Ma6 Lång blädderex

SCHILDTS & SÖDERSTRÖMS

Ma6

LÅNG Derivatan

ficienten för tangenten till funktionen f vid x = a är r brant grafen är i denna punkt. Vi kallar riktningsör tangenten till funktionens graf i punkten (a, f (a)) x = a och betecknar denna med f ′(a). y

k = f’(a) f(a)

ta

(a, f(a)) x

a

gskoefficienten för tangenten till funktionen f vid x = a är mpel lär vi oss uppskatta värdet av derivatan med hjälp hur brant grafen är i denna punkt. Vi kallar riktningsspå graf. nten för tangenten till funktionens graf i punkten (a, f (a)) 1atan i x = a och betecknar denna med f ′(a). y

u grafen y = f (x) till en stäm med hjälp av grafen = 2 för funktionen f.

y 1

x

1

f(a)

(a, f(a)) x

a

= 2 för funktionen f y ktningskoefficienten till funktionens graf 1värdet serar tangenten, e exempel lär vi oss (−2, uppskatta 1) kter på tangenten ionens graf.

1 gentens riktningsd hjälp av de na.

PEL 1

-5 = -1 ser du grafen y = f (x) till en

k = f’(a)

av derivatan med hjälp x

(3, −4)

y

Schildts & Söderströms www.sets.fi Fondernas samarbetsgrupp som består av Svenska kulturfonden, Svenska Folkskolans Vänner, Föreningen Konstsamfundet och Lisi Wahls stiftelse för studieunderstöd har beviljat ekonomiskt stöd för utgivningen av detta läromedel.

Finska förlagans titel: Tekijä, Pitkä matematiikka 6, Derivaatta Redaktör för den finska upplagan: Timo Pitkänen Bildredaktör: Suvi-Tuuli Kankaanpää Redaktör för den svenska upplagan: Maria Palmén Omslag: Heidi Hjerpe Förlagans layout: Liisa Holm, Sari Jeskanen Ombrytning: Eija Högman och Jukka Iivarinen, Vitale Illustrationer: Marja Venäläinen

Första upplagan, 2017 © Paavo Heiskanen, Päivi Kaakinen, Jukka Lehtonen, Mika Leikas, Jorma Tahvanainen och Sanoma Pro Oy © 2017 Jan-Anders Salenius, Leif Österberg och Schildts & Söderströms

Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok.

Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61).

Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser. Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi.

Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det.

ISBN 978-951-52-4367-6

Till dig som använder boken Ma6 Lång Under kursen bekantar vi oss med grunderna i differentialkalkyl. Kursens mål är att du får en åskådlig bild av de nya funktionsbegreppen gränsvärde, kontinuitet och derivata samt att du lär dig undersöka förloppet hos en polynomfunktion och en rationell funktion. Kurs 6 påbörjar en större helhet (kurserna 6–9) som vi gemensamt kunde kalla matematisk analys.

Bokens uppbyggnad Varje avsnitt börjar med en ”Vi undersöker”-uppgift där du leds in på det ämne som ska studeras och också själv finner ny kunskap. Den nya teoretiska kunskapen presenteras i form av definitioner och satser som vi motiverar och samlar till en klar helhet. Exemplen visar sedan hur den teoretiska kunskapen kan användas i olika tillämpningar. Teorin och exemplen är skrivna så att du kan tillgodogöra dig kunskapen på egen hand, så därför stöder boken också individuell inlärning och flipped classroom.

EXEMPEL 1 EXEMPEL 2

CAS

I boken finns typexempel som är avsedda att lösas utan räknare.

I övriga exempel visar vi hur du kan använda räknaren som ett hjälpmedel på ett ändamålsenligt sätt. Med räknare avses i denna bok också program för symboliskt räknande och andra tekniska hjälpmedel.

Uppgifterna är indelade i två serier. Serie I innehåller basuppgifter som följer ordningen i typexemplen. Serie II innehåller basuppgifter och mer krävande uppgifter som ska erbjuda utmaningar.

1. Uppgifter som är tänkta att räknas utan räknar- eller kalkylprogram eller geometriska program har markerats med bakgrundsfärg.

2. Uppgifter där det är tillåtet att använda alla hjälpmedel har ingen bakgrundsfärg.

E1 Hänvisningarna till typexemplen hjälper dig när du övar.

Uppgifter som är markerade med geometrilogon löser du med hjälp av geometriprogram.

Repetition Repetitionsuppgifterna är indelade i fyra delar. Först går du igenom kursens innehåll i samma ordning som kapitelrubrikerna, efter det följer flervalsuppgifter och uppgiftsserierna A och B som innehåller uppgifter från hela kursen.

Vi önskar dig motiverande och inspirerande studier.

Helsingfors och Kvevlax 7.8.2017 Författarna T I L L D I G S O M A N VÄ N D E R B O K E N

3

Innehåll 1 Rationell funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1 Rationell funktion………………………………………………………………………………………… 6 1.2 Rationella ekvationer…………………………………………………………………………………… 16 1.3 Rationella olikheter……………………………………………………………………………………… 21

2 Gränsvärde och kontinuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 2.2 2.3 2.4

Gränsvärde för en funktion………………………………………………………………………………

Att bestämma ett gränsvärde……………………………………………………………………………

Kontinuerlig funktion……………………………………………………………………………………

Kontinuitet…………………………………………………………………………………………………

3 Derivata

28 40 50 58

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4 Derivatan av en polynomfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1 4.2 4.3 4.4

