Ma2 Lång blädderex

SCHILDTS SCHILDTS SCHILDTS &&SÖDERSTRÖMS SÖDERSTRÖMS & SÖDERSTRÖMS

Kaksi juurta tai yksi juuri

x2 + bx + c = 0 on kaksi juurta, jos yhtälön diskriminant4ac on positiivinen. Juuret ovat

Ma2 Ma2

-b + D ja x 2 = . Markku Ekonen Ekonen 2a Markku Sanna Sanna Hassinen Hassinen aksi aksi Kaksi juurta juurta juurta tai tai tai yksi yksi yksi juuri juuri juuri Paavo Paavo Heiskanen Heiskanen 22+ bx + c = 0 on yksi 2+ (kaksois)juuri, josdiskriminantyhtälön diskrix ax +bx + bxbx ++c+ c== c0= 0 on 0onon kaksi kaksi kaksi juurta, juurta, juurta, jos jos jos yhtälön yhtälön yhtälön diskriminantdiskriminantKatariina Katariina Hemmo Hemmo = 0.

Tällöin ac ac 4ac on onon positiivinen. positiivinen. positiivinen.

Juuret Juuret Juuret ovat ovat ovat Päivi Päivi Kaakinen Kaakinen Jorma Jorma Tahvanainen DDD --bb++ b +D DD D Tahvanainen - b eli x = x .

-xbx== x = - b. + = ja= ja ja .Timo . Taskinen 2 2 2ja= x2 1 2 Taskinen 22aa2a 2 2a a Timo 2a Jan-Anders Jan-Anders Salenius Salenius

LÅNG LÅNG LÅNG

T O TDOI S D TI S U TS U S

Ma2 LÅNG Ma2 LÅNG

D

M

Tapaus Tapaus 1: 1: Kaksi Kaks ju

Yhtälöllä Yhtälöllä ax2ax +2bx + b+ 2 2 - 4ac - 4ac ono ti ti D= Db= b

Polynomfunktioner Polynomfunktioner Polynomfunktioner och och och x1 x =1 =b--b -D Dja 2a 2a polynomekvationer polynomekvationer polynomekvationer

+2bx + b+ Yhtälöllä Yhtälöllä ax2ax minantti minantti D= D0. = Tä 0.

--bb++ ba(x +DD-D D D ään laskemaan tuloa )(x x eli ). == =-bb- b jaja ja xx x= =x=1=-bb--b eli eli xx = x=x= x. x . .

2 2= 2 = 22aa2a 2 1 1 1 2 2 2 22aa2a 22aa2a 2 1)(x - x2) = a(x - xx1 - xx2 + x1x2) x(x = a(x2 -tapauksessa että ,täettä kummassakin kummassakin kummassakin tapauksessa tapauksessa 1 + x2) + x1x2)

=b--b -D D = =b x1 = x1 2a 2a 2a

Polynomfunktioner och polynomekvationer Polynomfunktioner och polynomekvationer

2++ 2bx + bx bx ++c+ c== c0= 0 on 0onon yksi yksi yksi (kaksois)juuri, (kaksois)juuri, (kaksois)juuri, jos jos jos yhtälön yhtälön yhtälön diskridiskridiskriax että kummassakin tapauksessa 2 D = 0.

-0.= xTällöin )Tällöin =Tällöin ax + bx + c.

20.

Osoitetaan, Osoitetaan, että että kum k - x-2)x= a(xa(x - x-1)(x x1)(x 2)a

2ax 2++ 2bx xx)x )== )ax = ax + bxbx ++c.+ c. c.

22 2 an juurten summa x1 + x2.

tään än n laskemaan laskemaan laskemaan tuloa tuloa tuloa a(x a(x --xx )(x --xx ).2).

1)(x 1x 1)(x 2).

2x b +a(x D = - b - D 2+2 2 = -b - D - b + D 21a 2)= a2= (x --xx )a(x = a(x a(x --xx xx -xx x )2x ) 2) 2a xx 1)(x 2) 2x 1xx 1xx 2xx 2++ 2x+ 1x 1x 21 2 2 2 b -2-b -x(x x(x x )+2+ )x+ x )2x ) 2) = a(x a(x 1 1x+ 2) 2x 1x 1x 21 = = x(x -1++ = - b -=b=a(x a 2a 2a naan njuurten juurten juurten summa summa summa xx x+ x . 2.

1 1+ 1x+ 2.2x an juurten tulo x1x2.

--bb++ b +DDD --bbb -DDD-bb -++ b +DDD -bb-b -DDD =-= ++ + == = -ba+ D ) b -22aaD a2a= ( - b - D )( 22a-a2 2a · - b + 22aD 2-a2a ⋅ 2a bb 22 b-b22=ba bbb -=b=-==-= -b==-bb2 2 ( - b2)2aa2-a( D22 )aa2a= b 2aa- aD = b 2 - (b 2 - 4ac ) 2 4 a 2 tulo 4a 2 Todistuksessa Todistuksessa saadaan saadaan tietoa tietoa naan njuurten juurten juurten tulo tulo xx .2x .42a.

1x 1x 21 toisen toisen asteen asteen yhtälön yhtälön 2 2 b - b + 4 ac = 4 ac = c (b(b-b -DD)( D )(-)( bb++ b +DD)D )ax)2ax -bb-b -DDD ++ b +DDD 2=(= + 2bx ++ bxc += c0=juurten 0 juurten 2· · -a ·bb4 a= 22aa24 aa 22 aa⋅22 ⋅a2 a⋅a2a 22aa2a

x2 summasta ja tulosta: ja tulosta: x1 jax1 xja2 summasta

b ja tulo x x = c 22 2 2 b b aan xb2b2=2b 2(b 2 2-24b(b)-2)b2juurten -)2• summa )==b=b2 2b--2xD-1D+D ( (-D(D)D)summa (4ac 4)ac -ac ) )1• summa ab(b a x1 +x1x2+=x2-=a- a = = = 2 2 242a 22 - x(x + miin a(x axa24 44 aa aa242a 2 1 44 2)a+ x1x2). 44 • tulo • tulo x1x2x1=x2c=. c . a

