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Ondas en una cuerda Steffanny Fernandez Chica schica@uninorte.edu.co Darwin Pico Ripoll dpico@uninorte.edu.co
I.
R ESUMEN
En e´ sta pr´actica de laboratorio descrita a continuaci´on, se analizan las caracter´ısticas de las ondas estacionarias en una cuerda tensa. Para ello, se dispuso de un montaje conformado por una cuerda homog´enea de longitud constante, una varilla de soporte, una polea y un platillo con masas, con el fin de variar la tensi´on en la cuerda; adem´as, se utiliz´o un generador de ondas mec´anicas que debe ser conectado a un generador de funciones digital donde se var´ıa la frecuencia del sistema. La experiencia consta de dos partes, en la primera parte, se mantiene constante la frecuencia y se varia la tensi´on del sistema y en la segunda parte se mantiene constante la tensi´on a la que est´a sometida la cuerda y se var´ıa la frecuencia con el fin de determinar la longitud de onda en los diferentes husos producidos en la cuerda. Con ayuda de esto, se analiza la relaci´on entre la frecuencia de oscilaci´on y el n´umero de segmentos o husos formados en la onda, as´ı como tambi´en la relaci´on entre la longitud de la cuerda y la longitud de onda. II.
ABSTRACT
In practice it described laboratory then analyzes the characteristics of the standing wave in a taut rope. This will be provided with a mounting formed by a string of uniform length constant, a rod holder, a pulley and a saucer with masses in order to vary the tension in the rope, also used a mechanical wave generator which should be connected to a digital function generator which varies the frequency of the system. The experience consists of two parts, part one, remains constant frequency and variable voltage system, and the second part is constant tension that is subject to the rope and the frequency varies with the aim of determine the wavelength into different zones produced in the rope. With the help of this, discusses the relationship between the frequency of oscillation and the number of segments or zones formed in the wave, as well as the relationship between the length of the rope and the wavelength. III.
M ETODOLOG´I A DE DESARROLLO
I Tema: Ondas estacionarias en una cuerda tensa. II Objetivos: General Determinar las caracter´ısticas de las ondas estacionarias en una cuerda tensa. Espec´ıficos 1. Determinar la relaci´on entre la tensi´on en la cuerda y el n´umero de segmentos o husos formados en la onda. 2. Determinar la relaci´on entre la frecuencia de oscilaci´on y el n´umero de segmentos o husos formados en la onda.
3. Determinar la relaci´on entre la longitud de la cuerda y la longitud de onda 4. Determinar la densidad lineal de masa de la cuerda utilizada en la experiencia. III Actividades de fundamentaci´on te´orica: Antes de llegar al laboratorio debes indagar acerca de los siguientes aspectos: 1. Ondas estacionarias 2. Densidad lineal de masa. 3. Relaci´on entre la velocidad, la frecuencia y longitud de onda. 4. Relaci´on entre la tensi´on, la densidad lineal y la velocidad de una onda. IV Procedimiento: En esta experiencia se utiliza el generador de funciones digital( PI - 9587C) y el generador de ondas mec´anicas( SF- 9324), juego de masas (ME-8967),cuerda el´astica para ondas(SE-9409) y polea, para determinar las caracter´ısticas de una onda estacionaria formada por un generador de ondas mec´anicas 1. Configuraci´on del ordenador. Conecte el interfaz de ScienceWorkshop al ordenador, encienda el interfaz y el ordenador. En esta experiencia se utiliza el programa Data Studio s´olo para editar las tablas y trazar las gr´aficas. 2. Calibraci´on del sensor y montaje del equipo. Realice un montaje como indica la figura.
Figura 1. Montaje para la experiencia
3. Toma de datos: Encienda el generador de funciones digital y Ponga suficientes masas en el portapesas para hacer que la cuerda de 1m vibre en su modo de frecuencia fundamental (un antinodo en el centro) a la frecuencia de 20 Hz. Ajuste la cantidad de masa hasta que los nodos de cada extremo est´en c¸laros”(no vibrando). Anote la cantidad de masa en la secci´on Tabla 1 que aparece en la secci´on 2 del Informe de laboratorio.