28

Derivatan av en potens och en produkt…………………………………………………………………

Förloppet för en deriverbar funktion……………………………………………………………………

Största och minsta värde för en polynomfunktion………………………………………………………

Tangentens ekvation………………………………………………………………………………………

5 Derivatan av en rationell funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82 83 93 105 114

122

5.1 Derivatan av en kvot……………………………………………………………………………………… 122 5.2 Förloppet för en rationell funktion……………………………………………………………………… 131

6 Tillämpningar med derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140

Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

151

1 Rationell funktion…………………………………………………………………………………………

2 Gränsvärde och kontinuitet………………………………………………………………………………

3 Derivata……………………………………………………………………………………………………

4 Derivatan av en polynomfunktion………………………………………………………………………

5 Derivatan av en rationell funktion………………………………………………………………………

Flervalsuppgifter………………………………………………………………………………………………

Uppgiftsserie A………………………………………………………………………………………………

Uppgiftsserie B………………………………………………………………………………………………

151 152 153 153 155 156 159 160

Facit……………………………………………………………………………………………………………… 161 Sakregister……………………………………………………………………………………………………… 179

4

INNEHÅLL

Förslag till tidtabell 45 min

75 min

1 Rationell funktion

5

3

1.1 Rationell funktion 1.2 Rationella ekvationer 1.3 Rationella olikheter

1 2 2

1 1 1

2 Gränsvärde och kontinuitet

6

4

2.1 Gränsvärde för en funktion 2.2 Att bestämma ett gränsvärde 2.3 Kontinuerlig funktion 2.4 Kontinuitet

1 2 2 1

1 1 1 1

3 Derivata

2

1

4 Derivatan av en polynomfunktion

7

4

4.1 4.2 4.3 4.4

1 2 2 2

1 1 1 1

5 Derivatan av en rationell funktion

5

3

5.1 Derivatan av en kvot 5.2 Förloppet för en rationell funktion

2 3

1 2

6 Tillämpningar med derivata

2

1

Repetition 1

1

Derivatan av en potens och en produkt Förloppet för en deriverbar funktion Största och minsta värde för en polynomfunktion Tangentens ekvation

Totalt

28

17

F Ö R S L A G T I L L T I D TA B E L L

5

1

Rationell funktion I tidigare kurser har vi bekantat oss med polynomfunktioner och löst polynomekvationer och polynomolikheter. I detta kapitel studerar vi rationella funktioner och lär oss att lösa rationella ekvationer och rationella olikheter. Vi övar oss på att förkorta, addera och subtrahera rationella uttryck. Dessa färdigheter behöver vi längre fram i kursen.

1.1 Rationell funktion VI UNDERSÖKER 2 Anta att f ( x ) = x - 9 och g (x ) = x + 3. x -3 1) Bestäm, om möjligt, värdet av funktionerna när x = 3.

2) För vilka värden på variabeln x kan vi beräkna funktionsvärdena för f och g?

3) Rita graferna till funktionerna f och g.

4) Hur skiljer sig funktionerna f och g från varandra?

Hur märker vi denna skillnad i deras grafer?

6

Funktionsbegreppet I kurs 1 definierade vi funktionsbegreppet på följande sätt.

Definition

Funktion

En funktion är en regel som för varje tal i definitionsmängden tillordnar (ger) exakt ett tal som kallas värdet för funktionen.

Ofta kan vi skriva regeln för en funktion i form av en ekvation.

Till exempel:

f (x) = 4 x 3 - 1

funktionens namn variabel funktionsuttryck

Med hjälp av uttrycket för funktionen kan vi beräkna värdet av en funktion genom att sätta in ett speciellt tal på variabelns plats i uttrycket.

f (2) = 4 · 23 - 1 = 31

variabelvärde

funktionsvärde

Beteckningen f (2) = 31 uttalas ”värdet av funktionen f för variabelvärdet 2 är 31” eller kortare ”f av 2 är 31”.

I denna kurs undersöker vi polynomfunktioner och rationella funktioner.

En polynomfunktion är en funktion vars uttryck är ett polynom.

Exempelvis är funktionen f ( x ) = 4 x 3 -1 en polynomfunktion.

Ett bråkuttryck utgör kvoten av två polynom.

Uttrycken

Alla polynomfunktioner är också rationella funktioner (de har nämnaren 1). Likaså är summan av en polynom­ funktion och en rationell funktion en rationell funktion.

x4 - x och 1 är exempel på bråkuttryck. x +5 x -3

En rationell funktion är en funktion som har formen f(x) = P(x)/Q(x), där P(x) och Q(x) är polynom.

Funktionerna x4 - x och h (x ) = 4 x 3 - 1 + 1 x +5 x -3 är exempel på rationella funktioner. f ( x ) = 4 x 3 - 1, g ( x ) =

1 . 1 R at i o n e l l f u n k t i o n

7

Funktionens definitionsmängd

Definition

Funktionens definitionsmängd består av de tal vi kan sätta in på variabelns plats i funktionen.

Om vi definierar en funktion enbart genom att ge dess uttryck så är definitionsmängden mängden av alla tal för vilka det är möjligt att beräkna ett funktionsvärde.

Vi kan beräkna värdet av polynomfunktionen f ( x ) = 4 x 3 - 1 för alla värden på variabeln x. Definitionsmängden för funktionen f är således mängden av alla reella tal R. Det är omöjligt att beräkna funktionsvärdena g(0) = 0 + 1 0 3 1 och g(3) = 26 + för den rationella funktionen 0 4 g (x ) = x - x + 1 . x x -3

Observera!