a

1. 1.Ryhdytään Ryhdytään lask la

- x-2 a(xa(x - x-1)(x x1)(x

2. 2.Lasketaan Lasketaan juurt ju

=b--b x1 + x1x+2 x=2 2 = =b--b 2a 2

3. 3.Lasketaan Lasketaan juurt ju

- b--b -D x1xx21x=2 = 2a 2a

( - b( )-2b-)2

= =

4a

44ac ac 4 ac =2=c2=c-cx(- b ) + c ) = = x(x1 + x2) + x= x2= ) = a(x summan summan ja tulon ja tulon kaavat kaavat pätepäte1= 2 2 2 2 2 a a 44aa4 a aa a 44aa4 a 4a vät vät myös myös silloin, silloin, kunkun yhtälöllä yhtälöllä b = a(x2 + xbb + bc ) ccvain cyksiyksi onx= on vain juuri. juuri. a ISBN: ISBN: 9789515238993 97895152389934. 4.Sijoitetaan ajatulo an naan juurten juurten juurten summa summa summa xx x+ x x= - - ja ja tulo tulo xx Sijoitetaan juur ju 1 1+ 1x+ 2 2= 2-= 1x 1x 212= 2 = a a a a a a 2 2 2-2x(x Tällöin Tällöin =x ax bx c miin in miin a(x a(x a(x polynomiin polynomiin a( x(x x(x )+2+ )x+ x ). ).+ 1 1++ 1x+ 2) 2x 1x 1x 21 2x 2).

2 2b 2b24+ -b2 2b ++ 4ac ac 4 ac

bb b cc c 2 2-2x(xosoitettu, x(x x x )+2+ )xettä + x )2x )a(x = )a(x = a(x x() ax +)2) +) 1 1++ 1x+ 2) 2x 1x 1x 21 2= - a(x x )(x -x(x )))+ =+

- b x1 =x1x2==x2-= b 2a 2a

aa 2 a aa a bx + c. ja yhtälö ja yhtälö voidaan voidaan saattaa saattaa b b b 9 789515 9 789515 238993 238993 2 2++ 2 + xx++ ==a(x = a(x a(x x c+c) )c ) )20.= 0. muotoon muotoon a(x a(x - x1-)2x= 1 aa a aa a 1

b 2 b-2b-2

2 -2x(x a(xa(x - x(x 1 +1x+ 2

Schildts & Söderströms www.sets.fi

Finska förlagans titel: Tekijä, Pitkä matematiikka 2 Redaktör för den finska upplagan: Ville Sipiläinen Bildredaktör: Anita Kokkila Redaktör för den svenska upplagan: Maria Palmén Omslag: Heidi Hjerpe / Kustmedia Förlagans layout: Liisa Holm, Sari Jeskanen Ombrytning: Eija Högman Illustrationer: Marja Venäläinen

Första upplagan, 2016

© Paavo Heiskanen, Päivi Kaakinen, Pertti Lehtinen, Jukka Lehtonen, Mika Leikas, Jorma Tahvanainen och Sanoma Pro Oy © 2016 Jan-Anders Salenius och Schildts & Söderströms

Kopieringsförbud Det här verket är en lärobok.

Verket är skyddat av upphovsrättslagen (404/61).

Det är förbjudet att fotokopiera, skanna eller på annat sätt digitalt kopiera det här verket eller delar av det utan tillstånd. Kontrollera om läroanstalten har gällande licenser för fotokopiering och digitala licenser. Mer information lämnas av Kopiosto rf www.kopiosto.fi.

Det är förbjudet att ändra verket eller delar av det.

ISBN 978-951-52-3899-3

Till dig som använder boken Ma2 Lång

Studierna i lång matematik börjar med kursen Polynomfunktioner och polynom­ ekvationer. Målet med kursen är att du ska öva dig i att undersöka polynomfunktioner och i att lösa polynomekvationer och -olikheter.

Studiernas gång

Alla kapitel börjar med en undersökning eller en inledning som leder dig till ny kunskap. Den nya teoretiska kunskapen framställs exakt som definitioner och satser som motiveras. Exemplen ger information om hur du kan tillämpa den nya kunskapen. Teorin och exemplen är skrivna så att du kan inhämta stoffet på egen hand. Därmed stöder kursboken även metoderna inom omvänd undervisning (flipped classroom).

EXEMPEL 1

✗

I boken finns typexempel som är avsedda för att räknas utan räknare.

I övriga typexempel får du hjälp med att använda räknaren på ett ändamålsenligt sätt.

I kursboken avser termen räknare också programvara och övriga tekniska hjälp­ medel.

EXEMPEL 2

Övningsuppgifterna är indelade i två serier. Serie I innehåller basuppgifter som följer ordningen i exemplen. Serie II innehåller basuppgifter och mer krävande uppgifter.

1. Uppgifter som du ska göra utan räknare har markerats med bakgrundsfärg.

2. Du kan använda räknaren som hjälp i synnerhet i tillämpade uppgifter.

E1

Hänvisningen till exemplen hjälper dig då du övar.

Repetition

Repetitionsuppgifterna är indelade i tre delar: Först går du igenom kursinnehållet i enlighet med rubrikordningsföljden. Sedan repeterar du uppgifter ur hela kursen i uppgiftsserierna A och B. Vi önskar dig inspirerande inlärningsstunder.

Helsingfors 26.5.2016 Författarna

T I L L D I G S O M A N VÄ N D E R B O K E N

3

Innehåll 1 Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1 1.2 1.3 1.4

Summan och differensen av polynom………………………………………………………… 6 Multiplikation av polynom…………………………………………………………………… 12 Kvadraten och kuben av ett binom…………………………………………………………… 17 Produkten av en summa och en differens…………………………………………………… 23

2 Potensekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1 Kvadratrot ……………………………………………………………………………………… 28 2.2 Räkneregler för kvadratrötter………………………………………………………………… 35 2.3 Det allmänna rotbegreppet…………………………………………………………………… 41

3 Polynomfunktioner av andra graden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Grafen till en polynomfunktion av andra graden……………………………………………… 49 Lösningsformel för ekvationer av andra graden……………………………………………… 56 Olikheter av andra graden……………………………………………………………………… 62 Tillämpningar…………………………………………………………………………………… 68 Diskriminant…………………………………………………………………………………… 74

4 Polynomfunktioner av högre grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.1 4.2 4.3 4.4

Faktorisering av polynom……………………………………………………………………… 80 Ekvationer av högre grad……………………………………………………………………… 86 Olikheter av högre grad………………………………………………………………………… 91 Samband mellan nollställen och faktorer……………………………………………………… 97

Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 1 Polynom………………………………………………………………………………………… 105 2 Potensekvationer……………………………………………………………………………… 106 3 Polynomfunktioner av andra graden………………………………………………………… 107 4 Polynomfunktioner av högre grad…………………………………………………………… 109 Uppgiftsserie A…………………………………………………………………………………… 111 Uppgiftsserie B…………………………………………………………………………………… 112