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Ahora cambie la cantidad de masa del portapesas hasta que la cuerda vibre en cada uno de los arm´onicos superiores (de 2 segmentos hasta 7 segmentos) y anote las masas en la Tabla 1. Ahora mantenga la tensi´on que hace vibrar la cuerda de 1m en su modo de frecuencia fundamental y reg´ıstrela en la Tabla 2 que aparece en la secci´on 2 del Informe de laboratorio. Comience a variar la frecuencia hasta que encuentre desde la fundamental hasta el s´eptimo segmento. Anote los resultados en la Tabla 2. ´ IV. M ARCO T E ORICO De manera muy general una onda es una pertubaci´on que se propaga a trav´es del tiempo y el espacio, y una de sus caracter´ısticas principales es que transmite energ´ıa, por ejemplo, muchos desde ni˜nos hemos visto como al dejar caer un objeto sobre una charca se creaban unas especies de olas circulares de peque˜no tama˜no que se propagaban sobre e´ sta, y si ten´ıamos un bal´on de playa o algo dentro de la charca cerca al lugar donde ca´ıa el objeto, ve´ıamos como se movia al comp´as de nuestras olas. Como podemos ver la pelota gana energ´ıa cin´etica, pues se meuve de arriba abajo, a pesar que no hay un desplazamiento neto. As´ı notamos como la onda es capaz de transmiir energ´ıa del punto donde cayo el objeto en la charca, hasta el punto donde se encuentra nuestro balon de playa. Podemos decir que hay dos grandes grupos de ondas: Las ondas mec´anicas y las ondas electrom´agneticas. Las primeras necesitan de un medio que pueda ser pertubado, adem´as necesitan de un medio f´ısico en el cual elementos de e´ ste puedan influir uno sobre el otro, mientras que las segundas no necesitan de ning´un medio para transmitirse. Tambi´en, se pueden establecer tipos de ondas de acuerdo al movimiento relativo entre las particulas del medio y la velocidad de la onda, de esta forma podemos encontrar ondas longitudinales y ondas transversales. Un ejemplo de las primeras es una cuerda atada por un extremo y que por el otro es agitado arriba y abajo por una persona, y de las segundas un resorte fijo por un extremo. En el caso de la cuerda las particulas del medio se mueven de arriba hacia abajo, mientras que la velocidad de la onda es perpendicular a este movimiento. En el caso del resorte este se mueve horizontalmente, mientras la onda lo hace de la misma forma. Tratemos de establecer una relaci´on que nos pueda describir c´omo se comporta una onda en el tiempo y el espacio. Supongamos que tenemos una funci´on y(x, t) = f (x), que describe la posici´on transversal de la onda para cada instante de tiempo y para cada desplazamiento horizontal. Si suponemos que la onda mantiene su forma, es decir, la onda no cambia de forma a lo largo del tiempo. Para un tiempo t=0 tendr´ıamos y(x, 0) = f (x), entonces para un tiempo t la onda se ha desplazado vt, pero como la forma de la onda no cambia entonces y(x, t) = y(x − vt, 0). En general, se puede escribir la posici´on transversal para todas los desplazamientos y tiempos de una onda que se desplaza a la derecha como, y(x, t) = f (x − vt), y an´alogamente para una onda que se mueve a la izquierda como y(x, t) = f (x + vt).
Una funci´on de onda de mucha importancia es la que se ilustra en la figura ??. La onda que representa esta funci´on se llama onda senoidal, debido al parecido de su funci´on a la curva del senθ. Una onda senoidal es el ejemplo mas simple de una onda peri´odica continua, y su importancia onda radica en que se pueden expresar muchos otros tipos de onda basandose en ella.
Figura 2. Onda senoidal
En la figura ???? se observa la posici´on transversal para todos los desplazamientos en una onda en un tiempo dado. Observemos que hay ciertos puntos del desplazamiento, donde la posici´on transversal es mal alta, a estos puntos se les llama cresta de la onda. La distancia de un punto de estos al siguiente se llama longitud de onda y se denota por la letra griega lambda, λ. De una forma m´as general este u´ ltimo par´ametro se puede entender como la distancia m´as corta entre dos puntos id´enticos sobre la onda. Otro par´ametro que se tiene muy en cuenta es el periodo, T , e´ ste es el tiempo que demora la llegada de dos crestas inmediatamente seguidas,adyacentes. De una forma m´as general se puede decir que e´ ste es el tiempo que demora en pasar por un mismo punto, dos puntos adyacentes de la onda que sean id´enticos, que tengan la misma posici´on transversal. Cuando se habla de la frecuencia de una onda, no se habla sino sobre el n´umero de ciclos por segundo, por ejemplo, el n´umero de crestas que ocurren en un segundo. La frecuencia se relaciona con el per´ıodo de la siguiente forma: 1 f= T Consideremos una onda senoidal en t = 0,como la que se muestra en la figura ?? , ahora consideremos su funci´on para este tiempo, esperamos que esta funci´on sea de la forma y(x, 0) = Asen(ax), donde A es el mayor desplazamiento vertical de la onda(amplitud), y a es una constante, la cual debemos hallar. En x = 0 vemos que y(0, 0) = Asena(0) = 0,el siguiente valor de x para el cual y es cero es λ/2. Por tanto: λ λ y , 0 = A sen a =0 2 2 Para que la ecuaci´on de arriba se cumpla debemos tener que a(λ/2) = π, o a = 2π/λ.Por tanto tenemos que, la funci´on