Kvoten a är inte definierad 0 för något reellt tal a.

Funktionen g är definierad när x ≠ 0 och x ≠ 3. Definitions­ mängden för funktionen g är mängden av alla reella tal förutom talen 0 och 3, dvs. mängden R \ {0, 3}.

Vi kan även definiera en funktion genom att ge dess uttryck och definitionsvillkor.

Observera!

Vi kan exempelvis definiera en funktion genom att säga:

En funktion är entydigt definierad när vi känner till dess uttryck och definitions­ mängd.

”Anta att f (x) = 1 - x2, när -1 ≤ x ≤ 1.”

Då är -1 ≤ x ≤ 1 definitionsvillkoret för funktionen f och definitionsmängden är intervallet [-1, 1].

Definitionsmängden kan också begränsas av en praktisk situation som har med funktionen att göra.

Exempelvis uttrycker funktionen A(x) = x2 hur arean av en kvadrat beror av dess sidlängd x.

Eftersom x är längden av en sida så är x > 0 definitionsvillkoret för funktionen A och definitions­mängden är intervallet ] 0, ∞[.

Funktionens värde

A(x) = x 2

x Definition

1) Funktionens värdemängd består av alla de värden funktionen får när alla värden i definitionsmängden använts.

2) Funktionens största värde är det största talet i värdemängden medan funktionens minsta värde är det minsta talet i värde­ mängden, ifall dessa existerar.

8

1 R AT I O N E L L F U N K T I O N

x

EXEMPEL 1

Anta att f ( x ) =

3 x + .

2x -6 x +1

a) Bestäm definitionsmängden för funktionen f. b) Rita grafen till funktionen f.

LÖSNING

a) Vi kan inte beräkna funktionens värden för sådana variabelvärden x som gör att nämnaren blir noll. Funktionen är dock definierad för alla övriga variabelvärden x.

Vi bestämmer nämnarnas nollställen.

2 x -6 = 0 x =3

x +1 = 0 x = -1

Definitionsvillkoret för funktionen f är x ≠ -1 och x ≠ 3.

Vi kan beräkna funktions­värden när x ≠ -1 och x ≠ 3.

Definitionsmängden för funktionen f är R \ {-1, 3}.

Vi har tagit bort talen -1 och 3 från den reella talmängden R.

b) Vi ritar grafen till funktionen 3 x f (x) = + 2 x - 6 x +1

med räknaren.

y

5

x 1

Grafen till funktionen f består av tre skilda delar eftersom funktionen inte är definierad i x = -1 och x = 3.

SVAR

a) R \ {-1, 3}

1 . 1 R at i o n e l l f u n k t i o n

9

Att förkorta ett bråkuttryck Ett bråk går att förkorta om dess täljare och nämnare har en gemensam faktor. Vi kan se den gemensamma faktorn när vi faktoriserar både täljaren och nämnaren. Vi förkortar bråkuttryck på samma sätt som vi förkortar bråk: 1

2 ⋅3 3 6 = = 10 2 ⋅ 5 5 1

1

5⋅ x 5x 5 = = .

3 x 2 3⋅ x ⋅ x 3 x 1

CAS

EXEMPEL 2

Bestäm definitionsvillkoret och förkorta bråkuttrycket.

2 a) 15 x - 6 x b) 6 x -18 c) x - 2 3x 7 x - 21 2- x LÖSNING

Observera!

Du kan inte förkorta termer i summor.

Rätt: 2 +1 = 3 2+3 5

a) Nollstället för nämnaren 3x är x = 0.

Definitionsvillkoret för bråkuttrycket är x ≠ 0.

15 x - 6 x 2 3x

Den gemensamma faktorn i täljarens termer är 3x.

1

Fel:

=

1

2 + 1 1+ 1 2 = = 2 + 3 1+ 3 4

3 x ⋅ (5 - 2 x ) 3x

=5-2x

Vi förkortar täljarens och nämnarens gemensamma faktor 3x.

1

1

b) Nollstället för nämnaren 7x - 21 är x = 3.

Definitionsvillkoret för bråkuttrycket är x ≠ 3.

6 x -18 7 x - 21

Den gemensamma faktorn för termerna i täljaren är 6.

Den gemensamma faktorn för termerna i nämnaren är 7.

1

6 ⋅( x - 3 ) 6 = = 7 ⋅( x - 3 ) 7 1

10

1 R AT I O N E L L F U N K T I O N

Vi förkortar täljarens och nämnarens gemensamma faktor x - 3.

c) Nollstället för nämnaren 2 - x är x = 2.

Definitionsvillkoret för bråkuttrycket är x ≠ 2.

I nämnaren får vi 2 - x = -x + 2 = -1 · (x - 2).

x -2 2- x 1

=

(x -2) -1 ⋅ ( x - 2 )

Vi förkortar täljarens och nämnarens gemensamma faktor x - 2.

= -1

1 SVAR

a)

5 - 2x, när x ≠ 0

b)

6 , när x ≠ 3 7

c) -1, när x ≠ 2

CAS

EXEMPEL 3 2 För vilka värden på variabeln x är funktionen f ( x ) = x - 9 x -3 definierad? Förkorta funktionens uttryck.

LÖSNING

Nollstället för nämnaren x - 3 är x = 3.

Funktionen är definierad när x ≠ 3. x2 - 9 x -3 x 2 - 32 = x -3

f (x ) = Observera!