Facit………………………………………………………………………………………………… 113 Sakregister………………………………………………………………………………………… 123 4

INNEHÅLL

Förslag till tidtabell

45 min

75 min

1 Polynom

7 4

1.1 Summan och differensen av polynom 1.2 Multiplikation av polynom 1.3 Kvadraten och kuben av ett binom 1.4 Produkten av en summa och en differens

1 2 2 2

2 Potensekvationer

5 3

2.1 Kvadratrot 2.2 Räkneregler för kvadratrötter 2.3 Det allmänna rotbegreppet

1 2 2

3 Polynomfunktioner av andra graden

8 5

3.1 Grafen till en polynomfunktion av andra graden 3.2 Lösningsformel för ekvationer av andra graden 3.3 Olikheter av andra graden 3.4 Tillämpningar 3.5 Diskriminant

1 2 2 2 1

4 Polynomfunktioner av högre grad

7 4

4.1 Faktorisering av polynom 4.2 Ekvationer av högre grad 4.3 Olikheter av högre grad 4.4 Samband mellan nollställen och faktorer

2 2 1 2

Repetition

1 1 totalt

F Ö R S L A G T I L L T I D TA B E L L

28

1 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1

17

5

1

Polynom I det här kapitlet repeterar vi begrepp som handlar om polynom.

Vi övar också addition, subtraktion och multiplikation av polynom. Vidare lär vi oss minnesreglerna med vilkas hjälp vi behändigt kan beräkna kvadraten på en summa, kuben på en summa samt produkten av en summa och en differens.

1.1 Summan och differensen av polynom VI UNDERSÖKER

1) Undersök summan av två på varandra följande udda tal. Vilka regelbundenheter observerar du? Anteckna dina observationer.

1 + 3 = 5 + 7 = 9 + 11 = 2. Hur framgår de här regelbundenheterna i bilden nedan?

3. Låt n vara ett positivt heltal. Då är 2n + 1 och 2n + 3 på varandra följande udda tal. Undersök om summan av talen 2n + 1 och 2n + 3 har de här egenskaperna.

4. Undersök på motsvarande sätt summan av tre och fyra på varandra följande udda tal. Vad lägger du märke till? Motivera din slutsats.

6

1 P O LY N O M

Polynom Definition

Monom Mängden av alla positiva heltal Z+ = {1, 2, 3, …}

koefficient variabeldel - 6

x3

gradtal

variabel

Ett monom är en produkt av ett tal och en potens av en variabel eller enbart ett tal. I ett monom är variabelns exponent i potensen ett positivt heltal.

Exempel på monom: 5a2, -

3 x och 7.

4

2 = 2 x -1 är inte ett monom eftersom exponenten på x variabeln inte är ett positivt heltal.

Uttrycket

Polynom

Definition

Ett polynom är summan av flera monom. Ett polynom är en sum­ ma av termer.

Ett monom är ett polynom som har en enda term.

Ett binom är ett polynom med två termer.

Exempel på binom: x + 2, 4a2 + 3a och 2x2 - 7.

Ett trinom är ett polynom med tre termer.

Exempel på trinom: x2 - 6x + 5 och a2 + 2a + 1.

Exempelvis är uttrycket 3x + 5 ett polynom i variabeln x med termer­ na 3x och 5. Uttrycket 2a3 - 4a2 + 7a - 8 = 2a3 + (-4a2) + 7a + (-8) är ett polynom i variabeln a med termerna 2a3, -4a2, 7a och -8.

En terms grad är lika med variabelns exponent. Ett polynoms grad är lika med högsta graden hos dess termer. En term som saknar varia­ bel utgör en konstantterm.

Exempelvis är termen 5x4 i polynomet 5x4 + 7x3 – 2 en fjärdegrads­ term medan termen 7x3 är en tredjegradsterm och konstanttermen är -2. Polynomets grad är 4.

Polynomfunktion

Definition

En funktion vars uttryck är ett polynom är en polynomfunktion.

Till exempel är funktionen f(x) = 6x4 - 5x2 + 3x - 1 en polynom­ funktion av fjärde graden, medan funktionen g(x) = 3x - 2 är en polynomfunktion av första graden.

När exponenten n är ett positivt heltal kan vi beräkna värdet av potensen för alla värden på variabeln. Mängden av alla reella tal utgör definitionsmängden för en polynomfunktion.

1 . 1 S u m m a n o c h d i f f e r e n s e n av p o ly n o m

7

✗

EXEMPEL 1

Undersök polynomet 2x5 - 7x3 + x2 - 9 Bestäm a) polynomets grad b) termerna i polynomet c) koefficienten i andragradstermen d) koefficienten i förstagradstermen e) konstanttermen.

LÖSNING

a) Termen 2x5 har den högsta exponenten. Polynomets grad är således 5. b) Vi kan skriva polynomet 2x5 - 7x3 + x2 - 9 i formen 2x5 + (-7x3) + x2 + (-9).

Polynomets termer är alltså 2x5, -7x3, x2 och -9.

c) Andragradstermen är x2 och den har koefficienten 1. d) Polynomet saknar förstagradsterm. Vi kan då tänka att termen är 0 · x och att den har koefficienten 0. e) Konstanttermen är -9.

SVAR

a) 5 b) 2x5, -7x3, x2 och -9 c) 1 d) 0 e) -9 EXEMPEL 2

Förenkla polynomet -9x2 + 6x3 + x - 7x + 2x3 + 11.

LÖSNING

Vi förenklar ett polynom genom att sammanslå likformiga termer.

Termerna i ett polynom är likformiga om deras variabeldelar är lika.

Vi arrangerar vanligtvis polynomets termer i fallande grad från den högsta graden till den lägsta graden av variabeln.

-9x2 + 6x3 + x - 7x + 2x3 + 11 = 6x3 + 2x3 - 9x2 + x - 7x + 11 = (6 + 2)x3 - 9x2 + (1 - 7)x + 11 = 8x3 - 9x2 - 6x + 11

Vi arrangerar termerna i polynomet.

Sedan sammanslår vi de likformiga termerna.

Slutligen utför vi additioner och subtraktioner.

SVAR

8x3 - 9x2 - 6x + 11 8

1 P O LY N O M

Summan och differensen av polynom

✗

EXEMPEL 3

Bilda och förenkla a) summan av polynomen 4x2 - 3x + 7 och 6x2 - x b) differensen av polynomen x2 - 5x + 3 och -2x2 + 6x + 4.

