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Ejercicios Propuestos Steffanny Fernández Chica schica@uninorte.edu.co Darwin Rafael Pico Ripoll dpico@uninorte.edu.co Universidad del Norte
I.
O NDAS B IDIMENSIONALES
El desplazamiento transversal de la cuerda está dado por y(x, t) = A cos(kx − ωt) y z(x, t) = A sen(kx − ωt). Ésto lo podemos expresar como una función vectorial de desplazamiento así: u(x, t) = A cos (kx − ωt) ˆj + A sin (kx − ωt) kˆ
(1)
ˆ Sea Para x = 0 → u(0, t) = A cos (−ωt) ˆj + A sin (−ωt) k. y = A cos (−ωt) y z = A sin (−ωt),si elevamos al cuadrado y y z y simplificamos las expresiones, obtenemos la ecuación paramétrica de una circunferencia de radio A, en el plano yz, como se ilustra en la figura.
∂u(x, t) = Aω sin(kx − ωt)ˆj − Aω cos(kx − ωt)kˆ ∂t (2) Para probar que éste vector representa la velocidad tangencial de una partícula que se mueve en un círculo de radio A y con velocidad angular ω, desarrollamos el producto punto entre el vector de desplazamiento y el de velocidad que obtuvimos; si el producto puntos nos da igual a cero, entonces, quiere decir que los dos vectores son ortogonales y por tanto podemos afirmar que la velocidad es tangencial a la trayectoria que describe la partícula en su movimiento. Ya se demostró que la partícula se mueve en una trayectoria circular de radio A, con una velocidad angular ω. v(x, t) =
u(x, t) • v(x, y) = A2 ω cos(kx − ωt) sin(kx − ωt) −A2 ω cos(kx − ωt) sin(kx − ωt) = 0 De este modo, podemos ver que efectivamente la velocidad es tangencial al movimiento de la partícula. La norma del vector velocidad está dada por: p kvk = (Aω sin(kx − ωt))2 + (−Aω cos(kx − ωt))2 = q = A2 ω 2 (cos2 (kx − ωt) + sin2 (kx − ωt)) = Aω
La gráfica muestra la trayectoria de la partícula vista por un observador que está en el eje +x y mira hacia x = 0. La posición de la partícula para distintos instantes de tiempo es: – En t = 0 la partícula se encuentra ubicada en u(0, 0) = Aˆj, es decir, en el extremo superior de la circunferencia. ˆ es decir, la – Cuando t = π/2ω → u(0, π/2ω) = −Ak, partícula se encuentra en en el extremo izquierdo de la circunferencia. – Para t = π/ω → u(0, π/ω) = −Aˆj, es decir, se localiza en en el extremo inferior de la circunferencia. ˆ es decir, la partícu– En t = 3π/2ω → u(0, 3π/2ω) = Ak, la se halla en en el extremo derecho de la circunferencia. Ahora obtendremos el vector velocidad para una partícula que está en una posición arbitraria x en la cuerda, para ésto, derivamos parcialmente la ecuación (1), la cual nos describe el desplazamiento de la partícula, con respecto al tiempo. Para obtener:
Luego, la magnitud del vector velocidad kvk = Aω = cte, ya que, no depende ni de la posición en x, ni del tiempo t. Por lo que, la partícula está en movimiento circular uniforme. El vector aceleración de la partícula se obtiene al derivar parcialmente con respecto al tiempo la ecuación que describe la velocidad de la partícula. ∂v(x, t) = −Aω 2 cos(kx−ωt)ˆj−Aω 2 sin(kx−ωt)kˆ ∂t La norma del vector aceleración es: p kak = (−Aω 2 cos(kx − ωt))2 + (−Aω 2 sin(kx − ωt))2 q = A2 ω 4 (cos2 (kx − ωt) + sin2 (kx − ωt)) = Aω 2
a(x, t) =
II.