Eftersom 2 f( x ) = x - 9 = x + 3 x -3 när x ≠ 3 så är grafen till funktionen f en linje med ett ”hål” vid x = 3. Vi betecknar hålet i grafen med en tom boll. Räknaren ritar inte ut den tomma bollen eftersom hålet i grafen är så litet.

a 2 - b 2 = (a + b)(a - b) 1

=

( x + 3 )( x - 3 )

= x +3

x -3 1

SVAR

f ( x ) = x + 3 när x ≠ 3

y

y = f(x) 2

x 1

1 . 1 R at i o n e l l f u n k t i o n

11

Att addera och subtrahera bråkuttryck Vi adderar och subtraherar bråkuttryck på samma sätt som vi adderar och subtraherar bråktal. Vi kan alltid förenkla resultatet till ett enda bråkuttryck: 3)

1 + 2 x )x = 3 + 2 x 2 = 3 + 2 x 2 .

6x 6x 6x 2x 3

CAS

EXEMPEL 4

Ta reda på definitionsvillkoret och förenkla uttrycket

x +1 x -1 . x-2 x

LÖSNING

Nollstället för nämnaren x - 2 är x = 2 och nollstället för nämnaren x är x = 0. Definitionsvillkoret är x ≠ 0 och x ≠ 2.

Vi förenklar till ett enda bråkuttryck. x)

=

x +1 x -2

x -2 )

x -1 x

x ( x +1) ( x - 2 )( x -1) x ( x -2) x ( x -2)

2 2 = x + x - x -3 x +2 x ( x -2) x ( x -2)

=

x2 + x -( x2 -3 x + 2 ) x ( x -2)

=

x2 + x - x2 + 3 x - 2 x(x - 2)

=

4x -2 x(x - 2)

=

4x -2 x2 - 2 x

SVAR

4 x - 2 , när x ≠ 0 och x ≠ 2 x2 - 2 x

12

1 R AT I O N E L L F U N K T I O N

Vi förlänger och gör liknämnigt.

Vi förenklar täljarna.

Vi subtraherar täljarna från varandra. Den gemensamma nämnaren blir ny nämnare.

Vi avlägsnar parentesen i täljaren.

Täljaren och nämnaren saknar gemensamma faktorer.

Vi kan inte förkorta.

Sambandet mellan polynomets nollställen och faktorer (Fördjupning) EXEMPEL 5

Fördjupning

Bestäm ett sådant värde för konstanten b att vi kan förkorta uttrycket 2 för funktionen f ( x ) = 2 x + bx - 30 . Förkorta uttrycket. x +3 LÖSNING

Nollstället för nämnaren x + 3 är x = -3.

Funktionen f är definierad när x ≠ -3.

Sats Talet x0 är nollställe till polynomet P(x) om och endast om x - x0 är en faktor i polynomet P(x) .

Vi kan förkorta funktionsuttrycket endast om täljaren och nämnaren har en gemensam faktor. Täljaren har faktorn x + 3 endast om -3 är nollställe i täljaren.

Vi bestämmer konstanten b.

2 ⋅ (-3)2 + b ⋅ (-3) - 30 = 0 b = -4

Täljarens värde är noll för variabelvärdet -3.

Vi bestämmer nollställena.

2 x 2 − 4 x − 30 = 0 x = −3 eller x = 5 Sats Om rötterna till andragrads­ ekvationen ax 2 + bx + c = 0 är x1 och x2 så är ax 2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2).

Vi löser ekvationen med lösnings­ formeln eller räknaren.

Vi faktoriserar täljaren.

2 x 2 - 4 x - 30 = 2( x + 3)( x - 5)

Vi förkortar funktionsuttrycket.

1

2 x 2 - 4 x - 30 2( x + 3 )( x - 5 ) = f (x) = = 2( x - 5 ) = 2 x - 10 x+3 x+3 1

SVAR

b = -4, f (x) = 2x - 10, när x ≠ -3

1 . 1 R at i o n e l l f u n k t i o n

13

Uppgifter Serie

I

1. Anta att f (x ) = x - 1 + 1 .

x+2 E1 a) Bestäm definitionsmängden för funktionen f. b) Rita grafen till funktionen f.

7. Förkorta funktionsuttrycket och kombinera rätt graf med rätt funktion.

2 a) f ( x ) = x + 2 x b) f ( x ) = x 2 c) f ( x ) = x - 2 x d) f ( x ) = x -2 y 1 2

2. För vilka värden på variabeln x är funktio-

nen definierad? Rita grafen till funktionen.

2 a) f ( x ) = 2 2 b) g ( x ) = x - 3 x 2 x - 3x c) h( x ) = x 2 - 3 d) k( x ) = x 2 - x x 3

3. Ta reda på definitionsvillkoret och förkorta E2 bråkuttrycket.

2 2 4x a) 3 x + x b) 12 x - 4 x c) x 4x 6x + 2x 2

2

x 3 - 2x 2 x 2 - 2x x2 - 4 x -2 y 2

x

x

2

3

2

4

y 2

x

y 2

2

x 2

4. Ta reda på definitionsvillkoret och förkorta bråkuttrycket.

2 a) 6 x - 2 b) 5 x + 15 c) 5 x - 10 x 3x - 1 4 x + 12 3x - 6

5. Ta reda på definitionsvillkoret och förkorta bråkuttrycket när det är möjligt. a) x + 1 b) x - 1 1+ x 1- x x + 1 d) 3 x - 1 c) 1- x 1 - 3x

2 6. Anta att f ( x ) = x - 16 .

2x + 8 E3 a) För vilka värden på variabeln x är funktionen definierad? b) Förkorta funktionsuttrycket för funktionen f.