LÖSNING

a) (4x2 - 3x + 7) + (6x2 - x)

Vi kan skriva om en differens som en summa: a - b = a + (-b)

Vi avlägsnar parenteserna.

= 4x2 - 3x + 7 + 6x2 - x

Vi arrangerar termerna

= 4x2 + 6x2 - 3x - x + 7

= 10x2 - 4x + 7

och sammanslår likformiga termer.

b) (x2 - 5x + 3) - (-2x2 + 6x + 4) Vi avlägsnar parenteserna och byter tecken för alla termer i den senare parentesen.

= x2 - 5x + 3 + 2x2 - 6x - 4

= 3x2 - 11x - 1

Sedan sammanslår vi likformiga termer.

SVAR

a) 10x2 - 4x + 7 b) 3x2 - 11x - 1 EXEMPEL 4

Mängden av alla heltal Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Visa att summan av tre på varandra följande heltal alltid är delbar med talet tre.

LÖSNING

Vi betecknar det minsta talet med variabeln n. Följande tal är då n + 1 och därpå följande tal n + 2. Summan av talen är n + (n + 1) + (n + 2) =n+n+1+n+2 Distributiva lagen ab + ac = a(b + c) När beviset är klart avslutas det ofta med en liten kvadratbeteckning ☐ .

= 3n + 3 = 3 · n + 3 · 1

Vi bryter ut den gemensamma faktorn.

= 3(n + 1).

Eftersom summan av tre på varandra följande heltal utgör produkten av heltalen 3 och n + 1 så är den delbar med talet tre. ☐

1 . 1 S u m m a n o c h d i f f e r e n s e n av p o ly n o m

9

Övningsuppgifter Serie

5. Beräkna värdet

I

1. Vilka av följande uttryck är polynom?

a) 3x4 b) a - 6 3 c) x 4 - 11x + x d) 7 a5 - 4 a + 1

a) f(3) b) f(-1) c) f(4) av polynomfunktionen f ( x ) = 2 x 2 - 5 x - 12.

6. Förenkla polynomet.

E2 a) 2 x 2 + 4 x + 3 x 2 + 6 b) 6 x 2 - 7 x + 8 x - 5 x 2 + 2

7. Förenkla.

2. Undersök polynomet 2x4 - 5x3 + 4x2 - x + 1

2 2 E3 a) (3 x + 4 x - 7 ) + (- x + 8) b) (4x + 3) - (-3x - 5)

E1 och bestäm a) polynomets grad b) andragradstermen i polynomet c) koefficienten i förstagradstermen d) konstanttermen.

3. Bilda ett tredjegradspolynom i variabeln x

9. Lös ekvationen.

med följande villkor: koefficienten i termen med högsta graden är 2, koefficienten i andragradstermen är 1, koefficienten i förstagradstermen är -3 och konstant­ termen är 7.

8. Bilda och förenkla

a) 3x - (1 - 2x) = x - 6 b) 6 - 2x + 4 = 8x - (2x + 4)

10. Två polynom är lika när de får samma vär­ de för alla värden på variabeln x. Bestäm ett sådant värde för konstanten a att poly­ nomen P ( x ) = ax + 3 x - 2 och Q ( x ) = x - 2 är lika.

4. Komplettera additionspyramiden. Placera summan av två närliggande polynom i rutan ovanför. a)

11. Visa att summan av fem på varandra föl­ E4 jande heltal är lika stor som fem gånger storleken av det mellersta talet.

5x 8x 3x

Serie

b) 2x

-x

7x

c)

a) summan b) differensen av polynomen - x2 + 2x - 4 och 3 - 2x + x2.

II

12. Vilka av uttrycken i variabeln x är

polynom? a) 3x8 - 7x c) x2 - ax + x

b) x3 + 5x + x-3 d) ax3 - ax + a

-4x

7x -x

10

1 P O LY N O M

13. Undersök polynomet - x 5 - 6 x 4 + x 2 - 3 och bestäm a) polynomets grad b) andragradstermen i polynomet c) koefficienten i tredjegradstermen d) konstanttermen.

14. Beräkna värdet av polynomfunktionen f för x = -3.

2

a) f(x) = 3 x 2 + 1 b) f(x) = - x 2 - 2 x + 5 c) f(x) = 2

a) x -

2x - 5 2 - x = 3 2

3x - 4 2 x + 7 x = 1+ b) 2 4 3

21. Bestäm ett sådant värde för konstanten a

att ekvationen har lösningen x = -2.

x - 3a a - 2 x 2 a 15 x 2 - 2 x - 6 - = 6 2 3 2

22. Bestäm konstanterna a, b och c så att

15. Bilda ett andragradspolynom i variabeln x

med följande villkor: koefficienten i första­ gradstermen är -3, konstanttermen är 7 och polynomet antar värdet 6 när x är -1.

16.

Förenkla. a) (5 x 2 - 4 x) + (3 x 2 - 2 x + 8 ) b) (x 3 - 7 x 2) - ( -4 x 3 + 2 x 2 - 1)

17. Komplettera additionspyramiden. Placera summan av två närliggande polynom i rutan ovanför.

20. Lös ekvationen.

-2 x 2 + x + 2

3x2 - 5x

-2 x 2 - 6 x + 4

summan av polynomen P(x) = 5x2 - ax + 4 - (bx2 - 7x + 3) och Q(x) = 8x2 + x + c är noll för alla värden på variabeln x.

23. Talen a, b och c satisfierar ekvationen

b - a = c - b = 3. Bestäm talen a, b och c, när a) 3a - b = 11 b) 3a - c = 5.

24. Visa att

a) summan b) differensen av två udda tal är jämn.

25. Vi adderar två heltal som båda slutar på

talet 5. Visa att den sista siffran i summan är 0.

18. Anta att P(x) = 3x2 + x och

Q(x) = 3x2 - x + 4. Visa att a) graden av summan P(x) + Q(x) är 2 b) graden av differensen P(x) - Q(x) är 1.

19. Bilda och förenkla differensen av polyno­ men -5x2 + 7x och -4x2 + 8x - 3.

Beräkna värdet av differensen när x = -3.

1 . 1 S u m m a n o c h d i f f e r e n s e n av p o ly n o m

11

1.2 Multiplikation av polynom VI UNDERSÖKER

1) Beräkna arean av en rektangel med måtten a) 6 cm och 8 cm b) 2a och 3a.