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que describe las posiciones para los desplazamientos en el medio por el cual la onda se desplaza es: 2π x y (x, 0) = A sen λ Como se sabe que la onda no cambia de forma, y para un elemento x,si tomamos uno que est´e a la derecha vt sabemos que tienen igual posici´on transversal, entonces la ecuaci´on de onda para un tiempo posterior t es : 2π (x − vt) y (x, t) = A sen λ Como sabemos que la onda viaja una distancia λ en un tiempo T , entonces tenemos que la velocidad de la onda ser´a: λ T Al sustituir este valor en la ecuaci´on anterior, obtenemos: t x − y = A sen 2π λ T v=
Podemos expresar la funci´on de onda en una forma un poco m´as compacta al definir dos cantidades, el numero de onda k y la frecuencia angular ω: 2π λ 2π ω= T Al usar estas dos u´ ltimas ecuaciones, nuestra funci´on queda as´ı: y (x, t) = A sen (kx − ωt) k=
V.
´ A N ALISIS DE RESULTADOS
Es normal que al cambiar alguno de los par´ametros en una onda, otros tambi´en var´ıen, mientras algunos se quedar´an constantes. La forma en que se puede ver que ocurre si cambiamos alg´un par´ametro en una onda, es viendo como se relaciona cada uno de e´ stos. De manera intuitiva se puede notar la relaci´on entre la rapidez, la tensi´on de una cuerda sobre la cual se desplaza una onda transversal, y la densidad lineal de masa de la cuerda. Si la cuerda tensionada es jalada por ambos extremos y luego soltada, entonces la tensi´on sera la que haga que un elemento de cuerda se acelere para llegar a su posici´on de equilibrio, entonces por segunda ley de Newton tendremos que mientras esta fuerza sea cada vez mayor entonces la aceleraci´on tambi´en lo ser´a, por tanto se espera que si aumentamos la tensi´on en una cuerda sobre la cual viaja una onda transversal, se espera que la rapidez de la onda tambi´en aumente. Mientras que si aumentamos la densidad lineal de masa, de nuevo por segunda ley de Newton, esperamos que la rapidez de la onda sea menor. As´ı de manera intuitiva podemos llegar a una relaci´on entre estas magnitudes. Relaci´on que con un an´alisis m´as matem´atico quedar´a de la siguiente forma: s v=
T µ
Pero por otro lado sabemos que la onda se desplaza una longitud λ en un tiempo T , por tanto: λ v= T ,y sabiendo que el per´ıodo T es el inverso de la frecuencia tenemos: v = λf ,donde λ y f , representan las magnitudes ya conocidas de longitud de onda y frecuencia. Varias relaciones se pueden deducir de estas ecuaciones, por ejemplo es muy f´acil notar la relaci´on de proporcionalidad directa entre la longitud de onda y la velocidad, hecho que nos har´a esperar que teniendo los demas valores fijados, a una mayor velocidad haya menos husos de onda en la cuerda. Tambi´en que los par´ametros λ y f son inversamente proporcionales, es decir, si el primero aumenta el segundo disminuir´a. Pregunta 4 ¿Aumenta o disminuye el n´umero de segmentos cuando la frecuencia de vibraci´on de la cuerda aumenta y la tensi´on permanece constante? Si la frecuencia de vibraci´on de la cuerda aumenta y la tensi´on permanece constante, el n´umero de segmentos aumenta, como se observa en la tabla 2. Esta relaci´on se puede ver utilizando la ecuaci´on: fn = n v/2L Dado que v y L permanecen constantes, si n aumenta fn tambi´en se incrementar´a y viceversa. Pregunta 5 ¿Aumenta, disminuye o permanece igual la velocidad de las ondas cuando la frecuencia aumenta y la tensi´on permanece constante? La velocidad de las ondas no depende de la amplitud ni de la frecuencia de la onda, por el contrario, depende de la tensi´on y de la densidad lineal de masa, dicho de manera general, depende de la fuerza de restituci´on, que tiende a volver el sistema a su configuraci´on de equilibrio, no perturbada y de la inercia que resiste el retorno al equilibrio. Por tanto, si la frecuencia aumenta y la tensi´on permanece constante, la velocidad de la onda no var´ıa. Pregunta 6. ¿A partir de la Tabla 2 que relaci´on puedes inferir entre la frecuencia y el n´umero de segmentos o husos? Teniendo en cuenta los datos registrados en la tabla 2. se puede ver claramente que a medida que aumenta la frecuencia, aumenta el n´umero de segmentos o husos, es decir, que entre la frecuencia y el n´umero de husos existe una relaci´on de proporcionalidad directa; la ecuaci´on que relaciona e´ stos dos par´ametros confirma los resultados obtenidos y adem´as muestra que la frecuencia de un modo normal de oscilaci´on es un m´ultiplo entero positivo de la frecuencia fundamental, por tanto si se realiza una gr´afica de frecuencia contra n´umero de husos, se obtendr´a una l´ınea recta. Dicha relaci´on se expresa como: fn = n f L
n = 1, 2, 3, ...