8. Ta reda på definitionsvillkoret och förenkla E4 uttrycket. a) 1 + 2 b) 1 - 5 4 x 3x 3 2x

c) 1 + 3 x

9. Ta reda på definitionsvillkoret och förenkla uttrycket. a) 1 + x - 1 3x 2 x

b) x + 1 - x - 1 3x 2x c) x + 3 + 2 x x x -1

10. Ta reda på definitionsvillkoret och förenkla uttrycket. a) x - x + 1 b) 1 + x - 1 c) x + 3 - x - 2 3x x 5x x x +1

11. Ta reda på definitionsvillkoret och förenkla uttrycket. a) 2 2 + 3 - x b) x2 - 1 - x x -9 x +3 x + x x +1

14

1 R ATIONELL FUNKTION

Serie

II

2 12. Anta att f ( x ) = x + x - 1 .

3x + 6 x a) Bestäm definitionsmängden för funktionen f. b) Rita grafen till funktionen f.

13. Ta reda på definitionsvillkoret och förkorta bråkuttrycket.

2 3 a) 18 x - 3 x b) 12 x - 8 c) 2x 4 x - 12 9x x + 7x

14. Ta reda på definitionsvillkoret och förkorta bråkuttrycket om möjligt. a) 5 x - 1 b) 9 + x 1 - 5x x -9 2 c) 2 - x d) x +21 x -2 1+ x

15. Ta reda på definitionsvillkoret och förkorta bråkuttrycket.

2 2 (t - 1)2 a) t - 1 b) t - 12 c) 2 t +1 (t - 1) t -1

16. a) Bestäm nollställena till polynomet x2 - 2x - 3. b) Faktorisera polynomet.

2 c) Förkorta bråkuttrycket x - 2 x - 3 .

2x - 6 2 17. Anta att f ( x ) = 2 x + 8 x - 10 .

x +5 a) För vilka värden på variabeln x är funktionen f definierad? b) Förkorta uttrycket för funktionen f. c) Rita grafen till funktionen f.

18. Ta reda på definitionsvillkoret och förenkla bråkuttrycket. a) 1 - x -21 b) 1 - 1 x x -2 x +3 x

19. Ta reda på definitionsvillkoret och förenkla bråkuttrycket.

2 a) s + 1 + s2- 2 b) t - 1 - t 2 + 1 s -1 s - s t +1 t -1

20. Beräkna utan räknare värdet av funktionen 3 3 x2 när variabeln har x -1 x -1 värdet x = 1 .

17

f (x ) = 3 +

21. Ta reda på definitionsvillkoret och förenkla bråkuttrycket. a) 1 - x + 21 x +1 x + x

b)

x - x x 2 -1 x 2 +1

22. Är funktionerna f och g samma funktion?

Motivera.

2 a) f ( x ) = 2 x - 4 x och g ( x ) = x 2 - 2 x 2 2 - 4x 2 x och g ( x ) = 2 x - 4 b) f ( x ) = x

23. Bestäm ett sådant värde på konstanten a E5 att du kan förkorta uttrycket 2 f ( x ) = x +2 ax - 4 . Förkorta uttrycket. x - 16 För vilka värden på variabeln x är funktionen f definierad?

24. Bestäm ett sådant värde på konstanten

b att du kan förkorta uttrycket 4 2 f ( x ) = x - 18 x + 81 . Förkorta uttrycket. x +b För vilka värden på variabeln x är funktionen f definierad?

1 . 1 R at i o n e l l f u n k t i o n

15

1.2 Rationella ekvationer Vi kan alltid förenkla ett rationellt uttryck till formen

polynom . polynom

2 Vi undersöker vad som händer med funktionen f (x ) = x2 - 1 x +x i täljarens och nämnarens nollställen.

Täljarens nollställen: x2

Nämnarens nollställen: x2 + x = 0 x ( x + 1) = 0 x = 0 eller x + 1 = 0 x = −1

−1 = 0 x2 =1 x = 1 eller x = −1

Vi försöker beräkna funktionsvärdena för dessa variabelvärden.

Täljarens nollställe x = 1:

2 f (1) = 12 - 1 = 0 = 0 1 +1 2

Nämnarens nollställe x = 0:

2 f (0) = 02 - 1 = -1 är inte definierat 0 +0 0

Täljarens och nämnarens gemensamma nollställe x = -1: ( -1) 2 - 1 f (–1) = = 0 är inte definierat ( -1) 2 + ( -1) 0 Vi observerar att funktionsvärdet är 0 för det variabelvärde som är nollställe i täljaren men inte i nämnaren.

Funktionen är inte definierad för nämnarens nollställen. y

y = f(x)

1

x 1

16

1 R AT I O N E L L F U N K T I O N

CAS

EXEMPEL 1 2 Bestäm nollställena för funktionen f (x ) = 2 x 2- x - 1 . x -1 LÖSNING

Först tar vi reda på definitionsvillkoret för funktionen f.

Vi bestämmer nämnarens nollställen. x 2 −1 = 0 x2 =1 x = 1 eller x = −1

Definitionsvillkoret för funktionen f är x ≠ -1 och x ≠ 1.

Vi bestämmer sedan nollställena för funktionen f.

2 x 2 - x - 1 = 0 ⋅( x 2 - 1) (≠ 0) x 2 -1 2x 2 - x -1 = 0 -(-1) ± (-1)2 - 4 ⋅ 2 ⋅ (-1) 2⋅2 1 ± 9 ± 1 x= = 3 4 4

x=

Grafisk kontroll y

Inom definitionsmängden är nämnaren olik 0. a = 2, b = -1 och c = -1 x=

- b ± b 2 - 4 ac 2a

(2 x = 1 + 3 = 4 = 1 eller x = 1 - 3 = -2 = - 1 4 4 4 4 2

y = f(x) 1

x 1

Lösningen x = 1 satisfierar inte definitionsvillkoret medan lösningen x = - 1 gör det.