2) Längden av sidorna i en rektangel är a och b + c. Beräkna arean av rektangeln på två sätt. b

c

a

3) Längden av sidorna i en rektangel är a + b och c + d. Beräkna arean av rektangeln på två sätt. d c a

b

12

I undersökningen åskådliggör vi den distributiva lagen för mul­ tiplikation. Produkten av två polynom följer också denna lag. I följande exempel repeterar vi hur vi multiplicerar två polynom med varandra.

1 P O LY N O M

✗

EXEMPEL 1

Bilda och förenkla a) produkten av monomen 6a3 och 5a4 b) produkten av monomet -5x4 och polynomet 3x2 + 2x - 4.

LÖSNING

a) Vi betecknar produkten av monomen 6a3 och 5a4 med 6a3 · 5a4.

6a3 · 5a4 =6·5·

a3 · a4

= 30a7

Produkten av potenser med samma bas a m ⋅ a n = a m+ n

Vi arrangerar faktorerna i produkten så att alla koefficienter står före variabelpotenserna.

Produkten av koefficienterna blir ny koefficient och summan av exponenterna i potensen a3+4 = a7 blir ny exponent.

b) Produkten av monomet -5x4 och polynomet 3x2 + 2x - 4 betecknar vi med -5x4(3x2 + 2x - 4).

Distributiva lagen a ( b + c ) = ab + ac

-5x4(3x2 + 2x - 4)

Vi multiplicerar varje term i polynomet med monomet.

= -5x4 · 3x2 - 5x4 · 2x - 5x4 · (- 4)

Vi beräknar produkten av koefficienterna och summan av exponenterna.

= -15x6 - 10x5 + 20x4 SVAR

a) 30a7 b) -15x6 - 10x5 + 20x4 I den här kursen förenklar vi polynomuttrycken främst utan hjälp av räknare. Rutinberäkningar i fördjupande uppgifter som kräver analys kan vi dock utföra också med räknare.

Räkneoperationer med polynom på räknaren Ta reda på hur du adderar, subtraherar och multiplicerar polynom med din räknare. Utför räkneoperationerna i exemplen och försäkra dig om att du får rätt resultat.

Räknaren utför ofta automatiskt utan särskilda kommandon summan och differensen av två polynom: till exempel 2x + 3 - (x - 1) = x + 4.

Vi kan vanligtvis multiplicera två polynom med expand-kom­ mandot: till exempel ”expand((2x + 3)(x - 1)) = 2x2 + x - 3”.

1 . 2 M u lt i p l i k at i o n av p o ly n o m

13

✗

EXEMPEL 2

Beräkna produkten av polynomen 3x2 + 5 och 4x + 7.

LÖSNING

Distributiva lagen ( a + b )( c + d ) = a( c + d ) + b( c + d ) = ac + ad + bc + bd

(3x2 + 5)(4x + 7)

Vi multiplicerar varje term i den första parentesen med varje term i den andra parentesen.

= 3x2 · 4x + 3x2 · 7 + 5 · 4x + 5 · 7 Vi utför multiplikationerna. = 12x3 + 21x2 + 20x + 35 SVAR

12x3 + 21x2 + 20x + 35

EXEMPEL 3

✗

Subtrahera produkten av monomet 4x och binomet 3x - 2x2 från monomet 8x3.

LÖSNING

8x3 - 4x(3x - 2x2)

Först utför vi multiplikationen.

Resultatet sätter vi i parentes.

= 8x3 - (12x2 - 8x3)

Vi avlägsnar parentesen och byter samtidigt tecken för varje term i parentesen.

= 8x3 - 12x2 + 8x3 = 16x3 - 12x2 SVAR

16x3 - 12x2

14

1 P O LY N O M

Övningsuppgifter Serie

35. Arean av figuren nedan är 45. Bestäm

I

26. Beräkna.

E1 a) x · 3x b)

variabeln x.

3x

-2x2 ·

3x4

c) x ·

x2 · x3 · x4

27. Beräkna.

3 x+1

3x

a) x(3x - 4) b) -2t(5t - 3)

28. Förenkla.

a) 2a3(4a2 - 3a + 1) b) -x2(-x2 + 3x - 4)

29. Förenkla.

E2 a) (x + 3)(5x + 7) b) (2a - 4)(3a + 1)

30. Förenkla.

a) (x2 - 3)(4x - 2) b) (-6x2 + 2x)(4x - 3)

31. Bilda och förenkla

a) produkten av binomen x + 5 och x - 5 b) kvadraten av binomet 2x + 3.

32. Förenkla.

E3 a) 3x - 2(x - 5) b) 5(2x + 4) - 6(3x - 5)

33. Beräkna värdet av polynomfunktionen p(x) för x = -5. a) p(x) = (x + 4)(x - 4) b) p(x) = 2x2 - (x + 2)(x - 2)

34. Anta att P(x) = 3x2 - 5x och

Q(x) = 2x2 - 4x + 2. Förenkla uttrycken. a) xP(x) b) 2xP(x) - 3xQ(x)

1 . 2 M u lt i p l i k at i o n av p o ly n o m

4x + 1 Serie

II

36. Förenkla.

a) 3a2 · 5a3 b) (-4a4) · (-5a3)

37. Förenkla.

a) 4x2(5x2 - 6x + 2) b) -3x(2x3 + 5x - 4)

38. Bilda och förenkla uttrycket.

a) Vi subtraherar produkten av monomet −2x och binomet 3x − 4 från monomet 5x2. b) Vi subtraherar produkten av monomet 2x och binomet 7x − 3 med produkten av monomet −4x och binomet −6x + 5.

39. Förenkla.

a) 6t2 - 3t2(2t - 4) b) 4t3 - t2 + 2t(t2 - 2t + 3)

40. Bilda och förenkla produkten av polynomen 1 1 2 5 a) x + och 2 x - 4 3 6 b) 7 + x och x - 7.

41. Multiplicera summan av binomen 3x2 - 5x och -x + 4 med binomet 2x + 4.

15

42. Förenkla. a) (3x -

4)2

b)

(-2x2

+

1)2

c)

(x3

+

2)2

50. Arean av hela figuren är 77. Bestäm varia­ beln x.

x+2

43. Beräkna produkten av polynomen 2x + 1, 4x - 2 och 4x2 + 1.

44. Förkorta bråkuttrycket.

x+2

a)

3 x ( x + 1) 3 x

2 b) 4 x - 8 x 4x

5 x 2 (1 - 2 x ) c) 10(1 - 2 x )

- 6x 3

d) 3 x 9 - 18 x 2

45. Lös ekvationen.

a) 4x(3x - 2) - 5x(2x - 4) = 2x2 + 7 b) 8x2 - (2x + 3)(4x - 5) = 1

46. Beräkna värdet av polynomfunktionen p(x) för x = -1. a) p(x) = (2x2 - 5)(x2 + 1) b) p(x) = (2x3 + 3x2 - 1)(4x - 6)

47. Bestäm konstanten a så att koefficienten i andragradstermen i polynomet (3x2 + ax - 4)(-2x2 - 5x + 1) är 6.

x

x+1

6 x+1

51. Lena och Ivar plockar blommor på en äng

och säljer dem i buketter för 50 cent styck.

