconnu. On suppose que la variable aléatoire F qui, à tout échantillon de taille n = 200 prélevé au hasard et avec remise dans cette production, associe le pourcentage d’objets de première qualité, suit la loi p (1 − p) normale n(p, ). n Déterminer un intervalle de confiance de p avec le coefficient de confiance 0,95. 2° En vue d’améliorer la qualité des objets produits, on procède à certaines modifications de la fabrication. Soit p’ le nouveau pourcentage d’objets de première qualité ainsi obtenus. On prélève un échantillonde 300 objets on observe que 120 sont de première qualité. On fait encore l’hypothèse que la variable aléatoire F ’ qui, à tout échantillon de taille 300 prélevé au hasard dans la production, associe le pourcentage d’objets de première qualité, suit la loi p (1 − p ) normale n(p, ). n a) En supposant que les variables aléatoires F et F’ sont indépendantes, indiquer quelle loi suit la variable F - F’. b) Construire un test unilatéral permettant de décider si, au seuil 5% , les modifications apportées ont amélioré significativement le pourcentage d’objets de qualité supérieure. Utiliser ce test avec les deux échantillons de l’énoncé. c) Reprendre le b) avec le seuil 1 %.

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Statistique inférentielle - Tests

Test de validité d'hypothèse unilatéral relatif à un pourcentage

Études et économie de la construction Une entreprise de bâtiment a constaté qu'un certain nombre de mitigeurs thermostatiques, posés par elle, avait mauvais fonctionnement. Ce mauvais fonctionnement est dû à une pièce cylindrique montée sur cette catégorie de mitigeur. L'entreprise, pose 304 mitigeurs. La variable aléatoire F qui, à tout échantillon de 304 pièces, associe la fréquence de défauts est une p(1 − p ) variable aléatoire qui suit la loi normale n(p, ). La production est suffisamment importante 304 pour que l'on puisse assimiler tout échantillon de 304 pièces à 304 tirages aléatoires et indépendants. a) Construire un test unilatéral permettant d'accepter ou de refuser l'hypothèse selon laquelle, au seuil de 5%, p > 0,05. Pour cela : - on choisira pour hypothèse H 0 : p = 0,05 et pour hypothèse H 1 : p > 0,05 ; - on déterminera le réel positif a tel que sous l'hypothèse H 0 : P(F ≤ a) = 0,95 ; - on déterminera la région critique au seuil de 5 % ; - on énoncera la règle de décision. b) On sait qu'il y a 18 défauts sur 304 pièces. Utiliser le test précédent pour conclure si, au seuil de 5 %, l'on accepte ou refuse l'affirmation : p > 0,05.

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Statistique inférentielle - Tests

Maintenance Une machine fabrique des tiges en grande série. La production étant importante on assimile tout prélèvement d'échantillon à un prélèvement avec remise. La machine est supposée bien réglée quand la proportion de pièces acceptables est supérieure ou égale à 90 %. Pour contrôler le réglage de la machine on construit un test permettant de décider si, au seuil de 5 %, la machine est bien réglée et on prélève de temps en temps des échantillons aléatoires de 150 tiges. a) Construction du test unilatéral : Soit F la variable aléatoire qui à tout échantillon aléatoire de 150 tiges associe le pourcentage de tiges acceptables dans cet échantillon. F suit la loi normale de moyenne p, proportion de tiges p (1 − p ) acceptables dans la population et d'écart type . 150 On choisit pour hypothèse nulle H 0 : p = 90 % et pour hypothèse alternative H 1 : p < 90 % . Déterminer le nombre réel h tel que, sous l'hypothèse H 0 , P(F > h) = 0,95. Énoncer la règle de décision de ce test. b) Utilisation du test : On prélève un échantillon aléatoire de 150 tiges. On trouve 22 tiges défectueuses. Quel est le pourcentage de tiges acceptables de cet échantillon ? En appliquant la règle de décision du test à cet échantillon non exhaustif, peut-on conclure, au seuil de 5 %, que la machine est bien réglée ?

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Statistique inférentielle - Tests

Groupement D 2001 Un personne prétend qu'elle peut souvent deviner à distance la couleur d'une carte tirée au hasard d'un jeu de cartes bien battu et comportant des cartes de deux couleurs différentes en nombre égal. On appelle p la probabilité que cette personne donne une réponse juste (succès) lors d'un tirage. Si cette personne ment on a p =

1 1 , sinon p > . 2 2

On appellera échantillon de taille n toute réalisation de n tirages successifs d'une carte dans le jeu, avec remise. On appelle F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille n, associe la fréquence des succès obtenus par le prétendant devin au cours des n tirages d'une carte. On admet que F suit la loi normale p (1 − p) de moyenne inconnue p et d'écart type . n On construit un test unilatéral permettant de détecter, au risque de 5%, si cette personne ment. On choisit n = 100. On choisit comme hypothèse nulle H 0 : p =

1 1 , et comme hypothèse alternative H 1 : p = 2 2

1 ⎛ ⎞ 1. Calculer, sous l'hypothèse H 0 , le réel positif h tel que P⎜ F ≥ + h ⎟ = 0,95 . 2 ⎝ ⎠ 2. Énoncer la règle de décision du test. 3. Sur un échantillon de taille 100, le magicien a obtenu 64 succès. Peut-on considérer, au risque de 5%, que le magicien est un imposteur ?

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Statistique inférentielle - Tests

Chimiste 2001 Une entreprise fabrique des flacons destinés à contenir une substance particulière. Un flacon est dit conforme s'il vérifie un ensemble de critères définis par l'entreprise. On appelle p la proportion de flacons conformes dans l'ensemble de la production. On se propose de construire et d'utiliser un test unilatéral pour valider ou refuser, au seuil de risque 5 %, l'hypothèse selon laquelle la proportion p de flacons conformes dans l'ensemble de la production, sur une période donnée, est égale à 0,8. (Hypothèse nulle H 0 : "p = 0,8" ; hypothèse alternative H 1 : "p < 0,8"). Pour cela, on prélève au cours de cette période dans l'ensemble de la production des échantillons de 200 flacons, au hasard et avec remise. On appelle F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de ce type, associe la proportion de flacons conformes de cet échantillon. On admet que la loi de F est une loi normale N (p , σ). 1. Sous l'hypothèse Ho : a) Montrer qu'une valeur approchée de σ est 0,03. b) Déterminer le réel positif h tel que P(F ≥ 0,8 – h) = 0,95. (Arrondir le résultat au centième). 2. Énoncer la règle de décision relative à ce test de validité d'hypothèse. 3. Dans un échantillon de 200 flacons, on a trouvé 156 flacons conformes. Au vu de cet échantillon, doit-on, au de risque 5 % accepter ou refuser l'hypothèse "p = 0,8" ?

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Tests de validité d'hypothèses