2 Funktionens nollställe är x = - 1 .

2 SVAR

x= -1 2

1 . 2 R at i o n e l l a e k vat i o n e r

17

CAS

EXEMPEL 2

Lös ekvationen 3 x - 1 = 3 . x -2 x LÖSNING

Vi bestämmer nämnarens nollställen. x-2=0 x=2

x =0

Först tar vi reda på ekvationens definitionsvillkor.

Ekvationens definitionsvillkor är x ≠ 0 och x ≠ 2.

Vi löser ekvationen.

1

1

3 x - 1 = 3 ⋅ x ( x - 2) ( ≠ 0) Vi avlägsnar nämnarna genom att multiplicera x-2 x

x ( x - 2 ) ⋅3 x x ( x - 2) ⋅1 = x ( x - 2) ⋅ 3 x x-2 1

båda leden i ekvatio­ nen med nämnarnas produkt.

1

3 x 2 - ( x - 2) = 3 x ( x - 2)

3x 2 - x + 2 = 3x 2 - 6 x 5 x = -2 x =-2 5

Lösningen x = - 2 satisfierar definitions­ 5 villkoret.

Vi kontrollerar om lösningen satisfierar definitionsvillkoret.

SVAR

x =-2 5 CAS

Att lösa rationella ekvationer med räknaren

I tillämpningsuppgifter kan vi lösa dessa ekvationer med räknaren. Vi kan lösa rationella ekvationer med räknaren på samma sätt som vi löser övriga ekvationer.

Använd din räknare till att lösa ekvationerna i exempel 1 och 2.

18

1 R AT I O N E L L F U N K T I O N

Uppgifter Serie

I

29. För vilka värden på variabeln x är värdet av funktionen f (x ) = 12 - 3 x a) 0 b) 3? x ( x - 4)

25. Anta att f (x ) = 2 x - 6 .

x -1 a) Bestäm täljarens och nämnarens nollställen. b) Rita grafen till funktionen. Vad händer med funktionen i täljarens och nämnarens nollställen?

2 26. Anta att f (x ) = x2 - 4 .

x - 2x a) Bestäm täljarens och nämnarens nollställen. b) Rita grafen till funktionen. Vad händer med funktionen i täljarens och nämnarens nollställen?

27. Bestäm funktionens nollställen.

E1 a) f (x ) = x 2 + 2 x - 3 x -1 2 b) f (x ) = x +2 2 x - 3 x -9

30. Lös ekvationen.

E2

2 a) 3 x - 1 - x - 5 = 1 b) x - x = 0 x -1 x -1 x x

31. Lös ekvationen. a)

x - 1 = 1 b) 3 x - 2 = 3 x +5 x x -2 x

32. För vilka värden på variabeln x är värdet av funktionen 2 1 f (x) = a) 0 b) 3? x+2 x

33. Lös ekvationen 1 + x +1

2 =3. x 2 -1

34. Lös ekvationen 1 + x 2 = 1 + 22x .

2x

4x

28. Bestäm funktionens nollställen.

2 2 a) f (x ) = x + 5 x b) f (x ) = 2 x - 50 x x +5

1 . 2 R at i o n e l l a e k vat i o n e r

19

Serie

II

x2

+ 3x . x2 - 9 a) Bestäm täljarens och nämnarens nollställen. b) Rita grafen till funktionen. Vad händer med funktionen i täljarens och nämnarens nollställen?

35. Anta att f (x ) =

36. Bestäm funktionens nollställen.

2 2 a) f (x ) = x - 1 b) f (x ) = x -25 x - 6 x +1 x +1

37. Bestäm funktionens nollställen.

2 a) f (x ) = 3 x 2- x b) f (x ) = 32x - 30 x x - 10 x

38. För vilket värde på konstanten a är det enda nollstället för funktionen 2 f (x ) = 2 x + 5 x - 3 x +a a) x = -3 b) x = 1 ?

2

39. Lös ekvationen.

a) 4 + 1 = 5 b) 1 = x - 1 x x +3 x2 x

40. Lös ekvationen.

a) x - 8 = -3 b) 1 - x + 1 = 0 x +1 x x -1

20

1 R ATIONAALIFUNKTIO

( x + 1)2 - π 2 = 0. x 2 + π2 [SE H-1996 lång]

41. Lös ekvationen

42. Lös ekvationen.

1 - 2 = x +3 x -1 x +1 x 2 -1 b) x - x + 1 = -1 x - 1 ( x - 1) 2

a)

43. Hyran för en abonnerad buss för en klass-

resa var 1 248 euro. Klassen hade kommit överens om att hyran skulle delas jämnt mellan alla resenärer. Sex elever som hade anmält sig kom inte med på resan vilket medförde att varje resenär var tvungna att betala 9 euro mer än beräknat. Hur många personer deltog i resan? Hur mycket måste var och en av dem betala?

44. Marias och Tomas sommarstugor befinner

sig på 2,0 kilometers avstånd från varandra vid stranden av en flod som strömmar med jämn hastighet. Maria körde med sin båt sträckan tur och retur på 15 minuter.

Båtens hastighet i stillastående vatten är 18 km/h. Bestäm flodens strömnings­ hastighet (i enheten m/s).