Det går åt totalt 30 buketter per dag. Han­ deln löper så bra att de nästa dag bestäm­ mer sig för att höja bukettpriset med tio cent. Då säljer de endast 28 buketter. Anta att en tiocentshöjning av priset alltid mins­ kar åtgången med lika många buketter.

Bilda en funktion som anger försäljnings­ inkomsten när de höjer bukettpriset med x cent. Undersök för vilket bukettpris försäljningsintäkten blir så stor som möjligt.

48. Anta att P(x) = x3 - 4x2 + 3 och

Q(x) = 2x4 + 6x3. Bestäm gradtalet för polynomet (2x2 - 1)P(x) - xQ(x).

49. Arean av det färglagda området är 74.

Bestäm variabeln x.

5x x–1 4x

16

2(x + 1)

1 P O LY N O M

1.3 Kvadraten och kuben av ett binom VI UNDERSÖKER

1) Rita en kvadrat och beteckna dess sidlängd med bokstaven a.

Vilken är arean av kvadraten? b

2) Förstora kvadraten genom att förlänga sidan med b längdenheter. Vilken sidlängd har den förstorade kvadraten?

a

3) Färglägg det område i figuren vars area är a2 + b2. a

b

4) Hur stor är den totala arean av de vita områdena?

5) Identifiera det område i figuren som har arean (a + b)2.

Uttryck arean (a + b)2 som en summa av rektangelareor och kvadratareor.

Kvadraten av ett binom Det resultat vi åskådliggör i vår undersökning kallar vi minnesregeln för kvadraten av ett binom. Regeln är den första av tre minnesregler som underlättar arbetet med polynomuttryck.

Sats

Minnesregeln för kvadraten av ett binom

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 BEVIS

Vi skriver kvadraten i produktform och multiplicerar. (a + b)2 = (a + b)(a + b)

=a·a+a·b+b·a+b·b

= a2 + 2ab + b2 ☐

Enligt regeln får vi kvadraten på summan av två tal genom att addera summan av talens kvadrater med den dubbla produkten av talen: (a + b)2 kvadraten av binomet

1 . 3 K va d r at e n o c h k u b e n av e t t b i n o m

= a2 talet a i kvadrat

+

2ab dubbla produkten

+

b2 talet b i kvadrat

17

✗

EXEMPEL 1

Förenkla. a) (x + 3)2

b) (3x - 5)2

LÖSNING

a) Vi använder minnesregeln (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 . = x2

(x + 3)2 kvadraten av summan

+ 2·x·3

talet x i kvadrat

dubbla produkten

+ 32

= x2 + 6x + 9

talet 3 i kvadrat

b) Vi uttrycker differensen 3x - 5 som summan 3x + (-5) och använder minnesregeln. = (3x)2

(3x - 5)2 kvadraten av summan

talet 3x i kvadrat

+ 2 · 3x · (–5) + (–5)2 dubbla produkten

= 9x2 - 30x + 25

talet –5 i kvadrat

SVAR

a) x2 + 6x + 9 b) 9x2 - 30x + 25

✗

EXEMPEL 2

Förenkla.

1 a) ( x 2 + 2 )2

b) ( x 4 - 3 x )2

LÖSNING

1 a) ( x 2 + 2 )2

1 1 = ( x 2 )2 + 2 ⋅ x 2 ⋅ + ( )2 2 2 1 4 2 = x +x + 4

b) ( x 4 - 3 x )2 = (x4 + (–3x))2

( a + b )2, där a = x 2 och b = 1 2 a 2 + 2 ab + b 2

( a + b )2 , där a = x 4 och b = -3 x

= ( x 4 )2 + 2 ⋅ x 4 ⋅ ( -3 x ) + ( -3 x )2 a 2 + 2 ab + b 2

= x 8 - 6x 5 + 9x 2

SVAR

a) x4 + x2 +

18

1 b) x8 - 6x5 + 9x2 4 1 P O LY N O M

EXEMPEL 3

✗

a) Uttryck polynomet 9x2 - 30x + 25 som kvadraten av ett binom. b) Bestäm ett sådant värde för konstanten k att polynomet 25x2 + kx + 16 är kvadraten av ett binom.

LÖSNING

a) Andragradstermen och den konstanta termen i polynomet kan vi uttrycka som kvadrater: 9x2 = (3x)2 och 25 = (-5)2.

Vi kan också använda minnesregeln i omvänd riktning. a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Den mellersta termen i polynomet 9x2 - 30x + 25 utgör den dubbla produkten av talen 3x och -5: –30x = 2 · 3x · (-5).

Vi får

9x2 - 30x + 25 = (3x)2 + 2 · 3x · (-5) + (-5)2 = (3x - 5)2.

Vi kan också uttrycka polynomet som kvadraten av ett binom på ett annat sätt:

9x2 - 30x + 25 = (-3x)2 + 2 · (-3x) · 5 + 52 = (-3x + 5)2 b) Andragradstermen i polynomet 25x2 + kx + 16 kan vi uttrycka som kvadrater: 25x2 = (5x)2 och 25x2 = (-5x)2.

På motsvarande sätt kan den konstanta termen uttryckas som 16 = 42 tai 16 = (-4)2.

För att polynomet ska vara kvadraten av ett binom bör den mel­ lersta termen kx utgöra den dubbla produkten av talen ± 5x och ± 4.

Ifall talen har samma förtecken är den dubbla produkten av dem positiv och vi får kx = 2 · 5x · 4 = 40x. Alltså är k = 40.

Ifall talen har olika förtecken är den dubbla produkten av dem negativ och vi får kx = -2 · 5x · 4 = - 40x. Där är alltså k = -40.

SVAR

a) (3x - 5)2 eller (-3x + 5)2 b) k = 40 eller k = -40

1 . 3 K va d r at e n o c h k u b e n av e t t b i n o m

19

Kuben av ett binom Högre potenser av ett binom kan vi beräkna genom att faktorisera och multiplicera ut parenteserna: till exempel är (2x + 5)3 = (2x + 5)(2x + 5)(2x + 5) = (2x + 5)(2x + 5)2.

