ITI OMAR Dipartimento di Meccanica
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Elementi di Costruzione di Macchine
CALCOLO DEGLI ALBERI DI TRASMISSIONE
Gli assi e gli alberi sono elementi di forma allungata sottoposti durante il funzionamento della macchina a un moto di rotazione oppure di oscillazione attorno ad una asse rettilineo. Nella maggioranza dei casi gli assi e gli alberi sono fondamentalmente a sezione circolare. Si usa di solito il nome di assi quando le sollecitazioni sono quasi esclusivamente di flessione, il nome di alberi quando le sollecitazioni sono quasi esclusivamente di torsione. In pratica sono sempre presenti, in varia misura, entrambe le sollecitazioni di flessione e torsione. Il dimensionamento viene condotto ipotizzando una sollecitazione ideale che compendi, in modo opportuno, entrambe le sollecitazioni in gioco. In modo del tutto analogo si può anche far riferimento ad una tensione ideale che compendi, in modo opportuno, entrambe le tensioni in gioco. Riportiamo di seguito le espressioni delle tensioni e delle sollecitazioni ideali1. Sollecitazioni ideali
M fi = M 2f + 0.75M t2
M ti = 4 3M 2f + M t2
(1.1)
τ id = σ 2f 3 + τ t2
(1.2)
Tensioni ideali
σ id = σ 2f + 3τ t2
Circa i valori massimi ammissibili per le σ id e le τ id non è possibile indicare se non valori di larga massima dipendendo essi sia dalla natura del materiale, dai trattamenti termici, dal grado di finitura superficiale, dal tipo di sezione (presenza di cave, raccordi…) sia dalle modalità d’applicazione del carico (costante, pulsante, impulsivo….) Le norme ASME propongono, per un albero pieno con carico assiale trascurabile, di comporre le sollecitazioni definendo un momento torcente ideale in accordo con la seguente equazione2:
M ti =
(k
f
Mf
) + (k M ) 2
t
2
(1.3)
t
dove i coefficienti k devono essere scelti, in funzione della modalità di applicazione del carico, in accordo con la tabella sotto riportata3: Tipo di carico kf kt costante 1.5 1.0 urto lieve 1.5-2.0 1.0-1.5 urto pesante 2.0-3.0 1.5-3.0 Il diametro dell’albero allora dovrà soddisfare la seguente disuguaglianza: 16 M ti d≥3
πτ amm
1
(1.4)
Le espressioni (1.1) e (1.2) sono in accordo con l’ipotesi di rottura, denominata ipotesi dell’energia di distorsione, secondo la quale la rottura non avviene quando raggiunge il massimo tutta l’energia di deformazione, ma solo quella parte di tale energia che corrisponde al cambiamento di forma dell’elemento di volume infinitesimo, e che è uguale a tutta l’energia di deformazione meno la quota parte che produce esclusivamente cambiamento di volume, senza cambiamento di forma. La formalizzazione della teoria si deve a Richard Edler von Mises (Lemberg 19 April 1883 - Boston, 14 July 1953) uno scienziato che fornì importanti contributi nei campi della fluidodinamica, dell’aerodinamica, della statistica e della teoria della probabilità 2 Le norme ASME a cui si fa riferimento, pur essendo superate, forniscono, per un calcolo di massima, valori decisamente attendibili 3 I coefficienti k , detti anche coefficienti di fatica, tengono conto dell’affaticamento del materiale che dipende, tra l’altro, dalla modalità di applicazione del carico, dalla finitura superficiale e dalle caratteristiche geometriche dell’albero.
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