1.3 Rationella olikheter Vi ritar grafen till den rationella funktionen f (x ) = x - 2 . x -1 Funktionsvärde och punkt på grafen f ( x ) = y f (-1) = 1,5 Funktionsvärdet för -1 är 1,5.

Punkten på grafen till funktio­ nen har x-koordinaten -1 och y-koordinaten 1,5.

Ur grafen kan vi bestämma några funktionsvärden: f (-1) = 1,5 f (0,8) = 6

y

(−1; 1,5)

(0,8; 6)

2

(2, 0) (3; 0,5) x 1

f (1,2) = -4

(1,2; −4)

f (2) = 0 f (3) = 0,5

Funktionen är odefinierad för x = 1 eftersom nämnaren är 0 för detta värde. Funktionens nollställe är x = 2 eftersom funktionen antar värdet 0 för detta variabelvärde.

Funktionsvärdena byter tecken vid x = 1 och x = 2. Enligt grafen är •• funktionsvärdena positiva när x < 1 •• funktionsvärdena negativa när 1 < x < 2 •• funktionsvärdena positiva när x > 2.

Våra observationer ovan åskådliggör följande sats.

Sats

Tecknet hos en rationell funktion

Funktionsvärdena hos en rationell funktion kan byta tecken endast i funktionens nollställen eller i ställen där funktionen är odefinierad.

Funktionens nollställen och de ställen i vilka funktionen är odefinierad delar in tallinjen i delintervall. Inom varje delintervall hålls tecknet lika (antingen positivt eller negativt).

1 . 3 R at i o n e l l a o l i k h e t e r

21

CAS

EXEMPEL 1

För vilka värden på variabeln x är värdena för funktionen 4 x -1 f (x ) = 5 x + 10 a) positiva b) negativa?

LÖSNING

En rationell funktions värden kan byta tecken endast i funktionens nollställen eller i ställen där funktionen är odefinierad.

Vi bestämmer nämnarens nollställen.

5 x + 10 = 0 5 x = -10 x = -2 Definitionsvillkoret för funktionen f är x ≠ -2.

Vi bestämmer funktionens nollställen.

4 x -1 =0 5 x + 10 4 x -1 = 0 4x =1 x=1 4

⋅(5 x + 10 ) ( ≠ 0 )

Lösningen satisfierar definitionsvillkoret.

Nollstället för funktionen f är x= 1 .

4 Funktionens värden kan byta tecken endast vid x = -2 och x = 1 .

4 Talen -2 och 1 delar in tallinjen i tre delintervall.

4 Inom vart och ett av dessa delintervall har funktionsvärdena samma tecken. x −2

22

1 R AT I O N E L L F U N K T I O N

1 − 4

Vi beräknar ett funktionsvärde i varje delintervall för att bestämma funktionens tecken. −3

0 −2

1 x

1 − 4

Observera!

Det ställe i vilket funktionen är odefinierad betecknar vi med ett brutet streck.

f ( x ) = 4 x -1 5 x + 10 f ( -3 ) =

4 ⋅ ( -3 ) - 1 13 = >0 5 ⋅ ( -3 ) + 10 5

I intervallet ]-∞, -2[ är tecknet +.

f ( 0 ) = 4 ⋅ 0 -1 = - 1 < 0 5 ⋅ 0 + 10 10

I intervallet ]-2, 1 [ är tecknet -.

4

f (1) = 4 ⋅ 1 - 1 = 3 > 0 5 ⋅ 1 + 10 15

I intervallet ] 1 , ∞[ är tecknet +.

4

Vi för in tecknen i ett teckenschema.

1 − 4

−2 f(x)

a) Funktionsvärdena är positiva när x < -2 eller x > 1 .

4 b) Funktionsvärdena är negativa när -2 < x < 1 .

4 SVAR

a) x < -2 eller x > 1 b) -2 < x < 1 4 4 Vi kan kontrollera lösningen genom att rita grafen till funktionen f. y

y = f(x)

2

(0,25;0)

x

2

1 . 3 R at i o n e l l a o l i k h e t e r

23

CAS

EXEMPEL 2

Lös olikheten Observera!

x ≥ 3. x -2

LÖSNING

Vi kan inte avlägsna nämnaren i olikheten genom att multiplicera med x - 2 eftersom vi inte vet om x - 2 är ett positivt eller negativt tal.

x ≥3 x -2 x -3 ≥ 0 x -2

Vi flyttar termer så att högra ledet är 0.

x - 3 och bestämmer de variabelvärden x x-2 för vilka funktionens värden är positiva eller 0.

Vi betecknar f ( x ) =

Vi bestämmer nämnarens nollställen. x -2=0 x=2 Definitionsvillkoret för funktionen f är x ≠ 2.

Vi bestämmer nollställena för funktionen f. x -3= 0 x-2 x - 3( x - 2 ) = 0

⋅ ( x - 2) ( ≠ 0)

x - 3x + 6 = 0 -2 x = -6 x =3

Lösningen satisfierar definitionsvillkoret. Funktionen f har ett enda nollställe och det är x = 3. Funktionens värden kan byta tecken endast vid x = 2 och x = 3.

Vi beräknar ett funktionsvärde i varje delintervall.

1

2,5 2

4 x 3

f ( x) =

x -3 x-2

f (1) = 1 - 3 = -4 < 0 1- 2 f (2 ,5) = f (4) =

24

1 R AT I O N E L L F U N K T I O N

2 ,5 -3= 2>0 2 ,5 - 2

4 - 3 = -1 < 0 4-2

Observera!