Vi kan också beräkna kuben av ett binom med hjälp av följande minnesregel.

Sats

Minnesregeln för kuben av ett binom

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 BEVIS

Vi skriver kuben av binomet som en produkt och multiplicerar ut parenteserna. (a + b)3 = (a + b)(a + b)2

= (a + b)(a2 + 2ab + b2)

= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ☐ EXEMPEL 4

Förenkla. a) (2x + 5)3

b) (-x + 1)3

LÖSNING

a) (2x + 5)3

(a + b)3, där a = 2x och b = 5

= (2x)3 + 3 · (2x)2 · 5 + 3 · 2x · 52 + 53

= 8x3 + 3 · 4x2 · 5 + 3 · 2x · 25 + 125

= 8x3 + 60x2 + 150x + 125

b) (-x + 1)3

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)3, där a = -x och b = 1

= (-x)3 + 3 · (-x)2 · 1 + 3 · (-x) · 12 + 13

= -x3 + 3x2 - 3x + 1

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

SVAR

a) 8x3 + 60x2 + 150x + 125 20

b) -x3 + 3x2 - 3x + 1

1 P O LY N O M

Övningsuppgifter Serie

62. För vilka värden på variabeln x är arean av

I

det färglagda området 65?

52. Förenkla.

E1 a) (a +

3)2

5

b) (a +

1)2

c) (3a +

x

1)2

x

53. Förenkla.

5

a) (a - 4)2 b) (b - 8)2 c) (3 - x)2

54. Bilda uttrycket och förenkla det.

a) kvadraten av summan av talen 2x och 6 b) summan av kvadraterna av talen 2x och 6.

55. Förenkla.

63. Den nya läraren berättade att hans födelsår 1991 utgör differensen mellan kvadraterna av två på varandra följande heltal. Vilka är dessa tal?

a) (7x + 1)2 b) (2x - 4)2 c) (5 - 4x)2

56. Förenkla.

2 2 3 2 E2 a) (x + 1) b) (x - 4)

Serie

c) (x4 + 6)2

1 2 ) b) (x3 - x)2 2

64. Förenkla.

a) (5x + 1)2 b) (x - 7)2 c) (-x -

57. Förenkla. a) (x2 -

II

c) (3x3 + 1)2

58. Uttryck som kvadraten av ett binom.

2 2 E3 a) x + 2xy + y 2 b) x - 2x + 1

59. Bestäm ett sådant värde för konstanten a att polynomet utgör kvadraten av ett binom. a) x2 + 8x + a b) x2 + ax + 25 c) 4x2 - 8x + a

60. Förenkla.

3 3 3 E4 a) (x + 1) b) (x - 1) c) (-x + 2)

61. Förenkla.

a) (3x - 2)3 b) (5x + 1)3 c) (-x - 1)3

1 2 ) 2

65. Bilda uttrycket och förenkla det.

a) kvadraten av summan av talen 3 och x b) kvadraten av summan av talen 5 och 2x c) summan av kvadraterna av talen 8x och 3

66. Förenkla.

a) (-3x - 4)2 x b) ( - 4)2 2 c) (4x)2 - 12

67. Förenkla.

1 2 ) 3 b) (-x3 + x)2 3 c) ( x2 - 1)2 4

a) (x3 +

68. Uttryck som kvadraten av ett binom.

1 4 b) 4x2 - 20x + 25

a) x2 + x +

1 . 3 K va d r at e n o c h k u b e n av e t t b i n o m

21

69. Bestäm ett sådant värde för konstanten a att polynomet utgör kvadraten av ett binom. a) x4 + 6x2 + a b) ax2 - 30x + 25 c) 4x4 + ax2 + 16

70. Förenkla.

a) (x + 2)3 b) (-3x + 1)3 c) (x +

71. Förenkla. a) (x2

-

1)3 b)

(5x +

2)3

c)

(-x2

1 3 ) 2

-

74. a) Den sista siffran i ett heltal är 5. Visa att

kvadraten av talet har 2 och 5 som de två sista siffrorna. b) När vi jobbar med a)-fallet hittar vi en metod med vilken vi, utan att använda räknare, kan beräkna kvadraten av ett tvåsiffrigt tal som slutar på siffran 5.

Beräkna 652 utan räknare.

75. Visa: om vi subtraherar den fyrfaldiga pro­ dukten av två heltal från kvadraten av de hela talens summa, får vi ett tal som utgör kvadraten på differensen av heltalen.

1)3

72. Runt en kvadratformad målning finns

en ram vars bredd är 4,0 cm och area är 544 cm2. Beräkna arean av målningen.

73. Farmor berättade att hennes mammas

födelseår 1948 utgör differensen mellan kvadraterna av två på varandra följande jämna tal. Vilka är de här talen? Vilket år var följande år med en likadan egenskap?

76. Är kuben av ett udda tal alltid ett udda tal?

Motivera ditt svar.

77. Koefficienterna 1, 2 och 1 i kvadraten av

binomet (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 samt koef­ ficienterna 1, 3, 3 och 1 i kuben av binomet (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 förekommer i vågräta rader i Pascals triang­ el. I Pascals triangel är det första och sista talet 1 medan varje övrigt tal i raden utgör summan av de två tal som står snett ovanför talet.

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1

22

a) Bilda följande rad i Pascals triangel. b) Bilda en formel med vilken vi kan beräk­ na fjärde potensen av ett binom (a + b)4. c) Beräkna (x + 3)4 och (x - 1)4.

1 P O LY N O M

1.4 Produkten av en summa och en differens VI UNDERSÖKER

1) Rita en kvadrat och beteckna dess sidlängd med bokstaven a.

Avskilj en mindre kvadrat med sidlängden b ur det ena hörnet i kvadraten. Hur stor är arean av den figur som återstår? b

a

2) Dela in den återstående figuren i två rektanglar. Uttryck sidläng­ derna på båda rektanglarna med hjälp av talen a och b. b

a

3) Bilda en större rektangel av de två rektanglarna. Uttryck arean och sidlängderna i den rektangeln med hjälp av talen a och b.

1.4 Pr oduk ten av en summa och en differens

23

Det resultat vi åskådliggör i vår undersökning utgör produkten av en summa och en differens.