L OCALIZACIÓN DE RAYOS POR RADIO
Para saber dónde cayó el rayo en relación con el estadio, se debe conocer el ángulo θ , que se puede hallar utilizando la ley del coseno. Para esto, primero tenemos que calcular la distancia a la que se encuentra el estadio y la casa al lugar donde impactó el rayo, siendo d1 y d2 estas medidas respectivamente. El problema se esquematiza en la siguiente figura:
2
Dado que las ondas se propagan en un mismo medio, la velocidad es constante y es igual a v = 344m/s. El tiempo que tardó el trueno para llegar al estadio fue de 3s, y a la casa de 4,43s entonces, IV. d1 = vs (4,43s) = (344m/s)(4,43s) = 1523,92m d2 = vs (3,0s) = (344m/s)(3,0s) = 1032m
E JERCICIO 60
La ecuación para una onda senoidal de manera general es: y(x, t) = A cos(kx − ωt + φ)
Luego, aplicando la ley del coseno hallamos θ así:
La onda en función de x en t = 0 para distintos valores de φ está representada por la siguiente figura: (1523,92m) − (1032m) − (1120m) = 90,07◦ La velocidad transversal vy se calcula al derivar parcialφ = arccos −2(1032m)(1120m) mente y(x, t) con respecto al tiempo. Entonces, Lo que nos permite concluir que el rayo cayó a una distancia ∂y(x, t) de 1,032km al noroeste del estadio. vy = = ωA sin(kx − ωt + φ) ∂t 2
III.
2
2
O NDAS DE FORMA ARBITRARIA
La ecuación de movimiento de una onda se puede escribir de la siguiente forma: y(x, t) = f (x − vt) Supongamos que la función tiene un máximo para cuando el argumento de f es igual a cero, entonces, x − vt = 0 → x = vt. Por tanto, el punto se mueve en la dirección +x dependiendo del tiempo y la velocidad. Para probar que y(x, t) = f (x − vt) satisface la ecuación de onda, sea cual sea la forma funcional de f , comenzamos escribiendo y(x, t) = f (u), donde u = x − vt. Luego, derivamos parcialmente y(x, t) respecto a x y t y usamos la regla de la cadena, para obtener: ∂y ∂t ∂y ∂x
= =
df du df du
∂u ∂t ∂u ∂t
df = − du v df = du
Se toma nuevamente derivadas parciales respecto a x y t 2 ∂2y df d ∂u 2d f = −v 2 ∂t du du ∂t = v du2 ∂2y df d2 f d ∂u ∂x2 = du du ∂t = du2 2
d f Despejando du 2 e igualando miembros nos queda la ecuación de onda expresada por: ∂2y ∂x2
=
2 1 ∂ y v 2 ∂t2
V.
E JERCICIO 61
La potencia media Pmed , de una onda senoidal en una cuerda está definida por: 1p Pmed = µF ω 2 A2 2 Dado que v 2 = Fµ → F = µv 2 , reemplazando este valor en la anterior ecuación nos queda que: 1p 2 2 2 2 1 1p µ(µv 2 )ω 2 A2 = µ v ω A = µvω 2 A2 Pmed = 2 2 2 Como µ = vF2 y ω = kv, sustituyendo estos valores en la última ecuación y simplificando obtenemos: 1 F 1 Pmed = kvωA2 = F kωA2 2 v 2 De esta manera llegamos a que la potencia media también puede expresarse como: Pmed = VI.
1 F kωA2 2
E NERGÍA EN UN PULSO TRIANGULAR
Un pulso ondulatorio triangular en una cuerda tensa viaja en la dirección +x con rapidez v. La tensión en la cuerda es F y la densidad lineal de masa de la cuerda es µ. En t = 0, la forma del pulso está dada por 0 , x < −L h(L + x)/L , −L < x < 0 y(x, 0) = (3) h(L − x)/L , 0 < x < L 0 ,x > L
3
Y su representación gráfica se ilustra en la figura La función de onda y(x, t) para cualquier instante t se define teniendo en cuenta que el movimiento viaja en la dirección +x con rapidez v,entonces, se reemplaza x de la ecuación (3), por x − vt , y se obtiene: 0 , (x − vt) < −L h(L + x − vt)/L , −L < (x − vt) < 0 y(x, t) = h(L − x + vt)/L , 0 < (x − vt) < L 0 , (x − vt) > −L
(4)
La potencia correspondiente P en un instante t se define por: ∂y(x, t) ∂y(x, t) ∂x ∂t En el pulso triangular descrito por la ecuación (4), la potencia instantánea está dada por: −F (0)(0) = 0 ; (x − vt) < −L −F (h/L)(−hv/L) = F vh2 /L2 ; −L < (x − vt) < 0 P (x, t) = −F (−h/L)(hv/L) = F vh2 /L2 ; 0 < (x − vt) < L −F (0)(0) = 0 ; (x − vt) > L P (x, t) = −F
Con esta ecuación se puede ver claramente que la potencia es cero excepto cuando −L < (x − vt) < L y es constante en este intervalo con valor de F vh2 /L2 .