Talet 2 satisfierar inte olikheten eftersom f (2) inte är definierat.

Talet 3 satisfierar olikheten eftersom f (3) = 0.

Vi gör ett teckenschema.

2

3

f(x)

Olikheten

x - 3 ≥ 0 satisfieras när 2 < x ≤ 3. x -2

SVAR

2<x≤3 Vi kan kontrollera lösningen genom att rita grafen till funktionen f. y

y = f(x) 1

x 1

Att lösa en rationell olikhet

1) Vi flyttar olikhetens termer till vänstra ledet så att högra ledet är 0 och så att vänstra ledet är en rationell funktion.

2) Vi bestämmer funktionens definitionsvillkor.

3) Vi bestämmer funktionens nollställen.

4) Vi gör upp ett teckenschema och bestämmer funktionens tecken i olika intervall.

5) Vi bestämmer lösningen till olikheten med hjälp av schemat.

1 . 3 R at i o n e l l a o l i k h e t e r

25

CAS

EXEMPEL 3

Lös olikheten

x3 - 2 x2 ≥ 0. ( x - 1)2

LÖSNING

Vi betecknar f ( x ) =

x3 - 2 x2 . ( x - 1)2

Vi bestämmer nämnarens nollställen. ( x - 1) 2 = 0 x -1 = 0 x =1

Definitionsvillkoret för funktionen f är x ≠ 1.

Vi bestämmer nollställena för funktionen f. x 3 - 2x 2 = 0 ( x - 1)2

⋅ ( x - 1)2 ( ≠ 0)

x 3 - 2x 2 = 0 2 x ( x - 2) = 0 =0 00eller taix xx- -2 22= = =0 00 x 22xx 22= = taitai =0 00eller tai x xx= = =2 22 x xx= = taitai

Lösningarna satisfierar definitionsvillkoret.

Nollställena för funktionen f är x = 0 och x = 2.

Funktionens värden kan byta tecken endast vid 0, 1 och 2. −1

3 x

0,5 1,5 0

1

2

Vi gör ett teckenschema.

3 2 f ( x ) = x - 2 x2 ( x - 1)

f ( -1) = -0,75 < 0

f (3) = 2,5 > 0

f (1,5) = -4,5 < 0 0

Grafisk kontroll y

f(x)

y = f(x)

1

x 1

1

2

Talet 0 satisfierar olikheten eftersom f (0) = 0.

Talet 1 satisfierar inte olikheten eftersom f (1) är odefinierat.

3 2 Olikheten x - 2 x ≥ 0 satisfieras när x = 0 eller x ≥ 2.

2 ( x - 1) SVAR

x = 0 eller x ≥ 2 26

f ( 0,5) = -1,5 < 0

1 R AT I O N E L L F U N K T I O N

Uppgifter Serie

I

Serie

45. Rita grafen till funktionen f ( x ) = 6 x - 3 . a) För vilka värden på variabeln är funktionen odefinierad? b) Vilka nollställen har funktionen? c) För vilka värden på variabeln är funktionens värden positiva?

x

46. Rita grafen till funktionen f ( x ) = 3 . x-2 a) För vilka värden på variabeln är funktionen odefinierad? b) Vilka nollställen har funktionen? c) För vilka värden på variabeln är funktionens värden negativa?

47. För vilka värden på variabeln är funktionsE1 värdena för funktionen f ( x ) = 5 x - 2 x +3 a) positiva b) negativa?

48. För vilka värden på variabeln är funktionsvärdena för funktionen f ( x ) = a) positiva b) negativa?

49. Lös olikheten E2

x ≤1.

2 x -5

50. Lös olikheten. a) x ≥ 1 b) 1 > 5 3x x 4 x

51. Lös olikheten

x 3 -2x 2 ≤0 . x -1 3 2 52. Lös olikheten 2 x - x ≥ 0 . x +3 1 53. Lös olikheten < 2 . x +1 x 2 -1 54. Lös olikheten 1 2 - 2 ≤ 1 . x x-x

E3

x -1 ( x + 1)2

II

55. Rita grafen till funktionen

f(x ) = x +2- 4 . x -1 a) För vilka värden på variabeln är funktionen odefinierad? b) Vilka nollställen har funktionen? c) För vilka värden på variabeln är funktionens värden negativa?

56. För vilka värden på variabeln är funktionsvärdena för funktionen f ( x ) = 1 - 3 x 2 x +1 a) positiva b) negativa?

3x ≥1.

2x -8 58. För vilka värden på variabeln x är funktions­värdet för funktionen f ( x ) = 2 x mindre än funktionsvärdet x -3 för funktionen g ( x ) = 1 ? x 59. Lös olikheten.

2 a) x + 2 > 0 b) x + 3 > 0 x +1 ( x + 1) 2 3 2 60. Lös olikheten 4 x + x ≥ 0 .

2x -6 1 61. Lös olikheten - 1 - 2 x ≤ 0.

2x 4x 2 62. Lös olikheten 23 > x - 1 . x -1 1+ x

57. Lös olikheten

63. Det harmoniska medelvärdet av två positiva tal är det inverterade talet till medelvärdet av talens inverterade tal. Visa att medel­ värdet av två positiva tal alltid är större eller lika med det harmoniska medelvärdet av talen.

64. Det geometriska medelvärdet av två positiva tal är kvadratroten av talens produkt. Visa att det geometriska medelvärdet av två positiva tal alltid är större eller lika med det harmoniska medelvärdet av talen.

1 . 3 R at i o n e l l a o l i k h e t e r

27