Sats

Minnesregeln för produkten av en summa och en differens

Produkten av en summa av två termer och en differens mellan samma termer utgör differensen mellan talens kvadrater. (a + b )(a - b ) = a 2 - b 2 BEVIS

Vi bildar och förenklar produkten av summan och differensen. (a + b )(a - b ) = a ⋅ a + a ⋅ ( -b ) + b ⋅ a + b ⋅ ( -b ) = a 2 - ab + ab - b 2 = a2 - b2 ☐

EXEMPEL

✗

1

Bilda och förenkla produkten av summan av två termer och differensen mellan samma termer. a) x och 3 b) 5x och 4

c) 6x3 och 5

LÖSNING

a) (x + 3)(x - 3)

= x2 - 32

= x2 - 9

(a + b)(a - b), där a = x och b = 3 a2 - b2

b) (5x + 4)(5x - 4)

= (5x)2 - 42

= 25x2 - 16

c) (6x3 + 5)(6x3 - 5)

= (6x3)2 - 52

= 62 · (x3)2 - 52

= 36x6 - 25

SVAR

a) x2 - 9

24

b) 25x2 - 16 c) 36x6 - 25

1 P O LY N O M

✗

EXEMPEL 2

a) Faktorisera binomet 4x2 - 25.

2 b) Förkorta bråkuttrycket x - 1 .

3x - 3 LÖSNING

Vi kan också använda minnesregeln i omvänd riktning. a2 - b2 = (a + b)(a - b)

a) Att faktorisera binomet 4x2 − 25 betyder att vi uttrycker det som produkten av två polynomuttryck av första graden.

4x2 - 25 = (2x)2 - 52 = (2x + 5)(2x - 5)

Faktorerna i binomet 4x2 − 25 är 2x + 5 och 2x − 5.

b) Vi kan förkorta bråkuttrycket endast om täljaren och nämnaren har samma polynomfaktor. x2 -1 3x - 3 =

Vi faktoriserar täljaren och nämnaren.

x 2 - 12 3 ⋅ x - 3 ⋅1 1

= =

( x + 1) ( x - 1) 3 ( x - 1) x +1 3

Vi förkortar med täljarens och nämnarens gemensamma faktor x - 1.

1

SVAR

x +1 a) (2x + 5)(2x - 5) b) 3 EXEMPEL 3

För talen 2, 3 och 4 gäller att 32 - 1 = 2 · 4. Undersök om följande sats gäller för alla hela tal: När man subtraherar talet ett från kvad­ raten på ett heltal får man produkten av heltalets två närliggande heltal.

LÖSNING

De två närliggande heltalen till heltalet n är n - 1 och n + 1.

Eftersom n 2 - 1 = n 2 - 12 = (n - 1)(n + 1),

så gäller satsen för alla heltal.

1.4 Pr oduk ten av en summa och en differens

25

Övningsuppgifter Serie

86. Förkorta bråkuttrycket.

I

2 a) x - 16 3 x + 12 1 - 9x 2 b)

1 - 3x c) 5 x + 15 x2 - 9

78. Förenkla.

E1 a) (x + 7)(x - 7) b) (x - 1)(x + 1) c) (3 + x)(3 - 2x)

79. Förenkla.

87. Beräkna utan räknare.

a) (2x + 3)(2x - 3) b) (x2 - 8)(x2 + 8)

a) 1012 - 992 b) 532 - 472

80. Förenkla.

Serie

a) 5(x + 2)(x - 2) b) x2 - 2(x + 3)(x - 3)

88. Förenkla.

a) (3x + 4)(3x - 4)

1 1 b) ( x - 2 )( x + 2 )

81.

Förenkla. a) (x3 - 9)(x3 + 9) b) ( x 2 + 3)( x 2 - 3)

c) (3x + 2)(-3x - 2)

82. a) Addera talet 5 med produkten av sum­

man av talen x och 2 och differensen mellan talen x och 2. b) Subtrahera produkten av summan av talen 2x och 1 och differensen mellan talen 2x och 1 från kvadraten på talet x.

83. Förenkla.

a) (x + 3)(x - 3)(x2 + 9) b) (x + 4)(x - 4) - (x - 2)2

84. Lös ekvationen.

a) (x - 5)2 = (x + 5)(x - 5) b) (2x + 3)2 = 4(x + 3)(x - 3)

85. Faktorisera.

2 E2 a) x - 16

26

b) 9x2 - 1

II

c) 25x2 - 9

89. Förenkla.

a) (2x2 + 5)(2x2 - 5) b) (-x + 4)(-x - 4) c) (4a3 + 2b2)(4a3 - 2b2)

90. Bilda och förenkla uttrycket.

a) Vi subtraherar summan av talen x och 3 multiplicerad med talet 2 från talet x. b) Vi subtraherar produkten av summan av talen x och 3 och differensen mellan talen x och 3 från kvadraten på talet x. c) Vi bildar differensen mellan binomen x + 3 och x − 3.

91. Förenkla.

1 1 1 1 a) (x + 2 )2 - (x + 2 )( x - 2 )( x + 2 ) 2 b) ( ( x + 3)( x – 3))

1 P O LY N O M

92. Lös ekvationen.

1 1 a) 4( x - 2 )( x + 2 ) - 1 = (2 x - 5)2

b) (x + 3)(x - 3) - 4x(x - 1) = (1 - x)(3x - 1)

93. Förenkla. a) (7x + 6)(7x - 6)(49x2 + 36) b) (3x2 - 4)2 - 3(x2 - 4)(x2 + 4)

94. Faktorisera.

a) x2 - 49 b) 4x2 - 9 c) x4 - 16

95. Förkorta bråkuttrycket.

2 a) x - 49 x +7 36 x2 -1 b) 6x - 1 4 - 16 x c) 2x + 4

97. Vi subtraherar ett heltal från talets kub.

E3 Visa att det erhållna talet alltid a) utgör produkten av tre på varandra föl­ jande heltal b) är delbart med talen 2 och 3.

98. Heltal som är större än talet 1 och som

endast är delbara med sig själva och talet 1 är primtal. Man kan ofta finna primtal i en talmängd som har formen 2n − 1, där n är ett positivt heltal. a) Skriv talen 31, 127 och 8191 i formen 2n - 1. b) Visa: om n är jämnt och större än 2 så kan talet 2n − 1 inte vara ett primtal.

99. Skriv först talet 1023 i formen 2n - 1 och visa sedan genom att faktorisera talet att det inte är ett primtal.

96. Förkorta bråkuttrycket.

2 a) x + 10 x + 25 4 x + 20

b)

4x 2 + 4x + 1 3 - 12 x 2

1.4 Pr oduk ten av en summa och en differens

27