Pregunta 7 ¿Aumenta o disminuye la longitud de onda de la cuerda al aumentar la frecuencia?
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Analizando la tabla 2. se nota que si se aumenta la frecuencia, la longitud de onda disminuye, es decir, que existe una relaci´on inversa entre e´ stas dos canti´ dades. Esta relaci´on tambi´en se puede ver analizando la ecuaci´on: v fn = λn Pregunta 8. ¿A partir de la Tabla 2 que relaci´on puedes inferir entre la longitud de onda y la longitud de la cuerda? En la tabla 2. se decidieron registrar los datos de la longitud de onda como medias longitudes de ondas, debido a que, es la separaci´on que hay entre dos nodos adyacentes, y era la medida directa que se tomaba con ayuda de una cinta m´etrica. As´ı que la longitud de la cuerda debe ser un n´umero entero de estas cantidades, es decir, el n´umero de segmentos o husos formados en la cuerda multiplicado por (λ/2), o´ , las medias longitudes de ondas (que es la cantidad registrada) deben ser la longitud de la cuerda dividida entre el n´umero de segmentos o husos. En la tabla se puede notar e´ sta relaci´on con cierto grado de desviaci´on debido a que son datos tomados experimentalmente, por lo que siempre existe cierto error en la toma de e´ stos. Pregunta 9. ¿Puedes imaginar que determina la velocidad de un pulso en una cuerda? La velocidad de un pulso en una cuerda est´a determinada por la elasticidad del medio en que se propaga la onda, el cual produce una fuerza restauradora que vuelve el sistema al equilibrio y por la inercia del medio, que es la respuesta del medio a la fuerza de restituci´on. Pregunta 10. ¿La velocidad de una part´ıcula de la cuerda es igual a la velocidad de la onda? Explique. La perturbaci´on siempre viaja por el medio con una rapidez definida llamada rapidez de propagaci´on o rapidez de la onda, determinada en cada caso por las propiedades mec´anicas del medio como se expuso en la pregunta anterior. Mientras que, la rapidez con que se mueven las part´ıculas cuando son perturbadas por la onda se obtiene al derivar parcialmente la funci´on de onda respecto a t; e´ sta velocidad var´ıa con el tiempo y puede ser mayor, menor o igual que la rapidez de la onda, dependiendo de la amplitud y frecuencia de la onda. Pregunta 11. Algunas cuerdas de guitarra o de piano tienen enrollado un alambre o una cinta de metal alrededor de ellas ¿Cu´al es su finalidad? Cuando se enrolla un alambre o una cinta de metal alrededor de una cuerda de guitarra o de piano, se est´a aumentando la densidad lineal de masa de la cuerda, lo que hace que la velocidad de propagaci´on de la onda disminuya y por tanto su frecuencia, por lo que, escuchamos sonidos m´as graves. Pregunta 15. Suponga que una cuerda 1 es dos veces m´as densa que la cuerda 2, pero ambas tienen la misma tensi´on y la misma longitud. Si cada una de las cuerdas est´a vibrando en su modo fundamental ¿qu´e cuerda vibrar´a con la mayor frecuencia? Dado que la cuerda 1 es dos veces m´as densa que la
cuerda 2 con igual tensi´on y longitud, √ la velocidad de la cuerda 2 es mayor en un factor de 2 en comparaci´ on √ con la velocidad de la cuerda 1, es decir, v2 = 2v1 . La frecuencia en su modo fundamental de cada cuerda est´a dada por: v1 v2 f1 = , f2 = 2L 2L expresando v2 en t´erminos de v1 se concluye que: v1 √ v 1 f1 = h 2 = f2 2L 2L
Figura 3. Tabla 2